เศษส่วนในจำนวนเฉพาะ คนที่มีจินตนาการเชิงพื้นที่

ต้นไม้ ชายทะเล ก้อนเมฆ หรือเส้นเลือดในมือของเรามีอะไรที่เหมือนกัน? เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าวัตถุเหล่านี้ไม่มีอะไรเหมือนกันเลย อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริง มีคุณสมบัติอย่างหนึ่งของโครงสร้างที่มีอยู่ในวัตถุทั้งหมดที่อยู่ในรายการ: พวกมันมีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง จากกิ่งไม้เช่นเดียวกับลำต้นของต้นไม้กระบวนการที่เล็กกว่าก็แยกออกจากพวกมัน - แม้กระทั่งอันที่เล็กกว่า ฯลฯ นั่นคือกิ่งก้านนั้นคล้ายกับต้นไม้ทั้งต้น ระบบไหลเวียนเลือดถูกจัดเรียงในลักษณะเดียวกัน: หลอดเลือดแดงออกจากหลอดเลือดแดงและจากนั้น - เส้นเลือดฝอยที่เล็กที่สุดซึ่งออกซิเจนเข้าสู่อวัยวะและเนื้อเยื่อ ลองดูภาพถ่ายดาวเทียมของชายฝั่งทะเล: เราจะเห็นอ่าวและคาบสมุทร ลองมาดูกัน แต่จากมุมสูงเราจะเห็นอ่าวและแหลม ตอนนี้ลองนึกภาพว่าเรากำลังยืนอยู่บนชายหาดและมองไปที่เท้าของเรา: จะมีก้อนกรวดที่ยื่นลงไปในน้ำมากกว่าที่อื่น นั่นคือแนวชายฝั่งยังคงคล้ายกับตัวเองเมื่อซูมเข้า Benoit Mandelbrot นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันเรียกคุณสมบัติของเศษส่วนวัตถุและวัตถุดังกล่าวว่าเศษส่วน (จากภาษาละติน fractus - หัก)

แนวคิดนี้ไม่มีคำจำกัดความที่เข้มงวด ดังนั้นคำว่าเศษส่วนจึงไม่ใช่คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ โดยปกติ แฟร็กทัลคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้อย่างน้อยหนึ่งข้อ: มีโครงสร้างที่ซับซ้อนเมื่อขยายเท่าใดก็ได้ (ไม่เหมือนกับเส้นตรง เช่น ส่วนใดๆ ที่เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด - ส่วน) มัน (ประมาณ) คล้ายตัวเอง มันมีมิติ Hausdorff (เศษส่วน) เศษส่วนซึ่งใหญ่กว่าทอพอโลยี สามารถสร้างได้ด้วยกระบวนการเรียกซ้ำ

เรขาคณิตและพีชคณิต

การศึกษาแฟร็กทัลในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20 มีลักษณะเป็นขั้นตอนมากกว่าเป็นระบบ เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ยุคก่อนส่วนใหญ่ศึกษาวัตถุที่ "ดี" ซึ่งสามารถศึกษาได้โดยใช้ วิธีการทั่วไปและทฤษฎี ในปี พ.ศ. 2415 คาร์ล ไวเออร์ชตราส นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้สร้างตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ อย่างไรก็ตาม โครงสร้างของมันเป็นนามธรรมโดยสิ้นเชิงและยากที่จะเข้าใจ ดังนั้นในปี ค.ศ. 1904 ชาวสวีเดน Helge von Koch จึงคิดค้นเส้นโค้งต่อเนื่องที่ไม่มีการสัมผัสกัน และการวาดนั้นค่อนข้างง่าย ปรากฎว่ามีคุณสมบัติของเศษส่วน รูปแบบหนึ่งของเส้นโค้งนี้เรียกว่า Koch snowflake

Paul Pierre Levy ชาวฝรั่งเศสซึ่งเป็นที่ปรึกษาในอนาคตของ Benoit Mandelbrot ได้หยิบยกแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันของตัวเลขขึ้นมา ในปี 1938 บทความของเขา "ระนาบและเส้นโค้งเชิงพื้นที่และพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่คล้ายกับทั้งหมด" ได้รับการตีพิมพ์ ซึ่งมีการอธิบายเศษส่วนอีกชิ้นหนึ่ง นั่นคือ Lévy C-curve แฟร็กทัลทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้นสามารถนำมาประกอบกับแฟร็กทัลเชิงสร้างสรรค์ (เรขาคณิต) แบบมีเงื่อนไขได้

อีกคลาสหนึ่งคือแฟร็กทัลแบบไดนามิก (เกี่ยวกับพีชคณิต) ซึ่งรวมถึงชุด Mandelbrot การวิจัยครั้งแรกในทิศทางนี้เริ่มขึ้นเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 และเกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaston Julia และ Pierre Fatou ในปีพ. ศ. 2461 จูเลียตีพิมพ์บันทึกความทรงจำเกือบสองร้อยหน้าซึ่งอุทิศให้กับการวนซ้ำของฟังก์ชันเชิงเหตุผลที่ซับซ้อนซึ่งอธิบายชุดของจูเลีย - แฟร็กทัลทั้งตระกูลที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับชุดแมนเดลบรอต งานนี้ได้รับรางวัลจาก French Academy แต่ไม่มีภาพประกอบเดียวดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะชื่นชมความงามของวัตถุที่ค้นพบ แม้ว่างานนี้จะทำให้จูเลียมีชื่อเสียงในหมู่นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้น แต่มันก็ถูกลืมอย่างรวดเร็ว อีกครั้งความสนใจหันมาสนใจมันเพียงครึ่งศตวรรษต่อมาด้วยการกำเนิดของคอมพิวเตอร์: พวกเขาเป็นผู้ที่ทำให้มองเห็นความร่ำรวยและความสวยงามของโลกแห่งแฟร็กทัล

มิติเศษส่วน

อย่างที่คุณทราบ ขนาด (จำนวนการวัด) ของรูปทรงเรขาคณิตคือจำนวนพิกัดที่จำเป็นในการกำหนดตำแหน่งของจุดที่อยู่บนรูปนี้
ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของจุดบนเส้นโค้งถูกกำหนดโดยหนึ่งพิกัด บนพื้นผิว (ไม่จำเป็นต้องเป็นระนาบ) โดยสองพิกัด ในพื้นที่สามมิติโดยสามพิกัด
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ทั่วไป เราสามารถกำหนดมิติด้วยวิธีนี้: การเพิ่มมิติเชิงเส้น พูด สองเท่า สำหรับวัตถุ (ส่วน) หนึ่งมิติ (จากมุมมองทอพอโลยี) นำไปสู่การเพิ่มขนาด (ความยาว) สองเท่าสำหรับสองมิติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส ) การเพิ่มขนาดเชิงเส้นที่เท่ากันทำให้ขนาด (พื้นที่) เพิ่มขึ้น 4 เท่าสำหรับสามมิติ (ลูกบาศก์) - 8 เท่า นั่นคือมิติข้อมูล "ของจริง" (ที่เรียกว่า Hausdorff) สามารถคำนวณได้จากอัตราส่วนของลอการิทึมของการเพิ่ม "ขนาด" ของวัตถุต่อลอการิทึมของการเพิ่มขนาดเชิงเส้น นั่นคือ สำหรับเซ็กเมนต์ D=log (2)/log (2)=1 สำหรับระนาบ D=log (4)/log (2)=2 สำหรับวอลุ่ม D=log (8)/log (2 )=3.
ให้เราคำนวณขนาดของเส้นโค้ง Koch สำหรับการก่อสร้างซึ่งส่วนของหน่วยแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันและช่วงกลางจะถูกแทนที่ด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยไม่มีส่วนนี้ ด้วยการเพิ่มขนาดเชิงเส้นของส่วนต่ำสุดสามครั้ง ความยาวของเส้นโค้ง Koch จะเพิ่มขึ้นในบันทึก (4) / บันทึก (3) ~ 1.26 นั่นคือมิติของเส้นโค้ง Koch เป็นเศษส่วน!

ศาสตร์และศิลป์

ในปี 1982 หนังสือ "The Fractal Geometry of Nature" ของ Mandelbrot ได้รับการตีพิมพ์ ซึ่งผู้เขียนได้รวบรวมและจัดระบบข้อมูลเกือบทั้งหมดเกี่ยวกับเศษส่วนที่มีในขณะนั้น และนำเสนอในลักษณะที่เข้าถึงได้ง่าย แมนเดลบรอตเน้นหลักในการนำเสนอไม่ใช่สูตรที่น่าขบขันและโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ แต่อยู่ที่สัญชาตญาณทางเรขาคณิตของผู้อ่าน ต้องขอบคุณภาพประกอบที่สร้างจากคอมพิวเตอร์และเรื่องราวทางประวัติศาสตร์ ซึ่งผู้เขียนได้เจือจางองค์ประกอบทางวิทยาศาสตร์ของเอกสารอย่างชำนาญ ทำให้หนังสือเล่มนี้กลายเป็นหนังสือขายดี และเศษส่วนก็กลายเป็นที่รู้จักของสาธารณชนทั่วไป ความสำเร็จของพวกเขาในหมู่ผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์นั้นส่วนใหญ่มาจากความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของโครงสร้างและสูตรง่ายๆ ที่แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายก็สามารถเข้าใจได้ ทำให้ได้ภาพที่มีความซับซ้อนและสวยงามน่าทึ่ง เมื่อคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลมีประสิทธิภาพเพียงพอ แม้แต่เทรนด์ศิลปะก็ปรากฏขึ้น - ภาพวาดเศษส่วน และเจ้าของคอมพิวเตอร์เกือบทุกคนสามารถทำได้ ขณะนี้บนอินเทอร์เน็ตคุณสามารถค้นหาไซต์มากมายสำหรับหัวข้อนี้ได้อย่างง่ายดาย

โครงการเพื่อให้ได้เส้นโค้ง Koch

สงครามและสันติภาพ

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น หนึ่งในวัตถุทางธรรมชาติที่มีคุณสมบัติเศษส่วนคือแนวชายฝั่ง เรื่องราวที่น่าสนใจเรื่องหนึ่งเกี่ยวข้องกับมันหรือมากกว่านั้นด้วยความพยายามที่จะวัดความยาวของมันซึ่งเป็นพื้นฐานของบทความทางวิทยาศาสตร์ของ Mandelbrot และยังอธิบายไว้ในหนังสือของเขาเรื่อง "The Fractal Geometry of Nature" เรากำลังพูดถึงการทดลองที่ก่อตั้งโดย Lewis Richardson นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักอุตุนิยมวิทยาที่เก่งกาจและแปลกประหลาด แนวทางหนึ่งของการวิจัยของเขาคือความพยายามที่จะค้นหาคำอธิบายทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับสาเหตุและความเป็นไปได้ของความขัดแย้งทางอาวุธระหว่างสองประเทศ ในบรรดาพารามิเตอร์ที่เขาคำนึงถึงคือความยาวของพรมแดนร่วมกันระหว่างสองประเทศที่ทำสงครามกัน เมื่อเขารวบรวมข้อมูลสำหรับการทดลองเชิงตัวเลข เขาพบว่าในแหล่งต่างๆ ข้อมูลบนพรมแดนร่วมของสเปนและโปรตุเกสแตกต่างกันอย่างมาก สิ่งนี้ทำให้เขาค้นพบสิ่งต่อไปนี้: ความยาวของพรมแดนของประเทศขึ้นอยู่กับไม้บรรทัดที่เราใช้วัด ยิ่งสเกลเล็กลงเท่าใด เส้นขอบก็จะยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น นี่เป็นเพราะการขยายที่สูงขึ้นทำให้สามารถพิจารณาส่วนโค้งของชายฝั่งได้มากขึ้นซึ่งก่อนหน้านี้ถูกละเลยเนื่องจากความหยาบของการวัด และถ้าด้วยการซูมแต่ละครั้งจะมีการเปิดเส้นโค้งที่ไม่เคยมีมาก่อนปรากฎว่าความยาวของเส้นขอบนั้นไม่มีที่สิ้นสุด! จริงอยู่ที่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น - ความแม่นยำของการวัดของเรามี ขีด จำกัด สุดท้าย. ความขัดแย้งนี้เรียกว่าเอฟเฟกต์ริชาร์ดสัน

แฟร็กทัลเชิงสร้างสรรค์ (เรขาคณิต)

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างเศษส่วนเชิงสร้างสรรค์ในกรณีทั่วไปมีดังนี้ ก่อนอื่น เราต้องการรูปทรงเรขาคณิตที่เหมาะสมสองรูปทรง เรียกมันว่าฐานและส่วนย่อย ในขั้นตอนแรกจะมีการอธิบายพื้นฐานของเศษส่วนในอนาคต จากนั้นชิ้นส่วนบางส่วนจะถูกแทนที่ด้วยชิ้นส่วนที่มีขนาดเหมาะสม - นี่เป็นการทำซ้ำครั้งแรกของการก่อสร้าง จากนั้นในรูปผลลัพธ์บางส่วนจะเปลี่ยนเป็นตัวเลขที่คล้ายกับเศษส่วนอีกครั้งและอื่น ๆ หากเราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ เราจะได้เศษส่วนในขีด จำกัด

พิจารณากระบวนการนี้โดยใช้ตัวอย่างเส้นโค้ง Koch (ดูแถบด้านข้างในหน้าที่แล้ว) สามารถใช้เส้นโค้งใดก็ได้เป็นพื้นฐานของเส้นโค้ง Koch (สำหรับเกล็ดหิมะ Koch นี่คือรูปสามเหลี่ยม) แต่เราจำกัดตัวเองให้อยู่ในกรณีที่ง่ายที่สุด นั่นคือกลุ่ม ส่วนที่เป็นเส้นแตกที่แสดงด้านบนของภาพ หลังจากการวนซ้ำครั้งแรกของอัลกอริทึมในกรณีนี้ส่วนดั้งเดิมจะตรงกับส่วนย่อยจากนั้นแต่ละส่วนที่เป็นส่วนประกอบจะถูกแทนที่ด้วยเส้นแบ่งที่คล้ายกับส่วนย่อยและอื่น ๆ รูปแสดงสี่รายการแรก ขั้นตอนของกระบวนการนี้

ภาษาของคณิตศาสตร์: ไดนามิก (เกี่ยวกับพีชคณิต) แฟร็กทัล

แฟร็กทัลประเภทนี้เกิดขึ้นในการศึกษาระบบไดนามิกแบบไม่เชิงเส้น (เพราะฉะนั้นชื่อ) พฤติกรรมของระบบดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันไม่เชิงเส้นเชิงซ้อน (โพลิโนเมียล) f(z) ให้เราหาจุดเริ่มต้น z0 บนระนาบเชิงซ้อน (ดูแถบด้านข้าง) ตอนนี้พิจารณาลำดับของตัวเลขบนระนาบเชิงซ้อนที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งแต่ละลำดับจะได้มาจากลำดับก่อนหน้า: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn) ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้น z0 ลำดับดังกล่าวอาจทำงานแตกต่างกัน: มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดเป็น n -> ∞; บรรจบกันที่จุดสิ้นสุด ใช้ค่าคงที่จำนวนหนึ่งเป็นวัฏจักร มีตัวเลือกที่ซับซ้อนมากขึ้น

จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนคือจำนวนที่ประกอบด้วยสองส่วน - จำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ นั่นคือ ผลบวกอย่างเป็นทางการ x + iy (x และ y ในที่นี้ - จำนวนจริง). ฉันคือสิ่งที่เรียกว่า หน่วยจินตภาพ นั่นคือ จำนวนที่เข้าสมการ ผม^ 2 = -1. เหนือจำนวนเชิงซ้อน หลัก การดำเนินการทางคณิตศาสตร์- การบวก การคูณ การหาร การลบ (ไม่ได้กำหนดการดำเนินการเปรียบเทียบเท่านั้น) มักใช้เพื่อแสดงจำนวนเชิงซ้อน การแสดงทางเรขาคณิต- บนระนาบ (เรียกว่าคอมเพล็กซ์) ส่วนจริงจะถูกพล็อตตามแกน abscissa และส่วนจินตภาพตามแกนกำหนด ในขณะที่จำนวนเชิงซ้อนจะสอดคล้องกับจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน x และ y

ดังนั้นจุด z ใดๆ ของระนาบเชิงซ้อนจึงมีลักษณะพฤติกรรมของมันเองในระหว่างการวนซ้ำของฟังก์ชัน f (z) และระนาบทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ ยิ่งกว่านั้น จุดที่อยู่บนขอบเขตของส่วนเหล่านี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: สำหรับการกระจัดเล็กน้อยโดยพลการ ลักษณะของพฤติกรรมของพวกมันจะเปลี่ยนไปอย่างมาก (จุดดังกล่าวเรียกว่า จุดแยกสองทาง) ดังนั้น ปรากฎว่าชุดของจุดที่มีพฤติกรรมเฉพาะประเภทหนึ่ง เช่นเดียวกับชุดของจุดที่แยกไปสองทาง มักจะมีคุณสมบัติเศษส่วน นี่คือชุดจูเลียสำหรับฟังก์ชัน f(z)

ครอบครัวมังกร

โดยการเปลี่ยนฐานและชิ้นส่วน คุณจะได้รับแฟร็กทัลเชิงสร้างสรรค์ที่หลากหลายและน่าทึ่ง
นอกจากนี้ยังสามารถดำเนินการที่คล้ายกันในพื้นที่สามมิติ ตัวอย่างของเศษส่วนเชิงปริมาตร ได้แก่ "ฟองน้ำของ Menger", "พีระมิดของ Sierpinski" และอื่นๆ
ครอบครัวของมังกรเรียกอีกอย่างว่าเศษส่วนเชิงสร้างสรรค์ บางครั้งพวกเขาถูกเรียกตามชื่อของผู้ค้นพบว่า "มังกรแห่งเฮยเว่ย-ฮาร์เตอร์" (มีรูปร่างคล้ายมังกรจีน) มีหลายวิธีในการสร้างเส้นโค้งนี้ สิ่งที่ง่ายและชัดเจนที่สุดคือ: คุณต้องใช้กระดาษที่มีความยาวเพียงพอ (กระดาษยิ่งบางยิ่งดี) และงอครึ่ง จากนั้นงอครึ่งอีกครั้งในทิศทางเดียวกับครั้งแรก หลังจากพับซ้ำหลายครั้ง (โดยปกติหลังจากพับห้าหรือหกทบ แถบจะหนาเกินไปที่จะงออย่างระมัดระวังต่อไป) คุณต้องยืดแถบกลับให้ตรง และพยายามทำมุม 90˚ ที่รอยพับ จากนั้นเส้นโค้งของมังกรจะปรากฎในโปรไฟล์ แน่นอนว่านี่เป็นเพียงการประมาณเท่านั้น เช่นเดียวกับความพยายามทั้งหมดของเราในการพรรณนาวัตถุที่เป็นเศษส่วน คอมพิวเตอร์ช่วยให้คุณสามารถอธิบายขั้นตอนเพิ่มเติมในกระบวนการนี้ได้ และผลที่ได้คือตัวเลขที่สวยงามมาก

ชุด Mandelbrot สร้างแตกต่างกันบ้าง พิจารณาฟังก์ชัน fc (z) = z 2 +c โดยที่ c เป็นจำนวนเชิงซ้อน ให้เราสร้างลำดับของฟังก์ชันนี้ด้วย z0=0 ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ c มันสามารถเปลี่ยนไปเป็นอนันต์หรือคงขอบเขตไว้ได้ ยิ่งกว่านั้น ค่าทั้งหมดของ c ซึ่งลำดับนี้ถูกผูกมัดจากชุด Mandelbrot แมนเดลบรอตเองและนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้ศึกษาอย่างละเอียด ซึ่งได้ค้นพบคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมายของเซตนี้

จะเห็นได้ว่าคำจำกัดความของชุด Julia และ Mandelbrot นั้นคล้ายคลึงกัน ในความเป็นจริงทั้งสองชุดนี้มีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด กล่าวคือชุด Mandelbrot คือค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่ซับซ้อน c ซึ่งชุด Julia fc (z) เชื่อมต่ออยู่ (ชุดเรียกว่าเชื่อมต่อหากไม่สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนที่ไม่ตัดกันโดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการ)

เศษส่วนและชีวิต

ทุกวันนี้ ทฤษฎีแฟร็กทัลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ นอกเหนือจากวัตถุทางวิทยาศาสตร์ล้วน ๆ สำหรับการวิจัยและการวาดภาพเศษส่วนที่กล่าวถึงแล้ว fractals ยังใช้ในทฤษฎีข้อมูลเพื่อบีบอัดข้อมูลกราฟิก (ที่นี่ส่วนใหญ่จะใช้คุณสมบัติความคล้ายตนเองของเศษส่วน - เพื่อจดจำชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของรูปวาดและการแปลงร่างซึ่งคุณจะได้รับชิ้นส่วนที่เหลือนั้นต้องใช้เวลามาก หน่วยความจำน้อยลงกว่าจะเก็บครบทั้งไฟล์) ด้วยการเพิ่มการก่อกวนแบบสุ่มให้กับสูตรที่กำหนดแฟร็กทัล คุณจะได้แฟร็กทัลสุ่มที่ถ่ายทอดวัตถุจริงบางอย่างได้อย่างน่าเชื่อถือ เช่น องค์ประกอบนูนต่ำ พื้นผิวของแหล่งน้ำ พืชบางชนิด ซึ่งใช้ในฟิสิกส์ ภูมิศาสตร์ และคอมพิวเตอร์กราฟิกได้สำเร็จ ความคล้ายคลึงกันมากขึ้นของวัตถุจำลองกับของจริง ในวิทยุอิเล็กทรอนิกส์ ทศวรรษที่ผ่านมาเริ่มผลิตเสาอากาศที่มีรูปร่างเป็นเศษส่วน ใช้พื้นที่น้อยจึงรับสัญญาณได้ค่อนข้างมีคุณภาพสูง นักเศรษฐศาสตร์ใช้เศษส่วนเพื่ออธิบายเส้นโค้งความผันผวนของสกุลเงิน (คุณสมบัตินี้ค้นพบโดย Mandelbrot เมื่อ 30 ปีที่แล้ว) สรุปการเดินทางสั้น ๆ ในโลกของแฟร็กทัลที่น่าทึ่งในความงามและความหลากหลายของมัน

เมื่อฉันไม่เข้าใจทุกสิ่งในสิ่งที่ฉันอ่าน ฉันไม่อารมณ์เสียเป็นพิเศษ หากไม่พบหัวข้อนี้ในภายหลังแสดงว่าไม่สำคัญมากนัก (อย่างน้อยสำหรับฉัน) ถ้าเจอหัวข้อนี้อีกเป็นครั้งที่ 3 ไว้โอกาสหน้าจะมาทำความเข้าใจใหม่นะครับ แฟร็กทัลอยู่ในหัวข้อดังกล่าว ฉันเรียนรู้เกี่ยวกับพวกเขาครั้งแรกจากหนังสือของ Nassim Taleb และจากนั้นในรายละเอียดเพิ่มเติมจากหนังสือของ Benoit Mandelbrot วันนี้ตามคำขอ "เศษส่วน" บนเว็บไซต์คุณจะได้รับ 20 โน้ต

ส่วนที่ 1 การเดินทางสู่ต้นกำเนิด

ชื่อคือการรู้ย้อนกลับไปเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 อองรี ปวงกาเรกล่าวว่า “คุณประหลาดใจกับพลังที่คำๆ เดียวสามารถมีได้ นี่คือวัตถุที่ไม่สามารถพูดได้จนกว่าจะรับบัพติสมา ก็เพียงพอแล้วที่จะตั้งชื่อให้เขาว่าปาฏิหาริย์จะเกิดขึ้น” (ดูเพิ่มเติม) และมันก็เกิดขึ้นเมื่อในปี 1975 เบอนัวต์ แมนเดลบรอต นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีต้นกำเนิดจากโปแลนด์ได้รวบรวมพระวจนะ จากคำภาษาละติน แฟรนเจอร์(แตก) และ เศษส่วน(ไม่ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง เป็นเศษส่วน) เศษส่วนได้ก่อตัวขึ้น Mandelbrot ส่งเสริมและเผยแพร่แฟร็กทัลอย่างชำนาญในฐานะแบรนด์โดยยึดตามความดึงดูดทางอารมณ์และประโยชน์ใช้สอยที่มีเหตุผล เขาตีพิมพ์เอกสารหลายเล่ม รวมทั้ง The Fractal Geometry of Nature (1982)

เศษส่วนในธรรมชาติและศิลปะแมนเดลบรอตสรุปรูปทรงเรขาคณิตเศษส่วนนอกเหนือจากยุคลิด ความแตกต่างนี้ใช้ไม่ได้กับสัจพจน์ของความเท่าเทียม เช่นเดียวกับในรูปทรงเรขาคณิตของ Lobachevsky หรือ Riemann ความแตกต่างคือการปฏิเสธข้อกำหนดเริ่มต้นของ Euclid สำหรับความราบรื่น วัตถุบางอย่างมีความหยาบ มีรูพรุน หรือแตกเป็นชิ้นโดยเนื้อแท้ และหลายชิ้นมีคุณสมบัติเหล่านี้ "ในระดับเดียวกันในทุกขนาด" ในธรรมชาติไม่มีปัญหาการขาดแคลนรูปแบบดังกล่าว: ดอกทานตะวันและบรอกโคลี, เปลือกหอย, เฟิร์น, เกล็ดหิมะ, รอยแยกบนภูเขา, ชายฝั่ง, ฟยอร์ด, หินงอกและหินย้อย, ฟ้าผ่า

ผู้ที่ใส่ใจและช่างสังเกตสังเกตมานานแล้วว่ารูปแบบบางอย่างแสดงโครงสร้างซ้ำๆ เมื่อดู "ในระยะใกล้หรือจากระยะไกล" เมื่อเข้าใกล้วัตถุดังกล่าว เราสังเกตเห็นว่ามีเพียงรายละเอียดเล็กน้อยเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง แต่รูปร่างโดยรวมยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ตามนี้ แฟร็กทัลนั้นง่ายที่สุดในการกำหนดเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีองค์ประกอบซ้ำกันในทุกระดับ

ตำนานและความลึกลับรูปแบบชั้นใหม่ที่ค้นพบโดย Mandelbrot กลายเป็นเหมืองทองคำสำหรับนักออกแบบ สถาปนิก และวิศวกร แฟร็กทัลจำนวนนับไม่ได้ถูกสร้างขึ้นตามหลักการเดียวกันของการทำซ้ำหลายครั้ง จากตรงนี้ แฟร็กทัลนั้นง่ายที่สุดในการกำหนดเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีองค์ประกอบซ้ำกันในทุกขนาด รูปทรงเรขาคณิตนี้ไม่เปลี่ยนแปลงเฉพาะที่ (ไม่แปรผัน) มีความคล้ายตนเองในระดับหนึ่งและอินทิกรัลในข้อจำกัด เป็นภาวะเอกฐานที่แท้จริง ความซับซ้อนซึ่งถูกเปิดเผยเมื่อเข้าใกล้ และไม่สำคัญในระยะไกล

บันไดปีศาจสัญญาณไฟฟ้าที่แรงมากใช้เพื่อถ่ายโอนข้อมูลระหว่างคอมพิวเตอร์ สัญญาณดังกล่าวไม่ต่อเนื่อง การรบกวนหรือสัญญาณรบกวนเกิดขึ้นแบบสุ่มในเครือข่ายไฟฟ้าเนื่องจากสาเหตุหลายประการ และนำไปสู่การสูญหายของข้อมูลเมื่อมีการส่งข้อมูลระหว่างคอมพิวเตอร์ เพื่อขจัดอิทธิพลของเสียงรบกวนต่อการส่งข้อมูลในช่วงต้นทศวรรษที่หกสิบเศษได้รับความไว้วางใจจากกลุ่มวิศวกรของ IBM ซึ่ง Mandelbrot เข้ามามีส่วนร่วม

การวิเคราะห์อย่างคร่าว ๆ แสดงให้เห็นว่ามีช่วงเวลาที่ไม่มีการบันทึกข้อผิดพลาด เมื่อแยกช่วงเวลาที่กินเวลานานหนึ่งชั่วโมงออกแล้ว วิศวกรสังเกตว่าระหว่างนั้น ช่วงเวลาที่ส่งสัญญาณโดยไม่มีข้อผิดพลาดนั้นเป็นช่วงๆ เช่นกัน มีการหยุดชั่วคราวที่สั้นกว่าซึ่งกินเวลาประมาณยี่สิบนาที ดังนั้นการส่งข้อมูลโดยไม่มีข้อผิดพลาดจึงมีลักษณะเป็นแพ็กเก็ตข้อมูลที่มีความยาวต่างกันและหยุดชั่วคราวในสัญญาณรบกวนซึ่งสัญญาณจะถูกส่งโดยไม่มีข้อผิดพลาด ในแพ็คเกจที่มีอันดับสูงกว่านั้น แพ็คเกจที่มีอันดับต่ำกว่าจะถูกสร้างขึ้นภายใน คำอธิบายดังกล่าวแสดงถึงการมีอยู่ของสิ่งนั้น เช่น ตำแหน่งสัมพัทธ์ของแพ็กเก็ตที่มีอันดับต่ำกว่าในแพ็กเก็ตที่มีอันดับสูงกว่า ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตำแหน่งสัมพัทธ์ของแพ็คเกจเหล่านี้ไม่ขึ้นกับอันดับของพวกมัน ความไม่แปรผันนี้บ่งบอกถึงความคล้ายคลึงกันของกระบวนการบิดเบือนข้อมูลภายใต้การกระทำของสัญญาณรบกวนทางไฟฟ้า ขั้นตอนในการตัดการหยุดชั่วคราวโดยปราศจากข้อผิดพลาดในสัญญาณระหว่างการส่งข้อมูลไม่สามารถเกิดขึ้นได้กับวิศวกรไฟฟ้า ด้วยเหตุผลที่ว่านี่เป็นเรื่องใหม่สำหรับพวกเขา

แต่แมนเดลบรอตซึ่งศึกษาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ทราบดีถึงชุดคันทอร์ ซึ่งอธิบายย้อนกลับไปในปี พ.ศ. 2426 และเป็นตัวแทนของฝุ่นจากคะแนนที่ได้รับตามอัลกอริธึมที่เข้มงวด สาระสำคัญของอัลกอริธึมสำหรับการสร้าง "ฝุ่นของคันทอร์" มีดังต่อไปนี้ ใช้เส้นตรง ลบส่วนที่สามตรงกลางออกโดยเก็บปลายทั้งสองไว้ ตอนนี้เราทำซ้ำการดำเนินการเดียวกันกับส่วนท้ายและอื่น ๆ Mandelbrot ค้นพบว่านี่คือรูปทรงเรขาคณิตของแพ็กเก็ตและการหยุดชั่วคราวในการส่งสัญญาณระหว่างคอมพิวเตอร์ ข้อผิดพลาดสะสม สามารถจำลองการสะสมได้ดังนี้ ในขั้นตอนแรก เรากำหนดค่า 1/2 ให้กับคะแนนทั้งหมดจากช่วงเวลา ในขั้นตอนที่สองจากช่วงเวลา กำหนดค่า 1/4 ค่า 3/4 ให้กับคะแนนจากช่วงเวลา เป็นต้น การรวมทีละขั้นตอนของปริมาณเหล่านี้ทำให้สามารถสร้างสิ่งที่เรียกว่า "บันไดปีศาจ" (รูปที่ 1) การวัด "ฝุ่นต้นเสียง" เป็นจำนวนอตรรกยะเท่ากับ 0.618... เรียกว่า " อัตราส่วนทองคำหรือสัดส่วนเทพ.

ส่วนที่ 2 แฟร็กทัลคือสิ่งสำคัญ

ยิ้มโดยไม่ต้องแมว: มิติเศษส่วนมิติข้อมูลเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่นอกเหนือไปจากคณิตศาสตร์ Euclid ในหนังสือเล่มแรกของ "Beginnings" ได้กำหนดแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต จุด เส้น ระนาบ ตามคำจำกัดความเหล่านี้ แนวคิดของปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเป็นเวลาเกือบสองพันห้าพันปี ความเจ้าชู้จำนวนมากที่มีช่องว่างสี่ ห้ามิติและมิติอื่น ๆ นั้นไม่ได้เพิ่มอะไรเลย แต่พวกเขาเผชิญกับสิ่งที่จินตนาการของมนุษย์ไม่สามารถจินตนาการได้ ด้วยการค้นพบเศษส่วนเรขาคณิต การปฏิวัติที่รุนแรงเกิดขึ้นในแนวคิดของมิติ มิติข้อมูลที่หลากหลายปรากฏขึ้นและในหมู่พวกเขาไม่ได้เป็นเพียงจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเศษส่วนและแม้แต่จำนวนอตรรกยะด้วย และมิติเหล่านี้มีให้สำหรับการแสดงภาพและความรู้สึก อันที่จริง เราสามารถจินตนาการได้อย่างง่ายดายว่าชีสที่มีรูเป็นแบบจำลองของสื่อที่มีขนาดมากกว่าสอง แต่มีขนาดไม่ถึงสามรูเนื่องจากรูชีสซึ่งทำให้ขนาดของมวลชีสลดลง

เพื่อทำความเข้าใจมิติเศษส่วนหรือเศษส่วน ลองมาดูความขัดแย้งของ Richardson ซึ่งอ้างว่าความยาวของแนวชายฝั่งที่ขรุขระของสหราชอาณาจักรนั้นไม่มีที่สิ้นสุด! Louis Fry Richardson สงสัยเกี่ยวกับผลกระทบของมาตราส่วนการวัดต่อขนาดของความยาวที่วัดได้ของแนวชายฝั่งอังกฤษ เมื่อเปลี่ยนจากมาตราส่วนของแผนที่ชั้นความสูงเป็น "ก้อนกรวดชายฝั่ง" เขาก็ได้ข้อสรุปที่แปลกประหลาดและคาดไม่ถึง นั่นคือ ความยาวของแนวชายฝั่งเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด และการเพิ่มขึ้นนี้ไม่มีขีดจำกัด เส้นโค้งเรียบจะไม่ทำงานเช่นนี้ ข้อมูลเชิงประจักษ์ของริชาร์ดสันซึ่งได้มาจากแผนที่ที่มีสเกลที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ เป็นพยานถึงการเพิ่มกฎพลังงานในความยาวของแนวชายฝั่งโดยที่ขั้นตอนการวัดลดลง:

ในสูตรริชาร์ดสันง่ายๆ นี้ แอลคือความยาวของชายฝั่งที่วัดได้ ε คือค่าของขั้นตอนการวัดและ β ≈ 3/2 คือระดับการเติบโตของความยาวชายฝั่งที่พบโดยขั้นตอนการวัดที่ลดลง ความยาวของแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด 55 ต่างจากเส้นรอบวง เธอไม่มีที่สิ้นสุด! ต้องทำใจกับความโค้งหักศอก ไม่เนียน ไม่จำกัดความยาว

อย่างไรก็ตาม การศึกษาของริชาร์ดสันเสนอว่า พวกเขามีการวัดลักษณะเฉพาะของระดับความยาวที่เพิ่มขึ้นโดยมีมาตราส่วนการวัดลดลง ปรากฎว่ามันเป็นค่าที่ระบุเส้นแบ่งอย่างลึกลับว่าเป็นลายนิ้วมือของบุคลิกภาพของบุคคล แมนเดลบรอตตีความแนวชายฝั่งว่าเป็นวัตถุเศษส่วน ซึ่งเป็นวัตถุที่มีขนาดตรงกับเลขชี้กำลัง β

ตัวอย่างเช่น ขนาดของเส้นโค้งขอบเขตชายฝั่งสำหรับชายฝั่งตะวันตกของนอร์เวย์คือ 1.52; สำหรับสหราชอาณาจักร - 1.25; สำหรับเยอรมนี - 1.15; สำหรับออสเตรเลีย - 1.13; สำหรับชายฝั่งที่ค่อนข้างเรียบของแอฟริกาใต้ - 1.02 และสุดท้าย สำหรับวงกลมที่เรียบสนิท - 1.0

เมื่อดูที่เศษส่วน คุณจะไม่สามารถบอกได้ว่าขนาดของมันคืออะไร และเหตุผลไม่ได้อยู่ในความซับซ้อนทางเรขาคณิตของชิ้นส่วนชิ้นส่วนนั้นง่ายมาก แต่ในความเป็นจริงมิติเศษส่วนไม่เพียงสะท้อนรูปร่างของชิ้นส่วนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงรูปแบบของการแปลงชิ้นส่วนในกระบวนการสร้าง เศษส่วน มิติเศษส่วนจะถูกลบออกจากแบบฟอร์ม และด้วยเหตุนี้ ค่าของมิติเศษส่วนจึงยังคงไม่แปรเปลี่ยน มันเหมือนกันสำหรับเศษส่วนใดๆ ของเศษส่วนในทุกขนาดการดู ไม่สามารถ "จับด้วยนิ้ว" แต่สามารถคำนวณได้

ทำซ้ำเศษส่วนการทำซ้ำสามารถสร้างแบบจำลองด้วยสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้น สมการเชิงเส้นถูกกำหนดโดยความสอดคล้องกันของตัวแปร: แต่ละค่า เอ็กซ์ตรงกับหนึ่งค่าเดียวเท่านั้น ที่และในทางกลับกัน. ตัวอย่างเช่น สมการ x + y = 1 เป็นแบบเส้นตรง พฤติกรรมของฟังก์ชันเชิงเส้นถูกกำหนดโดยสมบูรณ์ ซึ่งถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้นโดยเฉพาะ พฤติกรรมของฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้นนั้นไม่คลุมเครือนัก เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขที่แตกต่างกันสามารถนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันได้ บนพื้นฐานนี้ การวนซ้ำของการดำเนินการซ้ำจะปรากฏในสองรูปแบบที่แตกต่างกัน มันสามารถมีลักษณะของการอ้างอิงเชิงเส้น เมื่อในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณมีการกลับไปสู่เงื่อนไขเริ่มต้น นี่คือ "การวนซ้ำรูปแบบ" การผลิตแบบอนุกรมในสายการประกอบคือ "การวนซ้ำรูปแบบ" การวนซ้ำในรูปแบบของการอ้างอิงเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานะขั้นกลางของวิวัฒนาการของระบบ ที่นี่ การทำซ้ำใหม่แต่ละครั้งจะเริ่มต้น "จากเตา" ค่อนข้างแตกต่างกันเมื่อการวนซ้ำมีรูปแบบการวนซ้ำ กล่าวคือ ผลลัพธ์ของขั้นตอนการวนซ้ำก่อนหน้าจะกลายเป็นเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับขั้นตอนถัดไป

การเรียกซ้ำสามารถแสดงด้วยชุด Fibonacci ซึ่งแสดงในรูปแบบของลำดับ Girard:

คุณ n +2 = คุณ n +1 + คุณ n

ผลลัพธ์คือตัวเลขฟีโบนัชชี:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

ในตัวอย่างนี้ ค่อนข้างชัดเจนว่ามีการใช้ฟังก์ชันกับตัวเองโดยไม่อ้างอิงค่าเริ่มต้น มันเรียงตัวเลื่อนไปตามชุด Fibonacci และผลลัพธ์แต่ละรายการของการวนซ้ำครั้งก่อนจะกลายเป็นค่าเริ่มต้นสำหรับค่าถัดไป มันเป็นการทำซ้ำที่เกิดขึ้นในการสร้างรูปแบบเศษส่วน

ให้เราแสดงวิธีการทำซ้ำเศษส่วนในอัลกอริทึมสำหรับการสร้าง "ผ้าเช็ดปาก Sierpinski" (โดยใช้วิธีตัดและวิธี CIF)

วิธีการตัดใช้สามเหลี่ยมด้านเท่ากับด้าน ร. ในขั้นตอนแรกเราตัดตรงกลางเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ากลับด้านโดยมีความยาวด้านข้าง ร 1 = ร 0/2 จากขั้นตอนนี้ เราได้สามเหลี่ยมด้านเท่าสามอันที่มีความยาวด้าน ร 1 = ร 0 /2 อยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมเดิม (รูปที่ 2)

ในขั้นตอนที่สอง ในแต่ละรูปสามเหลี่ยมทั้งสามที่เกิดขึ้น เราตัดรูปสามเหลี่ยมคว่ำที่มีความยาวด้านข้างออก ร 2 = ร 1 /2 = ร 0 /4. ผลลัพธ์ - สามเหลี่ยม 9 อันที่มีความยาวด้าน ร 2 = ร 0 /4. เป็นผลให้รูปร่างของ "ผ้าเช็ดปาก Sierpinski" ค่อยๆ ชัดเจนยิ่งขึ้น ความตรึงตราเกิดขึ้นในทุกย่างก้าว การแก้ไขก่อนหน้านี้ทั้งหมดเป็นแบบ "ลบ"

วิธี SIF หรือวิธีระบบของฟังก์ชันวนซ้ำของ Barnsleyกำหนด: สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีพิกัดของมุม A (0.0), B (1.0), C (1/2, √3/2) Z 0 เป็นจุดโดยพลการภายในสามเหลี่ยมนี้ (รูปที่ 3) เราใช้ลูกเต๋าซึ่งด้านข้างมีตัวอักษร A, B และ C สองตัว

ขั้นตอนที่ 1 โยนกระดูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวอักษรแต่ละตัวคือ 2/6 = 1/3

หากตัวอักษร A หายไปเราจะสร้างส่วน z 0 -A ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 1
หากตัวอักษร B หายไปเราจะสร้างส่วน z 0 -B ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 1
หากตัวอักษร C หลุดออกมาเราจะสร้างส่วน z 0 -C ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 1

ขั้นตอนที่ 2 โยนกระดูกอีกครั้ง

หากตัวอักษร A หายไปเราจะสร้างส่วน z 1 -A ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 2
หากตัวอักษร B หายไปเราจะสร้างส่วน z 1 -B ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 2
หากตัวอักษร C หลุดออกมาเราจะสร้างส่วน z 1 -C ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 2

ทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งเราจะได้คะแนน z 3 , z 4 , …, z n . ความไม่ชอบมาพากลของแต่ละคนคือจุดนั้นอยู่กึ่งกลางจากจุดก่อนหน้าถึงจุดสุดยอดที่เลือกโดยพลการ ตอนนี้ถ้าเราทิ้งจุดเริ่มต้นเช่นจาก z 0 ถึง z 100 จากนั้นส่วนที่เหลือจะมีจำนวนมากพอสมควรสร้างโครงสร้าง "Sierpinski napkin" ยิ่งมีจุดมาก ยิ่งทำซ้ำมาก เศษส่วน Sierpinski จะปรากฏต่อผู้สังเกตได้ชัดเจนยิ่งขึ้น และแม้ว่ากระบวนการจะดำเนินไป แต่ก็ดูเหมือนเป็นการสุ่ม (ขอบคุณลูกเต๋า) "ผ้าเช็ดปาก Sierpinski" เป็นตัวดึงดูดกระบวนการชนิดหนึ่ง นั่นคือ ตัวเลขที่เส้นทางการเคลื่อนที่ทั้งหมดสร้างขึ้นในกระบวนการนี้โดยมีแนวโน้มการวนซ้ำจำนวนมากพอสมควร การแก้ไขภาพในกรณีนี้เป็นกระบวนการที่สะสมและสะสม แต่ละจุดอาจไม่ตรงกับจุดของเศษส่วน Sierpinski แต่แต่ละจุดที่ตามมาของกระบวนการนี้ซึ่งจัดโดย "โดยบังเอิญ" จะถูกดึงดูดให้เข้าใกล้จุดของ "Sierpinski napkin" มากขึ้นเรื่อย ๆ

ลูปข้อเสนอแนะผู้ก่อตั้งไซเบอร์เนติกส์ Norbert Wiener ยกตัวอย่างนายท้ายเรือเพื่ออธิบายวงจรป้อนกลับ นายท้ายเรือต้องอยู่ในเส้นทางและคอยประเมินว่าเรือแล่นไปตามเส้นทางได้ดีเพียงใด ถ้านายท้ายเรือเห็นว่าเรือกำลังเบี่ยง เขาจะหมุนหางเสือเพื่อกลับไปสู่เส้นทางที่กำหนด หลังจากนั้นครู่หนึ่งเขาก็ประเมินและแก้ไขทิศทางการเคลื่อนไหวอีกครั้งโดยใช้พวงมาลัย ดังนั้นการนำทางจะดำเนินการโดยใช้การวนซ้ำ การทำซ้ำ และการประมาณการเคลื่อนที่ของเรือไปยังเส้นทางที่กำหนดอย่างต่อเนื่อง

แผนภาพวงจรป้อนกลับทั่วไปจะแสดงในรูปที่ 4 การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ตัวแปร (ทิศทางของเรือ) และพารามิเตอร์ควบคุม C (เส้นทางของเรือ)

พิจารณาการทำแผนที่ "Bernoulli shift" ให้บางจำนวนที่อยู่ในช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 1 ถูกเลือกเป็นสถานะเริ่มต้น ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง:

x 0 \u003d 0.01011010001010011001010 ...

ขั้นตอนหนึ่งของวิวัฒนาการตามเวลาคือลำดับของเลขศูนย์และเลขหนึ่งจะเลื่อนไปทางซ้ายทีละตำแหน่ง และตัวเลขที่อยู่ด้านซ้ายของจุดทศนิยมจะถูกยกเลิก:

x 1 \u003d 0.1011010001010011001010 ...

x 2 \u003d 0.011010001010011001010 ...

x 3 \u003d 0.11010001010011001010 ...

โปรดทราบว่าหากตัวเลขเดิม x 0เหตุผลแล้วในกระบวนการของการวนซ้ำค่า เอ็กซ์นเข้าสู่วงโคจรเป็นระยะ ตัวอย่างเช่น สำหรับหมายเลขเริ่มต้น 11/24 ในกระบวนการวนซ้ำ เราได้รับชุดของค่า:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

ถ้าค่าเดิม x0เป็นอตรรกยะ การแมปจะไม่มีวันถึงโหมดธาตุ ช่วงเวลาของค่าเริ่มต้น x 0 ∈ มีจุดอตรรกยะจำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุดและจุดอตรรกยะจำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้น ความหนาแน่นของวงโคจรคาบจะเท่ากับความหนาแน่นของวงโคจรที่ไม่เคยไปถึงระบอบการปกครองคาบ ในละแวกใกล้เคียงของค่าตรรกยะ x0มีค่าอตรรกยะของพารามิเตอร์เริ่มต้น x' 0ในสถานะของกิจการนี้ความไวเล็กน้อยต่อ เงื่อนไขเริ่มต้น. นี่คือ จุดเด่นว่าระบบอยู่ในสถานะของความสับสนอลหม่านแบบไดนามิก

ลูปข้อเสนอแนะเบื้องต้นย้อนกลับคือ เงื่อนไขที่จำเป็นและผลที่ตามมาของการมองทุกด้านที่ทำให้ตัวเองประหลาดใจ ไอคอนของลูปย้อนกลับอาจเป็นแถบ Möbius ซึ่งด้านล่างจะผ่านเข้าสู่ด้านบนด้วยวงกลมแต่ละวง ด้านในจะกลายเป็นด้านนอกและในทางกลับกัน การสะสมของความแตกต่างระหว่างกระบวนการย้อนกลับ ขั้นแรกจะนำภาพออกจากต้นฉบับ แล้วจึงกลับไปสู่ภาพนั้น ในทางตรรกะ วงจรย้อนกลับแสดงโดยความขัดแย้งของเอพิเมนิเดส: "ชาวครีตันทั้งหมดเป็นคนโกหก" แต่ Epimenides เองเป็นชาวครีต

ห่วงแปลกสาระสำคัญแบบไดนามิกของปรากฏการณ์ของการวนซ้ำที่แปลกประหลาดคือภาพที่เปลี่ยนไปและแตกต่างจากภาพต้นฉบับมากขึ้นเรื่อย ๆ กลับสู่ภาพต้นฉบับในกระบวนการเปลี่ยนรูปจำนวนมาก แต่ไม่เคยทำซ้ำอย่างแน่นอน อธิบายปรากฏการณ์นี้ Hofstadter แนะนำคำว่า "ห่วงแปลก" ในหนังสือ เขาสรุปว่าทั้ง Escher, Bach และ Gödel ค้นพบหรือให้แม่นยำกว่านั้นคือใช้ลูปแปลกๆ ในการทำงานและความคิดสร้างสรรค์ในทัศนศิลป์ ดนตรี และคณิตศาสตร์ตามลำดับ Escher ใน Metamorphoses ค้นพบการเชื่อมโยงที่แปลกประหลาดของระนาบต่างๆ ของความเป็นจริง รูปแบบของมุมมองทางศิลปะรูปแบบหนึ่งจะถูกเปลี่ยนให้เป็นรูปแบบของมุมมองทางศิลปะรูปแบบอื่น (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. Maurits Escher วาดมือ 2491

ความแปลกประหลาดดังกล่าวแสดงออกในทางที่แปลกประหลาดในดนตรี หนึ่งในหลักการของการเสนอขายดนตรีของ Bach ( แคนนอนต่อโตนอส- วรรณยุกต์แคนนอน) ถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่จุดสิ้นสุดที่ชัดเจนผ่านเข้าสู่จุดเริ่มต้นอย่างราบรื่นโดยไม่คาดคิด แต่มีการเปลี่ยนแปลงของโทนเสียง การปรับต่อเนื่องเหล่านี้ทำให้ผู้ฟังสูงขึ้นและสูงขึ้นจากระดับเสียงเดิม อย่างไรก็ตาม น่าอัศจรรย์ หลังจากการมอดูเลตหกครั้ง เราเกือบจะกลับมาแล้ว ตอนนี้เสียงทั้งหมดดังขึ้นหนึ่งอ็อกเทฟมากกว่าตอนเริ่มต้น สิ่งที่แปลกเพียงอย่างเดียวก็คือ เมื่อเราไต่ระดับขึ้นไปตามระดับของลำดับชั้นหนึ่งๆ จู่ๆ เราก็พบว่าตัวเองเกือบจะอยู่ในที่เดียวกับที่เราเริ่มต้นการเดินทาง - กลับมาโดยไม่ทำซ้ำ.

เคิร์ต โกเดลค้นพบลูปแปลกๆ ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่และเชี่ยวชาญที่สุดสาขาหนึ่ง นั่นคือทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทของ Gödel มองเห็นแสงสว่างเป็นครั้งแรกในฐานะทฤษฎีบทที่ 6 ในบทความปี 1931 ของเขาเรื่อง "Only undecidable propositions" ใน Principle Mathematica ทฤษฎีบทระบุต่อไปนี้: สูตรเชิงสัจพจน์ที่สอดคล้องกันทั้งหมดของทฤษฎีจำนวนประกอบด้วยประพจน์ที่ตัดสินใจไม่ได้ การตัดสินของทฤษฎีจำนวนไม่ได้กล่าวถึงการตัดสินของทฤษฎีจำนวน พวกเขาไม่มีอะไรมากไปกว่าการตัดสินทฤษฎีจำนวน มีการวนซ้ำที่นี่ แต่ไม่มีความแปลกประหลาด ลูปแปลก ๆ ซ่อนอยู่ในหลักฐาน

ดึงดูดแปลก Attractor (จากภาษาอังกฤษ. ดึงดูดดึงดูด) จุดหรือ สายปิดซึ่งดึงดูดเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพฤติกรรมของระบบ ตัวดึงดูดนั้นคงที่ นั่นคือ ในระยะยาว พฤติกรรมเดียวที่เป็นไปได้คือตัวดึงดูด ส่วนอย่างอื่นนั้นชั่วคราว ตัวดึงดูดเป็นวัตถุเชิงพื้นที่และชั่วขณะซึ่งครอบคลุมกระบวนการทั้งหมด โดยไม่ใช่ทั้งสาเหตุและผลกระทบของมัน มันถูกสร้างขึ้นโดยระบบที่มีระดับความเป็นอิสระในจำนวนจำกัดเท่านั้น ตัวดึงดูดอาจเป็นจุด วงกลม ทอรัส และแฟร็กทัล ที่ กรณีสุดท้ายตัวดึงดูดเรียกว่า "แปลก" (รูปที่ 6)

ตัวดึงดูดจุดอธิบายถึงสถานะที่เสถียรของระบบ ในเฟสสเปซ เป็นจุดที่เกิดวิถีเฉพาะที่ของ "โหนด" "โฟกัส" หรือ "แซดเดิล" นี่คือลักษณะการทำงานของลูกตุ้ม: ใด ๆ ความเร็วเริ่มต้นและตำแหน่งเริ่มต้นใด ๆ หลังจากเวลาเพียงพอภายใต้แรงเสียดทาน ลูกตุ้มจะหยุดและเข้าสู่สภาวะสมดุลที่เสถียร ตัวดึงดูดแบบวงกลม (เป็นวัฏจักร) คือการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาเหมือนลูกตุ้มในอุดมคติ (โดยไม่มีแรงเสียดทาน) เป็นวงกลม

สิ่งดึงดูดที่แปลกประหลาด ( ดึงดูดแปลก ๆ )ดูแปลกแค่ภายนอก แต่คำว่า " ตัวดึงดูดที่แปลกประหลาด” แพร่กระจายทันทีหลังจากบทความเรื่อง “The Nature of Turbulence” ในปี 1971 โดย David Ruel และ Dutchman Floris Takens (ดูเพิ่มเติม) Ruelle และ Takens สงสัยว่าสิ่งดึงดูดใจใดมีลักษณะเฉพาะที่ถูกต้อง: ความมั่นคง จำนวนองศาอิสระที่จำกัด และความไม่เป็นช่วงเวลา จาก จุดเรขาคณิตดูคำถามที่ดูเหมือนปริศนาบริสุทธิ์ วิถีโคจรที่ขยายออกไปอย่างไม่สิ้นสุดควรมีรูปแบบใดในพื้นที่จำกัด เพื่อไม่ให้เกิดซ้ำหรือตัดกัน ในการสร้างแต่ละจังหวะ วงโคจรต้องเป็นเส้นยาวไม่สิ้นสุด พื้นที่จำกัดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือกลืนตัวเอง (รูปที่ 7)

ในปี 1971 มีภาพร่างของตัวดึงดูดดังกล่าวในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ Eduard Lorentz จัดทำเป็นภาคผนวกของบทความในปี 1963 ของเขาเกี่ยวกับความโกลาหลที่กำหนดขึ้น ตัวดึงดูดนี้คงที่ ไม่เป็นระยะ มีองศาอิสระเพียงเล็กน้อย และไม่เคยข้ามตัวเอง หากสิ่งนี้เกิดขึ้น และเขากลับไปยังจุดที่เขาผ่านไปแล้ว การเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้นซ้ำอีกในอนาคต สร้างแรงดึงดูดแบบวงแหวน แต่สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น

ความแปลกประหลาดของแรงดึงดูดอยู่ที่ Ruel เชื่อในสัญญาณสามอย่างที่ไม่เหมือนกัน แต่ในทางปฏิบัติมีอยู่ร่วมกัน:

เศษส่วน (การซ้อน, ความเหมือน, ความสม่ำเสมอ);
การกำหนด (ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น);
ภาวะเอกฐาน (จำนวนจำกัดของพารามิเตอร์ที่กำหนด)

ส่วนที่ 3 ความสว่างในจินตนาการของรูปแบบเศษส่วน

ตัวเลขในจินตนาการ ภาพเฟส และความน่าจะเป็นเรขาคณิตเศษส่วนมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีจำนวนจินตภาพ ภาพเฟสไดนามิก และทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีจำนวนจินตภาพยอมรับว่ามี รากที่สองจากลบหนึ่ง Gerolamo Cardano ในงานของเขา "The Great Art" ("Ars Magna", 1545) นำเสนอคำตอบทั่วไปของสมการลูกบาศก์ z 3 + pz + q = 0 Cardano ใช้ตัวเลขจินตภาพเป็นวิธีการทางด้านเทคนิคเพื่อแสดงรากเหง้าของ สมการ เขาสังเกตเห็นความแปลกประหลาดที่เขาแสดงให้เห็น สมการง่ายๆ x 3 \u003d 15x + 4 สมการนี้มีคำตอบเดียวที่ชัดเจน: x \u003d 4 อย่างไรก็ตาม สูตรการหาข้อสรุปจะให้ผลลัพธ์ที่แปลก ประกอบด้วยรากของจำนวนลบ:

ราฟาเอล บอมเบลลีในหนังสือของเขาเกี่ยวกับพีชคณิต ("L'Algebra", 1560) ชี้ให้เห็นว่า = 2 ± i และสิ่งนี้ทำให้เขาได้รับรากที่แท้จริง x = 4 ในกรณีเช่นนี้ เมื่อจำนวนเชิงซ้อนมารวมกัน จะได้จำนวนจริง ได้รับราก และจำนวนเชิงซ้อนทำหน้าที่เป็นความช่วยเหลือทางเทคนิคในกระบวนการรับคำตอบของสมการลูกบาศก์

นิวตันเชื่อว่าคำตอบที่มีรากเป็นลบ 1 ควรถือว่า "ไม่มี" ความรู้สึกทางกายภาพ' และทิ้ง ในศตวรรษที่ XVII-XVIII ความเข้าใจได้ก่อตัวขึ้นว่าบางสิ่งในจินตภาพ จิตวิญญาณ จินตภาพนั้นไม่จริงน้อยกว่าทุกสิ่งจริงที่นำมารวมกัน เรายังสามารถระบุวันที่แน่นอนได้ว่าเป็นวันที่ 10 พฤศจิกายน ค.ศ. 1619 เมื่อเดส์การตส์กำหนดแถลงการณ์ของความคิดใหม่ "cogito ergo sum" จากนี้ไป ความคิดคือความจริงที่แน่นอนและไม่ต้องสงสัย: “ถ้าฉันคิด แสดงว่าฉันมีอยู่จริง”! ตอนนี้ความคิดที่แม่นยำยิ่งขึ้นถูกมองว่าเป็นความจริง แนวคิดของ Descartes เกี่ยวกับระบบพิกัดมุมฉากด้วยจำนวนจินตภาพทำให้สมบูรณ์ ตอนนี้เป็นไปได้ที่จะเติมจำนวนจินตภาพเหล่านี้ด้วยความหมาย

ในศตวรรษที่ 19 ผลงานของ Euler, Argan, Cauchy, Hamilton ได้พัฒนาเครื่องมือเลขคณิตสำหรับการทำงานกับจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของ X + iY โดยที่ X และ Y เป็นจำนวนจริงที่เราคุ้นเคย และ ผมหน่วยจินตภาพ (โดยพื้นฐานแล้วมันคือ √–1) จำนวนเชิงซ้อนแต่ละจำนวนสอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด (X, Y) บนระนาบเชิงซ้อนที่เรียกว่า

แนวคิดสำคัญประการที่สอง ภาพเหมือนของระบบไดนามิก ก่อตัวขึ้นในศตวรรษที่ 20 หลังจากที่ Einstein แสดงให้เห็นว่าทุกอย่างเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากันเมื่อเทียบกับแสง แนวคิดของความสามารถในการแสดงพฤติกรรมไดนามิกของระบบในรูปแบบของเส้นเรขาคณิตที่เยือกแข็ง ซึ่งเรียกว่าภาพเหมือนเฟสของระบบไดนามิก ความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน

ลองอธิบายด้วยตัวอย่างลูกตุ้ม การทดลองครั้งแรกกับลูกตุ้ม Jean Foucault ดำเนินการในปี พ.ศ. 2394 ในห้องใต้ดินจากนั้นในหอดูดาวปารีสจากนั้นจึงอยู่ภายใต้โดมของวิหารแพนธีออน ในที่สุดในปี ค.ศ. 1855 ลูกตุ้มของฟูโกต์ก็ถูกแขวนไว้ใต้โดมของโบสถ์แซงต์-มาร์แตง-เด-ช็องส์ในปารีส ความยาวของเชือกของลูกตุ้ม Foucault คือ 67 ม. น้ำหนักของ Kettlebell คือ 28 กก. จากระยะไกลลูกตุ้มดูเหมือนจุด จุดนั้นอยู่นิ่งเสมอ ใกล้เข้ามา เราแยกแยะระบบที่มีวิถีทั่วไปสามแบบ: ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก (sinϕ ≈ ϕ), ลูกตุ้ม (แกว่งไปมา), ใบพัด (หมุน)

เมื่อผู้สังเกตการณ์เห็นรูปแบบการเคลื่อนที่ของลูกบอลแบบใดแบบหนึ่งจากสามแบบที่เป็นไปได้ นักวิเคราะห์ที่แยกตัวออกจากกระบวนการสามารถสันนิษฐานได้ว่าลูกบอลมีการเคลื่อนที่แบบใดแบบหนึ่งจากสามแบบ นี้สามารถแสดงบนระนาบเดียว มีความจำเป็นต้องตกลงว่าเราจะย้าย "ลูกบอลบนเธรด" ไปยังพื้นที่เฟสนามธรรมที่มีพิกัดมากเท่ากับจำนวนองศาอิสระที่ระบบพิจารณา ในกรณีนี้เรากำลังพูดถึงความเร็วอิสระสองระดับ โวลต์และมุมเอียงของด้ายกับลูกบอลไปยังแนวตั้ง ϕ ในพิกัด ϕ และ v เส้นทางการเคลื่อนที่ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์เป็นระบบของวงกลมที่มีศูนย์กลาง เมื่อมุม ϕ เพิ่มขึ้น วงกลมเหล่านี้จะกลายเป็นวงรี และเมื่อ ϕ = ± π การปิดวงรีจะหายไป ซึ่งหมายความว่าลูกตุ้มเปลี่ยนเป็นโหมดใบพัด: v = คงที่(รูปที่ 8)

ข้าว. 8. ลูกตุ้ม: a) วิถีการเคลื่อนที่ในเฟสสเปซของลูกตุ้มในอุดมคติ; b) วิถีการเคลื่อนที่ในเฟสสเปซของลูกตุ้มแกว่งด้วยการทำให้หมาด ๆ c) รูปเฟส

อาจไม่มีความยาว ระยะเวลา หรือการเคลื่อนไหวในพื้นที่เฟส ที่นี่ทุกการกระทำจะได้รับล่วงหน้า แต่ไม่ใช่ทุกการกระทำที่เป็นจริง จากรูปทรงเรขาคณิต มีเพียงโทโพโลยีเท่านั้นที่ยังคงอยู่ แทนที่จะเป็นการวัด พารามิเตอร์ แทนที่จะเป็นมิติ มิติ ที่นี่ ระบบไดนามิกใด ๆ จะมีรอยประทับของเฟสบุคคลที่เป็นเอกลักษณ์ของตัวเอง และในหมู่พวกเขามีภาพเฟสที่ค่อนข้างแปลก: มีความซับซ้อนถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์เดียว สมน้ำสมเนื้อ ไม่สมส่วน; มีความต่อเนื่องไม่ต่อเนื่องกัน ภาพระยะแปลก ๆ ดังกล่าวเป็นลักษณะของระบบที่มีการกำหนดค่าเศษส่วนของตัวดึงดูด ความไม่ชัดเจนของจุดศูนย์กลางของแรงดึงดูด (แรงดึงดูด) สร้างผลกระทบของการกระทำเชิงควอนตัม ผลกระทบของช่องว่างหรือการกระโดด ในขณะที่วิถีโคจรยังคงต่อเนื่องและสร้างรูปแบบขอบเขตเดียวของแรงดึงดูดที่แปลกประหลาด

การจำแนกประเภทของเศษส่วนแฟร็กทัลมีไฮโปสเตสสามแบบ: แบบเป็นทางการ เชิงปฏิบัติ และเชิงสัญลักษณ์ ซึ่งตั้งฉากกัน และนั่นหมายความว่าแฟร็กทัลรูปแบบเดียวกันสามารถรับได้โดยใช้อัลกอริธึมที่แตกต่างกัน และขนาดแฟร็กทัลจำนวนเท่ากันอาจปรากฏในแฟร็กทัลที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง โดยคำนึงถึงคำพูดเหล่านี้ เราจำแนกเศษส่วนตามลักษณะที่เป็นสัญลักษณ์ เป็นทางการ และใช้งานได้:

ในเชิงสัญลักษณ์ ลักษณะมิติของเศษส่วนสามารถเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้
ตามหลักการแล้ว แฟร็กทัลสามารถเชื่อมต่อกันได้เหมือนใบไม้หรือเมฆ และแยกออกจากกันได้เหมือนฝุ่น
บนพื้นฐานการปฏิบัติงาน เศษส่วนสามารถแบ่งออกเป็นปกติและสุ่ม

แฟร็กทัลปกติถูกสร้างขึ้นตามอัลกอริทึมที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด กระบวนการก่อสร้างสามารถย้อนกลับได้ คุณสามารถทำซ้ำการดำเนินการทั้งหมดในลำดับย้อนกลับ โดยลบรูปภาพใดๆ ที่สร้างขึ้นในกระบวนการของอัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นทีละจุด อัลกอริทึมเชิงกำหนดอาจเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้นก็ได้

แฟร็กทัลสโตแคสติกซึ่งคล้ายกันในความหมายสุ่มเกิดขึ้นเมื่ออยู่ในอัลกอริทึมสำหรับการก่อสร้าง ในกระบวนการของการวนซ้ำ พารามิเตอร์บางตัวจะเปลี่ยนแบบสุ่ม คำว่า "สุ่ม" มาจากคำภาษากรีก สุ่ม- การคาดคะเน, การคาดคะเน. กระบวนการสโตแคสติกเป็นกระบวนการที่ไม่สามารถทำนายธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงได้อย่างแม่นยำ แฟร็กทัลเกิดจากความต้องการของธรรมชาติ (พื้นผิวรอยเลื่อน หิน, เมฆ, กระแสที่ปั่นป่วน, โฟม, เจล, รูปทรงของอนุภาคเขม่า, การเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้นและระดับแม่น้ำ ฯลฯ ) นั้นปราศจากความคล้ายคลึงกันทางเรขาคณิต แต่สร้างซ้ำอย่างดื้อรั้นในแต่ละส่วนซึ่งมีคุณสมบัติทางสถิติของทั้งหมดโดยเฉลี่ย คอมพิวเตอร์ช่วยให้คุณสร้างลำดับของตัวเลขสุ่มหลอกและจำลองอัลกอริทึมและรูปแบบสุ่มได้ทันที

เศษส่วนเชิงเส้นแฟร็กทัลเชิงเส้นได้รับการตั้งชื่อตามเหตุผลที่สร้างขึ้นตามอัลกอริทึมเชิงเส้น แฟร็กทัลเหล่านี้มีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง ไม่บิดเบี้ยวจากการเปลี่ยนแปลงของมาตราส่วนใดๆ และไม่สามารถแยกความแตกต่างได้ที่จุดใดจุดหนึ่ง ในการสร้างแฟร็กทัลดังกล่าว การระบุฐานและแฟรกเมนต์ก็เพียงพอแล้ว องค์ประกอบเหล่านี้จะถูกทำซ้ำหลายครั้ง ซูมออกไปจนไม่มีที่สิ้นสุด

ฝุ่นของ Kantorในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor (1845–1918) ได้เสนอชุดตัวเลขแปลก ๆ ระหว่าง 0 ถึง 1 ให้กับชุมชนคณิตศาสตร์ ชุดนี้ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนไม่สิ้นสุดในช่วงเวลาที่กำหนด และยิ่งไปกว่านั้น มิติศูนย์ ลูกศรที่ยิงแบบสุ่มแทบจะไม่โดนอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของชุดนี้

ก่อนอื่นคุณต้องเลือกส่วนของความยาวหน่วย (ขั้นตอนแรก: n = 0) จากนั้นแบ่งออกเป็นสามส่วนแล้วลบส่วนที่สามตรงกลางออก (n = 1) นอกจากนี้ เราจะทำเช่นเดียวกันกับแต่ละส่วนที่เป็นรูปเป็นร่าง อันเป็นผลมาจากการดำเนินการซ้ำ ๆ จำนวนไม่ จำกัด เราได้ชุด "ฝุ่นของคันทอร์" ที่ต้องการ ตอนนี้ไม่มีการต่อต้านระหว่างความไม่ต่อเนื่องและการหารไม่สิ้นสุด “ฝุ่นคันทอร์” เป็นทั้งสองอย่าง (ดูรูปที่ 1) "ต้นเสียงฝุ่น" เป็นเศษส่วน มิติเศษส่วนคือ 0.6304…

หนึ่งในอะนาล็อกสองมิติของชุดคันทอร์หนึ่งมิติได้รับการอธิบายโดย Vaclav Sierpinski นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ เรียกว่า "พรมคันทอร์" หรือเรียกบ่อยกว่า "พรมเซียร์ปินสกี้" เขาเป็นเหมือนตัวเองอย่างเคร่งครัด เราสามารถคำนวณมิติเศษส่วนเป็น ln8/lnЗ = 1.89… (รูปที่ 9)

เส้นเติมเครื่องบินพิจารณาแฟร็กทัลปกติทั้งตระกูล ซึ่งเป็นเส้นโค้งที่สามารถเติมเต็มระนาบได้ ไลบ์นิซยังกล่าวด้วยว่า: “หากเราคิดว่ามีคนเขียนจุดจำนวนมากบนกระดาษโดยบังเอิญ<… >ฉันบอกว่าเป็นไปได้ที่จะเปิดเผยค่าคงที่และสมบูรณ์ภายใต้กฎบางอย่าง เส้นเรขาคณิตที่จะผ่านจุดทั้งหมด คำกล่าวนี้ของไลบ์นิซขัดแย้งกับความเข้าใจแบบยุคลิดของมิติว่าเป็นจำนวนพารามิเตอร์ที่น้อยที่สุดซึ่งกำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศโดยไม่ซ้ำกัน หากไม่มีหลักฐานที่แน่ชัด แนวคิดเหล่านี้ของไลบ์นิซยังคงอยู่นอกกรอบของความคิดทางคณิตศาสตร์

เส้นโค้งถั่วลิสงแต่ในปี พ.ศ. 2433 จูเซปเป เปอาโน นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีได้สร้างเส้นที่ครอบคลุมพื้นที่ราบเรียบโดยผ่านจุดทั้งหมด การสร้าง "Peano curve" แสดงในรูปที่ สิบ.

ในขณะที่มิติทอพอโลยีของเส้นโค้ง Peano เท่ากับหนึ่ง มิติเศษส่วนเท่ากับ d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2 ในกรอบของเรขาคณิตเศษส่วน ความขัดแย้งได้รับการแก้ไขใน ด้วยวิธีธรรมชาติที่สุด เส้นเหมือนใยแมงมุมสามารถครอบคลุมระนาบได้ ในกรณีนี้จะมีการสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง: แต่ละจุดของเส้นตรงกับจุดบนระนาบ แต่การติดต่อนี้ไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะแต่ละจุดบนระนาบตรงกับหนึ่งจุดขึ้นไปบนเส้น

ฮิลเบิร์ตโค้งหนึ่งปีต่อมา ในปี พ.ศ. 2434 บทความของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน David Hilbert (พ.ศ. 2405-2486) ได้นำเสนอเส้นโค้งที่ครอบคลุมระนาบโดยไม่มีจุดตัดหรือเส้นสัมผัส โครงสร้างของ "Hilbert curve" แสดงในรูปที่ สิบเอ็ด

เส้นโค้ง Hilbert เป็นตัวอย่างแรกของเส้นโค้ง FASS (การเติมช่องว่าง การหลีกเลี่ยงตัวเอง การเติมช่องว่างแบบเรียบง่าย และการหลีกเลี่ยงตัวเองแบบการเติมช่องว่าง แบบเรียบง่าย และเส้นที่คล้ายกัน) มิติเศษส่วนของเส้น Gilbert เช่นเดียวกับเส้นโค้ง Peano เท่ากับสอง

เทป Minkowski Herman Minkowski เพื่อนสนิทของ Hilbert ตั้งแต่สมัยเรียน ได้สร้างเส้นโค้งที่ไม่ครอบคลุมระนาบทั้งหมด แต่มีรูปร่างคล้ายริบบิ้น เมื่อสร้าง "เทป Minkowski" ในแต่ละขั้นตอน แต่ละส่วนจะถูกแทนที่ด้วยเส้นแบ่งที่ประกอบด้วย 8 ส่วน ในขั้นตอนต่อไป กับแต่ละส่วนใหม่ การดำเนินการจะทำซ้ำในระดับ 1:4 มิติเศษส่วนของแถบ Minkowski คือ d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1.5

แฟร็กทัลที่ไม่เชิงเส้นการทำแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่ง่ายที่สุดของระนาบเชิงซ้อนบนตัวมันเองคือการทำแผนที่ Julia z g z 2 + C ที่พิจารณาในส่วนแรก เป็นการคำนวณแบบวงปิดซึ่งผลลัพธ์ของรอบก่อนหน้าจะถูกคูณด้วยตัวมันเองด้วยการบวกค่าที่แน่นอน คงที่เช่น ลูปป้อนกลับ (รูปที่ 13)

ในกระบวนการวนซ้ำสำหรับค่าคงที่ของค่าคงที่ C ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นโดยพลการ Z 0 , จุด Z n ที่ น-> ∞ สามารถเป็นได้ทั้งแบบจำกัดและแบบไม่จำกัด ทุกอย่างขึ้นอยู่กับตำแหน่งของ Z 0 ที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด z = 0 หากค่าที่คำนวณได้มีจำกัด ก็จะรวมอยู่ในชุดจูเลีย ถ้ามันไปที่อินฟินิตี้ มันจะถูกตัดออกจากชุดจูเลีย

แบบฟอร์มที่ได้รับหลังจากใช้แผนที่จูเลียกับจุดต่างๆ ของพื้นผิวบางส่วนถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ C โดยไม่ซ้ำกัน สำหรับ C ขนาดเล็ก สิ่งเหล่านี้คือลูปที่เชื่อมต่ออย่างง่าย สำหรับ C ขนาดใหญ่ สิ่งเหล่านี้คือกลุ่มของจุดที่ขาดการเชื่อมต่อแต่ได้รับคำสั่งอย่างเคร่งครัด โดยทั่วไปแล้ว Julia ทุกรูปแบบสามารถแบ่งออกเป็นสองตระกูลใหญ่ - การแมปที่เชื่อมต่อและตัดการเชื่อมต่อ อดีตคล้ายกับ "เกล็ดหิมะของ Koch" ส่วนหลังคือ "ฝุ่นของคันทอร์"

ความหลากหลายของรูปร่างของจูเลียทำให้นักคณิตศาสตร์งุนงงเมื่อพวกเขาสังเกตเห็นรูปร่างเหล่านี้บนจอคอมพิวเตอร์เป็นครั้งแรก ความพยายามที่จะจัดอันดับความหลากหลายนี้เป็นไปตามธรรมชาติโดยพลการมากและมาจากความจริงที่ว่าพื้นฐานสำหรับการจำแนกประเภทของแผนที่จูเลียคือชุดแมนเดลบรอตซึ่งมีขอบเขตตามที่ปรากฎนั้นคล้ายกับแผนที่จูเลียโดยไม่แสดงอาการ

ด้วย C = 0 การทำซ้ำของการแมป Julia จะให้ลำดับของตัวเลข z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 ... เป็นผลให้เป็นไปได้สามตัวเลือก:

สำหรับ |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
สำหรับ |z 0 | > 1 ในระหว่างการวนซ้ำ ตัวเลข z n จะเพิ่มขึ้นในค่าสัมบูรณ์ โดยมีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในกรณีนี้ ตัวดึงดูดคือจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด และเราแยกค่าดังกล่าวออกจากชุดจูเลีย
สำหรับ |z 0 | = 1 จุดทั้งหมดของลำดับยังคงอยู่บนวงกลมหน่วยนี้ต่อไป ในกรณีนี้ ตัวดึงดูดคือวงกลม

ดังนั้น ที่ C = 0 ขอบเขตระหว่างจุดเริ่มต้นที่น่าดึงดูดใจและน่ารังเกียจคือวงกลม ในกรณีนี้ การแมปมีสองอย่าง จุดคงที่: z = 0 และ z = 1 อันแรกนั้นน่าดึงดูดเนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ศูนย์คือ 0 และอันที่สองนั้นน่ารังเกียจเนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ค่าของพารามิเตอร์หนึ่งมีค่าเท่ากัน ถึงสอง

พิจารณาสถานการณ์เมื่อค่าคงที่ C เป็นจำนวนจริง เช่น ดูเหมือนว่าเราจะเคลื่อนที่ไปตามแกนของชุด Mandelbrot (รูปที่ 14) ที่ C = –0.75 ขอบเขตของจูเลียตั้งการข้ามตัวเองและตัวดึงดูดที่สองจะปรากฏขึ้น แฟร็กทัล ณ จุดนี้มีชื่อว่าเศษส่วนซานมาร์โค ซึ่งแมนเดลบรอตมอบให้เพื่อเป็นเกียรติแก่อาสนวิหารเวนิสที่มีชื่อเสียง เมื่อมองดูที่ตัวเลข มันไม่ยากที่จะเข้าใจว่าทำไมแมนเดลบรอตจึงเกิดแนวคิดในการตั้งชื่อแฟร็กทัลเพื่อเป็นเกียรติแก่โครงสร้างนี้: ความคล้ายคลึงกันนั้นน่าทึ่งมาก

ข้าว. 14. การเปลี่ยนรูปแบบของชุดจูเลียโดยลดค่าจริงของ C จาก 0 เป็น -1

ยิ่งลด C เป็น -1.25 เราได้รับใหม่ แบบฟอร์มมาตรฐานด้วยจุดคงที่สี่จุดที่คงอยู่จนถึง C< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

ข้าว. 15. การปรากฏตัวของรูปแบบใหม่ของจูเลียตั้งค่าด้วยการลดลงของมูลค่าจริง C< –1

ดังนั้น แม้จะอยู่บนแกนของเศษส่วนแมนเดลบรอต (ค่าคงที่ C เป็นจำนวนจริง) เราก็ "ถูกจับ" ในด้านความสนใจ และในทางใดทางหนึ่งก็จัดอันดับรูปร่างจูเลียที่หลากหลายพอสมควรตั้งแต่วงกลมไปจนถึงฝุ่น ตอนนี้ให้พิจารณาพื้นที่เครื่องหมายของเศษส่วน Mandelbrot และรูปแบบที่สอดคล้องกันของเศษส่วน Julia ก่อนอื่น เรามาอธิบายเศษส่วน Mandelbrot ในแง่ของ "cardioid", "ไต" และ "หัวหอม" (รูปที่ 16)

cardioid หลักและวงกลมที่อยู่ติดกันเป็นรูปร่างพื้นฐานของเศษส่วน Mandelbrot พวกมันอยู่ติดกับสำเนาของตัวเองจำนวนไม่ จำกัด ซึ่งเรียกกันทั่วไปว่าไต ดอกตูมเหล่านี้แต่ละดอกล้อมรอบด้วยดอกตูมขนาดเล็กจำนวนนับไม่ถ้วนที่มีลักษณะเหมือนกัน ดอกตูมที่ใหญ่ที่สุดสองดอกด้านบนและด้านล่างของ cardioid หลักเรียกว่าหัวหอม

Adrien Dowdy ชาวฝรั่งเศสและ Bill Hubbard ชาวอเมริกัน ผู้ศึกษาเศษส่วนทั่วไปของเซตนี้ (C = –0.12 + 0.74i) เรียกมันว่า “เศษส่วนกระต่าย” (รูปที่ 17)

เมื่อข้ามขอบเขตของเศษส่วน Mandelbrot เศษส่วน Julia จะสูญเสียการเชื่อมต่อและกลายเป็นฝุ่นซึ่งโดยปกติจะเรียกว่า "Fatou dust" เพื่อเป็นเกียรติแก่ Pierre Fatou ผู้พิสูจน์ว่าสำหรับค่า C จำนวนหนึ่ง จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดดึงดูด ระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ยกเว้นชุดที่บางมากเช่นฝุ่น ( รูปที่ 18)

แฟร็กทัลสโตแคสติกมีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่างเส้นโค้ง von Koch ที่คล้ายตัวเองอย่างเคร่งครัดกับชายฝั่งของนอร์เวย์ ตัวอย่างเช่น แสดงความคล้ายคลึงกันในแง่สถิติ ในเวลาเดียวกัน เส้นโค้งทั้งสองหักมากจนคุณไม่สามารถลากเส้นสัมผัสไปยังจุดใดๆ ของมันได้ หรืออีกนัยหนึ่งคือคุณไม่สามารถแยกความแตกต่างได้ เส้นโค้งดังกล่าวเป็น "สัตว์ประหลาด" ชนิดหนึ่งในเส้นแบบยุคลิดปกติ คนแรกที่สร้างฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีจุดสัมผัสใดๆ คือ Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ผลงานของเขาถูกนำเสนอต่อ Royal Prussian Academy เมื่อวันที่ 18 กรกฎาคม พ.ศ. 2415 และเผยแพร่ในปี พ.ศ. 2418 ฟังก์ชันที่ไวเออร์สตราสอธิบายมีลักษณะเหมือนสัญญาณรบกวน (รูปที่ 19)

ดูที่แผนภูมิข่าวหุ้น สรุปความผันผวนของอุณหภูมิหรือความผันผวนของความดันอากาศ แล้วคุณจะพบความผิดปกติบางอย่างเป็นประจำ ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อขนาดเพิ่มขึ้น ลักษณะของความไม่สม่ำเสมอก็จะยังคงอยู่ และนี่หมายถึงเรขาคณิตเศษส่วน

การเคลื่อนไหวแบบบราวเนียนเป็นหนึ่งในที่สุด ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงกระบวนการสุ่ม ในปี 1926 ฌอง แปร์รินได้รับรางวัลโนเบลจากการศึกษาธรรมชาติของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน เขาเป็นคนที่ดึงความสนใจไปที่ความเหมือนตนเองและความไม่แตกต่างของเส้นทางโคจรของบราวเนียน

แฟร็กทัลเป็นที่รู้จักมาเกือบศตวรรษ มีการศึกษาเป็นอย่างดีและมีการนำไปใช้ในชีวิตมากมาย ปรากฏการณ์นี้ขึ้นอยู่กับ ความคิดที่เรียบง่าย: ตัวเลขจำนวนนับไม่ถ้วนที่มีความสวยงามและหลากหลายสามารถหาได้จากโครงสร้างที่ค่อนข้างง่ายโดยดำเนินการเพียงสองอย่าง - การคัดลอกและการปรับขนาด

แนวคิดนี้ไม่มีคำจำกัดความที่เข้มงวด ดังนั้นคำว่าเศษส่วนจึงไม่ใช่คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ โดยปกติจะเป็นชื่อของรูปทรงเรขาคณิตที่ตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้อย่างน้อยหนึ่งข้อ:

มีโครงสร้างที่ซับซ้อนในทุกการขยาย
คือ (โดยประมาณ) คล้ายตนเอง;
มีขนาดเศษส่วน Hausdorff (เศษส่วน) ซึ่งใหญ่กว่าทอพอโลยี
สามารถสร้างได้โดยกระบวนการเรียกซ้ำ

ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20 การศึกษาแฟร็กทัลเป็นแบบเป็นตอนๆ มากกว่าเป็นระบบ เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ยุคก่อนส่วนใหญ่ศึกษาวัตถุที่ "ดี" ซึ่งสามารถศึกษาได้โดยใช้วิธีการและทฤษฎีทั่วไป ในปี พ.ศ. 2415 คาร์ล ไวเออร์ชตราส นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้สร้างตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ อย่างไรก็ตาม โครงสร้างของมันเป็นนามธรรมโดยสิ้นเชิงและยากที่จะเข้าใจ ดังนั้นในปี ค.ศ. 1904 ชาวสวีเดน Helge von Koch จึงคิดค้นเส้นโค้งต่อเนื่องที่ไม่มีการสัมผัสกัน และการวาดนั้นค่อนข้างง่าย ปรากฎว่ามีคุณสมบัติของเศษส่วน รูปแบบหนึ่งของเส้นโค้งนี้เรียกว่า Koch snowflake

Paul Pierre Levy ชาวฝรั่งเศสซึ่งเป็นที่ปรึกษาในอนาคตของ Benoit Mandelbrot ได้หยิบยกแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันของตัวเลขขึ้นมา ในปี 1938 บทความของเขา "ระนาบและเส้นโค้งเชิงพื้นที่และพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่คล้ายกับทั้งหมด" ได้รับการตีพิมพ์ ซึ่งมีการอธิบายเศษส่วนอีกชิ้นหนึ่ง นั่นคือ Lévy C-curve แฟร็กทัลทั้งหมดข้างต้นสามารถนำมาประกอบกับแฟร็กทัลเชิงสร้างสรรค์ (เรขาคณิต) แบบมีเงื่อนไขหนึ่งชั้น

อีกคลาสหนึ่งคือแฟร็กทัลแบบไดนามิก (เกี่ยวกับพีชคณิต) ซึ่งรวมถึงชุด Mandelbrot การศึกษาครั้งแรกในทิศทางนี้ย้อนกลับไปเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 และเกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaston Julia และ Pierre Fatou ในปีพ. ศ. 2461 ผลงานของจูเลียเกือบสองร้อยหน้าได้รับการตีพิมพ์ซึ่งอุทิศให้กับการวนซ้ำของฟังก์ชันเชิงเหตุผลที่ซับซ้อนซึ่งอธิบายชุดของจูเลีย - แฟร็กทัลทั้งตระกูลที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับชุดแมนเดลบรอต งานนี้ได้รับรางวัลจาก French Academy แต่ไม่มีภาพประกอบเดียวดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะชื่นชมความงามของวัตถุที่ค้นพบ แม้ว่างานนี้จะทำให้จูเลียมีชื่อเสียงในหมู่นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้น แต่มันก็ถูกลืมอย่างรวดเร็ว

เพียงครึ่งศตวรรษต่อมา ด้วยการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ ความสนใจจึงหันไปที่งานของ Julia และ Fatou พวกเขาคือผู้ที่ทำให้ความร่ำรวยและความสวยงามของโลกแห่งแฟร็กทัลมองเห็นได้ ท้ายที่สุด Fatou ไม่สามารถดูภาพที่ตอนนี้เรารู้ว่าเป็นภาพของชุด Mandelbrot เนื่องจากไม่สามารถคำนวณจำนวนที่จำเป็นได้ด้วยตนเอง บุคคลแรกที่ใช้คอมพิวเตอร์สำหรับสิ่งนี้คือ Benoit Mandelbrot

แนวคิดเรื่องเศษส่วนและเรขาคณิตเศษส่วนซึ่งปรากฏในช่วงปลายทศวรรษที่ 70 ได้กลายเป็นรากฐานที่มั่นคงในชีวิตประจำวันของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ตั้งแต่กลางทศวรรษที่ 80 คำว่าเศษส่วนมาจากภาษาละติน fractus และแปลว่าประกอบด้วยเศษส่วน มันถูกเสนอโดย Benoit Mandelbrot ในปี 1975 เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ไม่ปกติแต่มีความคล้ายคลึงกันที่เขาศึกษา การกำเนิดของเรขาคณิตเศษส่วนมักจะเกี่ยวข้องกับการตีพิมพ์หนังสือ 'The Fractal Geometry of Nature' ของแมนเดลบรอตในปี 1977 งานของเขาใช้ผลลัพธ์ทางวิทยาศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่ทำงานในช่วงปี 1875-1925 ในสาขาเดียวกัน (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff แต่ในยุคของเราเท่านั้นที่สามารถรวมงานของพวกเขาไว้ในระบบเดียวได้
บทบาทของเศษส่วนในคอมพิวเตอร์กราฟิกในปัจจุบันค่อนข้างใหญ่ ตัวอย่างเช่นพวกเขามาช่วยเมื่อจำเป็นด้วยความช่วยเหลือของค่าสัมประสิทธิ์หลายตัวเพื่อกำหนดเส้นและพื้นผิว รูปร่างที่ซับซ้อน. จากมุมมองของคอมพิวเตอร์กราฟิก เรขาคณิตเศษส่วนเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้สำหรับการสร้างเมฆเทียม ภูเขา และพื้นผิวของทะเล พบจริง ทางปอดการแสดงวัตถุที่ไม่ใช่แบบยุคลิดที่ซับซ้อนซึ่งเป็นภาพที่คล้ายกับวัตถุธรรมชาติมาก
คุณสมบัติหลักประการหนึ่งของแฟร็กทัลคือความคล้ายคลึงกันในตัวเอง ในกรณีที่ง่ายที่สุด ส่วนเล็กๆ ของเศษส่วนจะมีข้อมูลเกี่ยวกับเศษส่วนทั้งหมด คำจำกัดความของเศษส่วนที่กำหนดโดย Mandelbrot มีดังนี้: "เศษส่วนคือโครงสร้างที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่มีความหมายคล้ายกับทั้งหมด"

มีอยู่ เบอร์ใหญ่ วัตถุทางคณิตศาสตร์เรียกว่าแฟร็กทัล (สามเหลี่ยม Sierpinski, เกล็ดหิมะ Koch, เส้นโค้ง Peano, ชุด Mandelbrot และตัวดึงดูด Lorentz) แฟร็กทัลอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพและการก่อตัวของโลกแห่งความจริงได้อย่างแม่นยำมาก: ภูเขา, เมฆ, กระแสน้ำวน (กระแสน้ำวน), ราก, กิ่งก้านและใบของต้นไม้, เส้นเลือดซึ่งห่างไกลจากรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย เป็นครั้งแรกที่เบอนัวต์ แมนเดลบรอตพูดถึงธรรมชาติเศษส่วนของโลกของเราในผลงานชิ้นเอกของเขาเรื่อง "The Fractal Geometry of Nature"
คำว่าแฟร็กทัลได้รับการแนะนำโดยเบอนัวต์ แมนเดลบรอตในปี พ.ศ. 2520 ในงานพื้นฐานของเขาเรื่อง Fractals, Form, Chaos and Dimension จากข้อมูลของ Mandelbrot คำว่าเศษส่วนมาจากคำภาษาละติน fractus - เศษส่วนและ frangere - แตก ซึ่งสะท้อนถึงสาระสำคัญของเศษส่วนว่าเป็นชุดที่ "แตก" ผิดปกติ

การจำแนกประเภทของเศษส่วน

เพื่อให้เป็นตัวแทนของแฟร็กทัลที่หลากหลาย จึงสะดวกที่จะใช้การจัดประเภทที่ยอมรับโดยทั่วไป แฟร็กทัลมีสามคลาส

1. เศษส่วนทางเรขาคณิต

แฟร็กทัลของคลาสนี้ชัดเจนที่สุด ในกรณีสองมิติ จะได้มาโดยใช้เส้นแบ่ง (หรือพื้นผิวใน เคสสามมิติ) เรียกว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ในขั้นตอนหนึ่งของอัลกอริทึม แต่ละส่วนที่ประกอบกันเป็นเส้นขาดจะถูกแทนที่ด้วยตัวสร้างเส้นขาดในระดับที่เหมาะสม อันเป็นผลมาจากการทำซ้ำขั้นตอนนี้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดทำให้ได้เศษส่วนทางเรขาคณิต

ตัวอย่างเช่น พิจารณาหนึ่งในวัตถุเศษส่วนดังกล่าว - เส้นโค้งสามส่วน Koch

การสร้างเส้นโค้ง Triadic Koch

หาส่วนของเส้นตรงยาว 1 เรียกมันว่า เมล็ดพันธุ์. ให้เราแบ่งเมล็ดออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน โดยมีความยาว 1/3 ของเมล็ด ทิ้งส่วนตรงกลางแล้วแทนที่ด้วยเส้นขาดของข้อเชื่อมสองข้อที่มีความยาว 1/3

เราได้เส้นแบ่งซึ่งประกอบด้วย 4 ลิงก์ที่มีความยาวรวม 4/3 ซึ่งเรียกว่า รุ่นแรก.

ในการก้าวไปสู่เส้นโค้ง Koch รุ่นถัดไป จำเป็นต้องทิ้งและเปลี่ยนส่วนตรงกลางของแต่ละลิงค์ ดังนั้นความยาวของรุ่นที่สองจะเป็น 16/9 รุ่นที่สาม - 64/27 หากคุณทำขั้นตอนนี้ต่อไปจนไม่มีที่สิ้นสุด ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเส้นโค้งสามส่วน Koch

ให้เราพิจารณาเส้นโค้ง Koch ไตรแอดิกศักดิ์สิทธิ์ และค้นหาว่าทำไมแฟร็กทัลจึงถูกเรียกว่า "อสุรกาย"

ประการแรก เส้นโค้งนี้ไม่มีความยาว - อย่างที่เราได้เห็น ด้วยจำนวนชั่วอายุคน ความยาวของเส้นโค้งนี้มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ประการที่สอง เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งนี้ - แต่ละจุดเป็นจุดเปลี่ยนที่อนุพันธ์ไม่มีอยู่จริง - เส้นโค้งนี้ไม่เรียบ

ความยาวและความเรียบเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของเส้นโค้ง ซึ่งศึกษาทั้งโดยเรขาคณิตแบบยุคลิดและโดยเรขาคณิตของ Lobachevsky และ Riemann วิธีการวิเคราะห์ทางเรขาคณิตแบบดั้งเดิมนั้นใช้ไม่ได้กับเส้นโค้ง Koch แบบสามส่วน ดังนั้นเส้นโค้ง Koch จึงกลายเป็นสัตว์ประหลาด - "สัตว์ประหลาด" ท่ามกลางผู้อาศัยรูปทรงเรขาคณิตแบบดั้งเดิมที่ราบรื่น

การก่อสร้าง "มังกร" Harter-Hateway

ในการรับวัตถุเศษส่วนอื่น คุณต้องเปลี่ยนกฎการก่อสร้าง ให้องค์ประกอบการสร้างเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันที่เชื่อมต่อเป็นมุมฉาก ในยุคศูนย์ เราแทนที่ส่วนของหน่วยด้วยองค์ประกอบการสร้างนี้เพื่อให้มุมอยู่ด้านบน เราสามารถพูดได้ว่าการเปลี่ยนดังกล่าวทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตรงกลางของลิงก์ เมื่อสร้างเจเนอเรชันถัดไป กฎจะสำเร็จ: ลิงก์แรกทางด้านซ้ายจะถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบการสร้าง เพื่อให้ตรงกลางของลิงก์เลื่อนไปทางซ้ายของทิศทางการเคลื่อนที่ และเมื่อแทนที่ลิงก์ถัดไป ทิศทางการกระจัดของจุดกึ่งกลางของส่วนจะต้องสลับกัน รูปแสดงเส้นโค้งรุ่นแรกและรุ่นที่ 11 ที่สร้างขึ้นตามหลักการที่อธิบายไว้ข้างต้น เส้นโค้งที่มี n พุ่งไปหาอนันต์เรียกว่า Harter-Hateway dragon
ในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ การใช้แฟร็กทัลเรขาคณิตเป็นสิ่งจำเป็นเมื่อได้ภาพต้นไม้และพุ่มไม้ เศษส่วนเรขาคณิตสองมิติใช้เพื่อสร้างพื้นผิวสามมิติ (รูปแบบบนพื้นผิวของวัตถุ)

2. เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต

นี่คือกลุ่มแฟร็กทัลที่ใหญ่ที่สุด ได้มาโดยใช้กระบวนการที่ไม่ใช่เชิงเส้นใน ช่องว่าง n มิติ. กระบวนการสองมิติได้รับการศึกษามากที่สุด การตีความกระบวนการวนซ้ำแบบไม่เชิงเส้นว่าเป็นระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่อง เราสามารถใช้คำศัพท์ของทฤษฎีของระบบเหล่านี้ได้: ภาพบุคคลเฟส กระบวนการสถานะคงตัว ตัวดึงดูด ฯลฯ
เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบไดนามิกแบบไม่เชิงเส้นมีหลายสถานะที่เสถียร สถานะที่ระบบไดนามิกพบตัวเองหลังจากการวนซ้ำจำนวนหนึ่งขึ้นอยู่กับสถานะเริ่มต้น ดังนั้นแต่ละสถานะที่มั่นคง (หรืออย่างที่พวกเขาพูดคือตัวดึงดูด) มีพื้นที่ของสถานะเริ่มต้นซึ่งระบบจะต้องตกอยู่ในสถานะสุดท้ายที่พิจารณา ดังนั้นพื้นที่เฟสของระบบจึงแบ่งออกเป็นพื้นที่ดึงดูดของผู้ดึงดูด ถ้าเฟสสเปซเป็นแบบสองมิติ จากนั้นให้ระบายสีบริเวณที่ดึงดูดด้วยสีที่ต่างกัน เราจะได้ภาพเฟสสีของระบบนี้ (กระบวนการวนซ้ำ) ด้วยการเปลี่ยนอัลกอริธึมการเลือกสี คุณจะได้รูปแบบเศษส่วนที่ซับซ้อนพร้อมรูปแบบหลากสีที่สวยงาม สิ่งที่น่าประหลาดใจสำหรับนักคณิตศาสตร์คือความสามารถในการสร้างโครงสร้างที่ไม่สำคัญที่ซับซ้อนมากโดยใช้อัลกอริธึมดั้งเดิม

ชุดแมนเดลบรอต

ตัวอย่างเช่น พิจารณาชุด Mandelbrot อัลกอริทึมสำหรับการสร้างนั้นค่อนข้างง่ายและใช้นิพจน์วนซ้ำอย่างง่าย: Z = Z[i] * Z[i] + C, ที่ไหน ซิและ คเป็นตัวแปรที่ซับซ้อน การวนซ้ำจะดำเนินการสำหรับแต่ละจุดเริ่มต้นจากพื้นที่สี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยม ซึ่งเป็นส่วนย่อยของระนาบเชิงซ้อน กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนกระทั่ง ซี[ผม]จะไม่ไปไกลกว่าวงกลมรัศมี 2 ซึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) (หมายความว่าตัวดึงดูดของระบบไดนามิกอยู่ที่ระยะอนันต์) หรือหลังจากการวนซ้ำจำนวนมากพอสมควร (เช่น ,200-500) ซี[ผม]บรรจบกับจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลม ขึ้นอยู่กับจำนวนการวนซ้ำระหว่างนั้น ซี[ผม]ยังคงอยู่ภายในวงกลม คุณสามารถกำหนดสีของจุดได้ ค(ถ้า ซี[ผม]ยังคงอยู่ภายในวงกลมสำหรับการวนซ้ำจำนวนมากเพียงพอ กระบวนการวนซ้ำจะหยุดลงและจุดแรสเตอร์นี้จะถูกทาสีดำ)

3. เศษส่วนสุ่ม

แฟร็กทัลอีกประเภทที่รู้จักกันดีคือแฟร็กทัลสุ่ม ซึ่งได้รับหากพารามิเตอร์ใด ๆ ของมันถูกเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มในกระบวนการวนซ้ำ ส่งผลให้เกิดวัตถุที่คล้ายกับธรรมชาติมาก เช่น ต้นไม้ที่ไม่สมมาตร แนวชายฝั่งที่เว้าแหว่ง เป็นต้น แฟร็กทัลสุ่มสองมิติใช้ในการสร้างแบบจำลองภูมิประเทศและพื้นผิวทะเล
มีการจำแนกประเภทของแฟร็กทัลอื่นๆ เช่น การแบ่งแฟร็กทัลออกเป็นเชิงกำหนด (เชิงพีชคณิตและเชิงเรขาคณิต) และเชิงกำหนดไม่ได้ (เชิงสุ่ม)

เกี่ยวกับการใช้เศษส่วน

ประการแรกเศษส่วนเป็นพื้นที่ของศิลปะทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งเมื่อใช้สูตรและอัลกอริทึมที่ง่ายที่สุดจะได้ภาพที่สวยงามและซับซ้อนเป็นพิเศษ! ในรูปทรงของภาพที่สร้างขึ้น มักจะคาดเดาใบไม้ ต้นไม้ และดอกไม้

หนึ่งในแอปพลิเคชั่นแฟร็กทัลที่ทรงพลังที่สุดอยู่ในคอมพิวเตอร์กราฟิก ประการแรก มันคือการบีบอัดภาพแบบแฟร็กทัล และประการที่สอง การสร้างทิวทัศน์ ต้นไม้ พืช และการสร้างพื้นผิวแฟร็กทัล ฟิสิกส์และกลศาสตร์สมัยใหม่เพิ่งเริ่มศึกษาพฤติกรรมของวัตถุเศษส่วน และแน่นอนว่าเศษส่วนถูกนำไปใช้กับคณิตศาสตร์โดยตรง
ข้อดีของอัลกอริธึมการบีบอัดภาพเศษส่วนนั้นมีมาก ขนาดเล็กไฟล์ที่อัดแน่นและเวลากู้คืนรูปภาพสั้น ภาพที่อัดแน่นสามารถปรับขนาดได้โดยไม่ต้องมีลักษณะของพิกเซล แต่กระบวนการบีบอัดใช้เวลานานและบางครั้งกินเวลานานหลายชั่วโมง อัลกอริทึมการบรรจุเศษส่วนแบบสูญเสียช่วยให้คุณกำหนดระดับการบีบอัดได้ ซึ่งคล้ายกับรูปแบบ jpeg อัลกอริทึมจะขึ้นอยู่กับการค้นหาชิ้นส่วนขนาดใหญ่ของภาพที่คล้ายกับชิ้นส่วนขนาดเล็ก และเฉพาะส่วนใดที่คล้ายกับที่เขียนไปยังไฟล์เอาต์พุต เมื่อทำการบีบอัดมักใช้กริดสี่เหลี่ยม (ชิ้นส่วนเป็นสี่เหลี่ยม) ซึ่งนำไปสู่มุมเล็กน้อยเมื่อกู้คืนรูปภาพ กริดหกเหลี่ยมไม่มีข้อเสียดังกล่าว
Iterated ได้พัฒนารูปแบบภาพใหม่ "Sting" ซึ่งรวมการบีบอัดแบบ Fractal และ "wave" (เช่น jpeg) แบบไม่สูญเสียข้อมูล รูปแบบใหม่ช่วยให้คุณสร้างภาพที่มีความเป็นไปได้ในการปรับขนาดคุณภาพสูงในภายหลัง และปริมาณไฟล์กราฟิกคือ 15-20% ของปริมาณภาพที่ไม่ได้บีบอัด
แนวโน้มของแฟร็กทัลที่จะดูเหมือนภูเขา ดอกไม้ และต้นไม้นั้นถูกใช้โดยโปรแกรมแก้ไขกราฟิกบางตัว ตัวอย่างเช่น เมฆแฟร็กทัลจาก 3D studio MAX ภูเขาแฟร็กทัลใน World Builder ต้นไม้เศษส่วน ภูเขา และภูมิประเทศทั้งหมดมีสูตรง่ายๆ ตั้งโปรแกรมได้ง่าย และไม่แตกเป็นชิ้นสามเหลี่ยมและลูกบาศก์แยกกันเมื่อเข้าใกล้
คุณไม่สามารถเพิกเฉยต่อการใช้เศษส่วนในวิชาคณิตศาสตร์ได้ ในทฤษฎีเซต เซตคันทอร์พิสูจน์การมีอยู่ของเซตหนาแน่นไม่มีที่ใดสมบูรณ์แบบ ในทฤษฎีการวัด ฟังก์ชันคล้ายตัวเอง "บันไดของคันทอร์" คือ ตัวอย่างที่ดีฟังก์ชันการกระจายการวัดเอกพจน์
ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ แฟร็กทัลถูกใช้เนื่องจาก คุณสมบัติเฉพาะทำซ้ำโครงร่างของวัตถุทางธรรมชาติมากมาย แฟร็กทัลช่วยให้คุณประมาณต้นไม้ พื้นผิวภูเขา และรอยแยกได้ด้วยความแม่นยำสูงกว่าการประมาณด้วยส่วนของเส้นตรงหรือรูปหลายเหลี่ยม (โดยมีจำนวนข้อมูลที่เก็บไว้เท่ากัน) รูปแบบเศษส่วนเช่น วัตถุธรรมชาติ, มี "ความหยาบ" และคุณสมบัตินี้จะถูกรักษาไว้เมื่อแบบจำลองเพิ่มขึ้นมากตามอำเภอใจ การมีหน่วยวัดที่เหมือนกันบนแฟร็กทัลทำให้สามารถใช้การอินทิเกรต ซึ่งเป็นทฤษฎีที่เป็นไปได้ เพื่อใช้แทนวัตถุมาตรฐานในสมการที่ศึกษาไปแล้ว
ด้วยวิธีการเศษส่วน ความโกลาหลจะหยุดเป็นความผิดปกติของสีน้ำเงินและได้รับโครงสร้างที่ดี วิทยาศาสตร์เศษส่วนยังเด็กมากและมีอนาคตที่ดีรออยู่ข้างหน้า ความสวยงามของแฟร็กทัลนั้นยังห่างไกลจากความเหนื่อยล้า และยังคงมอบผลงานชิ้นเอกมากมายให้กับเรา ไม่ว่าจะเป็นผลงานชิ้นเอกที่สร้างความพึงพอใจให้กับดวงตา และผลงานชิ้นเอกที่นำความสุขมาสู่จิตใจอย่างแท้จริง

เกี่ยวกับการสร้างเศษส่วน

วิธีการประมาณต่อเนื่อง

เมื่อดูรูปนี้ มันไม่ยากที่จะเข้าใจว่าสามารถสร้างแฟร็กทัลที่คล้ายตัวเองได้อย่างไร (ในกรณีนี้คือพีระมิด Sierpinski) เราต้องใช้ปิรามิดธรรมดา (จัตุรมุข) จากนั้นตัดตรงกลางออก (รูปแปดด้าน) ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราได้ปิรามิดขนาดเล็กสี่ตัว เราทำการดำเนินการเดียวกันกับแต่ละรายการและอื่น ๆ นี่เป็นคำอธิบายที่ค่อนข้างไร้เดียงสา แต่มีภาพประกอบ

ให้เราพิจารณาสาระสำคัญของวิธีการอย่างเคร่งครัด ให้มีระบบ IFS บางอย่างเช่น ระบบแผนที่การหดตัว ส=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (ตัวอย่างเช่น สำหรับพีระมิดของเรา การแมปมีลักษณะเหมือน S i (x)=1/2*x+o i โดยที่ o i อยู่ จุดยอดของจัตุรมุข, i=1,..,4). จากนั้นเราเลือกชุดกะทัดรัด A 1 ใน R n (ในกรณีของเราเราเลือกจัตุรมุข) และกำหนดโดยการเหนี่ยวนำลำดับของชุด A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (Ak). เป็นที่ทราบกันดีว่าชุด A k ที่มีการเพิ่ม k มีค่าประมาณตัวดึงดูดที่ต้องการของระบบ ส.

โปรดทราบว่าการวนซ้ำแต่ละครั้งเป็นตัวดึงดูด ระบบเกิดซ้ำของฟังก์ชันวนซ้ำ (ศัพท์ภาษาอังกฤษ DigraphIFS, ริฟส์และนอกจากนี้ยังมี IFS ที่กำกับด้วยกราฟ) ดังนั้นจึงง่ายต่อการสร้างด้วยโปรแกรมของเรา

สร้างโดยจุดหรือวิธีความน่าจะเป็น

นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการติดตั้งบนคอมพิวเตอร์ เพื่อความง่าย ให้พิจารณากรณีของชุดความเสมอภาคแบบแบนๆ จึงขอ

) เป็นระบบการหดตัวบางส่วน แมปปิ้งเอส

แสดงเป็น: S

เมทริกซ์คงที่ขนาด 2x2 และ o

คอลัมน์เวกเตอร์สองมิติ

ลองใช้จุดคงที่ของการแมปแรก S 1 เป็นจุดเริ่มต้น:
x:=o1;
ที่นี่เราใช้ความจริงที่ว่าจุดหดตัวคงที่ทั้งหมด S 1 ,..,S m เป็นของเศษส่วน เป็นจุดเริ่มต้นที่คุณสามารถเลือกได้ จุดโดยพลการและลำดับของคะแนนที่สร้างขึ้นจะลดขนาดลงเป็นเศษส่วน แต่จากนั้นจะมีคะแนนพิเศษสองสามรายการปรากฏบนหน้าจอ
สังเกตจุดปัจจุบัน x=(x 1 ,x 2) บนหน้าจอ:
พิกเซล (x 1 ,x 2 ,15);
เราสุ่มเลือกตัวเลข j จาก 1 ถึง m และคำนวณพิกัดของจุด x ใหม่:
j:=สุ่ม(m)+1;
x:=S j (x);
ไปที่ขั้นตอนที่ 2 หรือหากเราทำวนซ้ำจำนวนมากพอ เราจะหยุด

บันทึก.หากค่าสัมประสิทธิ์การบีบอัดของการแมป S i แตกต่างกันเศษส่วนจะเต็มไปด้วยคะแนนที่ไม่สม่ำเสมอ หากการแมป S i มีความคล้ายคลึงกัน สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการทำให้อัลกอริทึมซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ในการทำเช่นนี้ ในขั้นตอนที่ 3 ของอัลกอริทึม จะต้องเลือกหมายเลข j จาก 1 ถึง m ด้วยความน่าจะเป็น p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s โดยที่ r i หมายถึงสัมประสิทธิ์การหดตัวของการแมป S i , และจำนวน s (เรียกว่ามิติความคล้ายคลึงกัน) หาได้จากสมการ r 1 s +...+r m s =1 คำตอบของสมการนี้สามารถหาได้ เช่น โดยวิธีของนิวตัน

เกี่ยวกับเศษส่วนและอัลกอริทึม

เศษส่วนมาจาก คำคุณศัพท์ภาษาละติน"fractus" และในการแปลหมายถึงการประกอบด้วยชิ้นส่วนและคำกริยาภาษาละติน "frangere" ที่สอดคล้องกันหมายถึงการแตกหักนั่นคือการสร้างชิ้นส่วนที่ไม่สม่ำเสมอ แนวคิดเรื่องเศษส่วนและเรขาคณิตเศษส่วนซึ่งปรากฏในช่วงปลายทศวรรษที่ 70 ได้กลายเป็นรากฐานที่มั่นคงในชีวิตประจำวันของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ตั้งแต่กลางทศวรรษที่ 80 คำนี้เสนอโดยเบอนัวต์ แมนเดลบรอตในปี พ.ศ. 2518 เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ไม่ปกติแต่คล้ายตัวเองที่เขาศึกษา การกำเนิดของเรขาคณิตเศษส่วนมักจะเกี่ยวข้องกับการตีพิมพ์ในปี 1977 ของหนังสือ Mandelbrot เรื่อง "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature" ผลงานของเขาใช้ผลงานทางวิทยาศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่ทำงานในช่วงปี พ.ศ. 2418-2468 ในสาขาเดียวกัน (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff)

การปรับ

ให้ฉันทำการปรับเปลี่ยนอัลกอริทึมที่เสนอในหนังสือโดย H.-O. Paytgen และ P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993 เพื่อกำจัดการพิมพ์ผิดและทำให้เข้าใจกระบวนการได้ง่ายขึ้นเนื่องจากหลังจากศึกษาพวกเขาแล้วยังคงเป็นเรื่องลึกลับสำหรับฉัน น่าเสียดายที่อัลกอริธึมที่ "เข้าใจได้" และ "เรียบง่าย" เหล่านี้นำไปสู่วิถีชีวิตที่โยกเยก

การสร้างเศษส่วนนั้นขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่ไม่เชิงเส้นของกระบวนการที่ซับซ้อนพร้อมข้อเสนอแนะ z \u003d z 2 + c เนื่องจาก z และ c เป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น z \u003d x + iy, c \u003d p + iq จึงจำเป็น เพื่อแยกย่อยออกเป็น x และ y เพื่อให้สมจริงยิ่งขึ้นสำหรับ คนทั่วไปเครื่องบิน:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + คิว

ระนาบที่ประกอบด้วยคู่ทั้งหมด (x, y) ถือได้ว่าเป็นค่าคงที่ พี และ คิวเช่นเดียวกับไดนามิก ในกรณีแรก การเรียงลำดับจุดทั้งหมด (x, y) ของระนาบตามกฎหมายและการระบายสีขึ้นอยู่กับจำนวนการทำซ้ำของฟังก์ชันที่จำเป็นในการออกจากกระบวนการวนซ้ำหรือไม่ระบายสี (สีดำ) เมื่อค่าสูงสุดที่อนุญาต ของการทำซ้ำเพิ่มขึ้น เราได้รับการแสดงชุดจูเลีย ในทางตรงกันข้ามหากเรากำหนดค่าคู่เริ่มต้น (x, y) และติดตามชะตากรรมของสีด้วยค่าที่เปลี่ยนแปลงแบบไดนามิกของพารามิเตอร์ p และ q เราจะได้ภาพที่เรียกว่าชุด Mandelbrot

เกี่ยวกับอัลกอริธึมการระบายสีเศษส่วน

โดยปกติแล้วเนื้อหาของชุดจะแสดงเป็นฟิลด์สีดำ แม้ว่าจะเห็นได้ชัดว่าสีดำสามารถถูกแทนที่ด้วยสีอื่นได้ แต่นี่ก็เป็นผลลัพธ์ที่ไม่น่าสนใจเช่นกัน เพื่อให้ได้ภาพของชุดที่ทาสีด้วยสีทั้งหมดเป็นงานที่ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้การดำเนินการแบบวนรอบตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา จำนวนการวนซ้ำที่สร้างเนื้อหาของชุดนั้นเท่ากับจำนวนสูงสุดที่เป็นไปได้และเท่ากันเสมอ ลงสีชุดค่ะ สีที่ต่างกันอาจใช้ผลลัพธ์ของการตรวจสอบเงื่อนไขการออกจากลูป (z_magnitude) เป็นหมายเลขสีหรือคล้ายกัน แต่ด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ

การประยุกต์ใช้ "แฟร็กทัลไมโครสโคป"

เพื่อแสดงปรากฏการณ์ชายแดน

ผู้ดึงดูดเป็นศูนย์กลางที่นำไปสู่การต่อสู้เพื่ออำนาจเหนือเครื่องบิน ระหว่างตัวดึงดูดจะมีเส้นขอบแสดงรูปแบบการหมุนวน โดยการเพิ่มขอบเขตของการพิจารณาภายในขอบเขตของชุด เราจะได้รูปแบบที่ไม่สำคัญซึ่งสะท้อนถึงสถานะของความสับสนอลหม่านที่กำหนดขึ้น - ธรรมดาในโลกธรรมชาติ

วัตถุที่ศึกษาโดยนักภูมิศาสตร์สร้างระบบที่มีขอบเขตการจัดระเบียบที่ซับซ้อนมากซึ่งเกี่ยวข้องกับการนำไปใช้งานกลายเป็นงานปฏิบัติที่ยาก คอมเพล็กซ์ทางธรรมชาติมีแกนกลางที่มีลักษณะเฉพาะซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวดึงดูดซึ่งสูญเสียอำนาจอิทธิพลในอาณาเขตเมื่อเคลื่อนตัวออกไป

การใช้กล้องจุลทรรศน์เศษส่วนสำหรับชุด Mandelbrot และ Julia เราสามารถสร้างแนวคิดเกี่ยวกับกระบวนการและปรากฏการณ์ที่มีขอบเขตซึ่งซับซ้อนเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงขนาดของการพิจารณา ดังนั้นจึงเตรียมการรับรู้ของผู้เชี่ยวชาญสำหรับการประชุมที่มีพลวัตและดูวุ่นวาย ในวัตถุธรรมชาติในอวกาศและเวลา เพื่อความเข้าใจธรรมชาติของเศษส่วนเรขาคณิต สีสันหลากสีและดนตรีเศษส่วนจะทิ้งร่องรอยลึกลงไปในจิตใจของนักเรียนอย่างแน่นอน

สิ่งพิมพ์นับพันและแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตจำนวนมหาศาลอุทิศให้กับแฟร็กทัล อย่างไรก็ตาม สำหรับผู้เชี่ยวชาญหลายคนที่อยู่ห่างไกลจากวิทยาการคอมพิวเตอร์ คำนี้ดูเหมือนใหม่โดยสิ้นเชิง Fractals ซึ่งเป็นวัตถุที่น่าสนใจสำหรับผู้เชี่ยวชาญในสาขาความรู้ต่างๆ ควรได้รับตำแหน่งที่เหมาะสมในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์

ตัวอย่าง

เซียร์ปินสกี้กริด

นี่เป็นหนึ่งในแฟร็กทัลที่แมนเดลบรอตทำการทดลองเมื่อพัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับมิติเศษส่วนและการวนซ้ำ รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการรวมจุดกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่าจะถูกตัดออกจากรูปสามเหลี่ยมหลักเพื่อสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีรูมากขึ้น ในกรณีนี้ ตัวเริ่มต้นเป็นรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่และแม่แบบเป็นการดำเนินการเพื่อตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับรูปสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่า คุณยังสามารถรับสามเหลี่ยมในเวอร์ชัน 3 มิติได้โดยใช้จัตุรมุขธรรมดาและตัดจัตุรมุขขนาดเล็กออก ขนาดของเศษส่วนดังกล่าวคือ ln3/ln2 = 1.584962501

ที่จะได้รับ พรม Sierpinskiนำสี่เหลี่ยมจัตุรัสมาแบ่งเป็นเก้าสี่เหลี่ยมแล้วตัดตรงกลางออก เราจะทำเช่นเดียวกันกับส่วนที่เหลือ สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ในท้ายที่สุด จะเกิดกริดแฟร็กทัลแบบแบนซึ่งไม่มีพื้นที่ แต่มีการเชื่อมต่อที่ไม่สิ้นสุด ในรูปแบบเชิงพื้นที่ ฟองน้ำ Sierpinski จะเปลี่ยนเป็นระบบผ่านรูปแบบ ซึ่งแต่ละองค์ประกอบผ่านจะถูกแทนที่ด้วยชนิดของมันเองอย่างต่อเนื่อง โครงสร้างนี้คล้ายกับส่วนของเนื้อเยื่อกระดูก สักวันโครงสร้างที่ซ้ำซากจำเจจะกลายเป็นองค์ประกอบของโครงสร้างอาคาร Mandelbrot เชื่อว่าสถิติและไดนามิกของพวกมันสมควรได้รับการศึกษาอย่างใกล้ชิด

โคช เคิร์ฟ

เส้นโค้ง Koch เป็นหนึ่งในแฟร็กทัลที่กำหนดขึ้นโดยทั่วไปมากที่สุด มันถูกประดิษฐ์ขึ้นในศตวรรษที่ 19 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Helge von Koch ซึ่งในขณะที่ศึกษางานของ Georg Kontor และ Karl Weierstraße ได้พบคำอธิบายเกี่ยวกับเส้นโค้งที่แปลกประหลาดซึ่งมีพฤติกรรมที่ผิดปกติ ผู้ริเริ่ม - สายตรง เครื่องกำเนิดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งด้านยาวเท่ากับหนึ่งในสามของความยาวของส่วนที่ใหญ่กว่า รูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จะถูกเพิ่มเข้าไปตรงกลางของแต่ละส่วนซ้ำแล้วซ้ำอีก ในการวิจัยของเขา แมนเดลบรอตทดลองมากกับ Koch curves และได้รับตัวเลขต่างๆ เช่น Koch Islands, Koch Crosses, Koch Snowflakes และแม้แต่การแสดงสามมิติของ Koch curve โดยใช้จัตุรมุขและเพิ่มเตตระเฮดราที่เล็กลงในแต่ละหน้า เส้นโค้ง Koch มีขนาด ln4/ln3 = 1.261859507

เศษส่วน Mandelbrot

นี่ไม่ใช่ฉากของ Mandelbrot ที่คุณเห็นค่อนข้างบ่อย ชุด Mandelbrot มีพื้นฐานมาจาก สมการไม่เชิงเส้นและเป็นแฟร็กทัลเชิงซ้อน นี่เป็นตัวแปรของเส้นโค้ง Koch แม้ว่าวัตถุนี้จะดูไม่เหมือนก็ตาม ตัวริเริ่มและตัวสร้างยังแตกต่างจากที่ใช้สร้างแฟร็กทัลตามหลักการของเส้นโค้ง Koch แต่แนวคิดยังคงเหมือนเดิม แทนที่จะติดสามเหลี่ยมด้านเท่าเข้ากับส่วนของเส้นโค้ง ให้ติดสี่เหลี่ยมเข้ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าแฟร็กทัลนี้ใช้พื้นที่ครึ่งหนึ่งของพื้นที่ที่กำหนดในการวนซ้ำแต่ละครั้ง จึงมีมิติเศษส่วนอย่างง่ายเท่ากับ 3/2 = 1.5

เพนตากอนของ DARER

แฟร็กทัลมีลักษณะเป็นรูปห้าเหลี่ยมซ้อนกัน ในความเป็นจริงมันถูกสร้างขึ้นโดยใช้รูปห้าเหลี่ยมเป็นตัวเริ่มต้นและ สามเหลี่ยมหน้าจั่วอัตราส่วนของด้านที่ใหญ่กว่าต่อด้านที่เล็กกว่าซึ่งเท่ากับอัตราส่วนทองคำที่เรียกว่า (1.618033989 หรือ 1/(2cos72)) เป็นตัวสร้าง สามเหลี่ยมเหล่านี้ถูกตัดออกจากตรงกลางของรูปห้าเหลี่ยมแต่ละอัน ทำให้ได้รูปทรงที่ดูเหมือนรูปห้าเหลี่ยมขนาดเล็ก 5 อันติดกาวเข้ากับอันใหญ่อันหนึ่ง

ตัวแปรของแฟร็กทัลนี้สามารถรับได้โดยใช้รูปหกเหลี่ยมเป็นตัวเริ่มต้น แฟร็กทัลนี้เรียกว่า Star of David และค่อนข้างคล้ายกับ Koch's Snowflake รุ่นหกเหลี่ยม มิติเศษส่วนของรูปห้าเหลี่ยม Darer คือ ln6/ln(1+g) โดยที่ g คืออัตราส่วนของความยาวของด้านที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยมต่อความยาวของด้านที่เล็กกว่า ในกรณีนี้ g คืออัตราส่วนทองคำ ดังนั้นมิติเศษส่วนจึงมีค่าประมาณ 1.86171596 มิติเศษส่วนของ Star of David คือ ln6/ln3 หรือ 1.630929754

เศษส่วนที่ซับซ้อน

ในความเป็นจริง หากคุณขยายพื้นที่เล็ก ๆ ของเศษส่วนที่ซับซ้อนใด ๆ แล้วทำเช่นเดียวกันกับพื้นที่เล็ก ๆ ของพื้นที่นั้น การขยายทั้งสองจะแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ ภาพทั้งสองภาพจะมีรายละเอียดคล้ายกันมาก แต่จะไม่เหมือนกันทั้งหมด

รูปที่ 1 การประมาณค่าชุดแมนเดลบรอต

ตัวอย่างเช่นเปรียบเทียบรูปภาพของชุด Mandelbrot ที่แสดงที่นี่ซึ่งหนึ่งในนั้นได้รับจากการเพิ่มพื้นที่ของอีกชุดหนึ่ง อย่างที่คุณเห็นมันไม่เหมือนกันเลยแม้ว่าเราจะเห็นวงกลมสีดำทั้งสองอันซึ่งหนวดที่ลุกเป็นไฟไปในทิศทางที่ต่างกัน องค์ประกอบเหล่านี้ทำซ้ำอย่างไม่มีกำหนดในชุด Mandelbrot ในสัดส่วนที่ลดลง

แฟร็กทัลเชิงกำหนดมีลักษณะเป็นเส้นตรง ในขณะที่แฟร็กทัลเชิงซ้อนไม่เป็นเชิงเส้น แฟร็กทัลเหล่านี้สร้างขึ้นโดยสิ่งที่แมนเดลบรอตเรียกว่าสมการพีชคณิตที่ไม่ใช่เชิงเส้น เนื่องจากไม่เป็นเชิงเส้น ตัวอย่างที่ดีคือกระบวนการ Zn+1=ZnІ + C ซึ่งเป็นสมการที่ใช้ในการสร้างเซตของแมนเดลบรอตและจูเลียในระดับที่สอง การแก้สมการทางคณิตศาสตร์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับจำนวนจินตภาพที่ซับซ้อน เมื่อสมการถูกตีความในเชิงกราฟิกในระนาบเชิงซ้อน ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวเลขที่แปลกประหลาดซึ่งเส้นตรงกลายเป็นเส้นโค้ง เอฟเฟกต์ความคล้ายคลึงกันในตัวเองปรากฏขึ้นในระดับมาตราส่วนต่างๆ แม้ว่าจะไม่ได้มีการเสียรูปก็ตาม ในขณะเดียวกันภาพรวมโดยรวมนั้นคาดเดาไม่ได้และวุ่นวายมาก

อย่างที่คุณเห็นเมื่อดูที่รูปภาพ แฟร็กทัลที่ซับซ้อนนั้นซับซ้อนมากและไม่สามารถสร้างขึ้นได้หากปราศจากความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่มีสีสัน คอมพิวเตอร์เครื่องนี้ต้องมีตัวประมวลผลร่วมทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังและจอภาพด้วย ความละเอียดสูง. แฟร็กทัลเชิงซ้อนไม่เหมือนกับเศษส่วนที่กำหนดขึ้น เศษส่วนเชิงซ้อนจะไม่ถูกคำนวณในการวนซ้ำ 5-10 ครั้ง แทบทุกจุดบนหน้าจอคอมพิวเตอร์เปรียบเสมือนแฟร็กทัลที่แยกจากกัน ในระหว่าง การประมวลผลทางคณิตศาสตร์แต่ละจุดจะถือว่าเป็นตัวเลขที่แยกจากกัน แต่ละจุดสอดคล้องกับค่าที่แน่นอน สมการถูกสร้างขึ้นสำหรับแต่ละจุดและดำเนินการ ตัวอย่างเช่น การวนซ้ำ 1,000 ครั้ง เพื่อให้ได้ภาพที่ค่อนข้างไม่บิดเบี้ยวในช่วงเวลาที่คอมพิวเตอร์ตามบ้านยอมรับได้ เป็นไปได้ที่จะทำซ้ำ 250 ครั้งต่อหนึ่งจุด

แฟร็กทัลส่วนใหญ่ที่เราเห็นในปัจจุบันมีสีสันสวยงาม บางทีภาพแฟร็กทัลอาจได้รับคุณค่าทางสุนทรียะที่ยอดเยี่ยมเช่นนี้เนื่องจากโครงร่างสี หลังจากคำนวณสมการแล้ว คอมพิวเตอร์จะวิเคราะห์ผลลัพธ์ หากผลลัพธ์คงที่หรือผันผวนตามค่าหนึ่งๆ จุดมักจะเปลี่ยนเป็นสีดำ หากค่าในขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่งมีแนวโน้มที่จะไม่สิ้นสุด จุดนั้นจะถูกทาสีด้วยสีอื่น อาจเป็นสีน้ำเงินหรือสีแดง ในระหว่างกระบวนการนี้ คอมพิวเตอร์จะกำหนดสีให้กับความเร็วในการเคลื่อนที่ทั้งหมด

โดยปกติแล้ว จุดที่เคลื่อนไหวเร็วจะเป็นสีแดง ในขณะที่จุดที่เคลื่อนไหวช้าจะเป็นสีเหลือง เป็นต้น จุดมืดน่าจะเสถียรที่สุด

แฟร็กทัลเชิงซ้อนแตกต่างจากแฟร็กทัลเชิงกำหนดตรงที่พวกมันซับซ้อนไม่สิ้นสุด แต่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยสูตรง่ายๆ แฟร็กทัลเชิงกำหนดไม่ต้องการสูตรหรือสมการ เพียงแค่ใช้กระดาษวาดรูป คุณก็สามารถสร้าง Sierpinski sieve ได้ถึง 3 หรือ 4 รอบโดยไม่มีปัญหาใดๆ ลองทำกับ Julia มากมาย! ไปวัดความยาวชายฝั่งอังกฤษง่ายกว่า!

ชุดแมนเดอร์บรอท

รูปที่ 2 ชุด Mandelbrot

ชุดแมนเดลบรอตและจูเลียน่าจะเป็นสองชุดที่พบมากที่สุดในบรรดาแฟร็กทัลเชิงซ้อน พบได้ในวารสารวิทยาศาสตร์ ปกหนังสือ ไปรษณียบัตร และสกรีนเซฟเวอร์คอมพิวเตอร์ ชุด Mandelbrot ซึ่งสร้างโดย Benoit Mandelbrot น่าจะเป็นการเชื่อมโยงครั้งแรกที่ผู้คนมีเมื่อพวกเขาได้ยินคำว่าเศษส่วน แฟร็กทัลนี้มีลักษณะคล้ายการ์ดที่มีต้นไม้เรืองแสงและพื้นที่วงกลมติดอยู่ สร้างขึ้นโดยสูตรง่ายๆ Zn+1=Zna+C โดยที่ Z และ C เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ a เป็นจำนวนบวก

ชุดแมนเดลบรอตที่เห็นบ่อยที่สุดคือชุดแมนเดลบรอตระดับ 2 นั่นคือ a=2 ข้อเท็จจริงที่ว่าชุด Mandelbrot ไม่ใช่แค่ Zn+1=ZnІ+C เท่านั้น แต่ยังเป็นแฟร็กทัลที่เลขยกกำลังในสูตรสามารถเป็นจำนวนบวกใดๆ ก็ได้ที่ทำให้หลายคนเข้าใจผิด ในหน้านี้ คุณจะเห็นตัวอย่างชุด Mandelbrot สำหรับ ความหมายที่แตกต่างกันตัวบ่งชี้ ก.
รูปที่ 3 ลักษณะของฟองอากาศที่ a=3.5

กระบวนการ Z=Z*tg(Z+C) ก็เป็นที่นิยมเช่นกัน ด้วยการรวมฟังก์ชันสัมผัสเข้าด้วยกันทำให้ได้ชุด Mandelbrot ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นที่ที่มีลักษณะคล้ายแอปเปิ้ล เมื่อใช้ฟังก์ชันโคไซน์ จะได้เอฟเฟกต์ฟองอากาศ กล่าวโดยย่อคือ มีวิธีมากมายในการปรับแต่งชุด Mandelbrot เพื่อสร้างภาพที่สวยงามต่างๆ

จูเลียหลายตัว

น่าแปลกที่ชุด Julia ถูกสร้างขึ้นตามสูตรเดียวกันกับชุด Mandelbrot เซต Julia ถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaston Julia ซึ่งตั้งชื่อตามชื่อเซตนี้ คำถามแรกที่เกิดขึ้นหลังจากได้ทำความรู้จักกับชุดของแมนเดลบรอตและจูเลียคือ "ถ้าแฟร็กทัลทั้งสองสร้างด้วยสูตรเดียวกัน เหตุใดจึงแตกต่างกันมาก" ดูรูปชุด Julia ก่อน แปลกพอ แต่มี ประเภทต่างๆชุดจูเลีย เมื่อวาดเศษส่วนโดยใช้จุดเริ่มต้นที่แตกต่างกัน (เพื่อเริ่มกระบวนการวนซ้ำ) ภาพต่างๆ. สิ่งนี้ใช้กับชุดจูเลียเท่านั้น

รูปที่ 4 ชุดจูเลีย

แม้ว่าจะมองไม่เห็นในภาพ แต่แฟร็กทัลแมนเดลบรอตก็คือกลุ่มของจูเลียแฟร็กทัลที่เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน แต่ละจุด (หรือพิกัด) ของชุด Mandelbrot สอดคล้องกับเศษส่วน Julia ชุดจูเลียสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้จุดเหล่านี้เป็นค่าเริ่มต้นในสมการ Z=ZI+C แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าหากคุณเลือกจุดบนเศษส่วน Mandelbrot และเพิ่มค่านั้น คุณจะได้รับเศษส่วน Julia จุดทั้งสองนี้เหมือนกัน แต่ในแง่คณิตศาสตร์เท่านั้น หากเรานำจุดนี้มาคำนวณตามสูตรนี้ เราจะได้ Julia fractal ที่สอดคล้องกับ จุดหนึ่งเศษส่วน Mandelbrot

สถานศึกษางบประมาณเทศบาล

"โรงเรียนมัธยม Siverskaya หมายเลข 3"

งานวิจัย

คณิตศาสตร์.

ทำงานได้

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

เอมิลิน พาเวล

ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์

ครูคณิตศาสตร์

Tupitsyna Natalya Alekseevna

พี. ซิเวอร์สกี้

ปี 2557

คณิตศาสตร์เต็มไปด้วยความสวยงามและความกลมกลืน

คุณต้องเห็นความงามนี้

บี แมนเดลบรอต

บทนำ

บทที่ 1 ประวัติความเป็นมาของเศษส่วน _______ 5-6 หน้า

บทที่ 2. การจำแนกประเภทของเศษส่วน____________________6-10pp.

เศษส่วนทางเรขาคณิต

เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต

เศษส่วนสุ่ม

บทที่ 3 "เศษส่วนเรขาคณิตของธรรมชาติ" ______ 11-13pp.

บทที่ 4 การประยุกต์เศษส่วน _______________13-15pp.

บทที่ 5 การปฏิบัติงาน __________________ 16-24pp.

สรุป_________________________________25.หน้า

รายชื่อวรรณกรรมและแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต _______ 26 น.

บทนำ

คณิตศาสตร์

ถ้ามองให้ถูก

ไม่เพียงสะท้อนความจริงเท่านั้น

แต่ยังสวยงามหาที่เปรียบมิได้

เบอร์ทรานด์ รัสเซลล์

คำว่า "แฟร็กทัล" เป็นสิ่งที่ผู้คนจำนวนมากกำลังพูดถึงในทุกวันนี้ ตั้งแต่นักวิทยาศาสตร์ไปจนถึงนักเรียน มัธยม. ปรากฏบนปกหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ วารสารวิทยาศาสตร์ และกล่องคอมพิวเตอร์หลายเล่ม ซอฟต์แวร์. ภาพสีของแฟร็กทัลในปัจจุบันสามารถพบได้ทุกที่ ตั้งแต่โปสการ์ด เสื้อยืด ไปจนถึงรูปภาพบนเดสก์ท็อปของคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล แล้วรูปร่างสีเหล่านี้ที่เราเห็นรอบๆ คืออะไร?

คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด คนส่วนใหญ่คิดว่ารูปทรงเรขาคณิตในธรรมชาตินั้นจำกัดอยู่เพียงแค่นั้น ตัวเลขง่ายๆเช่น เส้น วงกลม รูปหลายเหลี่ยม ทรงกลม ฯลฯ ปรากฎว่าหลายคน ระบบธรรมชาติซับซ้อนมากจนการใช้เพียงวัตถุรูปทรงเรขาคณิตธรรมดาที่คุ้นเคยเพื่อจำลองสิ่งเหล่านี้ดูเหมือนสิ้นหวัง เช่น วิธีสร้างแบบจำลอง เทือกเขาหรือมงกุฎของต้นไม้ในแง่ของรูปทรงเรขาคณิต? จะอธิบายความหลากหลายของความหลากหลายทางชีวภาพที่เราสังเกตเห็นในโลกของพืชและสัตว์ได้อย่างไร? จะจินตนาการถึงความซับซ้อนทั้งหมดของระบบไหลเวียนโลหิตที่ประกอบด้วยเส้นเลือดฝอยและหลอดเลือดจำนวนมากและส่งเลือดไปยังทุกเซลล์ของร่างกายมนุษย์ได้อย่างไร ลองนึกภาพโครงสร้างของปอดและไต คล้ายกับต้นไม้ที่มีกิ่งก้านในโครงสร้าง?

แฟร็กทัลเป็นวิธีที่เหมาะสมสำหรับการสำรวจคำถามที่โพสต์ บ่อยครั้งสิ่งที่เราเห็นในธรรมชาติทำให้เรารู้สึกทึ่งกับรูปแบบเดิมซ้ำๆ ไม่สิ้นสุด ขยายหรือลดจำนวนหลายครั้ง ตัวอย่างเช่น ต้นไม้มีกิ่งก้านสาขา สาขาเหล่านี้มีสาขาย่อยและอื่นๆ ตามทฤษฎีแล้ว องค์ประกอบ "ส้อม" จะทำซ้ำหลายครั้งไม่รู้จบ โดยจะเล็กลงเรื่อยๆ สามารถเห็นได้เช่นเดียวกันเมื่อดูภาพถ่าย ภูมิประเทศที่เป็นภูเขา. ลองซูมดูทิวเขาสักหน่อย --- ก็จะเห็นทิวเขาอีกครั้ง นี่คือคุณสมบัติของลักษณะความคล้ายตนเองของแฟร็กทัลที่แสดงออกมา

การศึกษาแฟร็กทัลเปิดโอกาสที่ยอดเยี่ยม ทั้งในการศึกษาแอปพลิเคชันจำนวนไม่สิ้นสุด และในสาขาคณิตศาสตร์ การใช้เศษส่วนนั้นกว้างขวางมาก! ท้ายที่สุดแล้ววัตถุเหล่านี้มีความสวยงามมากที่นักออกแบบศิลปินใช้โดยใช้องค์ประกอบมากมายของต้นไม้เมฆภูเขาและอื่น ๆ ในรูปแบบกราฟิก แต่เศษส่วนยังใช้เป็นเสาอากาศในโทรศัพท์มือถือจำนวนมาก

สำหรับนักเคมีวิทยาหลายคน (นักวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาแฟร็กทัลและความโกลาหล) นี่ไม่ใช่แค่ความรู้แขนงใหม่ที่รวมเอาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ศิลปะ และเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์เข้าด้วยกัน แต่นี่คือการปฏิวัติ นี่คือการค้นพบรูปทรงเรขาคณิตประเภทใหม่ รูปทรงเรขาคณิตที่อธิบายโลกรอบตัวเรา ซึ่งไม่เพียงแค่ในตำราเรียนเท่านั้น แต่ยังเห็นได้ในธรรมชาติและทุกที่ในจักรวาลอันไร้ขอบเขตอีกด้วย.

ในการทำงานของฉัน ฉันยังตัดสินใจที่จะ "สัมผัส" โลกแห่งความงามและมุ่งมั่นเพื่อตัวเอง...

วัตถุประสงค์: การสร้างวัตถุที่คล้ายกับธรรมชาติมาก

วิธีการวิจัยคำสำคัญ: การวิเคราะห์เปรียบเทียบ การสังเคราะห์ การสร้างแบบจำลอง

งาน:

ทำความคุ้นเคยกับแนวคิด ประวัติการเกิดขึ้น และการวิจัยของ B. Mandelbrot

G. Koch, V. Sierpinsky และคนอื่น ๆ ;

ความคุ้นเคยกับชุดเศษส่วนประเภทต่างๆ

การศึกษาวรรณกรรมวิทยาศาสตร์ยอดนิยมเกี่ยวกับเรื่องนี้ทำความรู้จักกับ

สมมติฐานทางวิทยาศาสตร์

การค้นหาการยืนยันทฤษฎีเศษส่วนของโลกรอบข้าง

ศึกษาการใช้แฟร็กทัลในศาสตร์อื่นๆ และในทางปฏิบัติ

ทำการทดลองเพื่อสร้างภาพเศษส่วนของคุณเอง

คำถามหลักของงาน:

แสดงว่าคณิตศาสตร์ไม่ใช่วิชาที่แห้งแล้ง ไร้วิญญาณ ก็สามารถแสดงออกได้ โลกวิญญาณบุคคลและในสังคมโดยรวม

สาขาวิชา: เรขาคณิตเศษส่วน.

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: เศษส่วนในคณิตศาสตร์และในโลกแห่งความเป็นจริง

สมมติฐาน: ทุกสิ่งที่มีอยู่ในโลกแห่งความเป็นจริงเป็นเศษส่วน

วิธีการวิจัย: วิเคราะห์ ค้นหา.

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อที่ประกาศนั้นถูกกำหนดโดยหัวข้อของการวิจัยซึ่งเป็นเรขาคณิตเศษส่วน

ผลลัพธ์ที่คาดหวัง:ในระหว่างการทำงาน ฉันจะสามารถเพิ่มพูนความรู้ของฉันในสาขาคณิตศาสตร์ มองเห็นความสวยงามของเศษส่วนเรขาคณิต และเริ่มสร้างเศษส่วนของฉันเอง

ผลของงานจะเป็นการสร้าง การนำเสนอด้วยคอมพิวเตอร์จดหมายข่าวและหนังสือเล่มเล็ก

บทที่ 1

ข เอนัว แมนเดลบรอท

คำว่า "แฟร็กทัล" ถูกบัญญัติโดยเบอนัวต์ แมนเดลบรอต คำนี้มาจากภาษาละตินว่า "fractus" ซึ่งแปลว่า "แตกสลาย"

เศษส่วน (lat. fractus - บด, หัก, หัก) - คำที่หมายถึงรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนซึ่งมีคุณสมบัติของความคล้ายคลึงกันนั่นคือประกอบด้วยหลายส่วนซึ่งแต่ละส่วนมีความคล้ายคลึงกับตัวเลขทั้งหมดโดยรวม

วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่อ้างถึงนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติที่น่าสนใจอย่างยิ่ง ในรูปทรงเรขาคณิตทั่วไป เส้นมีหนึ่งมิติ พื้นผิวมีสองมิติ และรูปทรงเชิงพื้นที่เป็นสามมิติ ในทางกลับกัน แฟร็กทัลไม่ใช่เส้นหรือพื้นผิว แต่ถ้าคุณสามารถจินตนาการได้ มันคือบางสิ่งที่อยู่ระหว่างนั้น เมื่อขนาดเพิ่มขึ้นปริมาตรของเศษส่วนก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน แต่ขนาด (เลขชี้กำลัง) ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่เป็นค่าเศษส่วนดังนั้นเส้นขอบของเศษส่วนจึงไม่ใช่เส้น: ที่กำลังขยายสูงจะชัดเจน ว่ามันเบลอและประกอบด้วยเกลียวและขด ทำซ้ำในระดับเล็ก ๆ ของตัวมันเอง ความสม่ำเสมอทางเรขาคณิตดังกล่าวเรียกว่าความแปรปรวนของสเกลหรือความคล้ายตนเอง เธอคือผู้กำหนดมิติเศษส่วนของตัวเลขเศษส่วน

ก่อนการกำเนิดของเรขาคณิตเศษส่วน วิทยาศาสตร์จัดการกับระบบที่มีอยู่ในสามมิติเชิงพื้นที่ ต้องขอบคุณไอน์สไตน์ที่ทำให้มันชัดเจนว่า พื้นที่สามมิติ- เป็นเพียงแบบจำลองของความเป็นจริงเท่านั้น ไม่ใช่ความเป็นจริงในตัวเอง ในความเป็นจริงโลกของเราตั้งอยู่ในความต่อเนื่องของกาลอวกาศสี่มิติ
ต้องขอบคุณ Mandelbrot ที่ทำให้ชัดเจนว่าพื้นที่สี่มิติมีลักษณะอย่างไร เปรียบได้กับใบหน้าเศษส่วนของความโกลาหล เบอนัวต์ แมนเดลบรอตค้นพบว่ามิติที่สี่ไม่เพียงแต่รวมถึงสามมิติแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึง (สิ่งนี้สำคัญมาก!) ช่วงเวลาระหว่างพวกเขาด้วย

เรขาคณิตแบบเรียกซ้ำ (หรือเศษส่วน) กำลังแทนที่ยุคลิด วิทยาศาสตร์ใหม่สามารถอธิบาย ธรรมชาติที่แท้จริงร่างกายและปรากฏการณ์ เรขาคณิตแบบยุคลิดเกี่ยวข้องกับวัตถุในจินตนาการที่เป็นของสามมิติเท่านั้น มีเพียงมิติที่สี่เท่านั้นที่สามารถทำให้มันเป็นจริงได้

ของเหลว ก๊าซ ของแข็งเป็นสถานะทางกายภาพปกติสามสถานะของสสารที่มีอยู่ในโลกสามมิติ แต่อะไรคือมิติของควัน เมฆ หรือมากกว่านั้น ขอบเขตของพวกมัน เบลอต่อเนื่องจากการเคลื่อนที่ของอากาศที่ปั่นป่วน?

โดยพื้นฐานแล้ว แฟร็กทัลแบ่งออกเป็นสามกลุ่ม:

เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต

เศษส่วนสุ่ม

เศษส่วนทางเรขาคณิต

มาดูกันดีกว่าว่าแต่ละคนเป็นอย่างไร

บทที่ 2. การจำแนกประเภทของแฟร็กทัล

เศษส่วนทางเรขาคณิต

เบอนัวต์ แมนเดลบรอตเสนอแบบจำลองเศษส่วน ซึ่งได้กลายเป็นแบบคลาสสิกไปแล้วและมักใช้เพื่อสาธิตวิธีการ ตัวอย่างทั่วไปตัวแฟร็กทัลเอง และเพื่อแสดงให้เห็นถึงความสวยงามของแฟร็กทัล ซึ่งดึงดูดนักวิจัย ศิลปิน และผู้ที่สนใจ

ประวัติของแฟร็กทัลเริ่มต้นขึ้นกับพวกเขา เศษส่วนประเภทนี้ได้มาจากการสร้างทางเรขาคณิตอย่างง่าย โดยปกติแล้ว เมื่อสร้างแฟร็กทัลเหล่านี้ จะมีการดำเนินการดังนี้: "เมล็ด" จะถูกนำมาใช้ - สัจพจน์ - ชุดของส่วน ซึ่งจะสร้างแฟร็กทัลขึ้นมา นอกจากนี้ยังมีการใช้ชุดของกฎกับ "เมล็ดพันธุ์" นี้ซึ่งแปลงเป็นรูปทรงเรขาคณิต นอกจากนี้ กฎชุดเดิมจะถูกนำไปใช้กับแต่ละส่วนของรูปนี้อีกครั้ง ในแต่ละขั้นตอน ตัวเลขจะซับซ้อนขึ้นเรื่อยๆ และถ้าเราดำเนินการ (อย่างน้อยก็ในใจ) การแปลงจำนวนไม่สิ้นสุด เราจะได้เศษส่วนทางเรขาคณิต

แฟร็กทัลของคลาสนี้เป็นภาพที่เห็นได้ชัดเจนที่สุด เนื่องจากพวกมันมองเห็นความคล้ายตนเองได้ในทันทีไม่ว่าจะสังเกตในระดับใด ในกรณีสองมิติ แฟร็กทัลดังกล่าวสามารถหาได้จากการระบุเส้นแบ่งที่เรียกว่าเจนเนอเรเตอร์ ในขั้นตอนหนึ่งของอัลกอริทึม แต่ละส่วนที่ประกอบกันเป็นเส้นขาดจะถูกแทนที่ด้วยตัวสร้างเส้นขาดในระดับที่เหมาะสม อันเป็นผลมาจากการทำซ้ำขั้นตอนนี้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (หรืออย่างแม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อผ่านไปถึงขีด จำกัด ) จะได้เส้นโค้งเศษส่วน ด้วยความซับซ้อนที่ชัดเจนของเส้นโค้งผลลัพธ์ แบบฟอร์มทั่วไปได้รับจากรูปแบบของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเท่านั้น ตัวอย่างของเส้นโค้งดังกล่าว ได้แก่ เส้นโค้ง Koch (รูปที่ 7) เส้นโค้ง Peano (รูปที่ 8) เส้นโค้ง Minkowski

ในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์กำลังมองหาเส้นโค้งที่ไม่มีจุดสัมผัสใดๆ ซึ่งหมายความว่าเส้นโค้งเปลี่ยนทิศทางอย่างกะทันหัน และยิ่งไปกว่านั้นด้วยความเร็วที่สูงมาก (อนุพันธ์มีค่าเท่ากับอนันต์) การค้นหาเส้นโค้งเหล่านี้ไม่ได้เกิดจากความสนใจของนักคณิตศาสตร์เท่านั้น ความจริงก็คือในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 มีการพัฒนาอย่างรวดเร็วมาก กลศาสตร์ควอนตัม. นักวิจัยเอ็ม บราวน์ร่างเส้นทางการเคลื่อนที่ของอนุภาคแขวนลอยในน้ำและอธิบายปรากฏการณ์นี้ดังต่อไปนี้: อะตอมของของเหลวที่เคลื่อนที่แบบสุ่มชนอนุภาคแขวนลอยและทำให้พวกมันเคลื่อนที่ หลังจากการอธิบายการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน นักวิทยาศาสตร์ต้องเผชิญกับภารกิจในการหาเส้นโค้งที่จะแสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคบราวเนียนได้ดีที่สุด สำหรับสิ่งนี้ เส้นโค้งจะต้องสอดคล้องกัน คุณสมบัติดังต่อไปนี้: ไม่มีจุดสัมผัสใดๆ Koch นักคณิตศาสตร์ได้เสนอเส้นโค้งดังกล่าวขึ้นมาหนึ่งเส้น

ถึง เส้นโค้ง Koch เป็นเศษส่วนทางเรขาคณิตทั่วไป ขั้นตอนการก่อสร้างมีดังนี้: เราใช้ส่วนเดียวแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันและแทนที่ช่วงกลางด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยไม่มีส่วนนี้ เป็นผลให้เกิดเส้นแตกซึ่งประกอบด้วยสี่ลิงก์ที่มีความยาว 1/3 ในขั้นตอนถัดไป เราดำเนินการซ้ำสำหรับแต่ละลิงก์ที่เป็นผลลัพธ์ทั้งสี่ และอื่น ๆ ...

เส้นโค้งขีดจำกัดคือ คอคโค้ง.

เกล็ดหิมะ Kochเมื่อทำการเปลี่ยนแปลงที่คล้ายกันกับด้านข้างของสามเหลี่ยมด้านเท่า คุณจะได้ภาพเศษส่วนของเกล็ดหิมะ Koch

ต
อีกหนึ่งตัวแทนง่ายๆ ของเศษส่วนทางเรขาคณิตคือ จัตุรัสเซียร์ปินสกี้สร้างขึ้นอย่างเรียบง่าย: สี่เหลี่ยมถูกแบ่งโดยเส้นตรงที่ขนานกับด้านข้างออกเป็น 9 สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่าๆ กัน จัตุรัสกลางออกจากจัตุรัส มันกลายเป็นชุดที่ประกอบด้วย 8 สี่เหลี่ยมที่เหลือของ "อันดับแรก" ทำเช่นเดียวกันกับแต่ละช่องสี่เหลี่ยมของอันดับแรก เราจะได้ชุดที่ประกอบด้วย 64 ช่องสี่เหลี่ยมของอันดับสอง ดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ เราจะได้ลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือเซียร์ปินสกี้สแควร์

เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต

นี่คือกลุ่มแฟร็กทัลที่ใหญ่ที่สุด แฟร็กทัลเชิงพีชคณิตได้ชื่อมาเพราะสร้างโดยใช้แบบง่าย สูตรพีชคณิต.

ได้มาโดยใช้กระบวนการที่ไม่ใช่เชิงเส้นใน นช่องว่างมิติ เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบไดนามิกแบบไม่เชิงเส้นมีหลายสถานะที่เสถียร สถานะที่ระบบไดนามิกพบตัวเองหลังจากการวนซ้ำจำนวนหนึ่งขึ้นอยู่กับสถานะเริ่มต้น ดังนั้นแต่ละสถานะที่มั่นคง (หรืออย่างที่พวกเขาพูดคือตัวดึงดูด) มีพื้นที่ของสถานะเริ่มต้นซึ่งระบบจะต้องตกอยู่ในสถานะสุดท้ายที่พิจารณา ดังนั้นพื้นที่เฟสของระบบจึงแบ่งออกเป็น พื้นที่ที่น่าสนใจตัวดึงดูด ถ้าเฟสสเปซเป็นแบบสองมิติ ก็จะได้สีที่ต่างกันไปโดยการระบายสีบริเวณที่ดึงดูดด้วยสีที่ต่างกัน ภาพเฟสสีระบบนี้ (กระบวนการวนซ้ำ) ด้วยการเปลี่ยนอัลกอริธึมการเลือกสี คุณจะได้รูปแบบเศษส่วนที่ซับซ้อนพร้อมรูปแบบหลากสีที่สวยงาม สิ่งที่น่าประหลาดใจสำหรับนักคณิตศาสตร์คือความสามารถในการสร้างโครงสร้างที่ซับซ้อนมากโดยใช้อัลกอริธึมดั้งเดิม

ตัวอย่างเช่น พิจารณาชุด Mandelbrot มันถูกสร้างขึ้นโดยใช้จำนวนเชิงซ้อน

ส่วนหนึ่งของขอบเขตชุด Mandelbrot ขยาย 200 เท่า

ชุด Mandelbrot มีจุดที่อยู่ระหว่างไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนการวนซ้ำไม่ไปที่อนันต์ (จุดที่เป็นสีดำ) คะแนนที่อยู่ในขอบเขตของชุด(นี่คือที่ที่โครงสร้างที่ซับซ้อนเกิดขึ้น) ไปที่อนันต์ในจำนวนการวนซ้ำที่จำกัด และจุดที่อยู่นอกเซตไปที่อนันต์หลังจากวนซ้ำหลายครั้ง (พื้นหลังสีขาว)

พี

ตัวอย่างของเศษส่วนเชิงพีชคณิตอีกตัวอย่างหนึ่งคือเซตจูเลีย แฟร็กทัลนี้มี 2 สายพันธุ์น่าแปลกที่ชุด Julia ถูกสร้างขึ้นตามสูตรเดียวกันกับชุด Mandelbrot เซต Julia ถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaston Julia ซึ่งตั้งชื่อตามชื่อเซตนี้

และ
ความจริงที่น่าสนใจ, บาง เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตชวนให้นึกถึงภาพสัตว์ พืช และวัตถุทางชีวภาพอื่น ๆ อันเป็นผลมาจากการที่พวกเขาได้รับชื่อ biomorphs

เศษส่วนสุ่ม

ตัวแทนทั่วไปของแฟร็กทัลกลุ่มนี้คือ "พลาสมา"

ง
ในการสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะถูกนำมาใช้และกำหนดสีสำหรับแต่ละมุม ถัดไป พบจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและทาสีด้วยสีเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสีที่มุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบวกกับจำนวนสุ่ม ยิ่งตัวเลขสุ่มมากเท่าไหร่ ภาพก็จะ "ขาด" มากขึ้นเท่านั้น หากเราคิดว่าสีของจุดคือความสูงเหนือระดับน้ำทะเล เราจะได้ทิวเขาแทนพลาสมา ตามหลักการนี้ภูเขาจะถูกจำลองในโปรแกรมส่วนใหญ่ การใช้อัลกอริธึมแบบพลาสมา สร้างแผนที่ความสูง ใช้ฟิลเตอร์ต่างๆ ใส่พื้นผิว และภูเขาที่เหมือนจริงก็พร้อม

อี
ถ้าเราดูแฟร็กทัลในส่วนนี้ เราจะเห็นว่าแฟร็กทัลนี้มีขนาดใหญ่และมี "ความหยาบ" เพียงเพราะ "ความหยาบ" นี้ จึงมีการประยุกต์ใช้แฟร็กทัลนี้ที่สำคัญมาก

สมมติว่าคุณต้องการอธิบายรูปร่างของภูเขา ตัวเลขทั่วไปจากเรขาคณิตแบบยุคลิดจะไม่ช่วยที่นี่เนื่องจากไม่คำนึงถึงภูมิประเทศของพื้นผิว แต่เมื่อรวมรูปทรงเรขาคณิตทั่วไปเข้ากับรูปทรงเศษส่วน คุณจะได้ "ความขรุขระ" ของภูเขา ต้องใช้พลาสม่ากับกรวยธรรมดาและเราจะได้รับความโล่งใจจากภูเขา การดำเนินการดังกล่าวสามารถดำเนินการกับวัตถุอื่น ๆ ในธรรมชาติได้ด้วยแฟร็กทัลสุ่มทำให้สามารถอธิบายธรรมชาติได้

ตอนนี้เรามาพูดถึงเศษส่วนทางเรขาคณิตกัน

บทที่ 3 "เศษส่วนเรขาคณิตของธรรมชาติ"

เหตุใดเรขาคณิตจึงมักถูกเรียกว่า "เย็น" และ "แห้ง" เหตุผลประการหนึ่งคือไม่สามารถอธิบายรูปร่างของเมฆ ภูเขา แนวชายฝั่ง หรือต้นไม้ได้ เมฆไม่เป็นทรงกลม ภูเขาไม่ใช่รูปกรวย แนวชายฝั่งไม่ใช่วงกลม ต้นไม้ เปลือกไม้ไม่เรียบ ฟ้าแลบไม่เป็นเส้นตรง แผนทั่วไปฉันยืนยันว่าวัตถุจำนวนมากในธรรมชาติมีลักษณะไม่สม่ำเสมอและแยกส่วนมากเมื่อเทียบกับยุคลิด ซึ่งเป็นคำที่ใช้ในงานนี้ซึ่งหมายถึงรูปทรงเรขาคณิตมาตรฐานทั้งหมด ธรรมชาติไม่ได้มีเพียงความซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น แต่ยังมีความซับซ้อนในระดับที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง ตัวเลข เครื่องชั่งที่แตกต่างกันความยาวของวัตถุธรรมชาติสำหรับการใช้งานจริงนั้นไม่มีที่สิ้นสุด"

(เบอนัวต์ Mandelbrot "เรขาคณิตเศษส่วนของธรรมชาติ" ).

ถึง ความสวยงามของแฟร็กทัลมีสองเท่า: มันทำให้ตาเบิกบาน ซึ่งเห็นได้จากนิทรรศการภาพแฟร็กทัลที่จัดขึ้นทั่วโลกเป็นอย่างน้อย ซึ่งจัดโดยกลุ่มนักคณิตศาสตร์ในเบรเมินภายใต้การนำของ Peitgen และ Richter ต่อมาการจัดแสดงของนิทรรศการที่ยิ่งใหญ่นี้ได้ถูกจับเป็นภาพประกอบสำหรับหนังสือ "The Beauty of Fractals" โดยผู้แต่งคนเดียวกัน แต่มีอีกแง่มุมหนึ่งของความงามของแฟร็กทัลที่เป็นนามธรรมหรือประเสริฐกว่า ตามที่ R. Feynman เปิดเผย เฉพาะต่อการจ้องมองทางจิตของนักทฤษฎี ในแง่นี้ แฟร็กทัลมีความสวยงามด้วยความงามของปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยาก เบอนัวต์ แมนเดลบรอตชี้ให้คนร่วมสมัยของเขา (และอาจหมายถึงลูกหลานของเขาด้วย) ถึงช่องว่างที่น่าเสียดายในองค์ประกอบของยุคลิด ตามที่มนุษย์เกือบสองพันปีเข้าใจรูปทรงเรขาคณิตของโลกโดยรอบโดยไม่ได้สังเกตเห็นการละเว้น และเรียนรู้ความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ของ การนำเสนอ. แน่นอนว่าความงามของแฟร็กทัลทั้งสองด้านเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิดและไม่ได้แยกออกจากกัน แต่เสริมซึ่งกันและกันแม้ว่าแต่ละด้านจะมีความพอเพียง

รูปทรงเศษส่วนในธรรมชาติอ้างอิงจาก Mandelbrot เป็นรูปทรงเรขาคณิตจริงที่ตรงตามคำจำกัดความของรูปทรงเรขาคณิตที่เสนอใน "โปรแกรม Erlangen" ของ F. Klein ความจริงก็คือก่อนการกำเนิดของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด N.I. Lobachevsky - L. Bolyai มีรูปทรงเรขาคณิตเพียงอันเดียว - รูปทรงที่กำหนดไว้ใน "จุดเริ่มต้น" และคำถามว่ารูปทรงเรขาคณิตคืออะไรและรูปทรงเรขาคณิตใดที่เป็นรูปทรงเรขาคณิตของโลกแห่งความจริงไม่ได้เกิดขึ้นและไม่สามารถ เกิดขึ้น แต่เมื่อมีรูปทรงเรขาคณิตอื่นเกิดขึ้น คำถามก็เกิดขึ้นว่ารูปทรงเรขาคณิตโดยทั่วไปคืออะไร และรูปทรงเรขาคณิตใดในหลายๆ รูปแบบที่สอดคล้องกับโลกแห่งความเป็นจริง จากข้อมูลของ F. Klein เรขาคณิตศึกษาคุณสมบัติของวัตถุที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลง: Euclidean - ค่าคงที่ของกลุ่มการเคลื่อนไหว (การแปลงที่ไม่เปลี่ยนระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ เช่น การแสดงการทับซ้อนของการแปลแบบขนานและการหมุนด้วยหรือ โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงในการวางแนว) , เรขาคณิต Lobachevsky-Bolyai - ค่าคงที่ของกลุ่ม Lorentz เรขาคณิตเศษส่วนเกี่ยวข้องกับการศึกษาค่าคงที่ของกลุ่มการเปลี่ยนแปลงแบบพึ่งพาตนเอง เช่น คุณสมบัติที่แสดงโดยกฎหมายพลังงาน

สำหรับการติดต่อกับโลกแห่งความจริง เรขาคณิตเศษส่วนอธิบายกระบวนการและปรากฏการณ์ทางธรรมชาติในระดับที่กว้างมาก ดังนั้นเราจึงสามารถตาม B. Mandelbrot พูดถึงเรขาคณิตเศษส่วนในธรรมชาติได้อย่างถูกต้อง ใหม่ - วัตถุเศษส่วนมีคุณสมบัติที่ผิดปกติ ความยาว พื้นที่ และปริมาตรของแฟร็กทัลบางส่วนมีค่าเท่ากับศูนย์ บางส่วนมีค่าเท่ากับศูนย์

ธรรมชาติมักจะสร้างแฟร็กทัลที่น่าทึ่งและสวยงาม ด้วยรูปทรงเรขาคณิตที่สมบูรณ์แบบและความกลมกลืนที่ทำให้คุณหยุดด้วยความชื่นชม และนี่คือตัวอย่าง:

เปลือกหอย

ฟ้าผ่าชื่นชมความงามของพวกเขา แฟร็กทัลที่เกิดจากฟ้าผ่านั้นไม่ได้สุ่มหรือเกิดขึ้นเป็นประจำ

รูปร่างเศษส่วน ชนิดย่อยของกะหล่ำดอก(กะหล่ำดอกทองเหลือง). ชนิดพิเศษนี้เป็นแฟร็กทัลสมมาตรโดยเฉพาะ

พี เฟิร์นยังเป็นตัวอย่างที่ดีของเศษส่วนในหมู่พืช

นกยูงทุกคนรู้จักขนนกหลากสีสันซึ่งซ่อนเศษส่วนที่เป็นของแข็งไว้

น้ำแข็งรูปแบบน้ำค้างแข็งบนหน้าต่าง สิ่งเหล่านี้ก็เป็นแฟร็กทัลเช่นกัน

อ
ภาพขยาย แผ่นพับ, ก่อน กิ่งไม้- คุณสามารถหาเศษส่วนได้ในทุกสิ่ง

แฟร็กทัลมีอยู่ทั่วไปและทุกที่ในธรรมชาติรอบตัวเรา จักรวาลทั้งหมดถูกสร้างขึ้นตามกฎที่สอดคล้องกันอย่างน่าประหลาดใจด้วยความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ หลังจากนั้นเป็นไปได้ไหมที่จะคิดว่าโลกของเราเป็นกลุ่มอนุภาคแบบสุ่ม? แทบจะไม่.

บทที่ 4

แฟร็กทัลกำลังค้นหาแอปพลิเคชันทางวิทยาศาสตร์มากขึ้นเรื่อยๆ เหตุผลหลักคือพวกเขาอธิบายโลกแห่งความเป็นจริงได้ดีกว่าฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมในบางครั้ง นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

อ
วันที่มีการประยุกต์ใช้แฟร็กทัลที่ทรงพลังที่สุด คอมพิวเตอร์กราฟิก. นี่คือการบีบอัดภาพแบบเศษส่วน ฟิสิกส์และกลศาสตร์สมัยใหม่เพิ่งเริ่มศึกษาพฤติกรรมของวัตถุเศษส่วน

ข้อดีของอัลกอริธึมการบีบอัดภาพเศษส่วนคือขนาดที่เล็กมากของไฟล์ที่อัดแน่นและเวลาการกู้คืนภาพที่สั้น ภาพที่อัดแน่นเป็นเศษส่วนสามารถปรับขนาดได้โดยไม่มีลักษณะเป็นพิกเซล (คุณภาพของภาพต่ำ - สี่เหลี่ยมขนาดใหญ่) แต่กระบวนการบีบอัดใช้เวลานานและบางครั้งกินเวลานานหลายชั่วโมง อัลกอริทึมการบรรจุเศษส่วนแบบสูญเสียช่วยให้คุณกำหนดระดับการบีบอัดได้ ซึ่งคล้ายกับรูปแบบ jpeg อัลกอริทึมจะขึ้นอยู่กับการค้นหาชิ้นส่วนขนาดใหญ่ของภาพที่คล้ายกับชิ้นส่วนขนาดเล็ก และเฉพาะส่วนใดที่คล้ายกับที่เขียนไปยังไฟล์เอาต์พุต เมื่อทำการบีบอัดมักใช้กริดสี่เหลี่ยม (ชิ้นส่วนเป็นสี่เหลี่ยม) ซึ่งนำไปสู่มุมเล็กน้อยเมื่อกู้คืนรูปภาพ กริดหกเหลี่ยมไม่มีข้อเสียดังกล่าว

Iterated ได้พัฒนารูปแบบภาพใหม่ "Sting" ซึ่งรวมการบีบอัดแบบ Fractal และ "wave" (เช่น jpeg) แบบไม่สูญเสียข้อมูล รูปแบบใหม่ช่วยให้คุณสร้างภาพที่มีความเป็นไปได้ในการปรับขนาดคุณภาพสูงในภายหลัง และปริมาณไฟล์กราฟิกคือ 15-20% ของปริมาณภาพที่ไม่ได้บีบอัด

ในกลศาสตร์และฟิสิกส์แฟร็กทัลถูกนำมาใช้เนื่องจากคุณสมบัติพิเศษในการทำซ้ำโครงร่างของวัตถุธรรมชาติจำนวนมาก แฟร็กทัลช่วยให้คุณประมาณต้นไม้ พื้นผิวภูเขา และรอยแยกได้ด้วยความแม่นยำสูงกว่าการประมาณด้วยส่วนของเส้นตรงหรือรูปหลายเหลี่ยม (โดยมีจำนวนข้อมูลที่เก็บไว้เท่ากัน) แบบจำลองเศษส่วน เช่น วัตถุธรรมชาติ มี "ความหยาบ" และคุณสมบัตินี้จะถูกรักษาไว้เมื่อแบบจำลองเพิ่มขึ้นมากโดยพลการ การมีหน่วยวัดที่เหมือนกันบนแฟร็กทัลทำให้สามารถใช้การอินทิเกรต ซึ่งเป็นทฤษฎีที่เป็นไปได้ เพื่อใช้แทนวัตถุมาตรฐานในสมการที่ศึกษาไปแล้ว

ต
นอกจากนี้ยังใช้เรขาคณิตเศษส่วน การออกแบบอุปกรณ์เสาอากาศ. สิ่งนี้ถูกใช้ครั้งแรกโดยวิศวกรชาวอเมริกัน นาธาน โคเฮน ซึ่งขณะนั้นอาศัยอยู่ใจกลางเมืองบอสตัน ซึ่งห้ามติดตั้งเสาอากาศภายนอกบนอาคาร โคเฮนตัดรูปร่างโค้งของ Koch ออกจากอลูมิเนียมฟอยล์แล้วติดลงบนแผ่นกระดาษก่อนที่จะติดเข้ากับเครื่องรับ ปรากฎว่าเสาอากาศดังกล่าวใช้งานได้ไม่เลวร้ายไปกว่าเสาอากาศทั่วไป และแม้ว่า หลักการทางกายภาพเสาอากาศดังกล่าวยังไม่ได้รับการศึกษา ซึ่งไม่ได้ขัดขวางโคเฮนจากการจัดตั้งบริษัทของตนเองและตั้งค่าการผลิตแบบต่อเนื่อง ในขณะนี้ บริษัท อเมริกัน "Fractal Antenna System" ได้พัฒนาเสาอากาศชนิดใหม่ ตอนนี้คุณสามารถหยุดใช้งานได้ โทรศัพท์มือถือเสาอากาศกลางแจ้งที่ยื่นออกมา เสาอากาศเศษส่วนที่เรียกว่าตั้งอยู่บนกระดานหลักภายในอุปกรณ์โดยตรง

นอกจากนี้ยังมีสมมติฐานมากมายเกี่ยวกับการใช้แฟร็กทัล เช่น น้ำเหลือง และ ระบบไหลเวียนปอดและอื่น ๆ อีกมากมายยังมีคุณสมบัติเป็นเศษส่วนอีกด้วย

บทที่ 5. การปฏิบัติงาน.

ก่อนอื่นมาโฟกัสที่เศษส่วน "สร้อยคอ", "ชัยชนะ" และ "สแควร์"

อันดับแรก - "สร้อยคอ"(รูปที่ 7) วงกลมเป็นผู้ริเริ่มเศษส่วนนี้ วงกลมนี้ประกอบด้วยวงกลมที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งแต่มีขนาดเล็กกว่า และตัวมันเองก็เป็นหนึ่งในวงกลมหลายๆ วงที่เหมือนกันแต่มีขนาดใหญ่กว่า ดังนั้นกระบวนการของการศึกษาจึงไม่มีที่สิ้นสุดและสามารถดำเนินการได้ทั้งในทิศทางเดียวและในทิศทางตรงกันข้าม เหล่านั้น. ตัวเลขสามารถขยายได้โดยใช้ส่วนโค้งเล็ก ๆ เพียงอันเดียวหรือสามารถย่อขนาดได้โดยพิจารณาจากโครงสร้างที่เล็กกว่า

ข้าว. 7.

เศษส่วน "สร้อยคอ"

เศษส่วนที่สองคือ "ชัยชนะ"(รูปที่ 8) เขาได้ชื่อนี้เพราะภายนอกคล้ายกับตัวอักษรละติน "V" นั่นคือ "ชัยชนะ" - ชัยชนะ แฟร็กทัลนี้ประกอบด้วย "v" ขนาดเล็กจำนวนหนึ่งซึ่งประกอบกันเป็น "V" ขนาดใหญ่หนึ่งตัว และในครึ่งซ้ายซึ่งวางตัวเล็กๆ เพื่อให้ซีกซ้ายประกอบกันเป็นเส้นตรงหนึ่งเส้น ส่วนขวาสร้างด้วยวิธีเดียวกัน "v" แต่ละตัวถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันและดำเนินต่อไปไม่มีที่สิ้นสุด

รูปที่ 8 เศษส่วน "ชัยชนะ"

เศษส่วนที่สามคือ "จัตุรัส" (รูปที่ 9). แต่ละด้านประกอบด้วยเซลล์หนึ่งแถว รูปร่างเหมือนสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งด้านข้างยังแทนแถวของเซลล์ด้วย และอื่นๆ

มะเดื่อ 9. แฟร็กทัล "สแควร์"

เศษส่วนนี้เรียกว่า "กุหลาบ" (รูปที่ 10) เนื่องจากภายนอกมีความคล้ายคลึงกับดอกไม้นี้ การสร้างแฟร็กทัลนั้นสัมพันธ์กับการสร้างชุดของวงกลมศูนย์กลาง ซึ่งรัศมีจะเปลี่ยนไปตามสัดส่วนตามอัตราส่วนที่กำหนด (ในกรณีนี้ R m / R b = ¾ = 0.75.) หลังจากนั้นรูปหกเหลี่ยมปกติจะถูกจารึกไว้ในแต่ละวงกลมซึ่งด้านนั้นเท่ากับรัศมีของวงกลมที่อธิบายไว้โดยรอบ

ข้าว. 11. เศษส่วน "โรส *"

ต่อไปเราหันไปที่รูปห้าเหลี่ยมปกติซึ่งเราวาดเส้นทแยงมุม จากนั้นในรูปห้าเหลี่ยมที่ได้รับจากจุดตัดของส่วนที่สอดคล้องกัน เราวาดเส้นทแยงมุมอีกครั้ง ดำเนินการขั้นตอนนี้ต่อไปจนไม่มีที่สิ้นสุดและรับแฟร็กทัล "Pentagram" (รูปที่ 12)

มาแนะนำองค์ประกอบของความคิดสร้างสรรค์ แล้วแฟร็กทัลของเราจะอยู่ในรูปของวัตถุที่มองเห็นได้มากขึ้น (รูปที่ 13)

ร
เป็น. 12. เศษส่วน "แฉก"

ข้าว. 13. เศษส่วน "แฉก *"

ข้าว. 14 เศษส่วน "หลุมดำ"

การทดลองที่ 1 "ต้นไม้"

ตอนนี้ฉันเข้าใจแล้วว่าแฟร็กทัลคืออะไรและจะสร้างแฟร็กทัลได้อย่างไร ฉันพยายามสร้างภาพแฟร็กทัลของตัวเอง ใน Adobe Photoshop ฉันสร้างรูทีนย่อยหรือการกระทำเล็กๆ ลักษณะเฉพาะของการกระทำนี้คือการกระทำซ้ำๆ ที่ฉันทำ และนี่คือวิธีที่ฉันได้รับแฟร็กทัล

ในการเริ่มต้น ฉันสร้างพื้นหลังสำหรับแฟร็กทัลในอนาคตด้วยความละเอียด 600 คูณ 600 จากนั้นฉันวาด 3 บรรทัดบนพื้นหลังนี้ ซึ่งเป็นพื้นฐานของแฟร็กทัลในอนาคตของเรา

จากขั้นตอนต่อไปคือการเขียนสคริปต์

เลเยอร์ที่ซ้ำกัน ( ชั้น> ซ้ำ) และเปลี่ยนประเภทการผสมเป็น " หน้าจอ" .

เรียกเขาว่า " fr1". ทำซ้ำเลเยอร์นี้ (" fr1") อีก 2 ครั้ง

ตอนนี้เราต้องเปลี่ยนไปใช้เลเยอร์สุดท้าย (fr3) และรวมสองครั้งกับอันก่อนหน้า ( ctrl+e). ลดความสว่างของเลเยอร์ ( รูปภาพ > การปรับค่า > ความสว่าง/คอนทราสต์ , ชุดความสว่าง 50% ). ผสานกับเลเยอร์ก่อนหน้าอีกครั้งและตัดขอบของภาพวาดทั้งหมดเพื่อลบส่วนที่มองไม่เห็นออก

ในขั้นตอนสุดท้าย ฉันได้คัดลอกรูปภาพนี้แล้ววางโดยลดขนาดและหมุน นี่คือผลลัพธ์สุดท้าย

บทสรุป

งานนี้เป็นการแนะนำให้รู้จักกับโลกของแฟร็กทัล เราได้พิจารณาเฉพาะส่วนที่เล็กที่สุดของสิ่งที่เป็นแฟร็กทัล โดยพิจารณาจากหลักการที่สร้างขึ้น

กราฟิกเศษส่วนไม่ได้เป็นเพียงชุดของภาพที่ทำซ้ำตัวเองเท่านั้น แต่เป็นแบบจำลองของโครงสร้างและหลักการของสิ่งมีชีวิตใดๆ ทั้งชีวิตของเราแสดงด้วยแฟร็กทัล ธรรมชาติรอบตัวเราประกอบด้วยพวกมัน ควรสังเกตว่าแฟร็กทัลถูกใช้อย่างแพร่หลายในเกมคอมพิวเตอร์ ซึ่งภูมิประเทศมักจะเป็นภาพแฟร็กทัลตามแบบจำลองสามมิติของฉากที่ซับซ้อน แฟร็กทัลอำนวยความสะดวกอย่างมากในการวาดภาพคอมพิวเตอร์กราฟิก ด้วยความช่วยเหลือของแฟร็กทัล เอฟเฟกต์พิเศษมากมาย รูปภาพที่ยอดเยี่ยมและเหลือเชื่อ ฯลฯ ถูกสร้างขึ้น นอกจากนี้ ด้วยความช่วยเหลือของเศษส่วนเรขาคณิต ต้นไม้ เมฆ ชายฝั่ง และธรรมชาติอื่น ๆ ทั้งหมดจะถูกดึงออกมา กราฟิกเศษส่วนเป็นสิ่งที่จำเป็นในทุกที่ และการพัฒนา "เทคโนโลยีเศษส่วน" เป็นหนึ่งในงานที่สำคัญที่สุดในปัจจุบัน

ในอนาคต ฉันวางแผนที่จะเรียนรู้วิธีสร้างเศษส่วนเชิงพีชคณิตเมื่อฉันศึกษาจำนวนเชิงซ้อนโดยละเอียดยิ่งขึ้น ฉันต้องการลองสร้างภาพเศษส่วนของฉันในภาษาการเขียนโปรแกรม Pascal โดยใช้วงจร

ควรสังเกตการใช้แฟร็กทัลในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ นอกเหนือจากการสร้างภาพที่สวยงามบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ Fractals ในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ใช้ในพื้นที่ต่อไปนี้:

1. บีบอัดรูปภาพและข้อมูล

2. การซ่อนข้อมูลในภาพ, ในเสียง, ...

3. การเข้ารหัสข้อมูลโดยใช้อัลกอริทึมเศษส่วน

4. การสร้างเพลงเศษส่วน

5. การสร้างแบบจำลองระบบ

งานของเราไม่ได้ครอบคลุมทุกพื้นที่ ความรู้ของมนุษย์ที่ซึ่งทฤษฎีแฟร็กทัลพบการประยุกต์ใช้ เราเพียงต้องการจะบอกว่าไม่เกินหนึ่งในสามของศตวรรษผ่านไปแล้วนับตั้งแต่การเกิดขึ้นของทฤษฎี แต่ในช่วงเวลานี้เศษส่วนสำหรับนักวิจัยจำนวนมากได้กลายเป็นแสงสว่างอย่างฉับพลันในตอนกลางคืน ซึ่งส่องสว่างถึงข้อเท็จจริงและรูปแบบที่ไม่รู้จักมาจนบัดนี้ในเฉพาะเจาะจง พื้นที่ข้อมูล โดยใช้ทฤษฎีแฟร็กทัล พวกเขาเริ่มอธิบายวิวัฒนาการของกาแลคซีและการพัฒนาของเซลล์ การเกิดขึ้นของภูเขาและการก่อตัวของเมฆ การเคลื่อนไหวของราคาในตลาดหลักทรัพย์และการพัฒนาสังคมและครอบครัว บางที ในตอนแรก ความหลงใหลในแฟร็กทัลนี้รุนแรงเกินไป และความพยายามที่จะอธิบายทุกอย่างโดยใช้ทฤษฎีแฟร็กทัลก็ไม่ยุติธรรม แต่ไม่ต้องสงสัยเลยว่าทฤษฎีนี้มีสิทธิ์ที่จะมีอยู่และเราเสียใจที่เมื่อเร็ว ๆ นี้มันถูกลืมไปแล้วและยังคงเป็นชนชั้นนำจำนวนมาก ในการเตรียมงานนี้ มันน่าสนใจมากสำหรับเราที่จะค้นหาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีในการปฏิบัติ เพราะบ่อยครั้งมีความรู้สึกว่าความรู้ทางทฤษฎีแตกต่างจากความเป็นจริงของชีวิต

ดังนั้น แนวคิดของแฟร็กทัลจึงไม่ได้เป็นเพียงส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์ที่ "บริสุทธิ์" เท่านั้น แต่ยังเป็นองค์ประกอบของวัฒนธรรมมนุษย์ด้วย วิทยาศาสตร์เศษส่วนยังเด็กมากและมีอนาคตที่ดีรออยู่ข้างหน้า ความสวยงามของแฟร็กทัลนั้นยังห่างไกลจากความเหนื่อยล้า และยังคงมอบผลงานชิ้นเอกมากมายให้กับเรา ไม่ว่าจะเป็นผลงานชิ้นเอกที่สร้างความพึงพอใจให้กับดวงตา และผลงานชิ้นเอกที่นำความสุขมาสู่จิตใจอย่างแท้จริง

10. การอ้างอิง

Bozhokin S.V., Parshin D.A. เศษส่วนและหลายส่วน อาร์เอชดี 2544 .

Vitolin D. การใช้เศษส่วนในคอมพิวเตอร์กราฟิก. // Computerworld-Russia.-1995

Mandelbrot B. ชุดเศษส่วนที่เกี่ยวข้องกับตนเอง "Fractals in Physics" ม.: มีร์ 2531

Mandelbrot B. เศษส่วนเรขาคณิตของธรรมชาติ. - ม.: "สถาบันวิจัยคอมพิวเตอร์", 2545.

โมโรซอฟ ค.ศ. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีเศษส่วน Nizhny Novgorod: สำนักพิมพ์ Nizhegorod มหาวิทยาลัย 2542

Paytgen H.-O., Richter P. H. ความงามของเศษส่วน - ม.: "เมียร์", 2536.

แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html