สี่เหลี่ยม ABCD รูปหนึ่งเรียกว่ารูปที่ประกอบด้วยสี่จุด A, B, C, D, สามจุดแต่ละจุดไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวและสี่ส่วน AB, BC, CD และ AD เชื่อมต่อจุดเหล่านี้

ตัวเลขแสดงรูปสี่เหลี่ยม

จุด A, B, C และ D เรียกว่า จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมและกลุ่ม AB, BC, CD และ AD - ปาร์ตี้. จุดยอด A และ C, B และ D เรียกว่า จุดยอดตรงข้าม. ด้าน AB และ CD, BC และ AD เรียกว่า ฝ่ายตรงข้าม.

มีรูปสี่เหลี่ยม นูน(ในรูป - ซ้าย) และ ไม่นูน(ในรูป - ขวา)

เส้นทแยงมุมแต่ละอัน รูปสี่เหลี่ยมนูนแบ่งเป็นสองสามเหลี่ยม(AC แนวทแยงแบ่ง ABCD ออกเป็นสองส่วน สามเหลี่ยม ABCและ ACD; เส้นทแยงมุม BD - บน BCD และ BAD) ที่ รูปสี่เหลี่ยมไม่นูนมีเส้นทแยงมุมเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่แบ่งเป็นสามเหลี่ยมสองรูป(AC ในแนวทแยงแบ่ง ABCD ออกเป็นสองสามเหลี่ยม ABC และ ACD แต่ BD ในแนวทแยงไม่ได้)

พิจารณา รูปสี่เหลี่ยมประเภทหลัก คุณสมบัติ และสูตรพื้นที่:

สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยม ฝ่ายตรงข้ามเป็นคู่ขนานกัน

คุณสมบัติ:

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

1. ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสองด้านเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
2. ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมด้านตรงข้ามมีคู่เท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
3. หากในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีเส้นทแยงมุมตัดกันและจุดตัดแบ่งครึ่ง รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน:

ราวสำหรับออกกำลังกาย

ราวสำหรับออกกำลังกาย รูปสี่เหลี่ยมเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมซึ่งด้านสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่ขนานกัน

บริเวณเรียกว่า ด้านขนานและอีกสองด้าน ข้าง.

สายกลาง สี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้าง

ทฤษฎีบท.

สายกลางสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวม

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่าถ้าทุกด้านเท่ากัน

คุณสมบัติ:

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน:

สี่เหลี่ยมผืนผ้า

สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่าซึ่งทุกมุมเท่ากัน

คุณสมบัติ:

ป้ายสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

ถ้าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน สี่เหลี่ยมด้านขนานก็คือสี่เหลี่ยม

พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า:

สี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยม เรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยที่ทุกด้านเท่ากัน

คุณสมบัติ:

สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น สี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีทุกด้านเท่ากัน นั่นคือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)

พื้นที่สแควร์:

ย้อนกลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้นและอาจไม่ได้แสดงถึงขอบเขตทั้งหมดของการนำเสนอ ถ้าคุณสนใจ งานนี้โปรดดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:พิจารณาคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานและรวบรวมความรู้ที่ได้รับในกระบวนการแก้ปัญหา

งาน:

• เกี่ยวกับการศึกษา:การก่อตัวของทักษะในการใช้สัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อแก้ปัญหา
• กำลังพัฒนา:การพัฒนา การคิดอย่างมีตรรกะ, ความสนใจ, ทักษะ งานอิสระ, ทักษะการเห็นคุณค่าในตนเอง
• เกี่ยวกับการศึกษา:ส่งเสริมความสนใจในเรื่องความสามารถในการทำงานเป็นทีมวัฒนธรรมของการสื่อสาร

ประเภทของบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ การเสริมแรงเบื้องต้น

อุปกรณ์: กระดานโต้ตอบ, โปรเจ็กเตอร์, การ์ดงาน, การนำเสนอ

ระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

W: สวัสดีตอนบ่ายพวก! วันนี้ในบทเรียนเราจะพูดถึงสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกครั้ง เราต้องทำงานหลายอย่างให้เสร็จ พิสูจน์ทฤษฎีบท และเรียนรู้วิธีนำไปใช้ในการแก้ปัญหา คำขวัญของบทเรียนของเราคือคำพูดของ Le Carbusier: "ทุกสิ่งรอบตัวคือเรขาคณิต"

2. การทำให้เป็นจริงของความรู้ของนักเรียน

การสำรวจเชิงทฤษฎี

แจกการ์ดในหัวข้อให้นักเรียนเป็นรายบุคคล คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน(งานต่างๆ จะถูกเลือกโดยแต่ละงานในสไลด์การนำเสนอผ่านไฮเปอร์ลิงก์ โดยวางเมาส์ไว้เหนือตัวเลข ไม่ใช่ตัวเลข) ฟังผู้ตอบแต่ละคนเป็นรายบุคคล

ส่วนที่เหลือ - เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (อภิปรายหลักฐานด้วยวาจาก่อน จากนั้นตรวจสอบกับกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ)

1° เส้นแบ่งครึ่งมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกจากมัน

2° เส้นแบ่งครึ่งของมุมประชิดของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตั้งฉาก และเส้นแบ่งครึ่ง มุมตรงข้ามขนานกันหรืออยู่บนเส้นเดียวกัน

หลังจากเตรียมการแล้ว ให้ฟังการพิสูจน์คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

AE เป็นตัวแบ่งครึ่งของมุม BAD

พิสูจน์: ABE คือหน้าจั่ว

การพิสูจน์:

เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น BC || AD จากนั้นมุม EAD = มุม BEA ตามขวางด้วยเส้นคู่ขนาน BC และ AD และซีแคนต์ AE AE คือเส้นแบ่งครึ่งของมุม BAD ดังนั้นมุม BAE = มุม EAD ดังนั้นมุม BAE = มุม BEA

ในมุม ABE BAE = มุม BEA ดังนั้น ABE จึงเป็นหน้าจั่วที่มีฐาน AE

คำถามชี้นำ:

กำหนดสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

มุมใดใน BAE ที่สามารถเท่ากันได้? ทำไม

ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

BE เป็นตัวแบ่งครึ่งของมุม CBA

AE เป็นตัวแบ่งครึ่งของมุม BAD

คำถามชี้นำ:

เส้น AE และ CK จะขนานกันเมื่อใด

คือมุม BEA และ<3? Почему?

AE และ CK จะตรงกันในกรณีใด?

เตรียมเรียนรู้สื่อใหม่

หน้าผากทำงานกับชั้นเรียน (ปากเปล่า)

• คำว่า "คุณสมบัติ" และ "คุณสมบัติ" หมายถึงอะไร? ยกตัวอย่าง.
• ทฤษฎีบทผกผันคืออะไร?
• ตรงกันข้ามกับข้อความที่กำหนดเป็นจริงเสมอหรือไม่? ยกตัวอย่าง.

3. คำอธิบายของวัสดุใหม่

DW: แต่ละอ็อบเจ็กต์มีคุณสมบัติและลักษณะเฉพาะของตัวเอง โปรดบอกฉันว่าคุณสมบัติแตกต่างจากคุณสมบัติอย่างไร

ลองทำความเข้าใจปัญหานี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ ให้วัตถุ - ฤดูใบไม้ร่วง ตั้งชื่อคุณสมบัติ: คุณสมบัติ:

• ข้อความใดเป็นคุณสมบัติและคุณลักษณะของวัตถุที่สัมพันธ์กัน? (คำตอบ: ย้อนกลับ)
• เราได้ศึกษาคุณสมบัติใดในวิชาเรขาคณิตไปแล้วบ้าง? สูตรพวกเขา (ชื่อไม่กี่)

converse เป็นจริงสำหรับคุณสมบัติใด ๆ หรือไม่? (คำตอบต่างๆ).

ลองตรวจสอบคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

สรุป: เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างข้อความสนทนาที่แท้จริงสำหรับทรัพย์สินใด ๆ ? (ไม่ ไม่ใช่เพื่อใคร)

ทีนี้กลับไปที่รูปสี่เหลี่ยมของเรา จำคุณสมบัติของมันและกำหนดคำสั่งผกผันเช่น: .. (คำตอบคือสัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ดังนั้น หัวข้อของบทเรียนวันนี้: "สัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนาน"

ดังนั้น ตั้งชื่อคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กำหนดคุณสมบัติผกผันของการยืนยัน (นักเรียนทำป้าย ครูแก้ไขแล้วคิดใหม่)

มาพิสูจน์สัญญาณเหล่านี้กัน ป้ายแรกมีรายละเอียด ป้ายที่สองสั้น ป้ายที่สามอยู่ที่บ้านของคุณเอง

4. การรวมวัสดุที่ศึกษา

ทำงานในสมุดงาน: แก้ปัญหาหมายเลข 11 บนกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบเพื่อเรียกนักเรียนที่เตรียมตัวน้อยไปที่กระดานดำ

วิธีแก้ปัญหาหมายเลข 379 (เขียนวิธีแก้ปัญหาบนกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ) จากจุดยอด B และ D ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ซึ่ง AB BC และ A มีความคม เส้นตั้งฉาก BK และ DM จะถูกลากไปยังเส้น AC พิสูจน์ว่า BMDK รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ระดับเฉลี่ย

สี่เหลี่ยมด้านขนาน, สี่เหลี่ยมผืนผ้า, รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมจัตุรัส (2019)

1. สี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำประสม "สี่เหลี่ยมด้านขนาน"? และด้านหลังเป็นรูปที่เรียบง่ายมาก

นั่นคือเราเอาเส้นคู่ขนานสองเส้น:

ข้ามไปอีกสองคน:

และข้างใน - สี่เหลี่ยมด้านขนาน!

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติอย่างไร?

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

นั่นคือ สิ่งที่สามารถใช้ได้ถ้าให้สี่เหลี่ยมด้านขนานในปัญหา?

คำถามนี้ตอบโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ลองวาดทุกอย่างอย่างละเอียด

ทำอะไร จุดแรกของทฤษฎีบท? และความจริงที่ว่าถ้าคุณมีสี่เหลี่ยมด้านขนานก็โดยทั้งหมด

ย่อหน้าที่สองหมายความว่าหากมีสี่เหลี่ยมด้านขนานก็หมายความว่า:

และสุดท้าย จุดที่สามหมายความว่าถ้าคุณมีสี่เหลี่ยมด้านขนาน ต้องแน่ใจว่า:

ดูว่าความมั่งคั่งของทางเลือกคืออะไร? ใช้อะไรในงาน? พยายามจดจ่อกับคำถามของงานหรือลองทุกอย่างในทางกลับกัน - "กุญแจ" บางประเภทจะทำได้

และตอนนี้ลองถามตัวเองด้วยคำถามอื่น: วิธีการรับรู้สี่เหลี่ยมด้านขนาน "ในหน้า"? ต้องเกิดอะไรขึ้นกับรูปสี่เหลี่ยมเพื่อให้เรามีสิทธิที่จะให้มันเป็น "ชื่อเรื่อง" ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน?

คำถามนี้ตอบด้วยสัญญาณหลายด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ความสนใจ! เริ่ม.

สี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ให้ความสนใจ: หากคุณพบสัญญาณอย่างน้อยหนึ่งสัญญาณในปัญหาของคุณ แสดงว่าคุณมีสี่เหลี่ยมด้านขนานพอดี และคุณสามารถใช้คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้

2. สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ฉันไม่คิดว่ามันจะเป็นข่าวสำหรับคุณเลย

คำถามแรกคือ: สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?

แน่นอนมันเป็น! ท้ายที่สุดเขามี - จำสัญลักษณ์ของเรา 3?

และแน่นอน จากตรงนี้ สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน และเส้นทแยงมุมถูกหารด้วยจุดตัดกันครึ่งหนึ่ง

แต่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่ง

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เหตุใดคุณสมบัตินี้จึงโดดเด่น เพราะไม่มีสี่เหลี่ยมด้านขนานอื่นใดมีเส้นทแยงมุมเท่ากัน มากำหนดรูปแบบให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

ให้ความสนใจ: ในการที่จะกลายเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต้องกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานก่อน จากนั้นจึงนำเสนอความเท่าเทียมกันของเส้นทแยงมุม

3. ไดมอนด์

และอีกครั้งที่คำถามคือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?

ด้วยขวาเต็ม - สี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะมี และ (จำเครื่องหมายของเรา 2)

และอีกครั้ง เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มันจึงต้องมีคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีมุมตรงข้ามเท่ากัน ด้านตรงข้ามขนานกัน และเส้นทแยงมุมถูกผ่าครึ่งโดยจุดตัด

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ดูรูปนั่นสิ:

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสมบัติเหล่านี้มีความโดดเด่น นั่นคือ สำหรับแต่ละคุณสมบัติเหล่านี้ เราสามารถสรุปได้ว่าเราไม่ได้มีเพียงสี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่มีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

และให้ความสนใจอีกครั้ง: ไม่ควรมีเพียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมตั้งฉาก แต่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ตรวจสอบให้แน่ใจ:

ไม่ แน่นอน ไม่ใช่ แม้ว่าจะเป็นเส้นทแยงมุมและตั้งฉาก และเส้นทแยงมุมคือเส้นแบ่งครึ่งของมุม u แต่ ... เส้นทแยงมุมไม่แบ่งจุดตัดครึ่งดังนั้น - ไม่ใช่สี่เหลี่ยมด้านขนานและดังนั้นจึงไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่าจะได้อะไรจากเรื่องนี้

ชัดเจนไหมว่าทำไม? - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - แบ่งครึ่งของมุม A ซึ่งเท่ากับ ดังนั้นจึงแบ่ง (และ) ออกเป็นสองมุมตาม

มันค่อนข้างชัดเจน: เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน เส้นทแยงมุมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากและโดยทั่วไป - เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมด้านขนานหารด้วยจุดตัดในครึ่ง

ระดับเฉลี่ย

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ความสนใจ! คำ " คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน» หมายความว่าถ้าคุณมีงาน มีสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นสามารถใช้สิ่งต่อไปนี้ทั้งหมดได้

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ:

มาดูกันว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นจริง เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบท.

แล้วทำไม 1) เป็นจริง?

เนื่องจากเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น:

• เหมือนนอนขวาง
• เหมือนนอนข้าม

ดังนั้น (บนพื้นฐาน II: และ - ทั่วไป)

ครั้งหนึ่งแล้ว - แค่นั้นแหละ! - พิสูจน์แล้ว

แต่เดี๋ยวก่อน! เรายังพิสูจน์ 2)!

ทำไม แต่หลังจากทั้งหมด (ดูรูป) นั่นคือเพราะ

เหลือ 3 ตัว)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณยังต้องวาดเส้นทแยงมุมที่สอง

และตอนนี้เราเห็นแล้วว่า - ตามเครื่องหมาย II (มุมและด้าน "ระหว่าง" พวกเขา)

คุณสมบัติพิสูจน์แล้ว! มาต่อกันที่ป้าย

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จำได้ว่าเครื่องหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนานตอบคำถาม "จะทราบได้อย่างไร" ว่าตัวเลขนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในไอคอนจะเป็นดังนี้:

ทำไม คงจะดีถ้าเข้าใจว่าทำไม - นั่นก็เพียงพอแล้ว แต่ดู:

เราก็หาได้ว่าทำไมเครื่องหมาย 1 ถึงเป็นจริง

ง่ายกว่านั้นอีก! ลองวาดเส้นทแยงมุมอีกครั้ง

ซึ่งหมายความว่า:

และเป็นเรื่องง่าย แต่… แตกต่าง!

วิธี, . ว้าว! แต่ยัง - ภายในด้านเดียวที่เซแคนท์!

ดังนั้นความจริงที่หมายความว่า

และถ้าคุณมองจากอีกด้าน พวกมันก็จะอยู่ภายในซีแคนต์ด้านเดียว! และดังนั้นจึง.

แซ่บขนาดไหนมาดูกัน!

และอีกครั้งง่ายๆ:

เหมือนกันหมดและ.

ใส่ใจ:ถ้าคุณพบว่า อย่างน้อยหนึ่งสัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนานในปัญหาของคุณ แล้วคุณมี อย่างแน่นอนสี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสามารถใช้ ทุกคนคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เพื่อความชัดเจน ดูแผนภาพ:

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมผืนผ้า.

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

จุดที่ 1) ค่อนข้างชัดเจน - ท้ายที่สุดแล้ว เครื่องหมาย 3 () ถูกเติมเต็มแล้ว

และจุดที่ 2) - สำคัญมาก. มาพิสูจน์กัน

ดังนั้นในสองขา (และ - ทั่วไป)

เนื่องจากสามเหลี่ยมเท่ากัน ด้านตรงข้ามมุมฉากของพวกมันจึงเท่ากัน

พิสูจน์แล้ว!

และลองนึกภาพ ความเท่าเทียมกันของเส้นทแยงมุมเป็นคุณสมบัติเด่นของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในบรรดาสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมด นั่นคือข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

มาดูกันว่าทำไม?

ดังนั้น (หมายถึงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) แต่จำไว้อีกครั้งว่า - สี่เหลี่ยมด้านขนานและด้วยเหตุนี้

วิธี, . และแน่นอน จากนี้ไปแต่ละคน ท้ายที่สุดแล้วในจำนวนที่พวกเขาควรจะให้!

ที่นี่เราได้พิสูจน์แล้วว่าถ้า สี่เหลี่ยมด้านขนานทันใดนั้น (!) จะเป็นเส้นทแยงมุมเท่ากันจากนั้น ตรงสี่เหลี่ยม.

แต่! ใส่ใจ!มันเกี่ยวกับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน! ไม่ใด ๆรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากันคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า และ เท่านั้นสี่เหลี่ยมด้านขนาน!

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

และอีกครั้งที่คำถามคือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?

ด้วยขวาเต็ม - สี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะมี และ (จำเครื่องหมายของเรา 2)

และอีกครั้ง เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มันจึงต้องมีคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีมุมตรงข้ามเท่ากัน ด้านตรงข้ามขนานกัน และเส้นทแยงมุมถูกผ่าครึ่งโดยจุดตัด

แต่ยังมีคุณสมบัติพิเศษ เรากำหนด

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ทำไม เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานดังนั้นเส้นทแยงมุมจึงถูกหารด้วยครึ่ง

ทำไม ใช่ นั่นเป็นเหตุผล!

กล่าวอีกนัยหนึ่งเส้นทแยงมุมและกลายเป็นแบ่งครึ่งของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ในกรณีของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสมบัติเหล่านี้คือ โดดเด่นแต่ละคนก็เป็นสัญลักษณ์ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ป้ายรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น? และมอง

ดังนั้นและ ทั้งสองสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นหน้าจั่ว

ในการเป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต้อง "กลายเป็น" สี่เหลี่ยมด้านขนานก่อน จากนั้นจึงแสดงคุณลักษณะ 1 หรือคุณลักษณะ 2 แล้ว

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม

นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่าจะได้อะไรจากสิ่งนี้

ชัดเจนไหมว่าทำไม? สี่เหลี่ยมจัตุรัส - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - แบ่งครึ่งของมุมซึ่งเท่ากับ ดังนั้นจึงแบ่ง (และ) ออกเป็นสองมุมตาม

มันค่อนข้างชัดเจน: เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน เส้นทแยงมุมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากและโดยทั่วไป - เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมด้านขนานหารด้วยจุดตัดในครึ่ง

ทำไม ก็แค่ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับ

สรุปและสูตรพื้นฐาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

1. ด้านตรงข้ามเท่ากัน: , .
2. มุมตรงข้ามคือ: , .
3. มุมที่ด้านใดด้านหนึ่งรวมกันเป็น: , .
4. เส้นทแยงมุมถูกหารด้วยจุดตัดครึ่ง: .

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

1. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ: .
2. สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน (คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกเติมเต็มสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน:

1. เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉาก: .
2. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นตัวแบ่งครึ่งของมุมของมัน: ; ; ; .
3. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้รับการเติมเต็มสำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)

คุณสมบัติสแควร์:

สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมในเวลาเดียวกัน ดังนั้นสำหรับสี่เหลี่ยมจตุรัส คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงสมบูรณ์ ได้เป็นอย่างดีอีกด้วย

เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่

ทรัพย์สิน 1 . เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ จะแบ่งเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน

การพิสูจน์ . ตามเครื่องหมาย II (มุมขวางและด้านทั่วไป)

ทฤษฎีบทพิสูจน์แล้ว.

ทรัพย์สิน 2 . ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านตรงข้ามเท่ากันและมุมตรงข้ามเท่ากัน

การพิสูจน์ .
เช่นเดียวกัน,

ทฤษฎีบทพิสูจน์แล้ว.

คุณสมบัติ 3 ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในแนวทแยง จุดตัดแบ่งครึ่ง

การพิสูจน์ .

ทฤษฎีบทพิสูจน์แล้ว.

คุณสมบัติ 4 . เส้นแบ่งครึ่งมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ตัดผ่านด้านตรงข้าม แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมู (Ch. word - บน - สองหน้าจั่ว? -ka).

การพิสูจน์ .

ทฤษฎีบทพิสูจน์แล้ว.

ทรัพย์สิน 5. . ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ส่วนที่มีปลายด้านตรงข้าม ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุม จะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนด้วยจุดนี้

การพิสูจน์ .

ทฤษฎีบทพิสูจน์แล้ว.

ทรัพย์สิน 6. . มุมระหว่างความสูงที่ตกจากจุดยอดของมุมป้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับมุมแหลมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์ .

ทฤษฎีบทพิสูจน์แล้ว.

ทรัพย์สิน 7 . ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อยู่ติดกับด้านใดด้านหนึ่งคือ 180°

การพิสูจน์ .

ทฤษฎีบทพิสูจน์แล้ว.

การสร้างเส้นแบ่งครึ่งของมุม คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยม

1) สร้างรังสี DE โดยพลการ

2) บนรังสีที่กำหนด ให้สร้างวงกลมตามอำเภอใจโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุดยอดเหมือนกัน
มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดเริ่มต้นของรังสีที่สร้างขึ้น

3) F และ G - จุดตัดของวงกลมกับด้านข้างของมุมที่กำหนด H - จุดตัดของวงกลมด้วยรังสีที่สร้างขึ้น

สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด H และรัศมีเท่ากับ FG

5) I - จุดตัดของวงกลมของลำแสงที่สร้างขึ้น

6) ลากเส้นผ่านจุดยอดและ I.

IDH - มุมที่ต้องการ
)

ทรัพย์สิน 1 . เส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามตามสัดส่วนกับด้านที่อยู่ติดกัน

การพิสูจน์ . ให้ x, y เป็นส่วนของด้าน c เราดำเนินการต่อรังสี BC บนรังสี BC เราพล็อตเซ็กเมนต์ CK จาก C เท่ากับ AC

เพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่ มีเครื่องหมายจำนวนหนึ่ง พิจารณาคุณสมบัติหลักสามประการของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1 คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

พิจารณา ABCD รูปสี่เหลี่ยม ให้ด้าน AB และ CD ขนานกัน และให้ AB=CD ลองวาด BD ในแนวทแยงกัน มันจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมที่ให้มาออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน: ABD และ CBD

สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างพวกมัน (BD เป็นด้านร่วม, AB = CD ตามเงื่อนไข, มุม 1 = มุม 2 เป็นมุมนอนตามขวางที่ซีแคนต์ BD ของเส้นคู่ขนาน AB และ CD) ดังนั้น มุม 3 = มุม 4 .

และมุมเหล่านี้จะตัดกันที่จุดตัดของเส้น BC และ AD โดยเส้นตัด BD จากนี้ไป BC และ AD จะขนานกัน เรามีว่าในสี่เหลี่ยม ABCD ด้านตรงข้ามขนานกัน ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยม ABCD จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

2 คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมมีคู่เท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD ลองวาด BD ในแนวทแยงกัน มันจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมที่ให้มาออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน: ABD และ CBD

สามเหลี่ยมสองรูปนี้จะเท่ากันทั้งสามด้าน (BD คือด้านร่วม AB = CD และ BC = AD ตามเงื่อนไข) จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ามุม 1 = มุม 2 ตามด้วย AB ขนานกับซีดี และเนื่องจาก AB \u003d CD และ AB ขนานกับซีดี ดังนั้นโดยเครื่องหมายแรกของสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยม ABCD จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3 เครื่องหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เส้นทแยงมุมตัดกันและจุดตัดมีการแบ่งครึ่ง แล้วสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พิจารณา ABCD รูปสี่เหลี่ยม ให้เราวาดเส้นทแยงมุมสองเส้น AC และ BD ซึ่งจะตัดกันที่จุด O และแบ่งครึ่งจุดนี้

สามเหลี่ยม AOB และ COD จะเท่ากัน ตามเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม (AO = OC, BO = OD ตามข้อตกลง, มุม AOB = มุม COD เป็นมุมแนวตั้ง) ดังนั้น AB = CD และมุม 1 = มุม 2 จากความเท่าเทียมกันของมุม 1 และ 2 เรามีว่า AB ขนานกับ CD แล้วเรามีว่าในสี่เหลี่ยม ABCD ด้าน AB เท่ากับ CD และขนานกัน และตามเกณฑ์แรกของสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยม ABCD จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน