การแปลงเชิงปริพันธ์ บทที่ xxxiii

วิธีการปฏิบัติงาน.

สำหรับปัญหาการนำความร้อนหลายๆ อย่าง การใช้วิธีดั้งเดิมกลายเป็นว่าไม่มีประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่น การใช้วิธีการแยกตัวแปรสำหรับปัญหาเกี่ยวกับแหล่งความร้อนภายใน

กฎพื้นฐานและทฤษฎีบทของแคลคูลัสปฏิบัติการได้มาจาก M. Vishchenko-Zakharchenko และ Hevisvide มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิศวกรรมไฟฟ้าด้วยผลงานของ Heaviside

วิธีการดำเนินการแบบ Heaviswide นั้นเทียบเท่ากับวิธีการแปลงแบบอินทิกรัลของ Laplace

วิธีการแปลง Laplace ประกอบด้วยความจริงที่ว่าไม่ใช่ฟังก์ชัน (ดั้งเดิม) ที่ศึกษา แต่เป็นการดัดแปลง (รูปภาพ)

การแปลงอินทิกรัลของฟังก์ชัน
ถูกกำหนดโดยสูตร

(40)

ในที่นี้ S สามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ แต่ส่วนของสิ่งที่มากกว่า 0

- ต้นฉบับ;
- ภาพฟังก์ชั่น เพื่อให้ภาพมีอยู่ อินทิกรัล (51) จะต้องมาบรรจบกัน

หากปัญหาในรูปภาพได้รับการแก้ไข ต้นฉบับจะถูกกำหนดจากรูปภาพ (การแปลงตัวอย่าง) โดยใช้สูตรการผกผัน

(41)

แทนที่จะใช้สูตร (52) หากต้องการกำหนดฟังก์ชันดั้งเดิมจากรูปภาพ คุณสามารถใช้สูตรผกผันต่อไปนี้

(41.ก)

สูตรนี้ทำให้สามารถรับฟังก์ชันดั้งเดิมได้ด้วยความช่วยเหลือของการดำเนินการสร้างความแตกต่างและผ่านไปยังขีด จำกัด เท่านั้น

ถ้ารูปเป็นลักษณะ

(42)

ซึ่งเป็นกรณีบางส่วนของฟังก์ชันอดิศัยทั้ง 2 ฟังก์ชัน จากนั้นตามทฤษฎีบทการสลายตัวที่เรามี

(43)

ที่ไหน - รากที่เรียบง่ายฟังก์ชั่น
; ตัวส่วนไม่มีเงื่อนไขฟรีและ

2. หากเป็นภาพ
คืออัตราส่วนของสองส่วน (ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ) และระดับของส่วน
น้อยกว่ามูลค่าที่ตราไว้
และนิกาย
มีรากของ K หลายหลากที่จุด , ที่

ที่ซึ่งผลรวมถูกนำไปเหนือรากทั้งหมด
. หากรูตทั้งหมดเป็นแบบง่าย เช่น K ทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จากนั้นสูตร (5) ไปหาร (43)

การแปลง Laplace แบบอินทิกรัลมีข้อเสีย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อแก้ปัญหาโดยกำหนดเงื่อนไขเป็นฟังก์ชันของพิกัดเชิงพื้นที่ หรือเมื่อแก้ปัญหาหลายมิติ

ในเรื่องนี้มีการเสนอวิธีการจำนวนหนึ่งสำหรับการแปลงอินทิกรัลในพิกัดเชิงพื้นที่ตามรูปทรงเรขาคณิตของร่างกาย

ถ้าแปลงตามพิกัดเชิงพื้นที่ x แล้วการแปลงอินทิกรัลของฟังก์ชัน
สามารถแสดงได้ดังนี้:

(44)

หากใช้เคอร์เนลการแปลง K(p,x) ในรูปแบบ
หรือ
การแปลงอินทิกรัลนี้เรียกว่าการแปลงฟูเรียร์ไซน์หรือโคไซน์ ตามลำดับ

หากเลือกฟังก์ชัน Bessel เป็นเคอร์เนลการแปลง
จากนั้นเรียกว่าการแปลง Hankel

การแปลงฟูริเยร์ที่ซับซ้อนนั้นสะดวกที่จะใช้กับเนื้อหาที่มีความยาวไม่จำกัด ควรใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไซน์เมื่อมีการกำหนดค่าบนพื้นผิวของร่างกายตามสูตร เช่น ที่ GU! และโคไซน์คือการแปลงฟูริเยร์เมื่อหาค่าดิฟเฟอเรนเชียลได้ สมการการขนส่งสำหรับ BC2 การแปลง Hankel มีผลเมื่อร่างกายมีความสมมาตรตามแกน การประยุกต์ใช้การแปลงอินทิกรัลเหล่านี้ในทางปฏิบัติในตารางภาพที่มีรายละเอียดไม่ได้ทำให้เกิดปัญหาใด ๆ

การเปลี่ยนจากรูปภาพเป็นต้นฉบับสามารถทำได้โดยใช้สูตรการแปลงสำหรับ:

การแปลงฟูเรียร์เชิงซ้อน

(45)

การแปลงฟูริเยร์ไซน์

(46)

การแปลงฟูริเยร์ของโคไซน์

(47)

ฮันเกิลแปลงร่าง

(48)

การแปลงแบบอินทิกรัลที่พิจารณานั้นใช้ได้กับเนื้อหาที่มีขอบเขตกึ่งจำกัด

การแปลงอินทิกรัลจำกัด

ข้อจำกัดของการแปลงอินทิกรัลของฟูริเยร์ แฮงเคล และบางส่วนของลาปลาซในด้านหนึ่ง และความจำเป็นเร่งด่วนในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับตัวแปรที่มีขอบเขตจำกัด ในทางกลับกัน นำไปสู่การสร้างวิธีการสำหรับการแปลงอินทิกรัลที่มีขอบเขตจำกัด . เป็นที่นิยมมากกว่าแม้สำหรับปัญหาที่แก้ไขด้วยวิธีดั้งเดิม

แนวคิดของวิธีการแปลงอินทิกรัลจำกัดถูกเสนอโดย N.S. คอมเมคอฟ

(49)

การศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับประเด็นของวิธีการแปลงอินทิกรัลจำกัดนั้นสะท้อนให้เห็นในผลงานของ Griabarg G.A., Sleddon, Tranter, Degas (Deig) และอื่น ๆ

หากขีดจำกัดการรวมอยู่ระหว่าง 0 ถึง e เคอร์เนลของการแปลงฟูริเยร์ของไฟไนต์ไซน์และโคไซน์ รวมถึงการแปลงแฮงเคลตามลำดับจะมีรูปแบบดังนี้

(50)

(51)

ด้วย GU1 และ GU2
และที่ GU3 เป็นรากของสมการ

(52)

การแปลงอินทิกรัลไม่จำกัด เช่นเดียวกับกฎพีชคณิตที่ให้การแปลง นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตเพื่อให้ง่ายขึ้นและ อินทิกรัลไม่ จำกัดมีกฎที่อนุญาตให้แปลงร่างได้ I. อินทิกรัลของผลบวกเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับ ผลรวมเชิงพีชคณิตอินทิกรัลจากแต่ละพจน์แยกกัน เช่น S dx=lf(x)dx+l (i)="" ii.="" ตัวประกอบคงที่สามารถ "นำออก="" สำหรับ="" เครื่องหมาย="" ของปริพันธ์ , จ.="" ( c-ค่าคงที่สูตรสำหรับการอินทิเกรตทีละส่วน ได้แก่ ให้เราพิสูจน์สูตร (III) ลองใช้ความแตกต่างจากด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (III) การใช้สูตร 4 จากตารางใน§ 2 Ch. IX, เราได้ x เราแปลงคำตามสูตร 5 ของตารางเดียวกัน: และคำว่า d J / "(d:) f (l;) dx ตามสูตร (B) § 1 ของบทนี้เท่ากับ d \ f (*) f \u003d \u003d / (x) f" (l:) dx + f (x) / "(x) dx - /" (x) f (*) dx \u003d \u003d f (x) y "(x ) dx นั่นคือเราได้สิ่งที่เราได้รับเมื่อแยกความแตกต่างทางด้านซ้ายของความเสมอภาค (III) สูตร (I) และ (II) ได้รับการตรวจสอบในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างที่ 1 ^ (n * - การใช้กฎการรวม I และสูตร 1 และ 5 จากตารางปริพันธ์ เราได้ J (x1 - sin k:) dx = ^ xr dx - ^ sin xdx = x * x9 = (-cosx) + C = y + cos x + C ตัวอย่างที่ 2 ผม ^ dx การใช้กฎ II และสูตร J COS X 6 จากตารางปริพันธ์ เราจะได้ J cos2* J COS2* ถึง 1 ใน l: 1 dx การใส่ f(x) = ใน l: และ<р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.

การแปลงที่กำหนดให้ฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นฟังก์ชัน

ตัวแปรจริง และตัวแปร 7 โดยทั่วไปเรียกว่า การแปลงอินทิกรัลเทียบกับตัวแปร ตัวแปรเรียกว่า ตัวแปรการแปลง เพื่อความชัดเจน ด้านล่างของตัวแปรการแปลงจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ การแปลงแบบอินทิกรัล (1) ถูกกำหนดโดยขีดจำกัดของการแปลง เคอร์เนลและฟังก์ชันน้ำหนัก ขีดจำกัดสามารถเป็นอนันต์ได้ คุณสมบัติของฟังก์ชันจะถูกตั้งค่าด้านล่าง ฟังก์ชันนี้เรียกว่าการแปลงอินทิกรัลและรวมถึงการแปลงอินทิกรัล รูปภาพ หรืออิมเมจของฟังก์ชัน ด้านล่าง คำแรกจากคำที่เทียบเท่าเหล่านี้จะถูกใช้เป็นหลัก ฟังก์ชันมักเรียกว่าต้นฉบับหรือต้นแบบของฟังก์ชัน

การแปลงอินทิกรัลที่เกี่ยวกับตัวแปรหลายตัวหรือทั้งหมดพร้อมกันเป็นไปได้ ลักษณะทั่วไปสำหรับกรณีนี้ที่ระบุไว้ข้างต้น

คำจำกัดความที่ชัดเจน ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาการแปลงที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเดียวเท่านั้น อย่างไรก็ตาม การประยุกต์ใช้การแปลงดังกล่าวอย่างต่อเนื่องจะเทียบเท่ากับการแปลงบางอย่างในตัวแปรหลายตัว

ฟังก์ชันที่แปลงแล้วจะแสดงด้วยสัญลักษณ์เดียวกับก่อนการแปลง แต่จะมีเครื่องหมายบางอย่างอยู่เหนือสัญลักษณ์: เส้นประ เส้นหยัก และโดยตัวแปรที่ทำการแปลง จะได้ชัดเจนว่าอาร์กิวเมนต์ใดที่แปลงฟังก์ชันแล้ว ขึ้นอยู่กับ. ตัวอย่างเช่น เราจะไม่เขียนการเปลี่ยนแปลงเชิงปริพันธ์ของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอาร์กิวเมนต์อย่างชัดเจน ในกรณีที่สิ่งนี้ไม่สามารถนำไปสู่ความเข้าใจผิดได้

การแปลงโดยที่ฟังก์ชันถูกแปลงเป็นฟังก์ชันอีกครั้งเรียกว่าการแปลงอินทิกรัลผกผัน (1) หรือเรียกง่ายๆ ว่าการแปลงผกผัน ในกรณีนี้ การแปลง (1) เองเรียกว่าโดยตรง

การแปลงอินทิกรัลถูกกำหนดเมื่อมีอินทิกรัลทางด้านขวาของ (1) อย่างไรก็ตาม สำหรับการใช้งานจริงของการแปลงอินทิกรัล สิ่งสำคัญคือต้องมีการแปลงผกผันอยู่ด้วย ซึ่งร่วมกับ (1) จะสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสองคลาสของฟังก์ชัน: คลาสดั้งเดิมของฟังก์ชันและ คลาสของฟังก์ชันที่เป็นการแปลงอินทิกรัล ภายใต้เงื่อนไขนี้ ยังเป็นไปได้ที่จะสร้างความสอดคล้องกันระหว่างการดำเนินการกับคลาสของฟังก์ชันทั้งสอง และการแก้ปัญหาที่กำหนดให้กับฟังก์ชันของคลาสหนึ่ง ซึ่งนำไปสู่ปัญหาสำหรับฟังก์ชันของอีกคลาสหนึ่ง ซึ่งอาจจะง่ายกว่า เมื่อแก้ไขอันสุดท้ายนี้ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงผกผันจะพบวิธีแก้ไขปัญหาดั้งเดิม ตัวอย่างที่ผู้อ่านรู้จักกันดีคือแคลคูลัสปฏิบัติการที่อิงจากการใช้การแปลงอินทิกรัลของลาปลาซ ที่นี่ ความแตกต่างของฟังก์ชันของคลาสดั้งเดิมของฟังก์ชันสอดคล้องกับการคูณด้วยตัวแปรอิสระของฟังก์ชันที่แปลง Laplace ด้วยเหตุนี้ ปัญหาสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่จึงลดลงเป็นปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิตสำหรับฟังก์ชันที่ถูกแปลง

แนวคิดของการใช้การแปลงแบบอินทิกรัลในปัญหาสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนั้นคล้ายกัน: พวกเขาพยายามเลือกการแปลงแบบอินทิกรัลที่อนุญาตให้การดำเนินการเชิงอนุพันธ์เกี่ยวกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งถูกแทนที่ด้วยการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต เมื่อสิ่งนี้สำเร็จ โจทย์ที่แปลงมักจะง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม เมื่อพบวิธีแก้ปัญหาที่แปลงแล้วด้วยความช่วยเหลือของการแปลงผกผันจะพบวิธีแก้ปัญหาของปัญหาดั้งเดิม ข้อแตกต่างหลักจากแคลคูลัสปฏิบัติการคือการประยุกต์ใช้การแปลงอินทิกรัลกับสมการด้วย

อนุพันธ์ย่อยคือการใช้ชุดการแปลงอินทิกรัลที่กว้างกว่า ซึ่งมีความสำคัญเมื่อสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นตัวแปร