การแปลงทางเรขาคณิตของกราฟของตารางฟังก์ชัน การแปลงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สมมติฐาน: หากคุณศึกษาการเคลื่อนที่ของกราฟระหว่างการสร้างสมการฟังก์ชัน คุณจะเห็นว่ากราฟทั้งหมดเป็นไปตาม รูปแบบทั่วไปดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะกำหนดกฎทั่วไปโดยไม่คำนึงถึงฟังก์ชัน ซึ่งไม่เพียงแต่อำนวยความสะดวกในการสร้างกราฟของฟังก์ชันต่างๆ แต่ยังใช้ในการแก้ปัญหาด้วย

วัตถุประสงค์: เพื่อศึกษาการเคลื่อนที่ของกราฟของฟังก์ชัน:

1) งานศึกษาวรรณคดี

2) เรียนรู้การสร้างกราฟของฟังก์ชันต่างๆ

3) เรียนรู้วิธีแปลงแผนภูมิ ฟังก์ชันเชิงเส้น

4) พิจารณาการใช้กราฟในการแก้ปัญหา

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: กราฟของฟังก์ชัน

หัวข้อวิจัย : การเคลื่อนที่ของกราฟของฟังก์ชัน

ความเกี่ยวข้อง: ตามกฎแล้ว การสร้างกราฟฟังก์ชันมักใช้เวลานานและต้องการความสนใจจากนักเรียน แต่เมื่อทราบกฎสำหรับการแปลงกราฟฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานแล้ว คุณสามารถสร้างกราฟฟังก์ชันได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย ซึ่งจะช่วยให้ คุณไม่เพียงแต่ทำงานให้เสร็จเพื่อพล็อตกราฟฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องด้วย (เพื่อค้นหาค่าสูงสุด (ความสูงขั้นต่ำของเวลาและจุดนัดพบ))

โครงการนี้เป็นประโยชน์กับนักเรียนทุกคนในโรงเรียน

ทบทวนวรรณกรรม:

วรรณกรรมกล่าวถึงวิธีสร้างกราฟของฟังก์ชันต่างๆ รวมทั้งตัวอย่างการเปลี่ยนแปลงของกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ กราฟของฟังก์ชันหลักเกือบทั้งหมดใช้ในกระบวนการทางเทคนิคต่างๆ ซึ่งทำให้สามารถนำเสนอขั้นตอนของกระบวนการและโปรแกรมผลลัพธ์ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

ฟังก์ชันถาวร ฟังก์ชันนี้กำหนดโดยสูตร y = b โดยที่ b คือจำนวนหนึ่ง กำหนดการ ฟังก์ชั่นถาวรเป็นเส้นตรงขนานกับแกน x และผ่านจุด (0; b) บนแกน y กราฟของฟังก์ชัน y \u003d 0 คือแกน abscissa

ประเภทของฟังก์ชัน 1สัดส่วนทางตรง ฟังก์ชันนี้กำหนดโดยสูตร y \u003d kx โดยที่สัมประสิทธิ์ของสัดส่วน k ≠ 0 กราฟสัดส่วนโดยตรงคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด

ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชันดังกล่าวถูกกำหนดโดยสูตร y = kx + b โดยที่ k และ b เป็น ตัวเลขจริง. กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคือเส้นตรง

กราฟฟังก์ชันเชิงเส้นสามารถตัดกันหรือขนานกันได้

ดังนั้น เส้นของกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y \u003d k 1 x + b 1 และ y \u003d k 2 x + b 2 ตัดกันถ้า k 1 ≠ k 2; ถ้า k 1 = k 2 เส้นจะขนานกัน

2 สัดส่วนผกผันเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y \u003d k / x โดยที่ k ≠ 0 K เรียกว่าสัมประสิทธิ์ สัดส่วนผกผัน. กราฟสัดส่วนผกผันคือไฮเปอร์โบลา

ฟังก์ชัน y \u003d x 2 แสดงโดยกราฟที่เรียกว่าพาราโบลา: บนช่วงเวลา [-~; 0] ฟังก์ชันกำลังลดลง ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น

ฟังก์ชัน y \u003d x 3 เพิ่มขึ้นตามเส้นจำนวนทั้งหมดและแสดงด้วยกราฟพาราโบลาลูกบาศก์

ฟังก์ชั่นพลังงานด้วย ตัวบ่งชี้ธรรมชาติ. ฟังก์ชันนี้กำหนดโดยสูตร y \u003d x n โดยที่ n คือ ตัวเลขธรรมชาติ. กราฟ ฟังก์ชั่นพลังงานด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติขึ้นอยู่กับ n ตัวอย่างเช่น ถ้า n = 1 กราฟจะเป็นเส้นตรง (y = x) ถ้า n = 2 กราฟจะเป็นพาราโบลา เป็นต้น

ฟังก์ชันกำลังด้วยจำนวนเต็ม ตัวบ่งชี้เชิงลบแสดงโดยสูตร y \u003d x -n โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ฟังก์ชันนี้กำหนดไว้สำหรับ x ≠ 0 ทั้งหมด กราฟของฟังก์ชันยังขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง n

ฟังก์ชันกำลังไฟฟ้าบวก ตัวบ่งชี้เศษส่วน. ฟังก์ชันนี้แสดงโดยสูตร y \u003d x r โดยที่ r เป็นเศษส่วนบวกที่ลดไม่ได้ ฟังก์ชั่นนี้ไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

เส้นกราฟที่แสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรตามและตัวแปรอิสระบนระนาบพิกัด กราฟทำหน้าที่แสดงองค์ประกอบเหล่านี้ด้วยสายตา

ตัวแปรอิสระคือตัวแปรที่สามารถรับค่าใดๆ ในขอบเขตของฟังก์ชันได้ (โดยที่ ฟังก์ชันที่กำหนดสมเหตุสมผล (หารด้วยศูนย์ไม่ได้)

ในการพล็อตกราฟฟังก์ชัน

1) ค้นหา ODZ (ช่วงของค่าที่ยอมรับได้)

2) รับค่าตัวแปรอิสระตามอำเภอใจ

3) ค้นหาค่าของตัวแปรตาม

4) สร้าง พิกัดเครื่องบินทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนมัน

5) เชื่อมต่อเส้นหากจำเป็น ตรวจสอบกราฟผลลัพธ์ การแปลงกราฟของฟังก์ชันพื้นฐาน

การแปลงกราฟ

ที่ รูปแบบบริสุทธิ์น่าเสียดายที่มีฟังก์ชั่นพื้นฐานพื้นฐานไม่บ่อยนัก มีแนวโน้มที่จะจัดการกับ ฟังก์ชั่นพื้นฐานได้มาจากพื้นฐานพื้นฐานโดยการเพิ่มค่าคงที่และค่าสัมประสิทธิ์ สามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันดังกล่าวได้โดยใช้การแปลงทางเรขาคณิตกับกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานที่เกี่ยวข้อง (หรือไปที่ ระบบใหม่พิกัด). ตัวอย่างเช่น สูตรฟังก์ชันกำลังสองคือ พาราโบลากำลังสองสูตรที่ถูกบีบอัดสามครั้งสัมพันธ์กับแกนพิกัด แสดงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกน abscissa ขยับกับทิศทางของแกนนี้ 2/3 หน่วย และเลื่อนไปตามทิศทางของแกนกำหนด 2 หน่วย

มาทำความเข้าใจการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตของกราฟฟังก์ชันทีละขั้นตอนโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงทางเรขาคณิตของกราฟของฟังก์ชัน f (x) สามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันใดๆ ของสูตรรูปแบบได้ โดยที่สูตรคือค่าสัมประสิทธิ์การบีบอัดหรือการขยายตัวตามแกน oy และ ox ตามลำดับ ลบ เครื่องหมายหน้าสูตรสัมประสิทธิ์และสูตรแสดงถึงการแสดงกราฟสมมาตรเมื่อเทียบกับ แกนพิกัด, a และ b กำหนดกะที่สัมพันธ์กับ abscissa และแกนพิกัดตามลำดับ

ดังนั้น การแปลงทางเรขาคณิตของกราฟฟังก์ชันจึงมีสามประเภท:

ประเภทแรกคือการปรับขนาด (บีบอัดหรือขยาย) ตามแนว abscissa และแกนกำหนด

ความจำเป็นในการสเกลแสดงโดยสัมประสิทธิ์สูตรอื่นที่ไม่ใช่ 1 หากตัวเลขน้อยกว่า 1 กราฟจะถูกบีบอัดสัมพันธ์กับ oy และยืดสัมพันธ์กับ ox หากตัวเลขมากกว่า 1 เราจะยืดตามแกนพิกัด และหดตัวไปตามแกน abscissa

ประเภทที่สองคือจอแสดงผลแบบสมมาตร (กระจก) เทียบกับแกนพิกัด

ความจำเป็นในการแปลงนี้แสดงโดยเครื่องหมายลบหน้าสัมประสิทธิ์ของสูตร (ในกรณีนี้ เราแสดงกราฟแบบสมมาตรเทียบกับแกนวัว) และสูตร (ในกรณีนี้ เราแสดงกราฟแบบสมมาตรด้วย เทียบกับแกน y) หากไม่มีเครื่องหมายลบ ขั้นตอนนี้จะถูกข้ามไป

สรุปบทเรียนพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

ในหัวข้อ: "การแปลงแผนภูมิ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ»

จุดประสงค์ของบทเรียน: เพื่อจัดระบบความรู้ในหัวข้อ "คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ y \u003d sin (x), y \u003d cos (x)"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทำซ้ำคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ y \u003d บาป (x), y \u003d cos (x);
ทำซ้ำสูตรการลด;
การแปลงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
พัฒนาความสนใจความจำ การคิดอย่างมีตรรกะ; เปิดใช้งาน กิจกรรมทางจิตความสามารถในการวิเคราะห์ สรุป และให้เหตุผล
การศึกษาความอุตสาหะความขยันในการบรรลุเป้าหมายความสนใจในเรื่อง

อุปกรณ์บทเรียน:ict

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้ใหม่

ระหว่างเรียน

ก่อนบทเรียน นักเรียน 2 คนบนกระดานสร้างกราฟจากการบ้านของพวกเขา

เวลาจัดงาน:

สวัสดีทุกคน!

วันนี้ในบทเรียนเราจะแปลงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ y \u003d sin (x), y \u003d cos (x)

งานช่องปาก:

ตรวจการบ้าน.

การไขปริศนา

การเรียนรู้วัสดุใหม่

การแปลงกราฟฟังก์ชันทั้งหมดเป็นแบบสากล - เหมาะสำหรับทุกฟังก์ชัน รวมถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในที่นี้ เราจำกัดตัวเองให้เหลือเพียงการเตือนสั้นๆ เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงหลักของกราฟ

การแปลงกราฟของฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน y \u003d f (x) ถูกกำหนด เราเริ่มสร้างกราฟทั้งหมดจากกราฟของฟังก์ชันนี้ จากนั้นเราดำเนินการกับมัน

การทำงาน

จะทำอย่างไรกับกำหนดการ

y = f(x) + a

เราเพิ่มจุดทั้งหมดของกราฟแรกขึ้นหนึ่งหน่วย

y = f(x) – a

ทุกจุดของกราฟแรกจะถูกลดระดับลงหนึ่งหน่วย

y = ฉ(x + ก)

เราเลื่อนจุดทั้งหมดของกราฟแรกไปทางซ้ายหนึ่งหน่วย

y = ฉ (x - a)

เราเลื่อนจุดทั้งหมดของกราฟแรกไปทางขวาหนึ่งหน่วย

y = a*f(x),a>1

เราแก้ไขค่าศูนย์ในตำแหน่ง เราเลื่อนจุดบนให้สูงขึ้นทีละครั้ง จุดที่ต่ำกว่าเราลดลงทีละครั้ง

กราฟจะ "ยืด" ขึ้นและลง ค่าศูนย์จะยังคงอยู่ที่เดิม

y = a*f(x), a<1

เราแก้ไขค่าศูนย์ จุดบนจะลดลงหนึ่งครั้ง จุดล่างจะเพิ่มขึ้นครั้ง กราฟจะ "หด" ไปที่แกน x

y=-f(x)

มิเรอร์กราฟแรกเกี่ยวกับแกน x

y = ฉ(ขวาน), a<1

แก้ไขจุดบนแกน y แต่ละส่วนบนแกน x เพิ่มขึ้นหนึ่งเท่า กราฟจะยืดจากแกน y ไปในทิศทางต่างๆ

y = ฉ(ขวาน), a>1

แก้ไขจุดบนแกนพิกัด แต่ละส่วนบนแกน abscissa จะลดลงหนึ่งครั้ง กราฟจะ "หด" ไปที่แกน y ทั้งสองข้าง

y= | f(x)|

ส่วนของกราฟที่อยู่ใต้แกน x จะถูกมิเรอร์ กราฟทั้งหมดจะอยู่ในระนาบครึ่งบน

แผนการแก้ปัญหา

1)y = บาป x + 2

เราสร้างกราฟ y \u003d บาป x เราเพิ่มแต่ละจุดของกราฟขึ้น 2 หน่วย (ศูนย์ด้วย)

2)y \u003d cos x - 3

เราสร้างกราฟ y \u003d cos x เราลดจุดแต่ละจุดของกราฟลง 3 หน่วย

3)y = cos (x - / 2)

เราสร้างกราฟ y \u003d cos x เราเลื่อนจุด n/2 ทั้งหมดไปทางขวา

4) y = 2 บาป x

เราสร้างกราฟ y \u003d บาป x เราปล่อยให้ศูนย์อยู่ในตำแหน่งเพิ่มคะแนนบน 2 ครั้งลดค่าที่ต่ำกว่าด้วยจำนวนเท่ากัน

การปฏิบัติงานจริง พล็อตฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้โปรแกรม Advanced Grapher

ลองพลอตฟังก์ชัน y = -cos 3x + 2 กัน

ลองพลอตฟังก์ชัน y \u003d cos x กัน
สะท้อนมันเกี่ยวกับแกน x
กราฟนี้ต้องบีบอัดสามครั้งตามแนวแกน x
สุดท้าย กราฟดังกล่าวจะต้องยกขึ้นสามหน่วยตามแนวแกน y

y = 0.5 บาป x

y=0.2 cos x-2

y = 5 cos 0 .5 x

y=-3sin(x+π).

2) ค้นหาข้อผิดพลาดและแก้ไข

V. เอกสารทางประวัติศาสตร์. ข้อความของออยเลอร์

Leonhard Euler เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในศตวรรษที่ 18 เกิดที่ประเทศสวิสเซอร์แลนด์ เป็นเวลาหลายปีที่เขาอาศัยและทำงานในรัสเซีย ซึ่งเป็นสมาชิกของสถาบันเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

ทำไมเราต้องรู้และจำชื่อนักวิทยาศาสตร์คนนี้?

ในตอนต้นของศตวรรษที่ 18 ตรีโกณมิติยังคงพัฒนาไม่เพียงพอ: ไม่มีสัญลักษณ์, สูตรถูกเขียนด้วยคำพูด, มันยากที่จะดูดซึมพวกเขา, คำถามของสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนต่าง ๆ ของวงกลมก็ไม่ชัดเจน มีเพียงมุมหรือส่วนโค้งเท่านั้นที่เข้าใจว่าเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เฉพาะในงานของออยเลอร์ตรีโกณมิติเท่านั้นที่ได้รับรูปลักษณ์ที่ทันสมัย เขาเป็นคนที่เริ่มพิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวเลขนั่นคือ อาร์กิวเมนต์เป็นที่เข้าใจกันไม่เพียงแค่เป็นส่วนโค้งหรือองศา แต่ยังเป็นตัวเลขด้วย ออยเลอร์อนุมานสูตรตรีโกณมิติทั้งหมดจากสูตรพื้นฐานหลายสูตร ทำให้คำถามเกี่ยวกับสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนต่างๆ ของวงกลมคล่องตัวขึ้น เพื่อกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติ เขาแนะนำสัญลักษณ์: บาป x, cos x, tg x, ctg x

บนธรณีประตูของศตวรรษที่ 18 ทิศทางใหม่ปรากฏขึ้นในการพัฒนาตรีโกณมิติ - เชิงวิเคราะห์ หากก่อนหน้านั้นเป้าหมายหลักของตรีโกณมิติถูกพิจารณาว่าเป็นคำตอบของรูปสามเหลี่ยมแล้วออยเลอร์ก็ถือว่าตรีโกณมิติเป็นศาสตร์แห่งฟังก์ชันตรีโกณมิติ ส่วนแรก: หลักคำสอนของฟังก์ชันเป็นส่วนหนึ่งของหลักคำสอนทั่วไปของฟังก์ชัน ซึ่งศึกษาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่สอง: การแก้ปัญหาของสามเหลี่ยม - บทของเรขาคณิต นวัตกรรมดังกล่าวถูกสร้างขึ้นโดยออยเลอร์

หก. การทำซ้ำ

งานอิสระ "เพิ่มสูตร"

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สรุปบทเรียน:

1) คุณเรียนรู้อะไรใหม่ในบทเรียนวันนี้

2) คุณต้องการรู้อะไรอีก?

3) การให้คะแนน

ข้อความของงานวางโดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มของงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

บทนำ

การแปลงกราฟของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับกิจกรรมภาคปฏิบัติ การเปลี่ยนแปลงของกราฟของฟังก์ชันพบครั้งแรกในพีชคณิตเกรด 9 เมื่อศึกษาหัวข้อ "ฟังก์ชันกำลังสอง" ฟังก์ชันกำลังสองถูกนำมาใช้และศึกษาอย่างใกล้ชิดกับสมการกำลังสองและอสมการ นอกจากนี้ แนวคิดทางคณิตศาสตร์จำนวนมากได้รับการพิจารณาโดยวิธีกราฟิก เช่น ในเกรด 10-11 การศึกษาฟังก์ชันทำให้สามารถค้นหาโดเมนของคำจำกัดความและขอบเขตของฟังก์ชัน พื้นที่ของการลดลงหรือเพิ่มขึ้น เส้นกำกับ ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ ฯลฯ คำถามสำคัญนี้ถูกนำไปที่ GIA ด้วย ตามมาด้วยว่าการสร้างและการแปลงกราฟฟังก์ชันเป็นหนึ่งในภารกิจหลักของการสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน

อย่างไรก็ตาม ในการพล็อตฟังก์ชันหลายอย่าง สามารถใช้วิธีการต่างๆ เพื่ออำนวยความสะดวกในการก่อสร้างได้หลายวิธี ข้างต้นกำหนด ความเกี่ยวข้องหัวข้อการวิจัย

วัตถุประสงค์ของการศึกษาคือการศึกษาการเปลี่ยนแปลงของกราฟในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

วิชาที่เรียน -กระบวนการสร้างและแปลงกราฟฟังก์ชันในโรงเรียนมัธยมศึกษา

คำถามปัญหา: เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างกราฟของฟังก์ชันที่ไม่คุ้นเคย มีทักษะในการแปลงกราฟของฟังก์ชันพื้นฐาน

เป้า:การวางแผนฟังก์ชันในสถานการณ์ที่ไม่คุ้นเคย

งาน:

1. วิเคราะห์สื่อการศึกษาเกี่ยวกับปัญหาที่กำลังศึกษา 2. ระบุโครงร่างสำหรับการแปลงกราฟฟังก์ชันในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน 3. เลือกวิธีการและเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการสร้างและแปลงกราฟฟังก์ชัน 4. สามารถใช้ทฤษฎีนี้ในการแก้ปัญหาได้

ความรู้พื้นฐานทักษะความสามารถที่จำเป็น:

กำหนดค่าของฟังก์ชันด้วยค่าของอาร์กิวเมนต์ในรูปแบบต่างๆ ของการระบุฟังก์ชัน

สร้างกราฟของฟังก์ชันที่ศึกษา

อธิบายพฤติกรรมและคุณสมบัติของฟังก์ชันจากกราฟ และในกรณีที่ง่ายที่สุด จากสูตร ให้ค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดจากกราฟของฟังก์ชัน

คำอธิบายโดยใช้ฟังก์ชันของการพึ่งพาต่างๆ การแสดงภาพกราฟิก การตีความกราฟ

ส่วนสำคัญ

ส่วนทฤษฎี

เป็นกราฟเริ่มต้นของฟังก์ชัน y = f(x) ฉันจะเลือกฟังก์ชันกำลังสอง y=x 2 . ฉันจะพิจารณากรณีของการแปลงกราฟนี้ที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงในสูตรที่กำหนดฟังก์ชันนี้และสรุปผลสำหรับฟังก์ชันใดๆ

1. ฟังก์ชัน y = f(x) + a

ในสูตรใหม่ ค่าฟังก์ชัน (พิกัดของจุดกราฟ) จะเปลี่ยนไปตามตัวเลข a เมื่อเทียบกับค่าฟังก์ชัน "เก่า" สิ่งนี้นำไปสู่การแปลแบบขนานของกราฟของฟังก์ชันตามแกน OY:

ขึ้นถ้า > 0; ลงถ้า< 0.

บทสรุป

ดังนั้น กราฟของฟังก์ชัน y=f(x)+a ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) โดยการแปลแบบขนานตามแนวแกน y โดยหน่วยขึ้นถ้า a > 0 และโดย หน่วยลดลงถ้า a< 0.

2. ฟังก์ชัน y = f(x-a),

ในสูตรใหม่ ค่าอาร์กิวเมนต์ (abscissas ของจุดกราฟ) จะเปลี่ยนแปลงด้วยตัวเลข a เมื่อเทียบกับค่าอาร์กิวเมนต์ "เก่า" สิ่งนี้นำไปสู่การถ่ายโอนกราฟของฟังก์ชันแบบขนานไปตามแกน OX: ไปทางขวาถ้า a< 0, влево, если a >0.

บทสรุป

ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y= f(x - a) ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) โดยการแปลแบบขนานตามแนวแกน abscissa โดยหน่วยทางซ้ายถ้า a > 0 และโดยหน่วย ไปทางขวาถ้า a< 0.

3. ฟังก์ชัน y = k f(x) โดยที่ k > 0 และ k ≠ 1

ในสูตรใหม่ ค่าฟังก์ชัน (พิกัดของจุดกราฟ) จะเปลี่ยน k ครั้งเมื่อเทียบกับค่าฟังก์ชัน "เก่า" สิ่งนี้นำไปสู่: 1) "การยืด" จากจุด (0; 0) ตามแกน OY โดย k ครั้ง ถ้า k > 1, 2) "การบีบอัด" ไปยังจุด (0; 0) ตามแกน OY ด้วยปัจจัย ของ 0 ถ้า 0< k < 1.

บทสรุป

ดังนั้น ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = kf(x) โดยที่ k > 0 และ k ≠ 1 คุณต้องคูณพิกัดของจุดของกราฟที่กำหนดของฟังก์ชัน y = f(x) ด้วย k การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่าการยืดจากจุด (0; 0) ตามแกน OY คูณ k ถ้า k > 1; การหดตัวถึงจุด (0; 0) ตามแกน OY โดยปัจจัยถ้า 0< k < 1.

4. ฟังก์ชัน y = f(kx) โดยที่ k > 0 และ k ≠ 1

ในสูตรใหม่ ค่าของอาร์กิวเมนต์ (abscissas ของจุดกราฟ) เปลี่ยน k ครั้งเมื่อเทียบกับค่า "เก่า" ของอาร์กิวเมนต์ สิ่งนี้นำไปสู่: 1) “ยืด” จากจุด (0; 0) ตามแกน OX โดย 1/k ครั้งถ้า 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

บทสรุป

ดังนั้น: ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(kx) โดยที่ k > 0 และ k ≠ 1 คุณต้องคูณ abscissas ของจุดของกราฟที่กำหนดของฟังก์ชัน y=f(x) ด้วย k . การแปลงดังกล่าวเรียกว่าการยืดจากจุด (0; 0) ตามแกน OX โดย 1/k คูณถ้า 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. ฟังก์ชัน y = - f (x)

ในสูตรนี้ ค่าของฟังก์ชัน (พิกัดของจุดกราฟ) จะกลับกัน การเปลี่ยนแปลงนี้ส่งผลให้เกิดการแสดงกราฟต้นฉบับของฟังก์ชันเกี่ยวกับแกน x แบบสมมาตร

บทสรุป

ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = - f (x) คุณต้องมีกราฟของฟังก์ชัน y = f (x)

สะท้อนอย่างสมมาตรเกี่ยวกับแกน OX การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงสมมาตรของแกน OX

6. ฟังก์ชัน y = f (-x)

ในสูตรนี้ ค่าของอาร์กิวเมนต์ (abscissas ของจุดกราฟ) จะกลับรายการ การเปลี่ยนแปลงนี้ส่งผลให้เกิดการแสดงกราฟฟังก์ชันดั้งเดิมที่สมมาตรตามแกน OY

ตัวอย่างสำหรับฟังก์ชัน y \u003d - x² การเปลี่ยนแปลงนี้ไม่สามารถสังเกตได้ เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นค่าคู่และกราฟจะไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากการแปลง การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถมองเห็นได้เมื่อฟังก์ชันเป็นเลขคี่และเมื่อไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

7. ฟังก์ชัน y = |f(x)|.

ในสูตรใหม่ ค่าฟังก์ชัน (พิกัดของจุดกราฟ) อยู่ภายใต้เครื่องหมายโมดูล สิ่งนี้นำไปสู่การหายไปของส่วนต่าง ๆ ของกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิมด้วยพิกัดเชิงลบ (นั่นคือส่วนที่อยู่ในระนาบครึ่งล่างที่สัมพันธ์กับแกน Ox) และการแสดงส่วนสมมาตรของชิ้นส่วนเหล่านี้สัมพันธ์กับแกน Ox

8. ฟังก์ชัน y= f (|x|)

ในสูตรใหม่ ค่าอาร์กิวเมนต์ (abscissas ของจุดกราฟ) อยู่ภายใต้เครื่องหมายโมดูล สิ่งนี้นำไปสู่การหายไปของส่วนต่าง ๆ ของกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิมด้วย abscissas เชิงลบ (นั่นคือส่วนที่อยู่ในระนาบครึ่งด้านซ้ายสัมพันธ์กับแกน OY) และการแทนที่ด้วยชิ้นส่วนของกราฟดั้งเดิมที่มีความสมมาตรเกี่ยวกับ OY แกน.

ภาคปฏิบัติ

ขอพิจารณาบางตัวอย่างของการประยุกต์ใช้ทฤษฎีข้างต้น.

ตัวอย่างที่ 1

วิธีการแก้.มาแปลงร่างกันเถอะ สูตรนี้:

1) มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันเถอะ

ตัวอย่างที่ 2

พล็อตฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร

วิธีการแก้. ให้เราแปลงสูตรนี้โดยเน้นในสิ่งนี้ ไตรนามสี่เหลี่ยมทวินามสแควร์:

1) มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันเถอะ

2) ทำการถ่ายโอนแบบขนานของกราฟที่สร้างขึ้นไปยังเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 3

งานจากการใช้งาน พล็อตฟังก์ชันทีละชิ้น

กราฟฟังก์ชัน กราฟฟังก์ชัน y=|2(x-3)2-2|; หนึ่ง

การถ่ายโอนแบบขนาน

โอนไปตามแกน Y

f(x) => f(x) - ข
ให้จำเป็นต้องพล็อตฟังก์ชัน y \u003d f (x) - b มันง่ายที่จะเห็นว่าพิกัดของกราฟนี้สำหรับค่าทั้งหมดของ x บน |b| หน่วยที่น้อยกว่าพิกัดที่สอดคล้องกันของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) สำหรับ b>0 และ |b| หน่วยมากขึ้น - ที่ b 0 หรือสูงกว่าที่ b เมื่อต้องการพล็อตฟังก์ชัน y + b = f(x) พล็อตฟังก์ชัน y = f(x) และย้ายแกน x ไปยัง |b| หน่วยขึ้นสำหรับ b>0 หรือโดย |b| หน่วยลงที่b

โอนไปตามแกน X

ฉ(x) => ฉ(x + ก)
ให้จำเป็นต้องพล็อตฟังก์ชัน y = f(x + a) พิจารณาฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่ง ณ จุดหนึ่ง x = x1 จะใช้ค่า y1 = f(x1) เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน y = f(x + a) จะใช้ค่าเดียวกันที่จุด x2 ซึ่งพิกัดจะถูกกำหนดจากความเท่าเทียมกัน x2 + a = x1 นั่นคือ x2 = x1 - a และความเท่าเทียมกันที่พิจารณานั้นใช้ได้สำหรับผลรวมของค่าทั้งหมดจากโดเมนของฟังก์ชัน ดังนั้น กราฟของฟังก์ชัน y = f(x + a) สามารถหาได้โดยการเคลื่อนที่แบบขนานของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ตามแนวแกน x ไปทางซ้ายโดย |a| อันสำหรับ a > 0 หรือทางขวาโดย |a| หน่วยของ a เมื่อต้องการพล็อตฟังก์ชัน y = f(x + a) ให้พล็อตฟังก์ชัน y = f(x) และย้ายแกน y ไปยัง |a| หน่วยทางด้านขวาสำหรับ a>0 หรือ |a| หน่วยทางซ้ายสำหรับ a

ตัวอย่าง:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

การสะท้อน.

กราฟของฟังก์ชันของมุมมอง Y = F(-X)

ฉ(x) => ฉ(-x)
เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน y = f(-x) และ y = f(x) ใช้ค่าเท่ากัน ณ จุดที่มี abscissas เท่ากัน ค่าสัมบูรณ์แต่ตรงข้ามในเครื่องหมาย กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของกราฟของฟังก์ชัน y = f(-x) ในพื้นที่ของค่าบวก (ลบ) ของ x จะเท่ากับพิกัดของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ด้วยค่าลบ (บวก) x ที่สอดคล้องกับค่าสัมบูรณ์ ดังนั้นเราจึงได้กฎต่อไปนี้
ในการพล็อตฟังก์ชัน y = f(-x) คุณควรพล็อตฟังก์ชัน y = f(x) และสะท้อนไปตามแกน y กราฟผลลัพธ์คือกราฟของฟังก์ชัน y = f(-x)

กราฟของฟังก์ชันของมุมมอง Y = - F(X)

ฉ(x) => - ฉ(x)
พิกัดของกราฟของฟังก์ชัน y = - f(x) สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์มีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์ แต่ตรงกันข้ามในเครื่องหมายของพิกัดของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) สำหรับ ค่าเดียวกันของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นเราจึงได้กฎต่อไปนี้
ในการพล็อตฟังก์ชัน y = - f(x) คุณควรพล็อตฟังก์ชัน y = f(x) และสะท้อนถึงมันเกี่ยวกับแกน x

ตัวอย่าง:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

การเสียรูป

การเสียรูปของกราฟตามแนวแกน Y

f(x) => kf(x)
พิจารณาฟังก์ชันของรูปแบบ y = k f(x) โดยที่ k > 0 จะเห็นว่าสำหรับ ค่าเท่ากันของอาร์กิวเมนต์ พิกัดของกราฟของฟังก์ชันนี้จะมากกว่าพิกัดของกราฟของฟังก์ชัน k เท่า y \u003d f (x) สำหรับ k > 1 หรือ 1/k เท่าน้อยกว่าพิกัดของกราฟของ ฟังก์ชัน y = f (x) สำหรับ k ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y = k f (x) คุณควรพล็อตฟังก์ชัน y = f(x) และเพิ่มพิกัดของ k คูณสำหรับ k > 1 (ยืดกราฟตาม แกนพิกัด) หรือลดพิกัดลง 1/k ครั้งสำหรับ k
k > 1- ยืดออกจากแกนวัว
0 - การบีบอัดไปที่แกน OX

การเปลี่ยนรูปกราฟตามแกน X

ฉ(x) => ฉ(kx)
ให้จำเป็นต้องพล็อตฟังก์ชัน y = f(kx) โดยที่ k>0 พิจารณาฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งใน จุดโดยพลการ x = x1 รับค่า y1 = f(x1) เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน y = f(kx) ใช้ค่าเดียวกันที่จุด x = x2 ซึ่งพิกัดจะถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน x1 = kx2 และความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้สำหรับผลรวมของค่าทั้งหมดของ x จากโดเมนของฟังก์ชัน ดังนั้น กราฟของฟังก์ชัน y = f(kx) จะถูกบีบอัด (สำหรับ k 1) ตามแกน abscissa ที่สัมพันธ์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ดังนั้นเราจึงได้รับกฎ
ในการพล็อตฟังก์ชัน y = f(kx) ให้พล็อตฟังก์ชัน y = f(x) และลด abscissas ของมันลง k ครั้งสำหรับ k>1 (บีบอัดกราฟตามแกน abscissa) หรือเพิ่ม abscissas อีก 1/k ครั้งสำหรับ k
k > 1- บีบอัดไปที่แกน Oy
0 - ยืดออกจากแกน OY

งานนี้ดำเนินการโดย Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov ภายใต้การดูแลของ Tkach T.V. , Vyazovov S.M. , Ostroverkhova I.V.
©2014

ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานในรูปแบบบริสุทธิ์ที่ไม่มีการแปลงนั้นหายาก ดังนั้นส่วนใหญ่คุณต้องทำงานกับฟังก์ชันพื้นฐานที่ได้มาจากฟังก์ชันพื้นฐานโดยการเพิ่มค่าคงที่และค่าสัมประสิทธิ์ กราฟดังกล่าวสร้างขึ้นโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิตของฟังก์ชันพื้นฐานที่กำหนด

มาดูตัวอย่างกัน ฟังก์ชันกำลังสองของรูปแบบ y \u003d - 1 3 x + 2 3 2 + 2 ซึ่งเป็นกราฟที่เป็นพาราโบลา y \u003d x 2 ซึ่งถูกบีบอัดสามครั้งเมื่อเทียบกับ O y และสมมาตรเมื่อเทียบกับ O x นอกจากนี้ เลื่อน 2 3 โดย O x ไปทางขวา 2 หน่วยโดย O เมื่อขึ้น บนเส้นพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

Yandex.RTB R-A-339285-1

การแปลงทางเรขาคณิตของกราฟของฟังก์ชัน

การใช้การแปลงทางเรขาคณิตของกราฟที่กำหนด เราได้รับว่ากราฟแสดงด้วยฟังก์ชันของรูปแบบ ± k 1 f (± k 2 (x + a)) + b เมื่อ k 1 > 0 , k 2 > 0 คือการบีบอัด อัตราส่วนที่0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1 , k 2 > 1 ตาม O y และ O x เครื่องหมายด้านหน้าสัมประสิทธิ์ k 1 และ k 2 แสดงถึงการแสดงกราฟสมมาตรที่สัมพันธ์กับแกน a และ b เลื่อนไปตาม O x และ O y

คำจำกัดความ 1

มี 3 แบบ กราฟิกการแปลงทางเรขาคณิต:

มาตราส่วนตาม O x และ O y สิ่งนี้ได้รับผลกระทบจากสัมประสิทธิ์ k 1 และ k 2 โดยที่ 1 ไม่เท่ากันเมื่อ 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2 > 1 จากนั้นกราฟจะยืดตาม O y และบีบอัดตามแนว O x
จอแสดงผลสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัดหากมีเครื่องหมาย "-" อยู่หน้า k 1 สมมาตรจะไปเทียบกับ O x ก่อน k 2 จะไปเทียบกับ O y ถ้า "-" หายไป จุดตัดสินใจจะถูกข้ามไป
การแปลแบบขนาน (กะ)ตาม O x และ O y การแปลงจะดำเนินการเมื่อสัมประสิทธิ์ a และ b ไม่เท่ากับ 0 หากค่าของ a เป็นบวก กราฟจะถูกเลื่อนไปทางซ้าย | a | หน่วย ถ้าลบ a แล้วไปทางขวาด้วยระยะทางเท่ากัน ค่าของ b กำหนดการเคลื่อนที่ตามแนวแกน O y ซึ่งหมายความว่าถ้า b เป็นค่าบวก ฟังก์ชันจะเลื่อนขึ้น และถ้า b เป็นค่าลบ ฟังก์ชันจะเคลื่อนลง

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่าง โดยเริ่มจากฟังก์ชันกำลัง

ตัวอย่าง 1

แปลง y = x 2 3 และพล็อตฟังก์ชัน y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 .

วิธีการแก้

มาแทนฟังก์ชันดังนี้:

y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3

โดยที่ k 1 \u003d 2 คุณควรใส่ใจกับการมีอยู่ของ "-", a \u003d - 1 2, b \u003d 3 จากที่นี่ เราได้รับการแปลงทางเรขาคณิตจากการยืดตาม O y สองครั้ง แสดงแบบสมมาตรเทียบกับ O x เลื่อนไปทางขวา 1 2 และเพิ่มขึ้น 3 หน่วย

ถ้าเราแทนฟังก์ชันกำลังดั้งเดิม เราจะได้สิ่งนั้น

เมื่อยืดออกไปสองครั้งตาม O y เรามีสิ่งนั้น

การทำแผนที่สมมาตรเทียบกับ O x มีรูปแบบ

แล้วเลื่อนไปทางขวา 1 2

การย้ายขึ้น 3 หน่วยมีรูปแบบ

เราจะพิจารณาการแปลงของฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 2

สร้างกราฟฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 .

วิธีการแก้.

เราแปลงฟังก์ชันตามคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

นี่แสดงว่าเราได้รับห่วงโซ่ของการแปลง y = 1 2 x:

y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

เราเข้าใจว่าต้นฉบับ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีรูปแบบ

บีบสองครั้งตาม O y ให้

เหยียดตาม O x

การทำแผนที่สมมาตรเกี่ยวกับ O x

การทำแผนที่มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับ O y

เลื่อนขึ้น 8 หน่วย

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาด้วยตัวอย่าง ฟังก์ชันลอการิทึม y = บันทึก(x)

ตัวอย่างที่ 3

สร้างฟังก์ชัน y = ln e 2 · - 1 2 x 3 โดยใช้การแปลง y = ln (x)

วิธีการแก้

ในการแก้ปัญหา คุณต้องใช้คุณสมบัติของลอการิทึม จากนั้นเราจะได้:

y = ln e 2 - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2

การแปลงของฟังก์ชันลอการิทึมมีลักษณะดังนี้:

y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2

วาดกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมดั้งเดิม

เราบีบอัดระบบตาม O y

เรายืดออกไปตาม O x

เราทำแผนที่เกี่ยวกับ O y

เราทำการกะขึ้น 2 หน่วยเราได้

ในการแปลงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จำเป็นต้องปรับคำตอบของรูปแบบ ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b ให้เข้ากับแผนภาพ จำเป็นที่ k 2 เท่ากับ T k 2 . ดังนั้นเราจึงได้ 0< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

พิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาด้วยการแปลง y = บาป x

ตัวอย่างที่ 4

พล็อต y = - 3 บาป 1 2 x - 3 2 - 2 โดยใช้การแปลงของฟังก์ชัน y=sinx

วิธีการแก้

จำเป็นต้องนำฟังก์ชันไปอยู่ในรูปแบบ ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b สำหรับสิ่งนี้:

y = - 3 บาป 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 บาป 1 2 (x - 3) - 2

จะเห็นได้ว่า k 1 \u003d 3, k 2 \u003d 1 2, a \u003d - 3, b \u003d - 2 เนื่องจากมี "-" ก่อน k 1 แต่ไม่ก่อน k 2 เราจึงได้รับการเปลี่ยนแปลงของรูปแบบ:

y = บาป (x) → y = 3 บาป (x) → y = 3 บาป 1 2 x → y = - 3 บาป 1 2 x → → y = - 3 บาป 1 2 x - 3 → y = - 3 บาป 1 2 (x - 3) - 2

การแปลงคลื่นไซน์โดยละเอียด เมื่อพล็อตไซนูซอยด์ดั้งเดิม y \u003d บาป (x) เราพบว่า T \u003d 2 π ถือเป็นคาบบวกที่เล็กที่สุด หาค่าสูงสุดที่จุด π 2 + 2 π · k ; 1 และต่ำสุด - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z .

การยืดกล้ามเนื้อตาม O y ทำได้สามครั้งซึ่งหมายความว่าแอมพลิจูดของการแกว่งจะเพิ่มขึ้น 3 เท่า T = 2 π เล็กที่สุด ระยะบวก. ค่าสูงสุดไปที่ π 2 + 2 π · k ; 3 , k ∈ Z , minima - - π 2 + 2 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

เมื่อยืดตาม O x สองครั้ง เราได้ระยะเวลาบวกที่น้อยที่สุดเพิ่มขึ้น 2 เท่าและเท่ากับ T \u003d 2 π k 2 \u003d 4 π ค่าสูงสุดไปที่ π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , minima - in - π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

ภาพถูกสร้างขึ้นอย่างสมมาตรเมื่อเทียบกับ O x ช่วงเวลาบวกที่น้อยที่สุดใน กรณีนี้ไม่เปลี่ยนแปลงและเท่ากับ T = 2 π k 2 = 4 π . การเปลี่ยนแปลงสูงสุดดูเหมือน - π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z และค่าต่ำสุดคือ π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

กราฟถูกเลื่อนลง 2 หน่วย ไม่มีการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาทั่วไปที่เล็กที่สุด การหาค่าสูงสุดด้วยการเปลี่ยนเป็นจุด - π + 3 + 4 π · k ; 1 , k ∈ Z , ต่ำสุด - π + 3 + 4 π · k ; - 5 , k ∈ Z .

บน เวทีนี้กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติถือว่าถูกแปลง

พิจารณา การแปลงรายละเอียดฟังก์ชัน y = cos x

ตัวอย่างที่ 5

พล็อตฟังก์ชัน y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 โดยใช้การแปลงฟังก์ชันของรูปแบบ y = cos x

วิธีการแก้

ตามอัลกอริธึม ฟังก์ชันที่กำหนดลดเป็นรูปแบบ ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1

จะเห็นได้จากเงื่อนไขที่ k 1 \u003d 3 2, k 2 \u003d 2, a \u003d - 1, b \u003d 1 โดยที่ k 2 มี "-" และไม่มีอยู่ก่อน k 1

จากตรงนี้เราจะได้กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติของแบบฟอร์ม:

y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1 )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1

การแปลงโคไซน์ทีละขั้นตอนพร้อมภาพประกอบกราฟิก

ที่ กำหนดการ y = cos (x) จะเห็นได้ว่าคาบร่วมที่เล็กที่สุดเท่ากับ T = 2 π . การหาค่าสูงสุดใน 2 π · k ; 1 , k ∈ Z , และ ค่าต่ำสุด π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z .

เมื่อยืดตาม O y ด้วยปัจจัย 32 แอมพลิจูดการแกว่งจะเพิ่มขึ้น 32 เท่า T = 2 π เป็นคาบบวกที่น้อยที่สุด การหาค่าสูงสุดใน 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , ค่าต่ำสุดใน π + 2 π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

เมื่อบีบอัดตาม O x สองครั้ง เราจะได้ระยะเวลาบวกที่น้อยที่สุดคือจำนวน T = 2 π k 2 = π . ค่าสูงสุดจะถูกโอนไปยัง π · k ; 3 2 , k ∈ Z , ต่ำสุด - π 2 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

การทำแผนที่สมมาตรด้วยความเคารพต่อ O y เนื่องจากกราฟเป็นเลขคี่จึงไม่เปลี่ยนแปลง

เมื่อเลื่อนกราฟเป็น 1 . ไม่มีการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาบวกที่เล็กที่สุด T = π . การหาค่าสูงสุดใน π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , ต่ำสุด - π 2 + 1 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

เมื่อเลื่อนไป 1 คาบบวกที่น้อยที่สุดคือ T = π และไม่เปลี่ยนแปลง การหาค่าสูงสุดใน π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , ค่าต่ำสุดใน π 2 + 1 + π · k ; - 1 2 , k ∈ Z .

การแปลงฟังก์ชันโคไซน์เสร็จสมบูรณ์

พิจารณาการแปลงโดยใช้ตัวอย่าง y = t g x

ตัวอย่างที่ 6

พล็อตฟังก์ชัน y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 โดยใช้การแปลงของฟังก์ชัน y = t g (x) .

วิธีการแก้

ในการเริ่มต้น จำเป็นต้องนำฟังก์ชันที่กำหนดมาไว้ในรูปแบบ ± k 1 f ± k 2 x + a + b หลังจากนั้นเราจะได้สิ่งนั้น

y = - 1 2 t ก. π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t ก. - 2 3 x - π 2 + π 3

เห็นได้ชัดว่า k 1 \u003d 1 2, k 2 \u003d 2 3, a \u003d - π 2, b \u003d π 3 และก่อนสัมประสิทธิ์ k 1 และ k 2 จะมี "-" ดังนั้น หลังจากแปลงแทนเจนตอยด์แล้ว เราจะได้

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t ก. - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

การแปลงแทนเจนตอยด์ทีละขั้นตอนด้วยภาพกราฟิก

เรามีกราฟเดิมคือ y = t g (x) การเปลี่ยนแปลงระยะเวลาเป็นบวกคือ T = π . โดเมนของคำจำกัดความคือ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

เราบีบ 2 ครั้งตาม O y T \u003d π ถือเป็นคาบบวกที่เล็กที่สุด โดยที่โดเมนของคำจำกัดความคือ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

ยืดตาม O x 3 2 ครั้ง ลองคำนวณคาบบวกที่เล็กที่สุดและเท่ากับ T = π k 2 = 3 2 π . และโดเมนของฟังก์ชันพร้อมพิกัด - 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , เฉพาะโดเมนของคำจำกัดความที่เปลี่ยนแปลง

สมมาตรอยู่ด้านข้างของ O x ช่วงเวลานี้จะไม่เปลี่ยนแปลง ณ จุดนี้

จำเป็นต้องแสดงแกนพิกัดแบบสมมาตร โดเมนของคำจำกัดความในกรณีนี้ไม่เปลี่ยนแปลง แผนภูมิจะเหมือนกับเมื่อก่อน นี่แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันแทนเจนต์เป็นเลขคี่ ถ้าจะ ฟังก์ชันคี่ตั้งค่าการแมปสมมาตร O x และ O y จากนั้นเราจะแปลงเป็นฟังก์ชันดั้งเดิม