ตรวจสอบตัวอย่างอนุกรมตัวเลขสำหรับการลู่เข้า แถวสำหรับหุ่น
ให้ค่าที่กำหนดเป็นค่าบวก ชุดตัวเลข$ \sum_(n=1) ^\infty a_n $ ให้เรากำหนดเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม:
- หากอนุกรมมาบรรจบกัน ขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปจะเป็นศูนย์: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
- หากขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมไม่เท่ากับศูนย์ อนุกรมจะแยกออก: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$
อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป
ชุดนี้เขียนได้ดังนี้: $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $ นอกจากนี้ ขึ้นอยู่กับ $p$ อนุกรมจะบรรจบกันหรือแยกออก:
- ถ้า $ p = 1 $ ดังนั้นอนุกรม $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ จะลู่ออกและเรียกว่าฮาร์มอนิก แม้ว่าคำศัพท์ทั่วไป $ a_n = \frac(1 )(n) \ถึง 0 $ ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? หมายเหตุกล่าวว่าเกณฑ์ที่จำเป็นไม่ได้ให้คำตอบเกี่ยวกับการลู่เข้า แต่เพียงเกี่ยวกับความแตกต่างของซีรีส์เท่านั้น ดังนั้น หากเราใช้การทดสอบที่เพียงพอ เช่น การทดสอบอินทิกรัล Cauchy จะเห็นได้ชัดว่าอนุกรมนั้นแตกต่างกัน!
- ถ้า $ p \leqslant 1 $ แสดงว่าซีรีย์นั้นแตกต่าง ตัวอย่าง $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $ โดยที่ $ p = \frac(1)(2) $
- ถ้า $ p > 1 $ แสดงว่าอนุกรมมาบรรจบกัน ตัวอย่าง $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $ โดยที่ $ p = \frac(3)(2) > 1 $
ตัวอย่างการแก้ปัญหา
| ตัวอย่างที่ 1 |
| พิสูจน์ความแตกต่างของอนุกรม $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $ |
| สารละลาย |
|
ซีรีส์นี้เป็นบวก เราเขียนคำศัพท์ทั่วไป: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ เราคำนวณขีดจำกัดที่ $ n \to \infty $: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ เรานำ $ n $ ออกจากวงเล็บในตัวส่วนแล้วทำการลดลง: $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \to \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ เนื่องจากเราพบว่า $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $ ดังนั้นการทดสอบ Cauchy ที่จำเป็นจึงไม่เป็นที่พอใจ และอนุกรมจึงแตกต่างกัน หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะจัดให้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด- คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา! |
| คำตอบ |
| ซีรีส์มีความแตกต่าง |
ตัวอย่างหมายเลข 9
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) $.
เนื่องจากขีดจำกัดล่างของการรวมคือ 1 คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n -1))$ . ก่อนอื่น เรามาพิจารณาว่าซีรีส์นี้เป็นบวกหรือไม่ เช่น อสมการ $u_n≥ 0$ จริงหรือไม่ ตัวประกอบ $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$ ชัดเจน แต่แล้วอาร์คแทนเจนต์ล่ะ? อาร์กแทนจ์ไม่มีอะไรซับซ้อน: เนื่องจาก $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$ จากนั้น $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0 $ . สรุป: ซีรีส์ของเราเป็นบวก ให้เราใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบเพื่อศึกษาประเด็นการลู่เข้าของซีรี่ส์นี้
ขั้นแรก เรามาเลือกซีรีส์ที่เราจะเปรียบเทียบกันก่อน ถ้า $n\to\infty$ แล้ว $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\to 0$ ดังนั้น $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? หากเราดูตารางท้ายเอกสารนี้ เราจะเห็นสูตร $\arctg x\sim x$ สำหรับ $x\to 0$ เราใช้สูตรนี้ เฉพาะในกรณีของเรา $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$
ในนิพจน์ $\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ เราจะแทนที่อาร์กแทนเจนต์ด้วยเศษส่วน $\frac(\pi)(\ sqrt(2n- 1))$. เราได้ดังนี้: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ เราเคยทำงานกับเศษส่วนดังกล่าวมาก่อนแล้ว เมื่อละทิ้งองค์ประกอบ “พิเศษ” เราจะได้เศษส่วน $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2) +\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$ มันเหมือนกับอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ ที่เราจะเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนดโดยใช้ เนื่องจาก $\frac(5)(6)≤ 1$ ดังนั้นอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ แตกต่าง
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left|\begin(ชิด)&\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1))\to 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\end(ชิด) \ขวา| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1)( n^\frac(5)(6))) =\\=\pi\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)) -
ตั้งแต่ $0<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.
ฉันสังเกตว่าในกรณีนี้ แทนที่จะเป็นอาร์กแทนเจนต์ในนิพจน์ของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม อาจมีไซน์ อาร์คไซน์ หรือแทนเจนต์ก็ได้ การแก้ปัญหาก็คงเหมือนเดิม
คำตอบ: ซีรีส์แตกต่าง
ตัวอย่างหมายเลข 10
ตรวจสอบอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$ สำหรับการลู่เข้า
เนื่องจากขีดจำกัดล่างของผลรวมคือ 1 คำทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$ เนื่องจากสำหรับมูลค่าใดๆ $x$ เรามี $-1≤\cos x≤ 1$ จากนั้น $\cos\frac(7)(n)≤ 1$ ดังนั้น $1-\cos\frac(7)(n)≥ 0$ เช่น $u_n≥ 0$. เรากำลังเผชิญกับซีรีส์เชิงบวก
ถ้า $n\to\infty$ แล้ว $\frac(7)(n)\to 0$ ดังนั้น $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $. ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? หากเราดูตารางท้ายเอกสารนี้ เราจะเห็นสูตร $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ สำหรับ $x\to 0$ เราใช้สูตรนี้ เฉพาะในกรณีของเรา $x=\frac(7)(n)$
ลองแทนที่นิพจน์ $1-\cos\frac(7)(n)$ ด้วย $\frac(49)(2n^2)$ เมื่อละทิ้งองค์ประกอบ “พิเศษ” เราจะได้เศษส่วน $\frac(1)(n^2)$ มันเหมือนกับอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ ที่เราจะเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนดโดยใช้ เนื่องจาก $2 > 1$ อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ มาบรรจบกัน
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\ซ้าย|\frac(0)(0 )\right|= \left|\begin(ชิด)&\frac(7)(n)\to 0;\\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2).\end(ชิด)\right| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2) -
ตั้งแต่ $0<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.
คำตอบ: ซีรีส์มาบรรจบกัน
ตัวอย่างหมายเลข 11
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$
เนื่องจากขีดจำกัดล่างของการรวมคือ 1 คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$ เนื่องจากทั้งสองปัจจัยเป็นบวก ดังนั้น $u_n >0$ เช่น เรากำลังเผชิญกับซีรีส์เชิงบวก
ถ้า $n\to\infty$ แล้ว $\frac(3)(n)\to 0$ ดังนั้น $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$ สูตรที่เราใช้อยู่ในตารางท้ายเอกสารนี้: $e^x-1 \sim x$ at $x\to 0$ ในกรณีของเรา $x=\frac(3)(n)$
ให้เราแทนที่นิพจน์ $e^\frac(3)(n)-1$ ด้วย $\frac(3)(n)$ จะได้ $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right )^ 2=\frac(9)(n)$ เมื่อเอาตัวเลขออก เราก็จะได้เศษส่วน $\frac(1)(n)$ มันเหมือนกับอนุกรมฮาร์มอนิก $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ที่เราจะเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนดโดยใช้ ฉันขอเตือนคุณว่าอนุกรมฮาร์มอนิกมีความแตกต่างกัน
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\to\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0 )(0)\right|=\left|\begin(ชิด)&\frac(3)(n)\to 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n).\end(ชิด)\right| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. -
ตั้งแต่ $0<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.
คำตอบ: ซีรีส์แตกต่าง
ตัวอย่างหมายเลข 12
ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$
เนื่องจากขีดจำกัดล่างของผลรวมคือ 1 คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ เนื่องจากค่าใดๆ ของ $n$ เราจะได้ $n^3+7 > n^3+5$ จากนั้น $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$ ดังนั้น $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5) > 0$ เช่น $u_n > 0$. เรากำลังเผชิญกับซีรีส์เชิงบวก
ค่อนข้างยากที่จะสังเกตเห็นความเท่าเทียมกันที่จำเป็นในกรณีนี้ ลองเขียนนิพจน์ใต้ลอการิทึมในรูปแบบที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย:
$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\left(\frac( n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\right)=\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\ ขวา). -
ตอนนี้เห็นสูตรแล้ว: $\ln(1+x)\sim x$ สำหรับ $x\to 0$ เนื่องจากสำหรับ $n\to\infty$ เรามี $\frac(2)(n^3+5)\to$ ดังนั้น $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \right)\sim\frac(2)(n^3+5)$.
ลองแทนที่นิพจน์ $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ ด้วย $\frac(2)(n^3+5)$ เมื่อละทิ้งองค์ประกอบ “พิเศษ” เราจะได้เศษส่วน $\frac(1)(n^3)$ มันเหมือนกับอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ ที่เราจะเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนดโดยใช้ เนื่องจาก $3 > 1$ อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ มาบรรจบกัน
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \to\infty)\frac(\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\right))(\frac(1)(n^3))=\left|\frac( 0)(0)\right|= \left|\begin(ชิด)&\frac(2)(n^3+5)\to 0;\\&\ln\left(1+\frac(2)( ) n^3+5)\right)\sim\frac(2)(n^3+5).\end(ชิด)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\ frac (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\to\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\ lim_ (n\to\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=\frac(2)(1+0)=2. -
ตั้งแต่ $0<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.
คำตอบ: ซีรีส์มาบรรจบกัน
ตัวอย่างหมายเลข 13
สำรวจซีรีส์ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n$ на сходимость.!}
เนื่องจากขีดจำกัดล่างของการรวมคือ 1 คำทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}
ที่มาของวันในสัปดาห์ในงานมอบหมายบทเรียนภาษาเยอรมัน
ทฤษฎีไซโครเมทริกแห่งเชาวน์ปัญญา ทฤษฎีเชาวน์ปัญญาที่ถือว่าระดับเชาวน์ปัญญา
เกิดอะไรขึ้นกับบุคคลหลังความตายจากมุมมองทางวิทยาศาสตร์ อะไรเกิดขึ้นหลังจากการเสียชีวิตของบุคคลนั้นเป็นวิทยาศาสตร์