วิธีหารเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน. การวาดระบบสมการ

ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีบวกและคูณเศษส่วนแล้ว เราสามารถพิจารณาโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น จะเกิดอะไรขึ้นหากการบวก การลบ และการคูณเศษส่วนเกิดขึ้นในปัญหาเดียว

ก่อนอื่น คุณต้องแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง จากนั้นเราดำเนินการตามที่จำเป็นตามลำดับ - ในลำดับเดียวกับตัวเลขธรรมดา กล่าวคือ:

1. ขั้นแรกให้ทำการยกกำลัง - กำจัดนิพจน์ทั้งหมดที่มีเลขชี้กำลัง
2. จากนั้น - การหารและการคูณ;
3. ขั้นตอนสุดท้ายคือการบวกและการลบ

แน่นอน หากมีวงเล็บในนิพจน์ ลำดับของการกระทำจะเปลี่ยนไป - ทุกอย่างที่อยู่ในวงเล็บต้องได้รับการพิจารณาก่อน และจำไว้ว่าเกี่ยวกับเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม: คุณต้องเลือกทั้งส่วนเมื่อการดำเนินการอื่น ๆ ทั้งหมดเสร็จสิ้นแล้วเท่านั้น

มาแปลเศษส่วนทั้งหมดจากนิพจน์แรกเป็นค่าที่ไม่เหมาะสม แล้วดำเนินการต่อไปนี้:

ทีนี้มาหาค่าของนิพจน์ที่สองกัน ไม่มีเศษส่วนที่มีส่วนจำนวนเต็ม แต่มีวงเล็บ ดังนั้นเราจึงทำการบวกก่อนแล้วจึงหารเท่านั้น โปรดทราบว่า 14 = 7 2 . แล้ว:

สุดท้าย ให้พิจารณาตัวอย่างที่สาม มีวงเล็บและปริญญาอยู่ที่นี่ - ควรนับแยกกันจะดีกว่า ระบุว่า 9 = 3 3 เรามี:

ให้ความสนใจกับตัวอย่างสุดท้าย ในการยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง คุณต้องแยกตัวเศษขึ้นยกกำลังนี้ และแยกตัวส่วน

คุณสามารถตัดสินใจได้แตกต่างกัน หากเราจำคำจำกัดความของระดับได้ ปัญหาจะลดลงเป็นการคูณเศษส่วนตามปกติ:

เศษส่วนหลายชั้น

จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณาเฉพาะเศษส่วนที่ "บริสุทธิ์" เมื่อตัวเศษและตัวส่วนเป็นตัวเลขธรรมดา ซึ่งสอดคล้องกับคำจำกัดความของเศษส่วนตัวเลขที่ให้ไว้ในบทเรียนแรก

แต่ถ้าวางวัตถุที่ซับซ้อนกว่าไว้ในตัวเศษหรือตัวส่วนล่ะ ตัวอย่างเช่น เศษส่วนตัวเลขอื่น? โครงสร้างดังกล่าวเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อทำงานกับสำนวนที่ยาว ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วน:

มีกฎข้อเดียวสำหรับการทำงานกับเศษส่วนหลายชั้น: คุณต้องกำจัดพวกมันทันที การลบพื้น "พิเศษ" นั้นค่อนข้างง่าย หากคุณจำได้ว่าแถบเศษส่วนหมายถึงการดำเนินการหารมาตรฐาน ดังนั้นเศษส่วนใดๆ สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

จากข้อเท็จจริงนี้และปฏิบัติตามขั้นตอน เราสามารถลดเศษส่วนหลายชั้นให้เหลือเศษปกติได้อย่างง่ายดาย ลองดูตัวอย่าง:

งาน. แปลงเศษส่วนหลายชั้นให้เป็นเศษส่วนทั่วไป:

ในแต่ละกรณี เราจะเขียนเศษส่วนหลักใหม่ โดยแทนที่เส้นแบ่งด้วยเครื่องหมายหาร โปรดจำไว้ว่าจำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 1 ได้ นั่นคือ 12 = 12/1; 3 = 3/1. เราได้รับ:

ในตัวอย่างที่แล้ว เศษส่วนถูกทำให้ลดลงก่อนการคูณครั้งสุดท้าย

ลักษณะเฉพาะของการทำงานกับเศษส่วนหลายชั้น

มีความละเอียดอ่อนอย่างหนึ่งในเศษส่วนหลายชั้นที่ต้องจำไว้เสมอ ไม่เช่นนั้น คุณอาจได้คำตอบที่ผิด แม้ว่าการคำนวณทั้งหมดจะถูกต้องก็ตาม ลองดูสิ:

1. ในตัวเศษมีเลข 7 แยกต่างหากและในตัวส่วน - เศษส่วน 12/5;
2. ตัวเศษคือเศษส่วน 7/12 และตัวส่วนคือเลข 5 ตัวเดียว

ดังนั้น สำหรับบันทึกหนึ่ง เราได้ตีความสองแบบที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง หากคุณนับ คำตอบก็จะแตกต่างกัน:

เพื่อให้แน่ใจว่าบันทึกจะถูกอ่านอย่างชัดเจนเสมอ ให้ใช้กฎง่ายๆ: เส้นแบ่งของเศษส่วนหลักต้องยาวกว่าเส้นที่ซ้อนกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลายครั้ง

หากคุณทำตามกฎนี้ เศษส่วนข้างต้นควรเขียนดังนี้:

ใช่ มันอาจจะน่าเกลียดและใช้พื้นที่มากเกินไป แต่คุณจะนับได้อย่างถูกต้อง สุดท้าย สองสามตัวอย่างที่เกิดขึ้นจริงของเศษส่วนหลายระดับ:

งาน. ค้นหาค่านิพจน์:

เรามาลองใช้ตัวอย่างแรกกัน มาแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนกัน แล้วทำการบวกและหาร:

ลองทำเช่นเดียวกันกับตัวอย่างที่สอง แปลงเศษส่วนทั้งหมดให้ไม่เหมาะสมและดำเนินการตามที่กำหนด เพื่อไม่ให้ผู้อ่านเบื่อ ฉันจะละเว้นการคำนวณที่ชัดเจน เรามี:

เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนหลักมีผลรวม กฎสำหรับการเขียนเศษส่วนหลายชั้นจึงถูกสังเกตโดยอัตโนมัติ ในตัวอย่างที่แล้ว เราจงใจปล่อยตัวเลข 46/1 ให้อยู่ในรูปของเศษส่วนเพื่อทำการหาร

ฉันยังทราบด้วยว่าในทั้งสองตัวอย่าง แท่งเศษส่วนจะแทนที่วงเล็บ: อย่างแรก เราพบผลรวม และหลังจากนั้น - ผลหาร

บางคนอาจบอกว่าการเปลี่ยนไปใช้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมในตัวอย่างที่สองนั้นซ้ำซ้อนอย่างชัดเจน บางทีอาจจะเป็นแบบนั้น แต่วิธีนี้ทำให้เรามั่นใจในตัวเองจากความผิดพลาด เพราะครั้งหน้าตัวอย่างอาจกลายเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมากขึ้น เลือกสิ่งที่สำคัญกว่าสำหรับตัวคุณเอง: ความเร็วหรือความน่าเชื่อถือ

ครั้งสุดท้ายที่เราได้เรียนรู้วิธีบวกและลบเศษส่วน (ดูบทเรียน "การบวกและการลบเศษส่วน") ช่วงเวลาที่ยากที่สุดในการกระทำเหล่านั้นคือการนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม

ถึงเวลาจัดการกับการคูณและการหาร ข่าวดีก็คือการดำเนินการเหล่านี้ง่ายกว่าการบวกและการลบ ในการเริ่มต้น ให้พิจารณากรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อมีเศษส่วนบวกสองส่วนโดยไม่มีส่วนจำนวนเต็มเฉพาะ

ในการคูณเศษส่วนสองส่วน คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน ตัวเลขแรกจะเป็นตัวเศษของเศษส่วนใหม่และตัวที่สองเป็นตัวส่วน

ในการหารเศษส่วนสองส่วน คุณต้องคูณเศษส่วนแรกด้วยวินาทีที่ "กลับด้าน"

การกำหนด:

จากคำจำกัดความจะเห็นว่าการหารเศษส่วนลดลงเป็นการคูณ ในการพลิกเศษส่วน ก็แค่สลับตัวเศษและตัวส่วน ดังนั้นบทเรียนทั้งหมดเราจะพิจารณาการคูณเป็นหลัก

ผลจากการคูณทำให้เศษส่วนที่ลดลงสามารถเกิดขึ้นได้ (และมักเกิดขึ้น) - แน่นอนว่าต้องลดลง หากหลังจากการลดลงทั้งหมดแล้วเศษส่วนกลับกลายเป็นว่าไม่ถูกต้องควรแยกส่วนทั้งหมดออก แต่สิ่งที่จะไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอนกับการคูณคือการลดลงเป็นตัวส่วนร่วม: ไม่มีวิธีตามขวาง ตัวประกอบสูงสุด และตัวคูณร่วมน้อย

ตามคำจำกัดความเรามี:

การคูณเศษส่วนที่มีส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนติดลบ

หากเศษส่วนมีส่วนจำนวนเต็ม พวกเขาจะต้องแปลงเป็นส่วนที่ไม่เหมาะสม - แล้วคูณตามรูปแบบที่ระบุไว้ข้างต้นเท่านั้น

หากมีเครื่องหมายลบในตัวเศษ ในตัวส่วน หรือนำหน้า ให้นำออกจากขอบเขตการคูณหรือเอาออกทั้งหมดได้ตามกฎต่อไปนี้

1. บวก คูณ ลบ ให้ ลบ;
2. สองเชิงลบทำให้ยืนยัน

จนถึงขณะนี้ กฎเหล่านี้พบได้เฉพาะเมื่อบวกและลบเศษส่วนติดลบ เมื่อจำเป็นต้องกำจัดส่วนทั้งหมด สำหรับผลิตภัณฑ์ พวกเขาสามารถทำให้เป็นภาพรวมเพื่อ "เผา" ข้อเสียหลายๆ ครั้งในคราวเดียว:

1. เราขีดลบ minuses เป็นคู่จนกว่ามันจะหายไปอย่างสมบูรณ์ ในกรณีร้ายแรง หนึ่งลบสามารถอยู่รอดได้ - อันที่ไม่พบการจับคู่
2. หากไม่มี minuses เหลืออยู่ การดำเนินการจะเสร็จสิ้น - คุณสามารถเริ่มคูณได้ หากเครื่องหมายลบสุดท้ายไม่ถูกขีดฆ่า เนื่องจากไม่พบคู่ เราจะเอามันออกจากขอบเขตของการคูณ คุณได้เศษส่วนติดลบ

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

เราแปลเศษส่วนทั้งหมดเป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง แล้วจึงนำ minuse ออกนอกขอบเขตของการคูณ สิ่งที่เหลืออยู่จะถูกคูณตามกฎปกติ เราได้รับ:

ผมขอเตือนคุณอีกครั้งว่าเครื่องหมายลบที่อยู่หน้าเศษส่วนที่มีส่วนจำนวนเต็มเน้นนั้นหมายถึงเศษส่วนทั้งหมดโดยเฉพาะ ไม่ใช่เฉพาะส่วนจำนวนเต็มของมันเท่านั้น (ใช้กับสองตัวอย่างสุดท้าย)

ให้ความสนใจกับจำนวนลบด้วย: เมื่อคูณแล้วจะอยู่ในวงเล็บ สิ่งนี้ทำเพื่อแยก minuses ออกจากเครื่องหมายคูณและทำให้สัญกรณ์ทั้งหมดถูกต้องมากขึ้น

ลดเศษส่วนได้ทันที

การคูณเป็นการดำเนินการที่ลำบากมาก ตัวเลขที่นี่ค่อนข้างใหญ่ และเพื่อลดความซับซ้อนของงาน คุณสามารถลองลดเศษส่วนให้มากขึ้น ก่อนคูณ. โดยพื้นฐานแล้ว ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนนั้นเป็นตัวประกอบธรรมดา ดังนั้นจึงสามารถลดลงได้โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน ลองดูตัวอย่าง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ตามคำจำกัดความเรามี:

ในตัวอย่างทั้งหมด จำนวนที่ลดลงและสิ่งที่เหลืออยู่จะถูกทำเครื่องหมายเป็นสีแดง

โปรดทราบ: ในกรณีแรก ตัวคูณจะลดลงอย่างสมบูรณ์ หน่วยยังคงอยู่ในสถานที่ซึ่งโดยทั่วไปสามารถละเว้นได้ ในตัวอย่างที่สอง ไม่สามารถบรรลุการลดลงทั้งหมดได้ แต่จำนวนการคำนวณทั้งหมดยังคงลดลง

อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าในกรณีใด ห้ามใช้เทคนิคนี้ในการบวกและลบเศษส่วน! ใช่ บางครั้งมีตัวเลขที่คล้ายกันที่คุณต้องการลด ที่นี่ ดู:

คุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้!

ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเนื่องจากเมื่อบวกเศษส่วน ผลรวมจะปรากฏในตัวเศษของเศษส่วน ไม่ใช่ผลคูณของตัวเลข ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้คุณสมบัติหลักของเศษส่วน เนื่องจากคุณสมบัตินี้เกี่ยวข้องกับการคูณตัวเลขโดยเฉพาะ

ไม่มีเหตุผลอื่นที่จะลดเศษส่วน ดังนั้นวิธีแก้ไขที่ถูกต้องสำหรับปัญหาก่อนหน้านี้จึงมีลักษณะดังนี้:

การตัดสินใจที่ถูกต้อง:

อย่างที่คุณเห็น คำตอบที่ถูกต้องกลับกลายเป็นว่าไม่สวยงามนัก โดยทั่วไปควรระมัดระวัง

ด้วยเศษส่วน คุณสามารถดำเนินการทั้งหมด รวมถึงการหารด้วย บทความนี้แสดงการหารเศษส่วนธรรมดา คำจำกัดความจะได้รับการพิจารณาตัวอย่าง ให้เราอาศัยการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติและในทางกลับกัน จะพิจารณาการหารเศษส่วนธรรมดาด้วยจำนวนคละ

การหารเศษส่วนธรรมดา

หารเป็นส่วนผกผันของการคูณ เมื่อทำการหาร ปัจจัยที่ไม่รู้จักจะอยู่ที่ผลิตภัณฑ์ที่รู้จักและอีกปัจจัยหนึ่ง โดยที่ความหมายที่ให้ไว้จะถูกรักษาไว้ด้วยเศษส่วนธรรมดา

หากจำเป็นต้องหารเศษส่วนสามัญ a b ด้วย c d จากนั้นในการหาจำนวนนั้น คุณต้องคูณด้วยตัวหาร c d ซึ่งจะทำให้เงินปันผลเป็น a b ได้ในที่สุด หาตัวเลขมาเขียนว่า a b · d c โดยที่ d c คือส่วนกลับของจำนวน c d ความเท่าเทียมกันสามารถเขียนได้โดยใช้คุณสมบัติของการคูณ กล่าวคือ a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b โดยที่นิพจน์ a b d c คือผลหารของการหาร a b ด้วย c d

จากที่นี่เราได้รับและกำหนดกฎสำหรับการหารเศษส่วนสามัญ:

คำจำกัดความ 1

ในการหารเศษส่วนธรรมดา a b ด้วย c d จำเป็นต้องคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร

ลองเขียนกฎเป็นนิพจน์: a b: c d = a b d c

กฎของการหารจะลดลงเป็นการคูณ คุณต้องเชี่ยวชาญในการคูณเศษส่วนธรรมดา

มาดูการหารเศษส่วนธรรมดากัน

ตัวอย่าง 1

ดำเนินการหาร 9 7 โดย 5 3 . เขียนผลลัพธ์เป็นเศษส่วน

วิธีการแก้

หมายเลข 5 3 คือส่วนกลับของ 3 5 . คุณต้องใช้กฎในการหารเศษส่วนธรรมดา เราเขียนนิพจน์นี้ดังนี้: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35

ตอบ: 9 7: 5 3 = 27 35 .

เมื่อลดเศษส่วน คุณควรเน้นส่วนทั้งหมดหากตัวเศษมากกว่าตัวส่วน

ตัวอย่าง 2

หาร 8 15: 24 65 . เขียนคำตอบเป็นเศษส่วน

วิธีการแก้

วิธีแก้คือเปลี่ยนจากการหารเป็นการคูณ เราเขียนในรูปแบบนี้: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

จำเป็นต้องทำการลดลงและทำได้ดังนี้: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

เราเลือกส่วนจำนวนเต็มและรับ 13 9 = 1 4 9 .

ตอบ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

การหารเศษส่วนวิสามัญด้วยจำนวนธรรมชาติ

เราใช้กฎการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ: ในการหาร a b ด้วยจำนวนธรรมชาติ n คุณต้องคูณเฉพาะตัวส่วนด้วย n จากที่นี่เราจะได้นิพจน์: a b: n = a b · n

กฎการหารเป็นผลมาจากกฎการคูณ ดังนั้นการแทนจำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วนจะให้ความเท่าเทียมกันของประเภทนี้: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n

พิจารณาการหารเศษส่วนด้วยตัวเลขนี้

ตัวอย่างที่ 3

หารเศษส่วน 1645 ด้วยจำนวน 12

วิธีการแก้

ใช้กฎการหารเศษส่วนด้วยตัวเลข เราได้รับนิพจน์เช่น 16 45: 12 = 16 45 12

มาลดเศษส่วนกันเถอะ เราได้ 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

ตอบ: 16 45: 12 = 4 135 .

การหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วนร่วม

กฎการแบ่งก็คล้ายกัน เกี่ยวกับกฎการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วนธรรมดา: ในการหารจำนวนธรรมชาติ n ด้วยสามัญ a b จำเป็นต้องคูณจำนวน n ด้วยส่วนกลับของเศษส่วน a b .

ตามกฎ เรามี n: a b \u003d n b a และด้วยกฎของการคูณจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วนธรรมดา เราได้นิพจน์ในรูปแบบ n: a b \u003d n b a จำเป็นต้องพิจารณาส่วนนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

หาร 25 คูณ 15 28 .

วิธีการแก้

เราต้องเปลี่ยนจากการหารเป็นการคูณ เราเขียนในรูปแบบของนิพจน์ 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . ลองลดเศษส่วนแล้วได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วน 46 2 3 .

ตอบ: 25: 15 28 = 46 2 3 .

การหารเศษส่วนร่วมด้วยจำนวนคละ

เมื่อนำเศษส่วนธรรมดามาหารด้วยจำนวนคละ ก็สามารถฉายแสงเพื่อหารเศษส่วนธรรมดาได้อย่างง่ายดาย คุณต้องแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษเกิน

ตัวอย่างที่ 5

หารเศษส่วน 35 16 ด้วย 3 1 8 .

วิธีการแก้

เนื่องจาก 3 1 8 เป็นจำนวนคละ ลองแทนมันเป็นเศษเกิน. จากนั้นเราจะได้ 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . ทีนี้มาหารเศษส่วนกัน เราได้ 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

ตอบ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

การหารจำนวนคละทำได้ในลักษณะเดียวกับตัวเลขธรรมดา

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

) และตัวส่วนโดยตัวส่วน (เราจะได้ตัวส่วนของผลคูณ)

สูตรคูณเศษส่วน:

ตัวอย่างเช่น:

ก่อนดำเนินการคูณตัวเศษและตัวส่วน จำเป็นต้องตรวจสอบความเป็นไปได้ของการลดเศษส่วนเสียก่อน หากคุณจัดการลดเศษส่วนได้ คุณจะทำการคำนวณต่อไปได้ง่ายขึ้น

หารเศษส่วนสามัญด้วยเศษส่วน

การหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ

มันไม่ได้น่ากลัวอย่างที่คิด ในกรณีของการบวก เราแปลงจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนโดยมีหน่วยเป็นตัวส่วน ตัวอย่างเช่น:

การคูณเศษส่วนแบบผสม

กฎการคูณเศษส่วน (ผสม):

• แปลงเศษส่วนผสมให้ไม่เหมาะสม
• คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน
• เราลดเศษส่วน
• ถ้าเราได้เศษเกิน เราก็แปลงเศษเกินให้เป็นเศษผสม

บันทึก!ในการคูณเศษส่วนผสมด้วยเศษส่วนผสมอื่น ก่อนอื่นคุณต้องนำเศษส่วนดังกล่าวมาอยู่ในรูปเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นคูณตามกฎสำหรับการคูณเศษส่วนธรรมดา

วิธีที่สองในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ

จะสะดวกกว่าถ้าใช้วิธีที่สองในการคูณเศษส่วนธรรมดาด้วยตัวเลข

บันทึก!ในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ จำเป็นต้องนำตัวส่วนของเศษส่วนมาหารด้วยตัวเลขนี้ และปล่อยให้ตัวเศษไม่เปลี่ยนแปลง

จากตัวอย่างข้างต้น เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลือกนี้สะดวกกว่าที่จะใช้เมื่อตัวหารของเศษส่วนถูกหารโดยไม่มีเศษเหลือด้วยจำนวนธรรมชาติ

เศษส่วนหลายระดับ

ในโรงเรียนมัธยมมักพบเศษส่วนสามชั้น (หรือมากกว่า) ตัวอย่าง:

ในการนำเศษส่วนมาสู่รูปแบบปกติ ใช้การหารด้วย 2 คะแนน:

บันทึก!ในการหารเศษส่วน ลำดับการหารมีความสำคัญมาก ระวังมันง่ายที่จะสับสนที่นี่

บันทึก, ตัวอย่างเช่น:

เมื่อหารด้วยเศษส่วนใด ๆ ผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วนเดียวกัน กลับด้านเท่านั้น:

เคล็ดลับการปฏิบัติสำหรับการคูณและหารเศษส่วน:

1. สิ่งที่สำคัญที่สุดในการทำงานกับนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนคือความแม่นยำและความใส่ใจ ทำการคำนวณทั้งหมดอย่างรอบคอบและแม่นยำ เข้มข้น และชัดเจน ดีกว่าที่จะเขียนบรรทัดพิเศษสองสามบรรทัดในร่างมากกว่าที่จะสับสนในการคำนวณในหัวของคุณ

2. ในงานที่มีเศษส่วนประเภทต่างๆ - ไปที่ประเภทของเศษส่วนธรรมดา

3. เราลดเศษส่วนทั้งหมดจนไม่สามารถลดได้อีกต่อไป

4. เรานำนิพจน์เศษส่วนหลายระดับมาเป็นนิพจน์ทั่วไป โดยใช้การหารถึง 2 คะแนน

5. เราแบ่งหน่วยเป็นเศษส่วนในใจโดยพลิกเศษส่วนกลับ

§ 87. การบวกเศษส่วน

การบวกเศษส่วนมีความคล้ายคลึงกันมากกับการบวกจำนวนเต็ม การบวกเศษส่วนเป็นการกระทำที่ประกอบด้วยตัวเลขที่กำหนดหลายตัว (เงื่อนไข) รวมกันเป็นตัวเลขเดียว (ผลรวม) ซึ่งประกอบด้วยหน่วยและเศษส่วนของหน่วยเทอมทั้งหมด

เราจะพิจารณาสามกรณีในทางกลับกัน:

1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
3. การบวกเลขคละกัน

1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

พิจารณาตัวอย่าง: 1 / 5 + 2 / 5 .

นำเซกเมนต์ AB (รูปที่ 17) มาเป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 5 ส่วนเท่าๆ กัน จากนั้นส่วน AC ของเซ็กเมนต์นี้จะเท่ากับ 1/5 ของเซ็กเมนต์ AB และส่วนของซีดีเซ็กเมนต์เดียวกัน จะเท่ากับ 2/5 AB

จากรูปวาดจะเห็นได้ว่าถ้าเราหาเซกเมนต์ AD มันจะเท่ากับ 3/5 AB; แต่เซ็กเมนต์ AD คือผลรวมของเซ็กเมนต์ AC และ CD อย่างแม่นยำ ดังนั้น เราสามารถเขียนว่า

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

เมื่อพิจารณาเงื่อนไขเหล่านี้และจำนวนผลลัพธ์ เราจะเห็นว่าตัวเศษของผลรวมได้มาจากการเพิ่มตัวเศษของเงื่อนไข และตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

จากนี้เราได้รับกฎต่อไปนี้: ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องเพิ่มตัวเศษและปล่อยให้เป็นตัวส่วนเดียวกัน

พิจารณาตัวอย่าง:

2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

มาบวกเศษส่วนกัน: 3/4 + 3/8 ก่อนอื่นต้องลดตัวส่วนร่วมต่ำสุด:

ไม่สามารถเขียนลิงก์กลาง 6/8 + 3/8 ได้ เราได้เขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น

ดังนั้น ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ก่อนอื่นคุณต้องนำเศษส่วนมาหารด้วยตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด บวกตัวเศษและเซ็นชื่อตัวส่วนร่วม

พิจารณาตัวอย่าง (เราจะเขียนตัวประกอบเพิ่มเติมบนเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง):

3. การบวกเลขคละ

ลองบวกตัวเลข: 2 3 / 8 + 3 5 / 6

อันดับแรก ให้เรานำเศษส่วนของตัวเลขมาเป็นตัวส่วนร่วมก่อน แล้วเขียนใหม่อีกครั้ง:

ตอนนี้เพิ่มส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนตามลำดับ:

§ 88. การลบเศษส่วน

การลบเศษส่วนถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการลบจำนวนเต็ม นี่คือการกระทำโดยให้ผลรวมของสองเทอมและหนึ่งในนั้นพบอีกเทอมหนึ่ง ลองพิจารณาสามกรณีในทางกลับกัน:

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
3. การลบจำนวนคละ.

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

พิจารณาตัวอย่าง:

13 / 15 - 4 / 15

ลองเอาส่วน AB (รูปที่ 18) มาเป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 15 ส่วนเท่า ๆ กัน จากนั้นส่วน AC ของส่วนนี้จะเท่ากับ 1/15 ของ AB และส่วน AD ของส่วนเดียวกันจะสอดคล้องกับ 13/15 AB แยก ED อีกส่วนไว้ เท่ากับ 4/15 AB

เราต้องลบ 4/15 จาก 13/15 ในภาพวาด นี่หมายความว่าส่วน ED ต้องถูกลบออกจากส่วน AD ด้วยเหตุนี้ ส่วน AE จะยังคงอยู่ ซึ่งเท่ากับ 9/15 ของเซ็กเมนต์ AB เราจึงเขียนได้ว่า

ตัวอย่างที่เราทำแสดงให้เห็นว่าตัวเศษของผลต่างได้มาจากการลบตัวเศษและตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม

ดังนั้น ในการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องลบตัวเศษของ subtrahend ออกจากตัวเศษของ minuend และปล่อยให้ตัวส่วนเดียวกัน

2. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่าง. 3/4 - 5/8

ขั้นแรก ให้ลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เหลือตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุด:

ลิงค์กลาง 6 / 8 - 5 / 8 เขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจน แต่สามารถข้ามได้ในอนาคต

ดังนั้น ในการลบเศษส่วนออกจากเศษส่วน ก่อนอื่นคุณต้องนำพวกมันไปยังตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุดก่อน จากนั้นลบตัวเศษของ subtrahend ออกจากตัวเศษของ minuend และเซ็นชื่อตัวส่วนร่วมภายใต้ส่วนต่างของพวกมัน

พิจารณาตัวอย่าง:

3. การลบจำนวนคละ.

ตัวอย่าง. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

ลองนำเศษส่วนของ minuend และ subtrahend มาที่ตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:

เราลบทั้งหมดจากจำนวนเต็มและเศษส่วนจากเศษส่วน แต่มีบางกรณีที่เศษส่วนของ subtrahend มากกว่าเศษส่วนของ minuend ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องนำหนึ่งหน่วยจากส่วนจำนวนเต็มของค่าลดหย่อน แยกเป็นส่วนที่แสดงส่วนที่เป็นเศษส่วน แล้วบวกกับส่วนที่เป็นเศษส่วนของค่าที่ลดลง จากนั้นการลบจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้า:

§ 89. การคูณเศษส่วน

เมื่อศึกษาการคูณเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้

1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
2. การหาเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนด
3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การคูณจำนวนคละ
6. แนวคิดที่น่าสนใจ
7. การหาเปอร์เซ็นต์ของจำนวนที่กำหนด ลองพิจารณาตามลำดับ

1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม

การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มมีความหมายเดียวกับการคูณจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม การคูณเศษส่วน (ตัวคูณ) ด้วยจำนวนเต็ม (ตัวคูณ) หมายถึงการรวมกันของพจน์ที่เหมือนกัน ซึ่งแต่ละพจน์มีค่าเท่ากับตัวคูณ และจำนวนพจน์จะเท่ากับตัวคูณ

ดังนั้น หากคุณต้องการคูณ 1/9 ด้วย 7 สามารถทำได้ดังนี้:

เราได้ผลลัพธ์อย่างง่ายดาย เนื่องจากการกระทำถูกลดขนาดลงเหลือการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน เพราะเหตุนี้,

การพิจารณาการกระทำนี้แสดงให้เห็นว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มนั้นเทียบเท่ากับการบวกเศษส่วนนี้หลายครั้งตามที่มีหน่วยในจำนวนเต็ม และเนื่องจากการเพิ่มขึ้นของเศษส่วนทำได้โดยการเพิ่มตัวเศษ

หรือโดยการลดตัวส่วนลง จากนั้นเราสามารถคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็ม หรือหารตัวส่วนด้วยตัวหาร ถ้าการหารนั้นเป็นไปได้

จากที่นี่เราได้รับกฎ:

ในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มนี้แล้วปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน หรือถ้าเป็นไปได้ ให้หารตัวส่วนด้วยตัวเลขนี้ โดยปล่อยให้ตัวเศษไม่เปลี่ยนแปลง

ในการคูณ สามารถใช้ตัวย่อได้ เช่น

2. การหาเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนดมีปัญหามากมายที่คุณต้องค้นหาหรือคำนวณส่วนหนึ่งของตัวเลขที่กำหนด ความแตกต่างระหว่างงานเหล่านี้กับงานอื่นๆ คือ ให้จำนวนวัตถุหรือหน่วยวัดจำนวนหนึ่ง และคุณจำเป็นต้องค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขนี้ ซึ่งระบุด้วยเศษส่วนบางส่วน เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น เราจะยกตัวอย่างปัญหาดังกล่าวก่อน แล้วจึงแนะนำวิธีการแก้ปัญหา

ภารกิจที่ 1ฉันมี 60 รูเบิล; 1 / 3 ของเงินจำนวนนี้ที่ฉันใช้ไปในการซื้อหนังสือ หนังสือราคาเท่าไหร่?

ภารกิจที่ 2รถไฟต้องครอบคลุมระยะทางระหว่างเมือง A และ B เท่ากับ 300 กม. เขาได้ครอบคลุม 2/3 ของระยะทางนั้นแล้ว นี่กี่กิโลคะ?

ภารกิจที่ 3ในหมู่บ้านมีบ้าน 400 หลัง อิฐ 3/4 ที่เหลือเป็นไม้ มีบ้านอิฐกี่หลัง?

ต่อไปนี้คือปัญหาบางส่วนที่เราต้องจัดการเพื่อค้นหาเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนด มักเรียกว่าปัญหาในการหาเศษของจำนวนที่กำหนด

การแก้ปัญหาที่ 1จาก 60 รูเบิล ฉันใช้เวลา 1 / 3 ในหนังสือ; ดังนั้น ในการหาค่าหนังสือ คุณต้องหารเลข 60 ด้วย 3:

การแก้ปัญหาที่ 2ความหมายของปัญหาคือคุณต้องหา 2 / 3 จาก 300 กม. คำนวณ 1/3 แรกของ 300; ทำได้โดยการหาร 300 กม. ด้วย 3:

300: 3 = 100 (นั่นคือ 1/3 ของ 300)

ในการหาสองในสามของ 300 คุณต้องเพิ่มผลหารผลลัพธ์เป็นสองเท่า นั่นคือ คูณด้วย 2:

100 x 2 = 200 (นั่นคือ 2/3 ของ 300)

การแก้ปัญหาที่ 3คุณต้องกำหนดจำนวนบ้านอิฐซึ่งเท่ากับ 3/4 ของ 400 หา 1/4 ของ 400 กันก่อน

400: 4 = 100 (นั่นคือ 1/4 ของ 400)

ในการคำนวณสามในสี่ของ 400 ผลหารที่ได้จะต้องเป็นสามเท่านั่นคือคูณด้วย 3:

100 x 3 = 300 (นั่นคือ 3/4 ของ 400)

จากการแก้ปัญหาเหล่านี้ เราสามารถได้กฎต่อไปนี้:

ในการหาค่าของเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนด คุณต้องหารตัวเลขนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วคูณผลหารผลลัพธ์ด้วยตัวเศษ

3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ก่อนหน้านี้ (§ 26) เป็นที่ยอมรับแล้วว่าการคูณของจำนวนเต็มควรเข้าใจว่าเป็นการบวกเงื่อนไขที่เหมือนกัน (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) ในย่อหน้านี้ (วรรค 1) มีการกำหนดว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มหมายถึงการหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกันเท่ากับเศษส่วนนี้

ในทั้งสองกรณี การคูณประกอบด้วยการหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน

ต่อไปเราจะทำการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน ที่นี่เราจะพบกับเช่นการคูณ: 9 2 / 3 ค่อนข้างชัดเจนว่าคำจำกัดความของการคูณก่อนหน้านี้ใช้ไม่ได้กับกรณีนี้ เห็นได้ชัดจากข้อเท็จจริงที่ว่าเราไม่สามารถแทนที่การคูณดังกล่าวด้วยการบวกจำนวนเท่ากัน

ด้วยเหตุนี้ เราจะต้องให้คำจำกัดความใหม่ของการคูณ กล่าวคือ เพื่อตอบคำถามว่าการคูณด้วยเศษส่วนควรเข้าใจอะไร ควรเข้าใจการกระทำนี้อย่างไร

ความหมายของการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนมีความชัดเจนจากคำจำกัดความต่อไปนี้: การคูณจำนวนเต็ม (ตัวคูณ) ด้วยเศษส่วน (ตัวคูณ) หมายถึงการหาเศษส่วนของตัวคูณนี้

กล่าวคือ การคูณ 9 ด้วย 2/3 หมายถึงการหา 2/3 ของหน่วยเก้าหน่วย ในวรรคก่อน ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขแล้ว มันง่ายที่จะคิดออกว่าเราลงท้ายด้วย 6

แต่ตอนนี้มีคำถามที่น่าสนใจและสำคัญเกิดขึ้น: เหตุใดการกระทำที่ดูเหมือนแตกต่างกันเช่นการหาผลรวมของจำนวนเท่ากันและการหาเศษส่วนของตัวเลขจึงเรียกว่าคำเดียวกันว่า "การคูณ" ในทางคณิตศาสตร์

สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการกระทำก่อนหน้า (การทำซ้ำตัวเลขด้วยเงื่อนไขหลาย ๆ ครั้ง) และการกระทำใหม่ (การหาเศษส่วนของตัวเลข) ให้คำตอบสำหรับคำถามที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเราดำเนินการที่นี่จากการพิจารณาว่าคำถามหรืองานที่เป็นเนื้อเดียวกันได้รับการแก้ไขด้วยการกระทำแบบเดียวกัน

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ให้พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: “ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 4 ม. จะมีราคาเท่าไร?

ปัญหานี้แก้ไขได้โดยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (4) เช่น 50 x 4 = 200 (รูเบิล)

ลองใช้ปัญหาเดียวกัน แต่ปริมาณผ้าจะแสดงเป็นตัวเลขเศษส่วน: “ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 3/4 ม. จะมีราคาเท่าไร?

ปัญหานี้ยังต้องแก้ไขด้วยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (3/4)

คุณยังสามารถเปลี่ยนตัวเลขในนั้นได้หลายครั้งโดยไม่เปลี่ยนความหมายของปัญหา เช่น ใช้ 9/10 ม. หรือ 2 3/10 ม. เป็นต้น

เนื่องจากปัญหาเหล่านี้มีเนื้อหาเหมือนกันและแตกต่างกันในตัวเลขเท่านั้น เราจึงเรียกการดำเนินการที่ใช้ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ว่าคำเดียวกัน - การคูณ

จำนวนเต็มคูณด้วยเศษส่วนอย่างไร

มาดูตัวเลขที่พบในปัญหาสุดท้ายกัน:

ตามคำจำกัดความเราต้องหา 3 / 4 ของ 50 อันดับแรกเราหา 1 / 4 ของ 50 แล้ว 3 / 4

1/4 ของ 50 คือ 50/4;

3/4 ของ 50 คือ .

เพราะเหตุนี้.

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 12 5 / 8 = ?

1/8 ของ 12 คือ 12/8,

5/8 ของจำนวน 12 คือ .

เพราะเหตุนี้,

จากที่นี่เราได้รับกฎ:

ในการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วทำให้ผลคูณนี้เป็นตัวเศษ และเซ็นตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดให้เป็นตัวส่วน

เราเขียนกฎนี้โดยใช้ตัวอักษร:

เพื่อให้กฎนี้ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการคูณตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ใน§ 38

ต้องจำไว้ว่าก่อนทำการคูณคุณควรทำ (ถ้าเป็นไปได้) ตัด, ตัวอย่างเช่น:

4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนมีความหมายเดียวกับการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน นั่นคือ เมื่อคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องหาเศษส่วนในตัวคูณจากเศษส่วนแรก (ตัวคูณ)

กล่าวคือ การคูณ 3/4 คูณ 1/2 (ครึ่ง) หมายถึง การหาครึ่งหนึ่งของ 3/4

คุณคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?

ลองมาดูตัวอย่างกัน: 3/4 คูณ 5/7 ซึ่งหมายความว่าคุณต้องค้นหา 5 / 7 จาก 3 / 4 ค้นหา 1/7 ของ 3/4 แล้วตามด้วย 5/7

1/7 ของ 3/4 จะแสดงดังนี้:

5 / 7 ตัวเลข 3 / 4 จะแสดงดังนี้:

ทางนี้,

อีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 คูณ 4/9

1/9 ของ 5/8 คือ ,

4/9 ตัวเลข 5/8 คือ .

ทางนี้,

จากตัวอย่างเหล่านี้ กฎต่อไปนี้สามารถอนุมานได้:

ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนด้วยตัวส่วน และทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และผลิตภัณฑ์ที่สองเป็นตัวส่วนของผลคูณ

กฎนี้สามารถเขียนได้โดยทั่วไปดังนี้:

เมื่อคูณจำเป็นต้องลด (ถ้าเป็นไปได้) พิจารณาตัวอย่าง:

5. การคูณจำนวนคละเนื่องจากจำนวนคละสามารถแทนที่ด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมได้ง่าย สถานการณ์นี้จึงมักใช้เมื่อคูณจำนวนคละ ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่ตัวคูณ หรือตัวคูณ หรือตัวประกอบทั้งสองแสดงเป็นจำนวนคละ จะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม คูณเช่นจำนวนคละ: 2 1/2 และ 3 1/5 เราเปลี่ยนแต่ละอันให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นเราจะคูณเศษส่วนที่ได้ตามกฎของการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน:

กฎ.ในการคูณจำนวนคละนั้น ก่อนอื่นคุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง จากนั้นคูณตามกฎของการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน

บันทึก.หากปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม การคูณสามารถทำได้ตามกฎการจำหน่ายดังนี้

6. แนวคิดที่น่าสนใจในการแก้ปัญหาและเมื่อทำการคำนวณเชิงปฏิบัติต่างๆ เราใช้เศษส่วนทุกประเภท แต่ต้องจำไว้ว่าปริมาณจำนวนมากไม่ยอมรับใด ๆ แต่เป็นการแบ่งย่อยตามธรรมชาติสำหรับพวกเขา ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้หนึ่งในร้อย (1/100) ของรูเบิล มันจะเป็นเพนนี สองในร้อยคือ 2 โกเป็ก สามในร้อยคือ 3 โกเป็ก คุณสามารถใช้ 1/10 ของรูเบิล มันจะเป็น "10 kopecks หรือเล็กน้อย คุณสามารถเอาหนึ่งในสี่ของรูเบิล นั่นคือ 25 kopecks ครึ่งรูเบิล นั่นคือ 50 kopecks (ห้าสิบ kopecks) แต่ในทางปฏิบัติแล้ว ไม่ใช้ตัวอย่างเช่น 2/7 rubles เพราะรูเบิลไม่ได้แบ่งออกเป็นเจ็ด

หน่วยวัดน้ำหนัก เช่น กิโลกรัม อนุญาต อย่างแรกเลย ส่วนย่อยทศนิยม เช่น 1/10 กก. หรือ 100 กรัม และเศษส่วนของกิโลกรัม เช่น 1/6, 1/11, 1/ 13 เรื่องไม่ธรรมดา

โดยทั่วไป การวัด (เมตริก) ของเราเป็นทศนิยมและอนุญาตให้แบ่งย่อยทศนิยมได้

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่ามีประโยชน์อย่างยิ่งและสะดวกในหลายกรณีที่จะใช้วิธีการแบ่งย่อยปริมาณ (สม่ำเสมอ) เดียวกัน ประสบการณ์หลายปีได้แสดงให้เห็นว่าแผนกที่มีเหตุมีผลดีเช่นนี้คือฝ่ายที่ "ร้อย" ลองพิจารณาตัวอย่างบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับแนวปฏิบัติของมนุษย์ที่หลากหลายที่สุด

1. ราคาหนังสือลดลง 12/100 จากราคาเดิม

ตัวอย่าง. ราคาก่อนหน้าของหนังสือคือ 10 รูเบิล เธอลดลง 1 รูเบิล 20 ค็อป

2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินระหว่างปีให้แก่ผู้ฝาก 2/100 ของจำนวนเงินที่ฝากเข้าบัญชีออมทรัพย์

ตัวอย่าง. วาง 500 รูเบิลลงในโต๊ะเงินสดรายได้จากจำนวนนี้สำหรับปีคือ 10 รูเบิล

3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนหนึ่งคือ 5/100 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

ตัวอย่าง มีนักเรียนเพียง 1,200 คนเท่านั้นที่เรียนที่โรงเรียน โดย 60 คนจบการศึกษาจากโรงเรียน

หนึ่งในร้อยของตัวเลขเรียกว่าเปอร์เซ็นต์.

คำว่า "ร้อยละ" ยืมมาจากภาษาละตินและรากของคำว่า "ร้อยละ" หมายถึงหนึ่งร้อย พร้อมกับคำบุพบท (pro centum) คำนี้หมายถึง "สำหรับร้อย" ความหมายของนิพจน์นี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าในสมัยกรุงโรมโบราณมีดอกเบี้ยเป็นเงินที่ลูกหนี้จ่ายให้กับผู้ให้กู้ "ทุก ๆ ร้อย" คำว่า "ร้อยละ" ได้ยินในคำที่คุ้นเคยเช่น centner (หนึ่งร้อยกิโลกรัม), เซนติเมตร (พวกเขากล่าวว่าเซนติเมตร)

ตัวอย่างเช่น แทนที่จะบอกว่าโรงงานผลิต 1/100 ของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่ผลิตโดยมันในช่วงเดือนที่ผ่านมา เราจะพูดแบบนี้: โรงงานผลิต 1 เปอร์เซ็นต์ของการคัดแยกในช่วงเดือนที่ผ่านมา แทนที่จะพูดว่า: โรงงานผลิตสินค้ามากกว่าแผนที่ตั้งไว้ 4/100 เราจะพูดว่า โรงงานนั้นเกินแผน 4 เปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแสดงได้แตกต่างกัน:

1. ราคาหนังสือลดลงร้อยละ 12 ของราคาเดิม

2. ธนาคารออมสินจ่ายผู้ฝาก 2% ต่อปีของจำนวนเงินออมทรัพย์

3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนหนึ่งคือร้อยละ 5 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมดในโรงเรียน

ในการย่อตัวอักษร เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนเครื่องหมาย% แทนคำว่า "percentage"

อย่างไรก็ตาม ต้องจำไว้ว่าเครื่องหมาย % มักจะไม่ถูกเขียนในการคำนวณ มันสามารถเขียนได้ในคำสั่งปัญหาและในผลลัพธ์สุดท้าย เมื่อทำการคำนวณ คุณต้องเขียนเศษส่วนด้วยตัวส่วน 100 แทนที่จะเป็นจำนวนเต็มที่มีไอคอนนี้

คุณต้องสามารถแทนที่จำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วน 100:

ในทางกลับกัน คุณต้องชินกับการเขียนจำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุ แทนที่จะเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:

7. การหาเปอร์เซ็นต์ของจำนวนที่กำหนด

ภารกิจที่ 1โรงเรียนได้รับ 200 ลูกบาศก์เมตร ม. ฟืนโดยมีฟืนเบิร์ชคิดเป็น 30% มีไม้เบิร์ชอยู่เท่าไหร่?

ความหมายของปัญหานี้คือ ฟืนเบิร์ชเป็นเพียงส่วนหนึ่งของฟืนที่ส่งให้โรงเรียน และส่วนนี้แสดงเป็นเศษส่วนของ 30 / 100 ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับภารกิจในการหาเศษส่วนของตัวเลข ในการแก้ปัญหานี้ เราต้องคูณ 200 ด้วย 30/100 (งานในการหาเศษส่วนของตัวเลขจะแก้ได้โดยการคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน)

ดังนั้น 30% ของ 200 เท่ากับ 60

เศษส่วน 30 / 100 ที่พบในปัญหานี้สามารถลดลงได้ 10 เป็นไปได้ที่จะดำเนินการลดนี้ตั้งแต่เริ่มต้น การแก้ปัญหาจะไม่เปลี่ยนแปลง

ภารกิจที่ 2ในค่ายมีเด็กวัยต่างๆ 300 คน เด็กอายุ 11 ปีเป็น 21% เด็กอายุ 12 ปีเป็น 61% และอายุ 13 ปีเป็น 18% ในค่ายมีเด็กแต่ละวัยกี่คน?

ในปัญหานี้ คุณต้องทำการคำนวณสามครั้ง นั่นคือ ค้นหาจำนวนเด็กอายุ 11 ปี จากนั้นจึงอายุ 12 ปี และสุดท้ายคือ 13 ปี

ดังนั้นที่นี่จึงจำเป็นต้องหาเศษส่วนของตัวเลขสามครั้ง มาทำกัน:

1) มีเด็กอายุ 11 ปีกี่คน?

2) เด็กอายุ 12 ปีมีกี่คน?

3) เด็กอายุ 13 ปีมีกี่คน?

หลังจากแก้ปัญหาแล้ว ให้บวกตัวเลขที่พบ ผลรวมของพวกเขาควรเป็น 300:

63 + 183 + 54 = 300

คุณควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าผลรวมของเปอร์เซ็นต์ที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหาคือ 100:

21% + 61% + 18% = 100%

นี่แสดงให้เห็นว่าจำนวนเด็กในค่ายคิดเป็น 100%

3 ดาชา 3คนงานได้รับ 1,200 รูเบิลต่อเดือน ในจำนวนนี้ เขาใช้จ่าย 65% สำหรับค่าอาหาร, 6% ในอพาร์ทเมนต์และเครื่องทำความร้อน, 4% สำหรับค่าน้ำมัน, ไฟฟ้าและวิทยุ, 10% สำหรับความต้องการด้านวัฒนธรรม และ 15% เขาช่วยไว้ได้ จำนวนเงินที่ใช้ไปกับความต้องการที่ระบุไว้ในงาน?

จะต้องหาเศษของเลข 1,200 มาหาร 5 ครั้ง เพื่อแก้ปัญหานี้

1) ใช้เงินไปกับค่าอาหารเท่าไหร่? งานบอกว่าค่าใช้จ่ายนี้คือ 65% ของรายได้ทั้งหมด นั่นคือ 65/100 ของจำนวน 1,200 มาคำนวณกัน:

2) จ่ายเงินเท่าไหร่สำหรับอพาร์ทเมนต์ที่มีเครื่องทำความร้อน? เถียงเหมือนก่อนหน้านี้เรามาถึงการคำนวณต่อไปนี้:

3) ค่าน้ำมัน ค่าไฟ วิทยุ จ่ายไปเท่าไหร่?

4) ใช้เงินไปกับความต้องการทางวัฒนธรรมเท่าไร?

5) คนงานประหยัดเงินได้เท่าไหร่?

สำหรับการตรวจสอบ ควรเพิ่มตัวเลขที่พบในคำถาม 5 ข้อนี้ จำนวนเงินควรเป็น 1,200 รูเบิล รายได้ทั้งหมดคิดเป็น 100% ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยบวกเปอร์เซ็นต์ที่ระบุในคำชี้แจงปัญหา

เราได้แก้ไขปัญหาสามข้อ แม้ว่างานเหล่านี้จะเกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ (การส่งมอบฟืนสำหรับโรงเรียน จำนวนเด็กในวัยต่าง ๆ ค่าใช้จ่ายของคนงาน) พวกเขาก็ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะในทุกงาน จำเป็นต้องค้นหาสองสามเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขที่กำหนด

§ 90. การหารเศษส่วน

เมื่อศึกษาการหารเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้

1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม
2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. หารเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การหารจำนวนคละ.
6. การหาตัวเลขจากเศษส่วน
7. การหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์

ลองพิจารณาตามลำดับ

1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม

ดังที่ระบุไว้ในส่วนของจำนวนเต็ม การหารคือการกระทำที่ประกอบด้วยปัจจัยสองประการ (เงินปันผล) และปัจจัยเหล่านี้ (ตัวหาร) ปัจจัยหนึ่งจะพบปัจจัยอื่น

การหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มที่เราพิจารณาในส่วนจำนวนเต็ม เราพบกรณีของการแบ่งสองกรณี: หารโดยไม่มีเศษ หรือ "ทั้งหมด" (150: 10 = 15) และการหารด้วยเศษ (100: 9 = 11 และ 1 ในส่วนที่เหลือ) ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าในขอบเขตของจำนวนเต็ม การหารที่แน่นอนนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป เพราะการจ่ายเงินปันผลไม่ใช่ผลคูณของตัวหารและจำนวนเต็มเสมอไป หลังจากการคูณด้วยเศษส่วน เราสามารถพิจารณากรณีของการหารจำนวนเต็มเท่าที่เป็นไปได้ (ยกเว้นการหารด้วยศูนย์เท่านั้น)

ตัวอย่างเช่น การหาร 7 ด้วย 12 หมายถึงการหาจำนวนที่ผลคูณของ 12 จะเป็น 7 ตัวเลขนี้คือเศษส่วน 7/12 เพราะ 7/12 12 = 7 อีกตัวอย่างหนึ่ง: 14: 25 = 14/25 เพราะ 14/25 25 = 14

ดังนั้น ในการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องสร้างเศษส่วน ตัวเศษซึ่งเท่ากับเงินปันผล และตัวส่วนเป็นตัวหาร

2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม

หารเศษส่วน 6 / 7 ด้วย 3 ตามคำจำกัดความของการหารที่ให้ไว้ข้างต้น เราได้ผลลัพธ์ (6 / 7) และหนึ่งในปัจจัย (3) ต้องหาปัจจัยที่สองที่เมื่อคูณด้วย 3 จะได้ผลคูณที่ 6 / 7 เห็นได้ชัดว่าควรมีขนาดเล็กกว่าผลิตภัณฑ์นี้ถึงสามเท่า ซึ่งหมายความว่างานที่ตั้งไว้ก่อนหน้าเราคือการลดเศษส่วน 6 / 7 ลง 3 เท่า

เรารู้แล้วว่าการลดเศษส่วนสามารถทำได้โดยการลดตัวเศษหรือการเพิ่มตัวส่วน ดังนั้นคุณสามารถเขียน:

ในกรณีนี้ ตัวเศษ 6 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นตัวเศษจึงควรลดลง 3 เท่า

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 หารด้วย 2 ในที่นี้ตัวเศษ 5 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขนี้:

จากสิ่งนี้ เราสามารถระบุกฎได้: ในการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องหารตัวเศษของเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มนั้น(ถ้าเป็นไปได้), ปล่อยให้ตัวส่วนเดียวกันหรือคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยตัวเลขนี้ ปล่อยให้ตัวเศษเหมือนกัน

3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ให้ต้องหาร 5 ด้วย 1/2 นั่นคือ หาตัวเลขที่คูณด้วย 1/2 แล้วได้ผลลัพธ์ 5. แน่นอน ตัวเลขนี้ต้องมากกว่า 5 เนื่องจาก 1 / 2 เป็นเศษส่วนที่เหมาะสม และเมื่อคูณตัวเลขด้วยเศษส่วนที่เหมาะสม ผลคูณต้องน้อยกว่าตัวคูณ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เขียนการกระทำของเราดังนี้: 5: 1 / 2 = X , ดังนั้น x 1 / 2 \u003d 5.

เราต้องหาตัวเลขดังกล่าว X ซึ่งเมื่อคูณด้วย 1/2 จะได้ 5 เนื่องจากการคูณจำนวนหนึ่งด้วย 1/2 หมายถึงการหา 1/2 ของจำนวนนี้ ดังนั้น 1/2 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก X คือ 5 และจำนวนเต็ม X มากเป็นสองเท่าเช่น 5 2 \u003d 10

ดังนั้น 5: 1/2 = 5 2 = 10

มาตรวจสอบกัน:

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ให้มันต้องหาร 6 ด้วย 2 / 3 . ก่อนอื่นให้ลองค้นหาผลลัพธ์ที่ต้องการโดยใช้ภาพวาด (รูปที่ 19)

รูปที่ 19

วาดส่วน AB เท่ากับ 6 ของบางหน่วย และแบ่งแต่ละหน่วยออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กัน ในแต่ละหน่วย สามในสาม (3 / 3) ในกลุ่ม AB ทั้งหมดมีขนาดใหญ่กว่า 6 เท่า กล่าวคือ จ. 18/3. เราเชื่อมต่อด้วยความช่วยเหลือของวงเล็บเล็ก ๆ 18 ส่วนที่ได้รับ 2; จะมีเพียง 9 ตอนเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเศษส่วน 2/3 อยู่ในหน่วย b 9 ครั้ง หรืออีกนัยหนึ่ง เศษส่วน 2/3 มีค่าน้อยกว่าหน่วยจำนวนเต็ม 6 หน่วย 9 เท่า เพราะเหตุนี้,

จะรับผลลัพธ์นี้โดยไม่ต้องวาดโดยใช้การคำนวณเพียงอย่างเดียวได้อย่างไร เราจะโต้แย้งดังนี้: จำเป็นต้องหาร 6 ด้วย 2 / 3 นั่นคือต้องตอบคำถามว่ามีจำนวนเท่าใดใน 2 / 3 ใน 6 ลองหากันก่อน: 1 / 3 ได้กี่ครั้ง บรรจุใน 6? ในหน่วยทั้งหมด - 3 ใน 3 และใน 6 หน่วย - มากกว่า 6 เท่าเช่น 18 ใน 3 ในการหาจำนวนนี้ เราต้องคูณ 6 ด้วย 3 ดังนั้น 1/3 อยู่ในหน่วย b 18 ครั้ง และ 2/3 อยู่ในหน่วย b ไม่ใช่ 18 ครั้ง แต่ครึ่งหนึ่งเท่ากับ 18: 2 = 9 . ดังนั้น เมื่อหาร 6 ด้วย 2 / 3 เราทำดังต่อไปนี้:

จากที่นี่เราจะได้กฎสำหรับการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน ในการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด และทำให้ผลิตภัณฑ์นี้เป็นตัวเศษ หารด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนด

เราเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:

เพื่อให้กฎนี้ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการหารตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ใน § 38 โปรดทราบว่าได้สูตรเดียวกันที่นั่น

เมื่อแบ่งตัวย่อได้เช่น:

4. หารเศษส่วนด้วยเศษส่วน

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องหาร 3/4 ด้วย 3/8 อะไรจะบ่งบอกถึงจำนวนที่จะได้รับจากการหาร? มันจะตอบคำถามว่าเศษ 3/8 อยู่ในเศษส่วน 3/4 กี่ครั้ง เพื่อให้เข้าใจปัญหานี้ เรามาวาดรูปกัน (รูปที่ 20)

นำเซ็กเมนต์ AB มาเป็นหน่วย แบ่งเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน และทำเครื่องหมาย 3 ส่วนดังกล่าว เซ็กเมนต์ AC จะเท่ากับ 3/4 ของเซ็กเมนต์ AB ตอนนี้ให้เราแบ่งส่วนเริ่มต้นแต่ละส่วนจากสี่ส่วนครึ่ง จากนั้นส่วน AB จะแบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่าๆ กัน และแต่ละส่วนนั้นจะเท่ากับ 1/8 ของส่วน AB เราเชื่อมต่อ 3 ส่วนดังกล่าวกับส่วนโค้ง จากนั้นแต่ละส่วน AD และ DC จะเท่ากับ 3/8 ของส่วน AB ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าเซ็กเมนต์เท่ากับ 3/8 มีอยู่ในเซ็กเมนต์เท่ากับ 3/4 เท่ากับ 2 ครั้ง ผลลัพธ์ของการหารสามารถเขียนได้ดังนี้:

3 / 4: 3 / 8 = 2

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ปล่อยให้ต้องหาร 15/16 ด้วย 3/32:

เราสามารถให้เหตุผลดังนี้: เราต้องหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 3 / 32 แล้ว จะได้ผลคูณเท่ากับ 15 / 16 มาเขียนการคำนวณดังนี้:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 ไม่ทราบหมายเลข X แต่งหน้า 15 / 16

1/32 ไม่ทราบจำนวน X เป็น ,

32 / 32 หมายเลข X แต่งหน้า .

เพราะเหตุนี้,

ดังนั้น ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของวินาที และทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษและ ตัวส่วนที่สอง

มาเขียนกฎกันโดยใช้ตัวอักษร:

เมื่อแบ่งตัวย่อได้เช่น:

5. การหารจำนวนคละ.

ในการหารจำนวนคละจะต้องแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมก่อน จากนั้นจึงนำเศษส่วนที่ได้มาหารตามกฎการหารตัวเลขเศษส่วน พิจารณาตัวอย่าง:

แปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม:

ทีนี้มาแยกกัน:

ดังนั้น ในการหารจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม แล้วหารตามกฎการหารเศษส่วน

6. การหาตัวเลขจากเศษส่วน

ในบรรดางานต่าง ๆ ของเศษส่วน บางครั้งก็มีงานที่ให้ค่าของเศษส่วนของจำนวนที่ไม่รู้จักและจำเป็นต้องหาตัวเลขนี้ ปัญหาประเภทนี้จะตรงกันข้ามกับปัญหาการหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด มีตัวเลขที่ให้มาและจำเป็นต้องหาเศษส่วนของตัวเลขนี้ ส่วนนี้ให้เศษของตัวเลขและต้องหาตัวเลขนี้เอง แนวคิดนี้จะชัดเจนยิ่งขึ้นหากเราหันไปหาแนวทางแก้ไขปัญหาประเภทนี้

ภารกิจที่ 1ในวันแรกกระจกเคลือบกระจก 50 บาน ซึ่งเท่ากับ 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้านที่สร้าง บ้านนี้มีหน้าต่างกี่บาน?

วิธีการแก้.ปัญหาบอกว่าหน้าต่างกระจก 50 บานคิดเป็น 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดในบ้าน ซึ่งหมายความว่ามีหน้าต่างทั้งหมดเพิ่มขึ้น 3 เท่า กล่าวคือ

บ้านมีหน้าต่าง 150 บาน

ภารกิจที่ 2ทางร้านจำหน่ายแป้ง 1,500 กก. ซึ่งคิดเป็น 3/8 ของแป้งทั้งหมดในร้าน การจัดหาแป้งเบื้องต้นของร้านค้าคือเท่าใด

วิธีการแก้.จะเห็นได้จากสภาพปัญหาที่ว่าแป้งที่ขายได้ 1,500 กิโลกรัม คิดเป็น 3/8 ของสต๊อกทั้งหมด ซึ่งหมายความว่า 1/8 ของสต็อกนี้จะน้อยกว่า 3 เท่า กล่าวคือ ในการคำนวณ คุณต้องลด 1500 ลง 3 เท่า:

1,500: 3 = 500 (นั่นคือ 1/8 ของหุ้น)

แน่นอน สต็อกทั้งหมดจะใหญ่ขึ้น 8 เท่า เพราะเหตุนี้,

500 8 \u003d 4,000 (กก.)

อุปทานเริ่มต้นของแป้งในร้านคือ 4,000 กก.

จากการพิจารณาปัญหานี้ สามารถอนุมานกฎต่อไปนี้ได้

ในการหาตัวเลขด้วยค่าของเศษส่วนที่กำหนด ก็เพียงพอที่จะหารค่านี้ด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวส่วนของเศษส่วน

เราแก้ปัญหาสองอย่างในการหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน ปัญหาดังกล่าว อย่างที่เห็นได้ชัดเจนโดยเฉพาะจากข้อที่แล้ว จะแก้ได้ด้วยสองการกระทำ: การหาร (เมื่อพบส่วนหนึ่ง) และการคูณ (เมื่อพบจำนวนเต็ม)

อย่างไรก็ตาม หลังจากที่เราศึกษาเรื่องการหารเศษส่วนแล้ว ปัญหาข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยการกระทำเดียว กล่าวคือ การหารด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น งานสุดท้ายสามารถแก้ไขได้ในการดำเนินการเดียวดังนี้:

ในอนาคตเราจะแก้ปัญหาการหาจำนวนด้วยเศษส่วนในการดำเนินการเดียว - การหาร

7. การหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์

ในงานเหล่านี้ คุณจะต้องค้นหาตัวเลข โดยรู้สองสามเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขนี้

ภารกิจที่ 1เมื่อต้นปีนี้ ฉันได้รับ 60 rubles จากธนาคารออมสิน รายได้จากเงินออมปีที่แล้ว ฉันใส่เงินในธนาคารออมสินไปเท่าไหร่? (สำนักงานเงินสดให้ผู้ฝาก 2% ของรายได้ต่อปี)

ความหมายของปัญหาคือฉันมีเงินจำนวนหนึ่งใส่ธนาคารออมสินและพักอยู่ที่นั่นเป็นเวลาหนึ่งปี หนึ่งปีผ่านไป ฉันได้รับ 60 รูเบิลจากเธอ รายได้ ซึ่งเท่ากับ 2/100 ของเงินที่ฉันใส่เข้าไป ฉันฝากเงินเท่าไหร่?

ดังนั้นเมื่อรู้ส่วนของเงินนี้ซึ่งแสดงเป็นสองวิธี (ในรูเบิลและเศษส่วน) เราต้องหาจำนวนเงินทั้งหมดที่ยังไม่ทราบ นี่เป็นปัญหาธรรมดาในการหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน งานต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขโดยแผนก:

ดังนั้นเงิน 3,000 รูเบิลจึงถูกนำเข้าสู่ธนาคารออมสิน

ภารกิจที่ 2ในสองสัปดาห์ ชาวประมงทำแผนรายเดือนสำเร็จ 64% โดยเตรียมปลาไว้ 512 ตัน แผนของพวกเขาคืออะไร?

จากสภาพปัญหาเป็นที่ทราบกันว่าชาวประมงทำแผนเสร็จบางส่วน ส่วนนี้เท่ากับ 512 ตัน ซึ่งคิดเป็น 64% ของแผน ไม่รู้ต้องเก็บปลากี่ตันตามแผน การแก้ปัญหาจะประกอบด้วยการหาตัวเลขนี้

งานดังกล่าวได้รับการแก้ไขโดยการหาร:

ดังนั้นตามแผน คุณต้องเตรียมปลา 800 ตัน

ภารกิจที่ 3รถไฟไปจากริกาไปมอสโก เมื่อเขาผ่านกิโลเมตรที่ 276 ผู้โดยสารคนหนึ่งถามเจ้าหน้าที่ควบคุมที่ผ่านไปมาว่าได้เดินทางไปแล้วเท่าใด สำหรับสิ่งนี้ ตัวนำตอบว่า: “เราได้ครอบคลุม 30% ของการเดินทางทั้งหมดแล้ว” ระยะทางจาก ริกา ไกลจาก มอสโก แค่ไหน ?

จากสภาพปัญหาจะเห็นได้ว่า 30% ของการเดินทางจากริกาไปมอสโกคือ 276 กม. เราต้องหาระยะทางทั้งหมดระหว่างเมืองเหล่านี้ นั่นคือ ในส่วนนี้ ให้หาทั้งหมด:

§ 91. ตัวเลขซึ่งกันและกัน แทนที่การหารด้วยการคูณ

นำเศษส่วน 2/3 และจัดเรียงตัวเศษใหม่ไปยังตำแหน่งของตัวส่วน เราได้ 3/2 เราได้เศษส่วน ส่วนกลับของอันนี้

เพื่อให้ได้เศษส่วนกลับกันของจำนวนนั้น คุณต้องใส่ตัวเศษแทนตัวส่วน และตัวส่วนแทนตัวเศษ ด้วยวิธีนี้ เราจะได้เศษส่วนที่เป็นส่วนกลับของเศษส่วนใดๆ ตัวอย่างเช่น:

3 / 4 , ย้อนกลับ 4 / 3 ; 5 / 6 , ย้อนกลับ 6 / 5

เศษส่วนสองส่วนที่มีคุณสมบัติที่ตัวเศษของตัวแรกเป็นตัวส่วนของตัวที่สองและตัวส่วนของที่หนึ่งเป็นตัวเศษของตัวที่สองเรียกว่า ผกผันซึ่งกันและกัน

ทีนี้ลองคิดดูว่าเศษส่วนใดที่จะเป็นส่วนกลับของ 1/2 แน่นอน มันจะเป็น 2 / 1 หรือ 2 เมื่อหาส่วนกลับของอันนี้ เราได้จำนวนเต็ม และกรณีนี้ไม่โดดเดี่ยว ในทางกลับกัน สำหรับเศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวเศษเป็น 1 (หนึ่ง) ส่วนกลับจะเป็นจำนวนเต็ม เช่น

1 / 3, ผกผัน 3; 1 / 5 ย้อนกลับ 5

เนื่องจากเมื่อเราพบส่วนกลับ เราก็พบกับจำนวนเต็ม ในอนาคตเราจะไม่พูดถึงส่วนกลับ แต่พูดถึงส่วนกลับ

ลองหาวิธีเขียนส่วนกลับของจำนวนเต็มกัน สำหรับเศษส่วน วิธีแก้ง่ายๆ คุณต้องใส่ตัวส่วนแทนตัวเศษ ในทำนองเดียวกัน คุณจะได้ส่วนกลับของจำนวนเต็ม เนื่องจากจำนวนเต็มใดๆ สามารถมีส่วนของ 1 ได้ ดังนั้น ส่วนกลับของ 7 จะเป็น 1 / 7 เพราะ 7 \u003d 7 / 1; สำหรับหมายเลข 10 กลับเป็น 1 / 10 เนื่องจาก 10 = 10 / 1

ความคิดนี้สามารถแสดงออกได้อีกทางหนึ่ง: ส่วนกลับของจำนวนที่กำหนดนั้นได้มาจากการหารหนึ่งด้วยจำนวนที่กำหนด. ข้อความนี้เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับจำนวนเต็มแต่สำหรับเศษส่วนด้วย ที่จริงแล้ว หากคุณต้องการเขียนตัวเลขที่เป็นส่วนกลับของเศษส่วน 5 / 9 เราก็สามารถเอา 1 แล้วหารด้วย 5 / 9 นั่นคือ

ตอนนี้ขอชี้ให้เห็นหนึ่ง คุณสมบัติตัวเลขซึ่งกันและกันซึ่งจะเป็นประโยชน์กับเรา: ผลคูณของจำนวนส่วนกลับกันมีค่าเท่ากับหนึ่งอย่างแท้จริง:

การใช้คุณสมบัตินี้ เราสามารถหาส่วนกลับได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ ลองหาส่วนกลับของ 8 กัน

มาแทนด้วยตัวอักษร X แล้ว 8 X = 1 ดังนั้น X = 1 / 8 . มาหาเลขอื่น ผกผันของ 7/12 แทนด้วยตัวอักษร X แล้ว 7 / 12 X = 1 ดังนั้น X = 1:7 / 12 หรือ X = 12 / 7 .

เราแนะนำแนวคิดเรื่องจำนวนส่วนกลับเพื่อเสริมข้อมูลเกี่ยวกับการหารเศษส่วนเล็กน้อย

เมื่อเราหารเลข 6 ด้วย 3 / 5 เราจะทำสิ่งต่อไปนี้:

ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับนิพจน์และเปรียบเทียบกับนิพจน์ที่กำหนด: .

หากเราแยกนิพจน์โดยไม่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ก่อนหน้า ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาว่ามันมาจากไหน: จากการหาร 6 ด้วย 3/5 หรือจากการคูณ 6 ด้วย 5/3 ในทั้งสองกรณีผลลัพธ์จะเหมือนกัน พูดได้เลยว่า ที่หารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งสามารถแทนที่ได้ด้วยการคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร

ตัวอย่างที่เราให้ไว้ด้านล่างยืนยันข้อสรุปนี้อย่างเต็มที่