ในการเริ่มต้น เราจะวิเคราะห์ทฤษฎี จากนั้นเราจะแก้ตัวอย่างสองสามตัวอย่างเพื่อรวมเนื้อหาเกี่ยวกับการขยายฟังก์ชันที่มีเหตุผลแบบเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย ลองมาดูกันดีกว่า วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนและ วิธีค่าบางส่วนเช่นเดียวกับชุดค่าผสม

เศษส่วนที่ง่ายที่สุดมักถูกเรียกว่า เศษส่วนเบื้องต้น.

มีดังต่อไปนี้ ประเภทของเศษส่วนอย่างง่าย:

โดยที่ A , M , N , a , p , q เป็นตัวเลข และความแตกต่างของตัวส่วนในเศษส่วน 3) และ 4) น้อยกว่าศูนย์

เรียกว่าเศษส่วนของประเภทที่หนึ่ง สอง สาม และสี่ตามลำดับ

ทำไมต้องแบ่งเศษส่วนออกเป็นเศษส่วนอย่างง่าย?

ลองเปรียบเทียบทางคณิตศาสตร์กัน บ่อยครั้งที่คุณต้องทำให้รูปแบบของนิพจน์ง่ายขึ้นเพื่อให้คุณสามารถดำเนินการบางอย่างกับมันได้ ดังนั้น การแทนค่าของฟังก์ชันเศษส่วนที่เป็นจำนวนตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายจึงมีค่าใกล้เคียงกัน ใช้เพื่อขยายฟังก์ชันไปสู่อนุกรมกำลัง อนุกรมลอรองต์ และแน่นอน เพื่อค้นหาปริพันธ์

ตัวอย่างเช่นต้องใช้ อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ. หลังจากแยกอินทิกรัลออกเป็นเศษส่วนอย่างง่ายแล้ว ทุกอย่างจะลดขนาดลงเป็นปริพันธ์ที่ค่อนข้างง่าย

แต่เกี่ยวกับปริพันธ์ในส่วนอื่น

ตัวอย่าง.

แบ่งเศษส่วนออกเป็นเศษส่วนอย่างง่ายที่สุด

วิธีการแก้.

โดยทั่วไป อัตราส่วนของพหุนามจะถูกแบ่งออกเป็นเศษส่วนอย่างง่าย ถ้าดีกรีของพหุนามในตัวเศษน้อยกว่าดีกรีของพหุนามในตัวส่วน มิฉะนั้น พหุนามที่เป็นเศษจะถูกหารด้วยพหุนามที่มีตัวส่วนก่อน จากนั้นจึงค่อยแยกย่อยฟังก์ชันเศษส่วนปกติเท่านั้น

มาแบ่งตามคอลัมน์ (มุม):

ดังนั้นเศษส่วนเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:

ดังนั้นเราจะแยกย่อยเป็นเศษส่วนอย่างง่าย

อัลกอริทึมของวิธีการสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

ประการแรกแยกตัวประกอบตัวส่วน

ในตัวอย่างของเรา ทุกอย่างเรียบง่าย - เรานำ x ออกจากวงเล็บ


ประการที่สองเศษส่วนที่จะขยายจะแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายด้วย ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน.

ที่นี่ควรพิจารณาประเภทของนิพจน์ที่คุณสามารถมีได้ในตัวส่วน

พอทฤษฎีปฏิบัติยังชัดเจนกว่า

ถึงเวลาที่จะกลับไปที่ตัวอย่าง เศษส่วนจะถูกแยกย่อยเป็นผลรวมของเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่หนึ่งและสามด้วยค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน A , B และ C


ประการที่สามเรานำผลบวกของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนมาเป็นตัวส่วนร่วมและจัดกลุ่มคำศัพท์ในตัวเศษที่มีกำลัง x เท่ากัน



นั่นคือเรามาถึงสมการ:


สำหรับ x ที่ไม่ใช่ศูนย์ ความเท่าเทียมกันนี้จะลดความเท่ากันของพหุนามสองตัว


และพหุนามสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันเท่ากันเท่านั้น

ประการที่สี่เราเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลัง x เท่ากัน

ในกรณีนี้ เราได้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนซึ่งไม่ทราบค่า:


ประการที่ห้า, เราแก้ระบบสมการที่เป็นผลลัพธ์ในทางใดทางหนึ่ง (หากจำเป็น, ดูบทความ) ที่คุณต้องการ, เราพบค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน


ที่หก, เขียนคำตอบ

โปรดอย่าขี้เกียจ ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยลดการขยายผลลัพธ์ให้เหลือส่วนร่วม

วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์บึกบึนเป็นวิธีสากลในการสลายเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย

สะดวกมากที่จะใช้วิธีค่าบางส่วนหากตัวส่วนเป็นผลคูณของปัจจัยเชิงเส้น นั่นคือ ดูเหมือนว่า

ลองดูตัวอย่างเพื่อแสดงข้อดีของวิธีนี้

ตัวอย่าง.

ขยายเศษส่วน ให้ง่ายที่สุด

วิธีการแก้.

เนื่องจากดีกรีของพหุนามในตัวเศษน้อยกว่าดีกรีของพหุนามในตัวส่วน เราจึงไม่ต้องหาร เราหันไปสลายตัวส่วนเป็นปัจจัย

ลองเอา x ออกจากวงเล็บก่อน

เราพบรากของทริโนเมียลกำลังสอง (ตัวอย่างเช่น ตามทฤษฎีบท Vieta):

ดังนั้น สามารถเขียนรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสได้ดังนี้

นั่นคือตัวส่วนจะอยู่ในรูปแบบ

ด้วยตัวส่วนที่กำหนด เศษส่วนดั้งเดิมจะถูกแยกย่อยเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายสามตัวของประเภทแรกที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน:

เราลดจำนวนผลลัพธ์ให้เป็นตัวส่วนร่วม แต่ในตัวเศษเราไม่เปิดวงเล็บและไม่ให้ตัวที่คล้ายกันสำหรับ A, B และ C (ในขั้นตอนนี้เป็นเพียงความแตกต่างจากวิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน):

ดังนั้นเราจึงมาถึงความเท่าเทียมกัน:

และตอนนี้ เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่จำกัด เราจะเริ่มแทนค่าความเสมอภาคที่เป็นผลลัพธ์ "ค่าส่วนตัว" ซึ่งตัวส่วนจะหายไป นั่นคือ x=0, x=2 และ x=3 สำหรับตัวอย่างของเรา

ที่ x=0 เรามี:

ที่ x=2 เรามี:

ที่ x=3 เรามี:

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ความแตกต่างระหว่างวิธีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนและวิธีค่าบางส่วนเป็นเพียงวิธีการค้นหาค่าที่ไม่รู้จักเท่านั้น วิธีการเหล่านี้สามารถใช้ร่วมกันเพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ขยายนิพจน์ที่มีเหตุผลเป็นเศษส่วน เป็นเศษส่วนอย่างง่าย

วิธีการแก้.

เนื่องจากดีกรีของพหุนามที่เป็นเศษน้อยกว่าดีกรีของพหุนามที่เป็นเศษส่วน และตัวส่วนได้ถูกแยกตัวประกอบแล้ว นิพจน์เดิมจะถูกแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายในรูปแบบต่อไปนี้:

เรานำมาซึ่งส่วนร่วม:

ลองเปรียบเทียบตัวเศษ

เห็นได้ชัดว่าศูนย์ของตัวส่วนคือค่า x=1, x=-1 และ x=3 เราใช้วิธีการของค่าบางส่วน

ที่ x=1 เรามี:

ที่ x=-1 เรามี:

ที่ x=3 เรามี:

มันยังคงค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จักและ

ในการทำเช่นนี้ เราแทนที่ค่าที่พบด้วยความเท่าเทียมกันของตัวเศษ:

หลังจากเปิดวงเล็บและลดพจน์ที่คล้ายกันสำหรับพลัง x ที่เท่ากัน เราก็จะได้ความเท่าเทียมกันของพหุนามสองตัว:

เราเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันที่กำลังเท่ากัน จึงรวบรวมระบบสมการสำหรับค้นหาสิ่งที่ไม่รู้ที่เหลือ และ . เราได้ระบบสมการห้าสมการที่มีนิรนามสองตัว:

จากสมการแรก เราจะพบทันที จากสมการที่สอง

เป็นผลให้เราได้รับการขยายเป็นเศษส่วนอย่างง่าย:

บันทึก.

หากเราตัดสินใจใช้วิธีของค่าสัมประสิทธิ์ไม่จำกัดทันที เราจะต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นห้าสมการโดยมีค่าไม่รู้ห้าค่า การใช้วิธีการของค่าบางส่วนทำให้ง่ายต่อการค้นหาค่าของค่าที่ไม่รู้จักสามในห้าค่าซึ่งทำให้การแก้ปัญหาต่อไปง่ายขึ้นอย่างมาก

สวัสดีทุกคนเพื่อนรัก!

ขอแสดงความยินดี! เรามาถึงเนื้อหาหลักอย่างปลอดภัยแล้วในการรวมเศษส่วนตรรกยะ - วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน. ยิ่งใหญ่และเกรียงไกรยิ่งนัก) ความยิ่งใหญ่และฤทธานุภาพของพระองค์เป็นอย่างไร? และมันอยู่ที่ความสามารถรอบด้าน มันสมเหตุสมผลที่จะรู้ใช่ไหม? ฉันเตือนคุณว่าจะมีบทเรียนหลายบทในหัวข้อนี้ เนื่องจากหัวข้อยาวมากและเนื้อหาก็สำคัญมาก)

ฉันต้องบอกทันทีว่าในบทเรียนของวันนี้ (และบทเรียนต่อไปด้วย) เราจะจัดการกับการรวมเข้าด้วยกันไม่มากเท่ากับ ... การแก้ระบบสมการเชิงเส้น!ใช่ ๆ! ดังนั้นผู้ที่มีปัญหาเกี่ยวกับระบบ ทำซ้ำเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ และวิธีของแครมเมอร์ และสำหรับสหายเหล่านั้นที่มีปัญหาเกี่ยวกับเมทริกซ์ ฉันขอให้อย่างน้อยที่สุด รีเฟรชหน่วยความจำอย่างน้อยวิธี "โรงเรียน" สำหรับการแก้ปัญหาระบบ - วิธีการแทนที่และวิธีการบวก / ลบแบบคำต่อคำ

เพื่อเริ่มต้นความคุ้นเคย เรากรอฟิล์มกลับไปเล็กน้อย กลับไปที่บทเรียนก่อนหน้าโดยสังเขปและวิเคราะห์เศษส่วนทั้งหมดที่เรารวมไว้ก่อนหน้านี้ โดยตรงโดยไม่มีวิธีการใด ๆ ของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน! นี่คือเศษส่วนเหล่านี้ ฉันแบ่งพวกเขาออกเป็นสามกลุ่ม

กลุ่มที่ 1

ในส่วน - ฟังก์ชันเชิงเส้นด้วยตัวเองหรือ ในขอบเขต. กล่าวอีกนัยหนึ่งตัวส่วนคือผลคูณ เหมือนกันวงเล็บของแบบฟอร์ม (ฮา).

ตัวอย่างเช่น:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

และอื่น ๆ อย่างไรก็ตาม อย่าให้วงเล็บหลอกคุณ (4x+5)หรือ (2x+5) 3ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ เคข้างใน. มันเหมือนกันในวงเล็บของแบบฟอร์ม (ฮา). เพราะนี่คือที่สุด เคจากวงเล็บดังกล่าวสามารถถอดออกได้เสมอ

แบบนี้:

นั่นคือทั้งหมด) และไม่สำคัญว่ามีอะไรอยู่ในตัวเศษ - เพียงแค่ ดีเอ็กซ์หรือพหุนามบางชนิด เราได้ขยายตัวเศษในวงเล็บเหลี่ยมเสมอ (x-a)เปลี่ยนเศษส่วนขนาดใหญ่เป็นผลรวมของเศษส่วนเล็ก นำวงเล็บ (หากจำเป็น) ไว้ใต้ดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิเกรต

กลุ่มที่ 2

เศษส่วนเหล่านี้มีอะไรที่เหมือนกัน?

และสิ่งที่เหมือนกันก็คือในตัวส่วนทั้งหมดคือ สี่เหลี่ยมจตุรัสขวาน 2 + bx+ ค. แต่ไม่ใช่แค่กล่าวคือ ในสำเนาเดียว. และไม่สำคัญว่าผู้จำแนกจะเป็นบวกหรือลบ

เศษส่วนดังกล่าวถูกรวมเข้าด้วยกันด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากสองวิธีเสมอ ไม่ว่าจะโดยการเพิ่มจำนวนเศษในยกกำลังของตัวส่วน หรือโดยการนำกำลังสองเต็มจำนวนมาเป็นตัวส่วนแล้วเปลี่ยนตัวแปร ทุกอย่างขึ้นอยู่กับอินทิกรัลเฉพาะ

กลุ่มที่ 3

นี่เป็นเศษส่วนที่แย่ที่สุดสำหรับการอินทิเกรต ตัวส่วนเป็นตรีโกณมิติที่แยกย่อยไม่ได้และแม้กระทั่งในระดับ น. แต่อีกครั้ง ในสำเนาเดียว. เพราะนอกจากตรีโกณมิติแล้ว ก็ไม่มีตัวประกอบอื่นในตัวส่วนด้วย เศษส่วนดังกล่าวถูกรวมเข้าด้วยกัน โดยตรงหรือลดลงหลังจากเลือกกำลังสองเต็มในตัวส่วนแล้วเปลี่ยนตัวแปร

อย่างไรก็ตาม น่าเสียดายที่ความหลากหลายของเศษส่วนที่เป็นตรรกยะไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะกลุ่มที่พิจารณาทั้งสามกลุ่มเท่านั้น

แต่ถ้าตัวส่วนเป็น หลากหลายวงเล็บ? ตัวอย่างเช่น:

(x-1)(x+1)(x+2)

หรือวงเล็บเวลาเดียวกัน (ฮา)และรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส อะไรทำนองนั้น (x-10)(x 2 -2x+17)? และในกรณีอื่นที่คล้ายกัน? นี่คือในกรณีเช่นนี้ที่จะมาช่วย วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน!

ฉันต้องพูดทันที: ในขณะนี้ เราจะทำงานร่วมกับเท่านั้น ถูกต้องเศษส่วน ผู้ที่ระดับของตัวเศษน้อยกว่าระดับของตัวส่วนอย่างเคร่งครัด วิธีจัดการกับเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมได้อธิบายไว้อย่างละเอียดในเศษส่วน จำเป็นต้องเลือกส่วนทั้งหมด (พหุนาม) โดยการหารมุมของตัวเศษด้วยตัวส่วนหรือโดยการขยายตัวเศษ - ตามที่คุณต้องการ และแม้แต่ตัวอย่างก็แยกส่วน และคุณรวมพหุนามเข้าด้วยกันด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง ไม่เล็กไปแล้ว) แต่เราจะแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมด้วย!

ทีนี้มาทำความรู้จักกัน เราจะไม่เริ่มทำความรู้จักกับทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต ทฤษฎีบทของ Bezout ซึ่งแตกต่างจากตำราเรียนคณิตศาสตร์ขั้นสูงส่วนใหญ่ เราจะไม่เริ่มทำความรู้จักกับทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต ทฤษฎีบทของ Bezout เกี่ยวกับการขยายเศษส่วนตรรกยะไปสู่ผลรวมของเศษส่วนที่ง่ายที่สุด ความน่าเบื่ออื่น ๆ แต่เราจะเริ่มต้นด้วยตัวอย่างง่ายๆ

ตัวอย่างเช่น เราต้องหาอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนต่อไปนี้:

ดูอินทิเกรตก่อน ตัวส่วนเป็นผลคูณของวงเล็บสามตัว:

(x-1)(x+3)(x+5)

และวงเล็บทั้งหมด หลากหลาย. ดังนั้น เทคโนโลยีเก่าของเราที่มีการขยายตัวของตัวเศษในกำลังของตัวส่วนจึงใช้ไม่ได้ในเวลานี้: ควรเน้นวงเล็บใดในตัวเศษ (x-1)? (x+3)? ยังไม่ชัดเจน ... การเลือกสี่เหลี่ยมทั้งหมดในตัวส่วนไม่ได้อยู่ในการลงทะเบียนเงินสดด้วย: มีพหุนาม ที่สามองศา (ถ้าคุณคูณวงเล็บทั้งหมด) จะทำอย่างไร?

เมื่อดูที่ส่วนของเราความปรารถนาตามธรรมชาติก็เกิดขึ้น ... ต้านทานไม่ได้จริงๆ! จากเศษส่วนใหญ่ของเราซึ่ง อึดอัดรวมเข้าด้วยกันสร้างสิ่งเล็ก ๆ สามอัน อย่างน้อยเช่นนี้:

ทำไมถึงต้องตามหาประเภทนี้? และทั้งหมดเป็นเพราะในรูปแบบนี้ เศษส่วนเริ่มต้นของเรามีอยู่แล้ว สะดวกสบายเพื่อบูรณาการ! เพิ่มตัวส่วนของแต่ละเศษเล็กเศษน้อย และไปข้างหน้า)

เป็นไปได้ไหมที่จะสลายตัวเช่นนี้? ข่าวดี! ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกันกล่าวว่า - ใช่คุณสามารถ! การสลายตัวดังกล่าวมีอยู่และมีลักษณะเฉพาะ

แต่มีปัญหาอย่างหนึ่งคือค่าสัมประสิทธิ์ แต่, ที่และ จากเรา ลาก่อนเราไม่รู้ และตอนนี้งานหลักของเราจะเป็นเพียง กำหนดพวกเขา. ค้นหาว่าตัวอักษรของเราเท่ากับอะไร แต่, ที่และ จาก. ดังนั้นชื่อวิธีการ ไม่แน่นอนค่าสัมประสิทธิ์ เริ่มต้นการเดินทางที่ยอดเยี่ยมของเรากันเถอะ!

ดังนั้นเราจึงมีความเท่าเทียมกันซึ่งเราเริ่มเต้นรำ:

นำเศษส่วนทั้งสามมารวมกันทางขวาแล้วบวก:

ตอนนี้คุณสามารถทิ้งตัวส่วนได้อย่างปลอดภัย (เพราะมันเหมือนกัน) และจัดตัวเศษให้เท่ากัน ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ

ขั้นตอนต่อไป เปิดวงเล็บทั้งหมด(ค่าสัมประสิทธิ์ แต่, ที่และ จาก ลาก่อนออกไปข้างนอกดีกว่า)

และตอนนี้ (สำคัญ!) เราสร้างโครงสร้างทั้งหมดทางด้านขวา ตามวัยวุฒิ: อันดับแรก เรารวบรวมสมาชิกทั้งหมดที่มี x 2 ในกอง จากนั้น - เพียงแค่มี x และสุดท้าย เรารวบรวมสมาชิกฟรี อันที่จริง เราแค่ให้คำที่คล้ายกันและจัดกลุ่มคำตามกำลังของ x

แบบนี้:

และตอนนี้เราเข้าใจผลลัพธ์แล้ว ทางด้านซ้ายคือพหุนามดั้งเดิมของเรา ระดับที่สอง ตัวเศษของปริพันธ์ของเรา ถูกต้องเช่นกัน พหุนามดีกรีสองจมูก ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักความเท่าเทียมกันนี้ควรใช้ได้สำหรับ ค่า x ที่ถูกต้องทั้งหมด. เศษส่วนด้านซ้ายและด้านขวาเหมือนกัน (ตามเงื่อนไขของเรา)! ซึ่งหมายความว่า เศษและ (เช่น พหุนามของเรา) ก็เหมือนกัน ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ ด้วยกำลัง x เท่ากันพหุนามเหล่านี้ต้องมี เท่าเทียมกัน!

เราเริ่มต้นด้วยระดับสูงสุด จากจัตุรัส มาดูกันว่าเรามีสัมประสิทธิ์อะไรบ้าง เอ็กซ์ 2 ซ้ายและขวา. ทางด้านขวาเรามีผลรวมของสัมประสิทธิ์ เอ+บี+ซีและทางซ้าย - ผีสาง เราก็มีสมการแรก

เราเขียน:

A+B+C = 2

มี สมการแรกเสร็จแล้ว)

จากนั้นเราก็ไปตามเส้นทางที่ลดลง - เราดูเทอมที่มี x ในระดับแรก ทางขวาที่ x เรามี 8A+4B+2C. ดี. แล้วเรามีอะไรกับ x ทางซ้าย? หืม ... ทางซ้ายไม่มีเทอมกับ X เลย! มีแต่ 2x 2 - 3 ทำไงดี? ง่ายมาก! หมายความว่าสัมประสิทธิ์ที่ x ทางซ้ายเรามี เท่ากับศูนย์!เราสามารถเขียนด้านซ้ายของเราได้ดังนี้

และอะไร? เรามีสิทธิ์ทุกประการ) จากตรงนี้ สมการที่สองจะเป็นดังนี้:

8 ก+4 ข+2 ค = 0

ในทางปฏิบัตินั่นคือทั้งหมด มันยังคงถือเอาเงื่อนไขฟรี:

15A-5B-3C = -3

กล่าวอีกนัยหนึ่งการทำให้เท่ากันของค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันของ x เกิดขึ้นตามรูปแบบต่อไปนี้:

ความเสมอภาคของเราทั้งสามจะต้องพอใจ พร้อมกันดังนั้นเราจึงรวบรวมระบบจากสมการที่เป็นลายลักษณ์อักษรของเรา:

ระบบนี้ไม่ใช่ระบบที่ยากที่สุดสำหรับนักเรียนที่ขยันขันแข็ง - สามสมการและสามสิ่งที่ไม่รู้จัก ตัดสินใจตามที่คุณต้องการ คุณสามารถใช้วิธีแครมเมอร์ผ่านเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ คุณสามารถใช้วิธีเกาส์ หรือใช้การแทนโรงเรียนตามปกติก็ได้

ในการเริ่มต้น ฉันจะแก้ปัญหาระบบนี้ในแบบที่นักเรียนวัฒนธรรมมักจะแก้ปัญหาระบบดังกล่าว กล่าวคือวิธีแครมเมอร์

เราเริ่มต้นการแก้ปัญหาโดยการรวบรวมเมทริกซ์ระบบ ฉันเตือนคุณว่าเมทริกซ์นี้เป็นเพียงตารางที่ประกอบด้วย ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก

เธออยู่ที่นั่น:

ก่อนอื่นเราคำนวณ ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ของระบบหรือเรียกสั้น ๆ ว่า ตัวระบุระบบโดยปกติจะแสดงด้วยอักษรกรีก ∆ ("เดลต้า"):

เยี่ยมมาก ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ (-48≠0) . จากทฤษฎีระบบสมการเชิงเส้น ข้อเท็จจริงนี้หมายความว่าระบบของเราสอดคล้องกันและ มีทางออกที่ไม่เหมือนใคร

ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณ ปัจจัยที่ไม่รู้จัก ∆A, ∆B, ∆C. ฉันเตือนคุณว่าปัจจัยทั้งสามนี้ได้มาจากปัจจัยหลักของระบบโดยการแทนที่คอลัมน์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับค่าไม่ทราบค่าที่สอดคล้องกันด้วยคอลัมน์เงื่อนไขอิสระ

ดังนั้นเราจึงสร้างปัจจัยและพิจารณา:

ฉันจะไม่อธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับเทคนิคการคำนวณปัจจัยอันดับสามที่นี่ และอย่าถาม นี่ค่อนข้างเบี่ยงเบนจากหัวข้อจะเป็น) ใครอยู่ในหัวเรื่องเขาเข้าใจว่ามันเกี่ยวกับอะไร และบางทีคุณคงเดาได้แล้วว่าผมคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสามนี้ได้อย่างไร)

เท่านี้ก็เรียบร้อย)

นี่คือวิธีที่นักเรียนที่มีวัฒนธรรมมักตัดสินใจเลือกระบบ แต่ ... ไม่ใช่นักเรียนทุกคนที่เป็นเพื่อนกับปัจจัย น่าเสียดาย. สำหรับบางคน แนวคิดง่ายๆ ของคณิตศาสตร์ขั้นสูงเหล่านี้ยังคงเป็นตัวอักษรจีนและสัตว์ประหลาดลึกลับในหมอกตลอดไป...

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับนักเรียนที่ไม่มีวัฒนธรรมเช่นนี้ ฉันขอเสนอวิธีแก้ปัญหาที่คุ้นเคยมากกว่า - วิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่องในความเป็นจริงนี่เป็นวิธีการทดแทน "โรงเรียน" ขั้นสูง เพียงแต่จะมีขั้นตอนมากขึ้นเท่านั้น) แต่สาระสำคัญยังเหมือนเดิม ก่อนอื่น ฉันจะยกเว้นตัวแปร จาก. สำหรับสิ่งนี้ฉันจะแสดง จากจากสมการแรกและแทนลงในสมการที่สองและสาม:

เราลดความซับซ้อนให้สิ่งที่คล้ายกันและรับระบบใหม่ด้วย สองไม่ทราบ:

ตอนนี้ ในระบบใหม่นี้ มันยังเป็นไปได้ที่จะแสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งในแง่ของตัวแปรอีกตัว แต่นักเรียนที่เอาใจใส่มากที่สุดอาจจะสังเกตเห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ด้านหน้าของตัวแปร ข – ตรงข้าม. สองและลบสอง ดังนั้นจึงสะดวกมากที่จะเพิ่มสมการทั้งสองเข้าด้วยกันเพื่อกำจัดตัวแปร ที่และทิ้งไว้เพียงจดหมาย แต่.

เราเพิ่มส่วนซ้ายและขวาลดจิตใจ 2Bและ -2Bและแก้สมการเฉพาะในส่วนที่เกี่ยวกับ แต่:

มี พบค่าสัมประสิทธิ์แรก: ก = -1/24.

กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง ที่. ตัวอย่างเช่น จากสมการด้านบน:

จากที่นี่เราได้รับ:

ยอดเยี่ยม. นอกจากนี้ยังพบค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง: ข = -15/8 . ยังมีจดหมายเหลืออยู่ จาก. ในการหาค่านั้น เราใช้สมการบนสุดที่เราแสดงออกมา แต่และ ที่:

ดังนั้น:

ตกลงมันจบลงแล้ว พบอัตราต่อรองที่ไม่รู้จัก! ไม่สำคัญว่าจะผ่าน Cramer หรือเปลี่ยนตัว สิ่งหลัก, ขวาพบ.)

ดังนั้นการขยายเศษส่วนขนาดใหญ่เป็นผลรวมของเศษส่วนย่อยจะมีลักษณะดังนี้:

และอย่าให้ค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์มาทำให้คุณสับสน: ในขั้นตอนนี้ (วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่จำกัด) นี่เป็นเหตุการณ์ที่พบบ่อยที่สุด :)

และตอนนี้ควรตรวจสอบว่าเราพบค่าสัมประสิทธิ์ของเราถูกต้องหรือไม่ ก, ขและ จาก. ตอนนี้เรามาร่างและจำเกรดแปด - เราบวกเศษส่วนเล็ก ๆ ทั้งสามของเรากลับคืน

ถ้าเราได้เศษส่วนขนาดใหญ่ดั้งเดิมทุกอย่างก็ดี ไม่ มันหมายถึงเอาชนะฉันและมองหาข้อผิดพลาด

ตัวส่วนร่วมจะเห็นได้ชัดว่าเป็น 24(x-1)(x+3)(x+5)

ไป:

ใช่!!! รับเศษส่วนเดิม ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องตรวจสอบ ทุกอย่างเป็นสิ่งที่ดี. ดังนั้นโปรดอย่าตีฉัน)

และตอนนี้เรากลับไปที่อินทิกรัลดั้งเดิมของเรา มันไม่ง่ายไปกว่านี้อีกแล้วในตอนนั้น ใช่ แต่ตอนนี้เศษส่วนของเราถูกแยกย่อยเป็นผลรวมของเศษส่วนเล็กๆ แล้ว การรวมเข้าด้วยกันกลายเป็นเรื่องน่ายินดีจริงๆ!

ดูด้วยตัวคุณเอง! เราใส่ส่วนขยายของเราลงในอินทิกรัลดั้งเดิม

เราได้รับ:

เราใช้คุณสมบัติของความเป็นเชิงเส้นและแบ่งอินทิกรัลขนาดใหญ่ออกเป็นผลรวมของอินทิกรัลขนาดเล็ก เรานำค่าคงที่ทั้งหมดออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัล

เราได้รับ:

และอินทิกรัลขนาดเล็กสามตัวที่เกิดขึ้นนั้นถูกนำไปใช้อย่างง่ายดาย .

เราดำเนินการบูรณาการต่อไป:

แค่นั้นแหละ) และอย่าถามฉันในบทเรียนนี้ว่าลอการิทึมมาจากไหนในคำตอบ! ใครจำได้เขาอยู่ในเรื่องและจะเข้าใจทุกอย่าง และใครจำไม่ได้ - เราเดินไปตามลิงค์ ฉันไม่เพียงแค่สวมมัน

คำตอบสุดท้าย:

นี่คือทรินิตี้ที่สวยงาม: ลอการิทึมสามตัว - คนขี้ขลาดผู้มีประสบการณ์และคนโง่ :) และลองเดาคำตอบที่มีไหวพริบในทันที! มีเพียงวิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนเท่านั้นที่ช่วยได้) อันที่จริง เรากำลังตรวจสอบเพื่อจุดประสงค์นี้ อะไร อย่างไร และที่ไหน

เพื่อเป็นการฝึกฝน ฉันขอแนะนำให้คุณฝึกฝนวิธีการและบูรณาการเศษส่วนต่อไปนี้:

ฝึกฝน หาอินทิกรัล อย่าเอาไปใช้งาน! คุณควรได้รับคำตอบดังนี้:

วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนเป็นสิ่งที่ทรงพลัง มันช่วยได้แม้ในสถานการณ์ที่สิ้นหวังที่สุด เมื่อคุณแปลงเศษส่วนอยู่ดี เป็นต้น และที่นี่ ผู้อ่านที่เอาใจใส่และสนใจบางคนอาจมีคำถามหลายข้อ:

- จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพหุนามในตัวส่วนไม่แยกตัวประกอบเลย?

- เราจะมองหาการขยายตัวของเศษส่วนตรรกยะขนาดใหญ่เป็นผลรวมของเศษส่วนย่อยได้อย่างไร? ในรูปแบบใด? ทำไมในสิ่งนี้และไม่ใช่อย่างนั้น?

- จะเป็นอย่างไรหากมีตัวประกอบหลายตัวในการขยายตัวของตัวส่วน หรือวงเล็บยกกำลังเช่น (x-1) 2 ? มองหาการสลายตัวในรูปแบบใด

- จะเกิดอะไรขึ้นถ้านอกเหนือจากวงเล็บอย่างง่ายของแบบฟอร์ม (x-a) ตัวส่วนมีตรีโกณมิติสี่เหลี่ยมที่แยกย่อยไม่ได้พร้อมกัน? สมมุติว่า x 2 +4x+5 ? มองหาการสลายตัวในรูปแบบใด

ถึงเวลาทำความเข้าใจอย่างละเอียดถี่ถ้วนว่าขางอกมาจากไหน ในบทเรียนต่อไป)

อินทิเกรตของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ.
วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์บึกบึน

เรายังคงทำงานเกี่ยวกับการรวมเศษส่วนต่อไป เราได้พิจารณาอินทิกรัลของเศษส่วนบางประเภทในบทเรียนแล้ว และบทเรียนนี้ในแง่หนึ่งอาจถือเป็นความต่อเนื่อง เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้สำเร็จ จำเป็นต้องมีทักษะการบูรณาการขั้นพื้นฐาน ดังนั้นหากคุณเพิ่งเริ่มศึกษาปริพันธ์ นั่นคือคุณเป็นกาน้ำชา คุณต้องเริ่มต้นด้วยบทความ อินทิกรัลไม่แน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน.

ผิดปกติพอตอนนี้เราจะไม่จัดการกับการหาปริพันธ์เป็น ... การแก้ระบบสมการเชิงเส้น ในการเชื่อมต่อนี้ อย่างยิ่งฉันขอแนะนำให้ไปที่บทเรียน กล่าวคือ คุณต้องมีความเชี่ยวชาญในวิธีการแทนที่ (วิธี "โรงเรียน" และวิธีการเพิ่ม (การลบ) ของสมการระบบแบบเทอมต่อเทอม)

ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนคืออะไร? พูดง่ายๆ ก็คือ ฟังก์ชันเศษส่วนเป็นเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนที่เป็นพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม ในเวลาเดียวกัน เศษส่วนมีความซับซ้อนมากกว่าที่กล่าวถึงในบทความ การอินทิเกรตของเศษส่วน.

การอินทิเกรตของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะที่ถูกต้อง

ตัวอย่างทันทีและอัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะที่เป็นเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 1

ขั้นตอนที่ 1.สิ่งแรกที่เราทำเสมอเมื่อแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ-เศษส่วนคือถามคำถามต่อไปนี้: เศษส่วนถูกต้องหรือไม่ขั้นตอนนี้ทำด้วยปากเปล่า และตอนนี้ฉันจะอธิบายว่า:

ก่อนอื่นให้ดูที่ตัวเศษแล้วค้นหา ระดับอาวุโสพหุนาม:

เลขยกกำลังสูงสุดของตัวเศษคือ 2

ตอนนี้ดูที่ตัวส่วนและค้นหา ระดับอาวุโสตัวส่วน วิธีที่ชัดเจนคือการเปิดวงเล็บและนำเงื่อนไขที่คล้ายกัน แต่คุณสามารถทำได้ง่ายกว่าใน แต่ละวงเล็บหาระดับสูงสุด

และทวีคูณทางจิตใจ: - ดังนั้นระดับสูงสุดของตัวส่วนจึงเท่ากับสาม ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเราเปิดวงเล็บจริงๆ เราจะไม่ได้ปริญญาที่มากกว่าสาม

บทสรุป: ตัวเศษยกกำลังสูงสุด อย่างเคร่งครัดน้อยกว่ากำลังสูงสุดของตัวส่วน เศษส่วนนั้นถูกต้อง

ถ้าในตัวอย่างนี้ ตัวเศษประกอบด้วยพหุนาม 3, 4, 5 เป็นต้น องศา แล้วเศษส่วนจะเป็น ผิด.

ตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันเศษส่วนที่เหมาะสมเท่านั้น. กรณีที่ระดับของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับระดับของตัวส่วน เราจะวิเคราะห์ในตอนท้ายของบทเรียน

ขั้นตอนที่ 2ลองแยกตัวประกอบตัวส่วน ลองดูที่ตัวส่วนของเรา:

โดยทั่วไปแล้ว นี่เป็นผลผลิตของปัจจัยต่างๆ อยู่แล้ว แต่ถึงกระนั้น เราถามตัวเองว่า เป็นไปได้ไหมที่จะขยายอย่างอื่น แน่นอนว่าเป้าหมายของการทรมานจะเป็นตรีโกณมิติ เราแก้สมการกำลังสอง:

ค่าจำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าตรีโกณมิติแยกตัวประกอบจริง:

กฎทั่วไป: ทุกสิ่งในตัวส่วนสามารถแยกตัวประกอบได้ - แยกตัวประกอบ

เริ่มตัดสินใจกันเลย:

ขั้นตอนที่ 3โดยใช้วิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่จำกัด เราขยายอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย (เบื้องต้น) ตอนนี้จะชัดเจนขึ้น

ลองดูที่ฟังก์ชันบูรณาการของเรา:

และคุณรู้ไหม ความคิดโดยสัญชาตญาณก็เล็ดลอดออกมาว่า มันคงจะดีถ้าเปลี่ยนเศษส่วนขนาดใหญ่ของเราให้เป็นเศษส่วนเล็กๆ หลายๆ อัน ตัวอย่างเช่น:

คำถามเกิดขึ้นเป็นไปได้ไหมที่จะทำสิ่งนี้? ลองถอนหายใจด้วยความโล่งอก ทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันของสถานะการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - เป็นไปได้ การสลายตัวดังกล่าวมีอยู่และมีลักษณะเฉพาะ.

มีเพียงหนึ่งจับ, ค่าสัมประสิทธิ์เรา ลาก่อนเราไม่รู้เพราะฉะนั้นชื่อ - วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

คุณเดาได้ว่าท่าทางที่ตามมาอย่าหัวเราะเยาะ! จะมุ่งเป้าไปที่การเรียนรู้พวกเขาเท่านั้น - เพื่อค้นหาว่าพวกเขามีค่าเท่ากับอะไร

ระวังฉันจะอธิบายอย่างละเอียดอีกครั้ง!

ดังนั้นเรามาเริ่มเต้นจาก:

ทางด้านซ้าย เรานำการแสดงออกไปยังส่วนร่วม:

ตอนนี้เรากำจัดตัวส่วนอย่างปลอดภัย (เพราะมันเหมือนกัน):

ทางด้านซ้าย เราเปิดวงเล็บในขณะที่เรายังไม่ได้แตะค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก:

ในเวลาเดียวกัน เราทำซ้ำกฎของโรงเรียนสำหรับการคูณพหุนาม เมื่อฉันเป็นครูฉันเรียนรู้ที่จะพูดกฎนี้ด้วยใบหน้าที่ตรงไปตรงมา: ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกับแต่ละพจน์ของพหุนามอีกตัว.

จากมุมมองของคำอธิบายที่ชัดเจน เป็นการดีกว่าที่จะใส่ค่าสัมประสิทธิ์ในวงเล็บ (แม้ว่าโดยส่วนตัวแล้วฉันไม่เคยทำสิ่งนี้เพื่อประหยัดเวลา):

เราสร้างระบบสมการเชิงเส้น
ขั้นแรก เรามองหาระดับอาวุโส:

และเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้องในสมการแรกของระบบ:

จำความแตกต่างเล็กน้อยต่อไปนี้ให้ดี. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าไม่มีด้านขวาเลย? พูดว่ามันจะอวดโดยไม่ต้องมีเหลี่ยมหรือไม่? ในกรณีนี้ ในสมการของระบบ จำเป็นต้องใส่ศูนย์ทางด้านขวา: . ทำไมต้องเป็นศูนย์? และเนื่องจากทางด้านขวาคุณสามารถกำหนดให้กำลังสองเดียวกันนี้เป็นศูนย์ได้เสมอ: หากไม่มีตัวแปรหรือ (และ) เทอมอิสระทางด้านขวา เราจะใส่เลขศูนย์ทางด้านขวาของสมการที่สอดคล้องกันของระบบ

เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้องในสมการที่สองของระบบ:

และสุดท้าย น้ำแร่ เราคัดสรรสมาชิกฟรี

เอ่อ...ล้อเล่นค่ะ เรื่องตลก - คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่จริงจัง ในกลุ่มสถาบันของเรา ไม่มีใครหัวเราะเมื่อผู้ช่วยศาสตราจารย์บอกว่าเธอจะกระจายสมาชิกไปตามเส้นจำนวนและเลือกที่ใหญ่ที่สุด มาจริงจังกันเถอะ แม้ว่า...ใครก็ตามที่มีชีวิตอยู่เพื่อดูการจบบทเรียนนี้จะยังคงยิ้มอย่างเงียบๆ

ระบบพร้อม:

เราแก้ไขระบบ:

(1) จากสมการแรก เราแสดงและแทนลงในสมการที่ 2 และ 3 ของระบบ ในความเป็นจริง มันเป็นไปได้ที่จะแสดง (หรือตัวอักษรอื่น) จากสมการอื่น แต่ในกรณีนี้ มันเป็นข้อได้เปรียบที่จะแสดงจากสมการที่ 1 เนื่องจากมี อัตราต่อรองที่น้อยที่สุด.

(2) เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่ 2 และ 3

(3) เราเพิ่มสมการที่ 2 และ 3 ทีละเทอม ในขณะที่ได้ความเท่าเทียมกัน ซึ่งตามด้วยสมการนั้น

(4) เราแทนที่ลงในสมการที่สอง (หรือสาม) ซึ่งเราพบว่า

(5) เราแทน และ ลงในสมการแรก จะได้

หากคุณมีปัญหาใด ๆ กับวิธีการแก้ปัญหาระบบ ให้ทำในชั้นเรียน จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

หลังจากแก้ไขระบบแล้ว จะมีประโยชน์เสมอในการตรวจสอบ - แทนที่ค่าที่พบ ในแต่ละสมการของระบบ ดังนั้นทุกอย่างควร "บรรจบกัน"

เกือบจะมาถึงแล้ว พบค่าสัมประสิทธิ์ในขณะที่:

งานที่สะอาดควรมีลักษณะดังนี้:

อย่างที่คุณเห็น ความยากหลักของงานคือการเขียน (อย่างถูกต้อง!) และแก้ (อย่างถูกต้อง!) ระบบสมการเชิงเส้น และในขั้นตอนสุดท้ายทุกอย่างก็ไม่ใช่เรื่องยาก: เราใช้คุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและอินทิกรัล ฉันดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อเท็จจริงที่ว่าภายใต้อินทิกรัลทั้งสามแต่ละตัวเรามีฟังก์ชันที่ซับซ้อน "ฟรี" ฉันได้พูดถึงคุณสมบัติของการรวมไว้ในบทเรียน วิธีการเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลไม่ จำกัด.

ตรวจสอบ: แยกความแตกต่างของคำตอบ:

ได้รับอินทิกรัลดั้งเดิม ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลอย่างถูกต้อง
ในระหว่างการตรวจสอบ จำเป็นต้องนำนิพจน์มาเป็นตัวส่วนร่วม และนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนและการนำนิพจน์มาเป็นตัวส่วนร่วมเป็นการกระทำที่ผกผันซึ่งกันและกัน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

กลับไปที่เศษส่วนจากตัวอย่างแรก: . มันง่ายที่จะเห็นว่าในตัวส่วนมีปัจจัยทั้งหมดที่แตกต่างกัน คำถามเกิดขึ้นว่าจะทำอย่างไรถ้าได้รับเศษส่วนดังกล่าว: ? ที่นี่เรามีองศาในตัวส่วน หรือในแง่คณิตศาสตร์ หลายปัจจัย. นอกจากนี้ยังมี trinomial กำลังสองที่แยกย่อยไม่ได้ (ง่ายต่อการตรวจสอบว่าการแยกแยะสมการ เป็นลบ ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกตัวประกอบไตรนามได้) จะทำอย่างไร? การขยายเป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐานจะมีลักษณะดังนี้ ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักที่ด้านบนหรือด้วยวิธีอื่น

ตัวอย่างที่ 3

ส่งฟังก์ชั่น

ขั้นตอนที่ 1.ตรวจสอบว่าเรามีเศษส่วนที่ถูกต้องหรือไม่
กำลังสูงสุดของตัวเศษ: 2
ตัวหารสูงสุด: 8
เศษส่วนจึงถูกต้อง

ขั้นตอนที่ 2อะไรสามารถแยกตัวประกอบในตัวส่วนได้หรือไม่? ไม่แน่นอน ทุกอย่างถูกกำหนดไว้แล้ว ไตรนามสแควร์ไม่ขยายเป็นผลิตภัณฑ์ด้วยเหตุผลข้างต้น ดี. ทำงานน้อยลง

ขั้นตอนที่ 3ให้เราแสดงฟังก์ชันเศษส่วนตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐาน
ในกรณีนี้ การสลายตัวมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ลองดูที่ตัวส่วนของเรา:
เมื่อแยกย่อยฟังก์ชันเศษส่วนตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐาน ประเด็นพื้นฐานสามประการสามารถแยกแยะได้:

1) หากตัวส่วนมีปัจจัย "โดดเดี่ยว" ในระดับแรก (ในกรณีของเรา) เราจะใส่ค่าสัมประสิทธิ์ไม่จำกัดไว้ที่ด้านบน (ในกรณีของเรา) ตัวอย่างหมายเลข 1,2 ประกอบด้วยปัจจัย "โดดเดี่ยว" ดังกล่าวเท่านั้น

2) ถ้าตัวส่วนประกอบด้วย หลายรายการตัวคูณ คุณต้องแยกย่อยดังนี้:
- นั่นคือเรียงลำดับระดับ "x" ทั้งหมดตามลำดับตั้งแต่ระดับที่หนึ่งถึงระดับที่ n ในตัวอย่างของเรา มีสองปัจจัยหลายประการ: และ ลองดูอีกครั้งที่การสลายตัวที่ฉันให้ไว้ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าปัจจัยเหล่านั้นถูกแยกย่อยตามกฎนี้ทุกประการ

3) หากตัวส่วนประกอบด้วยพหุนามระดับสองที่แยกย่อยไม่ได้ (ในกรณีของเรา ) จากนั้นเมื่อขยายในตัวเศษ คุณต้องเขียนฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน (ในกรณีของเรา ค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน และ )

ในความเป็นจริงมีกรณีที่ 4 ด้วย แต่ฉันจะเงียบเกี่ยวกับเรื่องนี้เนื่องจากในทางปฏิบัติมันหายากมาก

ตัวอย่างที่ 4

ส่งฟังก์ชั่น เป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐานที่ไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน
ปฏิบัติตามอัลกอริทึมอย่างเคร่งครัด!

หากคุณทราบหลักการที่คุณต้องแยกย่อยฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นผลรวมแล้ว คุณก็สามารถถอดรหัสอินทิกรัลประเภทใดก็ได้ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

ขั้นตอนที่ 1.เห็นได้ชัดว่าเศษส่วนนั้นถูกต้อง:

ขั้นตอนที่ 2อะไรสามารถแยกตัวประกอบในตัวส่วนได้หรือไม่? สามารถ. นี่คือผลรวมของลูกบาศก์ . การแยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ

ขั้นตอนที่ 3โดยใช้วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เราขยายอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐาน:

โปรดทราบว่าพหุนามนั้นไม่สามารถแยกย่อยได้ (ตรวจสอบว่าการจำแนกเป็นค่าลบ) ดังนั้นที่ด้านบนเราจึงใส่ฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก ไม่ใช่แค่ตัวอักษรเดียว

เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:

มาสร้างและแก้ไขระบบกัน:

(1) จากสมการแรก เราแสดงและแทนที่ลงในสมการที่สองของระบบ (นี่เป็นวิธีที่มีเหตุผลที่สุด)

(2) เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่สอง

(3) เราเพิ่มสมการที่สองและสามของเทอมระบบทีละเทอม

โดยหลักการแล้วการคำนวณเพิ่มเติมทั้งหมดเป็นแบบปากเปล่าเนื่องจากระบบนั้นง่าย

(1) เราเขียนผลรวมของเศษส่วนตามค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ .

(2) เราใช้คุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน เกิดอะไรขึ้นในอินทิกรัลที่สอง คุณสามารถหาวิธีนี้ได้ในย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน การอินทิเกรตของเศษส่วน.

(3) เราใช้คุณสมบัติของความเป็นเชิงเส้นอีกครั้ง ในอินทิกรัลที่สาม เราเริ่มเลือกตารางเต็ม (ย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน การอินทิเกรตของเศษส่วน).

(4) เราใช้อินทิกรัลที่สองในส่วนที่สามเราเลือกเต็มกำลังสอง

(5) เราใช้อินทิกรัลที่สาม พร้อม.

กระทรวงวิทยาศาสตร์และการศึกษาแห่งสาธารณรัฐ BASHKORTO STAN

GAOU SPO Bashkir วิทยาลัยสถาปัตยกรรมศาสตร์และวิศวกรรมโยธา

คาลิอุลลิน อัสคัท อาเดลซียาโนวิช

ครูสอนคณิตศาสตร์ Bashkir

วิทยาลัยสถาปัตยกรรมศาสตร์และวิศวกรรมโยธา

ยูฟา

2557

บทนำ ___________________________________________________3

บท ฉัน. แง่มุมทางทฤษฎีของการใช้วิธีสัมประสิทธิ์บึกบึน ______________________________________________4

บท ครั้งที่สอง ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเกี่ยวกับพหุนามโดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน _______________________________7

2.1. การแยกตัวประกอบของพหุนาม_____________________ 7

2.2. งานที่มีพารามิเตอร์__________________________________ 10

2.3. การแก้สมการ ____________________________________14

2.4. สมการเชิงฟังก์ชัน _____________________________19

สรุป_________________________________________________23

รายการอ้างอิง____________________________24

แอปพลิเคชัน ________________________________________________25

บทนำ.

งานนี้อุทิศให้กับแง่มุมทางทฤษฎีและการปฏิบัติของการแนะนำวิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ความเกี่ยวข้องของหัวข้อนี้พิจารณาจากสถานการณ์ต่อไปนี้

ไม่มีใครจะเถียงกับความจริงที่ว่าคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์ไม่ได้อยู่ในที่เดียว มันพัฒนาตลอดเวลา งานใหม่ที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นปรากฏขึ้นซึ่งมักจะทำให้เกิดปัญหาบางอย่างเนื่องจากงานเหล่านี้มักจะเกี่ยวข้องกับการวิจัย ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา มีการเสนอปัญหาดังกล่าวที่โรงเรียน โอลิมปิกคณิตศาสตร์ระดับภูมิภาคและรีพับลิกัน ปัญหาเหล่านี้ยังมีให้ใช้งานในเวอร์ชัน USE ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีวิธีการพิเศษที่จะช่วยให้สามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็ว มีประสิทธิภาพ และประหยัดที่สุด ในงานนี้ เนื้อหาของวิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่จำกัดถูกนำเสนอในลักษณะที่เข้าถึงได้ ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ ของคณิตศาสตร์ ตั้งแต่คำถามที่รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียนการศึกษาทั่วไปไปจนถึงส่วนที่ก้าวหน้าที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การประยุกต์วิธีสัมประสิทธิ์ไม่จำกัดในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ สมการตรรกยะเศษส่วนและสมการฟังก์ชันนั้นน่าสนใจและมีประสิทธิภาพเป็นพิเศษ พวกเขาสามารถสนใจใครก็ตามที่สนใจคณิตศาสตร์ได้อย่างง่ายดาย วัตถุประสงค์หลักของงานที่เสนอและการเลือกปัญหาคือการให้โอกาสที่เพียงพอสำหรับการสร้างเสริมและพัฒนาความสามารถในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่สั้นและไม่ได้มาตรฐาน

งานนี้ประกอบด้วยสองบท ข้อแรกเกี่ยวข้องกับแง่มุมทางทฤษฎีของการใช้

วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนในแง่มุมที่สอง - เชิงปฏิบัติและระเบียบวิธีของการใช้งานดังกล่าว

ภาคผนวกของงานประกอบด้วยเงื่อนไขของงานเฉพาะสำหรับโซลูชันอิสระ

บท ฉัน . แง่มุมทางทฤษฎีของการใช้งานวิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน

“ผู้ชาย…เกิดมาเพื่อเป็นนาย

เจ้านาย ราชาแห่งธรรมชาติ แต่ปัญญา

ที่เขาควรจะปกครองไม่ได้มอบให้กับเขา

ตั้งแต่แรกเกิด: ได้มาโดยการเรียนรู้"

N.I. Lobachevsky

มีหลายวิธีและวิธีการแก้ปัญหา แต่วิธีที่สะดวกที่สุดมีประสิทธิภาพมากที่สุดดั้งเดิมสง่างามและในขณะเดียวกันก็ง่ายและเข้าใจได้ง่ายสำหรับทุกคนคือวิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่จำกัดเป็นวิธีที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ ซึ่งเป็นรูปแบบที่ทราบล่วงหน้า

ก่อนที่จะพิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนในการแก้ปัญหาประเภทต่างๆ เราได้นำเสนอข้อมูลทางทฤษฎีจำนวนหนึ่ง

ปล่อยให้พวกเขาได้รับ

ก น (x) = ก 0 x น + ก 1 x n-1 + ก 2 x n-2 + ··· + ก n-1 x + ก น

ข ม (x ) = ข 0 x ม + ข 1 x ม -1 + ข 2 x ม -2 + ··· + ข ม.1 x + ข ม ,

พหุนามที่เกี่ยวกับ เอ็กซ์ด้วยอัตราส่วนเท่าใดก็ได้

ทฤษฎีบท. พหุนามสองชื่อขึ้นอยู่กับหนึ่งและ ของอาร์กิวเมนต์เดียวกันจะเท่ากันก็ต่อเมื่อน = ม และค่าสัมประสิทธิ์ตามลำดับคือก 0 = ข 0 , ก 1 = ข 1 , ก 2 = ข 2 ,··· , ก น -1 = ข ม -1 , ก น = ข ม และ ที. ง.

แน่นอน พหุนามที่เท่ากันใช้กับค่าทั้งหมด เอ็กซ์ค่าเดียวกัน ในทางกลับกัน ถ้าค่าของพหุนามสองตัวมีค่าเท่ากันสำหรับค่าทั้งหมด เอ็กซ์แล้วพหุนาม มีค่าเท่ากัน นั่นคือ ค่าสัมประสิทธิ์กำลังเท่ากันเอ็กซ์การแข่งขัน.

ดังนั้นจึงมีแนวคิดในการนำวิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนมาใช้ในการแก้ปัญหาดังนี้

แจ้งให้เราทราบว่าจากการแปลงบางอย่าง จะได้นิพจน์ของรูปแบบหนึ่งๆ และไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์นี้เท่านั้น จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะแสดงด้วยตัวอักษรและถือว่าไม่ทราบ จากนั้นระบบสมการจะถูกรวบรวมเพื่อกำหนดสิ่งแปลกปลอมเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น ในกรณีของพหุนาม สมการเหล่านี้ประกอบด้วยเงื่อนไขของการเท่ากันของสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากัน เอ็กซ์สำหรับพหุนามสองตัวที่เท่ากัน

เราจะแสดงข้างต้นด้วยตัวอย่างที่ชัดเจนต่อไปนี้ และเราจะเริ่มด้วยตัวอย่างที่ง่ายที่สุด

ตัวอย่างเช่น บนพื้นฐานของการพิจารณาทางทฤษฎี เศษส่วน

สามารถแสดงเป็นผลรวมได้

, ที่ไหน ก , ข และ ค - ค่าสัมประสิทธิ์ที่จะกำหนด เพื่อค้นหาพวกเขา เราเปรียบเทียบนิพจน์ที่สองกับนิพจน์แรก:

=

และกำจัดตัวส่วนและรวบรวมเงื่อนไขทางด้านซ้ายด้วยพลังเดียวกัน เอ็กซ์, เราได้รับ:

(ก + ข + ค )เอ็กซ์ 2 + ( ข - ค )x - ก = 2เอ็กซ์ 2 – 5 เอ็กซ์– 1

เนื่องจากความเท่าเทียมกันสุดท้ายต้องคงไว้สำหรับค่าทั้งหมด เอ็กซ์แล้วสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันเอ็กซ์ขวาและซ้ายควรเหมือนกัน ดังนั้นจึงได้สมการสามสมการสำหรับหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักสามตัว:

เอ+บี+ค = 2

ข - ค = - 5

ก= 1 มาจากไหน ก = 1 , ข = - 2 , ค = 3

เพราะเหตุนี้,

=
,

ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้ง่ายต่อการตรวจสอบโดยตรง

ลองนึกภาพเศษส่วน

เช่น ก + ข
+ ค
+ ง
, ที่ไหน ก , ข , ค และ ง- ค่าสัมประสิทธิ์เหตุผลที่ไม่รู้จัก เทียบนิพจน์ที่สองกับนิพจน์แรก:

ก + ข
+ ค
+ ง
=
หรือ, การกำจัดตัวส่วน, การนำปัจจัยที่มีเหตุผลออกจากใต้สัญลักษณ์ของรากและการนำเงื่อนไขที่คล้ายกันทางด้านซ้าย เราได้รับ:

(เอ- 2 ข + 3 ค ) + (- เอ+บี +3 ง )
+ (เอ + ค - 2 ง )
+

+ (บี-ค + ง )
= 1 +
-
.

แต่ความเท่าเทียมกันดังกล่าวเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่เงื่อนไขเชิงตรรกยะของทั้งสองส่วนและค่าสัมประสิทธิ์ของอนุมูลเดียวกันมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงได้สมการสี่สมการสำหรับการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก ก , ข , ค และ ง :

เอ- 2ข + 3ค = 1

- เอ+บี +3 ง = 1

เอ + ค - 2 ง = - 1

ข - ค + ง= 0 มาจากไหน ก = 0 ; ข = - ; ค = 0 ; ง= นั่นคือ
= -
+
.

บทที่สอง ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเกี่ยวกับพหุนาม วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน.

“ไม่มีอะไรที่ก่อให้เกิดการดูดกลืนของวัตถุ

ว่าควรปฏิบัติอย่างไรกับเขาในสถานการณ์ต่างๆ"

นักวิชาการ B.V. Gnedenko

2. 1. การสลายตัวของพหุนามเป็นปัจจัย

วิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม:

1) การถอดตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ 2) วิธีการจัดกลุ่ม; 3) การประยุกต์ใช้สูตรคูณพื้นฐาน 4) การแนะนำคำศัพท์เสริม 5) การแปลงเบื้องต้นของพหุนามที่กำหนดด้วยความช่วยเหลือของสูตรบางอย่าง 6) การขยายตัวโดยการค้นหารากของพหุนามที่กำหนด 7) วิธีการแนะนำพารามิเตอร์ 8) วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน

ปัญหา 1. แยกพหุนามออกเป็นตัวประกอบจริง เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 2 + 1 .

วิธีการแก้. ไม่มีรากจากตัวหารของพจน์อิสระของพหุนามนี้ เราไม่สามารถหารากของพหุนามด้วยวิธีพื้นฐานอื่นๆ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะดำเนินการขยายที่ต้องการโดยการค้นหารากของพหุนามนี้ก่อน มันยังคงมองหาวิธีแก้ปัญหาโดยการแนะนำเงื่อนไขเสริมหรือโดยวิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เห็นได้ชัดว่า เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 2 + 1 = เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 3 + เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ 3 - เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ + เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1 =

= เอ็กซ์ 2 (เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1) - เอ็กซ์ (เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1) + เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1 =

= (เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1)(เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ + 1).

ผลที่ได้คือทริโนเมียลกำลังสองไม่มีราก ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกย่อยเป็นปัจจัยเชิงเส้นจริงได้

วิธีการที่อธิบายนั้นง่ายในทางเทคนิค แต่ยากเนื่องจากเป็นของปลอม อันที่จริง มันยากมากที่จะหาเงื่อนไขเสริมที่จำเป็น การเดาเท่านั้นที่ช่วยให้เราค้นพบการสลายตัวนี้ แต่

มีวิธีที่เชื่อถือได้มากกว่าในการแก้ปัญหาดังกล่าว

สามารถดำเนินการได้ดังนี้: สมมติว่าพหุนามที่กำหนดขยายเป็นผลิตภัณฑ์

(เอ็กซ์ 2 + ก เอ็กซ์ + ข )(เอ็กซ์ 2 + ค เอ็กซ์ + ง )

Trinomials สี่เหลี่ยมสองตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

เท่านี้เราก็จะได้สิ่งนั้น

เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 2 + 1 = (เอ็กซ์ 2 + ก เอ็กซ์ + ข )(เอ็กซ์ 2 + ค เอ็กซ์ + ง )

มันยังคงกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ก , ข , ค และ ง .

การคูณพหุนามทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันสุดท้าย เราได้รับ:เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 2 + 1 = เอ็กซ์ 4 +

+ (เอ + ค ) เอ็กซ์ 3 + (ข + ก ค + ง ) เอ็กซ์ 2 + (โฆษณา + พ.ศ ) x + bd .

แต่เนื่องจากเราต้องการให้ด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้กลายเป็นพหุนามเดียวกับที่อยู่ด้านซ้าย เราจึงจำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

เอ + ค = 0

ข + ก ค + ง = 1

โฆษณา + พ.ศ = 0

bd = 1 .

ผลลัพธ์คือระบบสี่สมการที่มีสี่ค่าที่ไม่รู้จักก , ข , ค และ ง . ง่ายต่อการหาค่าสัมประสิทธิ์จากระบบนี้ก = 1 , ข = 1 , ค = -1 และ ง = 1.

ตอนนี้ปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ เราได้:

เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 2 + 1 = (เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1)(เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ + 1).

โจทย์ข้อที่ 2 แจกแจงพหุนามให้เป็นตัวประกอบจริง เอ็กซ์ 3 – 6 เอ็กซ์ 2 + 14 เอ็กซ์ – 15 .

วิธีการแก้. เราแสดงพหุนามนี้ในรูปแบบ

เอ็กซ์ 3 – 6 เอ็กซ์ 2 + 14 เอ็กซ์ – 15 = (เอ็กซ์ + ก )(เอ็กซ์ 2 + bx + ค) , ที่ไหน ก , ข และ กับ - ยังไม่ได้กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ เนื่องจากพหุนามสองชื่อจะเท่ากันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์กำลังเท่ากันเอ็กซ์ มีค่าเท่ากัน จากนั้นให้เทียบค่าสัมประสิทธิ์ตามลำดับที่เอ็กซ์ 2 , เอ็กซ์ และเงื่อนไขฟรี เราได้ระบบสมการสามสมการที่มีสามค่าที่ไม่รู้จัก:

เอ+บี= - 6

เอบี + ค = 14

ไฟฟ้ากระแสสลับ = - 15 .

วิธีแก้ปัญหาของระบบนี้จะง่ายขึ้นมากหากเราพิจารณาว่าเลข 3 (ตัวหารของเทอมอิสระ) เป็นรากของสมการนี้ ดังนั้นก = - 3 ,

ข = - 3 และ กับ = 5 .

แล้ว เอ็กซ์ 3 – 6 เอ็กซ์ 2 + 14 เอ็กซ์ – 15 = (เอ็กซ์ – 3)(เอ็กซ์ 2 – 3 x + 5).

วิธีการใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนเมื่อเปรียบเทียบกับวิธีการแนะนำคำศัพท์เสริมข้างต้นไม่มีสิ่งใดเทียม แต่ต้องใช้บทบัญญัติทางทฤษฎีมากมายและมาพร้อมกับการคำนวณที่ค่อนข้างใหญ่ สำหรับพหุนามที่มีระดับสูงกว่า วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนนี้นำไปสู่ระบบสมการที่ยุ่งยาก

2.2 งาน และด้วยพารามิเตอร์

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา มีการเสนองานที่มีพารามิเตอร์ในตัวแปร USE วิธีแก้ปัญหาของพวกเขามักจะทำให้เกิดปัญหาบางอย่าง เมื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์พร้อมกับวิธีการอื่น ๆ คุณสามารถใช้วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนได้อย่างมีประสิทธิภาพ เป็นวิธีนี้ทำให้แก้ปัญหาได้ง่ายขึ้นและได้รับคำตอบอย่างรวดเร็ว

ภารกิจที่ 3 กำหนดค่าของพารามิเตอร์ กสมการ 2 เอ็กซ์ 3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ + ก – 3 = 0 มีสองรากพอดี

วิธีการแก้. 1 วิธี ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์

เราแสดงสมการนี้ในรูปของสองฟังก์ชัน

2x3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ – 3 = – ก .

ฉ (x) = 2x 3 - 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์– 3 และ φ( เอ็กซ์ ) = – ก .

สำรวจฟังก์ชันฉ (x) = 2x 3 - 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ - 3 โดยใช้อนุพันธ์และสร้างกราฟตามแผนผัง (รูปที่ 1.)

ฉ( – x )ฉ (x ) , ฉ (– x ) – ฉ (x ). ฟังก์ชันนี้ไม่เป็นเลขคู่หรือเลขคี่

3. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน, ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง, สุดขีด ฉ / (x ) = 6 x 2 – 6 เอ็กซ์ – 36. ง (ฉ / ) = ร ดังนั้นเราจึงหาจุดวิกฤตทั้งหมดของฟังก์ชันโดยการแก้สมการ ฉ / (x ) = 0 .

6(เอ็กซ์ 2 – เอ็กซ์– 6) = 0 ,

เอ็กซ์ 2 – เอ็กซ์– 6 = 0 ,

เอ็กซ์ 1 = 3 , เอ็กซ์ 2 = – 2 โดยทฤษฎีบทสนทนากับทฤษฎีบท Vieta

ฉ / (x ) = 6(เอ็กซ์ – 3)(เอ็กซ์ + 2).

+ สูงสุด - นาที +

2 3 x

ฉ / (x) > 0 สำหรับทั้งหมด เอ็กซ์< – 2 และ เอ็กซ์ > 3 และฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดx =– 2 และ เอ็กซ์ = 3 ดังนั้นจึงเพิ่มขึ้นในแต่ละช่วง (- ; - 2] และ [ 3 ; ).

ฉ / (x ) < 0 ที่ - 2 < เอ็กซ์< 3 ดังนั้นจึงลดลงในช่วงเวลา [- 2; 3 ].

เอ็กซ์ = - 2 จุดสูงสุด เนื่องจาก ณ จุดนี้ สัญญาณของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก"+" ถึง "-"

ฉ (– 2) = 2 (– 8) – 3 4 – 36 (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 คือจุดต่ำสุด เนื่องจาก ณ จุดนี้สัญญาณของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์"-" ถึง "+"

ฉ (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84 .

กราฟของฟังก์ชัน φ(เอ็กซ์ ) = – ก เป็นเส้นตรงขนานกับแกน x และผ่านจุดที่มีพิกัด (0; – ก ). กราฟมีจุดร่วมสองจุดที่ -ก= 41 เช่น ก =- 41 และ - ก= - 84 เช่น ก = 84 .

ที่

41 φ( เอ็กซ์)

2 3 เอ็กซ์

3 ฉ ( x ) = 2x3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ – 3

2 ทาง วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน

เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา สมการนี้ควรมีสองรากเท่านั้น การบรรลุความเท่าเทียมกันจึงชัดเจน:

2เอ็กซ์ 3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ + ก – 3 = (x + ข ) 2 (2 x + ค ) ,

2เอ็กซ์ 3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ + ก – 3 = 2 x 3 + (4 ข + ค ) x 2 + (2 ข 2 + +2 พ.ศ ) x + ข 2 ค ,

ตอนนี้กำลังเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากัน เอ็กซ์เราได้ระบบสมการ

4 ข + ค = - 3

2ข 2 + 2ก่อนคริสต์ศักราช=- 36

ข 2 ค = ก – 3 .

จากสองสมการแรกของระบบที่เราพบข 2 + ข – 6 = 0 ดังนั้น ข 1 = - 3 หรือ ข 2 = 2 . ค่าตามลำดับกับ 1 และ กับ 2 หาได้ง่ายจากสมการแรกของระบบ:กับ 1 = 9 หรือ กับ 2 = - 11 . ในที่สุด ค่าที่ต้องการของพารามิเตอร์สามารถกำหนดได้จากสมการสุดท้ายของระบบ:

ก = ข 2 ค + 3 , ก 1 = - 41 หรือ ก 2 = 84.

คำตอบ: สมการนี้มีความแตกต่างสองอย่าง

รากที่ ก= - 41 และ ก= 84 .

ภารกิจที่ 4 ค้นหาค่าสูงสุดของพารามิเตอร์ก ซึ่งสำหรับสมการเอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = 0

ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มมีสามรากที่แตกต่างกันซึ่งหนึ่งในนั้นคือ - 2

วิธีการแก้. 1 วิธี การทดแทน เอ็กซ์= - 2 ทางด้านซ้ายของสมการ เราได้

8 + 20 – 2 ก + ข= 0 ซึ่งหมายความว่า ข = 2 ก – 12 .

เนื่องจากเลข - 2 เป็นราก คุณจึงดึงตัวประกอบร่วมออกมาได้ เอ็กซ์ + 2:

เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = เอ็กซ์ 3 + 2 เอ็กซ์ 2 + 3 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + (2 ก – 12) =

= x 2 (เอ็กซ์ + 2) + 3 x (เอ็กซ์ + 2) – 6 x + โอ้ + (2 ก – 12) =

= x 2 (เอ็กซ์ + 2) + 3 x (เอ็กซ์ + 2) + (ก – 6)(x +2) - 2(ก – 6)+ (2 เอ - 12) =

= (เอ็กซ์ + 2)(เอ็กซ์ 2 + 3 x + (ก – 6) ) .

ตามเงื่อนไข มีรากของสมการอีกสองราก ดังนั้นการเลือกปฏิบัติของปัจจัยที่สองจึงเป็นค่าบวก

ง =3 2 - 4 (ก – 6) = 33 – 4 ก > 0 นั่นคือ ก < 8,25 .

ดูเหมือนว่าคำตอบจะเป็น ก =แปด . แต่เมื่อแทนเลข 8 ในสมการเดิม เราจะได้:

เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + 8 เอ็กซ์ + 4 = (เอ็กซ์ + 2)(เอ็กซ์ 2 + 3 x + 2 ) =

= (เอ็กซ์ + 1) (เอ็กซ์ + 2) 2 ,

นั่นคือ สมการนี้มีรากที่แตกต่างกันเพียงสองราก แต่ที่ ก = 7 ได้รากที่แตกต่างกันสามตัวจริงๆ

2 ทาง วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

ถ้าสมการ เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = 0 มีราก เอ็กซ์ = - 2 คุณก็หยิบตัวเลขขึ้นมาได้ตลอดค และ ง เพื่อให้ทุกคนเอ็กซ์ ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = (เอ็กซ์ + 2)(เอ็กซ์ 2 + กับ x + ง ).

สำหรับค้นหาตัวเลขค และ ง เปิดวงเล็บด้านขวาให้คำที่คล้ายกันและรับ

เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = เอ็กซ์ 3 + (2 + กับ ) เอ็กซ์ 2 +(2 ด้วย + ง ) เอ็กซ์ + 2 ง

การเทียบค่าสัมประสิทธิ์กำลังที่สอดคล้องกัน เอ็กซ์เรามีระบบ

2 + กับ = 5

2 กับ + ง = ก

2 ง = ข , ที่ไหน ค = 3 .

เพราะเหตุนี้, เอ็กซ์ 2 + 3 x + ง = 0 , ง = 9 – 4 ง > 0 หรือ

ง < 2.25 ดังนั้น ง (- ; 2 ].

เงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามค่า ง = หนึ่ง . ค่าสุดท้ายของพารามิเตอร์ที่ต้องการก = 7.

A n e t: เมื่อไหร่ ก = 7 สมการนี้มีสามรากที่แตกต่างกัน

2.3. คำตอบของสมการ

“จำไว้ว่าเมื่อคุณแก้ปัญหาเล็กๆ น้อยๆ คุณจะ

เตรียมตัวสำหรับการแก้ปัญหาที่ใหญ่และยาก

งาน”

นักวิชาการ S.L.Sobolev

เมื่อแก้สมการบางอย่าง เป็นไปได้และจำเป็นต้องแสดงความมีไหวพริบและไหวพริบเพื่อใช้เทคนิคพิเศษ การมีวิธีการต่าง ๆ ในการแปลงและความสามารถในการให้เหตุผลเชิงตรรกะมีความสำคัญอย่างยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์ หนึ่งในเทคนิคเหล่านี้คือการบวกและลบนิพจน์หรือตัวเลขที่เลือกมาอย่างดี แน่นอนว่าข้อเท็จจริงดังกล่าวนั้นเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับทุกคน - ปัญหาหลักคือการดูในการกำหนดค่าเฉพาะของการแปลงสมการเหล่านั้นซึ่งสะดวกและเหมาะสมที่จะนำไปใช้

ในสมการเชิงพีชคณิตอย่างง่าย เราแสดงวิธีที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับการแก้สมการ

ปัญหาที่ 5 แก้สมการ

=
.

วิธีการแก้. คูณทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย 5 แล้วเขียนใหม่ดังนี้

= 0 ; เอ็กซ์ 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 หรือ
= 0

เราแก้สมการผลลัพธ์ด้วยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

เอ็กซ์ 4 - เอ็กซ์ 3 –7 เอ็กซ์ – 3 = (เอ็กซ์ 2 + อา + ข )(x 2 + คx + ง ) = 0

เอ็กซ์ 4 - เอ็กซ์ 3 –7 เอ็กซ์ – 3 = เอ็กซ์ 4 + (เอ + ค ) เอ็กซ์ 3 + (ข + ก ค + ง ) เอ็กซ์ 2 + (โฆษณา + พ.ศ ) x++ bd

เทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่ เอ็กซ์ 3 , เอ็กซ์ 2 , เอ็กซ์และเงื่อนไขฟรี เราได้รับระบบ

เอ + ค = -1

ข + ก ค + ง = 0

โฆษณา + พ.ศ = -7

bd = -3 จากที่เราพบ:ก = -2 ; ข = - 1 ;

กับ = 1 ; ง = 3 .

ดังนั้น เอ็กซ์ 4 - เอ็กซ์ 3 –7เอ็กซ์– 3 = (เอ็กซ์ 2 – 2 เอ็กซ์ – 1)(เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 3) = 0 ,

เอ็กซ์ 2 – 2 เอ็กซ์– 1 = 0 หรือ เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 3 = 0

เอ็กซ์ 1,2 =
ไม่มีราก

ในทำนองเดียวกันเรามี

เอ็กซ์ 4 – 12เอ็กซ์ – 5 = (เอ็กซ์ 2 – 2 เอ็กซ์ – 1)(เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์ + 5) = 0 ,

ที่ไหน เอ็กซ์ 2 + 2 เอ็กซ์ + 5 = 0 , ง = - 16 < 0 , нет корней.

ตอบ: เอ็กซ์ 1,2 =

ปัญหาที่ 6 แก้สมการ

= 10.

วิธีการแก้. ในการแก้สมการนี้ จำเป็นต้องเลือกตัวเลขกและ ข เพื่อให้ตัวเศษของเศษส่วนทั้งสองเท่ากัน ดังนั้นเราจึงมีระบบ:

= 0 , เอ็กซ์ 0; -1 ; -

= - 10

ดังนั้นงานคือการรับตัวเลขกและ ข , ซึ่งความเท่าเทียมกัน

(+ 6) เอ็กซ์ 2 + อา- 5 = เอ็กซ์ 2 + (5 + 2 ข ) x + ข

ตอนนี้ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของพหุนาม จำเป็นที่ด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้จะกลายเป็นพหุนามเดียวกับที่อยู่ทางด้านซ้าย

กล่าวอีกนัยหนึ่งความสัมพันธ์จะต้องคงอยู่

+ 6 = 1

ก = 5 + 2 ข

– 5 = ข ซึ่งเราหาค่าก = - 5 ;

ข = - 5 .

ด้วยค่าเหล่านี้กและ ข ความเท่าเทียมกัน ก + ข = - 10 ก็ใช้ได้เช่นกัน

= 0 , เอ็กซ์ 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(เอ็กซ์ 2 – 5เอ็กซ์– 5)(เอ็กซ์ 2 + 3เอ็กซ์ + 1) = 0 ,

เอ็กซ์ 2 – 5เอ็กซ์– 5 = 0 หรือ เอ็กซ์ 2 + 3เอ็กซ์ + 1 = 0 ,

เอ็กซ์ 1,2 =
, เอ็กซ์ 3,4 =

ตอบ: เอ็กซ์ 1,2 =
, เอ็กซ์ 3,4 =

ปัญหาที่ 7 แก้สมการ

= 4

วิธีการแก้. สมการนี้ซับซ้อนกว่าสมการก่อนหน้า ดังนั้นเราจึงจัดกลุ่มสมการในลักษณะนั้น เอ็กซ์ 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

จากเงื่อนไขการเท่ากันของพหุนามสองตัว

โอ้ 2 + (+ 6) เอ็กซ์ + 12 = เอ็กซ์ 2 + (ข + 11) x – 3 ข ,

เราได้รับและแก้ระบบสมการสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักกและ ข :

ก = 1

+ 6 = ข + 11

12 = – 3 ข , ที่ไหน ก = 1 , ข = - 4 .

พหุนาม - 3 - 6เอ็กซ์ + คx 2 + 8 คxและ เอ็กซ์ 2 + 21 + 12 ง – ดีเอ็กซ์ จะเหมือนกันก็ต่อเมื่อ

กับ = 1

8 กับ - 6 = - ง

3 = 21 + 12 ง , กับ = 1 , ง = - 2 .

สำหรับค่าก = 1 , ข = - 4 , กับ = 1 , ง = - 2

ความเท่าเทียมกัน
= - 4 ยุติธรรม

เป็นผลให้สมการนี้ใช้รูปแบบต่อไปนี้:

= 0 หรือ
= 0 หรือ
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

จากตัวอย่างที่พิจารณาจะเห็นได้ชัดว่าวิธีการใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนอย่างชำนาญ

ช่วยลดความซับซ้อนของการแก้สมการที่ค่อนข้างซับซ้อนและผิดปกติ

2.4. สมการเชิงฟังก์ชัน

“จุดประสงค์สูงสุดของคณิตศาสตร์...ประกอบด้วย

เพื่อค้นหาคำสั่งที่ซ่อนอยู่ใน

ความวุ่นวายที่อยู่รอบตัวเรา

เอ็น. วีเนอร์

สมการเชิงฟังก์ชันเป็นสมการระดับทั่วไปซึ่งบางฟังก์ชันเป็นสมการที่ต้องการ สมการเชิงฟังก์ชันในความหมายแคบของคำคือสมการที่ฟังก์ชันที่ต้องการเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่รู้จักของตัวแปรหนึ่งตัวหรือมากกว่าโดยใช้การดำเนินการสร้างฟังก์ชันที่ซับซ้อน สมการเชิงฟังก์ชันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นนิพจน์ของคุณสมบัติที่แสดงลักษณะเฉพาะของคลาสของฟังก์ชัน

[ ตัวอย่างเช่น สมการเชิงฟังก์ชัน ฉ ( x ) = ฉ (- x ) อธิบายลักษณะคลาสของฟังก์ชันเลขคู่ สมการฟังก์ชันฉ (x + 1) = ฉ (x ) คือคลาสของฟังก์ชันที่มีคาบ 1 เป็นต้น].

หนึ่งในสมการฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดคือสมการฉ (x + ย ) = ฉ (x ) + ฉ (ย ). คำตอบต่อเนื่องของสมการฟังก์ชันนี้มีรูปแบบ

ฉ (x ) = คx . อย่างไรก็ตาม ในคลาสของฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง สมการเชิงฟังก์ชันนี้ยังมีคำตอบอื่นๆ อีกด้วย มีการเชื่อมต่อสมการฟังก์ชันที่พิจารณาแล้ว

ฉ (x + ย ) = ฉ (x ) · ฉ (ย ), ฉ (x ย ) = ฉ (x ) + ฉ (ย ), ฉ (x ย ) = ฉ (x )· ฉ (ย ),

การแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่องซึ่งมีรูปแบบตามลำดับ

อี คx , จากลx , x α (x > 0).

ดังนั้น สมการเชิงฟังก์ชันเหล่านี้สามารถใช้กำหนดฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม และกำลังได้

สมการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดคือสมการที่มีฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ต้องการคือฟังก์ชันภายนอก การประยุกต์ใช้ทางทฤษฎีและปฏิบัติ

มันเป็นสมการดังกล่าวที่กระตุ้นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงให้ศึกษาสมการเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น, ที่การจัดตำแหน่ง

ฉ 2 (x) = ฉ (x - ย)· ฉ (x + ย)

N.I. Lobachevskyใช้เมื่อกำหนดมุมของความขนานในรูปทรงเรขาคณิต

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการเชิงฟังก์ชันมักถูกเสนอในงานคณิตศาสตร์โอลิมปิก วิธีการแก้ปัญหาของพวกเขาไม่ต้องการความรู้ที่อยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนการศึกษาทั่วไป อย่างไรก็ตาม การแก้สมการฟังก์ชันมักทำให้เกิดปัญหาบางอย่าง

วิธีหนึ่งในการหาคำตอบของสมการเชิงฟังก์ชันคือวิธีหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน สามารถใช้เมื่อสามารถใช้ลักษณะของสมการเพื่อกำหนดรูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันที่ต้องการได้ ประการแรก สิ่งนี้ใช้กับกรณีที่ควรหาคำตอบของสมการระหว่างฟังก์ชันทั้งหมดหรือฟังก์ชันที่เป็นเศษส่วน

ให้เราอธิบายสาระสำคัญของเทคนิคนี้โดยการแก้ปัญหาต่อไปนี้

ภารกิจ 8. ฟังก์ชั่นฉ (x ) ถูกกำหนดสำหรับ x จริงทั้งหมดและตอบสนองสำหรับทั้งหมดเอ็กซ์ ร สภาพ

3 ฉ(x) - 2 ฉ(1- x) = x 2 .

หาฉ (x ).

วิธีการแก้. เนื่องจากทางด้านซ้ายของสมการนี้อยู่เหนือตัวแปรอิสระ x และค่าของฟังก์ชันฉ ดำเนินการเชิงเส้นเท่านั้น และด้านขวาของสมการคือฟังก์ชันกำลังสอง เป็นเรื่องธรรมดาที่จะถือว่าฟังก์ชันที่ต้องการนั้นเป็นกำลังสองด้วย:

ฉ (เอ็กซ์) = ขวาน 2 + bx + ค , ที่ไหนก, ข, ค – ค่าสัมประสิทธิ์ที่จะกำหนด เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนด

แทนฟังก์ชันลงในสมการ เรามาถึงตัวตน:

3(ขวาน 2 + bx+ค) – 2(ก(1 – x) 2 + ข(1 – x) + ค) = x 2 .

ขวาน 2 + (5 ข + 4 ก) x + (ค – 2 ก – 2 ข) = x 2 .

พหุนามสองชื่อจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมันเท่ากัน

ค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันของตัวแปร:

ก = 1

5ข + 4ก = 0

ค– 2 ก – 2 ข = 0.

จากระบบนี้เราจะหาค่าสัมประสิทธิ์

ก = 1 , ข = - , ค = , อีกด้วยตอบสนองความเท่าเทียมกัน

3 ฉ (x ) - 2 ฉ (1- x ) = x 2 บนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ในขณะเดียวกันก็มีx 0 ภารกิจที่ 9. ฟังก์ชันy=ฉ(x) สำหรับ x ทั้งหมดถูกกำหนด ต่อเนื่อง และเป็นไปตามเงื่อนไขฉ (ฉ (x)) – ฉ(x) = 1 + 2 x . ค้นหาสองฟังก์ชันดังกล่าว

วิธีการแก้. มีการดำเนินการสองอย่างกับฟังก์ชันที่ต้องการ - การดำเนินการรวบรวมฟังก์ชันที่ซับซ้อนและ

การลบ เนื่องจากด้านขวาของสมการเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะถือว่าฟังก์ชันที่ต้องการนั้นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นด้วย:ฉ(x) = ขวาน +ข , ที่ไหนก และข เป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนด แทนฟังก์ชันนี้เป็นฉ (ฉ ( (x ) = - เอ็กซ์ - 1 ;

ฉ 2 (x ) = 2 เอ็กซ์+ ซึ่งเป็นคำตอบของสมการฟังก์ชันฉ (ฉ (x)) – ฉ(x) = 1 + 2 x .

บทสรุป.

โดยสรุปแล้ว ควรสังเกตว่างานนี้จะมีส่วนช่วยในการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการดั้งเดิมและมีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ซึ่งเป็นปัญหาของความยากลำบากที่เพิ่มขึ้นและต้องการความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนและวัฒนธรรมเชิงตรรกะสูง . ทุกคนที่ต้องการเพิ่มพูนความรู้ทางคณิตศาสตร์อย่างลึกซึ้งด้วยตนเองจะพบในงานนี้วัสดุสำหรับการสะท้อนและงานที่น่าสนใจซึ่งการแก้ปัญหาจะนำมาซึ่งประโยชน์และความพึงพอใจ

ในการทำงานภายใต้กรอบของหลักสูตรโรงเรียนที่มีอยู่และในรูปแบบที่เข้าถึงได้สำหรับการรับรู้ที่มีประสิทธิภาพจะมีการนำเสนอวิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนซึ่งมีส่วนช่วยให้หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนมีความลึกซึ้งยิ่งขึ้น

แน่นอนว่าความเป็นไปได้ทั้งหมดของวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนนั้นไม่สามารถแสดงได้ในงานเดียว อันที่จริงวิธีการดังกล่าวยังต้องมีการศึกษาและวิจัยเพิ่มเติม

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้

Glazer G.I. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน - ม.: การศึกษา, 2526

Gomonov S.A. สมการฟังก์ชันในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน // คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน - 2000 . -№10 .

Dorofeev G.V. , Potapov M.K. , Rozov N.Kh. คู่มือคณิตศาสตร์ - M.: Nauka, 1972

Kurosh A.G. สมการพีชคณิตขององศาตามอำเภอใจ -M.: Nauka, 1983

Likhtarnikov L.M. บทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับสมการฟังก์ชัน - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก. : แลน, 2540 .

Manturov O.V. , Solntsev Yu.K. , Sorokin Yu.I. , Fedin N.G. พจนานุกรมคำอธิบายคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: การตรัสรู้ 2514

คู่มือคณิตศาสตร์ Modenov V.P. Ch.1.-M.: มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก 2520

Modenov V.P. ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ -M.: การสอบ, 2549

Potapov M.K. , Aleksandrov V.V. , Pasichenko P.I. พีชคณิตและการวิเคราะห์ฟังก์ชันพื้นฐาน - M.: Nauka, 1980

Khaliullin A.A. มันเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาได้ง่ายขึ้น // คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน – 2003 . - №8 .

คาลิอุลลิน.

4. ขยายพหุนาม 2เอ็กซ์ 4 – 5เอ็กซ์ 3 + 9เอ็กซ์ 2 – 5เอ็กซ์+ 3 สำหรับตัวคูณที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

5. ราคาเท่าไร ก เอ็กซ์ 3 + 6เอ็กซ์ 2 + โอ้+ 12 บน เอ็กซ์+ 4 ?

6. ค่าพารามิเตอร์ใดก สมการเอ็กซ์ 3 +5 เอ็กซ์ 2 + + โอ้ + ข = 0 ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มมีรากที่แตกต่างกันสองตัว ซึ่งหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับ 1 ?

7. ในบรรดารากของพหุนาม เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 3 – 18เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม จะมีจำนวนเต็มสามจำนวนเท่ากัน ค้นหาค่า ข .

8. ค้นหาค่าจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดของพารามิเตอร์ ก,ซึ่งภายใต้สมการ เอ็กซ์ 3 – 8เอ็กซ์ 2 + อา +ข = 0 ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มมีรากที่แตกต่างกันสามราก ซึ่งหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับ 2

9. ค่าอะไร กและ ข การหารโดยไม่เหลือ เอ็กซ์ 4 + 3เอ็กซ์ 3 – 2เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข บน เอ็กซ์ 2 – 3เอ็กซ์ + 2 ?

10. แยกตัวประกอบพหุนาม:

ก)เอ็กซ์ 4 + 2 เอ็กซ์ 2 – เอ็กซ์ + 2 ใน)เอ็กซ์ 4 – 4เอ็กซ์ 3 +9เอ็กซ์ 2 –8เอ็กซ์ + 5 จ)เอ็กซ์ 4 + 12เอ็กซ์ – 5

ข)เอ็กซ์ 4 + 3เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์ + 3 ช)เอ็กซ์ 4 – 3เอ็กซ์ –2 จ)เอ็กซ์ 4 – 7เอ็กซ์ 2 + 1 .

11. แก้สมการ:

ก)
= 2 = 2 ฉ (1 – เอ็กซ์ ) = เอ็กซ์ 2 .

หา ฉ (เอ็กซ์) .

13. ฟังก์ชั่น ที่= ฉ (เอ็กซ์) สำหรับทุกอย่าง เอ็กซ์ถูกกำหนด ต่อเนื่อง และเป็นไปตามเงื่อนไข ฉ ( ฉ (เอ็กซ์)) = ฉ (เอ็กซ์) + เอ็กซ์ค้นหาสองฟังก์ชันดังกล่าว

วิธีการนี้ใช้ได้กับการลดฟังก์ชันพีชคณิตเชิงตรรกะของตัวแปรจำนวนเท่าใดก็ได้

พิจารณากรณีของตัวแปรสามตัว ฟังก์ชันบูลีนใน DNF สามารถแสดงในรูปแบบของสมาชิกร่วมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถรวมอยู่ใน DNF:

โดยที่ kн(0,1) คือค่าสัมประสิทธิ์ วิธีการประกอบด้วยการเลือกค่าสัมประสิทธิ์ในลักษณะที่ผลลัพธ์ DNF มีค่าน้อยที่สุด

หากตอนนี้เราตั้งค่าตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมดตั้งแต่ 000 ถึง 111 เราจะได้สมการ 2 n (2 3 =8) เพื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ เค:

พิจารณาเซตที่ฟังก์ชันใช้ค่าเป็นศูนย์ กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ที่เท่ากับ 0 และลบออกจากสมการ ซึ่งด้านขวาของค่าคือ 1 ของค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือในแต่ละสมการ หนึ่งค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากับ หนึ่งซึ่งกำหนดการรวมกันของอันดับที่เล็กที่สุด ค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือจะเท่ากับ 0 ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์หน่วย เคกำหนดรูปแบบขั้นต่ำที่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่าง. ย่อฟังก์ชันที่กำหนด

หากทราบค่า:
;
;
;
;
;
;
;
.

วิธีการแก้.

หลังจากลบค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ เราจะได้รับ:

=1;

=1;

=1;

=1.

เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ความสามัคคี สอดคล้องกับการรวมกันของอันดับที่เล็กที่สุดและแปลงสี่สมการสุดท้ายเป็น 1 และในสมการแรกขอแนะนำให้เทียบค่าสัมประสิทธิ์เป็น 1 . ค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือถูกกำหนดเป็น 0

ตอบ: ชนิดของฟังก์ชันที่ย่อเล็กสุด

ควรสังเกตว่าวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนจะมีผลเมื่อจำนวนตัวแปรน้อยและไม่เกิน 5-6

ลูกบาศก์หลายมิติ

พิจารณาการแสดงกราฟิกของฟังก์ชันในรูปของลูกบาศก์หลายมิติ ทุกจุดสุดยอด นลูกบาศก์มิติสามารถใส่ในการติดต่อกับองค์ประกอบของหน่วย

ส่วนย่อยของจุดยอดที่ทำเครื่องหมายไว้คือการแมปบน นลูกบาศก์มิติของฟังก์ชันบูลีนจาก นตัวแปรใน SDNF

เพื่อแสดงฟังก์ชันจาก นตัวแปรที่แสดงใน DNF ใด ๆ จำเป็นต้องสร้างความสอดคล้องระหว่างข้อกำหนดขนาดเล็กและองค์ประกอบต่างๆ นลูกบาศก์มิติ

อันดับขั้นต่ำ (n-1)-th
ถือได้ว่าเป็นผลจากการติดกาวสองอัน นอันดับ -th เช่น

=

บน น-ลูกบาศก์มิติ ซึ่งสอดคล้องกับการแทนที่จุดยอดสองจุดที่แตกต่างกันในค่าพิกัดเท่านั้น เอ็กซ์ ผมเชื่อมต่อจุดยอดเหล่านี้ด้วยขอบ (กล่าวกันว่าขอบนั้นครอบคลุมจุดยอดที่เกิดขึ้น)

ดังนั้น มินิเทอม ( นลำดับ -1)-th สอดคล้องกับขอบของลูกบาศก์ n มิติ

ในทำนองเดียวกัน การติดต่อของ miniterms ( น-2)-ลำดับใบหน้า น-ลูกบาศก์มิติ ซึ่งแต่ละจุดครอบคลุมสี่จุด (และสี่ขอบ)

องค์ประกอบ นลูกบาศก์มิติที่โดดเด่นด้วย สเรียกว่าการวัด ส-ลูกบาศก์.

จุดยอดคือ 0 ลูกบาศก์, ขอบคือ 1 ลูกบาศก์, ใบหน้าคือ 2 ลูกบาศก์ และอื่นๆ

โดยสรุป เราสามารถพูดได้ว่า miniterm ( N-S) จัดอันดับใน DNF สำหรับฟังก์ชัน นตัวแปรจะปรากฏขึ้น ส-cube และแต่ละอัน ส-cube ครอบคลุมลูกบาศก์ที่มีมิติต่ำกว่าทั้งหมดที่เชื่อมต่อกับจุดยอดของมันเท่านั้น

ตัวอย่าง. บนมะเดื่อ การทำแผนที่ที่กำหนด

มินิเทอมที่นี่
และ
ตรงกับ 1 ลูกบาศก์ ( ส=3-2=1) และมินิเทอม เอ็กซ์ 3 จับคู่กับ 2 ลูกบาศก์ ( ส=3-1=2).

ดังนั้น DNF ใดๆ จะจับคู่กับ นชุดลูกบาศก์มิติ ส-ลูกบาศก์ที่ครอบคลุมจุดยอดทั้งหมดที่สอดคล้องกับองค์ประกอบของหน่วย (0-ลูกบาศก์)

องค์ประกอบ. สำหรับตัวแปร เอ็กซ์ 1 ,เอ็กซ์ 2 ,…เอ็กซ์ นการแสดงออก
เรียกว่าส่วนประกอบของหน่วยและ
- ส่วนประกอบของศูนย์ ( หมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่ง , หรือ ).

ส่วนประกอบของเอกภาพ (ศูนย์) นี้จะกลายเป็นเอกภาพ (ศูนย์) ด้วยชุดค่าตัวแปรที่สอดคล้องกันชุดเดียวเท่านั้น ซึ่งจะได้รับหากตัวแปรทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง (ศูนย์) และนิเสธ - เป็นศูนย์ (หนึ่ง)

ตัวอย่างเช่น: หน่วยที่เป็นส่วนประกอบ
สอดคล้องกับชุด (1011) และองค์ประกอบที่เป็นศูนย์
- ชุด (1001)

เนื่องจาก SD(K)NF เป็น disjunction (conjunction) ขององค์ประกอบที่เป็นเอกภาพ (ศูนย์) จึงอาจโต้แย้งได้ว่าฟังก์ชันบูลีนนั้นเป็นตัวแทน ฉ(x 1 , x 2 ,…, x น) กลายเป็นหนึ่ง (ศูนย์) สำหรับชุดของค่าตัวแปรเท่านั้น x 1 , x 2 ,…, x นที่สอดคล้องกับสำเนาเหล่านี้ ในเซตอื่นๆ ฟังก์ชันนี้จะเปลี่ยนเป็น 0 (หนึ่ง)

การยืนยันการสนทนายังเป็นจริงซึ่ง วิธีการแสดงเป็นสูตรใดๆฟังก์ชันบูลีนที่กำหนดโดยตาราง

ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องเขียน disjunctions (conjunctions) ของส่วนประกอบของหนึ่ง (ศูนย์) ที่สอดคล้องกับชุดของค่าตัวแปรที่ฟังก์ชันใช้ค่าเท่ากับหนึ่ง (ศูนย์)

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่กำหนดโดยตาราง

สอดคล้อง

นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์สามารถแปลงเป็นรูปแบบอื่นตามคุณสมบัติของพีชคณิตของลอจิก

ประโยคสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: if some set ส- ลูกบาศก์ครอบคลุมชุดของจุดยอดทั้งหมดที่สอดคล้องกับค่าหน่วยของฟังก์ชัน จากนั้นจึงแยกส่วนที่สอดคล้องกับสิ่งเหล่านี้ ส-cubes of miniterms คือนิพจน์ของฟังก์ชันที่กำหนดใน DNF

ว่ากันว่าชุดดังกล่าว ส- ลูกบาศก์ (หรือ miniterms ที่สอดคล้องกัน) ก่อให้เกิดการครอบคลุมของฟังก์ชัน ความปรารถนาในรูปแบบมินิมอลเป็นที่เข้าใจโดยสังหรณ์ใจว่าเป็นการค้นหาตัวเลขปกดังกล่าว ส- ลูกบาศก์ที่จะเล็กกว่าและขนาดของมัน ส- มากกว่า. ฝาครอบที่ตรงกับรูปร่างขั้นต่ำเรียกว่าฝาครอบขั้นต่ำ

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน ที่=
ความคุ้มครองสอดคล้องกับรูปแบบที่ไม่ใช่ขั้นต่ำ:

ข้าวก) ที่=,

การเคลือบในรูป b) ที่=
, ข้าว ค) ที่=
น้อยที่สุด

ข้าว. ครอบคลุมฟังก์ชั่น ที่=:

ก) ไม่น้อย; ข), ค) ขั้นต่ำ

เปิดการแมปฟังก์ชัน น-มีมิติอย่างชัดเจนและเรียบง่ายด้วย น3. สามารถแสดงภาพลูกบาศก์สี่มิติได้ดังแสดงในรูปที่แสดงฟังก์ชันของตัวแปรสี่ตัวและความครอบคลุมขั้นต่ำที่สอดคล้องกับนิพจน์ ที่=

ใช้วิธีนี้สำหรับ น>4 ต้องการโครงสร้างที่ซับซ้อนซึ่งสูญเสียข้อได้เปรียบทั้งหมด