สมัยโบราณ

ในสมัยโบราณ แนวคิดบางอย่างปรากฏขึ้นซึ่งต่อมานำไปสู่แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แต่ในยุคนั้นแนวคิดเหล่านี้ไม่ได้พัฒนาอย่างเข้มงวดและเป็นระบบ การคำนวณปริมาตรและพื้นที่ ซึ่งเป็นหนึ่งในเป้าหมายของแคลคูลัสอินทิกรัล สามารถพบได้ในกระดาษปาปิรัสคณิตศาสตร์มอสโกจากอียิปต์ (ค.ศ. 1820 ก่อนคริสตกาล) แต่สูตรเป็นคำแนะนำเพิ่มเติม โดยไม่มีการระบุวิธีการใดๆ และบางส่วน เป็นเพียงความผิดพลาด ในยุคของคณิตศาสตร์กรีก Eudoxus (ค. 408-355 ปีก่อนคริสตกาล) ใช้วิธีการหมดแรงในการคำนวณพื้นที่และปริมาตร ซึ่งคาดการณ์ถึงแนวคิดของลิมิต และต่อมาแนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยอาร์คิมิดีส (ค. 287-212 ปีก่อนคริสตกาล) โดยการประดิษฐ์ฮิวริสติกที่คล้ายกับวิธีการของอินทิกรัลแคลคูลัส วิธีการอ่อนเพลียถูกคิดค้นขึ้นในประเทศจีนโดย Liu Hui ในศตวรรษที่ 3 ซึ่งเขาใช้คำนวณพื้นที่ของวงกลม ในโฆษณาที่ 5 Zu Chongzhi ได้พัฒนาวิธีการคำนวณปริมาตรของลูกบอล ซึ่งต่อมาเรียกว่าหลักการของ Cavalieri

วัยกลางคน

ในศตวรรษที่ 14 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Madhava Sangamagrama และโรงเรียนคณิตศาสตร์ดาราศาสตร์แห่ง Kerala ได้แนะนำองค์ประกอบหลายอย่างของแคลคูลัส เช่น อนุกรมเทย์เลอร์ การประมาณอนุกรมอนันต์ การทดสอบอินทิกรัลคอนเวอร์เจนซ์ การแก้สมการไม่เชิงเส้น และกำหนดว่าพื้นที่ใดใต้เส้นโค้งที่เป็นอินทิกรัล บางคนถือว่ายุกติภะศา (ยุกติภาณะ) เป็นงานแรกในวิชาแคลคูลัส

ยุคใหม่

ในยุโรป บทความของ Bonaventure Cavalieri กลายเป็นงานพื้นฐาน ซึ่งเขาโต้แย้งว่าปริมาณและพื้นที่สามารถคำนวณเป็นผลรวมของปริมาตรและพื้นที่ของส่วนที่บางอย่างไม่สิ้นสุด แนวคิดนี้คล้ายกับที่อาร์คิมิดีสกำหนดไว้ในเมธอด แต่บทความของอาร์คิมิดีสนี้สูญหายไปจนกระทั่งช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 งานของ Cavalieri ไม่เป็นที่รู้จัก เนื่องจากวิธีการของเขาอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ผิดพลาด และเขาได้สร้างชื่อเสียงที่น่าสงสัยสำหรับค่านิยมที่น้อยมาก

การศึกษาอย่างเป็นทางการของแคลคูลัสน้อย ซึ่ง Cavalieri รวมกับแคลคูลัสของความแตกต่างจำกัด กำลังดำเนินการในยุโรปในเวลาเดียวกัน ปิแอร์ แฟร์มาต์ อ้างว่าเขายืมสิ่งนี้มาจากไดโอแฟนตุส ได้แนะนำแนวคิดของ "ความเท่าเทียมกันเสมือน" (อังกฤษ ความเท่าเทียมกัน) ซึ่งเป็นความเสมอภาคจนถึงข้อผิดพลาดเพียงเล็กน้อย John Wallis, Isaac Barrow และ James Gregory มีส่วนสนับสนุนสำคัญ สองข้อสุดท้ายเมื่อราวปี 1675 ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองของแคลคูลัส

ฐานราก

ในวิชาคณิตศาสตร์ พื้นฐานหมายถึงคำจำกัดความที่เข้มงวดของหัวเรื่อง โดยเริ่มจากสัจพจน์และคำจำกัดความที่แม่นยำ ในระยะเริ่มต้นของการพัฒนาแคลคูลัส การใช้ปริมาณน้อยถือว่าไม่เข้มงวด ผู้เขียนหลายคนวิจารณ์อย่างรุนแรง ซึ่งโดยหลักแล้วคือ Michel Rolle และ Bishop Berkeley Berkeley ได้บรรยายถึงสิ่งเล็กๆ น้อยๆ อย่างมีชื่อเสียงว่าเป็น "ผีในปริมาณที่ตายได้" ในหนังสือของเขา The Analyst ในปี ค.ศ. 1734 การพัฒนารากฐานที่เข้มงวดสำหรับแคลคูลัสยึดครองนักคณิตศาสตร์มานานกว่าศตวรรษหลังจากนิวตันและไลบนิซและยังคงเป็นงานวิจัยที่มีความกระตือรือร้นในปัจจุบัน

นักคณิตศาสตร์หลายคน รวมทั้ง Maclaurin พยายามพิสูจน์ความถูกต้องของการใช้ infinitesimals แต่สิ่งนี้ถูกทำเพียง 150 ปีต่อมาโดยผลงานของ Cauchy และ Weierstrass ซึ่งในที่สุดก็พบวิธีที่จะหลีกเลี่ยง "สิ่งเล็กน้อย" ง่ายๆ ของสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ และ จุดเริ่มต้นถูกวางแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ ในงานเขียนของ Cauchy เราพบสเปกตรัมที่เป็นสากลของแนวทางพื้นฐาน รวมถึงคำจำกัดความของความต่อเนื่องในแง่ของจำนวนน้อยและต้นแบบ (ค่อนข้างไม่ชัดเจน) ของคำจำกัดความ (ε, δ)-ลิมิตในคำจำกัดความของความแตกต่าง ในงานของเขา Weierstrass กำหนดแนวความคิดเรื่องลิมิตและกำจัดปริมาณที่น้อยมาก หลังจากงานนี้โดย Weierstrass ลิมิตและปริมาณที่ไม่ จำกัด ได้กลายเป็นพื้นฐานทั่วไปสำหรับแคลคูลัส Bernhard Riemann ใช้แนวคิดเหล่านี้เพื่อให้คำจำกัดความที่แม่นยำของอินทิกรัล นอกจากนี้ ในช่วงเวลานี้ แนวความคิดของแคลคูลัสถูกขยายไปสู่อวกาศแบบยุคลิดและระนาบเชิงซ้อน

ในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ รากฐานของแคลคูลัสรวมอยู่ในส่วนของการวิเคราะห์จริง ซึ่งมีคำจำกัดความที่สมบูรณ์และการพิสูจน์ทฤษฎีบทในแคลคูลัส ขอบเขตของการวิจัยแคลคูลัสกว้างขึ้นมาก Henri Lebesgue พัฒนาทฤษฎีชุดการวัดและใช้เพื่อกำหนดอินทิกรัลของฟังก์ชันทั้งหมด ยกเว้นฟังก์ชันที่แปลกใหม่ที่สุด Laurent Schwartz แนะนำฟังก์ชันทั่วไป ซึ่งสามารถใช้ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ได้เลย

การแนะนำขีดจำกัดไม่ได้กำหนดแนวทางที่เข้มงวดเพียงอย่างเดียวกับพื้นฐานของแคลคูลัส อีกทางเลือกหนึ่งคือ ตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐานของอับราฮัม โรบินสัน แนวทางของโรบินสันซึ่งพัฒนาขึ้นในปี 1960 ใช้เครื่องมือทางเทคนิคจากตรรกะทางคณิตศาสตร์เพื่อขยายระบบของจำนวนจริงเป็นจำนวนน้อยและอนันต์ เช่นเดียวกับกรณีในแนวคิดนิวตัน-ไลบนิซดั้งเดิม ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าไฮเปอร์เรียล สามารถใช้ในกฎแคลคูลัสตามปกติได้ เช่นเดียวกับที่ไลบนิซทำ

ความสำคัญ

แม้ว่าแนวคิดแคลคูลัสบางข้อจะได้รับการพัฒนาในอียิปต์ กรีซ จีน อินเดีย อิรัก เปอร์เซีย และญี่ปุ่น แต่การใช้แคลคูลัสสมัยใหม่เริ่มขึ้นในยุโรปในศตวรรษที่ 17 เมื่อ Isaac Newton และ Gottfried Wilhelm Leibniz สร้างขึ้นจากผลงานของ นักคณิตศาสตร์ก่อนหน้า หลักการพื้นฐานของมัน การพัฒนาแคลคูลัสมีพื้นฐานมาจากแนวคิดก่อนหน้าของการเคลื่อนที่ในทันทีและพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ใช้ในการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับความเร็วและความเร่ง มุมโค้ง และการเพิ่มประสิทธิภาพ การประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์รวมถึงการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ ปริมาตร ความยาวส่วนโค้ง จุดศูนย์กลางมวล งาน และความดัน การใช้งานที่ซับซ้อนมากขึ้น ได้แก่ การคำนวณอนุกรมกำลังและอนุกรมฟูริเยร์

แคลคูลัส [ ] ยังใช้เพื่อให้เข้าใจธรรมชาติของพื้นที่ เวลา และการเคลื่อนไหวได้แม่นยำยิ่งขึ้น เป็นเวลาหลายศตวรรษที่นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาได้ต่อสู้กับความขัดแย้งที่เกี่ยวข้องกับการหารด้วยศูนย์หรือการหาผลรวมของอนุกรมจำนวนอนันต์ คำถามเหล่านี้เกิดขึ้นในการศึกษาการเคลื่อนที่และการคำนวณพื้นที่ นักปรัชญาชาวกรีก Zeno แห่ง Elea ได้ยกตัวอย่างที่มีชื่อเสียงหลายประการเกี่ยวกับความขัดแย้งดังกล่าว แคลคูลัสมีเครื่องมือสำหรับแก้ไขความขัดแย้งเหล่านี้ โดยเฉพาะลิมิตและอนุกรมอนันต์

ขีดจำกัดและอนันต์

หมายเหตุ

1. มอร์ริส ไคลน์, ความคิดทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยโบราณถึงปัจจุบันฉบับที่ ฉัน
2. อาร์คิมิดีส กระบวนการ, ใน ผลงานของอาร์คิมิดีส ISBN 978-0-521-66160-7
3. ตุน หลิว; ฟาน ไดเนียน; โคเฮน, โรเบิร์ต ซอนน์.การเปรียบเทียบของ Archimdes" และการศึกษาวงกลมของ Liu Hui (ภาษาอังกฤษ): วารสาร - สปริงเกอร์, 2509. - ฉบับ. 130 . - หน้า 279 . - ไอเอสบีเอ็น 0-792-33463-9, บทที่, น. 279
4. ซิล, เดนนิส จี.; ไรท์ สก็อตต์; ไรท์, วอร์เรน เอส.แคลคูลัส: ทรานส์เซ็นเดนทัลตอนต้น (ไม่แน่นอน) - 3. - การเรียนรู้ของโจนส์และบาร์ตเล็ต (ภาษาอังกฤษ)รัสเซีย, 2552. - ส. xxvii. - ไอเอสบีเอ็น 0-763-75995-3, สารสกัดจากหน้า 27
5. คณิตศาสตร์อินเดีย
6. von Neumann, J., "The Mathematician", ใน Heywood, R. B. , ed., ผลงานของจิตใจ, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก, 2490, หน้า. 180-196. พิมพ์ซ้ำใน Brody, F. , Vámos, T. , eds., Neumann Compedium, สำนักพิมพ์วิทยาศาสตร์โลก บจก. ปตท. Ltd., 1995, ISBN 9810222017, หน้า 618-626.
7. อังเดร ไวล์: ทฤษฎีจำนวน. แนวทางผ่านประวัติศาสตร์ จากฮัมมูราปีถึงเลเจนเดร Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, p. 28.
8. ไลบนิซ, ก็อทฟรีด วิลเฮล์ม. ต้นฉบับคณิตศาสตร์ตอนต้นของไลบนิซ Cosimo, Inc., 2008. หน้า 228. Copy
9. อุนลู อีลิฟ Maria Gaetana Agnesi (ไม่มีกำหนด) . วิทยาลัยแอกเนส สก็อตต์ (เมษายน 2538) เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 5 กันยายน 2555

ลิงค์

• รอน ลาร์สัน, บรูซ เอช. เอ็ดเวิร์ดส์ (2010) "แคลคูลัส" ฉบับที่ 9 บรู๊คส์โคล Cengage Learning ISBN 978-0-547-16702-2
• แมคควารี, โดนัลด์ เอ. (2003). วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร,มหาวิทยาลัยหนังสือวิทยาศาสตร์. ไอ 978-1-891389-24-5
• เจมส์ สจ๊วต (2008) แคลคูลัส: วิชชายุคแรก, ฉบับที่ 6, Brooks Cole Cengage Learning.

บทนำ

L. ออยเลอร์เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีประสิทธิผลมากที่สุดในประวัติศาสตร์ ผู้เขียนงานมากกว่า 800 ชิ้นในด้านการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีจำนวน การคำนวณโดยประมาณ กลศาสตร์ท้องฟ้า ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ทัศนศาสตร์ ขีปนาวุธ การต่อเรือ ทฤษฎีดนตรี ฯลฯ มากมาย ผลงานของเขามีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์

ออยเลอร์ใช้เวลาเกือบครึ่งชีวิตในรัสเซีย ซึ่งเขาได้ช่วยสร้างวิทยาศาสตร์ของรัสเซียอย่างกระตือรือร้น ในปี ค.ศ. 1726 เขาได้รับเชิญให้ทำงานในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ในปี ค.ศ. 1731-1741 และเริ่มต้นในปี ค.ศ. 1766 เขาเป็นนักวิชาการของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก (ในปี ค.ศ. 1741-1766 เขาทำงานในกรุงเบอร์ลินและยังคงเป็นสมาชิกกิตติมศักดิ์ของสถาบันเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก) เขารู้จักภาษารัสเซียเป็นอย่างดี เขาตีพิมพ์ผลงานบางส่วนของเขา (โดยเฉพาะหนังสือเรียน) เป็นภาษารัสเซีย นักวิชาการชาวรัสเซียคนแรกในวิชาคณิตศาสตร์ (S.K. Kotelnikov) และดาราศาสตร์ (S.Ya. Rumovsky) เป็นนักเรียนของออยเลอร์ ลูกหลานของเขาบางคนยังอาศัยอยู่ในรัสเซีย

แอล. ออยเลอร์มีส่วนอย่างมากในการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

บทคัดย่อมีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาประวัติความเป็นมาของการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 18

แนวคิดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เค้าโครงประวัติศาสตร์

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นชุดของสาขาคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการศึกษาฟังก์ชันและลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันโดยใช้วิธีการของดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัลแคลคูลัส ด้วยการตีความทั่วไปเช่นนี้ การวิเคราะห์ควรรวมถึงการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ร่วมกับทฤษฎีของอินทิกรัล Lebesgue การวิเคราะห์เชิงซ้อน (TFKP) ซึ่งศึกษาหน้าที่ที่กำหนดไว้บนระนาบเชิงซ้อน การวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐาน ซึ่งศึกษาจำนวนน้อยและจำนวนมากอย่างอนันต์ ตลอดจนแคลคูลัสของการแปรผัน

ในกระบวนการศึกษา การวิเคราะห์ประกอบด้วย

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์

ทฤษฎีอนุกรมวิธาน (ฟังก์ชัน กำลัง และฟูริเยร์) และปริพันธ์หลายมิติ

การวิเคราะห์เวกเตอร์

ในเวลาเดียวกัน องค์ประกอบของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีของอินทิกรัล Lebesgue เป็นทางเลือก และ TFKP แคลคูลัสของการแปรผัน ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์จะสอนในหลักสูตรแยกกัน ความเข้มงวดของการอธิบายเป็นไปตามรูปแบบของปลายศตวรรษที่ 19 และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้ทฤษฎีเซตที่ไร้เดียงสา

บรรพบุรุษของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีการแบบโบราณของความอ่อนล้าและวิธีการแบ่งแยกไม่ได้ ทั้งสามทิศทาง รวมทั้งการวิเคราะห์ มีแนวคิดเริ่มต้นร่วมกัน: การสลายตัวเป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุด อย่างไรก็ตาม ลักษณะของความคิดนั้นค่อนข้างคลุมเครือสำหรับผู้แต่งแนวคิด วิธีการเกี่ยวกับพีชคณิต (แคลคูลัสน้อย) เริ่มปรากฏใน Wallis, James Gregory และ Barrow แคลคูลัสใหม่ในฐานะระบบถูกสร้างขึ้นโดยนิวตันซึ่งไม่ได้เผยแพร่การค้นพบของเขามาเป็นเวลานาน Newton I. งานคณิตศาสตร์. ม. 2480

วันเดือนปีเกิดอย่างเป็นทางการของแคลคูลัสที่แตกต่างกันถือได้ว่าเป็นเดือนพฤษภาคม 1684 เมื่อไลบนิซตีพิมพ์บทความแรก "วิธีการใหม่ของ maxima และ minima ... " Leibniz // Acta Eroditorum, 1684. L.M.S. , vol. V, p. 220-226. มาตุภูมิ ต่อ.: เสื่อความสำเร็จ. นุ๊ก เล่ม 3 ค. 1 (23) น. 166--173.. บทความนี้ในรูปแบบที่กระชับและไม่สามารถเข้าถึงได้ ได้สรุปหลักการของวิธีการใหม่ที่เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส

ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 17 มีวงกลมเกิดขึ้นรอบๆ ไลบนิซ ตัวแทนที่โดดเด่นที่สุดคือพี่น้องเบอร์นูลลี ยาโคบและโยฮันน์ และโลปิตาล ในปี ค.ศ. 1696 โลปิตาลใช้การบรรยายของ I. Bernoulli ได้เขียนตำรา L'pital เล่มแรก การวิเคราะห์อนันต์ M.-L.: GTTI, 1935. ผู้นำเสนอวิธีการใหม่ที่ใช้กับทฤษฎีเส้นโค้งระนาบ เขาเรียกมันว่า "การวิเคราะห์อนันต์" ซึ่งทำให้ชื่อหนึ่งในสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ การนำเสนอขึ้นอยู่กับแนวคิดของตัวแปร ซึ่งระหว่างนั้นมีความเกี่ยวโยงกัน เนื่องจากการที่การเปลี่ยนแปลงในสิ่งหนึ่งทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในอีกทางหนึ่ง ใน Lopital การเชื่อมต่อนี้กำหนดโดยใช้เส้นโค้งระนาบ: ถ้า M เป็นจุดเคลื่อนที่ของเส้นโค้งระนาบ พิกัดคาร์ทีเซียนของมันคือ x และ y ซึ่งเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางและพิกัดของเส้นโค้ง เป็นตัวแปร และการเปลี่ยนแปลงของ x ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลง ในปี ค.ศ. ไม่มีแนวคิดของฟังก์ชัน: อยากจะบอกว่าการพึ่งพาตัวแปรได้รับ Lopital กล่าวว่า "ธรรมชาติของเส้นโค้งเป็นที่รู้จัก" แนวคิดของดิฟเฟอเรนเชียลถูกนำมาใช้ดังนี้:

“ส่วนน้อยที่ค่าตัวแปรเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่องเรียกว่าส่วนต่าง ... เพื่อแสดงถึงส่วนต่างของปริมาณตัวแปรซึ่งแสดงด้วยตัวอักษรหนึ่งตัวเราจะใช้เครื่องหมายหรือสัญลักษณ์ d ที่นั่น. ตอนที่ 1 def.2 %D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0% B8%D0%B7 - cite_note -4#cite_note-4 ... ส่วนน้อยที่ส่วนต่างของตัวแปรเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่องเรียกว่า ... ดิฟเฟอเรนเชียลที่สอง ที่นั่น. Ch.4, def.1.

คำจำกัดความเหล่านี้อธิบายในเชิงเรขาคณิต โดยมีการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยที่แสดงเป็นจำนวนจำกัดในรูป การพิจารณาเป็นไปตามข้อกำหนดสองประการ (สัจพจน์) อันดับแรก:

จำเป็นต้องมีปริมาณสองปริมาณที่แตกต่างกันเพียงจำนวนเล็กน้อยเท่านั้นที่สามารถนำมาใช้อย่างไม่แยแสแทนที่จะใช้อีกปริมาณหนึ่ง โลปิตัล. การวิเคราะห์อนันต์ M.-L.: GTTI, 1935. ch.1, ข้อกำหนด 1

dxy = (x + dx)(y + dy) ? xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

และอื่นๆ กฎความแตกต่าง ข้อกำหนดที่สองคือ:

จำเป็นต้องพิจารณาเส้นโค้งเป็นชุดของเส้นตรงขนาดเล็กอนันต์จำนวนอนันต์

ความต่อเนื่องของแต่ละเส้นนั้นเรียกว่าแทนเจนต์ของเส้นโค้ง ที่นั่น. บทที่ 2. def. การตรวจสอบเส้นสัมผัสผ่านจุด M = (x, y) L'Hopital ให้ความสำคัญกับปริมาณมาก

ถึงค่าสุดขีดที่จุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้ง ในขณะที่อัตราส่วนของ dy ต่อ dx ไม่ได้ให้ความสำคัญเป็นพิเศษ

การหาจุดสุดยอดเป็นสิ่งที่น่าสังเกต หากเส้นผ่านศูนย์กลาง x เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ลำดับของ y จะเพิ่มขึ้นก่อนแล้วจึงลดลง จากนั้นค่า dy ที่แตกต่างกันจะเป็นค่าบวกก่อนเมื่อเปรียบเทียบกับ dx แล้วตามด้วยค่าลบ

แต่ปริมาณที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่องไม่สามารถเปลี่ยนจากบวกเป็นลบได้โดยไม่ผ่านอนันต์หรือศูนย์ ... ตามมาว่าส่วนต่างของขนาดที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดจะต้องเท่ากับศูนย์หรืออนันต์

สูตรนี้อาจไม่สมบูรณ์แบบ หากเราจำข้อกำหนดแรกได้: ให้ พูดว่า y = x2 จากนั้นตามข้อกำหนดแรก

2xdx + dx2 = 2xdx;

ที่ศูนย์ ด้านขวาจะเป็นศูนย์ แต่ด้านซ้ายไม่ใช่ เห็นได้ชัดว่าควรจะกล่าวว่า dy สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามข้อกำหนดแรกเพื่อให้ที่จุดสูงสุด dy = 0 ในตัวอย่าง ทุกอย่างมีความชัดเจนในตัวเอง และเฉพาะในทฤษฎีจุดเปลี่ยนเว้าเท่านั้นที่ Lopital เขียนว่า dy เท่ากับศูนย์ที่จุดสูงสุด หารด้วย dx Lopital การวิเคราะห์อนันต์ M.-L.: GTTI, 1935 § 46.

นอกจากนี้ ด้วยความช่วยเหลือของดิฟเฟอเรนเชียลเพียงอย่างเดียว เงื่อนไขสำหรับส่วนปลายจะได้รับการกำหนดและพิจารณาปัญหาที่ซับซ้อนจำนวนมาก ซึ่งส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์บนระนาบ ในตอนท้ายของหนังสือใน ch. 10 สิ่งที่เรียกว่ากฎของโลปิตาลในปัจจุบันถูกกล่าวถึง แม้ว่าจะอยู่ในรูปแบบที่ไม่ธรรมดาก็ตาม ให้ค่าของพิกัด y ของเส้นโค้งแสดงเป็นเศษส่วน ตัวเศษและตัวส่วนจะหายไปที่ x = a จากนั้นจุดของเส้นโค้งที่มี x = a จะมีพิกัด y เท่ากับอัตราส่วนของส่วนต่างของตัวเศษกับส่วนต่างของตัวส่วนที่ x = a

ตามความคิดของ L'Hopital สิ่งที่เขาเขียนคือส่วนแรกของ "การวิเคราะห์" ในขณะที่ส่วนที่สองควรจะมีแคลคูลัสปริพันธ์ นั่นคือวิธีค้นหาการเชื่อมต่อของตัวแปรโดยการเชื่อมต่อที่ทราบของดิฟเฟอเรนเชียลของพวกมัน โยฮันน์ เบอร์นูลลีเป็นผู้บรรยายครั้งแรกในการบรรยายทางคณิตศาสตร์ว่าด้วยวิธีการบูรณาการโดยเบอร์นูลลี โยฮันน์ Die erste Integrelrechnuug. Leipzig-Berlin, 1914. ต่อไปนี้คือวิธีการหาอินทิกรัลพื้นฐานส่วนใหญ่และวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งจำนวนมาก

ประวัติแคลคูลัส

ศตวรรษที่ 18 มักถูกเรียกว่าศตวรรษแห่งการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ ซึ่งกำหนดพัฒนาการของสังคมมาจนถึงปัจจุบัน การปฏิวัตินี้มีพื้นฐานมาจากการค้นพบทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งที่เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 และก่อตั้งขึ้นในศตวรรษหน้า “ไม่มีวัตถุชิ้นเดียวในโลกวัตถุและไม่มีความคิดแม้แต่ชิ้นเดียวในดินแดนแห่งจิตวิญญาณ ซึ่งจะไม่ได้รับผลกระทบจากอิทธิพลของการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ของศตวรรษที่ 18 ไม่มีองค์ประกอบของอารยธรรมสมัยใหม่ใดสามารถดำรงอยู่ได้หากปราศจากหลักการของกลศาสตร์ หากไม่มีเรขาคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ไม่มีสาขาใดของกิจกรรมของมนุษย์ที่ไม่เคยได้รับอิทธิพลจากอัจฉริยะของกาลิเลโอ เดส์การต นิวตัน และไลบนิซ คำพูดเหล่านี้ของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อี. โบเรล (1871 - 1956) ที่เขาพูดในปี 1914 ยังคงมีความเกี่ยวข้องในสมัยของเรา นักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่หลายคนมีส่วนในการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: I. Kepler (1571 -1630), R. Descartes (1596-1650), P. Fermat (1601 -1665), B. Pascal (1623-1662), H. Huygens (1629 -1695), I. Barrow (1630 -1677), พี่น้อง J. Bernoulli (1654 -1705) และ I. Bernoulli (1667 -1748) และคนอื่นๆ

นวัตกรรมของเหล่าเซเลบริตี้ในการทำความเข้าใจและบรรยายถึงโลกรอบตัวเรา:

การเคลื่อนไหว การเปลี่ยนแปลง และความแปรปรวน (ชีวิตเข้ามาด้วยพลวัตและการพัฒนา)

สถิติและภาพรวมของสภาพของเธอ

การค้นพบทางคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ 17-17 ถูกกำหนดโดยใช้แนวคิดเช่นตัวแปรและฟังก์ชัน พิกัด กราฟ เวกเตอร์ อนุพันธ์ ปริพันธ์ อนุกรม และสมการเชิงอนุพันธ์

Pascal, Descartes และ Leibniz ไม่ได้เป็นนักคณิตศาสตร์มากเท่ากับนักปรัชญา เป็นความหมายสากลของมนุษย์และปรัชญาของการค้นพบทางคณิตศาสตร์ซึ่งขณะนี้เป็นค่านิยมหลักและเป็นองค์ประกอบที่จำเป็นของวัฒนธรรมร่วมกัน

ทั้งปรัชญาจริงจังและคณิตศาสตร์จริงจังไม่สามารถเข้าใจได้หากปราศจากการเรียนรู้ภาษาที่เหมาะสม นิวตันในจดหมายถึงไลบนิซเกี่ยวกับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้สรุปวิธีการของเขาดังนี้: 5accdae10effh 12i…rrrssssttuu

ผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ - Copernicus, Kepler, Galileo และ Newton - เข้าหาการศึกษาธรรมชาติเป็นคณิตศาสตร์ ขณะศึกษาการเคลื่อนไหว นักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาแนวคิดพื้นฐานเช่น ฟังก์ชัน หรือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร เป็นต้น d = kt 2 ที่ไหน dคือระยะทางที่ร่างที่ตกลงมาอย่างอิสระเดินทาง และ tคือจำนวนวินาทีที่ร่างกายตกอย่างอิสระ แนวคิดของฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์กลางในการกำหนดความเร็ว ณ เวลาที่กำหนดและการเร่งความเร็วของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ในทันที ความยากทางคณิตศาสตร์ของปัญหานี้คือเมื่อใดก็ตาม ร่างกายจะเดินทางด้วยระยะทางเป็นศูนย์ในเวลาเป็นศูนย์ ดังนั้น การกำหนดค่าความเร็วในช่วงเวลาหนึ่งโดยหารเส้นทางตามเวลา เราจะมาที่นิพจน์ที่ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ 0/0

ปัญหาในการกำหนดและคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงในทันทีของปริมาณต่างๆ ดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดของศตวรรษที่ 17 รวมถึง Barrow, Fermat, Descartes และ Wallis แนวคิดและวิธีการที่แตกต่างกันที่เสนอโดยพวกเขาถูกนำมารวมกันเป็นวิธีการที่เป็นทางการอย่างเป็นระบบและใช้ได้ในระดับสากลโดย Newton และ G. Leibniz (1646-1716) ซึ่งเป็นผู้สร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ มีการถกเถียงกันอย่างเผ็ดร้อนระหว่างพวกเขาเกี่ยวกับลำดับความสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัสนี้ โดยนิวตันกล่าวหาไลบนิซว่าลอกเลียนผลงาน อย่างไรก็ตาม จากการศึกษาของนักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ได้แสดงให้เห็น ไลบนิซได้สร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยไม่ขึ้นกับนิวตัน อันเป็นผลมาจากความขัดแย้ง การแลกเปลี่ยนความคิดระหว่างนักคณิตศาสตร์ของทวีปยุโรปและอังกฤษถูกขัดจังหวะเป็นเวลาหลายปี เพื่อสร้างความเสียหายให้กับฝ่ายอังกฤษ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษยังคงพัฒนาแนวคิดของการวิเคราะห์ในทิศทางเรขาคณิต ในขณะที่นักคณิตศาสตร์ของทวีปยุโรป รวมทั้ง I. Bernoulli (1667-1748), ออยเลอร์ และลากรองจ์ ประสบความสำเร็จมากขึ้นอย่างหาที่เปรียบมิได้ ตามแนวทางพีชคณิตหรือการวิเคราะห์

พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดคือแนวคิดของลิมิต ความเร็ว ณ จุดใดเวลาหนึ่ง ถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดที่ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มไป d/tเมื่อค่า tเข้าใกล้ศูนย์มากขึ้น แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นวิธีการทั่วไปที่สะดวกสำหรับการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ฉ (x) สำหรับค่าใด ๆ X. ความเร็วนี้เรียกว่าอนุพันธ์ จากลักษณะทั่วไปของบันทึก ฉ (x) เป็นที่ชัดเจนว่าแนวคิดของอนุพันธ์นั้นใช้ได้ไม่เฉพาะในงานที่เกี่ยวข้องกับความจำเป็นในการค้นหาความเร็วหรือความเร่ง แต่ยังสัมพันธ์กับการพึ่งพาฟังก์ชันใดๆ เช่น อัตราส่วนบางส่วนจากทฤษฎีทางเศรษฐศาสตร์ หนึ่งในแอปพลิเคชั่นหลักของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือสิ่งที่เรียกว่า งานสูงสุดและต่ำสุด ปัญหาที่สำคัญอีกช่วงหนึ่งคือการหาเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่กำหนด

ปรากฎว่าด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ที่คิดค้นขึ้นเป็นพิเศษสำหรับการทำงานกับปัญหาการเคลื่อนไหว ยังเป็นไปได้ที่จะหาพื้นที่และปริมาตรที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งและพื้นผิวตามลำดับ วิธีการของเรขาคณิตแบบยุคลิดมีลักษณะทั่วไปที่เหมาะสม และไม่อนุญาตให้ได้ผลลัพธ์เชิงปริมาณที่ต้องการ ด้วยความพยายามของนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 วิธีการส่วนตัวจำนวนมากถูกสร้างขึ้นซึ่งทำให้สามารถค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งอย่างใดอย่างหนึ่งและในบางกรณีมีความเชื่อมโยงระหว่างปัญหาเหล่านี้และปัญหาในการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน แต่เช่นเดียวกับในกรณีของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิวตันและไลบนิซเป็นผู้ตระหนักถึงความทั่วไปของวิธีการนี้ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นการวางรากฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล

วิธีการของนิวตัน-ไลบนิซเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนเส้นโค้งที่จำกัดพื้นที่ที่จะกำหนดโดยลำดับของเส้นหักที่เข้าใกล้ คล้ายกับวิธีการทำในวิธีการหมดแรงที่ชาวกรีกคิดค้น พื้นที่ที่แน่นอนเท่ากับผลรวมของพื้นที่จำกัด นสี่เหลี่ยมเมื่อ นเปลี่ยนเป็นอนันต์ นิวตันแสดงให้เห็นว่าขีดจำกัดนี้หาได้จากการกลับกระบวนการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน การดำเนินการผกผันของความแตกต่างเรียกว่าการรวม คำสั่งที่ว่าการบวกสามารถทำได้โดยการกลับค่าดิฟเฟอเรนติเอชันเรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับการแยกความแตกต่างใช้ได้กับปัญหาประเภทที่กว้างกว่าการค้นหาความเร็วและความเร่ง การรวมเข้ากับปัญหาใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวม ตัวอย่างเช่น ปัญหาทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับการเพิ่มกำลัง

ศตวรรษที่ 19 เป็นจุดเริ่มต้นของช่วงเวลาใหม่ที่สี่ในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ - ช่วงเวลาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

เรารู้อยู่แล้วว่าทิศทางหลักของการพัฒนาคณิตศาสตร์ในช่วงที่สี่คือการเสริมสร้างความเข้มงวดของการพิสูจน์ในวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งการปรับโครงสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์บนพื้นฐานตรรกะ ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่สิบแปด มีความพยายามหลายครั้งในการปรับโครงสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: การแนะนำคำจำกัดความของขีด จำกัด (D'Alembert และอื่น ๆ ) คำจำกัดความของอนุพันธ์เป็นขีด จำกัด ของอัตราส่วน (ออยเลอร์และอื่น ๆ ) ผลลัพธ์ของ Lagrange และ Carnot เป็นต้น . แต่งานเหล่านี้ขาดระบบและบางครั้งก็ไม่ประสบความสำเร็จ อย่างไรก็ตามพวกเขาเตรียมพื้นที่ที่เปเรสทรอยก้าในศตวรรษที่ 19 สามารถดำเนินการได้ ในศตวรรษที่ 19 ทิศทางของการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์นี้กลายเป็นผู้นำ พวกเขาถูกจับโดย O. Koshi, B. Bolzano, K. Weierstrass และคนอื่นๆ

1. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) จบการศึกษาจากโรงเรียนโปลีเทคนิคและสถาบันการสื่อสารในปารีส ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2359 เป็นสมาชิกของ Paris Academy และเป็นอาจารย์ที่โรงเรียนโปลีเทคนิค ในปี พ.ศ. 2373–1838 ในช่วงหลายปีของสาธารณรัฐ เขาถูกเนรเทศเพราะความเชื่อมั่นในระบอบราชาธิปไตย ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1848 Cauchy ได้เป็นศาสตราจารย์ที่ Sorbonne - University of Paris เขาตีพิมพ์บทความมากกว่า 800 เรื่องเกี่ยวกับแคลคูลัส สมการเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน เรขาคณิต กลศาสตร์ ทัศนศาสตร์ ฯลฯ ประเด็นสำคัญทางวิทยาศาสตร์ที่เขาสนใจคือแคลคูลัสและทฤษฎีฟังก์ชันของคอมเพล็กซ์ ตัวแปร.

Cauchy ตีพิมพ์การบรรยายเกี่ยวกับการวิเคราะห์ที่โรงเรียนโปลีเทคนิคในสามองค์ประกอบ: "หลักสูตรการวิเคราะห์" (1821), "บทสรุปของการบรรยายเกี่ยวกับแคลคูลัสน้อย" (1823), "บรรยายเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์กับเรขาคณิต", 2 เล่ม (1826, 1828). ในหนังสือเหล่านี้ เป็นครั้งแรก ที่การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อยู่บนพื้นฐานของทฤษฎีลิมิต พวกเขาเป็นจุดเริ่มต้นของการปรับโครงสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่รุนแรง

Cauchy ให้คำจำกัดความของขีด จำกัด ของตัวแปรดังต่อไปนี้: "ถ้าค่าที่กำหนดให้กับตัวแปรเดียวกันเข้าหาค่าคงที่อย่างไม่มีกำหนดดังนั้นในท้ายที่สุดจะแตกต่างกันเล็กน้อยโดยพลการจากนั้นค่าหลังจะเรียกว่าขีด จำกัด ของ อื่น ๆ ทั้งหมด" สาระสำคัญของเรื่องแสดงไว้อย่างดีที่นี่ แต่จำเป็นต้องกำหนดคำว่า "เล็กน้อยตามอำเภอใจ" ด้วยตัวเอง และนอกจากนั้น คำจำกัดความของขีดจำกัดของตัวแปร และไม่ใช่ขีดจำกัดของฟังก์ชัน ยังได้รับการกำหนดขึ้นที่นี่ นอกจากนี้ ผู้เขียนได้พิสูจน์คุณสมบัติต่างๆ ของข้อจำกัด

จากนั้น Cauchy ให้คำจำกัดความของความต่อเนื่องของฟังก์ชันดังต่อไปนี้: ฟังก์ชันจะเรียกว่า ต่อเนื่อง (ที่จุดหนึ่ง) หากอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อยทำให้เกิดฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อย กล่าวคือ ในภาษาสมัยใหม่

แล้วเขาก็มีคุณสมบัติต่าง ๆ ของฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในหนังสือเล่มแรก เขายังพิจารณาทฤษฎีของอนุกรมด้วย: เขานิยามผลรวมของอนุกรมจำนวนเป็นขีดจำกัดของผลรวมบางส่วน แนะนำเกณฑ์ที่เพียงพอจำนวนหนึ่งสำหรับการบรรจบกันของอนุกรมจำนวน เช่นเดียวกับอนุกรมกำลังและภาค ของการบรรจบกันของพวกเขา - ทั้งหมดนี้ทั้งในพื้นที่จริงและในภูมิภาคที่ซับซ้อน

เขาอธิบายแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ในหนังสือเล่มที่สอง

Cauchy กำหนดอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ และดิฟเฟอเรนเชียลเป็นขีดจำกัดของอัตราส่วน จากนี้จะเป็นไปตามนั้น ต่อไป เราจะพิจารณาสูตรปกติสำหรับอนุพันธ์ ผู้เขียนมักใช้ทฤษฎีบทค่ากลางของลากรองจ์

ในแคลคูลัสอินทิกรัล Cauchy นำเสนออินทิกรัลที่แน่นอนเป็นแนวคิดพื้นฐานเป็นครั้งแรก เขายังแนะนำมันเป็นครั้งแรกในฐานะขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล ที่นี่เราพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สำคัญเกี่ยวกับการบูรณาการของฟังก์ชันต่อเนื่อง อินทิกรัลไม่แน่นอนถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ที่ นอกจากนี้ การขยายฟังก์ชันในอนุกรม Taylor และ Maclaurin ได้รับการพิจารณาที่นี่

ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ XIX นักวิทยาศาสตร์จำนวนหนึ่ง: B. Riemann, G. Darboux และคนอื่นๆ พบเงื่อนไขใหม่สำหรับการบูรณาการของฟังก์ชัน และยังเปลี่ยนคำจำกัดความของอินทิกรัลที่แน่นอนในลักษณะที่สามารถนำไปใช้กับการรวมฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องบางอย่างได้

ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ Cauchy มีส่วนร่วมในการพิสูจน์ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ที่สำคัญโดยพื้นฐาน: การมีอยู่ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ อันดับแรกของอันดับแรก และลำดับที่ th การมีอยู่ของคำตอบสำหรับระบบเชิงเส้นตรงของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

ในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน Cauchy เป็นผู้ก่อตั้ง หลายบทความของเขาทุ่มเทให้กับมัน ในศตวรรษที่สิบแปด Euler และ d'Alembert วางรากฐานสำหรับทฤษฎีนี้เท่านั้น ในหลักสูตรของมหาวิทยาลัยเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน เราพบชื่อ Cauchy ตลอดเวลา: เงื่อนไข Cauchy - Riemann สำหรับการมีอยู่ของอนุพันธ์, อินทิกรัล Cauchy, สูตรอินทิกรัล Cauchy ฯลฯ ทฤษฎีบทมากมายเกี่ยวกับฟังก์ชันตกค้างก็เกิดจาก Cauchy B. Riemann, K. Weierstrass, P. Laurent และคนอื่นๆ ได้รับผลลัพธ์ที่สำคัญมากในด้านนี้

ให้เรากลับไปที่แนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษ เป็นที่ชัดเจนว่านักวิทยาศาสตร์ชาวเช็ก เบอร์นาร์ด โบลซาโน (พ.ศ. 2324 - พ.ศ. 2391) ได้ทำหลายอย่างในด้านการวิเคราะห์ยืนยันก่อน Cauchy และ Weierstrasse ก่อนหน้าที่ Cauchy เขาได้ให้คำจำกัดความของลิมิต ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน และการบรรจบกันของอนุกรมจำนวน พิสูจน์เกณฑ์สำหรับการบรรจบกันของลำดับตัวเลข และอีกนานก่อนที่มันจะปรากฏใน Weierstrass ทฤษฎีบท: ถ้าตั้งค่าตัวเลข ถูกล้อมรอบจากด้านบน (จากด้านล่าง) จากนั้นจะมีขอบด้านบน (ด้านล่างที่แน่นอน) เขาพิจารณาคุณสมบัติหลายประการของฟังก์ชันต่อเนื่อง จำได้ว่าในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยมีทฤษฎีบท Bolzano-Cauchy และ Bolzano-Weierstrass เกี่ยวกับฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วน โบลซาโนยังได้ตรวจสอบปัญหาบางอย่างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ด้วย ตัวอย่างเช่น เขาได้สร้างตัวอย่างแรกของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ แต่ไม่มีอนุพันธ์ที่จุดใดๆ ของเซ็กเมนต์ ในช่วงชีวิตของเขา โบลซาโนสามารถเผยแพร่ผลงานขนาดเล็กได้เพียงห้าชิ้นเท่านั้น ดังนั้นผลงานของเขาจึงเป็นที่รู้จักช้าเกินไป

2. ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจนของฟังก์ชันนั้นชัดเจนขึ้นเรื่อยๆ Jean Fourier นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสมีส่วนสนับสนุนสำคัญในการแก้ไขข้อพิพาทเกี่ยวกับความหมายของหน้าที่ เขามีส่วนร่วมในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการนำความร้อนในของแข็งและในการเชื่อมต่อนี้เขาใช้อนุกรมตรีโกณมิติ (ชุดฟูริเยร์)

ชุดเหล่านี้ต่อมาถูกใช้อย่างกว้างขวางในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ - วิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่พบในฟิสิกส์ ฟูริเยร์ได้พิสูจน์ว่าเส้นโค้งที่ต่อเนื่องกันใดๆ ไม่ว่าจะประกอบขึ้นจากส่วนต่าง ๆ ใดก็ตาม สามารถกำหนดได้โดยนิพจน์เชิงวิเคราะห์เดียว - อนุกรมตรีโกณมิติ และสิ่งนี้สามารถทำได้สำหรับเส้นโค้งบางเส้นที่มีความไม่ต่อเนื่องกัน การศึกษาชุดดังกล่าวซึ่งดำเนินการโดยฟูริเยร์ทำให้เกิดคำถามอีกครั้งว่าฟังก์ชันมีความหมายว่าอย่างไร เราสามารถสรุปได้ว่าเส้นโค้งดังกล่าวกำหนดฟังก์ชันหรือไม่? (นี่คือการต่ออายุข้อโต้แย้งเก่าแก่ของศตวรรษที่ 18 เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันและสูตรในระดับใหม่)

ในปี ค.ศ. 1837 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน P. Dierechle ได้ให้คำจำกัดความสมัยใหม่ของฟังก์ชัน: "มีฟังก์ชันของตัวแปร (บนเซ็กเมนต์ถ้าแต่ละค่า (ในส่วนนี้)) สอดคล้องกับค่าที่แน่นอนอย่างสมบูรณ์และ ไม่สำคัญว่าการติดต่อนี้ถูกสร้างขึ้นอย่างไร - โดยสูตรการวิเคราะห์ กราฟ ตาราง หรือแม้แต่ในคำพูด" การเพิ่มเป็นที่น่าสังเกต: "มันไม่สร้างความแตกต่างวิธีการสร้างจดหมายโต้ตอบนี้" คำจำกัดความของ Direkhlet ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปค่อนข้างรวดเร็ว จริงอยู่ในขณะนี้เป็นธรรมเนียมที่จะเรียกฟังก์ชันการโต้ตอบ

3. มาตรฐานความเข้มงวดสมัยใหม่ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ปรากฏตัวครั้งแรกในงานของ Weierstrass (1815-1897) ทำงานเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ในโรงยิมเป็นเวลานานและในปี พ.ศ. 2399 ได้กลายเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน ผู้ฟังการบรรยายของเขาค่อย ๆ เผยแพร่ในรูปแบบของหนังสือแยกต่างหากซึ่งต้องขอบคุณเนื้อหาการบรรยายของ Weierstrass ที่เป็นที่รู้จักในยุโรป เป็น Weierstrass ที่เริ่มใช้ภาษาอย่างเป็นระบบในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เขาให้คำจำกัดความของลิมิตของลำดับ คำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชันในภาษา (ซึ่งมักจะเรียกว่าคำจำกัดความของ Cauchy อย่างไม่ถูกต้อง) ทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวด เกี่ยวกับขอบเขตและทฤษฎีบท Weierstrass ที่เรียกว่าลิมิตของลำดับเสียงเดียว: ลำดับที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) ซึ่งถูก จำกัด จากด้านบน (จากด้านล่าง) มีขีด จำกัด ที่ จำกัด เขาเริ่มใช้แนวคิดของขอบเขตบนและล่างที่แน่นอนของเซตตัวเลข แนวคิดของจุดจำกัดของเซต พิสูจน์ทฤษฎีบท (ซึ่งมีผู้เขียนอีกคน - โบลซาโนด้วย): ชุดตัวเลขที่มีขอบเขตมีจุดจำกัด พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่อง Weierstrass อุทิศงานหลายอย่างให้กับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน โดยพิสูจน์ด้วยอนุกรมกำลัง เขายังทำงานเกี่ยวกับแคลคูลัสของการแปรผัน เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และพีชคณิตเชิงเส้น

4. ให้เราอาศัยทฤษฎีของเซตอนันต์ ผู้สร้างคือ Kantor นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Georg Kantor (18451918) ทำงานเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัย Halle เป็นเวลาหลายปี เขาตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับทฤษฎีเซตตั้งแต่ พ.ศ. 2413 เขาพิสูจน์การนับไม่ได้ของเซตของจำนวนจริง ดังนั้นจึงสร้างการมีอยู่ของเซตอนันต์ที่ไม่เท่ากัน แนะนำแนวคิดทั่วไปของพลังของเซต และค้นพบหลักการในการเปรียบเทียบกำลัง คันทอร์สร้างทฤษฎีของจำนวนอนันต์ "ไม่เหมาะสม" โดยระบุจำนวนทรานฟินิตี้ที่ต่ำที่สุดและน้อยที่สุดต่อคาร์ดินาลิตี้ของเซตนับได้ (โดยเฉพาะ เซตของจำนวนธรรมชาติ) คาร์ดินัลลิตี้ของเซตของจำนวนจริง - สูงกว่า มากกว่า จำนวนอนันต์ ฯลฯ ; วิธีนี้ทำให้เขาสามารถสร้างเลขคณิตสำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่คล้ายกับเลขคณิตธรรมดาสำหรับจำนวนธรรมชาติ ต้นเสียงใช้อินฟินิตี้จริงอย่างเป็นระบบ ตัวอย่างเช่น ความเป็นไปได้ที่จะ "หมด" ชุดตัวเลขตามธรรมชาติอย่างสมบูรณ์ ในขณะที่อยู่ข้างหน้าเขาในวิชาคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ 19 ใช้เฉพาะอินฟินิตี้ที่เป็นไปได้เท่านั้น

ทฤษฎีเซตของต้นเสียงกระตุ้นการคัดค้านจากนักคณิตศาสตร์หลายคนเมื่อมันปรากฏตัวครั้งแรก แต่การรู้จำก็ค่อยๆ มาถึงเมื่อความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการยืนยันโทโพโลยีและทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริงมีความชัดเจน แต่ช่องว่างเชิงตรรกะยังคงอยู่ในทฤษฎี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความขัดแย้งของทฤษฎีเซตถูกค้นพบ นี่เป็นหนึ่งในความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงที่สุด กำหนดโดยชุดชุดดังกล่าวทั้งหมดที่ไม่ใช่องค์ประกอบของตัวเอง การรวมยังเป็นองค์ประกอบและไม่ใช่องค์ประกอบเนื่องจากโดยเงื่อนไขเฉพาะชุดดังกล่าวเท่านั้นที่รวมเป็นองค์ประกอบที่ไม่ใช่องค์ประกอบของตนเอง ถ้าตามเงื่อนไข การรวม-ความขัดแย้งถืออยู่ในทั้งสองกรณี

ความขัดแย้งเหล่านี้เชื่อมโยงกับความไม่สอดคล้องกันภายในของบางฉาก เป็นที่ชัดเจนว่าไม่สามารถใช้ชุดทั้งหมดได้ในวิชาคณิตศาสตร์ การดำรงอยู่ของความขัดแย้งถูกครอบงำโดยการสร้างเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (E. Zermelo, A. Frenkel, D. Neumann, ฯลฯ ) ซึ่งตอบคำถามโดยเฉพาะ: ชุดใดที่สามารถใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ได้ ปรากฎว่าเราสามารถใช้เซตว่าง, การรวมของเซตที่กำหนด, เซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่กำหนด ฯลฯ