กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นตรง y ax b ฟังก์ชันเชิงเส้น คุณสมบัติและกราฟ

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ อีเมลเป็นต้น

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาลในกระบวนการทางกฎหมายและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วยหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

แนวคิดของฟังก์ชันตัวเลข วิธีการตั้งค่าฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันตัวเลข- ฟังก์ชั่นที่ทำหน้าที่จากช่องว่างตัวเลขหนึ่ง (ชุด) ไปยังช่องว่างตัวเลขอื่น (ชุด)

มีสามวิธีหลักในการกำหนดฟังก์ชัน: การวิเคราะห์ ตาราง และกราฟิก

1. การวิเคราะห์

วิธีการระบุฟังก์ชันโดยใช้สูตรเรียกว่าการวิเคราะห์ วิธีนี้เป็นวิธีหลักในเสื่อ วิเคราะห์แต่ในทางปฏิบัติไม่สะดวก

2. วิธีการตั้งค่าฟังก์ชันแบบตาราง

ฟังก์ชั่นสามารถกำหนดได้โดยใช้ตารางที่มีค่าอาร์กิวเมนต์และค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

3. วิธีแบบกราฟิกการมอบหมายฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่น y \u003d f (x) ถูกเรียกแบบกราฟิกหากสร้างกราฟ วิธีการตั้งค่าฟังก์ชันนี้ทำให้สามารถกำหนดค่าของฟังก์ชันได้โดยประมาณเท่านั้น เนื่องจากการสร้างกราฟและการค้นหาค่าของฟังก์ชันนั้นสัมพันธ์กับข้อผิดพลาด

คุณสมบัติของฟังก์ชันที่ต้องนำมาพิจารณาเมื่อพล็อตกราฟ:

1)ภูมิภาค คำจำกัดความของฟังก์ชัน.

ขอบเขตการทำงานนั่นคือค่าเหล่านั้นที่อาร์กิวเมนต์ x ของฟังก์ชัน F =y (x) สามารถรับได้

2) ช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าการเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาที่พิจารณา ถ้าค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์ตรงกับค่าที่มากกว่าของฟังก์ชัน y(x) ซึ่งหมายความว่าหากมีการโต้แย้งอาร์กิวเมนต์ x 1 และ x 2 สองอาร์กิวเมนต์จากช่วงที่พิจารณา และ x 1 > x 2 แล้ว y (x 1) > y (x 2)

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าการลดลงในช่วงเวลาที่พิจารณา ถ้าค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน y(x) ซึ่งหมายความว่าหากสองอาร์กิวเมนต์โดยพลการ x 1 และ x 2 ถูกนำมาจากช่วงเวลาที่พิจารณา และ x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) ฟังก์ชันศูนย์

จุดที่ฟังก์ชัน F \u003d y (x) ตัดกับแกน abscissa (ได้มาจากการแก้สมการ y (x) \u003d 0) และเรียกว่าศูนย์ของฟังก์ชัน

4) ฟังก์ชันคู่และคี่

ฟังก์ชั่นนี้เรียกว่าแม้กระทั่งถ้าสำหรับทุกค่าของการโต้แย้งจากขอบเขต

y(-x) = y(x).

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน y

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าคี่, ถ้าสำหรับทุกค่าของอาร์กิวเมนต์จากขอบเขต

y(-x) = -y(x)

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดกำเนิด

ฟังก์ชันหลายอย่างไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

5) ช่วงเวลาของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นนี้เรียกว่าเป็นระยะหากมีตัวเลข P เช่นนั้นสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จากโดเมนของคำจำกัดความ

y(x + P) = y(x).

ฟังก์ชันเชิงเส้น, คุณสมบัติและกราฟของมัน

ฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชันของรูปแบบ y = kx + bกำหนดไว้ในชุดของทั้งหมด ตัวเลขจริง.

k – ความลาดชัน(เบอร์จริง)

ข– ระยะฟรี (จำนวนจริง)

xเป็นตัวแปรอิสระ

· ในบางกรณี ถ้า k = 0 เราจะได้ฟังก์ชันคงที่ y = b กราฟที่เป็นเส้นตรงขนานกับแกน Ox ผ่านจุดที่มีพิกัด (0; b)

· ถ้า b = 0 เราก็จะได้ฟังก์ชัน y = kx ซึ่งเป็นสัดส่วนโดยตรง

o ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ b คือความยาวของส่วนที่เส้นตรงตัดตามแกน Oy นับจากจุดเริ่มต้น

o ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ k คือมุมเอียงของเส้นตรงไปยังทิศทางบวกของแกน Ox ถือว่าเป็นทวนเข็มนาฬิกา

คุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงเส้น:

1) โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงเส้นคือแกนจริงทั้งหมด

2) ถ้า k ≠ 0 แสดงว่าพิสัยของฟังก์ชันเชิงเส้นคือแกนจริงทั้งหมด

ถ้า k = 0 ช่วงของฟังก์ชันเชิงเส้นจะประกอบด้วยตัวเลข b

3) ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ k และ b

ก) b ≠ 0, k = 0 ดังนั้น y = b เป็นคู่;

b) b = 0, k ≠ 0, ดังนั้น y = kx เป็นเลขคี่

c) b ≠ 0, k ≠ 0, ดังนั้น y = kx + b เป็นฟังก์ชัน ปริทัศน์;

d) b = 0, k = 0, ดังนั้น y = 0 จึงเป็นทั้งฟังก์ชันคู่และคี่

4) ฟังก์ชันเชิงเส้นไม่มีคุณสมบัติของคาบ

5) จุดตัดกับแกนพิกัด:

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k ดังนั้น (-b / k; 0) เป็นจุดตัดกับแกน abscissa

Oy: y = 0k + b = b ดังนั้น (0; b) เป็นจุดตัดกับแกน y

ความคิดเห็น ถ้า b = 0 และ k = 0 ฟังก์ชัน y = 0 จะหายไปสำหรับค่าใดๆ ของ x ถ้า b ≠ 0 และ k = 0 แสดงว่าฟังก์ชัน y = b จะไม่หายไปสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x

6) ช่วงเวลาของค่าคงที่ของเครื่องหมายขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ k

ก) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k

y = kx + b เป็นค่าบวกสำหรับ x จาก (-b/k; +∞)

y = kx + b เป็นลบสำหรับ x จาก (-∞; -b/k)

ข) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b เป็นค่าบวกสำหรับ x จาก (-∞; -b/k)

y = kx + b เป็นลบสำหรับ x จาก (-b/k; +∞)

ค) k = 0, b > 0; y = kx + b เป็นค่าบวกตลอดทั้งโดเมน

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) ช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ k

k > 0 ดังนั้น y = kx + b เพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมน

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. ฟังก์ชัน y \u003d ax 2 + bx + c คุณสมบัติและกราฟ

ฟังก์ชัน y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c - ค่าคงที่, ≠ 0) เรียกว่า กำลังสองในกรณีที่ง่ายที่สุด y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0) กราฟเป็นเส้นโค้งที่ลากผ่านจุดกำเนิด เส้นโค้งที่ทำหน้าที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y \u003d ax 2 คือพาราโบลา พาราโบลาทุกเส้นมีแกนสมมาตรที่เรียกว่า แกนของพาราโบลาจุด O ของจุดตัดของพาราโบลากับแกนเรียกว่า ด้านบนของพาราโบลา.

สามารถสร้างกราฟได้ตามรูปแบบต่อไปนี้: 1) ค้นหาพิกัดบนสุดของพาราโบลา x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0) 2) เราสร้างอีกสองสามจุดที่เป็นของพาราโบลา เมื่อสร้าง คุณสามารถใช้สมมาตรของพาราโบลาเทียบกับเส้นตรง x = -b / 2a 3) เราเชื่อมต่อจุดที่ระบุด้วยเส้นเรียบ ตัวอย่าง. สร้างกราฟของฟังก์ชันใน \u003d x 2 + 2x - 3โซลูชั่น กราฟของฟังก์ชันคือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบน abscissa ของส่วนบนของพาราโบลา x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, พิกัด y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4 ดังนั้น จุดสูงสุดของพาราโบลาคือจุด (-1; -4) มาทำตารางค่าสำหรับจุดต่างๆ ที่วางอยู่ทางด้านขวาของแกนสมมาตรของพาราโบลา - เส้นตรง x \u003d -1

คุณสมบัติของฟังก์ชัน

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์
1. ฟังก์ชันเชิงเส้น y = ax + b คุณสมบัติและกราฟ
2. ฟังก์ชันกำลังสอง y = ax2 + bx + c คุณสมบัติและกราฟ
3. ฟังก์ชัน y = k/x คุณสมบัติและกราฟ graph ฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น(ในตัวอย่างเฉพาะ)
4. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = ขวาน คุณสมบัติและกราฟของมัน
5. ฟังก์ชันลอการิทึม y = loga x คุณสมบัติและกราฟ
6. ฟังก์ชัน y = sin(x) คุณสมบัติและกราฟ
7. ฟังก์ชัน y = cos(x) คุณสมบัติและกราฟ
8. ฟังก์ชัน y = tg(x) คุณสมบัติและกราฟ
9. ฟังก์ชัน y = ctg(x) คุณสมบัติและกราฟ
10. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลรวมของ n เทอมแรก ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.
11. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
12. คำตอบของสมการ sin(x) = a, อสมการ sin(x) > a, sin(x)< a.
13. คำตอบของสมการ cos(x) = a, อสมการ cos(x) > a, cos(x)< a.
14. คำตอบของสมการ tg(x) = a, อสมการ tg(x) > a, tg(x)< a.
15. สูตรลด (มีที่มา)
16. สูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของผลรวมและผลต่างของอาร์กิวเมนต์สองตัว (พร้อมการพิสูจน์)
17. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์คู่
18. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ครึ่งหนึ่ง
19. สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์ โคไซน์ (พร้อมหลักฐาน)
20. ที่มาของสูตรราก สมการกำลังสอง, ทฤษฎีบทของเวียตา.
21. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์, ดีกรี, ผลหาร
22. แนวคิดของอนุพันธ์ ของมัน ความหมายทางเรขาคณิตและความหมายทางกายภาพ
23. กฎในการคำนวณอนุพันธ์

การทำงาน กำหนดโดยสูตร y = kx + b โดยที่ k และ b เป็นจำนวนหนึ่งเรียกว่าเส้นตรง
โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงเส้นคือ set Rจำนวนจริงทั้งหมดเพราะ นิพจน์ kx + b เหมาะสมสำหรับค่าใด ๆ ของ x
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + b เป็นเส้นตรง เห็นได้ชัดว่าจุดสองจุดเพียงพอที่จะพล็อตกราฟถ้า k 0
สัมประสิทธิ์ k กำหนดลักษณะของมุมที่เส้นตรง y = kx ก่อตัวด้วยทิศทางบวกของแกน Ox ดังนั้น k จึงเรียกว่าสัมประสิทธิ์ความชัน ถ้า k > 0 แสดงว่ามุมนี้เป็นมุมแหลม ถ้า k< 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
กราฟของฟังก์ชัน y = kx + b สามารถโพสต์โค้ดได้โดยการย้ายกราฟของฟังก์ชัน y = kx แบบขนาน

ตอบข้อ 2 โอดะ. ฟังก์ชันกำลังสองคือฟังก์ชันที่สามารถระบุได้ด้วยสูตรของรูปแบบ y \u003d ax2 + bx + c โดยที่ x เป็นตัวแปรอิสระ a, b และ c คือตัวเลขบางตัว และ a 0

กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = ax2 (กรณีพิเศษ) สำหรับ a > 0

2. ถ้า x 0 แล้ว y > 0 กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในระนาบครึ่งบน

4. ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลา (- ; 0] และเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา
5. ค่าต่ำสุดฟังก์ชันยอมรับที่ x = 0 พิสัยของฟังก์ชันคือ (- ; 0]

ดังนั้น กราฟของฟังก์ชัน y = ax2 + bx + c คือพาราโบลา จุดยอดคือจุด (m; n) โดยที่ m = , n= แกนสมมาตรของพาราโบลาคือเส้นตรง x = m ขนานกับแกน y สำหรับ a > 0 กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้นข้างบน สำหรับ a< 0 - вниз.

หากตัวแปร y เป็นสัดส่วนผกผันกับตัวแปร x การพึ่งพาอาศัยกันนี้จะแสดงโดยสูตร โดยที่สัมประสิทธิ์คือ สัดส่วนผกผัน.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด เช่น .
กราฟสัดส่วนผกผัน y=k/x เป็นเส้นโค้งที่ประกอบด้วยกิ่งสองกิ่งที่สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด เส้นโค้งดังกล่าวเรียกว่าไฮเปอร์โบลา ถ้า k>0 กิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาจะอยู่ในพิกัด I และ III ถ้า k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
โปรดทราบว่าไฮเปอร์โบลาไม่มีจุดร่วมกับแกนพิกัด แต่จะเข้าใกล้จุดเหล่านี้โดยพลการเท่านั้น

ลำดับที่ 4. Def.ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y = ax โดยที่ a คือค่าบางอย่าง จำนวนบวกซึ่งไม่เท่ากับหนึ่งเรียกว่าเลขชี้กำลัง

1. ฟังก์ชัน y = ขวานสำหรับ a>1

c) ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น;

e) ถ้า x > 0 แล้ว ax > 1;
จ) ถ้า x< 0, то 0< ax <1;

2. ฟังก์ชัน y = ขวาน ที่ 0< а <1
ก)
b) ชุดของค่า - ชุดของจำนวนบวกทั้งหมด;
c) ฟังก์ชั่นลดลง;
d) ที่ x = 0 ค่าของฟังก์ชันคือ 1
e) ถ้า x > 0 แล้ว 0< ax <1;
จ) ถ้า x< 0, то ax > 1.

№5.Def. ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y = loga x เรียกว่าฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐาน a
คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = loga x สำหรับ a>1:
ก) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น;

จ) ถ้า 0 f) ถ้า x > 1 แล้ว loga x > 0
คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = loga x ที่0 ก) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) ฟังก์ชั่นลดลง;
d) ถ้า x = 1 แล้ว loga x = 0;
จ) ถ้า 0< x < 1, то loga x > 0;
f) ถ้า x > 1 แล้ว loga x< 0.

ลำดับที่ 6 โอดะ. อัตราส่วนขา สามเหลี่ยมมุมฉากตรงข้ามมุมแหลมกับด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าไซน์ของมุมนี้ (แสดงด้วย บาป).

โดเมนของคำจำกัดความ - เซตของจำนวนจริงทั้งหมด
ชุดของค่า - [-1; หนึ่ง];
ฟังก์ชันคี่: sin(-x) = -sin(x) สำหรับทุกคน;
บาป(x) = 0 สำหรับ x = ;
บาป(x) > 0 สำหรับทุกคน;
บาป(x)< 0 для всех;
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นโดย;
ฟังก์ชั่นลดลงโดย

ลำดับที่ 7.Opr. อัตราส่วนของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่อยู่ติดกับมุมแหลมต่อด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าโคไซน์ของมุมนี้ (แสดง cos)

โดเมนของคำจำกัดความ - เซตของจำนวนจริงทั้งหมด
ชุดของค่า - [-1; หนึ่ง];
ฟังก์ชันคู่: cos(-x) = cos(x) สำหรับทุกคน;
ฟังก์ชันเป็นระยะที่มีค่าน้อยที่สุด ระยะบวก;
cos(x) = 0 ที่;
cos(x) > 0 สำหรับทุกคน;
cos(x) > 0 สำหรับทุกคน;
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นโดย;
ฟังก์ชั่นลดลง

№8.Opr. อัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากกับขาที่อยู่ติดกับมุมนี้เรียกว่าแทนเจนต์ (แสดง tg).

ฟังก์ชันคี่: tg(-x) = -tg(x) สำหรับ x ทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความ
ฟังก์ชันนี้เป็นคาบโดยมีคาบบวกที่น้อยที่สุด
tg(x) = 0 ที่ x = ;
tg(x) > 0 สำหรับทุกคน;
ทีจี(x)< 0 для всех;
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นโดย

№9.Opr. อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกับมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากกับขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุมนี้เรียกว่าโคแทนเจนต์ (แสดง ctg)

โดเมนของคำจำกัดความ - ชุดของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นตัวเลขของแบบฟอร์ม
ชุดของค่าคือเส้นจำนวนทั้งหมด
ฟังก์ชันคี่: ctg(-x) = -ctg(x) สำหรับ x ทั้งหมดจากโดเมน
ฟังก์ชันนี้เป็นคาบโดยมีคาบบวกที่น้อยที่สุด
ctg(x) = 0 สำหรับ x = ;
ctg(x) > 0 สำหรับทุกคน;
ctg(x)< 0 для всех;
ฟังก์ชั่นลดลงโดย

ตอบข้อ 10

ลำดับตัวเลข, แต่ละเทอมซึ่งเริ่มจากที่สอง, เท่ากับเทอมก่อนหน้า, บวกกับจำนวนเดียวกัน, เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.
จากคำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ผลต่างระหว่างสมาชิกและสมาชิกรุ่นก่อนมีค่าเท่ากัน นั่นคือ a2 - a1 = a3 - a2 =… = ak - ak-1 =…. ตัวเลขนี้เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และมักเขียนแทนด้วยตัวอักษร d.
เพื่อกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (аn) ก็เพียงพอที่จะรู้เทอมแรก a1 และความแตกต่าง d.
หากผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นจำนวนบวก ความก้าวหน้าดังกล่าวก็จะเพิ่มขึ้น ถ้า ตัวเลขติดลบแล้วลดลง หากผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับศูนย์ เงื่อนไขทั้งหมดจะเท่ากันและความก้าวหน้าจะเป็นลำดับคงที่
คุณสมบัติเฉพาะความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ลำดับ (a) เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็ต่อเมื่อสมาชิกตัวใดตัวหนึ่ง เริ่มจากที่สอง เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา เช่น (1)
สูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ: อัน = a1 + d(n-1). (2)
สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ: (3)
หากในสูตร (3) เราแทนที่นิพจน์ตามสูตร (2) แทนที่จะเป็น an เราจะได้ความสัมพันธ์
จากคำจำกัดความของความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เป็นไปตามที่ a1 + an = a2 + an-1 = ... กล่าวคือ ผลรวมของพจน์ที่เท่ากันจากจุดสิ้นสุดของความก้าวหน้าคือค่าคงที่

ตอบข้อ 11

ลำดับตัวเลขซึ่งเทอมแรกไม่ใช่ศูนย์ และแต่ละเทอม เริ่มต้นจากวินาที เท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
จากคำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต อัตราส่วนของสมาชิกใดๆ กับค่าก่อนหน้าจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน กล่าวคือ b2 :b1 = b3 :b2 =… = bn :bn-1 = พันล้าน+1 :bn=….. ตัวเลขนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร q .
เพื่อกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ( bn) แค่รู้เทอมแรกก็พอ b1และตัวส่วน q .
ถ้า q> 0 () ดังนั้นความก้าวหน้าคือ ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ. ให้ตัวอย่างเช่น b1 = -2, q= 3 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต -2, -6, -18,… เป็นลำดับการลดลงแบบโมโนโทน ถ้า q= 1 ดังนั้นสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าจะเท่ากัน ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าเป็นลำดับคงที่
คุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ที่ตามมา ( bn) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็ต่อเมื่อเงื่อนไขแต่ละข้อ เริ่มจากวินาที เป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของคำศัพท์ที่อยู่ติดกัน กล่าวคือ (1)
สูตรสำหรับสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ: (2)
สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ: , (3)
หากในสูตร (3) เราแทนที่นิพจน์ตามสูตร (2) แทนที่จะเป็น bn เราก็จะได้ความสัมพันธ์ , (สี่)
จากคำจำกัดความของตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ b1 bn = b2 bn-1 = …, i.e. ผลคูณของเงื่อนไขที่เท่ากันจากจุดสิ้นสุดของความก้าวหน้าเป็นค่าคงที่

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ที่

ให้ (xn) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยตัวส่วน qที่ฉัน ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ซึ่งตัวส่วนตรงตามเงื่อนไขเรียกว่าขีดจำกัดของผลรวม นสมาชิกคนแรกที่.
แสดงถึงผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์โดย ส. แล้วสูตรก็ถูกต้อง

คำตอบของสมการตรีโกณมิติของรูปแบบ sin(x) = a

สูตรสำหรับรากของสมการ sin(x) = a โดยมีรูปแบบดังนี้
กรณีพิเศษ:
บาป(x) = 0, x =
บาป(x) = 1, x =
บาป(x) = -1, x =
สูตรสำหรับรากของสมการ sin2 (x) = a โดยมีรูปแบบดังนี้ x=

วิธีการแก้ อสมการตรีโกณมิติของรูปแบบ sin(x) > a, sin(x)< a

ความไม่เท่าเทียมกันที่มีตัวแปรภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติเท่านั้นเรียกว่าตรีโกณมิติ
เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติ จะใช้คุณสมบัติเอกพจน์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่นเดียวกับช่วงของเครื่องหมายคงที่
วิธีแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ sin(x) > a (sin(x)< а) используют วงกลมหน่วยหรือกราฟของฟังก์ชัน y = sin(x)
บาป(x) = 0 ถ้า x = ;
บาป(x) = -1 ถ้า x =>;
บาป(x) > 0 ถ้า;
บาป(x)< 0, если.

ตอบข้อ 13

วิธีการแก้ สมการตรีโกณมิติ cos(x) = a

สูตรสำหรับรากของสมการ cos(x) = a โดยที่ มีรูปแบบดังนี้
กรณีพิเศษ:
cos(x) = 1, x = ;
cos(x) = 0, ;
cos(x) = -1, x =
สูตรสำหรับรากของสมการ cos2 (x) = a โดยที่ มีรูปแบบดังนี้ .

คำตอบของอสมการตรีโกณมิติของรูปแบบ cos(x) > a, cos(x)< a

วิธีแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ cos(x) > a, cos(x)< a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
จุดสำคัญคือความรู้ที่ว่า
cos(x) = 0 ถ้า;
cos(x) = -1 ถ้า x = ;
cos(x) = 1 ถ้า x = ;
cos(x) > 0 ถ้า;
cos(x) > 0 ถ้า

คำตอบของสมการตรีโกณมิติ tg(x) = a

สูตรสำหรับรากของสมการ tg(x) = a คือ:
กรณีพิเศษ:
ผิวสีแทน(x) = 0, x = ;
ผิวสีแทน(x) = 1, ;
ผิวสีแทน(x) = -1, .
สูตรสำหรับรากของสมการ tg2 (x) = a โดยมีรูปแบบดังนี้

คำตอบของอสมการตรีโกณมิติของรูปแบบ tg(x) > a, tg(x)< a

ในการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ tg(x) > a, tg(x)< a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่า:
tg(x) > 0 ถ้า;
ทีจี(x)< 0, если;
แทนเจนต์ไม่มีอยู่ถ้า

สูตรการลดเรียกว่าความสัมพันธ์โดยมีค่านิยม ฟังก์ชันตรีโกณมิติอาร์กิวเมนต์แสดงผ่าน ค่าบาป, cos , tg และ ctg
สูตรการลดทั้งหมดสามารถสรุปได้ในตารางต่อไปนี้:

	การโต้แย้ง

เพื่ออำนวยความสะดวกในการท่องจำสูตรข้างต้น ควรใช้กฎต่อไปนี้:
ก) เมื่อย้ายจากฟังก์ชันมุมไปยังฟังก์ชันมุม ชื่อของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป: ไซน์เป็นโคไซน์ แทนเจนต์เป็นโคแทนเจนต์ และในทางกลับกัน
เมื่อย้ายจากฟังก์ชันมุมไปยังฟังก์ชันมุม ชื่อของฟังก์ชันจะยังคงอยู่
b) พิจารณามุมแหลม (เช่น) ก่อนที่ฟังก์ชันมุมจะใส่เครื่องหมายดังกล่าวตามที่ฟังก์ชันลดทอนของมุมมี .

สูตรข้างต้นทั้งหมดสามารถรับได้โดยใช้กฎต่อไปนี้:
ฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ ของมุม 90°n + by ค่าสัมบูรณ์เท่ากับฟังก์ชันเดียวกันของมุมถ้าจำนวน n เป็นคู่ และ ฟังก์ชั่นเสริมถ้าตัวเลข n เป็นเลขคี่ นอกจากนี้ หากฟังก์ชันของมุมเท่ากับ 90°n + . เป็นบวกเมื่อ มุมแหลมเครื่องหมายของฟังก์ชันทั้งสองจะเหมือนกัน หากเป็นลบ แสดงว่าต่างกัน

สูตรสำหรับโคไซน์ของผลรวมและผลต่างของอาร์กิวเมนต์สองตัว:
รูปที่ 1 รูปที่ 2
ลองหมุนรัศมี OA เท่ากับ R ใกล้จุด O ด้วยมุมและมุม (รูปที่ 1) เราได้รับรัศมีของ OB และ OS ให้เราหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และ ให้พิกัดของจุด B เป็น x1 และ y1 พิกัดของจุด C เป็น x2 และ y2 เวกเตอร์และมีพิกัดเหมือนกันตามลำดับ ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์:
= x1 x2 + y1 y2 (หนึ่ง)
เราแสดงผลคูณสเกลาร์ในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม u จากนิยามของโคไซน์และไซน์ ได้ดังนี้
x1 = R cos, y1 = R บาป, x2 = R cos, y2 = R บาป
แทนค่า x1, x2, y1, y2 เป็น ด้านขวาความเท่าเทียมกัน (1) เราได้รับ:
\u003d R2 coscos + R2 บาป \u003d R2 (coscos + บาป)
ในทางกลับกัน ตามทฤษฎีบทเรื่อง สินค้าจุดเวกเตอร์ที่เรามี:
= cos BOC = R2 cos BOC
มุม VOC ระหว่างเวกเตอร์และสามารถเท่ากับ - (รูปที่ 1), - (-) (รูปที่ 2) หรืออาจแตกต่างจากค่าเหล่านี้ด้วยจำนวนเต็มของการหมุน ในกรณีเหล่านี้ cos BOC = cos (-) นั่นเป็นเหตุผลที่
= R2 cos(-)
เพราะ เท่ากับ R2 ด้วย (coscos + sinsin) แล้ว
cos(-) = coscos + บาป
Cos(+) = cos(- (-)) = coscos(-) + sinsin(-) = coscos - บาป
วิธี,
cos(+) = coscos - บาป
สูตรสำหรับไซน์ของผลรวมและผลต่างของอาร์กิวเมนต์สองตัว:
Sin(+) = cos(/2 - (+)) = cos((/2 -) -) = cos(/2 -) cos+ sin(/2 -) sin= sincos+ cossin
วิธี,
บาป(+) = บาปคอส + คอสซิน
บาป(-) = บาป(+ (-)) = บาป(-) + คอสซิน(-) = บาปคอส - คอสซิน
วิธี,
บาป (-) = sincos - cossin

สูตร มุมคู่

สูตรการบวกช่วยให้คุณแสดงค่า sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 ผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมได้
เราใส่สูตร
บาป(+) = บาปคอส + คอสซิน
cos(+) = coscos - บาป
,
.
เท่ากัน. เราได้รับข้อมูลประจำตัว:

บาป 2= 2 บาป cos ;
cos2= cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;
; .

สูตรอาร์กิวเมนต์ครึ่งหนึ่ง

การแสดงทางด้านขวา สูตรคอส 2= cos2 - sin2 ผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติเดียว (ไซน์หรือโคไซน์) เรามาถึงความสัมพันธ์
cos 2= 1 - sin2 , cos 2= 2 cos2 - 1
ถ้าเราใส่ = /2 ในความสัมพันธ์เหล่านี้ เราจะได้:
cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2= 2 cos2 /2 - 1. (1)
จากสูตร (1) ได้ดังนี้
(2), (3).
หารเทอมด้วยความเท่าเทียมกันเทอม (2) ด้วยความเท่าเทียมกัน (3) เราได้รับ
(4).
ในสูตร (2), (3) และ (4) เครื่องหมายที่อยู่หน้าเครื่องหมายกรณฑ์ขึ้นอยู่กับว่า พิกัดมีมุม /2
เป็นประโยชน์ที่จะทราบสูตรต่อไปนี้:
.

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์ โคไซน์

ผลรวมและผลต่างของไซน์หรือโคไซน์สามารถแสดงเป็นผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรที่ใช้การแปลงดังกล่าวสามารถได้มาจากสูตรการบวก
เพื่อนำเสนอเป็นสินค้า ผลรวมบาป+ บาป ใส่ = x + y และ = x - y แล้วใช้สูตรหาค่าไซน์ของผลรวมและค่าไซน์ของผลต่าง เราได้รับ:
บาป + บาป \u003d บาป (x + y) + บาป (x - y) \u003d sinx โคซี่ + cosx siny + sinx สบาย - cosx siny \u003d 2sinx สบาย
เมื่อแก้ระบบสมการแล้ว = x + y, = x - y เทียบกับ x และ y เราจะได้ x = , y =
เพราะเหตุนี้,
บาป + บาป = 2 บาป
สูตรได้มาในลักษณะที่คล้ายกัน:
บาป - บาป = 2 cossin;
cos + cos = 2 coscos;
cos + cos = -2 บาป

เพื่อหาคำตอบของสมการกำลังสองลด x2 + พี x + q= 0 โดยที่ แค่ย้ายเทอมอิสระไปทางด้านขวาแล้วบวกทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันก็พอ จากนั้นด้านซ้ายจะกลายเป็น สี่เหลี่ยมเต็มและเราได้รับ สมการเทียบเท่า = - ถาม
มันแตกต่างจากสมการที่ง่ายที่สุด x2 = m ในลักษณะที่ปรากฏเท่านั้น: แทน xและ - q- แทน ม. ค้นหา = . ออตซึบะ x = - . สูตรนี้แสดงว่าสมการกำลังสองทุกสมการมีสองราก แต่รากเหล่านี้สามารถจินตนาการได้ถ้า< q. นอกจากนี้ยังอาจกลายเป็นว่ารากทั้งสองของสมการกำลังสองมีค่าเท่ากันถ้า = q. เรากลับสู่รูปแบบปกติ
1. ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลด x2 + พี x + q= 0 เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่นำมาจาก เครื่องหมายตรงข้ามและผลคูณของรูตเท่ากับเทอมอิสระ กล่าวคือ x1 + x2 = - R, และ x1 x2 = q .
2. ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทสนทนาเวียต้า. ถ้า R, q, x1, x2 เป็นเช่นนั้น x1 + x2 = - Rและ x1 x2 = qแล้ว x1 และ x2 เป็นรากของสมการ x2 + พี x + q = 0.

โอดะ. ลอการิทึมของตัวเลข b ยกกำลังฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ตัวเลข b
สูตร (โดยที่ b > 0, a > 0 และ a 1) เรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
คุณสมบัติของลอการิทึม:

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เท่ากับผลรวมลอการิทึมของปัจจัย:
.
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:
x = , y = .
เราคูณค่าความเท่าเทียมกันเหล่านี้ด้วยเทอม เราจะได้:
xy == .
ดังนั้นโดยนิยามของลอการิทึม (ข้อ 3) ได้รับการพิสูจน์แล้ว
ลอการิทึมของผลหาร เท่ากับลอการิทึมเงินปันผลโดยไม่มีลอการิทึมตัวหาร:
.
แนวการพิสูจน์คล้ายกับข้อพิสูจน์ข้อ 3
ลอการิทึมองศา เท่ากับสินค้าเลขชี้กำลังต่อลอการิทึมของฐาน:
.
ในการพิสูจน์ จำเป็นต้องใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานด้วย

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x0 คือขีดจำกัดอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันที่จุด x0 ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อส่วนหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์ สามารถเขียนได้ดังนี้: .
จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ ฟังก์ชันสามารถมีอนุพันธ์ที่จุด x0 ได้ก็ต่อเมื่อถูกกำหนดในละแวกใกล้เคียงของจุด x0 รวมถึงจุดนี้ด้วย
เงื่อนไขที่จำเป็นการมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดคือความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น
การมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x0 เทียบเท่ากับการมีอยู่ของแทนเจนต์ (ไม่ใช่แนวตั้ง) ที่จุด (x0; f(x0)) ของกราฟ ในขณะที่ ความชันสัมผัสเท่ากัน. นี่คืออะไร ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์.
ความรู้สึกทางกลอนุพันธ์ f "(x) ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่จุด x ดังนั้นเมื่อแก้ปัญหาที่ประยุกต์ใช้ควรจำไว้ว่าไม่ว่ากระบวนการใดจะอธิบายโดยผู้ที่ศึกษา ฟังก์ชั่น y \u003d f (x) อนุพันธ์จากมุมมองทางกายภาพสามารถคิดได้ว่าเป็นอัตราที่กระบวนการดำเนินไป

อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ หากมี:
.
ถ้าฟังก์ชัน ยูและ วีสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x0to, อนุพันธ์ของพวกมันสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้, และ
.
ถ้าฟังก์ชัน ยูและ วีหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x0, และ จากเป็นค่าคงที่ แล้วฟังก์ชัน Cuแตกต่าง ณ จุดนี้และ
.
ถ้าฟังก์ชัน ยูและ วีหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x0 และฟังก์ชัน วีไม่เท่ากับศูนย์ ณ จุดนี้ ดังนั้นผลหารของทั้งสองฟังก์ชันก็หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x0u ด้วย
.

ในบทความนี้เราจะมาดูที่ ฟังก์ชันเชิงเส้น, กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นตรงและคุณสมบัติของมัน และตามปกติเราจะแก้ปัญหาหลายอย่างในหัวข้อนี้

ฟังก์ชันเชิงเส้นเรียกว่า ฟังก์ชันของรูป

ในสมการฟังก์ชัน จำนวนที่เราคูณด้วยเรียกว่าตัวประกอบความชัน

ตัวอย่างเช่น ในสมการฟังก์ชัน ;

ในสมการฟังก์ชัน ;

ในสมการฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นตรงเป็นเส้นตรง

หนึ่ง . เพื่อพล็อตฟังก์ชันเราต้องการพิกัดของสองจุดที่เป็นของกราฟของฟังก์ชัน ในการค้นหา คุณต้องนำค่า x สองค่ามาแทนที่ในสมการของฟังก์ชัน แล้วคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกันจากค่าเหล่านั้น

ตัวอย่างเช่น ในการพล็อตฟังก์ชัน จะสะดวกที่จะใช้ และ จากนั้น พิกัดของจุดเหล่านี้จะเท่ากับ และ .

เราได้คะแนน A(0;2) และ B(3;3) มาเชื่อมต่อกันและรับกราฟของฟังก์ชัน:

2 . ในสมการฟังก์ชัน สัมประสิทธิ์รับผิดชอบความชันของกราฟฟังก์ชัน:

Title="(!LANG:k>0">!}

ค่าสัมประสิทธิ์มีหน้าที่ในการขยับกราฟตามแกน:

Title="(!LANG:b>0">!}

รูปด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชัน ;

โปรดทราบว่าในฟังก์ชันทั้งหมดนี้สัมประสิทธิ์ เหนือศูนย์ ขวา. นอกจากนี้ than คุ้มค่ามากขึ้น, ชันขึ้น ตรงไป.

ในทุกฟังก์ชัน - และเราเห็นว่ากราฟทั้งหมดตัดกับแกน OY ที่จุด (0;3)

พิจารณากราฟฟังก์ชัน ;

คราวนี้ในทุกฟังก์ชันสัมประสิทธิ์ น้อยกว่าศูนย์และกราฟฟังก์ชันทั้งหมดเบ้ ไปทางซ้าย.

โปรดทราบว่ายิ่ง |k| ยิ่งสูง เส้นก็จะยิ่งชัน ค่าสัมประสิทธิ์ b เท่ากัน b=3 และกราฟ ดังเช่นในกรณีก่อนหน้า ตัดผ่านแกน OY ที่จุด (0;3)

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน ;

ในสมการของฟังก์ชันทั้งหมด สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน และเราได้เส้นขนานสามเส้น

แต่สัมประสิทธิ์ b ต่างกัน และกราฟเหล่านี้ตัดกับแกน OY ที่จุดต่างกัน:

กราฟของฟังก์ชัน (b=3) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;3)

กราฟของฟังก์ชัน (b=0) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;0) - จุดกำเนิด

กราฟของฟังก์ชัน (b=-2) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;-2)

ดังนั้น หากเรารู้เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ k และ b เราก็สามารถจินตนาการได้ทันทีว่ากราฟของฟังก์ชันหน้าตาเป็นอย่างไร

ถ้า k<0 и b>0 , จากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:

ถ้า k>0 และ b>0 ,จากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:

ถ้า k>0 และ b<0 , จากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:

ถ้า k<0 и b<0 , จากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:

ถ้า k=0 ,จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันและกราฟจะมีลักษณะดังนี้:

พิกัดของทุกจุดของกราฟของฟังก์ชันมีค่าเท่ากัน

ถ้า b=0จากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะผ่านจุดกำเนิด:

มัน กราฟสัดส่วนโดยตรง.

3 . แยกกันฉันสังเกตกราฟของสมการ. กราฟของสมการนี้เป็นเส้นตรงขนานกับแกน ซึ่งทุกจุดมี abscissa

ตัวอย่างเช่น กราฟสมการจะมีลักษณะดังนี้:

ความสนใจ!สมการไม่ใช่ฟังก์ชัน เนื่องจากค่าต่าง ๆ ของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าฟังก์ชันเดียวกัน ซึ่งไม่ตรงกับ .

4 . เงื่อนไขความขนานของสองบรรทัด:

กราฟฟังก์ชัน ขนานกับกราฟของฟังก์ชัน, ถ้า

5. เงื่อนไขของเส้นตั้งฉากสองเส้น:

กราฟฟังก์ชัน ตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชันเพื่อ

6. จุดตัดของกราฟของฟังก์ชันที่มีแกนพิกัด

ด้วยแกน OY abscissa ของจุดใดๆ ที่เป็นของแกน OY มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ในการหาจุดตัดกับแกน OY คุณต้องแทนที่ศูนย์แทน x ในสมการของฟังก์ชัน เราได้ y=b นั่นคือจุดตัดกับแกน OY มีพิกัด (0;b)

ด้วยแกน OX:พิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของแกน OX เป็นศูนย์ ดังนั้น ในการหาจุดตัดกับแกน OX คุณต้องแทนที่ศูนย์แทน y ในสมการของฟังก์ชัน เราจะได้ 0=kx+b จากที่นี่. นั่นคือจุดตัดกับแกน OX มีพิกัด (; 0):

พิจารณาการแก้ปัญหา

หนึ่ง . สร้างกราฟของฟังก์ชันหากทราบว่าผ่านจุด A (-3; 2) และขนานกับเส้น y \u003d -4x

มีสองพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในสมการฟังก์ชัน: k และ b ดังนั้นในข้อความของปัญหา ควรมีเงื่อนไขสองประการที่กำหนดลักษณะกราฟของฟังก์ชัน

ก) จากข้อเท็จจริงที่ว่ากราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y=-4x จะได้ว่า k=-4 นั่นคือสมการของฟังก์ชันมีรูปแบบ

b) มันยังคงให้เราค้นหา b เป็นที่ทราบกันว่ากราฟของฟังก์ชันผ่านจุด A (-3; 2) หากจุดนั้นอยู่ในกราฟฟังก์ชัน เมื่อแทนพิกัดของจุดนั้นลงในสมการฟังก์ชัน เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

ดังนั้น b=-10

ดังนั้น เราต้องพลอตฟังก์ชัน

จุด A(-3;2) เป็นที่รู้สำหรับเรา ใช้จุด B(0;-10)

ลองใส่จุดเหล่านี้ในระนาบพิกัดแล้วเชื่อมต่อด้วยเส้นตรง:

2. เขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด A(1;1); ข(2;4).

หากเส้นผ่านจุดด้วยพิกัดที่กำหนด พิกัดของจุดจะเป็นไปตามสมการของเส้นตรง นั่นคือถ้าเราแทนที่พิกัดของจุดลงในสมการของเส้นตรง เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

แทนพิกัดของแต่ละจุดในสมการแล้วได้ระบบสมการเชิงเส้น

เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สองของระบบ แล้วเราจะได้ . แทนค่าของ k ในสมการแรกของระบบ และรับ b=-2

ดังนั้น สมการเส้นตรง

3 . พล็อตสมการ

การหาค่าของผลคูณที่ไม่ทราบค่าของตัวประกอบหลายตัวมีค่าเท่ากับศูนย์เป็นค่าใด คุณต้องถือเอาปัจจัยแต่ละตัวเท่ากับศูนย์และพิจารณาด้วย ตัวคูณแต่ละตัว

สมการนี้ไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับ ODZ ให้เราแยกตัวประกอบวงเล็บที่สองและหาตัวประกอบแต่ละตัวให้เป็นศูนย์ เราได้รับชุดของสมการ:

เราสร้างกราฟของสมการทั้งหมดของเซตในระนาบพิกัดเดียว นี่คือกราฟของสมการ :

สี่. สร้างกราฟของฟังก์ชันหากตั้งฉากกับเส้นตรงและผ่านจุด M (-1; 2)

เราจะไม่สร้างกราฟ เราจะหาแต่สมการของเส้นตรงเท่านั้น

ก) เนื่องจากกราฟของฟังก์ชัน ถ้ามันตั้งฉากกับเส้นตรง ดังนั้น จากที่นี่ นั่นคือสมการของฟังก์ชันมีรูปแบบ

b) เรารู้ว่ากราฟของฟังก์ชันผ่านจุด M (-1; 2) แทนพิกัดลงในสมการของฟังก์ชัน เราได้รับ:

จากที่นี่.

ดังนั้น ฟังก์ชันของเราจึงมีลักษณะดังนี้: .

5 . พล็อตฟังก์ชัน

เรามาลดรูปนิพจน์ทางด้านขวาของสมการฟังก์ชันกัน

สำคัญ!ก่อนที่จะทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ให้หา ODZ ของมันก่อน

ตัวส่วนของเศษส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ ดังนั้น title="(!LANG:x1">, title="x-1">.!}

จากนั้นหน้าที่ของเราจะกลายเป็น:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

นั่นคือ เราจำเป็นต้องสร้างกราฟฟังก์ชันและดึงจุดสองจุดออกมา: ด้วย abscissas x=1 และ x=-1:

งานเกี่ยวกับคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสองตามที่แสดงให้เห็นในทางปฏิบัติทำให้เกิดปัญหาร้ายแรง สิ่งนี้ค่อนข้างแปลกเพราะฟังก์ชันกำลังสองถูกส่งผ่านในเกรด 8 จากนั้นทั้งไตรมาสแรกของเกรด 9 จะถูก "ทรมาน" โดยคุณสมบัติของพาราโบลาและกราฟของมันถูกสร้างขึ้นสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าการบังคับให้นักเรียนสร้างพาราโบลาพวกเขาแทบไม่อุทิศเวลาให้กับ "การอ่าน" กราฟนั่นคือพวกเขาไม่ได้ฝึกทำความเข้าใจข้อมูลที่ได้รับจากภาพ เห็นได้ชัดว่า เมื่อสร้างกราฟสองโหลแล้ว นักเรียนที่ฉลาดจะค้นพบและกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ในสูตรกับ รูปร่างศิลปะภาพพิมพ์ ในทางปฏิบัติ วิธีนี้ใช้ไม่ได้ผล สำหรับลักษณะทั่วไปดังกล่าว ประสบการณ์ที่จริงจังการวิจัยทางคณิตศาสตร์ขนาดเล็กซึ่งแน่นอนว่านักเรียนชั้นปีที่ 9 ส่วนใหญ่ไม่มี ในขณะเดียวกันใน GIA พวกเขาเสนอให้กำหนดสัญญาณของสัมประสิทธิ์อย่างแม่นยำตามกำหนดการ

เราจะไม่เรียกร้องสิ่งที่เป็นไปไม่ได้จากเด็กนักเรียนและเพียงแค่เสนอหนึ่งในอัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าว

ดังนั้น ฟังก์ชันของรูป y=ax2+bx+cเรียกว่ากำลังสอง กราฟของมันคือพาราโบลา ตามชื่อส่วนประกอบหลักคือ ขวาน2. นั่นคือ เอไม่ควรเท่ากับศูนย์ สัมประสิทธิ์ที่เหลือ ( ขและ กับ) สามารถมีค่าเท่ากับศูนย์

เรามาดูกันว่าสัญญาณของสัมประสิทธิ์ส่งผลต่อรูปลักษณ์ของพาราโบลาอย่างไร

การพึ่งพาสัมประสิทธิ์ที่ง่ายที่สุด เอ. เด็กนักเรียนส่วนใหญ่ตอบอย่างมั่นใจ: "ถ้า เอ> 0 กิ่งก้านของพาราโบลาจะพุ่งขึ้นไปข้างบน และถ้า เอ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой เอ > 0.

y = 0.5x2 - 3x + 1

ที่ กรณีนี้ เอ = 0,5

และตอนนี้สำหรับ เอ < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

ในกรณีนี้ เอ = - 0,5

อิทธิพลของสัมประสิทธิ์ กับยังง่ายต่อการปฏิบัติตาม ลองนึกภาพว่าเราต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง X= 0 แทนที่ศูนย์ลงในสูตร:

y = เอ 0 2 + ข 0 + ค = ค. ปรากฎว่า y = ค. นั่นคือ กับคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน y ตามกฎแล้ว จุดนี้หาได้ง่ายบนแผนภูมิ และพิจารณาว่าอยู่เหนือศูนย์หรือต่ำกว่า นั่นคือ กับ> 0 หรือ กับ < 0.

กับ > 0:

y=x2+4x+3

กับ < 0

y = x 2 + 4x - 3

ดังนั้น ถ้า กับ= 0 ดังนั้นพาราโบลาจะต้องผ่านจุดกำเนิด:

y=x2+4x

ยากขึ้นกับพารามิเตอร์ ข. จุดที่เราจะพบว่ามันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ .เท่านั้น ขแต่ยังมาจาก เอ. นี่คือจุดสูงสุดของพาราโบลา abscissa ของมัน (พิกัดแกน X) หาได้จากสูตร x ใน \u003d - b / (2a). ทางนี้, b = - 2ax ใน. นั่นคือเราดำเนินการดังนี้: บนกราฟเราพบจุดสูงสุดของพาราโบลากำหนดเครื่องหมายของ abscissa นั่นคือเรามองไปทางขวาของศูนย์ ( x ใน> 0) หรือทางซ้าย ( x ใน < 0) она лежит.

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ทั้งหมด เราต้องใส่ใจกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ด้วย เอ. นั่นคือเพื่อดูว่ากิ่งก้านของพาราโบลาถูกนำไปที่ใด และหลังจากนั้นตามสูตร b = - 2ax ในกำหนดเครื่องหมาย ข.

พิจารณาตัวอย่าง:

สาขาชี้ขึ้น เอ> 0 พาราโบลาตัดกับแกน ที่ต่ำกว่าศูนย์ หมายถึง กับ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x ใน> 0. โซ b = - 2ax ใน = -++ = -. ข < 0. Окончательно имеем: เอ > 0, ข < 0, กับ < 0.