ในขณะนี้ ใน TheBat (ยังไม่ชัดเจนว่าด้วยเหตุผลใด) ฐานข้อมูลใบรับรองในตัวสำหรับ SSL หยุดทำงานอย่างถูกต้อง

เมื่อตรวจสอบโพสต์ ข้อผิดพลาดปรากฏขึ้น:

ใบรับรอง CA ที่ไม่รู้จัก
เซิร์ฟเวอร์ไม่ได้แสดงใบรับรองหลักในเซสชัน และไม่พบใบรับรองหลักที่สอดคล้องกันในสมุดที่อยู่
การเชื่อมต่อนี้ไม่สามารถเป็นความลับได้ โปรด
ติดต่อผู้ดูแลระบบเซิร์ฟเวอร์ของคุณ

และมีคำตอบให้เลือก - ใช่ / ไม่ใช่ และทุกครั้งที่คุณยิงจดหมาย

วิธีการแก้

ในกรณีนี้ คุณต้องแทนที่มาตรฐานการใช้งาน S/MIME และ TLS ด้วย Microsoft CryptoAPI ใน TheBat!

เนื่องจากฉันต้องการรวมไฟล์ทั้งหมดเป็นไฟล์เดียว อันดับแรกฉันจึงแปลงไฟล์ doc ทั้งหมดเป็นไฟล์ pdf ไฟล์เดียว (โดยใช้โปรแกรม Acrobat) จากนั้นจึงโอนไปยัง fb2 ผ่านตัวแปลงออนไลน์ คุณยังสามารถแปลงไฟล์ทีละไฟล์ รูปแบบสามารถเป็นอะไรก็ได้ (แหล่งที่มา) และ doc และ jpg และแม้แต่ไฟล์ zip!

ชื่อของไซต์สอดคล้องกับสาระสำคัญ :) Photoshop ออนไลน์

Update พฤษภาคม 2015

ฉันพบเว็บไซต์ที่ยอดเยี่ยมอีกแห่ง! สะดวกและใช้งานได้มากขึ้นสำหรับการสร้างภาพตัดปะโดยพลการโดยสิ้นเชิง! ไซต์นี้คือ http://www.fotor.com/ru/collage/ ใช้เพื่อสุขภาพ และฉันจะใช้มันเอง

ต้องเผชิญกับชีวิตกับการซ่อมเตาไฟฟ้า ฉันทำหลายสิ่งหลายอย่างแล้ว เรียนรู้มาก แต่อย่างใดฉันก็ไม่ค่อยเกี่ยวข้องกับกระเบื้อง จำเป็นต้องเปลี่ยนหน้าสัมผัสบนตัวควบคุมและหัวเผา คำถามเกิดขึ้น - จะกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของหัวเตาบนเตาไฟฟ้าได้อย่างไร?

คำตอบกลับกลายเป็นว่าง่าย ไม่จำเป็นต้องวัดอะไรคุณสามารถกำหนดขนาดที่คุณต้องการได้อย่างใจเย็น

เตาที่เล็กที่สุดคือ 145 มิลลิเมตร (14.5 เซนติเมตร)

หัวเตาขนาดกลางคือ 180 มิลลิเมตร (18 เซนติเมตร)

และสุดท้ายที่สุด เตาขนาดใหญ่คือ 225 มิลลิเมตร (22.5 เซนติเมตร)

เพียงพอที่จะกำหนดขนาดด้วยตาและทำความเข้าใจว่าคุณต้องการเตาเผาขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางเท่าใด เมื่อฉันไม่รู้สิ่งนี้ ฉันก็ทะยานขึ้นด้วยขนาดเหล่านี้ ฉันไม่รู้ว่าจะวัดอย่างไร ต้องใช้ขอบไหน ฯลฯ ตอนนี้ฉันฉลาดแล้ว :) ฉันหวังว่ามันจะช่วยคุณเช่นกัน!

ในชีวิตของฉันฉันประสบปัญหาดังกล่าว ฉันคิดว่าฉันไม่ใช่คนเดียว

งานที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือการพัฒนาตัวอย่างทั่วไปของการศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชัน

หากฟังก์ชัน y \u003d f (x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาและอนุพันธ์ของมันคือบวกหรือเท่ากับ 0 ในช่วงเวลา (a, b) ดังนั้น y \u003d f (x) จะเพิ่มขึ้น (f "(x) 0). หากฟังก์ชัน y \u003d f (x) ต่อเนื่องในส่วน และอนุพันธ์ของมันคือลบหรือเท่ากับ 0 ในช่วงเวลา (a,b) ดังนั้น y=f(x) จะลดลง (f"( x)0)

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันไม่ลดลงหรือเพิ่มขึ้นเรียกว่าช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน ธรรมชาติของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันสามารถเปลี่ยนแปลงได้เฉพาะที่จุดเหล่านั้นของโดเมนของคำจำกัดความ ซึ่งเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับแรกจะเปลี่ยนไป จุดที่อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันหายไปหรือแตกหักเรียกว่าจุดวิกฤต

ทฤษฎีบทที่ 1 (เงื่อนไขที่เพียงพอประการแรกสำหรับการดำรงอยู่ของสุดโต่ง)

ให้ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดไว้ที่จุด x 0 และปล่อยให้มีย่านใกล้เคียง δ>0 เพื่อให้ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องกันบนเซกเมนต์ หาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) และอนุพันธ์ของมันจะรักษาเครื่องหมายคงที่ในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้ จากนั้นหากบน x 0 -δ, x 0) และ (x 0, x 0 + δ) เครื่องหมายของอนุพันธ์นั้นต่างกัน ดังนั้น x 0 คือจุดสุดโต่ง และหากตรงกัน x 0 จะไม่ใช่จุดสุดโต่ง . ยิ่งกว่านั้น ถ้าเมื่อผ่านจุด x0 อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (ทางด้านซ้ายของ x 0, f "(x)> 0 ถูกดำเนินการ ดังนั้น x 0 คือจุดสูงสุด ถ้าอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมาย จากลบเป็นบวก (ทางด้านขวาของ x 0 ดำเนินการโดย f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

จุดสูงสุดและต่ำสุดเรียกว่าจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน และจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่าค่าสุดขั้ว

ทฤษฎีบท 2 (เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับส่วนปลายในท้องถิ่น)

หากฟังก์ชัน y=f(x) มีจุดสิ้นสุดที่ x=x 0 ปัจจุบัน แสดงว่าไม่มี f'(x 0)=0 หรือ f'(x 0)
ที่จุดสุดขั้วของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล แทนเจนต์ของกราฟจะขนานกับแกน Ox

อัลกอริทึมสำหรับการศึกษาฟังก์ชันสำหรับส่วนปลาย:

1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2) ค้นหาจุดวิกฤต เช่น จุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและอนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง
3) พิจารณาพื้นที่ใกล้เคียงของแต่ละจุด และตรวจสอบเครื่องหมายอนุพันธ์ทางซ้ายและขวาของจุดนี้
4) กำหนดพิกัดของจุดสุดขั้วสำหรับค่าของจุดวิกฤตนี้ แทนที่ในฟังก์ชันนี้ ใช้เงื่อนไขสุดโต่งที่เพียงพอ หาข้อสรุปที่เหมาะสม

ตัวอย่างที่ 18. ตรวจสอบฟังก์ชัน y=x 3 -9x 2 +24x

วิธีการแก้.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4)
2) การหาอนุพันธ์เท่ากับศูนย์ เราพบ x 1 =2, x 2 =4 ในกรณีนี้ อนุพันธ์ถูกกำหนดทุกที่ ดังนั้น นอกจากจุดที่พบทั้งสองจุดแล้ว ก็ไม่มีจุดวิกฤตอื่นๆ
3) เครื่องหมายของอนุพันธ์ y "=3(x-2)(x-4) เปลี่ยนแปลงตามช่วงเวลาดังแสดงในรูปที่ 1 เมื่อผ่านจุด x=2 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ และเมื่อผ่านจุด x=4 - จากลบเป็นบวก
4) ที่จุด x=2 ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด y สูงสุด =20 และที่จุด x=4 - ค่าต่ำสุด y นาที =16

ทฤษฎีบทที่ 3 (เงื่อนไขเพียงพอประการที่สองสำหรับการดำรงอยู่ของสุดโต่ง)

ให้ f "(x 0) และ f "" (x 0) อยู่ที่จุด x 0 แล้วถ้า f "" (x 0)> 0 แล้ว x 0 คือจุดต่ำสุด และถ้า f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

ในส่วนของฟังก์ชัน y \u003d f (x) สามารถเข้าถึงค่าที่เล็กที่สุด (อย่างน้อย) หรือสูงสุด (สูงสุด) ที่จุดวิกฤตของฟังก์ชันที่อยู่ในช่วงเวลา (a; b) หรือที่ส่วนท้าย ของกลุ่ม

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่อง y=f(x) ในส่วน :

1) ค้นหา f "(x)
2) ค้นหาจุดที่ f "(x) = 0 หรือ f" (x) - ไม่มีอยู่และเลือกจากจุดเหล่านั้นที่อยู่ในส่วน
3) คำนวณค่าของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุดที่ได้รับในวรรค 2) เช่นเดียวกับที่ส่วนท้ายของส่วนและเลือกที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด: ตามลำดับที่ใหญ่ที่สุด ( สำหรับค่าที่ใหญ่ที่สุด) และค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด (สำหรับค่าที่เล็กที่สุด) ในช่วงเวลา .

ตัวอย่างที่ 19. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่อง y=x 3 -3x 2 -45+225 บนเซ็กเมนต์

1) เรามี y "=3x 2 -6x-45 ในส่วน
2) อนุพันธ์ y" มีอยู่สำหรับ x ทั้งหมด ลองหาจุดที่ y"=0; เราได้รับ:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
เฉพาะจุด x=5 เท่านั้นที่เป็นของกลุ่ม ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันที่พบคือ 225 และค่าที่น้อยที่สุดคือจำนวน 50 ดังนั้น ที่ max = 225 ที่ max = 50

การตรวจสอบฟังก์ชันนูน

รูปแสดงกราฟของสองฟังก์ชัน อันแรกจะนูนขึ้น ส่วนอันที่สอง - นูนลงมา

ฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องกันบนเซกเมนต์และดิฟเฟอเรนเชียลในช่วง (a;b) เรียกว่านูนขึ้น (ลง) ในส่วนนี้ ถ้าสำหรับ axb กราฟของกราฟนั้นไม่สูงกว่า (ไม่ต่ำกว่า) แทนเจนต์ วาดที่จุดใดก็ได้ M 0 (x 0 ;f(x 0)) โดยที่ axb

ทฤษฎีบท 4 ให้ฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองที่จุดภายใน x ของเซ็กเมนต์และต่อเนื่องที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นี้ จากนั้นหากความไม่เท่าเทียมกัน f""(x)0 เป็นที่น่าพอใจในช่วงเวลา (a;b) แสดงว่าฟังก์ชันนั้นนูนลงบนเซ็กเมนต์ ; หากความไม่เท่าเทียมกัน f""(x)0 เป็นที่น่าพอใจในช่วงเวลา (а;b) แสดงว่าฟังก์ชันนูนขึ้นบน .

ทฤษฎีบท 5. หากฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองในช่วงเวลา (a;b) และหากเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุด x 0 แสดงว่า M(x 0 ;f(x 0)) เป็น จุดเปลี่ยน

กฎการหาจุดเปลี่ยน:

1) ค้นหาจุดที่ f""(x) ไม่มีอยู่หรือหายไป
2) ตรวจสอบเครื่องหมาย f""(x) ทางซ้ายและขวาของแต่ละจุดที่พบในขั้นตอนแรก
3) จากทฤษฎีบท 4 ให้ทำการสรุป

ตัวอย่างที่ 20. ค้นหาจุดปลายและจุดเปลี่ยนของกราฟฟังก์ชัน y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12

เรามี f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 แน่นอน f"(x)=0 สำหรับ x 1 =0, x 2 =1 อนุพันธ์ เมื่อผ่านจุด x=0 เครื่องหมายจะเปลี่ยนจากลบเป็นบวก และเมื่อผ่านจุด x=1 เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยน ซึ่งหมายความว่า x=0 คือจุดต่ำสุด (y min =12) และไม่มีส่วนปลายที่จุด x=1 ต่อไปเราจะพบว่า . อนุพันธ์อันดับสองหายไปที่จุด x 1 =1, x 2 =1/3 สัญญาณของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์อันดับสองดังนี้: บนรังสี (-∞;) เรามี f""(x)>0 บนช่วงเวลา (;1) เรามี f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. ดังนั้น x= คือจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน (การเปลี่ยนจากนูนขึ้นเป็นนูนขึ้น) และ x=1 เป็นจุดเปลี่ยนเว้าด้วย (การเปลี่ยนจากนูนขึ้นเป็นนูนลง) ถ้า x= แล้ว y= ; ถ้า แล้ว x=1, y=13

อัลกอริทึมสำหรับค้นหาเส้นกำกับของกราฟ

I. ถ้า y=f(x) เป็น x → a แล้ว x=a เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
ครั้งที่สอง ถ้า y=f(x) เป็น x → ∞ หรือ x → -∞ แล้ว y=A คือเส้นกำกับแนวนอน
สาม. ในการหาเส้นกำกับเฉียง เราใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:
1) คำนวณ . หากขีดจำกัดมีอยู่และเท่ากับ b แล้ว y=b คือเส้นกำกับแนวนอน ถ้า ให้ไปที่ขั้นตอนที่สอง
2) คำนวณ . หากไม่มีขีดจำกัดนี้ แสดงว่าไม่มีเส้นกำกับ หากมีอยู่และเท่ากับ k ให้ไปที่ขั้นตอนที่สาม
3) คำนวณ . หากไม่มีขีดจำกัดนี้ แสดงว่าไม่มีเส้นกำกับ หากมีและเท่ากับ b ให้ไปที่ขั้นตอนที่สี่
4) เขียนสมการของเส้นกำกับเฉียง y=kx+b

ตัวอย่างที่ 21: ค้นหาเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชัน

1)
2)
3)
4) สมการเส้นกำกับเฉียงมีรูปแบบ

โครงร่างการศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟ

I. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน
ครั้งที่สอง ค้นหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันด้วยแกนพิกัด
สาม. ค้นหาเส้นกำกับ
IV. ค้นหาจุดสุดขั้วที่เป็นไปได้
V. ค้นหาจุดวิกฤต
หก. ใช้รูปวาดเสริม ตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและที่สอง กำหนดพื้นที่ของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน หาทิศทางของความนูนของกราฟ จุดสุดขั้ว และจุดผันแปร
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สร้างกราฟโดยคำนึงถึงการศึกษาที่ดำเนินการในย่อหน้าที่ 1-6

ตัวอย่างที่ 22: พล็อตกราฟฟังก์ชันตามรูปแบบด้านบน

วิธีการแก้.
I. โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x=1
ครั้งที่สอง เนื่องจากสมการ x 2 +1=0 ไม่มีรากจริง กราฟของฟังก์ชันจึงไม่มีจุดตัดกับแกน Ox แต่ตัดกับแกน Oy ที่จุด (0; -1)
สาม. ให้เราชี้แจงคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของเส้นกำกับ เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดไม่ต่อเนื่อง x=1 เนื่องจาก y → ∞ สำหรับ x → -∞, y → +∞ สำหรับ x → 1+ ดังนั้นเส้น x=1 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน
ถ้า x → +∞(x → -∞) แล้ว y → +∞(y → -∞); ดังนั้น กราฟจึงไม่มีเส้นกำกับแนวนอน นอกจากนี้จากการมีอยู่ของข้อจำกัด

การแก้สมการ x 2 -2x-1=0 เราได้จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้สองจุด:
x 1 =1-√2 และ x 2 =1+√2

V. ในการหาจุดวิกฤต เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง:

เนื่องจาก f""(x) ไม่หายไป จึงไม่มีจุดวิกฤต
หก. เราตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสอง จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ที่จะต้องพิจารณา: x 1 =1-√2 และ x 2 =1+√2, แบ่งพื้นที่ของการดำรงอยู่ของฟังก์ชันเป็นช่วง (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) และ (1+√2;+∞)

ในแต่ละช่วงเหล่านี้ อนุพันธ์จะคงเครื่องหมายของมันไว้: ในครั้งแรก - บวก, ในสอง - ลบ, ในสาม - บวก ลำดับของเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับแรกจะเขียนดังนี้: +, -, +
เราพบว่าฟังก์ชัน on (-∞;1-√2) เพิ่มขึ้น เมื่อ (1-√2;1+√2) ลดลง และบน (1+√2;+∞) จะเพิ่มขึ้นอีกครั้ง จุดสุดขั้ว: สูงสุดที่ x=1-√2, ยิ่งไปกว่านั้น f(1-√2)=2-2√2 ขั้นต่ำที่ x=1+√2, ยิ่งกว่านั้น f(1+√2)=2+2√2 ใน (-∞;1) กราฟจะนูนขึ้น และเปิด (1;+∞) - ลง
VII มาทำตารางค่าที่ได้รับกันเถอะ

VIII จากข้อมูลที่ได้รับ เราสร้างภาพร่างของกราฟของฟังก์ชัน

สำหรับการศึกษาฟังก์ชันและพล็อตกราฟอย่างสมบูรณ์ ขอแนะนำให้ใช้รูปแบบต่อไปนี้:

1) ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน

2) ค้นหาจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันและเส้นกำกับแนวตั้ง (ถ้ามี)

3) ตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ ค้นหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง

4) ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความสม่ำเสมอ (คี่) และคาบ (สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ)

5) ค้นหา extrema และช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

6) กำหนดช่วงเวลาของการนูนและจุดเปลี่ยน;

7) หาจุดตัดด้วยแกนพิกัด ถ้าเป็นไปได้ และบางจุดเพิ่มเติมที่ปรับแต่งกราฟ

การศึกษาฟังก์ชันจะดำเนินการไปพร้อมกับการสร้างกราฟ

ตัวอย่างที่ 9สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

1. โดเมนของคำจำกัดความ: ;

2. ฟังก์ชั่นแบ่งที่จุด
,
;

เราตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวตั้ง

;
,
─ เส้นกำกับแนวตั้ง

;
,
─ เส้นกำกับแนวตั้ง

3. เราตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวเฉียงและแนวนอน

ตรง
─ เส้นกำกับเฉียง if
,
.

,
.

ตรง
─ เส้นกำกับแนวนอน

4. ฟังก์ชันนั้นเป็นเพราะ
. ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันแสดงถึงความสมมาตรของกราฟเทียบกับแกน y

5. ค้นหาช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจและสุดขั้วของฟังก์ชัน

มาหาจุดวิกฤตกัน นั่นคือ จุดที่อนุพันธ์เป็น 0 หรือไม่มีอยู่:
;
. เรามีสามแต้ม
;

. จุดเหล่านี้แบ่งแกนจริงทั้งหมดออกเป็นสี่ช่วง มากำหนดสัญญาณกัน ในแต่ละของพวกเขา

ในช่วงเวลา (-∞; -1) และ (-1; 0) ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ในช่วงเวลา (0; 1) และ (1; +∞) จะลดลง เมื่อผ่านจุดหนึ่ง
อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบดังนั้น ณ จุดนี้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด
.

6. หาช่วงนูน จุดเปลี่ยนเว้า

มาหาจุดที่ คือ 0 หรือไม่มีอยู่

ไม่มีรากที่แท้จริง
,
,

คะแนน
และ
แบ่งแกนจริงออกเป็นสามช่วง มากำหนดเครื่องหมายกัน ในทุกช่วงเวลา

ดังนั้น เส้นโค้งบนช่วงเวลา
และ
นูนลงในช่วงเวลา (-1;1) นูนขึ้น; ไม่มีจุดเปลี่ยน เนื่องจากฟังก์ชันที่จุด
และ
ไม่ได้กำหนด

7. หาจุดตัดกับแกน

พร้อมเพลา
กราฟของฟังก์ชันตัดกันที่จุด (0; -1) และกับแกน
กราฟไม่ตัดกันเพราะ ตัวเศษของฟังก์ชันนี้ไม่มีรากที่แท้จริง

กราฟของฟังก์ชันที่กำหนดจะแสดงในรูปที่ 1

รูปที่ 1 ─ กราฟของฟังก์ชัน

การประยุกต์แนวคิดอนุพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์ ความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน

เพื่อศึกษากระบวนการทางเศรษฐกิจและแก้ปัญหาอื่นๆ ที่นำไปใช้ มักใช้แนวคิดเรื่องความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน

คำนิยาม.ความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน
เรียกว่า ลิมิตอัตราส่วนของการเพิ่มสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน กับการเพิ่มขึ้นสัมพัทธ์ของตัวแปร ที่
, . (ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว)

ความยืดหยุ่นของฟังก์ชันแสดงประมาณกี่เปอร์เซ็นต์ของฟังก์ชันที่จะเปลี่ยนแปลง
เมื่อเปลี่ยนตัวแปรอิสระ โดย 1%

ความยืดหยุ่นของฟังก์ชันใช้ในการวิเคราะห์อุปสงค์และการบริโภค ถ้าความยืดหยุ่นของอุปสงค์ (ในค่าสัมบูรณ์)
อุปสงค์ถือว่ายืดหยุ่นได้ถ้า
─ เป็นกลาง if
─ ไม่ยืดหยุ่นตามราคา (หรือรายได้)

ตัวอย่าง 10คำนวณความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน
และหาค่าดัชนีความยืดหยุ่นสำหรับ = 3.

วิธีแก้ไข: ตามสูตร (VII) ความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน:

ให้ x=3 แล้ว
ซึ่งหมายความว่าหากตัวแปรอิสระเพิ่มขึ้น 1% ค่าของตัวแปรตามจะเพิ่มขึ้น 1.42%

ตัวอย่าง 11ให้ฟังก์ชั่นความต้องการ เกี่ยวกับราคา มีรูปแบบ
, ที่ไหน ─ ค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ค้นหาค่าของดัชนีความยืดหยุ่นของฟังก์ชันอุปสงค์ในราคา x = 3 den หน่วย

วิธีแก้ไข: คำนวณความยืดหยุ่นของฟังก์ชันความต้องการโดยใช้สูตร (VII)

สมมติ
หน่วยเงิน เราได้รับ
. ซึ่งหมายความว่าในราคา
หน่วยเงินตรา การเพิ่มขึ้นของราคา 1% จะทำให้อุปสงค์ลดลง 6% กล่าวคือ ความต้องการมีความยืดหยุ่น

ทำการศึกษาที่สมบูรณ์และพล็อตกราฟฟังก์ชัน

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) ขอบเขตฟังก์ชัน เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นเศษส่วน คุณจึงต้องหาเลขศูนย์ของตัวส่วน

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

เราแยกจุดเดียว x=1x=1 ออกจากพื้นที่นิยามฟังก์ชันและรับ:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) ให้เราศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันในบริเวณจุดที่ไม่ต่อเนื่องกัน ค้นหาขีดจำกัดด้านเดียว:

เนื่องจากลิมิตมีค่าเท่ากับอนันต์ จุด x=1x=1 คือความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง เส้น x=1x=1 เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

3) ลองกำหนดจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันด้วยแกนพิกัด

หาจุดตัดกับแกนพิกัด OyOy ซึ่งเราถือว่า x=0x=0:

ดังนั้น จุดตัดกับแกน OyOy มีพิกัด (0;8)(0;8)

หาจุดตัดกับแกน abscissa OxOx ซึ่งเราตั้งค่า y=0y=0:

สมการไม่มีราก ดังนั้นจึงไม่มีจุดตัดกับแกน OxOx

โปรดทราบว่า x2+8>0x2+8>0 สำหรับ xx ใดๆ ดังนั้น สำหรับ x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) ฟังก์ชัน y>0y>0 (ใช้ค่าบวก กราฟจะอยู่เหนือแกน x) สำหรับ x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) ฟังก์ชัน y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) ฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่เพราะ:

5) เราตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับช่วงเวลา ฟังก์ชันไม่เป็นคาบ เนื่องจากเป็นฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

6) เราตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับ extremums และ monotonicity ในการทำเช่นนี้ เราพบอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน:

ให้เราหาอนุพันธ์อันดับแรกเป็นศูนย์และหาจุดนิ่ง (ที่ y′=0y′=0):

เราได้จุดวิกฤตสามจุด: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4 เราแบ่งโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันออกเป็นช่วงๆ ตามจุดที่กำหนด และกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง:

สำหรับ x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) อนุพันธ์ y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

สำหรับ x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) อนุพันธ์ y′>0y′>0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาเหล่านี้

ในกรณีนี้ x=−2x=−2 คือจุดต่ำสุดในพื้นที่ (ฟังก์ชันลดลงแล้วเพิ่มขึ้น) x=4x=4 คือจุดสูงสุดเฉพาะที่ (ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นแล้วลดลง)

ลองหาค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้:

ดังนั้น จุดต่ำสุดคือ (-2;4)(−2;4) จุดสูงสุดคือ (4;−8)(4;−8)

7) เราตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความโค้งงอและความนูน มาหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันกัน:

ให้อนุพันธ์อันดับสองเท่ากับศูนย์:

สมการที่ได้นั้นไม่มีราก ดังนั้นจึงไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า นอกจากนี้ เมื่อ x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 เป็นที่พอใจ นั่นคือ ฟังก์ชันจะเว้าเมื่อ x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) ครับ'<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ นั่นคือ ที่

เนื่องจากขีดจำกัดนั้นไม่มีที่สิ้นสุด จึงไม่มีเส้นกำกับแนวนอน

ลองกำหนดเส้นกำกับเฉียงของรูปแบบ y=kx+by=kx+b เราคำนวณค่าของ k,bk,b ตามสูตรที่รู้จัก:

เราพบว่าฟังก์ชันนี้มีเส้นกำกับเฉียงหนึ่งเส้น y=−x−1y=−x-1

9) จุดเพิ่มเติม ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดอื่นๆ เพื่อสร้างกราฟให้แม่นยำยิ่งขึ้น

y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=−9.5.y(-5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) จากข้อมูลที่ได้รับ เราจะสร้างกราฟ เสริมด้วยเส้นกำกับ x=1x=1 (สีน้ำเงิน) y=−x−1y=−x-1 (สีเขียว) และทำเครื่องหมายจุดลักษณะเฉพาะ (จุดตัดด้วย แกนพิกัดเป็นสีม่วง ส่วนปลายเป็นสีส้ม จุดเพิ่มเติมเป็นสีดำ) :

งาน 4: เรขาคณิต ปัญหาเศรษฐกิจ (ฉันไม่รู้ว่าอะไร นี่คือการเลือกปัญหาโดยประมาณพร้อมวิธีแก้ปัญหาและสูตร)

ตัวอย่าง 3.23 เอ

วิธีการแก้. xและ y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2 เนื่องจาก x = a/4 เป็นจุดวิกฤตเพียงจุดเดียว ลองตรวจสอบว่าเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนแปลงหรือไม่เมื่อผ่านจุดนี้ สำหรับ xa/4 S "> 0 และสำหรับ x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

ตัวอย่าง 3.24

วิธีการแก้.
R = 2, H = 16/4 = 4

ตัวอย่าง 3.22ค้นหาส่วนสุดโต่งของฟังก์ชัน f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14

วิธีการแก้.ตั้งแต่ f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3) จากนั้นจุดวิกฤตของฟังก์ชัน x 1 \u003d 2 และ x 2 \u003d 3 จุดสูงสุดสามารถทำได้ อยู่ที่จุดเหล่านี้เท่านั้น ดังนั้น เมื่อผ่านจุด x 1 \u003d 2 อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายบวกเป็นลบ จากนั้น ณ จุดนี้ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุดเมื่อผ่านจุด x 2 \u003d 3 อนุพันธ์ เปลี่ยนเครื่องหมายลบเป็นบวกดังนั้น ณ จุด x 2 \u003d 3 ฟังก์ชันมีขั้นต่ำ การคำนวณค่าของฟังก์ชันเป็นคะแนน
x 1 = 2 และ x 2 = 3 เราพบ extrema ของฟังก์ชัน: maximum f(2) = 14 และต่ำสุด f(3) = 13

ตัวอย่าง 3.23จำเป็นต้องสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมใกล้กับกำแพงหินเพื่อให้มีรั้วตาข่ายลวดสามด้านและติดกับผนังด้านที่สี่ สำหรับสิ่งนี้มี เอเมตรเชิงเส้นของกริด ไซต์จะมีพื้นที่ขนาดใหญ่ที่สุดในอัตราส่วนเท่าใด

วิธีการแก้.แสดงถึงด้านข้างของไซต์ผ่าน xและ y. พื้นที่ของไซต์คือ S = xy อนุญาต yคือความยาวของด้านที่ติดกับผนัง จากนั้นตามเงื่อนไข ความเท่าเทียมกัน 2x + y = a จะต้องคงอยู่ ดังนั้น y = a - 2x และ S = x(a - 2x) โดยที่
0 ≤ x ≤ a/2 (ความยาวและความกว้างของพื้นที่ไม่สามารถเป็นลบได้) S "= a - 4x, a - 4x = 0 สำหรับ x = a/4 ดังนั้น
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2 เนื่องจาก x = a/4 เป็นจุดวิกฤตเพียงจุดเดียว ลองตรวจสอบว่าเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนแปลงหรือไม่เมื่อผ่านจุดนี้ สำหรับ xa/4 S "> 0 และสำหรับ x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

ตัวอย่าง 3.24จำเป็นต้องสร้างถังทรงกระบอกปิดที่มีความจุ V=16p ≈ 50 m 3 . ขนาดของถังควรเป็นเท่าใด (รัศมี R และความสูง H) เพื่อที่จะใช้วัสดุในปริมาณน้อยที่สุดในการผลิต

วิธีการแก้.พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกคือ S = 2pR(R+H) เราทราบปริมาตรของทรงกระบอก V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . ดังนั้น S(R) = 2p(R 2 +16/R) เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2) S " (R) \u003d 0 สำหรับ R 3 \u003d 8 ดังนั้น
R = 2, H = 16/4 = 4

ข้อมูลที่คล้ายกัน