วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

นักเรียนควรรู้:

• สิ่งที่เรียกว่าความชันของเส้นตรง
• มุมระหว่างเส้นกับแกน x
• ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออะไร
• สมการแทนเจนต์ต่อกราฟของฟังก์ชัน
• วิธีการสร้างแทนเจนต์ของพาราโบลา
• สามารถนำความรู้เชิงทฤษฎีไปปฏิบัติได้

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา : เพื่อสร้างเงื่อนไขให้นักเรียนเชี่ยวชาญระบบความรู้ ทักษะ และความสามารถด้วยแนวคิดของความหมายทางกลและเรขาคณิตของอนุพันธ์

การศึกษา: เพื่อสร้างโลกทัศน์ทางวิทยาศาสตร์ในนักเรียน

การพัฒนา: เพื่อพัฒนาความสนใจทางปัญญา ความคิดสร้างสรรค์ เจตจำนง ความจำ คำพูด ความสนใจ จินตนาการ การรับรู้ของนักเรียน

วิธีการจัดกิจกรรมการศึกษาและความรู้ความเข้าใจ:

• ภาพ;
• ใช้ได้จริง;
• เกี่ยวกับกิจกรรมทางจิต: อุปนัย;
• ตามการดูดซึมของวัสดุ: สำรวจบางส่วน, การสืบพันธุ์;
• ตามระดับความเป็นอิสระ: งานห้องปฏิบัติการ
• กระตุ้น: กำลังใจ;
• การควบคุม: การสำรวจหน้าผากช่องปาก

แผนการเรียน

1. แบบฝึกหัดช่องปาก (หาอนุพันธ์)
2. รายงานของนักเรียนในหัวข้อ "สาเหตุของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์"
3. การเรียนรู้วัสดุใหม่
4. สรีรวิทยา นาที.
5. การแก้ปัญหา.
6. งานห้องปฏิบัติการ.
7. สรุปบทเรียน.
8. แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการบ้าน

อุปกรณ์ : เครื่องฉายมัลติมีเดีย (พรีเซนเทชั่น), การ์ด (งานทดลอง)

ระหว่างเรียน

“คนประสบความสำเร็จในบางสิ่งที่เขาเชื่อมั่นในตัวเองเท่านั้น”

L. Feuerbach

I. ช่วงเวลาขององค์กร

การจัดชั้นเรียนตลอดบทเรียน ความพร้อมของนักเรียนในบทเรียน ระเบียบวินัย

การกำหนดเป้าหมายการเรียนรู้สำหรับนักเรียนทั้งบทเรียนและในแต่ละช่วง

กำหนดความสำคัญของเนื้อหาที่กำลังศึกษาทั้งในหัวข้อนี้และในหลักสูตรทั้งหมด

นับด้วยวาจา

1. ค้นหาอนุพันธ์:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. การทดสอบลอจิก

ก) แทรกนิพจน์ที่ขาดหายไป

5x 3 -6x	15x 2 -6	30x
2sinx	2cosx…
cos2x	… …

ครั้งที่สอง รายงานของนักเรียนในหัวข้อ "สาเหตุของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์"

ทิศทางทั่วไปของการพัฒนาวิทยาศาสตร์ถูกกำหนดโดยข้อกำหนดของการปฏิบัติกิจกรรมของมนุษย์ในที่สุด การดำรงอยู่ของรัฐโบราณที่มีระบบลำดับชั้นที่ซับซ้อนของรัฐบาลคงเป็นไปไม่ได้หากไม่มีการพัฒนาเลขคณิตและพีชคณิตที่เพียงพอ เพราะต้องมีการเก็บภาษี การจัดเสบียงทหาร การสร้างพระราชวังและปิรามิด การสร้างระบบชลประทานที่จำเป็น การคำนวณที่ซับซ้อน ในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ความผูกพันระหว่างส่วนต่างๆ ของโลกยุคกลางขยายตัว การค้าขาย และงานฝีมือพัฒนาขึ้น ระดับการผลิตทางเทคนิคที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเริ่มต้นขึ้น แหล่งพลังงานใหม่กำลังถูกใช้ในอุตสาหกรรม ไม่ได้เชื่อมโยงกับความพยายามของกล้ามเนื้อของมนุษย์หรือสัตว์ ในศตวรรษที่ XI-XII ฟูลเลอร์และทอผ้าปรากฏขึ้นและในใจกลางของ XV - แท่นพิมพ์ เนื่องจากความจำเป็นในการพัฒนาอย่างรวดเร็วของการผลิตทางสังคมในช่วงเวลานี้ แก่นแท้ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติซึ่งมีการพรรณนามาตั้งแต่สมัยโบราณจึงเปลี่ยนไป เป้าหมายของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติคือการศึกษากระบวนการทางธรรมชาติในเชิงลึก ไม่ใช่วัตถุ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติเชิงพรรณนาของสมัยโบราณสอดคล้องกับคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการด้วยค่าคงที่ จำเป็นต้องสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้อธิบายผลลัพธ์ของกระบวนการ แต่เป็นลักษณะของการไหลและรูปแบบโดยธรรมชาติ เป็นผลให้เมื่อสิ้นสุดศตวรรษที่ 12 นิวตันในอังกฤษและไลบนิซในเยอรมนีเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกในการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ "การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์" คืออะไร? เราจะกำหนดลักษณะและทำนายคุณสมบัติของกระบวนการใด ๆ ได้อย่างไร? ใช้คุณสมบัติเหล่านี้หรือไม่ เพื่อเจาะลึกถึงแก่นแท้ของปรากฏการณ์นี้หรือปรากฏการณ์นั้น?

สาม. การเรียนรู้วัสดุใหม่

ไปตามเส้นทางของนิวตันและไลบนิซและดูว่าเราจะวิเคราะห์กระบวนการได้อย่างไรโดยพิจารณาว่าเป็นหน้าที่ของเวลา

ให้เราแนะนำแนวคิดบางอย่างที่จะช่วยเราต่อไป

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y=kx+ b เป็นเส้นตรง เรียกว่า k ความชันของเส้นตรง k=tg โดยที่มุมของเส้นตรงคือมุมระหว่างเส้นตรงนี้กับทิศทางบวกของแกน Ox

รูปที่ 1

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) วาดซีแคนต์ผ่านจุดสองจุดใดๆ เช่น ซีแคนต์ AM (รูปที่ 2)

ความชันของซีแคนต์ k=tg ในสามเหลี่ยมมุมฉาก AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

รูปที่ 2

รูปที่ 3

คำว่า "ความเร็ว" เป็นตัวกำหนดลักษณะการพึ่งพาของการเปลี่ยนแปลงในปริมาณหนึ่งกับการเปลี่ยนแปลงในอีกปริมาณหนึ่ง และระยะหลังไม่จำเป็นต้องเป็นเวลา

ดังนั้น แทนเจนต์ของความชันของซีแคนต์ tg =

เรามีความสนใจในการพึ่งพาการเปลี่ยนแปลงของค่าในระยะเวลาอันสั้น ให้เราดูแลการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เป็นศูนย์ จากนั้นทางด้านขวาของสูตรคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด A (อธิบายว่าทำไม) ถ้า x -> 0 แล้วจุด M จะเคลื่อนที่ไปตามกราฟไปยังจุด A ซึ่งหมายความว่าเส้น AM เข้าใกล้เส้น AB บางเส้น ซึ่งก็คือ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด A. (รูปที่ 3)

มุมเอียงของเส้นตัดมีแนวโน้มที่จะเป็นมุมเอียงของเส้นสัมผัส

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเท่ากับความชันของแทนเจนต์ต่อกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

ความหมายทางกลของอนุพันธ์

แทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์เป็นค่าที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในทันที ณ จุดที่กำหนด นั่นคือ คุณลักษณะใหม่ของกระบวนการที่กำลังศึกษา ไลบนิซเรียกปริมาณนี้ว่า อนุพันธ์และนิวตันกล่าวว่าชั่วพริบตา ความเร็ว.

IV. ฟิซกุลทมินูทก้า.

ก. การแก้ปัญหา.

เลขที่ 91(1) หน้า 91 - แสดงบนกระดาน

ความชันของแทนเจนต์กับเส้นโค้ง f (x) \u003d x 3 ที่จุด x 0 - 1 คือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ที่ x \u003d 1. f '(1) \u003d 3x 2; ฉ'(1) = 3

หมายเลข 91 (3.5) - ภายใต้การเขียนตามคำบอก

หมายเลข 92 (1) - บนกระดานตามใจชอบ

ลำดับที่ 92 (3) - อิสระด้วยการตรวจสอบช่องปาก

ลำดับที่ 92 (5) - ที่คณะกรรมการ

คำตอบ: 45 0, 135 0, 1.5 e 2

หก. งานห้องปฏิบัติการ.

วัตถุประสงค์: การพัฒนาแนวคิดของ "ความหมายทางกลของอนุพันธ์"

การประยุกต์อนุพันธ์ทางกลศาสตร์

กฎการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุด x = x(t), t ถูกกำหนด

1. ความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาที่กำหนด
2. ความเร็วและความเร่ง ณ เวลา t 04
3. จุดหยุด; ไม่ว่าจุดจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกันหลังจากหยุดหรือเริ่มเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้ามหรือไม่
4. ความเร็วสูงสุดของการเคลื่อนไหวในช่วงเวลาที่กำหนด

งานจะดำเนินการตาม 12 ตัวเลือก งานจะแตกต่างตามระดับของความซับซ้อน (ตัวเลือกแรกคือระดับความซับซ้อนต่ำสุด)

ก่อนเริ่มงาน สนทนาเกี่ยวกับคำถามต่อไปนี้:

1. ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์การกระจัดคืออะไร? (ความเร็ว).
2. คุณสามารถหาอนุพันธ์ของความเร็วได้หรือไม่? ปริมาณนี้ใช้ในวิชาฟิสิกส์หรือไม่? มันเรียกว่าอะไร? (อัตราเร่ง).
3. ความเร็วทันทีเป็นศูนย์ สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของร่างกายในขณะนี้? (นี่คือจุดแวะพัก)
4. อะไรคือความหมายทางกายภาพของข้อความต่อไปนี้: อนุพันธ์ของการเคลื่อนไหวเท่ากับศูนย์ที่จุด t 0; อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุด t 0 หรือไม่? (ร่างกายหยุด; ทิศทางของการเคลื่อนไหวเปลี่ยนไปตรงกันข้าม).

ตัวอย่างงานสำหรับนักเรียน

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2

รูปที่ 4

ในทิศทางตรงกันข้าม

มาวาดกราฟความเร็ววงจรกัน ถึงจุดความเร็วสูงสุดแล้ว

t=10, v (10) =3 10 2 -4 10 =300-40=260

รูปที่ 5

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สรุปบทเรียน

1) ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออะไร?
2) ความหมายทางกลของอนุพันธ์คืออะไร?
3) ทำการสรุปเกี่ยวกับงานของคุณ

แปด. แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการบ้าน

หน้า 90. หมายเลข 91 (2,4,6) หมายเลข 92 (2,4,6,), หน้า 92 หมายเลข 112.

หนังสือมือสอง

• หนังสือเรียนพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์
  ผู้เขียน: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. ชาบูนิน.
  แก้ไขโดย A. B. Zhizhchenko
• พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 แผนการสอนตามตำราเรียนโดย Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov ส่วนที่ 1.
• แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. คำจำกัดความของอนุพันธ์ความหมายทางเรขาคณิต

2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

4. อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

5. ฟังก์ชันกำหนดพารามิเตอร์และโดยปริยาย

6. ความแตกต่างของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริกและโดยปริยาย

บทนำ.

ที่มาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือคำถามสองข้อที่เกิดขึ้นจากความต้องการของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีในศตวรรษที่ 17

1) คำถามในการคำนวณความเร็วสำหรับกฎการเคลื่อนที่ที่กำหนดโดยพลการ

2) คำถามในการค้นหา (ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณ) แทนเจนต์กับเส้นโค้งที่กำหนดโดยพลการ

ปัญหาของการวาดแทนเจนต์ของเส้นโค้งบางส่วนได้รับการแก้ไขโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณอาร์คิมิดีส (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) โดยใช้วิธีการวาด

แต่เฉพาะในศตวรรษที่ 17 และ 18 เท่านั้น ที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาติ ปัญหาเหล่านี้ได้รับการพัฒนาอย่างเหมาะสม

คำถามสำคัญข้อหนึ่งในการศึกษาปรากฏการณ์ทางกายภาพมักเป็นคำถามเกี่ยวกับความเร็ว ความเร็วของปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้น

ความเร็วที่เครื่องบินหรือรถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่เสมอเป็นตัวบ่งชี้ที่สำคัญที่สุดของประสิทธิภาพการทำงาน อัตราการเติบโตของประชากรในรัฐที่กำหนดเป็นหนึ่งในลักษณะสำคัญของการพัฒนาทางสังคม

แนวคิดดั้งเดิมของความเร็วนั้นชัดเจนสำหรับทุกคน อย่างไรก็ตาม แนวคิดทั่วไปนี้ไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ได้ จำเป็นต้องมีคำจำกัดความเชิงปริมาณของปริมาณนี้ ซึ่งเราเรียกว่าความเร็ว ความจำเป็นในการให้คำจำกัดความเชิงปริมาณที่แม่นยำนั้นในอดีตเคยเป็นแรงจูงใจหลักประการหนึ่งในการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทั้งส่วนมีไว้สำหรับการแก้ปัญหาพื้นฐานนี้และข้อสรุปจากวิธีแก้ปัญหานี้ ตอนนี้เราหันไปศึกษาหัวข้อนี้

ความหมายของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิต

ให้ฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาที่กำหนด (ก, ค)และต่อเนื่องในนั้น

1. มาเถียงกัน X increment จากนั้นฟังก์ชันจะได้รับ

เพิ่มขึ้น :

2. เขียนความสัมพันธ์ .

3. ผ่านไปยังลิมิต ณ และ สมมติว่าลิมิต

มีอยู่เราได้รับค่าซึ่งเรียกว่า

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับอาร์กิวเมนต์ X.

คำนิยาม.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อ →0

มูลค่าของอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับจุดนั้นอย่างชัดเจน Xซึ่งพบดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงเป็นฟังก์ชันบางอย่างของ X. กำหนด.

ตามคำนิยาม เรามี

หรือ (3)

ตัวอย่าง.หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. ;

หัวข้อ. อนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิตและทางกลของอนุพันธ์

หากขีดจำกัดนี้มีอยู่ ฟังก์ชันจะเรียกว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงไว้ (สูตร 2)

1. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ พิจารณากราฟฟังก์ชัน ดังจะเห็นได้จากรูปที่ 1 ว่าสำหรับจุดสองจุด A และ B ของกราฟของฟังก์ชัน สามารถเขียนสูตร 3) ได้ ในนั้น - มุมเอียงของซีแคนต์ AB

ดังนั้นอัตราส่วนผลต่างเท่ากับความชันของซีแคนต์ หากเรากำหนดจุด A และย้ายจุด B ไปยังจุดนั้น มันจะลดลงอย่างไม่มีกำหนดและเข้าใกล้ 0 และเส้นตัด AB เข้าใกล้ AC แทนเจนต์ ดังนั้น ลิมิตของความสัมพันธ์ส่วนต่างจึงเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่จุด A ดังนั้น ข้อสรุปดังต่อไปนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งคือความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันนั้นที่จุดนั้น นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

1. สมการแทนเจนต์ . ลองหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นกัน ในกรณีทั่วไป สมการของเส้นตรงที่มีความชันจะมีรูปแบบดังนี้ . ในการหา b เราใช้ความจริงที่ว่าแทนเจนต์ผ่านจุด A: นี่หมายความว่า: . แทนนิพจน์นี้สำหรับ b เราได้สมการแทนเจนต์ (สูตร 4)

อนุพันธ์คืออะไร?
ความหมายและความหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

หลายคนจะประหลาดใจกับตำแหน่งที่ไม่คาดคิดของบทความนี้ในหลักสูตรของผู้เขียนเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวและการใช้งานของตัวแปร ท้ายที่สุด เช่นเดียวกับที่มาจากโรงเรียน: อย่างแรกเลย หนังสือเรียนมาตรฐานให้คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิตและทางกลของมัน ต่อไป นักเรียนหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามคำจำกัดความ และที่จริงแล้ว เทคนิคการสร้างความแตกต่างจึงสมบูรณ์โดยใช้ ตารางอนุพันธ์.

แต่จากมุมมองของฉัน แนวทางต่อไปนี้เป็นแนวทางเชิงปฏิบัติมากกว่า อย่างแรกเลย แนะนำให้ทำความเข้าใจให้ดี ฟังก์ชั่นจำกัด, และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนันต์. ความจริงก็คือ คำจำกัดความของอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับแนวคิดของลิมิตซึ่งถือว่าไม่ดีในหลักสูตรของโรงเรียน นั่นคือเหตุผลที่ส่วนสำคัญของผู้บริโภครุ่นใหม่ที่มีความรู้เกี่ยวกับหินแกรนิตไม่สามารถเจาะลึกถึงแก่นแท้ของอนุพันธ์ได้ไม่ดี ดังนั้น หากคุณไม่เชี่ยวชาญเรื่องแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ หรือสมองที่ฉลาดสามารถกำจัดสัมภาระนี้ออกไปได้สำเร็จในช่วงหลายปีที่ผ่านมา โปรดเริ่มด้วย ขีดจำกัดของฟังก์ชัน. ในเวลาเดียวกัน อาจารย์ / จำการตัดสินใจของพวกเขา

แนวปฏิบัติเดียวกันนี้บ่งชี้ว่าได้กำไรก่อน เรียนรู้ที่จะหาอนุพันธ์, รวมทั้ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน. ทฤษฎีเป็นทฤษฎี แต่อย่างที่พวกเขาพูด คุณต้องการแยกความแตกต่างเสมอ ในเรื่องนี้ เป็นการดีกว่าที่จะทำบทเรียนพื้นฐานที่ระบุไว้และอาจกลายเป็น ต้นแบบความแตกต่างโดยไม่รู้ถึงแก่นแท้ของการกระทำของตน

ฉันขอแนะนำให้เริ่มเนื้อหาในหน้านี้หลังจากอ่านบทความแล้ว ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับอนุพันธ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อพิจารณาถึงปัญหาของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน แต่อาจล่าช้า ความจริงก็คือว่าการประยุกต์ใช้อนุพันธ์หลายอย่างไม่จำเป็นต้องเข้าใจ และไม่น่าแปลกใจที่บทเรียนเชิงทฤษฎีปรากฏค่อนข้างช้า - เมื่อฉันต้องอธิบาย หาช่วงของการเพิ่มขึ้น/ลดลงและสุดขั้วฟังก์ชั่น. ยิ่งกว่านั้นเขาอยู่ในเรื่องค่อนข้างนาน " ฟังก์ชันและกราฟ” จนกระทั่งฉันตัดสินใจใส่มันลงไปก่อนหน้านี้

ดังนั้นกาน้ำชาที่รักอย่ารีบดูดซับสาระสำคัญของอนุพันธ์เช่นสัตว์ที่หิวโหยเพราะความอิ่มตัวจะจืดชืดและไม่สมบูรณ์

แนวคิดของการเพิ่ม ลด สูงสุด ต่ำสุด ของฟังก์ชัน

บทช่วยสอนจำนวนมากนำไปสู่แนวคิดของอนุพันธ์ด้วยความช่วยเหลือของปัญหาเชิงปฏิบัติ และฉันก็ได้ยกตัวอย่างที่น่าสนใจด้วย ลองนึกภาพว่าเราต้องเดินทางสู่เมืองที่สามารถไปถึงได้หลายทาง เราทิ้งเส้นทางคดเคี้ยวที่คดเคี้ยวทันทีและเราจะพิจารณาเฉพาะเส้นตรงเท่านั้น อย่างไรก็ตาม เส้นทางเส้นตรงก็แตกต่างกันเช่นกัน คุณสามารถไปยังเมืองตามทางด่วนที่แบนราบได้ หรือบนทางหลวงที่เป็นเนินเขา - ขึ้นและลง, ขึ้นและลง ถนนอีกเส้นหนึ่งขึ้นเนินเท่านั้น และอีกสายหนึ่งลงเนินตลอดเวลา ผู้แสวงหาความตื่นเต้นจะเลือกเส้นทางผ่านหุบเขาที่มีหน้าผาสูงชันและทางขึ้นสูงชัน

แต่ไม่ว่าคุณจะชอบใจอะไร คุณควรทราบพื้นที่นั้น หรืออย่างน้อยต้องมีแผนที่ภูมิประเทศของพื้นที่นั้น เกิดอะไรขึ้นถ้าไม่มีข้อมูลดังกล่าว? ท้ายที่สุด คุณสามารถเลือกได้ เช่น ทางเรียบ แต่ผลที่ตามมาก็คือ สะดุดกับเนินสกีที่มีฟินน์ตลกๆ ไม่ใช่ความจริงที่ว่าเครื่องนำทางและแม้แต่ภาพถ่ายดาวเทียมจะให้ข้อมูลที่เชื่อถือได้ ดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะสร้างความโล่งใจของเส้นทางโดยใช้คณิตศาสตร์

พิจารณาถนนบางส่วน (มุมมองด้านข้าง):

เผื่อว่าผมจะเตือนคุณถึงข้อเท็จจริงเบื้องต้น: การเดินทางเกิดขึ้น จากซ้ายไปขวา. เพื่อความง่าย เราคิดว่าฟังก์ชัน ต่อเนื่องในพื้นที่ที่พิจารณา

คุณสมบัติของแผนภูมินี้คืออะไร?

เป็นระยะ การทำงาน เพิ่มขึ้น, นั่นคือ, แต่ละค่าถัดไปของมัน มากกว่าอันก่อนหน้า พูดคร่าวๆ กำหนดการก็ดำเนินไป ขึ้นไป(เราปีนขึ้นไปบนเนินเขา) และในช่วงเวลาฟังก์ชัน ลดลง- แต่ละค่าถัดไป น้อยอันที่แล้ว กำหนดการของพวกเรากำลังจะผ่านไป บนลงล่าง(กำลังลงเนิน)

ให้ความสนใจกับจุดพิเศษด้วย ถึงจุดที่เราไปถึง ขีดสุด, นั่นคือ มีอยู่ส่วนของเส้นทางดังกล่าวซึ่งค่าจะมากที่สุด (สูงสุด) ณ จุดเดียวกันนั้น ขั้นต่ำ, และ มีอยู่พื้นที่ใกล้เคียงดังกล่าวซึ่งมีค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด)

เราจะพิจารณาคำศัพท์และคำจำกัดความที่เข้มงวดมากขึ้นในบทเรียน เกี่ยวกับความสุดโต่งของฟังก์ชันแต่สำหรับตอนนี้ มาศึกษาคุณสมบัติที่สำคัญอีกประการหนึ่ง: ในช่วงเวลา ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น แต่กำลังเพิ่มขึ้น ด้วยความเร็วที่ต่างกัน. และสิ่งแรกที่ดึงดูดสายตาของคุณก็คือแผนภูมิจะลอยขึ้นบนช่วงเวลา เท่กว่าเยอะกว่าในช่วงเวลา เป็นไปได้ไหมที่จะวัดความชันของถนนโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์?

อัตราการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน

แนวคิดคือ: ใช้ค่าบางอย่าง (อ่านว่า "เดลต้า x")ซึ่งเราจะเรียกว่า อาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้นและเริ่ม "ลองใช้" กับจุดต่าง ๆ ในเส้นทางของเรา:

1) ลองดูจุดซ้ายสุด: ข้ามระยะทาง เราปีนขึ้นไปบนทางลาดชัน (เส้นสีเขียว) ค่าที่เรียกว่า ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและในกรณีนี้ การเพิ่มขึ้นนี้เป็นค่าบวก (ผลต่างของค่าตามแกนมีค่ามากกว่าศูนย์) มาทำอัตราส่วนกัน ซึ่งจะเป็นตัววัดความชันของถนนของเรา เห็นได้ชัดว่าเป็นจำนวนที่เจาะจงมากและเนื่องจากการเพิ่มขึ้นทั้งสองเป็นค่าบวก ดังนั้น .

ความสนใจ! ชื่อคือ หนึ่งสัญลักษณ์ นั่นคือ คุณไม่สามารถ "ฉีก" "เดลต้า" จาก "x" และพิจารณาตัวอักษรเหล่านี้แยกจากกัน แน่นอน ความคิดเห็นยังใช้กับสัญลักษณ์การเพิ่มของฟังก์ชันด้วย

มาสำรวจธรรมชาติของเศษส่วนผลลัพธ์ที่มีความหมายมากขึ้นกัน สมมุติว่าเราอยู่ที่ความสูง 20 เมตร (ในจุดสีดำด้านซ้าย) เมื่อเอาชนะระยะทางเมตร (เส้นสีแดงซ้าย) เราจะอยู่ที่ความสูง 60 เมตร จากนั้นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะเป็น เมตร (เส้นสีเขียว) และ : . ทางนี้, ทุกเมตรส่วนนี้ของถนน ความสูงเพิ่มขึ้น เฉลี่ยโดย 4 เมตร…คุณลืมอุปกรณ์ปีนเขาของคุณหรือไม่? =) กล่าวอีกนัยหนึ่ง อัตราส่วนที่สร้างขึ้นแสดงลักษณะอัตราเฉลี่ยของการเปลี่ยนแปลง (ในกรณีนี้คือการเติบโต) ของฟังก์ชัน

บันทึก : ค่าตัวเลขของตัวอย่างที่เป็นปัญหาสอดคล้องกับสัดส่วนของภาพวาดโดยประมาณเท่านั้น

2) ทีนี้ ไปในระยะเดียวกันจากจุดสีดำขวาสุด ที่นี่การเพิ่มขึ้นมีความอ่อนโยนมากขึ้น ดังนั้นการเพิ่มขึ้น (เส้นสีแดงเข้ม) จึงค่อนข้างเล็ก และอัตราส่วนเมื่อเทียบกับกรณีก่อนหน้าจะค่อนข้างเจียมเนื้อเจียมตัว ค่อนข้างพูด, เมตรและ อัตราการเติบโตของฟังก์ชันเป็น . นั่นคือที่นี่ทุก ๆ เมตรของถนนที่มี เฉลี่ยขึ้นครึ่งเมตร

3) การผจญภัยเล็ก ๆ บนไหล่เขา ลองดูจุดสีดำด้านบนที่อยู่บนแกน y สมมุติว่านี่คือระยะ 50 เมตร อีกครั้งเราเอาชนะระยะทางอันเป็นผลมาจากการที่เราพบว่าตัวเองอยู่ต่ำกว่า - ที่ระดับ 30 เมตร ตั้งแต่มีการเคลื่อนไหว บนลงล่าง(ในทิศทาง "ตรงกันข้าม" ของแกน) จากนั้นขั้นสุดท้าย การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน (ความสูง) จะเป็นลบ: เมตร (เส้นสีน้ำตาลในรูปวาด) และในกรณีนี้เรากำลังพูดถึง อัตราการสลายตัวคุณสมบัติ: กล่าวคือ ความสูงลดลงในแต่ละเมตรของเส้นทางส่วนนี้ เฉลี่ยโดย 2 เมตร ดูแลเสื้อผ้าในจุดที่ห้า

ทีนี้มาถามคำถามว่า "มาตรฐานการวัด" ควรใช้อะไรคุ้มค่าที่สุด? เป็นที่แน่ชัดว่า 10 เมตร นั้นขรุขระมาก การกระแทกที่ดีสามารถใส่ได้หลายสิบอัน เหตุใดจึงมีการกระแทก อาจมีช่องเขาลึกอยู่ด้านล่าง และหลังจากนั้นไม่กี่เมตร - อีกด้านหนึ่งมีทางขึ้นที่สูงชันอีก ดังนั้นด้วยระยะสิบเมตรเราจะไม่ได้ลักษณะที่เข้าใจได้ของส่วนดังกล่าวของเส้นทางผ่านอัตราส่วน

จากการสนทนาข้างต้น สรุปได้ดังนี้ ค่าที่น้อยกว่ายิ่งเราจะอธิบายความโล่งใจของถนนได้แม่นยำมากขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้ ข้อเท็จจริงต่อไปนี้เป็นจริง:

– สำหรับใดๆจุดยก คุณสามารถเลือกค่า (แม้ว่าจะเล็กมาก) ที่พอดีกับขอบเขตของการเพิ่มขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่ง และนี่หมายความว่าการเพิ่มความสูงที่สอดคล้องกันจะรับประกันว่าเป็นค่าบวก และความไม่เท่าเทียมกันจะระบุการเติบโตของฟังก์ชันในแต่ละจุดของช่วงเวลาเหล่านี้อย่างถูกต้อง

- เช่นเดียวกัน, สำหรับใดๆจุดลาดชัน มีค่าที่จะพอดีกับความชันนี้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้น ความสูงที่เพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกันจึงเป็นลบอย่างชัดเจน และความไม่เท่าเทียมกันจะแสดงฟังก์ชันที่ลดลงในแต่ละจุดของช่วงเวลาที่กำหนดอย่างถูกต้อง

– ที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเป็นศูนย์: ขั้นแรก การเพิ่มความสูงเป็นศูนย์ () เป็นสัญญาณของเส้นทางที่เท่ากัน และประการที่สอง มีสถานการณ์ที่น่าสงสัยอื่นๆ ตัวอย่างที่คุณเห็นในรูป ลองนึกภาพว่าโชคชะตานำพาเราขึ้นไปบนยอดเขาที่มีนกอินทรีทะยานหรือก้นหุบเขาที่มีกบร้องคร่ำครวญ หากคุณก้าวเล็ก ๆ ไปในทิศทางใด ๆ การเปลี่ยนแปลงความสูงจะเล็กน้อย และเราสามารถพูดได้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์จริงๆ สังเกตรูปแบบเดียวกันที่จุด

ดังนั้นเราจึงเข้าใกล้โอกาสอันน่าทึ่งในการกำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างแม่นยำอย่างสมบูรณ์แบบ ท้ายที่สุด การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เราสามารถกำหนดการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เป็นศูนย์ นั่นคือ ทำให้มัน น้อยนิด.

เป็นผลให้มีคำถามเชิงตรรกะอีกประการหนึ่งเกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาถนนและตารางเวลา ฟังก์ชั่นอื่น, ที่ จะบอกเราเกี่ยวกับแฟลตทั้งหมด, ขึ้นเนิน, ลงเนิน, ยอดเขา, ที่ราบลุ่ม ตลอดจนอัตราการเพิ่ม/ลดในแต่ละจุดของเส้นทาง?

อนุพันธ์คืออะไร? คำจำกัดความของอนุพันธ์
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียล

โปรดอ่านอย่างรอบคอบและไม่เร็วเกินไป เนื้อหานี้ง่ายและเข้าถึงได้สำหรับทุกคน! ไม่เป็นไรหากมีบางสิ่งที่ไม่ชัดเจนนัก คุณสามารถกลับมาที่บทความในภายหลังได้เสมอ ฉันจะพูดให้มากขึ้นว่าการศึกษาทฤษฎีหลายครั้งเพื่อทำความเข้าใจประเด็นทั้งหมดนั้นมีประโยชน์ (คำแนะนำมีความเกี่ยวข้องโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับนักเรียน "เทคนิค" ซึ่งคณิตศาสตร์ระดับสูงมีบทบาทสำคัญในกระบวนการศึกษา)

โดยธรรมชาติแล้ว ในคำจำกัดความของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง เราจะแทนที่ด้วย:

เรามาเพื่ออะไร? และเราก็ได้ข้อสรุปว่าสำหรับการทำงานตามกฎหมาย อยู่ในแนวเดียวกัน ฟังก์ชั่นอื่นๆ, ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์(หรือง่ายๆ อนุพันธ์).

ลักษณะอนุพันธ์ อัตราการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่น . ยังไง? ความคิดไปเหมือนด้ายสีแดงตั้งแต่ต้นบทความ พิจารณาบางประเด็น โดเมนฟังก์ชั่น . ให้ฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่กำหนด แล้ว:

1) ถ้า แล้ว ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นที่จุด และเห็นได้ชัดว่ามี ช่วงเวลา(แม้ว่าจะเล็กมาก) ที่มีจุดที่ฟังก์ชันเติบโต และกราฟของฟังก์ชันจะไป "จากล่างขึ้นบน"

2) ถ้า แล้ว ฟังก์ชันจะลดลงที่จุด และมีช่วงที่มีจุดที่ฟังก์ชันลดลง (กราฟไป "จากบนลงล่าง")

3) ถ้า แล้ว ใกล้ชิดกันอย่างไม่สิ้นสุดใกล้จุด ฟังก์ชันจะรักษาความเร็วให้คงที่ สิ่งนี้เกิดขึ้นตามที่ระบุไว้สำหรับค่าคงที่ของฟังก์ชันและ ที่จุดสำคัญของการทำงาน, โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ที่จุดต่ำสุดและสูงสุด.

ความหมายบางอย่าง คำกริยา "differentiate" หมายถึงอะไรในความหมายกว้าง ๆ ? การแยกความแตกต่างหมายถึงการแยกแยะคุณลักษณะ การแยกความแตกต่างของฟังก์ชัน เรา "เลือก" อัตราการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน แล้วคำว่า "อนุพันธ์" หมายถึงอะไร? การทำงาน เกิดขึ้นจากฟังก์ชัน

คำศัพท์เหล่านี้ตีความความหมายทางกลของอนุพันธ์ได้สำเร็จ :
ลองพิจารณากฎของการเปลี่ยนแปลงพิกัดของร่างกายซึ่งขึ้นอยู่กับเวลาและหน้าที่ของความเร็วของการเคลื่อนที่ของวัตถุที่กำหนด ฟังก์ชันนี้กำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของพิกัดของร่างกาย ดังนั้นจึงเป็นอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันเทียบกับเวลา: . หากแนวคิดของ "การเคลื่อนไหวของร่างกาย" ไม่มีอยู่ในธรรมชาติ สิ่งนั้นก็ไม่มีอยู่จริง อนุพันธ์แนวคิดของ "ความเร็ว"

ความเร่งของร่างกายคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว ดังนั้น: . หากแนวคิดดั้งเดิมของ "การเคลื่อนไหวของร่างกาย" และ "ความเร็วในการเคลื่อนไหวของร่างกาย" ไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ก็จะไม่มี อนุพันธ์แนวคิดของการเร่งความเร็วของร่างกาย

บรรยาย: แนวคิดของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

แนวคิดของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

พิจารณาบางฟังก์ชัน f(x) ซึ่งจะต่อเนื่องตลอดช่วงการพิจารณาทั้งหมด ในช่วงเวลาที่พิจารณา เราเลือกจุด x 0 เช่นเดียวกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

ลองดูกราฟที่เราทำเครื่องหมายจุด x 0 และจุด (x 0 + ∆x) จำไว้ว่า ∆x คือระยะทาง (ความต่าง) ระหว่างจุดสองจุดที่เลือก

นอกจากนี้ยังควรเข้าใจด้วยว่า x แต่ละตัวสอดคล้องกับค่าของฟังก์ชัน y ของตัวเอง

ความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุด x 0 และ (x 0 + ∆x) เรียกว่าการเพิ่มของฟังก์ชันนี้: ∆y \u003d f (x 0 + ∆x) - f (x 0)

ให้ความสนใจกับข้อมูลเพิ่มเติมที่มีอยู่ในแผนภูมิ - นี่คือซีแคนต์ซึ่งเรียกว่า KL เช่นเดียวกับสามเหลี่ยมที่สร้างด้วยช่วงเวลา KN และ LN

มุมที่ซีแคนต์ตั้งอยู่เรียกว่ามุมเอียงและแสดงด้วย α สามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายว่าการวัดองศาของมุม LKN เท่ากับ α ด้วย

ทีนี้ลองนึกถึงความสัมพันธ์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก tgα = LN / KN = ∆у / ∆х

นั่นคือ แทนเจนต์ของความชันของซีแคนต์เท่ากับอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์

ในคราวเดียว อนุพันธ์คือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ในช่วงเวลาที่น้อยที่สุด

อนุพันธ์กำหนดอัตราที่ฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงในบางพื้นที่

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

หากคุณพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ในบางจุด คุณสามารถกำหนดมุมที่แทนเจนต์ของกราฟในกระแสที่กำหนด โดยสัมพันธ์กับแกน OX ให้ความสนใจกับกราฟ - มุมเอียงของแทนเจนต์แสดงด้วยตัวอักษร φ และถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ k ในสมการเส้นตรง: y \u003d kx + b

นั่นคือ เราสามารถสรุปได้ว่าความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คือแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์ที่จุดหนึ่งของฟังก์ชัน