เฉลี่ยในวิชาคณิตศาสตร์ ค่าเลขคณิตตัวเลข (หรือเพียงค่าเฉลี่ย) คือผลรวมของตัวเลขทั้งหมด ชุดนี้หารด้วยจำนวนของพวกเขา นี่เป็นแนวคิดทั่วไปและแพร่หลายที่สุด ขนาดเฉลี่ย- ดังที่คุณเข้าใจแล้ว ในการค้นหาคุณต้องสรุปตัวเลขทั้งหมดที่ให้ไว้ และหารผลลัพธ์ผลลัพธ์ด้วยจำนวนเทอม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคืออะไร?

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1- ตัวเลขที่กำหนด: 6, 7, 11 คุณต้องค้นหาค่าเฉลี่ยของพวกเขา

สารละลาย.

ก่อนอื่น มาหาผลรวมของตัวเลขเหล่านี้กันก่อน

ตอนนี้หารผลรวมผลลัพธ์ด้วยจำนวนเทอม เนื่องจากเรามีเทอมสามเทอม เราก็เลยหารด้วยสามเทอม

ดังนั้นค่าเฉลี่ยของตัวเลข 6, 7 และ 11 คือ 8 ทำไมต้องเป็น 8? ใช่ เพราะผลรวมของ 6, 7 และ 11 จะเท่ากับสามแปด ดังจะเห็นได้ชัดเจนในภาพประกอบ

ค่าเฉลี่ยก็เหมือนกับ "ช่วงเย็น" ของชุดตัวเลข อย่างที่คุณเห็นกองดินสอก็อยู่ในระดับเดียวกัน

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งเพื่อรวบรวมความรู้ที่ได้รับ

ตัวอย่างที่ 2ตัวเลขที่กำหนด: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 คุณต้องค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกมัน

สารละลาย.

ค้นหาจำนวนเงิน

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

หารด้วยจำนวนเทอม (ในกรณีนี้ - 15)

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลขนี้คือ 22

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน ตัวเลขติดลบ- จำไว้ว่าจะสรุปอย่างไร ตัวอย่างเช่น คุณมีตัวเลข 1 และ -4 สองตัว มาหาผลรวมของพวกเขากันดีกว่า

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

เมื่อรู้อย่างนี้แล้วเรามาดูตัวอย่างอื่นกัน

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลข: 3, -7, 5, 13, -2

สารละลาย.

หาผลรวมของตัวเลข

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

เนื่องจากมี 5 เทอม ให้หารผลรวมผลลัพธ์ด้วย 5

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข 3, -7, 5, 13, -2 คือ 2.4

ในยุคที่ความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีของเรา การใช้หาค่าเฉลี่ยจะสะดวกกว่ามาก โปรแกรมคอมพิวเตอร์. ไมโครซอฟต์ ออฟฟิศ Excel เป็นหนึ่งในนั้น การค้นหาค่าเฉลี่ยใน Excel ทำได้ง่ายและรวดเร็ว นอกจากนี้โปรแกรมนี้ยังรวมอยู่ในแพ็คเกจซอฟต์แวร์ Microsoft Office ลองพิจารณาดู คำแนะนำสั้น ๆมูลค่าการใช้โปรแกรมนี้

ในการคำนวณค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลข คุณต้องใช้ฟังก์ชัน AVERAGE ไวยากรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้คือ:
= ค่าเฉลี่ย(argument1, argument2, ... argument255)
โดยที่ argument1, argument2, ... argument255 เป็นตัวเลขหรือการอ้างอิงเซลล์ (เซลล์อ้างถึงช่วงและอาร์เรย์)

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เรามาลองใช้ความรู้ที่เราได้รับกันดีกว่า

1. ป้อนตัวเลข 11, 12, 13, 14, 15, 16 ในเซลล์ C1 - C6
2. เลือกเซลล์ C7 โดยคลิกที่มัน ในเซลล์นี้เราจะแสดงค่าเฉลี่ย
3. คลิกที่แท็บสูตร
4. เลือกฟังก์ชันเพิ่มเติม > สถิติ เพื่อเปิด
5. เลือกค่าเฉลี่ย หลังจากนี้ กล่องโต้ตอบควรเปิดขึ้น
6. เลือกและลากเซลล์ C1-C6 ไปที่นั่นเพื่อกำหนดช่วงในกล่องโต้ตอบ
7. ยืนยันการกระทำของคุณด้วยปุ่ม "ตกลง"
8. หากคุณทำทุกอย่างถูกต้อง คุณควรมีคำตอบในเซลล์ C7 - 13.7 เมื่อคุณคลิกที่เซลล์ C7 ฟังก์ชัน (=Average(C1:C6)) จะปรากฏในแถบสูตร

คุณลักษณะนี้มีประโยชน์มากสำหรับการบัญชี ใบแจ้งหนี้ หรือเมื่อคุณต้องการค้นหาค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลขที่ยาวมาก ดังนั้นจึงมักใช้ในสำนักงานและบริษัทขนาดใหญ่ สิ่งนี้ช่วยให้คุณรักษาระเบียบในบันทึกของคุณและทำให้สามารถคำนวณบางสิ่งได้อย่างรวดเร็ว (เช่น รายได้เฉลี่ยต่อเดือน) ด้วย ใช้ Excelคุณสามารถค้นหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันได้

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวเลขใน Excel

หาค่าเฉลี่ย เลขคณิตใน Excel คุณสามารถใช้ฟังก์ชันนี้ได้

ค่าเฉลี่ยไวยากรณ์

=ค่าเฉลี่ย(หมายเลข 1,[หมายเลข 2],...) – เวอร์ชั่นรัสเซีย

อาร์กิวเมนต์เฉลี่ย

• หมายเลข 1– ตัวเลขแรกหรือช่วงของตัวเลขสำหรับคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต
• หมายเลข 2(ไม่บังคับ) – ตัวเลขตัวที่สองหรือช่วงของตัวเลขสำหรับคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ปริมาณสูงสุดอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน – 255

ในการคำนวณ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

• เลือกเซลล์ใดก็ได้
• เขียนสูตรลงไป =ค่าเฉลี่ย(
• เลือกช่วงของเซลล์ที่คุณต้องการคำนวณ
• กดปุ่ม "Enter" บนแป้นพิมพ์ของคุณ

ฟังก์ชันจะคำนวณค่าเฉลี่ยในช่วงที่ระบุระหว่างเซลล์ที่มีตัวเลข

วิธีค้นหาข้อความที่กำหนดโดยเฉลี่ย

หากมีบรรทัดว่างหรือข้อความในช่วงข้อมูล ฟังก์ชันจะถือว่าเป็น "ศูนย์" หากในบรรดาข้อมูลที่มีอยู่ การแสดงออกทางตรรกะ FALSE หรือ TRUE จากนั้นฟังก์ชันจะรับรู้ว่า FALSE เป็น "ศูนย์" และ TRUE เป็น "1"

วิธีหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตตามเงื่อนไข

หากต้องการคำนวณค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไขหรือเกณฑ์ ให้ใช้ฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ลองจินตนาการว่าเรามีข้อมูลเกี่ยวกับยอดขายผลิตภัณฑ์:

หน้าที่ของเราคือการคำนวณมูลค่าเฉลี่ยของการขายปากกา โดยเราจะทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

• ในเซลล์ A13เขียนชื่อผลิตภัณฑ์ "ปากกา";
• ในเซลล์ B13ขอแนะนำสูตร:

=ค่าเฉลี่ยIF(A2:A10,A13,B2:B10)

ช่วงเซลล์” A2:A10” หมายถึงรายการผลิตภัณฑ์ที่เราจะค้นหาคำว่า “ปากกา” การโต้แย้ง A13นี่คือลิงก์ไปยังเซลล์พร้อมข้อความที่เราจะค้นหาในรายการผลิตภัณฑ์ทั้งหมด ช่วงเซลล์ “ บี2:บี10” คือช่วงที่มีข้อมูลการขายผลิตภัณฑ์ โดยฟังก์ชันจะค้นหา “Handles” และคำนวณค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปที่แสดงถึงระดับทั่วไปของปรากฏการณ์ เป็นการแสดงมูลค่าของลักษณะเฉพาะต่อหน่วยของประชากร

ค่าเฉลี่ยคือ:

1) ค่าทั่วไปของคุณลักษณะสำหรับประชากร

2) ปริมาตรของคุณลักษณะประชากร โดยกระจายเท่าๆ กันในหน่วยประชากร

ลักษณะเฉพาะที่คำนวณค่าเฉลี่ยเรียกว่า "ค่าเฉลี่ย" ในสถิติ

ค่าเฉลี่ยจะสรุปความแปรผันเชิงปริมาณของคุณลักษณะเสมอ เช่น ได้รับการชำระคืนเป็นจำนวนเงินโดยเฉลี่ย ความแตกต่างส่วนบุคคลหน่วยประชากรเนื่องจากสถานการณ์สุ่ม แตกต่างจากค่าเฉลี่ย ค่าสัมบูรณ์ซึ่งแสดงลักษณะระดับคุณลักษณะของแต่ละหน่วยของประชากร ไม่อนุญาตให้เปรียบเทียบค่าของคุณลักษณะระหว่างหน่วยที่เป็นของประชากรที่แตกต่างกัน ดังนั้น หากคุณต้องการเปรียบเทียบระดับค่าตอบแทนของพนักงานในองค์กรสองแห่ง คุณจะไม่สามารถเปรียบเทียบพนักงานสองคนในองค์กรที่แตกต่างกันบนพื้นฐานนี้ได้ ค่าตอบแทนของพนักงานที่ได้รับการคัดเลือกเพื่อเปรียบเทียบอาจไม่เป็นเรื่องปกติสำหรับองค์กรเหล่านี้ หากเราเปรียบเทียบขนาดของกองทุนค่าจ้างในสถานประกอบการที่พิจารณา จำนวนพนักงานจะไม่ถูกนำมาพิจารณา ดังนั้นจึงไม่สามารถระบุได้ว่าระดับค่าจ้างจะสูงกว่าที่ใด ท้ายที่สุดแล้ว สามารถเปรียบเทียบได้เฉพาะตัวบ่งชี้เฉลี่ยเท่านั้น เช่น พนักงานหนึ่งคนมีรายได้โดยเฉลี่ยเท่าไรในแต่ละองค์กร? ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของประชากร

สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือในระหว่างกระบวนการหาค่าเฉลี่ย มูลค่ารวมของระดับคุณลักษณะหรือค่าสุดท้าย (ในกรณีของการคำนวณระดับเฉลี่ยในชุดไดนามิก) จะต้องไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยไม่ควรบิดเบือนปริมาตรของลักษณะที่กำลังศึกษาและสำนวนที่รวบรวมเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยจะต้องสมเหตุสมผล

การคำนวณค่าเฉลี่ยเป็นหนึ่งในเทคนิคทั่วไปทั่วไป เฉลี่ยปฏิเสธสิ่งที่เป็นเรื่องธรรมดา (ทั่วไป) สำหรับทุกหน่วยของประชากรที่กำลังศึกษา ขณะเดียวกันก็ไม่สนใจความแตกต่างของแต่ละหน่วย ในทุกปรากฏการณ์และการพัฒนาของมัน ย่อมมีการผสมผสานระหว่างโอกาสและความจำเป็น เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยตามกฎหมาย จำนวนมากอุบัติเหตุหักล้างกัน มีความสมดุล ดังนั้นคุณจึงสามารถสรุปจากลักษณะที่ไม่สำคัญของปรากฏการณ์ได้จาก ค่าเชิงปริมาณลงนามในแต่ละกรณีโดยเฉพาะ ความสามารถในการสรุปจากการสุ่มของแต่ละค่าความผันผวนอยู่ คุณค่าทางวิทยาศาสตร์ค่าเฉลี่ยเป็นลักษณะทั่วไปของประชากร

เพื่อให้ค่าเฉลี่ยสามารถเป็นตัวแทนได้อย่างแท้จริง จะต้องคำนวณโดยคำนึงถึงหลักการบางประการ

มาดูกันบ้างครับ หลักการทั่วไปการประยุกต์ใช้ค่าเฉลี่ย

1. ต้องกำหนดค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ

2. ต้องคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยจำนวนมากเพียงพอ

3. ต้องคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่มีหน่วยอยู่ในสภาพปกติและเป็นธรรมชาติ

4. ควรคำนวณค่าเฉลี่ยโดยคำนึงถึงเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้ที่กำลังศึกษาอยู่

5.2. ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

ให้เราพิจารณาประเภทของค่าเฉลี่ยคุณลักษณะของการคำนวณและพื้นที่การใช้งาน ค่าเฉลี่ยแบ่งออกเป็นสองคลาสใหญ่: ค่าเฉลี่ยกำลัง, ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง

ค่าเฉลี่ยกำลัง ได้แก่ ประเภทที่เป็นที่รู้จักและใช้บ่อยที่สุด เช่น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และค่าเฉลี่ยกำลังสอง

โหมดและค่ามัธยฐานถือเป็นค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง

เรามาเน้นที่ค่าเฉลี่ยพลังงานกัน ค่าเฉลี่ยพลังงาน อาจเป็นแบบธรรมดาหรือแบบถ่วงน้ำหนัก ขึ้นอยู่กับการนำเสนอข้อมูลต้นฉบับ ค่าเฉลี่ยง่ายๆคำนวณตามข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มและมีรูปแบบทั่วไปดังต่อไปนี้:

,

โดยที่ X i คือตัวแปร (ค่า) ของคุณลักษณะที่กำลังหาค่าเฉลี่ย

n – ตัวเลือกตัวเลข

ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคำนวณตามข้อมูลที่จัดกลุ่มและมีลักษณะทั่วไป

,

โดยที่ X i คือตัวแปร (ค่า) ของคุณลักษณะที่จะหาค่าเฉลี่ยหรือค่าตรงกลางของช่วงเวลาที่ตัวแปรถูกวัด

ม. – ดัชนีระดับเฉลี่ย;

f i คือความถี่ที่แสดงว่ามีเหตุการณ์เกิดขึ้นกี่ครั้ง ฉันมีค่าลักษณะเฉลี่ย

หากคุณคำนวณค่าเฉลี่ยทุกประเภทสำหรับข้อมูลเริ่มต้นเดียวกัน ค่าของมันจะแตกต่างออกไป กฎของค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่จะใช้ที่นี่: เมื่อเลขชี้กำลัง m เพิ่มขึ้น ค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน:

ในทางปฏิบัติทางสถิติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิกถูกใช้บ่อยกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักประเภทอื่นๆ

ประเภทของอำนาจหมายถึง

ชนิดของพลัง เฉลี่ย	ตัวบ่งชี้ องศา (ม.)	สูตรการคำนวณ
		เรียบง่าย	ถ่วงน้ำหนัก
ฮาร์มอนิก
เรขาคณิต
เลขคณิต
สมการกำลังสอง
คิวบิก

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกมีโครงสร้างที่ซับซ้อนมากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกใช้สำหรับการคำนวณเมื่อไม่ใช่หน่วยของประชากร - พาหะของลักษณะ - ถูกใช้เป็นน้ำหนัก แต่ใช้ผลคูณของหน่วยเหล่านี้ตามค่าของคุณลักษณะ (เช่น m = Xf) ควรใช้ฮาร์มอนิกธรรมดาโดยเฉลี่ยในกรณีของการกำหนดเช่นต้นทุนแรงงานโดยเฉลี่ยเวลาวัสดุต่อหน่วยการผลิตต่อหนึ่งส่วนสำหรับสอง (สาม, สี่ ฯลฯ ) องค์กรคนงานที่มีส่วนร่วมในการผลิต ของผลิตภัณฑ์ชนิดเดียวกัน, ชิ้นส่วนเดียวกัน, สินค้า.

ข้อกำหนดหลักสำหรับสูตรในการคำนวณค่าเฉลี่ยคือทุกขั้นตอนของการคำนวณมีเหตุผลที่มีความหมายอย่างแท้จริง ค่าเฉลี่ยผลลัพธ์ควรแทนที่ ค่าส่วนบุคคลลักษณะเฉพาะสำหรับแต่ละวัตถุโดยไม่รบกวนการเชื่อมต่อระหว่างตัวบ่งชี้แต่ละรายการและตัวบ่งชี้สรุป กล่าวอีกนัยหนึ่ง ต้องคำนวณค่าเฉลี่ยเพื่อที่ว่าเมื่อแต่ละค่าของตัวบ่งชี้เฉลี่ยถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ย ตัวบ่งชี้สรุปสุดท้ายบางส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง หัวข้อที่เกี่ยวข้องหรือในทางอื่นที่มีค่าเฉลี่ย รวมนี้เรียกว่า การกำหนดเนื่องจากลักษณะของความสัมพันธ์กับค่าแต่ละค่าจะกำหนดสูตรเฉพาะสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ย ให้เราสาธิตกฎนี้โดยใช้ตัวอย่างของค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

สูตรค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

ใช้บ่อยที่สุดเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยตามไดนามิกสัมพันธ์ของแต่ละบุคคล

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะใช้หากได้รับลำดับของไดนามิกสัมพัทธ์ของลูกโซ่ ซึ่งบ่งชี้ เช่น ปริมาณการผลิตที่เพิ่มขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับระดับ ปีที่แล้ว: ฉัน 1, ฉัน 2, ฉัน 3,…, ฉัน จะเห็นได้ว่าปริมาณการผลิตใน ปีที่แล้วถูกกำหนดโดยระดับเริ่มต้น (q 0) และการเพิ่มขึ้นในภายหลังในช่วงหลายปีที่ผ่านมา:

q n =q 0 × ผม 1 × ผม 2 ×…×ผม n

การใช้ q n เป็นตัวบ่งชี้การกำหนดและแทนที่ค่าแต่ละค่าของตัวบ่งชี้ไดนามิกด้วยค่าเฉลี่ยเรามาถึงความสัมพันธ์

จากที่นี่

ในการศึกษาจะใช้ค่าเฉลี่ยประเภทพิเศษ - ค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง โครงสร้างภายในชุดการกระจายค่าคุณลักษณะตลอดจนการประมาณค่าเฉลี่ย (ประเภทกำลัง) หากไม่สามารถคำนวณตามข้อมูลทางสถิติที่มีอยู่ได้ (เช่นหากในตัวอย่างนี้ถือว่าไม่มีข้อมูลทั้งปริมาณ ของการผลิตและปริมาณต้นทุนสำหรับกลุ่มวิสาหกิจ)

ตัวชี้วัดมักใช้เป็นค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง แฟชั่น -ค่าที่ซ้ำกันบ่อยที่สุดของแอตทริบิวต์ – และ ค่ามัธยฐาน –ค่าของคุณลักษณะที่แบ่งลำดับการเรียงลำดับของค่าออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน เป็นผลให้ครึ่งหนึ่งของหน่วยในประชากรค่าของคุณลักษณะไม่เกินระดับมัธยฐาน และอีกครึ่งหนึ่งก็ไม่น้อยกว่าค่านั้น

หากลักษณะที่กำลังศึกษาอยู่มี ค่าที่ไม่ต่อเนื่องดังนั้นจึงไม่มีปัญหาใดเป็นพิเศษในการคำนวณโหมดและค่ามัธยฐาน หากข้อมูลเกี่ยวกับค่าของคุณลักษณะ X แสดงในรูปแบบของช่วงเวลาที่เรียงลำดับของการเปลี่ยนแปลง (ชุดช่วง) การคำนวณโหมดและค่ามัธยฐานจะค่อนข้างซับซ้อนมากขึ้น เพราะ ค่ามัธยฐานแบ่งประชากรทั้งหมดออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันโดยสิ้นสุดในช่วงเวลาหนึ่งของลักษณะ X เมื่อใช้การแก้ไขค่ามัธยฐานจะพบในช่วงค่ามัธยฐานนี้:

,

โดยที่ X Me คือขีดจำกัดล่างของช่วงค่ามัธยฐาน

ฉัน – คุณค่าของมัน;

(ผลรวม m)/2 – ครึ่งหนึ่งของจำนวนการสังเกตทั้งหมดหรือครึ่งหนึ่งของปริมาตรของตัวบ่งชี้ที่ใช้เป็นการถ่วงน้ำหนักในสูตรสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ย (ในแง่สัมบูรณ์หรือเชิงสัมพันธ์)

S Me-1 – ผลรวมของการสังเกต (หรือปริมาตรของคุณลักษณะการถ่วงน้ำหนัก) ที่สะสมก่อนเริ่มช่วงค่ามัธยฐาน

m Me – จำนวนการสังเกตหรือปริมาตรของคุณลักษณะการถ่วงน้ำหนักในช่วงค่ามัธยฐาน (รวมถึงในแง่สัมบูรณ์หรือเงื่อนไขสัมพันธ์ด้วย)

เมื่อคำนวณค่าโมดอลของคุณลักษณะตามข้อมูล ซีรีย์ช่วงเวลาจำเป็นต้องให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าช่วงเวลานั้นเหมือนกันเนื่องจากตัวบ่งชี้ความสามารถในการทำซ้ำของค่าของแอตทริบิวต์ X ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ สำหรับอนุกรมช่วงเวลาด้วย ในช่วงเวลาเท่ากันขนาดของโหมดถูกกำหนดเป็น

,

โดยที่ X Mo คือค่าที่ต่ำกว่าของช่วงโมดอล

m Mo – จำนวนการสังเกตหรือปริมาตรของคุณลักษณะการถ่วงน้ำหนักในช่วงเวลาโมดอล (ในแง่สัมบูรณ์หรือเชิงสัมพันธ์)

m Mo-1 – เหมือนกันสำหรับช่วงเวลาก่อนหน้าโมดอล

m Mo+1 – เหมือนกันสำหรับช่วงเวลาถัดจากโมดอล

h คือค่าของช่วงการเปลี่ยนแปลงคุณลักษณะในกลุ่ม

ภารกิจที่ 1

มีข้อมูลกลุ่มต่อไปนี้ สถานประกอบการอุตสาหกรรมสำหรับปีที่รายงาน

№ รัฐวิสาหกิจ	ปริมาณผลิตภัณฑ์ล้านรูเบิล		จำนวนพนักงานคนโดยเฉลี่ย	กำไรพันรูเบิล
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

จำเป็นต้องจัดกลุ่มองค์กรเพื่อแลกเปลี่ยนผลิตภัณฑ์ตามช่วงเวลาต่อไปนี้:

มากถึง 200 ล้านรูเบิล


จาก 200 ถึง 400 ล้านรูเบิล


1. จาก 400 ถึง 600 ล้านรูเบิล
   

   สำหรับแต่ละกลุ่มและสำหรับทั้งหมดร่วมกัน ให้กำหนดจำนวนวิสาหกิจ ปริมาณการผลิต จำนวนพนักงานโดยเฉลี่ย ผลผลิตเฉลี่ยต่อพนักงาน นำเสนอผลการแบ่งกลุ่มเป็นตารางสถิติ กำหนดข้อสรุป
   

   สารละลาย
   

   เราจะจัดกลุ่มวิสาหกิจตามการแลกเปลี่ยนผลิตภัณฑ์ คำนวณจำนวนวิสาหกิจ ปริมาณการผลิต และจำนวนพนักงานโดยเฉลี่ยโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยอย่างง่าย ผลลัพธ์ของการจัดกลุ่มและการคำนวณสรุปไว้ในตาราง
   

   จัดกลุ่มตามปริมาณผลิตภัณฑ์	№ รัฐวิสาหกิจ	ปริมาณผลิตภัณฑ์ล้านรูเบิล	ต้นทุนเฉลี่ยต่อปีของสินทรัพย์ถาวร ล้านรูเบิล	นอนปานกลาง จำนวนพนักงานคนจำนวนมาก	กำไรพันรูเบิล	ผลผลิตเฉลี่ยต่อพนักงาน
   1 กลุ่ม มากถึง 200 ล้านรูเบิล	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   ระดับกลาง		198,3			24,9
   กลุ่มที่ 2 จาก 200 ถึง 400 ล้านรูเบิล	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   ระดับกลาง		282,3	37,6	1530	64,0
   3 กลุ่ม จาก 400 ถึง 600 ล้าน	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   ระดับกลาง		512,9	34,4	1421	120,9
   ยอดรวม		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   โดยเฉลี่ยแล้ว		379,6	59,9	1223,6	79,5

   บทสรุป. ดังนั้นในประชากรที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจำนวนวิสาหกิจที่ใหญ่ที่สุดในแง่ของปริมาณการผลิตจึงตกอยู่ในกลุ่มที่สาม - เจ็ดหรือครึ่งหนึ่งของวิสาหกิจ ต้นทุนเฉลี่ยต่อปีของสินทรัพย์ถาวรก็อยู่ในกลุ่มนี้เช่นกัน เช่นเดียวกับพนักงานจำนวนมากโดยเฉลี่ย - 9974 คน องค์กรของกลุ่มแรกมีกำไรน้อยที่สุด
   

   ภารกิจที่ 2
   

   ข้อมูลต่อไปนี้มีอยู่ในองค์กรของบริษัท
   

   จำนวนวิสาหกิจที่รวมอยู่ในบริษัท	ฉันไตรมาส		ไตรมาสที่สอง
   	ผลผลิตผลิตภัณฑ์พันรูเบิล		แมนเดย์ทำงานโดยคนงาน	ผลผลิตเฉลี่ยต่อคนงานต่อวัน ถู
   	59390,13

หัวข้อที่ 5 ค่าเฉลี่ยเป็นตัวบ่งชี้ทางสถิติ

แนวคิดเรื่องค่าเฉลี่ย ขอบเขตของค่าเฉลี่ยในการวิจัยทางสถิติ

ค่าเฉลี่ยใช้ในขั้นตอนการประมวลผลและสรุปข้อมูลทางสถิติหลักที่ได้รับ ความจำเป็นในการกำหนดค่าเฉลี่ยนั้นเกิดจากการที่ตามกฎแล้วค่าแต่ละค่าที่มีลักษณะเหมือนกันสำหรับหน่วยต่าง ๆ ของประชากรที่กำลังศึกษาจะไม่เหมือนกัน

ขนาดเฉลี่ยเรียกว่าตัวบ่งชี้ที่แสดงลักษณะมูลค่าทั่วไปของลักษณะหรือกลุ่มลักษณะในประชากรที่กำลังศึกษา

หากประชากรมีคุณภาพ ลักษณะที่เป็นเนื้อเดียวกันจากนั้นค่าเฉลี่ยจะปรากฏที่นี่เป็น ค่าเฉลี่ยทั่วไป- ตัวอย่างเช่น สำหรับกลุ่มคนงานในอุตสาหกรรมบางประเภทที่มีระดับรายได้คงที่ จะมีการกำหนดค่าใช้จ่ายเฉลี่ยทั่วไปสำหรับความจำเป็นขั้นพื้นฐาน เช่น ค่าเฉลี่ยทั่วไปสรุปค่าคุณลักษณะที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพในประชากรที่กำหนดซึ่งเป็นส่วนแบ่งค่าใช้จ่ายระหว่างคนงานในกลุ่มนี้เกี่ยวกับสินค้าที่จำเป็น

เมื่อศึกษาประชากรที่มีลักษณะต่างกันในเชิงคุณภาพ ความผิดปกติของตัวบ่งชี้โดยเฉลี่ยอาจเกิดขึ้นก่อน ตัวอย่างเช่น เหล่านี้เป็นตัวชี้วัดเฉลี่ยของรายได้ประชาชาติที่ผลิตได้ต่อหัว (ต่างๆ กลุ่มอายุ) ผลผลิตเมล็ดเฉลี่ยทั่วรัสเซีย (ภูมิภาคของเขตภูมิอากาศที่แตกต่างกันและพืชผลธัญพืชที่แตกต่างกัน) อัตราการเกิดเฉลี่ยของทุกภูมิภาคของประเทศ อุณหภูมิเฉลี่ยสำหรับ ช่วงระยะเวลาหนึ่งฯลฯ ในที่นี้ ค่าเฉลี่ยจะสรุปค่าที่ต่างกันในเชิงคุณภาพของคุณลักษณะหรือการรวมเชิงพื้นที่เชิงระบบ (ชุมชนระหว่างประเทศ ทวีป รัฐ ภูมิภาค ภูมิภาค ฯลฯ) หรือการรวมแบบไดนามิกที่ขยายออกไปเมื่อเวลาผ่านไป (ศตวรรษ ทศวรรษ ปี ฤดูกาล ฯลฯ) ) . ค่าเฉลี่ยดังกล่าวเรียกว่า ค่าเฉลี่ยของระบบ.

ดังนั้นความสำคัญของค่าเฉลี่ยจึงอยู่ในฟังก์ชันการวางนัยทั่วไป ค่าเฉลี่ยจะเข้ามาแทนที่ จำนวนมากค่าส่วนบุคคลของคุณลักษณะการตรวจจับ คุณสมบัติทั่วไปมีอยู่ในทุกหน่วยของประชากร ซึ่งในทางกลับกันจะช่วยให้คุณสามารถหลีกเลี่ยงสาเหตุโดยไม่ได้ตั้งใจและระบุตัวตนได้ รูปแบบทั่วไปเนื่องจากเหตุผลทั่วไป

ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

บนเวที การประมวลผลทางสถิติสามารถกำหนดปัญหาการวิจัยได้หลากหลาย สำหรับการแก้ปัญหาจำเป็นต้องเลือกค่าเฉลี่ยที่เหมาะสม ในกรณีนี้ จำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้: ปริมาณที่แสดงถึงตัวเศษและส่วนของค่าเฉลี่ยจะต้องสัมพันธ์กันในเชิงตรรกะ

ค่าเฉลี่ยพลังงาน;

ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง.

ให้เราแนะนำอนุสัญญาต่อไปนี้:

ปริมาณที่คำนวณค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ย โดยที่แถบด้านบนระบุว่ามีค่าเฉลี่ยของแต่ละค่าเกิดขึ้น

ความถี่ (การทำซ้ำของค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่า)

ค่าเฉลี่ยต่าง ๆ ที่ได้มาจาก สูตรทั่วไปค่าเฉลี่ยพลังงาน:

(5.1)

เมื่อ k = 1 - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต; k = -1 - ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก; k = 0 - ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต k = -2 - รากกำลังสองเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยอาจเป็นแบบง่ายหรือแบบถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักค่าเหล่านี้เป็นค่าที่พิจารณาว่าค่าแอตทริบิวต์บางค่าอาจมีตัวเลขที่แตกต่างกัน ดังนั้นแต่ละตัวเลือกจึงต้องคูณด้วยตัวเลขนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง “สเกล” คือจำนวนหน่วยรวมในกลุ่มต่างๆ เช่น แต่ละตัวเลือกจะ "ถ่วงน้ำหนัก" ตามความถี่ ความถี่ f เรียกว่า น้ำหนักทางสถิติหรือน้ำหนักเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต- ประเภทค่าเฉลี่ยที่พบบ่อยที่สุด ใช้เมื่อมีการคำนวณข้อมูลทางสถิติที่ไม่ได้จัดกลุ่มซึ่งคุณต้องได้รับคำเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ยของลักษณะเฉพาะ เมื่อได้ปริมาตรรวมของลักษณะเฉพาะในผลรวมแล้วยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

สูตรหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต (แบบง่าย) มีรูปแบบ

โดยที่ n คือขนาดประชากร

ตัวอย่างเช่น เงินเดือนโดยเฉลี่ยของพนักงานขององค์กรจะคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตัวชี้วัดที่กำหนดที่นี่คือเงินเดือนของพนักงานแต่ละคนและจำนวนพนักงานขององค์กร เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย จำนวนค่าจ้างทั้งหมดยังคงเท่าเดิม แต่กระจายให้กับพนักงานทุกคนเท่าๆ กัน ตัวอย่างเช่น คุณต้องคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของคนงานในบริษัทขนาดเล็กที่มีพนักงาน 8 คน:

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ค่าส่วนบุคคลลักษณะเฉพาะที่มีการเฉลี่ยอาจซ้ำกัน ดังนั้นค่าเฉลี่ยจึงคำนวณโดยใช้ข้อมูลที่จัดกลุ่ม ในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับการใช้งาน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักซึ่งมีรูปแบบ

(5.3)

ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องคำนวณราคาเฉลี่ยของหุ้นของบริษัทร่วมทุนในการซื้อขายหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ เป็นที่รู้กันว่าการทำธุรกรรมเกิดขึ้นภายใน 5 วัน (5 รายการ) จำนวนหุ้นที่จำหน่ายในอัตราขายแบ่งดังนี้

1 - 800 อค - 1,010 ถู

2 - 650 อค - 990 ถู

3 - 700 อค - 1,015 ถู

4 - 550 อค - 900 ถู

5 - 850 อค - 1,150 ถู

อัตราส่วนเริ่มต้นในการกำหนดราคาหุ้นเฉลี่ยคืออัตราส่วน จำนวนเงินทั้งหมดธุรกรรม (OSS) ต่อจำนวนหุ้นที่ขายได้ (KPA):

ออซ = 1,010·800+990·650+1,015·700+900·550+1150·850= 3,634,500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550

ในกรณีนี้ราคาหุ้นเฉลี่ยจะเท่ากับ

จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งมีความสำคัญมากทั้งสำหรับการใช้งานและการคำนวณ มีสาม คุณสมบัติหลักซึ่งส่วนใหญ่กำหนดการใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางสถิติและเศรษฐศาสตร์

คุณสมบัติที่หนึ่ง (ศูนย์): ผลรวมของการเบี่ยงเบนเชิงบวกของแต่ละค่าของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยจะเท่ากับผลรวม การเบี่ยงเบนเชิงลบ- นี่เป็นคุณสมบัติที่สำคัญมาก เพราะมันแสดงให้เห็นว่าการเบี่ยงเบนใดๆ (ทั้ง + และ -) ที่เกิดจากเหตุผลที่สุ่มจะถูกยกเลิกร่วมกัน

การพิสูจน์:

คุณสมบัติที่สอง (ขั้นต่ำ): ผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของแต่ละค่าของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่าจากจำนวนอื่น ๆ (a) เช่น มีจำนวนขั้นต่ำ

การพิสูจน์.

มารวบรวมผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองจากตัวแปร a:

(5.4)

ในการหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันนี้ จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของมันเทียบกับ a ถึงศูนย์:

จากที่นี่เราได้รับ:

(5.5)

ดังนั้น ค่าสุดขีดของผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองจึงทำได้ที่ ค่าสูงสุดนี้เป็นค่าต่ำสุด เนื่องจากฟังก์ชันไม่สามารถมีค่าสูงสุดได้

คุณสมบัติที่สาม: ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้: สำหรับ a = const

นอกจากสามสิ่งนี้แล้ว คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีสิ่งที่เรียกว่า คุณสมบัติการออกแบบซึ่งค่อยๆ สูญเสียความสำคัญไปเนื่องจากการใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์:

ถ้าค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะของแต่ละหน่วยถูกคูณหรือหารด้วย จำนวนคงที่แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลงหากน้ำหนัก (ความถี่) ของแต่ละค่าคุณลักษณะถูกหารด้วยจำนวนคงที่

หากแต่ละค่าของคุณลักษณะของแต่ละหน่วยลดลงหรือเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากันค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะลดลงหรือเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก- ค่าเฉลี่ยนี้เรียกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตผกผัน เนื่องจากค่านี้ใช้เมื่อ k = -1

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกอย่างง่ายใช้เมื่อน้ำหนักของค่าแอตทริบิวต์เท่ากัน สามารถหาสูตรได้จาก สูตรพื้นฐาน, แทนที่ k = -1:

เช่น เราจำเป็นต้องคำนวณ ความเร็วเฉลี่ยรถสองคันที่วิ่งไปในเส้นทางเดียวกัน แต่ด้วยความเร็วต่างกัน คันแรกด้วยความเร็ว 100 กม./ชม. คันที่สองที่ความเร็ว 90 กม./ชม. โดยใช้วิธีการเฉลี่ยฮาร์มอนิก เราคำนวณความเร็วเฉลี่ย:

ในทางปฏิบัติทางสถิติมักใช้การถ่วงน้ำหนักแบบฮาร์มอนิกมากกว่าซึ่งมีสูตรอยู่ในรูปแบบ

สูตรนี้ใช้ในกรณีที่น้ำหนัก (หรือปริมาตรของปรากฏการณ์) สำหรับแต่ละคุณลักษณะไม่เท่ากัน ในอัตราส่วนเริ่มต้นในการคำนวณค่าเฉลี่ย ทราบตัวเศษ แต่ไม่ทราบตัวส่วน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคือระยะเฉลี่ยในการพิจารณาว่าปริมาตรรวมของคุณลักษณะที่กำหนดเป็นเท่าใด จำนวนทั้งสิ้นข้อมูลจะถูกกระจายอย่างเท่าเทียมกันในทุกหน่วยที่รวมอยู่ในประชากรกลุ่มนี้ ดังนั้นผลผลิตเฉลี่ยต่อปีต่อพนักงานคือจำนวนผลผลิตที่พนักงานแต่ละคนจะผลิตได้หากปริมาณผลผลิตทั้งหมดมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันในหมู่พนักงานทุกคนขององค์กร ค่าง่าย ๆ ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตคำนวณโดยใช้สูตร:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย- เท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะต่อจำนวนคุณลักษณะในการรวม

ตัวอย่างที่ 1. ทีมงาน 6 คนได้รับ 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 พันรูเบิลต่อเดือน

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเงินเดือนโดยเฉลี่ย: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32,000 รูเบิล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

ถ้าปริมาตรของชุดข้อมูลมีขนาดใหญ่และแสดงถึงอนุกรมการแจกแจง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักจะถูกคำนวณ นี่คือวิธีการกำหนดราคาเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักต่อหน่วยการผลิต: ต้นทุนการผลิตทั้งหมด (ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของปริมาณตามราคาของหน่วยการผลิต) หารด้วยปริมาณการผลิตทั้งหมด

ลองจินตนาการถึงสิ่งนี้ในรูปแบบของสูตรต่อไปนี้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก- เท่ากับอัตราส่วนของ (ผลรวมของผลคูณของมูลค่าของคุณลักษณะต่อความถี่ของการทำซ้ำของคุณลักษณะนี้) ถึง (ผลรวมของความถี่ของคุณลักษณะทั้งหมด) มันถูกใช้เมื่อตัวแปรของประชากรที่กำลังศึกษา เกิดขึ้นจำนวนครั้งไม่เท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานเวิร์คช็อปต่อเดือน

เงินเดือนคนงานหนึ่งพันรูเบิล เอ็กซ์	จำนวนคนงาน F

เงินเดือนเฉลี่ยสามารถหาได้โดยการหารเงินเดือนทั้งหมดด้วย จำนวนทั้งหมดคนงาน:

คำตอบ: 3.35 พันรูเบิล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมช่วงเวลา

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมการแปรผันช่วงเวลา ขั้นแรกให้หาค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละช่วงเวลาเป็นผลบวกครึ่งหนึ่งของขีดจำกัดบนและล่าง จากนั้นจึงหาค่าเฉลี่ยของอนุกรมทั้งหมด ในกรณีของช่วงเวลาที่เปิด ค่าของช่วงเวลาที่ต่ำกว่าหรือบนจะถูกกำหนดโดยขนาดของช่วงเวลาที่อยู่ติดกัน

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลานั้นเป็นค่าโดยประมาณ

ตัวอย่างที่ 3- กำหนด วัยกลางคนนักเรียนช่วงเย็น

อายุเป็นปี!!x??	จำนวนนักเรียน	ค่าเฉลี่ยของช่วงเวลา	ผลคูณของจุดกึ่งกลางของช่วง (อายุ) และจำนวนนักเรียน
		(18 + 20) / 2 =19 18 นิ้ว ในกรณีนี้ขอบเขตของช่วงที่ต่ำกว่า คำนวณเป็น 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 หรือมากกว่า		(30 + 34) / 2 = 32

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลานั้นเป็นค่าโดยประมาณ ระดับของการประมาณค่าขึ้นอยู่กับขอบเขตที่การกระจายตามจริงของหน่วยประชากรภายในช่วงนั้นเข้าใกล้การกระจายแบบสม่ำเสมอ

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ไม่เพียงแต่ค่าสัมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงด้วย ค่าสัมพัทธ์(ความถี่).