วิธีค้นหาค่าที่คาดหวังผ่านฟังก์ชันการแจกแจง ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ความคาดหวัง

การกระจายตัวตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นของแกน Ox ทั้งหมดถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

วัตถุประสงค์ของการบริการ- เครื่องคิดเลขออนไลน์ถูกออกแบบมาเพื่อแก้ปัญหาทั้ง ความหนาแน่นของการกระจาย f(x) หรือฟังก์ชันการกระจาย F(x) (ดูตัวอย่าง) โดยปกติแล้วคุณจะต้องค้นหางานดังกล่าว ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ฟังก์ชันพล็อต f(x) และ F(x).

คำแนะนำ. เลือกประเภทของแหล่งข้อมูล: ความหนาแน่นของการแจกแจง f(x) หรือฟังก์ชันการแจกแจง F(x)

ความหนาแน่นของการกระจาย f(x) ได้รับ:

ฟังก์ชันการแจกแจง F(x) ได้รับ:

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องถูกกำหนดโดยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
(กฎหมายการกระจายเรย์ลี - ใช้ในงานวิศวกรรมวิทยุ) หา M(x) , D(x) .

ตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า อย่างต่อเนื่อง ถ้าฟังก์ชันการกระจาย F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
ฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด:
ป(α< X < β)=F(β) - F(α)
นอกจากนี้ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ไม่สำคัญว่าขอบเขตของตัวแปรจะรวมอยู่ในช่วงนี้หรือไม่:
ป(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
ความหนาแน่นของการกระจาย ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเรียกว่าฟังก์ชัน
f(x)=F’(x) , อนุพันธ์ของฟังก์ชันการแจกแจง

คุณสมบัติของความหนาแน่นของการกระจาย

1. ความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มไม่เป็นลบ (f(x) ≥ 0) สำหรับค่าทั้งหมดของ x
2. เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน:

ความหมายทางเรขาคณิตของเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน: พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นของการแจกแจงเท่ากับความสามัคคี
3. ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะตกอยู่ในช่วงตั้งแต่ α ถึง β สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

ในเชิงเรขาคณิต ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ที่ตกลงไปในช่วง (α, β) เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเส้นโค้งภายใต้เส้นโค้งความหนาแน่นของการแจกแจงตามช่วงเวลานี้
4. ฟังก์ชันการกระจายแสดงในรูปของความหนาแน่นดังนี้

ค่าความหนาแน่นของการแจกแจงที่จุด x ไม่เท่ากับความน่าจะเป็นที่จะรับค่านี้ สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เราสามารถพูดถึงความน่าจะเป็นที่จะตกอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนดเท่านั้น อนุญาต)