ในอินเดียโบราณ มีการคูณสองวิธี: ตารางและห้องครัว
เมื่อมองแวบแรกอาจดูซับซ้อนมาก แต่ถ้าคุณปฏิบัติตามแบบฝึกหัดที่แนะนำทีละขั้นตอน คุณจะเห็นว่ามันค่อนข้างง่าย
เราคูณตัวเลข 6827 และ 345 เช่น:
1. วาดตารางสี่เหลี่ยมแล้วเขียนตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเหนือคอลัมน์และตัวเลขตัวที่สองสูง ในตัวอย่างที่เสนอ คุณสามารถใช้หนึ่งในกริดเหล่านี้ได้

2. เมื่อเลือกตารางแล้ว ให้คูณจำนวนของแต่ละแถวตามลำดับด้วยตัวเลขของแต่ละคอลัมน์ ในกรณีนี้ เราจะคูณ 3 ด้วย 6, 8, 2 และ 7 ตามลำดับ ดูแผนภาพนี้เพื่อดูว่าผลิตภัณฑ์เขียนในเซลล์ที่เกี่ยวข้องอย่างไร

3. ดูว่าตารางมีลักษณะอย่างไรเมื่อเติมเซลล์ทั้งหมดเข้าไปแล้ว

4. สุดท้ายบวกตัวเลขตามเส้นทแยงมุม หากผลรวมของเส้นทแยงมุมหนึ่งมีสิบ ให้บวกเข้ากับเส้นทแยงมุมถัดไป

ดูว่าผลลัพธ์ของการบวกตัวเลขตามแนวทแยง (เน้นด้วยสีเหลือง) ทำให้เกิดตัวเลข 2355315 ซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลข 6827 และ 345 ได้อย่างไร

วิธีการคูณแบบอินเดีย

การสนับสนุนที่มีคุณค่าที่สุดในคลังความรู้ทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นในอินเดีย ชาวฮินดูเสนอวิธีที่เราใช้เขียนตัวเลขโดยใช้เครื่องหมายสิบตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

พื้นฐานของวิธีนี้คือแนวคิดที่ว่าตัวเลขเดียวกันแทนหน่วยต่างๆ เป็นหลักสิบ หลักร้อย หรือหลักพัน ขึ้นอยู่กับว่าหลักนั้นอยู่ที่ตำแหน่งใด พื้นที่ที่ถูกครอบครองหากไม่มีตัวเลขใด ๆ จะถูกกำหนดโดยศูนย์ที่กำหนดให้กับตัวเลข

ชาวอินเดียเก่งในการนับ พวกเขาคิดวิธีคูณแบบง่ายๆ ขึ้นมา พวกเขาทำการคูณโดยเริ่มจากหลักที่สำคัญที่สุด และจดผลคูณที่ไม่สมบูรณ์ไว้เหนือตัวคูณทีละนิด ในกรณีนี้ ตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่สุดของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดจะมองเห็นได้ทันที และยิ่งไปกว่านั้น การละเว้นตัวเลขใดๆ ก็ถูกกำจัดออกไป ยังไม่ทราบเครื่องหมายคูณ จึงทิ้งระยะห่างระหว่างตัวประกอบไว้เล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ลองคูณโดยใช้วิธี 537 ด้วย 6:

การคูณโดยใช้วิธี "SMALL CASTLE"

ขณะนี้มีการศึกษาการคูณตัวเลขในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 แต่ในยุคกลาง มีเพียงไม่กี่คนที่เชี่ยวชาญศิลปะแห่งการคูณ เป็นขุนนางที่หายากที่สามารถอวดรู้ตารางสูตรคูณได้ แม้ว่าเขาจะสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยในยุโรปก็ตาม

ตลอดระยะเวลานับพันปีของการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ มีการคิดค้นวิธีคูณตัวเลขหลายวิธี ลูก้า ปาซิโอลี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เขียนไว้ในบทความเรื่อง “Summa of Arithmetic, Ratios and Proportionalality” (1494) ได้ให้วิธีการคูณที่แตกต่างกัน 8 วิธี คนแรกเรียกว่า "ปราสาทน้อย" และอย่างที่สองเรียกว่า "การคูณความหึงหวงหรือการคูณตาข่าย" อย่างโรแมนติก

ข้อดีของวิธีการคูณ "Little Castle" คือตัวเลขนำหน้าถูกกำหนดตั้งแต่ต้น และอาจมีความสำคัญหากคุณต้องการประมาณค่าอย่างรวดเร็ว

หลักของตัวเลขบนโดยเริ่มจากหลักที่สำคัญที่สุดจะถูกคูณด้วยตัวเลขล่างและเขียนในคอลัมน์โดยบวกจำนวนศูนย์ที่ต้องการ ผลลัพธ์จะถูกรวมเข้าด้วยกัน

สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล

มัธยมศึกษาตอนต้นด้วย ชลานลี่

เขตเทศบาลเขต Aurgazinsky ของสาธารณรัฐเบลารุส

งานวิจัย

"วิธีการคูณที่ไม่ธรรมดา"

วาซิลีฟ นิโคไล

หัวหน้างาน -

ปีการศึกษา 2556-2557 ช.

1. บทนำ………………………………………………………………………......

2. วิธีการคูณที่ผิดปกติ………………………………………………...

1) ประวัติเล็กน้อย………..………..…………………………………..

2) คูณด้วย 9 ……………………………………………......

3) การคูณนิ้ว………………………………………………………………

4) ตารางพีทาโกรัส ……………………………………………

5) ตารางโอโคเนชนิคอฟ……………………………………………

6) วิธีการคูณของชาวนา……………….………....

7) การคูณโดยใช้วิธี “ปราสาทเล็ก”………….……………….

8) การคูณโดยใช้วิธี “อิจฉา”………………………………………………

9) วิธีการคูณแบบจีน …………………………………………

10) วิธีการคูณแบบญี่ปุ่น …………………………………………

3. บทสรุป………………..…………………………………...

4. รายการอ้างอิง………………………………………………………

การแนะนำ

เป็นไปไม่ได้ที่บุคคลจะทำโดยไม่ต้องคำนวณในชีวิตประจำวัน ดังนั้นในบทเรียนคณิตศาสตร์สิ่งแรกสุดเราจึงถูกสอนให้ดำเนินการเกี่ยวกับตัวเลขนั่นคือการนับ เราคูณ หาร บวก และลบด้วยวิธีปกติที่เรียนที่โรงเรียน

วันหนึ่งฉันบังเอิญไปเจอหน้าเว็บบนอินเทอร์เน็ตที่มีวิธีการคูณแบบแปลกๆ ที่เด็ก ๆ ในประเทศจีนใช้ (ตามที่เขียนไว้ที่นั่น) ฉันอ่านศึกษาและชอบวิธีนี้ ปรากฎว่าคุณสามารถคูณได้ไม่เพียงแต่ตามที่แนะนำให้เราในตำราคณิตศาสตร์เท่านั้น ฉันสงสัยว่ามีวิธีการคำนวณอื่น ๆ หรือไม่ ท้ายที่สุดแล้วความสามารถในการคำนวณอย่างรวดเร็วนั้นน่าประหลาดใจจริงๆ

การใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์สมัยใหม่อย่างต่อเนื่องทำให้นักเรียนพบว่าการคำนวณใด ๆ โดยไม่ต้องใช้โต๊ะหรือเครื่องคำนวณเป็นเรื่องยาก ความรู้เกี่ยวกับเทคนิคการคำนวณแบบง่ายทำให้ไม่เพียงแต่สามารถคำนวณแบบง่ายๆ ในใจได้อย่างรวดเร็ว แต่ยังสามารถควบคุม ประเมิน ค้นหา และแก้ไขข้อผิดพลาดอันเป็นผลมาจากการคำนวณแบบกลไกอีกด้วย นอกจากนี้ การเรียนรู้ทักษะการคำนวณจะพัฒนาความจำ เพิ่มระดับวัฒนธรรมการคิดทางคณิตศาสตร์ และช่วยให้เชี่ยวชาญวิชาต่างๆ ของวงจรกายภาพและคณิตศาสตร์ได้อย่างเต็มที่

วัตถุประสงค์ของงาน:

แสดงวิธีการคูณที่ผิดปกติ

งาน:

Ø ค้นหาวิธีการคำนวณที่ผิดปกติให้ได้มากที่สุด

Ø เรียนรู้การใช้พวกเขา

Ø เลือกสิ่งที่น่าสนใจที่สุดหรือง่ายกว่าข้อเสนอที่โรงเรียนสำหรับตัวคุณเอง และใช้มันในการนับ

ฉันสงสัยว่าเด็กนักเรียนยุคใหม่ เพื่อนร่วมชั้นของฉันและคนอื่นๆ รู้วิธีอื่นในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นอกเหนือจากการคูณคอลัมน์และการหารด้วย "มุม" และต้องการเรียนรู้วิธีใหม่ๆ หรือไม่ ฉันทำแบบสำรวจปากเปล่า สำรวจนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-7 จำนวน 20 คน การสำรวจครั้งนี้แสดงให้เห็นว่าเด็กนักเรียนยุคใหม่ไม่ทราบวิธีอื่นในการดำเนินการ เนื่องจากพวกเขาไม่ค่อยหันไปใช้เนื้อหานอกหลักสูตรของโรงเรียน

ผลการสำรวจ:

https://pandia.ru/text/80/266/images/image002_6.png" align="left" width="267" height="178 src=">

2) ก) คุณรู้วิธีคูณ บวก

https://pandia.ru/text/80/266/images/image004_2.png" align="left" width="264 height=176" height="176">

3) คุณต้องการที่จะรู้?

วิธีการคูณที่ไม่ธรรมดา

ประวัติเล็กน้อย

วิธีการคำนวณที่เราใช้ตอนนี้ไม่ได้ง่ายและสะดวกเสมอไป ในสมัยก่อนมีการใช้เทคนิคที่ยุ่งยากและช้ากว่า และถ้าเด็กนักเรียนแห่งศตวรรษที่ 21 สามารถเดินทางย้อนกลับไปได้ห้าศตวรรษ เขาจะทำให้บรรพบุรุษของเราประหลาดใจด้วยความเร็วและความแม่นยำในการคำนวณของเขา ข่าวลือเกี่ยวกับเขาจะแพร่กระจายไปทั่วโรงเรียนและอารามโดยรอบ บดบังความรุ่งโรจน์ของเครื่องคิดเลขที่มีทักษะมากที่สุดในยุคนั้น และผู้คนจะมาจากทั่วทุกมุมเพื่อศึกษากับปรมาจารย์ผู้ยิ่งใหญ่คนใหม่

การคูณและการหารในสมัยก่อนทำได้ยากเป็นพิเศษ ดังนั้นจึงไม่มีวิธีใดวิธีหนึ่งที่ได้รับการพัฒนาโดยการปฏิบัติสำหรับการกระทำแต่ละอย่าง ในทางตรงกันข้ามมีวิธีคูณและการหารที่แตกต่างกันเกือบโหลที่ใช้ในเวลาเดียวกัน - เทคนิคหนึ่งที่ซับซ้อนกว่าวิธีอื่นซึ่งบุคคลที่มีความสามารถโดยเฉลี่ยไม่สามารถจำได้ ครูสอนการนับแต่ละคนยึดติดกับเทคนิคที่เขาชื่นชอบ “ปรมาจารย์แห่งแผนก” แต่ละคน (มีผู้เชี่ยวชาญเช่นนี้) ต่างยกย่องวิธีการปฏิบัติของตนเอง

ในหนังสือของ V. Bellustin“ ผู้คนค่อยๆ เข้าถึงเลขคณิตจริงได้อย่างไร” มีการสรุปวิธีการคูณ 27 วิธีไว้และผู้เขียนตั้งข้อสังเกตว่า:“ เป็นไปได้มากที่จะมีวิธีการอื่นที่ซ่อนอยู่ในช่องของคลังหนังสือซึ่งกระจัดกระจายอยู่มากมายซึ่งส่วนใหญ่เขียนด้วยลายมือ คอลเลกชัน”

และวิธีการคูณทั้งหมดนี้ - "หมากรุกหรืออวัยวะ", "พับ", "กากบาท", "ขัดแตะ", "กลับไปหน้า", "เพชร" และอื่น ๆ แข่งขันกันเองและเรียนรู้ด้วยความยากลำบากอย่างยิ่ง

มาดูวิธีการคูณที่น่าสนใจและง่ายที่สุดกัน

คูณด้วย 9

การคูณเลข 9- 9·1, 9·2 ... 9·10 - ลบออกจากหน่วยความจำได้ง่ายกว่าและคำนวณใหม่ด้วยตนเองได้ยากกว่าโดยใช้วิธีการบวก อย่างไรก็ตาม โดยเฉพาะสำหรับหมายเลข 9 การคูณจะทำซ้ำได้อย่างง่ายดาย "บนนิ้ว" กางนิ้วทั้งสองข้างแล้วหันมือโดยให้ฝ่ามือหันออกจากตัว กำหนดตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 ให้กับนิ้วของคุณโดยเริ่มจากนิ้วก้อยของมือซ้ายและสิ้นสุดด้วยนิ้วก้อยของมือขวา (ดังแสดงในรูป)

การคำนวณ"

เครื่องนับ" นิ้วก็อาจจะไม่ต้องยื่นออกมา เช่น จด 10 เซลล์ในสมุด ขีดฆ่าเซลล์ที่ 8 ด้านซ้ายมี 7 เซลล์ ด้านขวา 2 เซลล์ ดังนั้น 9 8 = 72 ทุกอย่างเป็น ง่ายมาก

7 เซลล์ 2 เซลล์

การคูณบนนิ้วมือ

วิธีการคูณนิ้วแบบรัสเซียโบราณเป็นหนึ่งในวิธีการที่ใช้กันมากที่สุดซึ่งพ่อค้าชาวรัสเซียใช้อย่างประสบความสำเร็จมานานหลายศตวรรษ พวกเขาเรียนรู้ที่จะคูณตัวเลขหลักเดียวจาก 6 เป็น 9 ด้วยนิ้วของพวกเขา ในกรณีนี้ ทักษะการนับนิ้วขั้นพื้นฐานใน "หน่วย" "คู่" "สาม" "สี่" และ "ห้า" และ “สิบ” นิ้วที่นี่ทำหน้าที่เป็นอุปกรณ์คอมพิวเตอร์เสริม

ในการทำเช่นนี้ ในด้านหนึ่งพวกเขาขยายนิ้วให้มากที่สุดเท่าที่ตัวประกอบตัวแรกเกินเลข 5 และตัวที่สองก็ทำแบบเดียวกันกับตัวประกอบตัวที่สอง นิ้วที่เหลืองอ จากนั้นนำจำนวน (ทั้งหมด) ของนิ้วที่ยื่นออกมาคูณด้วย 10 จากนั้นจึงคูณตัวเลขเพื่อแสดงจำนวนนิ้วที่งอ แล้วจึงบวกผลลัพธ์เข้าด้วยกัน

ตัวอย่างเช่น ลองคูณ 7 ด้วย 8 ในตัวอย่างที่พิจารณา นิ้ว 2 และ 3 นิ้วจะงอ หากคุณบวกจำนวนนิ้วที่งอ (2+3=5) และคูณจำนวนนิ้วที่ไม่งอ (2 3=6) คุณจะได้จำนวนหลักสิบและจำนวนของผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ 56 ตามลำดับ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถคำนวณผลคูณของตัวเลขหลักเดียวใดๆ ที่มากกว่า 5 ได้

โต๊ะพีทาโกรัส

ให้เรานึกถึงกฎหลักของคณิตศาสตร์อียิปต์โบราณซึ่งระบุว่าการคูณทำได้โดยการคูณและเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้รับ นั่นคือ แต่ละการเพิ่มเป็นสองเท่าคือการบวกตัวเลขเข้ากับตัวมันเอง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะดูผลลัพธ์ของการเพิ่มตัวเลขและตัวเลขเป็นสองเท่า แต่ได้มาจากวิธีการพับ "ในคอลัมน์" สมัยใหม่ซึ่งเป็นที่รู้จักแม้ในระดับประถมศึกษา

โต๊ะโอโคเนชนิคอฟ

นักเรียนจะสามารถเรียนรู้ที่จะบวกและคูณล้าน พันล้าน หรือแม้แต่หกล้านล้านล้านและสี่ล้านล้านด้วยวาจา และผู้สมัครสาขาปรัชญาศาสตร์ Vasily Okoneshnikov ซึ่งเป็นผู้ประดิษฐ์ระบบการนับทางจิตใหม่จะช่วยพวกเขาในเรื่องนี้ นักวิทยาศาสตร์อ้างว่าบุคคลสามารถจดจำข้อมูลจำนวนมหาศาลได้ สิ่งสำคัญคือวิธีจัดเรียงข้อมูลนี้

ตามที่นักวิทยาศาสตร์กล่าวไว้ข้อดีที่สุดในเรื่องนี้คือระบบเก้าเท่า - ข้อมูลทั้งหมดจะถูกวางไว้ในเก้าเซลล์ซึ่งอยู่เหมือนปุ่มบนเครื่องคิดเลข

ตามที่นักวิทยาศาสตร์กล่าวไว้ ก่อนที่จะกลายมาเป็น "คอมพิวเตอร์" จำเป็นต้องจดจำตารางที่เขาสร้างขึ้น ตัวเลขในนั้นถูกกระจายออกเป็นเก้าเซลล์ในลักษณะที่ไม่สบายใจ ตามข้อมูลของ Okoneshnikov ดวงตาของมนุษย์และความทรงจำของเขาได้รับการออกแบบอย่างชาญฉลาดมากจนข้อมูลที่จัดเรียงตามวิธีการของเขาจะถูกจดจำ ประการแรกเร็วขึ้น และประการที่สองอย่างมั่นคง

ตารางแบ่งออกเป็น 9 ส่วน ตั้งอยู่ตามหลักการของเครื่องคิดเลขขนาดเล็ก: "1" ที่มุมซ้ายล่าง, "9" ที่มุมขวาบน แต่ละส่วนเป็นตารางสำหรับคูณตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 (อีกครั้งที่มุมซ้ายล่างด้วย 1 ถัดจากด้านขวาด้วย 2 เป็นต้น โดยใช้ระบบ "ปุ่มกด" แบบเดียวกัน) วิธีการใช้งาน?
ตัวอย่างเช่นคุณต้องคูณ 9 บน 842 - เราจำ "ปุ่ม" ขนาดใหญ่ 9 ได้ทันที (อยู่ที่มุมขวาบนและเราจะพบปุ่มเล็ก ๆ 8,4,2 ในใจ (มันอยู่เหมือนบนเครื่องคิดเลข) ตรงกับตัวเลข 72, 36, 18 . เราบวกตัวเลขผลลัพธ์แยกกัน: หลักแรกคือ 7 ( ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง), 2 ถูกบวกเข้ากับ 3 เราได้ 5 - นี่คือหลักที่สองของผลลัพธ์, 6 ถูกบวกเข้ากับ 1, เราได้หลักที่สาม - 7 และหลักสุดท้ายของตัวเลขที่ต้องการยังคงอยู่ - 8 ผลลัพธ์คือ 7578
หากเมื่อบวกสองหลักจะได้ตัวเลขที่มากกว่าเก้าจากนั้นหลักแรกจะถูกเพิ่มเข้าไปในหลักก่อนหน้าของผลลัพธ์และหลักที่สองจะถูกเขียนในตำแหน่ง "ของตัวเอง"

การใช้ตารางเมทริกซ์ของ Okoneshnikov ตามที่ผู้เขียนระบุ คุณสามารถเรียนภาษาต่างประเทศและแม้แต่ตารางธาตุได้ เทคนิคใหม่นี้ได้รับการทดสอบในโรงเรียนและมหาวิทยาลัยของรัสเซียหลายแห่ง กระทรวงศึกษาธิการของสหพันธรัฐรัสเซียอนุญาตให้ตีพิมพ์ตารางสูตรคูณใหม่ในสมุดบันทึกที่มีตารางหมากรุกพร้อมกับตารางพีทาโกรัสตามปกติ - สำหรับตอนนี้เพียงเพื่อให้คนรู้จักเท่านั้น

ตัวอย่าง : 15647x5

https://pandia.ru/text/80/266/images/image015_0.jpg" alt="Figure5" width="220 height=264" height="264"> 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.!}

การคูณโดยใช้วิธี "SMALL CASTLE"

ขณะนี้มีการศึกษาการคูณตัวเลขในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 แต่ในยุคกลาง มีเพียงไม่กี่คนที่เชี่ยวชาญศิลปะแห่งการคูณ เป็นขุนนางที่หายากที่สามารถอวดรู้ตารางสูตรคูณได้ แม้ว่าเขาจะสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยในยุโรปก็ตาม

ตลอดระยะเวลานับพันปีของการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ มีการคิดค้นวิธีการคูณตัวเลขหลายวิธี ลูก้า ปาซิโอลี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เขียนไว้ในบทความเรื่อง “Summa of Arithmetic, Ratios and Proportionalality” (1494) ได้ให้วิธีการคูณที่แตกต่างกัน 8 วิธี คนแรกเรียกว่า "ปราสาทเล็ก" และอย่างที่สองเรียกว่า "การคูณความหึงหวงหรือการคูณตาข่าย" อย่างโรแมนติก

ข้อดีของวิธีการคูณ "Little Castle" คือตัวเลขนำหน้าถูกกำหนดตั้งแต่ต้น และอาจมีความสำคัญหากคุณต้องการประมาณค่าอย่างรวดเร็ว

หลักของตัวเลขบนโดยเริ่มจากหลักที่สำคัญที่สุดจะถูกคูณด้วยตัวเลขล่างและเขียนในคอลัมน์โดยบวกจำนวนศูนย์ที่ต้องการ ผลลัพธ์จะถูกรวมเข้าด้วยกัน

การคูณตัวเลขโดยใช้วิธี "อิจฉา"

https://pandia.ru/text/80/266/images/image018.jpg" width="303" height="192 id=">.jpg" width="424 height=129" height="129">

3. นี่คือลักษณะของตารางเมื่อเติมเซลล์ทั้งหมดแล้ว

ตารางที่ 1

4. สุดท้ายบวกตัวเลขตามเส้นทแยงมุม หากผลรวมของเส้นทแยงมุมหนึ่งมีสิบ ให้บวกเข้ากับเส้นทแยงมุมถัดไป

ตาราง1

จากผลลัพธ์ของการบวกตัวเลขตามเส้นทแยงมุม (เน้นด้วยสีเหลือง) จะเกิดตัวเลขขึ้นมา 2355315 ซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลข 6827 และ 345นั่นคือ 6827 x 345 = 2355315

วิธีการคูณแบบจีน

ตอนนี้ลองจินตนาการถึงวิธีการคูณซึ่งมีการพูดคุยกันอย่างเข้มข้นบนอินเทอร์เน็ตซึ่งเรียกว่าวิธีการของจีน เมื่อคูณตัวเลข จะมีการคำนวณจุดตัดของเส้นซึ่งสอดคล้องกับจำนวนหลักของแต่ละหลักของทั้งสองตัว

https://pandia.ru/text/80/266/images/image024_0.png" width="92" height="46"> ตัวอย่าง : มาคูณกัน 21 บน 13 - ปัจจัยแรกประกอบด้วย 2 สิบและ 1 หน่วย ซึ่งหมายความว่าเราสร้างเส้นขนาน 2 เส้นและเส้นตรง 1 เส้นที่ระยะห่าง

เส้นตัดกันที่จุดจำนวนที่เป็นคำตอบนั่นคือ 21 x 13 = 273

มันตลกและน่าสนใจ แต่การวาดเส้นตรง 9 เส้นเมื่อคูณด้วย 9 นั้นยาวและไม่น่าสนใจ แล้วจึงนับจุดตัด... โดยทั่วไป คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีตารางสูตรคูณ!

วิธีการคูณแบบญี่ปุ่น

วิธีการคูณแบบญี่ปุ่นเป็นวิธีกราฟิกโดยใช้วงกลมและเส้น ตลกและน่าสนใจไม่น้อยไปกว่าภาษาจีน แม้จะค่อนข้างคล้ายกับเขาก็ตาม

ตัวอย่าง: มาคูณกัน 12 บน 34. เนื่องจากตัวประกอบตัวที่สองเป็นตัวเลขสองหลักและเป็นตัวเลขตัวแรกของตัวประกอบแรก 1 เราสร้างวงกลมเดี่ยวสองวงที่บรรทัดบนและวงกลมไบนารีสองวงที่บรรทัดล่าง เนื่องจากหลักที่สองของตัวประกอบแรกเท่ากับ 2 .

12 x34

จำนวนส่วนที่แบ่งวงกลมเป็นคำตอบนั่นคือ 12 x 34 = 408

ในบรรดาวิธีการนับที่ผิดปกติทั้งหมดที่ฉันพบ วิธี "การคูณแบบตาข่ายหรือความหึงหวง" ดูน่าสนใจกว่า ฉันแสดงให้เพื่อนร่วมชั้นดูและพวกเขาก็ชอบมันเหมือนกัน

วิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับฉันดูเหมือนจะ "เพิ่มเป็นสองเท่าและแตกแยก" ซึ่งชาวนารัสเซียใช้กัน ฉันใช้มันเมื่อคูณตัวเลขไม่มากจนเกินไป (สะดวกมากที่จะใช้เมื่อคูณตัวเลขสองหลัก)

ฉันคิดว่าวิธีการคูณด้วยคอลัมน์ของเรานั้นไม่สมบูรณ์แบบ และเรายังสามารถคิดวิธีที่รวดเร็วและเชื่อถือได้ยิ่งขึ้นได้

วรรณกรรม

1. “เรื่องราวเกี่ยวกับคณิตศาสตร์” – เลนินกราด: การศึกษา, 2497 – 140 น.

2. ปรากฏการณ์การคูณของรัสเซีย เรื่องราว. http://numbernautics. รู/

3. “ปัญหาความบันเทิงในสมัยโบราณ” – ม.: วิทยาศาสตร์. กองบรรณาธิการหลักของวรรณคดีกายภาพและคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2528 – 160 น.

4. บัญชีเพเรลแมน สามสิบเทคนิคการนับจิตง่ายๆ ล. 2484 - 12 น.

5. เลขคณิตของเพเรลแมน M. Rusanova, 1994--205 น.

6. สารานุกรม “ฉันสำรวจโลก คณิตศาสตร์". – อ.: แอสเทรล เออร์มัค, 2547.

7. สารานุกรมสำหรับเด็ก. "คณิตศาสตร์". – อ.: อแวนตา +, 2546. – 688 หน้า

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของงานนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม

“การนับและการคำนวณเป็นพื้นฐานของการเรียงลำดับในหัว”
เพสตาลอซซี่

เป้า:

• เรียนรู้เทคนิคการคูณแบบโบราณ
• เพิ่มพูนความรู้เกี่ยวกับเทคนิคการคูณต่างๆ
• เรียนรู้การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติโดยใช้วิธีการคูณแบบโบราณ

1. วิธีคูณด้วย 9 แบบเก่าบนนิ้วของคุณ
2. การคูณด้วยวิธีเฟอร์รอล
3. วิธีการคูณแบบญี่ปุ่น
4. วิธีการคูณภาษาอิตาลี (“กริด”)
5. วิธีการคูณแบบรัสเซีย
6. วิธีการคูณแบบอินเดีย

ความคืบหน้าของบทเรียน

ความเกี่ยวข้องของการใช้เทคนิคการนับอย่างรวดเร็ว

ในชีวิตสมัยใหม่แต่ละคนมักต้องทำการคำนวณและคำนวณเป็นจำนวนมาก ดังนั้นเป้าหมายของงานของฉันคือการแสดงวิธีการนับที่ง่ายรวดเร็วและแม่นยำซึ่งไม่เพียงช่วยคุณในระหว่างการคำนวณใด ๆ เท่านั้น แต่ยังสร้างความประหลาดใจให้กับคนรู้จักและสหายเป็นอย่างมากเนื่องจากประสิทธิภาพการดำเนินการนับอย่างอิสระสามารถบ่งบอกถึง ธรรมชาติที่ไม่ธรรมดาของสติปัญญาของคุณ องค์ประกอบพื้นฐานของวัฒนธรรมการใช้คอมพิวเตอร์คือทักษะการใช้คอมพิวเตอร์อย่างมีสติและแข็งแกร่ง ปัญหาของการพัฒนาวัฒนธรรมการใช้คอมพิวเตอร์มีความเกี่ยวข้องกับหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนทั้งหมด โดยเริ่มตั้งแต่ระดับประถมศึกษา และไม่เพียงแต่ต้องเชี่ยวชาญทักษะการใช้คอมพิวเตอร์เท่านั้น แต่ยังต้องใช้ในสถานการณ์ต่างๆ การครอบครองทักษะการคำนวณมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการเรียนรู้เนื้อหาที่กำลังศึกษาและช่วยให้พัฒนาคุณภาพงานที่มีคุณค่า: ทัศนคติที่รับผิดชอบต่องานของตนเอง ความสามารถในการตรวจจับและแก้ไขข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในการทำงาน การปฏิบัติงานอย่างระมัดระวัง ความคิดสร้างสรรค์ ทัศนคติต่อการทำงาน อย่างไรก็ตามเมื่อเร็ว ๆ นี้ระดับทักษะการคำนวณและการแปลงนิพจน์มีแนวโน้มลดลงอย่างเห็นได้ชัด นักเรียนทำผิดพลาดมากมายเมื่อคำนวณ ใช้เครื่องคิดเลขมากขึ้น และไม่คิดอย่างมีเหตุผล ซึ่งส่งผลเสียต่อคุณภาพการศึกษาและระดับคณิตศาสตร์ ความรู้ของนักเรียนโดยทั่วไป องค์ประกอบหนึ่งของวัฒนธรรมคอมพิวเตอร์ก็คือ การนับจิตซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่ง ความสามารถในการคำนวณแบบง่าย ๆ "ในหัว" อย่างรวดเร็วและถูกต้องเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทุกคน

วิธีคูณเลขแบบโบราณ

1. วิธีคูณด้วย 9 แบบเก่าบนนิ้วของคุณ

มันง่ายมาก หากต้องการคูณตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ด้วย 9 ให้ดูที่มือของคุณ พับนิ้วตรงกับจำนวนที่คูณ (เช่น 9 x 3 - พับนิ้วที่สาม) นับนิ้วก่อนนิ้วที่พับ (กรณี 9 x 3 คือ 2) แล้วนับหลังพับ นิ้ว (ในกรณีของเรา 7) คำตอบคือ 27.

2. การคูณด้วยวิธีเฟอร์รอล

ในการคูณหน่วยผลคูณของการคูณนั้น หน่วยของตัวประกอบจะถูกคูณ เพื่อให้ได้สิบ สิบของหนึ่งจะถูกคูณด้วยหน่วยของอีกหน่วยหนึ่ง และในทางกลับกัน และผลลัพธ์จะถูกบวกเข้าด้วยกัน เพื่อให้ได้หลักสิบ คูณ การใช้วิธี Ferrol ทำให้ง่ายต่อการคูณตัวเลขสองหลักจาก 10 ถึง 20 ด้วยวาจา

ตัวอย่างเช่น: 12x14=168

ก) 2x4=8 เขียน 8

b) 1x4+2x1=6 เขียน 6

ค) 1x1=1 เขียน 1

3. วิธีการคูณแบบญี่ปุ่น

เทคนิคนี้ชวนให้นึกถึงการคูณด้วยคอลัมน์ แต่ใช้เวลานานพอสมควร

การใช้เทคนิค สมมติว่าเราต้องคูณ 13 ด้วย 24 ลองวาดรูปต่อไปนี้:

ภาพวาดนี้ประกอบด้วย 10 บรรทัด (ตัวเลขสามารถเป็นอะไรก็ได้)

• เส้นนี้แทนเลข 24 (2 เส้น เยื้อง 4 เส้น)
• และเส้นเหล่านี้แทนเลข 13 (1 เส้น เยื้อง 3 เส้น)

(จุดตัดในรูประบุด้วยจุด)

จำนวนทางแยก:

• ขอบซ้ายบน: 2
• ขอบซ้ายล่าง: 6
• บนขวา: 4
• ล่างขวา: 12

1) ทางแยกที่ขอบด้านซ้ายบน (2) – ตัวเลขแรกของคำตอบ

2) ผลรวมของจุดตัดของขอบล่างซ้ายและขอบขวาบน (6+4) – เลขตัวที่สองของคำตอบ

3) จุดตัดที่ขอบล่างขวา (12) – หมายเลขที่สามของคำตอบ

ปรากฎว่า: 2; 10; 12.

เพราะ ตัวเลขสองตัวสุดท้ายเป็นตัวเลขสองหลักและเราไม่สามารถจดลงไปได้ ดังนั้นเราจึงเขียนลงไปเพียงตัวเดียวแล้วบวกหลักสิบเข้ากับตัวเลขก่อนหน้า

4. วิธีการคูณแบบอิตาลี (“กริด”)

ในอิตาลีและหลายประเทศทางตะวันออก วิธีนี้ได้รับความนิยมอย่างมาก

การใช้เทคนิค:

ตัวอย่างเช่น ลองคูณ 6827 ด้วย 345

1. วาดตารางสี่เหลี่ยมแล้วเขียนตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเหนือคอลัมน์และตัวเลขตัวที่สองสูง

2. คูณจำนวนของแต่ละแถวตามลำดับด้วยตัวเลขของแต่ละคอลัมน์

• 6*3 = 18 เขียน 1 และ 8
• 8*3 = 24 เขียน 2 และ 4

หากการคูณทำให้ได้ตัวเลขหลักเดียว ให้เขียน 0 ที่ด้านบนและตัวเลขนี้ที่ด้านล่าง

(ตามตัวอย่างของเรา เมื่อคูณ 2 ด้วย 3 เราได้ 6 เราเขียน 0 ที่ด้านบนและ 6 ที่ด้านล่าง)

3. กรอกตารางทั้งหมดและเพิ่มตัวเลขตามเส้นทแยงมุม เราเริ่มพับจากขวาไปซ้าย หากผลรวมของเส้นทแยงมุมหนึ่งมีสิบ ให้บวกเข้ากับหน่วยของเส้นทแยงมุมถัดไป

คำตอบ: 2355315.

5. วิธีการคูณแบบรัสเซีย

เทคนิคการคูณนี้ถูกใช้โดยชาวนารัสเซียเมื่อประมาณ 2-4 ศตวรรษก่อน และได้รับการพัฒนาในสมัยโบราณ สาระสำคัญของวิธีนี้คือ: “เท่าที่เราหารตัวประกอบแรก เราก็คูณตัวที่สองด้วยจำนวนนั้น” นี่คือตัวอย่าง: เราต้องคูณ 32 ด้วย 13 นี่คือวิธีที่บรรพบุรุษของเราจะใช้แก้ตัวอย่างนี้ 3 -4 ศตวรรษที่ผ่านมา:

• 32 * 13 (32 หารด้วย 2 และ 13 คูณด้วย 2)
• 16 * 26 (16 หารด้วย 2 และ 26 คูณด้วย 2)
• 8 * 52 (ฯลฯ)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

การแบ่งครึ่งจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งผลหารถึง 1 ในขณะเดียวกันก็เพิ่มจำนวนอีกสองเท่าไปพร้อมๆ กัน จำนวนสองเท่าสุดท้ายให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเข้าใจว่าวิธีนี้มีพื้นฐานมาจากอะไร: ผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากปัจจัยหนึ่งลดลงครึ่งหนึ่งและอีกปัจจัยหนึ่งเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า เป็นที่ชัดเจนว่าอันเป็นผลมาจากการดำเนินการนี้ซ้ำหลายครั้งทำให้ได้ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ

อย่างไรก็ตาม จะทำอย่างไรถ้าต้องหารเลขคี่ครึ่งหนึ่ง? วิธีการพื้นบ้านเอาชนะความยากลำบากนี้ได้อย่างง่ายดาย กฎกล่าวว่าในกรณีของเลขคี่มีความจำเป็น ให้ทิ้งหนึ่งตัวแล้วหารส่วนที่เหลือครึ่งหนึ่ง แต่จากนั้นไปที่หมายเลขสุดท้ายของคอลัมน์ทางขวา คุณจะต้องบวกตัวเลขทั้งหมดของคอลัมน์นี้ที่อยู่ตรงข้ามกับเลขคี่ของคอลัมน์ด้านซ้าย: ผลรวมจะเป็นผลคูณที่ต้องการ ในทางปฏิบัติ ทำได้ในลักษณะที่ทุกบรรทัดที่มีเลขคู่ซ้ายถูกขีดฆ่า เฉพาะที่มีเลขคี่ทางด้านซ้ายเท่านั้นที่ยังคงอยู่ นี่คือตัวอย่าง (เครื่องหมายดอกจันระบุว่าควรขีดฆ่าบรรทัดนี้):

• 19*17
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

เมื่อบวกตัวเลขที่ไม่มีการครอส เราจะได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องโดยสมบูรณ์:

• 17 + 34 + 272 = 323.

คำตอบ: 323.

6. วิธีการคูณแบบอินเดีย

วิธีการคูณนี้ใช้ในอินเดียโบราณ

ในการคูณ เช่น 793 ด้วย 92 เราจะเขียนตัวเลขตัวหนึ่งเป็นตัวคูณ และเขียนอีกตัวไว้ด้านล่างเป็นตัวคูณ เพื่อให้นำทางได้ง่ายขึ้น คุณสามารถใช้ตาราง (A) เป็นข้อมูลอ้างอิงได้

ตอนนี้เราคูณตัวเลขทางซ้ายของตัวคูณด้วยแต่ละหลักของตัวคูณนั่นคือ 9x7, 9x9 และ 9x3 เราเขียนผลลัพธ์ผลลัพธ์ในกริด (B) โดยคำนึงถึงกฎต่อไปนี้:

• กฎข้อที่ 1 หน่วยของผลิตภัณฑ์แรกควรเขียนในคอลัมน์เดียวกับตัวคูณ ซึ่งในกรณีนี้อยู่ภายใต้ 9
• กฎข้อที่ 2 งานครั้งต่อไปจะต้องเขียนในลักษณะที่วางหน่วยในคอลัมน์ทางด้านขวาของงานก่อนหน้า

ทำซ้ำขั้นตอนทั้งหมดด้วยตัวเลขตัวคูณอื่นๆ ตามกฎเดียวกัน (C)

จากนั้นเราบวกตัวเลขในคอลัมน์แล้วได้คำตอบ: 72956

อย่างที่คุณเห็นเราได้รับรายการผลงานมากมาย ชาวอินเดียนแดงซึ่งมีการฝึกฝนมาอย่างยาวนาน ได้เขียนตัวเลขแต่ละหมายเลขไม่อยู่ในคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน แต่เขียนไว้ด้านบนให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จากนั้นพวกเขาก็บวกตัวเลขลงในคอลัมน์แล้วได้ผลลัพธ์

บทสรุป

เราได้เข้าสู่สหัสวรรษใหม่แล้ว! การค้นพบครั้งยิ่งใหญ่และความสำเร็จของมนุษยชาติ เรารู้มาก เราสามารถทำอะไรได้มาก ดูเหมือนเป็นสิ่งเหนือธรรมชาติด้วยความช่วยเหลือของตัวเลขและสูตร เราสามารถคำนวณการบินของยานอวกาศ "สถานการณ์ทางเศรษฐกิจ" ในประเทศ สภาพอากาศสำหรับ "วันพรุ่งนี้" และบรรยายเสียงของโน้ตในทำนอง เรารู้คำกล่าวของนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกโบราณที่อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช - พีทาโกรัส - "ทุกสิ่งเป็นตัวเลข!"

ตามมุมมองเชิงปรัชญาของนักวิทยาศาสตร์คนนี้และผู้ติดตามของเขา ตัวเลขไม่เพียงควบคุมการวัดและน้ำหนักเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปรากฏการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในธรรมชาติด้วย และเป็นแก่นแท้ของความสามัคคีที่ครอบครองในโลกซึ่งเป็นจิตวิญญาณของจักรวาล

ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่าทั้งในอดีตและอนาคตไม่มีใครสามารถทำได้หากไม่มีคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นวิทยาศาสตร์ที่สร้างขึ้นโดยจิตใจมนุษย์เมื่ออธิบายวิธีการคำนวณแบบโบราณและวิธีการคำนวณสมัยใหม่สมัยใหม่

“ใครก็ตามที่ศึกษาคณิตศาสตร์ตั้งแต่วัยเด็กจะพัฒนาความสนใจ ฝึกสมอง ความตั้งใจของเขา และฝึกฝนความอุตสาหะและความอุตสาหะในการบรรลุเป้าหมาย”(อ. มาร์คูวิช)

วรรณกรรม.

1. สารานุกรมสำหรับเด็ก. "ต.23". พจนานุกรมสารานุกรมสากล \ ed. กระดาน: M. Aksenova, E. Zhuravleva, D. Lyury และคนอื่น ๆ - M .: World of Encyclopedias Avanta +, Astrel, 2008. - 688 p.
2. Ozhegov S.I. พจนานุกรมภาษารัสเซีย: ประมาณ. 57,000 คำ / เอ็ด สมาชิก - คร. อันซีร์ N.YU. ชเวโดวา – ฉบับที่ 20 – ม.: การศึกษา, 2000. – 1012 น.
3. ฉันอยากรู้ทุกอย่าง! สารานุกรมภาพประกอบขนาดใหญ่เกี่ยวกับสติปัญญา / การแปล จากภาษาอังกฤษ A. Zykova, K. Malkova, O. Ozerova – อ.: สำนักพิมพ์ ECMO, 2549. – 440 หน้า
4. Sheinina O.S., Solovyova G.M. คณิตศาสตร์. ชมรมโรงเรียน เกรด 5-6 / O.S Sheinina, G.M. Solovyova - M.: สำนักพิมพ์ NTsENAS, 2550 - 208 หน้า
5. Kordemsky B. A. , Akhadov A. A. โลกมหัศจรรย์แห่งตัวเลข: หนังสือของนักเรียน - M. Education, 1986
6. Minskikh E. M. “ จากเกมสู่ความรู้”, M. , “ การตรัสรู้” 2525
7. Svechnikov A. A. ตัวเลข, ตัวเลข, ปัญหา M. , การศึกษา, 2520
8. http://matsievsky. นิวเมล์ ru/sys-schi/file15.htm
9. http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory.ru html

สถาบันการศึกษาเทศบาล

โรงเรียนมัธยมขั้นพื้นฐาน Staromaximkinskaya

การประชุมทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติระดับภูมิภาคด้านคณิตศาสตร์

“ก้าวสู่วิทยาศาสตร์”

งานวิจัยทางวิทยาศาสตร์

"อัลกอริธึมการนับที่ไม่ได้มาตรฐานหรือการนับอย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข"

หัวหน้างาน: ,

ครูคณิตศาสตร์

กับ. ศิลปะ. มักซิมคิโน, 2010

บทนำ…………………………………………………………………………………..…….3

บทที่ 1 ประวัติบัญชี

1.2. เคาน์เตอร์ปาฏิหาริย์……………………………………………………………………...9

บทที่ 2 วิธีการคูณแบบโบราณ

2.1. วิธีการคูณของชาวนารัสเซีย…..…….……….……..วิธี “ขัดแตะ”……….…….. ……………………… …… …….………..13

2.3. วิธีการคูณแบบอินเดีย……………………………………………..15

2.4. วิธีการคูณแบบอียิปต์…………………………………………….16

2.5. การคูณนิ้ว……………………………………………………………..17

บทที่ 3 เลขในใจ - ยิมนาสติกจิต

3.1. การคูณและการหารด้วย 4 ………..…………….………….19

3.2. การคูณและหารด้วย 5 ……………………………………...……….19

3.3. คูณด้วย 25 ……………………………………………………………………… 19

3.4. คูณด้วย 1.5 ……………………………………………………………….......20

3.5. คูณด้วย 9……….…………………………………………………………….20

3.6. คูณด้วย 11……………………………………………………………..…….….20

3.7. การคูณตัวเลขสามหลักด้วย 101…………………………………………21

3.7. กำลังสองตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 5………………………21

3.8. กำลังสองจำนวนใกล้ 50……………….……………22

3.9. เกม……………………………………………………………………….22

สรุป………………………………………………………………………………………………….…24

รายการวรรณกรรมที่ใช้แล้ว……………………………………………………………...25

การแนะนำ

เป็นไปได้ไหมที่จะจินตนาการถึงโลกที่ไม่มีตัวเลข? หากไม่มีหมายเลขคุณจะไม่สามารถซื้อได้ คุณจะไม่สามารถทราบเวลาได้ และไม่สามารถกดหมายเลขโทรศัพท์ได้ แล้วยานอวกาศ เลเซอร์ และความสำเร็จทางเทคนิคอื่นๆ ล่ะ! พวกมันคงเป็นไปไม่ได้เลยถ้าไม่ใช่เพราะศาสตร์แห่งตัวเลข

องค์ประกอบสองประการมีอิทธิพลเหนือคณิตศาสตร์ ได้แก่ ตัวเลขและตัวเลขที่มีคุณสมบัติและความสัมพันธ์ที่หลากหลายไม่สิ้นสุด ในงานของเรา ให้ความสำคัญกับองค์ประกอบของตัวเลขและการกระทำร่วมกับพวกเขา

ขณะนี้ในขั้นตอนของการพัฒนาอย่างรวดเร็วของวิทยาการคอมพิวเตอร์และเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ เด็กนักเรียนยุคใหม่ไม่ต้องการกังวลกับการคำนวณทางจิต เราจึงพิจารณา สิ่งสำคัญคือต้องแสดงให้เห็นไม่เพียงแต่ว่ากระบวนการในการดำเนินการนั้นน่าสนใจเท่านั้น แต่เมื่อเชี่ยวชาญเทคนิคการนับอย่างรวดเร็วอย่างถ่องแท้แล้ว เราสามารถแข่งขันกับคอมพิวเตอร์ได้

วัตถุการวิจัยเป็นอัลกอริธึมการนับ

เรื่องการวิจัยเป็นกระบวนการคำนวณ

เป้า:ศึกษาวิธีการคำนวณที่ไม่ได้มาตรฐานและระบุสาเหตุของการปฏิเสธที่จะใช้วิธีการเหล่านี้ในการสอนคณิตศาสตร์ให้กับเด็กนักเรียนยุคใหม่

งาน:

เผยประวัติที่มาของบัญชีและปรากฏการณ์ “เคาน์เตอร์มหัศจรรย์”;

อธิบายวิธีการคูณแบบโบราณและทดลองระบุความยากในการใช้งาน

พิจารณาเทคนิคการคูณด้วยวาจาและใช้ตัวอย่างเฉพาะเพื่อแสดงข้อดีของการใช้

สมมติฐาน:ในสมัยก่อนพวกเขากล่าวว่า: “การคูณคือความทรมานของฉัน” ซึ่งหมายความว่าการคูณเคยซับซ้อนและยากลำบาก วิธีการคูณสมัยใหม่ของเรานั้นง่ายไหม?

ขณะทำรายงาน I ใช้วิธีการต่อไปนี้ :

Ø ค้นหา วิธีการใช้วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์และการศึกษาตลอดจนการค้นหาข้อมูลที่จำเป็นทางอินเทอร์เน็ต

Ø ใช้ได้จริง วิธีการคำนวณโดยใช้อัลกอริธึมการนับที่ไม่ได้มาตรฐาน

Ø การวิเคราะห์ ข้อมูลที่ได้รับระหว่างการศึกษา

ความเกี่ยวข้องหัวข้อนี้คือการใช้เทคนิคที่ไม่ได้มาตรฐานในการสร้างทักษะการคำนวณจะช่วยเพิ่มความสนใจของนักเรียนในวิชาคณิตศาสตร์และส่งเสริมการพัฒนาความสามารถทางคณิตศาสตร์

เบื้องหลังการคูณอย่างง่ายมีความลับของประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์อยู่ บังเอิญได้ยินคำว่า "คูณด้วยตาข่าย" "วิธีหมากรุก" ทำให้ฉันทึ่ง ฉันต้องการทราบวิธีการคูณเหล่านี้และวิธีอื่นๆ แล้วเปรียบเทียบกับการคูณของเราในปัจจุบัน

เพื่อที่จะค้นหาว่าเด็กนักเรียนยุคใหม่รู้วิธีอื่นในการคำนวณทางคณิตศาสตร์หรือไม่ นอกเหนือจากการคูณด้วยคอลัมน์และการหารด้วยมุม และต้องการเรียนรู้วิธีการใหม่ ๆ จึงได้ทำการสำรวจด้วยปากเปล่า สำรวจนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-7 จำนวน 20 คน การสำรวจครั้งนี้แสดงให้เห็นว่าเด็กนักเรียนยุคใหม่ไม่ทราบวิธีอื่นในการดำเนินการ เนื่องจากพวกเขาไม่ค่อยหันไปใช้เนื้อหานอกหลักสูตรของโรงเรียน

ผลการสำรวจ:

(แผนภาพแสดงเปอร์เซ็นต์ของคำตอบที่ยืนยันของนักเรียน)

1) คนสมัยใหม่จำเป็นต้องสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนธรรมชาติได้หรือไม่?

2) ก) คุณรู้วิธีคูณ บวก

b) คุณรู้วิธีอื่นในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์หรือไม่?

3) คุณต้องการที่จะรู้?

บทที่ 1 ประวัติบัญชี

1.1. ตัวเลขเกิดขึ้นได้อย่างไร?

ผู้คนเรียนรู้ที่จะนับสิ่งของต่างๆ ย้อนกลับไปในยุคหินโบราณ - ยุคหินเก่า เมื่อหลายหมื่นปีก่อน สิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร? ในตอนแรก ผู้คนจะเปรียบเทียบวัตถุที่เหมือนกันในปริมาณที่แตกต่างกันด้วยตาเท่านั้น พวกเขาสามารถตัดสินได้ว่ากองไหนมีผลไม้มากกว่า ฝูงไหนมีกวางมากกว่า เป็นต้น หากชนเผ่าหนึ่งนำปลาที่จับได้มาแลกมีดหินที่คนเผ่าอื่นทำก็ไม่จำเป็นต้องนับจำนวนปลาและมีดที่นำมาได้กี่เล่ม . แค่วางมีดไว้ข้างปลาแต่ละตัวก็เพียงพอแล้วสำหรับการแลกเปลี่ยนระหว่างชนเผ่า

เพื่อประสบความสำเร็จในการประกอบเกษตรกรรม จำเป็นต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์ โดยไม่ต้องนับวัน เป็นเรื่องยากที่จะระบุได้ว่าเมื่อใดควรหว่านในทุ่งนา เริ่มรดน้ำเมื่อใด และคาดหวังลูกหลานจากสัตว์เมื่อใด จำเป็นต้องรู้ว่าฝูงแกะมีกี่ตัว มีข้าวใส่ในโรงนากี่ถุง
และเมื่อกว่าแปดพันปีที่แล้ว คนเลี้ยงแกะโบราณเริ่มทำแก้วมัคจากดินเหนียว - หนึ่งอันสำหรับแกะแต่ละตัว เพื่อดูว่าแกะอย่างน้อยหนึ่งตัวหายไปในระหว่างวันหรือไม่ คนเลี้ยงแกะจึงวางแก้วน้ำไว้ทุกครั้งที่มีสัตว์ตัวอื่นเข้ามาในคอก และหลังจากที่แน่ใจว่าแกะกลับมาครบจำนวนแล้ว เขาก็เข้านอนอย่างสงบ แต่ในฝูงของเขาไม่ใช่แค่แกะเท่านั้น เขายังเลี้ยงวัว แพะ และลาอีกด้วย ดังนั้นฉันจึงต้องทำหุ่นตัวอื่นจากดินเหนียว และเกษตรกรก็ใช้ตุ๊กตาดินเหนียวเก็บบันทึกการเก็บเกี่ยวโดยสังเกตว่ามีเมล็ดพืชใส่ไว้ในโรงนากี่ถุง น้ำมันคั้นจากมะกอกกี่เหยือก และทอผ้าลินินกี่ชิ้น ถ้าแกะคลอดลูก คนเลี้ยงแกะก็เพิ่มตัวใหม่เข้าไปในวงกลม และถ้าแกะบางตัวถูกใช้เป็นเนื้อ ก็ต้องเอาวงกลมหลายวงออก คนโบราณยังไม่รู้ว่าจะนับอย่างไรจึงฝึกเลขคณิต

จากนั้นตัวเลขก็ปรากฏเป็นภาษามนุษย์ และผู้คนก็สามารถบอกจำนวนสิ่งของ สัตว์ วันได้ โดยปกติแล้วจะมีตัวเลขดังกล่าวเพียงไม่กี่ตัว ตัวอย่างเช่น ชาวแม่น้ำเมอร์เรย์ในออสเตรเลียมีจำนวนเฉพาะสองตัว: enea (1) และ petchewal (2) พวกเขาแสดงตัวเลขอื่นๆ ด้วยเลขประสม: 3 = “เพทเชฟาล-อีเนีย”, 4 “เพชเชฟวาล-เพชเชฟาล” ฯลฯ ชนเผ่าออสเตรเลียอีกเผ่าหนึ่งคือคามิโลรอย มีตัวเลขธรรมดา mal (1), บูลัน (2), กูลิบา (3) และที่นี่ได้ตัวเลขอื่น ๆ โดยการบวกน้อย: 4 = "bulan - bulan", 5 = "bulan - guliba", 6 = "guliba - guliba" เป็นต้น

สำหรับหลายๆ คน ชื่อของหมายเลขนั้นขึ้นอยู่กับสิ่งของที่ถูกนับ หากชาวหมู่เกาะฟิจินับเรือ หมายเลข 10 จะถูกเรียกว่า "โบโล" ถ้านับลูกมะพร้าว เลข 10 เรียกว่า "คาโร" Nivkhs ที่อาศัยอยู่บน Sakhalin และริมฝั่งอามูร์ก็ทำเช่นเดียวกันทุกประการ แม้กระทั่งในศตวรรษที่ผ่านมา พวกเขาเรียกหมายเลขเดียวกันแต่ใช้คำต่างกันหากนับคน ปลา เรือ อวน ดวงดาว และกิ่งไม้

เรายังคงใช้ตัวเลขไม่แน่นอนต่างๆ ที่มีความหมายว่า "มากมาย": "ฝูงชน", "ฝูงสัตว์", "ฝูงแกะ", "กอง", "พวง" และอื่น ๆ

ด้วยการพัฒนาของการผลิตและการแลกเปลี่ยนทางการค้า ผู้คนเริ่มเข้าใจดีขึ้นว่าเรือสามลำ ขวานสามอัน ลูกศรสิบดอก และถั่วสิบอันมีอะไรที่เหมือนกัน ชนเผ่ามักแลกเปลี่ยน "รายการต่อรายการ"; ตัวอย่างเช่น พวกเขาแลกรากที่กินได้ 5 อันกับปลา 5 ตัว เห็นได้ชัดว่า 5 เหมือนกันสำหรับทั้งรากและปลา ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถเรียกมันได้ในคำเดียว

คนอื่นๆ ก็ใช้วิธีนับแบบเดียวกัน นี่คือวิธีที่การนับเลขตามการนับห้า สิบ และยี่สิบเกิดขึ้น

จนถึงตอนนี้เราได้พูดคุยเกี่ยวกับการนับจิต ตัวเลขถูกเขียนลงไปอย่างไร? ในตอนแรก ก่อนที่จะมีการเขียน พวกเขาใช้รอยบากบนกิ่งไม้ รอยบากบนกระดูก และปมบนเชือก กระดูกหมาป่าที่พบใน Dolní Vestonice (เชโกสโลวะเกีย) มีรอยหยัก 55 รอยที่สร้างขึ้นเมื่อ 25,000 กว่าปีก่อน

เมื่อเขียนปรากฏขึ้น ตัวเลขก็ปรากฏขึ้นเพื่อบันทึกตัวเลข ในตอนแรก ตัวเลขมีลักษณะคล้ายรอยบากบนแท่งไม้: ในอียิปต์และบาบิโลน ในเอทรูเรียและฟีนิซ ในอินเดียและจีน ตัวเลขเล็กๆ เขียนด้วยแท่งไม้หรือเส้น เช่น เลข 5 เขียนด้วยแท่งไม้ 5 แท่ง ชาวอินเดียนแดงเผ่าแอซเท็กและมายันใช้จุดแทนแท่งไม้ จากนั้นมีเครื่องหมายพิเศษปรากฏขึ้นสำหรับตัวเลขบางตัว เช่น 5 และ 10

ในเวลานั้น การกำหนดหมายเลขเกือบทั้งหมดไม่ได้ระบุตำแหน่ง แต่คล้ายกับการนับเลขโรมัน มีการกำหนดหมายเลขตามเพศของชาวบาบิโลนเพียงรายการเดียวเท่านั้นที่เป็นตำแหน่ง แต่เป็นเวลานานแล้วที่ไม่มีศูนย์อยู่ในนั้น เช่นเดียวกับลูกน้ำที่แยกส่วนทั้งหมดออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วน ดังนั้นตัวเลขเดียวกันอาจหมายถึง 1, 60 หรือ 3600 ความหมายของตัวเลขต้องเดาตามความหมายของปัญหา

หลายศตวรรษก่อนยุคใหม่ มีการคิดค้นวิธีการเขียนตัวเลขแบบใหม่ โดยใช้ตัวอักษรของตัวอักษรธรรมดาทำหน้าที่เป็นตัวเลข ตัวอักษร 9 ตัวแรกแทนตัวเลขหลักสิบ 10, 20,..., 90 และอีก 9 ตัวแทนหลักร้อย การเรียงลำดับตัวอักษรนี้ใช้จนถึงศตวรรษที่ 17 เพื่อแยกแยะตัวอักษร "ของจริง" จากตัวเลข ให้วางเครื่องหมายขีดไว้เหนือตัวอักษร-ตัวเลข (ในรัสเซีย ขีดกลางนี้เรียกว่า "titlo")

ในการนับเลขทั้งหมดนี้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องยากมาก ดังนั้นการประดิษฐ์ในคริสต์ศตวรรษที่ 6 โดยชาวอินเดีย การนับตำแหน่งทศนิยมถือเป็นความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดประการหนึ่งของมนุษยชาติอย่างถูกต้อง การนับเลขของอินเดียและเลขอินเดียกลายเป็นที่รู้จักในยุโรปจากชาวอาหรับ และมักเรียกว่าอารบิก

เมื่อเขียนเศษส่วนเป็นเวลานานทั้งส่วนจะเขียนด้วยเลขทศนิยมแบบใหม่ และเศษส่วนเป็นเลขฐานสิบหก แต่เมื่อต้นศตวรรษที่ 15 นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวซามาร์คันด์ อัล-คาชิ เริ่มใช้เศษส่วนทศนิยมในการคำนวณ

ตัวเลขที่เราทำงานด้วยคือจำนวนบวกและลบ แต่ปรากฎว่าตัวเลขเหล่านี้ไม่ใช่ตัวเลขทั้งหมดที่ใช้ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ และคุณสามารถเรียนรู้เกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้ได้โดยไม่ต้องรอโรงเรียนมัธยม แต่เร็วกว่านี้มากหากคุณศึกษาประวัติความเป็นมาของตัวเลขในคณิตศาสตร์

1.2 "ปาฏิหาริย์ - เคาน์เตอร์"

เขาเข้าใจทุกอย่างได้อย่างรวดเร็วและกำหนดข้อสรุปที่คนธรรมดาอาจจะต้องเจอกับความคิดที่ยาวนานและเจ็บปวดในทันที เขาซึมซับหนังสือด้วยความเร็วอันน่าเหลือเชื่อ และที่ติดอันดับหนังสือขายดีของเขาก็คือหนังสือเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง ในช่วงเวลาของการแก้ปัญหาที่ยากและผิดปกติที่สุด ไฟแห่งแรงบันดาลใจก็แผดเผาในดวงตาของเขา การขอไปที่ร้านหรือล้างจานนั้นเพิกเฉยหรือกระทำไปด้วยความไม่พอใจอย่างมาก รางวัลที่ดีที่สุดคือการได้ไปห้องบรรยาย และของขวัญที่มีค่าที่สุดคือหนังสือ เขาเป็นคนที่ปฏิบัติได้จริงมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และในการกระทำของเขานั้นขึ้นอยู่กับเหตุผลและตรรกะเป็นหลัก เขาปฏิบัติต่อผู้คนรอบตัวอย่างเย็นชา และชอบเล่นหมากรุกกับคอมพิวเตอร์มากกว่าเล่นโรลเลอร์สเก็ต เมื่อตอนเป็นเด็ก เขาตระหนักดีถึงข้อบกพร่องของตนเองและโดดเด่นด้วยความมั่นคงทางอารมณ์ที่เพิ่มขึ้นและความสามารถในการปรับตัวให้เข้ากับสถานการณ์ภายนอก

ภาพนี้ไม่ได้อิงจากนักวิเคราะห์ของ CIA
นักจิตวิทยากล่าวว่าเครื่องคิดเลขของมนุษย์เป็นบุคคลที่มีความสามารถทางคณิตศาสตร์เฉพาะตัวที่ทำให้เขาสามารถคำนวณที่ซับซ้อนที่สุดในหัวได้ในพริบตา นี่คือลักษณะของเครื่องคิดเลขของมนุษย์

ปาฏิหาริย์เกินขีดจำกัดของจิตสำนึก - นักบัญชีที่มีความสามารถในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างเหลือเชื่อโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข มีลักษณะหน่วยความจำที่เป็นเอกลักษณ์ที่แยกความแตกต่างจากผู้อื่น ตามกฎแล้วนอกเหนือจากสูตรและการคำนวณจำนวนมากแล้ว คนเหล่านี้ (นักวิทยาศาสตร์เรียกพวกเขาว่าตัวช่วยจำ - จากคำภาษากรีก nemonika ซึ่งแปลว่า "ศิลปะแห่งการท่องจำ") ยังเก็บรายชื่อที่อยู่ไว้ในหัวไม่เพียง แต่เพื่อนเท่านั้น แต่ยังรวมถึง ของคนรู้จักทั่วไป และองค์กรต่างๆ มากมายที่ผมเคยไปสักครั้ง

ในห้องปฏิบัติการของสถาบันวิจัยจิตเวชซึ่งพวกเขาตัดสินใจศึกษาปรากฏการณ์นี้ได้ทำการทดลองดังกล่าว พวกเขาเชิญบุคคลที่ไม่เหมือนใคร - พนักงานของ Central State Archive แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เขาได้รับคำและตัวเลขต่างๆ ที่ต้องจดจำ เขาต้องทำซ้ำพวกเขา ในเวลาเพียงไม่กี่นาทีเขาก็สามารถซ่อมแซมองค์ประกอบได้ถึงเจ็ดสิบองค์ประกอบในความทรงจำของเขา คำและตัวเลขหลายสิบคำถูก "ดาวน์โหลด" ลงในความทรงจำของอเล็กซานเดอร์อย่างแท้จริง เมื่อจำนวนองค์ประกอบเกินสองร้อยรายการ เราจึงตัดสินใจทดสอบความสามารถขององค์ประกอบนั้น ผู้เข้าร่วมการทดลองต้องประหลาดใจที่ megamemory ไม่ได้ล้มเหลวเลย เขาขยับริมฝีปากของเขาชั่ววินาที เขาเริ่มสร้างองค์ประกอบทั้งหมดขึ้นมาใหม่ด้วยความแม่นยำที่น่าทึ่งราวกับกำลังอ่าน

ตัวอย่างเช่น นักวิทยาศาสตร์-นักวิจัยอีกคนได้ทำการทดลองกับมาดมัวแซล โอซากะ ผู้ทดลองถูกขอให้ยกกำลัง 97 เพื่อให้ได้กำลัง 10 ของจำนวนนั้น เธอทำมันทันที

Aron Chikashvili อาศัยอยู่ในภูมิภาค Van ทางตะวันตกของจอร์เจีย เขาทำการคำนวณที่ซับซ้อนในหัวของเขาอย่างรวดเร็วและแม่นยำ เพื่อนๆ ตัดสินใจทดสอบความสามารถของ "ตัวนับปาฏิหาริย์" งานนี้ยาก: ผู้ประกาศจะพูดกี่คำและตัวอักษรเมื่อแสดงความคิดเห็นในช่วงครึ่งหลังของการแข่งขันฟุตบอล "สปาร์ตัก" (มอสโก) - "ไดนาโม" (ทบิลิซี) ขณะเดียวกันเครื่องบันทึกเทปก็เปิดอยู่ คำตอบมาทันทีที่ผู้ประกาศพูดคำสุดท้าย 17427 ตัวอักษร 1835 คำ ใช้เวลา….5 ชั่วโมงในการตรวจสอบ คำตอบปรากฏว่าถูกต้อง

ว่ากันว่าพ่อของเกาส์มักจะจ่ายเงินให้คนงานในช่วงปลายสัปดาห์ โดยบวกค่าล่วงเวลาเข้ากับรายได้ในแต่ละวันด้วย วันหนึ่ง หลังจากที่เกาส์ผู้เป็นพ่อคำนวณเสร็จแล้ว เด็กวัย 3 ขวบคนหนึ่งซึ่งกำลังติดตามผลการผ่าตัดของพ่อก็อุทานว่า “พ่อครับ การคำนวณไม่ถูกต้อง!” ควรจะเป็นจำนวนเงินนี้" มีการคำนวณซ้ำแล้วซ้ำอีก และเรารู้สึกประหลาดใจเมื่อเห็นว่าเด็กระบุจำนวนเงินที่ถูกต้อง

ที่น่าสนใจคือ “เครื่องนับปาฏิหาริย์” จำนวนมากไม่รู้ว่ามันนับอย่างไร “เรานับแล้ว ก็แค่นั้นแหละ! แต่อย่างที่เราคิด พระเจ้าทรงทราบ” “เคาน์เตอร์” บางส่วนเป็นคนที่ไม่มีการศึกษาอย่างสมบูรณ์ ชาวอังกฤษ บักซ์ตัน “เครื่องคิดเลขอัจฉริยะ” ไม่เคยเรียนรู้ที่จะอ่านเลย โทมัส ฟอลเลอร์ นักบัญชีชาวอเมริกัน เสียชีวิตอย่างไม่รู้หนังสือในวัย 80 ปี

การแข่งขันจัดขึ้นที่สถาบันไซเบอร์เนติกส์ของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งยูเครน การแข่งขันมี "ผู้ต่อต้านปรากฏการณ์" รุ่นเยาว์ Igor Shelushkov และคอมพิวเตอร์ Mir เข้าร่วมการแข่งขัน เครื่องจักรดำเนินการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนหลายอย่างได้ภายในเวลาไม่กี่วินาที ผู้ชนะการแข่งขันครั้งนี้คือ Igor Shelushkov

คนเหล่านี้ส่วนใหญ่มีความจำและความสามารถที่ยอดเยี่ยม แต่บางคนไม่มีความสามารถทางคณิตศาสตร์เลย พวกเขารู้ความลับ! และเคล็ดลับนี้ก็คือพวกเขาเชี่ยวชาญเทคนิคการนับอย่างรวดเร็วและจดจำสูตรพิเศษหลายสูตรได้ แต่พนักงานชาวเบลเยียมคนหนึ่งซึ่งในเวลา 30 วินาที ให้เลขหลายหลักที่มอบให้เขา โดยได้จากการคูณเลขจำนวนหนึ่งด้วยตัวเอง 47 ครั้ง กลับเรียกหมายเลขนี้ (แยกรากของเลข 47 ออก)

องศาจากตัวเลขหลายหลัก) ประสบความสำเร็จอย่างน่าทึ่งในการนับอันเป็นผลมาจากการฝึกฝนเป็นเวลาหลายปี

ดังนั้น “ปรากฏการณ์การนับ” หลายอย่างจึงใช้เทคนิคการนับแบบด่วนพิเศษและสูตรพิเศษ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้เทคนิคเหล่านี้ได้เช่นกัน

บทครั้งที่สอง- วิธีการคูณแบบโบราณ

2.1. วิธีการคูณของชาวนารัสเซีย

ในรัสเซียเมื่อ 2-3 ศตวรรษก่อน วิธีการหนึ่งเป็นเรื่องปกติในหมู่ชาวนาในบางจังหวัดที่ไม่ต้องการความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณทั้งหมด คุณเพียงแค่ต้องสามารถคูณและหารด้วย 2 ได้ เขาเรียกวิธีนี้ว่า ชาวนา(มีความเห็นว่ามีต้นกำเนิดมาจากอียิปต์)

ตัวอย่าง: คูณ 47 ด้วย 35

ลองเขียนตัวเลขลงในบรรทัดเดียวแล้วลากเส้นแนวตั้งระหว่างตัวเลขเหล่านั้น

เราจะหารตัวเลขทางซ้ายด้วย 2 คูณตัวเลขทางขวาด้วย 2 (หากเกิดการหารระหว่างการหาร เราก็จะทิ้งส่วนที่เหลือ)

การแบ่งสิ้นสุดลงเมื่อหน่วยปรากฏทางด้านซ้าย

เราขีดฆ่าเส้นเหล่านั้นซึ่งมีเลขคู่ทางด้านซ้าย

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

2.2. วิธีการขัดแตะ

1) นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอาหรับผู้มีชื่อเสียง Abu ​​Mussa al-Khorezmi อาศัยและทำงานในกรุงแบกแดด “ Al - Khorezmi” แปลว่า “จาก Khorezmi” อย่างแท้จริง เช่น เกิดที่เมือง Khorezm (ปัจจุบันเป็นส่วนหนึ่งของอุซเบกิสถาน) นักวิทยาศาสตร์ทำงานใน House of Wisdom ซึ่งมีห้องสมุดและหอดูดาว นักวิทยาศาสตร์ชาวอาหรับรายใหญ่เกือบทั้งหมดทำงานที่นี่

มีข้อมูลน้อยมากเกี่ยวกับชีวิตและกิจกรรมของ Muhammad al-Khorezmi มีผลงานของเขาเพียงสองชิ้นเท่านั้นที่รอดชีวิต - เกี่ยวกับพีชคณิตและเลขคณิต หนังสือเล่มสุดท้ายนี้ให้กฎสี่ข้อในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเกือบจะเหมือนกับกฎที่ใช้ในสมัยของเรา

2). ในตัวเขา “หนังสือการบัญชีอินเดีย”นักวิทยาศาสตร์ได้บรรยายถึงวิธีการที่ประดิษฐ์ขึ้นในอินเดียโบราณและต่อมาเรียกว่า "วิธีขัดแตะ"(อาคา "ความอิจฉา")วิธีนี้ง่ายกว่าวิธีที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน

สมมติว่าเราต้องคูณ 25 กับ 63

ลองวาดตารางที่มีความยาวสองเซลล์และความกว้างสองเซลล์ เขียนตัวเลขหนึ่งสำหรับความยาวและอีกอันสำหรับความกว้าง ในเซลล์เราเขียนผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขเหล่านี้ที่จุดตัดกันเราจะแยกหลักสิบและหลักด้วยเส้นทแยงมุม เราเพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ในแนวทแยงและสามารถอ่านผลลัพธ์ผลลัพธ์ได้ตามลูกศร (ลงและไปทางขวา)

เราได้พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ แล้ว อย่างไรก็ตาม วิธีนี้สามารถใช้เพื่อคูณตัวเลขหลายหลักใดๆ ได้

ลองดูตัวอย่างอื่น: คูณ 987 และ 12:

วาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 3 x 2 (ตามจำนวนตำแหน่งทศนิยมสำหรับแต่ละปัจจัย)

จากนั้นเราแบ่งเซลล์สี่เหลี่ยมตามแนวทแยง

ที่ด้านบนของตารางเราเขียนหมายเลข 987

ด้านซ้ายของตารางคือหมายเลข 12 (ดูรูป)

ตอนนี้ในแต่ละตารางเราจะป้อนผลคูณของตัวเลข - ปัจจัยที่อยู่ในบรรทัดเดียวกันและในคอลัมน์เดียวกันกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ สิบเหนือเส้นทแยงมุม ด้านล่าง;

หลังจากกรอกสามเหลี่ยมทั้งหมดแล้ว ตัวเลขในนั้นจะถูกเพิ่มตามแต่ละเส้นทแยงมุม

เราเขียนผลลัพธ์ทางด้านขวาและด้านล่างของตาราง (ดูรูป)

987 ∙ 12=11844

อัลกอริทึมสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติสองตัวนี้เป็นเรื่องปกติในยุคกลางทางตะวันออกและอิตาลี

เราสังเกตเห็นความไม่สะดวกของวิธีนี้ในความลำบากในการเตรียมโต๊ะสี่เหลี่ยมแม้ว่ากระบวนการคำนวณเองก็น่าสนใจและการกรอกตารางก็คล้ายกับเกม

2.3 วิธีการคูณแบบอินเดีย

ครูผู้มีประสบการณ์บางคนในศตวรรษที่ผ่านมาเชื่อว่าวิธีนี้ควรแทนที่วิธีการคูณที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในโรงเรียนของเรา

คนอเมริกันชอบมันมากจนเรียกมันว่า "วิถีอเมริกัน" อย่างไรก็ตาม ชาวอินเดียใช้มันในศตวรรษที่ 6 n. จ. และจะเรียกว่า "วิถีอินเดีย" จะดีกว่า คูณตัวเลขสองหลักสองตัว เช่น 23 ด้วย 12 ฉันจะเขียนสิ่งที่เกิดขึ้นทันที

คุณเห็นไหมว่าได้รับคำตอบอย่างรวดเร็ว แต่ได้มาอย่างไร?

ขั้นตอนแรก: x23 ฉันพูดว่า: “2 x 3 = 6”

ขั้นตอนที่สอง: x23 ฉันพูดว่า: "2 x 2 + 1 x 3 = 7"

ขั้นตอนที่สาม: x23 ฉันพูดว่า: "1 x 2 = 2"

12 ฉันเขียน 2 ทางซ้ายของเลข 7

276 เราได้ 276.

เราคุ้นเคยกับวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ โดยไม่ต้องผ่านอะไรสักหน่อย อย่างไรก็ตาม การวิจัยของเราแสดงให้เห็นว่า สามารถใช้เมื่อคูณตัวเลขที่มีการเปลี่ยนผ่านหลัก รวมถึงการคูณตัวเลขหลายหลักด้วย นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

x528 x24 x15 x18 x317

123 30 13 19 12

ในรัสเซีย วิธีนี้เรียกว่าวิธีการคูณด้วยกากบาท

“กากบาท” นี้เป็นความไม่สะดวกในการคูณ มันง่ายที่จะสับสน และยังเป็นการยากที่จะคำนึงถึงผลคูณขั้นกลางทั้งหมด ซึ่งจะต้องบวกผลลัพธ์เข้าด้วยกัน

2.4. วิธีการคูณแบบอียิปต์

สัญลักษณ์ตัวเลขที่ใช้ในสมัยโบราณมีความเหมาะสมไม่มากก็น้อยในการบันทึกผลการนับ แต่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเป็นเรื่องยากมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อต้องคูณ (ลองคูณ: ξφß*τδ) ชาวอียิปต์พบทางออกจากสถานการณ์นี้จึงถูกเรียกวิธีนี้ ชาวอียิปต์พวกเขาแทนที่การคูณด้วยตัวเลขใดๆ ด้วยการสองเท่า นั่นคือการเพิ่มตัวเลขให้กับตัวมันเอง

ตัวอย่าง: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4

เนื่องจาก 5 = 4 + 1 เพื่อให้ได้คำตอบจึงยังคงต้องเพิ่มตัวเลขในคอลัมน์ด้านขวาเทียบกับตัวเลข 4 และ 1 เช่น 136 + 34 = 170

2.5. การคูณบนนิ้วมือ

ชาวอียิปต์โบราณเคร่งศาสนามากและเชื่อว่าดวงวิญญาณของผู้ตายในชีวิตหลังความตายจะถูกทดสอบด้วยการนับนิ้ว สิ่งนี้ได้พูดถึงความสำคัญที่คนโบราณยึดติดกับวิธีการคูณจำนวนธรรมชาตินี้แล้ว (เรียกว่า การนับนิ้ว).

พวกเขาคูณตัวเลขหลักเดียวจาก 6 เป็น 9 ด้วยนิ้วของพวกเขา ในการทำเช่นนี้ พวกเขายืดนิ้วออกให้มากเท่ามือข้างหนึ่งเนื่องจากตัวประกอบตัวแรกเกินเลข 5 และตัวที่สองก็ทำแบบเดียวกันสำหรับตัวที่สอง นิ้วที่เหลืองอ หลังจากนั้นพวกเขาใช้ความยาวของนิ้วทั้งสองข้างเป็นสิบเท่าและเพิ่มผลคูณของนิ้วที่งอของมือที่หนึ่งและมือสองในจำนวนนี้

ตัวอย่าง: 8 ∙ 9 = 72

ต่อมาการนับนิ้วได้รับการปรับปรุง - พวกเขาเรียนรู้ที่จะแสดงตัวเลขมากถึง 10,000 ด้วยนิ้วของพวกเขา

การเคลื่อนไหวของนิ้ว

วิธีช่วยจำอีกวิธีหนึ่งคือใช้นิ้วจำตารางสูตรคูณด้วย 9 วางมือทั้งสองข้างบนโต๊ะแล้วนับนิ้วของมือทั้งสองข้างตามลำดับดังนี้ นิ้วแรกทางซ้ายจะกำหนดให้เป็น 1 อันที่สองที่อยู่ด้านหลังจะถูกกำหนดให้เป็น 2 จากนั้น 3 , 4... ถึงนิ้วที่สิบซึ่งหมายถึง 10 หากคุณต้องการคูณตัวเลขเก้าตัวแรกด้วย 9 ให้ทำสิ่งนี้โดยไม่ต้องขยับมือ จากโต๊ะคุณต้องยกนิ้วขึ้นซึ่งตัวเลขหมายถึงจำนวนที่คูณเก้า จากนั้นจำนวนนิ้วที่อยู่ทางด้านซ้ายของนิ้วที่ยกขึ้นจะกำหนดจำนวนสิบและจำนวนนิ้วที่อยู่ทางด้านขวาของนิ้วที่ยกขึ้นจะระบุจำนวนหน่วยของผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์

ตัวอย่าง. สมมติว่าเราต้องค้นหาผลคูณ 4x9

ใช้มือทั้งสองข้างบนโต๊ะยกนิ้วที่สี่ขึ้นโดยนับจากซ้ายไปขวา จากนั้นจะมีสามนิ้ว (สิบ) ก่อนนิ้วชี้ และ 6 นิ้ว (หน่วย) หลังนิ้วชี้ ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ 4 คูณ 9 จึงเท่ากับ 36

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

สมมติว่าคุณต้องคูณ 3 * 9

จากซ้ายไปขวาหานิ้วที่สาม โดยนิ้วนั้นจะมี 2 นิ้วที่เหยียดตรง จะหมายถึง 2 สิบ

ทางด้านขวาของนิ้วที่งอ 7 นิ้วจะเหยียดตรงซึ่งหมายถึง 7 หน่วย บวก 2 สิบและ 7 หน่วย คุณจะได้ 27

นิ้วเองก็แสดงตัวเลขนี้

// // /////

ดังนั้น วิธีการคูณแบบโบราณที่เราตรวจสอบแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมที่ใช้ในโรงเรียนสำหรับการคูณจำนวนธรรมชาติไม่ใช่วิธีเดียวเท่านั้น และไม่เป็นที่รู้จักเสมอไป

อย่างไรก็ตามค่อนข้างรวดเร็วและสะดวกที่สุด

บทที่ 3 เลขในใจ - ยิมนาสติกจิต

3.1. การคูณและหารด้วย 4

หากต้องการคูณตัวเลขด้วย 4 จะต้องเพิ่มเป็นสองเท่า

ตัวอย่างเช่น,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

หากต้องการหารตัวเลขด้วย 4 จะต้องหารด้วย 2 สองครั้ง

ตัวอย่างเช่น,

124: 4 = (124: 2) : 2 = 62: 2 = 31

2648: 4 = (2648: 2) : 2 = 1324: 2 = 662

3.2. การคูณและหารด้วย 5

หากต้องการคูณตัวเลขด้วย 5 คุณต้องคูณด้วย 10/2 นั่นคือคูณด้วย 10 และหารด้วย 2

ตัวอย่างเช่น,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380: 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480: 2 = 2740

หากต้องการหารตัวเลขด้วย 5 คุณจะต้องคูณด้วย 0.2 นั่นคือเพิ่มเป็นสองเท่าของตัวเลขเดิม โดยคั่นตัวเลขหลักสุดท้ายด้วยเครื่องหมายจุลภาค

ตัวอย่างเช่น,

345: 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51: 5 = 51 * 0,2 = 10,2

3.3. คูณด้วย 25.

หากต้องการคูณตัวเลขด้วย 25 คุณต้องคูณด้วย 100/4 นั่นคือคูณด้วย 100 และหารด้วย 4

ตัวอย่างเช่น,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800: 2) : 2 = 17400: 2 = 8700

3.4. คูณด้วย 1.5

หากต้องการคูณตัวเลขด้วย 1.5 คุณต้องเพิ่มครึ่งหนึ่งของตัวเลขเดิม

ตัวอย่างเช่น,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

3.5. คูณด้วย 9.

หากต้องการคูณตัวเลขด้วย 9 ให้บวก 0 แล้วลบตัวเลขเดิม ตัวอย่างเช่น,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

3.6. คูณด้วย 11.

1 วิธี- หากต้องการคูณตัวเลขด้วย 11 ให้เพิ่ม 0 เข้าไปแล้วบวกตัวเลขเดิม ตัวอย่างเช่น:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

วิธีที่ 2หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วย 11 ให้ทำดังนี้: เขียนตัวเลขที่ต้องคูณด้วย 11 และระหว่างตัวเลขของตัวเลขเดิมให้ใส่ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ หากผลรวมเป็นตัวเลขสองหลัก ให้บวก 1 เข้ากับหลักแรกของตัวเลขเดิม ตัวอย่างเช่น:

45 * 11 = * 11 = 967

วิธีนี้เหมาะสำหรับการคูณตัวเลขสองหลักเท่านั้น

3.7. การคูณตัวเลขสามหลักด้วย 101

เช่น 125 * 101 = 12625

(เพิ่มตัวประกอบแรกด้วยจำนวนหลักร้อยแล้วบวกเลขสองหลักสุดท้ายของตัวประกอบแรกทางด้านขวา)

125 + 1 = 126 12625

เด็กๆ เรียนรู้เทคนิคนี้ได้อย่างง่ายดายเมื่อเขียนการคำนวณลงในคอลัมน์

xx125 101 + 125 125 _ 12625

xx348 101 +348 348 _ 35148

อีกตัวอย่างหนึ่ง: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227

3.8. กำลังสองตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 5

หากต้องการยกกำลังสองตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 5 (เช่น 65) ให้คูณจำนวนหลักสิบ (6) ด้วยจำนวนหลักสิบที่เพิ่มขึ้น 1 (คูณ 6+1 = 7) แล้วบวก 25 เข้ากับตัวเลขผลลัพธ์

(6 * 7 = 42 ตอบ: 4225)

ตัวอย่างเช่น:

3.8. กำลังสองจำนวนใกล้ 50

หากคุณต้องการยกกำลังสองตัวเลขที่ใกล้กับ 50 แต่มากกว่า 50 ให้ทำดังนี้

1) ลบ 25 จากจำนวนนี้

2) เพิ่มผลลัพธ์ด้วยตัวเลขสองหลักที่เกินจากจำนวนที่กำหนดมากกว่า 50

คำอธิบาย: 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364

คำอธิบาย: 67 – 25 = 42, 67 – 50 = 17, 172 =289,

672 = 4200 + 289 = 4489.

หากคุณต้องการยกกำลังสองตัวเลขที่ใกล้ 50 แต่น้อยกว่า 50 ให้ทำดังนี้

1) ลบ 25 จากจำนวนนี้

2) เพิ่มผลลัพธ์ด้วยตัวเลขสองหลักกำลังสองของข้อเสียของหมายเลขนี้มากถึง 50

คำอธิบาย: 48 – 25 = 23, 50 – 48 =2, 22 = 4, 482 = 2304

คำอธิบาย: 37 – 25 = 12,= 13, 132 =169,

372 = 1200 + 169 = 1369.

3.9. เกมส์

การทายจำนวนผลลัพธ์

1. คิดเลข เพิ่ม 11 เข้าไป; คูณจำนวนผลลัพธ์ด้วย 2; ลบ 20 จากผลิตภัณฑ์นี้ คูณผลต่างผลลัพธ์ด้วย 5 แล้วลบออกจากผลิตภัณฑ์ใหม่ด้วยตัวเลขที่มากกว่าตัวเลขที่คุณมีอยู่ 10 เท่า

ฉันเดาว่า: คุณได้ 10 ใช่ไหม?

2. คิดเลข เพิ่มเป็นสามเท่า ลบ 1 จากผลลัพธ์ คูณผลลัพธ์ด้วย 5 บวก 20 เข้ากับผลลัพธ์ หารผลลัพธ์ด้วย 15 ลบความตั้งใจออกจากผลลัพธ์

คุณได้ 1

3. คิดเลข คูณด้วย 6 ลบ 3 คูณด้วย 2 บวก 26 ลบสองเท่าของค่าที่ต้องการ หารด้วย 10. ลบสิ่งที่คุณตั้งใจไว้.

คุณได้ 2

4. คิดเลข เพิ่มเป็นสามเท่า ลบ 2. คูณ 5. บวก 5. หารด้วย 5. บวก 1. หารตามตั้งใจ. คุณได้ 3

5. คิดเลขเพิ่มเป็นสองเท่า บวก 3. คูณด้วย 4. ลบ 12. หารด้วยสิ่งที่คุณตั้งใจ.

คุณได้ 8

การทายตัวเลขที่ตั้งใจไว้

ชวนเพื่อน ๆ คิดเลขอะไรก็ได้ ให้ทุกคนบวก 5 ตามจำนวนที่ต้องการ

ให้จำนวนผลลัพธ์คูณด้วย 3

ให้เขาลบ 7 ออกจากผลคูณ.

ให้เขาลบอีก 8 จากผลลัพธ์ที่ได้

ให้ทุกคนมอบแผ่นงานพร้อมผลลัพธ์สุดท้ายให้กับคุณ เมื่อมองดูกระดาษ คุณจะบอกทุกคนทันทีว่าพวกเขามีเลขอะไรอยู่ในใจ

(ทายจำนวนที่ต้องการให้แบ่งผลที่เขียนใส่กระดาษหรือบอกด้วยวาจา 3)

บทสรุป

เราได้เข้าสู่สหัสวรรษใหม่แล้ว! การค้นพบครั้งยิ่งใหญ่และความสำเร็จของมนุษยชาติ เรารู้มาก เราสามารถทำอะไรได้มาก ดูเหมือนเป็นสิ่งเหนือธรรมชาติด้วยความช่วยเหลือของตัวเลขและสูตร คุณสามารถคำนวณการบินของยานอวกาศ "สถานการณ์ทางเศรษฐกิจ" ในประเทศ สภาพอากาศสำหรับ "วันพรุ่งนี้" และบรรยายเสียงของโน้ตในทำนอง เรารู้คำกล่าวของนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกโบราณที่อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช - พีทาโกรัส - "ทุกสิ่งเป็นตัวเลข!"

ตามมุมมองเชิงปรัชญาของนักวิทยาศาสตร์คนนี้และผู้ติดตามของเขา ตัวเลขไม่เพียงควบคุมการวัดและน้ำหนักเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปรากฏการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในธรรมชาติด้วย และเป็นแก่นแท้ของความสามัคคีที่ครอบครองในโลกซึ่งเป็นจิตวิญญาณของจักรวาล

ด้วยการอธิบายวิธีการคำนวณแบบโบราณและวิธีการคำนวณแบบเร็วสมัยใหม่ เราพยายามแสดงให้เห็นว่าทั้งในอดีตและอนาคตไม่มีใครสามารถทำได้หากไม่มีคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นวิทยาศาสตร์ที่สร้างขึ้นโดยจิตใจมนุษย์

การศึกษาวิธีการคูณแบบโบราณแสดงให้เห็นว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นี้ยากและซับซ้อนเนื่องจากมีวิธีการที่หลากหลายและการดำเนินการที่ยุ่งยาก

วิธีการคูณสมัยใหม่นั้นง่ายและทุกคนเข้าถึงได้

เมื่อทบทวนวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ เราค้นพบวิธีการคูณที่รวดเร็วและเชื่อถือได้มากขึ้น ดังนั้นการศึกษาการกระทำของการคูณจึงเป็นหัวข้อที่น่าหวัง

เป็นไปได้ว่าหลายๆ คนจะไม่สามารถทำการคำนวณเหล่านี้หรือการคำนวณอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็วและทันทีในครั้งแรก ปล่อยให้ไม่สามารถใช้เทคนิคที่แสดงในงานในตอนแรกได้ ไม่มีปัญหา. จำเป็นต้องมีการฝึกอบรมด้านการคำนวณอย่างต่อเนื่อง จากบทเรียนสู่บทเรียนจากปีต่อปี มันจะช่วยให้คุณได้รับทักษะการคิดเลขในใจที่เป็นประโยชน์

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

1. Wangqiang: หนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5. - Samara: สำนักพิมพ์

"เฟโดรอฟ", 2542

2. โลกแห่งตัวเลขของ Ahadov: หนังสือของนักเรียน - M. Education, 1986

3. “ จากเกมสู่ความรู้”, M. , “ การตรัสรู้” 2525

4. Svechnikov, ตัวเลข, ปัญหา M. , การศึกษา, 2520

5. http://matsievsky. *****/sys-schi/file15.htm

6. http://******/mod/1/6506/hystory. html