วิธีหาจุดศูนย์ถ่วงของรูปร่างที่มีรูปร่างผิดปกติ ตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขบางตัว

สี่เหลี่ยมผืนผ้า. เนื่องจากสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีสมมาตรสองแกน จุดศูนย์ถ่วงจึงอยู่ที่จุดตัดของแกนสมมาตร กล่าวคือ ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม

สามเหลี่ยม. จุดศูนย์ถ่วงอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน เป็นที่ทราบกันดีจากเรขาคณิตว่าค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งและหารด้วยอัตราส่วน 1:2 จากฐาน

วงกลม. เนื่องจากวงกลมมีความสมมาตรสองแกน จุดศูนย์ถ่วงของวงกลมจึงอยู่ที่จุดตัดของแกนสมมาตร

ครึ่งวงกลม. ครึ่งวงกลมมีแกนสมมาตรหนึ่งแกน จากนั้นจุดศูนย์ถ่วงจะอยู่บนแกนนี้ พิกัดอื่นของจุดศูนย์ถ่วงคำนวณโดยสูตร:

องค์ประกอบโครงสร้างหลายอย่างทำจากผลิตภัณฑ์รีดมาตรฐาน - มุม, คานไอ, ช่องและอื่น ๆ ขนาดทั้งหมด รวมถึงลักษณะทางเรขาคณิตของโปรไฟล์แบบม้วน เป็นข้อมูลแบบตารางที่สามารถพบได้ในเอกสารอ้างอิงในตารางการจัดประเภทมาตรฐาน (GOST 8239-89, GOST 8240-89)

ตัวอย่าง 1 กำหนดตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขที่แสดงในรูป

วิธีการแก้:

เราเลือกแกนพิกัดเพื่อให้แกน Ox เคลื่อนไปตามมิติโดยรวมที่ต่ำที่สุด และแกน Oy - ตามมิติโดยรวมด้านซ้ายสุด

เราแบ่งตัวเลขที่ซับซ้อนเป็นจำนวนขั้นต่ำของตัวเลขอย่างง่าย:

สี่เหลี่ยมผืนผ้า 20x10;

สามเหลี่ยม 15x10;

วงกลม R=3 ซม.

เราคำนวณพื้นที่ของตัวเลขง่าย ๆ แต่ละอันซึ่งเป็นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง ผลลัพธ์ของการคำนวณจะถูกป้อนในตาราง

รูปที่	พื้นที่รูป A	พิกัดศูนย์ถ่วง

ตอบ: ค (14.5; 4.5)

ตัวอย่าง 2 . กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนคอมโพสิตที่ประกอบด้วยแผ่นและโปรไฟล์แบบม้วน

วิธีการแก้.

เราเลือกแกนพิกัดดังแสดงในรูป

เราแสดงตัวเลขตามตัวเลขและเขียนข้อมูลที่จำเป็นจากตาราง:

รูปที่	พื้นที่รูป A	พิกัดศูนย์ถ่วง

เราคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปโดยใช้สูตร:

ตอบ: ค(0; 10)

งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 1 "การหาจุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขแบนผสม"

เป้า: กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงที่ซับซ้อนแบบแบนที่กำหนดโดยวิธีการทดลองและการวิเคราะห์ แล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์

สั่งงาน

วาดร่างแบนของคุณในสมุดบันทึกโดยระบุแกนพิกัด

กำหนดจุดศูนย์ถ่วงด้วยการวิเคราะห์

1. แบ่งตัวเลขออกเป็นจำนวนขั้นต่ำซึ่งจุดศูนย์ถ่วงที่เรารู้วิธีกำหนด

   ระบุจำนวนพื้นที่และพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละรูป

   คำนวณพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละรูป

   คำนวณพื้นที่ของแต่ละรูป

   คำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างทั้งหมดโดยใช้สูตร (ใส่ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงบนรูปวาด):

การติดตั้งสำหรับการทดลองหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงโดยระบบกันสะเทือนประกอบด้วยชั้นวางแนวตั้ง 1 (ดูรูป) ที่ติดเข็ม 2 . รูปร่างแบน 3 ทำจากกระดาษแข็ง เจาะรูง่าย. หลุม แต่ และ ที่ เจาะตามจุดที่ตั้งแบบสุ่ม (ควรอยู่ห่างจากกันมากที่สุด) ร่างแบนถูกแขวนไว้บนเข็มก่อนอื่น แต่ แล้วตรงจุด ที่ . ด้วยความช่วยเหลือของลูกดิ่ง 4 จับจ้องที่เข็มเดียวกัน เส้นแนวตั้งถูกวาดบนร่างด้วยดินสอที่สอดคล้องกับเส้นดิ่ง จุดศูนย์ถ่วง จาก รูปจะอยู่ที่จุดตัดของเส้นแนวตั้งที่ลากเมื่อแขวนรูปที่จุด แต่ และ ที่ .

จุดศูนย์ถ่วงวัตถุที่แข็งกระด้างคือจุดเรขาคณิตที่เชื่อมต่อกับวัตถุนี้อย่างแน่นหนา และเป็นจุดศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงคู่ขนานที่ใช้กับอนุภาคมูลฐานแต่ละส่วนของร่างกาย (รูปที่ 1.6)

เวกเตอร์รัศมีของจุดนี้

รูปที่ 1.6

สำหรับร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกัน ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายไม่ได้ขึ้นอยู่กับวัสดุ แต่ถูกกำหนดโดยรูปทรงเรขาคณิตของร่างกาย

ถ้าความถ่วงจำเพาะของร่างกายเป็นเนื้อเดียวกัน γ , น้ำหนักของอนุภาคมูลฐานของร่างกาย

พี k = γΔV k (พี = γV ) แทนลงในสูตรเพื่อกำหนด r ค , เรามี

จากที่ฉายบนแกนและผ่านไปยังขีด จำกัด เราได้รับพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของปริมาตรที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ในทำนองเดียวกัน สำหรับพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของพื้นผิวที่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีพื้นที่ ส (รูปที่ 1.7, ก)

รูปที่1.7

สำหรับพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของเส้นความยาวที่เป็นเนื้อเดียวกัน หลี่ (รูปที่ 1.7 ข)

วิธีการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง

จากสูตรทั่วไปที่ได้รับก่อนหน้านี้ เป็นไปได้ที่จะระบุวิธีการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุแข็ง:

1 วิเคราะห์(โดยบูรณาการ).

2 วิธีสมมาตร. หากร่างกายมีระนาบ แกน หรือจุดศูนย์กลางสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงของมันจะอยู่ตามลำดับในระนาบสมมาตร แกนสมมาตร หรือในศูนย์กลางของสมมาตร

3 ทดลอง(วิธีระงับร่างกาย).

4 แยกออก. ร่างกายถูกแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ อย่างจำกัด โดยแต่ละส่วนจะมีตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วง ค และพื้นที่ ส เป็นที่รู้จัก. ตัวอย่างเช่น การฉายภาพร่างบนระนาบ xOy (รูปที่ 1.8) สามารถแสดงเป็นรูปแบนสองรูปที่มีพื้นที่ ส 1 และ ส 2 (S=S 1 +เ 2 ). จุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขเหล่านี้อยู่ที่จุด ค 1 (x 1 ,y 1 ) และ ค 2 (x 2 ,y 2 ) . แล้วพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายคือ

รูปที่ 1.8

5ส่วนที่เพิ่มเข้าไป(วิธีการลบพื้นที่หรือปริมาตร). กรณีพิเศษของวิธีการแบ่งพาร์ติชัน ใช้กับวัตถุที่มีช่องเจาะหากทราบจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายโดยไม่มีช่องเจาะและช่องเจาะ ตัวอย่างเช่น คุณต้องหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างแบน (รูปที่ 1.9):

รูปที่1.9

จุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขที่ง่ายที่สุด

รูปที่ 1.10

1 สามเหลี่ยม

จุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่สามเหลี่ยมเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของค่ามัธยฐาน (รูปที่ 1.10, a)

DM=MB , CM= (1/3)เช้า .

2 ส่วนโค้งของวงกลม

ส่วนโค้งมีแกนสมมาตร (รูปที่ 1.10, b) จุดศูนย์ถ่วงอยู่บนแกนนี้ กล่าวคือ y ค = 0 .

ดล – องค์ประกอบอาร์ค ดล = Rdφ , R คือรัศมีของวงกลม x = Rcosφ , ล= 2อาร์ ,

เพราะเหตุนี้:

x ค = R(ซินα/α) .

3 ภาควงกลม

ภาครัศมี R ด้วยมุมศูนย์กลาง2 α มีแกนสมมาตร วัว ซึ่งจุดศูนย์ถ่วงตั้งอยู่ (รูปที่ 1.10, c).

เราแบ่งเซกเตอร์ออกเป็นภาคพื้นฐานซึ่งถือได้ว่าเป็นสามเหลี่ยม จุดศูนย์ถ่วงของภาคประถมศึกษาอยู่ที่ส่วนโค้งของวงกลมรัศมี (2/3) R .

จุดศูนย์ถ่วงของเซกเตอร์ตรงกับจุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้ง AB :

14. วิธีการระบุการเคลื่อนที่ของจุด

ด้วยวิธีการระบุการเคลื่อนที่ของเวกเตอร์ ตำแหน่งของจุดจะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมีที่ดึงมาจากจุดคงที่ในระบบอ้างอิงที่เลือก

ด้วยวิธีพิกัดระบุการเคลื่อนไหว พิกัดของจุดจะถูกระบุเป็นฟังก์ชันของเวลา:

นี่คือสมการพาราเมทริกของวิถีโคจรของจุดเคลื่อนที่ ซึ่งเวลามีบทบาทเป็นพารามิเตอร์ t . ในการเขียนสมการในรูปแบบที่ชัดเจนจำเป็นต้องแยกออกจากกัน t .

ด้วยวิธีการธรรมชาติในการระบุการเคลื่อนไหว วิถีของจุด กำเนิดบนวิถีพร้อมบ่งชี้ทิศทางบวกของการอ้างอิง กฎของการเปลี่ยนแปลงของพิกัดอาร์คถูกกำหนด: s=s(t) . วิธีนี้สะดวกที่จะใช้หากทราบวิถีของจุดล่วงหน้า

15. ความเร็ว 1.2 จุด

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดในช่วงเวลาสั้นๆ Δt :

ความเร็วเฉลี่ยของจุดในช่วงเวลาหนึ่ง Dt . ความเร็วของจุด ณ เวลาที่กำหนด

ความเร็วจุดเป็นการวัดจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่ เท่ากับอนุพันธ์เวลาของเวกเตอร์รัศมีของจุดนี้ในกรอบอ้างอิงที่กำลังพิจารณา เวกเตอร์ความเร็วถูกกำกับในแนวสัมผัสไปยังวิถีของจุดในทิศทางของการเคลื่อนที่

ผู้เขียน: มาสร้างรูปร่างตามอำเภอใจกันเถอะ เป็นไปได้ไหมที่จะแขวนไว้บนเส้นด้ายเพื่อให้หลังจากแขวนแล้วจะคงตำแหน่งไว้ (เช่นไม่เริ่มหมุน) เมื่อ ใดๆปฐมนิเทศเบื้องต้น (รูปที่ 27.1)?

กล่าวอีกนัยหนึ่งมีจุดดังกล่าวซึ่งสัมพันธ์กับผลรวมของโมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อส่วนต่าง ๆ ของร่างกายจะเท่ากับศูนย์ที่ ใดๆการวางแนวของร่างกายในอวกาศ?

ผู้อ่าน: ใช่ฉันก็คิดว่าอย่างนั้น. ประเด็นดังกล่าวเรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

การพิสูจน์.เพื่อความง่าย ให้พิจารณาร่างกายในรูปแบบของจานแบนที่มีรูปร่างตามอำเภอใจซึ่งจัดวางโดยพลการในอวกาศ (รูปที่ 27.2) ใช้ระบบพิกัด X 0ที่โดยมีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวล - จุด จาก, แล้ว x C = 0, ที่ C = 0.

เราเป็นตัวแทนของร่างกายนี้เป็นกลุ่มของมวลจุดจำนวนมาก ฉันตำแหน่งของแต่ละตำแหน่งถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี

โดยนิยามของจุดศูนย์กลางมวล และพิกัด x C = .

เนื่องจากในระบบพิกัดของเรา x C= 0 แล้ว ลองคูณสมการนี้ด้วย gและรับ

ดังจะเห็นได้จากรูปที่ 27.2, | x ฉัน| คือไหล่ของความแข็งแกร่ง และถ้า x ฉัน> 0 แล้วโมเมนต์ของแรง ฉัน> 0 และถ้า x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x ฉันช่วงเวลาแห่งพลังจะเป็น ผม = ม. ผม ก. ผม .จากนั้นความเท่าเทียมกัน (1) จะเท่ากับ โดยที่ ฉันคือโมเมนต์ของแรงโน้มถ่วง และนี่หมายความว่าด้วยการวางแนวตามอำเภอใจของร่างกาย ผลรวมของโมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อร่างกายจะเท่ากับศูนย์เมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล

เพื่อให้ร่างกายที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในดุลยภาพ จำเป็นต้องประยุกต์ใช้กับมัน ณ จุดหนึ่ง จากบังคับ ตู่ = มก.ชี้ขึ้นในแนวตั้ง โมเมนต์ของแรงนี้เกี่ยวกับจุดนั้น จากเท่ากับศูนย์

เนื่องจากการให้เหตุผลของเราไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าร่างกายวางตัวในอวกาศอย่างไร เราจึงพิสูจน์ว่าจุดศูนย์ถ่วงตรงกับจุดศูนย์กลางมวล ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

ปัญหา 27.1จงหาจุดศูนย์ถ่วงของแท่งยาวไร้น้ำหนัก lที่ปลายซึ่งมวลสองจุดได้รับการแก้ไข t 1 และ t 2 .

t 1 t 2 l	วิธีการแก้. เราจะไม่มองหาจุดศูนย์ถ่วง แต่มองหาจุดศูนย์กลางมวล (เนื่องจากเป็นจุดศูนย์กลางเดียวกัน) มาแนะนำแกน X(รูปที่ 27.3) ข้าว. 27.3
x C =?

ตอบ: ห่างจากมวล t 1 .

หยุด! ตัดสินใจด้วยตัวเอง: B1-B3

งบ 1 . หากตัวแบนที่เป็นเนื้อเดียวกันมีแกนสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่บนแกนนี้

แท้จริงแล้วสำหรับมวลจุดใด ๆ ฉันซึ่งอยู่ทางด้านขวาของแกนสมมาตร มีมวลจุดเดียวกันตั้งอยู่อย่างสมมาตรเทียบกับจุดแรก (รูปที่ 27.4) ในกรณีนี้ ผลรวมของโมเมนต์ของแรง .

เนื่องจากร่างกายทั้งหมดสามารถแสดงโดยแบ่งออกเป็นคู่ของจุดที่คล้ายกัน โมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงทั้งหมดที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกนสมมาตรจึงเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายก็ตั้งอยู่บนแกนนี้เช่นกัน สิ่งนี้นำไปสู่ข้อสรุปที่สำคัญ: ถ้าร่างกายมีแกนสมมาตรหลายแกน จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ที่จุดตัดของแกนเหล่านี้(รูปที่ 27.5)

ข้าว. 27.5

คำชี้แจง 2. ถ้าสองร่างมีมวล t 1 และ t 2 เชื่อมต่อเป็นหนึ่งเดียว จากนั้นจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายดังกล่าวจะอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุที่หนึ่งและที่สอง (รูปที่ 27.6)

ข้าว. 27.6 ข้าว. 27.7

การพิสูจน์.ให้เราจัดเรียงตัวคอมโพสิตเพื่อให้ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายอยู่ในแนวตั้ง แล้วผลรวมของโมเมนต์แรงโน้มถ่วงของร่างแรกเทียบกับจุดนั้น จาก 1 เท่ากับศูนย์ และผลรวมของโมเมนต์แรงโน้มถ่วงของวัตถุที่สองรอบจุดนั้น จาก 2 เป็นศูนย์ (รูปที่ 27.7)

สังเกตว่า ไหล่แรงโน้มถ่วงของมวลจุดใดๆ Tiเช่นเดียวกันกับจุดใด ๆ ในส่วนนี้ จาก 1 จาก 2 และด้วยเหตุนี้โมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ ที่วางอยู่บนเซกเมนต์ จาก 1 จาก 2 เหมือนกันครับ ดังนั้นแรงโน้มถ่วงของร่างกายทั้งหมดจึงเป็นศูนย์เมื่อเทียบกับจุดใด ๆ บนเซกเมนต์ จาก 1 จาก 2. ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของตัวคอมโพสิตจึงอยู่บนเซกเมนต์ จาก 1 จาก 2 .

ข้อความที่ 2 แสดงถึงข้อสรุปเชิงปฏิบัติที่สำคัญซึ่งมีการกำหนดไว้อย่างชัดเจนในรูปแบบของคำสั่ง

คำแนะนำ,

จะหาจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่แข็งกระด้างได้อย่างไรถ้ามันหักได้

ออกเป็นส่วน ๆ ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละตำแหน่งเป็นที่รู้จัก

1. แทนที่แต่ละส่วนด้วยมวลที่จุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้น

2. ค้นหา จุดศูนย์ถ่วง(ซึ่งเท่ากับจุดศูนย์ถ่วง) ของระบบผลลัพธ์ของมวลจุด โดยเลือกระบบพิกัดที่สะดวก X 0ที่ตามสูตร:

อันที่จริง ให้เราวางตำแหน่งตัวประกอบในลักษณะที่ส่วน จาก 1 จาก 2 เป็นแนวนอนและเราจะแขวนไว้บนเส้นด้ายที่จุด จาก 1 และ จาก 2 (รูปที่ 27.8, เอ). เป็นที่ชัดเจนว่าร่างกายจะอยู่ในภาวะสมดุล และความสมดุลนี้จะไม่ถูกรบกวนหากเราแทนที่ร่างกายแต่ละส่วนด้วยมวลจุด t 1 และ t 2 (รูปที่ 27.8, ข).

ข้าว. 27.8

หยุด! ตัดสินใจด้วยตัวเอง: C3

ปัญหา 27.2วางลูกบอลมวลไว้ที่จุดยอดสองจุดของสามเหลี่ยมด้านเท่า tแต่ละ. จุดยอดที่สามมีลูกบอลมวล 2 t(รูปที่ 27.9, เอ). ด้านสามเหลี่ยม เอ. กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของระบบนี้

t 2t เอ	ข้าว. 27.9
x C = ? ที่ C = ?

วิธีการแก้. แนะนำระบบพิกัด X 0ที่(รูปที่ 27.9, ข). แล้ว

,

.

ตอบ: x C = เอ/2; ; จุดศูนย์ถ่วงอยู่ที่ความสูงครึ่งหนึ่ง AD.

ความสามารถในการรักษาสมดุลโดยไม่ต้องใช้ความพยายามเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับการทำสมาธิอย่างมีประสิทธิภาพ โยคะ ชี่กง และการระบำหน้าท้อง นี่เป็นข้อกำหนดแรกที่ผู้เริ่มฝึกต้องเผชิญในกิจกรรมประเภทนี้ และสาเหตุหนึ่งที่ทำให้ยากที่จะทำตามขั้นตอนแรกโดยไม่มีผู้สอน คำถามที่บอกว่าคนๆ หนึ่งไม่รู้ว่าจุดศูนย์ถ่วงของเขาอาจดูแตกต่างไปบ้าง ตัวอย่างเช่นในชี่กง คนจะถามว่าจะผ่อนคลายและยังคงเคลื่อนไหวขณะยืนได้อย่างไร นักเต้นตะวันออกมือใหม่จะไม่เข้าใจวิธีแยกและประสานการเคลื่อนไหวของส่วนล่างและส่วนบนของร่างกาย และในทั้งสองกรณีผู้คน จะทำงานหนักเกินไปและมักจะสูญเสียการทรงตัว การเคลื่อนไหวของพวกเขาจะไม่แน่นอนเงอะงะ

ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องเข้าใจวิธีค้นหาจุดศูนย์ถ่วงของตัวเอง ซึ่งต้องใช้ทั้งการทำงานทางจิตและทักษะ แต่เมื่อเวลาผ่านไป ทักษะจะเคลื่อนไปสู่ระดับสัญชาตญาณ

สิ่งที่ต้องทำเพื่อไม่ให้เครียดกล้ามเนื้อและในเวลาเดียวกันอย่าใช้อุปกรณ์รองรับภายนอก คำตอบคือชัดเจน คุณต้องย้ายการสนับสนุนเข้าด้านใน แม่นยำยิ่งขึ้น อาศัยแกนภายในแบบมีเงื่อนไข เพลานี้ไปไหน? แนวความคิดของจุดศูนย์ถ่วงเป็นแบบมีเงื่อนไข แต่อย่างไรก็ตาม มันถูกนำไปใช้ในทางฟิสิกส์ มีธรรมเนียมที่จะต้องกำหนดให้เป็นจุดของการประยุกต์ใช้แรงลัพธ์ที่เป็นผลลัพธ์ แรงโน้มถ่วงที่เป็นผลลัพธ์คือจำนวนรวมของแรงโน้มถ่วงทั้งหมด โดยคำนึงถึงทิศทางของการกระทำด้วย

จนถึงตอนนี้มันยากไหม? เก็บสะสมความอดทน

นั่นคือเรากำลังมองหาจุดในร่างกายของเราที่จะช่วยให้เราไม่ตกโดยไม่ตั้งใจต่อสู้กับแรงโน้มถ่วง ซึ่งหมายความว่าแรงโน้มถ่วงของโลกจะต้องถูกชี้นำเพื่อให้มันมาบรรจบกับกองกำลังอื่น ๆ ในใจกลางร่างกายของเรา

ทิศทางของแรงดังกล่าวจะสร้างแกนตามเงื่อนไขที่จุดศูนย์กลางของร่างกายของเรา ซึ่งเป็นพื้นผิวแนวตั้ง ซึ่งเป็นแนวตั้งของจุดศูนย์ถ่วง ส่วนของร่างกายที่เราพักพิงกับพื้นนั้นคือรอยเท้าของเรา (เรานอนราบกับพื้นด้วยเท้าของเรา) ในสถานที่ที่แนวดิ่งนี้ติดกับพื้นผิวที่เรายืน นั่นคือ เราพักกับพื้น นี่คือจุดศูนย์ถ่วงภายในรอยเท้า หากแนวดิ่งเปลี่ยนจากที่แห่งนี้ เราจะเสียการทรงตัวและล้มลง ยิ่งพื้นที่รองรับมีขนาดใหญ่เท่าใด เราก็จะเข้าใกล้จุดศูนย์กลางได้ง่ายขึ้นเท่านั้น ดังนั้นเราทุกคนจะก้าวเท้ายาวไปตามสัญชาตญาณขณะยืนอยู่บนพื้นผิวที่ไม่มั่นคง นั่นคือพื้นที่รองรับไม่ได้เป็นเพียงเท้าเท่านั้น แต่ยังเป็นช่องว่างระหว่างพวกเขาด้วย

สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าความกว้างของพื้นที่ของพื้นที่รองรับส่งผลกระทบมากกว่าความยาว ในกรณีของมนุษย์ นี่หมายความว่าเรามีแนวโน้มที่จะล้มลงข้างทางมากกว่าถอยหลังและยิ่งไปข้างหน้า ดังนั้นเมื่อวิ่ง การรักษาสมดุลจึงยากขึ้นสำหรับเรา อาจกล่าวได้เกี่ยวกับส้นเท้าเช่นเดียวกัน แต่ในรองเท้าที่กว้างและมั่นคงนั้น ต้านทานได้ง่ายกว่า ง่ายกว่าเท้าเปล่าโดยสิ้นเชิง อย่างไรก็ตาม กิจกรรมที่กล่าวถึงในตอนต้นต้องการรองเท้าที่นุ่มมาก น้ำหนักเบา หรือไม่มีเลย ดังนั้นเราจึงไม่สามารถช่วยตัวเองด้วยรองเท้า

ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะหาจุดศูนย์กลางของเส้นแนวตั้งที่เท้าของคุณ โดยปกติจะไม่อยู่ตรงกลางของเท้าอย่างที่บางคนคิดโดยอัตโนมัติ แต่ใกล้กับส้นเท้าประมาณกึ่งกลางเท้าถึงส้นเท้า
แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

นอกจากเส้นแนวตั้งของจุดศูนย์ถ่วงแล้ว ยังมีเส้นแนวนอนและเส้นแยกสำหรับแขนขาอีกด้วย
เส้นแนวนอนสำหรับผู้หญิงและผู้ชายแตกต่างกันเล็กน้อย

ข้างหน้าในผู้หญิงจะต่ำกว่าและในผู้ชายจะสูงขึ้น ในผู้ชายจะอยู่ใต้สะดือประมาณ 4-5 นิ้วและในผู้หญิงประมาณ 10 นิ้ว ด้านหลังเส้นหญิงวิ่งเกือบคูบจิกและเส้นชายสูงกว่าประมาณห้านิ้ว นอกจากนี้ เพื่อความมั่นคงในขณะทำสมาธิ สิ่งสำคัญคือต้องให้ความสนใจกับแนวเส้นตรงของจุดศูนย์ถ่วงของหัวเข่า มันตั้งอยู่เหนือกระดูกเล็กน้อย (ขาท่อนล่าง) แต่อยู่ใต้กระดูกอ่อนสองหรือสามนิ้ว

ระหว่างทำสมาธิและระบำหน้าท้อง ไม่ควรกางเท้าให้กว้าง ความกว้างสูงสุดมักจะสอดคล้องกับความกว้างของไหล่

ดังนั้นคุณต้องช่วยตัวเองด้วยหัวเข่าเล็กน้อยพยายามสร้างแกนตั้งให้ตรงที่สุด ยืนอยู่หน้ากระจก ค้นหาจุดที่อธิบายไว้ทั้งหมดเกี่ยวกับตัวคุณ แยกเท้าให้กว้างเท่าไหล่ ผ่อนคลายกล้ามเนื้อขาและร่างกายของคุณ จากนั้นยืดหลังของคุณโดยไม่ทำให้ร่างกายตึง ผ่อนคลายขาด้วยการงอเข่าเล็กน้อย ลองนึกภาพเส้นแนวตั้งสามเส้น แต่ละเส้นวิ่งไปที่จุดที่สอดคล้องกันที่ด้านหลังลำตัว ด้านหน้า และรอบเข่า พยายามจัดจุดให้แกนด้านหน้าของลำตัวอยู่กึ่งกลางระหว่างแกนหลังกับหัวเข่า ในกรณีนี้ไม่ควรงอเข่าจนเกินนิ้วเท้า ควรงอเล็กน้อยและผ่อนคลายได้ดี ควรอยู่เหนือจุดศูนย์ถ่วงภายในพื้นที่รองรับที่เราพบที่เท้า ในเวลาเดียวกันสามารถวางมือบนเทพเจ้าได้อย่างอิสระหรือวางฝ่ามือบนสะโพก

คุณจะรู้ได้อย่างไรว่าคุณได้พบจุดศูนย์ถ่วงของคุณแล้ว?

คุณจะรู้สึกสั่นเล็กน้อย แต่ในขณะเดียวกัน คุณจะรู้ว่าคุณจะไม่ล้มแน่นอน

การบรรยาย 4. จุดศูนย์ถ่วง

การบรรยายนี้ครอบคลุมคำถามต่อไปนี้

1. จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่แข็งกระด้าง

2. พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

3. พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกัน

4. วิธีการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง

5. จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกัน

การศึกษาประเด็นเหล่านี้มีความจำเป็นในอนาคตเพื่อศึกษาพลวัตของการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดยพิจารณาจากแรงเสียดทานแบบเลื่อนและแรงเสียดทานแบบหมุน พลวัตของจุดศูนย์กลางมวลของระบบกลไก โมเมนต์จลน์ เพื่อแก้ปัญหาในสาขาวิชา "ความแข็งแรงของวัสดุ".

ทำให้เกิดแรงคู่ขนาน

หลังจากที่เราพิจารณาการลดจุดศูนย์กลางของระบบแนวราบและระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจแล้ว เราก็กลับมาพิจารณากรณีพิเศษของระบบแรงคู่ขนานอีกครั้ง

ทำให้เกิดแรงคู่ขนานกัน

ในการพิจารณาระบบกำลังดังกล่าว การลดสามกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้

1. ระบบแรงคู่ขนาน พิจารณาระบบสองขนานและบังคับทิศทางเดียวกัน พีและ Q, สมัครที่จุด แต่และ ที่. เราจะถือว่าแรงตั้งฉากกับส่วนนี้ (รูปที่ 1 เอ).

จาก, เป็นของส่วน ABและเป็นไปตามเงื่อนไข:

AC/SW = Q/พี.(1)

เวกเตอร์ระบบหลัก RC = พี + Qโมดูโล่เท่ากับผลรวมของแรงเหล่านี้: RC = พี + Q.

จากโดยคำนึงถึง (1) เท่ากับศูนย์:เอ็มค = พี ∙ AC- Q∙ SW = 0.

ดังนั้น จากผลงานของนักแสดง เราได้รับ: RC ≠ 0, เอ็มค= 0 ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์หลักเทียบเท่ากับผลลัพธ์ที่ผ่านจุดศูนย์กลางของการลดลง นั่นคือ:

ผลลัพธ์ของแรงคอลลิเนียร์มีค่าเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของผลรวม และแนวการกระทำจะแบ่งส่วนที่เชื่อมต่อจุดของการใช้งานออก เป็นสัดส่วนผกผันกับโมดูลของแรงเหล่านี้ภายใน

สังเกตว่าตำแหน่งของจุด จากจะไม่เปลี่ยนแปลงหากกองกำลัง Rและ Qเลี้ยวโค้งแอล. Dot จากซึ่งมีคุณสมบัตินี้เรียกว่า ศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน.

2. ระบบสอง กันโคลิเนียร์และไม่เท่ากันในโมดูลัสของแรง ขอให้กองกำลัง พีและ Q, สมัครที่จุด แต่และ ที่, ขนาน, กำกับในทิศทางตรงกันข้ามและโมดูลัสไม่เท่ากัน (รูปที่ 1, ข).

ให้เราเลือกจุดเป็นจุดศูนย์กลางของการอ้างอิง จากซึ่งยังคงสนองความสัมพันธ์ (1) และอยู่บนเส้นตรงเดียวกันแต่อยู่นอกเซกเมนต์ AB.

เวกเตอร์หลักของระบบนี้ RC = พี + Qโมดูโลตอนนี้จะเท่ากับความแตกต่างระหว่างโมดูลของเวกเตอร์: RC = Q - พี.

ช่วงเวลาสำคัญเกี่ยวกับศูนย์ จากยังคงเป็นศูนย์:เอ็มค = พี ∙ AC- Q∙ SW= 0 ดังนั้น

ผลลัพธ์ กันโคลิเนียร์และแรงที่ไม่เท่ากันในค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลต่าง มุ่งสู่แรงที่มากกว่า และแนวปฏิบัติจะแบ่งส่วนที่เชื่อมต่อจุดของการใช้งาน สัดส่วนผกผันกับโมดูลของแรงเหล่านี้จากภายนอก

รูปที่ 1

3. ระบบสอง กันโคลิเนียร์และแรงเท่ากันในโมดูลัส ลองใช้กรณีการลดลงก่อนหน้านี้เป็นกรณีแรก มาซ่อมไฟกัน Rและบังคับ Qมาพยายามโมดูโล่เพื่อบังคับ R.

แล้วที่ Q → R ในสูตร (1) อัตราส่วน AC/SW → 1. หมายความว่า AC → SWก็คือระยะทาง AC →∞ .

ในกรณีนี้ โมดูลของเวกเตอร์หลัก RC → 0 และโมดูลของช่วงเวลาหลักไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของการลดลงและยังคงเท่ากับค่าเดิม:

เอ็มค = พี ∙ AC- Q∙ SW = พี ∙ ( AC- SW) =พี ∙ แต่บี.

ดังนั้นในขอบเขต เราได้รับระบบของแรงที่ RC = 0, เอ็มค≠ 0 และศูนย์การรีดักชันจะถูกลบออกเป็นอนันต์ซึ่งไม่สามารถแทนที่ด้วยผลลัพธ์ได้ ในระบบนี้หาคู่ของแรงได้ไม่ยากดังนั้น แรงคู่ไม่มีผลลัพธ์.

ศูนย์กลางของระบบแรงคู่ขนาน

พิจารณาระบบ นกองกำลัง ปี่, สมัครที่จุดAI (x ฉัน , ฉัน , z ฉัน) และขนานกับแกนOv ด้วยเวกเตอร์ l(รูปที่ 2).

หากเราแยกกรณีของระบบที่เทียบเท่ากับกองกำลังไว้ล่วงหน้าก็ไม่ยากที่จะพิสูจน์บนพื้นฐานของย่อหน้าก่อนหน้าถึงการมีอยู่ของผลลัพธ์R.

กำหนดพิกัดของศูนย์ค(x ค, y ค, z ค) แรงคู่ขนาน นั่นคือ พิกัดของจุดประยุกต์ของผลลัพธ์ของระบบนี้

เพื่อจุดประสงค์นี้ เราใช้ทฤษฎีบทวาริกนอน โดยพิจารณาจาก:

M0 (R) = Σ M0(ปี่).

รูปที่ 2

โมเมนต์ของแรงเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นผลคูณ ดังนั้น:

เอ็ม 0 (R) = rc× R = Σ เอ็ม0i(ปี่) = Σ ( ฉัน× ปี่ ).

ระบุว่า R = R v ∙ l, แ ปี่ = พี่วี ∙ l และใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราได้รับ:

rc × R v ∙ l = Σ ( ฉัน × พี่วี ∙ l),

rc ∙ Rวี × l = Σ ( ฉัน ∙ พี่วี × l) = Σ ( ฉัน ∙ พี่วี ) × l,

หรือ:

[ อาร์ ซี อาร์ วี - Σ ( ฉัน พี่วี )] × l= 0.

นิพจน์สุดท้ายใช้ได้ก็ต่อเมื่อนิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นการละเว้นดัชนีวีและพิจารณาว่าผลลัพธ์ที่ได้R = Σ ปี่ จากที่นี่เราได้รับ:

rc = (Σ ปี่ ฉัน )/(Σ ปี่ ).

ฉายความเสมอภาคเวกเตอร์สุดท้ายบนแกนพิกัด เราจะได้ค่าที่ต้องการ การแสดงออกของพิกัดจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน:

x c = (Σ ปี่ x ฉัน)/(Σ ปี่ );

y c = (Σ ปี่ ฉัน )/(Σ ปี่ );(2)

z c = (Σ ปี่ z ฉัน )/(Σ ปี่ ).

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกัน

พิจารณาการชั่งน้ำหนักร่างกายที่เข้มงวด พีและปริมาณ วีในระบบพิกัด Oxyz, ที่แกน xและ yเชื่อมต่อกับพื้นผิวโลกและแกน zมุ่งสู่จุดสุดยอด

หากเราแบ่งร่างกายออกเป็นส่วนพื้นฐานด้วยปริมาตร∆ วี ผม แล้วแรงดึงดูดจะทำหน้าที่แต่ละส่วนของมัน∆ ปี่มุ่งตรงสู่ใจกลางโลก สมมติว่ามิติของร่างกายมีขนาดเล็กกว่ามิติของโลกมากจากนั้นระบบของแรงที่ใช้กับส่วนพื้นฐานของร่างกายจะถือว่าไม่บรรจบกัน แต่ขนานกัน (รูปที่ 3) และข้อสรุปทั้งหมด ของบทที่แล้วใช้บังคับได้

รูปที่ 3

คำนิยาม . จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่แข็งกระด้างเป็นจุดศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงคู่ขนานของส่วนพื้นฐานของร่างกายนี้

จำได้ว่า แรงดึงดูดเฉพาะส่วนพื้นฐานของร่างกายเรียกว่าอัตราส่วนของน้ำหนัก∆ ปี่ถึงระดับเสียง ∆ วี ผม : γ ผม = ∆ ปี่/ ∆ วี ผม . สำหรับวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน ค่านี้เป็นค่าคงที่:γ ผม = γ = พี/ วี.

แทนค่าเป็น (2) ∆ ปี่ = γ ผม ∙∆ วี ผม แทน ปี่โดยคำนึงถึงคำพูดสุดท้ายและลดตัวเศษและตัวส่วนลงโดยg, เราได้รับ นิพจน์สำหรับพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกัน:

x c = (Σ ∆ วิ∙ x ฉัน)/(Σ ∆ วิ);

y c = (Σ ∆ วิ∙ ฉัน )/(Σ ∆ วิ);(3)

z c = (Σ ∆ วิ∙ z ฉัน )/(Σ ∆ วิ).

หลายทฤษฎีบทมีประโยชน์ในการกำหนดจุดศูนย์ถ่วง

1) หากวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันมีระนาบสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงของมันอยู่ในระนาบนี้

ถ้าแกน Xและ ที่วางไว้ในระนาบสมมาตรนี้แล้วสำหรับแต่ละจุดที่มีพิกัด. และประสานงาน ตาม (3) จะเท่ากับศูนย์เพราะ เบ็ดเสร็จทั้งหมด เงื่อนไขที่มีเครื่องหมายตรงข้ามจะถูกกำจัดเป็นคู่ จุดศูนย์ถ่วงคือในระนาบสมมาตร

2) หากวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันมีแกนสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายจะอยู่บนแกนนี้

ในกรณีนี้ ถ้าแกนzวาดตามแนวแกนสมมาตร สำหรับแต่ละจุดที่มีพิกัดคุณสามารถหาจุดที่มีพิกัดและพิกัดและ คำนวณโดยสูตร (3) จะเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทที่สามได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน

3) หากวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันมีจุดศูนย์กลางสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายจะอยู่ที่จุดนี้

และข้อสังเกตอีกเล็กน้อย

อันดับแรก. หากร่างกายสามารถแบ่งออกเป็นส่วนที่ทราบน้ำหนักและตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงก็ไม่จำเป็นต้องพิจารณาแต่ละจุด แต่ในสูตร (3)ปี่ – กำหนดเป็นน้ำหนักของส่วนที่เกี่ยวข้องและเป็นพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของมัน

ที่สอง. ถ้าร่างกายเป็นเนื้อเดียวกันแล้วน้ำหนักของส่วนต่าง ๆ ของมัน, ที่ไหน คือความถ่วงจำเพาะของวัสดุที่ใช้ทำร่างกายและวิ - ปริมาณของส่วนนี้ของร่างกาย และสูตร (3) จะเป็นรูปแบบที่สะดวกกว่า ตัวอย่างเช่น,

และในทำนองเดียวกัน โดยที่ - ปริมาณของร่างกายทั้งหมด

บันทึกที่สาม ให้ลำตัวดูเป็นแผ่นบางๆ มีพื้นที่ Fและความหนา tนอนอยู่บนเครื่องบิน Oxy. เปลี่ยนเป็น (3)∆ วี ผม =t ∙ ∆F ผม , เราได้รับพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของจานที่เป็นเนื้อเดียวกัน:

x c = (Σ ∆ ฉ i∙ x ฉัน) / (Σ ∆ ฉ i);

y c = (Σ ∆ ฉ i∙ ฉัน ) / (Σ ∆ ฉ i).

z c = (Σ ∆ ฉ i∙ z ผม ) / (Σ ∆ ฉ i).

ที่ไหน – พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของแผ่นแต่ละแผ่นคือพื้นที่ทั้งหมดของร่างกาย

บันทึกที่สี่ สำหรับร่างกายที่มีลักษณะเป็นแท่งโค้งบาง ๆ มีความยาว หลี่ที่มีพื้นที่หน้าตัด เอระดับประถมศึกษา∆ วี ผม = เอ ∙∆ หลี่ ผม นั่นเป็นเหตุผลที่ พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของแท่งโค้งบางจะเท่ากับ:

x c = (Σ ∆ หลี่∙ x ฉัน)/(Σ ∆ หลี่);

y c = (Σ ∆ หลี่∙ ฉัน )/(Σ ∆ หลี่);(4)

z c = (Σ ∆ หลี่∙ z ฉัน )/(Σ ∆ หลี่).

ที่ไหน – พิกัดจุดศูนย์ถ่วงผม-th ส่วน; .

โปรดทราบว่าตามคำจำกัดความ จุดศูนย์ถ่วงเป็นจุดเรขาคณิต มันยังสามารถอยู่นอกขอบเขตของร่างกายที่กำหนด (เช่น สำหรับแหวน)

บันทึก.

ในส่วนนี้ของหลักสูตร เราไม่แยกความแตกต่างระหว่างแรงโน้มถ่วง แรงโน้มถ่วง และน้ำหนักตัว ในความเป็นจริง แรงโน้มถ่วงคือความแตกต่างระหว่างแรงโน้มถ่วงของโลกกับแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางที่เกิดจากการหมุนของมัน

พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

พิกัดศูนย์ถ่วง ของแข็งไม่เท่ากัน(รูปที่ 4) ในระบบอ้างอิงที่เลือกมีการกำหนดดังนี้:

รูปที่ 4

ที่ไหน - น้ำหนักต่อหน่วยปริมาตรของร่างกาย (ความถ่วงจำเพาะ)

- น้ำหนักตัวทั้งตัว

พื้นผิวไม่เรียบ(รูปที่ 5) จากนั้นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงในระบบอ้างอิงที่เลือกจะถูกกำหนดดังนี้:

รูปที่ 5

ที่ไหน - น้ำหนักต่อหน่วยพื้นที่ของร่างกาย

- น้ำหนักตัวทั้งตัว

ถ้าของแข็งคือ เส้นต่างกัน(รูปที่ 6) จากนั้นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงในระบบอ้างอิงที่เลือกจะถูกกำหนดดังนี้:

รูปที่ 6

ที่ไหน - ความยาวหน่วยน้ำหนัก,

น้ำหนักตัวทั้งตัว.

วิธีการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง

จากสูตรทั่วไปที่ได้รับข้างต้น สามารถระบุวิธีการเฉพาะได้ การกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย.

1. สมมาตร.หากวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันมีระนาบ แกน หรือจุดศูนย์กลางสมมาตร (รูปที่ 7) จุดศูนย์ถ่วงของมันจะอยู่ตามลำดับในระนาบสมมาตร แกนสมมาตร หรือในศูนย์กลางของสมมาตร

รูปที่ 7

2. แยก.ร่างกายถูกแบ่งออกเป็นส่วน ๆ อย่าง จำกัด (รูปที่ 8) ซึ่งแต่ละส่วนจะทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงและพื้นที่

รูปที่ 8

S \u003d ส 1 + ส 2

3.วิธีการลบพื้นที่กรณีพิเศษของวิธีการแบ่งพาร์ติชัน (รูปที่ 9) ใช้กับวัตถุที่มีช่องเจาะหากทราบจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายโดยไม่มีช่องเจาะและช่องเจาะ ร่างกายในรูปแบบของจานที่มีช่องเจาะจะแสดงด้วยการรวมกันของแผ่นแข็ง (ไม่มีช่องเจาะ) กับพื้นที่ S1 และพื้นที่ของส่วนที่ตัดออกเอส2

รูปที่ 9

ส \u003d ส 1 - ส 2

4.วิธีการจัดกลุ่มเป็นส่วนเสริมที่ดีในสองวิธีสุดท้าย หลังจากแยกร่างออกเป็นองค์ประกอบที่เป็นส่วนประกอบแล้ว จะสะดวกที่จะรวมบางส่วนเข้าด้วยกันอีกครั้ง เพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นโดยคำนึงถึงความสมมาตรของกลุ่มนี้

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันบางส่วน

1) จุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งวงกลมพิจารณาส่วนโค้ง ABรัศมีR มีมุมตรงกลาง. เนื่องจากความสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งนี้จึงอยู่บนแกนวัว(รูปที่ 10).

รูปที่ 10

มาหาพิกัดกันตามสูตร . เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เลือกบนส่วนโค้ง ABธาตุ MM ’ ยาวซึ่งตำแหน่งถูกกำหนดโดยมุม. ประสานงาน Xธาตุ มม'จะ. แทนค่าเหล่านี้ Xและ d l และจำไว้ว่าอินทิกรัลต้องขยายตลอดความยาวทั้งหมดของส่วนโค้ง เราจะได้:

โดยที่ L คือความยาวของส่วนโค้ง AB เท่ากับ

จากที่นี่ ในที่สุดเราก็พบว่าจุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งวงกลมอยู่บนแกนสมมาตรที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางโอ้เท่ากัน

มุมไหน วัดเป็นเรเดียน

2) จุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่สามเหลี่ยม พิจารณาสามเหลี่ยมนอนอยู่บนระนาบ Oxyซึ่งทราบพิกัดจุดยอด: AI (x ฉัน,ฉัน ), (ผม= 1,2,3). แบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นเส้นแคบ ๆ ขนานกับด้านข้าง แต่ 1 แต่ 2 เราได้ข้อสรุปว่าจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยมต้องอยู่ในค่ามัธยฐาน แต่ 3 เอ็ม 3 (รูปที่ 11) .

รูปที่ 11

แบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นแถบขนานกับด้านข้าง แต่ 2 แต่ 3 คุณสามารถมั่นใจได้ว่าจะต้องอยู่บนค่ามัธยฐาน แต่ 1 เอ็มหนึ่ง . ทางนี้, จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐานอย่างที่คุณรู้ แยกส่วนที่สามออกจากค่ามัธยฐานแต่ละอัน นับจากด้านที่สอดคล้องกัน

โดยเฉพาะสำหรับค่ามัธยฐาน แต่ 1 เอ็ม 1 เราได้รับ โดยที่พิกัดของจุด เอ็ม 1 - คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอด แต่ 2 และ แต่ 3 :

x c = x 1 + (2/3) ∙ (xเอ็ม 1 - x 1 ) = x 1 + (2/3) ∙ [(x 2 + x 3 )/2 - x 1 ] = (x 1 + x 2 + x 3 )/3.

ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอด:

x ค =(1/3) Σ x ฉัน ; y ค =(1/3) Σ ฉัน .

3) จุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่เซกเตอร์วงกลมพิจารณาเซกเตอร์ของวงกลมรัศมี Rด้วยมุมศูนย์กลาง2α , ตั้งอยู่อย่างสมมาตรเกี่ยวกับแกน วัว (รูปที่ 12) .

เห็นได้ชัดว่า y ค = 0 และระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่เซกเตอร์นี้ถูกตัดจนถึงจุดศูนย์ถ่วงสามารถกำหนดได้โดยสูตร:

รูปที่ 12

วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณอินทิกรัลนี้คือการแบ่งโดเมนการรวมเป็นส่วนพื้นฐานด้วยมุม dφ . มากสุดของลำดับแรก เซกเตอร์ดังกล่าวสามารถแทนที่ด้วยสามเหลี่ยมที่มีฐานเท่ากับ R × dφ และส่วนสูง R. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าว dF =(1/2)R 2 ∙ dφ และจุดศูนย์ถ่วงของมันคือ 2/3 Rจากด้านบน ดังนั้นใน (5) เราใส่ x = (2/3)R∙ cos. เปลี่ยนเป็น (5) F= α R 2 เราได้รับ:

โดยใช้สูตรสุดท้ายคำนวณโดยเฉพาะระยะห่างจากจุดศูนย์ถ่วง ครึ่งวงกลม.

แทนที่ใน (2) α = π /2 เราจะได้: x ค = (4 R)/(3 π ) ≅ 0.4 R .

ตัวอย่าง 1ให้เรากำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันดังแสดงในรูปที่ 13.

รูปที่ 13

วิธีการแก้.ร่างกายเป็นเนื้อเดียวกันประกอบด้วยสองส่วนที่มีรูปร่างสมมาตร พิกัดของจุดศูนย์ถ่วง:

ปริมาณของพวกเขา:

ดังนั้นพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

ตัวอย่าง 2 หาจุดศูนย์ถ่วงของจานที่งอเป็นมุมฉาก ขนาด - บนภาพวาด (รูปที่ 14)

รูปที่ 14

วิธีการแก้. พิกัดศูนย์ถ่วง:

0.

สี่เหลี่ยม:

นั่นเป็นเหตุผล:

ตัวอย่างที่ 3 บนแผ่นสี่เหลี่ยม ซม. ตัดรูสี่เหลี่ยม ดู (รูปที่ 15) หาจุดศูนย์ถ่วงของแผ่น.ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของจานที่แสดงในรูปที่ 16. ขนาดกำหนดเป็นเซนติเมตร

รูปที่ 16

วิธีการแก้. เราแบ่งจานออกเป็นรูป (รูปที่ 17) ศูนย์ซึ่งทราบความรุนแรง

พื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้และพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง:

1) สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้าน 30 และ 40 ซม.ส 1 =30 ∙ 40=1200 ซม. 2 ; x 1=15 ซม. ที่ 1 \u003d 20 ซม.

2) สามเหลี่ยมมุมฉากฐาน 50 ซม. และสูง 40 ซม.ส 2 =0,5 ∙ 50 ∙ 40= 1,000 ซม. 2 ; X 2 \u003d 30 + 50 / 3 \u003d 46.7 ซม. y 2 =40/3 =13.3 ซม.

3) รัศมีวงกลมครึ่งวงกลม r = 20 ซม.ส 3 =0,5 ∙π∙ 20 2 \u003d 628 ซม. 2 ; X 3 =4 R /3 π =8.5 ซม. ที่

วิธีการแก้. จำได้ว่าในฟิสิกส์ความหนาแน่นของร่างกายρ และความถ่วงจำเพาะของมันgที่เกี่ยวข้องโดยอัตราส่วน:γ = ρ g , ที่ไหนg - ความเร่งของแรงโน้มถ่วง ในการหามวลของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้น คุณต้องคูณความหนาแน่นด้วยปริมาตรของมัน

รูปที่ 19

คำว่าความหนาแน่น "เชิงเส้น" หรือ "เชิงเส้น" หมายความว่าในการกำหนดมวลของโครงนั่งร้าน ความหนาแน่นเชิงเส้นจะต้องคูณด้วยความยาวของแกนนี้

ในการแก้ปัญหา คุณสามารถใช้วิธีการแบ่งพาร์ติชันได้ แทนมัดที่กำหนดเป็นผลรวมของแท่งเดี่ยว 6 อัน เราได้รับ:

ที่ไหนหลี่ ความยาวผม -คันที่หนึ่งของฟาร์มและx ฉัน , ฉัน - พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของมัน

วิธีแก้ปัญหานี้สามารถลดความซับซ้อนได้โดยการจัดกลุ่มโครงนั่งร้าน 5 อันสุดท้าย มันง่ายที่จะเห็นว่าพวกมันก่อตัวเป็นรูปที่มีจุดศูนย์กลางสมมาตรซึ่งอยู่ตรงกลางของแท่งที่สี่ซึ่งมีจุดศูนย์ถ่วงของแท่งกลุ่มนี้

ดังนั้น มัดที่กำหนดสามารถแสดงโดยการรวมกันของแท่งสองกลุ่มเท่านั้น

กลุ่มแรกประกอบด้วยคันแรกสำหรับมันหลี่ 1 = 4 ม.x 1 = 0 ม.y 1 = 2 ม. กลุ่มที่สองของแท่งประกอบด้วยห้าแท่งซึ่งหลี่ 2 = 20 ม.x 2 = 3 ม.y 2 = 2 ม.

พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของฟาร์มหาได้จากสูตร:

x ค = (หลี่ 1 ∙ x 1 + หลี่ 2 ∙ x 2 )/(หลี่ 1 + หลี่ 2 ) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 เมตร;

y ค = (หลี่ 1 ∙ y 1 + หลี่ 2 ∙ y 2 )/(หลี่ 1 + หลี่ 2 ) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 ม.

โปรดทราบว่าศูนย์ จาก อยู่บนเส้นเชื่อมต่อ จาก 1 และ จาก 2 และแบ่งส่วน จาก 1 จาก 2 เกี่ยวกับ: จาก 1 จาก/SS 2 = (x ค - x 1 )/(x 2 - x ค ) = หลี่ 2 / หลี่ 1 = 2,5/0,5.

คำถามสำหรับการตรวจสอบตนเอง

ศูนย์กลางของแรงคู่ขนานคืออะไร?

- พิกัดของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานถูกกำหนดอย่างไร?

- วิธีการหาจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน ผลลัพธ์ที่ได้คือศูนย์?

อะไรคือคุณสมบัติของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน?

- สูตรใดใช้คำนวณพิกัดจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน?

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายคืออะไร?

- ทำไมแรงดึงดูดของโลกที่กระทำต่อจุดของร่างกายจึงสามารถใช้เป็นระบบของแรงคู่ขนานได้?

- เขียนสูตรการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันและเป็นเนื้อเดียวกัน สูตรสำหรับกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนแบน?

- เขียนสูตรสำหรับกำหนดตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่าย: สี่เหลี่ยมผืนผ้า, สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยมคางหมูและครึ่งวงกลม?

อะไรเรียกว่าโมเมนต์คงที่ของพื้นที่?

- ยกตัวอย่างของร่างกายที่มีจุดศูนย์ถ่วงอยู่นอกร่างกาย

- คุณสมบัติสมมาตรใช้เพื่อกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายอย่างไร?

- สาระสำคัญของวิธีการชั่งน้ำหนักติดลบคืออะไร?

จุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งวงกลมอยู่ที่ไหน?

คุณจะหาจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมได้อย่างไร?

- เขียนสูตรที่กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของเซกเตอร์วงกลม

- ใช้สูตรที่กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมและเซกเตอร์วงกลม ได้สูตรที่คล้ายกันสำหรับส่วนที่เป็นวงกลม

- สูตรใดที่ใช้ในการคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกัน ร่างแบน และเส้น?

- สิ่งที่เรียกว่าโมเมนต์คงที่ของพื้นที่ของรูปทรงแบนสัมพันธ์กับแกนมันคำนวณอย่างไรและมีมิติอะไร?

- จะกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่ได้อย่างไรถ้าทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละส่วน?

- ทฤษฎีบทเสริมใดที่ใช้ในการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง?