วิธีหาพื้นที่ผิวรวมของกรวย พื้นที่ผิวด้านข้างและผิวรวมของกรวย

ร่างของการปฏิวัติที่เรียนในโรงเรียนคือทรงกระบอก กรวย และลูกบอล

หากมีปัญหาในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์คุณต้องคำนวณปริมาตรของกรวยหรือพื้นที่ทรงกลมให้ถือว่าตัวเองโชคดี

ใช้สูตรปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก กรวย และทรงกลม ทั้งหมดอยู่ในตารางของเรา เรียนรู้ด้วยใจ นี่คือจุดเริ่มต้นของความรู้เรื่องสามมิติ

บางครั้งก็เป็นการดีที่จะดึงมุมมองจากด้านบน หรือในปัญหานี้จากด้านล่าง

2. ปริมาตรของกรวยที่ล้อมรอบพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติมีปริมาตรมากกว่าปริมาตรของกรวยที่จารึกไว้ในปิรามิดนี้กี่ครั้ง?

ง่ายมาก - วาดมุมมองจากด้านล่าง เราจะเห็นว่ารัศมีของวงกลมที่ใหญ่กว่านั้นมากกว่ารัศมีของวงกลมที่เล็กกว่าหลายเท่า ความสูงของกรวยทั้งสองเท่ากัน ดังนั้นปริมาตรของกรวยที่ใหญ่กว่าจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่า

อื่น จุดสำคัญ- จำไว้ว่าในปัญหาของภาคบี ตัวเลือกการสอบ Unified Stateในทางคณิตศาสตร์ คำตอบจะเขียนเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนจำกัด ทศนิยม- ดังนั้นจึงไม่ควรมีหรืออยู่ในคำตอบของคุณในส่วน ข. ไม่จำเป็นต้องทดแทนค่าโดยประมาณของตัวเลขเช่นกัน! มันต้องหดตัวแน่นอน! เพื่อจุดประสงค์นี้ในปัญหาบางอย่างจึงมีการกำหนดงานไว้ดังนี้: "ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกหารด้วย"

สูตรสำหรับปริมาตรและพื้นที่ผิวของตัวการปฏิวัติใช้อยู่ที่ไหนอีก? แน่นอนในปัญหา C2 (16) เราจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วย

ต่อไปนี้เป็นปัญหาเกี่ยวกับกรวย สภาพเกี่ยวข้องกับพื้นที่ผิวของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในบางปัญหา มีคำถามเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงพื้นที่เมื่อเพิ่ม (ลด) ความสูงของกรวยหรือรัศมีของฐาน ทฤษฎีการแก้ปัญหาใน. พิจารณางานต่อไปนี้:

27135 เส้นรอบวงฐานของกรวยคือ 3, เจเนราทริกซ์คือ 2 จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยเท่ากับ:

การแทนที่ข้อมูล:

75697 พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้งหาก generatrix เพิ่มขึ้น 36 เท่า และรัศมีของฐานยังคงเท่าเดิม?

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย:

Generatrix เพิ่มขึ้น 36 เท่า รัศมียังคงเท่าเดิม ซึ่งหมายความว่าเส้นรอบวงของฐานไม่เปลี่ยนแปลง

ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกดัดแปลงจะมีรูปแบบ:

มันจะเพิ่มขึ้น 36 เท่า

*ความสัมพันธ์ตรงไปตรงมา ดังนั้นปัญหานี้จึงสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายด้วยวาจา

27137 พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยจะลดลงกี่ครั้งหากรัศมีของฐานลดลง 1.5 เท่า

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยเท่ากับ:

รัศมีลดลง 1.5 เท่า นั่นคือ:

พบว่าพื้นที่ผิวด้านข้างลดลง 1.5 เท่า

27159 ความสูงของกรวยคือ 6 เครื่องกำเนิดคือ 10 ค้นหาพื้นที่ของมัน เต็มพื้นผิวหารด้วยพาย

พื้นผิวกรวยเต็ม:

คุณต้องค้นหารัศมี:

ทราบความสูงและเจเนราทริกซ์โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เราคำนวณรัศมี:

ดังนั้น:

หารผลลัพธ์ด้วยพายแล้วเขียนคำตอบลงไป

76299 พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยคือ 108 วาดส่วนขนานกับฐานของกรวยโดยแบ่งความสูงออกเป็นครึ่งหนึ่ง หาพื้นที่ผิวรวมของกรวยที่ตัดออก

ส่วนตัดผ่านตรงกลางของความสูงขนานกับฐาน ซึ่งหมายความว่ารัศมีของฐานและเจเนราทริกซ์ของกรวยที่ตัดออกจะน้อยกว่ารัศมีและเจเนราทริกซ์ของกรวยดั้งเดิม 2 เท่า ให้เราเขียนพื้นที่ผิวของกรวยที่ตัดออก:

มาเป็น 4 ครั้งแล้ว พื้นที่น้อยลงพื้นผิวของต้นฉบับ นั่นคือ 108:4 = 27

*เนื่องจากกรวยดั้งเดิมและกรวยที่ถูกตัดออกมีลักษณะคล้ายกัน จึงเป็นไปได้ที่จะใช้คุณสมบัติความคล้ายคลึงกัน:

27167. รัศมีของฐานของกรวยคือ 3 และความสูงคือ 4 จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยหารด้วยพาย

สูตรสำหรับพื้นผิวทั้งหมดของกรวย:

ทราบรัศมีแล้วจำเป็นต้องค้นหาเจเนราทริกซ์

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ดังนั้น:

หารผลลัพธ์ด้วยพายแล้วเขียนคำตอบลงไป

งาน. พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยคือสี่เท่า พื้นที่มากขึ้นบริเวณ ค้นหาว่าโคไซน์ของมุมระหว่างเจเนราทริกซ์ของกรวยกับระนาบของฐานเป็นเท่าใด

พื้นที่ฐานกรวยคือ:

นั่นคือโคไซน์จะเท่ากับ:

คำตอบ: 0.25

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

27136 พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้งหาก generatrix เพิ่มขึ้น 3 เท่า?

27160 พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยเป็นสองเท่าของพื้นที่ฐาน ค้นหามุมระหว่างเจเนราทริกซ์ของกรวยกับระนาบของฐาน ให้คำตอบเป็นองศา -

27161 พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยคือ 12 ส่วนจะถูกวาดขนานกับฐานของกรวยโดยแบ่งความสูงออกเป็นครึ่งหนึ่ง หาพื้นที่ผิวรวมของกรวยที่ตัดออก

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถืออเล็กซานเดอร์

*แบ่งปันข้อมูลเกี่ยวกับไซต์กับเพื่อนของคุณผ่านเครือข่ายโซเชียล

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ หากคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

ประเภทบทเรียน:บทเรียนการเรียนรู้สื่อใหม่โดยใช้องค์ประกอบของวิธีการสอนเชิงพัฒนาการตามปัญหา

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• ทางการศึกษา:
  • การทำความคุ้นเคยกับสิ่งใหม่ แนวคิดทางคณิตศาสตร์;
  • การจัดตั้งศูนย์ฝึกอบรมแห่งใหม่
  • การพัฒนาทักษะการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ
• การพัฒนา:
  • พัฒนาการคิดอย่างอิสระของนักเรียน
  • การพัฒนาทักษะ คำพูดที่ถูกต้องเด็กนักเรียน
• ทางการศึกษา:
  • การพัฒนาทักษะการทำงานเป็นทีม

อุปกรณ์การเรียน:กระดานแม่เหล็ก คอมพิวเตอร์ จอภาพ เครื่องฉายมัลติมีเดีย โมเดลกรวย การนำเสนอบทเรียน เอกสารประกอบคำบรรยาย

วัตถุประสงค์ของบทเรียน (สำหรับนักเรียน):

• พบปะผู้คนใหม่ ๆ แนวคิดทางเรขาคณิต- กรวย;
• หาสูตรคำนวณพื้นที่ผิวของกรวย
• เรียนรู้ที่จะใช้ความรู้ที่ได้รับเมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติ

ความคืบหน้าของบทเรียน

ด่านที่ 1 องค์กร

การคืนสมุดบันทึกจากบ้าน ทดสอบงานในหัวข้อที่ครอบคลุม

นักเรียนได้รับเชิญให้ค้นหาหัวข้อของบทเรียนที่กำลังจะมาถึงโดยการไขปริศนา (สไลด์ 1):

รูปที่ 1.

ประกาศหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียนแก่นักเรียน (สไลด์ 2).

ด่านที่สอง คำอธิบายของวัสดุใหม่

1) การบรรยายของครู

บนกระดานมีโต๊ะที่มีรูปกรวย วัสดุใหม่มีการอธิบายพร้อมกับเนื้อหาโปรแกรม "สามมิติ" ภาพสามมิติของกรวยจะปรากฏขึ้นบนหน้าจอ ครูให้คำจำกัดความของกรวยและพูดถึงองค์ประกอบของกรวย (สไลด์ 3)- ว่ากันว่ากรวยคือร่างกายที่เกิดจากการหมุน สามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กับขา (สไลด์ 4, 5)ภาพการสแกนพื้นผิวด้านข้างของกรวยจะปรากฏขึ้น (สไลด์ 6)

2) การปฏิบัติงานจริง

อัพเดตความรู้พื้นฐาน: ทำซ้ำสูตรคำนวณพื้นที่วงกลม, พื้นที่เซกเตอร์, ความยาวของวงกลม, ความยาวของส่วนโค้งของวงกลม (สไลด์ 7–10)

ชั้นเรียนแบ่งออกเป็นกลุ่ม แต่ละกลุ่มจะได้รับการสแกนพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ตัดจากกระดาษ (ส่วนของวงกลมที่มีหมายเลขที่กำหนด) นักเรียนทำการวัดที่จำเป็นและคำนวณพื้นที่ของภาคผลลัพธ์ คำแนะนำในการทำงาน คำถาม - คำชี้แจงปัญหา - ปรากฏบนหน้าจอ (สไลด์ 11–14)- ตัวแทนของแต่ละกลุ่มเขียนผลการคำนวณลงในตารางที่เตรียมไว้บนกระดาน ผู้เข้าร่วมในแต่ละกลุ่มติดแบบจำลองกรวยจากลวดลายที่ตนมีเข้าด้วยกัน (สไลด์ 15)

3) คำชี้แจงและแนวทางแก้ไขปัญหา

จะคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยได้อย่างไรหากทราบเพียงรัศมีของฐานและความยาวของเจเนราทริกซ์ของกรวยเท่านั้น (สไลด์ 16)

แต่ละกลุ่มจะทำการวัดที่จำเป็นและพยายามหาสูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่ที่ต้องการโดยใช้ข้อมูลที่มีอยู่ เมื่อทำงานนี้ นักเรียนควรสังเกตว่าเส้นรอบวงของฐานของกรวยเท่ากับความยาวของส่วนโค้งของเซกเตอร์ - การพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวยนี้ (สไลด์ 17–21)โดยใช้ สูตรที่จำเป็นจะแสดงสูตรที่ต้องการ ข้อโต้แย้งของนักเรียนควรมีลักษณะดังนี้:

รัศมีกวาดเซกเตอร์เท่ากับ ลิตร การวัดระดับส่วนโค้ง – φ พื้นที่ของเซกเตอร์คำนวณโดยสูตร: ความยาวของส่วนโค้งที่ล้อมรอบเซกเตอร์นี้เท่ากับรัศมีของฐานของกรวย R ความยาวของวงกลมที่วางอยู่ที่ฐานของกรวยคือ C = 2πR . โปรดทราบว่าเนื่องจากพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยเท่ากับพื้นที่การพัฒนาของพื้นผิวด้านข้างของมัน ดังนั้น

ดังนั้น พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยจึงคำนวณโดยสูตร S BOD = πRl

หลังจากคำนวณพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของแบบจำลองกรวยโดยใช้สูตรที่ได้รับมาอย่างอิสระ ตัวแทนของแต่ละกลุ่มจะเขียนผลลัพธ์ของการคำนวณลงในตารางบนกระดานตามหมายเลขรุ่น ผลการคำนวณในแต่ละบรรทัดจะต้องเท่ากัน จากนี้ครูจะกำหนดความถูกต้องของข้อสรุปของแต่ละกลุ่ม ตารางผลลัพธ์ควรมีลักษณะดังนี้:

หมายเลขรุ่น	ฉันทำงาน	งานครั้งที่สอง
	(125/3)π ~ 41.67 π
	(425/9)π ~ 47.22 π
	(539/9)π ~ 59.89 π

พารามิเตอร์รุ่น:

1. ล.=12 ซม. φ =120°
2. ล.=10 ซม. φ =150°
3. ล.=15 ซม. φ =120°
4. ล.=10 ซม. φ =170°
5. ล.=14 ซม. φ =110°

การประมาณการคำนวณเกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดในการวัด

หลังจากตรวจสอบผลลัพธ์แล้ว ผลลัพธ์ของสูตรสำหรับพื้นที่ด้านข้างและพื้นผิวทั้งหมดของกรวยจะปรากฏขึ้นบนหน้าจอ (สไลด์ 22–26), นักเรียนจดบันทึกลงในสมุดบันทึก

ด่านที่สาม- การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

1) มีการเสนอนักศึกษา ปัญหาในการแก้ปัญหาช่องปากในภาพวาดสำเร็จรูป

จงหาพื้นที่ของพื้นผิวทั้งกรวยตามที่แสดงในภาพ (สไลด์ 27–32).

2) คำถาม:พื้นที่ผิวของกรวยที่เกิดจากการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งอันรอบขาแต่ละข้างเท่ากันหรือไม่ นักเรียนตั้งสมมติฐานและทดสอบ สมมติฐานได้รับการทดสอบโดยการแก้ปัญหาและเขียนโดยนักเรียนบนกระดาน

ที่ให้ไว้:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – เนื้อความของการหมุน

หา:เอส พีพีเค 1, เอส พีพีเค 2.

รูปที่ 5. (สไลด์ 33)

สารละลาย:

1) R=BC = ก- S PPK 1 = S BOD 1 + S หลัก 1 = π a ค + π a 2 = π a (a + c)

2) R=เอซี = ข- S PPK 2 = S BOD 2 + S ฐาน 2 = π ข ค+π ข 2 = π ข (b + c)

ถ้า S PPK 1 = S PPK 2 แล้ว a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0เพราะ ก ข ค –จำนวนบวก (ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม) ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ ก =ข.

บทสรุป:พื้นที่ผิวของกรวยสองอันจะเท่ากันก็ต่อเมื่อด้านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากันเท่านั้น (สไลด์ 34)

3) การแก้ปัญหาจากตำราเรียนหมายเลข 565

ด่านที่ 4 สรุปบทเรียน.

การบ้าน: ย่อหน้าที่ 55, 56; หมายเลข 548, หมายเลข 561. (สไลด์ 35)

ประกาศเกรดที่ได้รับมอบหมาย

ข้อสรุประหว่างบทเรียน การทำซ้ำข้อมูลหลักที่ได้รับระหว่างบทเรียน

วรรณกรรม (สไลด์ 36)

1. เกรดเรขาคณิต 10–11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., “Prosveshchenie”, 2008
2. « ปริศนาทางคณิตศาสตร์และทาย” - N.V. Udaltsova ห้องสมุด "วันแรกของเดือนกันยายน" ซีรีส์ "คณิตศาสตร์" ฉบับที่ 35 ม. ชิสตี้ พรูดี้, 2010.

พื้นที่ผิวของกรวย (หรือเพียงแค่พื้นผิวของกรวย) เท่ากับผลรวมของพื้นที่ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยคำนวณโดยสูตร: S = πR ลโดยที่ R คือรัศมีของฐานกรวย และ ล- ขึ้นรูปเป็นกรวย

เนื่องจากพื้นที่ฐานของกรวยเท่ากับ πR 2 (เป็นพื้นที่ของวงกลม) พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยจะเท่ากับ: πR 2 + πR ล= πR(R+ ล).

การได้สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยสามารถอธิบายได้ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ ให้ภาพวาดแสดงพัฒนาการของพื้นผิวด้านข้างของกรวย ลองแบ่งส่วนโค้ง AB ออกเป็นค่าที่เป็นไปได้ จำนวนที่มากขึ้น ส่วนที่เท่ากันและเชื่อมต่อจุดแบ่งทั้งหมดเข้ากับศูนย์กลางของส่วนโค้งและจุดที่อยู่ติดกันด้วยคอร์ด

เราได้รับซีรีส์ สามเหลี่ยมเท่ากัน- พื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละอันคือ อา / 2 ที่ไหน ก- ความยาวของฐานของรูปสามเหลี่ยม ก ชม.- ความสูงของมัน

ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดจะเป็น: อา / 2 n = อ๋อ / 2 ที่ไหน n- จำนวนรูปสามเหลี่ยม

ที่ จำนวนมากการหาร ผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะอยู่ใกล้กับพื้นที่ของการพัฒนามาก เช่น พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวย ผลรวมของฐานของรูปสามเหลี่ยมคือ หนึ่งจะเข้าใกล้ความยาวของส่วนโค้ง AB มาก เช่น กับเส้นรอบวงฐานของกรวย ความสูงของสามเหลี่ยมแต่ละรูปจะอยู่ใกล้กับรัศมีของส่วนโค้งมาก กล่าวคือ ถึงเจเนราทริกซ์ของกรวย

เมื่อละเลยความแตกต่างเล็กน้อยในขนาดของปริมาณเหล่านี้ เราได้สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย (S):

ส=ค ล / 2 โดยที่ C คือเส้นรอบวงของฐานกรวย ล- ขึ้นรูปเป็นกรวย

เมื่อรู้ว่า C = 2πR โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมของฐานของกรวย เราจะได้: S = πR ล.

บันทึก.ในสูตร S = C ล / 2 มีสัญญาณของความเท่าเทียมกันที่แน่นอน ไม่ใช่ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ แม้ว่าตามเหตุผลข้างต้น เราสามารถถือว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นค่าโดยประมาณได้ แต่ในโรงเรียนมัธยม โรงเรียนมัธยมปลายพิสูจน์ให้เห็นถึงความเท่าเทียมกัน

ส=ค ล / 2 เป็นค่าที่แน่นอน ไม่ใช่ค่าประมาณ

ทฤษฎีบท. พื้นผิวด้านข้างของกรวยเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและครึ่งหนึ่งของเจเนราทริกซ์

มาเขียนในกรวย (รูป) กันบ้าง ปิรามิดที่ถูกต้องและแสดงด้วยตัวอักษร รและ ลตัวเลขแสดงความยาวของเส้นรอบวงของฐานและจุดกึ่งกลางของพีระมิดนี้

แล้ว พื้นผิวด้านข้างมันจะแสดงเป็นผลคูณ 1/2 ร ล .

ตอนนี้เราสมมติว่าจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในฐานจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด แล้วปริมณฑล รมักจะใช้ขีดจำกัดที่ใช้เป็นความยาว C ของเส้นรอบวงฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน ลจะมีขีดจำกัด generatrix ของกรวย (เนื่องจาก ΔSAK ตามนั้น SA - SK
1 / 2 ร ลจะมีแนวโน้มถึงขีดจำกัด 1/2 C L. ขีดจำกัดนี้ถือเป็นขนาดของพื้นผิวด้านข้างของกรวย การกำหนดพื้นผิวด้านข้างของกรวยด้วยตัวอักษร S เราสามารถเขียนได้:

ส = 1/2 ค ล = ค 1/2 ลิตร

ผลที่ตามมา.
1) เนื่องจาก C = 2 π R จากนั้นพื้นผิวด้านข้างของกรวยจะแสดงโดยสูตร:

ส = 1/2 2π ร ล= π อาร์.แอล.

2) เราได้พื้นผิวทั้งหมดของกรวยหากเราเพิ่มพื้นผิวด้านข้างเข้ากับพื้นที่ของฐาน ดังนั้น เมื่อแทนพื้นผิวทั้งหมดด้วย T เราจะได้:

ที= π RL+ π R2= π ร(ซ้าย+ขวา)

ทฤษฎีบท. พื้นผิวด้านข้าง กรวยที่ถูกตัดทอนเท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของความยาวของวงกลมฐานและเครื่องกำเนิด

ให้เราเขียนลงในกรวยที่ถูกตัดทอน (รูป) เป็นประจำ ปิรามิดที่ถูกตัดทอนและแสดงด้วยตัวอักษร ร, ร 1 และ ลตัวเลขที่แสดงเป็นหน่วยเชิงเส้นที่เหมือนกันคือความยาวของเส้นรอบวงของฐานล่างและฐานบนและจุดกึ่งกลางของพีระมิดนี้

จากนั้นพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกจารึกไว้จะเท่ากับ 1/2 ( พี + พี 1) ล

ด้วยการเพิ่มจำนวนใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกจารึกไว้และปริมณฑลเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด รและ ร 1 มีแนวโน้มไปที่ขีดจำกัดที่ใช้เป็นความยาว C และ C 1 ของวงกลมฐาน และเส้นตั้งฉากในแนวกึ่งกลางด้าน ลมีขีดจำกัดตัวกำเนิด L ของกรวยที่ถูกตัดทอน ดังนั้น ขนาดของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกจารึกไว้จึงมีขีดจำกัดเท่ากับ (C + C 1) L ขีดจำกัดนี้ถือเป็นขนาดของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอน แสดงถึงพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนด้วยตัวอักษร S เรามี:

S = 1/2 (C + C 1) ลิตร

ผลที่ตามมา.
1) ถ้า R และ R 1 หมายถึงรัศมีของวงกลมของฐานล่างและฐานบน ดังนั้นพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเป็น:

ส = 1/2 (2 π ร+2 π ร 1) ล = π (ร + ร 1) ล.

2) หากอยู่ในสี่เหลี่ยมคางหมู OO 1 A 1 A (รูปที่) จากการหมุนที่ได้รับกรวยที่ถูกตัดทอนเราจะวาด เส้นกึ่งกลางก่อนคริสต์ศักราช แล้วเราจะได้:

ก่อนคริสต์ศักราช = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1)

ร + ร 1 = 2VS

เพราะฉะนั้น,

ส=2 π ก่อนคริสต์ศักราช L

เช่น. พื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของส่วนตรงกลางและเจเนราทริกซ์

3) พื้นผิวทั้งหมด T ของกรวยที่ถูกตัดทอนจะแสดงดังนี้:

ที= π (อาร์ 2 + อาร์ 1 2 + อาร์แอล + อาร์ 1 ลิตร)