จากจุดยอดตรงข้าม) และหารผลคูณด้วยสอง ในรูปแบบดูเหมือนว่า:

S = ½ * ก * ชม.

ที่ไหน:
S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม
a คือความยาวของด้าน
h คือความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้

ความยาวด้านและความสูงต้องแสดงเป็นหน่วยเดียวกัน ในกรณีนี้ พื้นที่ของสามเหลี่ยมจะกลายเป็นหน่วย "" ที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง.
ที่ด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมด้านเท่ายาว 20 ซม. ให้ตั้งฉากกับจุดยอดด้านตรงข้ามที่ยาว 10 ซม.
จำเป็นต้องมีพื้นที่ของสามเหลี่ยม
สารละลาย.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (ซม.²)

หากคุณทราบความยาวของด้านสองด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมด้านเท่าและมุมระหว่างด้านทั้งสอง ให้ใช้สูตร:

S = ½ * a * b * ซินγ,

โดยที่ a, b คือความยาวของด้านโดยพลการสองด้าน และ γ คือมุมระหว่างด้านทั้งสอง

ตัวอย่างเช่นในทางปฏิบัติเมื่อทำการวัด แปลงที่ดินบางครั้งการใช้สูตรข้างต้นเป็นเรื่องยากเนื่องจากต้องมีโครงสร้างเพิ่มเติมและการวัดมุม

หากคุณทราบความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมด้านเท่า ให้ใช้สูตรของเฮรอน:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c คือความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
р – กึ่งปริมณฑล: p = (a+b+c)/2.

หากนอกเหนือจากความยาวของทุกด้านแล้ว ยังทราบรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ให้ใช้สูตรกระชับต่อไปนี้:

โดยที่: r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ (p คือเส้นรอบวง)

ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าของวงกลมที่มีเส้นรอบวงและความยาวของด้าน ให้ใช้สูตร:

โดยที่: R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

หากทราบความยาวของด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและสามมุม (โดยหลักการแล้วสองมุมก็เพียงพอแล้ว - ค่าของด้านที่สามคำนวณจากความเท่าเทียมกันของผลรวมของมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม - 180º) จากนั้นใช้ สูตร:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

โดยที่ α คือค่าของมุมตรงข้ามกับด้าน a
β, γ คือค่าของมุมที่เหลืออีกสองมุมของรูปสามเหลี่ยม

ความต้องการที่จะหา องค์ประกอบต่างๆรวมถึงพื้นที่ สามเหลี่ยมปรากฏขึ้นหลายศตวรรษก่อนยุคของเราในหมู่นักดาราศาสตร์ กรีกโบราณ. สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้ วิธีทางที่แตกต่างโดยใช้ สูตรที่แตกต่างกัน. วิธีการคำนวณขึ้นอยู่กับองค์ประกอบใด สามเหลี่ยมเป็นที่รู้จัก.

คำแนะนำ

ถ้าจากเงื่อนไขเรารู้ค่าของทั้งสองด้าน b, c และมุมที่เกิดขึ้นจากพวกเขา? จากนั้นพื้นที่ สามเหลี่ยม ABC หาได้จากสูตร:
S = (bcsin?)/2.

ถ้าจากเงื่อนไขเรารู้ค่าของทั้งสองด้าน a, b และมุมที่ไม่ได้เกิดจากพวกมัน? แล้วพื้นที่ สามเหลี่ยมพบ ABC ได้ดังนี้
หามุม?บาป? = bsin? / a ต่อไปในตารางเราจะกำหนดมุมเอง
หามุม? = 180°-?-?.
ค้นหาพื้นที่ S = (absin?)/2

ถ้าจากเงื่อนไขเรารู้ค่าของสามด้านเท่านั้น สามเหลี่ยม a, b และ c แล้วพื้นที่ สามเหลี่ยม ABC หาได้จากสูตร:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , โดยที่ p คือครึ่งวงกลม p = (a+b+c)/2

ถ้าจากเงื่อนไขของปัญหาเรารู้ความสูง สามเหลี่ยม h และด้านที่ความสูงนี้ลดลง แล้วพื้นที่ สามเหลี่ยม ABC ตามสูตร:
S = อา(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

ถ้าเรารู้ค่าของด้าน สามเหลี่ยม a, b, c และรัศมีของเส้นรอบวงใกล้กับที่กำหนด สามเหลี่ยม R แล้วพื้นที่นี้ สามเหลี่ยม ABC กำหนดโดยสูตร:
S = เอบีซี/4R
ถ้าทราบสามด้าน a, b, c และรัศมีของสิ่งที่จารึกไว้ พื้นที่นั้น สามเหลี่ยม ABC หาได้จากสูตร:
S = pr โดยที่ p คือเส้นรอบวง, p = (a+b+c)/2

ถ้า ABC เป็นรูปด้านเท่า พื้นที่จะพบได้จากสูตร:
S = (a^2v3)/4.
ถ้าสามเหลี่ยม ABC เป็นหน้าจั่ว พื้นที่จะถูกกำหนดโดยสูตร:
S = (cv(4a^2-c^2))/4 โดยที่ c คือ สามเหลี่ยม.
ถ้าสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่จะถูกกำหนดโดยสูตร:
S = ab/2 โดยที่ a และ b เป็นขา สามเหลี่ยม.
ถ้าสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉาก พื้นที่จะถูกกำหนดโดยสูตร:
S = c^2/4 = a^2/2 โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยม, a=b - ขา

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

แหล่งที่มา:

• วิธีวัดพื้นที่สามเหลี่ยม

เคล็ดลับ 3: วิธีหาพื้นที่สามเหลี่ยมถ้าคุณรู้มุม

การรู้เพียงพารามิเตอร์เดียว (ค่าของมุม) ไม่เพียงพอในการหาพื้นที่ ทรี สี่เหลี่ยม . หากมีมิติข้อมูลเพิ่มเติม ในการกำหนดพื้นที่ คุณสามารถเลือกหนึ่งในสูตรที่ใช้ค่ามุมเป็นหนึ่งในตัวแปรที่รู้จัก สูตรที่ใช้บ่อยที่สุดบางรายการแสดงไว้ด้านล่าง

คำแนะนำ

ถ้านอกเหนือจากมุม (γ) ที่เกิดจากด้านทั้งสอง ทรี สี่เหลี่ยม ความยาวของด้านเหล่านี้ (A และ B) ก็ทราบเช่นกัน สี่เหลี่ยมตัวเลข (S) สามารถกำหนดเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวด้านและไซน์ของมุมที่ทราบนี้: S=½×A×B×sin(γ)

บางครั้งในชีวิตมีสถานการณ์ที่คุณต้องเจาะลึกความทรงจำเพื่อค้นหาสิ่งที่ลืมไปนาน ความรู้ในโรงเรียน. ตัวอย่างเช่นคุณต้องกำหนดพื้นที่ของที่ดินเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือมีการซ่อมแซมครั้งต่อไปในอพาร์ทเมนต์หรือบ้านส่วนตัวและคุณต้องคำนวณว่าจะใช้วัสดุเท่าใด สำหรับพื้นผิวที่มีรูปทรงสามเหลี่ยม มีเวลาที่คุณสามารถแก้ปัญหาดังกล่าวได้ภายในไม่กี่นาทีและตอนนี้คุณกำลังพยายามอย่างยิ่งที่จะจำวิธีกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม?

คุณไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับเรื่องนี้! ท้ายที่สุด มันค่อนข้างปกติเมื่อสมองของมนุษย์ตัดสินใจที่จะย้ายความรู้ที่ไม่ได้ใช้งานมานานไปที่ไหนสักแห่งในมุมที่ห่างไกล ซึ่งบางครั้งก็ไม่ง่ายนักที่จะดึงมันออกมา เพื่อให้คุณไม่ต้องทนทุกข์ทรมานกับการค้นหาความรู้ในโรงเรียนที่ถูกลืมเพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว บทความนี้มี วิธีการต่างๆซึ่งทำให้ง่ายต่อการค้นหาพื้นที่ที่ต้องการของรูปสามเหลี่ยม

เป็นที่ทราบกันดีว่ารูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมประเภทหนึ่งที่จำกัดให้น้อยที่สุด จำนวนที่เป็นไปได้ด้าน โดยหลักการแล้ว รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมหลายๆ รูปได้โดยการเชื่อมจุดยอดกับส่วนที่ไม่ตัดกันด้านข้าง ดังนั้นเมื่อรู้รูปสามเหลี่ยมแล้วคุณสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปใดก็ได้

ในบรรดารูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในชีวิตสามารถจำแนกประเภทเฉพาะต่อไปนี้ได้: และรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือเมื่อมุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง นั่นคือในกรณีของ สามเหลี่ยมมุมฉาก. ดูง่ายว่าเป็นครึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นพื้นที่ของมันจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านซึ่งเป็นมุมฉากระหว่างกัน

ถ้าเราทราบความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลดลงจากจุดยอดหนึ่งถึง ฝั่งตรงข้ามและความยาวของด้านนี้ ซึ่งเรียกว่าฐาน จากนั้นพื้นที่จะคำนวณเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและฐาน สิ่งนี้เขียนโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

S = 1/2*b*h โดยที่

S คือพื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยม

b, h - ความสูงและฐานของรูปสามเหลี่ยมตามลำดับ

การคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วนั้นง่ายมาก เนื่องจากความสูงจะแบ่งครึ่งด้านตรงข้ามและสามารถวัดได้ง่าย หากกำหนดพื้นที่แล้วจะสะดวกที่จะใช้ความยาวของด้านใดด้านหนึ่งที่สร้างมุมฉากเป็นความสูง

ทั้งหมดนี้เป็นสิ่งที่ดีอย่างแน่นอน แต่จะทราบได้อย่างไรว่ามุมใดมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมนั้นถูกต้องหรือไม่? หากขนาดร่างของเราเล็ก คุณสามารถใช้มุมอาคาร รูปสามเหลี่ยม โปสการ์ด หรือวัตถุอื่นๆ รูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า.

แต่ถ้าเรามีที่ดินเป็นรูปสามเหลี่ยมล่ะ? ในกรณีนี้ ให้ดำเนินการดังนี้: นับจากด้านบนของข้อเสนอ มุมฉากด้านหนึ่งวัดระยะทางคูณด้วย 3 (30 ซม., 90 ซม., 3 ม.) และอีกด้านหนึ่ง วัดระยะทางคูณด้วย 4 (40 ซม., 160 ซม., 4 ม.) ในสัดส่วนที่เท่ากัน ตอนนี้คุณต้องวัดระยะห่างระหว่างจุดสิ้นสุดของทั้งสองส่วน หากค่าเป็นทวีคูณของ 5 (50 ซม., 250 ซม., 5 ม.) ก็สามารถโต้แย้งได้ว่ามุมนั้นถูกต้อง

หากทราบค่าของความยาวของด้านทั้งสามด้านของรูปของเรา พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรของนกกระสา เพื่อให้มีรูปแบบที่ง่ายขึ้นจึงใช้ค่าใหม่ซึ่งเรียกว่ากึ่งเส้นรอบวง นี่คือผลรวมของด้านทั้งหมดของสามเหลี่ยมหารครึ่ง หลังจากคำนวณกึ่งปริมณฑลแล้ว คุณสามารถเริ่มกำหนดพื้นที่โดยใช้สูตร:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) โดยที่

สี่เหลี่ยม- รากที่สอง;

p คือค่าของกึ่งปริมณฑล (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - ขอบ (ด้าน) ของรูปสามเหลี่ยม

แต่ถ้าสามเหลี่ยมมี รูปร่างไม่สม่ำเสมอ? มีสองวิธีที่เป็นไปได้ที่นี่ อย่างแรกคือพยายามแบ่งตัวเลขดังกล่าวออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ผลรวมของพื้นที่ที่คำนวณแยกกันแล้วบวกเข้าไป หรือถ้าทราบมุมระหว่างสองด้านและขนาดของด้านเหล่านี้ ให้ใช้สูตร:

S = 0.5 * ab * sinC โดยที่

a,b - ด้านของสามเหลี่ยม

c คือมุมระหว่างด้านเหล่านี้

กรณีสุดท้ายในทางปฏิบัติมันหายาก แต่อย่างไรก็ตามทุกอย่างเป็นไปได้ในชีวิตดังนั้นสูตรข้างต้นจะไม่ฟุ่มเฟือย ขอให้โชคดีกับการคำนวณของคุณ!

รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปที่รู้จักกันดี และสิ่งนี้แม้จะมีรูปแบบที่หลากหลาย สี่เหลี่ยม ด้านเท่า แหลม หน้าจั่ว ป้าน. แต่ละคนมีความแตกต่างกันบ้าง แต่สำหรับสิ่งใดก็ตามจำเป็นต้องรู้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สูตรทั่วไปสำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ใช้ความยาวของด้านหรือความสูง

การกำหนดที่นำมาใช้: ด้าน - a, b, c; ความสูงของด้านที่ตรงกันใน a, n in, n s

1. พื้นที่ของสามเหลี่ยมคำนวณเป็นผลคูณของ ½ ด้านและความสูงลดลง S = ½ * ก * n ก ในทำนองเดียวกันควรเขียนสูตรสำหรับอีกสองด้าน

2. สูตรของนกกระสาซึ่งปรากฏกึ่งปริมณฑล (เป็นเรื่องปกติที่จะระบุด้วยตัวอักษรตัวเล็ก p ซึ่งตรงกันข้ามกับขอบเขตเต็ม) ต้องคำนวณกึ่งปริมณฑลดังนี้: เพิ่มด้านทั้งหมดแล้วหารด้วย 2 สูตรกึ่งปริมณฑล: p \u003d (a + b + c) / 2 จากนั้นความเท่าเทียมกันสำหรับพื้นที่ของ \ รูปมีลักษณะดังนี้: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. หากคุณไม่ต้องการใช้เส้นรอบวงกึ่งกลาง สูตรดังกล่าวจะมีประโยชน์ ซึ่งมีเฉพาะความยาวของด้านเท่านั้น: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( ข + ค - ก) * (ก + ค - ค) * (ก + ข - ค)). มันค่อนข้างยาวกว่าอันก่อนหน้า แต่มันจะช่วยได้ถ้าคุณลืมวิธีหาเส้นรอบวง

สูตรทั่วไปที่มุมของสามเหลี่ยมปรากฏขึ้น

สัญกรณ์ที่จำเป็นในการอ่านสูตร: α, β, γ - มุม พวกเขาอยู่ตรงข้ามกัน a, b, c ตามลำดับ

1. ตามนั้น ครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างนั้นจะเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ: S = ½ a * b * sin γ สูตรสำหรับอีกสองกรณีควรเขียนในลักษณะเดียวกัน

2. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จากด้านหนึ่งและสามมุมที่รู้จัก S \u003d (a 2 * บาป β * บาป γ) / (2 บาป α)

3. นอกจากนี้ยังมีสูตรที่มีด้านที่รู้จักด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน ดูเหมือนว่า: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β))

สองสูตรสุดท้ายไม่ใช่สูตรที่ง่ายที่สุด มันค่อนข้างยากที่จะจำพวกเขา

สูตรทั่วไปสำหรับสถานการณ์ที่ทราบรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกหรือล้อมรอบ

การกำหนดเพิ่มเติม: r, R — รัศมี อันแรกใช้สำหรับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ ประการที่สองมีไว้สำหรับคำอธิบาย

1. สูตรแรกที่คำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นสัมพันธ์กับเส้นรอบรูปครึ่งวงกลม S = r * r. ในอีกทางหนึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ S \u003d ½ r * (a + b + c)

2. ในกรณีที่สอง คุณจะต้องคูณด้านทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมแล้วหารด้วยรัศมีสี่เท่าของวงกลมที่มีเส้นรอบวง ใน การแสดงออกตามตัวอักษรดูเหมือนว่า: S = (a * b * c) / (4R)

3. สถานการณ์ที่สามช่วยให้คุณทำได้โดยไม่ต้องรู้ด้าน แต่คุณต้องการค่าของมุมทั้งสาม S \u003d 2 R 2 * บาป α * บาป β * บาป γ

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมมุมฉาก

นี่เป็นสถานการณ์ที่ง่ายที่สุดเนื่องจากต้องใช้ความยาวของขาทั้งสองข้างเท่านั้น พวกเขาถูกกำหนด ด้วยตัวอักษรละตินเอ และ ค พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่เพิ่มเข้าไป

ในทางคณิตศาสตร์ ดูเหมือนว่า S = ½ a * b เธอจำง่ายที่สุด เนื่องจากดูเหมือนว่าสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีเพียงเศษส่วนเท่านั้นที่แสดงถึงครึ่งหนึ่ง

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

เนื่องจากด้านทั้งสองเท่ากัน บางสูตรสำหรับพื้นที่จึงดูค่อนข้างเรียบง่าย ตัวอย่างเช่น สูตรของ Heron ซึ่งคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

S = ½ นิ้ว √((a + ½ นิ้ว)*(a - ½ นิ้ว)).

ถ้าคุณแปลงมันจะสั้นลง ในกรณีนี้สูตรของ Heron สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วเขียนได้ดังนี้

S = ¼ ใน √(4 * ก 2 - ข 2)

ค่อนข้างง่ายกว่า สามเหลี่ยมโดยพลการสูตรพื้นที่ดูเหมือนว่าจะทราบด้านและมุมระหว่างกัน S \u003d ½ a 2 * บาป β

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมด้านเท่า

โดยปกติแล้วในปัญหาเกี่ยวกับเขาฝ่ายนั้นเป็นที่รู้จักหรือสามารถรับรู้ได้ จากนั้นสูตรในการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นดังนี้:

S = (ก 2 √3) / 4.

ภารกิจในการค้นหาพื้นที่หากรูปสามเหลี่ยมปรากฏบนกระดาษตาหมากรุก

สถานการณ์ที่ง่ายที่สุดคือเมื่อวาดสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อให้ขาของมันตรงกับเส้นของกระดาษ จากนั้นคุณเพียงแค่ต้องนับจำนวนเซลล์ที่พอดีกับขา จากนั้นคูณและหารด้วยสอง

เมื่อสามเหลี่ยมเป็นมุมแหลมหรือป้าน จะต้องวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากนั้นในรูปผลลัพธ์จะมีสามเหลี่ยม 3 รูป หนึ่งคือหนึ่งที่ได้รับในงาน และอีกสองอันเป็นแบบเสริมและสี่เหลี่ยม พื้นที่ของสองส่วนสุดท้ายจะต้องกำหนดโดยวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น จากนั้นคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและลบออกจากพื้นที่ที่คำนวณสำหรับพื้นที่เสริม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมถูกกำหนด

ยากกว่ามากคือสถานการณ์ที่ไม่มีด้านใดของสามเหลี่ยมตรงกับเส้นของกระดาษ จากนั้นจะต้องจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อให้จุดยอดของรูปต้นฉบับอยู่ด้านข้าง ในกรณีนี้ จะมีรูปสามเหลี่ยมเสริมสามรูป

ตัวอย่างของปัญหาเกี่ยวกับสูตรของนกกระสา

เงื่อนไข. สามเหลี่ยมบางอันมีด้าน มีขนาดเท่ากับ 3, 5 และ 6 ซม. คุณต้องรู้พื้นที่ของมัน

ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรด้านบน ใต้เครื่องหมายกรณฑ์เป็นผลคูณของตัวเลขสี่ตัว: 7, 4, 2 และ 1 นั่นคือพื้นที่คือ √ (4 * 14) = 2 √ (14)

หากคุณไม่ต้องการความแม่นยำมากกว่านี้ คุณสามารถหารากที่สองของ 14 ได้ ซึ่งก็คือ 3.74 จากนั้นพื้นที่จะเท่ากับ 7.48

คำตอบ. S \u003d 2 √14 ซม. 2 หรือ 7.48 ซม. 2

ตัวอย่างของปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก

เงื่อนไข. ขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากยาวกว่าขาที่สอง 31 ซม. จำเป็นต้องหาความยาวหากพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 ซม. 2
สารละลาย. คุณต้องแก้ระบบสองสมการ ประการแรกเกี่ยวข้องกับพื้นที่ ประการที่สองคืออัตราส่วนของขาซึ่งได้รับในโจทย์
180 \u003d ½ a * b;

ก \u003d ข + 31
อันดับแรก ต้องแทนค่าของ "a" ลงในสมการแรก ปรากฎว่า: 180 \u003d ½ (ใน + 31) * ใน มีเพียงหนึ่งปริมาณที่ไม่รู้จัก ดังนั้นมันจึงง่ายต่อการแก้ หลังจากเปิดวงเล็บแล้วเราจะได้ สมการกำลังสอง: ใน 2 + 31 ใน - 360 = 0 ให้ค่า "ใน" สองค่า: 9 และ - 40 ตัวเลขที่สองไม่เหมาะเป็นคำตอบเนื่องจากความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ค่า.

มันยังคงคำนวณขาที่สอง: เพิ่ม 31 ให้กับจำนวนผลลัพธ์ ปรากฎว่า 40 นี่คือปริมาณที่ต้องการในโจทย์

คำตอบ. ขาของสามเหลี่ยมคือ 9 และ 40 ซม.

งานหาด้านผ่านพื้นที่ ด้าน และมุมของรูปสามเหลี่ยม

เงื่อนไข. พื้นที่ของสามเหลี่ยมบางส่วนคือ 60 cm2 จำเป็นต้องคำนวณด้านใดด้านหนึ่งหากด้านที่สองคือ 15 ซม. และมุมระหว่างพวกเขาคือ30º

สารละลาย. ซึ่งเป็นรากฐาน ได้รับการยอมรับ, ด้านที่ต้องการ "a", รู้จัก "b", มุมที่กำหนดไว้"แกม". จากนั้นเขียนสูตรพื้นที่ใหม่ได้ดังนี้

60 \u003d ½ a * 15 * บาป 30º ที่นี่ไซน์ของ 30 องศาคือ 0.5

หลังจากการแปลง "a" จะเท่ากับ 60 / (0.5 * 0.5 * 15) นั่นคือ 16

คำตอบ. ด้านที่ต้องการคือ 16 ซม.

โจทย์ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

เงื่อนไข. จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 24 ซม. ตรงกับมุมฉากของสามเหลี่ยม อีกสองคนนอนอยู่บนขา ที่สามเป็นของด้านตรงข้ามมุมฉาก ความยาวของขาข้างหนึ่งคือ 42 ซม. พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร?

สารละลาย. พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป อันแรกระบุไว้ในงาน ประการที่สองขึ้นอยู่กับ ขาที่มีชื่อเสียงสามเหลี่ยมเดิม พวกมันคล้ายกันเพราะมีมุมร่วมกันและเกิดจากเส้นขนาน

จากนั้นอัตราส่วนของขาจะเท่ากัน ขาของสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าคือ 24 ซม. (ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และ 18 ซม. (ให้ขา 42 ซม. ลบด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 ซม.) ขาที่สอดคล้องกัน สามเหลี่ยมใหญ่- 42 ซม. และ x ซม. นี่คือ "x" ที่จำเป็นในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม

18/42 \u003d 24 / x นั่นคือ x \u003d 24 * 42/18 \u003d 56 (ซม.)

จากนั้นพื้นที่จะเท่ากับผลคูณของ 56 และ 42 หารด้วยสอง นั่นคือ 1176 ซม. 2

คำตอบ. พื้นที่ที่ต้องการคือ 1176 ซม. 2

แนวคิดของพื้นที่

แนวคิดของพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตใด ๆ โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยมจะเชื่อมโยงกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สำหรับพื้นที่หน่วยของรูปทรงเรขาคณิตใด ๆ เราจะใช้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งด้านนั้นเท่ากับหนึ่ง เพื่อความสมบูรณ์ ขอให้เราระลึกถึงสองสิ่ง คุณสมบัติพื้นฐานสำหรับพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

คุณสมบัติ 1:ถ้า รูปทรงเรขาคณิตเท่ากัน พื้นที่ของพวกมันก็เท่ากันด้วย

คุณสมบัติ 2:ตัวเลขใด ๆ สามารถแบ่งออกเป็นหลายร่าง นอกจากนี้พื้นที่ของตัวเลขดั้งเดิมจะเท่ากับผลรวมของค่าของพื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดที่ประกอบกัน

พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

เห็นได้ชัดว่าด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมคือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีด้านหนึ่งยาว $5$ (ตั้งแต่ $5$ เซลล์) และอีก $6$ (ตั้งแต่ $6$ เซลล์) ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังกล่าว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ

แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ

คำตอบ: $15$

จากนั้นให้พิจารณาหลายวิธีในการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ได้แก่ การใช้ความสูงและฐานโดยใช้สูตรนกกระสาและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

วิธีหาพื้นที่สามเหลี่ยมโดยใช้ความสูงและฐาน

ทฤษฎีบท 1

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้เป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านคูณด้วยความสูงที่ลากไปทางด้านนั้น

ในทางคณิตศาสตร์จะเป็นแบบนี้

$S=\frac(1)(2)αh$

โดยที่ $a$ คือความยาวของด้าน $h$ คือความสูงที่ลากไป

การพิสูจน์.

พิจารณาสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $AC=α$ ด้านนี้ดึงความสูง $BH$ เท่ากับ $h$ มาสร้างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส $AXYC$ ดังรูปที่ 2

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $AXBH$ คือ $h\cdot AH$ และของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $HBYC$ คือ $h\cdot HC$ แล้ว

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยมตามคุณสมบัติ 2 จึงเท่ากับ

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปด้านล่าง ถ้าเซลล์มีพื้นที่เท่ากับหนึ่ง

ฐานของสามเหลี่ยมนี้คือ $9$ (เนื่องจาก $9$ คือ $9$ เซลล์) ความสูงก็ $9$ จากนั้นโดยทฤษฎีบทที่ 1 เราได้รับ

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

คำตอบ: $40.5$

สูตรของนกกระสา

ทฤษฎีบท 2

ถ้าเรากำหนดด้านสามด้านของสามเหลี่ยม $α$, $β$ และ $γ$ จะได้พื้นที่ดังนี้

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ตรงนี้ $ρ$ หมายถึงครึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนี้

การพิสูจน์.

พิจารณารูปต่อไปนี้:

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ABH$ เราได้รับ

จากสามเหลี่ยม $CBH$ โดยทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราได้

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

จากความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เราได้รับความเท่าเทียมกัน

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

เนื่องจาก $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ ดังนั้น $α+β+γ=2ρ$ ดังนั้น

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

โดยทฤษฎีบทที่ 1 เราจะได้

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

คำแนะนำ

ปาร์ตี้และมุมถือเป็นองค์ประกอบพื้นฐาน ก. รูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยองค์ประกอบพื้นฐานใดๆ ต่อไปนี้: ด้านสามด้าน หรือด้านหนึ่งและสองมุม หรือสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองด้าน เพื่อการดำรงอยู่ สามเหลี่ยมกำหนดโดยสามด้าน a, b, c จำเป็นและเพียงพอที่อสมการเรียกว่าอสมการ สามเหลี่ยม:
a+b > ค
เอ + ค > ข
b+c > ก.

สำหรับอาคาร สามเหลี่ยมในสามด้าน a, b, c จำเป็นจากจุด C ของส่วน CB=a วิธีวาดวงกลมรัศมี b ด้วยเข็มทิศ จากนั้นในทำนองเดียวกันให้วาดวงกลมจากจุด B โดยมีรัศมี เท่ากับด้านข้างค. จุดตัดกัน A คือจุดยอดที่สามของที่ต้องการ สามเหลี่ยม ABC โดยที่ AB=c, CB=a, CA=b - ด้าน สามเหลี่ยม. โจทย์มี ถ้าด้าน a, b, c เป็นไปตามอสมการ สามเหลี่ยมระบุไว้ในขั้นตอนที่ 1

พื้นที่ของ S สร้างด้วยวิธีนี้ สามเหลี่ยมเอบีซีด้วย ฝ่ายที่รู้จัก a, b, c คำนวณโดยสูตรของ Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
โดยที่ a, b, c เป็นด้าน สามเหลี่ยม, p คือครึ่งวงกลม
p = (a+b+c)/2

ถ้ารูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่นคือ ด้านทุกด้านเท่ากัน (a=b=c) พื้นที่ สามเหลี่ยมคำนวณโดยสูตร:
S=(a^2 v3)/4

ถ้ารูปสามเหลี่ยมเป็นมุมฉาก นั่นคือ มุมหนึ่งของมันคือ 90° และด้านที่ประกอบเป็นขา ด้านที่สามคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ใน กรณีนี้ สี่เหลี่ยมเท่ากับผลคูณของขาหารด้วยสอง
S=เอบี/2

การค้นหา สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมคุณสามารถใช้หนึ่งในหลายสูตร เลือกสูตรโดยขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบอยู่แล้ว

คุณจะต้องการ

• ความรู้เกี่ยวกับสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

หากคุณทราบค่าของด้านใดด้านหนึ่งและค่าของความสูงที่ลดลงจากมุมตรงข้ามมายังด้านนี้ คุณจะสามารถหาพื้นที่โดยใช้คำสั่งต่อไปนี้: S = a*h/2 โดยที่ S คือพื้นที่ของ ​รูปสามเหลี่ยม a คือด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และ h คือความสูง ไปยังด้าน a

มีวิธีที่ทราบกันดีในการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหากทราบด้านสามด้าน เธอคือสูตรของนกกระสา เพื่อให้การบันทึกง่ายขึ้น จะมีการแนะนำค่ากลาง - กึ่งปริมณฑล: p \u003d (a + b + c) / 2 โดยที่ a, b, c - . สูตรของนกกระสาจะเป็นดังนี้: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ ยกกำลัง

สมมติว่าคุณรู้ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและมุมสามมุม จากนั้นจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้ง่าย: S = a²sinα sinγ / (2sinβ) โดยที่ β คือมุมด้านตรงข้าม a และ α และ γ เป็นมุมที่อยู่ติดกับด้าน

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บันทึก

ที่สุด สูตรทั่วไปซึ่งเหมาะสำหรับทุกกรณี - นี่คือสูตรของนกกระสา

แหล่งที่มา:

เคล็ดลับ 3: วิธีหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดสามด้าน

การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในงานที่พบบ่อยที่สุดในการวัดแผนภาพของโรงเรียน การรู้ด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมก็เพียงพอที่จะกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ในกรณีพิเศษและสามเหลี่ยมด้านเท่า การทราบความยาวของด้านสองและด้านหนึ่งตามลำดับก็เพียงพอแล้ว

คุณจะต้องการ

• ความยาวด้านของสามเหลี่ยม สูตรของเฮรอน ทฤษฎีบทโคไซน์

คำแนะนำ

สูตรของนกกระสาสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมมีดังนี้: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). หากคุณวาดเส้นรอบวง p คุณจะได้: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

คุณยังสามารถรับสูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมจากการพิจารณาได้ เช่น โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์

ตามกฎของโคไซน์ AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC) การใช้สัญกรณ์ที่แนะนำ สิ่งเหล่านี้สามารถอยู่ในรูปแบบ: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC) ดังนั้น cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมยังหาได้จากสูตร S = a*c*sin(ABC)/2 ผ่านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสอง ไซน์ของมุม ABC สามารถแสดงในรูปของมันได้โดยใช้พื้นฐาน เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). สามเหลี่ยม ABC.

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

สำหรับการซ่อมแซมอาจจำเป็นต้องวัด สี่เหลี่ยมผนัง ง่ายต่อการคำนวณ จำนวนที่ต้องการทาสีหรือวอลล์เปเปอร์ สำหรับการวัด ควรใช้เทปวัดหรือเทปเซนติเมตร ควรทำการวัดหลังจาก ผนังได้รับการจัดตำแหน่ง

คุณจะต้องการ

• -รูเล็ต;
• -บันไดปีน.

คำแนะนำ

เพื่อนับ สี่เหลี่ยมผนัง คุณจำเป็นต้องทราบความสูงที่แน่นอนของเพดาน รวมทั้งวัดความยาวตามพื้น ทำได้ดังนี้: ใช้เซนติเมตรวางบนแท่น โดยปกติแล้วเซนติเมตรไม่เพียงพอสำหรับความยาวทั้งหมด ดังนั้นให้ติดไว้ที่มุมแล้วคลายออก ความยาวสูงสุด. ณ จุดนี้ ให้ทำเครื่องหมายด้วยดินสอ เขียนผลลัพธ์และทำการวัดเพิ่มเติมในลักษณะเดียวกัน โดยเริ่มจากจุดวัดสุดท้าย

เพดานมาตรฐานโดยทั่วไป - 2 เมตร 80 เซนติเมตร 3 เมตร และ 3 เมตร 20 เซนติเมตร ขึ้นอยู่กับบ้าน หากบ้านสร้างก่อนยุค 50 ความสูงจริงน่าจะต่ำกว่าที่ระบุเล็กน้อย หากคุณเป็นคนคิดเลข สี่เหลี่ยมสำหรับงานซ่อมแซมขอบเล็กน้อยจะไม่เสียหาย - พิจารณาตามมาตรฐาน หากคุณยังจำเป็นต้องรู้ความสูงที่แท้จริง - ทำการวัด หลักการคล้ายกับการวัดความยาว แต่คุณจะต้องมีบันไดขั้นบันได

คูณตัวเลขผลลัพธ์ - นี่คือ สี่เหลี่ยมของคุณ ผนัง. จริงอยู่สำหรับงานทาสีหรือจำเป็นต้องลบออก สี่เหลี่ยมช่องเปิดประตูและหน้าต่าง ในการทำเช่นนี้ให้วางเซนติเมตรตามแนวช่องเปิด ถ้า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับประตูที่คุณจะเปลี่ยนในภายหลังจากนั้นดำเนินการโดยถอดกรอบประตูออกโดยพิจารณาเท่านั้น สี่เหลี่ยมการเปิดตัวเอง พื้นที่หน้าต่างคำนวณตามขอบเขตของกรอบ หลังจาก สี่เหลี่ยมคำนวณหน้าต่างและประตู ลบผลลัพธ์จากพื้นที่ทั้งหมดของห้องที่ได้รับ

โปรดทราบว่าการวัดความยาวและความกว้างของห้องนั้นทำร่วมกัน การติดเซ็นติเมตรหรือเทปวัดทำได้ง่ายกว่า และรับมากขึ้น ผลลัพธ์ที่แน่นอน. ใช้การวัดเดียวกันหลาย ๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นถูกต้อง

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

การหาปริมาตรของสามเหลี่ยมเป็นงานที่ไม่สำคัญ ความจริงก็คือสามเหลี่ยมเป็นรูปสองมิตินั่นคือ มันอยู่ในระนาบเดียวทั้งหมด ซึ่งหมายความว่ามันไม่มีปริมาตร แน่นอนคุณไม่สามารถหาสิ่งที่ไม่มีอยู่จริงได้ แต่อย่ายอมแพ้! เราสามารถตั้งสมมติฐานได้ดังต่อไปนี้ - ปริมาตรของรูปสองมิติ นี่คือพื้นที่ของมัน เรากำลังมองหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

คุณจะต้องการ

• กระดาษ ดินสอ ไม้บรรทัด เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

วาดบนกระดาษด้วยไม้บรรทัดและดินสอ โดยการตรวจสอบสามเหลี่ยมอย่างถี่ถ้วน คุณจะแน่ใจได้ว่าไม่มีอยู่จริง เนื่องจากมันถูกวาดบนระนาบ กำหนดด้านของสามเหลี่ยม: ให้ด้านหนึ่งเป็นด้าน "a" อีกด้านเป็น "b" และด้านที่สามเป็น "c" ระบุจุดยอดของสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร "A", "B" และ "C"

วัดด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัดแล้วจดผลลัพธ์ หลังจากนั้นให้คืนค่าที่ตั้งฉากกับด้านที่วัดได้จากจุดยอดตรงข้าม เช่น ตั้งฉากจะเป็นความสูงของรูปสามเหลี่ยม ในกรณีที่แสดงในรูป "h" ตั้งฉากกลับคืนสู่ด้าน "c" จากจุดยอด "A" วัดความสูงผลลัพธ์ด้วยไม้บรรทัดและบันทึกผลการวัด

อาจเกิดขึ้นที่คุณพบว่าเป็นการยากที่จะคืนค่าแนวตั้งฉากที่แน่นอน ในกรณีนี้ คุณควรใช้สูตรอื่น วัดทุกด้านของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัด หลังจากนั้นให้คำนวณครึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม "p" โดยเพิ่มความยาวของด้านที่เป็นผลลัพธ์แล้วหารผลรวมของพวกมันในครึ่ง เมื่อใช้ค่ากึ่งปริมณฑลคุณสามารถใช้สูตรนกกระสาได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหารากที่สองของค่าต่อไปนี้: p(p-a)(p-b)(p-c).

คุณได้รับพื้นที่สามเหลี่ยมที่ต้องการแล้ว ปัญหาในการหาปริมาตรของรูปสามเหลี่ยมยังไม่ได้รับการแก้ไข แต่ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ปริมาตรไม่ได้ คุณสามารถหาปริมาตรที่เป็นสามเหลี่ยมได้ โลกสามมิติ. หากเราจินตนาการว่ารูปสามเหลี่ยมเดิมของเรากลายเป็นปิรามิดสามมิติ ปริมาตรของปิรามิดนั้นจะเป็นผลคูณของความยาวของฐานและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เราได้รับ

บันทึก

การคำนวณจะแม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อคุณวัดอย่างระมัดระวังมากขึ้น

แหล่งที่มา:

• All-to-All Calculator - พอร์ทัลอ้างอิง
• ปริมาณสามเหลี่ยมในปี 2562

จุดสามจุดที่กำหนดสามเหลี่ยมโดยเฉพาะ ระบบคาร์ทีเซียนพิกัดคือจุดยอด เมื่อทราบตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัดแต่ละแกนแล้ว คุณสามารถคำนวณพารามิเตอร์ใดๆ ของสิ่งนี้ได้ รูปแบนรวมถึงและจำกัดตามขอบเขตของมัน สี่เหลี่ยม. สามารถทำได้หลายวิธี

คำแนะนำ

ใช้สูตรของนกกระสาในการคำนวณพื้นที่ สามเหลี่ยม. มันเกี่ยวข้องกับขนาดของด้านทั้งสามของรูป ดังนั้นให้เริ่มการคำนวณด้วย ความยาวของแต่ละด้านจะต้องเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของความยาวของเส้นโครงบน แกนพิกัด. ถ้าเราแสดงพิกัด A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) และ C(X₃,Y₃,Z₃) ความยาวของด้านสามารถแสดงได้ดังนี้: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ให้ป้อนตัวแปรเสริม - กึ่งปริมณฑล (P) จากนั้น นี่คือผลบวกครึ่งหนึ่งของความยาวของทุกด้าน: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).