หลักสูตรของโรงเรียนจัดให้มีการสอนรูปทรงเรขาคณิตแก่เด็กตั้งแต่อายุยังน้อย หนึ่งในความรู้พื้นฐานที่สุดของพื้นที่นี้คือการหาพื้นที่ของตัวเลขต่างๆ ในบทความนี้ เราจะพยายามให้วิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อให้ได้ค่านี้ ตั้งแต่วิธีที่ง่ายที่สุดไปจนถึงวิธีที่ซับซ้อนที่สุด

รากฐาน

สูตรแรกที่เด็ก ๆ เรียนรู้ที่โรงเรียนเกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในแง่ของความยาวของความสูงและฐาน ความสูงคือส่วนที่ลากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมที่ทำมุมฉากกับด้านตรงข้ามซึ่งจะเป็นฐาน จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมจากค่าเหล่านี้ได้อย่างไร?

ถ้า V คือความสูง และ O คือฐาน พื้นที่ก็คือ S=V*O:2

อีกทางเลือกหนึ่งเพื่อให้ได้ค่าที่ต้องการทำให้เราต้องทราบความยาวของด้านทั้งสองรวมถึงมุมระหว่างด้านทั้งสอง ถ้าเรามี L และ M - ความยาวของด้าน และ Q - มุมระหว่างสองด้าน คุณก็จะได้พื้นที่โดยใช้สูตร S=(L*M*sin(Q))/2

สูตรของนกกระสา

นอกเหนือจากคำตอบอื่น ๆ สำหรับคำถามเกี่ยวกับวิธีคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแล้วยังมีสูตรที่ช่วยให้เราได้ค่าที่ต้องการโดยรู้เฉพาะความยาวของด้านเท่านั้น นั่นคือถ้าเรารู้ความยาวของทุกด้าน เราก็ไม่จำเป็นต้องวาดความสูงและคำนวณความยาวของมัน เราสามารถใช้สูตรที่เรียกว่านกกระสา

ถ้า M, N, L เป็นความยาวของด้าน เราสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้ดังนี้ P \u003d (M + N + L) / 2 จากนั้นค่าที่เราต้องการ S 2 \u003d P * (P-M) * (P-L) * (P-N) เป็นผลให้เราต้องคำนวณรากเท่านั้น

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก สูตรของ Heron จะง่ายขึ้นเล็กน้อย ถ้า M, L เป็นขา ดังนั้น S=(P-M)*(P-L)

วงกลม

อีกวิธีในการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือการใช้วงกลมที่ถูกจารึกและล้อมรอบ เพื่อให้ได้ค่าที่เราต้องการโดยใช้วงกลมที่เขียนไว้ เราจำเป็นต้องทราบรัศมีของมัน มากำหนดเป็น "r" จากนั้นสูตรที่เราจะทำการคำนวณจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: S \u003d r * P โดยที่ P คือผลรวมครึ่งหนึ่งของความยาวของทุกด้าน

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สูตรนี้จะเปลี่ยนไปเล็กน้อย แน่นอน คุณสามารถใช้ข้างต้นได้ แต่จะดีกว่าถ้าใช้นิพจน์อื่นในการคำนวณ S=E*W โดยที่ E และ W คือความยาวของส่วนที่ด้านตรงข้ามมุมฉากถูกหารด้วยจุดสัมผัสของวงกลม

เมื่อพูดถึงวงกลมที่มีเส้นรอบวง การหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมก็ไม่ใช่เรื่องยากเช่นกัน เมื่อป้อนการกำหนด R เป็นรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ คุณจะได้สูตรต่อไปนี้ที่จำเป็นในการคำนวณค่าที่ต้องการ: S= (M*N*L):(4*R) โดยที่จำนวนสามตัวแรกคือด้านของสามเหลี่ยม

เมื่อพูดถึงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เนื่องจากการแปลงทางคณิตศาสตร์ง่ายๆ จำนวนหนึ่ง เราสามารถรับสูตรที่ปรับเปลี่ยนได้เล็กน้อย:

S=(3 1/2 *ม.2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r2.

ไม่ว่าในกรณีใด สูตรใดๆ ที่ให้คุณหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามโจทย์ที่กำหนด ดังนั้นการแสดงออกที่เป็นลายลักษณ์อักษรทั้งหมดจึงไม่ใช่แบบสัมบูรณ์ เมื่อแก้ปัญหาได้ ให้ไตร่ตรองเพื่อหาแนวทางแก้ไขที่เหมาะสมที่สุด

พิกัด

เมื่อศึกษาแกนพิกัด งานที่นักเรียนเผชิญจะซับซ้อนมากขึ้น อย่างไรก็ตาม ยังไม่เพียงพอที่จะตื่นตระหนก ในการค้นหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามพิกัดของจุดยอดคุณสามารถใช้สูตรนกกระสาเดียวกัน แต่ดัดแปลงเล็กน้อย สำหรับพิกัดจะใช้รูปแบบต่อไปนี้:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2 .

อย่างไรก็ตามไม่มีใครห้ามการใช้พิกัดในการคำนวณความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมจากนั้นใช้สูตรที่เขียนไว้ด้านบนคำนวณพื้นที่ ในการแปลงพิกัดเป็นความยาว ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2 .

หมายเหตุ

บทความนี้ใช้สัญกรณ์มาตรฐานสำหรับปริมาณที่ใช้ในเงื่อนไขของปัญหาส่วนใหญ่ ในกรณีนี้ ระดับ "1/2" หมายความว่าคุณต้องแยกรากออกจากนิพจน์ทั้งหมดภายใต้วงเล็บ

เมื่อเลือกสูตรโปรดใช้ความระมัดระวัง บางส่วนสูญเสียความเกี่ยวข้องขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น สูตรของวงกลมที่มีเส้นรอบวง สามารถคำนวณผลลัพธ์ให้คุณได้ในทุกกรณี อย่างไรก็ตาม อาจมีสถานการณ์ที่สามเหลี่ยมที่มีพารามิเตอร์ที่กำหนดอาจไม่มีอยู่เลย

หากคุณนั่งอยู่ที่บ้านและทำการบ้าน คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้ ไซต์หลายแห่งมีความสามารถในการคำนวณค่าต่างๆ สำหรับพารามิเตอร์ที่กำหนด และไม่สำคัญว่าจะเป็นค่าใด คุณสามารถป้อนข้อมูลเริ่มต้นในฟิลด์และคอมพิวเตอร์ (เว็บไซต์) จะคำนวณผลลัพธ์ให้คุณ ดังนั้น คุณสามารถหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่เกิดจากการไม่ตั้งใจ

เราหวังว่าบทความของเราจะตอบคำถามของคุณทั้งหมดเกี่ยวกับการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมต่างๆ และคุณไม่จำเป็นต้องค้นหาข้อมูลเพิ่มเติมจากที่อื่น ขอให้โชคดีกับการเรียน!

ในการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถใช้สูตรต่างๆ จากวิธีการทั้งหมด วิธีที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุดคือการคูณความสูงด้วยความยาวของฐาน แล้วหารผลลัพธ์ด้วยสอง อย่างไรก็ตามวิธีนี้ไม่ใช่วิธีเดียว ด้านล่างคุณสามารถอ่านวิธีหาพื้นที่สามเหลี่ยมโดยใช้สูตรต่างๆ

เราจะพิจารณาวิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมเฉพาะประเภท - สี่เหลี่ยมหน้าจั่วและด้านเท่า เรามาพร้อมกับคำอธิบายสั้น ๆ แต่ละสูตรที่จะช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของมัน

วิธีสากลในการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สูตรด้านล่างใช้สัญลักษณ์พิเศษ เราจะถอดรหัสแต่ละรายการ:

• a, b, c คือความยาวของด้านทั้งสามของรูปที่เรากำลังพิจารณา
• r คือรัศมีของวงกลมที่สามารถเขียนในรูปสามเหลี่ยมของเราได้
• R คือรัศมีของวงกลมที่สามารถอธิบายได้รอบๆ
• α - ค่าของมุมที่เกิดจากด้าน b และ c;
• β คือมุมระหว่าง a และ c;
• γ - ค่าของมุมที่เกิดจากด้าน a และ b;
• h คือความสูงของสามเหลี่ยมของเรา ลดมุม α ไปทางด้าน a
• p คือผลบวกครึ่งหนึ่งของด้าน a, b และ c

มีเหตุผลที่ชัดเจนว่าทำไมคุณจึงสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้วยวิธีนี้ รูปสามเหลี่ยมนั้นสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้อย่างง่ายดาย โดยที่ด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมจะทำหน้าที่เป็นเส้นทแยงมุม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นหาได้จากการคูณความยาวของด้านใดด้านหนึ่งด้วยค่าของความสูงที่วาดเข้าไป เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานตามเงื่อนไขนี้ออกเป็น 2 รูปสามเหลี่ยมที่เหมือนกัน ดังนั้นจึงค่อนข้างชัดเจนว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิมของเราควรเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเสริมนี้

S=½ a b บาป γ

ตามสูตรนี้ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาได้จากการคูณความยาวของด้านทั้งสอง นั่นคือ a และ b ด้วยไซน์ของมุมที่เกิดขึ้น สูตรนี้ได้มาจากสูตรก่อนหน้าอย่างมีเหตุผล ถ้าเราลดความสูงจากมุม β ลงด้าน b จากนั้นตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อคูณความยาวของด้าน a ด้วยไซน์ของมุม γ เราจะได้ความสูงของสามเหลี่ยม นั่นคือ h

พื้นที่ของตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นหาได้จากการคูณรัศมีครึ่งหนึ่งของวงกลมซึ่งสามารถจารึกไว้ในนั้นตามเส้นรอบวง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพบผลคูณของเส้นรอบวงและรัศมีของวงกลมดังกล่าว

S= ก ข ค/4R

ตามสูตรนี้ ค่าที่เราต้องการสามารถหาได้โดยการหารผลคูณของด้านข้างของรูปด้วย 4 รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

สูตรเหล่านี้เป็นสากลเนื่องจากทำให้สามารถกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดก็ได้ สิ่งนี้สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งเราจะไม่ลงลึกในรายละเอียด

พื้นที่สามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติเฉพาะ

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร? คุณลักษณะของตัวเลขนี้คือด้านทั้งสองมีความสูงพร้อมกัน ถ้า a และ b เป็นขา และ c กลายเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จะพบพื้นที่ดังนี้

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไร? มันมีสองด้านยาว a และด้านหนึ่งยาว b ดังนั้นพื้นที่สามารถกำหนดได้โดยการหารด้วย 2 ผลคูณของกำลังสองของด้าน a ด้วยไซน์ของมุม γ

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร? ในนั้น ความยาวของทุกด้านคือ a และค่าของมุมทั้งหมดคือ α ความสูงของมันคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้าน a คูณด้วยรากที่สองของ 3 ในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ คุณต้องใช้กำลังสองของด้าน a คูณด้วยรากที่สองของ 3 และหารด้วย 4

พื้นที่สามเหลี่ยม - สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหา

ด้านล่างนี้คือ สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพลการซึ่งเหมาะสำหรับการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตาม โดยไม่คำนึงถึงคุณสมบัติ มุม หรือมิติของสามเหลี่ยมนั้น สูตรถูกนำเสนอในรูปแบบของรูปภาพนี่คือคำอธิบายสำหรับการใช้งานหรือเหตุผลของความถูกต้อง นอกจากนี้ รูปที่แยกต่างหากยังแสดงความสอดคล้องกันของสัญลักษณ์ตัวอักษรในสูตรและสัญลักษณ์กราฟิกในรูปวาด

บันทึก . หากรูปสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติพิเศษ (หน้าจั่ว สี่เหลี่ยม รูปด้านเท่า) คุณสามารถใช้สูตรด้านล่าง รวมถึงสูตรพิเศษเพิ่มเติมที่เป็นจริงสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติเหล่านี้เท่านั้น:

• "สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า"

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

คำอธิบายสำหรับสูตร:
ก, ข, ค- ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่เราต้องการหาพื้นที่
ร- รัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม
ร- รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม
ชม.- ความสูงของสามเหลี่ยมลดลงไปด้านข้าง
หน้า- ครึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม 1/2 ผลรวมของด้าน (เส้นรอบวง)
α - มุมด้านตรงข้าม a ของสามเหลี่ยม
β - มุมด้านตรงข้าม b ของสามเหลี่ยม
γ - มุมด้านตรงข้าม c ของสามเหลี่ยม
ชม. ก, ชม. ข , ชม. ค- ความสูงของรูปสามเหลี่ยมลดลงไปทางด้าน a, b, c

โปรดทราบว่าสัญกรณ์ที่ให้นั้นสอดคล้องกับรูปด้านบน ดังนั้นเมื่อแก้ปัญหาจริงในเรขาคณิต คุณจะมองเห็นค่าแทนค่าที่ถูกต้องในตำแหน่งที่ถูกต้องในสูตรได้ง่ายขึ้น

• พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ ครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงของรูปสามเหลี่ยมและความยาวของด้านที่ลดความสูงนี้ลง(สูตร 1). ความถูกต้องของสูตรนี้สามารถเข้าใจได้อย่างมีเหตุผล ความสูงที่ลดลงถึงฐานจะแบ่งสามเหลี่ยมตามอำเภอใจออกเป็นสองสี่เหลี่ยม หากเราทำให้แต่ละอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาด b และ h เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า (Spr = bh)
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ ครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง(สูตร 2) (ดูตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้สูตรด้านล่าง) แม้ว่ามันจะดูแตกต่างจากรุ่นก่อน แต่ก็สามารถแปลงร่างได้อย่างง่ายดาย ถ้าเราลดความสูงจากมุม B ไปทางด้าน b ปรากฎว่าผลคูณของด้าน a และไซน์ของมุม γ ตามคุณสมบัติของไซน์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับความสูงของสามเหลี่ยมที่วาดโดย เราซึ่งจะให้สูตรก่อนหน้าแก่เรา
• สามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพลการได้ ผ่าน งานรัศมีครึ่งหนึ่งของวงกลมที่เขียนไว้โดยผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมด(สูตร 3) กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องคูณครึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยมด้วยรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ (วิธีนี้จำง่ายกว่า)
• สามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจได้โดยการหารผลคูณของทุกด้านด้วย 4 รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ (สูตร 4)
• สูตร 5 คือการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในแง่ของความยาวของด้านและกึ่งปริมณฑล (ผลบวกครึ่งหนึ่งของด้านทั้งหมด)
• สูตรของนกกระสา(6) เป็นตัวแทนของสูตรเดียวกันโดยไม่ใช้แนวคิดของเส้นรอบรูปเพียงผ่านความยาวของด้าน
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพลการจะเท่ากับผลคูณของกำลังสองของด้านของสามเหลี่ยมและไซน์ของมุมที่อยู่ติดกับด้านนี้หารด้วยไซน์คู่ของมุมตรงข้ามกับด้านนี้ (สูตร 7)
• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจสามารถหาได้จากผลคูณของสี่เหลี่ยมสองวงของวงกลมที่ล้อมรอบและไซน์ของแต่ละมุม (สูตร 8)
• หากทราบความยาวของด้านหนึ่งและขนาดของมุมทั้งสองที่อยู่ติดกัน พื้นที่ของสามเหลี่ยมสามารถหาเป็นกำลังสองของด้านนี้ หารด้วยผลรวมสองเท่าของโคแทนเจนต์ของเหล่านี้ มุม (สูตร 9)
• หากทราบเฉพาะความยาวของแต่ละความสูงของรูปสามเหลี่ยม (สูตร 10) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวจะแปรผกผันกับความยาวของความสูงเหล่านี้ตามสูตรของ Heron
• สูตร 11 ช่วยให้คุณสามารถคำนวณได้ พื้นที่ของสามเหลี่ยมตามพิกัดของจุดยอดซึ่งกำหนดเป็นค่า (x;y) สำหรับจุดยอดแต่ละจุด โปรดทราบว่าจะต้องใช้ค่าผลลัพธ์เป็นโมดูโลเนื่องจากพิกัดของจุดยอดแต่ละจุด (หรือทั้งหมด) อาจอยู่ในพื้นที่ของค่าลบ

บันทึก. ต่อไปนี้คือตัวอย่างการแก้ปัญหาในเรขาคณิตเพื่อหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม หากคุณต้องการแก้ปัญหาเกี่ยวกับเรขาคณิตซึ่งคล้ายกับที่ไม่มีอยู่ที่นี่ - เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในฟอรัม ในการแก้ปัญหา สามารถใช้ฟังก์ชัน sqrt() แทนสัญลักษณ์ "กรณฑ์" ซึ่ง sqrt เป็นสัญลักษณ์รากที่สอง และนิพจน์รากถูกระบุในวงเล็บ.บางครั้งสัญลักษณ์สามารถใช้สำหรับการแสดงออกที่รุนแรงอย่างง่าย √

งาน. หาพื้นที่ที่กำหนดด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง

ด้านของสามเหลี่ยมคือ 5 และ 6 ซม. มุมระหว่างพวกเขาคือ 60 องศา หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม.

วิธีการแก้.

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราใช้สูตรหมายเลข 2 จากส่วนทฤษฎีของบทเรียน
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากความยาวของด้านสองด้านและค่าไซน์ของมุมระหว่างด้านทั้งสองและจะเท่ากับ
S=1/2 ab บาป γ

เนื่องจากเรามีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการแก้ปัญหา (ตามสูตร) ​​เราจึงสามารถแทนที่ค่าจากคำสั่งปัญหาลงในสูตรได้เท่านั้น:
S=1/2*5*6*บาป60

ในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเราจะค้นหาและแทนที่ค่าของไซน์ 60 องศาในนิพจน์ มันจะเท่ากับรากของสามคูณสอง
ส = 15 √3 / 2

ตอบ: 7.5 √3 (ขึ้นอยู่กับข้อกำหนดของอาจารย์ อาจให้ออก 15 √3/2)

งาน. หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน 3 ซม.

วิธีการแก้ .

พื้นที่ของสามเหลี่ยมสามารถพบได้โดยใช้สูตรของ Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

เนื่องจาก a \u003d b \u003d c สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าจะอยู่ในรูปแบบ:

S = √3 / 4 * ก2

S = √3 / 4 * 3 2

ตอบ: 9 √3 / 4.

งาน. เปลี่ยนพื้นที่เมื่อเปลี่ยนความยาวของด้าน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นกี่เท่าหากด้านข้างเพิ่มขึ้นเป็นสี่เท่า?

วิธีการแก้.

เนื่องจากเราไม่ทราบขนาดของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเพื่อแก้ปัญหาเราจะถือว่าความยาวของด้านนั้นเท่ากับจำนวน a, b, c ตามอำเภอใจ จากนั้นเพื่อตอบคำถามของปัญหา เราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ แล้วเราจะพบพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้านมากกว่าสี่เท่า อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะให้คำตอบแก่เรา

ต่อไป เราจะให้คำอธิบายที่เป็นข้อความเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาเป็นขั้นตอน อย่างไรก็ตามในตอนท้ายโซลูชันเดียวกันนี้นำเสนอในรูปแบบกราฟิกที่สะดวกกว่าสำหรับการรับรู้ ผู้ที่ต้องการสามารถลงน้ำยาได้ทันที

ในการแก้ปัญหาเราใช้สูตรนกกระสา (ดูด้านบนในส่วนทฤษฎีของบทเรียน) ดูเหมือนว่า:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ดูบรรทัดแรกของภาพด้านล่าง)

ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่กำหนดโดยตัวแปร a, b, c
หากด้านข้างเพิ่มขึ้น 4 เท่า พื้นที่ของสามเหลี่ยมใหม่ c จะเป็น:

S 2 = 1/4 ตร.ว.((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(ดูบรรทัดที่สองในภาพด้านล่าง)

อย่างที่คุณเห็น 4 เป็นตัวประกอบร่วมที่สามารถอยู่ในวงเล็บเหลี่ยมของนิพจน์ทั้งสี่ได้ตามกฎทั่วไปของคณิตศาสตร์
แล้ว

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ในบรรทัดที่สามของภาพ
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - บรรทัดที่สี่

จากเลข 256 รากที่สองถูกแยกออกมาอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นเราจะนำออกจากใต้ราก
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ดูบรรทัดที่ห้าของภาพด้านล่าง)

ในการตอบคำถามที่เกิดขึ้นในปัญหาก็เพียงพอแล้วที่เราจะแบ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยมผลลัพธ์ด้วยพื้นที่ของพื้นที่ดั้งเดิม
เรากำหนดอัตราส่วนพื้นที่โดยการแบ่งนิพจน์เข้าด้วยกันและลดเศษส่วนที่เกิดขึ้น

รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปที่รู้จักกันดี และสิ่งนี้แม้จะมีรูปแบบที่หลากหลาย สี่เหลี่ยม ด้านเท่า แหลม หน้าจั่ว ป้าน. แต่ละคนมีความแตกต่างกันบ้าง แต่สำหรับสิ่งใดก็ตามจำเป็นต้องรู้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สูตรทั่วไปสำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ใช้ความยาวของด้านหรือความสูง

การกำหนดที่นำมาใช้: ด้าน - a, b, c; ความสูงของด้านที่ตรงกันใน a, n in, n s

1. พื้นที่ของสามเหลี่ยมคำนวณเป็นผลคูณของ ½ ด้านและความสูงลดลง S = ½ * ก * n ก ในทำนองเดียวกันควรเขียนสูตรสำหรับอีกสองด้าน

2. สูตรของนกกระสาซึ่งปรากฏกึ่งปริมณฑล (เป็นเรื่องปกติที่จะระบุด้วยตัวอักษรตัวเล็ก p ซึ่งตรงกันข้ามกับขอบเขตเต็ม) ต้องคำนวณกึ่งปริมณฑลดังนี้: เพิ่มด้านทั้งหมดแล้วหารด้วย 2 สูตรกึ่งปริมณฑล: p \u003d (a + b + c) / 2 จากนั้นความเท่าเทียมกันสำหรับพื้นที่ของ \ รูปมีลักษณะดังนี้: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. หากคุณไม่ต้องการใช้เส้นรอบวงกึ่งกลาง สูตรดังกล่าวจะมีประโยชน์ ซึ่งมีเฉพาะความยาวของด้านเท่านั้น: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( ข + ค - ก) * (ก + ค - ค) * (ก + ข - ค)). มันค่อนข้างยาวกว่าอันก่อนหน้า แต่มันจะช่วยได้ถ้าคุณลืมวิธีหาเส้นรอบวง

สูตรทั่วไปที่มุมของสามเหลี่ยมปรากฏขึ้น

สัญกรณ์ที่จำเป็นในการอ่านสูตร: α, β, γ - มุม พวกเขาอยู่ตรงข้ามกัน a, b, c ตามลำดับ

1. ตามนั้น ครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างนั้นจะเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ: S = ½ a * b * sin γ สูตรสำหรับอีกสองกรณีควรเขียนในลักษณะเดียวกัน

2. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จากด้านหนึ่งและสามมุมที่รู้จัก S \u003d (a 2 * บาป β * บาป γ) / (2 บาป α)

3. นอกจากนี้ยังมีสูตรที่มีด้านที่รู้จักด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน ดูเหมือนว่า: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β))

สองสูตรสุดท้ายไม่ใช่สูตรที่ง่ายที่สุด มันค่อนข้างยากที่จะจำพวกเขา

สูตรทั่วไปสำหรับสถานการณ์ที่ทราบรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกหรือล้อมรอบ

การกำหนดเพิ่มเติม: r, R — รัศมี อันแรกใช้สำหรับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ ประการที่สองมีไว้สำหรับคำอธิบาย

1. สูตรแรกที่คำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นสัมพันธ์กับเส้นรอบรูปครึ่งวงกลม S = r * r. ในอีกทางหนึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ S \u003d ½ r * (a + b + c)

2. ในกรณีที่สอง คุณจะต้องคูณด้านทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมแล้วหารด้วยรัศมีสี่เท่าของวงกลมที่มีเส้นรอบวง ตามตัวอักษรดูเหมือนว่า: S \u003d (a * b * c) / (4R)

3. สถานการณ์ที่สามช่วยให้คุณทำได้โดยไม่ต้องรู้ด้าน แต่คุณต้องการค่าของมุมทั้งสาม S \u003d 2 R 2 * บาป α * บาป β * บาป γ

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมมุมฉาก

นี่เป็นสถานการณ์ที่ง่ายที่สุดเนื่องจากต้องใช้ความยาวของขาทั้งสองข้างเท่านั้น พวกเขาแสดงด้วยตัวอักษรละติน a และ b พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่เพิ่มเข้าไป

ในทางคณิตศาสตร์ ดูเหมือนว่า S = ½ a * b เธอจำง่ายที่สุด เนื่องจากดูเหมือนว่าสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีเพียงเศษส่วนเท่านั้นที่แสดงถึงครึ่งหนึ่ง

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

เนื่องจากด้านทั้งสองเท่ากัน บางสูตรสำหรับพื้นที่จึงดูค่อนข้างเรียบง่าย ตัวอย่างเช่น สูตรของ Heron ซึ่งคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

S = ½ นิ้ว √((a + ½ นิ้ว)*(a - ½ นิ้ว)).

ถ้าคุณแปลงมันจะสั้นลง ในกรณีนี้สูตรของ Heron สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วเขียนได้ดังนี้

S = ¼ ใน √(4 * ก 2 - ข 2)

สูตรพื้นที่ดูค่อนข้างง่ายกว่าสูตรสามเหลี่ยมทั่วไปหากทราบด้านและมุมระหว่างกัน S \u003d ½ a 2 * บาป β

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมด้านเท่า

โดยปกติแล้วในปัญหาเกี่ยวกับเขาฝ่ายนั้นเป็นที่รู้จักหรือสามารถรับรู้ได้ จากนั้นสูตรในการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นดังนี้:

S = (ก 2 √3) / 4.

ภารกิจในการค้นหาพื้นที่หากรูปสามเหลี่ยมปรากฏบนกระดาษตาหมากรุก

สถานการณ์ที่ง่ายที่สุดคือเมื่อวาดสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อให้ขาของมันตรงกับเส้นของกระดาษ จากนั้นคุณเพียงแค่ต้องนับจำนวนเซลล์ที่พอดีกับขา จากนั้นคูณและหารด้วยสอง

เมื่อสามเหลี่ยมเป็นมุมแหลมหรือป้าน จะต้องวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากนั้นในรูปผลลัพธ์จะมีสามเหลี่ยม 3 รูป หนึ่งคือหนึ่งที่ได้รับในงาน และอีกสองอันเป็นแบบเสริมและสี่เหลี่ยม พื้นที่ของสองส่วนสุดท้ายจะต้องกำหนดโดยวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น จากนั้นคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและลบออกจากพื้นที่ที่คำนวณสำหรับพื้นที่เสริม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมถูกกำหนด

ยากกว่ามากคือสถานการณ์ที่ไม่มีด้านใดของสามเหลี่ยมตรงกับเส้นของกระดาษ จากนั้นจะต้องจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อให้จุดยอดของรูปต้นฉบับอยู่ด้านข้าง ในกรณีนี้ จะมีรูปสามเหลี่ยมเสริมสามรูป

ตัวอย่างของปัญหาเกี่ยวกับสูตรของนกกระสา

สภาพ. สามเหลี่ยมบางอันมีด้าน มีขนาดเท่ากับ 3, 5 และ 6 ซม. คุณต้องรู้พื้นที่ของมัน

ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรด้านบน ใต้เครื่องหมายกรณฑ์เป็นผลคูณของตัวเลขสี่ตัว: 7, 4, 2 และ 1 นั่นคือพื้นที่คือ √ (4 * 14) = 2 √ (14)

หากคุณไม่ต้องการความแม่นยำมากกว่านี้ คุณสามารถหารากที่สองของ 14 ได้ ซึ่งก็คือ 3.74 จากนั้นพื้นที่จะเท่ากับ 7.48

ตอบ. S \u003d 2 √14 ซม. 2 หรือ 7.48 ซม. 2

ตัวอย่างของปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก

สภาพ. ขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากยาวกว่าขาที่สอง 31 ซม. จำเป็นต้องหาความยาวหากพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 ซม. 2
วิธีการแก้. คุณต้องแก้ระบบสองสมการ ประการแรกเกี่ยวข้องกับพื้นที่ ประการที่สองคืออัตราส่วนของขาซึ่งได้รับในโจทย์
180 \u003d ½ a * b;

ก \u003d ข + 31
อันดับแรก ต้องแทนค่าของ "a" ลงในสมการแรก ปรากฎว่า: 180 \u003d ½ (ใน + 31) * ใน มีเพียงหนึ่งปริมาณที่ไม่รู้จัก ดังนั้นมันจึงง่ายต่อการแก้ หลังจากเปิดวงเล็บแล้วจะได้สมการกำลังสอง: ใน 2 + 31 ใน - 360 \u003d 0 ให้ค่า "ใน" สองค่า: 9 และ - 40 ตัวเลขที่สองไม่เหมาะเป็นคำตอบ เนื่องจากความยาวของด้านของสามเหลี่ยมไม่สามารถเป็นค่าลบได้

มันยังคงคำนวณขาที่สอง: เพิ่ม 31 ให้กับจำนวนผลลัพธ์ ปรากฎว่า 40 นี่คือปริมาณที่ต้องการในโจทย์

ตอบ. ขาของสามเหลี่ยมคือ 9 และ 40 ซม.

งานหาด้านผ่านพื้นที่ ด้าน และมุมของรูปสามเหลี่ยม

สภาพ. พื้นที่ของสามเหลี่ยมบางส่วนคือ 60 cm2 จำเป็นต้องคำนวณด้านใดด้านหนึ่งหากด้านที่สองคือ 15 ซม. และมุมระหว่างพวกเขาคือ30º

วิธีการแก้. ตามการกำหนดที่ยอมรับ ด้านที่ต้องการคือ "a" รู้จัก "b" มุมที่กำหนดคือ "γ" จากนั้นเขียนสูตรพื้นที่ใหม่ได้ดังนี้

60 \u003d ½ a * 15 * บาป 30º ที่นี่ไซน์ของ 30 องศาคือ 0.5

หลังจากการแปลง "a" จะเท่ากับ 60 / (0.5 * 0.5 * 15) นั่นคือ 16

ตอบ. ด้านที่ต้องการคือ 16 ซม.

โจทย์ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

สภาพ. จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 24 ซม. ตรงกับมุมฉากของสามเหลี่ยม อีกสองคนนอนอยู่บนขา ที่สามเป็นของด้านตรงข้ามมุมฉาก ความยาวของขาข้างหนึ่งคือ 42 ซม. พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร?

วิธีการแก้. พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป อันแรกระบุไว้ในงาน อันที่สองขึ้นอยู่กับขาที่รู้จักของสามเหลี่ยมดั้งเดิม พวกมันคล้ายกันเพราะมีมุมร่วมกันและเกิดจากเส้นขนาน

จากนั้นอัตราส่วนของขาจะเท่ากัน ขาของสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าคือ 24 ซม. (ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และ 18 ซม. (ให้ขา 42 ซม. ลบด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 ซม.) ขาที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่คือ 42 ซม. และ x ซม. นี่คือ "x" ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

18/42 \u003d 24 / x นั่นคือ x \u003d 24 * 42/18 \u003d 56 (ซม.)

จากนั้นพื้นที่จะเท่ากับผลคูณของ 56 และ 42 หารด้วยสอง นั่นคือ 1176 ซม. 2

ตอบ. พื้นที่ที่ต้องการคือ 1176 ซม. 2

คุณสามารถค้นหาสูตรการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้มากกว่า 10 สูตร หลายสูตรใช้ในปัญหาเกี่ยวกับด้านและมุมที่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม อย่างไรก็ตาม มีตัวอย่างที่ซับซ้อนจำนวนหนึ่งซึ่งตามเงื่อนไขของงาน จะมีเพียงด้านเดียวและมุมของรูปสามเหลี่ยม หรือรัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงหรือเส้นจารึกไว้ และทราบลักษณะพิเศษอีกประการหนึ่ง ในกรณีเช่นนี้ จะไม่สามารถใช้สูตรง่ายๆ ได้

สูตรด้านล่างจะช่วยแก้ปัญหา 95 เปอร์เซ็นต์ที่คุณต้องการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
เรามาพิจารณาสูตรพื้นที่ทั่วไปกัน
พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปด้านล่าง

ในรูปและเพิ่มเติมในสูตรจะแนะนำการกำหนดลักษณะคลาสสิกทั้งหมด
a,b,c คือด้านของสามเหลี่ยม
R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ
r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
h[b],h[a],h[c] - ความสูงที่วาดตามด้าน a,b,c
alpha, beta, hamma - มุมใกล้จุดยอด

สูตรพื้นฐานสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม

1. พื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านสามเหลี่ยมและความสูงลดลงมาทางด้านนี้ ในภาษาสูตร นิยามนี้สามารถเขียนเป็น

ดังนั้นหากทราบด้านและความสูง นักเรียนแต่ละคนจะพบพื้นที่
อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์ระหว่างความสูงสามารถหาได้จากสูตรนี้

2. หากเราพิจารณาว่าความสูงของรูปสามเหลี่ยมผ่านด้านที่อยู่ติดกันจะแสดงโดยการพึ่งพาอาศัยกัน

จากนั้นจากสูตรแรกของพื้นที่ตามด้วยประเภทที่สอง

ดูสูตรอย่างละเอียด - จำง่ายเพราะงานมีสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา หากเรากำหนดด้านและมุมของสามเหลี่ยมได้อย่างถูกต้อง (ดังรูปด้านบน) เราจะได้สองด้าน a, b และมุมนั้นสัมพันธ์กับมุมที่สามค (ฮัมมะ).

3. สำหรับมุมของสามเหลี่ยม ความสัมพันธ์

การพึ่งพาช่วยให้คุณใช้สูตรต่อไปนี้สำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในการคำนวณ

ตัวอย่างของการพึ่งพานี้หายากมาก แต่คุณต้องจำไว้ว่ามีสูตรดังกล่าว

4. หากทราบด้านและมุมที่อยู่ติดกันสองมุม สูตรจะพบพื้นที่

5. สูตรสำหรับพื้นที่ในรูปของด้านและโคแทนเจนต์ของมุมประชิดมีดังนี้

โดยการจัดเรียงดัชนีใหม่ คุณจะได้รับการอ้างอิงสำหรับด้านอื่นๆ

6. สูตรพื้นที่ด้านล่างใช้ในงานเมื่อจุดยอดของสามเหลี่ยมถูกกำหนดบนระนาบพร้อมพิกัด ในกรณีนี้ พื้นที่จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของดีเทอร์มิแนนต์โมดูโล

7. สูตรของนกกระสาใช้ในตัวอย่างที่มีด้านที่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม
ก่อนอื่นให้หากึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม

จากนั้นกำหนดพื้นที่ตามสูตร

หรือ

มักใช้ในรหัสของโปรแกรมเครื่องคิดเลข

8. หากทราบความสูงทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่จะถูกกำหนดโดยสูตร

เป็นการยากที่จะคำนวณด้วยเครื่องคิดเลขอย่างไรก็ตามในแพ็คเกจ MathCad, Mathematica, Maple พื้นที่คือ "หนึ่งสอง"

9. สูตรต่อไปนี้ใช้รัศมีที่รู้จักของวงกลมที่ถูกจารึกและล้อมรอบ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากทราบรัศมีและด้านของรูปสามเหลี่ยมหรือเส้นรอบรูป พื้นที่จะถูกคำนวณตามสูตร

10. ในตัวอย่างที่ให้ด้านและรัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นรอบวง พื้นที่จะถูกหาโดยสูตร

11. สูตรต่อไปนี้กำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในแง่ของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

และสุดท้าย - กรณีพิเศษ:
พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยขา a และ b เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณ

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า (ปกติ)=

\u003d หนึ่งในสี่ของผลคูณของกำลังสองด้านและรากของทั้งสาม