วิธีค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัว พยักหน้าและพยักหน้าของตัวเลขสองตัว อัลกอริธึมแบบยุคลิด

ลองพิจารณาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ ก้าวของเด็กชายคือ 75 ซม. และก้าวของเด็กหญิงคือ 60 ซม. จำเป็นต้องหาระยะทางที่น้อยที่สุดที่ทั้งคู่ก้าวเดินเป็นจำนวนเต็ม

สารละลาย.เส้นทางทั้งหมดที่พวกเขาจะผ่านไปจะต้องหารด้วย 60 และ 70 ลงตัว เนื่องจากพวกเขาแต่ละคนจะต้องเดินเป็นจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบต้องเป็นจำนวนทวีคูณของทั้ง 75 และ 60

ขั้นแรก เราจะเขียนผลคูณทั้งหมดของเลข 75 เราได้:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

ทีนี้ลองเขียนตัวเลขที่จะเป็นตัวคูณของ 60 กัน เราได้:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

ตอนนี้เราพบตัวเลขที่อยู่ในทั้งสองแถวแล้ว

• ผลคูณร่วมของตัวเลขจะเป็น 300, 600 เป็นต้น

จำนวนที่น้อยที่สุดคือ 300 ในกรณีนี้จะเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 75 และ 60

เมื่อกลับไปสู่สภาพของปัญหา ระยะทางที่น้อยที่สุดที่ผู้ชายจะต้องเดินเป็นจำนวนเต็มคือ 300 ซม. เด็กชายจะครอบคลุมเส้นทางนี้ใน 4 ขั้นตอน และเด็กผู้หญิงจะต้องเดิน 5 ก้าว

การหาตัวคูณร่วมน้อย

• ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนธรรมชาติสองตัว a และ b คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนทวีคูณของทั้ง a และ b

เพื่อที่จะหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวนั้น ไม่จำเป็นต้องจดจำนวนทวีคูณทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้ติดกัน

คุณสามารถใช้วิธีการต่อไปนี้

วิธีหาตัวคูณร่วมน้อย

ก่อนอื่น คุณต้องแยกตัวประกอบตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะก่อน

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

ทีนี้ลองเขียนปัจจัยทั้งหมดที่อยู่ในส่วนขยายของตัวเลขแรก (2,2,3,5) แล้วบวกปัจจัยที่ขาดหายไปทั้งหมดจากการขยายตัวเลขที่สอง (5)

ผลลัพธ์ที่ได้คือชุดของจำนวนเฉพาะ: 2,2,3,5,5 ผลคูณของตัวเลขเหล่านี้จะเป็นตัวประกอบร่วมที่น้อยที่สุดของตัวเลขเหล่านี้ 2*2*3*5*5 = 300

รูปแบบทั่วไปสำหรับการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย

• 1. แบ่งตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
• 2. เขียนปัจจัยเฉพาะที่เป็นส่วนหนึ่งของปัจจัยเหล่านั้น
• 3. เพิ่มปัจจัยเหล่านี้ทั้งหมดที่อยู่ในการขยายตัวของปัจจัยอื่น ๆ แต่ไม่ใช่ในปัจจัยที่เลือก
• 4. ค้นหาผลคูณของตัวประกอบที่เป็นลายลักษณ์อักษรทั้งหมด

วิธีนี้เป็นสากล สามารถใช้ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนธรรมชาติจำนวนเท่าใดก็ได้

ผลคูณคือตัวเลขที่หารด้วยจำนวนที่กำหนดโดยไม่มีเศษ ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของกลุ่มตัวเลขคือจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยแต่ละตัวเลขในกลุ่มโดยไม่ทิ้งเศษ ในการหาตัวคูณร่วมน้อย คุณต้องหาตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่กำหนด LCM ยังสามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีการอื่นอีกหลายวิธีที่ใช้กับกลุ่มที่มีตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไป

ขั้นตอน

อนุกรมของทวีคูณ

ดูตัวเลขเหล่านี้สิวิธีที่อธิบายไว้ในที่นี้เหมาะที่สุดเมื่อให้ตัวเลขสองตัว ซึ่งแต่ละตัวมีค่าน้อยกว่า 10 ถ้าให้ตัวเลขมากกว่า ให้ใช้วิธีอื่น

• เช่น หาตัวคูณร่วมน้อยของ 5 กับ 8 ซึ่งเป็นตัวเลขเล็กๆ คุณจึงใช้วิธีนี้ได้

1. ผลคูณคือตัวเลขที่หารด้วยจำนวนที่กำหนดโดยไม่มีเศษ สามารถพบได้ในตารางสูตรคูณ

   • ตัวอย่างเช่น ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 5 ได้แก่ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40

2. เขียนชุดตัวเลขที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนแรกทำสิ่งนี้ด้วยการคูณตัวเลขแรกเพื่อเปรียบเทียบตัวเลขสองชุด

   • ตัวอย่างเช่น ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 8 คือ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 และ 64

3. ค้นหาจำนวนที่น้อยที่สุดที่มีอยู่ในชุดทวีคูณทั้งสองชุดคุณอาจต้องเขียนชุดผลคูณยาวๆ เพื่อหาจำนวนทั้งหมด จำนวนที่น้อยที่สุดที่มีอยู่ในตัวคูณทั้งสองชุดคือตัวคูณร่วมน้อย

   • ตัวอย่างเช่น จำนวนที่น้อยที่สุดที่ปรากฏในชุดผลคูณของ 5 และ 8 คือหมายเลข 40 ดังนั้น 40 จึงเป็นจำนวนตัวคูณร่วมน้อยของ 5 และ 8

   การแยกตัวประกอบเฉพาะ

   1. ดูตัวเลขเหล่านี้สิวิธีที่อธิบายไว้ในที่นี้เหมาะที่สุดเมื่อให้ตัวเลขสองตัว ซึ่งแต่ละตัวมีค่ามากกว่า 10 ถ้าให้ตัวเลขน้อยกว่า ให้ใช้วิธีอื่น

      • เช่น ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 20 และ 84 แต่ละตัวเลขมีค่ามากกว่า 10 คุณจึงใช้วิธีนี้ได้

   2. แยกตัวประกอบจำนวนแรกให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.นั่นคือคุณต้องค้นหาจำนวนเฉพาะที่เมื่อคูณแล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่กำหนด เมื่อคุณพบปัจจัยเฉพาะแล้ว ให้เขียนพวกมันว่ามีความเท่าเทียมกัน

      • ตัวอย่างเช่น, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)และ 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10)- ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะของจำนวน 20 คือตัวเลข 2, 2 และ 5 เขียนเป็นนิพจน์:

   3. แยกตัวประกอบจำนวนที่สองให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.ทำแบบเดียวกับที่คุณแยกตัวประกอบจำนวนแรก นั่นคือ หาจำนวนเฉพาะที่เมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนที่กำหนด

      • ตัวอย่างเช่น, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)และ 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6)- ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะของเลข 84 คือตัวเลข 2, 7, 3 และ 2 เขียนเป็นนิพจน์:

   4. เขียนตัวประกอบร่วมของตัวเลขทั้งสอง.เขียนตัวประกอบเช่นการดำเนินการคูณ ขณะที่คุณเขียนตัวประกอบแต่ละตัว ให้ขีดฆ่าทั้งสองนิพจน์ (นิพจน์ที่อธิบายการแยกตัวประกอบของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ)

      • ตัวอย่างเช่น ตัวเลขทั้งสองมีตัวประกอบร่วมกันคือ 2 ดังนั้นจงเขียน 2 × (\displaystyle 2\times )และขีดฆ่า 2 ในทั้งสองพจน์
      • สิ่งที่ตัวเลขทั้งสองมีเหมือนกันคือตัวประกอบของ 2 อีกตัว ดังนั้นจงเขียนไว้ 2 × 2 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 2)และขีดฆ่า 2 ตัวที่สองในทั้งสองนิพจน์

   5. เพิ่มตัวประกอบที่เหลือในการคูณปัจจัยเหล่านี้เป็นปัจจัยที่ไม่ได้ขีดฆ่าในทั้งสองนิพจน์ กล่าวคือ ปัจจัยที่ไม่เหมือนกันในตัวเลขทั้งสอง

      • ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ 20 = 2 × 2 × 5 (\รูปแบบการแสดงผล 20=2\คูณ 2\คูณ 5)สอง (2) ทั้งสองถูกขีดฆ่าเนื่องจากเป็นปัจจัยร่วม ไม่มีการขีดฆ่าตัวประกอบ 5 ดังนั้นเขียนการดำเนินการคูณดังนี้: 2 × 2 × 5 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 2\คูณ 5)
      • ในการแสดงออก 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\รูปแบบการแสดงผล 84=2\คูณ 7\คูณ 3\คูณ 2)ทั้งสอง (2) ก็ถูกขีดฆ่าเช่นกัน ไม่มีการขีดฆ่าตัวประกอบ 7 และ 3 ดังนั้นให้เขียนการดำเนินการคูณดังนี้: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 2\คูณ 5\คูณ 7\คูณ 3).

   6. คำนวณตัวคูณร่วมน้อย.เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขในการดำเนินการคูณที่เป็นลายลักษณ์อักษร

      • ตัวอย่างเช่น, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 2\คูณ 5\คูณ 7\คูณ 3=420)- ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของ 20 กับ 84 คือ 420

      การหาปัจจัยร่วมกัน

      1. วาดตารางเหมือนกับเกมโอเอกซ์ตารางดังกล่าวประกอบด้วยเส้นคู่ขนานสองเส้นที่ตัดกัน (ที่มุมฉาก) กับเส้นคู่ขนานอีกสองเส้น นี่จะทำให้คุณมีสามแถวและสามคอลัมน์ (ตารางจะดูเหมือนไอคอน # มาก) เขียนตัวเลขแรกในบรรทัดแรกและคอลัมน์ที่สอง เขียนตัวเลขตัวที่สองในแถวแรกและคอลัมน์ที่สาม

         • เช่น หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 18 และ 30 เขียนเลข 18 ในแถวแรกและคอลัมน์ที่สอง และเขียนเลข 30 ในแถวแรกและคอลัมน์ที่สาม

      2. หาตัวหารร่วมของตัวเลขทั้งสอง.เขียนลงในแถวแรกและคอลัมน์แรก เป็นการดีกว่าที่จะมองหาปัจจัยสำคัญ แต่นี่ไม่ใช่ข้อกำหนด

         • ตัวอย่างเช่น 18 และ 30 เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นตัวประกอบร่วมคือ 2 ดังนั้นให้เขียน 2 ในแถวแรกและคอลัมน์แรก

      3. หารแต่ละตัวเลขด้วยตัวหารตัวแรกเขียนผลหารแต่ละส่วนไว้ใต้จำนวนที่เหมาะสม ผลหารเป็นผลจากการหารตัวเลขสองตัว

         • ตัวอย่างเช่น, 18 ۞ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)ดังนั้นเขียน 9 ต่ำกว่า 18
         • 30 ۞ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)ดังนั้นเขียน 15 ลงไปต่ำกว่า 30

      4. หาตัวหารร่วมของผลหารทั้งสอง.หากไม่มีตัวหารดังกล่าว ให้ข้ามสองขั้นตอนถัดไป หรือเขียนตัวหารในแถวที่สองและคอลัมน์แรก

         • เช่น 9 และ 15 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นให้เขียน 3 ในแถวที่สองและคอลัมน์แรก

      5. หารแต่ละผลหารด้วยตัวหารที่สอง.เขียนผลการหารแต่ละผลภายใต้ผลหารที่สอดคล้องกัน

         • ตัวอย่างเช่น, 9 ۞ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)ดังนั้นเขียน 3 ใต้ 9.
         • 15 ۞ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)ดังนั้นเขียน 5 ต่ำกว่า 15

      6. หากจำเป็น ให้เพิ่มเซลล์เพิ่มเติมลงในตารางทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้จนกว่าผลหารจะมีตัวหารร่วม

      7. วงกลมตัวเลขในคอลัมน์แรกและแถวสุดท้ายของตารางจากนั้นเขียนตัวเลขที่เลือกเป็นการคูณ

         • ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 2 และ 3 อยู่ในคอลัมน์แรก และตัวเลข 3 และ 5 อยู่ในแถวสุดท้าย ดังนั้นให้เขียนการดำเนินการคูณดังนี้: 2 × 3 × 3 × 5 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 3\คูณ 3\คูณ 5).

      8. ค้นหาผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขวิธีนี้จะคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขที่กำหนดสองตัว

         • ตัวอย่างเช่น, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 3\คูณ 3\คูณ 5=90)- ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของ 18 กับ 30 คือ 90

      อัลกอริธึมของยุคลิด

      1. จำคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการแบ่งเงินปันผลคือจำนวนที่จะหาร ตัวหารคือตัวเลขที่ถูกหารด้วย ผลหารคือผลลัพธ์ของการหารตัวเลขสองตัว เศษคือจำนวนที่เหลือเมื่อหารตัวเลขสองตัว

         • ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ 15 ۞ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)เพลงประกอบละคร 3:
           15 คือเงินปันผล
           6 เป็นตัวหาร
           2 คือความฉลาดทาง
           3 คือส่วนที่เหลือ

ตัวหารร่วมมาก

คำจำกัดความ 2

หากจำนวนธรรมชาติ a หารด้วยจำนวนธรรมชาติ $b$ ลงตัว แล้ว $b$ จะเรียกว่าตัวหารของ $a$ และ $a$ จะเรียกว่าผลคูณของ $b$

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวน $c$ เรียกว่าตัวหารร่วมของทั้ง $a$ และ $b$

เซตของตัวหารร่วมของตัวเลข $a$ และ $b$ นั้นมีจำกัด เนื่องจากไม่มีตัวหารใดมากกว่า $a$ ได้ ซึ่งหมายความว่าในบรรดาตัวหารเหล่านี้ จะมีตัวหารที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งเรียกว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลข $a$ และ $b$ และเขียนแทนด้วยสัญกรณ์ต่อไปนี้:

$GCD\(a;b)\ หรือ \D\(a;b)$

หากต้องการหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัวที่คุณต้องการ:

1. หาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหา gcd ของตัวเลข $121$ และ $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

เลือกตัวเลขที่รวมอยู่ในส่วนขยายของตัวเลขเหล่านี้

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

หาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$GCD=2\cdot 11=22$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา gcd ของ monomials $63$ และ $81$

เราจะพบตามอัลกอริธึมที่นำเสนอ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้:

ลองแยกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

เราเลือกตัวเลขที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขเหล่านี้

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ลองหาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 กัน จำนวนที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$GCD=3\cdot 3=9$

คุณสามารถค้นหา gcd ของตัวเลขสองตัวได้ด้วยวิธีอื่น โดยใช้ชุดตัวหารของตัวเลข

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหา gcd ของตัวเลข $48$ และ $60$

สารละลาย:

ลองหาเซตตัวหารของตัวเลข $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ทีนี้ ลองหาเซตตัวหารของจำนวน $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ลองหาจุดตัดของชุดเหล่านี้: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ชุดนี้จะกำหนดชุดของตัวหารร่วมของตัวเลข $48$ และ $60 $. องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในชุดนี้จะเป็นตัวเลข $12$ ซึ่งหมายความว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลข $48$ และ $60$ คือ $12$

คำจำกัดความของ NPL

คำจำกัดความ 3

ผลคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติ$a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่เป็นผลคูณของทั้ง $a$ และ $b$

ผลคูณร่วมของตัวเลขคือตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขเดิมโดยไม่มีเศษ ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข $25$ และ $50$ ตัวคูณร่วมจะเป็นตัวเลข $50,100,150,200$ เป็นต้น

ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดจะเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อย และจะแสดงแทน LCM$(a;b)$ หรือ K$(a;b).$

หากต้องการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัว คุณต้อง:

1. แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
2. เขียนตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนแรกและเพิ่มตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนที่สองและไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนแรกลงไป

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหา LCM ของตัวเลข $99$ และ $77$

เราจะพบตามอัลกอริธึมที่นำเสนอ สำหรับสิ่งนี้

แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

$99=3\cdot 3\cdot 11$

เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในข้อแรก

เพิ่มตัวคูณที่เป็นส่วนหนึ่งของวินาทีและไม่ใช่ส่วนหนึ่งของตัวแรก

หาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการ

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

การรวบรวมรายการตัวหารของตัวเลขมักเป็นงานที่ต้องใช้แรงงานมาก มีวิธีค้นหา GCD ที่เรียกว่าอัลกอริทึมแบบยุคลิด

ข้อความที่ใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด:

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ และ $a\vdots b$ แล้ว $D(a;b)=b$

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น $b

เมื่อใช้ $D(a;b)= D(a-b;b)$ เราจะสามารถลดจำนวนที่กำลังพิจารณาได้อย่างต่อเนื่องจนกว่าจะถึงคู่ของตัวเลข โดยที่หนึ่งในนั้นหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัว จากนั้นตัวเลขที่น้อยกว่านี้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่สุดเท่าที่ต้องการสำหรับตัวเลข $a$ และ $b$

คุณสมบัติของ GCD และ LCM

1. ตัวคูณร่วมของ $a$ และ $b$ หารด้วย K$(a;b)$ ลงตัว
2. ถ้า $a\vdots b$ ดังนั้น К$(a;b)=a$

ถ้า K$(a;b)=k$ และ $m$ เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น K$(am;bm)=km$

ถ้า $d$ เป็นตัวหารร่วมของ $a$ และ $b$ แล้ว K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

ถ้า $a\vdots c$ และ $b\vdots c$ แล้ว $\frac(ab)(c)$ จะเป็นผลคูณร่วมของ $a$ และ $b$

สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ $a$ และ $b$ จะถือว่ามีความเท่าเทียมกัน

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

ตัวหารร่วมของตัวเลข $a$ และ $b$ คือตัวหารของ $D(a;b)$

เนื้อหาที่นำเสนอด้านล่างเป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของทฤษฎีจากบทความชื่อ LCM - ตัวคูณร่วมน้อยที่สุด คำจำกัดความ ตัวอย่าง การเชื่อมโยงระหว่าง LCM และ GCD ที่นี่เราจะพูดถึง การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM)และเราจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับการแก้ไขตัวอย่าง ขั้นแรก เราจะแสดงวิธีคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวโดยใช้ GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ต่อไป เราจะมาดูการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ หลังจากนี้ เราจะมุ่งเน้นไปที่การค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป และให้ความสนใจกับการคำนวณ LCM ของจำนวนลบด้วย

การนำทางหน้า

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน GCD

วิธีหนึ่งในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยจะขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD การเชื่อมต่อที่มีอยู่ระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้เราสามารถคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัวผ่านตัวหารร่วมมากที่สุดเท่าที่ทราบ สูตรที่สอดคล้องกันคือ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) - ลองดูตัวอย่างการค้นหา LCM โดยใช้สูตรที่กำหนด

ตัวอย่าง.

ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 126 และ 70 สองตัว

สารละลาย.

ในตัวอย่างนี้ a=126 , b=70 ให้เราใช้การเชื่อมต่อระหว่าง LCM และ GCD ซึ่งแสดงโดยสูตร LCM(a, b)=a b:GCD(a, b)- นั่นคือ ก่อนอื่นเราต้องหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 70 และ 126 ก่อน จากนั้นจึงคำนวณ LCM ของตัวเลขเหล่านี้โดยใช้สูตรที่เขียนไว้

ลองหา GCD(126, 70) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4 ดังนั้น GCD(126, 70)=14

ตอนนี้เราพบตัวคูณร่วมน้อยที่จำเป็นแล้ว: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

คำตอบ:

ล.ซม.(126, 70)=630

ตัวอย่าง.

LCM(68, 34) เท่ากับเท่าไร?

สารละลาย.

เพราะ 68 หารด้วย 34 ลงตัว แล้ว GCD(68, 34)=34 ตอนนี้เราคำนวณตัวคูณร่วมน้อย: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

คำตอบ:

ล.ซม.(68, 34)=68 .

โปรดทราบว่าตัวอย่างก่อนหน้านี้ตรงกับกฎต่อไปนี้ในการค้นหา LCM สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้าจำนวน a หารด้วย b ลงตัวแล้วตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้ก็คือ a

การค้นหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

อีกวิธีหนึ่งในการค้นหาตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดก็คือการนำจำนวนแยกตัวประกอบไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ หากคุณเขียนผลคูณจากตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด แล้วแยกปัจจัยเฉพาะทั่วไปทั้งหมดที่มีอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขที่กำหนดออกจากผลิตภัณฑ์นี้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนที่กำหนด .

กฎที่ระบุไว้ในการค้นหา LCM เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน LCM(a, b)=a b:GCD(a, b)- อันที่จริงผลคูณของตัวเลข a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลข a และ b ในทางกลับกัน GCD(a, b) เท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่ในส่วนขยายของตัวเลข a และ b (ดังที่อธิบายไว้ในส่วนการค้นหา GCD โดยใช้การขยายตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ)

ลองยกตัวอย่าง แจ้งให้เราทราบว่า 75=3·5·5 และ 210=2·3·5·7 ลองเขียนผลคูณจากปัจจัยทั้งหมดของการขยายเหล่านี้: 2·3·3·5·5·5·7 ตอนนี้จากผลิตภัณฑ์นี้ เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่ในทั้งการขยายตัวของจำนวน 75 และการขยายตัวของจำนวน 210 (ปัจจัยดังกล่าวคือ 3 และ 5) จากนั้นผลิตภัณฑ์จะอยู่ในรูปแบบ 2·3·5·5·7 . ค่าของผลคูณนี้เท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของ 75 และ 210 นั่นคือ นอร์ค(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

ตัวอย่าง.

แยกตัวประกอบตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้วหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้

สารละลาย.

ลองแยกตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

เราได้ 441=3·3·7·7 และ 700=2·2·5·5·7

ตอนนี้เรามาสร้างผลิตภัณฑ์จากปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขเหล่านี้: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 ให้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่ปรากฏพร้อมกันในการขยายทั้งสองออกจากผลิตภัณฑ์นี้ (มีเพียงปัจจัยเดียวเท่านั้น - นี่คือหมายเลข 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 ดังนั้น, ล.ซม.(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

คำตอบ:

NOC(441, 700)= 44 100

กฎในการค้นหา LCM โดยใช้การแยกตัวประกอบของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะสามารถกำหนดสูตรให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย ถ้าปัจจัยที่หายไปจากการขยายจำนวน b ถูกบวกเข้ากับปัจจัยจากการขยายตัวของจำนวน a แล้วค่าของผลิตภัณฑ์ที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข a และ b.

ตัวอย่างเช่น ลองใช้ตัวเลข 75 และ 210 ที่เท่ากัน โดยการสลายตัวของพวกมันเป็นตัวประกอบเฉพาะมีดังนี้ 75=3·5·5 และ 210=2·3·5·7 สำหรับปัจจัย 3, 5 และ 5 จากการขยายตัวของตัวเลข 75 เราได้บวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 7 จากการขยายตัวของตัวเลข 210 เราได้ผลลัพธ์ 2·3·5·5·7 ซึ่งมีค่าเท่ากับ เท่ากับ LCM(75, 210)

ตัวอย่าง.

ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648

สารละลาย.

ก่อนอื่นเราได้รับการสลายตัวของตัวเลข 84 และ 648 ให้เป็นปัจจัยเฉพาะ พวกมันดูเหมือน 84=2·2·3·7 และ 648=2·2·2·3·3·3·3 สำหรับปัจจัย 2, 2, 3 และ 7 จากการขยายหมายเลข 84 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2, 3, 3 และ 3 จากการขยายหมายเลข 648 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 3 3 3 3 7 ซึ่งเท่ากับ 4 536 . ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการของ 84 และ 648 คือ 4,536

คำตอบ:

ลซม.(84, 648)=4,536 .

การค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปสามารถหาได้โดยการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ ขอให้เรานึกถึงทฤษฎีบทที่สอดคล้องกัน ซึ่งให้วิธีการหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

ทฤษฎีบท.

ให้เลขจำนวนเต็มบวก a 1 , a 2 , …, a k หาได้ โดยการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้โดยใช้ตัวอย่างการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่จำนวน

ตัวอย่าง.

ค้นหา LCM ของตัวเลขสี่ตัว 140, 9, 54 และ 250

สารละลาย.

ในตัวอย่างนี้ 1 =140, 2 =9, 3 =54, 4 =250

ก่อนอื่นเราจะพบ ม. 2 = LOC(ก 1 , ก 2) = LOC(140, 9)- ในการทำสิ่งนี้ โดยใช้อัลกอริธึมแบบยุคลิด เราจะหา GCD(140, 9) ได้ 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, ดังนั้น GCD(140, 9)=1 จากที่ไหน GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. นั่นคือ ม. 2 =1 260.

ตอนนี้เราพบว่า ม. 3 = LOC (ม. 2 , 3) ​​= LOC (1 260, 54)- ลองคำนวณมันโดยใช้ GCD(1 260, 54) ซึ่งเรายังกำหนดโดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 1 260=54·23+18, 54=18·3 จากนั้น gcd(1,260, 54)=18 โดยที่ gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780 นั่นคือ ม. 3 =3 780

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการค้นหา ม. 4 = LOC(ม. 3, a 4) = LOC(3 780, 250)- ในการทำเช่นนี้ เราค้นหา GCD(3,780, 250) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3 ดังนั้น GCM(3,780, 250)=10 โดยที่ GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. นั่นคือ ม. 4 =94,500.

ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัวเดิมคือ 94,500

คำตอบ:

ล.ซม.(140, 9, 54, 250)=94,500.

ในหลายกรณี จะสะดวกที่จะหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่กำหนด ในกรณีนี้คุณควรปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายตัวจะเท่ากับผลคูณซึ่งประกอบด้วยดังนี้ ตัวประกอบที่หายไปจากการขยายของตัวเลขตัวที่สองจะถูกบวกเข้ากับตัวประกอบทั้งหมดจากการขยายตัวของตัวเลขตัวแรก ตัวประกอบที่หายไปจากการขยายตัวของ ตัวเลขที่สามจะถูกบวกเข้ากับตัวประกอบผลลัพธ์ เป็นต้น

ลองดูตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ

ตัวอย่าง.

ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขทั้งห้าตัว 84, 6, 48, 7, 143

สารละลาย.

อันดับแรก เราจะได้การสลายตัวของจำนวนเหล่านี้ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 เป็นจำนวนเฉพาะ มันเกิดขึ้นพร้อมกัน โดยมีการสลายตัวเป็นปัจจัยเฉพาะ) และ 143=11·13

ในการค้นหา LCM ของตัวเลขเหล่านี้จนถึงตัวประกอบของเลข 84 ตัวแรก (คือ 2, 2, 3 และ 7) คุณต้องบวกปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายเลขตัวที่สอง 6 การสลายตัวของเลข 6 ไม่มีปัจจัยที่ขาดหายไป เนื่องจากทั้ง 2 และ 3 มีอยู่แล้วในการสลายตัวของเลข 84 ตัวแรก ต่อไปสำหรับปัจจัย 2, 2, 3 และ 7 เราบวกปัจจัยที่หายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของหมายเลขที่สาม 48 เราจะได้ชุดของปัจจัย 2, 2, 2, 2, 3 และ 7 ไม่จำเป็นต้องเพิ่มตัวคูณให้กับชุดนี้ในขั้นตอนถัดไป เนื่องจากมี 7 อยู่แล้ว ในที่สุด สำหรับปัจจัย 2, 2, 2, 2, 3 และ 7 เราได้บวกปัจจัยที่หายไป 11 และ 13 จากการขยายตัวของจำนวน 143 เราได้ผลลัพธ์ 2·2·2·2·3·7·11·13 ซึ่งเท่ากับ 48,048

มาเริ่มศึกษาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไปกันดีกว่า ในส่วนนี้ เราจะนิยามคำศัพท์ พิจารณาทฤษฎีบทที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวคูณร่วมน้อยและตัวหารร่วมมาก และยกตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวคูณร่วม – คำจำกัดความ ตัวอย่าง

ในหัวข้อนี้ เราจะสนใจเฉพาะตัวคูณร่วมของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์

คำจำกัดความ 1

ผลคูณร่วมของจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนที่กำหนดทั้งหมด อันที่จริง มันคือจำนวนเต็มใดๆ ที่สามารถหารด้วยตัวเลขที่กำหนดใดๆ ได้

คำจำกัดความของตัวคูณร่วมหมายถึงจำนวนเต็มสอง สามหรือมากกว่า

ตัวอย่างที่ 1

ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้น ตัวคูณร่วมของเลข 12 คือ 3 และ 2 นอกจากนี้ เลข 12 จะเป็นตัวคูณร่วมของตัวเลข 2, 3 และ 4 ตัวเลข 12 และ -12 เป็นจำนวนทวีคูณร่วมของตัวเลข ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

ในเวลาเดียวกัน ตัวคูณร่วมของตัวเลข 2 และ 3 จะเป็นตัวเลข 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 และชุดอื่นๆ ทั้งหมด

ถ้าเราเอาตัวเลขที่หารด้วยจำนวนแรกของคู่และหารด้วยจำนวนที่สองไม่ลงตัว ตัวเลขนั้นก็จะไม่เป็นจำนวนทวีคูณร่วม ดังนั้น สำหรับหมายเลข 2 และ 3 ตัวเลข 16, − 27, 5009, 27001 จะไม่ใช่ตัวคูณร่วม

0 คือผลคูณร่วมของชุดจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

หากเรานึกถึงคุณสมบัติของการหารลงตัวด้วยจำนวนตรงข้าม ปรากฎว่าจำนวนเต็ม k บางตัวจะเป็นตัวคูณร่วมของจำนวนเหล่านี้ เช่นเดียวกับตัวเลข - k ซึ่งหมายความว่าตัวหารร่วมสามารถเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ

เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหา LCM สำหรับตัวเลขทั้งหมด

ตัวคูณร่วมสามารถหาได้จากจำนวนเต็มใดๆ

ตัวอย่างที่ 2

สมมุติว่าเราได้รับ เคจำนวนเต็ม ก 1 , 2 , … , หรือเค- จำนวนที่เราได้รับเมื่อคูณตัวเลข ก 1 · 2 · … · หรือ เคตามคุณสมบัติการหารลงตัวจะแบ่งออกเป็นแต่ละปัจจัยที่รวมอยู่ในผลคูณเดิม ซึ่งหมายความว่าผลคูณของตัวเลข ก 1 , 2 , … , หรือเคคือตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้

จำนวนเต็มเหล่านี้สามารถมีตัวคูณร่วมได้กี่ตัว?

กลุ่มของจำนวนเต็มสามารถมีจำนวนตัวคูณร่วมได้มาก ในความเป็นจริงจำนวนของพวกเขานั้นไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างที่ 3

สมมติว่าเรามีเลข k จากนั้นผลคูณของตัวเลข k · z โดยที่ z เป็นจำนวนเต็ม จะเป็นผลคูณร่วมของตัวเลข k และ z เนื่องจากจำนวนตัวเลขนั้นไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนตัวคูณร่วมจึงไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) - คำจำกัดความ สัญกรณ์ และตัวอย่าง

นึกถึงแนวคิดเรื่องจำนวนที่น้อยที่สุดจากชุดตัวเลขที่กำหนด ซึ่งเราได้พูดคุยไปแล้วในหัวข้อ “การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม” เมื่อนำแนวคิดนี้มาพิจารณา เราจึงกำหนดคำจำกัดความของตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด ซึ่งมีความสำคัญในทางปฏิบัติมากที่สุดในบรรดาตัวคูณร่วมทั้งหมด

คำจำกัดความ 2

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มที่กำหนดคือตัวคูณร่วมบวกที่น้อยที่สุดของจำนวนเหล่านี้

มีจำนวนตัวคูณร่วมน้อยสำหรับจำนวนใดๆ ที่กำหนด ตัวย่อที่ใช้บ่อยที่สุดสำหรับแนวคิดในเอกสารอ้างอิงคือ NOC สัญกรณ์สั้นสำหรับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ก 1 , 2 , … , หรือเคจะมีแบบฟอร์ม LOC (ก 1 , ก 2 , … , ก).

ตัวอย่างที่ 4

ตัวคูณร่วมน้อยของ 6 และ 7 คือ 42 เหล่านั้น. ล.ซม.(6, 7) = 42. ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 4 ตัว 2, 12, 15 และ 3 คือ 60 สัญกรณ์สั้นๆ จะมีลักษณะดังนี้ LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60

ตัวคูณร่วมน้อยไม่ชัดเจนสำหรับทุกกลุ่มของจำนวนที่กำหนด มักจะต้องคำนวณ

ความสัมพันธ์ระหว่าง NOC และ GCD

ตัวคูณร่วมน้อยและตัวหารร่วมมากมีความสัมพันธ์กัน ความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดต่างๆ ถูกกำหนดโดยทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 1

ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของ a และ b หารด้วยตัวหารร่วมมากของ a และ b นั่นคือ LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) ).

หลักฐานที่ 1

สมมติว่าเรามีเลข M ซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลข a และ b หากเลข M หารด้วย a ลงตัว ก็จะมีจำนวนเต็ม z เช่นกัน , ภายใต้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ม = ก- ตามคำจำกัดความของการหารลงตัว ถ้า M หารด้วย ข, แล้ว ก · เคหารด้วย ข.

หากเราแนะนำสัญกรณ์ใหม่สำหรับ gcd (a, b) เช่น งแล้วเราก็ใช้ความเท่าเทียมกันได้ ก = ก 1 วันและ b = b 1 · d ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันทั้งสองจะเป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก

เราได้กำหนดไว้ข้างต้นแล้ว ก · เคหารด้วย ข- ตอนนี้เงื่อนไขนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:
1 ดีเคหารด้วย ข 1 วันซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไข ก 1 กหารด้วย ข 1ตามคุณสมบัติการหารลงตัว

ตามคุณสมบัติของเลขโคไพรม์ ถ้า 1และ ข 1– หมายเลขโคไพรม์ 1หารด้วยไม่ได้ ข 1แม้ว่าข้อเท็จจริงนั้นก็ตาม ก 1 กหารด้วย ข 1, ที่ ข 1จะต้องมีการแบ่งปัน เค.

ในกรณีนี้ก็สมควรที่จะถือว่ามีตัวเลข ทีเพื่อที่ k = ข 1 เสื้อและตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ข 1 = ข: ง, ที่ k = b: d ต.

ตอนนี้แทน เคมาแทนที่กันด้วยความเท่าเทียมกัน ม = กการแสดงออกของแบบฟอร์ม ข: ง- สิ่งนี้ทำให้เราบรรลุความเท่าเทียมกัน M = ข: d เสื้อ- ที่ เสื้อ = 1เราจะได้ตัวคูณร่วมบวกน้อยที่สุดของ a กับ b , เท่ากัน ข: งโดยมีเงื่อนไขว่าตัวเลข a และ b เชิงบวก.

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่า LCM (a, b) = a · b: GCD (ก ข).

การสร้างการเชื่อมโยงระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้คุณค้นหาตัวคูณร่วมน้อยผ่านตัวหารร่วมมากของตัวเลขที่กำหนดตั้งแต่สองตัวขึ้นไป

คำจำกัดความ 3

ทฤษฎีบทนี้มีผลกระทบที่สำคัญสองประการ:

• ผลคูณของตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวจะเหมือนกับผลคูณร่วมของตัวเลขสองตัวนั้น
• ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนบวกที่เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน a และ b เท่ากับผลคูณของมัน

การยืนยันข้อเท็จจริงทั้งสองนี้ไม่ใช่เรื่องยาก ผลคูณร่วมใดๆ ของ M ของตัวเลข a และ b ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน M = LCM (a, b) · t สำหรับค่าจำนวนเต็ม t เนื่องจาก a และ b ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น gcd (a, b) = 1 ดังนั้น gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายๆ ตัว จำเป็นต้องค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ

ทฤษฎีบท 2

สมมุติว่า ก 1 , 2 , … , หรือเคเป็นจำนวนเต็มบวก เพื่อคำนวณ LCM ม.เคเราต้องคำนวณตัวเลขเหล่านี้ตามลำดับ ม. 2 = ค.ศ(ก 1 , ก 2) , ม. 3 = NOC(ม 2 , ก 3) , … , ม k = NOC(มเค - 1 , ก) .

หลักฐานที่ 2

ข้อพิสูจน์แรกจากทฤษฎีบทแรกที่กล่าวถึงในหัวข้อนี้จะช่วยให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของทฤษฎีบทที่สอง การให้เหตุผลจะขึ้นอยู่กับอัลกอริทึมต่อไปนี้:

• ผลคูณร่วมของตัวเลข 1และ 2ตรงกับจำนวนทวีคูณของ LCM จริงๆ แล้วพวกมันตรงกับจำนวนทวีคูณ ม. 2;
• ผลคูณร่วมของตัวเลข 1, 2และ 3 ม. 2และ 3 ม.3;
• ผลคูณร่วมของตัวเลข ก 1 , 2 , … , หรือเคตรงกับตัวคูณร่วมของตัวเลข มเค - 1และ เคจึงตรงกับจำนวนทวีคูณ ม.เค;
• เนื่องจากตัวคูณบวกที่น้อยที่สุดของจำนวน ม.เคคือตัวเลขนั่นเอง ม.เคแล้วตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ก 1 , 2 , … , หรือเคเป็น ม.เค.

นี่คือวิธีที่เราพิสูจน์ทฤษฎีบท

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter