กราฟของฟังก์ชันสามารถมีเส้นกำกับได้กี่เส้น

ไม่มี หนึ่ง สอง สาม... หรือจำนวนอนันต์ เราจะไม่ไปไกลสำหรับตัวอย่าง เราจะเรียกคืนฟังก์ชันพื้นฐาน พาราโบลา คิวบิกพาราโบลา ไซนัสอยด์ไม่มีเส้นกำกับเลย กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมมีเส้นกำกับเส้นเดียว อาร์คแทนเจนต์, อาร์คโคแทนเจนต์มีสองตัว และแทนเจนต์ โคแทนเจนต์มีจำนวนอนันต์ ไม่ใช่เรื่องแปลกที่กราฟจะมีเส้นกำกับทั้งแนวนอนและแนวตั้ง อติพจน์จะรักคุณเสมอ

การหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชันหมายความว่าอย่างไร

ซึ่งหมายถึงการหาสมการและวาดเส้นตรงหากเงื่อนไขของปัญหาต้องการ กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชัน

เส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน

ตามกฎแล้วเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟอยู่ที่จุดที่ไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน ง่ายมาก: หาก ณ จุดหนึ่ง ฟังก์ชันประสบกับการแตกแบบอนันต์ เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการจะเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟ

หมายเหตุ: โปรดทราบว่าสัญกรณ์นี้ใช้เพื่ออ้างถึงสองแนวคิดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ประเด็นมีนัยหรือสมการของเส้นตรง - ขึ้นอยู่กับบริบท

ดังนั้น เพื่อสร้างการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวดิ่ง ณ จุดหนึ่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงว่าอย่างน้อยหนึ่งขีดจำกัดด้านเดียวนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ส่วนใหญ่มักจะเป็นจุดที่ตัวส่วนของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์ อันที่จริง เราได้พบเส้นกำกับแนวตั้งแล้วในตัวอย่างสุดท้ายของบทเรียนเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชัน แต่ในหลายกรณี มีข้อ จำกัด ด้านเดียวและถ้ามันไม่มีที่สิ้นสุดแล้วอีกครั้ง - รักและชอบเส้นกำกับแนวตั้ง ภาพประกอบที่ง่ายที่สุด: และแกน y

ข้อเท็จจริงที่เห็นได้ชัดก็มาจากด้านบนเช่นกัน: หากฟังก์ชันเปิดอย่างต่อเนื่อง จะไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง ด้วยเหตุผลบางอย่างพาราโบลาก็เข้ามาในหัว อันที่จริงคุณสามารถ "ติด" เส้นตรงที่นี่ได้ที่ไหน? ... ใช่ ... ฉันเข้าใจ ... สาวกของลุงฟรอยด์พากันตีโพยตีพาย =)

คำสั่ง converse โดยทั่วไปไม่เป็นความจริง: ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันไม่ได้กำหนดไว้บนเส้นจริงทั้งหมด แต่ขาดเส้นกำกับโดยสิ้นเชิง

เส้นกำกับเฉียงของกราฟของฟังก์ชัน

เส้นกำกับแบบเอียง (ในกรณีพิเศษ - แนวนอน) สามารถวาดได้หากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะ "บวกอินฟินิตี้" หรือ "ลบอนันต์" ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันต้องมีเส้นกำกับเฉียงไม่เกิน 2 เส้น ตัวอย่างเช่น กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีเส้นกำกับแนวนอนเส้นเดียวที่ และกราฟของอาร์กแทนเจนต์ที่ มีเส้นกำกับสองเส้นและเส้นกำกับต่างกัน

คำนิยาม . เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชันคือเส้นที่มีคุณสมบัติที่ระยะทางจากจุดของกราฟของฟังก์ชันไปยังเส้นนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยมีระยะทางไม่จำกัดจากจุดกำเนิดของจุดกราฟ.

ตามวิธีการในการค้นหานั้นเส้นกำกับสามประเภทมีความโดดเด่น: แนวตั้งแนวนอนเฉียง

เห็นได้ชัดว่าแนวนอนเป็นกรณีพิเศษของแนวเอียง (สำหรับ )

การหาเส้นกำกับของกราฟฟังก์ชันขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1 . ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดเป็นอย่างน้อยในกึ่งย่านบางจุดของจุดนั้น และให้ขอบเขตด้านเดียวอย่างน้อยหนึ่งขอบเขตเป็นอนันต์ ณ จุดนี้ กล่าวคือ เท่ากัน. เส้นตรงคือเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน.

ดังนั้น ควรหาเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟฟังก์ชันที่จุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันหรือที่ส่วนท้ายของขอบเขตคำจำกัดความ (หากเป็นจำนวนจำกัด)

ทฤษฎีบท 2 . ให้ฟังก์ชันกำหนดไว้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่มีค่าสัมบูรณ์มากพอและมีขีดจำกัดของฟังก์ชัน . จากนั้นเส้นจะเป็นเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชัน

อาจเกิดขึ้นได้ว่า , แ และเป็นจำนวนจำกัด กราฟจึงมีเส้นกำกับแนวนอนสองเส้นที่แตกต่างกัน: คนถนัดซ้ายและคนถนัดขวา หากมีขีด จำกัด ที่แน่นอนหรือมีอยู่เพียงข้อเดียว กราฟจะมีเส้นกำกับแนวนอนหนึ่งเส้นหรือเส้นกำกับแนวนอนหนึ่งเส้น

ทฤษฎีบท 3 . ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดสำหรับค่าของอาร์กิวเมนต์ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอในค่าสัมบูรณ์และมีข้อ จำกัด ที่ จำกัด และ . เส้นตรงคือเส้นกำกับเฉียงของกราฟของฟังก์ชัน.

โปรดทราบว่าถ้าอย่างน้อยหนึ่งขีดจำกัดเหล่านี้ไม่มีที่สิ้นสุด ก็ไม่มีเส้นกำกับเฉียง

เส้นกำกับเฉียงเช่นเดียวกับเส้นแนวนอนสามารถเป็นแบบด้านเดียวได้

ตัวอย่าง. ค้นหาเส้นกำกับทั้งหมดของกราฟฟังก์ชัน

วิธีการแก้.

ฟังก์ชั่นถูกกำหนดด้วย . ให้เราหาข้อ จำกัด ด้านเดียวที่จุด

เพราะ และ (ไม่พบขีด จำกัด ด้านเดียวอีกสองข้อ) จากนั้นเส้นจะเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน

คำนวณ

(ใช้กฎของโลปิตาล) = .

เส้นจึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน

เนื่องจากเส้นกำกับแนวนอนมีอยู่ เราจึงไม่มองหาเส้นกำกับแนวเฉียงอีกต่อไป (ไม่มีอยู่จริง)

ตอบ: กราฟมีเส้นกำกับแนวตั้งสองเส้นและเส้นกำกับแนวนอนหนึ่งเส้น

การศึกษาฟังก์ชั่นทั่วไปy = ฉ (x ).

ขอบเขตฟังก์ชันค้นหาโดเมนของมัน ดี(ฉ) . ถ้าไม่ยากเกินไปก็ควรหาช่วงด้วย อี(ฉ) . (อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี คำถามในการหา อี(ฉ) จะล่าช้าจนกว่าจะพบสุดขั้วของฟังก์ชัน)

คุณสมบัติพิเศษของฟังก์ชันค้นหาคุณสมบัติทั่วไปของฟังก์ชัน: คู่ คี่ คาบ ฯลฯ ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติเช่นคู่หรือคี่ ฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่แน่นอนถ้าขอบเขตของคำจำกัดความไม่สมมาตรเกี่ยวกับจุด 0 บนแกน วัว. ในทำนองเดียวกัน สำหรับฟังก์ชันคาบใดๆ โดเมนของนิยามประกอบด้วยแกนจริงทั้งหมด หรือการรวมของระบบช่องว่างที่เกิดซ้ำเป็นระยะๆ

เส้นกำกับแนวตั้งค้นหาว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรเมื่ออาร์กิวเมนต์เข้าใกล้จุดขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ ดี(ฉ) หากมีจุดขอบเขตดังกล่าว ในกรณีนี้ เส้นกำกับแนวตั้งอาจปรากฏขึ้น หากฟังก์ชันมีจุดที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งไม่ได้กำหนดไว้ จุดเหล่านี้จะถูกตรวจสอบด้วยว่ามีเส้นกำกับแนวตั้งของฟังก์ชันหรือไม่

เส้นกำกับแบบเฉียงและแนวนอนถ้าขอบเขต ดี(ฉ) รวมถึงรังสีของรูปแบบ (a;+) หรือ (−;b) จากนั้นเราสามารถลองหาเส้นกำกับเฉียง (หรือเส้นกำกับแนวนอน) ที่ x+ หรือ x− ตามลำดับ กล่าวคือ หา limxf(x) เส้นกำกับเฉียง : y = kx + ขโดยที่ k=limx+xf(x) และ b=limx+(f(x)−x) เส้นกำกับแนวนอน : y = ขโดยที่ limxf(x)=b

การหาจุดตัดของกราฟด้วยแกน. การหาจุดตัดของกราฟกับแกน ออย. ในการทำเช่นนี้คุณต้องคำนวณค่า ฉ(0). หาจุดตัดของกราฟด้วยแกน .ด้วย วัว, หารากของสมการทำไม ฉ(x) = 0 (หรือตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีราก) สมการมักจะแก้ได้เพียงโดยประมาณเท่านั้น แต่การแยกรากช่วยให้เข้าใจโครงสร้างของกราฟได้ดีขึ้น ถัดไป คุณต้องกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันในช่วงเวลาระหว่างรากและจุดแตกหัก

การหาจุดตัดของกราฟด้วยเส้นกำกับในบางกรณี อาจจำเป็นต้องค้นหาจุดที่เป็นลักษณะเฉพาะของกราฟที่ไม่ได้กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้า ตัวอย่างเช่น หากฟังก์ชันมีเส้นกำกับเฉียง คุณสามารถลองค้นหาว่ามีจุดตัดกันของกราฟที่มีเส้นกำกับนี้หรือไม่

การหาระยะนูนและความเว้า. ทำได้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง f(x) หาจุดเปลี่ยนเว้าที่รอยต่อของช่วงนูนและความเว้า คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเปลี่ยนเว้า หากฟังก์ชันมีจุดต่อเนื่องอื่นๆ (นอกเหนือจากจุดเปลี่ยนเว้า) ซึ่งอนุพันธ์อันดับสองเท่ากับ 0 หรือไม่มีอยู่จริง การคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ก็มีประโยชน์เช่นกัน เมื่อพบ f(x) เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน f(x)0 ในแต่ละช่วงของสารละลาย ฟังก์ชันจะนูนลง การแก้สมการย้อนกลับ f(x)0 เราจะพบช่วงเวลาที่ฟังก์ชันนูนขึ้น (นั่นคือ เว้า) เรากำหนดจุดเปลี่ยนเว้าเป็นจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนทิศทางของการนูน (และต่อเนื่อง)

นี่คือวิธีกำหนดงานทั่วไป และเกี่ยวข้องกับการค้นหาเส้นกำกับทั้งหมดของกราฟ (แนวตั้ง เฉียง / แนวนอน) แม้ว่าเพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นในการกำหนดคำถาม เรากำลังพูดถึงการศึกษาการมีอยู่ของเส้นกำกับ (ในท้ายที่สุด อาจไม่มีเลย)

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ ก่อน:

ตัวอย่าง 1

วิธีการแก้ สะดวกที่จะแบ่งออกเป็นสองจุด:

1) ก่อนอื่นเราตรวจสอบว่ามีเส้นกำกับแนวตั้งหรือไม่ ตัวส่วนหายไปที่ , และเป็นที่แน่ชัดทันทีว่า ณ จุดนี้ฟังก์ชันจะประสบ ช่องว่างไม่มีที่สิ้นสุดและเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการคือเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน แต่ก่อนที่จะสรุปได้เช่นนี้ จำเป็นต้องหาข้อ จำกัด ด้านเดียว:

ฉันเตือนคุณถึงเทคนิคการคำนวณซึ่งฉันเคยกล่าวถึงในบทความเช่นกัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน จุดแตกหัก. ในนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายขีด จำกัด แทนที่จะเป็น "x" เราแทนที่ . ไม่มีอะไรน่าสนใจในตัวเศษ:
.

แต่ในตัวส่วนมันกลับกลายเป็น จำนวนลบน้อย:
จะเป็นตัวกำหนดชะตากรรมของลิมิต

ขีด จำกัด ทางซ้ายมือนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และโดยหลักการแล้ว มันเป็นไปได้ที่จะผ่านคำตัดสินเกี่ยวกับการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวตั้ง แต่จำเป็นต้องมีข้อ จำกัด ด้านเดียวไม่เพียง แต่สำหรับสิ่งนี้เท่านั้น - พวกเขาช่วยให้เข้าใจ อย่างไรกราฟของฟังก์ชันตั้งอยู่และพล็อตมัน ถูกต้อง. ดังนั้นเราจึงต้องคำนวณขีด จำกัด ของมือขวาด้วย:

บทสรุป: ขีดจำกัดด้านเดียวไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าเส้นเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชันที่

ขีดจำกัดแรก finiteซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้อง "สนทนาต่อ" และหาขีด จำกัด ที่สอง:

ขีดจำกัดที่สองด้วย finite.

ดังนั้นเส้นกำกับของเราคือ:

บทสรุป: เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการคือเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชันที่

เพื่อหาเส้นกำกับแนวนอน คุณสามารถใช้สูตรง่าย ๆ ได้:

หากมีขีดจำกัด เส้นนั้นจะเป็นเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชันที่

ง่ายที่จะเห็นว่าตัวเศษและตัวส่วนของฟังก์ชัน หนึ่งลำดับของการเติบโตซึ่งหมายความว่าขีด จำกัด ที่ต้องการจะสิ้นสุด:

ตอบ:

ตามเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องวาดให้เสร็จ แต่ถ้าเต็มวง การวิจัยฟังก์ชั่นจากนั้นในร่างเราก็สร้างภาพร่างทันที:

จากขีดจำกัดสามข้อที่พบ ให้พยายามค้นหาว่ากราฟของฟังก์ชันสามารถระบุตำแหน่งได้อย่างไร ค่อนข้างยาก? ค้นหา 5-6-7-8 คะแนนและทำเครื่องหมายบนภาพวาด อย่างไรก็ตาม กราฟของฟังก์ชันนี้สร้างขึ้นโดยใช้ การเปลี่ยนแปลงของกราฟฟังก์ชันเบื้องต้นและผู้อ่านที่ได้ตรวจสอบตัวอย่างที่ 21 ของบทความนี้อย่างถี่ถ้วนแล้วจะเดาได้ง่าย ๆ ว่าเป็นเส้นโค้งแบบไหน

ตัวอย่าง 2

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ฉันขอเตือนคุณว่ากระบวนการนี้แบ่งออกเป็นสองจุดอย่างสะดวก - เส้นกำกับแนวตั้งและเส้นกำกับเฉียง ในสารละลายตัวอย่าง พบเส้นกำกับแนวนอนโดยใช้โครงร่างแบบง่าย

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะมักพบบ่อยที่สุด และหลังจากการฝึกอบรมเกี่ยวกับไฮเปอร์โบลา เราจะทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีการแก้: หนึ่ง สอง และเสร็จสิ้น:

1) พบเส้นกำกับแนวตั้ง ที่จุดที่ไม่ต่อเนื่องเป็นอนันต์ดังนั้นคุณต้องตรวจสอบว่าตัวส่วนเป็นศูนย์หรือไม่ เราจะตัดสินใจ สมการกำลังสอง :

discriminant เป็นค่าบวก ดังนั้นสมการจึงมีรากจริง 2 ราก และงานถูกเพิ่มเข้ามาอย่างมาก =)

ในการหาค่าจำกัดด้านเดียวเพิ่มเติม จะสะดวกที่จะแยกตัวประกอบกำลังสองกำลังสอง:
(สำหรับสัญกรณ์ย่อ "ลบ" ถูกนำมาใช้ในวงเล็บเหลี่ยมแรก) เพื่อความปลอดภัยเราจะทำการตรวจสอบทางจิตใจหรือแบบร่างโดยเปิดวงเล็บ

ลองเขียนฟังก์ชันใหม่ในรูปแบบ

ค้นหาข้อ จำกัด ด้านเดียวที่จุด :

และตรงประเด็น:

ดังนั้น เส้นตรงจึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณา

2) ถ้าคุณดูที่ฟังก์ชัน แล้วมันค่อนข้างชัดเจนว่าขีดจำกัดจะจำกัด และเรามีเส้นกำกับแนวนอน ขอแสดงสั้น ๆ :

ดังนั้น เส้นตรง (abscissa) จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชันนี้

ตอบ:

ขีดจำกัดและเส้นกำกับที่พบให้ข้อมูลมากมายเกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชัน พยายามจินตนาการถึงภาพวาดโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงต่อไปนี้:

ร่างกราฟเวอร์ชันของคุณในแบบร่าง

แน่นอน ขีดจำกัดที่พบไม่ได้กำหนดประเภทของกราฟอย่างชัดเจน และคุณอาจทำผิดพลาด แต่การฝึกเองจะเป็นประโยชน์อย่างมากในระหว่าง ศึกษาฟังก์ชั่นเต็มรูปแบบ. รูปภาพที่ถูกต้องอยู่ท้ายบทเรียน

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

เหล่านี้เป็นงานสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ กราฟทั้งสองมีเส้นกำกับแนวนอนอีกครั้ง ซึ่งตรวจพบทันทีโดยคุณสมบัติต่อไปนี้: ในตัวอย่างที่ 4 ลำดับการเจริญเติบโตตัวส่วนมากกว่าลำดับการเติบโตของตัวเศษ และในตัวอย่างที่ 5 ตัวเศษและตัวส่วน หนึ่งลำดับของการเติบโต. ในสารละลายตัวอย่าง ฟังก์ชันแรกจะถูกตรวจสอบการมีอยู่ของเส้นกำกับเฉียงแบบเต็ม และฟังก์ชันที่สองจนถึงขีดจำกัด

เส้นกำกับแนวนอนในความประทับใจส่วนตัวของฉันนั้นพบได้บ่อยกว่าเส้นที่ "เอียงอย่างแท้จริง" อย่างเห็นได้ชัด กรณีทั่วไปที่รอคอยมานาน:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีการแก้: คลาสสิกของประเภท:

1) เนื่องจากตัวส่วนเป็นบวก ฟังก์ชัน ต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด และไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง …ดีไหม? ไม่ใช่คำที่ถูกต้อง - ยอดเยี่ยม! รายการ #1 ปิดแล้ว

2) ตรวจสอบการมีอยู่ของเส้นกำกับเฉียง:

ขีดจำกัดแรก finiteงั้นก็ไปกันต่อเลย ระหว่างการคำนวณขีด จำกัด ที่สองที่จะกำจัด ความไม่แน่นอน "อนันต์ลบอนันต์"เรานำนิพจน์มาสู่ตัวส่วนร่วม:

ขีดจำกัดที่สองด้วย finiteดังนั้น กราฟของฟังก์ชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจึงมีเส้นกำกับเฉียง:

บทสรุป:

ดังนั้น สำหรับกราฟของฟังก์ชัน ใกล้ชิดกันอย่างไม่สิ้นสุดเข้าใกล้เส้นตรง:

โปรดทราบว่ามันตัดเส้นกำกับเฉียงที่จุดกำเนิด และจุดตัดดังกล่าวค่อนข้างยอมรับได้ - เป็นสิ่งสำคัญที่ "ทุกอย่างเป็นปกติ" ที่อนันต์ (อันที่จริง การอภิปรายของเส้นกำกับปรากฏขึ้น)

ตัวอย่าง 7

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีการแก้: ไม่มีอะไรมากที่จะแสดงความคิดเห็น ดังนั้นฉันจะวาดตัวอย่างคร่าวๆ ของวิธีแก้ปัญหาขั้นสุดท้าย:

1) เส้นกำกับแนวตั้ง มาสำรวจประเด็นกัน

เส้นตรงคือเส้นกำกับแนวตั้งสำหรับพล็อตที่

2) เส้นกำกับเฉียง:

เส้นตรงคือเส้นกำกับเฉียงของกราฟที่

ตอบ:

ขีดจำกัดและเส้นกำกับด้านเดียวที่พบช่วยให้เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ากราฟของฟังก์ชันนี้เป็นอย่างไร การวาดภาพที่ถูกต้องเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ เพื่อความสะดวกในการคำนวณขีดจำกัด คุณสามารถหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนตามเทอมได้ และอีกครั้งเมื่อวิเคราะห์ผลลัพธ์ ลองวาดกราฟของฟังก์ชันนี้

เห็นได้ชัดว่าเจ้าของเส้นกำกับเฉียง "ของจริง" คือกราฟของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะซึ่งระดับสูงสุดของตัวเศษ อีกหนึ่งระดับสูงสุดของตัวส่วน ถ้ามากกว่านั้น จะไม่มีเส้นกำกับเฉียง (เช่น )

แต่ปาฏิหาริย์อื่น ๆ เกิดขึ้นในชีวิต:

ตัวอย่างที่ 9

วิธีการแก้: การทำงาน ต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง แต่อาจจะมีความลาดชัน เราตรวจสอบ:

ฉันจำได้ว่าฉันเจอหน้าที่ที่คล้ายกันที่มหาวิทยาลัยได้อย่างไร และไม่อยากเชื่อเลยว่ามันมีเส้นกำกับเฉียง จนกว่าฉันจะคำนวณขีด จำกัด ที่สอง:

พูดอย่างเคร่งครัดมีความไม่แน่นอนสองประการที่นี่: และ , แต่ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง คุณต้องใช้วิธีการแก้ปัญหา ซึ่งจะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 5-6 ของบทความ เกี่ยวกับขีดจำกัดของความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น. คูณและหารด้วยนิพจน์คอนจูเกตเพื่อใช้สูตร:

ตอบ:

บางทีเส้นกำกับเฉียงที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

จนถึงตอนนี้ อินฟินิตี้สามารถ "ตัดด้วยแปรงเดียวกัน" ได้แล้ว แต่ปรากฏว่ากราฟของฟังก์ชัน สองที่แตกต่างกันเส้นกำกับเฉียงสำหรับ และ สำหรับ :

ตัวอย่าง 10

ตรวจสอบกราฟของฟังก์ชันสำหรับ asymptotes

วิธีการแก้: นิพจน์รากเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่า โดเมน- จำนวนจริงใดๆ และไม่มีแท่งแนวตั้ง

ลองตรวจสอบว่ามีเส้นกำกับเฉียงอยู่หรือไม่

หาก "x" มีแนวโน้มที่จะ "ลบอนันต์" ดังนั้น:
(เมื่อแนะนำ "x" ใต้รากที่สอง คุณต้องเพิ่มเครื่องหมาย "ลบ" เพื่อไม่ให้ตัวส่วนติดลบหายไป)

มันดูผิดปกติ แต่ที่นี่ความไม่แน่นอนคือ "อนันต์ลบอนันต์" คูณทั้งเศษและส่วนด้วยนิพจน์ adjoint:

ดังนั้น เส้นตรงจึงเป็นเส้นกำกับเฉียงของกราฟที่

ด้วย "บวกอินฟินิตี้" ทุกอย่างก็ไม่สำคัญมากขึ้น:

และเส้นตรง - ที่ .

ตอบ:

ถ้า ;
, ถ้า .

ฉันไม่สามารถต้านทานภาพกราฟิก:


นี่เป็นหนึ่งในสาขา อติพจน์ .

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่การมีอยู่ของเส้นกำกับที่เป็นไปได้ในตอนแรกถูกจำกัด ขอบเขตการทำงาน:

ตัวอย่าง 11

ตรวจสอบกราฟของฟังก์ชันสำหรับ asymptotes

วิธีการแก้: เห็นได้ชัดว่า ดังนั้นเราจึงพิจารณาเฉพาะครึ่งระนาบทางขวา ซึ่งมีกราฟของฟังก์ชันอยู่

1) ฟังก์ชัน ต่อเนื่องบนช่วง ซึ่งหมายความว่าหากมีเส้นกำกับแนวตั้งอยู่ ก็จะได้เฉพาะแกน y เท่านั้น เราศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้จุด ด้านขวา:

บันทึก, ไม่มีความคลุมเครือที่นี่(ในกรณีดังกล่าว ความสนใจอยู่ที่ตอนต้นของบทความ จำกัดวิธีการแก้ปัญหา).

ดังนั้น เส้นตรง (แกน y) จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้งสำหรับกราฟของฟังก์ชันที่

2) การศึกษาเส้นกำกับเฉียงสามารถทำได้ตามรูปแบบเต็ม แต่ในบทความ กฎ Lopitalเราพบว่าฟังก์ชันเชิงเส้นของลำดับการเติบโตที่สูงกว่าลอการิทึม ดังนั้น: (ดูตัวอย่างที่ 1 ของบทเรียนเดียวกัน)

สรุป: แกน abscissa เป็นเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชันที่

ตอบ:

ถ้า ;
, ถ้า .

การวาดภาพเพื่อความชัดเจน:

ที่น่าสนใจคือ ฟังก์ชันที่คล้ายคลึงกันนั้นไม่มีเส้นกำกับเลย (ผู้ที่ต้องการตรวจสอบสิ่งนี้ได้)

ตัวอย่างการศึกษาด้วยตนเองสองตัวอย่างสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 12

ตรวจสอบกราฟของฟังก์ชันสำหรับ asymptotes

ในการทดสอบเส้นกำกับแนวดิ่ง เราต้องค้นหา .ก่อน ขอบเขตการทำงานแล้วคำนวณคู่ของขีดจำกัดด้านเดียวที่จุด "น่าสงสัย" เส้นกำกับเฉียงยังไม่ถูกยกเว้น เนื่องจากฟังก์ชันถูกกำหนดให้เป็นอนันต์ "บวก" และ "ลบ"

ตัวอย่างที่ 13

ตรวจสอบกราฟของฟังก์ชันสำหรับ asymptotes

และที่นี่มีได้เพียงเส้นกำกับเฉียงเท่านั้น และทิศทาง ควรพิจารณาแยกกัน

ฉันหวังว่าคุณจะพบเส้นกำกับที่ถูกต้อง =)

ขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

โซลูชั่นและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:วิธีการแก้ :
. มาหาข้อ จำกัด ด้านเดียว:

ตรง เป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชันที่ .
2) เส้นกำกับเฉียง

ตรง .
ตอบ:

การวาดภาพ กับตัวอย่างที่ 3:

ตัวอย่างที่ 4:วิธีการแก้ :
1) เส้นกำกับแนวตั้ง ฟังก์ชันทนการแตกแบบอนันต์ ณ จุดหนึ่ง . มาคำนวณขีด จำกัด ด้านเดียว:

บันทึก: จำนวนลบน้อยยกกำลังคู่เท่ากับจำนวนบวกที่น้อยที่สุด: .

ตรง คือเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน
2) เส้นกำกับเฉียง


ตรง (abscissa) เป็นเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชันที่ .
ตอบ:

ในหลายกรณี การพล็อตฟังก์ชันจะง่ายกว่าถ้าคุณพล็อตเส้นกำกับของเส้นโค้งก่อน

คำจำกัดความ 1 เส้นกำกับเรียกว่าเส้นดังกล่าว ซึ่งกราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้เท่าที่ต้องการเมื่อตัวแปรมีแนวโน้มบวกอนันต์หรือลบอนันต์

คำจำกัดความที่ 2 เส้นตรงเรียกว่าเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชันหากระยะห่างจากจุดตัวแปร เอ็มกราฟของฟังก์ชันจนถึงเส้นนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์เมื่อจุดเคลื่อนออกไปอย่างไม่มีกำหนด เอ็มจากจุดกำเนิดของพิกัดตามสาขาของกราฟของฟังก์ชัน

เส้นกำกับมีสามประเภท: แนวตั้ง แนวนอน และแนวเฉียง

เส้นกำกับแนวตั้ง

คำนิยาม. ตรง x = เอเป็น เส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน ถ้าชี้ x = เอเป็น จุดแตกหักของประเภทที่สองสำหรับคุณสมบัตินี้

สืบเนื่องมาจากนิยามว่าเส้น x = เอเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) หากตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อต่อไปนี้:

ในขณะเดียวกัน ฟังก์ชัน ฉ(x) ไม่สามารถกำหนดได้เลย ตามลำดับ สำหรับ x ≥ เอและ x ≤ เอ .

ความคิดเห็น:

ตัวอย่าง 1กราฟฟังก์ชัน y=ln xมีเส้นกำกับแนวตั้ง x= 0 (กล่าวคือ ประจวบกับแกน ออย) บนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ เนื่องจากลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มเป็นศูนย์ทางด้านขวา เท่ากับลบอนันต์:

(รูปข้างบน).

ด้วยตัวคุณเองแล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 2ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

เส้นกำกับแนวนอน

ถ้า (ลิมิตของฟังก์ชันเมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มบวกหรือลบอนันต์เท่ากับค่าบางอย่าง ข), แล้ว y = ข – เส้นกำกับแนวนอน คดเคี้ยว y = ฉ(x ) (ขวาเมื่อ x มีแนวโน้มบวกอนันต์ ซ้ายเมื่อ x มีแนวโน้มลบอนันต์ และสองด้านถ้าลิมิตเมื่อ x มีแนวโน้มบวกหรือลบอนันต์เท่ากัน)

ตัวอย่างที่ 5กราฟฟังก์ชัน

ที่ เอ> 1 มีเส้นกำกับแนวนอนด้านซ้าย y= 0 (กล่าวคือ ประจวบกับแกน วัว) เนื่องจากขีดจำกัดของฟังก์ชันเมื่อ "x" มีแนวโน้มเป็นลบอนันต์เท่ากับศูนย์:

เส้นโค้งไม่มีเส้นกำกับแนวนอนที่ถูกต้อง เนื่องจากลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มจะบวกอนันต์จะเท่ากับอนันต์:

เส้นกำกับเฉียง

เส้นกำกับแนวตั้งและแนวนอนที่เราพิจารณาข้างต้นนั้นขนานกับแกนพิกัด ดังนั้น ในการสร้างมันขึ้นมา เราจำเป็นต้องใช้ตัวเลขที่แน่นอนเท่านั้น - จุดบน abscissa หรือแกนประสานที่เส้นกำกับผ่าน จำเป็นต้องมีเพิ่มเติมสำหรับเส้นกำกับเฉียง - ความชัน kซึ่งแสดงมุมเอียงของเส้นตรงและจุดตัด ขซึ่งแสดงว่าเส้นอยู่เหนือหรือใต้จุดเริ่มต้นมากน้อยเพียงใด ผู้ที่ไม่มีเวลาลืมเรขาคณิตวิเคราะห์และจากนั้น - สมการของเส้นตรงจะสังเกตเห็นว่าพวกเขาพบเส้นกำกับเฉียง สมการความชัน. การมีอยู่ของเส้นกำกับเฉียงถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้ บนพื้นฐานของการพบสัมประสิทธิ์ที่เพิ่งตั้งชื่อ

ทฤษฎีบท.ทำโค้ง y = ฉ(x) มีเส้นกำกับ y = kx + ข มีความจำเป็นและเพียงพอที่จะมีขอบเขตจำกัด kและ ขของฟังก์ชันที่พิจารณาเนื่องจากตัวแปรมีแนวโน้มที่จะ xเพื่อบวกอินฟินิตี้และลบอินฟินิตี้:

(1)

(2)

ตัวเลขจึงพบ kและ ขและเป็นสัมประสิทธิ์ของเส้นกำกับเฉียง

ในกรณีแรก (เมื่อ x มีแนวโน้มบวกอนันต์) จะได้เส้นกำกับเฉียงขวา ในกรณีที่สอง (เมื่อ x มีแนวโน้มเป็นลบอนันต์) จะเหลือ เส้นกำกับเฉียงขวาแสดงในรูปที่ จากด้านล่าง.

เมื่อหาสมการของเส้นกำกับเฉียง จำเป็นต้องคำนึงถึงแนวโน้มของ x ทั้งบวกอนันต์และลบอนันต์ สำหรับบางฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น สำหรับเศษส่วนตรรกยะ ขีดจำกัดเหล่านี้ตรงกัน แต่สำหรับฟังก์ชันจำนวนมาก ขีดจำกัดเหล่านี้จะแตกต่างกัน และมีเพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้นที่สามารถมีอยู่ได้

เมื่อลิมิตตรงกับ x พุ่งบวกอนันต์และลบอนันต์ เส้นตรง y = kx + ข เป็นเส้นกำกับสองด้านของเส้นโค้ง

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งขีดจำกัดที่กำหนดเส้นกำกับ y = kx + ข ไม่มีอยู่ ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันจึงไม่มีเส้นกำกับเฉียง (แต่อาจมีเส้นแนวตั้ง)

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเส้นกำกับแนวนอน y = ขเป็นกรณีพิเศษของเฉียง y = kx + ขที่ k = 0 .

ดังนั้น หากเส้นโค้งมีเส้นกำกับแนวนอนในทิศทางใดๆ ก็ไม่มีเส้นกำกับเฉียงในทิศทางนั้น และในทางกลับกัน

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. ฟังก์ชันถูกกำหนดบนเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้น x= 0 นั่นคือ

ดังนั้น ณ จุดแตกหัก x= 0 เส้นโค้งอาจมีเส้นกำกับแนวตั้ง อันที่จริง ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากทางซ้ายคือบวกอนันต์:

เพราะเหตุนี้, x= 0 คือเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชันนี้

กราฟของฟังก์ชันนี้ไม่มีเส้นกำกับแนวนอน เนื่องจากลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มจะบวกอนันต์เท่ากับบวกอนันต์:

ให้เราหาการมีอยู่ของเส้นกำกับเฉียง:

มีขีดจำกัด k= 2 และ ข= 0 . ตรง y = 2xเป็นเส้นกำกับเฉียงสองด้านของกราฟของฟังก์ชันนี้ (รูปในตัวอย่าง)

ตัวอย่าง 7ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. ฟังก์ชั่นมีจุดพักหนึ่งจุด x= -1 . ให้เราคำนวณขีด จำกัด ด้านเดียวและกำหนดประเภทของความไม่ต่อเนื่อง:

บทสรุป: x= -1 เป็นจุดที่ไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง ดังนั้นเส้น x= -1 คือเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชันนี้

กำลังมองหาเส้นกำกับเฉียง เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นเหตุผลแบบเศษส่วน ขีดจำกัดสำหรับและสำหรับจะตรงกัน ดังนั้นเราจึงพบสัมประสิทธิ์การแทนที่เส้นตรง - เส้นกำกับเฉียงลงในสมการ:

แทนที่สัมประสิทธิ์ที่พบในสมการของเส้นตรงที่มีความชัน เราได้สมการของเส้นกำกับเฉียง:

y = −3x + 5 .

ในรูป กราฟของฟังก์ชันจะแสดงเป็นสีม่วงแดง และเส้นกำกับเป็นสีดำ

ตัวอย่างที่ 8ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง กราฟจึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง เรากำลังมองหาเส้นกำกับเฉียง:

.

ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันนี้มีเส้นกำกับ y= 0 at และไม่มีเส้นกำกับที่

ตัวอย่างที่ 9ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. อันดับแรก เรามองหาเส้นกำกับแนวตั้ง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาโดเมนของฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นถูกกำหนดเมื่อความไม่เท่าเทียมกันถือและ เครื่องหมายตัวแปร xตรงกับป้าย ดังนั้นให้พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันที่เท่าเทียมกัน จากนี้เราได้รับขอบเขตของฟังก์ชัน: . เส้นกำกับแนวตั้งสามารถอยู่บนขอบเขตของโดเมนของฟังก์ชันเท่านั้น แต่ x= 0 ไม่สามารถเป็นเส้นกำกับแนวตั้งได้ เนื่องจากฟังก์ชันถูกกำหนดไว้สำหรับ x = 0 .

พิจารณาขีด จำกัด ทางขวาที่ (ไม่มีขีด จำกัด ทางซ้าย):

.

Dot x= 2 เป็นจุดที่ไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง ดังนั้น เส้น x= 2 - เส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชันนี้

เรากำลังมองหาเส้นกำกับเฉียง:

ดังนั้น, y = x+ 1 - เส้นกำกับเฉียงของกราฟของฟังก์ชันนี้ที่ . เรากำลังมองหาเส้นกำกับเฉียงสำหรับ:

ดังนั้น, y = −x − 1 - เส้นกำกับเฉียงที่

ตัวอย่าง 10ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. ฟังก์ชั่นมีขอบเขต . เนื่องจากเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชันนี้สามารถอยู่บนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความเท่านั้น เราจะพบขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชันที่

เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่าเส้นที่มีคุณสมบัติว่าระยะห่างจากจุด (x, f (x)) ถึงเส้นนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยไม่จำกัดจุดกราฟจากจุดเริ่มต้น

รูปที่ 3.10. ตัวอย่างกราฟิกจะได้รับ แนวตั้ง, แนวนอนและ เฉียงเส้นกำกับ

การหาเส้นกำกับของกราฟขึ้นอยู่กับสามทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทเส้นกำกับแนวตั้ง ให้ฟังก์ชัน y \u003d f (x) ถูกกำหนดในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด x 0 (อาจไม่รวมจุดนี้เอง) และอย่างน้อยหนึ่งในขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชันจะเท่ากับอนันต์ นั่นคือ จากนั้นเส้น x \u003d x 0 คือเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x)

เห็นได้ชัดว่าเส้น x \u003d x 0 ไม่สามารถเป็นเส้นกำกับแนวตั้งได้หากฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x 0 เนื่องจากในกรณีนี้ . ดังนั้นควรหาเส้นกำกับแนวตั้งที่จุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันหรือที่ส่วนท้ายของโดเมน

ทฤษฎีบทบนเส้นกำกับแนวนอน ให้ฟังก์ชัน y \u003d f (x) ถูกกำหนดให้มีขนาดใหญ่เพียงพอ x และมีขีดจำกัดของฟังก์ชัน จากนั้นเส้น y = b คือเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชัน

ความคิดเห็น หากขีด จำกัด เดียวเท่านั้นที่ จำกัด ฟังก์ชันจะมีตามลำดับ ชิดซ้ายหรือ ชิดขวาเส้นกำกับแนวนอน

ในกรณีที่ ฟังก์ชันอาจมีเส้นกำกับเฉียง

ทฤษฎีบทเส้นกำกับเฉียง ให้ฟังก์ชัน y = f(x) ถูกกำหนดสำหรับ x ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอและมีข้อ จำกัด ที่ จำกัด . จากนั้นเส้น y = kx + b เป็นเส้นกำกับเฉียงของกราฟของฟังก์ชัน

ไม่มีหลักฐาน.

เส้นกำกับเฉียงเช่นเดียวกับเส้นแนวนอนสามารถเป็นมือขวาหรือมือซ้ายได้หากพื้นฐานของขีด จำกัด ที่สอดคล้องกันคืออินฟินิตี้ของเครื่องหมายที่แน่นอน

การศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟมักประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

2. ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับคี่คู่

3. ค้นหาเส้นกำกับแนวดิ่งโดยพิจารณาจุดไม่ต่อเนื่องและพฤติกรรมของฟังก์ชันบนขอบเขตของโดเมนแห่งคำจำกัดความ หากมีขอบเขตจำกัด

4. ค้นหาเส้นกำกับแนวนอนหรือแนวเฉียงโดยตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ระยะอนันต์

5. ค้นหา extrema และช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

6. หาช่วงนูนของฟังก์ชันและจุดเปลี่ยนเว้า

7. ค้นหาจุดตัดด้วยแกนพิกัดและอาจมีจุดเพิ่มเติมที่ปรับแต่งกราฟ

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล

สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าฟังก์ชันมีขีดจำกัดเท่ากับจำนวนจำกัดสำหรับฐานใดฐานหนึ่ง ก็สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนนี้และค่าที่น้อยมากสำหรับฐานเดียวกัน (และในทางกลับกัน): .

ลองใช้ทฤษฎีบทนี้กับฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล:

ดังนั้น การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Dy ประกอบด้วยคำสองคำ: 1) เชิงเส้นเทียบกับ Dx นั่นคือ f`(x)Dx; 2) ไม่เชิงเส้นเมื่อเทียบกับ Dx เช่น (Dx)Dx. ในเวลาเดียวกันตั้งแต่ เทอมที่สองนี้มีขนาดเล็กกว่าลำดับที่สูงกว่า Dx (เนื่องจาก Dx มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ มันจึงมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เร็วกว่านั้นอีก)

ดิฟเฟอเรนเชียลฟังก์ชันเรียกว่าส่วนหลักของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น เชิงเส้นเมื่อเทียบกับ Dx เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์และการเพิ่มของตัวแปรอิสระ dy = f `(x)Dx

หาค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน y = x

เนื่องจาก dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx จากนั้น dx = Dx เช่น ดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระเท่ากับการเพิ่มขึ้นของตัวแปรนั้น

ดังนั้น สูตรสำหรับดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันจึงสามารถเขียนเป็น dy = f `(x)dх นั่นคือเหตุผลที่หนึ่งในสัญลักษณ์ของอนุพันธ์คือเศษส่วน dy/dx

ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียลแสดงไว้
รูปที่ 3.11. ใช้จุดใดก็ได้ M(x, y) บนกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ให้อาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้น Dx จากนั้นฟังก์ชัน y = f(x) จะได้รับการเพิ่มขึ้น Dy = f(x + Dх) - f(x) ลองวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด M ซึ่งสร้างมุม a ที่มีทิศทางบวกของแกน x นั่นคือ f `(x) = tg ก. จากสามเหลี่ยมมุมฉาก MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy

ดังนั้น ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันคือการเพิ่มขึ้นในลำดับของแทนเจนต์ที่วาดไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดเมื่อ x เพิ่มขึ้นโดย Dx

คุณสมบัติของดิฟเฟอเรนเชียลโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับคุณสมบัติของอนุพันธ์:

3. d(u ± v) = ดู ± dv.

4. d(uv) = วี ดู + คุณ dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

อย่างไรก็ตาม มีคุณสมบัติที่สำคัญของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นไม่มี - นี่คือ ค่าคงที่รูปแบบส่วนต่าง.

จากนิยามของดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ดิฟเฟอเรนเชียลคือ dy = f`(x)dх ถ้าฟังก์ชัน y นี้ซับซ้อน นั่นคือ y = f(u) โดยที่ u = j(x) จากนั้น y = f และ f `(x) = f `(u)*u` จากนั้น dy = f`(u)*u`dx. แต่สำหรับหน้าที่
u = j(x) ดิฟเฟอเรนเชียล du = u`dx ดังนั้น dy = f `(u)*du

การเปรียบเทียบความเท่าเทียมกัน dy = f `(x)dх และ dy = f `(u)*du เราแน่ใจว่าสูตรอนุพันธ์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากแทนที่จะเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x เราพิจารณาฟังก์ชันของ ตัวแปรตาม u คุณสมบัติของดิฟเฟอเรนเชียลนี้เรียกว่าค่าคงที่ (เช่น ค่าคงที่) ของรูปแบบ (หรือสูตร) ​​ของดิฟเฟอเรนเชียล

อย่างไรก็ตาม ยังมีความแตกต่างในสูตรทั้งสองนี้: ในตอนแรก ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระจะเท่ากับการเพิ่มของตัวแปรนี้ กล่าวคือ dx = Dx และในวินาที ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน du เป็นเพียงส่วนเชิงเส้นของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Du เท่านั้น และสำหรับ Dх du » Du ขนาดเล็กเท่านั้น