มีแนวชายฝั่งที่ยาวที่สุด Ii สามแฟร็กทัลคลาสสิก - เชื่องอย่างสมบูรณ์แบบ

เนื่องจากพื้นดินมีลักษณะเฉพาะในทุกระดับ ตั้งแต่ขนาดหลายร้อยกิโลเมตรไปจนถึงเศษเสี้ยวมิลลิเมตรหรือต่ำกว่า จึงไม่มีข้อ จำกัด ที่ชัดเจนเกี่ยวกับขนาดของจุดสนใจที่เล็กที่สุด และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีการบันทึกขอบเขตของพื้นดินที่ชัดเจน มีการประมาณค่าต่างๆ ภายใต้สมมติฐานขนาดขั้นต่ำบางประการ

ตัวอย่างของความขัดแย้งคือที่รู้จักกันดี ชายฝั่งอังกฤษ. หากวัดแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรโดยใช้หน่วยแฟร็กทัลที่มีความยาว 100 กม. (62 ไมล์) ความยาวของแนวชายฝั่งจะอยู่ที่ประมาณ 2,800 กม. (1,700 ไมล์) ด้วยหน่วย 50 กม. (31 ไมล์) ความยาวทั้งหมดประมาณ 3,400 กม. (2,100 ไมล์) อีกต่อไปประมาณ 600 กม. (370 ไมล์)

ด้านคณิตศาสตร์

แนวคิดพื้นฐานของความยาวมาจาก ระยะทางแบบยุคลิด. ในความคุ้นเคย เรขาคณิตแบบยุคลิดเส้นตรงแสดงถึงระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุด เส้นนี้มีความยาวจำกัดเพียงเส้นเดียวเท่านั้น ความยาว geodesic บนพื้นผิวของทรงกลมเรียกว่าความยาววงกลมใหญ่วัดจากพื้นผิวของเส้นโค้งที่มีอยู่ในระนาบที่มีจุดสิ้นสุดของเส้นทางและศูนย์กลางของทรงกลม ความยาวของเส้นโค้งหลักนั้นซับซ้อนกว่าแต่สามารถคำนวณได้เช่นกัน เมื่อวัดด้วยไม้บรรทัด เราสามารถประมาณความยาวของเส้นโค้งได้โดยบวกผลรวมของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดต่างๆ ดังนี้

การใช้เส้นตรงหลายเส้นใกล้กับความยาวของเส้นโค้งจะทำให้ได้คะแนนต่ำ การใช้เส้นที่สั้นกว่าและสั้นกว่าจะทำให้เกิดผลรวมของความยาวที่เข้าใกล้ความยาวจริงของเส้นโค้ง ค่าที่แน่นอนของความยาวนี้สามารถกำหนดได้โดยใช้แคลคูลัส ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ให้คุณคำนวณระยะทางเล็กๆ ได้ไม่จำกัด ภาพเคลื่อนไหวต่อไปนี้แสดงตัวอย่างนี้:

อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถวัดเส้นโค้งทั้งหมดด้วยวิธีนี้ได้ ตามคำจำกัดความแล้ว เส้นโค้งถือเป็นเศษส่วน โดยมีการเปลี่ยนแปลงระดับการวัดที่ซับซ้อนอย่างซับซ้อน เมื่อพิจารณาว่าเส้นโค้งเรียบเข้าใกล้ค่าเดียวกันมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อความแม่นยำในการวัดเพิ่มขึ้น ค่าที่วัดได้ของเศษส่วนสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างมาก

ความยาว " เศษส่วนจริง" มีแนวโน้มเป็นอนันต์เสมอ อย่างไรก็ตาม ตัวเลขนี้มีพื้นฐานอยู่บนแนวคิดที่ว่าพื้นที่สามารถแบ่งย่อยเป็นความไม่แน่นอนได้ กล่าวคือ ไม่จำกัด นี่คือจินตนาการที่รองรับเรขาคณิตแบบยุคลิดและทำหน้าที่เป็นแบบจำลองที่มีประโยชน์ในการวัดประจำวัน แทบไม่สะท้อนให้เห็นเลย ความเป็นจริงที่เปลี่ยนไปของ "อวกาศ" และ "ระยะทาง" ในระดับอะตอม เส้นชายฝั่งแตกต่างจากเศษส่วนทางคณิตศาสตร์ พวกมันถูกสร้างขึ้นจากรายละเอียดเล็กๆ มากมายที่สร้างแบบจำลองทางสถิติเท่านั้น

ด้วยเหตุผลในทางปฏิบัติคุณสามารถใช้มิติข้อมูลกับตัวเลือกที่เหมาะสมของขนาดต่ำสุดของหน่วยลำดับ หากวัดแนวชายฝั่งเป็นกิโลเมตร ความผันแปรเล็กน้อยจะมีขนาดเล็กกว่าหนึ่งกิโลเมตรมาก และสามารถละเลยได้ง่าย ในการวัดแนวชายฝั่งเป็นเซนติเมตร ต้องพิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาดเล็กน้อย การใช้เทคนิคการวัดที่แตกต่างกันสำหรับหน่วยต่างๆ ยังทำลายความเชื่อดั้งเดิมที่ว่าบล็อกสามารถแปลงได้ด้วยการคูณอย่างง่าย กรณีชายฝั่งที่รุนแรง ได้แก่ ฟยอร์ดที่ขัดแย้งกันของชายฝั่งที่หนักหน่วงของนอร์เวย์ ชิลี และชายฝั่งแปซิฟิกของอเมริกาเหนือ

ไม่นานก่อนปี พ.ศ. 2494 Lewis Fry Richardsonในการศึกษาผลกระทบที่เป็นไปได้ของความยาวพรมแดนต่อความน่าจะเป็นของสงคราม ตั้งข้อสังเกตว่าชาวโปรตุเกสรายงานว่าชายแดนที่วัดได้กับสเปนมีความยาว 987 กม. แต่สเปนรายงานว่ามีระยะทาง 1214 กม. นี่เป็นจุดเริ่มต้นของปัญหาแนวชายฝั่ง ซึ่งยากต่อการวัดทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความไม่สม่ำเสมอของแนวเส้น วิธีการที่โดดเด่นในการประมาณความยาวของอาณาเขต (หรือแนวชายฝั่ง) คือการซ้อนทับ N จำนวนส่วนของความยาวที่เท่ากัน ℓ ด้วยตัวคั่นบนแผนที่หรือภาพถ่ายทางอากาศ จุดสิ้นสุดแต่ละส่วนต้องอยู่บนขอบเขต จากการตรวจสอบความคลาดเคลื่อนในขอบเขต Richardson ค้นพบสิ่งที่เรียกว่า Richardson effect ในปัจจุบัน: ผลรวมของกลุ่มเป็นสัดส่วนผกผันกับความยาวทั้งหมดของกลุ่ม โดยพื้นฐานแล้ว ยิ่งไม้บรรทัดสั้นเท่าใด เส้นขอบที่วัดได้ก็จะยิ่งใหญ่เท่านั้น นักภูมิศาสตร์ชาวสเปนและโปรตุเกสเพียงวัดขอบเขตด้วยความยาวของผู้ปกครองที่แตกต่างกัน เป็นผลให้ริชาร์ดสันรู้สึกประทับใจกับความจริงที่ว่าภายใต้สถานการณ์บางอย่างเมื่อความยาวของไม้บรรทัด ℓ มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ความยาวของแนวชายฝั่งก็มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกัน Richardson เชื่อว่าขึ้นอยู่กับ เรขาคณิตของยุคลิด, แนวชายฝั่งจะพอดีกับความยาวคงที่, วิธีการประมาณค่ารูปทรงเรขาคณิตปกติที่คล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมเข้าใกล้วงกลมเมื่อจำนวนด้านเพิ่มขึ้น (และความยาวของด้านหนึ่งลดลง) ในทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิต เส้นโค้งเรียบ เช่น วงกลม ซึ่งสามารถเข้าถึงได้โดยส่วนตรงเล็กๆ ที่มีขีดจำกัดที่แน่นอน เรียกว่าเส้นโค้งที่แก้ไขได้

กว่าสิบปีหลังจากที่ริชาร์ดสันทำงานเสร็จ Benoit Mandelbrotพัฒนาพื้นที่ใหม่ของคณิตศาสตร์ - เรขาคณิตเศษส่วนเพื่ออธิบายเพียงคอมเพล็กซ์ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ในธรรมชาติในรูปแบบของแนวชายฝั่งที่ไม่มีที่สิ้นสุด คำจำกัดความของตัวเองของร่างใหม่ที่ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการวิจัยของเขา: ฉันมากับเศษส่วนจากคำคุณศัพท์ภาษาละติน " กระจัดกระจาย' เพื่อสร้างลวดลายที่ไม่สม่ำเสมอ ดังนั้นจึงสมเหตุสมผล... ที่นอกเหนือจาก "กระจัดกระจาย"... แตกก็ควรหมายถึง "ไม่ปกติ" ด้วย

คุณสมบัติหลักของแฟร็กทัลคือความคล้ายคลึงในตัวเอง กล่าวคือ การกำหนดค่าทั่วไปแบบเดียวกันจะปรากฏในทุกขนาด แนวชายฝั่งถูกมองว่าเป็นอ่าวสลับกับแหลม ในสถานการณ์สมมติ ชายฝั่งที่กำหนดมีคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันในตัวเอง ไม่ว่าชายฝั่งเล็กๆ จะปรากฏในการขยายขนาดเท่าใด รูปแบบที่คล้ายกันของอ่าวและแหลมที่มีขนาดเล็กกว่าจะถูกซ้อนทับบนอ่าวและแหลมที่ใหญ่กว่า ไปจนถึงเม็ดทราย . ในเวลาเดียวกัน ขนาดของแนวชายฝั่งจะเปลี่ยนเป็นเกลียวยาวเป็นอนันต์ทันที โดยมีการจัดเรียงแบบสุ่มของอ่าวและแหลมที่เกิดจากวัตถุขนาดเล็ก ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว (ตรงข้ามกับเส้นโค้งเรียบ) Mandelbrot ให้เหตุผลว่า "ความยาวของแนวชายฝั่งกลายเป็นแนวคิดที่เข้าใจยากซึ่งหลุดระหว่างนิ้วมือของผู้ที่ต้องการทำความเข้าใจมัน" มีเศษส่วนหลายประเภท แนวชายฝั่งที่มีพารามิเตอร์ที่ระบุอยู่ใน "หมวดแรกของเศษส่วนคือส่วนโค้งด้วย มิติเศษส่วนมากกว่า 1" คำพูดสุดท้ายนี้เป็นการขยายความคิดของริชาร์ดสันของแมนเดลบรอต

คำแถลง Mandelbrot ของ Richardson Effect:

โดยที่ L, ความยาวของแนวชายฝั่ง, ฟังก์ชันของหน่วยวัด, ε, ถูกประมาณโดยนิพจน์ F เป็นค่าคงที่และ D คือพารามิเตอร์ Richardson เขาไม่ได้ให้คำอธิบายเชิงทฤษฎี แต่ Mandelbrot กำหนด D ด้วยรูปแบบที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ขนาด Hausdorff, ภายหลัง - มิติเศษส่วน. การจัดเรียงด้านขวาของนิพจน์ใหม่ เราได้รับ:

โดยที่Fε-D ควรเป็นจำนวนหน่วยของ ε ที่ต้องการเพื่อให้ได้ L มิติเศษส่วน- จำนวนมิติเศษส่วนที่ใช้ในการประมาณเศษส่วน: 0 สำหรับจุด 1 สำหรับเส้น 2 สำหรับพื้นที่ D ในนิพจน์อยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 โดยปกติน้อยกว่า 1.5 สำหรับชายฝั่ง มิติแนวชายฝั่งที่แตกสลายไม่ได้ขยายไปในทิศทางเดียวและไม่ได้แสดงถึงพื้นที่ แต่อยู่ตรงกลาง สิ่งนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นเส้นหนาหรือแถบกว้าง2ε ชายฝั่งที่แตกแยกมากขึ้นจะมี D ที่ใหญ่กว่า ดังนั้น L ที่ใหญ่กว่าสำหรับ ε เดียวกัน Mandelbrot แสดงให้เห็นว่า D ไม่ได้ขึ้นอยู่กับε

ที่มา : http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

แปล: Dmitry Shakhov

ตัวอย่างของความขัดแย้ง: หากวัดแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรในส่วน 100 กม. ความยาวของชายฝั่งจะอยู่ที่ประมาณ 2,800 กม. หากใช้ช่วง 50 กม. ความยาวจะอยู่ที่ประมาณ 3,400 กม. ซึ่งมากกว่า 600 กม.

ความยาวของแนวชายฝั่งขึ้นอยู่กับวิธีการวัด เนื่องจากความโค้งของขนาดใดๆ สามารถแยกแยะได้สำหรับพื้นที่ภาคพื้นดิน ตั้งแต่หลายร้อยกิโลเมตรไปจนถึงเศษส่วนของมิลลิเมตรหรือน้อยกว่า จึงไม่สามารถเลือกขนาดขององค์ประกอบที่เล็กที่สุดที่ควรจะทำการวัดอย่างชัดเจน ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดขอบเขตของส่วนนี้ให้ชัดเจน มีการประมาณค่าทางคณิตศาสตร์ต่างๆ สำหรับการแก้ปัญหานี้

วิธีการหลักในการประมาณความยาวของแนวเขตหรือแนวชายฝั่งคือการซ้อนทับ นู๋ความยาวเท่ากัน lลงบนแผนที่หรือภาพถ่ายทางอากาศโดยใช้เข็มทิศ ปลายแต่ละด้านของส่วนจะต้องอยู่ในขอบเขตที่วัดได้ เมื่อสำรวจความคลาดเคลื่อนในการประเมินขอบเขต ริชาร์ดสันค้นพบสิ่งที่เรียกว่าตอนนี้ ริชาร์ดสัน เอฟเฟค: มาตราส่วนการวัดเป็นสัดส่วนผกผันกับความยาวรวมของทุกส่วน กล่าวคือ ยิ่งใช้ไม้บรรทัดสั้นเท่าใด เส้นขอบที่วัดได้ก็จะยิ่งยาวขึ้น ดังนั้นนักภูมิศาสตร์ชาวสเปนและโปรตุเกสจึงได้รับคำแนะนำจากการวัดขนาดต่างๆ

สิ่งที่โดดเด่นที่สุดสำหรับริชาร์ดสันก็คือเมื่อมูลค่า lมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ความยาวของชายฝั่งมีแนวโน้มอนันต์ ในขั้นต้น Richardson เชื่อตามเรขาคณิตแบบยุคลิดว่าความยาวนี้จะถึงค่าคงที่ เช่นเดียวกับที่เกิดขึ้นในกรณีของรูปทรงเรขาคณิตปกติ ตัวอย่างเช่น ปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมจะเข้าใกล้ความยาวของวงกลมเองเมื่อจำนวนด้านเพิ่มขึ้น (และความยาวของแต่ละด้านลดลง) ในทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิต เส้นโค้งเรียบเช่นวงกลม ซึ่งสามารถแสดงเป็นส่วนเล็กๆ ที่มีขีดจำกัดที่กำหนดได้โดยประมาณ เรียกว่าเส้นโค้งที่แก้ไขได้

มากกว่าหนึ่งทศวรรษหลังจากที่ Richardson ทำงานเสร็จ Mandelbrot ได้พัฒนาสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ เรขาคณิตเศษส่วน เพื่ออธิบายเชิงซ้อนที่ไม่สามารถแก้ไขได้ซึ่งมีอยู่ในธรรมชาติ เช่น ชายฝั่งที่ไม่มีที่สิ้นสุด คำจำกัดความของเขาเองเกี่ยวกับเศษส่วนที่เป็นพื้นฐานของการวิจัยของเขาคือ:

ฉันสร้างคำ เศษส่วน, ขึ้นอยู่กับคำคุณศัพท์ภาษาละติน แฟรคตัส. กริยาภาษาละตินที่สอดคล้องกัน ฝรั่งเศสวิธี หยุดพัก: สร้างชิ้นส่วนที่ไม่สม่ำเสมอ ดังนั้นจึงมีเหตุอันควรที่นอกจากจะ "ไม่เป็นชิ้นเป็นอัน" แล้ว แฟรคตัสควรหมายถึง "ผิดปกติ" ด้วย

คุณสมบัติหลักของแฟร็กทัลคือความคล้ายคลึงในตัวเอง ซึ่งประกอบด้วยการปรากฏของตัวเลขทั่วไปที่เหมือนกันในทุกระดับ แนวชายฝั่งถูกมองว่าเป็นการสลับอ่าวและแหลม ตามสมมุติฐาน ถ้าแนวชายฝั่งที่กำหนดมีคุณสมบัติของความคล้ายคลึงในตัวเอง ไม่ว่าส่วนใดส่วนหนึ่งจะถูกปรับขนาดมากเพียงใด รูปแบบที่คล้ายกันของอ่าวและแหลมที่เล็กกว่าก็ยังคงปรากฏขึ้น ซ้อนทับบนอ่าวและแหลมที่ใหญ่กว่า ไปจนถึงเม็ดทราย ในระดับดังกล่าว แนวชายฝั่งดูเหมือนจะเป็นเกลียวที่เปลี่ยนแปลงในทันทีและอาจไม่มีที่สิ้นสุดด้วยการจัดเรียงของอ่าวและแหลมอย่างสุ่ม ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว (ตรงข้ามกับเส้นโค้งเรียบ) Mandelbrot กล่าวว่า: "ความยาวของแนวชายฝั่งกลายเป็นแนวคิดที่ไม่สามารถบรรลุได้ ลื่นไถลระหว่างนิ้วมือของผู้ที่พยายามทำความเข้าใจ"

โดยที่ความยาวแนวชายฝั่ง L เป็นฟังก์ชันของหน่วย ε และประมาณโดยนิพจน์ทางด้านขวา F เป็นค่าคงที่ D คือพารามิเตอร์ Richardson ขึ้นอยู่กับแนวชายฝั่งเอง (Richardson ไม่ได้ให้คำอธิบายทางทฤษฎีสำหรับปริมาณนี้ อย่างไรก็ตาม Mandelbrot กำหนด D เป็นรูปแบบที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของมิติ Hausdorff ต่อมาเป็นมิติเศษส่วน ใน กล่าวอีกนัยหนึ่ง D คือค่าที่วัดได้จริงของ "ความหยาบ" ) การจัดเรียงด้านขวาของนิพจน์ใหม่ เราได้รับ:

โดยที่ Fε -D ควรเป็นจำนวนหน่วยของ ε ที่ต้องการเพื่อให้ได้ค่า L มิติเศษส่วนคือจำนวนมิติของวัตถุที่ใช้ในการประมาณเศษส่วน: 0 สำหรับจุด 1 สำหรับเส้น 2 สำหรับตัวเลขพื้นที่ เนื่องจากเส้นขาดที่วัดความยาวของชายฝั่งไม่ขยายไปในทิศทางเดียว และในเวลาเดียวกันไม่ได้แสดงถึงพื้นที่ ค่าของ D ในนิพจน์จึงอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 (โดยปกติน้อยกว่า 1.5 สำหรับชายฝั่ง) . สามารถตีความได้ว่าเป็นเส้นหนาหรือแถบกว้าง2ε ชายฝั่งที่ "แตก" มากกว่าจะมีค่า D มากกว่า ดังนั้น L กลับกลายเป็นว่ายาวกว่าสำหรับ ε เดียวกัน Mandelbrot แสดงให้เห็นว่า D ไม่ได้ขึ้นอยู่กับε

โดยทั่วไปแนวชายฝั่งแตกต่างจากเศษส่วนทางคณิตศาสตร์เนื่องจากเกิดขึ้นโดยใช้รายละเอียดเล็ก ๆ จำนวนมากที่สร้างรูปแบบเฉพาะทางสถิติเท่านั้น

ในความเป็นจริงไม่มีรายละเอียดใดที่เล็กกว่า 1 ซม. บนแนวชายฝั่ง [ ] . เกิดจากการกัดเซาะและปรากฏการณ์ทางทะเลอื่นๆ ในสถานที่ส่วนใหญ่ ขนาดขั้นต่ำจะสูงกว่ามาก ดังนั้นแบบจำลองเศษส่วนอนันต์จึงไม่เหมาะกับแนวชายฝั่ง

ด้วยเหตุผลในทางปฏิบัติ ขนาดของชิ้นส่วนขั้นต่ำจะถูกเลือกให้เท่ากับลำดับของหน่วยการวัด ดังนั้น หากวัดแนวชายฝั่งเป็นกิโลเมตร การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในเส้นนั้น ซึ่งน้อยกว่าหนึ่งกิโลเมตรก็จะไม่นำมาพิจารณา ในการวัดแนวชายฝั่งเป็นเซนติเมตร จะต้องพิจารณาความผันแปรเล็กน้อยทั้งหมดที่มีขนาดประมาณหนึ่งเซนติเมตร อย่างไรก็ตาม สำหรับมาตราส่วนของหน่วยเซนติเมตร จะต้องตั้งสมมติฐานที่ไม่ใช่เศษส่วนตามอำเภอใจต่างๆ เช่น บริเวณที่ปากแม่น้ำเชื่อมกับทะเล หรือจุดที่ต้องทำการวัดที่วัตต์กว้าง นอกจากนี้ การใช้วิธีการวัดที่แตกต่างกันสำหรับหน่วยการวัดต่างๆ ไม่อนุญาตให้คุณแปลงหน่วยเหล่านี้โดยใช้การคูณอย่างง่าย

ในการกำหนดเขตน่านน้ำของรัฐนั้นได้มีการสร้างส่วนโค้งที่เรียกว่าชายฝั่งของจังหวัดบริติชโคลัมเบียของแคนาดาซึ่งคิดเป็นมากกว่า 10% ของความยาวของแนวชายฝั่งแคนาดา (รวมถึงเกาะทั้งหมดของหมู่เกาะอาร์กติกของแคนาดา) - 25,725 กม. จาก 243,042 กม. ที่ระยะทางเชิงเส้นเท่ากับเพียง 965 กม.

ก่อนทำความคุ้นเคยกับเศษส่วนประเภทแรก กล่าวคือ เส้นโค้งที่มีมิติเศษส่วนเกิน 1 ลองพิจารณาส่วนทั่วไปของชายฝั่งบางส่วนก่อน เห็นได้ชัดว่าความยาวต้องไม่น้อยกว่าระยะเส้นตรงระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด อย่างไรก็ตาม ตามกฎแล้วแนวชายฝั่งมีรูปร่างไม่สม่ำเสมอ - คดเคี้ยวและหัก และความยาวอย่างไม่ต้องสงสัย เกินระยะห่างระหว่างจุดสุดโต่งอย่างมาก โดยวัดเป็นเส้นตรง

มีหลายวิธีในการประมาณความยาวของแนวชายฝั่งให้แม่นยำยิ่งขึ้น และในบทนี้เราจะวิเคราะห์บางส่วน ในท้ายที่สุด เราจะได้ข้อสรุปที่น่าทึ่งมาก: แนวชายฝั่งเป็นแนวที่ลื่นมาก และคุณไม่สามารถคว้ามันด้วยมือเปล่าได้ ไม่ว่าเราจะใช้วิธีใดในการวัด ผลลัพธ์จะเหมือนกันเสมอ: ความยาวของชายฝั่งโดยทั่วไปนั้นยาวมาก และกำหนดไว้อย่างคลุมเครือว่า เป็นการดีที่สุดที่จะพิจารณาว่าไม่มีขอบเขต ดังนั้น ถ้าใครก็ตามเอามันมาเปรียบเทียบชายฝั่งต่างๆ ในแง่ของความยาว เขาจะต้องหาบางอย่างมาแทนที่แนวความคิดเรื่องความยาว ซึ่งไม่สามารถใช้ได้กับกรณีนี้

ในบทนี้ เราจะเพียงแค่มองหาสิ่งทดแทนที่เหมาะสม และในกระบวนการค้นหา เราจะไม่หลีกเลี่ยงการทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเศษส่วนรูปแบบต่างๆ ของมิติ การวัด และเส้นโค้ง

วิธีการวัดทางเลือก

วิธี A. เรามาตั้งค่าการเปิดเข็มทิศสำหรับการวัดให้มีความยาวที่กำหนด ซึ่งเราเรียกว่าความยาวขั้น และผ่านเข็มทิศนี้ไปตามแนวชายฝั่งที่เราสนใจ โดยเริ่มต้นแต่ละขั้นตอนใหม่ ณ จุดที่ขั้นตอนก่อนหน้าสิ้นสุดลง จำนวนขั้นคูณด้วยความยาว e จะให้ความยาวโดยประมาณของชายฝั่ง จากม้านั่งของโรงเรียน เรารู้ว่าถ้าเราดำเนินการนี้ซ้ำ ทุกครั้งที่ลดการเปิดเข็มทิศ เราสามารถคาดหวังได้ว่าค่าจะรีบเร่งอย่างรวดเร็วไปยังค่าที่กำหนดไว้อย่างดี ซึ่งเรียกว่าความยาวจริง อย่างไรก็ตาม สิ่งที่เกิดขึ้นในทางปฏิบัติไม่สอดคล้องกับความคาดหวังของเรา โดยปกติความยาวที่สังเกตได้มักจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด

สาเหตุของพฤติกรรมนี้ชัดเจน: หากเราพิจารณาคาบสมุทรหรืออ่าวบางแห่งบนแผนที่ขนาด 1/100,000 และ 1/10,000 มาตราส่วน บนแผนที่สุดท้าย เราจะสามารถแยกแยะคาบสมุทรและอ่าวขนาดเล็กที่มองไม่เห็นในแผนที่แรกได้อย่างชัดเจน แผนที่ของพื้นที่เดียวกันซึ่งสร้างขึ้นในระดับ 1/1000 จะแสดงให้เราเห็นคาบสมุทรและเวิ้งที่เล็กกว่า และอื่นๆ รายละเอียดใหม่แต่ละรายการจะเพิ่มความยาวรวมของชายฝั่ง

ขั้นตอนข้างต้นบอกเป็นนัยว่าแนวชายฝั่งไม่สม่ำเสมอเกินไป ดังนั้นความยาวจึงไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของความยาวของเส้นโค้งเรขาคณิตอย่างง่ายได้โดยตรง ซึ่งความยาวสามารถพบได้ในคู่มือ นั่นคือ, วิธี Aแทนที่แนวชายฝั่งด้วยลำดับของเส้นหักที่ประกอบขึ้นจากส่วนตรง ซึ่งเราสามารถกำหนดความยาวได้

วิธี ข."การปรับให้เรียบ" เดียวกันสามารถทำได้ด้วยวิธีอื่น ลองนึกภาพคนที่เดินไปตามชายฝั่งตามเส้นทางที่สั้นที่สุด ซึ่งเป็นเส้นทางที่ไม่มีที่ไหนทิ้งน้ำไว้ไกลเกินระยะทางที่กำหนด เมื่อถึงจุดสิ้นสุดแล้ว ค่าจะกลับคืนมาโดยลดค่าของ . ครั้งแล้วครั้งเล่าจนกระทั่งในที่สุดค่าถึง 50 ซม. ไม่สามารถลดได้อีกเนื่องจากบุคคลมีขนาดใหญ่เกินไปและงุ่มง่ามที่จะติดตามวิถีที่มีรายละเอียดมากขึ้น ข้าพเจ้าอาจคัดค้านว่ารายละเอียดเล็กๆ น้อยๆ ที่ไม่สามารถบรรลุได้เหล่านี้ในตอนแรกนั้นไม่น่าสนใจสำหรับมนุษย์ในทันที และประการที่สอง สิ่งเหล่านี้อาจมีการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญขึ้นอยู่กับฤดูกาลและความสูงของกระแสน้ำที่บันทึกโดยละเอียด ไม่สมเหตุสมผลเลย ข้อโต้แย้งข้อแรกเหล่านี้จะได้รับการจัดการในบทนี้ต่อไป สำหรับการคัดค้านที่สอง มันสามารถถูกทำให้เป็นกลางได้โดยการจำกัดตัวเราไว้ที่ชายฝั่งหินเมื่อน้ำลงและน้ำนิ่ง โดยหลักการแล้ว บุคคลสามารถติดตามเส้นโค้งโดยประมาณที่มีรายละเอียดมากขึ้นได้โดยการเรียกเมาส์เพื่อขอความช่วยเหลือ จากนั้นจึงเรียกมด และอื่นๆ และอีกครั้งที่ผู้เดินของเราเดินตามเส้นทางที่ใกล้น้ำมากขึ้น ระยะทางที่เขาต้องไปเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด

วิธี C.วิธี B หมายถึงความไม่สมดุลบางอย่างระหว่างน้ำกับฝั่ง เพื่อหลีกเลี่ยงความไม่สมดุลนี้ Kantor เสนอให้พิจารณาแนวชายฝั่งราวกับว่าผ่านเลนส์พร่ามัว อันเป็นผลมาจากการที่แต่ละจุดจะกลายเป็นจุดกลมที่มีรัศมี กล่าวอีกนัยหนึ่ง Kantor พิจารณาทุกจุด - ทั้งบนบกและบนน้ำ - ระยะทางจากแนวชายฝั่งไม่เกิน . จุดเหล่านี้มีลักษณะเป็นไส้กรอกหรือริบบิ้นกว้าง (ตัวอย่างของ "ไส้กรอก" ดังกล่าว - แม้ว่าจะอยู่ในบริบทที่แตกต่างกัน - แสดงในรูปที่ 56) เราวัดพื้นที่ของเทปที่ได้และหารด้วย . หากแนวชายฝั่งเป็นแนวตรง เทปก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และค่าที่พบในวิธีข้างต้นจะเป็นความยาวจริงของชายฝั่ง เมื่อต้องรับมือกับแนวชายฝั่งที่แท้จริง เราจะได้ค่าประมาณคร่าวๆ ของความยาว ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดเป็น

วิธีดี. ลองนึกภาพแผนที่ที่ทำในลักษณะของศิลปิน pointillist เช่น แผนที่ที่แสดงให้เห็นทวีปและมหาสมุทรด้วยจุดสีกลมที่มีรัศมี แทนที่จะพิจารณาว่าจุดที่อยู่บนชายฝั่งเป็นจุดศูนย์กลางของจุดนั้น ดังเช่นในวิธี C เรากำหนดให้จำนวนจุดที่ปกคลุมเส้นทั้งหมดนั้นน้อยที่สุด เป็นผลให้ที่แหลมจุดส่วนใหญ่จะอยู่บนบกและที่อ่าว - ในทะเล ค่าประมาณความยาวของแนวชายฝั่งที่นี่เป็นผลมาจากการแบ่งพื้นที่จุดด่างด้วย "พฤติกรรม" ของการประมาณนี้ยังเหลืออีกมากเป็นที่ต้องการ

อนุญาโตตุลาการผลการวัด

เมื่อสรุปส่วนก่อนหน้า เราทราบว่าผลลัพธ์ของการใช้วิธีใดวิธีหนึ่งจากสี่วิธีจะเหมือนกันเสมอ เมื่อ e ลดลง ความยาวโดยประมาณของเส้นโค้งจะมีแนวโน้มเป็นอนันต์

เพื่อให้เข้าใจถึงความสำคัญของข้อเท็จจริงนี้อย่างถูกต้อง ให้เราทำการวัดความยาวของเส้นโค้งแบบยุคลิดที่คล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น ในส่วนของเส้นตรง ข้อมูลการวัดโดยประมาณโดยประมาณจะตรงกันและกำหนดความยาวที่ต้องการ ในกรณีของวงกลม ค่าโดยประมาณของความยาวจะเพิ่มขึ้น แต่มีแนวโน้มค่อนข้างเร็วถึงขีดจำกัดบางอย่าง ส่วนโค้งที่สามารถกำหนดความยาวได้ด้วยวิธีนี้เรียกว่าแก้ไขได้

เป็นการดีกว่าที่จะลองวัดความยาวของแนวชายฝั่งบางส่วนที่มนุษย์อาศัยอยู่ เช่น ชายฝั่งใกล้เชลซีในรูปแบบปัจจุบัน เนื่องจากมีคนทิ้งรอยพับขนาดใหญ่มากของภูมิประเทศไว้โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงในขณะนี้ เราจะติดตั้งโซลูชันขนาดใหญ่มากบนเข็มทิศของเรา และเราจะค่อยๆ ลดขนาดลง ตามที่คาดไว้ ความยาวของแนวชายฝั่งจะเพิ่มขึ้นในกรณีนี้

อย่างไรก็ตาม มีคุณลักษณะหนึ่งที่น่าสนใจที่นี่: เมื่อลดลงไปอีก เราย่อมพบว่าตัวเองอยู่ในโซนกลางบางแห่ง ซึ่งความยาวแทบไม่เปลี่ยนแปลง โซนนี้ขยายจากประมาณ 20 ม. ถึง 20 ซม. (คร่าวๆ) เมื่อน้อยกว่า 20 ซม. ความยาวก็เริ่มเพิ่มขึ้นอีกครั้ง - ตอนนี้ผลการวัดได้รับอิทธิพลจากหินแต่ละก้อนแล้ว ดังนั้นหากเราสร้างกราฟของการเปลี่ยนแปลงในค่าเป็นฟังก์ชันของ ไม่ต้องสงสัยเลยว่าจะพบพื้นที่ราบที่ค่า e ในช่วง 20 ม. ถึง 20 ซม. - แบนที่คล้ายกัน กราฟที่คล้ายคลึงกันไม่ได้สังเกตพื้นที่สำหรับชายฝั่ง "ป่า" ตามธรรมชาติ

เห็นได้ชัดว่าการวัดในพื้นที่ราบนี้มีค่ามากในทางปฏิบัติ เนื่องจากขอบเขตระหว่างสาขาวิชาทางวิทยาศาสตร์ที่แตกต่างกันส่วนใหญ่เป็นผลมาจากข้อตกลงระหว่างนักวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับการแบ่งงาน เราจึงสามารถถ่ายโอนปรากฏการณ์ทั้งหมดที่มีมาตราส่วนเกิน 20 เมตร ซึ่งก็คือปรากฏการณ์ที่บุคคลยังไม่บรรลุถึง ภาควิชาภูมิศาสตร์ ข้อจำกัดดังกล่าวจะทำให้เรามีความยาวทางภูมิศาสตร์ที่ชัดเจน หน่วยยามฝั่งสามารถใช้ค่าเดียวกันเพื่อทำงานกับชายฝั่ง "ป่า" ได้สำเร็จ และสารานุกรมและปูมจะแจ้งให้ทุกคนทราบถึงความยาวที่เหมาะสม

ในทางกลับกัน เป็นเรื่องยากสำหรับฉันที่จะจินตนาการว่าหน่วยงานของรัฐที่เกี่ยวข้องทั้งหมด แม้แต่ในประเทศใดประเทศหนึ่ง จะตกลงกันเองในการใช้ความหมายเดียว และการยอมรับจากทุกประเทศในโลกนี้เป็นไปไม่ได้เลย จินตนาการ. Richardson ยกตัวอย่างนี้: สารานุกรมภาษาสเปนและโปรตุเกสให้ความยาวที่แตกต่างกันของพรมแดนทางบกระหว่างประเทศเหล่านี้ โดยมีความแตกต่างกัน 20% (เช่นเดียวกับกรณีที่มีพรมแดนระหว่างเบลเยียมและเนเธอร์แลนด์) ความคลาดเคลื่อนนี้ส่วนหนึ่งต้องเกิดจากตัวเลือกที่แตกต่างกัน หลักฐานเชิงประจักษ์ซึ่งเราจะพูดถึงในไม่ช้านี้ แสดงให้เห็นว่าสำหรับความแตกต่างที่จะเกิดขึ้น ก็เพียงพอแล้วที่ค่าหนึ่งจะแตกต่างจากค่าอื่นด้วยปัจจัยสองเท่านั้น นอกจากนี้ ไม่มีอะไรน่าแปลกใจที่ประเทศเล็ก ๆ (โปรตุเกส) วัดความยาวของพรมแดนอย่างระมัดระวังมากกว่าประเทศเพื่อนบ้านรายใหญ่

ข้อโต้แย้งที่สองและสำคัญกว่าในการต่อต้านความเด็ดขาดคือลักษณะทางปรัชญาและทางวิทยาศาสตร์ทั่วไป ธรรมชาติดำรงอยู่โดยอิสระจากมนุษย์ และใครก็ตามที่ให้ความสำคัญกับความหมายเฉพาะมากเกินไปหรือสันนิษฐานว่าการเชื่อมโยงที่กำหนดในกระบวนการทำความเข้าใจธรรมชาติคือมนุษย์ที่มีมาตรฐานที่ยอมรับกันโดยทั่วไปหรือวิธีการทางเทคนิคที่เปลี่ยนแปลงได้อย่างมาก หากแนวชายฝั่งกลายเป็นเป้าหมายของการศึกษาทางวิทยาศาสตร์ ไม่น่าเป็นไปได้ที่เราจะสามารถออกกฎหมายเกี่ยวกับความไม่แน่นอนที่สังเกตได้จากความยาวของแนวชายฝั่ง อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องความยาวทางภูมิศาสตร์ไม่ได้เป็นอันตรายอย่างที่เห็นในแวบแรก มันไม่ใช่ "วัตถุประสงค์" อย่างสมบูรณ์ เนื่องจากเมื่อกำหนดความยาวด้วยวิธีนี้ อิทธิพลของผู้สังเกตย่อมหลีกเลี่ยงไม่ได้

การรับรู้และความสำคัญของการสุ่มผลการวัด

ไม่ต้องสงสัยเลยว่า หลายคนมีความเห็นว่าแนวชายฝั่งเป็นเส้นโค้งที่ลดทอนไม่ได้ และฉันจำไม่ได้ว่าใครคิดอย่างอื่น อย่างไรก็ตาม การค้นหาหลักฐานเป็นลายลักษณ์อักษรเพื่อสนับสนุนความคิดเห็นนี้ล้มเหลวเกือบทั้งหมด นอกเหนือจากคำพูดจาก Perrin ที่ให้ไว้ในบทที่สองแล้วยังมีข้อสังเกตต่อไปนี้ในบทความโดย Steinhaus: “การวัดความยาวของฝั่งซ้ายของ Vistula ด้วยความแม่นยำที่เพิ่มขึ้นคุณสามารถรับค่าสิบ ใหญ่กว่าแผนที่โรงเรียนให้หลายร้อยและหลายพันเท่า .. ข้อความต่อไปนี้ดูเหมือนจะใกล้เคียงกับความเป็นจริงมาก: ส่วนโค้งส่วนใหญ่ที่พบในธรรมชาติไม่สามารถแก้ไขได้ ข้อความนี้ขัดแย้งกับความเชื่อที่นิยมว่าส่วนโค้งที่ไม่สามารถแก้ไขได้นั้นเป็นนิยายทางคณิตศาสตร์ และโดยธรรมชาติแล้ว ส่วนโค้งทั้งหมดสามารถแก้ไขได้ จากข้อความที่ขัดแย้งกันทั้งสองนี้ ข้อความแรกดูเหมือนจะถูกต้อง” อย่างไรก็ตาม ทั้ง Perrin และ Steinhaus ไม่เคยใส่ใจที่จะพัฒนาการคาดเดาในรายละเอียดเพิ่มเติมและนำพวกเขาไปสู่ข้อสรุปเชิงตรรกะ

K. Fadiman เล่าเรื่องที่น่าสนใจเรื่องหนึ่ง เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์ เพื่อนของเขาทำการทดลองนี้หลายครั้ง: เขา “ถามเด็กๆ ว่าพวกเขาคิดว่าความยาวทั้งหมดของชายฝั่งของสหรัฐอเมริกาเป็นอย่างไร หลังจากที่เด็กคนหนึ่งเดาได้ค่อนข้าง "สมเหตุสมผล" ... แคสเนอร์ ... แนะนำให้พวกเขาคิดว่าตัวเลขนี้จะเพิ่มขึ้นได้มากเพียงใดหากวัดปริมณฑลของแหลมและอ่าวทั้งหมดอย่างระมัดระวังจากนั้นจึงตรวจสอบอย่างระมัดระวัง แหลมและเวิ้งเล็ก ๆ ในแต่ละแหลมเหล่านี้และในแต่ละอ่าวเหล่านี้ จากนั้นวัดทุกก้อนกรวดและเม็ดทรายทุกเม็ดที่ประกอบเป็นแนวชายฝั่ง ทุกโมเลกุล ทุกอะตอม ฯลฯ ปรากฎว่าชายฝั่งอาจยาวได้ คุณชอบ เด็กเข้าใจสิ่งนี้ทันที แต่ Kasner มีปัญหากับผู้ใหญ่” แน่นอนว่าเรื่องราวนั้นดีมาก แต่ไม่น่าจะเกี่ยวข้องกับการค้นหาของฉัน แคสเนอร์ไม่ได้ตั้งเป้าหมายที่จะแยกแยะความเป็นจริงบางแง่มุมที่ควรค่าแก่การศึกษาเพิ่มเติม

ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าบทความและหนังสือที่คุณถืออยู่ในมือนั้นเป็นผลงานชิ้นแรกในหัวข้อนี้

ในหนังสือของเขา The Will to Believe 1 วิลเลียม เจมส์เขียนว่า: “สิ่งที่ไม่เข้ากับกรอบของการจำแนกประเภท ... มักจะเป็นแหล่งอุดมสมบูรณ์สำหรับการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ ในศาสตร์ใดๆ ก็ตาม กลุ่มเมฆแห่งข้อยกเว้นของกฎเกณฑ์มักจะวนเวียนอยู่รอบๆ ข้อเท็จจริงที่เป็นที่ยอมรับและเป็นระเบียบอยู่เสมอ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่ละเอียดอ่อน ไม่คงที่ ไม่ค่อยพบ เป็นปรากฏการณ์ที่เพิกเฉยได้ง่ายกว่าการพิจารณา วิทยาศาสตร์ใด ๆ มีแนวโน้มที่จะอยู่ในอุดมคติของระบบความจริงที่ปิดและเข้มงวด... ปรากฏการณ์ที่ไม่อยู่ภายใต้การจำแนกประเภทภายในกรอบของระบบถือเป็นเรื่องเหลวไหลที่ขัดแย้งและเห็นได้ชัดว่าไม่เป็นความจริง พวกเขาถูกละเลยและถูกปฏิเสธด้วยเหตุผลที่ดีที่สุดของมโนธรรมทางวิทยาศาสตร์... ผู้ที่ศึกษาปรากฏการณ์ที่ผิดปกติอย่างจริงจังจะสามารถสร้างวิทยาศาสตร์ใหม่บนพื้นฐานของวิทยาศาสตร์แบบเก่าได้ เมื่อสิ้นสุดกระบวนการนี้ ข้อยกเว้นของเมื่อวาน ส่วนใหญ่ จะกลายเป็นกฎเกณฑ์ของวิทยาศาสตร์ที่ได้รับการต่ออายุ

เรียงความปัจจุบัน ซึ่งมีจุดประสงค์เล็กน้อยคือเพื่อฟื้นฟูเรขาคณิตของธรรมชาติใหม่ทั้งหมด บรรยายปรากฏการณ์นอกชั้นเรียนจนสามารถพูดได้ก็ต่อเมื่อได้รับอนุญาตจากเซ็นเซอร์เท่านั้น คุณจะพบกับปรากฏการณ์แรกเหล่านี้ในหัวข้อถัดไป

ริชาร์ดสันเอฟเฟค

การศึกษาเชิงประจักษ์เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงความยาวโดยประมาณที่ได้รับโดยใช้วิธี A ได้อธิบายไว้ในบทความของ Richardson ซึ่งเป็นลิงก์ที่ดึงดูดสายตาฉันด้วยอุบัติเหตุที่มีความสุข (หรือถึงแก่ชีวิต) ฉันให้ความสนใจกับมันเพียงเพราะฉันเคยได้ยินเกี่ยวกับลูอิส ฟราย ริชาร์ดสันในฐานะนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่น ซึ่งความคิดริเริ่มนั้นคล้ายกับความผิดปกติ (ดูบทที่ 40) ดังที่เราจะเห็นในบทที่ 10 มนุษยชาติเป็นหนี้เขาในความคิดที่ลึกซึ้งและยั่งยืนที่สุดเกี่ยวกับธรรมชาติของความวุ่นวาย—สิ่งหนึ่งที่สมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษคือความปั่นป่วนนั้นเกี่ยวข้องกับน้ำตกที่คล้ายคลึงกันในตัวเอง เขายังจัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนอื่นๆ เช่น ธรรมชาติของความขัดแย้งทางอาวุธระหว่างรัฐต่างๆ การทดลองของเขาเป็นแบบอย่างของความเรียบง่ายแบบคลาสสิก แต่เขาไม่ลังเลที่จะใช้แนวคิดที่ละเอียดกว่านี้หากมีความจำเป็น

แสดงในรูป กราฟ 57 ภาพที่ค้นพบหลังจากริชาร์ดสันเสียชีวิตในเอกสารของเขา ได้รับการตีพิมพ์ในหนังสือรุ่น General Systems Yearbook (และไม่เหมาะกับสิ่งพิมพ์ดังกล่าวโดยสิ้นเชิง) เมื่อพิจารณาจากกราฟเหล่านี้แล้ว เราก็ได้ข้อสรุปว่ามีค่าคงที่สองค่า (เรียกว่า และ ) - เพื่อที่จะกำหนดความยาวของแนวชายฝั่งโดยการสร้างเส้นหักใกล้ๆ กัน จำเป็นต้องใช้ช่วงความยาวโดยประมาณ และเขียนสูตรดังนี้

ค่าของตัวบ่งชี้ขึ้นอยู่กับลักษณะของแนวชายฝั่งที่กำลังวัด และส่วนต่าง ๆ ของเส้นนี้ พิจารณาแยกกัน สามารถให้แตกต่างกัน . สำหรับริชาร์ดสัน ค่านี้เป็นเพียงตัวชี้วัดที่สะดวกและไม่มีความหมายพิเศษใดๆ อย่างไรก็ตาม ปรากฏว่าค่าของตัวบ่งชี้นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการที่เลือกไว้สำหรับการประมาณความยาวของแนวชายฝั่ง ดังนั้น เขาสมควรได้รับความสนใจมากที่สุด

มิติเศษส่วนของชายฝั่ง

หลังจากศึกษางานของริชาร์ดสันแล้ว ฉันแนะนำว่าถึงแม้เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่ก็สามารถเข้าใจได้และควรเข้าใจเป็นมิติ - ให้แม่นยำยิ่งขึ้นว่าเป็นมิติเศษส่วน แน่นอน ฉันทราบดีอยู่แล้วว่าวิธีการวัดทั้งหมดข้างต้นนั้นใช้คำจำกัดความทั่วไปของมิติที่ไม่ได้มาตรฐาน ซึ่งใช้อยู่แล้วในคณิตศาสตร์ล้วนๆ คำจำกัดความของความยาวตามความครอบคลุมของแนวชายฝั่งโดยจุดรัศมีจำนวนน้อยที่สุด ถูกนำมาใช้ในการกำหนดมิติของความครอบคลุม คำจำกัดความของความยาวตามความครอบคลุมของแนวชายฝั่งด้วยริบบิ้นความกว้าง รวบรวมแนวคิดของ Kantor และ Minkowski (ดูรูปที่ 56) และเราเป็นหนี้มิติที่สอดคล้องกับ Bouligan อย่างไรก็ตาม ทั้งสองตัวอย่างนี้เป็นเพียงการบอกใบ้ถึงการมีอยู่ของมิติต่างๆ มากมาย (ซึ่งส่วนใหญ่เป็นที่รู้จักสำหรับผู้เชี่ยวชาญเพียงไม่กี่คนเท่านั้น) ที่ส่องแสงในสาขาคณิตศาสตร์เฉพาะทางที่หลากหลาย มิติข้อมูลบางส่วนเหล่านี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในบทที่ 39

เหตุใดนักคณิตศาสตร์จึงต้องแนะนำมิติต่างๆ มากมายนี้ ในบางกรณีพวกเขาใช้ค่านิยมที่แตกต่างกัน โชคดีที่คุณจะไม่พบกรณีดังกล่าวในบทความนี้ ดังนั้นรายการมิติทางเลือกที่เป็นไปได้สามารถลดลงเหลือสองรายการได้ด้วยจิตสำนึกที่ชัดเจน ซึ่งผมยังไม่ได้กล่าวถึง มิติข้อมูลที่เก่าแก่ที่สุดและศึกษามากที่สุดจากรายการของเรามีอายุย้อนไปถึง Hausdorff และทำหน้าที่กำหนดมิติเศษส่วน - เราจะจัดการกับมันในไม่ช้า มิติที่สอง ง่ายกว่า และเรียกว่ามิติความคล้ายคลึงกัน: มันไม่กว้างเท่ามิติแรก แต่มันกลับกลายเป็นว่าเพียงพอในหลาย ๆ กรณี - เราจะพิจารณาในบทต่อไป

แน่นอน ฉันจะไม่ให้ข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่นี่ว่าเลขชี้กำลังริชาร์ดสันเป็นมิติ พูดตามตรง ฉันไม่เห็นว่าการพิสูจน์ดังกล่าวสามารถทำได้ภายใต้กรอบของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติใดๆ ฉันแค่ต้องการดึงความสนใจของผู้อ่านให้สนใจความจริงที่ว่าแนวคิดเรื่องความยาวก่อให้เกิดปัญหาเชิงแนวคิดสำหรับเรา และตัวบ่งชี้ให้วิธีแก้ปัญหาที่สะดวกและสวยงาม ตอนนี้มิติเศษส่วนได้เข้ามาแทนที่ในการศึกษาแนวชายฝั่งแล้ว เราไม่น่าจะต้องการกลับไปสู่ยุคที่เราเชื่ออย่างไร้ความคิดและไร้เดียงสา ไม่ว่าด้วยเหตุผลใด ตอนนี้ผู้ที่ยังเชื่อจะต้องพยายามพิสูจน์กรณีของเขา

ขั้นตอนต่อไป - อธิบายรูปร่างของแนวชายฝั่งและได้ความหมายจากการพิจารณาพื้นฐานอื่น ๆ - ฉันเสนอให้เลื่อนไปบทที่ 28 ณ จุดนี้ พอเพียงที่จะบอกว่าในการประมาณครั้งแรก ค่านี้มีขนาดใหญ่เกินไปที่จะอธิบายข้อเท็จจริงได้อย่างถูกต้อง แต่ก็มากเกินพอที่เราจะกล่าวว่าเราสามารถ ควรจะ และเชื่อโดยธรรมชาติว่ามิติของแนวชายฝั่งนั้นเกินค่าปกติของยุคลิดสำหรับเส้นโค้ง

Fractal HAUSDORF DIMENSION

หากเรายอมรับว่าแนวชายฝั่งธรรมชาติต่างๆ มีความยาวไม่สิ้นสุด และค่าความยาวตามค่ามานุษยวิทยา ให้แนวคิดเพียงบางส่วนเกี่ยวกับสถานการณ์จริง แล้วจะเปรียบเทียบชายฝั่งที่แตกต่างกันได้อย่างไร เนื่องจากอินฟินิตี้ไม่ต่างจากอินฟินิตี้คูณสี่ มีประโยชน์มากแค่ไหนที่เราจะบอกว่าความยาวของชายฝั่งใด ๆ ที่มีความยาวสี่เท่าของไตรมาสใด ๆ ของมัน? จำเป็นต้องมีวิธีที่ดีกว่าในการแสดงแนวคิดที่สมเหตุสมผลอย่างสมบูรณ์ว่าเส้นโค้งต้องมี "การวัด" บางส่วน และการวัดสำหรับเส้นโค้งทั้งหมดต้องมากกว่าการวัดเดียวกันสำหรับไตรมาสใดๆ ของเส้นโค้งสี่เท่า

เฟลิกซ์ เฮาส์ดอร์ฟฟ์เสนอวิธีการที่แยบยลอย่างมากในการบรรลุเป้าหมายนี้ วิธีการของเขาขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าการวัดเชิงเส้นของรูปหลายเหลี่ยมคำนวณโดยการเพิ่มความยาวของด้านที่ไม่มีการแปลงใดๆ สามารถสันนิษฐานได้ว่าความยาวด้านเหล่านี้ยกกำลังเท่ากับมิติของเส้น Euclidean (เหตุผลสำหรับสมมติฐานนี้จะชัดเจนในไม่ช้า) ในทำนองเดียวกัน การคำนวณขนาดพื้นผิวของพื้นที่ด้านในของรูปหลายเหลี่ยมแบบปิด - โดยการคลุมด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส หาผลรวมของความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหล่านี้แล้วยกกำลัง (มิติแบบยุคลิดของระนาบ) . หากเราใช้ระดับ "ผิด" ในการคำนวณ ผลลัพธ์ของการคำนวณเหล่านี้จะไม่ให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์แก่เรา: พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ปิดใด ๆ จะเท่ากับศูนย์และความยาวของพื้นที่ภายในจะไม่มีที่สิ้นสุด .

ให้เราพิจารณาจากตำแหน่งดังกล่าว การประมาณแนวชายฝั่งหลายเหลี่ยม (เป็นเส้นตรงเป็นชิ้นๆ) ซึ่งประกอบด้วยช่วงความยาวเล็ก ๆ การเพิ่มความยาวของช่วงเป็นกำลังและคูณด้วยจำนวนช่วง เราจะได้ค่าหนึ่ง ซึ่งอาจเรียกได้ว่าเป็น "ขอบเขตโดยประมาณในมิติ" โดยประมาณ เนื่องจากตามที่ Richardson จำนวนด้านเท่ากัน ดังนั้นขอบเขตโดยประมาณของเราจึงใช้ค่า .. นั่นคือความยาวโดยประมาณของแนวชายฝั่งแสดงพฤติกรรมที่เหมาะสมก็ต่อเมื่อ

มิติเศษส่วนของเส้นโค้งสามารถมากกว่าหนึ่ง; เส้นโค้งเศษส่วน

ตามความตั้งใจของผู้สร้าง มิติ Hausdorff ยังคงหน้าที่ของมิติปกติและทำหน้าที่เป็นเลขชี้กำลังในคำจำกัดความของการวัด

อย่างไรก็ตาม ในทางกลับกัน มิติข้อมูลนั้นผิดปกติอย่างยิ่ง - มันแสดงเป็นตัวเลขเศษส่วน! ยิ่งไปกว่านั้น มันยิ่งใหญ่กว่าความสามัคคี ซึ่งเป็นมิติ "ธรรมชาติ" สำหรับเส้นโค้ง (สามารถพิสูจน์ได้อย่างจริงจังว่ามิติทอพอโลยีของพวกมันก็เท่ากับเอกภาพเช่นกัน)

ฉันเสนอให้เรียกเส้นโค้งที่มีมิติเศษส่วนมากกว่าเส้นโค้งเศษส่วนมิติทอพอโลยี 1 และในการสรุปโดยย่อของบทนี้ ฉันสามารถเสนอข้อความต่อไปนี้: ในระดับภูมิศาสตร์ แนวชายฝั่งสามารถสร้างแบบจำลองได้โดยใช้เส้นโค้งเศษส่วน แนวชายฝั่งเป็นเศษส่วนในโครงสร้าง

ข้าว. 55. มังกี้ทรี

ในขั้นตอนนี้ ภาพวาดเล็กๆ น้อยๆ นี้ควรถูกมองว่าเป็นองค์ประกอบในการตกแต่ง เพียงแต่เติมพื้นที่ว่าง

อย่างไรก็ตาม หลังจากอ่านบทที่ 14 แล้ว ผู้อ่านจะพบเบาะแสในการไขปริศนา "สถาปัตยกรรม" ในรูปที่ 210. เครื่องกำเนิดต่อไปนี้ให้เบาะแสที่จริงจังกว่านี้:

หากนักคณิตศาสตร์ต้อง "เชื่อง" เส้นโค้งที่ผิดปกติเป็นพิเศษ เขาสามารถใช้ขั้นตอนมาตรฐานต่อไปนี้: เลือกค่าของ และวาดวงกลมรัศมีรอบแต่ละจุดของเส้นโค้ง ขั้นตอนนี้ย้อนหลังไปถึงอย่างน้อยกับ Hermann Minkowski และแม้แต่กับ Georg Cantor เองก็ค่อนข้างหยาบ แต่มีประสิทธิภาพมาก (สำหรับคำว่าไส้กรอก ที่มาของมันตามข่าวลือที่ไม่ได้รับการยืนยัน มีส่วนเกี่ยวข้องกับการใช้ขั้นตอนนี้ของ Norbert Wiener กับเส้นโค้งบราวเนียน)

ในภาพประกอบที่วางไว้นี้ การปรับให้เรียบที่อธิบายข้างต้นไม่ได้นำไปใช้กับธนาคารจริง แต่ใช้กับเส้นโค้งเชิงทฤษฎีหนึ่งเส้น ซึ่งเราจะสร้างในภายหลังเล็กน้อย (ดูรูปที่ 79) โดยการเพิ่มรายละเอียดปลีกย่อยและปลีกย่อยอย่างต่อเนื่อง การเปรียบเทียบชิ้นไส้กรอกทางด้านขวากับปลายด้านขวาของไส้กรอกที่วางอยู่ด้านบน เราจะเห็นว่าระยะวิกฤตในการก่อสร้างส่วนโค้งเกิดขึ้นเมื่อส่วนโค้งเริ่มรวมรายละเอียดที่เล็กกว่า ในระยะหลังไส้กรอกจะไม่เปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญ

ข้าว. 57. ข้อมูลเชิงประจักษ์ของริชาร์ดสันเกี่ยวกับอัตราการเติบโตของความยาวชายฝั่ง

รูปนี้แสดงผลการทดลองของการวัดความยาวของเส้นโค้ง ที่สร้างขึ้นบนเส้นโค้งต่างๆ โดยใช้รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าโดยลดความยาวด้านลง ตามที่คาดไว้ ในกรณีของวงกลม การวัดด้วยความแม่นยำที่เพิ่มขึ้นจะให้ค่าที่เสถียรอย่างรวดเร็วรอบ ๆ ค่าที่กำหนดไว้อย่างดี

ในกรณีของแนวชายฝั่ง ความยาวโดยประมาณจะไม่คงที่เลย เมื่อความยาวก้าวย่างเข้าใกล้ศูนย์ ค่าความยาวโดยประมาณที่พล็อตในระบบพิกัดลอการิทึมสองเท่า จะสร้างเส้นตรงที่มีความชันเป็นลบ เช่นเดียวกันกับพรมแดนทางบกระหว่างประเทศ การอ้างอิงของ Richardson ในสารานุกรมต่าง ๆ เผยให้เห็นความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญในคำจำกัดความของความยาวของพรมแดนร่วมกันโดยนักทำแผนที่ของประเทศนั้น ๆ ตัวอย่างเช่น ความยาวของพรมแดนระหว่างสเปนและโปรตุเกสคือ 987 กม. จากมุมมองของชาวสเปน และ 1214 กม. จากมุมมองของชาวโปรตุเกส พรมแดนระหว่างเนเธอร์แลนด์และเบลเยียม (380 ถึง 449 กม.) ก็ได้รับผลกระทบเช่นเดียวกัน เนื่องจากความชันของเส้นที่สอดคล้องกันคือ -0.25 ความแตกต่าง 20 เปอร์เซ็นต์ระหว่างผลลัพธ์ของการวัดหมายถึงความแตกต่างสองเท่าระหว่างค่าที่ยอมรับสำหรับการวัดเหล่านี้ ซึ่งไม่ใช่สมมติฐานที่ไม่น่าจะเป็นไปได้

ริชาร์ดสันไม่ได้ให้การตีความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับความชันต่างๆ ของแนวความคิดของเขา เราตั้งใจที่จะตีความแนวชายฝั่งเป็นค่าประมาณของเส้นโค้งเศษส่วนและพิจารณาความชันของเส้นที่สอดคล้องกับแนวชายฝั่งว่าเป็นค่าประมาณของความแตกต่าง ซึ่งมิติเศษส่วนอยู่ที่ไหน

เศษส่วนเรียกว่าวัตถุทางเรขาคณิต: เส้นพื้นผิววัตถุเชิงพื้นที่ที่มีรูปร่างเยื้องอย่างรุนแรงและมีคุณสมบัติคล้ายคลึงกัน คำว่า fractal มาจากคำว่า fractus และแปลว่าเศษส่วนหัก ความคล้ายคลึงในตนเองซึ่งเป็นคุณลักษณะหลักหมายความว่ามันถูกจัดเรียงอย่างเท่าเทียมกันมากกว่าหรือน้อยกว่าในเครื่องชั่งที่หลากหลาย ดังนั้นเมื่อซูมเข้าไป เศษเล็กเศษน้อยของแฟร็กทัลกลับกลายเป็นว่าคล้ายกับชิ้นใหญ่มาก ในกรณีในอุดมคติ ความคล้ายคลึงในตนเองดังกล่าวนำไปสู่ความจริงที่ว่าวัตถุเศษส่วนกลายเป็นค่าคงที่ภายใต้การขยาย กล่าวคือ ว่ากันว่ามีความสมมาตรแบบขยาย จะถือว่าค่าคงที่ของคุณสมบัติทางเรขาคณิตหลักของเศษส่วนเมื่อมาตราส่วนเปลี่ยนแปลง

แน่นอนว่าสำหรับแฟร็กทัลตามธรรมชาติที่แท้จริงนั้นจะมีสเกลความยาวขั้นต่ำที่แน่นอน ซึ่งคุณสมบัติหลัก - ความคล้ายคลึงในตัวเองจะหายไปในระยะทางไกล นอกจากนี้ บนมาตราส่วนความยาวที่ใหญ่เพียงพอ ซึ่งเป็นขนาดเรขาคณิตที่มีลักษณะเฉพาะของวัตถุ คุณสมบัติความคล้ายคลึงในตัวเองนี้ก็ถูกละเมิดด้วยเช่นกัน ดังนั้นคุณสมบัติของแฟร็กทัลธรรมชาติจึงพิจารณาในระดับเท่านั้น ล,เป็นไปตามอัตราส่วน . ข้อ จำกัด ดังกล่าวค่อนข้างเป็นธรรมชาติเพราะเมื่อเรายกตัวอย่างเศษส่วน - วิถีโคจรที่หักและไม่เรียบของอนุภาคบราวเนียนเราเข้าใจว่าภาพนั้นเป็นอุดมคติที่ชัดเจน ประเด็นคือความจำกัดของเวลาที่ชนกระทบกับเครื่องชั่งขนาดเล็ก เมื่อพิจารณาถึงสถานการณ์เหล่านี้ วิถีของอนุภาคบราวเนียนจะกลายเป็นเส้นโค้งเรียบ

โปรดทราบว่าคุณสมบัติความคล้ายคลึงในตัวเองเป็นลักษณะเฉพาะของเศษส่วนปกติเท่านั้น หากแทนที่จะเป็นวิธีการก่อสร้างที่กำหนดขึ้นได้ องค์ประกอบบางอย่างของการสุ่มรวมอยู่ในอัลกอริธึมสำหรับการสร้างองค์ประกอบเหล่านั้น (เช่น ที่เกิดขึ้นในหลายกระบวนการของการแพร่กระจายของกระจุกตัว การสลายทางไฟฟ้า ฯลฯ) ก็จะเรียกว่าแฟร็กทัลสุ่ม เกิดขึ้น ความแตกต่างหลักของพวกเขาจากคุณสมบัติปกติคือคุณสมบัติความคล้ายคลึงในตนเองนั้นใช้ได้ก็ต่อเมื่อการเฉลี่ยที่เหมาะสมเหนือการรับรู้วัตถุอิสระทางสถิติทั้งหมดเท่านั้น ในเวลาเดียวกัน ส่วนที่ขยายใหญ่ขึ้นของเศษส่วนนั้นไม่เหมือนกับชิ้นส่วนดั้งเดิมทุกประการ แต่ลักษณะทางสถิติของพวกมันเหมือนกัน แต่แฟร็กทัลที่เรากำลังศึกษาอยู่นั้นเป็นหนึ่งในแฟร็กทัลแบบคลาสสิก ดังนั้นจึงเป็นแฟร็กทัลปกติ

ความยาวแนวชายฝั่ง

ในขั้นต้น แนวความคิดของเศษส่วนเกิดขึ้นในฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาในการค้นหาแนวชายฝั่ง เมื่อวัดโดยใช้แผนที่ที่มีอยู่ของพื้นที่นั้น รายละเอียดที่น่าสงสัยก็ถูกเปิดเผย ยิ่งใช้แผนที่ขนาดใหญ่เท่าใด ชายฝั่งก็จะยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น

รูปที่ 1 - แผนที่แนวชายฝั่ง

ตัวอย่างเช่น ระยะทางเป็นเส้นตรงระหว่างจุดที่อยู่บนชายฝั่งทะเล อาและ บีเท่ากับ R(ดูรูปที่ 1). จากนั้น เพื่อวัดความยาวของแนวชายฝั่งระหว่างจุดเหล่านี้ เราจะวางแท่งไม้ที่เชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนาตามแนวชายฝั่งเพื่อให้ระยะห่างระหว่างแท่งไม้ที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น l=10km. ความยาวของแนวชายฝั่งเป็นกิโลเมตรระหว่างจุด อาและ บีจากนั้นเราจะเอาจำนวนพินลบหนึ่งคูณด้วยสิบ เราจะทำการวัดความยาวต่อไปในลักษณะเดียวกัน แต่เราจะทำให้ระยะห่างระหว่างเสาข้างเคียงเท่ากับ l=1km.

ปรากฎว่าผลลัพธ์ของการวัดเหล่านี้จะแตกต่างกัน เมื่อซูมออก lเราจะได้ค่าความยาวทั้งหมด ตรงกันข้ามกับเส้นโค้งเรียบ แนวชายฝั่งทะเลมักจะเยื้อง (ลงไปที่ระดับที่เล็กที่สุด) ที่มีการเชื่อมโยงลดลง lขนาด หลี่- ความยาวของแนวชายฝั่ง - ไม่ค่อยมีขอบเขตจำกัด แต่เพิ่มขึ้นตามกฎหมายค่อยเป็นค่อยไป

ที่ไหน ดี- เลขชี้กำลังบางส่วนซึ่งเรียกว่ามิติเศษส่วนของแนวชายฝั่ง ยิ่งค่า ดียิ่งแนวชายฝั่งนี้ขรุขระเท่าไร ที่มาของการพึ่งพาอาศัยกัน (1) เป็นไปโดยสัญชาตญาณ: ยิ่งเราใช้มาตราส่วนน้อยเท่าใด รายละเอียดที่เล็กกว่าของชายฝั่งจะถูกนำมาพิจารณาและจะนำไปสู่ความยาวที่วัดได้ ในทางตรงกันข้าม โดยการเพิ่มมาตราส่วน เรายืดชายฝั่ง ลดความยาว หลี่.

จึงเป็นที่ชัดเจนว่า เพื่อที่จะกำหนดความยาวของแนวชายฝั่ง หลี่ด้วยสเกลแข็ง l(เช่น การใช้เข็มทิศแบบตายตัว) คุณต้องทำ N=ลิตร/ลิตรขั้นตอนและความคุ้มค่า หลี่การเปลี่ยนแปลงค lดังนั้น นู๋ขึ้นอยู่กับ lในกฎหมาย เป็นผลให้เมื่อขนาดลดลงความยาวของแนวชายฝั่งจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด สถานการณ์นี้ทำให้เส้นโค้งแฟร็กทัลแตกต่างจากเส้นโค้งเรียบธรรมดา (เช่น วงกลม วงรี) อย่างชัดเจน ซึ่งจำกัดความยาวของเส้นหักโดยประมาณ หลี่เนื่องจากความยาวของลิงค์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ lจำกัด เป็นผลให้สำหรับเส้นโค้งที่ราบรื่นมิติของเศษส่วน D=1, เช่น. ตรงกับทอพอโลยี

ให้เรานำเสนอค่าของมิติเศษส่วน ดีสำหรับแนวชายฝั่งที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับเกาะอังกฤษ ด? 13และสำหรับนอร์เวย์ ด? สิบห้า. มิติเศษส่วนชายฝั่งของออสเตรเลีย D ? 1. 1. ขนาดเศษส่วนของชายฝั่งอื่น ๆ ก็ใกล้เคียงกับความสามัคคี

ด้านบน มีการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับมิติเศษส่วนของแนวชายฝั่ง ให้เราให้คำจำกัดความทั่วไปของปริมาณนี้ อนุญาต d- มิติปกติแบบยุคลิดของพื้นที่ซึ่งวัตถุเศษส่วนของเราตั้งอยู่ ( d=1- ไลน์, d=2- เครื่องบิน, d=3- พื้นที่สามมิติธรรมดา) ทีนี้มาปิดบังวัตถุนี้กันให้หมด d-มิติ "ลูก" ของรัศมี l. สมมติว่าเราต้องการอย่างน้อย ไม่มี(ล.)ลูก. แล้วถ้าสำหรับขนาดเล็กเพียงพอ lขนาด ไม่มี(ล) แตกต่างกันไปตามกฎหมายพลังงาน:

แล้ว ดี- เรียกว่า Hausdorff หรือมิติเศษส่วนของวัตถุนี้

เมื่อเรียนภูมิศาสตร์แน่นอนว่าคุณต้องจำไว้ว่าแต่ละประเทศมีพื้นที่อาณาเขตและความยาวของชายแดนโดยเฉพาะถ้าประเทศใดถูกล้างด้วยทะเลหรือมหาสมุทร ชายแดนทะเลที่มีความยาวที่แน่นอน คุณเคยสงสัยหรือไม่ว่าความยาวของเส้นขอบนี้ถูกกำหนดอย่างไร? ในปี 1977 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Benoit Mandelbrot ได้ถามตัวเองว่า: แนวชายฝั่งของบริเตนใหญ่ยาวเท่าไร? ปรากฎว่าไม่สามารถตอบคำถามเด็ก ๆ นี้ได้อย่างถูกต้อง ในปี 1988 นักวิทยาศาสตร์ชาวนอร์เวย์ Jens Feder ได้ตัดสินใจค้นหาว่าแนวชายฝั่งของนอร์เวย์มีความยาวเท่าใด โปรดทราบว่าชายฝั่งของนอร์เวย์มีรอยเว้าแหว่งอย่างหนักโดย fiords นักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ได้ถามคำถามที่คล้ายกันเกี่ยวกับแนวชายฝั่งของออสเตรเลีย แอฟริกาใต้ เยอรมนี โปรตุเกส และประเทศอื่นๆ

เราสามารถวัดความยาวของแนวชายฝั่งได้โดยประมาณเท่านั้น เมื่อเราซูมออก เราต้องวัดแหลมและอ่าวเล็กๆ มากขึ้นเรื่อยๆ - ความยาวของแนวชายฝั่งเพิ่มขึ้น และไม่มีข้อจำกัดวัตถุประสงค์เพียงอย่างเดียวในการซูมออก (และทำให้ความยาวของชายฝั่งเพิ่มขึ้น) เราถูกบังคับให้ยอมรับว่าเส้นนี้มีความยาวไม่สิ้นสุด เรารู้ว่ามิติของเส้นตรงคือหนึ่ง มิติของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสอง และมิติของลูกบาศก์คือสาม Mandelbrot เสนอให้ใช้มิติเศษส่วนในการวัดเส้นโค้ง "มหึมา" - ขนาดของ Hausdorff - Besicovich เส้นโค้งที่ขรุขระอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเหมือนแนวชายฝั่งไม่ได้เป็นเส้นตรงทีเดียว ดูเหมือนว่าพวกมันจะ "กวาด" ส่วนหนึ่งของเครื่องบินเหมือนพื้นผิว แต่พวกมันไม่ใช่พื้นผิว ซึ่งหมายความว่ามีเหตุผลที่จะสมมติว่ามิติของพวกมันมากกว่าหนึ่ง แต่ยังน้อยกว่าสองนั่นคือมันเป็นวัตถุมิติเศษส่วน

นักวิทยาศาสตร์ชาวนอร์เวย์ E. Feder เสนอวิธีอื่นในการวัดความยาวของแนวชายฝั่ง แผนที่ถูกปกคลุมด้วยตารางสี่เหลี่ยม เซลล์ที่มีขนาด e? e. จะเห็นได้ว่าจำนวน N(e) ของเซลล์ดังกล่าวที่ครอบคลุมแนวชายฝั่งบนแผนที่นั้นมีค่าเท่ากับจำนวนขั้นโดยประมาณที่คุณสามารถเดินไปรอบๆ ชายฝั่งบนแผนที่ด้วยเข็มทิศพร้อมคำตอบ e. ถ้า e ลดลง จำนวน N(e) จะเพิ่มขึ้น หากความยาวของแนวชายฝั่งของบริเตนใหญ่มีความยาวเป็น L จำนวนขั้นของเข็มทิศพร้อมคำตอบ (หรือจำนวนช่องสี่เหลี่ยม N(e) ที่ครอบคลุมแนวชายฝั่งบนแผนที่) จะเป็นสัดส่วนผกผันกับ e และค่า Ln (e)=N(e) ? e มีแนวโน้มว่าค่าคงที่ L เมื่อ k ลดลง น่าเสียดายที่การคำนวณโดยนักวิทยาศาสตร์หลายคนแสดงให้เห็นว่าไม่เป็นความจริงทั้งหมด เมื่อระยะพิทช์ลดลง ความยาวที่วัดได้จะเพิ่มขึ้น ปรากฎว่าความสัมพันธ์ระหว่างความยาวที่วัดได้ L(e) และระยะพิทช์ e สามารถอธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์โดยประมาณ

ค่าสัมประสิทธิ์ D เรียกว่ามิติเศษส่วน คำว่า fractal มาจากคำภาษาละติน fractal - เศษส่วน ไม่ใช่จำนวนเต็ม ชุดจะเรียกว่าเศษส่วนถ้ามันมีมิติที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม สำหรับนอร์เวย์ D=1.52 และสำหรับสหราชอาณาจักร D=1.3 ดังนั้นแนวชายฝั่งของนอร์เวย์และบริเตนใหญ่จึงเป็นเศษส่วนที่มีมิติเศษส่วน D นอกจากนี้ยังมีการคำนวณสำหรับวงกลมด้วย และมิติเศษส่วนของวงกลมคือ D=1 ซึ่งเป็นไปตามที่คาดไว้ ดังนั้นมิติเศษส่วนจึงเป็นลักษณะทั่วไปของมิติปกติ

สิ่งนี้จะเข้าใจได้อย่างไรและมันหมายความว่าอย่างไร นักคณิตศาสตร์เริ่มจำได้ว่าก่อนหน้านี้มีอะไรที่คล้ายคลึงกันในวิชาคณิตศาสตร์หรือไม่? และพวกเขาจำได้! พิจารณาส่วนหนึ่งของเส้น AB บนเครื่องบิน (รูปที่ 3) ให้เราหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขอบ e แล้วถามตัวเองว่า: ต้องใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัส N(e) ที่มีขอบด้านยาว e จำนวนเท่าใดจึงจะครอบคลุมเส้น AB ด้วยกำลังสองดังกล่าว จะเห็นได้ว่า N(e) เป็นสัดส่วนกับ

ในทำนองเดียวกัน หากพื้นที่ปิดบนระนาบ (รูปที่ 4) ถูกปกคลุมด้วยตารางสี่เหลี่ยมที่มีด้าน e จำนวนขั้นต่ำของสี่เหลี่ยมที่มีด้าน e ครอบคลุมพื้นที่จะเท่ากับ

หากเราพิจารณาพื้นที่ปิดในปริภูมิสามมิติแล้วนำลูกบาศก์ที่มีขอบ e มา จำนวนลูกบาศก์ที่เติมพื้นที่นี้คือ

เรากำหนดมิติเศษส่วนตามข้างต้นในกรณีทั่วไปดังนี้:

หาลอการิทึมของด้านซ้ายและขวา

ผ่านไปยังลิมิตเมื่อ e มีแนวโน้มเป็นศูนย์ (N มีแนวโน้มเป็นอนันต์) เราจะได้

ความเท่าเทียมกันนี้เป็นคำจำกัดความของมิติซึ่งแสดงด้วย d