การรวมเป็นเศษส่วน การรวมเศษส่วนตรรกยะ

การรวมฟังก์ชันตรรกยะ Fractional - ฟังก์ชันตรรกยะ เศษตรรกยะที่ง่ายที่สุด การสลายตัวของเศษตรรกยะเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุด การบูรณาการของเศษส่วนที่ง่ายที่สุด กฎทั่วไปสำหรับการรวมเศษตรรกยะ

พหุนามของดีกรี n ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนคือฟังก์ชันที่เท่ากับอัตราส่วนของพหุนามสองตัว: เศษตรรกยะเรียกว่าพอเหมาะถ้าดีกรีของตัวเศษน้อยกว่าดีกรีของตัวส่วน นั่นคือ< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

ฟังก์ชันเศษส่วน - ตรรกยะ แปลงเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเป็นรูปแบบที่ถูกต้อง: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

เศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด เศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมของแบบฟอร์ม: เรียกว่าเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุดของประเภท ขวานA); 2(Nkk ขวาน A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย ทฤษฎีบท: เศษส่วนตรรกยะใดๆ ที่เหมาะสม ตัวส่วนที่เป็นตัวประกอบ: สามารถแสดงแทนผลรวมของเศษส่วนง่าย ๆ ในรูปแบบพิเศษ: s k qxpxxxxxx Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M ss qxpx Nx. M)(

การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย ลองอธิบายสูตรของทฤษฎีบทโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้ เพื่อหาสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน A, B, C, D ... สองวิธีที่ใช้: วิธีเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์และวิธีการบางส่วน ค่าของตัวแปร ลองดูวิธีแรกพร้อมตัวอย่าง 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x .)

การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย แทนเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดา: ลดเศษส่วนที่ง่ายที่สุดให้เป็นตัวส่วนร่วม เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์และเศษส่วนดั้งเดิม เท่ากับสัมประสิทธิ์ที่มีกำลังเท่ากันของ x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. ขวาน 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

การรวมตัวของเศษส่วนที่ง่ายที่สุด ลองหาอินทิกรัลของเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด: ลองพิจารณาการรวมเศษส่วนของประเภทที่ 3 โดยใช้ตัวอย่าง dx ขวาน A k dx qpxx NMx 2 ขวาน axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ขวาน A k

การรวมเศษส่วนอย่างง่ายdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

การรวมตัวของเศษส่วนอย่างง่าย อินทิกรัลของประเภทนี้โดยวิธีการแทนที่: ถูกลดเหลือผลรวมของสองอินทิกรัล: อินทิกรัลแรกคำนวณโดยการแนะนำ t ภายใต้เครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียล อินทิกรัลที่สองคำนวณโดยใช้สูตรแบบเรียกซ้ำ: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk ที่ dt N ที่ dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

การรวมเศษส่วนอย่างง่าย a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

กฎทั่วไปสำหรับการรวมเศษส่วนตรรกยะ ถ้าเศษส่วนไม่ถูกต้อง ให้แทนเป็นผลรวมของพหุนามและเศษส่วนที่เหมาะสม เมื่อแยกตัวส่วนของเศษตรรกยะที่เหมาะสมออกเป็นปัจจัยแล้ว ให้แสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ค้นหาสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนโดยการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์หรือโดยวิธีค่าบางส่วนของตัวแปร รวมพหุนามและผลรวมที่เป็นผลลัพธ์ของเศษส่วนอย่างง่าย

ตัวอย่าง ลองนำเศษส่วนมาอยู่ในรูปแบบที่ถูกต้อง dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx

ตัวอย่าง การแยกตัวประกอบตัวส่วนของเศษส่วนที่เหมาะสม การแทนเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย การหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนโดยใช้วิธีค่าบางส่วนของตัวแปร xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx ขวาน 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

ตัวอย่าง dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

งานควบคุมการรวมฟังก์ชันต่างๆ รวมถึงเศษส่วนตรรกยะ มอบให้กับนักเรียนหลักสูตรที่ 1 และ 2 ตัวอย่างของปริพันธ์จะเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์ นักเศรษฐศาสตร์ และนักสถิติเป็นหลัก ตัวอย่างเหล่านี้ถูกถามในงานควบคุมที่ LNU ไอ. แฟรงค์. เงื่อนไขของตัวอย่างต่อไปนี้คือ "ค้นหาอินทิกรัล" หรือ "คำนวณอินทิกรัล" ดังนั้นเพื่อประหยัดพื้นที่และเวลาของคุณ เงื่อนไขเหล่านี้จะไม่ถูกเขียนออกมา

ตัวอย่างที่ 15 เรามาถึงการรวมฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน พวกเขาครอบครองสถานที่พิเศษท่ามกลางอินทิกรัลเพราะพวกเขาต้องใช้เวลามากในการคำนวณและช่วยครูทดสอบความรู้ของคุณไม่เพียง แต่ในการบูรณาการเท่านั้น เพื่อลดความซับซ้อนของฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัล เราบวกและลบนิพจน์ในตัวเศษที่ช่วยให้เราสามารถแยกฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัลออกเป็นสองส่วนอย่างง่าย

เป็นผลให้เราพบหนึ่งอินทิกรัลค่อนข้างเร็วในวินาทีเราต้องขยายเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น

เมื่อลดให้เป็นตัวส่วนร่วม เราจะได้ตัวเลขดังกล่าว

ถัดไป เปิดวงเล็บและกลุ่ม

เราเปรียบเสมือนค่าที่ระดับ "x" เท่ากันทางขวาและซ้าย เป็นผลให้เรามาถึงระบบสมการเชิงเส้นสามสมการ (SLAE) ที่มีสามไม่ทราบค่า

วิธีแก้ระบบสมการมีอธิบายไว้ในบทความอื่นบนเว็บไซต์ ในเวอร์ชันสุดท้าย คุณจะได้รับโซลูชัน SLAE ต่อไปนี้
ก=4; ข=-9/2; ค=-7/2.
เราแทนค่าคงที่ในการขยายเศษส่วนเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุดแล้วทำการรวมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 16. คุณต้องหาอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนอีกครั้ง ในการเริ่มต้น เราแยกสมการลูกบาศก์ที่มีอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วนเป็นตัวประกอบอย่างง่าย

ต่อไปเราจะทำการสลายตัวของเศษส่วนให้ง่ายที่สุด

เราลดด้านขวาให้เป็นตัวส่วนร่วมและเปิดวงเล็บในตัวเศษ

เราให้ค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับกำลังของตัวแปร อีกครั้งที่เรามาที่ SLAE กับสามสิ่งที่ไม่รู้

เราแทนที่ค่า A, B, C ลงในการขยายและคำนวณอินทิกรัล

สองเทอมแรกเป็นลอการิทึม อันสุดท้ายหาง่ายเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 17. ในตัวส่วนของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน เรามีความแตกต่างของลูกบาศก์ จากสูตรการคูณแบบย่อ เราแยกมันออกเป็นสองปัจจัยเฉพาะ

ต่อไป เราวาดฟังก์ชันเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์สำหรับผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายแล้วลดให้เป็นตัวส่วนร่วม

ในตัวเศษเราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้

จากนั้นจึงสร้างระบบสมการเชิงเส้นเพื่อคำนวณค่าไม่ทราบค่า 3 ค่า

A=1/3; ข=-1/3; ค=1/3
เราแทนที่ A, B, C ในสูตรและดำเนินการรวมเข้าด้วยกัน ส่งผลให้เรามาถึงคำตอบต่อไปนี้

ที่นี่ ตัวเศษของอินทิกรัลที่สองถูกเปลี่ยนเป็นลอการิทึม ในขณะที่ส่วนที่เหลือภายใต้อินทิกรัลจะให้แทนเจนต์ส่วนโค้ง
มีตัวอย่างที่คล้ายกันมากมายในการรวมเศษส่วนตรรกยะบนอินเทอร์เน็ต ตัวอย่างที่คล้ายกันสามารถพบได้ในเอกสารด้านล่าง

เนื้อหาที่นำเสนอในหัวข้อนี้อ้างอิงจากข้อมูลที่นำเสนอในหัวข้อ "เศษส่วนตรรกยะ การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนพื้นฐาน (อย่างง่าย)" ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณอ่านหัวข้อนี้อย่างน้อยก่อนที่จะอ่านเนื้อหานี้ นอกจากนี้ เราต้องการตารางอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน

ผมขอเตือนคุณสองสามคำ มีการพูดคุยกันในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นในที่นี้ ผมจะจำกัดตัวเองให้อยู่ในสูตรสั้นๆ

อัตราส่วนของพหุนามสองตัว $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ เรียกว่า ฟังก์ชันตรรกยะหรือเศษส่วนตรรกยะ เศษตรรกยะเรียกว่า ถูกต้องถ้า $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется ผิด.

เศษส่วนตรรกยะเบื้องต้น (ง่ายที่สุด) คือเศษตรรกยะของสี่ประเภท:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q .)< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

หมายเหตุ (ต้องการให้เข้าใจข้อความมากขึ้น): show\hide

เหตุใดเงื่อนไข $p^2-4q จึงจำเป็น< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

ตัวอย่างเช่น สำหรับนิพจน์ $x^2+5x+10$ เราได้รับ: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$ ตั้งแต่ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

อย่างไรก็ตาม สำหรับการตรวจสอบนี้ ไม่จำเป็นที่สัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ เท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น สำหรับ $5x^2+7x-3=0$ เราได้รับ: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. เนื่องจาก $D > 0$ นิพจน์ $5x^2+7x-3$ แยกตัวประกอบได้

ตัวอย่างของเศษส่วนตรรกยะ (ปกติและไม่เหมาะสม) รวมถึงตัวอย่างการสลายตัวของเศษตรรกยะเป็นเศษส่วนพื้นฐานสามารถพบได้ ที่นี่เราสนใจเฉพาะคำถามเกี่ยวกับการรวมระบบเท่านั้น เริ่มจากการรวมเศษส่วนเบื้องต้น ดังนั้น เศษส่วนพื้นฐานแต่ละประเภทจากสี่ประเภทข้างต้นจึงง่ายต่อการรวมเข้าด้วยกันโดยใช้สูตรด้านล่าง ผมขอเตือนคุณว่าเมื่อรวมเศษส่วนของประเภท (2) และ (4) $n=2,3,4\ldots$ จะถือว่า สูตร (3) และ (4) ต้องการเงื่อนไข $p^2-4q< 0$.

\begin(สมการ) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(สมการ) \begin(สมการ) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(สมการ)

สำหรับ $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ จะมีการแทนที่ $t=x+\frac(p)(2)$ หลังจากนั้นอินทิกรัลที่ได้จะเป็น แยกออกเป็นสองส่วน อันแรกจะคำนวณโดยการแทรกมันไว้ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์ และอันที่สองจะมีลักษณะเหมือน $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ อินทิกรัลนี้ถ่ายโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ

\begin(สมการ) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)ฉัน_n, \; n\in N \end(สมการ)

การคำนวณอินทิกรัลดังกล่าววิเคราะห์ในตัวอย่างที่ 7 (ดูส่วนที่สาม)

แบบแผนสำหรับการคำนวณอินทิกรัลจากฟังก์ชันตรรกยะ (เศษส่วนตรรกยะ):

หากอินทิกรัลเป็นค่าพื้นฐาน ให้ใช้สูตร (1)-(4)
ถ้าอินทิกรัลไม่ใช่พื้นฐาน ให้แทนเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น แล้วรวมโดยใช้สูตร (1)-(4)

อัลกอริธึมข้างต้นสำหรับการรวมเศษส่วนตรรกยะมีข้อได้เปรียบที่ปฏิเสธไม่ได้ - เป็นสากล เหล่านั้น. โดยใช้อัลกอริทึมนี้ หนึ่งสามารถบูรณาการ ใดๆเศษส่วนตรรกยะ นั่นคือเหตุผลที่การแทนที่ตัวแปรเกือบทั้งหมดในปริพันธ์ไม่แน่นอน (ออยเลอร์, การแทนที่เชบีเชฟ, การแทนที่ตรีโกณมิติสากล) ทำได้ในลักษณะที่หลังจากการแทนที่นี้ เราจะได้เศษตรรกยะภายใต้ช่วงเวลา และใช้อัลกอริธึมกับมัน เราจะวิเคราะห์การใช้งานอัลกอริธึมนี้โดยตรงโดยใช้ตัวอย่างหลังจากจดบันทึกเล็กน้อย

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

โดยหลักการแล้ว อินทิกรัลนี้หาได้ง่ายโดยไม่ต้องใช้สูตรทางกล หากเรานำค่าคงที่ $7$ ออกจากเครื่องหมายปริพันธ์และพิจารณาว่า $dx=d(x+9)$ นั้นเราได้รับ:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

สำหรับข้อมูลโดยละเอียดฉันแนะนำให้ดูที่หัวข้อ มันอธิบายรายละเอียดว่าอินทิกรัลดังกล่าวได้รับการแก้ไขอย่างไร อย่างไรก็ตาม สูตรได้รับการพิสูจน์โดยการแปลงแบบเดียวกับที่ใช้ในย่อหน้านี้เมื่อแก้ไข "ด้วยตนเอง"

2) อีกครั้ง มีสองวิธี: ใช้สูตรสำเร็จรูปหรือทำโดยไม่ใช้ หากคุณใช้สูตร คุณควรคำนึงว่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ข้างหน้า $x$ (เลข 4) จะต้องถูกลบออก ในการดำเนินการนี้ เราเพียงแค่นำสี่ในวงเล็บออก:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

ตอนนี้ได้เวลาใช้สูตร:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+ค. $$

คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้สูตร และแม้จะไม่ได้ใส่ค่าคงที่ $4$ ออกจากวงเล็บก็ตาม หากเราพิจารณาว่า $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ นั้น เราได้รับ:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( ง(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับการค้นหาอินทิกรัลดังกล่าวมีอยู่ในหัวข้อ "การบูรณาการโดยการแทนที่ (บทนำภายใต้สัญลักษณ์เชิงอนุพันธ์)"

3) เราจำเป็นต้องรวมเศษส่วน $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ เศษส่วนนี้มีโครงสร้าง $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ โดยที่ $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่านี่เป็นเศษส่วนเบื้องต้นของประเภทที่สาม คุณต้องตรวจสอบเงื่อนไข $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

ลองแก้ตัวอย่างเดียวกันแต่ไม่ใช้สูตรสำเร็จรูป ลองแยกอนุพันธ์ของตัวส่วนออกจากตัวเศษกัน สิ่งนี้หมายความว่า? เรารู้ว่า $(x^2+10x+34)"=2x+10$ เป็นนิพจน์ $2x+10$ ที่เราต้องแยกในตัวเศษ จนถึงตอนนี้ ตัวเศษมีเพียง $4x+7$ แต่ไม่นานนัก ใช้การแปลงต่อไปนี้กับตัวเศษ:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

ตอนนี้นิพจน์ที่ต้องการ $2x+10$ ได้ปรากฏขึ้นในตัวเศษ และอินทิกรัลของเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

ลองแยกอินทิกรัลออกเป็นสองส่วน และดังนั้นอินทิกรัลเองก็ "แยก" ด้วย:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10)))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) $$

มาพูดถึงอินทิกรัลแรกกันก่อน นั่นคือ เกี่ยวกับ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$ เนื่องจาก $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ ดังนั้น ดิฟเฟอเรนเชียลตัวส่วนจะอยู่ในตัวเศษของจำนวนเต็ม ในระยะสั้น แทน ของนิพจน์ $( 2x+10)dx$ เราเขียน $d(x^2+10x+34)$

ทีนี้ มาพูดสองสามคำเกี่ยวกับอินทิกรัลที่สอง มาแยกสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็มในตัวส่วนกัน: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ นอกจากนี้ เราคำนึงถึง $dx=d(x+5)$ ตอนนี้ผลรวมของอินทิกรัลที่เราได้รับก่อนหน้านี้สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่ต่างออกไปเล็กน้อย:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

หากเราทำการเปลี่ยนแปลง $u=x^2+10x+34$ ในอินทิกรัลแรก มันจะอยู่ในรูปแบบ $\int\frac(du)(u)$ และนำมาโดยการใช้สูตรที่สองจาก สำหรับอินทิกรัลที่สอง การแทนที่ $u=x+5$ นั้นเป็นไปได้ หลังจากนั้นจะใช้รูปแบบ $\int\frac(du)(u^2+9)$ นี่คือน้ำที่บริสุทธิ์ที่สุด ซึ่งเป็นสูตรที่ 11 จากตารางอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน เมื่อกลับไปที่ผลรวมของอินทิกรัล เราจะได้:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

เราได้คำตอบเหมือนกับตอนใช้สูตร ซึ่งจริงๆ แล้วไม่น่าแปลกใจเลย โดยทั่วไป สูตรได้รับการพิสูจน์โดยวิธีเดียวกับที่เราเคยหาอินทิกรัลนี้ ฉันเชื่อว่าผู้อ่านที่เอาใจใส่อาจมีคำถามหนึ่งข้อที่นี่ ดังนั้นฉันจะกำหนด:

คำถามที่ 1

หากเราใช้สูตรที่สองจากตารางของอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนกับอินทิกรัล $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ เราจะได้ค่าต่อไปนี้:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

เหตุใดโมดูลจึงหายไปจากโซลูชัน

ตอบคำถาม #1

คำถามนั้นถูกต้องตามกฎหมายอย่างสมบูรณ์ ไม่มีโมดูลัสเพียงเพราะนิพจน์ $x^2+10x+34$ สำหรับ $x\in R$ ใดๆ มีค่ามากกว่าศูนย์ ซึ่งค่อนข้างง่ายที่จะแสดงได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ และ $(x+5)^2 ≥ 0$ ดังนั้น $(x+5)^2+9 > 0$ . เป็นไปได้ที่จะตัดสินในวิธีที่ต่างออกไปโดยไม่ต้องเลือกสี่เหลี่ยมเต็ม ตั้งแต่ $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ สำหรับ $x\in R$ ใดๆ (หากห่วงโซ่ตรรกะนี้น่าประหลาดใจ ผมแนะนำให้คุณดูวิธีกราฟิกสำหรับการแก้อสมการกำลังสอง) ไม่ว่าในกรณีใด เนื่องจาก $x^2+10x+34 > 0$ แล้ว $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. คุณสามารถใช้วงเล็บธรรมดาแทนโมดูลได้

ทุกประเด็นของตัวอย่างที่ 1 ได้รับการแก้ไขแล้วเหลือเพียงการเขียนคำตอบเท่านั้น

ตอบ:

$\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
$\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$

ตัวอย่าง #2

ค้นหาอินทิกรัล $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$

เมื่อมองแวบแรก integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ นั้นคล้ายกับเศษส่วนเบื้องต้นของประเภทที่สามมาก นั่นคือ ถึง $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ดูเหมือนว่าข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือสัมประสิทธิ์ $3$ หน้า $x^2$ แต่จะใช้เวลาไม่นานในการเอาสัมประสิทธิ์ออก (ออกจากวงเล็บ) อย่างไรก็ตาม ความคล้ายคลึงกันนี้ชัดเจน สำหรับเศษส่วน $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ เงื่อนไข $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

สัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้า $x^2$ ไม่เท่ากับหนึ่ง ดังนั้นให้ตรวจสอบเงื่อนไข $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$ ดังนั้นนิพจน์ $3x^2-5x-2$ สามารถแยกตัวประกอบได้ และนี่หมายความว่าเศษส่วน $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ไม่ใช่เศษส่วนพื้นฐานของประเภทที่สาม และนำไปใช้กับอินทิกรัล $\int\frac(7x+12)( ไม่อนุญาตให้ใช้สูตร 3x^2- 5x-2)dx$

ถ้าเศษตรรกยะที่ให้มาไม่ใช่เศษส่วนมูลฐาน ก็จะต้องแทนผลรวมของเศษส่วนมูลฐานแล้วรวมเข้าด้วยกัน ในระยะสั้นเทรลใช้ประโยชน์จาก. วิธีการแยกเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนเบื้องต้นนั้นเขียนไว้อย่างละเอียด เริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบตัวส่วน:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(จัดตำแหน่ง)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) $$

เราแสดงเศษส่วนย่อยในรูปแบบต่อไปนี้:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

ทีนี้มาขยายเศษส่วน $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ ให้เป็นเศษส่วนเบื้องต้น:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ขวา). $$

ในการหาสัมประสิทธิ์ $A$ และ $B$ มีสองวิธีมาตรฐาน: วิธีการของสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนและวิธีการแทนที่ของค่าบางส่วน ลองใช้วิธีการแทนที่ค่าบางส่วนโดยแทนที่ $x=2$ แล้ว $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

เนื่องจากพบสัมประสิทธิ์ จึงเหลือเพียงการเขียนการขยายที่เสร็จสิ้นแล้ว:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

โดยหลักการแล้ว คุณสามารถออกจากรายการนี้ได้ แต่ฉันชอบเวอร์ชันที่แม่นยำกว่า:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2) $$

กลับไปที่อินทิกรัลดั้งเดิม เราแทนที่การขยายผลลัพธ์เข้าไป จากนั้นเราแบ่งอินทิกรัลออกเป็นสอง และใช้สูตรกับแต่ละตัว ฉันชอบที่จะเอาค่าคงที่นอกเครื่องหมายปริพันธ์ออกทันที:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1)(x+\frac(1)) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+ค. $$

ตอบ: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

ตัวอย่าง #3

ค้นหาอินทิกรัล $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$

เราจำเป็นต้องรวมเศษส่วน $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ ตัวเศษคือพหุนามของดีกรีที่สอง และตัวส่วนคือพหุนามของดีกรีที่สาม เนื่องจากดีกรีของพหุนามในตัวเศษน้อยกว่าดีกรีของพหุนามในตัวส่วน นั่นคือ $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9) $$

เราแค่ต้องแบ่งอินทิกรัลที่กำหนดเป็นสาม, และใช้สูตรกับแต่ละตัว ฉันชอบที่จะเอาค่าคงที่นอกเครื่องหมายปริพันธ์ออกทันที:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+ค. $$

ตอบ: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

ความต่อเนื่องของการวิเคราะห์ตัวอย่างของหัวข้อนี้อยู่ในส่วนที่สอง

ฟังก์ชันตรรกยะคือเศษส่วนของรูปแบบ ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม

ตัวอย่าง 1 ขั้นตอนที่ 2

เราคูณสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนด้วยพหุนามที่ไม่ได้อยู่ในเศษส่วนนี้ แต่อยู่ในเศษส่วนอื่นๆ ที่ได้รับ:

เราเปิดวงเล็บและเท่ากับตัวเศษของอินทิกรัลดั้งเดิมที่ได้รับกับนิพจน์ที่ได้รับ:

ในทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน เรามองหาเทอมที่มีกำลัง x เท่ากันและประกอบเป็นระบบสมการจากสมการเหล่านี้:

เรายกเลิก x ทั้งหมดและรับระบบสมการที่เท่ากัน:

ดังนั้น การขยายตัวขั้นสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 2 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

ตอนนี้เราเริ่มมองหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน ในการทำเช่นนี้ เราให้ตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมในนิพจน์ฟังก์ชันเท่ากับตัวเศษของนิพจน์ที่ได้รับหลังจากลดผลรวมของเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม:

ตอนนี้คุณต้องสร้างและแก้ระบบสมการ ในการทำเช่นนี้ เราให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเท่ากับระดับที่เหมาะสมในตัวเศษของนิพจน์ดั้งเดิมของฟังก์ชันและค่าสัมประสิทธิ์ที่คล้ายคลึงกันในนิพจน์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า:

เราแก้ระบบผลลัพธ์:

จากนี้ไป

ตัวอย่างที่ 3 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

เราเริ่มมองหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน ในการทำเช่นนี้ เราให้ตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมในนิพจน์ฟังก์ชันเท่ากับตัวเศษของนิพจน์ที่ได้รับหลังจากลดผลรวมของเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม:

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราสร้างระบบสมการ:

เราลด x และรับระบบสมการที่เท่ากัน:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 4 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

วิธีทำให้ตัวเศษของเศษส่วนเดิมเท่ากับนิพจน์ในตัวเศษที่ได้รับหลังจากแยกเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายและลดผลรวมนี้ให้เป็นตัวส่วนร่วม เรารู้อยู่แล้วจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ดังนั้นเพื่อการควบคุมเท่านั้นเราจึงนำเสนอระบบสมการผลลัพธ์:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 5 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

เรานำผลรวมนี้ไปยังตัวส่วนร่วมโดยอิสระ โดยให้ตัวเศษของนิพจน์นี้เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิม ผลลัพธ์ควรเป็นระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 6 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

เราทำการดำเนินการเดียวกันกับจำนวนนี้ในตัวอย่างก่อนหน้า ผลลัพธ์ควรเป็นระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

ตัวอย่าง 7 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

หลังจากทราบการกระทำด้วยผลรวมผลลัพธ์แล้ว ควรได้รับระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 8 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

มาทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่างกับการกระทำที่นำไปสู่ความเป็นอัตโนมัติเพื่อให้ได้ระบบสมการ มีเคล็ดลับประดิษฐ์ซึ่งในบางกรณีช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ไม่จำเป็น นำผลรวมของเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม เราจะได้มาและหาตัวเศษของนิพจน์นี้ให้เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมที่เราได้รับ

หัวข้อ: การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะ.

ความสนใจ! เมื่อศึกษาวิธีการหลักวิธีใดวิธีหนึ่งในการรวมกลุ่ม - การรวมเศษส่วนตรรกยะ - จำเป็นต้องพิจารณาพหุนามในโดเมนที่ซับซ้อนเพื่อการพิสูจน์ที่เข้มงวด ดังนั้นจึงจำเป็น เรียนล่วงหน้า คุณสมบัติบางอย่างของจำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการกับพวกมัน

การรวมเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด

ถ้า พี(z) และ คิว(z) เป็นพหุนามในโดเมนเชิงซ้อน จึงเป็นเศษส่วนตรรกยะ มันถูกเรียกว่า ถูกต้องถ้าปริญญา พี(z) ปริญญาน้อย คิว(z) , และ ผิดถ้าปริญญา R ปริญญาไม่น้อย คิว.

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมใดๆ สามารถแสดงเป็น: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

เอ R(z) – พหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรี คิว(z).

ดังนั้นการรวมเศษส่วนตรรกยะจึงลดลงเป็นการรวมตัวของพหุนาม นั่นคือ ฟังก์ชันกำลังและเศษส่วนที่เหมาะสม เนื่องจากเป็นเศษส่วนที่เหมาะสม

คำจำกัดความ 5. เศษส่วนที่ง่ายที่สุด (หรือพื้นฐาน) คือเศษส่วนของประเภทต่อไปนี้:

1) , 2) , 3) , 4) .

มาดูกันว่าพวกมันถูกรวมเข้าด้วยกันอย่างไร

3) (สำรวจก่อนหน้านี้)

ทฤษฎีบท 5. เศษส่วนที่เหมาะสมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย (โดยไม่มีการพิสูจน์)

ข้อพิสูจน์ 1 หากเป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม และหากในบรรดารากของพหุนามนั้นมีเพียงรากจริงอย่างง่าย ๆ เท่านั้น จากนั้นในการขยายเศษส่วนให้เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย จะมีเพียงเศษส่วนธรรมดาของประเภทที่ 1 เท่านั้น:

ตัวอย่าง 1

ข้อพิสูจน์ 2 หากเป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม และหากในรากของพหุนามมีรากจริงหลายราก จากนั้นในการขยายเศษส่วนให้เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย จะมีเพียงเศษส่วนธรรมดาของประเภทที่ 1 และ 2 :

ตัวอย่างที่ 2

ข้อพิสูจน์ 3 หากเป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม และหากในบรรดารากของพหุนามมีเพียงรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนอย่างง่าย จากนั้นในการขยายเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย จะมีเพียงเศษส่วนง่าย ๆ ของประเภทที่ 3:

ตัวอย่างที่ 3

ข้อพิสูจน์ 4 หากเป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม และหากในบรรดารากของพหุนามนั้นมีเพียงรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนหลายราก จากนั้นในการขยายเศษส่วนให้เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย จะมีเพียงเศษส่วนธรรมดาของอันดับที่ 3 และ 4 ประเภท:

เพื่อกำหนดสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักในการขยายข้างต้น ดำเนินการดังนี้ ส่วนด้านซ้ายและด้านขวาของการขยายตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักจะถูกคูณด้วย สมการของพหุนามทั้งสองจะได้ค่าเท่ากัน สมการสำหรับสัมประสิทธิ์ที่ต้องการได้มาจากมันโดยใช้สิ่งนั้น:

1. ความเท่าเทียมกันใช้ได้กับค่าใด ๆ ของ X (วิธีการของค่าบางส่วน) ในกรณีนี้ จะได้สมการจำนวนเท่าใดก็ได้ ค่า m ใดๆ ช่วยให้เราหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าได้

2. สัมประสิทธิ์ตรงกับกำลังเดียวกันของ X (วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน) ในกรณีนี้ จะได้ระบบ m - สมการกับ m - ไม่รู้จัก ซึ่งหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก

3. วิธีการรวมกัน

ตัวอย่างที่ 5. ขยายเศษส่วน ให้ง่ายที่สุด

วิธีการแก้:

หาสัมประสิทธิ์ A และ B

1 วิธี - วิธีมูลค่าส่วนตัว:

วิธีที่ 2 - วิธีการของสัมประสิทธิ์ความไม่แน่นอน:

ตอบ:

การรวมเศษส่วนตรรกยะ

ทฤษฎีบทที่ 6 อินทิกรัลไม่แน่นอนของเศษส่วนตรรกยะใดๆ ในช่วงเวลาใดๆ ที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์มีอยู่ และแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ เศษส่วนตรรกยะ ลอการิทึม และอาร์คแทนเจนต์

การพิสูจน์.

เราแสดงเศษส่วนตรรกยะในรูปแบบ: . ยิ่งกว่านั้น เทอมสุดท้ายเป็นเศษส่วนที่เหมาะสม และโดยทฤษฎีบท 5 มันสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเศษส่วนอย่างง่ายได้ ดังนั้น การรวมเศษส่วนตรรกยะจึงลดเป็นการรวมพหุนาม ส(x) และเศษส่วนที่ง่ายที่สุดซึ่งมีแอนติเดริเวทีฟดังที่แสดงมีรูปแบบระบุไว้ในทฤษฎีบท

ความคิดเห็น ปัญหาหลักในกรณีนี้คือการสลายตัวของตัวส่วนเป็นตัวประกอบ นั่นคือ การค้นหารากเหง้าทั้งหมดของมัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอินทิกรัล