เศษส่วนในจำนวนเฉพาะ คำถามพื้นฐานของงาน

แฟร็กทัลเป็นที่รู้จักมาเกือบศตวรรษ มีการศึกษาเป็นอย่างดีและมีการนำไปใช้ในชีวิตมากมาย ปรากฏการณ์นี้ขึ้นอยู่กับ ความคิดที่เรียบง่าย: ตัวเลขจำนวนนับไม่ถ้วนที่มีความสวยงามและหลากหลายสามารถหาได้จากโครงสร้างที่ค่อนข้างง่ายโดยดำเนินการเพียงสองอย่าง - การคัดลอกและการปรับขนาด

แนวคิดนี้ไม่มีคำจำกัดความที่เข้มงวด ดังนั้นคำว่าเศษส่วนจึงไม่ใช่คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ โดยปกติแล้วนี่คือชื่อของรูปทรงเรขาคณิตที่ตรงกับหนึ่งหรือหลายรายการ คุณสมบัติดังต่อไปนี้:

มีโครงสร้างที่ซับซ้อนในทุกการขยาย
คือ (โดยประมาณ) คล้ายตนเอง;
มีขนาดเศษส่วน Hausdorff (เศษส่วน) ซึ่งใหญ่กว่าทอพอโลยี
สามารถสร้างได้โดยกระบวนการเรียกซ้ำ

ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20 การศึกษาแฟร็กทัลเป็นแบบเป็นตอนๆ มากกว่าเป็นระบบ เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ยุคก่อนส่วนใหญ่ศึกษาวัตถุที่ "ดี" ซึ่งสามารถศึกษาได้โดยใช้วิธีการและทฤษฎีทั่วไป ในปี 1872 Karl Weierstrass นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้สร้างตัวอย่างขึ้นมา ฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่งไม่มีความแตกต่าง อย่างไรก็ตาม โครงสร้างของมันเป็นนามธรรมโดยสิ้นเชิงและยากที่จะเข้าใจ ดังนั้นในปี ค.ศ. 1904 ชาวสวีเดน Helge von Koch จึงคิดค้นเส้นโค้งต่อเนื่องที่ไม่มีการสัมผัสกัน และการวาดนั้นค่อนข้างง่าย ปรากฎว่ามีคุณสมบัติของเศษส่วน รูปแบบหนึ่งของเส้นโค้งนี้เรียกว่า Koch snowflake

Paul Pierre Levy ชาวฝรั่งเศสซึ่งเป็นที่ปรึกษาในอนาคตของ Benoit Mandelbrot ได้หยิบยกแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันของตัวเลขขึ้นมา ในปี 1938 บทความของเขา "ระนาบและเส้นโค้งเชิงพื้นที่และพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่คล้ายกับทั้งหมด" ได้รับการตีพิมพ์ ซึ่งมีการอธิบายเศษส่วนอีกชิ้นหนึ่ง นั่นคือ Lévy C-curve แฟร็กทัลทั้งหมดข้างต้นสามารถนำมาประกอบกับแฟร็กทัลเชิงสร้างสรรค์ (เรขาคณิต) แบบมีเงื่อนไขหนึ่งชั้น

อีกคลาสหนึ่งคือแฟร็กทัลแบบไดนามิก (เกี่ยวกับพีชคณิต) ซึ่งรวมถึงชุด Mandelbrot การศึกษาครั้งแรกในทิศทางนี้ย้อนกลับไปเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 และเกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaston Julia และ Pierre Fatou ในปีพ. ศ. 2461 จูเลียได้ตีพิมพ์ผลงานเกือบสองร้อยหน้าที่อุทิศให้กับการวนซ้ำของความซับซ้อน ฟังก์ชันตรรกยะซึ่งอธิบายชุดจูเลีย ซึ่งเป็นแฟร็กทัลทั้งตระกูลที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับชุดแมนเดลบรอต งานนี้ได้รับรางวัลจาก French Academy แต่ไม่มีภาพประกอบเดียวดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะชื่นชมความงามของวัตถุที่ค้นพบ แม้ว่างานนี้จะทำให้จูเลียมีชื่อเสียงในหมู่นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้น แต่มันก็ถูกลืมอย่างรวดเร็ว

เพียงครึ่งศตวรรษต่อมา ด้วยการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ ความสนใจจึงหันไปที่งานของ Julia และ Fatou พวกเขาคือผู้ที่ทำให้ความร่ำรวยและความสวยงามของโลกแห่งแฟร็กทัลมองเห็นได้ ท้ายที่สุด Fatou ไม่สามารถดูภาพที่ตอนนี้เรารู้ว่าเป็นภาพของชุด Mandelbrot เนื่องจากไม่สามารถคำนวณจำนวนที่จำเป็นได้ด้วยตนเอง บุคคลแรกที่ใช้คอมพิวเตอร์สำหรับสิ่งนี้คือ Benoit Mandelbrot

ในปี 1982 หนังสือ "The Fractal Geometry of Nature" ของ Mandelbrot ได้รับการตีพิมพ์ ซึ่งผู้เขียนได้รวบรวมและจัดระบบข้อมูลเกือบทั้งหมดเกี่ยวกับเศษส่วนที่มีในขณะนั้น และนำเสนอในลักษณะที่เข้าถึงได้ง่าย แมนเดลบรอตเน้นหลักในการนำเสนอไม่ใช่สูตรที่น่าขบขันและโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ แต่อยู่ที่สัญชาตญาณทางเรขาคณิตของผู้อ่าน ต้องขอบคุณภาพประกอบที่สร้างจากคอมพิวเตอร์และเรื่องราวทางประวัติศาสตร์ ซึ่งผู้เขียนได้เจือจางองค์ประกอบทางวิทยาศาสตร์ของเอกสารอย่างชำนาญ ทำให้หนังสือเล่มนี้กลายเป็นหนังสือขายดี และเศษส่วนก็กลายเป็นที่รู้จักของสาธารณชนทั่วไป ความสำเร็จของพวกเขาในหมู่ผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์นั้นส่วนใหญ่มาจากความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของโครงสร้างและสูตรง่ายๆ ที่แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายก็สามารถเข้าใจได้ ทำให้ได้ภาพที่มีความซับซ้อนและสวยงามน่าทึ่ง เมื่อคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลมีประสิทธิภาพเพียงพอ แม้แต่เทรนด์ศิลปะก็ปรากฏขึ้น - ภาพวาดเศษส่วน และเจ้าของคอมพิวเตอร์เกือบทุกคนสามารถทำได้ ขณะนี้บนอินเทอร์เน็ตคุณสามารถค้นหาไซต์มากมายสำหรับหัวข้อนี้ได้อย่างง่ายดาย

ต้นไม้ ชายทะเล ก้อนเมฆ หรืออะไร หลอดเลือดในมือของเรา? เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าวัตถุเหล่านี้ไม่มีอะไรเหมือนกันเลย อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริง มีคุณสมบัติอย่างหนึ่งของโครงสร้างที่มีอยู่ในวัตถุทั้งหมดที่อยู่ในรายการ: พวกมันมีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง จากกิ่งไม้เช่นเดียวกับลำต้นของต้นไม้กระบวนการที่เล็กกว่าก็แยกออกจากพวกมัน - แม้กระทั่งอันที่เล็กกว่า ฯลฯ นั่นคือกิ่งก้านนั้นคล้ายกับต้นไม้ทั้งต้น ในทำนองเดียวกันก็เช่นกัน ระบบไหลเวียน: หลอดเลือดแดงออกจากหลอดเลือดแดงและจากนั้น - เส้นเลือดฝอยที่เล็กที่สุดซึ่งออกซิเจนเข้าสู่อวัยวะและเนื้อเยื่อ ลองดูที่ ภาพอวกาศชายฝั่งทะเล: เราจะเห็นอ่าวและคาบสมุทร ลองมาดูกัน แต่จากมุมสูงเราจะเห็นอ่าวและแหลม ตอนนี้ลองนึกภาพว่าเรากำลังยืนอยู่บนชายหาดและมองไปที่เท้าของเรา: จะมีก้อนกรวดที่ยื่นลงไปในน้ำมากกว่าที่อื่น นั่นคือแนวชายฝั่งยังคงคล้ายกับตัวเองเมื่อซูมเข้า Benoit Mandelbrot นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันเรียกคุณสมบัติของเศษส่วนวัตถุและวัตถุดังกล่าวว่าเศษส่วน (จากภาษาละติน fractus - หัก)

แนวคิดนี้ไม่มีคำจำกัดความที่เข้มงวด ดังนั้นคำว่าเศษส่วนจึงไม่ใช่คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ โดยปกติ แฟร็กทัลคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้อย่างน้อยหนึ่งข้อ: มีโครงสร้างที่ซับซ้อนเมื่อขยายเท่าใดก็ได้ (ไม่เหมือนกับเส้นตรง เช่น ส่วนใดๆ ที่เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด - ส่วน) มัน (ประมาณ) คล้ายตัวเอง มันมีมิติ Hausdorff (เศษส่วน) เศษส่วนซึ่งใหญ่กว่าทอพอโลยี สามารถสร้างได้ด้วยกระบวนการเรียกซ้ำ

เรขาคณิตและพีชคณิต

การศึกษาแฟร็กทัลในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20 มีลักษณะเป็นขั้นตอนมากกว่าเป็นระบบ เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ยุคก่อนส่วนใหญ่ศึกษาวัตถุที่ "ดี" ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้วิธีการและทฤษฎีทั่วไป ในปี พ.ศ. 2415 คาร์ล ไวเออร์ชตราส นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้สร้างตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ อย่างไรก็ตาม โครงสร้างของมันเป็นนามธรรมโดยสิ้นเชิงและยากที่จะเข้าใจ ดังนั้นในปี ค.ศ. 1904 ชาวสวีเดน Helge von Koch จึงคิดค้นเส้นโค้งต่อเนื่องที่ไม่มีการสัมผัสกัน และการวาดนั้นค่อนข้างง่าย ปรากฎว่ามีคุณสมบัติของเศษส่วน รูปแบบหนึ่งของเส้นโค้งนี้เรียกว่า Koch snowflake

Paul Pierre Levy ชาวฝรั่งเศสซึ่งเป็นที่ปรึกษาในอนาคตของ Benoit Mandelbrot ได้หยิบยกแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันของตัวเลขขึ้นมา ในปี 1938 บทความของเขา "ระนาบและเส้นโค้งเชิงพื้นที่และพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่คล้ายกับทั้งหมด" ได้รับการตีพิมพ์ ซึ่งมีการอธิบายเศษส่วนอีกชิ้นหนึ่ง นั่นคือ Lévy C-curve แฟร็กทัลทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้นสามารถนำมาประกอบกับแฟร็กทัลเชิงสร้างสรรค์ (เรขาคณิต) แบบมีเงื่อนไขได้

อีกคลาสหนึ่งคือแฟร็กทัลแบบไดนามิก (เกี่ยวกับพีชคณิต) ซึ่งรวมถึงชุด Mandelbrot การวิจัยครั้งแรกในทิศทางนี้เริ่มขึ้นเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 และเกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaston Julia และ Pierre Fatou ในปีพ. ศ. 2461 จูเลียตีพิมพ์บันทึกความทรงจำเกือบสองร้อยหน้าซึ่งอุทิศให้กับการวนซ้ำของฟังก์ชันเชิงเหตุผลที่ซับซ้อนซึ่งอธิบายชุดของจูเลีย - แฟร็กทัลทั้งตระกูลที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับชุดแมนเดลบรอต งานนี้ได้รับรางวัลจาก French Academy แต่ไม่มีภาพประกอบเดียวดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะชื่นชมความงามของวัตถุที่ค้นพบ แม้ว่างานนี้จะทำให้จูเลียมีชื่อเสียงในหมู่นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้น แต่มันก็ถูกลืมอย่างรวดเร็ว อีกครั้งความสนใจหันมาสนใจมันเพียงครึ่งศตวรรษต่อมาด้วยการกำเนิดของคอมพิวเตอร์: พวกเขาเป็นผู้ที่ทำให้มองเห็นความร่ำรวยและความสวยงามของโลกแห่งแฟร็กทัล

มิติเศษส่วน

อย่างที่คุณทราบ ขนาด (จำนวนการวัด) ของรูปทรงเรขาคณิตคือจำนวนพิกัดที่จำเป็นในการกำหนดตำแหน่งของจุดที่อยู่บนรูปนี้
ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของจุดบนเส้นโค้งถูกกำหนดโดยหนึ่งพิกัด บนพื้นผิว (ไม่จำเป็นต้องเป็นระนาบ) โดยสองพิกัด ในพื้นที่สามมิติโดยสามพิกัด
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ทั่วไป เราสามารถกำหนดมิติด้วยวิธีนี้: การเพิ่มมิติเชิงเส้น พูด สองเท่า สำหรับวัตถุ (ส่วน) หนึ่งมิติ (จากมุมมองทอพอโลยี) นำไปสู่การเพิ่มขนาด (ความยาว) สองเท่าสำหรับสองมิติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส ) การเพิ่มขนาดเชิงเส้นที่เท่ากันทำให้ขนาด (พื้นที่) เพิ่มขึ้น 4 เท่าสำหรับสามมิติ (ลูกบาศก์) - 8 เท่า นั่นคือมิติข้อมูล "ของจริง" (ที่เรียกว่า Hausdorff) สามารถคำนวณได้จากอัตราส่วนของลอการิทึมของการเพิ่ม "ขนาด" ของวัตถุต่อลอการิทึมของการเพิ่มขนาดเชิงเส้น นั่นคือ สำหรับเซ็กเมนต์ D=log (2)/log (2)=1 สำหรับระนาบ D=log (4)/log (2)=2 สำหรับวอลุ่ม D=log (8)/log (2 )=3.
ให้เราคำนวณขนาดของเส้นโค้ง Koch สำหรับการก่อสร้างซึ่งส่วนของหน่วยแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันและช่วงกลางจะถูกแทนที่ด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยไม่มีส่วนนี้ ด้วยการเพิ่มขนาดเชิงเส้นของส่วนต่ำสุดสามครั้ง ความยาวของเส้นโค้ง Koch จะเพิ่มขึ้นในบันทึก (4) / บันทึก (3) ~ 1.26 นั่นคือมิติของเส้นโค้ง Koch เป็นเศษส่วน!

ศาสตร์และศิลป์

โครงการเพื่อให้ได้เส้นโค้ง Koch

สงครามและสันติภาพ

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น หนึ่งในวัตถุทางธรรมชาติที่มีคุณสมบัติเศษส่วนคือแนวชายฝั่ง ด้วยหรือมากกว่าด้วยความพยายามที่จะวัดความยาวของมัน เรื่องราวที่น่าสนใจซึ่งเป็นพื้นฐานของบทความทางวิทยาศาสตร์ของ Mandelbrot และยังอธิบายไว้ในหนังสือของเขาเรื่อง "The Fractal Geometry of Nature" เรากำลังพูดถึงการทดลองที่ก่อตั้งโดย Lewis Richardson นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักอุตุนิยมวิทยาที่เก่งกาจและแปลกประหลาด หนึ่งในทิศทางของการวิจัยของเขาคือความพยายามที่จะค้นหา คำอธิบายทางคณิตศาสตร์สาเหตุและแนวโน้มของการสู้รบระหว่างสองประเทศ ในบรรดาพารามิเตอร์ที่เขาคำนึงถึงคือความยาวของพรมแดนร่วมกันระหว่างสองประเทศที่ทำสงครามกัน เมื่อเขารวบรวมข้อมูลสำหรับการทดลองเชิงตัวเลข เขาพบว่าข้อมูลในแหล่งต่างๆ เส้นขอบทั่วไปสเปนและโปรตุเกสแตกต่างกันมาก สิ่งนี้ทำให้เขาค้นพบสิ่งต่อไปนี้: ความยาวของพรมแดนของประเทศขึ้นอยู่กับไม้บรรทัดที่เราใช้วัด ยิ่งสเกลเล็กลงเท่าใด เส้นขอบก็จะยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น นี่เป็นเพราะการขยายที่สูงขึ้นทำให้สามารถพิจารณาส่วนโค้งของชายฝั่งได้มากขึ้นซึ่งก่อนหน้านี้ถูกละเลยเนื่องจากความหยาบของการวัด และถ้าด้วยการซูมแต่ละครั้งจะมีการเปิดเส้นโค้งที่ไม่เคยมีมาก่อนปรากฎว่าความยาวของเส้นขอบนั้นไม่มีที่สิ้นสุด! จริงอยู่ที่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น - ความแม่นยำของการวัดของเรามีขีดจำกัดที่แน่นอน ความขัดแย้งนี้เรียกว่าเอฟเฟกต์ริชาร์ดสัน

แฟร็กทัลเชิงสร้างสรรค์ (เรขาคณิต)

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างเศษส่วนเชิงสร้างสรรค์ใน กรณีทั่วไปเป็น. ก่อนอื่น เราต้องการรูปทรงเรขาคณิตที่เหมาะสมสองรูปทรง เรียกมันว่าฐานและส่วนย่อย ในขั้นตอนแรกจะมีการอธิบายพื้นฐานของเศษส่วนในอนาคต จากนั้นชิ้นส่วนบางส่วนจะถูกแทนที่ด้วยชิ้นส่วนที่มีขนาดเหมาะสม - นี่เป็นการทำซ้ำครั้งแรกของการก่อสร้าง จากนั้นในรูปผลลัพธ์บางส่วนจะเปลี่ยนเป็นตัวเลขที่คล้ายกับเศษส่วนอีกครั้งและอื่น ๆ หากเราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ เราจะได้เศษส่วนในขีด จำกัด

พิจารณากระบวนการนี้โดยใช้ตัวอย่างเส้นโค้ง Koch (ดูแถบด้านข้างในหน้าที่แล้ว) สามารถใช้เส้นโค้งใดก็ได้เป็นพื้นฐานของเส้นโค้ง Koch (สำหรับเกล็ดหิมะ Koch นี่คือรูปสามเหลี่ยม) แต่เราจำกัดตัวเองให้อยู่ในกรณีที่ง่ายที่สุด นั่นคือกลุ่ม ส่วนที่เป็นเส้นแตกที่แสดงด้านบนของภาพ หลังจากการวนซ้ำครั้งแรกของอัลกอริทึมใน กรณีนี้ส่วนเดิมจะตรงกับส่วนย่อยจากนั้นแต่ละส่วนที่เป็นส่วนประกอบจะถูกแทนที่ด้วยเส้นแบ่งที่คล้ายกับส่วนย่อย และอื่น ๆ รูปแสดงสี่ขั้นตอนแรกของกระบวนการนี้

ภาษาของคณิตศาสตร์: ไดนามิก (เกี่ยวกับพีชคณิต) แฟร็กทัล

แฟร็กทัลประเภทนี้เกิดขึ้นในการศึกษาระบบไดนามิกแบบไม่เชิงเส้น (เพราะฉะนั้นชื่อ) พฤติกรรมของระบบดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันไม่เชิงเส้นเชิงซ้อน (โพลิโนเมียล) f(z) ให้เราหาจุดเริ่มต้น z0 บนระนาบเชิงซ้อน (ดูแถบด้านข้าง) ตอนนี้พิจารณาลำดับของตัวเลขบนระนาบเชิงซ้อนที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งแต่ละลำดับจะได้มาจากลำดับก่อนหน้า: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn) ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้น z0 ลำดับดังกล่าวอาจทำงานแตกต่างกัน: มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดเป็น n -> ∞; บรรจบกันที่จุดสิ้นสุด ใช้ค่าคงที่จำนวนหนึ่งเป็นวัฏจักร มีตัวเลือกที่ซับซ้อนมากขึ้น

จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนคือจำนวนที่ประกอบด้วยสองส่วน - จำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ นั่นคือ ผลบวกอย่างเป็นทางการ x + iy (x และ y ในที่นี้คือจำนวนจริง) ฉันคือสิ่งที่เรียกว่า หน่วยจินตภาพ นั่นคือ จำนวนที่เข้าสมการ ผม^ 2 = -1. เหนือจำนวนเชิงซ้อน หลัก การดำเนินการทางคณิตศาสตร์- การบวก การคูณ การหาร การลบ (ไม่ได้กำหนดการดำเนินการเปรียบเทียบเท่านั้น) มักใช้เพื่อแสดงจำนวนเชิงซ้อน การแสดงทางเรขาคณิต- บนระนาบ (เรียกว่าคอมเพล็กซ์) ส่วนจริงจะถูกพล็อตตามแกน abscissa และส่วนจินตภาพตามแกนลำดับ ในขณะที่จำนวนเชิงซ้อนจะสอดคล้องกับจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน x และ y

ดังนั้นจุด z ใดๆ ของระนาบเชิงซ้อนจึงมีลักษณะพฤติกรรมของมันเองในระหว่างการวนซ้ำของฟังก์ชัน f (z) และระนาบทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ ยิ่งไปกว่านั้น จุดที่อยู่บนขอบเขตของส่วนเหล่านี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: สำหรับการกระจัดที่มีขนาดเล็กโดยพลการ ลักษณะของพฤติกรรมของพวกมันจะเปลี่ยนไปอย่างมาก (จุดดังกล่าวเรียกว่า จุดแยกสองทาง) ดังนั้น ปรากฎว่าชุดของจุดที่มีพฤติกรรมเฉพาะประเภทหนึ่ง เช่นเดียวกับชุดของจุดที่แยกไปสองทาง มักจะมีคุณสมบัติเศษส่วน นี่คือชุดจูเลียสำหรับฟังก์ชัน f(z)

ครอบครัวมังกร

โดยการเปลี่ยนฐานและชิ้นส่วน คุณจะได้รับแฟร็กทัลเชิงสร้างสรรค์ที่หลากหลายและน่าทึ่ง
นอกจากนี้ยังสามารถดำเนินการที่คล้ายกันในพื้นที่สามมิติ ตัวอย่างของเศษส่วนเชิงปริมาตร ได้แก่ "ฟองน้ำของ Menger", "พีระมิดของ Sierpinski" และอื่นๆ
ครอบครัวของมังกรเรียกอีกอย่างว่าเศษส่วนเชิงสร้างสรรค์ บางครั้งพวกเขาถูกเรียกตามชื่อของผู้ค้นพบว่า "มังกรแห่งเฮยเว่ย-ฮาร์เตอร์" (มีรูปร่างคล้ายมังกรจีน) มีหลายวิธีในการสร้างเส้นโค้งนี้ สิ่งที่ง่ายและชัดเจนที่สุดคือ: คุณต้องใช้กระดาษที่มีความยาวเพียงพอ (กระดาษยิ่งบางยิ่งดี) และงอครึ่ง จากนั้นงอครึ่งอีกครั้งในทิศทางเดียวกับครั้งแรก หลังจากพับซ้ำหลายครั้ง (โดยปกติหลังจากพับห้าหรือหกทบ แถบจะหนาเกินไปที่จะงออย่างระมัดระวังต่อไป) คุณต้องยืดแถบกลับให้ตรง และพยายามทำมุม 90˚ ที่รอยพับ จากนั้นเส้นโค้งของมังกรจะปรากฎในโปรไฟล์ แน่นอนว่านี่เป็นเพียงการประมาณเท่านั้น เช่นเดียวกับความพยายามทั้งหมดของเราในการพรรณนาวัตถุที่เป็นเศษส่วน คอมพิวเตอร์ช่วยให้คุณสามารถอธิบายขั้นตอนเพิ่มเติมในกระบวนการนี้ได้ และผลที่ได้คือตัวเลขที่สวยงามมาก

ชุด Mandelbrot สร้างแตกต่างกันบ้าง พิจารณาฟังก์ชัน fc (z) = z 2 +c โดยที่ c เป็นจำนวนเชิงซ้อน ให้เราสร้างลำดับของฟังก์ชันนี้ด้วย z0=0 ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ c มันสามารถเปลี่ยนไปเป็นอนันต์หรือคงขอบเขตไว้ได้ ยิ่งกว่านั้น ค่าทั้งหมดของ c ซึ่งลำดับนี้ถูกผูกมัดจากชุด Mandelbrot แมนเดลบรอตเองและนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้ศึกษาอย่างละเอียด ซึ่งได้ค้นพบคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมายของเซตนี้

จะเห็นได้ว่าคำจำกัดความของชุด Julia และ Mandelbrot นั้นคล้ายคลึงกัน ในความเป็นจริงทั้งสองชุดนี้มีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด กล่าวคือชุด Mandelbrot คือค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่ซับซ้อน c ซึ่งชุด Julia fc (z) เชื่อมต่ออยู่ (ชุดเรียกว่าเชื่อมต่อหากไม่สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนที่ไม่ตัดกันโดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการ)

เศษส่วนและชีวิต

ทุกวันนี้ ทฤษฎีแฟร็กทัลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ นอกเหนือจากวัตถุทางวิทยาศาสตร์ล้วน ๆ สำหรับการวิจัยและการวาดภาพเศษส่วนที่กล่าวถึงแล้ว fractals ยังใช้ในทฤษฎีข้อมูลเพื่อบีบอัดข้อมูลกราฟิก (ที่นี่ส่วนใหญ่จะใช้คุณสมบัติความคล้ายตนเองของเศษส่วน - เพื่อจดจำชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของรูปวาดและการแปลงร่างซึ่งคุณสามารถรับชิ้นส่วนที่เหลือได้ ซึ่งใช้หน่วยความจำน้อยกว่าการจัดเก็บไฟล์ทั้งหมด) ด้วยการเพิ่มการก่อกวนแบบสุ่มให้กับสูตรที่กำหนดแฟร็กทัล คุณจะได้แฟร็กทัลสุ่มที่สื่อถึงวัตถุจริงบางอย่างได้อย่างน่าเชื่อถือ เช่น องค์ประกอบการบรรเทา พื้นผิวของแหล่งน้ำ พืชบางชนิด ซึ่งใช้ในฟิสิกส์ ภูมิศาสตร์ และคอมพิวเตอร์กราฟิกได้สำเร็จ ความคล้ายคลึงกันมากขึ้นของวัตถุจำลองกับของจริง ในทศวรรษที่ผ่านมาอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์วิทยุเริ่มผลิตเสาอากาศที่มีรูปร่างเป็นเศษส่วน ใช้พื้นที่น้อยจึงรับสัญญาณได้ค่อนข้างมีคุณภาพสูง นักเศรษฐศาสตร์ใช้เศษส่วนเพื่ออธิบายเส้นโค้งความผันผวนของสกุลเงิน (คุณสมบัตินี้ค้นพบโดย Mandelbrot เมื่อ 30 ปีที่แล้ว) สรุปการเดินทางสั้น ๆ ในโลกของแฟร็กทัลที่น่าทึ่งในความงามและความหลากหลายของมัน

เมื่อฉันไม่เข้าใจทุกสิ่งในสิ่งที่ฉันอ่าน ฉันไม่อารมณ์เสียเป็นพิเศษ หากไม่พบหัวข้อนี้ในภายหลังแสดงว่าไม่สำคัญมากนัก (อย่างน้อยสำหรับฉัน) ถ้าเจอหัวข้อนี้อีกเป็นครั้งที่ 3 ไว้โอกาสหน้าจะมาทำความเข้าใจใหม่นะครับ แฟร็กทัลอยู่ในหัวข้อดังกล่าว ฉันเรียนรู้เกี่ยวกับพวกเขาครั้งแรกจากหนังสือของ Nassim Taleb และจากนั้นในรายละเอียดเพิ่มเติมจากหนังสือของ Benoit Mandelbrot วันนี้ตามคำขอ "เศษส่วน" บนเว็บไซต์คุณจะได้รับ 20 โน้ต

ส่วนที่ 1 การเดินทางสู่ต้นกำเนิด

ชื่อคือการรู้ย้อนกลับไปเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 อองรี ปวงกาเรกล่าวว่า “คุณประหลาดใจกับพลังที่คำๆ เดียวสามารถมีได้ นี่คือวัตถุที่ไม่สามารถพูดได้จนกว่าจะรับบัพติสมา ก็เพียงพอแล้วที่จะตั้งชื่อให้เขาว่าปาฏิหาริย์จะเกิดขึ้น” (ดูเพิ่มเติม) และมันก็เกิดขึ้นเมื่อในปี 1975 เบอนัวต์ แมนเดลบรอต นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีต้นกำเนิดจากโปแลนด์ได้รวบรวมพระวจนะ จากคำภาษาละติน แฟรนเจอร์(แตก) และ เศษส่วน(ไม่ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง เป็นเศษส่วน) เศษส่วนได้ก่อตัวขึ้น Mandelbrot ส่งเสริมและเผยแพร่แฟร็กทัลอย่างชำนาญในฐานะแบรนด์โดยยึดตามความดึงดูดทางอารมณ์และประโยชน์ใช้สอยที่มีเหตุผล เขาตีพิมพ์เอกสารหลายเล่ม รวมทั้ง The Fractal Geometry of Nature (1982)

เศษส่วนในธรรมชาติและศิลปะแมนเดลบรอตสรุปรูปทรงเรขาคณิตเศษส่วนนอกเหนือจากยุคลิด ความแตกต่างนี้ใช้ไม่ได้กับสัจพจน์ของความเท่าเทียม เช่นเดียวกับในรูปทรงเรขาคณิตของ Lobachevsky หรือ Riemann ความแตกต่างคือการปฏิเสธข้อกำหนดเริ่มต้นของ Euclid สำหรับความราบรื่น วัตถุบางอย่างมีความหยาบ มีรูพรุน หรือแตกเป็นชิ้นโดยเนื้อแท้ และหลายชิ้นมี คุณสมบัติที่ระบุ"ในระดับเดียวกันในทุกขนาด" ในธรรมชาติไม่มีปัญหาการขาดแคลนรูปแบบดังกล่าว: ดอกทานตะวันและบรอกโคลี, เปลือกหอย, เฟิร์น, เกล็ดหิมะ, รอยแยกบนภูเขา, ชายฝั่ง, ฟยอร์ด, หินงอกและหินย้อย, ฟ้าผ่า

ผู้ที่ใส่ใจและช่างสังเกตสังเกตมานานแล้วว่ารูปแบบบางอย่างแสดงโครงสร้างซ้ำๆ เมื่อดู "ในระยะใกล้หรือจากระยะไกล" เมื่อเข้าใกล้วัตถุดังกล่าว เราสังเกตเห็นว่ามีเพียงรายละเอียดเล็กน้อยเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง แต่รูปร่างโดยรวมยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ตามนี้ แฟร็กทัลนั้นง่ายที่สุดในการกำหนดเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีองค์ประกอบซ้ำกันในทุกระดับ

ตำนานและความลึกลับรูปแบบชั้นใหม่ที่ค้นพบโดย Mandelbrot กลายเป็นเหมืองทองคำสำหรับนักออกแบบ สถาปนิก และวิศวกร แฟร็กทัลจำนวนนับไม่ได้ถูกสร้างขึ้นตามหลักการเดียวกันของการทำซ้ำหลายครั้ง จากตรงนี้ แฟร็กทัลนั้นง่ายที่สุดในการกำหนดเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีองค์ประกอบซ้ำกันในทุกขนาด รูปทรงเรขาคณิตนี้ไม่เปลี่ยนแปลงเฉพาะที่ (ไม่แปรผัน) มีความคล้ายตนเองในระดับหนึ่งและอินทิกรัลในข้อจำกัด เป็นภาวะเอกฐานที่แท้จริง ความซับซ้อนซึ่งถูกเปิดเผยเมื่อเข้าใกล้ และไม่สำคัญในระยะไกล

บันไดปีศาจสัญญาณไฟฟ้าที่แรงมากใช้เพื่อถ่ายโอนข้อมูลระหว่างคอมพิวเตอร์ สัญญาณดังกล่าวไม่ต่อเนื่อง การรบกวนหรือสัญญาณรบกวนเกิดขึ้นแบบสุ่มในเครือข่ายไฟฟ้าเนื่องจากสาเหตุหลายประการ และนำไปสู่การสูญหายของข้อมูลเมื่อมีการส่งข้อมูลระหว่างคอมพิวเตอร์ เพื่อขจัดอิทธิพลของสัญญาณรบกวนต่อการส่งข้อมูลในช่วงต้นทศวรรษที่หกสิบเศษได้รับความไว้วางใจจากกลุ่มวิศวกรของ IBM ซึ่ง Mandelbrot เข้ามามีส่วนร่วม

การวิเคราะห์อย่างคร่าว ๆ แสดงให้เห็นว่ามีช่วงเวลาที่ไม่มีการบันทึกข้อผิดพลาด เมื่อแยกช่วงเวลาที่กินเวลานานหนึ่งชั่วโมงออกแล้ว วิศวกรสังเกตว่าระหว่างนั้น ช่วงเวลาที่ส่งสัญญาณโดยไม่มีข้อผิดพลาดนั้นเป็นช่วงๆ เช่นกัน มีการหยุดชั่วคราวที่สั้นกว่าซึ่งกินเวลาประมาณยี่สิบนาที ดังนั้นการส่งข้อมูลโดยไม่มีข้อผิดพลาดจึงมีลักษณะเป็นแพ็กเก็ตข้อมูลที่มีความยาวต่างกันและหยุดชั่วคราวในสัญญาณรบกวนซึ่งสัญญาณจะถูกส่งโดยไม่มีข้อผิดพลาด ในแพ็คเกจที่มีอันดับสูงกว่านั้น แพ็คเกจที่มีอันดับต่ำกว่าจะถูกสร้างขึ้นภายใน คำอธิบายดังกล่าวแสดงถึงการมีอยู่ของสิ่งนั้น เช่น ตำแหน่งสัมพัทธ์ของแพ็กเก็ตที่มีอันดับต่ำกว่าในแพ็กเก็ตที่มีอันดับสูงกว่า ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตำแหน่งสัมพัทธ์ของแพ็คเกจเหล่านี้ไม่ขึ้นกับอันดับของพวกมัน ความไม่แปรผันนี้บ่งบอกถึงความคล้ายคลึงกันของกระบวนการบิดเบือนข้อมูลภายใต้การกระทำของสัญญาณรบกวนทางไฟฟ้า ขั้นตอนในการตัดการหยุดชั่วคราวโดยปราศจากข้อผิดพลาดในสัญญาณระหว่างการส่งข้อมูลไม่สามารถเกิดขึ้นได้กับวิศวกรไฟฟ้า ด้วยเหตุผลที่ว่านี่เป็นเรื่องใหม่สำหรับพวกเขา

แต่แมนเดลบรอตซึ่งศึกษาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ทราบดีถึงชุดคันทอร์ ซึ่งอธิบายย้อนกลับไปในปี พ.ศ. 2426 และเป็นตัวแทนของฝุ่นจากคะแนนที่ได้รับตามอัลกอริธึมที่เข้มงวด สาระสำคัญของอัลกอริธึมสำหรับการสร้าง "ฝุ่นของคันทอร์" มีดังต่อไปนี้ ใช้เส้นตรง ลบส่วนที่สามตรงกลางออกโดยเก็บปลายทั้งสองไว้ ตอนนี้เราทำซ้ำการดำเนินการเดียวกันกับส่วนท้ายและอื่น ๆ Mandelbrot ค้นพบว่านี่คือรูปทรงเรขาคณิตของแพ็กเก็ตและการหยุดชั่วคราวในการส่งสัญญาณระหว่างคอมพิวเตอร์ ข้อผิดพลาดสะสม สามารถจำลองการสะสมได้ดังนี้ ในขั้นตอนแรก เรากำหนดค่า 1/2 ให้กับคะแนนทั้งหมดจากช่วงเวลา ในขั้นตอนที่สองจากช่วงเวลา กำหนดค่า 1/4 ค่า 3/4 ให้กับคะแนนจากช่วงเวลา เป็นต้น การรวมทีละขั้นตอนของปริมาณเหล่านี้ทำให้สามารถสร้างสิ่งที่เรียกว่า "บันไดปีศาจ" (รูปที่ 1) การวัด "ฝุ่นต้นเสียง" เป็นจำนวนอตรรกยะเท่ากับ 0.618 ... หรือที่เรียกว่า "อัตราส่วนทองคำ" หรือ "สัดส่วนพระเจ้า"

ส่วนที่ 2 แฟร็กทัลคือสิ่งสำคัญ

ยิ้มโดยไม่ต้องแมว: มิติเศษส่วนมิติข้อมูลเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่นอกเหนือไปจากคณิตศาสตร์ Euclid ในหนังสือเล่มแรกของ "Beginnings" ได้กำหนดแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต จุด เส้น ระนาบ ตามคำจำกัดความเหล่านี้ แนวคิดของปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเป็นเวลาเกือบสองพันห้าพันปี ความเจ้าชู้จำนวนมากที่มีช่องว่างสี่ ห้ามิติและมิติอื่น ๆ นั้นไม่ได้เพิ่มอะไรเลย แต่พวกเขาเผชิญกับสิ่งที่จินตนาการของมนุษย์ไม่สามารถจินตนาการได้ ด้วยการค้นพบเศษส่วนเรขาคณิต การปฏิวัติที่รุนแรงเกิดขึ้นในแนวคิดของมิติ มิติข้อมูลที่หลากหลายปรากฏขึ้นและในหมู่พวกเขาไม่ได้เป็นเพียงจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเศษส่วนและแม้แต่จำนวนอตรรกยะด้วย และมิติเหล่านี้มีให้สำหรับการแสดงภาพและความรู้สึก อันที่จริง เราสามารถจินตนาการได้อย่างง่ายดายว่าชีสที่มีรูเป็นแบบจำลองของสื่อที่มีขนาดมากกว่าสอง แต่มีขนาดไม่ถึงสามรูเนื่องจากรูชีสซึ่งทำให้ขนาดของมวลชีสลดลง

เพื่อทำความเข้าใจมิติเศษส่วนหรือเศษส่วน ลองมาดูความขัดแย้งของ Richardson ซึ่งอ้างว่าความยาวของแนวชายฝั่งที่ขรุขระของสหราชอาณาจักรนั้นไม่มีที่สิ้นสุด! Louis Fry Richardson สงสัยเกี่ยวกับผลกระทบของมาตราส่วนการวัดต่อขนาดของความยาวที่วัดได้ของแนวชายฝั่งอังกฤษ เมื่อเปลี่ยนจากมาตราส่วนของแผนที่ชั้นความสูงเป็น "ก้อนกรวดชายฝั่ง" เขาก็ได้ข้อสรุปที่แปลกประหลาดและคาดไม่ถึง นั่นคือ ความยาวของแนวชายฝั่งเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด และการเพิ่มขึ้นนี้ไม่มีขีดจำกัด เส้นโค้งเรียบจะไม่ทำงานเช่นนี้ ข้อมูลเชิงประจักษ์ของริชาร์ดสันซึ่งได้มาจากแผนที่ที่มีสเกลที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ เป็นพยานถึงการเพิ่มกฎพลังงานในความยาวของแนวชายฝั่งโดยที่ขั้นตอนการวัดลดลง:

ในสูตรริชาร์ดสันง่ายๆ นี้ แอลคือความยาวของชายฝั่งที่วัดได้ ε คือค่าของขั้นตอนการวัดและ β ≈ 3/2 คือระดับการเติบโตของความยาวชายฝั่งที่พบโดยขั้นตอนการวัดที่ลดลง ความยาวของแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด 55 ต่างจากเส้นรอบวง เธอไม่มีที่สิ้นสุด! ต้องทำใจกับความโค้งหักศอก ไม่เนียน ไม่จำกัดความยาว

อย่างไรก็ตาม การศึกษาของริชาร์ดสันเสนอว่า พวกเขามีการวัดลักษณะเฉพาะของระดับความยาวที่เพิ่มขึ้นโดยมีมาตราส่วนการวัดลดลง ปรากฎว่าเป็นค่าที่ระบุอย่างลึกลับ สายหักเหมือนลายนิ้วมือของบุคคล แมนเดลบรอตตีความแนวชายฝั่งว่าเป็นวัตถุเศษส่วน ซึ่งเป็นวัตถุที่มีขนาดตรงกับเลขชี้กำลัง β

ตัวอย่างเช่น ขนาดของเส้นโค้งขอบเขตชายฝั่งสำหรับชายฝั่งตะวันตกของนอร์เวย์คือ 1.52; สำหรับสหราชอาณาจักร - 1.25; สำหรับเยอรมนี - 1.15; สำหรับออสเตรเลีย - 1.13; สำหรับชายฝั่งที่ค่อนข้างเรียบของแอฟริกาใต้ - 1.02 และสุดท้าย สำหรับวงกลมที่เรียบสนิท - 1.0

เมื่อดูที่เศษส่วน คุณจะไม่สามารถบอกได้ว่าขนาดของมันคืออะไร และเหตุผลไม่ได้อยู่ในความซับซ้อนทางเรขาคณิตของชิ้นส่วนชิ้นส่วนนั้นง่ายมาก แต่ในความเป็นจริงมิติเศษส่วนไม่เพียงสะท้อนรูปร่างของชิ้นส่วนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงรูปแบบของการแปลงชิ้นส่วนในกระบวนการสร้าง เศษส่วน มิติเศษส่วนจะถูกลบออกจากแบบฟอร์ม และด้วยเหตุนี้ ค่าของมิติเศษส่วนจึงยังคงไม่แปรเปลี่ยน มันเหมือนกันสำหรับเศษส่วนใดๆ ของเศษส่วนในทุกขนาดการดู ไม่สามารถ "จับด้วยนิ้ว" แต่สามารถคำนวณได้

ทำซ้ำเศษส่วนการทำซ้ำสามารถสร้างแบบจำลองด้วยสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้น สมการเชิงเส้นมีลักษณะเฉพาะโดยความสอดคล้องกันของตัวแปรแบบหนึ่งต่อหนึ่ง: แต่ละค่า เอ็กซ์ตรงกับหนึ่งค่าเดียวเท่านั้น ที่และในทางกลับกัน. ตัวอย่างเช่น สมการ x + y = 1 เป็นแบบเส้นตรง พฤติกรรม ฟังก์ชันเชิงเส้นกำหนดโดยสมบูรณ์ กำหนดเฉพาะตามเงื่อนไขเริ่มต้น พฤติกรรมของฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้นนั้นไม่คลุมเครือนัก เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขที่แตกต่างกันสามารถนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันได้ บนพื้นฐานนี้ การวนซ้ำของการดำเนินการซ้ำจะปรากฏในสองรูปแบบที่แตกต่างกัน มันสามารถมีลักษณะของการอ้างอิงเชิงเส้น เมื่อในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณมีการกลับไปสู่เงื่อนไขเริ่มต้น นี่คือ "การวนซ้ำรูปแบบ" การผลิตแบบอนุกรมในสายการประกอบคือ "การวนซ้ำรูปแบบ" การวนซ้ำในรูปแบบของการอ้างอิงเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานะขั้นกลางของวิวัฒนาการของระบบ ที่นี่ การทำซ้ำใหม่แต่ละครั้งจะเริ่มต้น "จากเตา" ค่อนข้างแตกต่างกันเมื่อการวนซ้ำมีรูปแบบการวนซ้ำ กล่าวคือ ผลลัพธ์ของขั้นตอนการวนซ้ำก่อนหน้าจะกลายเป็นเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับขั้นตอนถัดไป

การเรียกซ้ำสามารถแสดงด้วยชุด Fibonacci ซึ่งแสดงในรูปแบบของลำดับ Girard:

คุณ n +2 = คุณ n +1 + คุณ n

ผลลัพธ์คือตัวเลขฟีโบนัชชี:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

ในตัวอย่างนี้ ค่อนข้างชัดเจนว่ามีการใช้ฟังก์ชันกับตัวเองโดยไม่อ้างอิงค่าเริ่มต้น มันเรียงตัวเลื่อนไปตามชุด Fibonacci และผลลัพธ์แต่ละรายการของการวนซ้ำครั้งก่อนจะกลายเป็นค่าเริ่มต้นสำหรับค่าถัดไป มันเป็นการทำซ้ำที่เกิดขึ้นในการสร้างรูปแบบเศษส่วน

ให้เราแสดงวิธีการทำซ้ำเศษส่วนในอัลกอริทึมสำหรับการสร้าง "ผ้าเช็ดปาก Sierpinski" (โดยใช้วิธีตัดและวิธี CIF)

วิธีการตัดเราใช้เวลา สามเหลี่ยมด้านเท่ากับงานปาร์ตี้ ร. ในขั้นตอนแรกเราตัดตรงกลางเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ากลับด้านโดยมีความยาวด้านข้าง ร 1 = ร 0/2 จากขั้นตอนนี้ เราได้สามเหลี่ยมด้านเท่าสามอันที่มีความยาวด้าน ร 1 = ร 0 /2 อยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมเดิม (รูปที่ 2)

ในขั้นตอนที่สอง ในแต่ละรูปสามเหลี่ยมทั้งสามที่เกิดขึ้น เราตัดรูปสามเหลี่ยมคว่ำที่มีความยาวด้านข้างออก ร 2 = ร 1 /2 = ร 0 /4. ผลลัพธ์ - สามเหลี่ยม 9 อันที่มีความยาวด้าน ร 2 = ร 0 /4. เป็นผลให้รูปร่างของ "ผ้าเช็ดปาก Sierpinski" ค่อยๆ ชัดเจนยิ่งขึ้น ความตรึงตราเกิดขึ้นในทุกย่างก้าว การแก้ไขก่อนหน้านี้ทั้งหมดเป็นแบบ "ลบ"

วิธี SIF หรือวิธีระบบของฟังก์ชันวนซ้ำของ Barnsleyกำหนด: สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีพิกัดของมุม A (0.0), B (1.0), C (1/2, √3/2) Z 0 เป็นจุดโดยพลการภายในสามเหลี่ยมนี้ (รูปที่ 3) เราใช้ลูกเต๋าซึ่งด้านข้างมีตัวอักษร A, B และ C สองตัว

ขั้นตอนที่ 1 โยนกระดูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวอักษรแต่ละตัวคือ 2/6 = 1/3

หากตัวอักษร A หายไปเราจะสร้างส่วน z 0 -A ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 1
หากตัวอักษร B หายไปเราจะสร้างส่วน z 0 -B ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 1
หากตัวอักษร C หลุดออกมาเราจะสร้างส่วน z 0 -C ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 1

ขั้นตอนที่ 2 โยนกระดูกอีกครั้ง

หากตัวอักษร A หายไปเราจะสร้างส่วน z 1 -A ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 2
หากตัวอักษร B หายไปเราจะสร้างส่วน z 1 -B ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 2
หากตัวอักษร C หลุดออกมาเราจะสร้างส่วน z 1 -C ตรงกลางซึ่งเราใส่จุด z 2

ทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งเราจะได้คะแนน z 3 , z 4 , …, z n . ความไม่ชอบมาพากลของแต่ละคนคือจุดนั้นอยู่กึ่งกลางจากจุดก่อนหน้าถึงจุดสุดยอดที่เลือกโดยพลการ ตอนนี้ถ้าเราทิ้งจุดเริ่มต้นเช่นจาก z 0 ถึง z 100 จากนั้นส่วนที่เหลือจะมีจำนวนมากพอสมควรสร้างโครงสร้าง "Sierpinski napkin" ยิ่งมีจุดมาก ยิ่งทำซ้ำมาก เศษส่วน Sierpinski จะปรากฏต่อผู้สังเกตได้ชัดเจนยิ่งขึ้น และแม้ว่ากระบวนการจะดำเนินไป แต่ก็ดูเหมือนเป็นการสุ่ม (ขอบคุณลูกเต๋า) "ผ้าเช็ดปาก Sierpinski" เป็นตัวดึงดูดกระบวนการชนิดหนึ่ง นั่นคือ ตัวเลขที่เส้นทางการเคลื่อนที่ทั้งหมดสร้างขึ้นในกระบวนการนี้โดยมีแนวโน้มการวนซ้ำจำนวนมากพอสมควร การแก้ไขภาพในกรณีนี้เป็นกระบวนการที่สะสมและสะสม แต่ละจุดอาจไม่ตรงกับจุดของเศษส่วน Sierpinski แต่แต่ละจุดที่ตามมาของกระบวนการนี้ซึ่งจัดโดย "โดยบังเอิญ" จะถูกดึงดูดให้เข้าใกล้จุดของ "Sierpinski napkin" มากขึ้นเรื่อย ๆ

ลูปข้อเสนอแนะผู้ก่อตั้งไซเบอร์เนติกส์ Norbert Wiener ยกตัวอย่างนายท้ายเรือเพื่ออธิบายวงจรป้อนกลับ นายท้ายเรือต้องอยู่ในเส้นทางและคอยประเมินว่าเรือแล่นไปตามเส้นทางได้ดีเพียงใด ถ้านายท้ายเรือเห็นว่าเรือกำลังเบี่ยง เขาจะหมุนหางเสือเพื่อกลับไปสู่เส้นทางที่กำหนด หลังจากนั้นครู่หนึ่งเขาก็ประเมินและแก้ไขทิศทางการเคลื่อนไหวอีกครั้งโดยใช้พวงมาลัย ดังนั้นการนำทางจะดำเนินการโดยใช้การวนซ้ำ การทำซ้ำ และการประมาณการเคลื่อนที่ของเรือไปยังเส้นทางที่กำหนดอย่างต่อเนื่อง

แผนภาพวงจรป้อนกลับทั่วไปจะแสดงในรูปที่ 4 มันลงมาเพื่อเปลี่ยนแปลง พารามิเตอร์ตัวแปร(ทิศทางเรือ) และพารามิเตอร์ควบคุม C (หัวเรือ)

พิจารณาการทำแผนที่ "Bernoulli shift" ปล่อยให้เป็น สถานะเริ่มต้นมีการเลือกหมายเลขหนึ่งซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง:

x 0 \u003d 0.01011010001010011001010 ...

ขั้นตอนหนึ่งของวิวัฒนาการตามเวลาคือลำดับของเลขศูนย์และลำดับถูกเลื่อนไปทางซ้ายทีละตำแหน่ง และหลัก ด้านซ้ายจากเครื่องหมายจุลภาค ละทิ้ง:

x 1 \u003d 0.1011010001010011001010 ...

x 2 \u003d 0.011010001010011001010 ...

x 3 \u003d 0.11010001010011001010 ...

โปรดทราบว่าหากตัวเลขเดิม x 0เหตุผลแล้วในกระบวนการของการวนซ้ำค่า เอ็กซ์นเข้าสู่วงโคจรเป็นระยะ ตัวอย่างเช่น สำหรับหมายเลขเริ่มต้น 11/24 ในกระบวนการวนซ้ำ เราได้รับชุดของค่า:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

ถ้าค่าเดิม x0เป็นอตรรกยะ การแมปจะไม่มีวันถึงโหมดธาตุ ช่วงเวลาของค่าเริ่มต้น x 0 ∈ มีจุดอตรรกยะจำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุดและจุดอตรรกยะจำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้น ความหนาแน่นของวงโคจรคาบจะเท่ากับความหนาแน่นของวงโคจรที่ไม่เคยไปถึงระบอบการปกครองคาบ ในละแวกใกล้เคียงของค่าตรรกยะ x0มีค่าอตรรกยะของพารามิเตอร์เริ่มต้น x' 0ในสถานการณ์เช่นนี้ ความอ่อนไหวเล็กน้อยต่อสภาวะเริ่มต้นย่อมเกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ นี่เป็นสัญญาณบ่งชี้ว่าระบบอยู่ในสถานะของความโกลาหลแบบไดนามิก

ลูปข้อเสนอแนะเบื้องต้นย้อนกลับคือ เงื่อนไขที่จำเป็นและผลที่ตามมาของการมองทุกด้านที่ทำให้ตัวเองประหลาดใจ ไอคอนของลูปย้อนกลับอาจเป็นแถบ Möbius ซึ่งด้านล่างจะผ่านเข้าสู่ด้านบนด้วยวงกลมแต่ละวง ด้านในจะกลายเป็นด้านนอกและในทางกลับกัน การสะสมของความแตกต่างระหว่างกระบวนการย้อนกลับ ขั้นแรกจะนำภาพออกจากต้นฉบับ แล้วจึงกลับไปสู่ภาพนั้น ในทางตรรกะ วงจรย้อนกลับแสดงโดยความขัดแย้งของเอพิเมนิเดส: "ชาวครีตันทั้งหมดเป็นคนโกหก" แต่ Epimenides เองเป็นชาวครีต

ห่วงแปลกสาระสำคัญแบบไดนามิกของปรากฏการณ์ของการวนซ้ำที่แปลกประหลาดคือภาพที่เปลี่ยนไปและแตกต่างจากภาพต้นฉบับมากขึ้นเรื่อย ๆ กลับสู่ภาพต้นฉบับในกระบวนการเปลี่ยนรูปจำนวนมาก แต่ไม่เคยทำซ้ำอย่างแน่นอน อธิบายปรากฏการณ์นี้ Hofstadter แนะนำคำว่า "ห่วงแปลก" ในหนังสือ เขาสรุปได้ว่า Escher, Bach และ Gödel ค้นพบหรือพูดให้ชัดกว่านั้นคือใช้ลูปแปลกๆ ในงานและความคิดสร้างสรรค์ของพวกเขาใน ศิลปกรรมดนตรีและคณิตศาสตร์ตามลำดับ Escher ใน Metamorphoses ค้นพบการเชื่อมโยงที่แปลกประหลาดของระนาบต่างๆ ของความเป็นจริง รูปแบบของมุมมองทางศิลปะรูปแบบหนึ่งจะถูกเปลี่ยนให้เป็นรูปแบบของมุมมองทางศิลปะรูปแบบอื่น (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. Maurits Escher วาดมือ 2491

ความแปลกประหลาดดังกล่าวแสดงออกในทางที่แปลกประหลาดในดนตรี หนึ่งในหลักการของการเสนอขายดนตรีของ Bach ( แคนนอนต่อโตนอส- วรรณยุกต์แคนนอน) ถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่จุดสิ้นสุดที่ชัดเจนผ่านเข้าสู่จุดเริ่มต้นอย่างราบรื่นโดยไม่คาดคิด แต่มีการเปลี่ยนแปลงของโทนเสียง การปรับต่อเนื่องเหล่านี้ทำให้ผู้ฟังสูงขึ้นและสูงขึ้นจากระดับเสียงเดิม อย่างไรก็ตาม น่าอัศจรรย์ หลังจากการมอดูเลตหกครั้ง เราเกือบจะกลับมาแล้ว ตอนนี้เสียงทั้งหมดดังขึ้นหนึ่งอ็อกเทฟมากกว่าตอนเริ่มต้น สิ่งที่แปลกเพียงอย่างเดียวคือเมื่อเราเลื่อนระดับของลำดับชั้นหนึ่งๆ ขึ้นไป จู่ๆ เราก็พบว่าตัวเองอยู่ในที่เดียวกับที่เราเริ่มต้นการเดินทาง - กลับมาโดยไม่ทำซ้ำ.

เคิร์ต โกเดลค้นพบลูปแปลกๆ ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่และเชี่ยวชาญที่สุดสาขาหนึ่ง นั่นคือทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทของ Gödel มองเห็นแสงสว่างเป็นครั้งแรกในฐานะทฤษฎีบทที่ 6 ในบทความปี 1931 ของเขาเรื่อง "Only undecidable propositions" ใน Principle Mathematica ทฤษฎีบทระบุต่อไปนี้: สูตรเชิงสัจพจน์ที่สอดคล้องกันทั้งหมดของทฤษฎีจำนวนประกอบด้วยประพจน์ที่ตัดสินใจไม่ได้ การตัดสินของทฤษฎีจำนวนไม่ได้กล่าวถึงการตัดสินของทฤษฎีจำนวน พวกเขาไม่มีอะไรมากไปกว่าการตัดสินทฤษฎีจำนวน มีการวนซ้ำที่นี่ แต่ไม่มีความแปลกประหลาด ลูปแปลก ๆ ซ่อนอยู่ในหลักฐาน

ดึงดูดแปลก Attractor (จากภาษาอังกฤษ. ดึงดูดดึงดูด) จุดหรือ สายปิดซึ่งดึงดูดเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพฤติกรรมของระบบ ตัวดึงดูดนั้นคงที่ นั่นคือ ในระยะยาว พฤติกรรมเดียวที่เป็นไปได้คือตัวดึงดูด ส่วนอย่างอื่นนั้นชั่วคราว ตัวดึงดูดเป็นวัตถุเชิงพื้นที่และชั่วขณะซึ่งครอบคลุมกระบวนการทั้งหมด โดยไม่ใช่ทั้งสาเหตุและผลกระทบของมัน มันถูกสร้างขึ้นโดยระบบที่มีระดับความเป็นอิสระในจำนวนจำกัดเท่านั้น ตัวดึงดูดอาจเป็นจุด วงกลม ทอรัส และแฟร็กทัล ในกรณีหลังนี้ ตัวดึงดูดเรียกว่า "แปลก" (รูปที่ 6)

ตัวดึงดูดจุดอธิบายถึงสถานะที่เสถียรของระบบ ในเฟสสเปซ เป็นจุดที่เกิดวิถีเฉพาะที่ของ "โหนด" "โฟกัส" หรือ "แซดเดิล" นี่คือลักษณะการทำงานของลูกตุ้ม: ใด ๆ ความเร็วเริ่มต้นและตำแหน่งเริ่มต้นใด ๆ หลังจากเวลาเพียงพอภายใต้แรงเสียดทาน ลูกตุ้มจะหยุดและเข้าสู่สภาวะสมดุลที่เสถียร ตัวดึงดูดแบบวงกลม (เป็นวัฏจักร) คือการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาเหมือนลูกตุ้มในอุดมคติ (โดยไม่มีแรงเสียดทาน) เป็นวงกลม

สิ่งดึงดูดที่แปลกประหลาด ( ดึงดูดแปลก ๆ )ดูแปลกแค่ภายนอก แต่คำว่า " ตัวดึงดูดที่แปลกประหลาด” แพร่กระจายทันทีหลังจากบทความเรื่อง “The Nature of Turbulence” ในปี 1971 โดย David Ruel และ Dutchman Floris Takens (ดูเพิ่มเติม) Ruelle และ Takens สงสัยว่าสิ่งดึงดูดใจใดมีลักษณะเฉพาะที่ถูกต้อง: ความมั่นคง จำนวนองศาอิสระที่จำกัด และความไม่เป็นช่วงเวลา จากมุมมองทางเรขาคณิต คำถามดูเหมือนเป็นปริศนาล้วน วิถีโคจรที่ขยายออกไปอย่างไม่สิ้นสุดควรมีรูปแบบใดในพื้นที่จำกัด เพื่อไม่ให้เกิดซ้ำหรือตัดกัน ในการสร้างแต่ละจังหวะ วงโคจรต้องเป็นเส้นยาวไม่สิ้นสุด พื้นที่จำกัดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือกลืนตัวเอง (รูปที่ 7)

ภายในปี พ.ศ. 2514 วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์มีภาพร่างหนึ่งของผู้ดึงดูดอยู่แล้ว Eduard Lorentz จัดทำเป็นภาคผนวกของบทความในปี 1963 ของเขาเกี่ยวกับความโกลาหลที่กำหนดขึ้น ตัวดึงดูดนี้คงที่ ไม่เป็นระยะ มีองศาอิสระเพียงเล็กน้อย และไม่เคยข้ามตัวเอง หากสิ่งนี้เกิดขึ้น และเขากลับไปยังจุดที่เขาผ่านไปแล้ว การเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้นซ้ำอีกในอนาคต สร้างแรงดึงดูดแบบวงแหวน แต่สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น

ความแปลกประหลาดของแรงดึงดูดอยู่ที่ Ruel เชื่อในสัญญาณสามอย่างที่ไม่เหมือนกัน แต่ในทางปฏิบัติมีอยู่ร่วมกัน:

เศษส่วน (การซ้อน, ความเหมือน, ความสม่ำเสมอ);
การกำหนด (ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น);
เอกพจน์ ( จำนวนจำกัดการกำหนดพารามิเตอร์)

ส่วนที่ 3 ความสว่างในจินตนาการของรูปแบบเศษส่วน

ตัวเลขในจินตนาการ ภาพเฟส และความน่าจะเป็นเรขาคณิตเศษส่วนมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีจำนวนจินตภาพ ภาพเฟสไดนามิก และทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีจำนวนจินตภาพถือว่ามีรากที่สองของลบหนึ่ง Gerolamo Cardano ในงานของเขา "The Great Art" ("Ars Magna", 1545) นำเสนอคำตอบทั่วไปของสมการลูกบาศก์ z 3 + pz + q = 0 Cardano ใช้ตัวเลขจินตภาพเป็นวิธีการทางด้านเทคนิคเพื่อแสดงรากเหง้าของ สมการ เขาสังเกตเห็นความไม่ชอบมาพากลซึ่งเขาแสดงด้วยสมการง่ายๆ x 3 = 15x + 4 สมการนี้มีคำตอบที่ชัดเจนอย่างหนึ่ง: x = 4 อย่างไรก็ตาม สูตรทั่วไปให้ผลลัพธ์ที่แปลกประหลาด ประกอบด้วยรากของจำนวนลบ:

ราฟาเอล บอมเบลลีในหนังสือของเขาเกี่ยวกับพีชคณิต ("L'Algebra", 1560) ชี้ให้เห็นว่า = 2 ± i และสิ่งนี้ทำให้เขาได้รับรากที่แท้จริง x = 4 ในกรณีเช่นนี้ เมื่อจำนวนเชิงซ้อนมารวมกัน จะได้จำนวนจริง ได้รับราก และจำนวนเชิงซ้อนทำหน้าที่เป็นความช่วยเหลือทางเทคนิคในกระบวนการรับคำตอบของสมการลูกบาศก์

นิวตันเชื่อว่าคำตอบที่มีรากของลบหนึ่งควรถือว่า "ไม่มีความหมายทางกายภาพ" และถูกทิ้งไป ในศตวรรษที่ XVII-XVIII ความเข้าใจได้ก่อตัวขึ้นว่าบางสิ่งในจินตภาพ จิตวิญญาณ จินตภาพนั้นไม่จริงน้อยกว่าทุกสิ่งจริงที่นำมารวมกัน เรายังสามารถระบุวันที่แน่นอนได้ว่าเป็นวันที่ 10 พฤศจิกายน ค.ศ. 1619 เมื่อเดส์การตส์กำหนดแถลงการณ์ของความคิดใหม่ "cogito ergo sum" จากนี้ไป ความคิดคือความจริงที่แน่นอนและไม่ต้องสงสัย: “ถ้าฉันคิด แสดงว่าฉันมีอยู่จริง”! ตอนนี้ความคิดที่แม่นยำยิ่งขึ้นถูกมองว่าเป็นความจริง แนวคิดของ Descartes เกี่ยวกับระบบพิกัดมุมฉากด้วยจำนวนจินตภาพทำให้สมบูรณ์ ตอนนี้เป็นไปได้ที่จะเติมจำนวนจินตภาพเหล่านี้ด้วยความหมาย

ในศตวรรษที่ 19 ผลงานของ Euler, Argan, Cauchy, Hamilton ได้พัฒนาเครื่องมือเลขคณิตสำหรับการทำงานกับจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของ X + iY โดยที่ X และ Y เป็นจำนวนจริงที่เราคุ้นเคย และ ผมหน่วยจินตภาพ (โดยพื้นฐานแล้วมันคือ √–1) จำนวนเชิงซ้อนแต่ละจำนวนสอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด (X, Y) บนระนาบเชิงซ้อนที่เรียกว่า

แนวคิดสำคัญประการที่สอง ภาพเหมือนของระบบไดนามิก ก่อตัวขึ้นในศตวรรษที่ 20 หลังจากที่ Einstein แสดงให้เห็นว่าทุกอย่างเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากันเมื่อเทียบกับแสง แนวคิดของความสามารถในการแสดงพฤติกรรมไดนามิกของระบบในรูปแบบของเส้นเรขาคณิตที่เยือกแข็ง ซึ่งเรียกว่าภาพเหมือนเฟสของระบบไดนามิก ความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน

ลองอธิบายด้วยตัวอย่างลูกตุ้ม การทดลองครั้งแรกกับลูกตุ้ม Jean Foucault ดำเนินการในปี พ.ศ. 2394 ในห้องใต้ดินจากนั้นในหอดูดาวปารีสจากนั้นจึงอยู่ภายใต้โดมของวิหารแพนธีออน ในที่สุดในปี ค.ศ. 1855 ลูกตุ้มของฟูโกต์ก็ถูกแขวนไว้ใต้โดมของโบสถ์แซงต์-มาร์แตง-เด-ช็องส์ในปารีส ความยาวของเชือกของลูกตุ้ม Foucault คือ 67 ม. น้ำหนักของ Kettlebell คือ 28 กก. จากระยะไกลลูกตุ้มดูเหมือนจุด จุดนั้นอยู่นิ่งเสมอ ใกล้เข้ามา เราแยกแยะระบบที่มีวิถีทั่วไปสามแบบ: ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก (sinϕ ≈ ϕ), ลูกตุ้ม (แกว่งไปมา), ใบพัด (หมุน)

ที่ซึ่งผู้สังเกตการณ์ในท้องถิ่นเห็นหนึ่งในนั้น สามเป็นไปได้การกำหนดค่าการเคลื่อนที่ของลูกบอล นักวิเคราะห์ที่แยกตัวออกจากกระบวนการสามารถสันนิษฐานได้ว่าลูกบอลมีการเคลื่อนที่แบบใดแบบหนึ่งจากสามแบบ นี้สามารถแสดงบนระนาบเดียว มีความจำเป็นต้องตกลงว่าเราจะย้าย "ลูกบอลบนเธรด" ไปยังพื้นที่เฟสนามธรรมที่มีพิกัดมากเท่ากับจำนวนองศาอิสระที่ระบบพิจารณา ในกรณีนี้เรากำลังพูดถึงความเร็วอิสระสองระดับ โวลต์และมุมเอียงของด้ายกับลูกบอลไปยังแนวตั้ง ϕ ในพิกัด ϕ และ v เส้นทางการเคลื่อนที่ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์เป็นระบบของวงกลมที่มีศูนย์กลาง เมื่อมุม ϕ เพิ่มขึ้น วงกลมเหล่านี้จะกลายเป็นวงรี และเมื่อ ϕ = ± π การปิดวงรีจะหายไป ซึ่งหมายความว่าลูกตุ้มเปลี่ยนเป็นโหมดใบพัด: v = คงที่(รูปที่ 8)

ข้าว. 8. ลูกตุ้ม: a) วิถีการเคลื่อนที่ในเฟสสเปซของลูกตุ้มในอุดมคติ; b) วิถีการเคลื่อนที่ในเฟสสเปซของลูกตุ้มแกว่งด้วยการทำให้หมาด ๆ c) รูปเฟส

อาจไม่มีความยาว ระยะเวลา หรือการเคลื่อนไหวในพื้นที่เฟส ที่นี่ทุกการกระทำจะได้รับล่วงหน้า แต่ไม่ใช่ทุกการกระทำที่เป็นจริง จากรูปทรงเรขาคณิต มีเพียงโทโพโลยีเท่านั้นที่ยังคงอยู่ แทนที่จะเป็นการวัด พารามิเตอร์ แทนที่จะเป็นมิติ มิติ ที่นี่ใด ๆ ระบบไดนามิกมีรูปประจำตัวเฟสที่เป็นเอกลักษณ์ของตัวเอง และในหมู่พวกเขามีภาพเฟสที่ค่อนข้างแปลก: มีความซับซ้อนถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์เดียว สมน้ำสมเนื้อ ไม่สมส่วน; มีความต่อเนื่องไม่ต่อเนื่องกัน ภาพระยะแปลก ๆ ดังกล่าวเป็นลักษณะของระบบที่มีการกำหนดค่าเศษส่วนของตัวดึงดูด ความไม่ชัดเจนของจุดศูนย์กลางของแรงดึงดูด (แรงดึงดูด) สร้างผลกระทบของการกระทำเชิงควอนตัม ผลกระทบของช่องว่างหรือการกระโดด ในขณะที่วิถีโคจรยังคงต่อเนื่องและสร้างรูปแบบขอบเขตเดียวของแรงดึงดูดที่แปลกประหลาด

การจำแนกประเภทของเศษส่วนแฟร็กทัลมีไฮโปสเตสสามแบบ: แบบเป็นทางการ เชิงปฏิบัติ และเชิงสัญลักษณ์ ซึ่งตั้งฉากกัน และนั่นหมายความว่าสามารถรับแฟร็กทัลรูปแบบเดียวกันได้ด้วยวิธี อัลกอริทึมที่แตกต่างกันและขนาดแฟร็กทัลจำนวนเท่ากันอาจปรากฏในแฟร็กทัลที่มีรูปร่างต่างกันโดยสิ้นเชิง โดยคำนึงถึงคำพูดเหล่านี้ เราจำแนกเศษส่วนตามลักษณะที่เป็นสัญลักษณ์ เป็นทางการ และใช้งานได้:

ในเชิงสัญลักษณ์ ลักษณะมิติของเศษส่วนสามารถเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้
ตามหลักการแล้ว แฟร็กทัลสามารถเชื่อมต่อกันได้เหมือนใบไม้หรือเมฆ และแยกออกจากกันได้เหมือนฝุ่น
บนพื้นฐานการปฏิบัติงาน เศษส่วนสามารถแบ่งออกเป็นปกติและสุ่ม

เศษส่วนปกติถูกสร้างขึ้นตามอย่างเคร่งครัด อัลกอริทึมบางอย่าง. กระบวนการก่อสร้างสามารถย้อนกลับได้ คุณสามารถทำซ้ำการดำเนินการทั้งหมดใน ลำดับย้อนกลับ, ลบรูปแบบใดๆ ที่สร้างโดยอัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นทีละจุด อัลกอริทึมเชิงกำหนดอาจเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้นก็ได้

แฟร็กทัลสโตแคสติกซึ่งคล้ายกันในความหมายสุ่มเกิดขึ้นเมื่ออยู่ในอัลกอริทึมสำหรับการก่อสร้าง ในกระบวนการของการวนซ้ำ พารามิเตอร์บางตัวจะเปลี่ยนแบบสุ่ม คำว่า "สุ่ม" มาจาก คำภาษากรีก สุ่ม- การคาดคะเน, การคาดคะเน. กระบวนการสโตแคสติกเป็นกระบวนการที่ไม่สามารถทำนายธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงได้อย่างแม่นยำ แฟร็กทัลเกิดจากความต้องการของธรรมชาติ (พื้นผิวรอยเลื่อน หิน, เมฆ, กระแสที่ปั่นป่วน, โฟม, เจล, รูปทรงของอนุภาคเขม่า, การเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้นและระดับแม่น้ำ ฯลฯ ) นั้นปราศจากความคล้ายคลึงกันทางเรขาคณิต แต่สร้างซ้ำอย่างดื้อรั้นในแต่ละส่วนซึ่งมีคุณสมบัติทางสถิติของทั้งหมดโดยเฉลี่ย คอมพิวเตอร์ช่วยให้คุณสร้างลำดับของตัวเลขสุ่มหลอกและจำลองอัลกอริทึมและรูปแบบสุ่มได้ทันที

เศษส่วนเชิงเส้นแฟร็กทัลเชิงเส้นได้รับการตั้งชื่อตามเหตุผลที่สร้างขึ้นตามอัลกอริทึมเชิงเส้น แฟร็กทัลเหล่านี้มีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง ไม่บิดเบี้ยวจากการเปลี่ยนแปลงของมาตราส่วนใดๆ และไม่สามารถแยกความแตกต่างได้ที่จุดใดจุดหนึ่ง ในการสร้างแฟร็กทัลดังกล่าว การระบุฐานและแฟรกเมนต์ก็เพียงพอแล้ว องค์ประกอบเหล่านี้จะถูกทำซ้ำหลายครั้ง ซูมออกไปจนไม่มีที่สิ้นสุด

ฝุ่นของ Kantorในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor (1845–1918) ได้เสนอชุดตัวเลขแปลก ๆ ระหว่าง 0 ถึง 1 ให้กับชุมชนคณิตศาสตร์ ชุดนี้ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนไม่สิ้นสุดในช่วงเวลาที่กำหนด และยิ่งไปกว่านั้น มิติศูนย์ ลูกศรที่ยิงแบบสุ่มแทบจะไม่โดนอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของชุดนี้

ก่อนอื่นคุณต้องเลือกส่วนของความยาวหน่วย (ขั้นตอนแรก: n = 0) จากนั้นแบ่งออกเป็นสามส่วนแล้วลบส่วนที่สามตรงกลางออก (n = 1) นอกจากนี้ เราจะทำเช่นเดียวกันกับแต่ละส่วนที่เป็นรูปเป็นร่าง อันเป็นผลมาจากการดำเนินการซ้ำ ๆ จำนวนไม่ จำกัด เราได้ชุด "ฝุ่นของคันทอร์" ที่ต้องการ ตอนนี้ไม่มีการต่อต้านระหว่างความไม่ต่อเนื่องและการหารไม่สิ้นสุด “ฝุ่นคันทอร์” เป็นทั้งสองอย่าง (ดูรูปที่ 1) "ต้นเสียงฝุ่น" เป็นเศษส่วน มิติเศษส่วนคือ 0.6304…

หนึ่งในอะนาล็อกสองมิติของชุดคันทอร์หนึ่งมิติได้รับการอธิบายโดย Vaclav Sierpinski นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ เรียกว่า "พรมคันทอร์" หรือเรียกบ่อยกว่า "พรมเซียร์ปินสกี้" เขาเป็นเหมือนตัวเองอย่างเคร่งครัด เราสามารถคำนวณมิติเศษส่วนเป็น ln8/lnЗ = 1.89… (รูปที่ 9)

เส้นเติมเครื่องบินพิจารณาแฟร็กทัลปกติทั้งตระกูล ซึ่งเป็นเส้นโค้งที่สามารถเติมเต็มระนาบได้ ไลบ์นิซยังกล่าวด้วยว่า: “หากเราคิดว่ามีคนเขียนจุดจำนวนมากบนกระดาษโดยบังเอิญ<… >ฉันบอกว่าเป็นไปได้ที่จะระบุค่าคงที่และปริพันธ์ภายใต้กฎบางอย่าง เส้นเรขาคณิตซึ่งจะผ่านทุกจุด คำกล่าวนี้ของไลบ์นิซขัดแย้งกับความเข้าใจแบบยุคลิดของมิติว่าเป็นจำนวนพารามิเตอร์ที่น้อยที่สุดซึ่งกำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศโดยไม่ซ้ำกัน หากไม่มีหลักฐานที่แน่ชัด แนวคิดเหล่านี้ของไลบ์นิซยังคงอยู่นอกกรอบของความคิดทางคณิตศาสตร์

เส้นโค้งถั่วลิสงแต่ในปี 1890 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Giuseppe Peano ได้สร้างเส้นที่ครอบคลุมทั้งหมด พื้นผิวเรียบผ่านทุกจุดของมัน การสร้าง "Peano curve" แสดงในรูปที่ สิบ.

ในขณะที่มิติทอพอโลยีของเส้นโค้ง Peano เท่ากับหนึ่ง มิติเศษส่วนเท่ากับ d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2 ในกรอบของเรขาคณิตเศษส่วน ความขัดแย้งได้รับการแก้ไขใน ด้วยวิธีธรรมชาติที่สุด เส้นเหมือนใยแมงมุมสามารถครอบคลุมระนาบได้ ในกรณีนี้จะมีการสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง: แต่ละจุดของเส้นตรงกับจุดบนระนาบ แต่การติดต่อนี้ไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะแต่ละจุดบนระนาบตรงกับหนึ่งจุดขึ้นไปบนเส้น

ฮิลเบิร์ตโค้งหนึ่งปีต่อมา ในปี พ.ศ. 2434 บทความของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน David Hilbert (พ.ศ. 2405-2486) ได้นำเสนอเส้นโค้งที่ครอบคลุมระนาบโดยไม่มีจุดตัดหรือเส้นสัมผัส โครงสร้างของ "Hilbert curve" แสดงในรูปที่ สิบเอ็ด

เส้นโค้ง Hilbert เป็นตัวอย่างแรกของเส้นโค้ง FASS (การเติมช่องว่าง การหลีกเลี่ยงตัวเอง การเติมช่องว่างแบบเรียบง่าย และการหลีกเลี่ยงตัวเองแบบการเติมช่องว่าง แบบเรียบง่าย และเส้นที่คล้ายกัน) มิติเศษส่วนของเส้น Gilbert เช่นเดียวกับเส้นโค้ง Peano เท่ากับสอง

เทป Minkowski Herman Minkowski เพื่อนสนิทของ Hilbert ตั้งแต่สมัยเรียน ได้สร้างเส้นโค้งที่ไม่ครอบคลุมระนาบทั้งหมด แต่มีรูปร่างคล้ายริบบิ้น เมื่อสร้าง "เทป Minkowski" ในแต่ละขั้นตอน แต่ละส่วนจะถูกแทนที่ด้วยเส้นแบ่งที่ประกอบด้วย 8 ส่วน ในขั้นตอนต่อไป กับแต่ละส่วนใหม่ การดำเนินการจะทำซ้ำในระดับ 1:4 มิติเศษส่วนของแถบ Minkowski คือ d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1.5

แฟร็กทัลที่ไม่เชิงเส้นการทำแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่ง่ายที่สุดของระนาบเชิงซ้อนบนตัวมันเองคือการทำแผนที่ Julia z g z 2 + C ที่พิจารณาในส่วนแรก เป็นการคำนวณแบบวงปิดซึ่งผลลัพธ์ของรอบก่อนหน้าจะถูกคูณด้วยตัวมันเองด้วยการบวกค่าที่แน่นอน คงที่เช่น ลูปป้อนกลับ (รูปที่ 13)

ในกระบวนการวนซ้ำสำหรับค่าคงที่ของค่าคงที่ C ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นโดยพลการ Z 0 , จุด Z n ที่ น-> ∞ สามารถเป็นได้ทั้งแบบจำกัดและแบบไม่จำกัด ทุกอย่างขึ้นอยู่กับตำแหน่งของ Z 0 ที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด z = 0 หากค่าที่คำนวณได้มีจำกัด ก็จะรวมอยู่ในชุดจูเลีย ถ้ามันไปที่อินฟินิตี้ มันจะถูกตัดออกจากชุดจูเลีย

แบบฟอร์มที่ได้รับหลังจากใช้แผนที่จูเลียกับจุดต่างๆ ของพื้นผิวบางส่วนถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ C โดยไม่ซ้ำกัน สำหรับ C ขนาดเล็ก สิ่งเหล่านี้คือลูปที่เชื่อมต่ออย่างง่าย สำหรับ C ขนาดใหญ่ สิ่งเหล่านี้คือกลุ่มของจุดที่ขาดการเชื่อมต่อแต่ได้รับคำสั่งอย่างเคร่งครัด โดยทั่วไปแล้ว Julia ทุกรูปแบบสามารถแบ่งออกเป็นสองตระกูลใหญ่ - การแมปที่เชื่อมต่อและตัดการเชื่อมต่อ อดีตคล้ายกับ "เกล็ดหิมะของ Koch" ส่วนหลังคือ "ฝุ่นของคันทอร์"

ความหลากหลายของรูปร่างของจูเลียทำให้นักคณิตศาสตร์งุนงงเมื่อพวกเขาสังเกตเห็นรูปร่างเหล่านี้บนจอคอมพิวเตอร์เป็นครั้งแรก ความพยายามที่จะจัดอันดับความหลากหลายนี้เป็นไปตามธรรมชาติโดยพลการมากและมาจากความจริงที่ว่าพื้นฐานสำหรับการจำแนกประเภทของแผนที่จูเลียคือชุดแมนเดลบรอตซึ่งมีขอบเขตตามที่ปรากฎนั้นคล้ายกับแผนที่จูเลียโดยไม่แสดงอาการ

ด้วย C = 0 การทำซ้ำของการแมป Julia จะให้ลำดับของตัวเลข z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 ... เป็นผลให้เป็นไปได้สามตัวเลือก:

สำหรับ |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
สำหรับ |z 0 | > 1 ในระหว่างการวนซ้ำ ตัวเลข z n จะเพิ่มขึ้นในค่าสัมบูรณ์ โดยมีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในกรณีนี้ ตัวดึงดูดจะไม่มีที่สิ้นสุด จุดห่างไกลและเราแยกค่าดังกล่าวออกจากชุด Julia
สำหรับ |z 0 | = 1 คะแนนทั้งหมดของลำดับยังคงอยู่บนนี้ วงกลมหน่วย. ในกรณีนี้ ตัวดึงดูดคือวงกลม

ดังนั้น ที่ C = 0 ขอบเขตระหว่างจุดเริ่มต้นที่น่าดึงดูดใจและน่ารังเกียจคือวงกลม ในกรณีนี้ การแมปมีจุดคงที่สองจุด: z = 0 และ z = 1 จุดแรกนั้นน่าสนใจ เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ศูนย์คือ 0 และจุดที่สองนั้นน่ารังเกียจ เนื่องจากอนุพันธ์ของกำลังสอง ฟังก์ชันที่ค่าของพารามิเตอร์หนึ่งเท่ากับสอง

พิจารณาสถานการณ์เมื่อค่าคงที่ C เป็นจำนวนจริง เช่น ดูเหมือนว่าเราจะเคลื่อนที่ไปตามแกนของชุด Mandelbrot (รูปที่ 14) ที่ C = –0.75 ขอบเขตของจูเลียตั้งการข้ามตัวเองและตัวดึงดูดที่สองจะปรากฏขึ้น แฟร็กทัล ณ จุดนี้มีชื่อว่าเศษส่วนซานมาร์โค ซึ่งแมนเดลบรอตมอบให้เพื่อเป็นเกียรติแก่อาสนวิหารเวนิสที่มีชื่อเสียง เมื่อมองดูที่ตัวเลข มันไม่ยากที่จะเข้าใจว่าทำไมแมนเดลบรอตจึงเกิดแนวคิดในการตั้งชื่อแฟร็กทัลเพื่อเป็นเกียรติแก่โครงสร้างนี้: ความคล้ายคลึงกันนั้นน่าทึ่งมาก

ข้าว. 14. การเปลี่ยนรูปแบบของชุดจูเลียโดยลดค่าจริงของ C จาก 0 เป็น -1

ยิ่งลด C เป็น -1.25 เราได้รับใหม่ แบบฟอร์มมาตรฐานกับสี่ จุดคงที่ซึ่งถูกรักษาไว้จนถึงค่า С< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

ข้าว. 15. การปรากฏตัวของรูปแบบใหม่ของจูเลียตั้งค่าด้วยการลดลงของมูลค่าจริง C< –1

ดังนั้น แม้จะอยู่บนแกนของเศษส่วนแมนเดลบรอต (ค่าคงที่ C เป็นจำนวนจริง) เราก็ "ถูกจับ" ในด้านความสนใจ และในทางใดทางหนึ่งก็จัดอันดับรูปร่างจูเลียที่หลากหลายพอสมควรตั้งแต่วงกลมไปจนถึงฝุ่น ตอนนี้ให้พิจารณาพื้นที่เครื่องหมายของเศษส่วน Mandelbrot และรูปแบบที่สอดคล้องกันของเศษส่วน Julia ก่อนอื่น เรามาอธิบายเศษส่วน Mandelbrot ในแง่ของ "cardioid", "ไต" และ "หัวหอม" (รูปที่ 16)

cardioid หลักและวงกลมที่อยู่ติดกันเป็นรูปร่างพื้นฐานของเศษส่วน Mandelbrot พวกมันอยู่ติดกับสำเนาของตัวเองจำนวนไม่ จำกัด ซึ่งเรียกกันทั่วไปว่าไต ดอกตูมเหล่านี้แต่ละดอกติดอยู่รอบ ๆ อย่างไม่รู้จบ ปริมาณมากไตเล็กลงคล้าย ๆ กัน ดอกตูมที่ใหญ่ที่สุดสองดอกด้านบนและด้านล่างของ cardioid หลักเรียกว่าหัวหอม

Adrien Dowdy ชาวฝรั่งเศสและ Bill Hubbard ชาวอเมริกัน ผู้ศึกษาเศษส่วนทั่วไปของเซตนี้ (C = –0.12 + 0.74i) เรียกมันว่า “เศษส่วนกระต่าย” (รูปที่ 17)

เมื่อข้ามขอบเขตของเศษส่วน Mandelbrot เศษส่วน Julia จะสูญเสียการเชื่อมต่อและกลายเป็นฝุ่นซึ่งโดยปกติจะเรียกว่า "Fatou dust" เพื่อเป็นเกียรติแก่ Pierre Fatou ผู้พิสูจน์ว่าสำหรับค่า C จำนวนหนึ่ง จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดดึงดูด ระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ยกเว้นชุดที่บางมากเช่นฝุ่น ( รูปที่ 18)

แฟร็กทัลสโตแคสติกมีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่างเส้นโค้ง von Koch ที่คล้ายตัวเองอย่างเคร่งครัดกับชายฝั่งของนอร์เวย์ ตัวอย่างเช่น แสดงความคล้ายคลึงกันในแง่สถิติ ในเวลาเดียวกัน เส้นโค้งทั้งสองหักมากจนคุณไม่สามารถลากเส้นสัมผัสไปยังจุดใดๆ ของมันได้ หรืออีกนัยหนึ่งคือคุณไม่สามารถแยกความแตกต่างได้ เส้นโค้งดังกล่าวเป็น "สัตว์ประหลาด" ชนิดหนึ่งในเส้นแบบยุคลิดปกติ คนแรกที่สร้างฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีจุดสัมผัสใดๆ คือ Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ผลงานของเขาถูกนำเสนอต่อ Royal Prussian Academy เมื่อวันที่ 18 กรกฎาคม พ.ศ. 2415 และเผยแพร่ในปี พ.ศ. 2418 ฟังก์ชันที่ไวเออร์สตราสอธิบายมีลักษณะเหมือนสัญญาณรบกวน (รูปที่ 19)

ดูที่แผนภูมิข่าวหุ้น สรุปความผันผวนของอุณหภูมิหรือความผันผวนของความดันอากาศ แล้วคุณจะพบความผิดปกติบางอย่างเป็นประจำ ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อขนาดเพิ่มขึ้น ลักษณะของความไม่สม่ำเสมอก็จะยังคงอยู่ และนี่หมายถึงเรขาคณิตเศษส่วน

การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของกระบวนการสุ่ม ในปี 1926 Jean Perrin ได้รับ รางวัลโนเบลสำหรับการวิจัยตัวละคร การเคลื่อนที่แบบบราวเนียน. เขาเป็นคนที่ดึงความสนใจไปที่ความเหมือนตนเองและความไม่แตกต่างของเส้นทางโคจรของบราวเนียน

ดังนั้น เศษส่วนคือชุดทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยวัตถุที่คล้ายกับชุดนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากเราตรวจสอบเศษส่วนเล็กๆ ของเศษส่วนภายใต้การขยาย มันจะดูเหมือนส่วนที่ใหญ่กว่าของตัวเลขนี้หรือแม้แต่ตัวเลขโดยรวม สำหรับแฟร็กทัล ยิ่งกว่านั้น การเพิ่มขนาดไม่ได้หมายถึงการทำให้โครงสร้างง่ายขึ้น ดังนั้นในทุกระดับเราจะเห็นภาพที่ซับซ้อนเท่ากัน

คุณสมบัติเศษส่วน

ตามคำจำกัดความข้างต้น แฟร็กทัลมักจะแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้อย่างน้อยหนึ่งข้อ:

มีโครงสร้างที่ซับซ้อนในทุกการขยาย

คล้ายตัวเองโดยประมาณ (บางส่วนคล้ายกับทั้งหมด);

มีมิติเศษส่วนซึ่งใหญ่กว่าทอพอโลยี

สามารถสร้างซ้ำได้

เศษส่วนในโลก

แม้ว่าแนวคิดของ "เศษส่วน" จะดูเป็นนามธรรมอย่างยิ่ง แต่ในชีวิตจริงเราสามารถพบตัวอย่างปรากฏการณ์นี้ในชีวิตจริงและแม้แต่ตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง ยิ่งไปกว่านั้น จะต้องพิจารณาจากโลกภายนอกอย่างแน่นอน เพราะจะทำให้เข้าใจเศษส่วนและคุณลักษณะต่างๆ ได้ดีขึ้น

ตัวอย่างเช่น เสาอากาศสำหรับอุปกรณ์ต่าง ๆ ซึ่งออกแบบโดยวิธีเศษส่วน แสดงประสิทธิภาพการทำงานมากกว่าเสาอากาศแบบเดิมถึง 20% นอกจากนี้ เสาอากาศแฟร็กทัลยังสามารถทำงานได้อย่างดีเยี่ยมพร้อมกันในความถี่ที่หลากหลาย นั่นคือเหตุผลที่โทรศัพท์มือถือสมัยใหม่แทบไม่มีเสาอากาศภายนอกแบบอุปกรณ์คลาสสิกในการออกแบบอีกต่อไป - หลังถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนภายในซึ่งติดตั้งโดยตรงบนแผงวงจรพิมพ์ของโทรศัพท์

Fractals ได้รับความสนใจอย่างมากจากการพัฒนาเทคโนโลยีสารสนเทศ อัลกอริทึมการบีบอัดได้รับการพัฒนา ภาพต่างๆการใช้เศษส่วน มีวิธีสร้างวัตถุคอมพิวเตอร์กราฟิก (ต้นไม้ ภูเขา และพื้นผิวทะเล) ด้วยวิธีเศษส่วน เช่นเดียวกับระบบเศษส่วนสำหรับกำหนดที่อยู่ IP ในบางเครือข่าย

ในทางเศรษฐศาสตร์ มีวิธีการใช้แฟร็กทัลในการวิเคราะห์ราคาหุ้นและสกุลเงิน บางทีผู้อ่านที่ซื้อขายในตลาด Forex อาจเคยเห็นการวิเคราะห์เศษส่วนในเทอร์มินัลการซื้อขายหรือแม้กระทั่งนำไปใช้จริง

นอกจากนี้ นอกจากวัตถุที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้นด้วยคุณสมบัติเศษส่วนแล้ว ยังพบวัตถุที่คล้ายกันอีกมากมายในธรรมชาติอีกด้วย ตัวอย่างที่ดีเศษส่วน ได้แก่ ปะการัง เปลือกหอย ดอกไม้และพืชบางชนิด (บรอกโคลี กะหล่ำดอก) ระบบไหลเวียนเลือดและหลอดลมของคนและสัตว์ ลวดลายที่เกิดขึ้นบนแก้ว ผลึกธรรมชาติ วัตถุเหล่านี้และวัตถุอื่น ๆ มีรูปร่างเศษส่วนเด่นชัด

บ่อยครั้ง การค้นพบทางวิทยาศาสตร์ที่น่าอัศจรรย์สามารถเปลี่ยนแปลงชีวิตของเราอย่างสิ้นเชิง ตัวอย่างเช่น การประดิษฐ์วัคซีนสามารถช่วยชีวิตคนจำนวนมากได้ และการสร้างอาวุธใหม่นำไปสู่การฆาตกรรม แท้จริงเมื่อวานนี้ (ในระดับของประวัติศาสตร์) คน "เชื่อง" ไฟฟ้าและวันนี้เขาไม่สามารถจินตนาการถึงชีวิตของเขาโดยปราศจากมันได้อีกต่อไป อย่างไรก็ตาม ยังมีการค้นพบบางอย่างที่พวกเขากล่าวว่ายังคงอยู่ในเงามืด และแม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่าพวกมันจะมีอิทธิพลต่อชีวิตของเราบ้างก็ตาม หนึ่งในการค้นพบเหล่านี้คือเศษส่วน คนส่วนใหญ่ไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับแนวคิดดังกล่าวและจะไม่สามารถอธิบายความหมายของมันได้ ในบทความนี้ เราจะพยายามจัดการกับคำถามที่ว่าเศษส่วนคืออะไร พิจารณาความหมายของคำนี้จากมุมมองของวิทยาศาสตร์และธรรมชาติ

สั่งกันวุ่นวาย

เพื่อให้เข้าใจว่าเศษส่วนคืออะไร เราควรเริ่มการซักถามจากตำแหน่งทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะเจาะลึกลงไปนั้น เราคิดเชิงปรัชญาเล็กน้อย ทุกคนมีความอยากรู้อยากเห็นตามธรรมชาติขอบคุณที่เขาเรียนรู้ โลก. บ่อยครั้งที่เขาต้องการความรู้ เขาพยายามใช้เหตุผลในการตัดสินของเขา ดังนั้น เมื่อวิเคราะห์กระบวนการที่เกิดขึ้น เขาจึงพยายามคำนวณความสัมพันธ์และหารูปแบบบางอย่าง จิตใจที่ใหญ่ที่สุดในโลกกำลังยุ่งอยู่กับการแก้ปัญหาเหล่านี้ กล่าวโดยคร่าว ๆ นักวิทยาศาสตร์ของเรากำลังมองหารูปแบบที่ไม่ใช่และไม่ควรเป็น อย่างไรก็ตาม แม้ในความโกลาหลก็มีความเชื่อมโยงระหว่างเหตุการณ์บางอย่าง การเชื่อมต่อนี้คือเศษส่วน ตัวอย่างเช่น พิจารณากิ่งไม้หักที่วางอยู่บนถนน หากเรามองดูอย่างใกล้ชิด เราจะเห็นว่ามันมีลักษณะเหมือนต้นไม้ทั้งกิ่งก้านและปมทั้งหมด ความคล้ายคลึงกันของส่วนที่แยกจากกันกับทั้งหมดเดียวนี้เป็นพยานถึงหลักการที่เรียกว่าความคล้ายคลึงตนเองแบบเรียกซ้ำ เศษส่วนในธรรมชาติสามารถพบได้ตลอดเวลา เนื่องจากรูปแบบอนินทรีย์และอินทรีย์จำนวนมากเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกัน เหล่านี้คือก้อนเมฆ เปลือกหอยทะเล เปลือกหอยทาก มงกุฎต้นไม้ และแม้แต่ระบบไหลเวียนโลหิต รายการนี้สามารถดำเนินการต่อไปเรื่อย ๆ รูปร่างสุ่มเหล่านี้อธิบายได้ง่ายโดยอัลกอริทึมเศษส่วน เรามาพิจารณาว่าเศษส่วนคืออะไรจากมุมมองของวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน

ข้อเท็จจริงบางอย่างแห้ง

คำว่า "เศษส่วน" นั้นแปลมาจากภาษาละตินว่า "บางส่วน", "แบ่ง", "แยกส่วน" และสำหรับเนื้อหาของคำนี้ไม่มีการใช้ถ้อยคำเช่นนี้ โดยปกติจะถือว่าเป็นชุดที่คล้ายกันซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของทั้งหมดซึ่งโครงสร้างซ้ำในระดับจุลภาค คำนี้บัญญัติขึ้นในทศวรรษที่ 70 ของศตวรรษที่ 20 โดย Benoit Mandelbrot ผู้ซึ่งได้รับการยอมรับว่าเป็นบิดา ปัจจุบัน แนวคิดของเศษส่วนหมายถึง ภาพกราฟิกโครงสร้างบางอย่างเมื่อขยายใหญ่ขึ้นจะคล้ายตัวมันเอง อย่างไรก็ตามพื้นฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับการสร้างทฤษฎีนี้ถูกวางไว้ก่อนการเกิดของ Mandelbrot เอง แต่ก็ไม่สามารถพัฒนาได้จนกว่าคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์จะปรากฏขึ้น

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์หรือว่ามันเริ่มต้นอย่างไร

ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20 การศึกษาธรรมชาติของแฟร็กทัลเป็นขั้นตอน นี่เป็นเพราะนักคณิตศาสตร์ต้องการศึกษาวัตถุที่สามารถตรวจสอบได้บนพื้นฐานของ ทฤษฎีทั่วไปและวิธีการ ในปี พ.ศ. 2415 K. Weierstrass นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้สร้างตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ อย่างไรก็ตามการก่อสร้างนี้กลายเป็นนามธรรมและยากที่จะเข้าใจ ถัดมาคือชาวสวีเดน Helge von Koch ซึ่งในปี 1904 ได้สร้างเส้นโค้งต่อเนื่องที่ไม่มีเส้นสัมผัสใดๆ มันค่อนข้างง่ายที่จะวาด และเมื่อมันปรากฏออกมา มันมีคุณสมบัติเศษส่วน หนึ่งในตัวแปรของเส้นโค้งนี้ได้รับการตั้งชื่อตามผู้แต่ง - "เกล็ดหิมะของ Koch" นอกจากนี้แนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันของตัวเลขได้รับการพัฒนาโดยที่ปรึกษาในอนาคตของ B. Mandelbrot, Paul Levy ชาวฝรั่งเศส ในปี พ.ศ. 2481 เขาได้ตีพิมพ์บทความเรื่อง "ระนาบและเส้นโค้งเชิงพื้นที่และพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนต่างๆ เหมือนกับทั้งหมด" ในนั้นเขาอธิบาย ชนิดใหม่- เลวี ซี-เคิร์ฟ ตัวเลขทั้งหมดข้างต้นอ้างอิงถึงรูปแบบดังกล่าวอย่างมีเงื่อนไขเป็นแฟร็กทัลเชิงเรขาคณิต

เศษส่วนแบบไดนามิกหรือเชิงพีชคณิต

ชุด Mandelbrot เป็นของคลาสนี้ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Pierre Fatou และ Gaston Julia กลายเป็นนักวิจัยกลุ่มแรกในทิศทางนี้ ในปี 1918 จูเลียได้ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับการศึกษาการวนซ้ำของเหตุผล ฟังก์ชันที่ซับซ้อน. ที่นี่เขาอธิบายครอบครัวของแฟร็กทัลที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับชุด Mandelbrot แม้จะมีความจริงที่ว่า งานนี้ยกย่องผู้เขียนในหมู่นักคณิตศาสตร์ เธอถูกลืมอย่างรวดเร็ว และเพียงครึ่งศตวรรษต่อมา ต้องขอบคุณคอมพิวเตอร์ ผลงานของ Julia ได้รับชีวิตที่สอง คอมพิวเตอร์ทำให้ทุกคนสามารถมองเห็นความงามและความร่ำรวยของโลกแห่งแฟร็กทัลที่นักคณิตศาสตร์สามารถ "มองเห็น" ได้โดยการแสดงผ่านฟังก์ชันต่างๆ แมนเดลบรอตเป็นคนกลุ่มแรกที่ใช้คอมพิวเตอร์ในการคำนวณ (ไม่สามารถคำนวณปริมาตรดังกล่าวด้วยตนเองได้) ซึ่งทำให้สามารถสร้างภาพของตัวเลขเหล่านี้ได้

คนที่มีจินตนาการเชิงพื้นที่

แมนเดลบรอตเริ่มงานด้านวิทยาศาสตร์ใน ศูนย์วิจัยไอบีเอ็ม. การศึกษาความเป็นไปได้ของการส่งข้อมูลในระยะทางไกล นักวิทยาศาสตร์ต้องเผชิญกับความจริง การสูญเสียครั้งใหญ่ซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากสัญญาณรบกวน เบอนัวต์กำลังมองหาวิธีแก้ปัญหานี้ เมื่อพิจารณาจากผลการวัด เขาดึงความสนใจไปที่รูปแบบแปลกๆ กล่าวคือ: กราฟสัญญาณรบกวนดูเหมือนกันในช่วงเวลาต่างๆ

มีการสังเกตภาพที่คล้ายกันทั้งในช่วงเวลาหนึ่งวันและเจ็ดวันหรือหนึ่งชั่วโมง Benoit Mandelbrot มักจะพูดซ้ำ ๆ ว่าเขาไม่ได้ทำงานกับสูตร แต่เล่นกับรูปภาพ นักวิทยาศาสตร์คนนี้คือ การคิดเชิงเปรียบเทียบเขาแปลปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นพื้นที่เรขาคณิต ซึ่งคำตอบที่ถูกต้องนั้นชัดเจน ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่คนรวยและกลายเป็นบิดาแห่งเรขาคณิตเศษส่วน ท้ายที่สุดแล้ว การรับรู้ถึงตัวเลขนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อคุณศึกษาภาพวาดและคิดถึงความหมายของการหมุนวนที่แปลกประหลาดเหล่านี้ซึ่งก่อตัวเป็นลวดลาย ภาพวาดเศษส่วนไม่มีองค์ประกอบที่เหมือนกัน แต่มีความคล้ายคลึงกันในทุกขนาด

จูเลีย - แมนเดลบรอต

หนึ่งในภาพวาดแรกของตัวเลขนี้คือการตีความกราฟิกของฉากซึ่งเกิดจากผลงานของ Gaston Julia และ Mandelbrot เป็นผู้สรุป Gaston พยายามจินตนาการว่าชุดจะมีลักษณะอย่างไรเมื่อสร้างจากสูตรง่ายๆ ที่ทำซ้ำโดยวงจรป้อนกลับ ลองอธิบายสิ่งที่พูดในภาษามนุษย์เพื่อพูดด้วยนิ้ว สำหรับเฉพาะ ค่าตัวเลขโดยใช้สูตรเพื่อหาค่าใหม่ เราแทนที่ลงในสูตรและค้นหาสิ่งต่อไปนี้ ผลลัพธ์ที่ได้คือค่าขนาดใหญ่ ในการแสดงชุด คุณต้องดำเนินการนี้หลายครั้ง: หลายร้อย, พัน, ล้าน นี่คือสิ่งที่เบอนัวต์ทำ เขาประมวลผลลำดับและถ่ายโอนผลลัพธ์ไปยังรูปแบบกราฟิก ต่อจากนั้น เขาลงสีตัวเลขผลลัพธ์ (แต่ละสีสอดคล้องกับจำนวนการวนซ้ำที่แน่นอน) ภาพกราฟิกนี้เรียกว่าเศษส่วน Mandelbrot

L. Carpenter: ศิลปะที่ธรรมชาติสร้างขึ้น

พบทฤษฎีเศษส่วนอย่างรวดเร็ว ใช้งานได้จริง. เนื่องจากมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแสดงภาพของภาพที่เหมือนตนเอง คนแรกที่นำหลักการและอัลกอริธึมมาใช้ในการสร้างรูปแบบที่ผิดปกติเหล่านี้คือศิลปิน คนแรกคือผู้ก่อตั้งสตูดิโอ Pixar Lauren Carpenter ในอนาคต ในขณะที่ทำงานเกี่ยวกับการนำเสนอต้นแบบเครื่องบิน เขาเกิดความคิดที่จะใช้ภาพภูเขาเป็นพื้นหลัง วันนี้ผู้ใช้คอมพิวเตอร์เกือบทุกคนสามารถรับมือกับงานดังกล่าวได้และในช่วงทศวรรษที่เจ็ดสิบของศตวรรษที่แล้วคอมพิวเตอร์ไม่สามารถทำกระบวนการดังกล่าวได้เนื่องจากไม่มีโปรแกรมแก้ไขกราฟิกและแอพพลิเคชั่นสำหรับกราฟิกสามมิติในเวลานั้น Loren ได้พบกับ Fractals ของ Mandelbrot: รูปร่าง ความสุ่ม และมิติ ในนั้น Benois ได้ยกตัวอย่างมากมายซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีเศษส่วนในธรรมชาติ (fiva) เขาอธิบายรูปแบบต่างๆ ของพวกมันและพิสูจน์ว่าพวกมันอธิบายได้ง่ายด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ การเปรียบเทียบนี้นักคณิตศาสตร์อ้างว่าเป็นข้อโต้แย้งเกี่ยวกับประโยชน์ของทฤษฎีที่เขากำลังพัฒนาเพื่อตอบสนองต่อคำวิจารณ์ที่วุ่นวายจากเพื่อนร่วมงานของเขา พวกเขาแย้งว่าเศษส่วนเป็นเพียง ภาพสวยที่ไม่มีค่าซึ่งเป็นผลพลอยได้จากการทำงานของเครื่องจักรอิเล็กทรอนิกส์ ช่างไม้ตัดสินใจลองใช้วิธีนี้ในทางปฏิบัติ หลังจากศึกษาหนังสืออย่างรอบคอบแล้วอนิเมเตอร์ในอนาคตก็เริ่มมองหาวิธีนำเรขาคณิตเศษส่วนไปใช้ในคอมพิวเตอร์กราฟิก เขาใช้เวลาเพียงสามวันในการแสดงภาพทิวทัศน์ภูเขาที่เหมือนจริงบนคอมพิวเตอร์ของเขา และวันนี้หลักการนี้ใช้กันอย่างแพร่หลาย เมื่อปรากฎว่าการสร้างแฟร็กทัลนั้นใช้เวลาและความพยายามไม่มากนัก

การตัดสินใจของช่างไม้

หลักการที่ลอเรนใช้กลายเป็นเรื่องง่ายๆ ประกอบด้วยการแบ่งองค์ประกอบที่ใหญ่กว่าออกเป็นองค์ประกอบที่เล็กกว่า และการแบ่งสิ่งเหล่านั้นออกเป็นองค์ประกอบที่เล็กกว่าที่คล้ายคลึงกัน เป็นต้น ช่างไม้ใช้สามเหลี่ยมขนาดใหญ่ทุบให้เป็นชิ้นเล็กๆ 4 อัน ต่อไปเรื่อยๆ จนได้ภาพทิวทัศน์ภูเขาที่เหมือนจริง ด้วยเหตุนี้ เขาจึงกลายเป็นศิลปินคนแรกที่ใช้อัลกอริทึมแฟร็กทัลในคอมพิวเตอร์กราฟิกเพื่อสร้างภาพที่ต้องการ ปัจจุบันหลักการนี้ถูกนำมาใช้เพื่อจำลองรูปแบบต่างๆ ของธรรมชาติที่เหมือนจริง

การสร้างภาพ 3 มิติครั้งแรกโดยใช้อัลกอริทึมเศษส่วน

ไม่กี่ปีต่อมา Lauren ได้นำผลงานของเขาไปใช้ในโครงการขนาดใหญ่ นั่นคือวิดีโอแอนิเมชั่น Vol Libre ซึ่งฉายบน Siggraph ในปี 1980 วิดีโอนี้สร้างความตกใจให้กับหลาย ๆ คน และผู้สร้างก็ได้รับเชิญให้มาทำงานที่ Lucasfilm ที่นี่อนิเมเตอร์สามารถเข้าใจตัวเองได้อย่างเต็มที่ เขาสร้างทิวทัศน์สามมิติ (ทั้งโลก) สำหรับภาพยนตร์สารคดีเรื่อง "Star Trek" ใดๆ โปรแกรมที่ทันสมัย(Fractals) หรือแอปพลิเคชันกราฟิก 3 มิติ (Terragen, Vue, Bryce) ยังคงใช้อัลกอริทึมเดียวกันในการสร้างแบบจำลองพื้นผิวและพื้นผิว

ทอม เบดดาร์ด

อดีตนักฟิสิกส์เลเซอร์และปัจจุบันเป็นศิลปินและศิลปินดิจิทัล เบดดาร์ดสร้างชุดรูปทรงเรขาคณิตที่น่าสนใจมากซึ่งเขาเรียกว่าแฟร็กทัลของ Faberge ภายนอกพวกมันดูเหมือนไข่ประดับของช่างอัญมณีชาวรัสเซีย พวกมันมีลวดลายที่สลับซับซ้อนสวยงามเช่นเดียวกัน เบดดาร์ดใช้วิธีเทมเพลตเพื่อสร้างการเรนเดอร์โมเดลแบบดิจิทัล ผลิตภัณฑ์ที่ได้จึงมีความโดดเด่นในด้านความสวยงาม แม้ว่าหลายคนปฏิเสธที่จะเปรียบเทียบผลิตภัณฑ์ที่ทำด้วยมือกับโปรแกรมคอมพิวเตอร์ แต่ก็ต้องยอมรับว่ารูปแบบที่ได้นั้นสวยงามแปลกตา จุดเด่นคือทุกคนสามารถสร้างแฟร็กทัลดังกล่าวได้โดยใช้ไลบรารีซอฟต์แวร์ WebGL ช่วยให้คุณสำรวจโครงสร้างเศษส่วนต่างๆ ได้แบบเรียลไทม์

เศษส่วนในธรรมชาติ

มีคนไม่กี่คนที่ให้ความสนใจ แต่ตัวเลขที่น่าทึ่งเหล่านี้มีอยู่ทุกที่ ธรรมชาติประกอบขึ้นจากรูปร่างที่คล้ายตัวเอง โดยที่เราไม่ทันสังเกต ก็เพียงพอแล้วที่จะมองผ่านแว่นขยายที่ผิวของเราหรือใบไม้ของต้นไม้ แล้วเราจะเห็นเศษส่วน หรือยกตัวอย่างเช่น สับปะรด หรือแม้แต่หางนกยูง - พวกมันประกอบด้วยตัวเลขที่คล้ายกัน และบรอคโคลี่พันธุ์ Romanescu นั้นมีลักษณะที่โดดเด่นโดยทั่วไปเพราะมันสามารถเรียกได้ว่าเป็นความมหัศจรรย์ของธรรมชาติอย่างแท้จริง

หยุดดนตรีชั่วคราว

ปรากฎว่าเศษส่วนไม่ได้เป็นเพียงรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังสามารถเป็นเสียงได้อีกด้วย ดังนั้น นักดนตรี Jonathan Colton จึงเขียนเพลงโดยใช้อัลกอริธึมเศษส่วน เขาอ้างว่าสอดคล้องกับความสามัคคีตามธรรมชาติ นักแต่งเพลงเผยแพร่ผลงานทั้งหมดของเขาภายใต้สัญญาอนุญาต CreativeCommons Attribution-Noncommercial ซึ่งกำหนดให้แจกจ่าย คัดลอก ถ่ายโอนผลงานโดยบุคคลอื่นได้ฟรี

ตัวบ่งชี้เศษส่วน

เทคนิคนี้พบการใช้งานที่คาดไม่ถึงมาก บนพื้นฐานของมัน เครื่องมือสำหรับการวิเคราะห์ตลาดหุ้นถูกสร้างขึ้น และเป็นผลให้เริ่มใช้ในตลาด Forex ตอนนี้ตัวบ่งชี้เศษส่วนพบได้ในทุกแพลตฟอร์มการซื้อขายและใช้ในเทคนิคการซื้อขายที่เรียกว่าการฝ่าวงล้อมราคา Bill Williams พัฒนาเทคนิคนี้ ตามที่ผู้เขียนแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับสิ่งประดิษฐ์ของเขา อัลกอริทึมนี้เป็นการรวมกันของ "แท่งเทียน" หลายๆ แท่ง ซึ่งแท่งตรงกลางสะท้อนถึงจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดตรงกันข้าม

ในที่สุด

ดังนั้นเราจึงพิจารณาว่าเศษส่วนคืออะไร ปรากฎว่าในความสับสนวุ่นวายที่อยู่รอบตัวเรามีรูปแบบในอุดมคติ ธรรมชาติคือสถาปนิกที่ดีที่สุด ผู้สร้างและวิศวกรในอุดมคติ มีการจัดเรียงอย่างมีเหตุผล และถ้าเราไม่สามารถหารูปแบบได้ ก็ไม่ได้หมายความว่าไม่มีอยู่จริง บางทีคุณอาจต้องดูในระดับอื่น เราสามารถพูดด้วยความมั่นใจว่าแฟร็กทัลยังคงเก็บความลับมากมายที่เรายังไม่ได้ค้นพบ