วิธีการวาดเส้น Lobachevsky ขนานกัน 2 เส้นผ่านจุด การใช้งานเชิงปฏิบัติของเรขาคณิต Lobachevsky

เรขาคณิตของ Lobachevsky

บทนำ

บทที่ I. ประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

บทที่ II. เรขาคณิตของ Lobachevsky

2.1 แนวคิดพื้นฐาน

2.2 ความสม่ำเสมอของเรขาคณิต Lobachevsky

2.3 แบบจำลองของเรขาคณิต Lobachevsky

2.4 ข้อบกพร่องสามเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยม

2.5 หน่วยความยาวสัมบูรณ์ในเรขาคณิต Lobachevsky

2.6 คำจำกัดความของเส้นขนาน ฟังก์ชัน P(x)

2.7 รุ่นพอยน์แคร์

ภาคปฏิบัติ

1. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

2. คำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของตัวเลขดังกล่าว

3. คุณสมบัติหลักของความเท่าเทียม

4. คุณสมบัติของฟังก์ชัน P(x)

บทสรุป. ข้อสรุป

แอปพลิเคชั่น

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

บทนำ

งานนี้แสดงให้เห็นถึงความเหมือนและความแตกต่างระหว่างรูปทรงเรขาคณิตทั้งสองบนตัวอย่างการพิสูจน์หนึ่งในสมมุติฐานของยุคลิดและความต่อเนื่องของแนวคิดเหล่านี้ในเรขาคณิตของ Lobachevsky โดยคำนึงถึงความสำเร็จของวิทยาศาสตร์ในขณะนั้น

ทฤษฎีวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ใด ๆ ถือว่าถูกต้องจนกว่าจะมีการสร้างทฤษฎีต่อไป นี่เป็นสัจพจน์ของการพัฒนาวิทยาศาสตร์ ข้อเท็จจริงนี้ได้รับการยืนยันหลายครั้ง

ฟิสิกส์ของนิวตันเติบโตขึ้นในเชิงสัมพัทธภาพ และนั่นก็กลายเป็นควอนตัม ทฤษฎี phlogiston กลายเป็นวิชาเคมี นั่นคือชะตากรรมของวิทยาศาสตร์ทั้งหมด ชะตากรรมนี้ไม่ได้หลีกเลี่ยงรูปทรงเรขาคณิต เรขาคณิตดั้งเดิมของ Euclid ได้เติบโตเป็นรูปทรงเรขาคณิต โลบาชอฟสกี งานนี้อุทิศให้กับสาขาวิทยาศาสตร์นี้

จุดประสงค์ของงานนี้: เพื่อพิจารณาความแตกต่างระหว่างเรขาคณิตของ Lobachevsky และเรขาคณิตของ Euclid

วัตถุประสงค์ของงานนี้: เพื่อเปรียบเทียบทฤษฎีบทของเรขาคณิตของยุคลิดกับทฤษฎีบทที่คล้ายกันของเรขาคณิตของโลบาชอฟสกี

โดยการแก้ปัญหา หาตำแหน่งของเรขาคณิตของ Lobachevsky

สรุป: 1. เรขาคณิตของ Lobachevsky สร้างขึ้นจากการปฏิเสธสัจพจน์ที่ห้าของ Euclid

2. ในเรขาคณิต Lobachevsky:

ไม่มีสามเหลี่ยมที่คล้ายกันที่ไม่เท่ากัน

สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันถ้ามุมเท่ากัน

ผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมไม่เท่ากับ 180 0 แต่น้อยกว่า (ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับขนาดของรูปนั้น: ยิ่งพื้นที่มีขนาดใหญ่เท่าใด ผลรวมยิ่งแตกต่างจาก 180 0 มากเท่านั้น และในทางกลับกัน พื้นที่ที่เล็กลงยิ่งผลรวมของมุมใกล้ถึง 180 0);

ผ่านจุดนอกเส้น สามารถลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้มากกว่าหนึ่งเส้น

บทที่ 1 ประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

1.1 V สมมุติฐาน Euclid พยายามพิสูจน์

Euclid เป็นผู้เขียนการสร้างเรขาคณิตเชิงตรรกะอย่างเข้มงวดครั้งแรกที่ลงมาให้เรา การแสดงออกของเขาสมบูรณ์แบบมากสำหรับเวลานั้นเป็นเวลาสองพันปีจากช่วงเวลาที่ปรากฏผลงานของเขา "องค์ประกอบ" มันเป็นแนวทางเดียวสำหรับนักเรียนเรขาคณิต

"จุดเริ่มต้น" ประกอบด้วยหนังสือ 13 เล่มเกี่ยวกับเรขาคณิตและเลขคณิตในการนำเสนอทางเรขาคณิต

หนังสือองค์ประกอบแต่ละเล่มเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของแนวคิดที่พบเป็นครั้งแรก ตามคำจำกัดความ Euclid ให้สมมุติฐานและสัจพจน์ นั่นคือ คำสั่งที่ยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์

สัจพจน์ของยุคลิด V กล่าวว่า: และเมื่อใดก็ตามที่เส้นเมื่อตัดกับเส้นอื่นอีกสองเส้น จะเกิดมุมภายในด้านเดียวกับมัน ซึ่งผลรวมของเส้นนั้นน้อยกว่าสองเส้น เส้นเหล่านี้จะตัดกับด้านที่ผลรวมนี้น้อยกว่า สองบรรทัด

ข้อเสียเปรียบที่สำคัญที่สุดของระบบสัจพจน์แบบยุคลิดรวมถึงสัจพจน์คือความไม่สมบูรณ์นั่นคือความไม่เพียงพอสำหรับการสร้างเรขาคณิตเชิงตรรกะอย่างเคร่งครัดซึ่งแต่ละประโยคหากไม่ปรากฏในรายการสัจพจน์จะต้องเป็น อนุมานเชิงตรรกะจากสิ่งสุดท้ายของพวกเขา ดังนั้น Euclid เมื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสัจพจน์เสมอไป แต่ใช้สัญชาตญาณ การสร้างภาพ และการรับรู้ "ประสาทสัมผัส" ตัวอย่างเช่น เขามองว่าตัวละครที่มองเห็นล้วนๆ มาจากแนวคิด "ระหว่าง"; เขาสันนิษฐานโดยปริยายว่าเส้นตรงที่ลากผ่านจุดภายในของวงกลมจะต้องตัดกันเป็นสองท่อนอย่างแน่นอน ในเวลาเดียวกัน เขามีพื้นฐานอยู่บนการมองเห็นเท่านั้น ไม่ใช่ตรรกะ เขาไม่ได้ให้การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ทุกที่ และไม่สามารถให้ได้ เนื่องจากเขาขาดสัจพจน์ของความต่อเนื่อง นอกจากนี้เขายังขาดสัจพจน์อื่น ๆ โดยที่ไม่มีหลักฐานเชิงตรรกะอย่างเข้มงวดของทฤษฎีบทเป็นไปไม่ได้

แต่ไม่มีใครสงสัยความจริงของสัจธรรมของยุคลิดเกี่ยวกับสัจธรรมข้อที่ห้า ในขณะเดียวกัน ในสมัยโบราณ มันเป็นสมมุติฐานของความคล้ายคลึงกันที่ดึงดูดความสนใจเป็นพิเศษของ geometers จำนวนหนึ่ง ซึ่งถือว่าผิดธรรมชาติที่จะวางไว้ท่ามกลางสมมุติฐาน นี่อาจเป็นเพราะความชัดเจนและความชัดเจนของสมมุติฐาน V ค่อนข้างน้อย: โดยปริยาย มันถือว่าการบรรลุของส่วนใดๆ ที่ห่างไกลโดยพลการของระนาบโดยพลการ โดยแสดงคุณสมบัติที่พบได้ก็ต่อเมื่อเส้นตรงถูกขยายออกไปอย่างไม่มีกำหนด

ยูคลิดเองและนักวิทยาศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์สมมติฐานของความคล้ายคลึงกัน บางคนพยายามพิสูจน์สัจพจน์ของความคล้ายคลึงกัน โดยใช้เพียงสัจพจน์อื่นและทฤษฎีบทเหล่านั้นที่สามารถอนุมานได้จากหลัง โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์ตัว V เอง ความพยายามดังกล่าวทั้งหมดไม่ประสบความสำเร็จ ข้อบกพร่องทั่วไปของพวกเขาคือข้อสันนิษฐานบางอย่างซึ่งเทียบเท่ากับสมมุติฐานที่ได้รับการพิสูจน์ถูกนำไปใช้โดยปริยายในการพิสูจน์ คนอื่นๆ แนะนำให้กำหนดเส้นขนานใหม่ หรือแทนที่สมมุติฐาน V ด้วยสิ่งที่พวกเขาคิดว่าชัดเจนกว่า

แต่ความพยายามที่มีอายุหลายศตวรรษในการพิสูจน์สัจพจน์ที่ห้าของยุคลิดในที่สุดก็นำไปสู่การเกิดขึ้นของเรขาคณิตใหม่ ซึ่งแตกต่างตรงที่สัจพจน์ที่ห้านั้นไม่เป็นไปตามนั้น เรขาคณิตนี้เรียกว่าไม่ใช่แบบยุคลิด และในรัสเซียมีชื่อโลบาชอฟสกี ซึ่งตีพิมพ์ผลงานครั้งแรกพร้อมกับการนำเสนอ

และหนึ่งในข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการค้นพบทางเรขาคณิตของ N.I. Lobachevsky (1792-1856) คือแนวทางเชิงวัตถุของเขาอย่างแม่นยำในการแก้ไขปัญหาความรู้ความเข้าใจ Lobachevsky เขาเชื่อมั่นอย่างมั่นคงในการดำรงอยู่ของวัตถุและความเป็นไปได้ของความรู้โดยไม่ขึ้นกับจิตสำนึกของมนุษย์ ในสุนทรพจน์ของเขา "ในวิชาที่สำคัญที่สุดของการศึกษา" (คาซาน, 1828) Lobachevsky ยกคำพูดของเอฟเบคอนอย่างเห็นอกเห็นใจ: "ปล่อยให้พวกเขาทำงานหนักเปล่า ๆ พยายามดึงภูมิปัญญาทั้งหมดออกจากพวกเขาเพียงลำพัง ถามธรรมชาติ เธอรักษาความจริงทั้งหมดและจะตอบทุกคำถามของคุณโดยไม่ล้มเหลวและน่าพอใจ ในเรียงความของเขาเรื่อง "On the Principles of Geometry" ซึ่งเป็นสิ่งพิมพ์ครั้งแรกของเรขาคณิตที่ค้นพบโดยเขา Lobachevsky เขียนว่า: "แนวคิดแรกที่วิทยาศาสตร์เริ่มต้นต้องมีความชัดเจนและลดลงเป็นจำนวนที่น้อยที่สุด จากนั้นมีเพียงพวกเขาเท่านั้นที่สามารถเป็นรากฐานที่มั่นคงและเพียงพอสำหรับหลักคำสอน แนวคิดดังกล่าวได้มาโดยประสาทสัมผัส โดยกำเนิด - ไม่ควรเชื่อ

ความพยายามครั้งแรกของ Lobachevsky ในการพิสูจน์สมมุติฐานที่ห้าย้อนหลังไปถึงปี 1823 เมื่อถึงปี พ.ศ. 2369 เขาได้ข้อสรุปว่าสัจพจน์ที่ห้าไม่ได้ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ที่เหลือของเรขาคณิตของยุคลิดและในวันที่ 11 (23) กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2369 ในที่ประชุมคณะของมหาวิทยาลัยคาซานเขาได้จัดทำรายงาน " การนำเสนอสั้น ๆ เกี่ยวกับหลักการทางเรขาคณิตพร้อมการพิสูจน์ทฤษฎีบทคู่ขนานอย่างเข้มงวด” ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของ “เรขาคณิตจินตภาพ” ที่เขาค้นพบในขณะที่เขาเรียกว่าระบบซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในนามเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด . รายงานของปี 1826 รวมอยู่ในสิ่งพิมพ์ครั้งแรกของ Lobachevsky เกี่ยวกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด - บทความ "บนหลักการของเรขาคณิต" ตีพิมพ์ในวารสารของ Kazan University "Kazan Vestnik" ในปี 1829-1830 การพัฒนาเพิ่มเติมและการประยุกต์ใช้เรขาคณิตที่ค้นพบโดยเขานั้นอุทิศให้กับความทรงจำ "เรขาคณิตจินตภาพ", "การประยุกต์ใช้เรขาคณิตในจินตนาการกับปริพันธ์บางส่วน" และ "จุดเริ่มต้นใหม่ของเรขาคณิตด้วยทฤษฎีคู่ขนานที่สมบูรณ์" ซึ่งตีพิมพ์ใน "บันทึกทางวิทยาศาสตร์" ในปี พ.ศ. 2378 พ.ศ. 2379 และ พ.ศ. 2378 ตามลำดับ ข้อความที่แก้ไขของ "เรขาคณิตในจินตนาการ" ปรากฏในการแปลภาษาฝรั่งเศสในกรุงเบอร์ลิน ibid. ในปี 1840 ได้รับการตีพิมพ์เป็นหนังสือแยกต่างหากในภาษาเยอรมัน "การศึกษาทางเรขาคณิตเกี่ยวกับทฤษฎีเส้นคู่ขนาน" โดย Lobachevsky ในที่สุดในปี พ.ศ. 2398 และ พ.ศ. 2399 เขาตีพิมพ์ในคาซานในภาษารัสเซียและฝรั่งเศส "Pangeometry" เขาชื่นชม "Geometric Studies" ของ Gauss อย่างมาก ซึ่งทำให้ Lobachevsky (1842) เป็นสมาชิกที่สอดคล้องกันของ Göttingen Scientific Society ซึ่งโดยพื้นฐานแล้ว Academy of Sciences ของอาณาจักร Hanoverian อย่างไรก็ตาม Gauss ไม่ได้เผยแพร่การประเมินระบบเรขาคณิตใหม่

1.2 ความขนานสมมุติฐานของ Euclid และ Lobachevsky

ประเด็นหลักที่การแบ่งเรขาคณิตออกเป็นแบบยุคลิดธรรมดา (ทั่วไป) และไม่ใช่แบบยุคลิด (เรขาคณิตจินตภาพหรือ "แพนจีโอเมตรี") เริ่มต้นขึ้นอย่างที่คุณทราบคือสมมุติฐานของเส้นคู่ขนาน

เรขาคณิตทั่วไปมีพื้นฐานอยู่บนสมมติฐานที่ว่าผ่านจุดที่ไม่ได้นอนบนเส้นที่กำหนด สามารถวาดได้ไม่เกินหนึ่งเส้นในระนาบที่กำหนดโดยจุดนี้และเส้นตรง โดยไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด ความจริงที่ว่าผ่านจุดที่ไม่ได้นอนบนเส้นที่กำหนดอย่างน้อยหนึ่งเส้นที่ไม่ตัดกับเส้นนี้หมายถึง "เรขาคณิตสัมบูรณ์" กล่าวคือ สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้เส้นคู่ขนาน

เส้น BB ผ่าน P ที่มุมฉากกับ PQ ตั้งฉากที่ลดลงโดย AA 1 ไม่ตัดกับเส้น AA 1 ; เส้นนี้ในเรขาคณิตแบบยุคลิดเรียกว่าขนานกับ AA 1

ตรงกันข้ามกับสัจพจน์ของ Euclid โลบาชอฟสกีใช้สัจพจน์ต่อไปนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างทฤษฎีของเส้นคู่ขนาน:

ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด ในระนาบที่กำหนดโดยจุดนี้และเส้นตรง สามารถลากเส้นได้มากกว่าหนึ่งเส้นที่ไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด

นี่บอกเป็นนัยโดยตรงถึงการมีอยู่ของเส้นจำนวนอนันต์ที่ผ่านจุดเดียวกันและไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด ปล่อยให้เส้นСС 1 ไม่ตัดกับ AA 1; จากนั้นเส้นทั้งหมดที่ผ่านภายในมุมแนวตั้งทั้งสอง VRS และ B 1 PC 1 จะไม่ตัดกับเส้น AA 1

บทที่ 2 เรขาคณิตของ Lobachevsky

2.1 แนวคิดพื้นฐาน

ในบันทึกความทรงจำของเขาเกี่ยวกับหลักการของเรขาคณิต (1829) Lobachevsky ทำซ้ำรายงานของเขาในปี 1826 ก่อน

เมื่อวันที่ 7 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1832 นิโคไล โลบาชอฟสกีได้นำเสนองานแรกของเขาเกี่ยวกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดต่อการพิจารณาของเพื่อนร่วมงานของเขา วันนั้นเป็นจุดเริ่มต้นของการปฏิวัติทางคณิตศาสตร์ และงานของ Lobachevsky เป็นก้าวแรกสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ วันนี้ "RG" ได้รวบรวมความเข้าใจผิดที่พบบ่อยที่สุด 5 ประการเกี่ยวกับทฤษฎีของ Lobachevsky ซึ่งมีอยู่ในหมู่คนที่ห่างไกลจากวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์

ตำนานที่หนึ่ง เรขาคณิตของ Lobachevsky ไม่มีอะไรเหมือนกับ Euclidean

อันที่จริง เรขาคณิตของ Lobachevsky ไม่ได้แตกต่างไปจากเรขาคณิตแบบยุคลิดที่เราคุ้นเคยมากนัก ความจริงก็คือจากสัจธรรมทั้งห้าของยุคลิด โลบาชอฟสกีออกจากสี่ข้อแรกโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง นั่นคือเขาเห็นด้วยกับ Euclid ว่าสามารถลากเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ได้ว่าสามารถขยายไปถึงอนันต์ได้ตลอดเวลาว่าวงกลมที่มีรัศมีใด ๆ สามารถวาดจากจุดศูนย์กลางใดก็ได้และมุมฉากทั้งหมดมีค่าเท่ากับแต่ละจุด อื่นๆ. โลบาชอฟสกีไม่เห็นด้วยกับสัจธรรมข้อที่ห้า ซึ่งเป็นสิ่งที่น่าสงสัยที่สุดในทัศนะของเขาเรื่องยุคลิด สูตรของเขาฟังดูยุ่งยากอย่างยิ่ง แต่ถ้าเราแปลเป็นภาษาที่คนทั่วไปเข้าใจได้ ปรากฎว่าตาม Euclid เส้นไม่ขนานสองเส้นจะตัดกันอย่างแน่นอน Lobachevsky พยายามพิสูจน์ความเท็จของข้อความนี้

ตำนานที่สอง ในทฤษฎีของ Lobachevsky เส้นคู่ขนานตัดกัน

นี่ไม่เป็นความจริง. อันที่จริงสัจพจน์ที่ห้าของ Lobachevsky ฟังเช่นนี้: "บนเครื่องบินผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนดมีเส้นมากกว่าหนึ่งเส้นที่ไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด" กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับเส้นตรงเส้นเดียว เป็นไปได้ที่จะลากเส้นตรงอย่างน้อยสองเส้นผ่านจุดหนึ่งที่จะไม่ตัดกัน นั่นคือในสมมติฐานของ Lobachevsky ไม่มีการพูดถึงเส้นขนานเลย! เราพูดถึงการมีอยู่ของเส้นตรงที่ไม่ตัดกันหลายเส้นบนระนาบเดียวกันเท่านั้น ดังนั้นข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับจุดตัดของเส้นคู่ขนานจึงเกิดขึ้นเนื่องจากความไม่รู้ซ้ำซากของสาระสำคัญของทฤษฎีของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ยิ่งใหญ่

ตำนานที่สาม เรขาคณิต Lobachevsky เป็นเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเท่านั้น

เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเป็นทั้งชั้นของทฤษฎีในวิชาคณิตศาสตร์ โดยพื้นฐานคือสัจธรรมข้อที่ห้าที่แตกต่างจากแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่น Lobachevsky ซึ่งแตกต่างจาก Euclid อธิบายช่องว่างไฮเปอร์โบลิก มีอีกทฤษฎีหนึ่งที่อธิบายพื้นที่ทรงกลม - นี่คือเรขาคณิตของรีมันน์ นี่คือจุดที่เส้นคู่ขนานตัดกัน ตัวอย่างคลาสสิกของสิ่งนี้จากหลักสูตรของโรงเรียนคือเส้นเมอริเดียนบนโลก ถ้าคุณดูลวดลายของโลก ปรากฎว่าเส้นเมอริเดียนทั้งหมดขนานกัน ในขณะเดียวกัน การวางรูปแบบบนทรงกลมก็คุ้มค่า เนื่องจากเราจะเห็นว่าเส้นเมอริเดียนขนานกันก่อนหน้านี้ทั้งหมดมาบรรจบกันที่จุดสองจุด - ที่เสา ทฤษฎีของ Euclid, Lobachevsky และ Riemann รวมกันเรียกว่า "สามรูปทรงเรขาคณิตที่ยิ่งใหญ่"

ตำนานที่สี่ เรขาคณิตของ Lobachevsky ใช้ไม่ได้ในชีวิตจริง

ในทางตรงกันข้าม วิทยาศาสตร์สมัยใหม่เข้าใจว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นเพียงกรณีพิเศษของเรขาคณิตของโลบาชอฟสกี และโลกแห่งความเป็นจริงก็อธิบายได้แม่นยำกว่าด้วยสูตรของนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย แรงผลักดันที่สำคัญที่สุดสำหรับการพัฒนาต่อไปของเรขาคณิตของ Lobachevsky คือทฤษฎีสัมพัทธภาพของ Albert Einstein ซึ่งแสดงให้เห็นว่าพื้นที่ในจักรวาลของเราไม่ได้เป็นเส้นตรง แต่เป็นทรงกลมไฮเปอร์โบลิก ในขณะเดียวกัน Lobachevsky เองแม้จะทำงานมาทั้งชีวิตในการพัฒนาทฤษฎีของเขา แต่ก็เรียกมันว่า "เรขาคณิตจินตภาพ"

ตำนานที่ห้า Lobachevsky เป็นคนแรกที่สร้างเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

นี้ไม่เป็นความจริงทั้งหมด Janos Bolyai นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีและ Carl Friedrich Gauss นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันผู้โด่งดังได้ข้อสรุปที่คล้ายคลึงกันกับเขาและเป็นอิสระจากเขาโดยเป็นอิสระจากเขา อย่างไรก็ตาม ผลงานของ Janos นั้นไม่ได้รับความสนใจจากสาธารณชนทั่วไป และ Karl Gauss ไม่ต้องการให้ตีพิมพ์เลย ดังนั้นจึงเป็นนักวิทยาศาสตร์ของเราที่ถือว่าเป็นผู้บุกเบิกทฤษฎีนี้ อย่างไรก็ตาม มีมุมมองที่ค่อนข้างขัดแย้งว่ายุคลิดเองเป็นคนแรกที่คิดค้นเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ความจริงก็คือเขาวิจารณ์ตัวเองว่าสมมุติฐานที่ห้าของเขาไม่ชัดเจน ดังนั้นเขาจึงพิสูจน์ทฤษฎีบทส่วนใหญ่ของเขาโดยไม่ต้องอาศัยมัน

ทฤษฎีบทเรขาคณิตของ Lobachevsky

1. แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต Lobachevsky

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดตามสัจพจน์ที่ห้า บนระนาบผ่านจุด อาร์นอนอยู่นอกเส้น เอ "เอมีเส้นตรงเส้นเดียว BB,ไม่ตัดกัน เอ "เอตรง BB"เรียกว่าขนาน ถึง A"A.ยิ่งไปกว่านั้น ก็เพียงพอแล้วที่จะต้องมีเส้นดังกล่าวมากสุดหนึ่งเส้น เนื่องจากการมีอยู่ของเส้นที่ไม่ตัดกันสามารถพิสูจน์ได้ด้วยการลากเส้นต่อเนื่องกัน ป.ป.ชและ ป.ป.ช.ในเรขาคณิต Lobachevsky สัจพจน์ของการขนานต้องการให้ผ่านจุด Rผ่านเส้นตรงมากกว่าหนึ่งเส้นที่ไม่ตัดกัน เอ "เอ

เส้นไม่ตัดกันเติมส่วนของดินสอด้วยจุดยอด อาร์นอนอยู่ในมุมแนวตั้งคู่หนึ่ง TPUและ ยู"ปตท.", ตั้งอยู่สมมาตรเกี่ยวกับแนวตั้งฉาก พี.คิว.เส้นที่ประกอบเป็นด้านข้างของมุมแนวตั้งแยกเส้นที่ตัดกันออกจากเส้นที่ไม่ตัดกันและไม่ตัดกัน เส้นเขตแดนเหล่านี้เรียกว่า ขนานกันที่จุด P กับเส้นตรง เอ "อาตามลำดับในสองทิศทาง: ที ทูขนาน เอ "อาในทิศทาง เอ"เอเอ ยู"ขนาน เอ "อาในทิศทาง เอ เอ"เส้นไม่ตัดอื่น ๆ เรียกว่า เส้นที่แตกต่างกัน กับ เอ "อา.

มุม , 0< Rแบบฟอร์มตั้งฉาก พีคิว คิวพีที=คิวพียู"=,เรียกว่า มุมขนาน เซ็กเมนต์ PQ=aและเขียนแทนด้วย . ที่ a=0มุม =/2; ด้วยการเพิ่มขึ้น เอมุมลดลงเพื่อให้แต่ละค่า 0<ก.การพึ่งพานี้เรียกว่า ฟังก์ชัน Lobachevsky :

P(a)=2arctg (),

ที่ไหน ถึง-- ค่าคงที่บางส่วนที่กำหนดเซ็กเมนต์คงที่ในมูลค่า เรียกว่ารัศมีความโค้งของอวกาศโลบาชอฟสกี เช่นเดียวกับเรขาคณิตทรงกลม มีชุดของช่องว่าง Lobachevsky ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งมีขนาดต่างกัน ถึง.

เส้นตรงสองเส้นที่ต่างกันในระนาบสร้างเป็นคู่หนึ่งในสามประเภท

เส้นตัดกัน . ระยะห่างจากจุดของเส้นหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดเมื่อจุดเคลื่อนออกจากจุดตัดของเส้น หากเส้นไม่ตั้งฉาก แต่ละเส้นจะถูกฉายในมุมฉากบนอีกเส้นหนึ่งเป็นส่วนที่เปิดซึ่งมีขนาดจำกัด

เส้นขนาน . ในระนาบ ผ่านจุดที่กำหนด จะมีเส้นตรงเส้นเดียวขนานกับเส้นตรงที่กำหนดในทิศทางที่กำหนดบนหลัง ขนานกันที่จุดหนึ่ง Rรักษาคุณสมบัติของการขนานกับเส้นเดียวกันในทิศทางเดียวกันในแต่ละจุด ขนานกัน (ถ้า เอ||ขไปในทิศทางที่แน่นอนแล้ว ข||เอในทิศทางที่สอดคล้องกัน) และทรานสซิชัน (if เอ||ขและด้วย || ขไปในทิศทางเดียวแล้ว a||sในทิศทางที่สอดคล้องกัน) ในทิศทางของการขนาน เส้นขนานเข้าหาอย่างไม่มีกำหนด ในทิศทางตรงกันข้ามพวกมันเคลื่อนออกไปอย่างไม่มีกำหนด (ในแง่ของระยะทางจากจุดเคลื่อนที่ของเส้นตรงหนึ่งไปยังอีกเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง) การฉายภาพมุมฉากของเส้นหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งเป็นครึ่งเส้นเปิด

เส้นแบ่ง . พวกมันมีฉากตั้งฉากร่วมกันหนึ่งอันซึ่งส่วนนั้นให้ระยะทางต่ำสุด ทั้งสองด้านของเส้นตั้งฉาก เส้นจะแตกต่างกันอย่างไม่มีกำหนด แต่ละบรรทัดถูกฉายไปยังอีกบรรทัดหนึ่งในส่วนเปิดที่มีขนาดจำกัด

เส้นสามประเภทสอดคล้องกันบนเครื่องบินถึงเส้นดินสอสามประเภท ซึ่งแต่ละเส้นครอบคลุมทั้งระนาบ: ลำแสงชนิดที่ 1 คือเซตของเส้นทั้งหมดที่ผ่านจุดเดียว ( ศูนย์กลางคาน); ลำแสงชนิดที่ 2 คือเซตของเส้นทั้งหมดตั้งฉากกับหนึ่งบรรทัด ( ฐานคาน); ลำแสงชนิดที่ 3 คือเซตของเส้นทั้งหมดที่ขนานกับเส้นเดียวในทิศทางที่กำหนด รวมทั้งเส้นนี้ด้วย

แนวโคจรมุมฉากของเส้นตรงของคานเหล่านี้ก่อให้เกิดความคล้ายคลึงกันของวงกลมของระนาบแบบยุคลิด: วงกลมในความหมายที่ถูกต้อง; เท่ากัน , หรือ ไลน์ เท่ากัน ระยะทาง (หากไม่พิจารณาฐาน) ซึ่งเว้าเข้าหาฐาน เส้นจำกัด , หรือ horocycle, ถือได้ว่าเป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางอันไกลโพ้น เส้นจำกัดมีความสอดคล้องกัน พวกมันไม่ปิดและเว้าไปทางขนาน เส้นจำกัดสองเส้นที่สร้างโดยกลุ่มหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง (ส่วนที่เท่ากันจะถูกตัดออกเป็นเส้นตรงของกลุ่ม) อัตราส่วนของความยาวของส่วนโค้งศูนย์กลางที่ล้อมรอบระหว่างเส้นตรงสองเส้นของลำแสงลดลงไปสู่ความขนานกันตามฟังก์ชันเลขชี้กำลังของระยะทาง Xระหว่างส่วนโค้ง:

ส" / s=e.

แอนะล็อกแต่ละอันของวงกลมสามารถเลื่อนเข้าหาตัวเองได้ ซึ่งทำให้การเคลื่อนที่แบบพารามิเตอร์เดียวมีสามประเภท: การหมุนรอบศูนย์กลางของตัวเอง หมุนรอบจุดศูนย์กลางในอุดมคติ (หนึ่งวิถีคือฐาน ส่วนที่เหลือเท่ากัน); หมุนรอบศูนย์กลางที่ห่างไกลอย่างไม่สิ้นสุด (วิถีทั้งหมดเป็นเส้นจำกัด)

การหมุนของแอนะล็อกแบบวงกลมรอบเส้นตรงของดินสอที่สร้างทำให้เกิดแอนะล็อกทรงกลม: ทรงกลมที่เหมาะสม พื้นผิวของระยะทางเท่ากัน และ horosphere, หรือ ร่อแร่ พื้นผิว .

บนทรงกลม เรขาคณิตของวงกลมใหญ่เป็นเรขาคณิตทรงกลมตามปกติ บนพื้นผิวของระยะทางที่เท่ากัน - เรขาคณิตที่เท่ากันซึ่งก็คือความลาดเอียงของ Lobachevsky แต่มีค่ามากกว่า ถึง;บนพื้นผิวลิมิต เรขาคณิตแบบยุคลิดของเส้นจำกัด

การเชื่อมต่อระหว่างความยาวของส่วนโค้งและคอร์ดของเส้นลิมิตกับความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติแบบยุคลิดบนพื้นผิวลิมิตทำให้เราสามารถหาความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติบนระนาบ นั่นคือ สูตรตรีโกณมิติสำหรับสามเหลี่ยมตรง

2. ทฤษฎีบทเรขาคณิตของ Lobachevsky

ทฤษฎีบท 1. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ มีค่าน้อยกว่า 2d

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ก่อน (รูปที่ 2) ข้างเขา ก, ข, คแสดงให้เห็นตามลำดับโดยเป็นส่วนหนึ่งของยุคลิดตั้งฉากกับเส้น และ, ส่วนโค้งของวงกลมยุคลิดที่มีจุดศูนย์กลาง เอ็มและส่วนโค้งของวงกลมยุคลิดที่มีจุดศูนย์กลาง นู๋. มุม จาก--ตรง. มุม แต่เท่ากับมุมระหว่างแทนเจนต์กับวงกลม ขและ กับณ จุดนั้น แต่หรือซึ่งเท่ากันคือมุมระหว่างรัศมี NAและ MAวงกลมเหล่านี้ ในที่สุด, ข = บีเอ็นเอ็ม

มาสร้างบนเซ็กเมนต์กันเถอะ BNตามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมยุคลิด คิว;เธอมีเส้นรอบวง กับจุดร่วมหนึ่งจุด ที่เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางของมันคือรัศมีของวงกลม กับ. ดังนั้น จุด แต่อยู่นอกวงกลมที่ล้อมรอบด้วยวงกลม คิวเพราะเหตุนี้,

A = MAN< MBN.

ดังนั้นเนื่องจากความเท่าเทียมกัน MBN+B = dเรามี:

A + B< d; (1)

ดังนั้น A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.

โปรดทราบว่าด้วยการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกที่เหมาะสม สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ สามารถจัดวางได้โดยให้ขาข้างหนึ่งอยู่บน Euclidean ตั้งฉากกับเส้น และ;ดังนั้นวิธีที่เราใช้เพื่อให้ได้มาซึ่งความไม่เท่าเทียมกัน (1) ใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ

หากให้สามเหลี่ยมเฉียง เราก็หารมันด้วยความสูงอันใดอันหนึ่งเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากเหล่านี้เท่ากับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเฉียงที่ให้มา ดังนั้น โดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกัน (1) เราสรุปได้ว่าทฤษฎีบทนั้นใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมใดๆ

ทฤษฎีบท 2 . ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีค่าน้อยกว่า 4d

เพื่อพิสูจน์ การแบ่งรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปก็เพียงพอแล้ว

ทฤษฎีบท 3 . เส้นที่แตกต่างกันสองเส้นมีเส้นตั้งฉากร่วมกันเพียงเส้นเดียว

ให้แสดงเส้นตรงที่ตัดกันเส้นหนึ่งบนแผนที่เป็นแนวตั้งฉากแบบยุคลิด Rเป็นเส้นตรง และณ จุดนั้น เอ็มอีกอันอยู่ในรูปครึ่งวงกลมแบบยุคลิด qเน้นที่ และ, และ Rและ qไม่มีจุดร่วม (รูปที่ 3) การจัดเรียงเส้นไฮเปอร์โบลิกสองเส้นที่แตกต่างกันบนแผนที่สามารถทำได้ด้วยการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกที่เหมาะสม

ใช้จ่ายจาก เอ็มยูคลิเดียนแทนเจนต์ MNถึง qและบรรยายจากศูนย์ เอ็มรัศมี MNครึ่งวงกลมแบบยุคลิด ม. เป็นที่ชัดเจนว่า ม--เส้นไฮเปอร์โบลิกตัดกันและ Rและ qในมุมฉาก เพราะเหตุนี้, มแสดงให้เห็นบนแผนที่ในแนวตั้งฉากร่วมที่จำเป็นของเส้นตรงที่แยกจากกันที่กำหนด

เส้นที่แตกต่างกันสองเส้นไม่สามารถมีเส้นตั้งฉากร่วมสองเส้นได้ เนื่องจากในกรณีนี้จะมีรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากสี่มุม ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบท 2

. ทฤษฎีบทที่ 4 เส้นโครงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของด้านหนึ่งของมุมแหลมไปอีกด้านหนึ่งคือส่วน(และไม่ใช่ครึ่งเส้น เหมือนในเรขาคณิตของยุคลิด)

ความถูกต้องของทฤษฎีบทนั้นชัดเจนจากรูปที่ 4 ที่ส่วน ABด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABมุมแหลม คุณข้างเขา เช่น.

ในรูปเดียวกัน ส่วนโค้ง DEวงกลมยุคลิดที่มีจุดศูนย์กลาง เอ็มตั้งฉากกับเส้นไฮเพอร์โบลิก AC. ตั้งฉากนี้ไม่ตัดกับเฉียง เอบี.ดังนั้น สมมติฐานที่ว่าเส้นตั้งฉากและเส้นเฉียงกับเส้นเดียวกันตัดกันขัดแย้งกับสัจพจน์ของการขนานของ Lobachevsky มันเทียบเท่ากับสัจพจน์ของการขนานกันของยุคลิด

ทฤษฎีบทที่ 5 หากมุมสามมุมของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับสามมุมของสามเหลี่ยม A, B, C ตามลำดับ สามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากัน

สมมติตรงกันข้ามและพักไว้ตามลำดับบนรังสี ABและ ACเซ็กเมนต์ AB \u003d A "B", AC \u003d A "C"เห็นได้ชัดว่าสามเหลี่ยม ABCและ เอ"บี"ซีเท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา Dot บีไม่ตรงกับ ที่, ดอท คไม่ตรงกับ จากเนื่องจากในกรณีเหล่านี้ ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเกิดขึ้น ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐาน

พิจารณาความเป็นไปได้ดังต่อไปนี้

ก) จุด B อยู่ระหว่าง แต่และ ที่, ดอท จาก-- ระหว่าง แต่และ จาก(รูปที่ 5); ในรูปนี้และรูปถัดไป เส้นไฮเปอร์โบลิกจะถูกวาดตามอัตภาพว่าเป็นเส้นแบบยุคลิด) เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส SSNEเท่ากับ 4 วันซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากทฤษฎีบท 2

6) จุด ที่อยู่ระหว่าง แต่และ ที่, ดอท จาก-- ระหว่าง แต่และ จาก(รูปที่ 6) แสดงโดย ดีจุดตัดของเซกเมนต์ ดวงอาทิตย์และ BCเพราะ ค=ซี"และ ค" \u003d คแล้ว C=จาก , ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากมุม C อยู่ภายนอก CCD ของสามเหลี่ยม

กรณีที่เป็นไปได้อื่น ๆ ได้รับการปฏิบัติในทำนองเดียวกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้วเพราะข้อสันนิษฐานที่นำไปสู่ความขัดแย้ง

จากทฤษฎีบท 5 ตามว่าในเรขาคณิตของ Lobachevsky ไม่มีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกับสามเหลี่ยมที่ให้มา แต่ไม่เท่ากับมัน

เราเคยคิดว่าเรขาคณิตของโลกที่สังเกตได้คือแบบยุคลิด กล่าวคือ มันเป็นไปตามกฎของเรขาคณิตที่เรียนที่โรงเรียน ในความเป็นจริงนี้ไม่เป็นความจริง ในบทความนี้ เราจะพิจารณาปรากฏการณ์ในความเป็นจริงของเรขาคณิตของ Lobachevsky ซึ่งในแวบแรกนั้นเป็นนามธรรมล้วนๆ

เรขาคณิตของโลบาชอฟสกีแตกต่างจากแบบยุคลิดทั่วไปตรงจุดที่ไม่ได้นอนบนเส้นที่กำหนด มีเส้นอย่างน้อยสองเส้นที่วางกับเส้นที่กำหนดในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน เรียกอีกอย่างว่าเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก

1. เรขาคณิตแบบยุคลิด - มีเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสีขาวซึ่งไม่ตัดกับเส้นสีเหลือง
2. เรขาคณิตของรีมันน์ - เส้นสองเส้นตัดกัน (ไม่มีเส้นขนาน)
3. เรขาคณิต Lobachevsky - มีเส้นตรงมากมายที่ไม่ตัดกับเส้นสีเหลืองและผ่านจุดสีขาว

เพื่อให้ผู้อ่านเห็นภาพนี้ ให้เราอธิบายสั้นๆ เกี่ยวกับโมเดลของไคลน์ ในแบบจำลองนี้ เครื่องบิน Lobachevsky ถูกรับรู้ว่าเป็นภายในของวงกลมรัศมีหนึ่ง โดยที่จุดของระนาบคือจุดของวงกลมนี้ และเส้นคือคอร์ด คอร์ดเป็นเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลม ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดนั้นยากที่จะกำหนด แต่เราไม่ต้องการมัน จากรูปด้านบน จะเห็นได้ชัดว่าผ่านจุด P มีเส้นหลายเส้นที่ไม่ตัดกับเส้น a ในเรขาคณิตแบบยุคลิดมาตรฐาน มีเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุด P และไม่ตัดกับเส้น a เส้นนี้ขนานกัน

ตอนนี้เรามาดูสิ่งสำคัญ - การใช้งานจริงของเรขาคณิตของ Lobachevsky

ระบบนำทางด้วยดาวเทียม (GPS และ GLONASS) ประกอบด้วยสองส่วน: กลุ่มดาวบริวาร 24-29 ดวงที่โคจรรอบโลกอย่างเท่าเทียมกัน และส่วนควบคุมบนโลก ซึ่งรับประกันการซิงโครไนซ์เวลาบนดาวเทียมและการใช้ระบบพิกัดเดียว ดาวเทียมมีนาฬิกาอะตอมที่แม่นยำมาก และเครื่องรับ (เครื่องนำทาง GPS) มีนาฬิกาควอทซ์ธรรมดา เครื่องรับยังมีข้อมูลเกี่ยวกับพิกัดของดาวเทียมทุกดวงในเวลาใดก็ตาม ดาวเทียมในช่วงเวลาสั้น ๆ จะส่งสัญญาณที่มีข้อมูลในเวลาเริ่มต้นของการส่ง หลังจากรับสัญญาณจากดาวเทียมอย่างน้อยสี่ดวงแล้ว เครื่องรับสามารถปรับนาฬิกาและคำนวณระยะทางไปยังดาวเทียมเหล่านี้ได้โดยใช้สูตร ((เวลาที่ดาวเทียมส่งสัญญาณ) - (เวลาที่รับสัญญาณจากดาวเทียม)) x (ความเร็วแสง) = (ระยะห่างจากดาวเทียม) ระยะทางที่คำนวณได้ยังถูกแก้ไขตามสูตรที่สร้างไว้ในเครื่องรับ นอกจากนี้ เครื่องรับจะค้นหาพิกัดของจุดตัดของทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางในดาวเทียมและรัศมีเท่ากับระยะทางที่คำนวณได้ เห็นได้ชัดว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นพิกัดของผู้รับ

ผู้อ่านคงทราบดีว่าเนื่องจากผลกระทบในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ เนื่องจากความเร็วของดาวเทียมสูง เวลาในวงโคจรจึงแตกต่างจากเวลาบนโลก แต่ก็ยังมีผลที่คล้ายกันในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ซึ่งเชื่อมโยงอย่างแม่นยำกับเรขาคณิตของกาล-อวกาศที่ไม่ใช่แบบยุคลิด อีกครั้ง เราจะไม่พูดถึงรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ เพราะมันค่อนข้างจะเป็นนามธรรม แต่ถ้าเราหยุดคำนึงถึงผลกระทบเหล่านี้ภายในหนึ่งวันของการทำงานข้อผิดพลาด 10 กม. จะสะสมในการอ่านระบบนำทาง

สูตรเรขาคณิตของ Lobachevsky ยังใช้ในฟิสิกส์พลังงานสูง กล่าวคือ ในการคำนวณเครื่องเร่งอนุภาคที่มีประจุ ช่องว่างไฮเปอร์โบลิก (นั่นคือช่องว่างที่กฎของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกทำงาน) ก็พบได้ในธรรมชาติเช่นกัน ให้ตัวอย่างเพิ่มเติม:

เรขาคณิตของ Lobachevsky สามารถเห็นได้ในโครงสร้างของปะการัง ในการจัดโครงสร้างเซลล์ในพืช ในสถาปัตยกรรม ดอกไม้บางชนิด และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ถ้าคุณจำได้ในฉบับที่แล้ว เราได้พูดถึงรูปหกเหลี่ยมในธรรมชาติ และในธรรมชาติที่เกินความจริง รูปหกเหลี่ยมก็เป็นทางเลือกหนึ่ง ซึ่งก็แพร่หลายเช่นกัน

โหวต ขอบคุณ!

คุณอาจสนใจ:

• 
  

ระดับ 1 (สัจพจน์ของการขนานของ Lobachevsky) ในระนาบใด ๆ มีเส้น a 0 และจุด A 0 ที่ไม่อยู่ในเส้นนี้ อย่างน้อยสองเส้นผ่านจุดนี้ที่ไม่ตัดกับ 0 .

ชุดของจุด เส้น และระนาบที่ตอบสนองสัจพจน์ของการเป็นสมาชิก ระเบียบ ความสอดคล้อง ความต่อเนื่อง และสัจพจน์ของการขนานกันของ Lobachevskii จะเรียกว่าปริภูมิสามมิติของ Lobachevskii และเขียนแทนด้วย L 3 เราพิจารณาคุณสมบัติทางเรขาคณิตส่วนใหญ่ของตัวเลขบนระนาบของช่องว่าง L 3 นั่นคือ บนเครื่องบิน Lobachevsky ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าการปฏิเสธตรรกะอย่างเป็นทางการของสัจพจน์ V 1 สัจพจน์ของการขนานในเรขาคณิตแบบยุคลิดนั้นมีสูตรเดียวกันกับที่เราให้ไว้กับสัจพจน์ LV 1 ทุกประการ มีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดและหนึ่งเส้นบนระนาบซึ่งไม่มีการยืนยันสัจพจน์ของการขนานกันของเรขาคณิตแบบยุคลิด ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทหนึ่งซึ่งตามมาว่าการยืนยันสัจพจน์ความเท่าเทียมของ Lobachevsky นั้นใช้ได้กับทุกจุดและระนาบ Lobachevsky แบบตรงใดๆ

ทฤษฎีบท 13.1.ให้ a เป็นเส้นที่กำหนด, A เป็นจุดที่ไม่อยู่บนเส้นนี้ จากนั้นในระนาบที่กำหนดโดยจุด A และเส้น a มีเส้นอย่างน้อยสองเส้นที่ผ่าน A และไม่ตัดกับเส้น a

การพิสูจน์.เราดำเนินการพิสูจน์โดยวิธี "โดยขัดแย้ง" ในขณะที่ใช้ทฤษฎีบท 11.1 (ดู § 11) ให้มีจุด A และเส้น a ในพื้นที่ Lobachevsky ซึ่งในระนาบที่กำหนดโดยจุดนี้และเส้น a เส้นเดียวที่ไม่ตัดกับ a ผ่านจุด A ให้เราลดจุด A ตั้งฉากกับ AB บนเส้น a และที่จุด A เราคืนค่าตั้งฉาก h ไปที่เส้น AB (รูปที่ 50) จากทฤษฎีบท 4.2 (ดู § 4) เส้น h และ a ไม่ตัดกัน เส้น h โดยอาศัยสมมติฐาน เป็นเส้นเดียวที่ผ่าน A และไม่ตัดกับ a ให้เราเลือกจุด C ตามอำเภอใจบนเส้น a ให้เราแยกรังสี AC ในระนาบครึ่งระนาบกับขอบ AB ซึ่งไม่มีจุด B มุม CAM เท่ากับ ACB จากทฤษฎีบท 4.2 เดียวกัน เส้น AM ไม่ตัดกับ a มันเป็นไปตามสมมติฐานของเราว่ามันตรงกับ h. ดังนั้นจุด M จึงเป็นของเส้น h สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คำนวณผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม ABC: จากทฤษฎีบท 11.1 พบว่าเงื่อนไขของสัจพจน์ของการขนานกันของเรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นที่พอใจ ดังนั้นในระนาบที่พิจารณาจึงไม่มีจุด A 0 และเส้นตรง a 0 ที่มีเส้นตรงอย่างน้อยสองเส้นผ่านจุดนี้ที่ไม่ตัดกับ 0 . เรามาขัดแย้งกับเงื่อนไขของสัจพจน์ขนานของ Lobachevsky ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ควรสังเกตว่าในสิ่งต่อไปนี้เราจะใช้การยืนยันของทฤษฎีบท 13.1 อย่างแม่นยำโดยแทนที่ด้วยการยืนยันสัจพจน์ความเท่าเทียมของ Lobachevsky อย่างไรก็ตาม ในหนังสือเรียนหลายเล่ม ข้อความนี้เป็นที่ยอมรับว่าเป็นสัจพจน์ของการขนานกันของเรขาคณิตของโลบาชอฟสกี

มันง่ายที่จะได้รับผลสืบเนื่องต่อไปนี้จากทฤษฎีบท 13.1

ข้อพิสูจน์ 13.2. ในระนาบ Lobachevsky ผ่านจุดที่ไม่ได้นอนอยู่บนเส้นที่กำหนด มีเส้นมากมายนับไม่ถ้วนที่ไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด

อันที่จริง ให้ a เป็นเส้นที่กำหนด และ A เป็นจุดที่ไม่ใช่ของมัน h 1 และ h 2 เป็นเส้นตรงที่ลากผ่าน A และไม่ตัดกับ a (รูปที่ 51) เห็นได้ชัดว่า เส้นทั้งหมดที่ผ่านจุด A และอยู่ในมุมใดมุมหนึ่งที่เกิดจาก h 1 และ h 2 (ดูรูปที่ 51) จะไม่ตัดกับเส้น a

ในบทที่ 2 เราได้พิสูจน์การยืนยันจำนวนหนึ่งซึ่งเทียบเท่ากับสัจพจน์ของการขนานกันในเรขาคณิตแบบยุคลิด การปฏิเสธเชิงตรรกะของพวกเขาแสดงถึงคุณสมบัติของตัวเลขบนระนาบ Lobachevsky

ประการแรก บนระนาบ Lobachevsky การปฏิเสธเชิงตรรกะของสัจพจน์ที่ห้าของ Euclid นั้นถูกต้อง ในส่วนที่ 9 เรากำหนดสมมติฐานเองและพิสูจน์ทฤษฎีบทที่เทียบเท่ากับสัจพจน์ของการขนานในเรขาคณิตแบบยุคลิด (ดู ทฤษฎีบท 9.1) การปฏิเสธเชิงตรรกะของมันคือ:

คำชี้แจง 13.3มีเส้นสองเส้นที่ไม่ตัดกันบนระนาบ Lobachevsky ซึ่งเมื่อตัดกับเส้นที่สาม จะเกิดมุมภายในด้านเดียวซึ่งมีผลรวมน้อยกว่าสองมุมฉาก

ใน § 12 เรากำหนดข้อเสนอของ Posidonius: บนเครื่องบินมีจุด collinear อย่างน้อยสามจุดที่อยู่ในระนาบเดียวจากเส้นที่กำหนดและห่างจากจุดนั้นเท่ากันเรายังพิสูจน์ทฤษฎีบท 12.6: ข้อเสนอของ Posidonius เทียบเท่ากับการยืนยันสัจพจน์ของการขนานในเรขาคณิตแบบยุคลิดดังนั้นการปฏิเสธคำยืนยันนี้จึงมีผลกับระนาบ Lobachevsky

การยืนยัน 13.4. ชุดของจุดที่ห่างจากเส้นบนระนาบ Lobachevsky และอยู่ในระนาบครึ่งเดียวกันที่สัมพันธ์กับจุดนั้นจะไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

บนระนาบ Lobachevsky ชุดของจุดที่ห่างจากเส้นตรงเท่ากันและเป็นของครึ่งระนาบเดียวกันที่สัมพันธ์กับเส้นตรงนี้สร้างเส้นโค้งซึ่งเรียกว่าเส้นเท่ากัน เราจะพิจารณาคุณสมบัติของมันในภายหลัง

พิจารณาตอนนี้ข้อเสนอของ Legendre: ทฤษฎีบท 11.6 ซึ่งเราได้พิสูจน์แล้ว (ดู § 11) ยืนยันว่า มันตามมาด้วยว่าบนระนาบ Lobachevsky การปฏิเสธเชิงตรรกะของข้อเสนอนี้เป็นจริง

การยืนยัน 13.5. ที่ด้านข้างของมุมแหลมใดๆ มีจุดที่แนวตั้งฉากกับมุมซึ่งสร้างขึ้น ณ จุดนี้ ไม่ตัดกับอีกด้านหนึ่งของมุม

ให้เราสังเกตคุณสมบัติของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมในระนาบ Lobachevsky ซึ่งติดตามโดยตรงจากผลลัพธ์ของส่วนที่ 9 และ 11 อย่างแรกเลย ทฤษฎีบท 11.1 ระบุว่า สมมติฐานของการมีอยู่ของรูปสามเหลี่ยมซึ่งผลรวมของมุมเกิดขึ้นพร้อมกับผลรวมของมุมฉากสองมุมนั้นเทียบเท่ากับสัจพจน์ของการขนานกันของระนาบแบบยุคลิดจากนี้และจากทฤษฎีบทแรกของ Legendre (ดู Theorem 10.1, § 10) การยืนยันดังต่อไปนี้

การยืนยัน 13.6. บนระนาบ Lobachevsky ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะน้อยกว่า 2d

จากนี้ไปโดยตรงว่า ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมนูนใดๆ มีค่าน้อยกว่า 4d และผลรวมของมุมของ n-gon นูนใดๆ มีค่าน้อยกว่า 2(n-1)d

เนื่องจากบนระนาบแบบยุคลิด มุมที่อยู่ติดกับฐานด้านบนของรูปสี่เหลี่ยม Saccheri นั้นเท่ากับมุมฉาก ซึ่งตามทฤษฎีบท 12.3 (ดู § 12) นั้นเทียบเท่ากับสัจพจน์ความขนานของเรขาคณิตแบบยุคลิด เราจึงสามารถวาดสิ่งต่อไปนี้ บทสรุป.

คำชี้แจง 13.7 มุมที่อยู่ติดกับฐานด้านบนของรูปสี่เหลี่ยม Saccheri เป็นแบบเฉียบพลัน

เรายังคงต้องพิจารณาคุณสมบัติอีกสองประการของรูปสามเหลี่ยมบนระนาบ Lobachevsky ข้อแรกเกี่ยวข้องกับข้อเสนอของวาลลิส: มีสามเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งคู่ในระนาบที่มีมุมเท่ากันแต่ด้านไม่เท่ากันในหัวข้อที่ 11 เราพิสูจน์ว่าข้อเสนอนี้เทียบเท่ากับสัจพจน์ของการขนานกันในเรขาคณิตแบบยุคลิด (ดูทฤษฎีบท 11.5) การปฏิเสธเชิงตรรกะของข้อความนี้นำเราไปสู่ข้อสรุปดังต่อไปนี้: ไม่มีรูปสามเหลี่ยมบนระนาบ Lobachevsky ที่มีมุมเท่ากันแต่ด้านไม่เท่ากัน ดังนั้น ข้อเสนอต่อไปนี้จึงเป็นความจริง

คำชี้แจง 13.8. (เกณฑ์ที่สี่สำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมบนระนาบ Lobachevsky)สามเหลี่ยมสองรูปใดๆ บนระนาบ Lobachevsky ซึ่งมีมุมเท่ากันตามลำดับ จะเท่ากัน

พิจารณาคำถามต่อไป สามารถอธิบายวงกลมรอบๆ สามเหลี่ยมใดๆ ในระนาบ Lobachevsky ได้หรือไม่ คำตอบนั้นมาจากทฤษฎีบท 9.4 (ดู § 9) ตามทฤษฎีบทนี้ ถ้าวงกลมสามารถล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมใดๆ บนระนาบ เงื่อนไขของสัจพจน์ของการขนานกันของเรขาคณิตแบบยุคลิดจะเป็นไปตามระนาบ ดังนั้น การปฏิเสธเชิงตรรกะของการยืนยันทฤษฎีบทนี้จึงนำเราไปสู่ประเด็นต่อไปนี้

การยืนยัน 13.9. มีสามเหลี่ยมอยู่บนระนาบ Lobachevsky ซึ่งไม่สามารถอธิบายวงกลมได้

มันง่ายที่จะสร้างตัวอย่างของสามเหลี่ยมดังกล่าว เราเลือกเส้น a และจุด A ที่ไม่ใช่ของเส้นนั้น ให้เราวางเส้นตั้งฉาก h จากจุด A ไปยังเส้น a โดยอาศัยสัจพจน์ของการขนานของ Lobachevsky มีเส้น b ผ่าน A และไม่ตั้งฉากกับ h ซึ่งไม่ตัดกับ a (รูปที่ 52) ดังที่คุณทราบ หากวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของวงกลมนั้นจะอยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นจึงเพียงพอที่เราจะยกตัวอย่างของสามเหลี่ยมดังกล่าว ซึ่งเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากซึ่งไม่ตัดกัน เราเลือกจุด M บนเส้น h ดังแสดงในรูปที่ 52 เราแสดงจุดสมมาตรเทียบกับเส้น a และ b เราจะได้คะแนน N และ P เนื่องจากเส้น b ไม่ได้ตั้งฉากกับ h จุด P จึงตั้งฉาก ไม่เป็นของเอช ดังนั้นจุด M, N และ P จึงประกอบกันเป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม เส้น a และ b ทำหน้าที่เป็นตัวแบ่งครึ่งแนวตั้งฉาก พวกเขาดังที่ได้กล่าวมาแล้วไม่ตัดกัน สามเหลี่ยม MNP เป็นสิ่งที่ต้องการ

เป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างตัวอย่างสามเหลี่ยมในระนาบ Lobachevsky ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้เส้นตัดกันสองเส้น เลือกจุดที่ไม่ได้เป็นของพวกเขา และสะท้อนให้เห็นว่าสัมพันธ์กับเส้นเหล่านี้ สร้างรายละเอียดด้วยตัวเอง

คำจำกัดความ 14.1 ให้สองเส้นกำกับและได้รับ เรียกว่าขนานกันหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. เส้น a และ b ไม่ตัดกัน

2. สำหรับจุด A และ B ของเส้นตรง a และ b โดยพลการ รังสีภายในใดๆ h ของมุม AVB 2 ตัดกับเส้นตรง a (รูปที่ 52)

เราจะแสดงเส้นขนานในลักษณะเดียวกับที่เป็นธรรมเนียมในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน: a || ข. โปรดทราบว่าเส้นขนานบนระนาบแบบยุคลิดเป็นไปตามคำจำกัดความนี้

ทฤษฎีบท 14.3 ให้กำหนดเส้นตรงและจุด B ซึ่งไม่ได้เป็นของมันบนระนาบ Lobachevsky จากนั้นเส้นกำกับเส้นเดียวจะผ่านจุดที่กำหนดเพื่อให้เส้น a ขนานกับเส้น b

การพิสูจน์.ให้เราวาง BA ตั้งฉากจากจุด B ไปยังเส้น a และจากจุด B เราจะคืนค่า p ตั้งฉากเป็นเส้น BA (รูปที่ 56 a) เส้น p ดังที่ได้กล่าวไว้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า ไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด a เราเลือกจุดใดจุดหนึ่งโดยพลการ С บนจุดนั้น แบ่งจุดของเซ็กเมนต์ AC ออกเป็นสองคลาส และ . ชั้นหนึ่งจะรวมจุดดังกล่าว S ของส่วนนี้ซึ่งรังสี BS ตัดกับรังสี AA 2 และชั้นที่สองรวมถึงจุดดังกล่าว T ซึ่งรังสี BT ไม่ตัดกับรังสี AA 2 ให้เราแสดงให้เห็นว่าการแบ่งชั้นเรียนดังกล่าวทำให้เกิดส่วน Dedekind ของส่วน AC ตามทฤษฎีบท 4.3 (ดู § 4) เราต้องตรวจสอบว่า:

2. และชั้นเรียนและมีคะแนนอื่นที่ไม่ใช่ A และ C;

3. จุดของชั้นเรียนอื่นที่ไม่ใช่ A อยู่ระหว่างจุด A และจุดของชั้นเรียนใดๆ

เงื่อนไขแรกนั้นชัดเจน ทุกจุดของเซ็กเมนต์เป็นของคลาสหนึ่งหรือคลาสอื่น ในขณะที่คลาสเองตามคำจำกัดความ ไม่มีจุดร่วม

เงื่อนไขที่สองยังง่ายต่อการตรวจสอบ เป็นที่ชัดเจนว่าและ คลาสประกอบด้วยจุดอื่นที่ไม่ใช่ A เพื่อตรวจสอบข้อความนี้ เพียงพอที่จะเลือกจุดใดๆ ของรังสี AA 2 และเชื่อมต่อกับจุด B รังสีนี้จะตัดกับส่วน BC ที่จุดของชั้นหนึ่ง ชั้นเรียนยังมีคะแนนอื่นที่ไม่ใช่ C ไม่เช่นนั้นเราจะมาขัดแย้งกับสัจพจน์ของการขนานของ Lobachevsky

ให้เราพิสูจน์เงื่อนไขที่สาม ให้มีจุด S ของชั้นหนึ่งที่แตกต่างจาก A และจุด T ของชั้นที่สองโดยที่จุด T อยู่ระหว่าง A และ S (ดูรูปที่ 56 a) ตั้งแต่ นั้นรังสี BS ตัดกับรังสี AA 2 ในบางจุด R พิจารณารังสี BT มันตัดด้าน AS ของสามเหลี่ยม ASR ที่จุด T ตามสัจพจน์ของ Pasha รังสีนี้จะต้องตัดกับ AR ด้านใดด้านหนึ่งหรือด้าน SR ของสามเหลี่ยมนี้ สมมติว่ารังสี BT ตัดกับด้าน SR ที่จุดหนึ่ง O จากนั้นเส้นสองเส้นที่ต่างกัน BT และ BR จะผ่านจุด B และ O ซึ่งขัดแย้งกับสัจพจน์ของสัจพจน์ของฮิลเบิร์ต ดังนั้นรังสี BT ตัดกับ AR ด้านข้าง ซึ่งหมายความว่าจุด T ไม่ได้อยู่ในคลาส K 2 . ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นนำไปสู่การยืนยันว่าจุด S อยู่ระหว่าง A และ T เงื่อนไขของทฤษฎีบท 4.3 ได้รับการตรวจสอบอย่างสมบูรณ์แล้ว

ตามข้อสรุปของทฤษฎีบท 4.3 ในส่วน Dedekind ในส่วน AC มีจุดที่จุดใดๆ อยู่ระหว่าง A และเป็นของคลาส และจุดใดๆ ที่อยู่ระหว่างและ C เป็นของคลาส แสดงว่าเส้นกำกับขนานกับเส้นนั้น . อันที่จริง เรายังคงพิสูจน์ว่าไม่ตัดกับเส้น a เนื่องจากเนื่องจากการเลือกจุดของคลาส K 1 รังสีภายในใดๆ ของมุมตัดกัน . สมมติว่าเส้นตัดกับเส้น a ในบางจุด H (รูปที่ 56 b) เราเลือกจุด P โดยพลการบนรังสี HA 2 และพิจารณารังสี BP จากนั้นจะตัดกับเซ็กเมนต์ M 0 C ในบางจุด Q (พิสูจน์ข้อความนี้ด้วยตัวเอง) แต่จุดภายในของเซ็กเมนต์ M 0 C เป็นของชั้นที่สอง รังสี BP ไม่สามารถมีจุดที่เหมือนกันกับเส้น a ดังนั้น ข้อสันนิษฐานของเราเกี่ยวกับจุดตัดของเส้น BM 0 และ a จึงไม่ถูกต้อง

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าเส้นนั้นเป็นเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุด B และขนานกับ ให้เส้นตรงอีกเส้นผ่านจุด B ซึ่งเหมือนและขนานกับ ในกรณีนี้ เราจะถือว่า M 1 เป็นจุดของเซ็กเมนต์ AC จากนั้นต่อจากนิยามของคลาส K 2 , . ดังนั้น รังสี BM 0 จึงเป็นรังสีภายในของมุม ดังนั้นตามคำจำกัดความ 14.1 มันจึงตัดกับเส้น เราได้มาถึงความขัดแย้งกับการยืนยันที่พิสูจน์ข้างต้น ทฤษฎีบท 14.3 ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์

พิจารณาจุด B และเส้นกำกับที่ไม่มีจุดนั้น ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว 14.3 เส้นตรงที่ชี้นำผ่านจุด B ขนานกับ a ให้เราวาง BH ตั้งฉากจากจุด B ไปที่เส้นตรง a (รูปที่ 57) ง่ายที่จะเห็นว่า มุม HBB 2 - เฉียบพลัน. อันที่จริง หากเราคิดว่ามุมนี้เป็นมุมฉาก มันจะตามมาจากนิยาม 14.1 ว่าเส้นใดๆ ที่ผ่านจุด B ตัดกับเส้น a ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบท 13.1 กล่าวคือ สัจพจน์ LV 1 ของความคล้ายคลึงกันของ Lobachevsky (ดู§ 13) จะเห็นได้ง่ายว่าสมมติฐานที่ว่ามุมนี้ป้านยังนำไปสู่ความขัดแย้งในขณะนี้ด้วยคำจำกัดความ 14.1 และทฤษฎีบท 4.2 (ดู § 4) เนื่องจากรังสีภายในของมุม HBB 2 ตั้งฉากกับ BH ไม่ตัดกับรังสี AA 2 . ดังนั้น คำกล่าวต่อไปนี้จึงเป็นความจริง

ทฤษฎีบท 14.4 ให้เส้นตรงขนานกับเส้นตรง หากจากจุด B ของเส้นตรง เราวางเส้นตั้งฉาก ВН กับเส้นตรง จากนั้นมุม HBB 2 จะเป็นมุมแหลม

ผลสืบเนื่องต่อไปนี้ชัดเจนตามทฤษฎีบทนี้

ผลที่ตามมาหากมีเส้นตั้งฉากร่วมกันของเส้นกำกับ และ เส้นนั้นจะไม่ขนานกับเส้นนั้น

ให้เราแนะนำแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมสำหรับเส้นที่ไม่มีทิศทาง เราจะถือว่า เส้นที่ไม่ชี้นำสองเส้นจะขนานกัน ถ้าสามารถเลือกทิศทางได้เพื่อให้เป็นไปตามคำจำกัดความ 14.1ดังที่คุณทราบ เส้นตรงมีสองทิศทาง ดังนั้น จากทฤษฎีบท 14.3 เป็นไปตามว่าผ่านจุด B ซึ่งไม่อยู่ในเส้น a จะมีเส้นสองเส้นที่ไม่ได้กำหนดทิศทางขนานกับเส้นที่กำหนด เห็นได้ชัดว่าพวกมันสมมาตรเมื่อเทียบกับฉากตั้งฉากที่ทิ้งจากจุด B ไปยังเส้น a สองเส้นนี้เป็นเส้นแบ่งเขตเดียวกันที่แยกดินสอของเส้นที่ผ่านจุด B และตัดจากดินสอของเส้นที่ผ่าน B และไม่ตัดกับเส้น a (รูปที่ 57)

ทฤษฎีบท 15.2 (คุณสมบัติสมมาตรของเส้นคู่ขนานบนระนาบ Lobachevsky)ให้เส้นตรงขนานกับเส้นตรง จากนั้นเส้นกำกับจะขนานกับเส้น

คุณสมบัติสมมาตรของแนวคิดของเส้นคู่ขนานบนระนาบ Lobachevsky ช่วยให้เราไม่สามารถระบุลำดับของเส้นขนานที่กำกับได้นั่นคือ อย่าระบุว่าบรรทัดใดเป็นบรรทัดแรกและบรรทัดใดเป็นบรรทัดที่สอง เห็นได้ชัดว่าคุณสมบัติสมมาตรของแนวคิดเรื่องเส้นคู่ขนานเกิดขึ้นบนระนาบแบบยุคลิดเช่นกัน เป็นไปตามคำจำกัดความของเส้นคู่ขนานในเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยตรง ในเรขาคณิตแบบยุคลิด คุณสมบัติของทรานซิติวิตียังถือเป็นเส้นคู่ขนาน ถ้าเส้น a ขนานกับเส้น b และเส้น b ขนานกับเส้น c แล้วเส้น a และ c ก็ขนานกัน คุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันนี้ใช้ได้กับเส้นกำกับบนเครื่องบิน Lobachevsky

ทฤษฎีบท 15.3 (คุณสมบัติทรานสซิชันของเส้นคู่ขนานบนระนาบ Lobachevsky)ให้มีเส้นกำกับที่ชัดเจนสามเส้น , . ถ้า และ , แล้ว .

พิจารณาเส้นตรงขนานกับเส้นตรง ลองข้ามพวกเขาด้วยเส้นตรง จุด A และ B ตามลำดับ คือจุดตัดของเส้น และ , (รูปที่ 60) ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท 15.4 มุมจะมากกว่ามุม

ทฤษฎีบท 15.5 มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเสื่อมโทรมมีค่ามากกว่ามุมภายในที่ไม่อยู่ติดกับมัน

หลักฐานดังต่อไปนี้โดยตรงจากทฤษฎีบท 15.4 ผ่านมันด้วยตัวคุณเอง

พิจารณาเซ็กเมนต์ AB โดยพลการ ผ่านจุด A เราวาดเส้น a ตั้งฉากกับ AB และผ่านจุด B เส้น b ขนานกับ a (รูปที่ 63) จากทฤษฎีบท 14.4 ดังต่อไปนี้ (ดู § 14) เส้น b ไม่ตั้งฉากกับเส้น AB

คำจำกัดความ 16.1 มุมแหลมที่เกิดจากเส้น AB และ b เรียกว่ามุมขนานของส่วน AB

เป็นที่ชัดเจนว่าแต่ละส่วนสอดคล้องกับมุมหนึ่งของการขนานกัน ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท 16.2 ส่วนที่เท่ากันสอดคล้องกับมุมที่เท่ากันของการขนานกัน

การพิสูจน์.ให้สองส่วนที่เท่ากัน AB และ A¢B¢ ให้เราวาดเส้นกำกับและผ่านจุด A และ A¢ ซึ่งตั้งฉากกับ AB และ A¢B¢ ตามลำดับ และผ่านจุด B และ B¢ ซึ่งกำหนดเส้นตรงและขนานกันตามลำดับ และ (รูปที่ 64) แล้วและ ตามลำดับ มุมขนานของเซ็กเมนต์ AB และ A¢B¢ มาแสร้งทำเป็นว่า

ให้เรากันมุม a 2 จากรังสี BA ในครึ่งระนาบ BAA 2 (ดูรูปที่ 64) เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน (1) รังสี l คือรังสีด้านในของมุม ABB 2 ตั้งแต่ ½1 จากนั้น l ตัดกับรังสี AA 2 ที่จุดหนึ่ง P ขอให้เราพล็อตบนรังสี A¢A 2 ¢ จากจุด A¢ ส่วน A¢P¢ เท่ากับ AP พิจารณาสามเหลี่ยม ABP และ A¢B¢P¢ พวกมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท พวกมันมีขาเท่ากับ AB และ A¢B¢ โดยการสร้างขาคู่ที่สอง AR และ A¢P¢ เท่ากัน ดังนั้น สามเหลี่ยมมุมฉาก ABP เท่ากับสามเหลี่ยม A¢B¢P¢ นั่นเป็นเหตุผล ในทางกลับกัน ลำแสง B¢P¢ ตัดกับลำแสง A¢A 2 ¢ และเส้นกำกับ B 1 ¢B 2 ¢ ขนานกับเส้นตรง A 1 ¢A 2 ¢ ดังนั้น รังสี B¢P¢ คือรังสีด้านในของมุม A¢B¢B 2 ¢ . ความขัดแย้งที่เป็นผลลัพธ์จะหักล้างสมมติฐานของเรา ความไม่เท่าเทียมกัน (1) เป็นเท็จ ในทำนองเดียวกันก็พิสูจน์แล้วว่ามุมต้องไม่น้อยกว่ามุม ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ให้เราพิจารณาว่ามุมของการขนานของส่วนที่ไม่เท่ากันนั้นสัมพันธ์กันอย่างไร

ทฤษฎีบท 16.3 ให้เซ็กเมนต์ AB มากกว่าเซ็กเมนต์ A¢B¢ และมุมและมุมที่มีความขนานกันตามลำดับ แล้ว .

การพิสูจน์.การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นไปตามโดยตรงจากทฤษฎีบท 15.5 (ดู§ 15) ที่มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเสื่อมคุณภาพ พิจารณาส่วน AB ให้เราลากผ่านจุด A เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉาก ตั้งฉากกับ AB และผ่านจุด B กำกับเป็นเส้นตรงขนานกัน (รูปที่ 65) ให้เราพล็อตบนรังสี AB ส่วน AP เท่ากับ A¢B¢ เนื่องจาก ดังนั้น P คือจุดภายในของเซ็กเมนต์ AB ลองวาดเส้นตรง C 1 C 2 ถึง R ขนานกัน มุมทำหน้าที่เป็นมุมของการขนานกันของเซ็กเมนต์ A¢B¢ และมุมทำหน้าที่เป็นมุมของการขนานกันของเซ็กเมนต์ AB ในทางกลับกัน จากทฤษฎีบท 15.2 เกี่ยวกับสมมาตรของแนวคิดของเส้นคู่ขนาน (ดู § 15) ตามมาว่าเส้น C 1 C 2 ขนานกับเส้นตรง ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม RVS 2 A 2 จึงเสื่อมสภาพ - ภายนอกและ - มุมภายใน ทฤษฎีบท 15.5 บอกเป็นนัยถึงความจริงของการยืนยันที่กำลังพิสูจน์

มันง่ายที่จะพิสูจน์การสนทนา

ทฤษฎีบท 16.4อนุญาต และเป็นมุมขนานของเซ็กเมนต์ AB และ A¢B¢ จากนั้น ถ้า , แล้ว AB > А¢В¢

การพิสูจน์.สมมติว่าตรงกันข้าม . ต่อจากทฤษฎีบท 16.2 และ 16.3 ว่า ซึ่งขัดกับเงื่อนไขของทฤษฎีบท

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าแต่ละส่วนมีมุมของการขนานของตัวเอง และส่วนที่ใหญ่กว่านั้นสอดคล้องกับมุมที่เล็กกว่าของการขนานกัน พิจารณาข้อความที่พิสูจน์ว่าสำหรับมุมแหลมใด ๆ จะมีส่วนที่มุมนี้เป็นมุมขนาน สิ่งนี้จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างส่วนต่างๆ และมุมแหลมบนระนาบ Lobachevsky

ทฤษฎีบท 16.5 สำหรับมุมแหลมใดๆ จะมีส่วนที่มุมนี้คือมุมของการขนานกัน

การพิสูจน์.ให้มุมแหลม ABC (รูปที่ 66) เราจะถือว่าจุดทั้งหมดที่พิจารณาด้านล่างของรังสี BA และ BC อยู่ระหว่างจุด B และ A และ B และ C เราเรียกรังสีที่ยอมรับได้หากแหล่งกำเนิดอยู่ที่ด้านข้างของมุม BA มันจะตั้งฉากกับเส้น BA และตั้งอยู่ในระนาบครึ่งเดียวกับเส้น BA ด้าน BC ของมุมที่กำหนดมาดูคำแนะนำของ Legendre กัน: p เส้นตั้งฉากที่ลากไปทางด้านของมุมแหลม ณ จุดใดๆ ของด้านนี้ตัดกับด้านที่สองของมุมเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบท 11.6 (ดู§ 11) ซึ่งระบุว่า ข้อเสนอของ Legendre เทียบเท่ากับสัจพจน์ความเท่าเทียมของเรขาคณิตแบบยุคลิดจากนี้เราสรุปได้ว่าบนระนาบ Lobachevsky การปฏิเสธเชิงตรรกะของคำสั่งนี้เป็นความจริง กล่าวคือ ที่ด้านข้างของมุมแหลมใด ๆ มีจุดที่แนวตั้งฉากกับมุมที่สร้างขึ้น ณ จุดนี้ไม่ตัดกับด้านที่สองของมุม(ดู § 13) ดังนั้นจึงมีรังสี m ที่ยอมรับได้ซึ่งมีจุดกำเนิดที่จุด M ซึ่งไม่ตัดกับด้าน BC ของมุมที่กำหนด (ดูรูปที่ 66)

ให้เราแบ่งคะแนนของเซ็กเมนต์ BM ออกเป็นสองคลาส ระดับ จะอยู่ในจุดเหล่านั้นของส่วนนี้ซึ่งรังสีที่ยอมรับได้ซึ่งมีต้นกำเนิดที่จุดเหล่านี้ตัดกับด้าน BC ของมุมที่กำหนดและชั้น เป็นจุดเหล่านั้นของเซ็กเมนต์ BC ซึ่งรังสีที่ยอมรับได้ซึ่งมีจุดกำเนิดที่จุดเหล่านี้ไม่ตัดกับด้าน BC ให้เราแสดงให้เห็นว่าพาร์ติชั่นของเซ็กเมนต์ VM นั้นสร้างส่วน Dedekind (ดูทฤษฎีบท 4.3, § 4) ในการทำเช่นนี้คุณควรตรวจสอบว่า

5. และชั้นเรียนและมีคะแนนอื่นที่ไม่ใช่ B และ M

6. จุดใดๆ ของชั้นเรียน นอกเหนือจาก B อยู่ระหว่างจุด B และจุดใดๆ ของชั้นเรียน

เงื่อนไขแรกเป็นที่พอใจอย่างชัดเจน จุดใดๆ ของเซ็กเมนต์ BM เป็นของคลาส K 1 หรือของคลาส K 2 ยิ่งไปกว่านั้น จุด โดยอาศัยคำจำกัดความของคลาสเหล่านี้ ไม่สามารถเป็นของสองคลาสในเวลาเดียวกัน แน่นอน เราสามารถสรุปได้ว่า จุด M เป็นของ K 2 เนื่องจากรังสีที่ยอมรับได้ซึ่งมีจุดกำเนิดที่จุด M ไม่ตัดกัน BC คลาส K 1 มีจุดอื่นนอกเหนือจาก B อย่างน้อยหนึ่งจุด ในการสร้าง ก็เพียงพอแล้วที่จะเลือกจุดใดจุดหนึ่ง P ที่ด้าน BC และวาง PQ ตั้งฉากจากมันลงบนรังสี BA หากเราคิดว่าจุด Q อยู่ระหว่างจุด M และ A ดังนั้นจุด P และ Q จะอยู่ในระนาบครึ่งที่ต่างกันที่สัมพันธ์กับเส้นตรงที่มีรังสี m (ดูรูปที่ 66) ดังนั้น ส่วน PQ ตัดกับรังสี m ที่จุดหนึ่ง R เราได้รับว่าเส้นตั้งฉากสองเส้นหล่นจากจุด R ไปยังเส้น BA ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบท 4.2 (ดู § 4) ดังนั้น จุด Q เป็นของเซ็กเมนต์ BM คลาส K 1 มีจุดที่แตกต่างจาก B ง่ายต่อการอธิบายว่าทำไมจึงมีเซกเมนต์บน ray BA ที่มีจุดที่เป็นของคลาส K 2 อย่างน้อยหนึ่งจุดและแตกต่างจาก จุดจบของมัน อันที่จริง หากคลาส K 2 ของเซ็กเมนต์ BM ที่พิจารณามีจุด M เพียงจุดเดียว เราก็เลือกจุดใดจุดหนึ่ง M¢ ระหว่าง M และ A พิจารณารังสีที่ยอมรับได้ m¢ โดยมีจุดเริ่มต้นที่จุด M¢ มันไม่ตัดกับรังสี m ไม่เช่นนั้นเส้นตั้งฉากสองเส้นจะถูกทิ้งจากจุดไปยังเส้น AB ดังนั้น m¢ จะไม่ตัดกับรังสี BC ส่วน ВМ¢ เป็นเซ็กเมนต์ที่ต้องการ และควรให้เหตุผลเพิ่มเติมทั้งหมดสำหรับเซ็กเมนต์ ВМ¢

ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของเงื่อนไขที่สามของทฤษฎีบท 4.3 สมมติว่ามีจุดดังกล่าวและจุด P อยู่ระหว่างจุด U และ M (รูปที่ 67) ให้เราวาดรังสีที่ยอมรับได้ u และ p โดยมีจุดกำเนิดที่จุด U และ P ตั้งแต่นั้นมารังสี p ตัดกับด้าน BC ของมุมที่กำหนดในบางจุด Q เส้นที่มีรังสี u ตัดกับด้าน BP ของสามเหลี่ยม BPQ ดังนั้น ตามสัจพจน์ของฮิลเบิร์ต (สัจพจน์ของ Pasch ดู § 3) มันตัดกับด้าน BQ หรือด้าน PQ ของสามเหลี่ยมนี้ แต่, ดังนั้น, รังสี u ไม่ได้ตัดกับด้าน BQ, ดังนั้น รังสี p และ u ตัดกันที่จุดหนึ่ง R. เราเกิดข้อขัดแย้งอีกครั้ง, เนื่องจากเราได้สร้างจุดที่เส้นตั้งฉากสองเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง เอบี. เงื่อนไขของทฤษฎีบท 4.3 เป็นที่น่าพอใจอย่างสมบูรณ์

ม. ตามมาว่า. เราได้รับข้อขัดแย้ง เนื่องจากเราได้สร้างจุดของคลาส K 1 ซึ่งอยู่ระหว่างจุดและ M ซึ่งยังคงเหลือให้เราแสดงว่ารังสีภายในใดๆ ของมุมตัดกับรังสี BC พิจารณารังสีภายในโดยพลการ h ของมุมนี้ เราเลือกจุดใดจุดหนึ่ง K ซึ่งเป็นของมุม และวางแนวตั้งฉากจากจุดนั้นไปที่เส้น BA (รูปที่ 69) ฐาน S ของแนวตั้งฉากนี้เห็นได้ชัดว่าเป็นของเซ็กเมนต์ VM 0 นั่นคือ คลาส K 1 (พิสูจน์ความจริงข้อนี้ด้วยตัวเอง) จากนี้ไป KS ตั้งฉากตัดกับด้าน BC ของมุมที่กำหนดในบางจุด T (ดูรูปที่ 69) รังสี h ข้ามด้าน ST ของสามเหลี่ยม BST ที่จุด K ตามสัจพจน์ (สัจพจน์ของ Pasha) จะต้องตัดกับด้าน BS หรือด้าน BT ของสามเหลี่ยมนี้ เป็นที่ชัดเจนว่า h ไม่ตัดกับเซ็กเมนต์ BS มิฉะนั้น สองเส้น h และ BA ผ่านจุดสองจุดและจุดตัดนี้ ดังนั้น h ตัดกับด้าน BT นั่นคือ บีมบี. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์

ดังนั้นเราจึงกำหนดได้ว่าแต่ละส่วนในเรขาคณิตของ Lobachevsky สามารถเชื่อมโยงกับมุมแหลม - มุมของการขนานกัน เราจะถือว่าเราได้แนะนำการวัดมุมและเซ็กเมนต์แล้ว เราสังเกตว่าเราจะแนะนำการวัดส่วนต่างๆ ในภายหลังใน § เราแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้

คำจำกัดความ 16.6 ถ้า x คือความยาวของเซ็กเมนต์ และ j คือมุม การขึ้นต่อกัน j = P(x) ซึ่งเชื่อมโยงความยาวของเซ็กเมนต์กับค่ามุมของการขนานกัน จะเรียกว่าฟังก์ชันโลบาชอฟสกี

เป็นที่ชัดเจนว่า การใช้คุณสมบัติของมุมขนานของส่วนที่พิสูจน์ข้างต้น (ดูทฤษฎีบท 16.3 และ 16.4) เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: ฟังก์ชัน Lobachevsky ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ Nikolai Ivanovich Lobachevsky ได้รับสูตรที่โดดเด่นดังต่อไปนี้:

,

โดยที่ k คือจำนวนบวก มันมีความสำคัญอย่างยิ่งในเรขาคณิตของอวกาศ Lobachevsky และเรียกว่ารัศมีความโค้ง ช่องว่าง Lobachevsky สองช่องที่มีรัศมีความโค้งเท่ากันนั้นมีมิติเท่ากัน จากสูตรข้างต้น เนื่องจากเห็นได้ง่าย จึงตามมาด้วยว่า j = P(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ลดลงแบบโมโนโทนโดยมีค่าอยู่ในช่วง .

บนระนาบแบบยุคลิด เรากำหนดวงกลม w โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่ง O และรัศมีเท่ากับหนึ่ง ซึ่งเราจะเรียกว่า แน่นอน. เซตของจุดทั้งหมดของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยวงกลม w จะแสดงด้วย W ¢ และเซตของจุดภายในทั้งหมดของวงกลมนี้ด้วย W ดังนั้น แต้มของเซต W จะถูกเรียกว่า L-pointsเซต W ของจุด L ทั้งหมดคือ L-เครื่องบินซึ่งเราจะสร้างแบบจำลอง Cayley-Klein ของเครื่องบิน Lobachevsky เราจะเรียก L-ตรงคอร์ดโดยพลการของวงกลม w เราจะถือว่าจุด L X เป็นของเส้น L x ถ้าหากว่าจุด X เป็นจุดของระนาบแบบยุคลิดนั้นเป็นของคอร์ด x ของสัมบูรณ์

L‑plane สัจพจน์ของการขนานของ Lobachevsky ถือเป็น:ผ่านจุด L B ที่ไม่อยู่บนเส้น L a มี L-line อย่างน้อยสองเส้น b และ c ที่ไม่มีจุดร่วมกับ L-line a รูปที่ 94 แสดงข้อความนี้ นอกจากนี้ยังง่ายต่อการทำความเข้าใจว่าเส้นตรงที่กำกับคู่ขนานของระนาบ L คืออะไร ลองพิจารณารูปที่ 95 เส้น L ข ผ่านจุดตัดของเส้น L a ด้วยค่าสัมบูรณ์ ดังนั้นเส้นตรง L A 1 A 2 จึงขนานกับเส้นตรง L B 1 A 2 อันที่จริง เส้นเหล่านี้ไม่ตัดกัน และหากเราเลือกจุด L A และ B ตามอำเภอใจตามลำดับของเส้นเหล่านี้ รังสีภายในใดๆ h ของมุม A 2 BA ตัดกับเส้น a ดังนั้นเส้น L สองเส้นจะขนานกันหากมีจุดตัดร่วมกัน ด้วยความเด็ดขาด เป็นที่ชัดเจนว่าคุณสมบัติของความสมมาตรและการถ่ายทอดของแนวคิดเรื่องการขนานกันของเส้น L นั้นเป็นที่น่าพอใจ ในย่อหน้าที่ 15 เราพิสูจน์คุณสมบัติของความสมมาตร ในขณะที่คุณสมบัติของทรานซิติสแสดงไว้ในรูปที่ 95 เส้น A 1 A 2 ขนานกับเส้น B 1 A 2 ซึ่งตัดกับค่าสัมบูรณ์ที่จุด A 2 เส้น B 1 A 2 และ C 1 A 2 นั้นขนานกัน พวกมันยังตัดกับสัมบูรณ์ที่จุดเดียวกัน A 2 . ดังนั้นเส้น A 1 A 2 และ C 1 A 2 จึงขนานกัน

ดังนั้น แนวคิดพื้นฐานที่กำหนดไว้ข้างต้นจึงเป็นไปตามข้อกำหนดของสัจพจน์ I 1 -I 3 , II, III, IV ของกลุ่มสัจพจน์ของฮิลแบร์ตและสัจพจน์ของการขนานของโลบาชอฟสกี ดังนั้นจึงเป็นแบบจำลองของระนาบ Lobachevsky เราได้พิสูจน์ความสอดคล้องที่มีความหมายของการวัดระนาบของโลบาชอฟสกี เรากำหนดข้อความนี้เป็นทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทที่ 1 เรขาคณิตของ Lobachevsky ไม่ได้ขัดแย้งกันในเนื้อหา

เราได้สร้างแบบจำลองของเครื่องบิน Lobachevsky แต่คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับการสร้างแบบจำลองเชิงพื้นที่ที่คล้ายกับที่พิจารณาบนระนาบในคู่มือ

ข้อสรุปที่สำคัญที่สุดตามมาจากทฤษฎีบท 1 สัจพจน์ของการขนานกันไม่ได้เป็นผลมาจากสัจพจน์ I–IV ของสัจพจน์ของฮิลเบิร์ต เนื่องจากสัจพจน์ที่ห้าของยุคลิดเทียบเท่ากับสัจพจน์ของการขนานกันของเรขาคณิตแบบยุคลิด สมมติฐานนี้จึงไม่ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ที่เหลือของฮิลเบิร์ต