จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งได้อย่างไร? พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งมีค่าเท่ากับอินทิกรัลบางตัว

หัวข้อ: การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

งาน: เรียนรู้คำจำกัดความและสูตรสำหรับการค้นหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

พิจารณากรณีต่าง ๆ ในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้น

สามารถคำนวณพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูได้

วางแผน:

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง.

สูตรการคำนวณพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งตัวเลขเรียกว่า ซึ่งถูกจำกัดโดยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบ f (x) บนช่วงเวลา ส่วนของเส้นตรง x=a และ x=b ตลอดจนส่วนของแกน x ระหว่างจุด a และ ข.

รูปภาพของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง:

ทีนี้มาดูตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับตำแหน่งของตัวเลข พื้นที่ที่ต้องคำนวณบนระนาบพิกัด

อันดับแรก จะมีตัวเลือกที่ง่ายที่สุด (ภาพแรก) ตามปกติ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเช่นเดียวกับในคำจำกัดความ ไม่จำเป็นต้องประดิษฐ์อะไรตรงนี้ แค่หาอินทิกรัลจาก กก่อน ขจากฟังก์ชั่น ฉ(x). เราพบอินทิกรัล - เราจะรู้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้


ใน ที่สอง ตัวเลือก ตัวเลขของเราจะไม่ถูกจำกัดด้วยแกน x แต่ด้วยฟังก์ชันอื่น ก(x). ดังนั้นการหาพื้นที่ CEFDก่อนอื่นเราต้องหาพื้นที่ กฟผ(ใช้อินทิกรัลของ ฉ(x)) จากนั้นหาพื้นที่ อคส(ใช้อินทิกรัลของ ก(x)). และพื้นที่ที่ต้องการของรูป CEFDจะเป็นความแตกต่างระหว่างพื้นที่ที่หนึ่งและสองของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู เนื่องจากขอบเขตการอินทิกรัลเหมือนกันที่นี่ ทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ภายใต้อินทิกรัลเดียว (ดูสูตรด้านล่างรูป) ทุกอย่างขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของฟังก์ชัน ซึ่งในกรณีนี้จะหาอินทิกรัลได้ง่ายกว่า



ที่สาม คล้ายกับอันแรกมาก แต่วางเฉพาะรูปสี่เหลี่ยมคางหมูของเราเท่านั้นไม่เกิน แกน xและด้านล่าง ดังนั้นที่นี่เราต้องใช้อินทิกรัลเดียวกันโดยมีเครื่องหมายลบเท่านั้น เนื่องจากค่าของอินทิกรัลจะเป็นลบ และค่าของพื้นที่ต้องเป็นบวก ถ้าใช้แทนฟังก์ชัน ฉ(x)ใช้ฟังก์ชั่น -f(x)จากนั้น กราฟของมันก็จะเหมือนกันโดยแสดงแบบสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน x


และ ประการที่สี่ตัวเลือกเมื่อส่วนหนึ่งของตัวเลขของเราอยู่เหนือแกน x และบางส่วนอยู่ด้านล่าง ดังนั้นเราต้องหาพื้นที่ของรูปก่อน กฟผเช่นเดียวกับในรุ่นแรกแล้วพื้นที่ของรูป เอบีซีดีเช่นเดียวกับในตัวเลือกที่สามแล้วเพิ่มเข้าไป เป็นผลให้เราได้พื้นที่ของตัวเลข กพ. เนื่องจากขอบเขตการอินทิกรัลเหมือนกันที่นี่ ทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ภายใต้อินทิกรัลเดียว (ดูสูตรด้านล่างรูป) ทุกอย่างขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของฟังก์ชัน ซึ่งในกรณีนี้จะหาอินทิกรัลได้ง่ายกว่า

คำถามสำหรับการตรวจสอบตนเอง:

รูปร่างใดที่เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง?

จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งได้อย่างไร?

ย้อนกลับ

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงขอบเขตทั้งหมดของงานนำเสนอ หากคุณสนใจงานนี้ โปรดดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

คำสำคัญ:อินทิกรัล, สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง, พื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยดอกลิลลี่

อุปกรณ์: กระดานไวท์บอร์ด คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายภาพมัลติมีเดีย

ประเภทบทเรียน: บทเรียน-บรรยาย

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• เกี่ยวกับการศึกษา:เพื่อสร้างวัฒนธรรมของการทำงานทางจิตเพื่อสร้างสถานการณ์แห่งความสำเร็จสำหรับนักเรียนแต่ละคนเพื่อสร้างแรงจูงใจในเชิงบวกสำหรับการเรียนรู้ พัฒนาความสามารถในการพูดและฟังผู้อื่น
• กำลังพัฒนา:การสร้างความเป็นอิสระในการคิดของนักเรียนในการใช้ความรู้ในสถานการณ์ต่าง ๆ ความสามารถในการวิเคราะห์และสรุปผลการพัฒนาตรรกะการพัฒนาความสามารถในการตั้งคำถามและค้นหาคำตอบได้อย่างถูกต้อง ปรับปรุงการก่อตัวของทักษะการคำนวณ, การคำนวณ, การพัฒนาความคิดของนักเรียนในการปฏิบัติงานที่เสนอ, การพัฒนาวัฒนธรรมอัลกอริทึม
• เกี่ยวกับการศึกษา: เพื่อสร้างแนวคิดเกี่ยวกับเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูเกี่ยวกับอินทิกรัลเพื่อฝึกฝนทักษะการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขแบน

วิธีการสอน:คำอธิบายและภาพประกอบ

ระหว่างเรียน

ในชั้นเรียนก่อนหน้านี้ เราได้เรียนรู้วิธีการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่มีขอบเขตเป็นเส้นแบ่ง ในวิชาคณิตศาสตร์มีวิธีการที่ช่วยให้คุณคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง และพื้นที่ของพวกมันคำนวณโดยใช้แอนติเดริเวทีฟ

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ( สไลด์ 1)

สี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นโค้งคือตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟฟังก์ชัน ( wm), ตรง x = กและ x = ขและแอ็บสซิสซา

สี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งประเภทต่างๆ ( สไลด์ 2)

เราพิจารณารูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งประเภทต่าง ๆ และสังเกตว่า: เส้นใดเส้นหนึ่งเสื่อมลงเป็นจุด บทบาทของฟังก์ชันจำกัดจะเล่นโดยเส้น

พื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู (สไลด์ 3)

แก้ไขจุดสิ้นสุดด้านซ้ายของช่วงเวลา ก,และถูกต้อง เอ็กซ์เราจะเปลี่ยนนั่นคือเราย้ายผนังด้านขวาของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งและรับตัวเลขที่เปลี่ยนแปลง พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่แปรผันซึ่งล้อมรอบด้วยกราฟฟังก์ชันคือแอนติเดริเวทีฟ ฉสำหรับฟังก์ชั่น ฉ

และในส่วนของ [ ก; ข] พื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่เกิดจากฟังก์ชัน ฉเท่ากับการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันนี้:

แบบฝึกหัดที่ 1:

ค้นหาพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 2และโดยตรง y=0, x=1, x=2

วิธีการแก้: ( ตามอัลกอริทึมสไลด์ 3)

วาดกราฟของฟังก์ชันและเส้น

ค้นหาหนึ่งในอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 :

เลื่อนตรวจสอบตนเอง

อินทิกรัล

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่กำหนดโดยฟังก์ชัน ฉในส่วนของ [ ก; ข]. แบ่งส่วนนี้ออกเป็นหลายส่วน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่เล็กกว่า ( สไลด์ 5). สี่เหลี่ยมคางหมูแต่ละอันสามารถถือเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยประมาณ ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้ให้แนวคิดโดยประมาณเกี่ยวกับพื้นที่ทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง ยิ่งเราแบ่งส่วนให้เล็กลง [ ก; ข] ยิ่งเราคำนวณพื้นที่ได้แม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

เราเขียนการพิจารณาเหล่านี้ในรูปแบบของสูตร

แบ่งส่วน [ ก; ข] ออกเป็น n ส่วนด้วยจุด x 0 \u003d ก, x1, ..., xn \u003d ข.ความยาว k-ไทย แสดงโดย xk = xk - xk-1. มาสรุปกันเถอะ

ทางเรขาคณิต ผลรวมนี้คือพื้นที่ของรูปที่แรเงาในรูป ( sh.m.)

ผลรวมของแบบฟอร์มเรียกว่าผลรวมของฟังก์ชัน ฉ. (ช.ม.)

ผลรวมของอินทิกรัลให้ค่าโดยประมาณของพื้นที่ ได้รับค่าที่แน่นอนโดยการส่งผ่านไปยังขีด จำกัด ลองนึกภาพว่าเราปรับแต่งพาร์ติชันของส่วน [ ก; ข] เพื่อให้ความยาวของส่วนเล็กๆ ทั้งหมดมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ประกอบขึ้นจะเข้าใกล้พื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู เราสามารถพูดได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเท่ากับขีด จำกัด ของผลรวม ส. (ช.ม.)หรืออินทิกรัล กล่าวคือ

คำนิยาม:

อินทิกรัลฟังก์ชัน ฉ(x)จาก กก่อน ขเรียกว่าลิมิตของผลบวก

= (ช.ม.)

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

โปรดจำไว้ว่าขีด จำกัด ของผลรวมอินทิกรัลเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งดังนั้นเราจึงสามารถเขียน:

ส. = (ช.ม.)

ในทางกลับกันพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคำนวณโดยสูตร

S ถึง t (ช.ม.)

การเปรียบเทียบสูตรเหล่านี้ เราได้รับ:

= (ช.ม.)

ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่าสูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

เพื่อความสะดวกในการคำนวณจึงเขียนสูตรดังนี้

= = (ช.ม.)

งาน: (sch.m.)

1. คำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ: ( ตรวจสอบสไลด์ที่ 5)

2. รวบรวมปริพันธ์ตามรูปวาด ( ตรวจสอบสไลด์ที่ 6)

3. ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2 ( สไลด์ 7)

การหาพื้นที่ของรูประนาบ ( สไลด์ 8)

จะหาพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งได้อย่างไร?

ให้กำหนดสองฟังก์ชัน กราฟที่คุณเห็นบนสไลด์ . (ช.ม.)ค้นหาพื้นที่ของรูปที่แรเงา . (ช.ม.). รูปที่เป็นปัญหาเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งหรือไม่? และคุณจะหาพื้นที่ได้อย่างไรโดยใช้คุณสมบัติการบวกของพื้นที่ พิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นสองอันแล้วลบพื้นที่ของอีกอันออกจากพื้นที่ของหนึ่งในนั้น ( ว.ม.)

มาสร้างอัลกอริทึมสำหรับค้นหาพื้นที่จากภาพเคลื่อนไหวบนสไลด์กัน:

1. พล็อตฟังก์ชั่น
2. ฉายจุดตัดของกราฟบนแกน x
3. แรเงาตัวเลขที่ได้จากการข้ามกราฟ
4. ค้นหาสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งที่มีจุดตัดหรือจุดเชื่อมต่อเป็นตัวเลขที่กำหนด
5. คำนวณพื้นที่ของแต่ละ
6. ค้นหาความแตกต่างหรือผลรวมของพื้นที่

ภารกิจปากเปล่า: วิธีหาพื้นที่ของภาพที่แรเงา (บอกโดยใช้แอนิเมชั่น สไลด์ 8 และ 9)

การบ้าน:หาบทคัดย่อหมายเลข 353 (ก) หมายเลข 364 (ก)

บรรณานุกรม

1. พีชคณิตและการเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 9-11 ของโรงเรียนภาคค่ำ (กะ) / ed. จี.ดี. เกลเซอร์. - M: การตรัสรู้, 1983.
2. Bashmakov M.I. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของโรงเรียนมัธยม / Bashmakov M.I. - ม: การตรัสรู้, 2534.
3. Bashmakov M.I. คณิตศาสตร์: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันเริ่มต้น และเฉลี่ย ศ. การศึกษา / ม. แบชมาคอฟ. - M: Academy, 2010.
4. Kolmogorov A.N. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับ 10-11 เซลล์ สถาบันการศึกษา / A.N. Kolmogorov - ม: การตรัสรู้, 2553.
5. Ostrovsky S.L. นำเสนอบทเรียนอย่างไร / ส.ล. ออสตรอฟสกี้. – ม.: 1 กันยายน 2553

ให้ฟังก์ชันไม่เป็นลบและต่อเนื่องในช่วงเวลา จากนั้นตามความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลบางอย่าง พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันนี้จากด้านบน จากด้านล่างโดยแกน จากด้านซ้ายและขวาโดยเส้นตรง และ (ดูรูปที่ 2 ) คำนวณโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 9ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น และแกน

วิธีการแก้. กราฟฟังก์ชัน เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งชี้ลง มาสร้างกันเถอะ (รูปที่ 3) ในการกำหนดขีดจำกัดของการรวม เราจะหาจุดตัดของเส้น (พาราโบลา) กับแกน (เส้นตรง) ในการทำเช่นนี้ เราแก้ระบบสมการ

เราได้รับ: , ที่ไหน , ; เพราะเหตุนี้, , .

ข้าว. 3

พื้นที่ของรูปพบได้จากสูตร (5):

หากฟังก์ชันไม่เป็นบวกและต่อเนื่องในส่วน ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นที่ล้อมรอบจากด้านล่างโดยกราฟของฟังก์ชันนี้ จากด้านบนโดยแกน จากด้านซ้ายและขวาโดยเส้นตรง และ คือ คำนวณโดยสูตร

. (6)

หากฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมายที่จำนวนจุดที่จำกัด พื้นที่ของรูปที่แรเงา (รูปที่ 4) จะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของปริพันธ์เฉพาะที่สอดคล้องกัน:

ข้าว. สี่

ตัวอย่างที่ 10คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยแกนและกราฟของฟังก์ชันสำหรับ

ข้าว. 5

วิธีการแก้. มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 5) พื้นที่ที่ต้องการคือผลรวมของพื้นที่ และ ลองหาแต่ละพื้นที่เหล่านี้กัน ขั้นแรก เรากำหนดขีดจำกัดของการรวมโดยการแก้ปัญหาระบบ เราได้รับ , . เพราะเหตุนี้:

;

.

ดังนั้นพื้นที่ของรูปที่แรเงาคือ

(ตร.หน่วย).

ข้าว. 6

ในที่สุด สี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นโค้งถูกล้อมรอบจากด้านบนและด้านล่างโดยกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันในส่วนของ และ ,
และทางซ้ายและขวา - ตรงและ (รูปที่ 6) จากนั้นพื้นที่จะถูกคำนวณโดยสูตร

. (8)

ตัวอย่างที่ 11ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น และ

วิธีการแก้.ตัวเลขนี้แสดงในรูปที่ 7. เราคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร (8) เราพบการแก้ระบบสมการ , ; เพราะเหตุนี้, , . ในส่วนของเรามี: . ดังนั้นในสูตร (8) เราใช้เป็น xและเป็น - . เราได้รับ:

(ตร.หน่วย).

ปัญหาการคำนวณพื้นที่ที่ซับซ้อนมากขึ้นได้รับการแก้ไขโดยการแบ่งตัวเลขออกเป็นส่วนที่ไม่ตัดกันและคำนวณพื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดเป็นผลรวมของพื้นที่ของส่วนเหล่านี้

ข้าว. 7

ตัวอย่างที่ 12ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , .

วิธีการแก้. มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 8) ตัวเลขนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูแนวโค้งที่ล้อมรอบด้วยแกนจากด้านล่าง จากด้านซ้ายและขวา - โดยเส้นตรง และ จากด้านบน - โดยกราฟของฟังก์ชัน และ เนื่องจากกราฟของสองฟังก์ชันล้อมรอบจากด้านบน ในการคำนวณพื้นที่ เราแบ่งตัวเลขตรงนี้ออกเป็นสองส่วน (1 คือ abscissa ของจุดตัดของเส้น และ) พื้นที่ของแต่ละส่วนเหล่านี้พบได้จากสูตร (4):

(ตร.หน่วย); (ตร.หน่วย). เพราะเหตุนี้:

(ตร.หน่วย).

ข้าว. แปด

เอ็กซ์= เจ ( ที่)

ข้าว. 9

โดยสรุป เราทราบว่าหากเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูถูกล้อมรอบด้วยเส้นตรง และ , แกนและต่อเนื่องบนเส้นโค้ง (รูปที่ 9) สูตรจะพบพื้นที่ของมัน

ปริมาณของการปฏิวัติ

ให้สี่เหลี่ยมคางหมูที่เป็นเส้นโค้งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนส่วน แกน เส้นตรง และหมุนรอบแกน (รูปที่ 10) จากนั้นสูตรจะคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติ

. (9)

ตัวอย่างที่ 13คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรอบแกนของสี่เหลี่ยมคางหมูแนวโค้งซึ่งล้อมรอบด้วยไฮเปอร์โบลา เส้นตรง และแกน

วิธีการแก้. มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 11)

จากเงื่อนไขของปัญหาที่ว่า , . ตามสูตร (9) เราได้รับ

.

ข้าว. สิบ

ข้าว. สิบเอ็ด

ปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนรอบแกน อู๋สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยเส้นตรง y = คและ y = งแกน อู๋และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วน (รูปที่ 12) ถูกกำหนดโดยสูตร

. (10)

เอ็กซ์= เจ ( ที่)

ข้าว. 12

ตัวอย่างที่ 14. คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรอบแกน อู๋สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยเส้น เอ็กซ์ 2 = 4ที่, y= 4, x = 0 (รูปที่ 13)

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไขของปัญหา เราพบขีดจำกัดของการรวม: , . ตามสูตร (10) เราได้รับ:

ข้าว. 13

ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งแบน

ให้เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ โดยที่ อยู่ในระนาบ (รูปที่ 14)

ข้าว. สิบสี่

คำนิยาม. ความยาวของส่วนโค้งเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นขีดจำกัดซึ่งความยาวของเส้นหลายเส้นที่จารึกไว้ในส่วนโค้งนี้มีแนวโน้มเมื่อจำนวนของเส้นเชื่อมของเส้นรอบวงมีแนวโน้มเป็นอนันต์ และความยาวของเส้นเชื่อมที่ใหญ่ที่สุดมีแนวโน้มเป็นศูนย์

ถ้าฟังก์ชันและอนุพันธ์ต่อเนื่องกันในเซ็กเมนต์ ความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้งจะคำนวณโดยสูตร

. (11)

ตัวอย่างที่ 15. คำนวณความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้งที่อยู่ระหว่างจุดที่ .

วิธีการแก้. จากสภาพปัญหาที่เรามีอยู่ . ตามสูตร (11) เราได้รับ:

.

4. ปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสม
ด้วยขีดจำกัดของการผสมผสานที่ไม่สิ้นสุด

เมื่อนำแนวคิดของอินทิกรัลที่แน่นอน สันนิษฐานว่าตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

ก) ข้อ จำกัด ของการรวม กและมีขอบเขตจำกัด

b) อินทิกรันด์มีขอบเขตอยู่ในเซกเมนต์

หากไม่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งข้อ ก็จะเรียกอินทิกรัล ไม่เหมาะสม.

อันดับแรก ให้เราพิจารณาอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมซึ่งมีลิมิตของการอินทิเกรตที่ไม่สิ้นสุด

คำนิยาม. ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลา แล้วและไม่มีขอบเขตทางด้านขวา (รูปที่ 15)

ถ้าอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกัน พื้นที่นี้จะมีขอบเขตจำกัด หากอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมเบี่ยงเบน พื้นที่นี้ก็ไม่มีที่สิ้นสุด

ข้าว. สิบห้า

อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมซึ่งมีขีดจำกัดต่ำสุดของการอินทิเกรตถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน:

. (13)

อินทิกรัลนี้จะมาบรรจบกันหากขีดจำกัดทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (13) มีอยู่และจำกัด มิฉะนั้นจะบอกว่าอินทิกรัลต่างกัน

อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมซึ่งมีลิมิตอินทิเกรตสองลิมิตไม่จำกัดดังนี้:

, (14)

โดยที่ с คือจุดใดๆ ของช่วงเวลา อินทิกรัลจะมาบรรจบกันก็ต่อเมื่ออินทิกรัลทั้งสองมาบรรจบกันทางด้านขวาของความเท่ากันเท่านั้น (14)

;

ช) = [เลือกตารางเต็มในส่วน: ] = [เปลี่ยน:

] =

ดังนั้นอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมจะลู่เข้าและมีค่าเท่ากับ

ตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ใช่ค่าลบ $f(x)$ ในช่วง $$ และเส้น $y=0, \ x=a$ และ $x=b$ เรียกว่า สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกันคำนวณโดยสูตร:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

ปัญหาในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งเราจะแบ่งออกเป็นประเภท $4$ อย่างมีเงื่อนไข ลองพิจารณาแต่ละประเภทโดยละเอียด

ประเภท I: สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะได้รับอย่างชัดเจนจากนั้นใช้สูตร (*) ทันที

ตัวอย่างเช่น หาพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=4-(x-2)^(2)$ และเส้น $y=0, \ x=1$ และ $x =3$.

ลองวาดสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งนี้

ใช้สูตร (*) เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$).

Type II: curvilinear trapezoid ให้โดยปริยายในกรณีนี้ เส้นตรง $x=a, \ x=b$ มักจะไม่ระบุหรือระบุเพียงบางส่วน ในกรณีนี้ คุณต้องหาจุดตัดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ และ $y=0$ จุดเหล่านี้จะเป็นจุด $a$ และ $b$

ตัวอย่างเช่น ค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=1-x^(2)$ และ $y=0$

มาหาจุดตัดกัน ในการทำเช่นนี้ เราถือเอาส่วนที่ถูกต้องของฟังก์ชัน

ดังนั้น $a=-1$ และ $b=1$ ลองวาดสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งนี้

ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเส้นโค้งนี้

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$)

Type III: พื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยจุดตัดของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบต่อเนื่องสองฟังก์ชันรูปนี้จะไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ซึ่งหมายความว่าการใช้สูตร (*) คุณจะคำนวณพื้นที่ไม่ได้ จะเป็นอย่างไร?ปรากฎว่าพื้นที่ของตัวเลขนี้สามารถหาได้จากความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชันด้านบนและ $y=0$ ($S_(uf)$) และฟังก์ชันด้านล่าง และ $y= 0$ ($S_(lf)$) โดยที่บทบาทของ $x=a, \ x=b$ เล่นโดยพิกัด $x$ ของจุดตัดกันของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่น

$S=S_(ยูเอฟ)-S_(เอลฟ์)$ (**)

สิ่งที่สำคัญที่สุดเมื่อคำนวณพื้นที่ดังกล่าวคือต้องไม่ "พลาด" เมื่อเลือกฟังก์ชันด้านบนและด้านล่าง

ตัวอย่างเช่น หาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชัน $y=x^(2)$ และ $y=x+6$

มาหาจุดตัดของกราฟเหล่านี้กัน:

ตามทฤษฎีบทของ Vieta จะได้ว่า

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

นั่นคือ $a=-2, \ b=3$ มาวาดรูปกันเถอะ:

ดังนั้นฟังก์ชันบนสุดคือ $y=x+6$ และฟังก์ชันล่างคือ $y=x^(2)$ ต่อไป หา $S_(uf)$ และ $S_(lf)$ โดยใช้สูตร (*)

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (หน่วย $^(2)$)

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (หน่วย$^(2)$)

แทนที่ที่พบใน (**) และรับ:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (หน่วย $^(2)$).

ประเภท IV: พื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชันที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่ไม่ใช่การปฏิเสธในการหาพื้นที่ของรูปดังกล่าว คุณต้องสมมาตรรอบแกน $Ox$ ( กล่าวอีกนัยหนึ่งใส่ "minuses" หน้าฟังก์ชั่น) แสดงพื้นที่และใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในประเภท I - III ค้นหาพื้นที่ของพื้นที่ที่แสดง พื้นที่นี้จะเป็นพื้นที่ที่จำเป็น ขั้นแรก คุณอาจต้องหาจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น ค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=x^(2)-1$ และ $y=0$

มาหาจุดตัดกันของกราฟฟังก์ชันกัน:

เหล่านั้น. $a=-1$ และ $b=1$ มาวาดพื้นที่กันเถอะ

แสดงพื้นที่แบบสมมาตร:

$y=0 \ \ลูกศรขวา \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \ลูกศรขวา \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$

คุณจะได้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=1-x^(2)$ และ $y=0$ นี่เป็นปัญหาในการค้นหารูปสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งประเภทที่สอง เราแก้ไขมันแล้ว คำตอบคือ: $S= 1\frac(1)(3)$ (หน่วย $^(2)$) ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ต้องการจึงเท่ากับ:

$S=1\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$).

พิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งที่ล้อมรอบด้วยแกน Ox เส้นโค้ง y \u003d f (x) และเส้นตรงสองเส้น: x \u003d a และ x \u003d b (รูปที่ 85) ใช้ค่า x ตามอำเภอใจ (เฉพาะไม่ใช่ a และไม่ใช่ b) ให้เราเพิ่มค่า h = dx และพิจารณาแถบที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง AB และ CD โดยแกน Ox และโดยส่วนโค้ง BD ที่เป็นของเส้นโค้งที่กำลังพิจารณา แถบนี้จะเรียกว่าแถบประถมศึกษา พื้นที่ของแถบพื้นฐานแตกต่างจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ACQB โดยสามเหลี่ยมโค้ง BQD และพื้นที่ของส่วนหลังน้อยกว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า BQDM ที่มีด้าน BQ = =h= dx) QD=Ay และพื้นที่เท่ากับ hAy = Ay dx เมื่อด้าน h ลดลง ด้าน Du ก็ลดลงเช่นกัน และพร้อมกับ h มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ดังนั้นพื้นที่ของ BQDM จึงน้อยมากในลำดับที่สอง พื้นที่ของแถบพื้นฐานคือส่วนเพิ่มของพื้นที่และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ACQB เท่ากับ AB-AC==/(x) dx> คือส่วนต่างของพื้นที่ ดังนั้นเราจึงค้นหาพื้นที่โดยการรวมส่วนต่างเข้าด้วยกัน ภายในขอบเขตของตัวเลขที่กำลังพิจารณา ตัวแปรอิสระ l: เปลี่ยนจาก a เป็น b ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการ 5 จะเท่ากับ 5= \f (x) dx (I) ตัวอย่างที่ 1 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา y - 1 -x *, เส้นตรง X \u003d - Fj-, x \u003d 1 และแกน O * (รูปที่ 86) ที่รูปที่ 87. มะเดื่อ 86. 1 ที่นี่ f(x) = 1 - l?, ลิมิตของการรวม a = - และ t = 1, ดังนั้น 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* ตัวอย่างที่ 2. คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยไซน์ไซด์ y = sinXy แกน Ox และเส้นตรง (รูปที่ 87) การใช้สูตร (I) เราได้ L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf ด้วยแกน Ox (ตัวอย่างเช่น ระหว่างจุดกำเนิดและจุดที่มี abscissa i) โปรดทราบว่าจากการพิจารณาทางเรขาคณิตเป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่นี้จะเป็นสองเท่าของพื้นที่ตัวอย่างก่อนหน้า อย่างไรก็ตาม ลองคำนวณดู: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2 o อันที่จริง ข้อสันนิษฐานของเรานั้นยุติธรรม ตัวอย่างที่ 4 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยไซน์ไซด์และแกน ^ Ox บนจุดหนึ่ง (รูปที่ 88) การตัดสินตัวเลขราสเบื้องต้นแนะนำว่าพื้นที่จะมีขนาดใหญ่กว่าใน pr.2 ถึงสี่เท่า อย่างไรก็ตามหลังจากทำการคำนวณแล้ว เราได้รับ "i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0 ผลลัพธ์นี้ต้องมีการชี้แจง เพื่อชี้แจงสาระสำคัญของเรื่องนี้ เรายังคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยไซน์ซอยด์เดียวกัน y \u003d sin l: และแกน Ox ตั้งแต่ l ถึง 2n ใช้สูตร (I) เราได้รับ ดังนั้นเราจึงเห็นว่าพื้นที่นี้กลายเป็นลบ เมื่อเปรียบเทียบกับพื้นที่ที่คำนวณในตัวอย่างที่ 3 เราพบว่าค่าสัมบูรณ์ของพวกมันเหมือนกัน แต่เครื่องหมายต่างกัน หากเราใช้คุณสมบัติ V (ดู Ch. XI, § 4) เราก็ได้รับโดยบังเอิญ พื้นที่ด้านล่างแกน x เสมอ โดยที่ตัวแปรอิสระเปลี่ยนจากซ้ายไปขวา จะได้มาโดยการคำนวณโดยใช้อินทิกรัลลบ ในหลักสูตรนี้ เราจะพิจารณาพื้นที่ที่ไม่ได้ลงนามเสมอ ดังนั้น คำตอบในตัวอย่างที่เพิ่งวิเคราะห์จะเป็นดังนี้ พื้นที่ที่ต้องการเท่ากับ 2 + |-2| = 4. ตัวอย่างที่ 5 ลองคำนวณพื้นที่ของ BAB ที่แสดงในรูป 89. พื้นที่นี้จำกัดด้วยแกน Ox พาราโบลา y = - xr และเส้นตรง y - = -x + \ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง พื้นที่ที่หา OAB ประกอบด้วยสองส่วน: OAM และ MAB เนื่องจากจุด A เป็นจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง เราจะหาพิกัดของมันได้โดยการแก้ระบบสมการ 3 2 Y \u003d mx (เราต้องหา abscissa ของจุด A เท่านั้น) การแก้ระบบ เราพบ l; =~. ดังนั้นจึงต้องคำนวณพื้นที่เป็นส่วน ๆ ก่อน pl. OAM แล้วกรุณา MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x )