วิธีหารากบวกที่เล็กที่สุดของสมการตรีโกณมิติ สมการตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติ. ในส่วนของการสอบคณิตศาสตร์ในส่วนแรกมีงานที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการ - นี่คือ สมการง่ายๆที่แก้ไขได้ในไม่กี่นาที หลายประเภท สามารถแก้ไขได้ด้วยวาจา ประกอบด้วย: สมการเชิงเส้น กำลังสอง ตรรกยะ อตรรกยะ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม และตรีโกณมิติ

ในบทความนี้ เราจะดูสมการตรีโกณมิติ วิธีแก้ปัญหาของพวกเขาแตกต่างทั้งในด้านจำนวนการคำนวณและความซับซ้อนจากปัญหาที่เหลือในส่วนนี้ อย่าตื่นตระหนก คำว่า "ความยาก" หมายถึงความยากที่สัมพันธ์กันเมื่อเทียบกับงานอื่นๆ

นอกจากการหารากของสมการเองแล้ว ยังจำเป็นต้องหารากที่เป็นค่าลบที่ใหญ่ที่สุดหรือค่าบวกที่เล็กที่สุดด้วย แน่นอนว่าความน่าจะเป็นที่คุณจะได้สมการตรีโกณมิติในการสอบนั้นมีน้อยมาก

พวกเขาน้อยกว่า 7% ในส่วนนี้ของการสอบ แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าพวกเขาควรถูกเพิกเฉย ในส่วน C จำเป็นต้องแก้สมการตรีโกณมิติด้วย ดังนั้นจึงจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจวิธีการแก้ปัญหาให้ดีและเข้าใจทฤษฎี

การทำความเข้าใจหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" ในวิชาคณิตศาสตร์นั้นเป็นตัวกำหนดความสำเร็จของคุณในการแก้ปัญหาต่างๆ ฉันเตือนคุณว่าคำตอบคือจำนวนเต็มหรือจำนวนจำกัด ทศนิยม. หลังจากที่คุณได้รากของสมการแล้ว ให้ตรวจสอบเสมอ ใช้เวลาไม่นานและคุณจะช่วยตัวเองจากความผิดพลาด

ในอนาคตเราจะดูสมการอื่นๆ ด้วย อย่าพลาด! จำสูตรสำหรับรากของสมการตรีโกณมิติ คุณจำเป็นต้องรู้:

การรู้ค่าเหล่านี้เป็นสิ่งที่จำเป็น นี่คือ "ตัวอักษร" โดยที่จะไม่สามารถรับมือกับงานหลายอย่างได้ เยี่ยมมาก ถ้าความจำดี คุณจะเรียนรู้และจดจำค่าเหล่านี้ได้ง่าย จะทำอย่างไรหากไม่ได้ผล มีความสับสนในหัวของคุณ แต่เป็นเพียงการที่คุณหลงทางระหว่างการสอบ น่าเสียดายที่จะเสียคะแนนเนื่องจากคุณเขียนค่าผิดในการคำนวณ

ค่านี้เรียบง่าย และยังให้ไว้ในทฤษฎีที่คุณได้รับในจดหมายฉบับที่สองหลังจากสมัครรับจดหมายข่าว หากคุณยังไม่ได้สมัคร ลงมือเลย! ในอนาคตเราจะพิจารณาว่าสามารถกำหนดค่าเหล่านี้ได้อย่างไร วงกลมตรีโกณมิติ. ไม่ใช่เพื่ออะไรที่เรียกว่า "หัวใจทองคำของตรีโกณมิติ"

ฉันจะอธิบายทันทีเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนว่าในสมการที่พิจารณาด้านล่าง คำจำกัดความของอาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์จะได้รับโดยใช้มุม เอ็กซ์สำหรับ สมการที่สอดคล้องกัน: cosx=a, sinx=a, tgx=a โดยที่ เอ็กซ์ยังสามารถเป็นนิพจน์ ในตัวอย่างด้านล่าง เรามีอาร์กิวเมนต์ที่ระบุโดยนิพจน์

ดังนั้น พิจารณางานต่อไปนี้:

ค้นหารากของสมการ:

เขียนรากเชิงลบที่ใหญ่ที่สุดในคำตอบของคุณ

การตัดสินใจ สมการคอส x = a เป็นสองราก:

คำนิยาม: ให้จำนวนโมดูโลไม่เกินหนึ่ง อาร์คโคไซน์ของจำนวน a คือมุม x ซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง Pi ซึ่งโคไซน์เท่ากับ a

วิธี

ด่วน x:

ค้นหารากเชิงลบที่ใหญ่ที่สุด ทำอย่างไร? ทดแทน ความหมายต่างๆ n ลงในรากที่ได้รับ คำนวณและเลือกค่าลบที่ใหญ่ที่สุด

เราคำนวณ:

ด้วย n \u003d - 2 x 1 \u003d 3 (- 2) - 4.5 \u003d - 10.5 x 2 \u003d 3 (- 2) - 5.5 \u003d - 11.5

ด้วย n \u003d - 1 x 1 \u003d 3 (- 1) - 4.5 \u003d - 7.5 x 2 \u003d 3 (- 1) - 5.5 \u003d - 8.5

ที่ n = 0 x 1 = 3∙0 - 4.5 = - 4.5 x 2 = 3∙0 - 5.5 = - 5.5

ที่ n \u003d 1 x 1 \u003d 3 1 - 4.5 \u003d - 1.5 x 2 \u003d 3 1 - 5.5 \u003d - 2.5

ที่ n = 2 x 1 = 3∙2 - 4.5 = 1.5 x 2 = 3∙2 - 5.5 = 0.5

เราพบว่ารากที่เป็นลบที่ใหญ่ที่สุดคือ -1.5

คำตอบ: -1.5

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

แก้สมการ:

การตัดสินใจ สมการบาป x = a เป็นสองราก:

อย่างใดอย่างหนึ่ง (รวมทั้งสองอย่างข้างต้น):

คำนิยาม: ให้จำนวนโมดูโลไม่เกินหนึ่ง อาร์คไซน์ของจำนวน a คือมุม x ซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ - 90 o ถึง 90 o ซึ่งไซน์เท่ากับ a

วิธี

Express x (คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 และหารด้วย pi):

ค้นหารากบวกที่เล็กที่สุด ที่นี่เป็นที่ชัดเจนทันทีว่าเมื่อแทนที่ ค่าลบ n เราได้รากที่เป็นลบ ดังนั้นเราจะแทน n = 0,1,2 ...

สำหรับ n = 0 x = (- 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

สำหรับ n = 1 x = (- 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

สำหรับ n = 2 x = (- 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

ตรวจสอบ n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

ดังนั้น รากบวกที่เล็กที่สุดคือ 4

คำตอบ: 4

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

แก้สมการ:

เขียนรากบวกที่เล็กที่สุดสำหรับคำตอบของคุณ

บ่อยครั้งในการทำงาน ความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นพบปะ สมการตรีโกณมิติที่มีโมดูลัส. ส่วนใหญ่ต้องการวิธีการแก้ปัญหาแบบฮิวริสติก ซึ่งนักเรียนส่วนใหญ่ไม่คุ้นเคยเลย

งานด้านล่างมีวัตถุประสงค์เพื่อแนะนำวิธีการทั่วไปในการแก้สมการตรีโกณมิติที่มีโมดูล

ปัญหา 1. ค้นหาความแตกต่าง (เป็นองศา) ระหว่างรากที่เป็นค่าบวกที่เล็กที่สุดและรากที่เป็นลบที่ใหญ่ที่สุดของสมการ 1 + 2sin x · |cos x| = 0

วิธีการแก้.

มาขยายโมดูลกัน:

1) ถ้า cos x ≥ 0 สมการเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 1 + 2sin x cos x = 0

ลองใช้สูตรไซน์กัน มุมคู่, เราได้รับ:

1 + sin2x = 0; sin2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z เนื่องจาก cos x ≥ 0 ดังนั้น x = -π/4 + 2πk, k € Z

2) ถ้า cos x< 0, то สมการที่กำหนดมีรูปแบบ 1 - 2sin x cos x = 0 ตามสูตรไซน์มุมคู่ เรามี:

1 – sin2x = 0; sin2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n ∈ Z;

x = π/4 + πn, n € Z เนื่องจาก cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) รากลบที่ใหญ่ที่สุดของสมการ: -π / 4; รากบวกที่เล็กที่สุดของสมการ: 5π/4

ความแตกต่างที่ต้องการ: 5π/4 - (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°

คำตอบ: 270°.

ปัญหาที่ 2 หา (หน่วยเป็นองศา) รากบวกที่เล็กที่สุดของสมการ |tg x| + 1/cos x = tg x

วิธีการแก้.

มาขยายโมดูลกัน:

1) ถ้า tg x ≥ 0 แล้ว

tg x + 1/cos x = tg x;

ไม่มีรากในสมการผลลัพธ์

2) ถ้า tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x - 2บาป x / cos x = 0;

(1 – 2บาป x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 และ cos x ≠ 0

โดยใช้รูปที่ 1 และเงื่อนไข tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) รากบวกที่เล็กที่สุดของสมการ 5π/6 แปลงค่านี้เป็นองศา:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°

คำตอบ: 150°.

ภารกิจที่ 3 ค้นหาปริมาณ รากต่างๆบาป |2x| = cos 2x ในช่วง [-π/2; π/2].

วิธีการแก้.

ลองเขียนสมการเป็น sin|2x| – cos 2x = 0 และพิจารณาฟังก์ชัน y = sin |2x| – คอส 2x เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เราจึงพบค่าศูนย์สำหรับ x ≥ 0

บาป 2x – cos 2x = 0; เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย cos 2x ≠ 0 เราได้:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n ∈ Z;

x = π/8 + πn/2, n ∈ Z

เมื่อใช้พาริตีของฟังก์ชัน เราได้รากของสมการดั้งเดิมคือตัวเลขของรูปแบบ

± (π/8 + πn/2) โดยที่ n ∈ Z

ช่วงเวลา [-π/2; π/2] เป็นของตัวเลข: -π/8; π/8.

ดังนั้น รากทั้งสองของสมการจึงอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด

คำตอบ: 2.

สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยการขยายโมดูล

งาน 4. ค้นหาจำนวนรากของสมการ sin x - (|2cos x - 1|) / (2cos x - 1) sin 2 x = sin 2 x ในช่วง [-π; 2π].

วิธีการแก้.

1) พิจารณากรณีที่ 2cos x – 1 > 0 เช่น cos x > 1/2 สมการเป็น:

บาป x - บาป 2 x \u003d บาป 2 x;

บาป x - 2บาป 2 x \u003d 0;

บาปx(1 - 2บาป) = 0;

sinx = 0 หรือ 1 - 2sinx = 0;

บาป x = 0 หรือ บาป x = 1/2

ใช้รูปที่ 2 และเงื่อนไข cos x > 1/2 เราจะหารากของสมการ:

x = π/6 + 2πn หรือ x = 2πn, n € Z

2) พิจารณากรณีที่ 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

บาป x + บาป 2 x = บาป 2 x;

x = 2πn, n ∈ Z

โดยใช้รูปที่ 2 และเงื่อนไข cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

เมื่อรวมสองกรณีเข้าด้วยกัน เราจะได้รับ:

x = π/6 + 2πn หรือ x = πn

3) ช่วงเวลา [-π; 2π] อยู่ในรากศัพท์: π/6; -π; 0; พาย; 2π.

ดังนั้น ห้ารากของสมการเป็นของช่วงเวลาที่กำหนด

คำตอบ: 5.

งาน 5. ค้นหาจำนวนรากของสมการ (x - 0.7) 2 |sin x| + sin x = 0 ในช่วง [-π; 2π].

วิธีการแก้.

1) ถ้า sin x ≥ 0 สมการเดิมจะอยู่ในรูปแบบ (x - 0.7) 2 sin x + sin x = 0 หลังจากนำตัวประกอบร่วม sin x ออกจากวงเล็บแล้ว เราจะได้:

บาป x((x - 0.7) 2 + 1) = 0; เนื่องจาก (x - 0.7) 2 + 1 > 0 สำหรับ x จริงทั้งหมด ดังนั้น sinx = 0 เช่น x = πn, n ∈ Z

2) ถ้าบาป x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

บาป x((x - 0.7) 2 - 1) = 0;

บาปx \u003d 0 หรือ (x - 0.7) 2 + 1 \u003d 0 เนื่องจากบาป x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем รากที่สองจากซ้ายและ ส่วนที่ถูกต้องสมการสุดท้าย เราได้รับ:

x - 0.7 \u003d 1 หรือ x - 0.7 \u003d -1 ซึ่งหมายถึง x \u003d 1.7 หรือ x \u003d -0.3

โดยคำนึงถึงเงื่อนไขบาปx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 หมายถึงเฉพาะตัวเลข -0.3 ที่เป็นรากของสมการดั้งเดิม

3) ช่วงเวลา [-π; 2π] เป็นของตัวเลข: -π; 0; พาย; 2π; -0.3

ดังนั้น สมการจึงมีห้ารากในช่วงเวลาที่กำหนด

คำตอบ: 5.

คุณสามารถเตรียมตัวสำหรับบทเรียนหรือการสอบด้วยความช่วยเหลือต่างๆ ทรัพยากรการศึกษาที่อยู่บนเว็บ ปัจจุบันใครๆ คนเพียงแค่ต้องการใช้ใหม่ เทคโนโลยีสารสนเทศท้ายที่สุดแล้วแอปพลิเคชันที่ถูกต้องและที่สำคัญที่สุดจะช่วยเพิ่มแรงจูงใจในการศึกษาเรื่องเพิ่มความสนใจและช่วยในการดูดซึมเนื้อหาที่จำเป็นได้ดีขึ้น แต่อย่าลืมว่าคอมพิวเตอร์ไม่ได้สอนให้คิดข้อมูลที่ได้รับจะต้องประมวลผลเข้าใจและจดจำ ดังนั้นคุณสามารถหันมาหาเรา ผู้สอนออนไลน์ซึ่งจะช่วยให้คุณจัดการกับปัญหาที่คุณสนใจ

คุณมีคำถามใดๆ? ไม่ทราบวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ?
เพื่อขอความช่วยเหลือจากติวเตอร์ -.
บทเรียนแรกฟรี!

blog.site ด้วยการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ระบุข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างประเภทข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เราเก็บรวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่างๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลเป็นต้น

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งคำบอกกล่าวและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น ดำเนินการตรวจสอบ วิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณแก่บุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาลในกระบวนการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำร้องขอของสาธารณะหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ นอกจากนี้ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมสำหรับวัตถุประสงค์ด้านความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเพื่อผลประโยชน์สาธารณะอื่นๆ
• ในกรณีของการปรับองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมถึงการดูแลระบบ ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด ตลอดจนการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจึงสื่อสารหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยกับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด