วิธีหาช่วงความน่าเบื่อของฟังก์ชัน b - หมายเลขสุดท้าย

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชันเสียงเดียว การพิสูจน์ทฤษฎีบทนั้นใช้สองวิธี คำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด ไม่ลดลง ลดลงอย่างเข้มงวด และไม่เพิ่มขึ้น ความหมายของฟังก์ชันโมโนโทนิก

คำจำกัดความ

นิยามของการเพิ่มและลดฟังก์ชัน
ให้ฟังก์ชัน f (x)กำหนดไว้ในบางชุด จำนวนจริง x.
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด (ลดลงอย่างเคร่งครัด), ถ้าสำหรับ x', x'' ทั้งหมด ∈ Xเช่นนั้น x'< x′′ выполняется неравенство:
ฉ (x')< f(x′′) (ฉ (x') > ฉ(x'') ) .
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ไม่ลดลง (ไม่เพิ่มขึ้น), ถ้าสำหรับ x', x'' ทั้งหมด ∈ Xเช่นนั้น x'< x′′ выполняется неравенство:
ฉ (x') ≤ ฉ(x'')(ฉ (x') ≥ ฉ(x'') ) .

นี่หมายความว่าฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดจะไม่ลดลงเช่นกัน ฟังก์ชันการลดลงอย่างเคร่งครัดจะไม่เพิ่มขึ้นเช่นกัน

ความหมายของฟังก์ชันโมโนโทนิก
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ซ้ำซากจำเจถ้าไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้น

ในการศึกษาความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันในบางชุด X คุณต้องค้นหาความแตกต่างของค่าในสองค่า จุดโดยพลการที่เป็นของชุดนี้. ถ้า ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ถ้า ฟังก์ชันไม่ลดลง ถ้า แล้วลดลงอย่างเคร่งครัด; ถ้า แล้วไม่เพิ่มขึ้น

หากในบางชุดฟังก์ชันเป็นค่าบวก: จากนั้นเพื่อตรวจสอบความซ้ำซ้อนเราสามารถตรวจสอบผลหารของการหารค่าของมันที่จุดสองจุดโดยพลการของชุดนี้ ถ้า ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ถ้า ฟังก์ชันไม่ลดลง ถ้า แล้วลดลงอย่างเคร่งครัด; ถ้า แล้วไม่เพิ่มขึ้น

ทฤษฎีบท
ให้ฟังก์ชัน f (x)ไม่ลดลงตามช่วงเวลา (ก,ข), ที่ไหน .
ถ้ามันถูกจำกัดจากด้านบนด้วยจำนวน M : แสดงว่ามีขีดจำกัดทางซ้ายที่จุด b : ถ้าฉ (x)ไม่มีขอบเขตข้างต้นแล้ว
ถ้าฉ (x)มีขอบเขตจากด้านล่างด้วยจำนวน m : จากนั้นจะมีลิมิตขวาจำกัดที่จุด a : ถ้าฉ (x)ไม่มีขอบเขตด้านล่างแล้ว

หากจุด a และ b อยู่ที่ระยะอนันต์ เครื่องหมายจำกัดหมายความว่าในนิพจน์
ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดรูปแบบให้กระชับขึ้นได้

ให้ฟังก์ชัน f (x)ไม่ลดลงตามช่วงเวลา (ก,ข), ที่ไหน . จากนั้นมีจุดจำกัดด้านเดียวที่จุด a และ b:
;
.

ทฤษฎีบทที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันที่ไม่เพิ่มขึ้น

ให้ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา โดยที่ จากนั้นมีข้อ จำกัด ด้านเดียว:
;
.

ผลที่ตามมา
ให้ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิกในช่วง จากนั้น ณ จุดใดๆ จากช่วงเวลานี้ จะมีขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน :
และ .

การพิสูจน์ทฤษฎีบท

ฟังก์ชั่นไม่ลดลง

b - หมายเลขสุดท้าย

ฟังก์ชันจำกัดจากด้านบน

1.1.1. ให้ฟังก์ชันล้อมรอบด้านบนด้วยหมายเลข M : for

.
;
.

เนื่องจากฟังก์ชันไม่ลดลง ดังนั้นสำหรับ แล้ว
ที่ .
มาแปลงอสมการสุดท้ายกันเถอะ:
;
;
.
เพราะฉนั้น. แล้ว
ที่ .

ที่ .
"นิยามของลิมิตด้านหนึ่งของฟังก์ชันที่จุดจำกัด")

ฟังก์ชั่นไม่จำกัดจากด้านบน

1. ให้ฟังก์ชันไม่ลดลงตามช่วงเวลา
1.1. ให้จำนวน b เป็นจำนวนจำกัด: .
1.1.2. ให้ฟังก์ชันไม่มีขอบเขตจากด้านบน
ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้มีขีดจำกัด .

.

ที่ .

มาแสดงว่า . แล้วสำหรับที่มีอยู่เพื่อที่ว่า
ที่ .
ซึ่งหมายความว่าลิมิตด้านซ้ายที่จุด b คือ (ดู "คำจำกัดความของลิมิตด้านเดียวที่ไม่สิ้นสุดของฟังก์ชันที่จุดสิ้นสุด")

ข ต้นบวกอนันต์

ฟังก์ชันจำกัดจากด้านบน

1. ให้ฟังก์ชันไม่ลดลงตามช่วงเวลา
1.2.1. ให้ฟังก์ชันล้อมรอบด้านบนด้วยหมายเลข M : for
ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้มีขีดจำกัด .

เนื่องจากฟังก์ชันมีขอบเขตจากด้านบน จึงมีขอบเขตบนที่จำกัด
.
ตามนิยามของexact ใบหน้าส่วนบนจะดำเนินการ เงื่อนไขต่อไปนี้:
;
สำหรับแง่บวกใด ๆ มีข้อโต้แย้งว่า
.

เนื่องจากฟังก์ชันไม่ลดลง ดังนั้นสำหรับ แล้วที่. หรือ
ที่ .

ดังนั้นเราจึงพบว่าสำหรับสิ่งใด ๆ มีจำนวนอยู่ ดังนั้น
ที่ .
“นิยามของลิมิตด้านเดียวที่อนันต์”).

ฟังก์ชั่นไม่จำกัดจากด้านบน

1. ให้ฟังก์ชันไม่ลดลงตามช่วงเวลา
1.2. ให้เลข b บวกอนันต์: .
1.2.2. ให้ฟังก์ชันไม่มีขอบเขตจากด้านบน
ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้มีขีดจำกัด .

เนื่องจากฟังก์ชันไม่ได้ถูกจำกัดไว้ด้านบน ดังนั้นสำหรับจำนวน M ใดๆ จึงมีอาร์กิวเมนต์ ซึ่งสำหรับ
.

เนื่องจากฟังก์ชันไม่ลดลง ดังนั้นสำหรับ แล้วที่.

ดังนั้นสำหรับจำนวนใด ๆ นั้น
ที่ .
ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดอยู่ที่ (ดู "คำจำกัดความของขีดจำกัดด้านเดียวที่ไม่มีที่สิ้นสุด")

ฟังก์ชั่นไม่เพิ่มขึ้น

พิจารณากรณีที่ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้น คุณสามารถพิจารณาแต่ละตัวเลือกแยกกันได้ตามข้างต้น แต่เราจะครอบคลุมทันที สำหรับสิ่งนี้เราใช้ . ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้มีขีดจำกัด .

พิจารณาขอบเขตล่างที่จำกัดของชุดค่าฟังก์ชัน:
.
โดยที่ B สามารถเป็นจำนวนจำกัดหรือจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดก็ได้ ตามคำจำกัดความของ infimum ที่แน่นอน เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
;
สำหรับย่านใด ๆ ของจุด B มีข้อโต้แย้งว่า
.
โดยเงื่อนไขของทฤษฎีบท . นั่นเป็นเหตุผล

เนื่องจากฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้น ดังนั้น สำหรับ . เพราะงั้น
ที่ .
หรือ
ที่ .
นอกจากนี้ เราทราบว่าความไม่เท่าเทียมกันกำหนดพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะด้านซ้ายของจุด b

เราจึงพบว่าสำหรับพื้นที่ใกล้เคียงใดๆ ของจุด มีบริเวณใกล้เคียงด้านซ้ายที่มีรูพรุนของจุด b ซึ่ง
ที่ .
ซึ่งหมายความว่าลิมิตทางซ้ายที่จุด b คือ:

(ดูคำจำกัดความสากลของลิมิตของฟังก์ชันตาม Cauchy)

ขีด จำกัด ที่จุด A

ทีนี้ลองแสดงว่ามีลิมิตที่จุด a แล้วหาค่าของมัน

ลองพิจารณาฟังก์ชัน ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท ฟังก์ชันจะเป็นแบบโมโนโทนิกสำหรับ ลองแทนที่ตัวแปร x ด้วย - x (หรือทำการแทนค่าแล้วแทนที่ตัวแปร t ด้วย x ) จากนั้นฟังก์ชันจะเป็นเสียงเดียวสำหรับ การคูณอสมการด้วย -1 และเปลี่ยนลำดับ เราสรุปได้ว่าฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิกสำหรับ

ในทำนองเดียวกัน แสดงให้เห็นง่ายๆ ว่า ถ้ามันไม่ลดลง มันก็ไม่เพิ่มขึ้น จากนั้นตามที่ได้พิสูจน์ไว้ข้างต้น มีข้อ จำกัด
.
ถ้าไม่เพิ่มขึ้นก็ไม่ลดลง ในกรณีนี้มีขีดจำกัด
.

ตอนนี้ยังคงแสดงให้เห็นว่าหากมีลิมิตของฟังก์ชันที่ ก็จะมีลิมิตของฟังก์ชันที่ และลิมิตเหล่านี้มีค่าเท่ากัน:
.

มาแนะนำสัญกรณ์:
(1) .
มาแสดง f ในแง่ของ g :
.
ใช้จำนวนบวกโดยพลการ ให้มีย่านเอปไซลอนของจุด A พื้นที่ใกล้เคียง Epsilon ถูกกำหนดสำหรับทั้งค่าที่แน่นอนและไม่มีที่สิ้นสุดของ A (ดู "บริเวณใกล้เคียงของจุด") เนื่องจากมีขีด จำกัด (1) ดังนั้นตามคำจำกัดความของขีด จำกัด ที่มีอยู่เช่นนั้น
ที่ .

ให้ a เป็นจำนวนจำกัด ให้เราแสดงพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะด้านซ้ายของจุด -a โดยใช้อสมการ:
ที่ .
ลองแทนที่ x ด้วย -x และพิจารณาว่า:
ที่ .
อสมการสองตัวสุดท้ายกำหนดพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด a แล้ว
ที่ .

ให้ a เป็นจำนวนอนันต์, . เราอภิปรายซ้ำ
ที่ ;
ที่ ;
ที่ ;
ที่ .

ดังนั้นเราจึงพบว่ามีอยู่สำหรับสิ่งนั้น
ที่ .
มันหมายความว่า
.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เราพบกันครั้งแรกในวิชาพีชคณิตเกรด 7 เมื่อดูที่กราฟของฟังก์ชัน เราลบข้อมูลที่เกี่ยวข้องออก: หากเคลื่อนไปตามกราฟจากซ้ายไปขวา ในขณะเดียวกันเราก็เคลื่อนจากล่างขึ้นบน (ราวกับว่ากำลังปีนเขา) จากนั้นเราจึงประกาศฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (รูปที่ 124); หากเราเลื่อนจากบนลงล่าง (ลงเนิน) เราก็ประกาศให้ฟังก์ชันลดลง (รูปที่ 125)

อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ไม่ชอบวิธีการศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันแบบนี้มากนัก พวกเขาเชื่อว่าคำจำกัดความของแนวคิดไม่ควรอยู่บนพื้นฐานของภาพวาด - ภาพวาดควรแสดงเฉพาะคุณสมบัติของฟังก์ชันอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น แผนภูมิ. ให้เราให้คำจำกัดความที่เข้มงวดเกี่ยวกับแนวคิดของการเพิ่มและลดฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 1. ฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่าเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา X ถ้าจากความไม่เท่าเทียมกัน x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

คำจำกัดความ 2 ฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่าการลดลงของช่วงเวลา X ถ้าจากความไม่เท่าเทียมกัน x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует ความไม่เท่าเทียมกันฉ(x1) > ฉ(x2).

ในทางปฏิบัติจะสะดวกกว่าในการใช้สูตรต่อไปนี้:

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นหากค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันจะลดลงถ้าค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยลงของฟังก์ชัน

การใช้คำจำกัดความเหล่านี้และคุณสมบัติที่กำหนดไว้ใน§ 33 อสมการเชิงตัวเลขเราจะสามารถยืนยันข้อสรุปเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันที่ศึกษาก่อนหน้านี้

1. ฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + m

ถ้า k > 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นโดยรวม (รูปที่ 126); ถ้าเค< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

การพิสูจน์. ให้ f(x) = kx + m ถ้า x 1< х 2 и k >โอ้ ตามคุณสมบัติ 3 ของอสมการตัวเลข (ดู§ 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

ดังนั้น จากอสมการ x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. เชิงเส้นฟังก์ชัน y = kx + m

ถ้า x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 และตามคุณสมบัติ 2 จาก kx 1 > kx 2 เป็นไปตามนั้น kx 1 + m > kx 2 + t

ดังนั้น จากอสมการ x 1< х 2 следует, что f(х 1) >ฉ(x 2). ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน y \u003d f (x) ลดลง เช่น ฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + ม.

หากฟังก์ชันเพิ่ม (ลด) ในขอบเขตทั้งหมดของนิยาม ฟังก์ชันนั้นสามารถเรียกว่าเพิ่ม (ลด) โดยไม่ต้องระบุช่วงเวลา ตัวอย่างเช่น เกี่ยวกับฟังก์ชัน y \u003d 2x - 3 เราสามารถพูดได้ว่ามันเพิ่มขึ้นในบรรทัดจำนวนทั้งหมด แต่เราสามารถพูดสั้น ๆ ว่า y \u003d 2x - 3 - เพิ่มขึ้น
การทำงาน.

2. ฟังก์ชัน y = x2

1. พิจารณาฟังก์ชัน y \u003d x 2 บนลำแสง หาจำนวนที่ไม่เป็นบวกสองตัว x 1 และ x 2 ซึ่งก็คือ x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2 . เนื่องจากตัวเลข - x 1 และ - x 2 ไม่เป็นค่าลบ ดังนั้น เมื่อนำทั้งสองส่วนของอสมการสุดท้ายมายกกำลังสอง เราจึงได้อสมการที่มีความหมายเดียวกัน (-x 1) 2 > (-x 2) 2 เช่น ซึ่งหมายความว่า f (x 1) > f (x 2)

ดังนั้น จากอสมการ x 1< х 2 следует, что f(х 1) >ฉ(x 2).

ดังนั้นฟังก์ชัน y \u003d x 2 จะลดลงบนลำแสง (- 00, 0] (รูปที่ 128)

1. พิจารณาฟังก์ชันในช่วงเวลา (0, + 00)
ให้ x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >ฉ(x2).

ดังนั้น จากอสมการ x 1< х 2 следует, что f(x 1) >ฉ(x2). ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะลดลงในโอเพ่นเรย์ (0, + 00) (รูปที่ 129)

2. พิจารณาฟังก์ชันในช่วงเวลา (-oo, 0) ให้ x 1< х 2 , х 1 и х 2 - ตัวเลขติดลบ. จากนั้น - x 1 > - x 2 และทั้งสองส่วนของอสมการสุดท้าย - ตัวเลขที่เป็นบวกและด้วยเหตุนี้ (เราใช้อสมการที่พิสูจน์แล้วในตัวอย่างที่ 1 ของ§ 33 อีกครั้ง) แล้วเราได้มาจากไหน

ดังนั้น จากอสมการ x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) เช่น ฟังก์ชั่นลดลงเมื่อเปิดลำแสง (- 00 , 0)

โดยปกติคำว่า "การเพิ่มฟังก์ชัน", "การลดฟังก์ชัน" จะรวมกัน ชื่อสามัญฟังก์ชันโมโนโทนิก และการศึกษาฟังก์ชันสำหรับการเพิ่มและลดเรียกว่า การศึกษาฟังก์ชันสำหรับโมโนโทนิก

วิธีการแก้.

1) ลองพล็อตฟังก์ชัน y \u003d 2x 2 แล้วหากิ่งของพาราโบลานี้ที่ x< 0 (рис. 130).

2) มาสร้างและเลือกส่วนของมันในส่วน (รูปที่ 131)

3) เราสร้างไฮเปอร์โบลาและเลือกส่วนของมันบนลำแสงเปิด (4, + 00) (รูปที่ 132)
4) "ชิ้นส่วน" ทั้งสามจะแสดงในระบบพิกัดเดียวกัน - นี่คือกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) (รูปที่ 133)

มาอ่านกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x)

1. ขอบเขตของฟังก์ชันคือเส้นจำนวนทั้งหมด

2. y \u003d 0 สำหรับ x \u003d 0; y > 0 สำหรับ x > 0

3. ฟังก์ชันลดลงบนเรย์ (-oo, 0], เพิ่มในส่วน , ลดลงบนเรย์, นูนขึ้นไปบนส่วน , นูนลงบนเรย์พิจารณาฟังก์ชัน \(f(t)=t^3+t\) จากนั้นสมการจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบ: \ เราตรวจสอบฟังก์ชัน \(f(t)\) . \ ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f(t)\) จะเพิ่มขึ้นสำหรับทั้งหมด \(t\) ซึ่งหมายความว่าแต่ละค่าของฟังก์ชัน \(f(t)\) สอดคล้องกับหนึ่งค่าของอาร์กิวเมนต์ \(t\) ดังนั้นเพื่อให้สมการมีราก คุณต้อง: \ เพื่อให้สมการที่เป็นผลลัพธ์มีสองราก ความแตกต่างของสมการจะต้องเป็นค่าบวก: \

ตอบ:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

งาน 2 #2653

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะรวม

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) ที่สมการ \

มีสองราก

(งานจากสมาชิก.)

มาเปลี่ยนกันเถอะ: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ: \ พิจารณาฟังก์ชัน \(f(w)=7^w+\sqrtw\) จากนั้นสมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

ลองหาอนุพันธ์กัน \ โปรดทราบว่าสำหรับทั้งหมด \(w\ne 0\) อนุพันธ์คือ \(f"(w)>0\) เนื่องจาก \(7^w>0\) , \(w^6>0\) โปรดทราบด้วย ฟังก์ชัน \(f(w)\) นั้นถูกกำหนดไว้สำหรับ \(w\) ทั้งหมด เนื่องจากยิ่งไปกว่านั้น \(f(w)\) เป็นแบบต่อเนื่อง เราจึงสรุปได้ว่า \(f (w)\) คือ เพิ่มขึ้นทั้งหมด \(\mathbb(R)\)
ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน \(f(t)=f(u)\) จึงเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ \(t=u\) กลับไปที่ตัวแปรเดิมและแก้สมการผลลัพธ์:

\ เพื่อให้สมการนี้มีสองราก จะต้องเป็นกำลังสองและค่าจำแนกต้องเป็นบวก:

\[\begin(กรณี) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(กรณี) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(กรณี)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

ตอบ:

\((-\infty;1)\ถ้วย(1;2)\)

งาน 3 #3921

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะรวม

ค้นหาค่าบวกทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) ที่สมการ

มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อย \(2\)

ให้เราย้ายพจน์ทั้งหมดที่มี \(ax\) ไปทางซ้าย และพจน์ที่มี \(x^2\) ไปทางขวา และพิจารณาฟังก์ชัน
\

จากนั้นสมการเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
\

มาหาอนุพันธ์กัน:
\

เพราะ \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos(2t) \geqslant 0\)แล้ว \(f"(t)\geqslant 0\) สำหรับ \(t\in \mathbb(R)\) ใด ๆ

นอกจากนี้ \(f"(t)=0\) ถ้า \((t-2)^2=0\) และ \(1+\cos(2t)=0\) พร้อมกัน ซึ่งไม่เป็นความจริง สำหรับ \ (t\) ใดๆ ดังนั้น \(f"(t)> 0\) สำหรับใดๆ \(t\in \mathbb(R)\)

ดังนั้นฟังก์ชัน \(f(t)\) จะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดสำหรับทั้งหมด \(t\in \mathbb(R)\)

ดังนั้นสมการ \(f(ax)=f(x^2)\) จึงเทียบเท่ากับสมการ \(ax=x^2\)

สมการ \(x^2-ax=0\) ที่มี \(a=0\) มีหนึ่งราก \(x=0\) และด้วย \(a\ne 0\) จะมีสองราก รากที่แตกต่างกัน\(x_1=0\) และ \(x_2=a\)
เราจำเป็นต้องค้นหาค่า \(a\) ซึ่งสมการจะมีอย่างน้อยสองรากโดยคำนึงถึงความจริงที่ว่า \(a>0\) .
ดังนั้น คำตอบคือ: \(a\in (0;+\infty)\)

ตอบ:

\((0;+\มากมาย)\) .

งาน 4 #1232

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะรวม

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) สำหรับแต่ละสมการ \

มีทางออกที่ไม่เหมือนใคร

คูณด้านขวาและด้านซ้ายของสมการด้วย \(2^(\sqrt(x+1))\) (เพราะ \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) และเขียนสมการใหม่เป็น : \

พิจารณาฟังก์ชัน \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)สำหรับ \(t\geqslant 0\) (เพราะ \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) )

อนุพันธ์ \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\).

เพราะ \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\)สำหรับทั้งหมด \(t\geqslant 0\) แล้ว \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

ดังนั้น สำหรับ \(t\geqslant 0\) ฟังก์ชัน \(y\) จะลดลงแบบโมโนโทนิก

สามารถดูสมการได้เป็น \(y(t)=y(z)\) โดยที่ \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) มันตามมาจากความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันที่ความเท่าเทียมกันจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ \(t=z\)

ซึ่งหมายความว่าสมการจะเทียบเท่ากับสมการ: \(ax=\sqrt(x+1)\) ซึ่งจะเทียบเท่ากับระบบ: \[\begin(กรณี) a^2x^2-x-1=0\\ ขวาน \geqslant 0 \end(กรณี)\]

สำหรับ \(a=0\) ระบบมีทางออกเดียว \(x=-1\) ซึ่งตรงตามเงื่อนไข \(ax\geqslant 0\)

พิจารณากรณี \(a\ne 0\) . การเลือกปฏิบัติของสมการแรกของระบบ \(D=1+4a^2>0\) สำหรับทั้งหมด \(a\) ดังนั้น สมการจึงมีสองรากเสมอ \(x_1\) และ \(x_2\) , และพวกมันมีเครื่องหมายต่างกัน (เพราะโดยทฤษฎีบท Vieta \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

ซึ่งหมายความว่าสำหรับ \(ก<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) รากที่เป็นบวกตรงกับเงื่อนไข ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอยู่เสมอ

ดังนั้น \(a\in \mathbb(R)\)

ตอบ:

\(a\in \mathbb(R)\) .

งาน 5 #1234

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะรวม

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) สำหรับแต่ละสมการ \

มีอย่างน้อยหนึ่งรูทจากช่วงเวลา \([-1;0]\)

พิจารณาฟังก์ชัน \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)สำหรับบางคงที่ \(a\) มาหาอนุพันธ์กัน: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

โปรดทราบว่า \(f"(x)\geqslant 0\) สำหรับค่าทั้งหมดของ \(x\) และ \(a\) และเท่ากับ \(0\) สำหรับ \(x=a=1 เท่านั้น \) แต่สำหรับ \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \ลูกศรขวา f(x)=2(x-1)^3 \ลูกศรขวา\)สมการ \(2(x-1)^3=0\) มีรากเดียว \(x=1\) ที่ไม่ตรงตามเงื่อนไข ดังนั้น \(a\) จึงไม่สามารถเท่ากับ \(1\)

ดังนั้น สำหรับทุก \(a\ne 1\) ฟังก์ชัน \(f(x)\) จะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ดังนั้นสมการ \(f(x)=0\) สามารถมีได้มากที่สุดหนึ่งราก ด้วยคุณสมบัติของฟังก์ชันลูกบาศก์ กราฟ \(f(x)\) สำหรับค่าคงที่ \(a\) บางตัวจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้น เพื่อให้สมการมีรากจากส่วน \([-1;0]\) จำเป็นต้องมี: \[\begin(กรณี) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(กรณี) \Rightarrow \begin(กรณี) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(กรณี) \Rightarrow \begin(กรณี) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(กรณี) \Rightarrow -2\leqslant ก\leqslant 0\]

ดังนั้น \(a\in [-2;0]\)

ตอบ:

\(a\ใน [-2;0]\) .

งาน 6 #2949

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะรวม

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) สำหรับแต่ละสมการ \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

มีราก

(งานจากสมาชิก)

สมการ odz: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\ลูกศรซ้ายขวา\quad x\in \). ดังนั้นเพื่อให้สมการมีรากจำเป็นต้องมีสมการอย่างน้อยหนึ่งสมการ \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\]มีการตัดสินใจเกี่ยวกับ ODZ

1) พิจารณาสมการแรก \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(รวบรวม)\begin(จัดแนว) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(ชิด) \end(รวบรวม)\right \quad\ลูกศรซ้ายขวา\quad \sin x=2a+2\]สมการนี้ต้องมีรากใน \(\) พิจารณาวงกลม:

ดังนั้น เราจะเห็นว่าสำหรับ \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) สมการใดๆ จะมีคำตอบเดียว และสำหรับสมการอื่นๆ ทั้งหมด จะไม่มีคำตอบ ดังนั้น เมื่อ \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)สมการมีคำตอบ

2) พิจารณาสมการที่สอง \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\ลูกศรซ้าย\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

พิจารณาฟังก์ชัน \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) มาหาอนุพันธ์กัน: \ ใน ODZ อนุพันธ์จะมีศูนย์หนึ่งตัว: \(x=\frac34\) ซึ่งเป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน \(f(x)\) ด้วย
โปรดทราบว่า \(f(0)=f(1)=0\) ดังนั้น แผนผัง กราฟ \(f(x)\) มีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นเพื่อให้สมการมีคำตอบ กราฟ \ (f (x) \) ตัดกับเส้น \ (y \u003d -a \) (หนึ่งในตัวเลือกที่เหมาะสมจะแสดงในรูป) . นั่นคือมันจำเป็นที่ \ . ด้วยสิ่งเหล่านี้ \(x\) :

ฟังก์ชัน \(y_1=\sqrt(x-1)\) กำลังเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด กราฟของฟังก์ชัน \(y_2=5x^2-9x\) คือพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด \(x=\dfrac(9)(10)\) ดังนั้นสำหรับทุก \(x\geqslant 1\) ฟังก์ชัน \(y_2\) ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน (กิ่งด้านขวาของพาราโบลา) เพราะ ผลรวมของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดจะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด จากนั้น \(f_a(x)\) จะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด (ค่าคงที่ \(3a+8\) ไม่ส่งผลต่อความเป็นโมโนโทนิกของฟังก์ชัน)

ฟังก์ชัน \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) สำหรับ \(x\geqslant 1\) ทั้งหมดเป็นส่วนหนึ่งของกิ่งด้านขวาของไฮเพอร์โบลาและกำลังลดลงอย่างเคร่งครัด

การแก้สมการ \(f_a(x)=g_a(x)\) หมายถึงการหาจุดตัดของฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) จากความซ้ำซ้อนที่ตรงกันข้าม สมการสามารถมีได้สูงสุดหนึ่งรูท

สำหรับ \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . ดังนั้น สมการจะมีคำตอบเฉพาะหาก:

\\ถ้วย

ตอบ:

\(a\in(-\infty;-1]\ถ้วย)