วิธีแก้สมการลอการิทึมอย่างรวดเร็ว เรียนรู้การแก้สมการลอการิทึมอย่างง่าย

สมการลอการิทึม. เรายังคงพิจารณางานจากส่วน B ของ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์ต่อไป เราได้พิจารณาคำตอบของสมการบางข้อในบทความ "", "" แล้ว ในบทความนี้ เราจะพิจารณาสมการลอการิทึม บอกได้เลยว่าไม่มี การแปลงร่างที่ซับซ้อนเมื่อแก้สมการดังกล่าวในการสอบจะไม่ พวกมันเรียบง่าย

แค่รู้และเข้าใจพื้นฐานก็พอ เอกลักษณ์ลอการิทึมรู้คุณสมบัติของลอการิทึม ให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงที่ว่าหลังจากการตัดสินใจ เป็นข้อบังคับที่ต้องทำการตรวจสอบ - แทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมแล้วคำนวณ ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

คำนิยาม:

ลอการิทึมของจำนวน a ยกกำลังฐาน b คือเลขชี้กำลังซึ่งต้องยก b เพื่อให้ได้ a

ตัวอย่างเช่น:

บันทึก 3 9 = 2 เนื่องจาก 3 2 = 9

คุณสมบัติของลอการิทึม:

กรณีพิเศษของลอการิทึม:

เราแก้ปัญหา ในตัวอย่างแรก เราจะทำการตรวจสอบ ตรวจสอบตัวเองดังต่อไปนี้

หารากของสมการ: log 3 (4–x) = 4

เนื่องจาก log b a = x b x = a แล้ว

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

การตรวจสอบ:

บันทึก 3 (4–(–77)) = 4

บันทึก 3 81 = 4

3 4 = 81 ถูกต้อง

คำตอบ: - 77

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ: log 2 (4 - x) = 7

หารากของสมการล็อก 5(4 + x) = 2

เราใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

เนื่องจากบันทึก a b = x b x = a แล้ว

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

การตรวจสอบ:

บันทึก 5 (4 + 21) = 2

บันทึก 5 25 = 2

5 2 = 25 ถูกต้อง

คำตอบ: 21

หารากของสมการ log 3 (14 - x) = log 3 5

เกิดขึ้น ทรัพย์สินต่อไป, ความหมายมีดังนี้: ถ้าในส่วนซ้ายและขวาของสมการเรามีลอการิทึมกับ ฐานเดียวกันจากนั้นเราสามารถเทียบนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมได้

14 - x = 5

x=9

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 9

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ log 5 (5 - x) = log 5 3

หารากของสมการ: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15)

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 6

หารากของสมการ log 1/8 (13 - x) = - 2

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

ทำการตรวจสอบ

การเพิ่มเล็กน้อย - ที่นี่ใช้คุณสมบัติ

ระดับ().

คำตอบ: - 51

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ: log 1/7 (7 - x) = - 2

หารากของสมการ log 2 (4 - x) = 2 log 2 5

มาแปลงร่างกันเถอะ ด้านขวา. ใช้คุณสมบัติ:

บันทึก a b m = m∙ บันทึก a b

บันทึก 2 (4 - x) = บันทึก 2 5 2

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: - 21

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

แก้สมการ log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2.75

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 2.75

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10)

แก้สมการ log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1

ทางด้านขวาของสมการ คุณต้องได้รับนิพจน์ของแบบฟอร์ม:

บันทึก 2 (......)

แสดง 1 เป็นลอการิทึมฐาน 2:

1 = บันทึก 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

บันทึก 2 (2 - x) = บันทึก 2 (2 - 3x) + บันทึก 2 2

เราได้รับ:

บันทึก 2 (2 - x) = บันทึก 2 2 (2 - 3x)

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b แล้ว

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0.4

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 0.4

ตัดสินใจด้วยตัวเอง: ต่อไปคุณต้องตัดสินใจ สมการกำลังสอง. อนึ่ง,

รากคือ 6 และ -4

ราก "-4" ไม่ใช่คำตอบเพราะฐานของลอการิทึมต้องเป็น เหนือศูนย์, และเมื่อ "– 4" เท่ากับ " – 5". วิธีแก้ปัญหาคือรูท 6ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 6.

R กินเอง:

แก้สมการ log x –5 49 = 2 ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูท ให้ตอบอันที่น้อยกว่า

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีการแปลงที่ซับซ้อนด้วยสมการลอการิทึมไม่. ก็เพียงพอที่จะรู้คุณสมบัติของลอการิทึมและสามารถนำไปใช้ได้ ที่ ใช้งานที่เกี่ยวข้องกับการแปลงนิพจน์ลอการิทึม การแปลงที่จริงจังยิ่งขึ้นจะดำเนินการและต้องใช้ทักษะที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในการแก้ปัญหา เราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว อย่าพลาด!ขอให้ประสบความสำเร็จ!!!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

PS: ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในเครือข่ายสังคมออนไลน์

เราทุกคนคุ้นเคยกับสมการ โรงเรียนประถม. แม้แต่ที่นั่น เราก็เรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด และต้องยอมรับว่าพวกเขาพบแอปพลิเคชันของพวกเขาแม้ใน คณิตศาสตร์ชั้นสูง. ทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายด้วยสมการ รวมทั้งสมการกำลังสอง หากคุณมีปัญหากับธีมนี้ เราขอแนะนำให้คุณลองใหม่อีกครั้ง

ลอการิทึมที่คุณอาจผ่านมาแล้วเช่นกัน อย่างไรก็ตาม เราคิดว่าสิ่งสำคัญคือต้องบอกว่ามันคืออะไรสำหรับผู้ที่ยังไม่รู้ ลอการิทึมเท่ากับกำลังที่ต้องยกฐานเพื่อให้ได้ตัวเลขทางด้านขวาของเครื่องหมายของลอการิทึม มาดูตัวอย่างกันซึ่งทุกอย่างจะชัดเจนสำหรับคุณ

หากคุณเพิ่ม 3 ยกกำลังสี่ คุณจะได้ 81 ตอนนี้แทนตัวเลขด้วยการเปรียบเทียบ และในที่สุด คุณจะเข้าใจว่าลอการิทึมถูกแก้อย่างไร ตอนนี้ยังคงเป็นเพียงการรวมแนวคิดทั้งสองที่พิจารณาแล้วเท่านั้น ในขั้นต้น สถานการณ์ดูยากมาก แต่เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิด น้ำหนักก็เข้าที่ เรามั่นใจว่าหลังจากบทความสั้น ๆ นี้ คุณจะไม่มีปัญหาในส่วนนี้ของการสอบ

วันนี้มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาโครงสร้างดังกล่าว เราจะพูดถึงวิธีที่ง่ายที่สุด มีประสิทธิภาพมากที่สุด และเหมาะสมที่สุดในกรณีของงาน USE การแก้สมการลอการิทึมต้องเริ่มจากจุดเริ่มต้น ตัวอย่างง่ายๆ. สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดประกอบด้วยฟังก์ชันและตัวแปรหนึ่งตัวในนั้น

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่า x อยู่ในอาร์กิวเมนต์ A และ b ต้องเป็นตัวเลข ในกรณีนี้ คุณสามารถแสดงฟังก์ชันในรูปของตัวเลขยกกำลังได้ ดูเหมือนว่านี้

แน่นอน การแก้สมการลอการิทึมด้วยวิธีนี้จะทำให้คุณได้คำตอบที่ถูกต้อง แต่ปัญหาของนักเรียนส่วนใหญ่ในกรณีนี้คือพวกเขาไม่เข้าใจว่ามันมาจากไหน เป็นผลให้คุณต้องทนกับความผิดพลาดและไม่ได้คะแนนที่ต้องการ ความผิดพลาดที่น่ารังเกียจที่สุดคือถ้าคุณผสมตัวอักษรในสถานที่ต่างๆ ในการแก้สมการด้วยวิธีนี้ คุณต้องจำสูตรมาตรฐานของโรงเรียนนี้ เพราะมันเข้าใจยาก

เพื่อให้ง่ายขึ้น คุณสามารถใช้วิธีอื่น - รูปแบบบัญญัติ ความคิดนั้นง่ายมาก ให้ความสนใจกับงานอีกครั้ง จำไว้ว่าตัวอักษร a เป็นตัวเลข ไม่ใช่ฟังก์ชันหรือตัวแปร A ไม่เท่ากับหนึ่งและมากกว่าศูนย์ ข.ไม่มีข้อจำกัด จากสูตรทั้งหมด เราจำสูตรหนึ่งได้ ข สามารถแสดงได้ดังนี้

จากนี้ไปสมการดั้งเดิมทั้งหมดที่มีลอการิทึมสามารถแสดงได้ดังนี้:

ตอนนี้เราสามารถทิ้งลอการิทึมได้ ผลที่ได้คือการก่อสร้างที่เรียบง่ายซึ่งเราได้เห็นไปแล้วก่อนหน้านี้

ความสะดวกของสูตรนี้อยู่ที่ว่าใช้ได้มากที่สุด โอกาสต่างๆและไม่ใช่แค่สำหรับการออกแบบที่เรียบง่ายที่สุดเท่านั้น

ไม่ต้องห่วง OOF!

นักคณิตศาสตร์ที่มีประสบการณ์หลายคนจะสังเกตเห็นว่าเราไม่ได้ให้ความสำคัญกับขอบเขตของคำจำกัดความ กฎเกณฑ์ชี้ให้เห็นถึงข้อเท็จจริงที่ว่า F(x) จำเป็นต้องมากกว่า 0 ไม่ เราไม่ได้พลาดประเด็นนี้ ตอนนี้เรากำลังพูดถึงข้อได้เปรียบที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งของรูปแบบบัญญัติ

จะไม่มีรากพิเศษที่นี่ หากตัวแปรจะเกิดขึ้นในที่เดียวเท่านั้น ขอบเขตก็ไม่จำเป็น มันทำงานโดยอัตโนมัติ เพื่อตรวจสอบการตัดสินใจนี้ ให้ลองแก้ไขตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่าง

วิธีแก้สมการลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน

พวกนี้เป็นสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนอยู่แล้ว และแนวทางการแก้ปัญหาควรเป็นแบบพิเศษ ที่นี่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะจำกัดตัวเราให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติที่มีชื่อเสียง มาเริ่มกันเลย เรื่องราวโดยละเอียด. เรามีการก่อสร้างดังต่อไปนี้

สังเกตเศษส่วน ประกอบด้วยลอการิทึม หากคุณเห็นสิ่งนี้ในงาน คุณควรจำเคล็ดลับที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง

มันหมายความว่าอะไร? ลอการิทึมแต่ละตัวสามารถแสดงเป็นผลหารของลอการิทึมสองตัวที่มีฐานสะดวก และสูตรนี้มี กรณีพิเศษซึ่งใช้ได้กับตัวอย่างนี้ (หมายถึงถ้า c=b)

นี่คือสิ่งที่เราเห็นในตัวอย่างของเรา ทางนี้.

อันที่จริง พวกเขาพลิกเศษส่วนและได้สำนวนที่สะดวกกว่า จำอัลกอริทึมนี้ไว้!

ตอนนี้เราต้องการว่าสมการลอการิทึมไม่มีฐานต่างกัน ลองแทนฐานเป็นเศษส่วน

ในวิชาคณิตศาสตร์มีกฎอยู่หนึ่งข้อซึ่งคุณสามารถถอดระดับออกจากฐานได้ ปรากฎว่าการก่อสร้างต่อไปนี้

ดูเหมือนว่าตอนนี้สิ่งที่ขัดขวางไม่ให้เราเปลี่ยนการแสดงออกของเราเป็น รูปแบบบัญญัติและเบื้องต้นในการแก้ได้หรือไม่? ไม่ง่ายอย่างนั้น ไม่ควรมีเศษส่วนก่อนลอการิทึม มาแก้ไขสถานการณ์นี้กันเถอะ! อนุญาตให้นำเศษส่วนออกเป็นระดับได้

ตามลำดับ

หากฐานเท่ากัน เราสามารถลบลอการิทึมและทำให้นิพจน์เท่ากันได้ ดังนั้นสถานการณ์จะง่ายขึ้นกว่าเดิมหลายเท่า จะยังคง สมการเบื้องต้นซึ่งเราแต่ละคนก็รู้วิธีแก้ปัญหาในชั้น ป.8 หรือป.7 คุณสามารถคำนวณได้ด้วยตัวเอง

เราได้รากที่แท้จริงเพียงข้อเดียวของสมการลอการิทึมนี้ ตัวอย่างของการแก้สมการลอการิทึมนั้นค่อนข้างง่ายใช่ไหม ตอนนี้คุณจะสามารถจัดการกับตัวเองได้มากที่สุด งานที่ท้าทายเพื่อเตรียมและจัดส่งข้อสอบ

ผลลัพธ์คืออะไร?

ในกรณีของสมการลอการิทึมใด ๆ เราเริ่มจากหนึ่งมาก กฎสำคัญ. มีความจำเป็นต้องดำเนินการในลักษณะที่จะนำการแสดงออกไปสู่ระดับสูงสุด สายตาธรรมดา. ในกรณีนี้ คุณจะมีโอกาสมากกว่าที่จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้อง แต่ยังต้องทำในวิธีที่ง่ายที่สุดและสมเหตุสมผลที่สุดด้วย นั่นเป็นวิธีที่นักคณิตศาสตร์ทำงานอยู่เสมอ

เราขอแนะนำให้คุณอย่าค้นหา วิธีที่ซับซ้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีนี้ จำไว้หน่อย กติกาง่ายๆซึ่งจะทำให้คุณสามารถเปลี่ยนนิพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น นำลอการิทึมสองหรือสามตัวมาที่ฐานเดียวกัน หรือเอากำลังจากฐานและชนะมัน

โปรดจำไว้ว่าในการแก้สมการลอการิทึมคุณต้องฝึกฝนอย่างต่อเนื่อง คุณจะค่อยๆ เคลื่อนไปสู่โครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ และสิ่งนี้จะนำคุณไปสู่การแก้ไขตัวเลือกทั้งหมดสำหรับปัญหาในการสอบอย่างมั่นใจ เตรียมตัวให้พร้อมสำหรับการสอบล่วงหน้า และขอให้โชคดี!

บน บทเรียนนี้เราจะทำซ้ำข้อเท็จจริงทางทฤษฎีพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึมและพิจารณาคำตอบของสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

จำคำจำกัดความกลาง - คำจำกัดความของลอการิทึม เกี่ยวข้องกับการตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลัง. สมการนี้มีรากเดียว เรียกว่า ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a:

คำนิยาม:

ลอการิทึมของตัวเลข b ยกกำลังฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ตัวเลข b

จำ เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน.

นิพจน์ (นิพจน์ 1) เป็นรากของสมการ (นิพจน์ 2) เราแทนที่ค่าของ x จากนิพจน์ 1 แทน x ในนิพจน์ 2 และเราได้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:

ดังนั้นเราจึงเห็นว่าแต่ละค่าถูกกำหนดเป็นค่า เราแสดงว่า b สำหรับ x (), c สำหรับ y และดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันลอการิทึม:

ตัวอย่างเช่น:

จำไว้นะ คุณสมบัติพื้นฐาน ฟังก์ชันลอการิทึม.

ให้เราให้ความสนใจอีกครั้ง เพราะภายใต้ลอการิทึม นิพจน์ที่เป็นบวกสามารถมีได้เป็นฐานของลอการิทึม

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมของฐานต่างๆ

กราฟของฟังก์ชันที่ แสดงเป็นสีดำ ข้าว. 1. ถ้าอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากศูนย์เป็นอนันต์ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้

กราฟของฟังก์ชันที่ แสดงเป็นสีแดง ข้าว. หนึ่ง.

คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้:

โดเมน: ;

ช่วงของค่า: ;

ฟังก์ชันนี้เป็นแบบโมโนโทนิกเหนือขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด สำหรับการเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิค (อย่างเคร่งครัด) คุ้มค่ากว่าอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน เมื่อลดลงแบบโมโนโทนิค (อย่างเคร่งครัด) ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นกุญแจสำคัญในการแก้สมการลอการิทึมต่างๆ

พิจารณาสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ตามปกติแล้ว สมการลอการิทึมอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดรูปลงในรูปแบบนี้

เนื่องจากฐานของลอการิทึมและลอการิทึมเท่ากัน ฟังก์ชันภายใต้ลอการิทึมจึงเท่ากัน แต่เราต้องไม่สูญเสียขอบเขตของคำจำกัดความ ภายใต้ลอการิทึมสามารถยืนได้เท่านั้น จำนวนบวก, เรามี:

เราพบว่าฟังก์ชัน f และ g เท่ากัน ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะเลือกอสมการใดๆ เพื่อให้สอดคล้องกับ ODZ

เราก็เลย ระบบผสมซึ่งมีสมการและอสมการดังนี้

ตามกฎแล้ว ไม่จำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกัน แค่แก้สมการและแทนที่รากที่พบลงในอสมการ ก็เพียงพอแล้วจึงทำการตรวจสอบ

ให้เรากำหนดวิธีการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด:

ปรับฐานของลอการิทึมให้เท่ากัน

เทียบฟังก์ชันลอการิทึมย่อย

เรียกใช้การตรวจสอบ

ลองพิจารณาตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1 - แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมมีค่าเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2 - แก้สมการ:

สมการนี้แตกต่างจากสมการก่อนหน้านี้ตรงที่ฐานของลอการิทึมมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง แต่สิ่งนี้ไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาแต่อย่างใด:

ลองหารากและแทนที่เป็นอสมการ:

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่ารูทที่พบไม่เป็นไปตาม ODZ

ตัวอย่างที่ 3 - แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมมีค่าเท่ากัน

ลองหารากและแทนที่เป็นอสมการ:

เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรูทแรกเท่านั้นที่ตอบสนอง ODZ

การเตรียมตัวสำหรับการทดสอบขั้นสุดท้ายทางคณิตศาสตร์รวมถึงส่วนสำคัญ - "ลอการิทึม" งานจากหัวข้อนี้จำเป็นต้องมีอยู่ในการสอบ จากประสบการณ์หลายปีที่ผ่านมาแสดงให้เห็นว่าสมการลอการิทึมทำให้เกิดปัญหากับเด็กนักเรียนจำนวนมาก ดังนั้นนักเรียนที่มีระดับการฝึกอบรมต่างกันควรเข้าใจวิธีค้นหาคำตอบที่ถูกต้องและรับมืออย่างรวดเร็ว

ผ่านการทดสอบการรับรองสำเร็จด้วยความช่วยเหลือของพอร์ทัลการศึกษา "Shkolkovo"!

ในการเตรียมความพร้อมสำหรับการรวมกัน การสอบของรัฐผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลายต้องการแหล่งที่เชื่อถือได้ซึ่งให้ข้อมูลที่สมบูรณ์ที่สุดและ ข้อมูลที่แน่นอนสำหรับ ทางออกที่ประสบความสำเร็จงานทดสอบ อย่างไรก็ตาม หนังสือเรียนไม่ได้อยู่ใกล้แค่เอื้อม และการค้นหากฎเกณฑ์และสูตรที่จำเป็นบนอินเทอร์เน็ตมักต้องใช้เวลา

พอร์ทัลการศึกษา "Shkolkovo" ช่วยให้คุณเตรียมตัวสอบได้ทุกที่ทุกเวลา ไซต์ของเรานำเสนอวิธีที่สะดวกที่สุดในการทำซ้ำและควบคุมข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับลอการิทึม รวมทั้งไม่ทราบค่าหนึ่งหรือหลายค่า เริ่มต้นด้วยสมการง่ายๆ หากคุณรับมือกับมันได้โดยไม่ยาก ให้ย้ายไปยังสิ่งที่ยากขึ้น หากคุณประสบปัญหาในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน คุณสามารถเพิ่มลงในรายการโปรดเพื่อกลับมาใช้ใหม่ได้ในภายหลัง

หา สูตรที่จำเป็นเพื่อทำงานให้เสร็จสิ้น คุณสามารถทำซ้ำกรณีพิเศษและวิธีการคำนวณรากของสมการลอการิทึมมาตรฐานได้โดยดูที่ส่วน "การอ้างอิงเชิงทฤษฎี" ครูของ "Shkolkovo" รวบรวมจัดระบบและสรุปสิ่งที่จำเป็นสำหรับ จัดส่งเรียบร้อยวัสดุด้วยวิธีที่ง่ายที่สุดและเข้าใจได้

เพื่อให้สามารถรับมือกับงานที่มีความซับซ้อนได้อย่างง่ายดาย บนพอร์ทัลของเรา คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับคำตอบของสมการลอการิทึมทั่วไปบางตัวได้ ในการดำเนินการนี้ ให้ไปที่ส่วน "แคตตาล็อก" เราได้นำเสนอ จำนวนมากของตัวอย่างรวมทั้งสมการ ระดับโปรไฟล์ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์

นักเรียนจากโรงเรียนทั่วรัสเซียสามารถใช้พอร์ทัลของเราได้ ในการเริ่มต้น เพียงลงทะเบียนในระบบแล้วเริ่มแก้สมการ เพื่อรวมผลลัพธ์ เราขอแนะนำให้คุณกลับไปที่เว็บไซต์ Shkolkovo ทุกวัน

คำแนะนำ

เขียนลงไป นิพจน์ลอการิทึม. หากนิพจน์ใช้ลอการิทึมของ 10 สัญกรณ์จะสั้นลงและมีลักษณะดังนี้: lg b คือ ลอการิทึมทศนิยม. หากลอการิทึมมีตัวเลข e เป็นฐาน นิพจน์จะถูกเขียนว่า: ln b - ลอการิทึมธรรมชาติ. เป็นที่เข้าใจว่าผลลัพธ์ของสิ่งใด ๆ คือกำลังที่ต้องยกเลขฐานเพื่อให้ได้ตัวเลข b

เมื่อหาผลรวมของสองฟังก์ชัน คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างทีละฟังก์ชัน แล้วเพิ่มผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";

เมื่อหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยฟังก์ชันที่สอง แล้วบวกอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง คูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"* v+v"*u;

ในการหาอนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสอง จำเป็นต้องลบผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันตัวหารจากผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหาร ทั้งหมดนี้โดยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

ถ้าให้ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนจากนั้นจึงจำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ให้ y=u(v(x)) แล้ว y"(x)=y"(u)*v"(x)

เมื่อใช้ข้อมูลที่ได้รับข้างต้น คุณจะแยกความแตกต่างของฟังก์ชันได้เกือบทุกอย่าง ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีงานในการคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง ให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) ถูกกำหนด คุณต้องหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)

2) คำนวณค่าของฟังก์ชันใน คะแนนที่กำหนด y"(1)=8*e^0=8

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เรียนรู้ตารางอนุพันธ์เบื้องต้น วิธีนี้จะช่วยประหยัดเวลาได้มาก

ที่มา:

• อนุพันธ์คงที่

แล้วมันต่างกันยังไง ir สมการตรรกยะจากเหตุผล? หากตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ใต้เครื่องหมาย รากที่สองแล้วสมการก็ถือว่าไม่มีเหตุผล

คำแนะนำ

วิธีหลักในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธีการยกทั้งสองส่วน สมการเป็นสี่เหลี่ยม อย่างไรก็ตาม. นี่เป็นเรื่องปกติ ขั้นตอนแรกคือการกำจัดเครื่องหมาย ในทางเทคนิค วิธีนี้ไม่ได้ยาก แต่บางครั้งก็อาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สมการ v(2x-5)=v(4x-7) โดยการยกกำลังทั้งสองข้าง คุณจะได้ 2x-5=4x-7 สมการดังกล่าวแก้ได้ไม่ยาก x=1. แต่จะไม่ให้หมายเลข 1 สมการ. ทำไม แทนที่หน่วยในสมการแทนค่า x และด้านขวาและด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล กล่าวคือ ค่าดังกล่าวใช้ไม่ได้กับสแควร์รูท ดังนั้น 1 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้น สมการที่กำหนดไม่มีราก

ดังนั้น สมการอตรรกยะจึงถูกแก้โดยใช้วิธีการยกกำลังสองส่วน และเมื่อแก้สมการได้แล้ว ก็จำเป็นต้องตัดออก รากภายนอก. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่รากที่พบลงในสมการเดิม

พิจารณาอีกอย่างหนึ่ง
2x+vx-3=0
แน่นอน สมการนี้แก้ได้โดยใช้สมการเดียวกับสมการก่อนหน้า โอนสารประกอบ สมการซึ่งไม่มีรากที่สอง ให้ไปทางด้านขวา แล้วใช้วิธียกกำลังสอง แก้สมการตรรกยะและรากผลลัพธ์ แต่อีกอันหนึ่งที่สง่างามกว่า ป้อนตัวแปรใหม่ vx=y ดังนั้นคุณจะได้สมการเช่น 2y2+y-3=0 นั่นคือสมการกำลังสองปกติ ค้นหารากของมัน y1=1 และ y2=-3/2 ต่อไปแก้สอง สมการ vx=1; vx \u003d -3/2 สมการที่สองไม่มีราก จากสมการแรกพบว่า x=1 อย่าลืมเกี่ยวกับความจำเป็นในการตรวจสอบราก

การแก้ไขข้อมูลประจำตัวค่อนข้างง่าย สิ่งนี้จำเป็นต้องทำ การแปลงที่เหมือนกันจนกว่าจะถึงเป้าหมาย ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือของง่าย การดำเนินการเลขคณิตงานจะได้รับการแก้ไข

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

การแปลงที่ง่ายที่สุดคือการคูณด้วยตัวย่อเชิงพีชคณิต (เช่น กำลังสองของผลรวม (ผลต่าง) ผลต่างของกำลังสอง ผลรวม (ผลต่าง) ลูกบาศก์ของผลรวม (ผลต่าง)) นอกจากนี้ยังมีอีกมากมาย สูตรตรีโกณมิติซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นตัวตนเดียวกัน

อันที่จริง กำลังสองของผลรวมของสองพจน์นั้นเท่ากับกำลังสองของเครื่องหมายบวกตัวแรก สินค้าคู่ตัวแรกถึงตัวที่สองและบวกกำลังสองของวินาที นั่นคือ (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2 .

ลดความซับซ้อนของทั้งสอง

หลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา

ทำซ้ำตำราเรียน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งเป็นอินทิกรัลที่แน่นอน ดังที่คุณทราบ วิธีแก้ปัญหา ปริพันธ์ที่แน่นอนมีฟังก์ชันที่อนุพันธ์จะให้อินทิกรัล ฟังก์ชั่นนี้เรียกว่าเบื้องต้น ตามหลักการนี้ อินทิกรัลพื้นฐานจะถูกสร้างขึ้น
กำหนดโดยรูปแบบของอินทิกรัลที่อินทิกรัลตารางเข้าได้ กรณีนี้. ไม่สามารถระบุได้ในทันทีเสมอไป บ่อยครั้ง รูปแบบตารางจะสังเกตเห็นได้เฉพาะหลังจากการแปลงหลายครั้งเพื่อทำให้อินทิกรัลง่ายขึ้น

วิธีการทดแทนตัวแปร

ถ้าอินทิกรัลคือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งอาร์กิวเมนต์เป็นพหุนามบางตัว จากนั้นลองใช้วิธีการแทนที่ตัวแปร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่พหุนามในอาร์กิวเมนต์ของอินทิกรัลด้วยตัวแปรใหม่บางตัว ตามอัตราส่วนระหว่างตัวแปรใหม่และเก่า ให้กำหนดขีดจำกัดใหม่ของการรวม โดยการแยกความแตกต่างของนิพจน์นี้ ให้ค้นหาส่วนต่างใหม่ใน . ดังนั้นคุณจะได้รับ ชนิดใหม่อินทิกรัลเดิม ใกล้เคียงหรือแม้กระทั่งสอดคล้องกับตารางใด ๆ

คำตอบของอินทิกรัลของชนิดที่สอง

หากอินทิกรัลเป็นอินทิกรัลของชนิดที่สอง ซึ่งเป็นรูปแบบเวกเตอร์ของอินทิกรัล คุณจะต้องใช้กฎในการย้ายจากอินทิกรัลเหล่านี้เป็นสเกลาร์ กฎข้อหนึ่งคืออัตราส่วน Ostrogradsky-Gauss กฎหมายฉบับนี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากการไหลของโรเตอร์ไปยังบางส่วนได้ ฟังก์ชันเวกเตอร์ถึงอินทิกรัลสามส่วนส่วนไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ที่กำหนด

การทดแทนขีดจำกัดของการบูรณาการ

หลังจากพบแอนติเดริเวทีฟแล้ว จำเป็นต้องแทนที่ลิมิตของการอินทิเกรต เสียบค่าก่อน ขีดจำกัดบนลงในพจน์ของแอนติเดริเวทีฟ คุณจะได้รับหมายเลข ถัดไป ลบออกจากจำนวนผลลัพธ์อีกจำนวนหนึ่ง ผลลัพธ์คือขีดจำกัดล่างของแอนติเดริเวทีฟ หากหนึ่งในขีดจำกัดการรวมเป็นอนันต์ ให้แทนที่มันเป็น ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟจำเป็นต้องไปให้ถึงขีดจำกัดและค้นหาว่านิพจน์มีแนวโน้มอย่างไร
หากอินทิกรัลเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ คุณจะต้องแสดงขีดจำกัดทางเรขาคณิตของการบูรณาการเพื่อที่จะเข้าใจวิธีการคำนวณอินทิกรัล อันที่จริง ในกรณีของอินทิกรัลสามมิติ ขีด จำกัด ของการบูรณาการสามารถเป็นระนาบทั้งหมดที่จำกัดปริมาตรที่จะรวมเข้าด้วยกัน