บางคนปฏิบัติต่อคำว่า "ความก้าวหน้า" ด้วยความระมัดระวัง เนื่องจากเป็นคำที่ซับซ้อนมากจากสาขาคณิตศาสตร์ขั้นสูง ในขณะเดียวกันความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดคือการทำงานของมิเตอร์แท็กซี่ (ซึ่งยังคงมีอยู่) และการทำความเข้าใจแก่นแท้ (และในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรสำคัญไปกว่า "การเข้าใจแก่นแท้") ของลำดับเลขคณิตนั้นไม่ใช่เรื่องยากโดยวิเคราะห์แนวคิดเบื้องต้นบางประการ

ลำดับตัวเลขทางคณิตศาสตร์

ลำดับตัวเลขมักเรียกว่าชุดตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีหมายเลขของตัวเอง

1 เป็นสมาชิกตัวแรกของลำดับ

และ 2 คือเทอมที่สองของลำดับ

และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ

และ n เป็นสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ

อย่างไรก็ตามไม่มีชุดตัวเลขและตัวเลขใด ๆ ที่น่าสนใจสำหรับเรา เราจะมุ่งความสนใจไปที่ลำดับตัวเลขซึ่งค่าของเทอมที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับด้วยความสัมพันธ์ที่สามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ค่าตัวเลขของตัวเลขที่ n คือฟังก์ชันบางอย่างของ n

a คือค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข

n คือหมายเลขประจำเครื่อง

f(n) คือฟังก์ชัน โดยที่เลขลำดับในลำดับตัวเลข n คืออาร์กิวเมนต์

คำนิยาม

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักเรียกว่าลำดับตัวเลข ซึ่งแต่ละเทอมที่ตามมาจะมีค่ามากกว่า (น้อยกว่า) กว่าเทอมก่อนหน้าด้วยจำนวนเดียวกัน สูตรสำหรับเทอมที่ n ของลำดับเลขคณิตมีดังนี้:

n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

n+1 - สูตรของตัวเลขถัดไป

d - ความแตกต่าง (จำนวนหนึ่ง)

เป็นเรื่องง่ายที่จะตัดสินว่าหากผลต่างเป็นบวก (d>0) สมาชิกลำดับต่อมาของซีรีส์ที่กำลังพิจารณาจะมีค่ามากกว่าชุดก่อนหน้า และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น

ในกราฟด้านล่าง จะเห็นได้ง่ายว่าทำไมลำดับตัวเลขจึงเรียกว่า "การเพิ่มขึ้น"

ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (ง<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

ค่าสมาชิกที่ระบุ

บางครั้งมีความจำเป็นต้องกำหนดค่าของคำศัพท์ใดก็ได้ a n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามลำดับโดยเริ่มจากค่าแรกไปจนถึงค่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม เส้นทางนี้ไม่เป็นที่ยอมรับเสมอไป ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องค้นหาค่าของเทอมที่ห้าในพันหรือแปดล้าน การคำนวณแบบเดิมจะใช้เวลานาน อย่างไรก็ตาม สามารถศึกษาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงได้โดยใช้สูตรบางอย่าง นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของเทอมใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าด้วยผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยจำนวนเทอมที่ต้องการลดลงด้วย หนึ่ง.

สูตรนี้เป็นสูตรสากลสำหรับการเพิ่มและลดความก้าวหน้า

ตัวอย่างการคำนวณค่าของคำที่กำหนด

ให้เราแก้ปัญหาต่อไปนี้ในการค้นหาค่าของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เงื่อนไข: มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:

เทอมแรกของลำดับคือ 3;

ผลต่างในชุดตัวเลขคือ 1.2

ภารกิจ: คุณต้องค้นหาค่าของคำศัพท์ 214 คำ

วิธีแก้ไข: เพื่อระบุค่าของคำที่กำหนด เราใช้สูตร:

ก(n) = a1 + d(n-1)

แทนที่ข้อมูลจากคำชี้แจงปัญหาลงในนิพจน์ เรามี:

ก(214) = ก1 + ง(n-1)

ก(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

คำตอบ: เทอมที่ 214 ของลำดับมีค่าเท่ากับ 258.6

ข้อดีของวิธีการคำนวณนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาไม่เกิน 2 บรรทัด

ผลรวมของจำนวนเงื่อนไขที่กำหนด

บ่อยครั้งในชุดเลขคณิตที่กำหนดมีความจำเป็นต้องกำหนดค่ารวมของค่าของบางเซ็กเมนต์ ในการทำเช่นนี้ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของแต่ละเทอมแล้วบวกเข้าด้วยกัน วิธีการนี้ใช้ได้หากจำนวนคำศัพท์ที่ต้องการหาผลรวมมีน้อย ในกรณีอื่นๆ จะสะดวกกว่าถ้าใช้สูตรต่อไปนี้

ผลรวมของเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของเทอมที่หนึ่งและที่ n คูณด้วยจำนวนของเทอม n แล้วหารด้วยสอง หากในสูตรค่าของเทอมที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความเราจะได้รับ:

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น เรามาแก้ปัญหาโดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้:

พจน์แรกของลำดับคือศูนย์

ความแตกต่างคือ 0.5

ปัญหานี้จำเป็นต้องพิจารณาผลรวมของเงื่อนไขของอนุกรมตั้งแต่ 56 ถึง 101

สารละลาย. ลองใช้สูตรเพื่อกำหนดจำนวนความก้าวหน้า:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ขั้นแรกเรากำหนดค่าผลรวมของเงื่อนไข 101 ของความก้าวหน้าโดยการแทนที่เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาของเราลงในสูตร:

วินาที 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าตั้งแต่วันที่ 56 ถึง 101 จำเป็นต้องลบ S 55 ออกจาก S 101

วินาที 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ดังนั้น ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างนี้คือ:

ส 101 - ส 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ

ในตอนท้ายของบทความ กลับไปที่ตัวอย่างลำดับเลขคณิตที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรก - เครื่องวัดระยะทาง (มิเตอร์รถแท็กซี่) ลองพิจารณาตัวอย่างนี้

การขึ้นแท็กซี่ (ซึ่งรวมการเดินทาง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรถัดไปจะจ่ายในอัตรา 22 รูเบิล/กม. ระยะทางเดินทาง 30 กม. คำนวณค่าใช้จ่ายในการเดินทาง

1. ทิ้ง 3 กม. แรก ซึ่งราคาดังกล่าวรวมอยู่ในค่าลงจอดแล้ว

30 - 3 = 27 กม.

2. การคำนวณเพิ่มเติมนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการแยกวิเคราะห์ชุดเลขคณิต

หมายเลขสมาชิก - จำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)

มูลค่าของสมาชิกคือผลรวม

เทอมแรกในปัญหานี้จะเท่ากับ 1 = 50 รูเบิล

ความแตกต่างของความก้าวหน้า d = 22 r

จำนวนที่เราสนใจคือค่าของเทอมที่ (27+1) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - การอ่านมิเตอร์เมื่อสิ้นสุดกิโลเมตรที่ 27 เท่ากับ 27.999... = 28 กม.

ก 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

การคำนวณข้อมูลปฏิทินเป็นระยะเวลานานโดยพลการจะขึ้นอยู่กับสูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขบางอย่าง ในทางดาราศาสตร์ ความยาวของวงโคจรจะขึ้นอยู่กับระยะห่างของวัตถุท้องฟ้าถึงดาวฤกษ์ในทางเรขาคณิต นอกจากนี้ ชุดตัวเลขต่างๆ ยังสามารถนำมาใช้ในสถิติและสาขาวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์อื่นๆ ได้สำเร็จอีกด้วย

ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีลักษณะเฉพาะด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงที่สูงกว่าเมื่อเทียบกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ในการเมือง สังคมวิทยา และการแพทย์ เพื่อแสดงให้เห็นความเร็วของการแพร่กระจายของปรากฏการณ์เฉพาะ เช่น โรคในระหว่างการแพร่ระบาด พวกเขามักจะกล่าวว่ากระบวนการพัฒนาเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เทอมที่ N ของชุดตัวเลขเรขาคณิตแตกต่างจากชุดก่อนหน้าตรงที่คูณด้วยจำนวนคงที่บางตัว - ตัวส่วนเช่นเทอมแรกคือ 1 ตัวส่วนจะเท่ากับ 2 ตามลำดับดังนั้น:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

bn - ค่าของเทอมปัจจุบันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

b n+1 - สูตรของเทอมถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

q เป็นตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)

หากกราฟของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นตรง ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะวาดภาพที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย:

เช่นเดียวกับในกรณีของเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรสำหรับค่าของคำใดๆ ก็ตาม เทอมที่ n ใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากับผลคูณของเทอมแรกและตัวส่วนของความก้าวหน้ากำลังของ n ลดลง 1:

ตัวอย่าง. เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับ 3 และตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 มาหาความก้าวหน้าระยะที่ 5 กัน

ข 5 = ข 1 ∙ คิว (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

ผลรวมของจำนวนคำศัพท์ที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สูตรพิเศษด้วย ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าและตัวส่วนกับเทอมแรกของความก้าวหน้า หารด้วยตัวส่วนลดลงหนึ่ง:

หากแทนที่ bn โดยใช้สูตรที่กล่าวไว้ข้างต้น ค่าของผลรวมของเทอม n แรกของชุดตัวเลขที่พิจารณาจะอยู่ในรูปแบบ:

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยเทอมแรกเท่ากับ 1 ตัวส่วนถูกกำหนดให้เป็น 3 ลองหาผลรวมของแปดเทอมแรกกัน

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

เครื่องคิดเลขออนไลน์
การแก้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ให้ไว้: n , d, n
ค้นหา: 1

โปรแกรมทางคณิตศาสตร์นี้ค้นหา \(a_1\) ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยอิงจากตัวเลขที่ผู้ใช้ระบุ \(a_n, d\) และ \(n\)
ตัวเลข \(a_n\) และ \(d\) สามารถระบุได้ไม่เพียงแต่เป็นจำนวนเต็ม แต่ยังเป็นเศษส่วนด้วย ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนเศษส่วนสามารถป้อนได้ในรูปของเศษส่วนทศนิยม (\(2.5\)) และรูปเศษส่วนธรรมดา (\(-5\frac(2)(7)\))

โปรแกรมไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการค้นหาวิธีแก้ไขอีกด้วย

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนต้นในการเตรียมตัวสอบ การทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State และสำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต

หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการให้ทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านการแก้ปัญหาก็เพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎการป้อนตัวเลข เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น

กฎสำหรับการป้อนตัวเลข
ตัวเลข \(a_n\) และ \(d\) สามารถระบุได้ไม่เพียงแต่เป็นจำนวนเต็ม แต่ยังเป็นเศษส่วนด้วย

จำนวน \(n\) ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น
ส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนในเศษส่วนทศนิยมสามารถคั่นด้วยจุดหรือลูกน้ำ
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถป้อนเศษส่วนทศนิยม เช่น 2.5 หรือเช่น 2.5

กฎการป้อนเศษส่วนสามัญ
มีเพียงจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นทั้งเศษ ตัวส่วน และจำนวนเต็มของเศษส่วนได้

ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้

เมื่อป้อนเศษส่วนตัวเลข ตัวเศษจะถูกแยกออกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ป้อนข้อมูล:
ผลลัพธ์: \(-\frac(2)(3)\)

ส่วนทั้งหมดถูกแยกออกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมายแอมเพอร์แซนด์: &
ป้อนข้อมูล:
ผลลัพธ์: \(-1\frac(2)(3)\)

ป้อนตัวเลข a n , d, n

หา 1

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ

JavaScript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาปรากฏขึ้น คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript
ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

ลำดับหมายเลข

ในทางปฏิบัติในชีวิตประจำวัน การนับจำนวนสิ่งของต่างๆ มักใช้เพื่อระบุลำดับในการจัดเรียงสิ่งของเหล่านั้น เช่น บ้านในแต่ละถนนจะมีหมายเลขกำกับอยู่ ในห้องสมุด การสมัครรับข้อมูลของผู้อ่านจะถูกกำหนดหมายเลขแล้วจัดเรียงตามลำดับหมายเลขที่กำหนดในไฟล์การ์ดพิเศษ

ในธนาคารออมสิน โดยใช้หมายเลขบัญชีส่วนตัวของผู้ฝาก คุณสามารถค้นหาบัญชีนี้ได้อย่างง่ายดายและดูว่าอยู่ในบัญชีใดบ้าง ให้บัญชีหมายเลข 1 มีเงินฝาก a1 รูเบิล บัญชีหมายเลข 2 มีเงินฝาก a2 รูเบิล ฯลฯ ปรากฎว่า ลำดับหมายเลข
ก 1 , 2 , 3 , ... , เอ็น
โดยที่ N คือจำนวนบัญชีทั้งหมด ในที่นี้ จำนวนธรรมชาติแต่ละตัว n ตั้งแต่ 1 ถึง N จะสัมพันธ์กับจำนวน a n

เคยเรียนวิชาคณิตด้วย ลำดับจำนวนอนันต์:
ก 1 , 2 , 3 , ... , n , ... .
เรียกเลข 1 ครับ เทอมแรกของลำดับ, หมายเลข 2 - เทอมที่สองของลำดับ, หมายเลข 3 - เทอมที่สามของลำดับฯลฯ
เรียกหมายเลข a n สมาชิกของลำดับที่ n (nth)และจำนวนธรรมชาติ n คือจำนวนของมัน ตัวเลข.

ตัวอย่างเช่น ในลำดับกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... และ 1 = 1 เป็นเทอมแรกของลำดับ และ n = n 2 คือเทอมที่ n ของลำดับ n+1 = (n + 1) 2 คือเทอม (n + 1)th (n บวกก่อน) ของลำดับ บ่อยครั้งสามารถระบุลำดับได้ด้วยสูตรของเทอมที่ n ตัวอย่างเช่น สูตร \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) กำหนดลำดับ \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความยาวของปีประมาณ 365 วัน ค่าที่แม่นยำกว่าคือ \(365\frac(1)(4)\) วัน ดังนั้นทุก ๆ สี่ปี ข้อผิดพลาดของวันจะสะสม

เพื่ออธิบายข้อผิดพลาดนี้ จะมีการเพิ่มวันในทุก ๆ ปีที่สี่ และปีที่ขยายออกไปจะเรียกว่าปีอธิกสุรทิน

ตัวอย่างเช่น ในสหัสวรรษที่ 3 ปีอธิกสุรทินคือปี 2547, 2551, 2555, 2559, ....

ในลำดับนี้ สมาชิกแต่ละคนเริ่มจากตัวที่สองจะเท่ากับสมาชิกก่อนหน้าบวกเข้ากับหมายเลข 4 เดียวกัน ลำดับดังกล่าวเรียกว่า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

คำนิยาม.
ลำดับหมายเลข a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... เรียกว่า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้าโดยธรรมชาติแล้วมีความเสมอภาคกัน
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
โดยที่ d คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง

จากสูตรนี้ จะได้ว่า n+1 - a n = d ตัวเลข d เรียกว่าผลต่าง ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

ตามคำนิยามของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรามี:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
ที่ไหน
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \) โดยที่ \(n>1 \)

ดังนั้น แต่ละเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมสองเทอมที่อยู่ติดกัน สิ่งนี้อธิบายความก้าวหน้าของชื่อ "เลขคณิต"

โปรดทราบว่าหากให้ 1 และ d ไว้ เงื่อนไขที่เหลือของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำ a n+1 = a n + d ด้วยวิธีนี้ การคำนวณสองสามเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้าก็ไม่ใช่เรื่องยาก อย่างไรก็ตาม เช่น 100 จะต้องมีการคำนวณจำนวนมากอยู่แล้ว โดยปกติแล้ว สูตรเทอมที่ n จะใช้สำหรับสิ่งนี้ โดยนิยามของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
ฯลฯ
เลย
\(a_n=a_1+(n-1)ง, \)
เนื่องจากเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้มาจากเทอมแรกโดยการบวก (n-1) คูณด้วยตัวเลข d
สูตรนี้มีชื่อว่า สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100
ลองเขียนจำนวนนี้ในสองวิธี:
S = ล. + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
ส = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1
ลองเพิ่มความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอม:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101
ผลรวมนี้มี 100 เทอม
ดังนั้น 2S = 101 * 100 ดังนั้น S = 101 * 50 = 5050

ให้เราพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามอำเภอใจ
1 , 2 , 3 , ... , n , ...
ให้ S n เป็นผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้านี้:
S n = ก 1 , 2 , 3 , ... , น
แล้ว ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับ
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

เนื่องจาก \(a_n=a_1+(n-1)d\) จากนั้นแทนที่ n ในสูตรนี้ เราจะได้สูตรอื่นสำหรับการค้นหา ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

หนังสือ (หนังสือเรียน) บทคัดย่อของการสอบ Unified State และ Unified State Examination ทดสอบเกมออนไลน์ปริศนา พล็อตกราฟของฟังก์ชัน พจนานุกรมตัวสะกดของภาษารัสเซีย พจนานุกรมคำสแลงเยาวชน แคตตาล็อกของโรงเรียนรัสเซีย แคตตาล็อกของสถาบันการศึกษาระดับมัธยมศึกษาของรัสเซีย แคตตาล็อกของมหาวิทยาลัยในรัสเซีย รายชื่อ ของงาน

ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีอยู่แล้วในสมัยโบราณ พวกเขาปรากฏตัวและเรียกร้องวิธีแก้ปัญหาเพราะพวกเขามีความจำเป็นในทางปฏิบัติ

ดังนั้นหนึ่งในปาปิรุสของอียิปต์โบราณซึ่งมีเนื้อหาทางคณิตศาสตร์คือกระดาษปาปิรัส Rhind (ศตวรรษที่ 19 ก่อนคริสต์ศักราช) จึงมีภารกิจดังต่อไปนี้: แบ่งขนมปังสิบถังให้กับคนสิบคนโดยมีเงื่อนไขว่าความแตกต่างระหว่างแต่ละคนคือหนึ่งในแปดของ การวัด”

และในงานคณิตศาสตร์ของชาวกรีกโบราณยังมีทฤษฎีบทอันสง่างามที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น Hypsicles of Alexandria (ศตวรรษที่ 2 ซึ่งรวบรวมปัญหาที่น่าสนใจมากมายและเพิ่มหนังสือเล่มที่สิบสี่ลงใน Euclid's Elements) จึงกำหนดแนวคิดขึ้นมาว่า "ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีพจน์เป็นเลขคู่ ผลรวมของพจน์ของครึ่งหลัง มากกว่าผลรวมของเทอมที่ 1 บนจำนวนสมาชิกกำลังสอง 1/2"

ลำดับนี้เขียนแทนด้วย a หมายเลขของลำดับเรียกว่าสมาชิกและมักจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษรพร้อมดัชนีที่ระบุหมายเลขซีเรียลของสมาชิกนี้ (a1, a2, a3 ... อ่าน: "ที่ 1", "ที่ 2", "ที่ 3" และอื่น ๆ )

ลำดับอาจเป็นอนันต์หรือจำกัดก็ได้

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร? โดยเราหมายถึงสิ่งที่ได้รับจากการบวกเทอมก่อนหน้า (n) ด้วยตัวเลข d เดียวกัน ซึ่งเป็นผลต่างของความก้าวหน้า

ถ้าง<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 แล้วถือว่าความก้าวหน้านี้เพิ่มขึ้น

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่ามีจำกัดหากพิจารณาเพียงสองสามเทอมแรกเท่านั้น ด้วยจำนวนสมาชิกที่มากมาย นี่จึงเป็นความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ ถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

an =kn+b ในขณะที่ b และ k เป็นตัวเลขบางตัว

ข้อความที่ตรงกันข้ามเป็นจริงอย่างยิ่ง: หากลำดับได้รับจากสูตรที่คล้ายกัน แสดงว่าเป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติ:

1. แต่ละเทอมของความก้าวหน้าคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมก่อนหน้าและเทอมถัดไป
2. ในทางกลับกัน: ถ้าเริ่มจากเทอมที่ 2 แต่ละเทอมเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมก่อนหน้าและเทอมถัดมา เช่น ถ้าตรงตามเงื่อนไข ลำดับนี้จะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความเท่าเทียมกันนี้ในขณะเดียวกันก็เป็นสัญญาณของความก้าวหน้า ดังนั้นจึงมักเรียกว่าคุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้า
   ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีบทที่สะท้อนคุณสมบัตินี้เป็นจริง ลำดับคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็ต่อเมื่อความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับเงื่อนไขใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากอันดับที่ 2

คุณสมบัติเฉพาะของตัวเลขสี่ตัวใดๆ ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงได้ด้วยสูตร an + am = ak + al ถ้า n + m = k + l (m, n, k เป็นตัวเลขก้าวหน้า)

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คำศัพท์ที่จำเป็น (Nth) สามารถหาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น: เทอมแรก (a1) ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะได้รับและเท่ากับ 3 และผลต่าง (d) เท่ากับ 4 คุณต้องค้นหาระยะที่สี่สิบห้าของความก้าวหน้านี้ a45 = 1+4(45-1)=177

สูตร an = ak + d(n - k) ช่วยให้คุณระบุเทอมที่ n ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ผ่านเทอมที่ k ใดก็ได้ โดยมีเงื่อนไขว่าทราบแล้ว

ผลรวมของเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (หมายถึงเงื่อนไขที่ n ที่ 1 ของความก้าวหน้าอันจำกัด) มีการคำนวณดังนี้:

Sn = (a1+อัน) n/2

หากทราบเทอมที่ 1 แสดงว่าสูตรอื่นสะดวกสำหรับการคำนวณ:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีคำศัพท์ n คำคำนวณได้ดังนี้:

การเลือกสูตรในการคำนวณขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหาและข้อมูลเบื้องต้น

ชุดข้อมูลธรรมชาติของตัวเลขใดๆ เช่น 1,2,3,...,n,... เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

นอกจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ยังมีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอีกด้วย ซึ่งมีคุณสมบัติและคุณลักษณะเฉพาะของตัวเอง

ระดับรายการ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับหมายเลข

เรามานั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้ และอาจมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ (ในกรณีของเราก็มีอยู่แล้ว) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขไปกี่จำนวน เราก็บอกได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันดับแรก อันไหนเป็นที่สอง และต่อๆ ไปจนถึงตัวสุดท้าย นั่นคือ เราสามารถนับเลขได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข:

ลำดับหมายเลข
ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:

หมายเลขที่กำหนดจะเฉพาะกับหมายเลขเดียวในลำดับเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ ตัวเลขที่สอง (เช่นตัวเลขที่ th) จะเหมือนกันเสมอ
จำนวนที่มีจำนวนเรียกว่าเทอมที่ 3 ของลำดับ

โดยปกติเราเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกัน โดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:

ในกรณีของเรา:

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลขซึ่งความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน
ตัวอย่างเช่น:

ฯลฯ
ลำดับตัวเลขนี้เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
คำว่า "ความก้าวหน้า" ถูกนำมาใช้โดยนักเขียนชาวโรมันชื่อ Boethius ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 6 และเป็นที่เข้าใจในความหมายที่กว้างกว่าว่าเป็นลำดับตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด ชื่อ "เลขคณิต" โอนมาจากทฤษฎีสัดส่วนต่อเนื่องที่ชาวกรีกโบราณศึกษา

นี่คือลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวจะเท่ากับลำดับก่อนหน้าที่บวกเข้ากับหมายเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และถูกกำหนดไว้

พยายามพิจารณาว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และลำดับใดไม่ใช่:

ก)
ข)
ค)
ง)

เข้าใจแล้ว? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:
เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - b, c
ไม่ใช่ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - a, d

กลับไปที่ความก้าวหน้าที่กำหนด () แล้วลองค้นหาค่าของเทอมที่ 3 ของมัน มีอยู่ สองวิธีที่จะค้นหามัน

1. วิธีการ

เราสามารถบวกเลขความก้าวหน้าเข้ากับค่าก่อนหน้าได้จนกว่าเราจะถึงระยะที่ 3 ของความก้าวหน้า เป็นการดีที่เราไม่มีอะไรจะสรุปมากนัก - มีเพียงสามค่าเท่านั้น:

ดังนั้นเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ

2. วิธีการ

จะเป็นอย่างไรถ้าเราจำเป็นต้องค้นหามูลค่าของระยะที่ 3 ของความก้าวหน้า? การบวกจะใช้เวลามากกว่าหนึ่งชั่วโมง และไม่ใช่ความจริงที่ว่าเราจะไม่ทำผิดพลาดเมื่อบวกตัวเลข
แน่นอนว่านักคณิตศาสตร์มีวิธีที่ไม่จำเป็นต้องเพิ่มผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ให้กับค่าก่อนหน้า ลองดูภาพที่วาดให้ละเอียดยิ่งขึ้น... แน่นอนคุณได้สังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างแล้ว ได้แก่:

ตัวอย่างเช่น ลองดูว่าค่าของเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ประกอบด้วยเท่าใด:


กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

พยายามหาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดด้วยตัวเองด้วยวิธีนี้

คุณคำนวณหรือไม่? เปรียบเทียบบันทึกย่อของคุณกับคำตอบ:

โปรดทราบว่าคุณได้ตัวเลขเดียวกันกับวิธีก่อนหน้าทุกประการ เมื่อเราเพิ่มเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นค่าก่อนหน้าตามลำดับ
เรามาลอง "ลดความเป็นตัวตน" ของสูตรนี้ - มาวางไว้ในรูปแบบทั่วไปแล้วจะได้:

สมการความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเพิ่มหรือลดลงได้

เพิ่มขึ้น- ความก้าวหน้าซึ่งแต่ละมูลค่าที่ตามมาของข้อกำหนดจะมากกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

จากมากไปน้อย- ความก้าวหน้าซึ่งแต่ละค่าของข้อกำหนดที่ตามมาจะน้อยกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

สูตรที่ได้รับใช้ในการคำนวณเงื่อนไขทั้งในเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นและลดลงของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
มาตรวจสอบสิ่งนี้ในทางปฏิบัติ
เราได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขต่อไปนี้: มาตรวจสอบกันว่าตัวเลขลำดับที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้จะเป็นอย่างไรหากเราใช้สูตรของเราในการคำนวณ:

ตั้งแต่นั้นมา:

ดังนั้นเราจึงมั่นใจว่าสูตรดำเนินการทั้งในการลดลงและเพิ่มความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
พยายามค้นหาเงื่อนไขที่ th และ th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ด้วยตัวเอง

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

คุณสมบัติความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้น - เราจะได้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
สมมติว่าเราได้รับเงื่อนไขต่อไปนี้:
- ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ค้นหาค่า
ง่าย ๆ ที่คุณพูดและเริ่มนับตามสูตรที่คุณรู้อยู่แล้ว:

ให้เอ่อแล้ว:

จริงอย่างแน่นอน ปรากฎว่าเราพบก่อนแล้วจึงบวกเข้ากับตัวเลขแรกแล้วได้สิ่งที่เรากำลังมองหา ถ้าความก้าวหน้าแสดงด้วยค่าเล็กๆ ก็ไม่มีอะไรซับซ้อน แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราได้รับตัวเลขในเงื่อนไขล่ะ? ยอมรับว่ามีความเป็นไปได้ที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ
ทีนี้ลองคิดดูว่าจะสามารถแก้ไขปัญหานี้ในขั้นตอนเดียวโดยใช้สูตรใดๆ ได้หรือไม่? ใช่แน่นอน และนั่นคือสิ่งที่เราจะพยายามนำเสนอออกมาในตอนนี้

ให้เราแสดงคำที่ต้องการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เนื่องจากสูตรในการค้นหาที่เรารู้จัก - นี่เป็นสูตรเดียวกับที่เราได้รับตั้งแต่ต้น:
, แล้ว:

• ระยะก่อนหน้าของความก้าวหน้าคือ:
• ระยะต่อไปของความก้าวหน้าคือ:

เรามาสรุปข้อกำหนดก่อนหน้าและถัดไปของความก้าวหน้า:

ปรากฎว่าผลรวมของเงื่อนไขก่อนหน้าและเงื่อนไขถัดไปของความก้าวหน้าคือค่าสองเท่าของเงื่อนไขความก้าวหน้าที่อยู่ระหว่างพวกเขา กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากต้องการค้นหาค่าของเทอมความก้าวหน้าด้วยค่าก่อนหน้าและค่าต่อเนื่องที่ทราบ คุณจะต้องบวกค่าเหล่านั้นแล้วหารด้วย

ใช่แล้ว เราได้เลขเดียวกัน มารักษาความปลอดภัยของวัสดุกันเถอะ คำนวณมูลค่าสำหรับความก้าวหน้าด้วยตัวเอง ไม่ยากเลย

ทำได้ดี! คุณรู้เกือบทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้า! ยังคงต้องหาสูตรเพียงสูตรเดียวเท่านั้น ซึ่งตามตำนานสามารถอนุมานได้ง่าย ๆ ด้วยตัวเองโดยหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล "ราชาแห่งนักคณิตศาสตร์" - Carl Gauss...

เมื่อ Carl Gauss อายุ 9 ขวบ ครูคนหนึ่งซึ่งยุ่งอยู่กับการตรวจสอบงานของนักเรียนในชั้นเรียนอื่น ได้ถามคำถามในชั้นเรียนดังนี้: “คำนวณผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ ถึง (ตามแหล่งข้อมูลอื่นถึง) รวม” ลองนึกภาพความประหลาดใจของครูเมื่อนักเรียนคนหนึ่งของเขา (นี่คือคาร์ล เกาส์) นาทีต่อมาให้คำตอบที่ถูกต้องกับงาน ในขณะที่เพื่อนร่วมชั้นของผู้บ้าระห่ำส่วนใหญ่ได้รับผลลัพธ์ที่ผิดหลังจากคำนวณมาเป็นเวลานาน...

คาร์ล เกาส์ วัยหนุ่มสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างที่คุณสามารถสังเกตได้ง่ายเช่นกัน
สมมติว่าเรามีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยเทอมที่ -: เราจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของเงื่อนไขเหล่านี้ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แน่นอนว่า เราสามารถรวมค่าทั้งหมดด้วยตนเอง แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้างานนั้นต้องการหาผลรวมของเงื่อนไขตามที่เกาส์กำลังมองหา?

ให้เราบรรยายถึงความก้าวหน้าที่มอบให้เรา ดูตัวเลขที่ไฮไลต์อย่างใกล้ชิดแล้วลองดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ กับตัวเลขเหล่านั้น


คุณลองแล้วหรือยัง? คุณสังเกตเห็นอะไร? ขวา! ผลรวมของพวกเขาเท่ากัน

ทีนี้บอกหน่อยเถอะว่าความก้าวหน้าที่มอบให้เรามีทั้งหมดกี่คู่? แน่นอนว่าครึ่งหนึ่งของตัวเลขทั้งหมดนั่นเอง
จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของสองเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากัน และคู่ที่คล้ายกันเท่ากัน เราจึงได้ผลลัพธ์ว่าผลรวมทั้งหมดเท่ากับ:
.
ดังนั้น สูตรสำหรับผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเป็นดังนี้:

ในปัญหาบางอย่างเราไม่รู้คำศัพท์ที่ 3 แต่เรารู้ถึงความแตกต่างของความก้าวหน้า ลองแทนสูตรของเทอมที่ 3 ลงในสูตรผลรวม
คุณได้อะไร?

ทำได้ดี! ตอนนี้เรากลับมาที่ปัญหาที่ Carl Gauss ถาม: คำนวณด้วยตัวคุณเองว่าผลรวมของตัวเลขที่เริ่มต้นจาก th เท่ากับเท่าใด และผลรวมของตัวเลขที่เริ่มต้นจาก th

คุณได้รับเท่าไหร่?
เกาส์พบว่าผลรวมของพจน์เท่ากัน และผลรวมของพจน์นั้น นั่นคือสิ่งที่คุณตัดสินใจ?

ในความเป็นจริง สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ไดโอแฟนตัส ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 3 และตลอดเวลานี้ คนที่มีไหวพริบได้ใช้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างเต็มที่
ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพอียิปต์โบราณและโครงการก่อสร้างที่ใหญ่ที่สุดในยุคนั้น - การก่อสร้างปิรามิด... รูปภาพแสดงด้านใดด้านหนึ่ง

คุณพูดว่าความก้าวหน้าอยู่ที่ไหน? มองให้ดีและหารูปแบบจำนวนบล็อกทรายในแต่ละแถวของกำแพงพีระมิด


ทำไมไม่ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์? คำนวณจำนวนบล็อกที่จำเป็นในการสร้างกำแพงด้านหนึ่งหากวางอิฐบล็อกไว้ที่ฐาน ฉันหวังว่าคุณจะไม่นับในขณะที่เลื่อนนิ้วไปบนหน้าจอ คุณจำสูตรสุดท้ายและทุกสิ่งที่เราพูดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ไหม

ในกรณีนี้ ความคืบหน้าจะเป็นดังนี้:
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
จำนวนเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
เรามาแทนที่ข้อมูลของเราเป็นสูตรสุดท้าย (คำนวณจำนวนบล็อกได้ 2 วิธี)

วิธีที่ 1

วิธีที่ 2

และตอนนี้คุณสามารถคำนวณบนมอนิเตอร์ได้: เปรียบเทียบค่าที่ได้รับกับจำนวนบล็อกที่อยู่ในปิรามิดของเรา เข้าใจแล้ว? ทำได้ดีมาก คุณเชี่ยวชาญผลรวมของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว
แน่นอนว่าคุณไม่สามารถสร้างปิรามิดจากบล็อกที่ฐานได้ แต่จากอะไรล่ะ? ลองคำนวณว่าต้องใช้อิฐทรายจำนวนเท่าใดในการสร้างกำแพงด้วยเงื่อนไขนี้
คุณจัดการหรือไม่?
คำตอบที่ถูกต้องคือบล็อก:

การฝึกอบรม

งาน:

1. Masha กำลังมีรูปร่างดีสำหรับฤดูร้อน เธอเพิ่มจำนวนท่าสควอชทุกวัน Masha จะทำ squats กี่ครั้งในหนึ่งสัปดาห์ถ้าเธอทำ squats ในการฝึกซ้อมครั้งแรก?
2. ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่มีอยู่เป็นเท่าใด
3. เมื่อจัดเก็บบันทึก ตัวบันทึกจะซ้อนกันในลักษณะที่แต่ละชั้นบนสุดมีบันทึกหนึ่งรายการน้อยกว่าบันทึกก่อนหน้า อิฐหนึ่งก้อนมีท่อนไม้อยู่กี่ท่อน ถ้ารากฐานของท่อนไม้เป็นท่อนไม้?

คำตอบ:

1. ให้เรากำหนดพารามิเตอร์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้
   (สัปดาห์ = วัน)

   คำตอบ:ในสองสัปดาห์ Masha ควรทำ squats วันละครั้ง

2. เลขคี่ตัวแรก เลขสุดท้าย
   ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
   อย่างไรก็ตาม จำนวนเลขคี่คือครึ่งหนึ่ง เราจะมาตรวจสอบข้อเท็จจริงนี้โดยใช้สูตรในการหาเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

   ตัวเลขประกอบด้วยเลขคี่
   ลองแทนที่ข้อมูลที่มีอยู่ลงในสูตร:

   คำตอบ:ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่อยู่ในนั้นมีค่าเท่ากัน

3. เรามาจำปัญหาเกี่ยวกับปิรามิดกันดีกว่า สำหรับกรณีของเรา a เนื่องจากแต่ละเลเยอร์บนสุดจะลดลงหนึ่งบันทึก ดังนั้นโดยรวมแล้วจะมีหลายเลเยอร์ นั่นก็คือ
   ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:

   คำตอบ:มีท่อนซุงอยู่ในการก่ออิฐ

มาสรุปกัน

1. - ลำดับตัวเลขที่ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน มันอาจจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ได้
2. การหาสูตรเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนโดยสูตร - โดยที่ คือจำนวนตัวเลขในความก้าวหน้า
3. คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- - โดยที่คือจำนวนตัวเลขที่กำลังดำเนินอยู่
4. ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้สองวิธี:
   
   โดยที่คือจำนวนค่า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ระดับกลาง

ลำดับหมายเลข

ลองนั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกัน ตัวอย่างเช่น:

คุณสามารถเขียนตัวเลขใดๆ ก็ได้ และจะมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ แต่เราสามารถพูดได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันดับแรก อันไหนเป็นที่สอง และอื่น ๆ นั่นคือเราสามารถนับพวกมันได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข

ลำดับหมายเลขคือชุดตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละหมายเลขสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่งและเป็นจำนวนเฉพาะได้ และเราจะไม่กำหนดหมายเลขนี้ให้กับหมายเลขอื่นจากชุดนี้

ตัวเลขที่มีตัวเลขเรียกว่าสมาชิกตัวที่ 2 ของลำดับ

โดยปกติเราเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกัน โดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:

จะสะดวกมากหากบางสูตรสามารถระบุเทอมที่ 3 ของลำดับได้ ยกตัวอย่างสูตร

กำหนดลำดับ:

และสูตรก็มีลำดับดังนี้:

ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับ (เทอมแรกในที่นี้มีค่าเท่ากัน และผลต่างคือ) หรือ (, ส่วนต่าง)

สูตรเทอมที่ n

เราเรียกสูตรที่เกิดซ้ำซึ่งในการหาเทอมที่ 3 คุณจำเป็นต้องรู้คำก่อนหน้าหรือหลายคำก่อนหน้านี้:

หากต้องการค้นหาระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าโดยใช้สูตรนี้ เราจะต้องคำนวณเก้าค่าก่อนหน้า เช่น ปล่อยให้มัน. แล้ว:

ตอนนี้ชัดเจนแล้วว่าสูตรคืออะไร?

ในแต่ละบรรทัดที่เราบวกเข้าไป คูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง อันไหน? ง่ายมาก: นี่คือจำนวนสมาชิกปัจจุบันลบ:

ตอนนี้สะดวกขึ้นมากแล้วใช่ไหม? เราตรวจสอบ:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้ค้นหาสูตรสำหรับเทอมที่ n และค้นหาเทอมที่ร้อย

สารละลาย:

เทอมแรกมีค่าเท่ากัน ความแตกต่างคืออะไร? นี่คือสิ่งที่:

(เหตุนี้จึงเรียกว่าความแตกต่างเพราะเท่ากับผลต่างของระยะต่อเนื่องของการก้าวหน้า)

ดังนั้นสูตร:

จากนั้นเทอมที่ร้อยจะเท่ากับ:

ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ ถึง คืออะไร?

ตามตำนาน คาร์ล เกาส์ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ เมื่อตอนอายุ 9 ขวบ คำนวณจำนวนนี้ในเวลาไม่กี่นาที เขาสังเกตเห็นว่าผลรวมของเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายเท่ากัน ผลรวมของเลขที่สองและเลขสุดท้ายเท่ากัน ผลรวมของเลขที่สามและเลข 3 จากท้ายสุดเท่ากัน เป็นต้น มีคู่ดังกล่าวทั้งหมดกี่คู่? ถูกต้อง ครึ่งหนึ่งของจำนวนทั้งหมดนั่นเอง ดังนั้น,

สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเป็น:

ตัวอย่าง:
ค้นหาผลรวมของตัวคูณสองหลักทั้งหมด

สารละลาย:

ตัวเลขแรกคือสิ่งนี้ แต่ละหมายเลขที่ตามมาจะได้มาจากการเพิ่มหมายเลขก่อนหน้า ดังนั้นตัวเลขที่เราสนใจจะสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเทอมแรกและผลต่าง

สูตรของเทอมที่ 3 สำหรับความก้าวหน้านี้:

มีคำศัพท์กี่คำที่อยู่ในความก้าวหน้าหากทุกคำต้องเป็นเลขสองหลัก?

ง่ายมาก: .

ระยะสุดท้ายของความก้าวหน้าจะเท่ากัน จากนั้นผลรวม:

คำตอบ: .

ตอนนี้ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1. ทุกวันนักกีฬาจะวิ่งมากกว่าวันก่อนหน้า เขาจะวิ่งรวมกี่กิโลเมตรในหนึ่งสัปดาห์ถ้าเขาวิ่ง km m ในวันแรก?
2. นักปั่นจักรยานเดินทางหลายกิโลเมตรทุกวันมากกว่าวันก่อนหน้า วันแรกเดินทาง กม. เขาต้องเดินทางกี่วันจึงจะครบหนึ่งกิโลเมตร? วันสุดท้ายของการเดินทางเขาจะเดินทางกี่กิโลเมตร?
3. ราคาตู้เย็นในร้านค้าลดลงเท่ากันทุกปี พิจารณาว่าราคาตู้เย็นลดลงเท่าใดในแต่ละปีหากขายเป็นรูเบิลหกปีต่อมาขายเป็นรูเบิล

คำตอบ:

1. สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการจดจำความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และกำหนดพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ (สัปดาห์ = วัน) คุณต้องพิจารณาผลรวมของเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้านี้:
   .
   คำตอบ:
2. นี่คือสิ่งที่ได้รับ: , จะต้องพบ
   แน่นอนว่าคุณต้องใช้สูตรผลรวมเดียวกันกับในปัญหาก่อนหน้านี้:
   .
   แทนค่า:

   เห็นได้ชัดว่ารูตไม่พอดี ดังนั้นคำตอบก็คือ
   ลองคำนวณเส้นทางที่เดินทางในวันสุดท้ายโดยใช้สูตรของเทอมที่ 3:
   (กม.)
   คำตอบ:

3. ที่ให้ไว้: . หา: .
   ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้ว:
   (ถู).
   คำตอบ:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

นี่คือลำดับตัวเลขซึ่งความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันจะเท่ากันและเท่ากัน

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเพิ่ม () และลด ()

ตัวอย่างเช่น:

สูตรการหาเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เขียนตามสูตร โดยที่ คือ จำนวนตัวเลขที่กำลังดำเนินอยู่

คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ช่วยให้คุณสามารถค้นหาคำศัพท์ของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดายหากทราบคำศัพท์ใกล้เคียง - โดยที่จำนวนตัวเลขในความก้าวหน้าคือจำนวนใด

ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มีสองวิธีในการค้นหาจำนวนเงิน:

จำนวนค่าอยู่ที่ไหน

จำนวนค่าอยู่ที่ไหน

ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n จับคู่จำนวนจริง หนึ่ง แล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับ ลำดับหมายเลข :

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง , . . . .

ดังนั้น ลำดับตัวเลขจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ

ตัวเลข ก 1 เรียกว่า เทอมแรกของลำดับ , ตัวเลข ก 2 — เทอมที่สองของลำดับ , ตัวเลข ก 3 — ที่สาม และอื่น ๆ ตัวเลข หนึ่ง เรียกว่า สมาชิกคนที่ n ของลำดับ และจำนวนธรรมชาติ n — หมายเลขของเขา .

จากสมาชิกสองคนที่อยู่ติดกัน หนึ่ง และ หนึ่ง +1 สมาชิกลำดับ หนึ่ง +1 เรียกว่า ภายหลัง (สัมพันธ์กับ หนึ่ง ) อ หนึ่ง — ก่อนหน้า (สัมพันธ์กับ หนึ่ง +1 ).

ในการกำหนดลำดับ คุณต้องระบุวิธีการที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกของลำดับด้วยตัวเลขใดก็ได้

บ่อยครั้งมีการระบุลำดับโดยใช้ สูตรเทอมที่ n นั่นคือสูตรที่ช่วยให้คุณกำหนดสมาชิกของลำดับตามหมายเลขของมันได้

ตัวอย่างเช่น,

สูตรสามารถกำหนดลำดับของเลขคี่บวกได้

หนึ่ง= 2ไม่มี 1,

และลำดับการสลับกัน 1 และ -1 - สูตร

ข n = (-1)n +1 . ◄

สามารถกำหนดลำดับได้ สูตรเกิดซ้ำ, นั่นคือ สูตรที่แสดงสมาชิกใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากบางส่วน จนถึงสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งตัวหรือมากกว่า)

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 1 , ก หนึ่ง +1 = หนึ่ง + 5

ก 1 = 1,

ก 2 = ก 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ก 3 = ก 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ก 4 = ก 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ก 5 = ก 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ถ้า 1= 1, 2 = 1, หนึ่ง +2 = หนึ่ง + หนึ่ง +1 , จากนั้นเจ็ดเทอมแรกของลำดับตัวเลขจะถูกสร้างดังนี้:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ก 6 = ก 4 + ก 5 = 3 + 5 = 8,

ก 7 = ก 5 + ก 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ลำดับได้ สุดท้าย และ ไม่มีที่สิ้นสุด .

ลำดับที่เรียกว่า สุดยอด ถ้ามีสมาชิกจำนวนจำกัด ลำดับที่เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด ถ้ามีสมาชิกจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของจำนวนธรรมชาติสองหลัก:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

สุดท้าย.

ลำดับของจำนวนเฉพาะ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ไม่มีที่สิ้นสุด ◄

ลำดับที่เรียกว่า เพิ่มขึ้น หากสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองมากกว่าสมาชิกก่อนหน้า

ลำดับที่เรียกว่า ลดลง ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองน้อยกว่าสมาชิกตัวก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — ลำดับที่เพิ่มขึ้น;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - ลำดับที่ลดลง ◄

ลำดับที่องค์ประกอบไม่ลดลงเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น หรือในทางกลับกัน ไม่เพิ่มขึ้น เรียกว่า ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ .

โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับแบบโมโนโทนิกคือลำดับที่เพิ่มขึ้นและลำดับที่ลดลง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับตัวก่อนหน้าโดยบวกด้วยจำนวนเดียวกัน

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง, . . .

คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:

หนึ่ง +1 = หนึ่ง + ง,

ที่ไหน ง - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างเงื่อนไขที่ตามมาและเงื่อนไขก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจึงเป็นค่าคงที่เสมอ:

2 - ก 1 = 3 - ก 2 = . . . = หนึ่ง +1 - หนึ่ง = ง.

ตัวเลข ง เรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

เพื่อกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุเทอมแรกและผลต่าง

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 3, ง = 4 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:

1 =3,

2 = 1 + ง = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + ง= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + ง= 11 + 4 = 15,

ก 5 = ก 4 + ง= 15 + 4 = 19. ◄

สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับเทอมแรก ก 1 และความแตกต่าง ง ของเธอ n

หนึ่ง = 1 + (n- 1)ง.

ตัวอย่างเช่น,

ค้นหาระยะที่สามสิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, ง = 3,

30 = 1 + (30 - 1)ง = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (n- 2)ง,

หนึ่ง= 1 + (n- 1)ง,

หนึ่ง +1 = ก 1 + nd,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	n-1 + n+1
	2

สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา

ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ถ้าหากหนึ่งในนั้นเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองตัวเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น,

หนึ่ง = 2n- 7 เป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:

หนึ่ง = 2n- 7,

n-1 = 2(ไม่มี 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

เพราะฉะนั้น,

n+1 + n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = หนึ่ง,
2		2

◄

โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ก 1 แต่ยังรวมถึงก่อนหน้านี้ด้วย เค

หนึ่ง = เค + (n- เค)ง.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ก 5 สามารถเขียนลงไปได้

5 = 1 + 4ง,

5 = 2 + 3ง,

5 = 3 + 2ง,

5 = 4 + ง. ◄

หนึ่ง = ไม่เป็นไร + เคดี,

หนึ่ง = เอ็น+เค - เคดี,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	ก นะเค +ก ไม่มี+เค
	2

สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากวินาที จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ โดยมีระยะห่างเท่ากัน

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

a m + a n = a k + a l,

ม. + n = k + ลิตร

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) ก 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ก 9 + ก 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7ง= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ก 7 + 13)/2;

4) 2 + 12 = 5 + 9, เพราะ

ก 2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ส= ก 1 + ก 2 + ก 3 + - -+ หนึ่ง,

อันดับแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเงื่อนไขสุดขั้วและจำนวนเงื่อนไข:

จากนี้โดยเฉพาะจะตามมาว่าหากคุณต้องการรวมคำศัพท์

เค, เค +1 , . . . , หนึ่ง,

ดังนั้นสูตรก่อนหน้านี้จะคงโครงสร้างไว้:

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ส 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ส 10 - ส 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ถ้าให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ปริมาณ ก 1 , หนึ่ง, ง, nและส n เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณเหล่านี้จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับที่ซ้ำซากจำเจ ในกรณีนี้:

• ถ้า ง > 0 แล้วมันก็เพิ่มขึ้น;
• ถ้า ง < 0 ก็กำลังลดลง;
• ถ้า ง = 0 จากนั้นลำดับก็จะหยุดนิ่ง

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับตัวก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . , บีเอ็น, . . .

คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:

บีเอ็น +1 = บีเอ็น · ถาม,

ที่ไหน ถาม ≠ 0 - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น อัตราส่วนของเทอมต่อมาของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดต่อเทอมก่อนหน้าจึงเป็นจำนวนคงที่:

ข 2 / ข 1 = ข 3 / ข 2 = . . . = บีเอ็น +1 / บีเอ็น = ถาม.

ตัวเลข ถาม เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

ในการกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต การระบุเทอมแรกและตัวส่วนก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ข 1 = 1, ถาม = -3 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:

ข 1 = 1,

ข 2 = ข 1 · ถาม = 1 · (-3) = -3,

ข 3 = ข 2 · ถาม= -3 · (-3) = 9,

ข 4 = ข 3 · ถาม= 9 · (-3) = -27,

ข 5 = ข 4 · ถาม= -27 · (-3) = 81. ◄

ข 1 และตัวส่วน ถาม ของเธอ n คำที่ 3 สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

บีเอ็น = ข 1 · qn -1 .

ตัวอย่างเช่น,

หาเทอมที่ 7 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .

ข 1 = 1, ถาม = 2,

ข 7 = ข 1 · ถาม 6 = 1 2 6 = 64. ◄

บีเอ็น-1 = ข 1 · qn -2 ,

บีเอ็น = ข 1 · qn -1 ,

บีเอ็น +1 = ข 1 · qn,

เห็นได้ชัดว่า

บีเอ็น 2 = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มต้นจากวินาที เท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (สัดส่วน) ของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกต่อๆ ไป

เนื่องจากการสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ข้อความต่อไปนี้จึงถือเป็น:

ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าหากกำลังสองของหนึ่งในนั้นเท่ากับผลคูณของอีกสองตัว นั่นคือ หนึ่งในตัวเลขนั้นเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยสูตร บีเอ็น= -3 2 n คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:

บีเอ็น= -3 2 n,

บีเอ็น -1 = -3 2 n -1 ,

บีเอ็น +1 = -3 2 n +1 .

เพราะฉะนั้น,

บีเอ็น 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,

ซึ่งพิสูจน์ข้อความที่ต้องการ ◄

โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ข 1 แต่ยังรวมถึงสมาชิกคนก่อนหน้าด้วย ข ซึ่งก็เพียงพอที่จะใช้สูตร

บีเอ็น = ข · qn - เค.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ข 5 สามารถเขียนลงไปได้

ข 5 = ข 1 · ถาม 4 ,

ข 5 = ข 2 · คำถามที่ 3,

ข 5 = ข 3 · คำถามที่ 2,

ข 5 = ข 4 · ถาม. ◄

บีเอ็น = ข · qn - เค,

บีเอ็น = บีเอ็น - เค · คิวเค,

เห็นได้ชัดว่า

บีเอ็น 2 = บีเอ็น - เค· บีเอ็น + เค

กำลังสองของเทอมใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยเริ่มจากวินาทีนั้น จะเท่ากับผลคูณของเทอมที่มีระยะห่างเท่ากันของความก้าวหน้านี้

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

ข ม· บีเอ็น= ข· ข,

ม+ n= เค+ ล.

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

1) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ข 5 · ข 7 ;

2) 1024 = ข 11 = ข 6 · ถาม 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ข 4 · ข 8 ;

4) ข 2 · ข 7 = ข 4 · ข 5 , เพราะ

ข 2 · ข 7 = 2 · 64 = 128,

ข 4 · ข 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . + บีเอ็น

อันดับแรก n สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:

และเมื่อไร ถาม = 1 - ตามสูตร

ส= ไม่มี 1

โปรดทราบว่าหากคุณต้องการสรุปข้อกำหนด

ข, ข +1 , . . . , บีเอ็น,

จากนั้นจึงใช้สูตร:

ส- เอสเค -1 = ข + ข +1 + . . . + บีเอ็น = ข ·	1 - qn - เค +1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ส 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ส 10 - ส 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ถ้าให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แสดงว่าปริมาณ ข 1 , บีเอ็น, ถาม, nและ ส เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณใด ๆ เหล่านี้จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเทอมแรก ข 1 และตัวส่วน ถาม สิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น คุณสมบัติของความน่าเบื่อ :

• ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ ถาม> 1;

ข 1 < 0 และ 0 < ถาม< 1;

• ความก้าวหน้าจะลดลงหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ 0 < ถาม< 1;

ข 1 < 0 และ ถาม> 1.

ถ้า ถาม< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะสลับกัน: พจน์ที่เป็นเลขคี่จะมีเครื่องหมายเดียวกันกับเทอมแรก และเทอมที่มีเลขคู่จะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เห็นได้ชัดว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับกันนั้นไม่ใช่เรื่องซ้ำซากจำเจ

สินค้าชิ้นแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

พี= ข 1 · ข 2 · ข 3 · . . . · บีเอ็น = (ข 1 · บีเอ็น) n / 2 .

ตัวอย่างเช่น,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ซึ่งมีโมดูลัสตัวส่วนน้อยกว่า 1 นั่นคือ

|ถาม| < 1 .

โปรดทราบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอาจไม่ใช่ลำดับที่ลดลง มันเหมาะกับโอกาส

1 < ถาม< 0 .

ด้วยตัวส่วนดังกล่าว ลำดับจึงสลับกัน ตัวอย่างเช่น,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ตั้งชื่อหมายเลขที่ผลรวมของหมายเลขแรกเข้าใกล้โดยไม่มีขีดจำกัด n สมาชิกของความก้าวหน้าโดยเพิ่มจำนวนได้ไม่จำกัด n - จำนวนนี้มีจำกัดเสมอและแสดงเป็นสูตร

ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . =	ข 1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ความสัมพันธ์ระหว่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ลองดูเพียงสองตัวอย่าง

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . ง , ที่

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . ข d .

ตัวอย่างเช่น,

1, 3, 5, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง 2 และ

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 7 2 . ◄

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน ถาม , ที่

เข้าสู่ระบบ ข 1, เข้าสู่ระบบ ข 2, เข้าสู่ระบบ ข 3, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง เข้าสู่ระบบถาม .

ตัวอย่างเช่น,

2, 12, 72, . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 6 และ

แอลจี 2, แอลจี 12, แอลจี 72, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง แอลจี 6 . ◄