วิธีหาจำนวน n ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เทอมทั่วไปของลำดับจะอยู่ในรูปแบบ $u_n=n^2$ แทน $n=1$ เราจะได้:

$$ u_1=1^2=1. $$

นี่คือสมาชิกตัวแรกของลำดับ แทน $n=2$ ใน $u_n=n^2$ เราจะได้เทอมที่สองของลำดับ:

$$ u_2=2^2=4. $$

ถ้าเราแทนที่ $n=3$ เราจะได้เทอมที่สามของลำดับ:

$$ u_3=3^2=9. $$

ในทำนองเดียวกัน เราพบสมาชิกลำดับที่สี่ ห้า หก และลำดับอื่นๆ นี่คือวิธีที่เราได้รับตัวเลขที่เกี่ยวข้อง:

$$1;\; 4;\; เก้า;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots$$

นอกจากนี้ยังควรคำนึงถึงสมาชิกของลำดับ $u_n=n^3$ นี่คือสมาชิกกลุ่มแรกบางส่วน:

\begin(สมการ)1;\; แปด;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(สมการ)

นอกจากนี้ เพื่อสร้างสมาชิกร่วมของอนุกรม มักใช้ลำดับ $u_n=n!$ สมาชิกสองสามตัวแรกมีดังนี้:

\begin(สมการ)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(สมการ)

กำลังบันทึก "n!" (อ่านว่า "en factorial") หมายถึงผลคูณของทั้งหมด จำนวนธรรมชาติจาก 1 ถึง n เช่น

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

ตามนิยาม จะถือว่า $0!=1!=1$ ตัวอย่างเช่น ลองหา 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120 $$

มักใช้ความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต ถ้าเป็นสมาชิกคนแรก ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับ $a_1$ และผลต่างเท่ากับ $d$ จากนั้นพจน์ทั่วไปของความก้าวหน้าทางเลขคณิตจะเขียนโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

\begin(สมการ)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(สมการ)

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร? แสดงซ่อน

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือลำดับของตัวเลขซึ่งความแตกต่างระหว่างสมาชิกถัดไปและสมาชิกก่อนหน้าไม่มีการเปลี่ยนแปลง ความแตกต่างคงที่นี้เรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้า

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots$$

โปรดทราบว่าไม่ว่าเราจะจับคู่องค์ประกอบข้างเคียงใด ความแตกต่างระหว่างสมาชิกถัดไปและสมาชิกก่อนหน้าจะคงที่และเท่ากับ 7 เสมอ:

\begin(ชิด) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots \end(ชิด)

หมายเลขนี้คือ 7 และมีความแตกต่างของความก้าวหน้า โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร $d$ เช่น $d=7$. องค์ประกอบแรกของความก้าวหน้าคือ $a_1=3$ เราเขียนคำศัพท์ทั่วไปของความก้าวหน้านี้โดยใช้สูตร แทน $a_1=3$ และ $d=7$ ลงไป เราจะได้:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4 $$

เพื่อความชัดเจน เรามาค้นหาสมาชิกสองสามตัวแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตโดยใช้สูตร $a_n=7n-4$:

\begin(ชิด) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end(ชิด)

โดยการแทนค่าใดๆ ของตัวเลข $n$ ลงในสูตร $a_n=7n-4$ คุณจะได้สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

นอกจากนี้ยังควรสังเกตความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย ถ้าเทอมแรกของการก้าวหน้าเท่ากับ $b_1$ และตัวส่วนเท่ากับ $q$ ดังนั้นเทอมทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะได้จากสูตรต่อไปนี้:

\begin(สมการ)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(สมการ)

เกิดอะไรขึ้น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต? แสดงซ่อน

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลขซึ่งอัตราส่วนระหว่างสมาชิกถัดไปและสมาชิกก่อนหน้ามีค่าคงที่ ความสัมพันธ์ที่คงที่นี้เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้า. ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับต่อไปนี้:

$$6;\; สิบแปด;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots$$

โปรดทราบว่าไม่ว่าเราจะใช้องค์ประกอบที่อยู่ติดกันคู่ใด อัตราส่วนขององค์ประกอบถัดจากองค์ประกอบก่อนหน้าจะเป็นค่าคงที่และเท่ากับ 3 เสมอ:

\begin(ชิด) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(ชิด)

หมายเลขนี้คือ 3 และมีส่วนของความก้าวหน้า โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร $q$ เช่น $q=3$. องค์ประกอบแรกของความก้าวหน้าคือ $b_1=6$ เราเขียนคำศัพท์ทั่วไปของความก้าวหน้านี้โดยใช้สูตร แทน $b_1=6$ และ $q=3$ ลงไป เราจะได้:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1) $$

เพื่อความชัดเจน เราพบพจน์สองสามพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยใช้สูตร $b_n=6\cdot 3^(n-1)$:

\begin(ชิด) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486 \end(ชิด)

การแทนค่าใดๆ ของตัวเลข $n$ ลงในสูตร $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ จะได้สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ในตัวอย่างทั้งหมดด้านล่าง สมาชิกของอนุกรมจะแสดงด้วยตัวอักษร $u_1$ (สมาชิกตัวแรกของอนุกรม), $u_2$ (สมาชิกตัวที่สองของอนุกรม) และอื่นๆ สัญกรณ์ $u_n$ จะแสดงสมาชิกทั่วไปของชุด

ตัวอย่าง #1

หาพจน์ทั่วไปของอนุกรม $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$

สาระสำคัญของงานดังกล่าวคือการสังเกตรูปแบบที่มีอยู่ในสมาชิกชุดแรกของชุด และบนพื้นฐานของรูปแบบนี้ ให้สรุปเกี่ยวกับรูปแบบของคำทั่วไป วลี "ค้นหาคำทั่วไป" หมายถึงอะไร หมายความว่าจำเป็นต้องค้นหานิพจน์ดังกล่าว โดยแทนที่ $n=1$ ซึ่งเราได้พจน์แรกของอนุกรม เช่น $\frac(1)(7)$; แทนที่ $n=2$ เราจะได้พจน์ที่สองของอนุกรม เช่น $\frac(2)(9)$; แทนที่ $n=3$ เราจะได้พจน์ที่สามของอนุกรม เช่น $\frac(3)(11)$ และอื่นๆ เรารู้คำศัพท์สี่ข้อแรกของชุด:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

ค่อยๆ ขยับกันไปครับ สมาชิกทั้งหมดของอนุกรมที่เรารู้จักคือเศษส่วน ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะถือว่าสมาชิกร่วมของอนุกรมแสดงด้วยเศษส่วนด้วย:

$$ u_n=\frac (?) (?) $$

งานของเราคือค้นหาสิ่งที่ซ่อนอยู่ภายใต้เครื่องหมายคำถามในตัวเศษและตัวส่วน มาดูตัวเศษกันก่อน ตัวเศษของสมาชิกในอนุกรมที่เรารู้จักคือเลข 1, 2, 3 และ 4 โปรดทราบว่าจำนวนของสมาชิกแต่ละตัวในอนุกรมเท่ากับตัวเศษ เทอมแรกมี 1 ในตัวเศษ เทอมที่สองมี 2 เทอมที่สามมี 3 และเทอมที่สี่มี 4

มีเหตุผลที่จะถือว่าเทอมที่ n จะมี $n$ ในตัวเศษ:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

โดยวิธีการนี้ เราสามารถสรุปด้วยวิธีอื่นที่เป็นทางการมากขึ้น ลำดับที่ 1, 2, 3, 4 คืออะไร? โปรดทราบว่าแต่ละเทอมที่ตามมาของลำดับนี้มีค่ามากกว่าเทอมก่อนหน้า 1 เทอม เรากำลังติดต่อกับสมาชิกสี่ตัวของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สมาชิกตัวแรกคือ $a_1=1$ และผลต่างคือ $d=1$ เมื่อใช้สูตร เราได้นิพจน์สำหรับคำทั่วไปของความก้าวหน้า:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n $$

ดังนั้นการคาดเดาหรือการคำนวณอย่างเป็นทางการจึงเป็นเรื่องของรสนิยม สิ่งสำคัญคือเราได้เขียนตัวเศษของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม ไปที่ตัวส่วนกัน

ในตัวส่วนเรามีลำดับ 7, 9, 11, 13 นี่คือสมาชิกสี่ตัวของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สมาชิกตัวแรกเท่ากับ $b_1=7$ และผลต่างคือ $d=2$ เราพบคำศัพท์ทั่วไปของความก้าวหน้าโดยใช้สูตร:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5 $$

นิพจน์ผลลัพธ์ เช่น $2n+5$ และจะเป็นตัวหารของพจน์ทั่วไปของซีรีส์ ดังนั้น:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

ได้รับคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์ ลองตรวจสอบว่าสูตร $u_n=\frac(n)(2n+5)$ ที่เราพบนั้นเหมาะสมสำหรับการคำนวณเงื่อนไขที่ทราบอยู่แล้วของอนุกรมหรือไม่ ลองหาเงื่อนไข $u_1$, $u_2$, $u_3$ และ $u_4$ โดยใช้สูตร $u_n=\frac(n)(2n+5)$ แน่นอนว่าผลลัพธ์ต้องตรงกับเงื่อนไขสี่ข้อแรกของชุดที่กำหนดให้เราตามเงื่อนไข

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

ถูกต้อง ผลลัพธ์เหมือนกัน ชุดข้อมูลที่ระบุในเงื่อนไขสามารถเขียนในรูปแบบต่อไปนี้: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$ คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมมีรูปแบบ $u_n=\frac(n)(2n+5)$

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

ซีรีส์ดังกล่าวไม่มีสิทธิ์มีอยู่จริงหรือ? ก็ตามที่มี. และสำหรับชุดนี้ เราเขียนได้ว่า

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5) $$

คุณสามารถเขียนนามสกุลอื่นได้ ตัวอย่างเช่น:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

และความต่อเนื่องดังกล่าวไม่ได้ขัดแย้งอะไรเลย ในขณะเดียวกันก็สามารถเขียนได้ว่า

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5) $$

หากสองตัวเลือกแรกดูเป็นทางการเกินไปสำหรับคุณ ฉันจะเสนอตัวเลือกที่สาม ลองเขียนคำศัพท์ทั่วไปดังนี้:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

เราคำนวณคำศัพท์สี่คำแรกของชุดข้อมูลโดยใช้สูตรคำศัพท์ทั่วไปที่เสนอ:

\begin(ชิด) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end(ชิด)

อย่างที่คุณเห็น สูตรคำทั่วไปที่เสนอนั้นค่อนข้างถูกต้อง และมีรูปแบบดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน จำนวนของพวกมันไม่ได้ถูกจำกัดโดยสิ่งใดๆ ที่ ตัวอย่างมาตรฐานแน่นอนว่ามีการใช้ชุดมาตรฐานของลำดับที่รู้จักกันดี (progressions, องศา, แฟกทอเรียล ฯลฯ ) อย่างไรก็ตาม ในปัญหาดังกล่าวมีความไม่แน่นอนอยู่เสมอ และขอแนะนำให้ระลึกไว้เสมอ

ในตัวอย่างที่ตามมาทั้งหมด จะไม่มีการระบุความกำกวมนี้ เราจะตัดสินใจ ด้วยวิธีมาตรฐานซึ่งได้รับการยอมรับในหนังสือปัญหาส่วนใหญ่

ตอบ: คำสามัญของซีรีส์: $u_n=\frac(n)(2n+5)$

ตัวอย่าง #2

เขียนพจน์ทั่วไปของอนุกรม $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)( 7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$

เรารู้จักสมาชิกห้าคนแรกของซีรีส์:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

สมาชิกทั้งหมดของอนุกรมที่เรารู้จักคือเศษส่วน ซึ่งหมายความว่าเราจะมองหาพจน์ทั่วไปของอนุกรมในรูปของเศษส่วน:

$$ u_n=\frac (?) (?) $$

มาดูตัวเศษกัน ตัวเศษทั้งหมดมีหน่วย ดังนั้น จะมีหนึ่งตัวในตัวเศษของพจน์ทั่วไปของอนุกรม เช่น

$$ u_n=\frac(1)(?) $$

ทีนี้มาดูตัวส่วนกัน ตัวส่วนของพจน์แรกของอนุกรมที่เรารู้จักเป็นผลคูณของตัวเลข: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ ลำดับแรกของตัวเลขเหล่านี้คือ: 1, 3, 5, 7, 9 ลำดับนี้มีพจน์แรก $a_1=1$ และแต่ละอันที่ตามมาจะได้มาจากพจน์ก่อนหน้าโดยการบวกเลข $d=2$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกนี้เป็นสมาชิกห้าคนแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต คำศัพท์ทั่วไปสามารถเขียนโดยใช้สูตร:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1 $$

ในผลิตภัณฑ์ $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ ตัวเลขที่สองคือ: 5, 8, 11, 14, 17 นี่คือ องค์ประกอบของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเทอมแรกคือ $b_1=5$ และตัวส่วนคือ $d=3$ เราเขียนคำศัพท์ทั่วไปของความก้าวหน้านี้โดยใช้สูตรเดียวกัน:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2 $$

มาสรุปผลกันครับ ผลคูณของตัวส่วนของพจน์ทั่วไปของอนุกรมคือ $(2n-1)(3n+2)$ และคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นั้นมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

ในการตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้ เราหาสูตร $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ สี่พจน์แรกของอนุกรมที่เราทราบ:

\begin(ชิด) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \end(ชิด)

ดังนั้น สูตร $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ ช่วยให้เราสามารถคำนวณเงื่อนไขของอนุกรมที่ทราบจากเงื่อนไขได้อย่างแม่นยำ หากต้องการสามารถเขียนอนุกรมที่กำหนดได้ดังนี้

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

ตอบ: คำสามัญของซีรีส์: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

เราจะดำเนินการต่อในหัวข้อนี้ในส่วนที่สองและสาม

หลายคนเคยได้ยินเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต แต่ไม่ใช่ทุกคนที่ตระหนักดีว่ามันคืออะไร ในบทความนี้ เราจะให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง และพิจารณาคำถามเกี่ยวกับวิธีค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต และยกตัวอย่างจำนวนหนึ่ง

นิยามทางคณิตศาสตร์

ดังนั้นหาก เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิตหรือพีชคณิต (แนวคิดเหล่านี้นิยามสิ่งเดียวกัน) หมายความว่ามีบางอย่าง ชุดหมายเลขซึ่งเป็นไปตามกฎหมายต่อไปนี้: ทุกๆ สองตัวเลขที่อยู่ติดกันในอนุกรมจะต่างกันด้วยค่าที่เท่ากัน ในทางคณิตศาสตร์เขียนแบบนี้:

ในที่นี้ n หมายถึงจำนวนขององค์ประกอบ a n ในลำดับ และหมายเลข d คือความแตกต่างของความก้าวหน้า (ชื่อตามสูตรที่นำเสนอ)

การรู้ความแตกต่าง d หมายถึงอะไร? เกี่ยวกับระยะห่างของจำนวนที่อยู่ติดกัน อย่างไรก็ตาม ความรู้เรื่อง d เป็นสิ่งจำเป็น แต่ไม่ใช่ เงื่อนไขเพียงพอเพื่อกำหนด (กู้คืน) ความก้าวหน้าทั้งหมด คุณจำเป็นต้องรู้อีกหนึ่งหมายเลขซึ่งอาจเป็นองค์ประกอบใดก็ได้ของชุดข้อมูลที่กำลังพิจารณา ตัวอย่างเช่น 4, a10 แต่ตามกฎแล้วจะใช้หมายเลขแรกนั่นคือ 1

สูตรสำหรับกำหนดองค์ประกอบของความก้าวหน้า

โดยทั่วไปแล้ว ข้อมูลข้างต้นเพียงพอแล้วสำหรับการแก้ปัญหาเฉพาะหน้า อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะมีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่าง เราได้นำเสนอสูตรที่มีประโยชน์สองสามสูตร ซึ่งจะช่วยอำนวยความสะดวกในกระบวนการแก้ปัญหาที่ตามมา

เป็นการง่ายที่จะแสดงว่าองค์ประกอบใด ๆ ของลำดับที่มีหมายเลข n สามารถพบได้ดังนี้:

น \u003d a 1 + (n - 1) * ง

อันที่จริง ทุกคนสามารถตรวจสอบสูตรนี้ได้โดยการแจงนับอย่างง่าย: ถ้าเราแทน n = 1 เราก็จะได้องค์ประกอบแรก ถ้าเราแทน n = 2 นิพจน์จะให้ผลบวกของจำนวนแรกและผลต่าง และอื่นๆ

เงื่อนไขของปัญหาต่าง ๆ ถูกรวบรวมในลักษณะที่สำหรับคู่ของตัวเลขที่รู้จัก ตัวเลขที่ได้รับในลำดับนั้นจำเป็นต้องคืนค่าชุดตัวเลขทั้งหมด (ค้นหาความแตกต่างและองค์ประกอบแรก) ตอนนี้เราจะแก้ปัญหานี้ใน ปริทัศน์.

สมมติว่าเราได้รับสององค์ประกอบที่มีตัวเลข n และ m เมื่อใช้สูตรที่ได้รับข้างต้น เราสามารถเขียนระบบสมการสองสมการได้:

น \u003d a 1 + (n - 1) * d;
น ม = ก 1 + (ม - 1) * ง

ในการหาปริมาณที่ไม่ทราบ เราจะใช้ค่าที่ทราบ เคล็ดลับง่ายๆวิธีแก้ปัญหาของระบบดังกล่าว: เราลบส่วนซ้ายและขวาออกคู่กันในขณะที่ความเท่าเทียมกันยังคงใช้ได้ เรามี:

น \u003d a 1 + (n - 1) * d;
n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

ดังนั้นเราจึงกำจัดคนที่ไม่รู้จักออกไป (a 1) ตอนนี้เราสามารถเขียนนิพจน์สุดท้ายเพื่อกำหนด d:

d = (n - a m) / (n - m) โดยที่ n > m

เราได้รับมาก สูตรง่ายๆ: ในการคำนวณความแตกต่าง d ตามเงื่อนไขของปัญหาจำเป็นต้องใช้อัตราส่วนของความแตกต่างขององค์ประกอบเองและ หมายเลขซีเรียล. ควรเน้นอย่างใดอย่างหนึ่ง จุดสำคัญความสนใจ: ความแตกต่างเกิดขึ้นระหว่างสมาชิก "อาวุโส" และ "จูเนียร์" นั่นคือ n > m ("อาวุโส" - หมายถึงยืนห่างจากจุดเริ่มต้นของลำดับ ค่าสัมบูรณ์สามารถมากกว่าหรือน้อยกว่าองค์ประกอบ "อายุน้อยกว่า")

นิพจน์สำหรับผลต่าง d ของความก้าวหน้าควรถูกแทนที่ในสมการใด ๆ ที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหา เพื่อให้ได้ค่าของเทอมแรก

ในยุคแห่งการพัฒนาของเรา เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์เด็กนักเรียนหลายคนพยายามหาทางแก้ไขสำหรับงานของตนบนอินเทอร์เน็ต ดังนั้นคำถามประเภทนี้จึงมักเกิดขึ้น: ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตทางออนไลน์ ตามคำขอดังกล่าว เครื่องมือค้นหาจะแสดงหน้าเว็บจำนวนหนึ่ง โดยคุณจะต้องป้อนข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไข (อาจเป็นสองสมาชิกของความก้าวหน้าหรือผลรวมของบางส่วนก็ได้ ) และได้รับคำตอบทันที อย่างไรก็ตามวิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวไม่ได้ผลในแง่ของการพัฒนาของนักเรียนและการทำความเข้าใจสาระสำคัญของงานที่ได้รับมอบหมาย

การแก้ปัญหาโดยไม่ต้องใช้สูตร

มาแก้ปัญหาแรกกันในขณะที่เราจะไม่ใช้สูตรใด ๆ ข้างต้น ให้กำหนดองค์ประกอบของอนุกรม: a6 = 3, a9 = 18 ค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

องค์ประกอบที่รู้จักอยู่ใกล้กันเป็นแถว ต้องเพิ่มผลต่าง d ให้กับค่าที่เล็กที่สุดกี่ครั้งจึงจะได้ค่าที่มากที่สุด สามครั้ง (ครั้งแรกที่เพิ่ม d เราได้องค์ประกอบที่ 7 ครั้งที่สอง - ครั้งที่แปด ในที่สุด ครั้งที่สาม - ครั้งที่เก้า) ต้องบวกเลขอะไรถึงสามครั้งถึงจะได้ 18? นี่คือหมายเลขห้า จริงๆ:

ดังนั้น ผลต่างที่ไม่ทราบค่าคือ d = 5

แน่นอน วิธีแก้ปัญหาสามารถทำได้โดยใช้สูตรที่เหมาะสม แต่สิ่งนี้ไม่ได้ทำโดยเจตนา คำอธิบายโดยละเอียดการแก้ปัญหาควรชัดเจนและ ตัวอย่างที่สำคัญความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร

งานที่คล้ายกับงานก่อนหน้า

ตอนนี้มาแก้ปัญหาที่คล้ายกัน แต่เปลี่ยนข้อมูลอินพุต ดังนั้น คุณควรหาว่า a3 = 2, a9 = 19

แน่นอนคุณสามารถใช้วิธีการแก้ปัญหา "ที่หน้าผาก" ได้อีกครั้ง แต่เนื่องจากมีการกำหนดองค์ประกอบของซีรีส์ซึ่งอยู่ห่างกันพอสมควร วิธีการดังกล่าวจึงไม่สะดวกนัก แต่การใช้สูตรผลลัพธ์จะนำเราไปสู่คำตอบอย่างรวดเร็ว:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2.83

ที่นี่เราได้ปัดเศษ จำนวนจำกัด. การปัดเศษนี้ทำให้เกิดข้อผิดพลาดมากน้อยเพียงใดสามารถตัดสินได้โดยการตรวจสอบผลลัพธ์:

ก 9 \u003d 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

ผลลัพธ์นี้แตกต่างเพียง 0.1% จากค่าที่ระบุในเงื่อนไข ดังนั้นการปัดเศษเป็นร้อยจึงถือเป็นทางเลือกที่ดี

งานสำหรับการใช้สูตรสำหรับสมาชิก

พิจารณา ตัวอย่างคลาสสิกงานเพื่อหาค่าที่ไม่รู้จัก d: ค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตถ้า a1 = 12, a5 = 40

เมื่อมีการกำหนดลำดับพีชคณิตที่ไม่ทราบจำนวน 2 จำนวน และหนึ่งในนั้นคือองค์ประกอบ a 1 คุณไม่จำเป็นต้องคิดนาน แต่คุณควรนำสูตรสำหรับสมาชิก a n ไปใช้ทันที ที่ กรณีนี้เรามี:

ก 5 = ก 1 + ง * (5 - 1) => ง = (ก 5 - ก 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

เราได้จำนวนที่แน่นอนเมื่อทำการหาร ดังนั้นจึงไม่มีประเด็นใดในการตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่คำนวณได้ เหมือนที่ทำในย่อหน้าก่อนหน้า

ลองแก้ปัญหาอื่นที่คล้ายกัน: เราควรหาผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตถ้า a1 = 16, a8 = 37

เราใช้วิธีที่คล้ายกันกับวิธีก่อนหน้าและได้:

ก 8 = ก 1 + ง * (8 - 1) => ง = (ก 8 - ก 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

มีอะไรอีกบ้างที่คุณควรรู้เกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต

นอกจากปัญหาในการค้นหาผลต่างที่ไม่รู้จักหรือแต่ละองค์ประกอบแล้ว บ่อยครั้งจำเป็นต้องแก้ปัญหาผลรวมของพจน์แรกของลำดับ การพิจารณาปัญหาเหล่านี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของหัวข้อบทความ ทั้งนี้ เพื่อความครบถ้วนของข้อมูลขอนำเสนอ สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของตัวเลข n ชุด:

∑ n i = 1 (ai) = n * (a 1 + a n) / 2

เป้าหมาย:

แนะนำแนวคิดของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
พิจารณาประเภทงานหลักสำหรับการใช้สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ใช้องค์ประกอบของการเรียนรู้เชิงพัฒนาการในบทเรียน
พัฒนา การคิดวิเคราะห์นักเรียน.

ระหว่างเรียน

ครู.ในบทที่แล้ว เราได้แนะนำแนวคิดเรื่องอนันต์ ลำดับหมายเลขซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตของจำนวนธรรมชาติ และพบว่าลำดับนั้นไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีที่สิ้นสุด เพิ่มขึ้นและลดลง และยังได้เรียนรู้วิธีตั้งค่าเหล่านี้ด้วย รายการพวกเขา

นักเรียน.

การวิเคราะห์ (โดยใช้สูตร)
ทางวาจา (กำหนดลำดับด้วยคำอธิบาย).
เกิดซ้ำ (เมื่อสมาชิกใดๆ ของลำดับ เริ่มจากสมาชิกบางส่วน แสดงผ่านสมาชิกก่อนหน้า)

แบบฝึกหัด 1.ถ้าเป็นไปได้ ให้ระบุพจน์ที่ 7 ของแต่ละลำดับ

(และ n): 6; 10; สิบสี่; สิบแปด; 22; 26;…
(พันล้าน): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(cn): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(xn): -3.8; -2.6; -1.4; -0.2; หนึ่ง; 2.2…
(หยิน): -12; 7; แปด; สิบสี่; -23; 41…

ครู. เหตุใดจึงไม่สามารถตอบคำถามสำหรับลำดับ bn และ yn ได้

นักเรียน. ไม่มีรูปแบบที่แน่นอนในลำดับเหล่านี้ แม้ว่า (b n) จะประกอบด้วยกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ แต่พวกมันจะถูกจัดลำดับตามอำเภอใจ และ (y n) เป็นชุดของตัวเลขโดยพลการ ดังนั้นจำนวนใดๆ จึงสามารถอยู่ในตำแหน่งที่เจ็ดได้

ครู.สำหรับลำดับ (และ n); (คณ); (x n) ทุกท่านสามารถหาพจน์ที่ 7 ได้ถูกต้อง

ภารกิจที่ 2มากับของคุณ ตัวอย่างที่คล้ายกันลำดับดังกล่าว ระบุคำศัพท์ 4 รายการแรก แลกเปลี่ยนสมุดบันทึกกับเพื่อนร่วมโต๊ะและกำหนดสมาชิกลำดับที่ 5 ของลำดับนี้

ครู.ยังไง ทรัพย์สินส่วนกลางมีลำดับที่คล้ายกัน?

นักเรียน. แต่ละคำที่ตามมาแตกต่างจากคำก่อนหน้าด้วยหมายเลขเดียวกัน

ครู.ลำดับประเภทนี้เรียกว่าความก้าวหน้าทางเลขคณิต พวกเขาจะเป็นเรื่องของการศึกษาของเราในวันนี้ กำหนดหัวข้อของบทเรียน

(นักเรียนสามารถกำหนดหัวข้อส่วนแรกได้ง่าย ครูสามารถกำหนดหัวข้อส่วนที่สองได้เอง)

ครู. กำหนดวัตถุประสงค์ของบทเรียนตามหัวข้อนี้

(สิ่งสำคัญคือนักเรียนต้องพูดให้ครบถ้วนและถูกต้องที่สุดเท่าที่จะทำได้ เป้าหมายการเรียนรู้จากนั้นพวกเขาก็ยอมรับพวกเขาและพยายามทำให้สำเร็จ)

นักเรียน.

กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
รับสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
เรียนรู้การแก้ปัญหาในหัวข้อ (พิจารณา ประเภทต่างๆงาน).

จากนั้นจะเป็นประโยชน์ในการฉายภาพเป้าหมายที่ครูกำหนดให้กับนักเรียนบนหน้าจอเพื่อให้มั่นใจว่ามีเป้าหมายร่วมกัน

ครู.ประวัติเล็กน้อย คำว่า "ความก้าวหน้า" มาจากภาษาละตินว่า "ก้าวไปข้างหน้า" ซึ่งได้รับการแนะนำโดยนักเขียนชาวโรมันชื่อโบติอุสในคริสต์ศตวรรษที่ 6 และได้รับ การพัฒนาต่อไปในผลงานของ Fibonacci, Shuke, Gauss และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ

คำนิยาม.ความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือลำดับที่แต่ละพจน์ซึ่งเริ่มต้นจากพจน์ที่สองมีค่าเท่ากับพจน์ก่อนหน้าที่บวกด้วยจำนวนเดียวกัน ตัวเลขนี้เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเขียนแทนด้วย ง.

(เป็น n): เป็น 1 ; 2 ; 3 ; …a n …ความก้าวหน้าทางเลขคณิต
d \u003d a 2 - a 1 \u003d a 3 - a 2 \u003d ... \u003d a n + 1 - a n

ภารกิจที่ 3ให้ 1 = 7; d = 0

ตั้งชื่อสมาชิก 3 คนถัดไปของลำดับ

นักเรียน. 7; 7; 7

ครู. ลำดับดังกล่าวเรียกว่าค่าคงที่หรือคงที่

ให้ 1 = -12; d = 3 จงบอกชื่อสมาชิก 3 ตัวของลำดับนี้

นักเรียน. -9; -6; -3

ครู. จะถูกไหมถ้าฉันตั้งชื่อตัวเลข: -15; - สิบแปด; -21?

ตามกฎแล้ว นักเรียนส่วนใหญ่เชื่อว่าสิ่งนี้ถูกต้อง จากนั้นคุณควรขอให้พวกเขาระบุหมายเลขของสมาชิกแต่ละคน เนื่องจากจำนวนสมาชิกของลำดับต้องแสดงเป็นจำนวนธรรมชาติ หมายเลขที่กำหนดชื่อจึงไม่สามารถอยู่ในลำดับนี้ได้

ภารกิจที่ 4ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต a 1 ; 2 ; 6; 4; ก 5 พบ ก 1 ; 2 ; 5 .

งานนี้ดำเนินการเป็นคู่นักเรียนหนึ่งคนหากต้องการให้เสร็จสิ้น ด้านหลังกระดาน

การตัดสินใจ:

d = 4 - 6 = -2
5 \u003d 4 + d \u003d 4 - 2 \u003d 2
2 \u003d 3 - d \u003d 6 - (-2) \u003d 8
1 \u003d 2 - d \u003d 8 - (-2) \u003d 10

ระบุสำหรับลำดับนี้ 8 และ 126

นักเรียน. และสามารถระบุ 8 \u003d -4 และ 126 ได้ แต่ใช้เวลานานเกินไปในการนับ

ครู.ดังนั้นจึงจำเป็นต้องหาวิธีที่จะทำให้เราค้นหาสมาชิกของลำดับได้อย่างรวดเร็ว ลองหาสูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

คุณสามารถเรียกนักเรียนที่เข้มแข็งมาที่กระดานและผ่านคำถามที่ตั้งขึ้นอย่างชัดเจนและความช่วยเหลือในชั้นเรียน เพื่อหาสูตร

ที่มาของสูตร:

ก 2 = ก 1 + ง
ก 3 = ก 2 + ง = ก 1 + 2d
ก 4 = ก 3 + ง = ก 1 + 3d
เป็นต้น

กน = ก 1 + (น – 1) ง- สูตรสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ครู. ดังนั้น คุณจำเป็นต้องรู้อะไรบ้างเพื่อระบุสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

นักเรียน. ก 1 และ ง

ครู.ใช้สูตรนี้ หา 126

นักเรียน. 126 \u003d 1 + 125d \u003d 10 \u003d 125 ∙ (- 2) \u003d 10 - 250 \u003d - 240

ภารกิจที่ 5. ให้ (b n): ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โดยที่ b 1 คือเทอมแรก และ d คือผลต่าง ค้นหาข้อผิดพลาด:

b4 = b1 + 3d		ข 2k = ข 1 + (2k – 1)∙d
b9 = b1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k - 3)∙d
ข -3 = ข 1 - 4ง		ข k+7 \u003d ข 1 + (k - 6) ∙d

ภารกิจที่ 6พิจารณาสูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต มาดูกันว่าปัญหาประเภทใดที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรนี้ กำหนดปัญหาโดยตรง

นักเรียน.โดย กำหนดค่า a 1 และ d หา a n

ครู.ชนิดไหน ปัญหาผกผันใส่ได้ไหม

นักเรียน.

ให้ a 1 และ a n หา ง.
ให้ d และ a n ค้นหา 1 .
ให้ a 1 , d และ a n ค้นหา n

ภารกิจที่ 7. ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ y 1 = 10; ปี 5 = 22

วิธีแก้ปัญหาบอร์ด:

y 5 = y 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
ง=3

ภารกิจที่ 8. ความก้าวหน้าทางเลขคณิตมี 2 หรือไม่; เก้า; … หมายเลข 156 ?

การวิเคราะห์: โดยเหตุผลเรามาสรุปว่าตั้งแต่ แต่ละหมายเลขในลำดับมีหมายเลขของตัวเอง ซึ่งแสดงเป็นจำนวนธรรมชาติ คุณต้องหาจำนวนสมาชิกของลำดับและดูว่าเป็นของชุดของจำนวนธรรมชาติหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นแสดงว่ามีลำดับ หมายเลขที่กำหนดมิฉะนั้นไม่

วิธีแก้ปัญหาที่กระดานดำ:

น \u003d a 1 + (n - 1) ง
156 = 2 + 7 (n - 1)
7(น - 1) = 154
n - 1 = 22
n=23

คำตอบ: ก 23 = 156

ภารกิจที่ 9ค้นหาสามพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตในข้อใด

ก 1 + ก 5 = 24;
ก 2 ∙ ก 3 \u003d 60

เราวิเคราะห์งานสร้างระบบสมการซึ่งเสนอให้แก้ไขที่บ้าน

ก 1 + ก 1 + 4d = 24;
(ก 1 + ง) ∙ (ก 1 + 4d) = 60.

สรุป ทั้งหมด บทเรียน.

วันนี้คุณได้เรียนรู้อะไรใหม่ในบทเรียน คุณได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

การบ้าน. ทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาในวรรค 25 ของหนังสือเรียน เรียนรู้คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและสูตรสำหรับเทอมที่ n สามารถแสดงปริมาณทั้งหมดที่รวมอยู่ในสูตร แก้ระบบสำหรับงาน 9. ทำตามตำราหมายเลข 575 (a, b); 576; 578(ก); 579(ก).

งานสำหรับการประเมินเพิ่มเติม: ให้ 1 ; 2 ; 3 ; …a n …ความก้าวหน้าทางเลขคณิต พิสูจน์ว่า a n+1 = (a n + a n+2) : 2

อะไร จุดหลักสูตร?

สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหา ใดๆ ตามหมายเลขของเขา" น" .

แน่นอนคุณต้องรู้คำศัพท์แรก 1และความแตกต่างของความก้าวหน้า งหากไม่มีพารามิเตอร์เหล่านี้ คุณจะไม่สามารถเขียนความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจงได้

การท่องจำ (หรือโกง) สูตรนี้ไม่เพียงพอ จำเป็นต้องรวบรวมสาระสำคัญและใช้สูตรในปัญหาต่างๆ และอย่าลืมที่จะ ช่วงเวลาที่เหมาะสมแต่อย่างไร ไม่ลืม- ฉันไม่รู้. และที่นี่ วิธีการจำหากจำเป็น ฉันจะให้คำใบ้แก่คุณ สำหรับผู้ที่เรียนรู้บทเรียนจนจบ)

เรามาจัดการกับสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของการก้าวหน้าเลขคณิตกัน

โดยทั่วไปแล้วสูตรคืออะไร - เราจินตนาการ) อะไรคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หมายเลขสมาชิก ผลต่างของความก้าวหน้า - มีการระบุไว้อย่างชัดเจนในบทเรียนก่อนหน้า ลองดูถ้าคุณยังไม่ได้อ่าน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น มันยังคงคิดออกว่าอะไร สมาชิกคนที่ n.

ความก้าวหน้าโดยทั่วไปสามารถเขียนเป็นชุดตัวเลขได้:

ก 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

1- หมายถึงเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต 3- สมาชิกคนที่สาม 4- ที่สี่และอื่น ๆ หากเราสนใจเทอมที่ 5 สมมติว่าเรากำลังทำงานกับ 5ถ้าหนึ่งร้อยยี่สิบ - จาก 120.

วิธีการกำหนดโดยทั่วไป ใดๆสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, s ใดๆตัวเลข? ง่ายมาก! แบบนี้:

หนึ่ง

นั่นคือสิ่งที่มันเป็น สมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตภายใต้ตัวอักษร n จำนวนสมาชิกทั้งหมดจะถูกซ่อนไว้พร้อมกัน: 1, 2, 3, 4 และอื่น ๆ

และบันทึกดังกล่าวให้อะไรเราบ้าง? แค่คิดว่าแทนที่จะเป็นตัวเลขพวกเขาเขียนจดหมาย ...

สัญลักษณ์นี้ทำให้เรามีเครื่องมืออันทรงพลังสำหรับการทำงานกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต การใช้สัญกรณ์ หนึ่งเราสามารถค้นหาได้อย่างรวดเร็ว ใดๆสมาชิก ใดๆความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และงานมากมายที่ต้องแก้ไขในความคืบหน้า คุณจะเห็นต่อไป

ในสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:

ก n = ก 1 + (n-1)ง

1- สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

น- หมายเลขสมาชิก.

สูตรจะเชื่อมโยงพารามิเตอร์หลักของความก้าวหน้าใดๆ: หนึ่ง ; 1 ; งและ น. รอบ ๆ พารามิเตอร์เหล่านี้ ปริศนาทั้งหมดจะหมุนไปเรื่อย ๆ

นอกจากนี้ยังสามารถใช้สูตรเทอมที่ n เพื่อเขียนความก้าวหน้าเฉพาะได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ในปัญหา อาจกล่าวได้ว่าความก้าวหน้าถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:

n = 5 + (n-1) 2.

ปัญหาดังกล่าวอาจสร้างความสับสนได้ ... ไม่มีอนุกรมไม่มีความแตกต่าง ... แต่การเปรียบเทียบเงื่อนไขกับสูตรนั้นเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจได้ว่าในความก้าวหน้านี้ ก 1 \u003d 5 และ d \u003d 2

และอาจโกรธยิ่งกว่านี้!) ถ้าเราใช้เงื่อนไขเดียวกัน: n = 5 + (n-1) 2,ใช่เปิดวงเล็บแล้วให้คำที่คล้ายกันหรือไม่ เราได้สูตรใหม่:

อัน = 3 + 2n

นี้ ไม่ใช่ทั่วไปเท่านั้น แต่สำหรับความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจง นี่คือจุดที่ผิดพลาด บางคนคิดว่าเทอมแรกคือสาม แม้ว่าในความเป็นจริงสมาชิกคนแรกคือห้า ... ต่ำกว่านี้เล็กน้อยเราจะทำงานกับสูตรที่แก้ไขแล้ว

ในงานเพื่อความก้าวหน้ามีสัญลักษณ์อื่น - n+1. คุณเดาได้ว่านี่คือเทอม "n บวกตัวแรก" ของความก้าวหน้า ความหมายนั้นเรียบง่ายและไม่เป็นอันตราย) นี่คือสมาชิกของความก้าวหน้าซึ่งมีจำนวนมากกว่าจำนวน n ต่อหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากเรามีปัญหาบางอย่าง หนึ่งเทอมที่ห้าแล้ว n+1จะเป็นสมาชิกคนที่หก เป็นต้น

ส่วนใหญ่มักจะกำหนด n+1เกิดขึ้นในสูตรแบบเรียกซ้ำ อย่ากลัวคำที่น่ากลัวนี้!) นี่เป็นเพียงวิธีแสดงคำศัพท์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ผ่านอันที่แล้วสมมติว่าเราได้รับความก้าวหน้าทางเลขคณิตในแบบฟอร์มนี้ โดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำ:

n+1 = n +3

ก 2 = ก 1 + 3 = 5+3 = 8

ก 3 = ก 2 + 3 = 8+3 = 11

ที่สี่ - ถึงสาม, ที่ห้า - ถึงสี่และอื่น ๆ แล้วจะนับยังไง พูดเทอมที่ยี่สิบ 20? แต่ไม่มีทาง!) ในขณะที่ไม่ทราบระยะที่ 19 ไม่สามารถนับที่ 20 ได้ นี่คือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสูตรเรียกซ้ำและสูตรของเทอมที่ n Recursive ทำงานผ่านเท่านั้น ก่อนหน้าเทอมและสูตรของเทอมที่ n - ถึง แรกและช่วยให้ ทันทีค้นหาสมาชิกตามหมายเลข ไม่นับเลขทั้งชุดตามลำดับ

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต สูตรที่เกิดซ้ำแปลงเป็นปกติได้ง่าย นับคู่ของเงื่อนไขที่ต่อเนื่องกัน คำนวณผลต่าง ง,ค้นหาเทอมแรกหากจำเป็น 1ให้เขียนสูตรในรูปแบบปกติ และทำงานกับมัน ใน GIA มักพบงานดังกล่าว

การใช้สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ขั้นแรก ให้ดูที่การใช้สูตรโดยตรง ในตอนท้ายของบทเรียนก่อนหน้านี้มีปัญหา:

กำหนดความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) หา 121 ถ้า a 1 =3 และ d=1/6

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้สูตรใด ๆ เพียงขึ้นอยู่กับความหมายของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เพิ่มใช่เพิ่ม ... หนึ่งหรือสองชั่วโมง)

และตามสูตรการแก้ปัญหาจะใช้เวลาน้อยกว่าหนึ่งนาที คุณสามารถจับเวลาได้) เราตัดสินใจ

เงื่อนไขให้ข้อมูลทั้งหมดสำหรับการใช้สูตร: ก 1 \u003d 3, ง \u003d 1/6มันยังคงที่จะเห็นอะไร น.ไม่มีปัญหา! เราจำเป็นต้องค้นหา 121. ที่นี่เราเขียน:

กรุณาให้ความสนใจ! แทนที่จะเป็นดัชนี นปรากฏขึ้น จำนวนเฉพาะ: 121 ซึ่งค่อนข้างมีเหตุผล) เราสนใจคำว่าความก้าวหน้าทางเลขคณิต หมายเลขหนึ่งร้อยยี่สิบเอ็ดนี่จะเป็นของเรา น.มันคือความหมายนี้ น= 121 เราจะแทนที่เพิ่มเติมในสูตรในวงเล็บ แทนตัวเลขทั้งหมดในสูตรแล้วคำนวณ:

ก 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป เช่นเดียวกับที่เราสามารถหาสมาชิกห้าร้อยและสิบและพันที่สามได้อย่างรวดเร็ว เราใส่แทน นตัวเลขที่ต้องการในดัชนีของตัวอักษร " ก"และในวงเล็บและเราจะพิจารณา

ฉันขอเตือนคุณถึงสาระสำคัญ: สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหาได้ ใดๆเทอมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ตามหมายเลขของเขา" น" .

มาแก้ปัญหาอย่างชาญฉลาดกันเถอะ สมมติว่าเรามีปัญหาต่อไปนี้:

ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) ถ้า a 17 =-2; ง=-0.5

หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันจะแนะนำขั้นตอนแรก จดสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต!ใช่ ๆ. เขียนด้วยลายมือในสมุดบันทึกของคุณ:

ก n = ก 1 + (n-1)ง

และตอนนี้เมื่อดูที่ตัวอักษรของสูตรเราเข้าใจว่าข้อมูลใดที่เรามีอยู่และสิ่งใดขาดหายไป มีอยู่ d=-0.5,มีสมาชิกคนที่สิบเจ็ด ... ทั้งหมด? ถ้าคิดแค่นั้นก็แก้ปัญหาไม่ได้ ใช่...

เรามีเบอร์ด้วย น! ในสภาพ 17 = -2ที่ซ่อนอยู่ สองตัวเลือกนี่คือทั้งค่าของสมาชิกตัวที่สิบเจ็ด (-2) และจำนวนของมัน (17) เหล่านั้น. n=17."สิ่งเล็กน้อย" นี้มักจะหลุดออกจากหัวและหากไม่มี (หากไม่มี "สิ่งเล็กน้อย" ไม่ใช่หัว!) ปัญหาจะไม่สามารถแก้ไขได้ แม้ว่า ... และไม่มีหัวด้วย)

ตอนนี้เราสามารถแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตรได้อย่างโง่เขลา:

17 \u003d 1 + (17-1) (-0.5)

โอ้ใช่, 17เรารู้ว่ามันคือ -2 เอาล่ะใส่มันเข้าไป:

-2 \u003d 1 + (17-1) (-0.5)

โดยเนื้อแท้แล้วก็คือทั้งหมด มันยังคงแสดงพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตจากสูตรและคำนวณ คุณได้รับคำตอบ: 1 = 6

เทคนิคดังกล่าว - การเขียนสูตรและเพียงแค่แทนที่ข้อมูลที่รู้จัก - ช่วยได้มาก งานง่ายๆ. แน่นอนว่าคุณต้องสามารถแสดงตัวแปรจากสูตรได้ แต่จะทำอย่างไร!? หากไม่มีทักษะนี้จะไม่สามารถเรียนคณิตศาสตร์ได้เลย ...

อีกปัญหายอดนิยม:

ค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) ถ้า a 1 =2; 15 = 12.

เรากำลังทำอะไรอยู่? คุณจะประหลาดใจ เราเขียนสูตร!)

ก n = ก 1 + (n-1)ง

พิจารณาสิ่งที่เรารู้: 1 = 2; 15 = 12; และ (ไฮไลท์พิเศษ!) n=15. อย่าลังเลที่จะแทนที่ในสูตร:

12=2 + (15-1)ง

มาทำเลขคณิตกันเถอะ)

12=2 + 14d

ง=10/14 = 5/7

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ดังนั้นงาน ก น , ก 1และ งตัดสินใจแล้ว. ยังคงต้องเรียนรู้วิธีค้นหาหมายเลข:

เลข 99 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) โดยที่ 1 =12; ง=3. ค้นหาหมายเลขของสมาชิกนี้

เราแทนที่ปริมาณที่ทราบลงในสูตรของเทอมที่ n:

n = 12 + (n-1) 3

เมื่อมองแวบแรก มีปริมาณที่ไม่รู้จักสองปริมาณที่นี่: n และ nแต่ หนึ่งเป็นสมาชิกของความคืบหน้าด้วยหมายเลข น... และสมาชิกของความก้าวหน้าที่เรารู้! คือ 99 เราไม่รู้หมายเลขของเขา เอ็นดังนั้นจึงต้องหาหมายเลขนี้ด้วย แทนค่าความก้าวหน้า 99 ลงในสูตร:

99 = 12 + (n-1) 3

เราแสดงจากสูตร น, พวกเราคิดว่า. เราได้คำตอบ: n=30.

และตอนนี้เป็นปัญหาในหัวข้อเดียวกัน แต่สร้างสรรค์กว่า):

กำหนดว่าหมายเลข 117 จะเป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (an n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

ลองเขียนสูตรอีกครั้ง อะไรไม่มีพารามิเตอร์? หืม... ทำไมเราต้องตา?) เราเห็นสมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าหรือไม่? ที่เราเห็น. นี่คือ -3.6 คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย: 1 \u003d -3.6ความแตกต่าง งสามารถกำหนดได้จากซีรีส์? เป็นเรื่องง่ายถ้าคุณรู้ว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคืออะไร:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

ใช่ เราทำสิ่งที่ง่ายที่สุด ยังคงต้องจัดการกับหมายเลขที่ไม่รู้จัก นและจำนวนที่เข้าใจยาก 117 ในปัญหาที่แล้ว อย่างน้อยก็รู้ว่าเป็นศัพท์ของความก้าวหน้าที่ให้มา แต่นี่เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่า...จะเป็นยังไง!? จะเป็นยังไง จะเป็นยังไง... ทักษะความคิดสร้างสรรค์!)

เรา สมมติท้ายที่สุดแล้ว 117 ก็เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าของเรา ด้วยหมายเลขที่ไม่รู้จัก น. และเช่นเดียวกับในปัญหาก่อนหน้านี้ ลองหาตัวเลขนี้กัน เหล่านั้น. เราเขียนสูตร (ใช่-ใช่!)) และแทนตัวเลขของเรา:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

เราแสดงอีกครั้งจากสูตรนเรานับและรับ:

อ๊ะ! เลขที่เปิดออก เศษส่วน!หนึ่งร้อยหนึ่งครึ่ง และเลขเศษส่วน ไม่สามารถ.เราได้ข้อสรุปอะไร? ใช่! หมายเลข 117 ไม่ใช่สมาชิกของความก้าวหน้าของเรา อยู่ระหว่างสมาชิกลำดับที่ 101 และ 102 หากตัวเลขกลายเป็นธรรมชาตินั่นคือ จำนวนเต็มบวก จำนวนนั้นจะเป็นสมาชิกของการก้าวหน้าด้วยจำนวนที่พบ และในกรณีของเรา คำตอบของปัญหาจะเป็นดังนี้ ไม่.

ตามงาน รุ่นจริงจีไอเอ:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข:

น \u003d -4 + 6.8n

ค้นหาพจน์ที่หนึ่งและสิบของการก้าวหน้า

ความคืบหน้าถูกกำหนดในลักษณะที่ผิดปกติ สูตรบางอย่าง ... มันเกิดขึ้น) อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ (ตามที่ฉันเขียนไว้ด้านบน) - ยังเป็นสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต!เธอยังอนุญาต ค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าด้วยหมายเลขของมัน

เรากำลังมองหาสมาชิกคนแรก คนที่คิดว่า. ว่าเทอมแรกเป็นลบสี่ ผิดมหันต์!) เนื่องจากสูตรในโจทย์มีการแก้ไข เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตในนั้น ที่ซ่อนอยู่.ไม่มีอะไร เราจะค้นหาตอนนี้)

เช่นเดียวกับในงานก่อนหน้า เราแทนที่ n=1ใน สูตรนี้:

ก 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

ที่นี่! เทอมแรกคือ 2.8 ไม่ใช่ -4!

ในทำนองเดียวกัน เรากำลังมองหาเทอมที่สิบ:

ก 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป

และตอนนี้ สำหรับผู้ที่อ่านมาถึงบรรทัดเหล่านี้ โบนัสที่สัญญาไว้)

สมมติว่าในสถานการณ์การต่อสู้ที่ยากลำบาก GIA หรือ Unified State Examination คุณลืมไปแล้ว สูตรที่มีประโยชน์สมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต มีบางอย่างอยู่ในใจ แต่ก็ไม่แน่นอน ... ไม่ว่าจะเป็น นที่นั่นหรือ n+1 หรือ n-1...จะเป็นอย่างไร!?

เงียบสงบ! สูตรนี้หาง่าย ไม่เข้มงวดมาก แต่เพื่อความแน่ใจและ การตัดสินใจที่ถูกต้องก็พอแล้ว!) สำหรับบทสรุป ก็เพียงพอแล้วที่จะจำความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและมีเวลาสองสามนาที คุณเพียงแค่ต้องวาดภาพ เพื่อความชัดเจน

เราวาดแกนตัวเลขและทำเครื่องหมายแกนแรก ที่สอง สาม ฯลฯ สมาชิก. และสังเกตความแตกต่าง งระหว่างสมาชิก. แบบนี้:

เราดูรูปแล้วคิดว่าเทอมที่สองเท่ากับอะไร? ที่สอง หนึ่ง ง:

ก 2 = ก 1 + 1 ง

เทอมที่สามคืออะไร? ที่สามเทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สอง ง.

ก 3 = ก 1 + 2 ง

คุณเข้าใจไหม? ฉันไม่ได้เน้นคำบางคำอย่างไร้ประโยชน์ เป็นตัวหนา. โอเค อีกหนึ่งขั้นตอน)

เทอมที่สี่คืออะไร? ประการที่สี่เทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สาม ง.

ก 4 = ก 1 + 3 ง

ถึงเวลาที่ต้องตระหนักว่าจำนวนช่องว่างเช่น ง, เสมอ น้อยกว่าหนึ่งหมายเลขสมาชิกที่คุณต้องการ น. นั่นคือขึ้นอยู่กับจำนวน n จำนวนช่องว่างจะ n-1.ดังนั้น สูตรจะเป็น (ไม่มีตัวเลือก!):

ก n = ก 1 + (n-1)ง

โดยทั่วไปแล้วภาพที่มองเห็นมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ อย่าละเลยรูปภาพ แต่ถ้ามันยากที่จะวาดรูปล่ะก็ ... สูตรเท่านั้น!) นอกจากนี้สูตรของเทอมที่ n ยังช่วยให้คุณเชื่อมต่อคลังแสงคณิตศาสตร์อันทรงพลังทั้งหมดเข้ากับวิธีแก้ปัญหา - สมการ, อสมการ, ระบบ ฯลฯ ใส่รูปในสมการไม่ได้...

งานเพื่อการตัดสินใจที่เป็นอิสระ

สำหรับการอุ่นเครื่อง:

1. ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) a 2 =3; 5 \u003d 5.1 หา 3

คำแนะนำ: ตามภาพ ปัญหาจะแก้ไขได้ใน 20 วินาที ... ตามสูตร มันจะยากขึ้น แต่การเชี่ยวชาญสูตรจะมีประโยชน์มากกว่า) ในมาตรา 555 ปัญหานี้แก้ไขได้ทั้งโดยรูปและโดยสูตร รู้สึกถึงความแตกต่าง!)

และนี่ไม่ใช่การอุ่นเครื่องอีกต่อไป)

2. ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3 หา a 3

อะไรนะ ฝืนวาดรูป?) ยัง! จะดีกว่าในสูตรใช่ ...

3. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข:1 \u003d -5.5; n+1 = n +0.5 จงหาระยะที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้าของการก้าวหน้านี้

ในภารกิจนี้ ความก้าวหน้าจะได้รับในลักษณะที่เกิดซ้ำ แต่นับถึงเทอมที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้า... ไม่ใช่ทุกคนที่จะทำแบบนั้นได้) แต่สูตรของเทอมที่ n อยู่ในอำนาจของทุกคน!

4. กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (และ n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

ค้นหาจำนวนที่น้อยที่สุด สมาชิกเชิงบวกความก้าวหน้า

5. ตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 4 ให้หาผลรวมของค่าบวกที่เล็กที่สุดและค่าลบที่มากที่สุดของความก้าวหน้า

6. ผลคูณของพจน์ที่ห้าและสิบสองของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เพิ่มขึ้นคือ -2.5 และผลรวมของพจน์ที่สามและสิบเอ็ดเป็นศูนย์ ค้นหา 14 .

ไม่ใช่งานที่ง่ายที่สุดใช่ ... ) วิธีการ "บนนิ้ว" จะไม่ทำงานที่นี่ คุณต้องเขียนสูตรและแก้สมการ

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

เกิดขึ้น? มันดีนะ!)

ทุกอย่างไม่ได้ผล? มันเกิดขึ้น. อย่างไรก็ตาม ในงานสุดท้ายมีจุดที่ละเอียดอ่อนอยู่จุดหนึ่ง จะต้องให้ความสนใจเมื่ออ่านปัญหา และตรรกะ

วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้มีรายละเอียดอยู่ในหมวดที่ 555 และองค์ประกอบของจินตนาการสำหรับส่วนที่สี่ และช่วงเวลาที่ละเอียดอ่อนสำหรับส่วนที่หก และ วิธีการทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาใด ๆ ในสูตรของสมาชิกที่ n - ทุกอย่างถูกทาสี ฉันแนะนำ

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์