ยังไง ?
ตัวอย่างการแก้ปัญหา

หากมีสิ่งใดขาดหายไป แสดงว่ายังมีบางสิ่งอยู่ ณ ที่ใดที่หนึ่ง

เราศึกษาส่วน "ฟังก์ชันและกราฟ" ต่อไป และสถานีถัดไปในการเดินทางของเราคือ การอภิปรายที่ใช้งานอยู่ แนวคิดนี้เริ่มในบทความเกี่ยวกับฉากและต่อในบทเรียนแรกเกี่ยวกับ กราฟฟังก์ชันโดยที่ฉันดูฟังก์ชันเบื้องต้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง โดเมนของคำจำกัดความ ดังนั้น ฉันขอแนะนำให้หุ่นเริ่มต้นจากพื้นฐานของหัวข้อ เนื่องจากฉันจะไม่พูดถึงประเด็นพื้นฐานบางประเด็นอีกต่อไป

ผู้อ่านจะถือว่ารู้ขอบเขตของคำจำกัดความ ฟังก์ชั่นต่อไปนี้: เชิงเส้น, กำลังสอง, ฟังก์ชันลูกบาศก์, พหุนาม, เลขชี้กำลัง, ไซน์, โคไซน์ พวกเขาถูกกำหนดไว้บน (เซตของจำนวนจริงทั้งหมด)- สำหรับแทนเจนต์ อาร์คไซน์ ฉันยกโทษให้คุณ =) - กราฟที่หายากจะไม่ถูกจดจำในทันที

ขอบเขตของคำจำกัดความดูเหมือนจะเป็นเรื่องง่ายและมีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: บทความนี้จะเกี่ยวกับอะไร? บน บทเรียนนี้ฉันจะพิจารณาปัญหาทั่วไปในการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ยิ่งกว่านั้นเราจะทำซ้ำ ความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปรเดียวทักษะการแก้ปัญหาซึ่งจะต้องมีในงานอื่น คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- สื่อนี้เป็นสื่อของโรงเรียนทั้งหมด ดังนั้นมันจะมีประโยชน์ไม่เพียงแต่สำหรับนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย แน่นอนว่าข้อมูลนี้ไม่ได้แกล้งทำเป็นสารานุกรม แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่ "ตายแล้ว" ที่เข้าใจยาก แต่เป็นเกาลัดคั่วซึ่งนำมาจากงานจริง

เริ่มต้นด้วยการดำน้ำอย่างรวดเร็วในหัวข้อ สั้นๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ: เรากำลังพูดถึงฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ขอบเขตของคำจำกัดความคือ ความหมายมากมายของ "x"เพื่อที่ มีอยู่ความหมายของคำว่า "ผู้เล่น" ลองพิจารณาดู ตัวอย่างที่มีเงื่อนไข:

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือการรวมกันของช่วงเวลา:
(สำหรับผู้ที่ลืม: - ไอคอนการรวม) กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณนำค่าใดๆ ของ "x" จากช่วงเวลา หรือจาก หรือจาก ดังนั้นสำหรับ "x" แต่ละตัวดังกล่าว จะมีค่า "y"

โดยคร่าว ๆ เมื่อโดเมนของคำจำกัดความอยู่ ก็จะมีกราฟของฟังก์ชันอยู่ด้วย แต่ช่วงครึ่งเวลาและจุด "tse" จะไม่รวมอยู่ในพื้นที่คำจำกัดความ และไม่มีกราฟอยู่ตรงนั้น

จะค้นหาโดเมนของฟังก์ชันได้อย่างไร? หลายคนจำเพลงกล่อมเด็กได้: "ร็อค กรรไกร กระดาษ" และใน ในกรณีนี้สามารถถอดความได้อย่างปลอดภัย: “ราก เศษส่วน และลอการิทึม” ดังนั้นหากคุณ เส้นทางชีวิตพบเศษส่วน รูต หรือลอการิทึม คุณควรระวังให้มากทันที! แทนเจนต์, โคแทนเจนต์, อาร์คไซน์, อาร์คโคไซน์นั้นพบได้น้อยกว่ามากและเราจะพูดถึงพวกมันด้วย แต่ก่อนอื่น ภาพร่างจากชีวิตของมด:

โดเมนของฟังก์ชันที่มีเศษส่วน

สมมติว่าเราได้รับฟังก์ชันที่มีเศษส่วนจำนวนหนึ่ง ดังที่คุณทราบ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้: ดังนั้นสิ่งเหล่านั้น ค่า “X” ที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์จะไม่รวมอยู่ในขอบเขตของฟังก์ชันนี้.

ฉันจะไม่อยู่มากที่สุด ฟังก์ชั่นง่ายๆชอบ ฯลฯ เนื่องจากทุกคนมองเห็นประเด็นต่างๆ ที่ไม่รวมอยู่ในขอบเขตคำจำกัดความได้อย่างสมบูรณ์แบบ ลองดูเศษส่วนที่มีความหมายมากขึ้น:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: ตัวเศษไม่มีอะไรพิเศษ แต่ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ มาตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์แล้วลองค้นหาจุดที่ "แย่":

สมการผลลัพธ์มีสองราก: - ค่าข้อมูล ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของฟังก์ชัน- อันที่จริง ให้แทนที่หรือเข้าไปในฟังก์ชันแล้วคุณจะเห็นว่าตัวส่วนไปที่ศูนย์

คำตอบ: ขอบเขตคำจำกัดความ:

รายการอ่านได้ดังนี้: “โดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นเซตที่ประกอบด้วยค่า - ฉันขอเตือนคุณว่าสัญลักษณ์แบ็กสแลชในทางคณิตศาสตร์หมายถึงการลบแบบลอจิคัล และวงเล็บปีกกาหมายถึงเซต คำตอบสามารถเขียนได้เท่ากับ การรวมกันของสามช่วงเวลา:

ใครชอบก็..

ตามจุดต่างๆ ฟังก์ชั่นทน หยุดพักไม่มีที่สิ้นสุดและเส้นตรง กำหนดโดยสมการ เป็น เส้นกำกับแนวตั้งสำหรับกราฟของฟังก์ชันนี้ อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหัวข้อที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย และฉันจะไม่เน้นไปที่เรื่องนี้เพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

โดยพื้นฐานแล้วงานนี้เป็นแบบปากเปล่าและหลาย ๆ คนจะพบคำจำกัดความเกือบจะในทันที คำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

เศษส่วนจะ "แย่" เสมอไปหรือไม่? เลขที่ ตัวอย่างเช่น มีการกำหนดฟังก์ชันบนเส้นจำนวนทั้งหมด ไม่ว่าเราจะหาค่า "x" เท่าไร ตัวส่วนจะไม่ไปที่ศูนย์ ยิ่งกว่านั้นมันจะเป็นบวกเสมอ: . ดังนั้น ขอบเขตของฟังก์ชันนี้คือ:

ฟังก์ชั่นทั้งหมดเช่น กำหนดและ อย่างต่อเนื่องบน .

สถานการณ์จะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยเมื่อตัวส่วนถูกครอบครอง ตรีโกณมิติกำลังสอง:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: ลองหาจุดที่ตัวส่วนไปที่ศูนย์กัน สำหรับสิ่งนี้เราจะตัดสินใจ สมการกำลังสอง:

ตัวจำแนกกลายเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากจริง และฟังก์ชันของเราถูกกำหนดไว้บนแกนจำนวนทั้งหมด

คำตอบ: ขอบเขตคำจำกัดความ:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน ฉันแนะนำให้คุณอย่าขี้เกียจกับปัญหาง่าย ๆ เนื่องจากความเข้าใจผิดจะสะสมอยู่ในตัวอย่างเพิ่มเติม

โดเมนของฟังก์ชันที่มีรูท

ฟังก์ชันรากที่สองถูกกำหนดไว้สำหรับค่า "x" เท่านั้นเมื่อใด การแสดงออกที่รุนแรงไม่เป็นลบ- หากรากอยู่ในตัวส่วน แสดงว่าเงื่อนไขกระชับขึ้นอย่างเห็นได้ชัด: การคำนวณที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับรากของระดับคู่ที่เป็นบวก: อย่างไรก็ตาม รากอยู่ในระดับที่ 4 แล้ว การศึกษาฟังก์ชั่นฉันจำไม่ได้

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: การแสดงออกที่รุนแรงจะต้องไม่เป็นลบ:

ก่อนที่จะดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป ฉันขอเตือนคุณถึงกฎพื้นฐานสำหรับการทำงานกับความไม่เท่าเทียมที่โรงเรียนทราบ

โปรดทราบ ความสนใจเป็นพิเศษ! ตอนนี้เรากำลังพิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน ด้วยตัวแปรตัวหนึ่ง- นั่นคือสำหรับเรามีเพียงเท่านั้น มิติหนึ่งตามแนวแกน- กรุณาอย่าสับสนกับ ความไม่เท่าเทียมกันของสองตัวแปรโดยที่ทางเรขาคณิตทั้งหมด ประสานงานเครื่องบิน- อย่างไรก็ตาม ยังมีเรื่องบังเอิญที่น่ายินดีอยู่ด้วย! ดังนั้น สำหรับความไม่เท่าเทียมกัน การแปลงต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

1) เงื่อนไขสามารถโอนจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยการเปลี่ยนแปลง (เงื่อนไข) สัญญาณ

2) ทั้งสองด้านของอสมการสามารถคูณด้วยจำนวนบวกได้

3) ถ้าอสมการทั้งสองข้างคูณกัน เชิงลบหมายเลขนั้นคุณต้องเปลี่ยน สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันนั่นเอง- ตัวอย่างเช่น ถ้ามี "มาก" ก็จะกลายเป็น "น้อยลง" ถ้าเป็น "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" ก็จะกลายเป็น "มากกว่าหรือเท่ากัน"

ในความไม่เท่าเทียมกัน เราย้าย "สาม" ไปที่ ด้านขวาโดยมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย (กฎข้อ 1):

ลองคูณอสมการทั้งสองข้างด้วย –1 (กฎข้อ 3):

ลองคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย (กฎข้อ 2):

คำตอบ: ขอบเขตคำจำกัดความ:

คำตอบยังสามารถเขียนเป็นวลีที่เทียบเท่า: “ฟังก์ชันถูกกำหนดที่ ”
ในเชิงเรขาคณิต พื้นที่คำจำกัดความจะแสดงโดยการแรเงาช่วงเวลาที่สอดคล้องกันบนแกนแอบซิสซา ในกรณีนี้:

ฉันเตือนคุณอีกครั้ง ความหมายทางเรขาคณิตโดเมนของคำจำกัดความ – กราฟของฟังก์ชัน มีอยู่เฉพาะในพื้นที่แรเงาและไม่มีอยู่ที่

ในกรณีส่วนใหญ่ การกำหนดขอบเขตของคำจำกัดความเชิงวิเคราะห์ล้วนๆ นั้นเหมาะสม แต่เมื่อฟังก์ชันมีความซับซ้อนมาก คุณควรวาดแกนและจดบันทึก

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

เมื่อมีทวินามหรือตรีโกณมิติกำลังสองอยู่ใต้รากที่สอง สถานการณ์จะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย และตอนนี้เราจะวิเคราะห์เทคนิคการแก้ปัญหาโดยละเอียด:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: การแสดงออกที่รุนแรงต้องเป็นไปในทางบวกอย่างเคร่งครัด กล่าวคือ เราต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน ในขั้นแรก เราพยายามแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:

การเลือกปฏิบัติเป็นบวก เรามองหาราก:

พาราโบลา ตัดแกนแอบซิสซาที่จุดสองจุด ซึ่งหมายความว่าส่วนหนึ่งของพาราโบลาอยู่ใต้แกน (อสมการ) และส่วนหนึ่งของพาราโบลาอยู่เหนือแกน (ความไม่เท่าเทียมกันที่เราต้องการ)

เนื่องจากสัมประสิทธิ์คือ กิ่งของพาราโบลาจึงชี้ขึ้น จากที่กล่าวมาข้างต้น เป็นไปตามที่ความไม่เท่าเทียมกันเป็นไปตามช่วงเวลา (กิ่งก้านของพาราโบลาขึ้นไปถึงระยะอนันต์) และจุดยอดของพาราโบลานั้นอยู่ในช่วงเวลาต่ำกว่าแกน x ซึ่งสอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกัน:

- บันทึก: หากคุณไม่เข้าใจคำอธิบายทั้งหมด โปรดวาดแกนที่สองและพาราโบลาทั้งหมด! ขอแนะนำให้กลับไปที่บทความและคู่มือ สูตรเด็ดสำหรับคอร์สคณิตศาสตร์โรงเรียน.

โปรดทราบว่าคะแนนจะถูกลบออก (ไม่รวมอยู่ในวิธีแก้ปัญหา) เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของเราเข้มงวด

คำตอบ: ขอบเขตคำจำกัดความ:

โดยทั่วไปแล้ว ความไม่เท่าเทียมกันหลายประการ (รวมถึงที่พิจารณาด้วย) ได้รับการแก้ไขโดยสากล วิธีช่วงเวลา, รู้จักกันอีกครั้งจาก หลักสูตรของโรงเรียน- แต่ในกรณีของทวินามกำลังสองและตรีโกณมิติในความคิดของฉัน การวิเคราะห์ตำแหน่งของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับแกนจะสะดวกกว่าและเร็วกว่ามาก และเราจะวิเคราะห์วิธีการหลัก - วิธีช่วงเวลา - โดยละเอียดในบทความ ฟังก์ชันศูนย์ ช่วงเวลาคงที่.

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ความคิดเห็นตัวอย่างโดยละเอียดเกี่ยวกับตรรกะของการให้เหตุผล + วิธีแก้ที่สอง และการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญอีกอย่างของความไม่เท่าเทียมกัน โดยไม่รู้ว่านักเรียนจะเดินกะเผลกขาข้างเดียวอย่างไร..., ...อืม... ฉันเดาว่าฉันเข้าใจแล้ว ตื่นเต้นกับขามากกว่าที่นิ้วเท้าข้างเดียว นิ้วหัวแม่มือ

ฟังก์ชันรากที่สองสามารถกำหนดบนเส้นจำนวนทั้งหมดได้หรือไม่? แน่นอน. ใบหน้าที่คุ้นเคยทั้งหมด: . หรือผลรวมที่คล้ายกันกับเลขชี้กำลัง: . แท้จริงแล้วสำหรับค่าใด ๆ ของ "x" และ "ka": ดังนั้นด้วย และ .

นี่เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนน้อยกว่า: - ในกรณีนี้ การแบ่งประเภทเป็นลบ (พาราโบลาไม่ได้ตัดกับแกน x) ในขณะที่กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นด้านบน ดังนั้นขอบเขตของคำจำกัดความ:

คำถามตรงกันข้าม: โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันสามารถเป็นได้หรือไม่ ว่างเปล่า- ใช่ และตัวอย่างดั้งเดิมก็แสดงให้เห็นทันที โดยที่นิพจน์รากเป็นลบสำหรับค่าใดๆ ของ "x" และโดเมนของคำจำกัดความ: (ไอคอนชุดว่าง) ฟังก์ชั่นดังกล่าวไม่ได้ถูกกำหนดไว้เลย (แน่นอนว่ากราฟก็เป็นภาพลวงตาเช่นกัน)

มีรากแปลกๆ ฯลฯ ทุกอย่างดีขึ้นมาก - ที่นี่ การแสดงออกที่รุนแรงอาจเป็นเชิงลบได้- ตัวอย่างเช่น มีการกำหนดฟังก์ชันบนเส้นจำนวนทั้งหมด อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้มีจุดเดียวที่ยังไม่รวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ เนื่องจากตัวส่วนถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ ด้วยเหตุผลเดียวกันสำหรับการทำงาน ไม่รวมคะแนน

โดเมนของฟังก์ชันที่มีลอการิทึม

ฟังก์ชันทั่วไปประการที่สามคือลอการิทึม ฉันจะวาดเป็นตัวอย่าง ลอการิทึมธรรมชาติซึ่งเกิดขึ้นในประมาณ 99 ตัวอย่างจากทั้งหมด 100 หากฟังก์ชันบางอย่างมีลอการิทึม โดเมนของคำจำกัดความควรรวมเฉพาะค่า "x" ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันเท่านั้น ถ้าลอการิทึมอยู่ในตัวส่วน: แล้ว นอกจากนี้มีการกำหนดเงื่อนไข (ตั้งแต่ )

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: ตามข้างต้นเราจะเขียนและแก้ไขระบบ:

โซลูชันกราฟิกสำหรับหุ่น:

คำตอบ: ขอบเขตคำจำกัดความ:

ฉันจะพูดถึงประเด็นทางเทคนิคอีกประเด็นหนึ่ง - ฉันไม่มีมาตราส่วนที่ระบุและไม่มีการทำเครื่องหมายการแบ่งตามแกน คำถามเกิดขึ้น: จะทำภาพวาดดังกล่าวในสมุดบันทึกบนกระดาษตาหมากรุกได้อย่างไร? ระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ควรวัดโดยเซลล์ตามมาตราส่วนอย่างเคร่งครัดหรือไม่ แน่นอนว่าเป็นที่ยอมรับและเข้มงวดกว่าในการปรับขนาด แต่การวาดแผนผังที่สะท้อนถึงสถานการณ์โดยพื้นฐานก็ค่อนข้างยอมรับได้เช่นกัน

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

ในการแก้ปัญหาคุณสามารถใช้วิธีการของย่อหน้าก่อนหน้า - วิเคราะห์ว่าพาราโบลาตั้งอยู่สัมพันธ์กับแกน x อย่างไร คำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

อย่างที่คุณเห็น ในขอบเขตของลอการิทึม ทุกอย่างจะคล้ายกันมากกับสถานการณ์ที่มีรากที่สอง นั่นก็คือฟังก์ชัน (กำลังสองตรีโกณมิติจากตัวอย่างที่ 7) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลาและฟังก์ชัน (ทวินามกำลังสองจากตัวอย่างที่ 6) ในช่วงเวลา เป็นเรื่องน่าอึดอัดใจที่จะพูดว่า ฟังก์ชันประเภทถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด

ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ : ฟังก์ชันทั่วไปน่าสนใจ โดยกำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุด ตามคุณสมบัติของลอการิทึม "สอง" สามารถคูณนอกลอการิทึมได้ แต่เพื่อให้ฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลง "x" จะต้องอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส: - นี่อีกอันสำหรับคุณ" การประยุกต์ใช้จริง» โมดูล =) นี่คือสิ่งที่คุณต้องทำในกรณีส่วนใหญ่เมื่อคุณรื้อถอน สม่ำเสมอปริญญา เช่น: - หากเห็นได้ชัดว่าฐานของระดับเป็นบวก ก็ไม่จำเป็นต้องใช้เครื่องหมายโมดูลัส และใช้วงเล็บก็เพียงพอแล้ว: .

เพื่อหลีกเลี่ยงการทำซ้ำ มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: ในฟังก์ชันนี้ เรามีทั้งรูทและลอการิทึม

นิพจน์ที่รุนแรงต้องไม่เป็นลบ: และนิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึมต้องเป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัด: ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแก้ไขระบบ:

หลายๆ คนรู้ดีหรือเดาโดยสัญชาตญาณว่าโซลูชันของระบบจะต้องตอบสนองความต้องการ ถึงทุกคนเงื่อนไข.

จากการตรวจสอบตำแหน่งของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับแกน เราได้ข้อสรุปว่าช่วงเวลา (การแรเงาสีน้ำเงิน) เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน:

เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันสอดคล้องกับช่วงครึ่ง "สีแดง"

เนื่องจากจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสอง พร้อมกันดังนั้นคำตอบของระบบคือจุดตัดของช่วงเวลาเหล่านี้ - ความสนใจร่วมกัน» จะพบกันในช่วงครึ่งเวลา

คำตอบ: ขอบเขตคำจำกัดความ:

ความไม่เท่าเทียมกันโดยทั่วไปดังตัวอย่างที่ 8 สามารถแก้ไขได้ด้วยการวิเคราะห์ได้ไม่ยาก

โดเมนที่พบจะไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับ "ฟังก์ชันที่คล้ายกัน" เช่น หรือ - คุณยังสามารถเพิ่มฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่างได้ เช่น: หรือดังนี้: หรือแม้กระทั่งเช่นนี้: . อย่างที่พวกเขาพูดกันว่ารูทและลอการิทึมเป็นสิ่งที่ดื้อรั้น สิ่งเดียวก็คือหากฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งถูก "รีเซ็ต" เป็นตัวส่วน โดเมนของคำจำกัดความก็จะเปลี่ยนไป (แม้ว่าจะอยู่ใน กรณีทั่วไปสิ่งนี้ไม่เป็นความจริงเสมอไป) ในทฤษฎีมาตันเกี่ยวกับวาจานี้... โอ้... มีทฤษฎีบทอยู่

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง การใช้รูปวาดค่อนข้างเหมาะสมเนื่องจากฟังก์ชันนี้ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด

ตัวอย่างเพิ่มเติมสองสามตัวอย่างเพื่อเสริมกำลังวัสดุ:

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: มาเขียนและแก้ระบบกัน:

การดำเนินการทั้งหมดได้ถูกกล่าวถึงแล้วในบทความ ให้เราพรรณนาช่วงเวลาที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันบนเส้นจำนวนและกำจัดจุดสองจุดตามเงื่อนไขที่สอง:

ความหมายกลับกลายเป็นว่าไม่เกี่ยวข้องเลย

คำตอบ: ขอบเขตของคำจำกัดความ

การเล่นคำคณิตศาสตร์เล็กน้อยจากรูปแบบของตัวอย่างที่ 13:

ตัวอย่างที่ 14

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ใครพลาดถือว่าโชคไม่ดี ;-)

ส่วนสุดท้ายของบทเรียนเน้นไปที่ฟังก์ชันที่หายากมากขึ้น แต่ยังรวมถึงฟังก์ชัน "การทำงาน" ด้วย:

พื้นที่นิยามฟังก์ชัน
กับแทนเจนต์, โคแทนเจนต์, อาร์คไซน์, อาร์กโคไซน์

หากบางฟังก์ชันมี แสดงว่ามาจากโดเมนของคำจำกัดความ ได้รับการยกเว้นคะแนน , ที่ไหน ซี– ชุดของจำนวนเต็ม โดยเฉพาะตามที่ระบุไว้ในบทความ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้นฟังก์ชันถูกเจาะ ค่าต่อไปนี้:

นั่นคือโดเมนของคำจำกัดความของแทนเจนต์: .

อย่าฆ่ามากเกินไป:

ตัวอย่างที่ 15

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: ในกรณีนี้ ประเด็นต่อไปนี้จะไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ:

ลองโยน "สอง" ของทางด้านซ้ายลงในตัวส่วนของทางด้านขวา:

ส่งผลให้ :

คำตอบ: ขอบเขตคำจำกัดความ: .

โดยหลักการแล้ว คำตอบสามารถเขียนโดยผลรวมของช่วงจำนวนอนันต์ได้ แต่การสร้างจะยุ่งยากมาก:

โซลูชันการวิเคราะห์มีความสอดคล้องอย่างสมบูรณ์กับ การเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ: หากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันคูณด้วย 2 กราฟของฟังก์ชันจะย่อขนาดลงเหลือแกนสองครั้ง สังเกตว่าคาบของฟังก์ชันลดลงครึ่งหนึ่งอย่างไร และ จุดพักความถี่เพิ่มขึ้นสองเท่า อิศวร

เรื่องที่คล้ายกันด้วยโคแทนเจนต์ หากบางฟังก์ชันมี จุดต่างๆ จะถูกแยกออกจากขอบเขตคำจำกัดความ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับฟังก์ชันถ่ายภาพต่อเนื่องอัตโนมัติ เราจะถ่ายภาพตามค่าต่อไปนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

ก่อนอื่น เรามาเรียนรู้วิธีค้นหากันก่อน โดเมนของคำจำกัดความของผลรวมของฟังก์ชัน- เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชันดังกล่าวสมเหตุสมผลสำหรับค่าดังกล่าวทั้งหมดของตัวแปรซึ่งฟังก์ชันทั้งหมดที่ประกอบเป็นผลรวมนั้นสมเหตุสมผล จึงไม่มีข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องของข้อความต่อไปนี้:

ถ้าฟังก์ชัน f คือผลรวมของฟังก์ชัน n f 1, f 2, …, f n นั่นคือฟังก์ชัน f กำหนดไว้ตามสูตร y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ) ดังนั้นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f คือจุดตัดของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f 1, f 2, ..., f n ลองเขียนสิ่งนี้เป็น

เรามาตกลงที่จะใช้รายการที่คล้ายกับรายการสุดท้ายต่อไป โดยที่เราหมายถึงเขียนด้วยเครื่องหมายปีกกา หรือการปฏิบัติตามเงื่อนไขใดๆ พร้อมกัน สะดวกและสอดคล้องกับความหมายของระบบอย่างเป็นธรรมชาติ

ตัวอย่าง.

ฟังก์ชัน y=x 7 +x+5+tgx ถูกกำหนดไว้ และเราจำเป็นต้องค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ

สารละลาย.

ฟังก์ชัน f แสดงด้วยผลรวมของฟังก์ชันสี่ฟังก์ชัน: f 1 - ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลัง 7, f 2 - ฟังก์ชันกำลังพร้อมเลขชี้กำลัง 1, f 3 - ฟังก์ชั่นคงที่และ f 4 - ฟังก์ชันแทนเจนต์

ดูตารางพื้นที่สำหรับกำหนดหลัก ฟังก์ชั่นเบื้องต้นเราพบว่า D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) และโดเมนของ นิยามของแทนเจนต์คือเซตของทั้งหมด ตัวเลขจริงยกเว้นตัวเลข .

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f คือจุดตัดของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f 1, f 2, f 3 และ f 4 เห็นได้ชัดว่านี่คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นตัวเลข .

คำตอบ:

เซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น .

เรามาต่อกันที่การค้นหา โดเมนของคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน- ในกรณีนี้ จะใช้กฎที่คล้ายกัน:

ถ้าฟังก์ชัน f เป็นผลคูณของฟังก์ชัน n f 1, f 2, ..., f n นั่นคือฟังก์ชัน f กำหนดไว้ในสูตร y=ฉ 1 (x) ฉ 2 (x)… ฉ n (x)จากนั้นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f คือจุดตัดของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f 1, f 2, ..., f n ดังนั้น, .

สิ่งนี้เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ ในพื้นที่ที่ระบุฟังก์ชันผลิตภัณฑ์ทั้งหมดถูกกำหนดไว้ และด้วยเหตุนี้ฟังก์ชัน f เอง

ตัวอย่าง.

Y=3·arctgx·lnx

สารละลาย.

โครงสร้างทางด้านขวามือของสูตรที่กำหนดฟังก์ชันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็น f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) โดยที่ f 1 เป็นฟังก์ชันคงที่ f 2 คือฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์ และ ฉ 3 คือ ฟังก์ชันลอการิทึมมีฐาน e

เรารู้ว่า D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) และ D(f 3)=(0, +∞) แล้ว .

คำตอบ:

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y=3·arctgx·lnx คือเซตของจำนวนบวกจำนวนจริงทั้งหมด

ขอให้เรามุ่งความสนใจไปที่การค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y=C·f(x) โดยที่ C คือจำนวนจริงบางจำนวน มันง่ายที่จะแสดงว่าโดเมนของนิยามของฟังก์ชันนี้และโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน f ตรงกัน แท้จริงแล้ว ฟังก์ชัน y=C·f(x) คือผลคูณของฟังก์ชันคงที่และฟังก์ชัน f โดเมนของฟังก์ชันคงที่คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และโดเมนของฟังก์ชัน f คือ D(f) ดังนั้นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y=C f(x) คือ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องแสดง

ดังนั้น โดเมนของนิยามของฟังก์ชัน y=f(x) และ y=C·f(x) โดยที่ C คือจำนวนจริงบางจำนวนจึงตรงกัน ตัวอย่างเช่น โดเมนของคำจำกัดความของรากคือ จะเห็นได้ชัดว่า D(f) คือเซตของ x ทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f 2 โดยที่ f 2 (x) รวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ ของฟังก์ชัน f 1 .

ดังนั้น, โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่ซับซ้อน y=f 1 (f 2 (x)) คือจุดตัดของชุดสองชุด: เซตของ x ทั้งหมดโดยที่ x∈D(f 2) และเซตของ x ดังกล่าวทั้งหมดที่ f 2 (x)∈D(f 1) . นั่นคือในสัญกรณ์ที่เรานำมาใช้ (นี่คือระบบความไม่เท่าเทียมกันโดยพื้นฐานแล้ว)

ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างบางส่วน เราจะไม่อธิบายกระบวนการโดยละเอียด เนื่องจากอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้

ตัวอย่าง.

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y=lnx 2

สารละลาย.

ฟังก์ชันดั้งเดิมสามารถแสดงเป็น y=f 1 (f 2 (x)) โดยที่ f 1 คือลอการิทึมที่มีฐาน e และ f 2 คือ ฟังก์ชั่นพลังงานโดยมีตัวบ่งชี้ที่ 2

หันไป พื้นที่ที่รู้จักคำจำกัดความของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน เรามี D(f 1)=(0, +∞) และ D(f 2)=(−∞, +∞)

แล้ว

เราจึงพบโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เราต้องการ มันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นศูนย์

คำตอบ:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

ตัวอย่าง.

โดเมนของฟังก์ชันคืออะไร ?

สารละลาย.

ฟังก์ชั่นนี้เชิงซ้อน ซึ่งถือได้ว่าเป็น y=f 1 (f 2 (x)) โดยที่ f 1 คือฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลัง และ f 2 คือฟังก์ชันอาร์คไซน์ และเราจำเป็นต้องค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ

มาดูสิ่งที่เรารู้: D(f 1)=(0, +∞) และ D(f 2)=[−1, 1] . มันยังคงค้นหาจุดตัดของชุดของค่า x เช่นนั้น x∈D(f 2) และ f 2 (x)∈D(f 1) :

หากต้องการ arcsinx>0 ให้จำคุณสมบัติของฟังก์ชัน arcsine อาร์คไซน์จะเพิ่มขึ้นตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ [−1, 1] และไปที่ศูนย์ที่ x=0 ดังนั้น arcsinx>0 สำหรับ x ใดๆ จากช่วง (0, 1]

กลับไปที่ระบบกันเถอะ:

ดังนั้น โดเมนที่ต้องการสำหรับคำจำกัดความของฟังก์ชันคือช่วงครึ่งเวลา (0, 1)

คำตอบ:

(0, 1] .

ตอนนี้เรามาดูฟังก์ชันที่ซับซ้อนกันดีกว่า มุมมองทั่วไป y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f ในกรณีนี้คือ .

ตัวอย่าง.

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน .

สารละลาย.

ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่กำหนดสามารถเขียนได้เป็น y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) โดยที่ f 1 – sin, f 2 – ฟังก์ชันรากระดับที่สี่, f 3 – log

เรารู้ว่า D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= รวมค่า -2 และ 2 แต่ไม่รวมค่า 10

พล็อตกราฟ ฟังก์ชันกำลังสอง. กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจะเป็นพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้นหรือลง เนื่องจากพาราโบลาเพิ่มขึ้นหรือลดลงตลอดแกน X ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันกำลังสองจึงเป็นจำนวนจริงทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดเมนของฟังก์ชันดังกล่าวคือเซต R (R หมายถึงจำนวนจริงทั้งหมด)

• เพื่อให้เข้าใจแนวคิดของฟังก์ชันได้ดีขึ้น ให้เลือกค่าใดก็ได้ที่เป็น "x" แทนที่ค่านั้นลงในฟังก์ชันแล้วค้นหาค่าของ "y" คู่ของค่า "x" และ "y" แสดงถึงจุดที่มีพิกัด (x,y) ซึ่งอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน
• พล็อตจุดนี้บนระนาบพิกัดและทำกระบวนการเดียวกันกับค่า x ที่แตกต่างกัน
• เมื่อวาดหลายจุดบนระนาบพิกัด คุณจะได้ ความคิดทั่วไปเกี่ยวกับรูปแบบของกราฟของฟังก์ชัน

หากฟังก์ชันมีเศษส่วน ให้ตั้งค่าตัวส่วนเป็นศูนย์จำไว้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ดังนั้น เมื่อตั้งค่าตัวส่วนเป็นศูนย์ คุณจะพบค่า "x" ที่ไม่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน

• ตัวอย่างเช่น ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน f(x) = (x + 1) / (x - 1)
• โดยที่ตัวส่วนคือ: (x - 1)
• แบ่งตัวส่วนให้เป็นศูนย์แล้วค้นหา "x": x - 1 = 0; x = 1
• เขียนโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน โดเมนของคำจำกัดความไม่รวม 1 นั่นคือรวมจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น 1 ดังนั้น โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือ: (-∞,1) U (1,∞)
• สัญกรณ์ (-∞,1) U (1,∞) อ่านได้ดังนี้: เซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น 1 สัญลักษณ์อนันต์ ∞ หมายถึงจำนวนจริงทั้งหมด ในตัวอย่างของเรา จำนวนจริงทั้งหมดที่มากกว่า 1 และน้อยกว่า 1 จะรวมอยู่ในโดเมน

หากฟังก์ชันประกอบด้วย รากที่สองดังนั้นนิพจน์รากจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์จำไว้ว่าไม่สามารถหารากที่สองของจำนวนลบได้ ดังนั้น ค่าใดๆ ของ "x" ซึ่งนิพจน์รากกลายเป็นลบ จะต้องแยกออกจากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

• ตัวอย่างเช่น ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน f(x) = √(x + 3)
• นิพจน์ Radical: (x + 3)
• นิพจน์รากต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์: (x + 3) ≥ 0
• ค้นหา "x": x ≥ -3
• โดเมนของฟังก์ชันนี้ประกอบด้วยเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ -3 ดังนั้น โดเมนของคำจำกัดความคือ [-3,∞)

ส่วนที่ 2

การหาช่วงของฟังก์ชันกำลังสอง

1. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณได้รับฟังก์ชันกำลังสองแล้วฟังก์ชันกำลังสองมีรูปแบบ: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4 กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวคือพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้นหรือลง มี วิธีการต่างๆการค้นหาช่วงของค่าของฟังก์ชันกำลังสอง

   • วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่มีรากหรือเศษส่วนคือการสร้างกราฟของฟังก์ชันโดยใช้เครื่องคำนวณกราฟ

2. ค้นหาพิกัด x ของจุดยอดของกราฟฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชันกำลังสอง ให้หาพิกัด x ของจุดยอดของพาราโบลา จำไว้ว่าฟังก์ชันกำลังสองคือ: ax 2 + bx + c ในการคำนวณพิกัด x ให้ใช้สมการต่อไปนี้: x = -b/2a สมการนี้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองพื้นฐานและอธิบายแทนเจนต์ ความลาดชันซึ่งเท่ากับศูนย์ (แทนเจนต์กับจุดยอดของพาราโบลาขนานกับแกน X)

   • ตัวอย่างเช่น ค้นหาพิสัยของฟังก์ชัน 3x 2 + 6x -2
   • คำนวณพิกัด x ของจุดยอดของพาราโบลา: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

3. ค้นหาพิกัด y ของจุดยอดของกราฟฟังก์ชันเมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่พิกัด “x” ที่พบลงในฟังก์ชัน พิกัดที่ค้นหา"y" หมายถึงค่าขีดจำกัดของช่วงฟังก์ชัน

   • คำนวณพิกัด y: y = 3x 2 + 6x – 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
   • พิกัดของจุดยอดของพาราโบลาของฟังก์ชันนี้คือ (-1,-5)

4. กำหนดทิศทางของพาราโบลาโดยการแทนค่า x อย่างน้อยหนึ่งค่าลงในฟังก์ชันเลือกค่า x อื่นๆ แล้วแทนค่าลงในฟังก์ชันเพื่อคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน หากค่า “y” ที่พบมากกว่าพิกัด “y” ของจุดยอดของพาราโบลา แสดงว่าพาราโบลานั้นชี้ขึ้น หากค่า “y” ที่พบน้อยกว่าพิกัด “y” ของจุดยอดของพาราโบลา แสดงว่าพาราโบลานั้นชี้ลง

   • แทนลงในฟังก์ชัน x = -2: y = 3x 2 + 6x – 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2
   • พิกัดของจุดที่วางอยู่บนพาราโบลา: (-2,-2)
   • พิกัดที่พบบ่งชี้ว่ากิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น ดังนั้นช่วงของฟังก์ชันจึงรวมค่าทั้งหมดของ "y" ที่มากกว่าหรือเท่ากับ -5
   • ช่วงค่าของฟังก์ชันนี้: [-5, ∞)

5. โดเมนของฟังก์ชันเขียนคล้ายกับโดเมนของฟังก์ชัน วงเล็บเหลี่ยมใช้เมื่อค่าอยู่ภายในช่วงของฟังก์ชัน หากค่าไม่อยู่ในช่วง จะใช้วงเล็บ หากฟังก์ชันมีช่วงค่าที่ไม่อยู่ติดกันหลายช่วง จะมีการวางสัญลักษณ์ "U" ไว้ระหว่างค่าเหล่านั้น

   • ตัวอย่างเช่น ช่วง [-2,10)U(10,2] รวมค่า -2 และ 2 แต่ไม่รวมค่า 10
   • เมื่อใช้สัญลักษณ์อนันต์ ∞ จะใช้วงเล็บเสมอ

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันพื้นฐานมีจำนวนค่อนข้างน้อย ซึ่งมีขอบเขตจำกัด ฟังก์ชัน "ซับซ้อน" อื่นๆ ทั้งหมดเป็นเพียงการรวมกันและรวมกันเท่านั้น

1. ฟังก์ชันเศษส่วน - ข้อจำกัดของตัวส่วน

2. รากของระดับคู่ - ข้อ จำกัด ในการแสดงออกทางราก

3. ลอการิทึม - ข้อจำกัดบนฐานของนิพจน์ลอการิทึมและซับลอการิทึม

3. ตรีโกณมิติ tg(x) และ ctg(x) - ข้อจำกัดในการโต้แย้ง

สำหรับแทนเจนต์:

4. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

อาร์คซีน	โคไซน์ส่วนโค้ง	อาร์กแทนเจนต์, อาร์กโคแทนเจนต์

ต่อไป ตัวอย่างต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขในหัวข้อ “โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน”

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่างที่ 7

ตัวอย่างที่ 8

ตัวอย่างที่ 9

ตัวอย่างที่ 10

ตัวอย่างที่ 11

ตัวอย่างที่ 12

ตัวอย่างที่ 13

ตัวอย่างที่ 14

ตัวอย่างที่ 15

ตัวอย่างที่ 16

ตัวอย่างการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันหมายเลข 1

การค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงเส้นใดๆ เช่น ฟังก์ชั่นระดับแรก:

y = 2x + 3 - สมการกำหนดเส้นตรงบนระนาบ

ลองดูฟังก์ชันอย่างละเอียดแล้วคิดว่าค่าตัวเลขใดที่เราสามารถแทนลงในสมการแทนตัวแปร x ได้

ลองแทนค่า x=0 กัน

เนื่องจาก y = 2 0 + 3 = 3 - เราได้ ค่าตัวเลขดังนั้นจึงมีฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปร x=0.

ลองแทนค่า x=10 กัน

เนื่องจาก y = 2·10 + 3 = 23 - มีฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปร x=10

ลองแทนค่า x=-10 กัน

เนื่องจาก y = 2·(-10) + 3 = -17 - มีฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปร x = -10

สมการนี้กำหนดเส้นตรงบนระนาบ และเส้นตรงไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด ดังนั้นจึงมีอยู่สำหรับค่าใดๆ ของ x

โปรดทราบว่าไม่ว่าเราจะแทนที่ค่าตัวเลขใดในฟังก์ชันที่กำหนดแทนที่จะเป็น x เราจะได้ค่าตัวเลขของตัวแปร y เสมอ

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงมีอยู่สำหรับค่าใดๆ x ∈ R หรือเราเขียนดังนี้: D(f) = R

รูปแบบการเขียนคำตอบ: D(f)=R หรือ D(f)=(-∞:+∞)หรือ x∈R หรือ x∈(-∞:+∞)

สรุป:

สำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ y = ax + b โดเมนของคำนิยามคือเซตของจำนวนจริง

ตัวอย่างการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันหมายเลข 2

ฟังก์ชั่นของแบบฟอร์ม:

y = 10/(x + 5) - สมการไฮเปอร์โบลา

เมื่อต้องจัดการกับฟังก์ชันเศษส่วน จำไว้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ดังนั้นฟังก์ชันจะมีอยู่สำหรับค่า x ทั้งหมดที่ไม่ใช่

ตั้งค่าตัวส่วนให้เป็นศูนย์ ลองทดแทนค่าที่กำหนดเองสำหรับ x

ที่ x = 0 เรามี y = 10/(0 + 5) = 2 - มีฟังก์ชันอยู่

สำหรับ x = 10 เรามี y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- มีฟังก์ชั่นนี้อยู่

ที่ x = -5 เรามี y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - จุดนี้ไม่มีฟังก์ชันนี้

เหล่านั้น. ถ้า ฟังก์ชันที่กำหนดเศษส่วนจึงจำเป็นต้องแบ่งส่วนให้เป็นศูนย์และค้นหาจุดที่ไม่มีฟังก์ชันอยู่

ในกรณีของเรา:

x + 5 = 0 → x = -5 - ณ จุดนี้ฟังก์ชันที่กำหนดไม่มีอยู่

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

เพื่อความชัดเจน ลองอธิบายเป็นภาพกราฟิก:

บนกราฟ เรายังเห็นว่าไฮเปอร์โบลาเข้าใกล้เส้นตรง x = -5 มากที่สุด แต่ไปไม่ถึงค่า -5 เอง

เราจะเห็นว่าฟังก์ชันที่กำหนดนั้นมีอยู่ที่ทุกจุดของแกนจริง ยกเว้นจุด x = -5

แบบฟอร์มบันทึกการตอบกลับ: ง(ฉ)=ร\(-5)หรือ ด(ฉ)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) หรือ x ∈ R\(-5)หรือ x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

หากฟังก์ชันที่กำหนดเป็นเศษส่วน การมีอยู่ของตัวส่วนจะกำหนดเงื่อนไขว่าตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์

ตัวอย่างการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันหมายเลข 3

ลองพิจารณาตัวอย่างการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่มีรากเป็นระดับคู่:

เนื่องจากเราสามารถแยกรากที่สองออกจากจำนวนที่ไม่เป็นลบได้เท่านั้น ดังนั้น ฟังก์ชันใต้รากจึงไม่เป็นลบ

2x - 8 ≥ 0

มาแก้อสมการง่ายๆ:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

ฟังก์ชั่นที่ระบุมีอยู่เฉพาะสำหรับค่าที่พบของ x ≥ 4 หรือ ด(ฉ)=)