สามารถเขียนในรูปแบบพาราเมตริกโดยใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก (ซึ่งจะอธิบายชื่อ)

แสดงว่า y= b·sht แล้ว x2 / a2=1+sh2t =ch2t โดยที่ x=± a·cht

ดังนั้นเราจึงมาถึงสมการพาราเมทริกของไฮเพอร์โบลาต่อไปนี้:

Y= ใน sht , –< t < . (6)

ข้าว. หนึ่ง.

เครื่องหมาย "+" ในสูตรด้านบน (6) ตรงกับสาขาด้านขวาของไฮเพอร์โบลา และเครื่องหมาย ""– "" ตรงกับสาขาด้านซ้าย (ดูรูปที่ 1) จุดยอดของไฮเพอร์โบลา A(– a; 0) และ B(a; 0) สอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์ t=0

สำหรับการเปรียบเทียบ เราสามารถให้สมการพาราเมตริกของวงรีโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติได้:

X=ค่าใช้จ่าย ,

Y=in บาป , 0 t 2p . (7)

3. แน่นอน ฟังก์ชัน y=chx เป็นคู่และรับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น ฟังก์ชัน y=shx เป็นเลขคี่ เพราะ :

ฟังก์ชัน y=thx และ y=cthx เป็นจำนวนคี่ที่เป็นผลหารของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ โปรดทราบว่าไม่เหมือนฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกจะไม่เป็นระยะ

4. ให้เราศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชัน y= cthx ในบริเวณใกล้เคียงของจุดที่ไม่ต่อเนื่องกัน x=0:

ดังนั้นแกน y จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน y=cthx ให้เรากำหนดเส้นกำกับเฉียง (แนวนอน):

ดังนั้น เส้น y=1 เป็นเส้นกำกับแนวนอนด้านขวาของกราฟของฟังก์ชัน y=cthx เนื่องจากความแปลกของฟังก์ชันนี้ เส้นกำกับแนวนอนด้านซ้ายจึงเป็นเส้นตรง y= –1 เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าเส้นเหล่านี้เป็นเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชัน y=thx พร้อมกัน ฟังก์ชัน shx และ chx ไม่มีเส้นกำกับ

2) (chx)"=shx (แสดงในทำนองเดียวกัน)

4)

นอกจากนี้ยังมีการเปรียบเทียบบางอย่างกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตารางที่สมบูรณ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกทั้งหมดแสดงไว้ในส่วนที่ IV

แทนเจนต์ โคแทนเจนต์

คำจำกัดความของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก โดเมนของคำจำกัดความและค่าต่างๆ

sh x- ไฮเพอร์โบลิกไซน์
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- ไฮเพอร์โบลิกโคไซน์
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
ขอบคุณ- ไฮเพอร์โบลิกแทนเจนต์
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- ไฮเพอร์โบลิกโคแทนเจนต์
, x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

กราฟของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

พล็อตของไฮเปอร์โบลิกไซน์ y = sh x

พล็อตของไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ y = ch x

พล็อตของไฮเพอร์โบลิกแทนเจนต์ y= ขอบคุณ

พล็อตของไฮเพอร์โบลิกโคแทนเจนต์ y = cth x

สูตรที่มีฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บาป iz = ฉัน sh z ; cos iz = ch z
sh iz = ฉันบาป z ; ch iz = cos z
tgiz = ฉัน th z ; ctg iz = - ฉัน cth z
th iz = ฉัน tg z ; cth iz = - ฉัน ctg z
นี่คือหน่วยจินตภาพ i 2 = - 1 .

การใช้สูตรเหล่านี้กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราจะได้สูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

ความเท่าเทียมกัน

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x; cth(-x) = - cth x.

การทำงาน ช(x)- สม่ำเสมอ. ฟังก์ชั่น ช(x), ขอบคุณ), คธ(x)- แปลก.

ความแตกต่างของสี่เหลี่ยม

ch 2 x - sh 2 x = 1.

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของอาร์กิวเมนต์

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y ซ x ซ y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ช x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

สูตรสำหรับผลิตภัณฑ์ไฮเปอร์โบลิกไซน์และโคไซน์

,
,
,

,
,
.

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

,
,
,
,
.

ความสัมพันธ์ของไฮเพอร์โบลิกไซน์และโคไซน์กับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

, ,
, .

อนุพันธ์

,

ปริพันธ์ของ sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

ขยายเป็นซีรีส์

ฟังก์ชันผกผัน

แอเรียไซน์

ที่ - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

แอเรียโคไซน์

ที่ 1 ≤ x< ∞ และ 0 ≤ y< ∞ มีสูตรดังนี้
,
.

สาขาที่สองของแอเรียโคไซน์ตั้งอยู่ที่ 1 ≤ x< ∞ และ - ∞< y ≤ 0 :
.

แอเรียแทนเจนต์

ที่ - 1 < x < 1 และ - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

ชื่ออื่นๆ: ซินหยู เอ็กซ์,ซือ เอ็กซ์, cosh x, ช เอ็กซ์,ต๊ะ เอ็กซ์, tanh เอ็กซ์,ไทย xกราฟดูในรูป หนึ่ง.

อัตราส่วนพื้นฐาน:

เรขาคณิต G. f. คล้ายกับการตีความฟังก์ชันตรีโกณมิติ (รูปที่ 2) พารามิเตอร์ สมการของไฮเปอร์โบลาช่วยให้เราตีความ abscissa และกำหนดจุดของไฮเพอร์โบลาด้านเท่าเป็นไฮเพอร์โบลาได้ โคไซน์และไซน์ ไฮเปอร์โบลิก ส่วนแทนเจนต์ เอบี.พารามิเตอร์ t เท่ากับสองเท่าของพื้นที่ของเซกเตอร์ ออมที่ไหน เช้า-ส่วนโค้งของไฮเพอร์โบลา สำหรับจุด (at ) พารามิเตอร์ t เป็นค่าลบ ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผกผันถูกกำหนดโดยสูตร:

อนุพันธ์และอินทิกรัลพื้นฐานของ G. f.:

ในระนาบทั้งหมดของตัวแปรเชิงซ้อน z, G. f. และสามารถกำหนดโดยอนุกรม:

ดังนั้น,

มีตารางมากมายสำหรับ G. f. ค่า G.f. ยังสามารถหาได้จากตารางสำหรับ อดีตและ อดีต.

ไฟ: Yanke E. , Emde F. , Lesh F. , ฟังก์ชั่นพิเศษ สูตร กราฟ ตาราง ครั้งที่ 2 ป. จากภาษาเยอรมัน, M. , 1968; ตารางไซน์และโคไซน์แบบวงกลมและไฮเพอร์โบลิกในการวัดการแผ่รังสีมุม, M. , 1958; โต๊ะ อดีตและ อดีต,ม., 2498. V.I. Bityutskov.

สารานุกรมทางคณิตศาสตร์ - ม.: สารานุกรมโซเวียต. ไอ.เอ็ม.วิโนกราดอฟ 2520-2528.

ดูว่า "ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร: (ไฮเปอร์โบลิกไซน์), (ไฮเปอร์โบลิกโคไซน์) บางครั้งไฮเพอร์โบลิกแทนเจนต์ก็ถูกพิจารณาด้วย: จี เอฟ ... ...

ฟังก์ชั่นที่กำหนดโดยสูตร: (ไฮเปอร์โบลิกไซน์), (ไฮเปอร์โบลิกโคไซน์), (ไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์) ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

ฟังก์ชั่นที่กำหนดโดยสูตร: shx \u003d (ex e x) / 2 (hynerbolic sine), chx (ex + e k) / 2 (ไฮเปอร์โบลิกโคไซน์), thx \u003d shx / chx (ไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์) กราฟ G.f. ดูในรูป...

ตระกูลของฟังก์ชันพื้นฐานที่แสดงในรูปของเลขชี้กำลังและเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ สารบัญ 1 คำจำกัดความ 1.1 คำจำกัดความทางเรขาคณิต ... Wikipedia

ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร: shx = (ex - e x)/2 (hyperbolic sine), chx = (ex + e x)/2 (ไฮเปอร์โบลิกโคไซน์), thx = shx/chx (ไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์) กราฟของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก ดูรูปที่ * * * ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก… … พจนานุกรมสารานุกรม

ฟังก์ชั่น. กำหนดโดยแฟล็ก: (ไฮเปอร์โบลิกไซน์), (ไฮเปอร์โบลิกโคไซน์), (แทรกรูปภาพ!!!) กราฟของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

โดยการเปรียบเทียบกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ Sinx, cosx ซึ่งทราบว่าถูกกำหนดโดยใช้สูตรออยเลอร์ sinx = (exi e xi)/2i, cosx = (exi + e xi)/2 (โดยที่ e เป็นฐานของลอการิทึม Napier , ผม = √[ หนึ่ง]); บางครั้งก็นำมาพิจารณา ... ... พจนานุกรมสารานุกรมเอฟเอ Brockhaus และ I.A. เอฟรอน

ฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก (ดูฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก) sh x, ch x, th x; พวกเขาแสดงโดยสูตร (อ่าน: ไฮเปอร์โบลิก aresine, โคไซน์พื้นที่ไฮเปอร์โบลิก, aretangent ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

ฟังก์ชันผกผันกับไฮเปอร์โบลิก ฟังก์ชั่น; แสดงในสูตร... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผกผันถูกกำหนดให้ผกผันของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก ฟังก์ชันเหล่านี้กำหนดพื้นที่ของหน่วยไฮเปอร์โบลาเซกเตอร์ x2 − y2 = 1 ในลักษณะเดียวกับที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันกำหนดความยาว ... ... Wikipedia

หนังสือ

• ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก Yanpolsky A.R. หนังสือเล่มนี้อธิบายคุณสมบัติของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกและผกผัน และให้ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้กับฟังก์ชันพื้นฐานอื่นๆ การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกกับ...

บทนำ

ในวิชาคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้กับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกใช้อย่างแพร่หลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าปรากฏการณ์หลายอย่างที่ศึกษาในวิทยาศาสตร์ธรรมชาตินั้นอยู่ในกระบวนการที่เรียกว่าการเจริญเติบโตทางอินทรีย์ซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของหน้าที่ที่เกี่ยวข้องนั้นเป็นสัดส่วนกับค่าของ ฟังก์ชั่นตัวเอง

ถ้าแสดงโดยฟังก์ชันและโดยการโต้แย้ง กฎความแตกต่างของกระบวนการของการเติบโตแบบอินทรีย์สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่เป็นค่าสัมประสิทธิ์คงที่ของสัดส่วน

การรวมสมการนี้นำไปสู่คำตอบทั่วไปในรูปแบบของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

หากคุณตั้งค่าเงื่อนไขเริ่มต้นที่ จากนั้นคุณสามารถกำหนดค่าคงที่โดยพลการได้ และด้วยเหตุนี้ ให้ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งเป็นกฎสำคัญของกระบวนการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ภายใต้สมมติฐานที่เข้าใจง่ายบางประการ กระบวนการเติบโตแบบอินทรีย์รวมถึงปรากฏการณ์ต่างๆ เช่น การเปลี่ยนแปลงของความดันบรรยากาศขึ้นอยู่กับความสูงเหนือพื้นผิวโลก การสลายตัวของกัมมันตภาพรังสี การเย็นลงหรือความร้อนของร่างกายในสภาพแวดล้อมที่มีอุณหภูมิคงที่ ปฏิกิริยาเคมีโมเลกุลเดียว (ตัวอย่างเช่น การละลายของสารในน้ำ ) ซึ่งกฎของการกระทำมวลเกิดขึ้น (อัตราการเกิดปฏิกิริยาเป็นสัดส่วนกับปริมาณของสารตั้งต้นที่มีอยู่) การสืบพันธุ์ของจุลินทรีย์ และอื่นๆ อีกมากมาย

การเพิ่มขึ้นของจำนวนเงินอันเนื่องมาจากดอกเบี้ยทบต้น (ดอกเบี้ยจากดอกเบี้ย) ก็เป็นกระบวนการของการเติบโตแบบอินทรีย์เช่นกัน

ตัวอย่างเหล่านี้สามารถดำเนินการต่อได้

นอกจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังแต่ละตัวในวิชาคณิตศาสตร์และการประยุกต์แล้ว ยังมีการใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบต่างๆ รวมกัน ซึ่งการรวมฟังก์ชันเชิงเส้นและเศษส่วน-เชิงเส้นของฟังก์ชันและฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกที่เรียกว่ามีความสำคัญเป็นพิเศษ มีหกฟังก์ชันเหล่านี้ มีการแนะนำชื่อพิเศษและการกำหนดต่อไปนี้สำหรับพวกเขา:

(ไฮเปอร์โบลิกไซน์),

(ไฮเปอร์โบลิกโคไซน์),

(ไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์),

(ไฮเปอร์โบลิกโคแทนเจนต์),

(ไฮเปอร์โบลิกซีแคนต์),

(ไฮเปอร์โบลิกซีแคนต์).

คำถามเกิดขึ้นว่าทำไมจึงตั้งชื่อเช่นนั้น และนี่คืออติพจน์และชื่อของฟังก์ชันที่รู้จักจากตรีโกณมิติ: ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ ปรากฎว่าความสัมพันธ์ที่เชื่อมต่อฟังก์ชันตรีโกณมิติกับพิกัดของจุดวงกลมรัศมีหน่วยจะคล้ายกับความสัมพันธ์ที่เชื่อมต่อฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกกับพิกัดของจุดของไฮเพอร์โบลาด้านเท่าที่มีครึ่งแกนของหน่วย สิ่งนี้จะพิสูจน์ชื่อของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตรเรียกว่าไฮเปอร์โบลิกโคไซน์และไฮเปอร์โบลิกไซน์ตามลำดับ

ฟังก์ชันเหล่านี้ถูกกำหนดและต่อเนื่อง และเป็นฟังก์ชันคู่และเป็นฟังก์ชันคี่

รูปที่ 1.1 - กราฟของฟังก์ชัน

จากนิยามของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก ได้ดังนี้:

โดยการเปรียบเทียบกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ แทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกและโคแทนเจนต์ถูกกำหนดตามลำดับโดยสูตร

ฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่อง และฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องในชุดที่มีจุดที่เจาะ; ฟังก์ชันทั้งสองเป็นเลขคี่ กราฟแสดงในรูปด้านล่าง

รูปที่ 1.2 - กราฟของฟังก์ชัน

รูปที่ 1.3 - กราฟของฟังก์ชัน

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าฟังก์ชั่นและกำลังเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด ในขณะที่ฟังก์ชั่นนั้นลดลงอย่างเข้มงวด ดังนั้น ฟังก์ชันเหล่านี้จึงสามารถย้อนกลับได้ แสดงถึงฟังก์ชันผกผันกับพวกเขาตามลำดับโดย

พิจารณาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชัน เช่น การทำงาน. เราแสดงออกในแง่ของระดับประถมศึกษา การแก้สมการเทียบกับ, เราได้รับ ตั้งแต่, จากนั้น, จากที่ไหน

การแทนที่ด้วย and with เราจะพบสูตรสำหรับฟังก์ชันผกผันของไซน์ไฮเปอร์โบลิก

ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก- ไฮเปอร์โบลิกไซน์ (sh x) และโคไซน์ (ch x) ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกันต่อไปนี้:

ไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดโดยการเปรียบเทียบกับแทนเจนต์ตรีโกณมิติและโคแทนเจนต์:

ไฮเปอร์โบลิกซีแคนต์และโคซีแคนต์ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน:

มีสูตรดังนี้

คุณสมบัติของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกนั้นคล้ายคลึงกับคุณสมบัติหลายประการ (ดู) สมการ x=cos t, y=sin t กำหนดวงกลม x²+y² = 1; สมการ x=сh t, y=sh t กำหนดไฮเปอร์โบลา x² - y²=1 เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกกำหนดจากวงกลมของรัศมีหน่วย ดังนั้นฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกจึงถูกกำหนดจากไฮเปอร์โบลาหน้าจั่ว x² - y² = 1 อาร์กิวเมนต์ t คือพื้นที่สองเท่าของสามเหลี่ยมโค้งมนที่แรเงา OME (รูปที่ 48) คล้ายกับความจริงที่ว่าสำหรับฟังก์ชันวงกลม (ตรีโกณมิติ) อาร์กิวเมนต์ t เท่ากับตัวเลขสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมโค้ง OKE ( รูปที่ 49):

สำหรับวงกลม

สำหรับอติพจน์

ทฤษฎีบทการบวกสำหรับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกคล้ายกับทฤษฎีบทการบวกสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

ความคล้ายคลึงเหล่านี้มองเห็นได้ง่ายถ้าใช้ตัวแปรเชิงซ้อน r เป็นอาร์กิวเมนต์ x ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยสูตรต่อไปนี้: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix โดยที่ i เป็นหนึ่งใน ค่าของรูท √-1 ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก sh x และ ch x: สามารถใช้ค่าขนาดใหญ่ใดๆ ก็ได้ (แน่นอนว่าหน่วยขนาดใหญ่) ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin x, cos x ซึ่งสำหรับค่าจริง ​​ต้องไม่มากกว่าหนึ่งในค่าสัมบูรณ์
ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกมีบทบาทในเรขาคณิตของ Lobachevsky (ดู) ซึ่งใช้ในการศึกษาความต้านทานของวัสดุ ในงานวิศวกรรมไฟฟ้าและสาขาความรู้อื่นๆ นอกจากนี้ยังมีการกำหนดฟังก์ชั่นไฮเปอร์โบลิกในวรรณคดีเช่น sinh x; คอส x; จก.