คำนี้มีความหมายอื่น ดูความหมายเฉลี่ย

เฉลี่ย(ในวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ) ชุดตัวเลข - ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดหารด้วยจำนวน เป็นหนึ่งในมาตรการทั่วไปของแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

มันถูกเสนอ (พร้อมกับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก) โดยชาวพีทาโกรัส

กรณีพิเศษของค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ย (ของประชากรทั่วไป) และค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (ของกลุ่มตัวอย่าง)

บทนำ

แสดงชุดข้อมูล เอ็กซ์ = (x 1 , x 2 , …, x น) ค่าเฉลี่ยตัวอย่างมักจะแสดงด้วยแถบแนวนอนเหนือตัวแปร (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ออกเสียงว่า " xด้วยเส้นประ").

ตัวอักษรกรีก μ ใช้เพื่อแสดงถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรทั้งหมด สำหรับตัวแปรสุ่มที่กำหนดค่าเฉลี่ย μ คือ ค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็นหรือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ถ้าชุด เอ็กซ์คือชุดของตัวเลขสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็น μ จากนั้นสำหรับตัวอย่างใดๆ x ผมจากคอลเลกชั่นนี้ μ = E( x ผม) คือความคาดหวังของกลุ่มตัวอย่างนี้

ในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่าง μ และ x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) คือ μ เป็นตัวแปรทั่วไป เนื่องจากคุณสามารถดูตัวอย่างมากกว่าประชากรทั้งหมด ดังนั้น หากตัวอย่างถูกแสดงแบบสุ่ม (ในแง่ของทฤษฎีความน่าจะเป็น) ดังนั้น x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (แต่ไม่ใช่ μ) จะถือว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นในตัวอย่าง ( การแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าเฉลี่ย)

ปริมาณทั้งสองนี้คำนวณด้วยวิธีเดียวกัน:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

ถ้า ก เอ็กซ์เป็นตัวแปรสุ่ม จากนั้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็กซ์ถือได้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าในการวัดปริมาณซ้ำ เอ็กซ์. นี่คือการแสดงให้เห็นของกฎของคนจำนวนมาก ดังนั้น ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจึงถูกนำมาใช้เพื่อประเมินค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ที่ไม่รู้จัก

ในพีชคณิตเบื้องต้น พิสูจน์ได้ว่าค่าเฉลี่ย น+ 1 ตัวเลขสูงกว่าค่าเฉลี่ย นตัวเลขเฉพาะในกรณีที่ตัวเลขใหม่มากกว่าค่าเฉลี่ยเดิม น้อยลงหากและเฉพาะในกรณีที่ตัวเลขใหม่น้อยกว่าค่าเฉลี่ย และจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเลขใหม่เท่ากับค่าเฉลี่ย ยิ่ง นความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยใหม่และเก่ายิ่งน้อยลงเท่านั้น

โปรดทราบว่ามี "ค่าเฉลี่ย" อื่นๆ อีกหลายอย่าง รวมถึงค่าเฉลี่ยกฎกำลัง ค่าเฉลี่ยคอลโมโกรอฟ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต และค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแบบต่างๆ (เช่น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก) .

ตัวอย่าง

• สำหรับตัวเลขสามตัว คุณต้องบวกกันแล้วหารด้วย 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)))

• สำหรับตัวเลขสี่ตัว คุณต้องบวกกันแล้วหารด้วย 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)))

หรือง่ายกว่า 5+5=10, 10:2. เพราะเราบวกเลข 2 ตัว เท่ากับว่าเราบวกเลขเท่าไหร่เราก็หารด้วยจำนวนนั้น

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

สำหรับค่าที่กระจายอย่างต่อเนื่อง f (x) (\displaystyle f(x)) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในช่วง [ a ; b ] (\displaystyle ) ถูกกำหนดโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน:

F (x) ¯ [ ก ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

ปัญหาบางประการของการใช้ค่าเฉลี่ย

ขาดความแข็งแกร่ง

บทความหลัก: ความแข็งแกร่งในด้านสถิติ

แม้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักใช้เป็นค่าเฉลี่ยหรือแนวโน้มศูนย์กลาง แนวคิดนี้ใช้ไม่ได้กับสถิติเชิงตัวเลข ซึ่งหมายความว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้รับอิทธิพลอย่างมากจาก "ค่าเบี่ยงเบนมาก" เป็นที่น่าสังเกตว่าสำหรับการแจกแจงที่มีความเบ้มาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจไม่สอดคล้องกับแนวคิดของ "ค่าเฉลี่ย" และค่าเฉลี่ยจากสถิติที่มีประสิทธิภาพ (เช่น ค่ามัธยฐาน) อาจอธิบายแนวโน้มศูนย์กลางได้ดีกว่า

ตัวอย่างคลาสสิกคือการคำนวณรายได้เฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสามารถตีความผิดเป็นค่ามัธยฐาน ซึ่งอาจนำไปสู่ข้อสรุปว่ามีคนจำนวนมากที่มีรายได้มากกว่าที่เป็นจริง รายได้ "เฉลี่ย" ถูกตีความในลักษณะที่รายได้ของคนส่วนใหญ่ใกล้เคียงกับตัวเลขนี้ รายได้ "ค่าเฉลี่ย" (ในแง่ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต) นี้สูงกว่ารายได้ของคนส่วนใหญ่ เนื่องจากรายได้ที่สูงและมีค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยมากทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเบ้อย่างมาก (ในทางตรงกันข้าม รายได้ค่ามัธยฐาน "ต้านทาน" เอียงขนาดนั้น). อย่างไรก็ตาม รายได้ "เฉลี่ย" นี้ไม่ได้กล่าวถึงจำนวนคนที่ใกล้เคียงกับรายได้เฉลี่ย อย่างไรก็ตาม หากนำแนวคิดของ "ค่าเฉลี่ย" และ "ส่วนใหญ่" มาพิจารณาอย่างง่ายๆ อาจสรุปไม่ถูกต้องว่าคนส่วนใหญ่มีรายได้สูงกว่าที่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น รายงานเกี่ยวกับรายได้สุทธิ "เฉลี่ย" ในเมืองเมดินา รัฐวอชิงตัน ซึ่งคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้สุทธิต่อปีของผู้อยู่อาศัยทั้งหมด จะให้ตัวเลขที่สูงอย่างน่าประหลาดใจเนื่องจาก Bill Gates พิจารณาตัวอย่าง (1, 2, 2, 2, 3, 9) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 3.17 แต่ห้าในหกค่าต่ำกว่าค่าเฉลี่ยนี้

ดอกเบี้ยทบต้น

บทความหลัก: ผลตอบแทนการลงทุน

ถ้าตัวเลข คูณ, แต่ไม่ พับคุณต้องใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต บ่อยครั้งที่เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อคำนวณผลตอบแทนจากการลงทุนในด้านการเงิน

ตัวอย่างเช่น หากหุ้นลดลง 10% ในปีแรกและเพิ่มขึ้น 30% ในปีที่สอง การคำนวณการเพิ่มขึ้น "เฉลี่ย" ในช่วงสองปีนี้เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่ถูกต้อง (−10% + 30%) / 2 = 10%; ค่าเฉลี่ยที่ถูกต้องในกรณีนี้จะได้รับจากอัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น ซึ่งการเติบโตต่อปีอยู่ที่ประมาณ 8.16653826392% ≈ 8.2% เท่านั้น

เหตุผลนี้คือเปอร์เซ็นต์มีจุดเริ่มต้นใหม่ในแต่ละครั้ง: 30% คือ 30% จากจำนวนที่น้อยกว่าราคา ณ ต้นปีแรก:หากหุ้นเริ่มต้นที่ 30 ดอลลาร์และลดลง 10% ก็จะมีมูลค่า 27 ดอลลาร์เมื่อเริ่มต้นปีที่สอง หากหุ้นเพิ่มขึ้น 30% จะมีมูลค่า 35.1 ดอลลาร์เมื่อสิ้นสุดปีที่สอง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเติบโตนี้คือ 10% แต่เนื่องจากหุ้นเติบโตเพียง $5.1 ใน 2 ปี การเพิ่มขึ้นเฉลี่ย 8.2% จึงให้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ $35.1:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1] หากเราใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 10% ในวิธีเดียวกัน เราจะไม่ได้ค่าจริง: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3]

ดอกเบี้ยทบต้น ณ สิ้นปีที่ 2: 90% * 130% = 117% กล่าวคือ เพิ่มขึ้นทั้งหมด 17% และดอกเบี้ยทบต้นเฉลี่ยต่อปีคือ 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \ประมาณ 108.2\%) นั่นคือ เพิ่มขึ้นเฉลี่ยปีละ 8.2%

ทิศทาง

บทความหลัก: สถิติปลายทาง

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรบางตัวที่เปลี่ยนแปลงตามวัฏจักร (เช่น เฟสหรือมุม) ควรใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของ 1° และ 359° จะเป็น 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° หมายเลขนี้ไม่ถูกต้องด้วยเหตุผลสองประการ

• ประการแรก การวัดเชิงมุมจะถูกกำหนดไว้สำหรับช่วงตั้งแต่ 0° ถึง 360° เท่านั้น (หรือตั้งแต่ 0 ถึง 2π เมื่อวัดเป็นเรเดียน) ดังนั้น เลขคู่เดียวกันสามารถเขียนเป็น (1° และ −1°) หรือเป็น (1° และ 719°) ค่าเฉลี่ยของแต่ละคู่จะแตกต่างกัน: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• ประการที่สอง ในกรณีนี้ ค่า 0° (เทียบเท่ากับ 360°) จะเป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตที่ดีที่สุด เนื่องจากตัวเลขเบี่ยงเบนจาก 0° น้อยกว่าค่าอื่นๆ (ค่า 0° มีความแปรปรวนน้อยที่สุด) เปรียบเทียบ:
  • จำนวน 1° เบี่ยงเบนจาก 0° เพียง 1°;
  • จำนวน 1° เบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้ 180° ไป 179°

ค่าเฉลี่ยสำหรับตัวแปรแบบวงกลมที่คำนวณตามสูตรข้างต้น จะถูกเลื่อนโดยเทียมเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยจริงไปที่กึ่งกลางของช่วงตัวเลข ด้วยเหตุนี้ ค่าเฉลี่ยจึงถูกคำนวณด้วยวิธีที่แตกต่างกัน กล่าวคือ ตัวเลขที่มีความแปรปรวนน้อยที่สุด (จุดกึ่งกลาง) จะถูกเลือกเป็นค่าเฉลี่ย นอกจากนี้ แทนที่จะใช้การลบ จะใช้ระยะทางแบบโมดูโล (เช่น ระยะเส้นรอบวง) ตัวอย่างเช่น ระยะห่างโมดูลาร์ระหว่าง 1° ถึง 359° คือ 2° ไม่ใช่ 358° (บนวงกลมระหว่าง 359° ถึง 360°==0° - หนึ่งองศา ระหว่าง 0° ถึง 1° - รวมทั้งสิ้น 1° - 2 °)

4.3. ค่าเฉลี่ย สาระสำคัญและความหมายของค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยในสถิติเรียกว่าตัวบ่งชี้ทั่วไปซึ่งแสดงลักษณะระดับทั่วไปของปรากฏการณ์ในเงื่อนไขเฉพาะของสถานที่และเวลา ซึ่งสะท้อนถึงขนาดของแอตทริบิวต์ที่แตกต่างกันต่อหน่วยของประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ ในทางปฏิบัติทางเศรษฐกิจ มีการใช้ตัวบ่งชี้ที่หลากหลายซึ่งคำนวณเป็นค่าเฉลี่ย

ตัวอย่างเช่น ตัวบ่งชี้ทั่วไปของรายได้ของคนงานในบริษัทร่วมหุ้น (JSC) คือรายได้เฉลี่ยของคนงานหนึ่งคน ซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วนของกองทุนค่าจ้างและการจ่ายทางสังคมสำหรับช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างการตรวจสอบ (ปี ไตรมาส เดือน ) ถึงจำนวนผู้ปฏิบัติงานในจชต.

การคำนวณค่าเฉลี่ยเป็นเทคนิคทั่วไปอย่างหนึ่ง ตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงทั่วไปที่เป็นแบบฉบับ (ทั่วไป) สำหรับทุกหน่วยของประชากรที่ศึกษา ในขณะเดียวกันก็ไม่สนใจความแตกต่างระหว่างแต่ละหน่วย ในทุกปรากฏการณ์และการพัฒนานั้นมีการรวมกัน โอกาสและ ความต้องการ.เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเนื่องจากการทำงานของกฎหมายจำนวนมากการสุ่มจะยกเลิกซึ่งกันและกันทำให้สมดุลดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแยกออกจากคุณสมบัติที่ไม่มีนัยสำคัญของปรากฏการณ์จากค่าเชิงปริมาณของแอตทริบิวต์ในแต่ละรายการ กรณี. ในความสามารถในการแยกออกจากการสุ่มของค่าแต่ละค่า ความผันผวนอยู่ที่ค่าทางวิทยาศาสตร์ของค่าเฉลี่ย เช่น สรุปลักษณะรวม

ในกรณีที่มีความจำเป็นสำหรับการทำให้เป็นลักษณะทั่วไป การคำนวณคุณลักษณะดังกล่าวจะนำไปสู่การแทนที่ค่าแต่ละค่าที่แตกต่างกันของแอตทริบิวต์ ปานกลางตัวบ่งชี้ที่แสดงลักษณะของปรากฏการณ์ทั้งหมดซึ่งทำให้สามารถระบุรูปแบบที่มีอยู่ในปรากฏการณ์ทางสังคมจำนวนมากซึ่งมองไม่เห็นในปรากฏการณ์เดียว

ค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงลักษณะทั่วไป ระดับจริงของปรากฏการณ์ที่ศึกษา ระบุลักษณะระดับเหล่านี้และการเปลี่ยนแปลงของเวลาและพื้นที่

ค่าเฉลี่ยเป็นลักษณะสรุปของความสม่ำเสมอของกระบวนการภายใต้เงื่อนไขที่ดำเนินการ

4.4. ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

การเลือกประเภทของค่าเฉลี่ยจะพิจารณาจากเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้บางตัวและข้อมูลเริ่มต้น ในแต่ละกรณีจะใช้หนึ่งในค่าเฉลี่ย: เลขคณิต, การ์โมนิก, เรขาคณิต, กำลังสอง, ลูกบาศก์เป็นต้น ค่าเฉลี่ยที่แสดงเป็นของชั้นเรียน พลังปานกลาง.

นอกจากค่าเฉลี่ยของกฎกำลังแล้ว ในทางปฏิบัติทางสถิติ มีการใช้ค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง ซึ่งถือว่าเป็นฐานนิยมและค่ามัธยฐาน

ให้เราอาศัยรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับพลังอำนาจ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ประเภทของค่าเฉลี่ยที่พบมากที่สุดคือ เฉลี่ย เลขคณิตใช้ในกรณีที่ปริมาณของแอตทริบิวต์ตัวแปรสำหรับประชากรทั้งหมดคือผลรวมของค่าแอตทริบิวต์ของแต่ละหน่วย ปรากฏการณ์ทางสังคมมีลักษณะเป็นการบวก (ผลรวม) ของปริมาณของคุณลักษณะที่แตกต่างกัน ซึ่งจะกำหนดขอบเขตของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและอธิบายความชุกของมันเป็นตัวบ่งชี้ทั่วไป ตัวอย่างเช่น กองทุนค่าจ้างทั้งหมดคือผลรวมของค่าจ้างของคนงานทั้งหมด การเก็บเกี่ยวรวมคือผลรวมของผลผลิตจากพื้นที่หว่านทั้งหมด

ในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต คุณต้องหารผลรวมของค่าคุณลักษณะทั้งหมดด้วยจำนวน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถูกนำมาใช้ในแบบฟอร์ม ค่าเฉลี่ยอย่างง่ายและค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักค่าเฉลี่ยอย่างง่ายทำหน้าที่เป็นรูปแบบเริ่มต้นที่กำหนด

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายเท่ากับผลรวมอย่างง่ายของค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะเฉลี่ย หารด้วยจำนวนรวมของค่าเหล่านี้ (ใช้ในกรณีที่ค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะไม่ได้จัดกลุ่ม):

ที่ไหน
- แต่ละค่าของตัวแปร (ตัวเลือก); ม - จำนวนหน่วยประชากร

จะไม่มีการระบุขีดจำกัดผลรวมเพิ่มเติมในสูตร ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องค้นหาผลลัพธ์เฉลี่ยของคนงาน 1 คน (ช่างทำกุญแจ) หากทราบว่าคนงาน 15 คนผลิตได้กี่ส่วน เช่น ได้รับค่าลักษณะเฉพาะจำนวนหนึ่งชิ้น:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณโดยสูตร (4.1), 1 ชิ้น:

ค่าเฉลี่ยของตัวเลือกที่ทำซ้ำในจำนวนครั้งที่ต่างกันหรือมีน้ำหนักต่างกันเรียกว่า ถ่วงน้ำหนักน้ำหนักคือจำนวนหน่วยในกลุ่มประชากรต่างๆ (กลุ่มรวมตัวเลือกเดียวกัน)

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต- ค่าเฉลี่ยที่จัดกลุ่ม , - คำนวณโดยสูตร:

, (4.2)

ที่ไหน
- น้ำหนัก (ความถี่ของการทำซ้ำของคุณสมบัติเดียวกัน)

- ผลรวมของผลคูณของขนาดของคุณลักษณะตามความถี่

- จำนวนหน่วยประชากรทั้งหมด

เราจะแสดงเทคนิคการคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตโดยใช้ตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น ในการทำเช่นนี้ เราจะจัดกลุ่มข้อมูลเริ่มต้นและวางไว้ในตาราง 4.1.

ตารางที่ 4.1

การกระจายแรงงานเพื่อพัฒนาส่วนต่างๆ

ตามสูตร (4.2) ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตเท่ากัน ชิ้น:

ในบางกรณี น้ำหนักอาจไม่ได้แสดงด้วยค่าสัมบูรณ์ แต่ใช้ค่าสัมพัทธ์ (เป็นเปอร์เซ็นต์หรือเศษส่วนของหน่วย) จากนั้นสูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตจะมีลักษณะดังนี้:

ที่ไหน
- โดยเฉพาะอย่างยิ่งเช่น ส่วนแบ่งของแต่ละความถี่ในผลรวมของทั้งหมด

หากนับความถี่เป็นเศษส่วน (สัมประสิทธิ์) แล้ว
= 1 และสูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตคือ:

การคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตจากค่าเฉลี่ยกลุ่ม ดำเนินการตามสูตร:

,

ที่ไหน ฉจำนวนหน่วยในแต่ละกลุ่ม

ผลการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเฉลี่ยกลุ่มแสดงในตาราง 4.2.

ตารางที่ 4.2

การกระจายคนงานตามอายุงานเฉลี่ย

ในตัวอย่างนี้ ตัวเลือกไม่ใช่ข้อมูลส่วนตัวเกี่ยวกับระยะเวลาการให้บริการของพนักงานแต่ละคน แต่เป็นค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละเวิร์กชอป เครื่องชั่ง ฉคือจำนวนคนงานในร้าน ดังนั้น ประสบการณ์ทำงานโดยเฉลี่ยของพนักงานทั่วทั้งองค์กรจะเป็นปี:

.

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตในชุดการแจกแจง

หากกำหนดค่าของแอตทริบิวต์เฉลี่ยเป็นช่วง (“จาก - ถึง”) เช่น อนุกรมการแจกแจงช่วงเวลา จากนั้นเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต จุดกึ่งกลางของช่วงเวลาเหล่านี้จะถูกนำมาเป็นค่าของคุณลักษณะในกลุ่ม ซึ่งเป็นผลมาจากการสร้างอนุกรมแบบไม่ต่อเนื่อง พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ (ตารางที่ 4.3)

ลองย้ายจากอนุกรมช่วงเวลาเป็นอนุกรมแบบไม่ต่อเนื่องโดยแทนที่ค่าช่วงเวลาด้วยค่าเฉลี่ย / (ค่าเฉลี่ยอย่างง่าย

ตารางที่ 4.3

การกระจายคนงาน AO ตามระดับค่าจ้างรายเดือน

กลุ่มคนทำงานเพื่อ	จำนวนคนงาน	ช่วงกลางของช่วงเวลา
ค่าจ้างถู	ต่อ ฉ	ถู., เอ็กซ์
900ขึ้นไป

ค่าของช่วงเวลาที่เปิด (ครั้งแรกและครั้งสุดท้าย) จะเท่ากับช่วงเวลาที่อยู่ติดกันตามเงื่อนไข (วินาทีและสุดท้าย)

ด้วยการคำนวณค่าเฉลี่ยดังกล่าว อนุญาตให้มีความไม่ถูกต้องบางประการ เนื่องจากมีการสันนิษฐานเกี่ยวกับการแจกแจงแบบสม่ำเสมอของหน่วยของแอตทริบิวต์ภายในกลุ่ม อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดจะยิ่งเล็กลง ช่วงเวลายิ่งแคบ และยิ่งมีหน่วยในช่วงเวลามากขึ้น

หลังจากพบจุดกึ่งกลางของช่วงเวลาแล้ว การคำนวณจะทำในลักษณะเดียวกับในชุดแบบไม่ต่อเนื่อง - ตัวเลือกจะคูณด้วยความถี่ (น้ำหนัก) และผลรวมของผลิตภัณฑ์จะถูกหารด้วยผลรวมของความถี่ (น้ำหนัก) , พันรูเบิล:

.

ดังนั้นระดับค่าตอบแทนเฉลี่ยของพนักงานใน JSC คือ 729 รูเบิล ต่อเดือน.

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักเกี่ยวข้องกับการใช้เวลาและแรงงานจำนวนมาก อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี ขั้นตอนการคำนวณค่าเฉลี่ยสามารถทำให้ง่ายขึ้นและอำนวยความสะดวกได้โดยใช้คุณสมบัติของมัน ให้เรานำเสนอ (โดยไม่ต้องพิสูจน์) คุณสมบัติพื้นฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

คุณสมบัติ 1. หากค่าคุณลักษณะส่วนบุคคลทั้งหมด (เช่น ตัวเลือกทั้งหมด) ลดลงหรือเพิ่มขึ้น ผมครั้ง แล้วหาค่าเฉลี่ย ของคุณสมบัติใหม่จะลดลงหรือเพิ่มขึ้นตาม ผมครั้งหนึ่ง.

ทรัพย์สิน 2. หากคุณลักษณะเฉลี่ยลดลงทั้งหมดเย็บหรือเพิ่มขึ้นตามจำนวน A จากนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตลดลงหรือเพิ่มขึ้นอย่างมีนัยสำาคัญในจำานวนเดียวกัน A

ทรัพย์สิน3. หากน้ำหนักของตัวเลือกเฉลี่ยทั้งหมดลดลง หรือเพิ่มขึ้นเป็น ถึง ครั้ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลง

ในฐานะน้ำหนักเฉลี่ย แทนที่จะใช้ตัวบ่งชี้แบบสัมบูรณ์ คุณสามารถใช้น้ำหนักเฉพาะในผลรวมทั้งหมด (ส่วนแบ่งหรือเปอร์เซ็นต์) ทำให้การคำนวณค่าเฉลี่ยง่ายขึ้น

เพื่อให้การคำนวณค่าเฉลี่ยง่ายขึ้น พวกเขาทำตามเส้นทางของการลดค่าของตัวเลือกและความถี่ การทำให้เข้าใจง่ายที่สุดทำได้เมื่อ แต่ค่าของหนึ่งในตัวเลือกส่วนกลางที่มีความถี่สูงสุดจะถูกเลือกเป็น / - ค่าของช่วงเวลา (สำหรับแถวที่มีช่วงเวลาเดียวกัน) ค่า L เรียกว่า จุดเริ่มต้น ดังนั้นวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยนี้จึงเรียกว่า "วิธีการนับจากศูนย์ตามเงื่อนไข" หรือ "วิธีแห่งช่วงเวลา".

สมมติว่าตัวเลือกทั้งหมด เอ็กซ์ลดลงครั้งแรกด้วยหมายเลข A เดียวกัน แล้วจึงลดลง ผมครั้งหนึ่ง. เราได้รับชุดการกระจายรูปแบบใหม่ของตัวแปรใหม่ .

แล้ว ตัวเลือกใหม่จะแสดง:

,

และค่าเฉลี่ยเลขคณิตใหม่ , -ช่วงเวลาการสั่งซื้อครั้งแรก- สูตร:

.

มันเท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวเลือกเดิม อันดับแรกลดลง แต่,แล้วเข้าไป ผมครั้งหนึ่ง.

เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ยที่แท้จริง คุณต้องมีช่วงเวลาของลำดับแรก ม 1 คูณด้วย ผมและเพิ่ม แต่:

.

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากอนุกรมแปรผันนี้เรียกว่า "วิธีแห่งช่วงเวลา".วิธีนี้ใช้ในแถวที่มีระยะห่างเท่ากัน

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยวิธีโมเมนต์แสดงโดยข้อมูลในตาราง 4.4.

ตารางที่ 4.4

การกระจายตัวของวิสาหกิจขนาดเล็กในภูมิภาคตามมูลค่าของสินทรัพย์การผลิตถาวร (OPF) ในปี 2543

กลุ่มวิสาหกิจในราคา OPF พันรูเบิล	จำนวนวิสาหกิจ ฉ	ช่วงกลาง, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

การหาช่วงเวลาของลำดับแรก

.

จากนั้นสมมติให้ A = 19 แล้วจะรู้ว่า ผม= 2 คำนวณ เอ็กซ์,พันรูเบิล.:

ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

ในขั้นตอนของการประมวลผลทางสถิติสามารถตั้งค่างานวิจัยต่างๆ ได้ ซึ่งจำเป็นต้องเลือกค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมในการแก้ปัญหา ในกรณีนี้จำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้: ค่าที่แสดงถึงตัวเศษและตัวส่วนของค่าเฉลี่ยจะต้องสัมพันธ์กันทางตรรกะ

• ค่าเฉลี่ยกำลัง;
• ค่าเฉลี่ยของโครงสร้าง.

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

ค่าที่คำนวณค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ย โดยที่บรรทัดด้านบนระบุว่าค่าเฉลี่ยของแต่ละค่าเกิดขึ้น

ความถี่ (ความสามารถในการทำซ้ำของค่าคุณลักษณะแต่ละค่า)

วิธีต่างๆ ได้มาจากสูตรค่าเฉลี่ยกำลังทั่วไป:

(5.1)

สำหรับ k = 1 - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต; k = -1 - ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก; k = 0 - ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต k = -2 - รูทค่าเฉลี่ยกำลังสอง

ค่าเฉลี่ยเป็นแบบธรรมดาหรือแบบถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเรียกว่าปริมาณที่คำนึงว่าตัวแปรบางตัวของค่าแอตทริบิวต์อาจมีตัวเลขต่างกัน ดังนั้นแต่ละตัวแปรจึงต้องคูณด้วยตัวเลขนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง "น้ำหนัก" คือจำนวนหน่วยประชากรในกลุ่มต่างๆ เช่น แต่ละตัวเลือกจะ "ถ่วงน้ำหนัก" ตามความถี่ เรียกความถี่ f น้ำหนักทางสถิติหรือ การชั่งน้ำหนักเฉลี่ย.

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต- ประเภทของสื่อที่พบมากที่สุด ใช้เมื่อทำการคำนวณกับข้อมูลทางสถิติที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ซึ่งคุณต้องการรับผลรวมเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ยของฟีเจอร์ เมื่อได้รับแล้ว ปริมาณรวมของฟีเจอร์ในประชากรจะไม่เปลี่ยนแปลง

สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( เรียบง่าย) มีรูปแบบ

โดยที่ n คือขนาดประชากร

ตัวอย่างเช่น เงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานขององค์กรจะคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตัวบ่งชี้ที่กำหนดที่นี่คือค่าจ้างของพนักงานแต่ละคนและจำนวนพนักงานขององค์กร เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย จำนวนค่าจ้างทั้งหมดยังคงเท่าเดิม แต่กระจายเท่าๆ กันในหมู่คนงานทั้งหมด ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานในบริษัทขนาดเล็กที่มีพนักงาน 8 คน:

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย แต่ละค่าของแอตทริบิวต์ที่เป็นค่าเฉลี่ยสามารถทำซ้ำได้ ดังนั้นค่าเฉลี่ยจึงคำนวณโดยใช้ข้อมูลที่จัดกลุ่ม ในกรณีนี้เรากำลังพูดถึงการใช้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักซึ่งดูเหมือนว่า

(5.3)

ดังนั้นเราต้องคำนวณราคาหุ้นเฉลี่ยของบริษัทร่วมทุนในตลาดหลักทรัพย์ เป็นที่ทราบกันดีว่ามีการทำธุรกรรมภายใน 5 วัน (5 รายการ) จำนวนหุ้นที่ขายในอัตราการขายมีดังนี้

1 - 800 เอซี - 1,010 รูเบิล

2 - 650 เอซี - 990 ถู

3 - 700 อัค - 1,015 รูเบิล

4 - 550 เอซี - 900 ถู

5 - 850 อัค - 1,150 รูเบิล

อัตราส่วนเริ่มต้นสำหรับการกำหนดราคาหุ้นเฉลี่ยคืออัตราส่วนของจำนวนธุรกรรมทั้งหมด (OSS) ต่อจำนวนหุ้นที่ขาย (KPA)

ประเภทของค่าเฉลี่ยที่พบมากที่สุดคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคือเทอมเฉลี่ย ในการพิจารณาว่าปริมาณรวมของแอตทริบิวต์ที่กำหนดในข้อมูลนั้นกระจายเท่ากันในทุกหน่วยที่รวมอยู่ในกลุ่มประชากรนี้ ดังนั้น ผลผลิตเฉลี่ยต่อปีต่อพนักงานหนึ่งคนจึงเป็นมูลค่าของปริมาณการผลิตที่จะตกอยู่กับพนักงานแต่ละคน หากปริมาณผลผลิตทั้งหมดถูกกระจายอย่างเท่าเทียมกันระหว่างพนักงานทุกคนขององค์กร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณโดยสูตร:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย— เท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของค่าแต่ละค่าของคุณสมบัติต่อจำนวนของคุณสมบัติโดยรวม

ตัวอย่างที่ 1 . ทีมงาน 6 คนได้รับ 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 พันรูเบิลต่อเดือน

ค้นหาเงินเดือนเฉลี่ย
วิธีแก้ปัญหา: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 พันรูเบิล

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต

หากชุดข้อมูลมีปริมาณมากและแสดงถึงชุดการกระจาย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักจะถูกคำนวณ นี่คือวิธีกำหนดราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักต่อหน่วยการผลิต: ต้นทุนการผลิตทั้งหมด (ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของปริมาณและราคาของหน่วยการผลิต) หารด้วยปริมาณการผลิตทั้งหมด

เราแสดงสิ่งนี้ในรูปแบบของสูตรต่อไปนี้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก- เท่ากับอัตราส่วน (ผลรวมของผลคูณของค่าแอตทริบิวต์กับความถี่ของการทำซ้ำของแอตทริบิวต์นี้) ถึง (ผลรวมของความถี่ของแอตทริบิวต์ทั้งหมด) ใช้เมื่อความแปรปรวนของประชากรที่ศึกษาเกิดขึ้นไม่เท่ากัน จำนวนครั้ง.

ตัวอย่างที่ 2 . ค้นหาค่าจ้างเฉลี่ยของพนักงานในร้านต่อเดือน

ค่าจ้างเฉลี่ยสามารถรับได้โดยการหารค่าจ้างทั้งหมดด้วยจำนวนคนงานทั้งหมด:

คำตอบ: 3.35,000 รูเบิล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมช่วงเวลา

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมการแปรผันของช่วง ค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละช่วงจะถูกกำหนดเป็นผลรวมครึ่งหนึ่งของขีดจำกัดบนและล่างก่อน จากนั้นจึงหาค่าเฉลี่ยของทั้งอนุกรม ในกรณีของช่วงเปิด ค่าของช่วงล่างหรือช่วงบนจะถูกกำหนดโดยค่าของช่วงที่อยู่ติดกัน

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลาเป็นค่าประมาณ

ตัวอย่างที่ 3. กำหนดอายุเฉลี่ยของนักเรียนภาคค่ำ

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลาเป็นค่าประมาณ ระดับของการประมาณขึ้นอยู่กับขอบเขตที่การกระจายจริงของหน่วยประชากรภายในช่วงเวลาใกล้เคียงกัน

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ไม่เพียงแต่ค่าสัมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังสามารถใช้ค่าสัมพัทธ์ (ความถี่) เป็นน้ำหนักได้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีคุณสมบัติหลายอย่างที่เปิดเผยสาระสำคัญและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น:

1. ผลคูณของค่าเฉลี่ยและผลรวมของความถี่จะเท่ากับผลรวมของผลคูณของตัวแปรและความถี่เสมอ เช่น

2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมของค่าต่าง ๆ เท่ากับผลรวมของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเหล่านี้:

3. ผลรวมเชิงพีชคณิตของการเบี่ยงเบนของค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์จากค่าเฉลี่ยคือศูนย์:

4. ผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวเลือกจากค่าเฉลี่ยน้อยกว่าผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองจากค่าอื่น ๆ ตามอำเภอใจ เช่น

ในการหาค่าเฉลี่ยใน Excel (ไม่ว่าจะเป็นค่าตัวเลข ข้อความ เปอร์เซ็นต์ หรือค่าอื่นๆ) มีฟังก์ชันมากมาย และแต่ละคนมีลักษณะและข้อดีของตัวเอง ท้ายที่สุดแล้ว เงื่อนไขบางอย่างสามารถตั้งค่าได้ในงานนี้

ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลขใน Excel จะคำนวณโดยใช้ฟังก์ชันทางสถิติ คุณยังสามารถป้อนสูตรของคุณเองได้ ลองพิจารณาตัวเลือกต่างๆ

จะหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขได้อย่างไร?

ในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต คุณต้องบวกตัวเลขทั้งหมดในชุดแล้วหารผลรวมด้วยตัวเลข ตัวอย่างเช่น คะแนนของนักเรียนในวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์: 3, 4, 3, 5, 5 ไตรมาสละเท่าไร: 4 เราพบค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้สูตร: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

ทำอย่างไรให้รวดเร็วโดยใช้ฟังก์ชัน Excel? ยกตัวอย่างชุดตัวเลขสุ่มในสตริง:

หรือ: ทำให้เซลล์ทำงานและป้อนสูตรด้วยตนเอง: =AVERAGE(A1:A8)

ทีนี้มาดูกันว่าฟังก์ชัน AVERAGE ทำอะไรได้อีกบ้าง

ค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขสองตัวแรกและสามตัวหลัง สูตร: =AVERAGE(A1:B1;F1:H1) ผลลัพธ์:



เฉลี่ยตามเงื่อนไข

เงื่อนไขสำหรับการค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจเป็นเกณฑ์ที่เป็นตัวเลขหรือเป็นข้อความก็ได้ เราจะใช้ฟังก์ชัน: =AVERAGEIF()

ค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขที่มากกว่าหรือเท่ากับ 10

ฟังก์ชัน: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

ผลลัพธ์ของการใช้ฟังก์ชัน AVERAGEIF ในเงื่อนไข ">=10":

อาร์กิวเมนต์ที่สาม - "ช่วงค่าเฉลี่ย" - ถูกละไว้ ประการแรกไม่จำเป็น ประการที่สอง ช่วงที่แยกวิเคราะห์โดยโปรแกรมมีค่าตัวเลขเท่านั้น ในเซลล์ที่ระบุในอาร์กิวเมนต์แรก การค้นหาจะดำเนินการตามเงื่อนไขที่ระบุในอาร์กิวเมนต์ที่สอง

ความสนใจ! สามารถระบุเกณฑ์การค้นหาในเซลล์ได้ และในสูตรที่ต้องทำการอ้างอิงนั้น

มาหาค่าเฉลี่ยของตัวเลขตามเกณฑ์ข้อความ ตัวอย่างเช่น ยอดขายเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ "ตาราง"

ฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12) ช่วง - คอลัมน์ที่มีชื่อผลิตภัณฑ์ เกณฑ์การค้นหาคือลิงก์ไปยังเซลล์ที่มีคำว่า "ตาราง" (คุณสามารถแทรกคำว่า "ตาราง" แทนลิงก์ A7) ช่วงค่าเฉลี่ย - เซลล์ที่ข้อมูลจะถูกนำไปคำนวณค่าเฉลี่ย

จากการคำนวณฟังก์ชัน เราได้ค่าต่อไปนี้:

ความสนใจ! สำหรับเกณฑ์ข้อความ (เงื่อนไข) ต้องระบุช่วงค่าเฉลี่ย

วิธีการคำนวณราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักใน Excel?

เราจะทราบราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักได้อย่างไร?

สูตร: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12)

เมื่อใช้สูตร SUMPRODUCT เราจะหารายได้รวมหลังการขายสินค้าตามจำนวนทั้งหมด และฟังก์ชัน SUM - สรุปปริมาณสินค้า เราพบราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักโดยการหารรายได้จากการขายสินค้าด้วยจำนวนหน่วยสินค้าทั้งหมด ตัวบ่งชี้นี้คำนึงถึง "น้ำหนัก" ของแต่ละราคา มีส่วนร่วมในมวลรวมของมูลค่า

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: สูตรใน Excel

แยกความแตกต่างระหว่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับประชากรทั่วไปและกลุ่มตัวอย่าง ในกรณีแรก นี่คือรากของความแปรปรวนทั่วไป ในวินาที จากความแปรปรวนตัวอย่าง

ในการคำนวณตัวบ่งชี้ทางสถิตินี้ จะมีการรวบรวมสูตรการกระจาย รากถูกนำมาจากมัน แต่ใน Excel มีฟังก์ชันสำเร็จรูปสำหรับหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเชื่อมโยงกับขนาดของแหล่งข้อมูล นี่ยังไม่เพียงพอสำหรับการแสดงโดยเป็นรูปเป็นร่างของความแปรผันของช่วงที่วิเคราะห์ ในการรับระดับสัมพัทธ์ของการกระจายในข้อมูล จะมีการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน:

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน / ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

สูตรใน Excel มีลักษณะดังนี้:

STDEV (ช่วงของค่า) / AVERAGE (ช่วงของค่า)

ค่าสัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลงจะคำนวณเป็นเปอร์เซ็นต์ ดังนั้นเราจึงกำหนดรูปแบบเปอร์เซ็นต์ในเซลล์

5.1. แนวคิดของค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ย -นี่คือตัวบ่งชี้ทั่วไปที่แสดงลักษณะระดับทั่วไปของปรากฏการณ์ เป็นการแสดงค่าของแอตทริบิวต์ที่เกี่ยวข้องกับหน่วยของประชากร

ค่าเฉลี่ยจะสรุปการเปลี่ยนแปลงเชิงปริมาณของลักษณะทั่วไปเสมอ เช่น ในค่าเฉลี่ย ความแตกต่างของแต่ละบุคคลในหน่วยของประชากรเนื่องจากสถานการณ์สุ่มจะถูกยกเลิก ตรงกันข้ามกับค่าเฉลี่ย ค่าสัมบูรณ์ที่แสดงระดับของคุณลักษณะของแต่ละหน่วยของประชากรไม่อนุญาตให้มีการเปรียบเทียบค่าของคุณลักษณะสำหรับหน่วยที่เป็นของประชากรที่แตกต่างกัน ดังนั้น หากคุณต้องการเปรียบเทียบระดับค่าตอบแทนของพนักงานในองค์กรสองแห่ง คุณจะไม่สามารถเปรียบเทียบพนักงานสองคนขององค์กรที่แตกต่างกันบนพื้นฐานนี้ได้ ค่าจ้างของคนงานที่เลือกสำหรับการเปรียบเทียบอาจไม่ปกติสำหรับองค์กรเหล่านี้ หากเราเปรียบเทียบขนาดของกองทุนค่าจ้างในสถานประกอบการที่กำลังพิจารณา จำนวนพนักงานจะไม่ถูกนำมาพิจารณา ดังนั้นจึงไม่สามารถระบุได้ว่าระดับค่าจ้างจะสูงกว่าที่ใด ท้ายที่สุดแล้ว สามารถเปรียบเทียบได้เฉพาะค่าเฉลี่ย เช่น พนักงานหนึ่งคนมีรายได้เฉลี่ยเท่าไรในแต่ละบริษัท? ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ยเป็นลักษณะทั่วไปของประชากร

การคำนวณค่าเฉลี่ยเป็นเทคนิคทั่วไปอย่างหนึ่ง ตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยปฏิเสธทั่วไปที่เป็นแบบฉบับ (ทั่วไป) สำหรับทุกหน่วยของประชากรที่ศึกษา ในขณะเดียวกันก็ไม่สนใจความแตกต่างระหว่างแต่ละหน่วย ในทุกปรากฏการณ์และการพัฒนามีโอกาสและความจำเป็นผสมกัน เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเนื่องจากการทำงานของกฎหมายจำนวนมากการสุ่มจะยกเลิกซึ่งกันและกันทำให้สมดุลดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแยกออกจากคุณสมบัติที่ไม่มีนัยสำคัญของปรากฏการณ์จากค่าเชิงปริมาณของแอตทริบิวต์ในแต่ละรายการ กรณี. ในความสามารถในการแยกออกจากการสุ่มของค่าแต่ละค่า ความผันผวน อยู่ที่ค่าทางวิทยาศาสตร์ของค่าเฉลี่ยเป็นลักษณะทั่วไปของมวลรวม

เพื่อให้ค่าเฉลี่ยเป็นแบบพิมพ์อย่างแท้จริง จะต้องคำนวณโดยคำนึงถึงหลักการบางอย่าง

ให้เราอาศัยหลักการทั่วไปบางประการสำหรับการใช้ค่าเฉลี่ย
1. ควรกำหนดค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ
2. ควรคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยจำนวนมากเพียงพอ
3. ควรคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรซึ่งเป็นหน่วยที่อยู่ในสภาพปกติและเป็นธรรมชาติ
4. ควรคำนวณค่าเฉลี่ยโดยคำนึงถึงเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้ที่กำลังศึกษาอยู่

5.2. ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

ให้เราพิจารณาประเภทของค่าเฉลี่ย คุณลักษณะของการคำนวณและขอบเขตการใช้งาน ค่าเฉลี่ยแบ่งออกเป็นสองชั้นใหญ่ๆ คือ ค่าเฉลี่ยกำลัง ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง

ถึง หมายถึงอำนาจรวมถึงประเภทที่มีชื่อเสียงที่สุดและใช้กันทั่วไป เช่น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และค่าเฉลี่ยกำลังสอง

เนื่องจาก ค่าเฉลี่ยของโครงสร้างพิจารณาฐานนิยมและมัธยฐาน

ให้เราอาศัยค่าเฉลี่ยพลังงาน ค่าเฉลี่ยพลังงาน ขึ้นอยู่กับการนำเสนอข้อมูลเริ่มต้น สามารถทำได้ง่ายและถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยง่ายๆคำนวณจากข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มและมีรูปแบบทั่วไปดังนี้

โดยที่ X i คือตัวแปร (ค่า) ของคุณลักษณะเฉลี่ย

n คือจำนวนตัวเลือก

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคำนวณโดยข้อมูลที่จัดกลุ่มและมีรูปแบบทั่วไป

,

โดยที่ X i คือตัวแปร (ค่า) ของคุณลักษณะเฉลี่ยหรือค่ากลางของช่วงเวลาที่วัดตัวแปร
m เป็นเลขชี้กำลังของค่าเฉลี่ย
f i - ความถี่แสดงจำนวนครั้งที่ค่า i-e ของคุณลักษณะเฉลี่ยเกิดขึ้น

ยกตัวอย่างการคำนวณอายุเฉลี่ยของนักเรียนในกลุ่ม 20 คน:

เราคำนวณอายุเฉลี่ยโดยใช้สูตรเฉลี่ยอย่างง่าย:

มาจัดกลุ่มแหล่งข้อมูลกันเถอะ เราได้รับชุดการกระจายต่อไปนี้:

จากการจัดกลุ่มเราได้รับตัวบ่งชี้ใหม่ - ความถี่ ซึ่งระบุจำนวนนักเรียนอายุ X ปี ดังนั้นอายุเฉลี่ยของนักเรียนในกลุ่มจะคำนวณโดยใช้สูตรถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก:

สูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขยกกำลังมีเลขยกกำลัง (m) ค่าเฉลี่ยของพลังงานประเภทต่อไปนี้จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับค่าที่ใช้:
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ถ้า m = -1;
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ถ้า m –> 0;
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ถ้า m = 1;
รูทค่าเฉลี่ยกำลังสอง ถ้า m = 2;
หมายถึง ลูกบาศก์ ถ้า m = 3

สูตรค่าเฉลี่ยกำลังได้รับในตาราง 4.4.

หากเราคำนวณค่าเฉลี่ยทุกประเภทสำหรับข้อมูลเริ่มต้นเดียวกัน ค่าของค่าเฉลี่ยจะไม่เท่ากัน ในที่นี้ใช้กฎของค่าเฉลี่ยหลัก: เมื่อเลขชี้กำลัง m เพิ่มขึ้น ค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันก็จะเพิ่มขึ้นด้วย:

ในทางปฏิบัติทางสถิติ มักใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแบบเลขคณิตและฮาร์มอนิกมากกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักประเภทอื่นๆ

ตารางที่ 5.1

ประเภทของพลังงานหมายถึง

ประเภทของพลังงาน กลาง	ดัชนี องศา (ม.)	สูตรคำนวณ
		เรียบง่าย	ถ่วงน้ำหนัก
ฮาร์มอนิก	-1
ทางเรขาคณิต	0
เลขคณิต	1
กำลังสอง	2
ลูกบาศก์	3

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกมีโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกใช้สำหรับการคำนวณเมื่อน้ำหนักไม่ใช่หน่วยของประชากร - ซึ่งเป็นพาหะของลักษณะ แต่เป็นผลคูณของหน่วยเหล่านี้และค่าของลักษณะ (เช่น m = Xf) เวลาหยุดทำงานของฮาร์มอนิกโดยเฉลี่ยควรใช้ในกรณีของการพิจารณา เช่น ต้นทุนเฉลี่ยของแรงงาน เวลา วัสดุต่อหน่วยการผลิต ต่อชิ้นส่วนสำหรับสอง (สาม สี่ ฯลฯ) องค์กร พนักงานที่มีส่วนร่วมในการผลิต สินค้าประเภทเดียวกัน, ชิ้นส่วนเดียวกัน, สินค้า.

ข้อกำหนดหลักสำหรับสูตรสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยคือทุกขั้นตอนของการคำนวณมีเหตุผลที่มีความหมายอย่างแท้จริง ค่าเฉลี่ยที่ได้ควรแทนที่ค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์สำหรับแต่ละอ็อบเจ็กต์โดยไม่ทำลายการเชื่อมต่อระหว่างตัวบ่งชี้แต่ละตัวและสรุป กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าเฉลี่ยควรคำนวณในลักษณะที่เมื่อค่าแต่ละค่าของตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ย ตัวบ่งชี้สรุปขั้นสุดท้ายบางตัวที่เชื่อมต่อไม่ทางใดก็ทางหนึ่งด้วยค่าเฉลี่ย จะไม่เปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์นี้เรียกว่า กำหนดเนื่องจากลักษณะของความสัมพันธ์กับค่าแต่ละค่ากำหนดสูตรเฉพาะสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ย เรามาแสดงกฎนี้กับตัวอย่างค่าเฉลี่ยเรขาคณิตกัน

สูตรค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต

ส่วนใหญ่มักใช้เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยของแต่ละค่าสัมพัทธ์ของไดนามิก

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจะใช้หากมีการกำหนดลำดับของค่าสัมพัทธ์ของห่วงโซ่ของไดนามิก ตัวอย่างเช่น การเพิ่มขึ้นของการผลิตเมื่อเทียบกับระดับของปีที่แล้ว: ผม 1 , ผม 2 , ผม 3 ,... , ใน . เห็นได้ชัดว่าปริมาณการผลิตในปีที่แล้วถูกกำหนดโดยระดับเริ่มต้น (q 0) และการเติบโตที่ตามมาในช่วงหลายปีที่ผ่านมา:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

ใช้ q n เป็นตัวบ่งชี้ที่กำหนดและแทนที่ค่าแต่ละค่าของตัวบ่งชี้ไดนามิกด้วยค่าเฉลี่ย เรามาถึงความสัมพันธ์

จากที่นี่

5.3. ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง

ค่าเฉลี่ยประเภทพิเศษ - ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง - ใช้เพื่อศึกษาโครงสร้างภายในของชุดการกระจายของค่าแอตทริบิวต์รวมถึงการประมาณค่าเฉลี่ย (ประเภทพลังงาน) หากตามข้อมูลสถิติที่มีอยู่ ไม่สามารถคำนวณได้ (เช่น หากไม่มีข้อมูลในตัวอย่างที่พิจารณา) และปริมาณการผลิตและจำนวนต้นทุนตามกลุ่มวิสาหกิจ)

ตัวบ่งชี้มักใช้เป็นค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง แฟชั่น -ค่าคุณสมบัติซ้ำบ่อยที่สุด - และ ค่ามัธยฐาน -ค่าของคุณสมบัติที่แบ่งลำดับที่เรียงลำดับของค่าออกเป็นสองส่วนด้วยจำนวนที่เท่ากัน เป็นผลให้ในครึ่งหนึ่งของหน่วยประชากร ค่าของแอตทริบิวต์ไม่เกินค่ามัธยฐาน และอีกครึ่งหนึ่งมีค่าไม่ต่ำกว่านั้น

หากคุณลักษณะภายใต้การศึกษามีค่าที่ไม่ต่อเนื่อง ก็จะไม่มีปัญหาใดเป็นพิเศษในการคำนวณฐานนิยมและค่ามัธยฐาน หากข้อมูลเกี่ยวกับค่าของแอตทริบิวต์ X ถูกนำเสนอในรูปแบบของช่วงเวลาที่สั่งของการเปลี่ยนแปลง (ชุดช่วงเวลา) การคำนวณโหมดและค่ามัธยฐานจะค่อนข้างซับซ้อนกว่า เนื่องจากค่ามัธยฐานแบ่งประชากรทั้งหมดออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน จึงลงเอยด้วยช่วงใดช่วงหนึ่งของคุณลักษณะ X เมื่อใช้การแก้ไขค่ามัธยฐานจะพบค่ามัธยฐานในช่วงค่ามัธยฐานนี้:

,

โดยที่ X Me คือขีดจำกัดล่างของช่วงมัธยฐาน
h ฉันคือคุณค่าของมัน
(ผลรวม m) / 2 - ครึ่งหนึ่งของจำนวนการสังเกตทั้งหมดหรือครึ่งหนึ่งของปริมาตรของตัวบ่งชี้ที่ใช้เป็นน้ำหนักในสูตรสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ย (ในแง่สัมบูรณ์หรือสัมพัทธ์)
S Me-1 คือผลรวมของการสังเกต (หรือปริมาตรของคุณลักษณะการถ่วงน้ำหนัก) ที่สะสมก่อนช่วงเริ่มต้นของค่ามัธยฐาน
m Me คือจำนวนของการสังเกตหรือปริมาตรของคุณลักษณะการถ่วงน้ำหนักในช่วงเวลามัธยฐาน (ทั้งในรูปแบบสัมบูรณ์หรือสัมพัทธ์)

ในตัวอย่างของเรา สามารถรับค่ามัธยฐานได้สามค่า - ขึ้นอยู่กับสัญญาณของจำนวนองค์กร ปริมาณการผลิต และจำนวนต้นทุนการผลิตทั้งหมด:

ดังนั้นสำหรับครึ่งหนึ่งขององค์กรต้นทุนต่อหน่วยการผลิตสูงกว่า 125.19 พันรูเบิล ครึ่งหนึ่งของปริมาณการผลิตทั้งหมดผลิตโดยมีระดับต้นทุนต่อผลิตภัณฑ์มากกว่า 124.79 พันรูเบิล และ 50% ของต้นทุนทั้งหมดจะเกิดขึ้นที่ระดับราคาของผลิตภัณฑ์หนึ่งรายการที่สูงกว่า 125.07 พันรูเบิล นอกจากนี้เรายังทราบด้วยว่ามีแนวโน้มสูงขึ้นเนื่องจากฉัน 2 = 124.79 พันรูเบิลและระดับเฉลี่ยคือ 123.15 พันรูเบิล

เมื่อคำนวณค่าโมดอลของคุณสมบัติตามข้อมูลของอนุกรมช่วงเวลาจำเป็นต้องให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงที่ว่าช่วงเวลานั้นเหมือนกันเนื่องจากตัวบ่งชี้ความถี่ของค่าคุณลักษณะ X ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ สำหรับ อนุกรมช่วงเวลาที่มีช่วงเท่ากัน ค่าของโหมดถูกกำหนดเป็น

โดยที่ X Mo คือค่าที่ต่ำกว่าของช่วงเวลาโมดอล
m Mo คือจำนวนของการสังเกตหรือปริมาตรของคุณลักษณะการถ่วงน้ำหนักในช่วงเวลาโมดอล (ในเงื่อนไขสัมบูรณ์หรือสัมพัทธ์)
m Mo -1 - เหมือนกันสำหรับช่วงเวลาก่อนหน้าโมดอล
m Mo+1 - เหมือนกันสำหรับช่วงเวลาหลังโมดอล
h คือค่าของช่วงเวลาการเปลี่ยนแปลงของลักษณะเป็นกลุ่ม

สำหรับตัวอย่างของเรา สามารถคำนวณค่าโมดอลสามค่าตามสัญญาณของจำนวนองค์กร ปริมาณการผลิต และจำนวนต้นทุน ในทั้งสามกรณี ช่วงเวลาโมดอลจะเหมือนกัน เนื่องจากสำหรับช่วงเวลาเดียวกัน ทั้งจำนวนวิสาหกิจ ปริมาณการผลิต และยอดรวมของต้นทุนการผลิตกลายเป็นช่วงที่ใหญ่ที่สุด:

ดังนั้นองค์กรที่มีระดับต้นทุน 126.75,000 รูเบิลจึงมักพบบ่อยที่สุด ผลิตภัณฑ์ที่มีระดับต้นทุน 126.69,000 รูเบิลมักถูกผลิต และส่วนใหญ่มักจะอธิบายต้นทุนการผลิตด้วยระดับต้นทุน 123.73,000 รูเบิล

5.4. ตัวบ่งชี้ความแปรปรวน

เงื่อนไขเฉพาะที่วัตถุที่ศึกษาแต่ละชิ้นตั้งอยู่รวมถึงคุณลักษณะของการพัฒนาของตนเอง (สังคมเศรษฐกิจ ฯลฯ ) จะแสดงด้วยระดับตัวเลขของตัวบ่งชี้ทางสถิติที่สอดคล้องกัน ทางนี้, การเปลี่ยนแปลง,เหล่านั้น. ความแตกต่างระหว่างระดับของตัวบ่งชี้เดียวกันในวัตถุที่แตกต่างกันนั้นมีวัตถุประสงค์และช่วยให้เข้าใจสาระสำคัญของปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษา

มีหลายวิธีในการวัดความแปรผันทางสถิติ

วิธีที่ง่ายที่สุดคือการคำนวณตัวบ่งชี้ การเปลี่ยนแปลงช่วง H เป็นความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุด (X สูงสุด) และค่าต่ำสุด (X นาที) ที่สังเกตได้ของลักษณะ:

H=X สูงสุด - X นาที

อย่างไรก็ตาม ช่วงของการเปลี่ยนแปลงจะแสดงเฉพาะค่าสูงสุดของลักษณะเท่านั้น ความสามารถในการทำซ้ำของค่ากลางไม่ได้นำมาพิจารณาที่นี่

คุณลักษณะที่เข้มงวดมากขึ้นคือตัวบ่งชี้ความผันผวนที่สัมพันธ์กับระดับเฉลี่ยของแอตทริบิวต์ ตัวบ่งชี้ที่ง่ายที่สุดของประเภทนี้คือ ค่าเฉลี่ยความเบี่ยงเบนเชิงเส้น L เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ของลักษณะจากระดับเฉลี่ย:

ด้วยการทำซ้ำของแต่ละค่าของ X จะใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:

(จำได้ว่าผลรวมเชิงพีชคณิตของการเบี่ยงเบนจากระดับค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์)

ตัวบ่งชี้ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยพบการใช้งานอย่างกว้างขวางในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือ ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบของคนงาน จังหวะการผลิต ความสม่ำเสมอของการจัดหาวัสดุได้รับการวิเคราะห์ และพัฒนาระบบสิ่งจูงใจด้านวัสดุ แต่น่าเสียดายที่ตัวบ่งชี้นี้ซับซ้อนในการคำนวณประเภทความน่าจะเป็น ทำให้ยากต่อการใช้วิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ทางสถิติ ตัวบ่งชี้จึงมักถูกใช้เพื่อวัดความแปรผัน การกระจายตัว

ความแปรปรวนของคุณลักษณะ (s 2) พิจารณาจากค่าเฉลี่ยกำลังสอง:

.

เรียกเลขชี้กำลังเท่ากับ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน.

ในทฤษฎีทั่วไปของสถิติ ตัวบ่งชี้การกระจายคือค่าประมาณของตัวบ่งชี้ทฤษฎีความน่าจะเป็นที่มีชื่อเดียวกันและ (เป็นผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสอง) ค่าประมาณของการกระจายในสถิติทางคณิตศาสตร์ ซึ่งอนุญาตให้ใช้ข้อกำหนดของสาขาวิชาทางทฤษฎีเหล่านี้เพื่อ วิเคราะห์กระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคม

หากความแปรผันถูกประมาณจากการสังเกตจำนวนเล็กน้อยจากประชากรทั่วไปไม่จำกัด ค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะจะถูกกำหนดโดยมีข้อผิดพลาด ค่าที่คำนวณได้ของการกระจายดูเหมือนจะเลื่อนลง เพื่อให้ได้ค่าประมาณที่เป็นกลาง ความแปรปรวนตัวอย่างที่ได้จากสูตรข้างต้นจะต้องคูณด้วย n / (n - 1) เป็นผลให้มีข้อสังเกตจำนวนเล็กน้อย (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

โดยปกติแล้วที่ n > (15÷20) ความคลาดเคลื่อนระหว่างค่าประมาณแบบเอนเอียงและไม่เอนเอียงจะไม่มีนัยสำคัญ ด้วยเหตุผลเดียวกัน มักจะไม่คำนึงถึงอคติในสูตรสำหรับการเพิ่มความแปรปรวน

หากนำตัวอย่างหลายตัวอย่างมาจากประชากรทั่วไป และแต่ละครั้งที่มีการกำหนดค่าเฉลี่ยของแอตทริบิวต์ ก็จะเกิดปัญหาในการประมาณค่าความแปรปรวนของค่าเฉลี่ย ประมาณค่าความแปรปรวน ค่าเฉลี่ยยังสามารถขึ้นอยู่กับการสังเกตเพียงหนึ่งตัวอย่างตามสูตร

,

โดยที่ n คือขนาดตัวอย่าง s 2 คือความแปรปรวนของคุณลักษณะที่คำนวณจากข้อมูลตัวอย่าง

ค่า ถูกเรียก หมายถึงข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างและเป็นลักษณะเฉพาะของการเบี่ยงเบนของค่าเฉลี่ยตัวอย่างของคุณลักษณะ X จากค่าเฉลี่ยที่แท้จริง ตัวบ่งชี้ข้อผิดพลาดเฉลี่ยใช้ในการประเมินความน่าเชื่อถือของผลการสังเกตตัวอย่าง

ตัวบ่งชี้การกระจายสัมพัทธ์ในการระบุลักษณะการวัดความผันผวนของลักษณะที่ศึกษา ตัวบ่งชี้ความผันผวนจะถูกคำนวณในแง่สัมพัทธ์ ช่วยให้คุณสามารถเปรียบเทียบลักษณะของการกระจายตัวในการแจกแจงที่แตกต่างกัน (หน่วยการสังเกตที่แตกต่างกันของลักษณะเดียวกันในสองชุดโดยมีค่าของค่าเฉลี่ยต่างกันเมื่อเปรียบเทียบชุดต่างๆ) การคำนวณตัวบ่งชี้ของการวัดการกระจายสัมพัทธ์นั้นดำเนินการโดยอัตราส่วนของดัชนีการกระจายสัมบูรณ์ต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตคูณด้วย 100%

1. ค่าสัมประสิทธิ์การสั่นสะท้อนถึงความผันผวนสัมพัทธ์ของค่าสูงสุดของลักษณะรอบค่าเฉลี่ย

.

2. การปิดเชิงเส้นสัมพัทธ์แสดงลักษณะส่วนแบ่งของค่าเฉลี่ยของเครื่องหมายของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์จากค่าเฉลี่ย

.

3. ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน:

เป็นมาตรวัดความแปรปรวนทั่วไปที่ใช้ในการประเมินลักษณะทั่วไปของค่าเฉลี่ย

ในสถิติ ประชากรที่มีค่าสัมประสิทธิ์การแปรผันมากกว่า 30–35% จะถือว่าต่างกัน

วิธีการประมาณค่าความแปรผันนี้ยังมีข้อเสียเปรียบอย่างมาก ตัวอย่างเช่น ประชากรเริ่มต้นของแรงงานที่มีอายุงานเฉลี่ย 15 ปี โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 10 ปี "อายุ" เพิ่มขึ้นอีก 15 ปี ตอนนี้ = 30 ปี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานยังคงเป็น 10 ประชากรต่างชนิดก่อนหน้านี้ (10/15 × 100 = 66.7%) ดังนั้นจึงกลายเป็นเนื้อเดียวกันเมื่อเวลาผ่านไป (10/30 × 100 = 33.3%)

Boyarsky A.Ya. การวิจัยเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับสถิติ: ส. วิทยาศาสตร์ การดำเนินการ - ม.: สถิติ 2517 หน้า 19–57.

ก่อนหน้า

เพื่อวิเคราะห์และรับข้อสรุปทางสถิติเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการสรุปและการจัดกลุ่ม ตัวบ่งชี้ทั่วไปจะถูกคำนวณ - ค่าเฉลี่ยและค่าสัมพัทธ์

ปัญหาของค่าเฉลี่ย - เพื่อกำหนดลักษณะหน่วยทั้งหมดของประชากรทางสถิติด้วยค่าเดียวของแอตทริบิวต์

ค่าเฉลี่ยกำหนดตัวบ่งชี้เชิงคุณภาพของกิจกรรมผู้ประกอบการ: ต้นทุนการจัดจำหน่าย กำไร ความสามารถในการทำกำไร ฯลฯ

ค่าเฉลี่ย- นี่เป็นลักษณะทั่วไปของหน่วยของประชากรตามคุณลักษณะที่แตกต่างกัน

ค่าเฉลี่ยทำให้สามารถเปรียบเทียบระดับของลักษณะเดียวกันในกลุ่มประชากรต่างๆ และค้นหาสาเหตุของความแตกต่างเหล่านี้ได้

ในการวิเคราะห์ปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาบทบาทของค่าเฉลี่ยนั้นยิ่งใหญ่มาก นักเศรษฐศาสตร์ชาวอังกฤษ W. Petty (1623-1687) ใช้ค่าเฉลี่ยอย่างกว้างขวาง V. Petty ต้องการใช้ค่าเฉลี่ยเป็นตัววัดค่าใช้จ่ายในการยังชีพเฉลี่ยต่อวันของคนงานหนึ่งคน ความเสถียรของค่าเฉลี่ยเป็นภาพสะท้อนของรูปแบบของกระบวนการที่กำลังศึกษาอยู่ เขาเชื่อว่าข้อมูลสามารถเปลี่ยนแปลงได้แม้ว่าจะมีข้อมูลเริ่มต้นไม่เพียงพอ

นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ G. King (1648-1712) ใช้ค่าเฉลี่ยและค่าสัมพัทธ์เมื่อวิเคราะห์ข้อมูลเกี่ยวกับประชากรของอังกฤษ

พัฒนาการทางทฤษฎีของนักสถิติชาวเบลเยียม A. Quetelet (พ.ศ. 2339-2417) ขึ้นอยู่กับความไม่สอดคล้องกันของธรรมชาติของปรากฏการณ์ทางสังคม - มีความเสถียรสูงในมวล แต่เป็นรายบุคคลล้วนๆ

จากข้อมูลของ A. Quetelet สาเหตุถาวรจะกระทำในลักษณะเดียวกันในแต่ละปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษา และทำให้ปรากฏการณ์เหล่านี้คล้ายกัน สร้างรูปแบบที่เหมือนกันทั้งหมด

ผลที่ตามมาของคำสอนของ A. Quetelet คือการจัดสรรค่าเฉลี่ยเป็นวิธีการหลักในการวิเคราะห์ทางสถิติ เขากล่าวว่าค่าเฉลี่ยทางสถิติไม่ใช่หมวดหมู่ของความเป็นจริงตามวัตถุประสงค์

A. Quetelet แสดงความคิดเห็นของเขาเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยในทฤษฎีคนทั่วไป คนธรรมดาคือบุคคลที่มีคุณสมบัติครบถ้วนในขนาดเฉลี่ย (อัตราการตายหรืออัตราการเกิดโดยเฉลี่ย ส่วนสูงและน้ำหนักเฉลี่ย ความเร็วเฉลี่ยในการวิ่ง แนวโน้มเฉลี่ยในการแต่งงานและการฆ่าตัวตาย การทำความดี ฯลฯ) สำหรับ A. Quetelet คนธรรมดาคืออุดมคติของบุคคล ความไม่ลงรอยกันของทฤษฎีของ A. Quetelet เกี่ยวกับคนทั่วไปได้รับการพิสูจน์ในวรรณคดีทางสถิติของรัสเซียเมื่อปลายศตวรรษที่ 19-20

นักสถิติชาวรัสเซียที่รู้จักกันดี Yu. E. Yanson (1835-1893) เขียนว่า A. Quetelet ถือว่าการมีอยู่ตามธรรมชาติของประเภทของคนทั่วไปเป็นสิ่งที่กำหนดซึ่งชีวิตได้ปฏิเสธคนทั่วไปในสังคมที่กำหนดและ เวลาที่กำหนดและสิ่งนี้นำเขาไปสู่มุมมองทางกลไกอย่างสมบูรณ์ของกฎการเคลื่อนที่ของชีวิตทางสังคม: การเคลื่อนไหวเป็นการเพิ่มคุณสมบัติเฉลี่ยของบุคคลอย่างค่อยเป็นค่อยไปซึ่งเป็นการฟื้นฟูประเภทอย่างค่อยเป็นค่อยไป ดังนั้นการปรับระดับของการแสดงออกทั้งหมดของชีวิตของร่างกายทางสังคมซึ่งเกินกว่าที่การเคลื่อนไหวไปข้างหน้าจะหยุดลง

สาระสำคัญของทฤษฎีนี้พบว่าการพัฒนาต่อไปในงานของนักทฤษฎีทางสถิติจำนวนหนึ่งเป็นทฤษฎีของค่าที่แท้จริง A. Quetelet มีผู้ติดตาม - นักเศรษฐศาสตร์และนักสถิติชาวเยอรมัน W. Lexis (1837-1914) ผู้ซึ่งถ่ายทอดทฤษฎีคุณค่าที่แท้จริงไปสู่ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจของชีวิตทางสังคม ทฤษฎีของเขาเรียกว่าทฤษฎีความมั่นคง อีกรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีอุดมคติของค่าเฉลี่ยขึ้นอยู่กับปรัชญา

ผู้ก่อตั้งคือนักสถิติชาวอังกฤษ A. Bowley (พ.ศ. 2412-2500) ซึ่งเป็นหนึ่งในนักทฤษฎีที่โดดเด่นที่สุดในยุคปัจจุบันในด้านทฤษฎีค่าเฉลี่ย แนวคิดเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของเขามีระบุไว้ในหนังสือ "องค์ประกอบของสถิติ"

A. Bowley พิจารณาค่าเฉลี่ยจากด้านปริมาณเท่านั้น จึงแยกปริมาณออกจากคุณภาพ การกำหนดความหมายของค่าเฉลี่ย (หรือ "หน้าที่ของพวกเขา") A. Bowley นำเสนอหลักการคิดของเครื่องจักร A. Bowley เขียนว่าฟังก์ชันของค่าเฉลี่ยควรแสดงกลุ่มที่ซับซ้อน

ด้วยจำนวนเฉพาะไม่กี่ตัว ข้อมูลสถิติควรทำให้ง่ายขึ้น จัดกลุ่ม และหาค่าเฉลี่ย มุมมองเหล่านี้แบ่งปันโดย R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892) และคนอื่นๆ

ในยุค 30 ศตวรรษที่ 20 และปีต่อๆ ไป ค่าเฉลี่ยจะถือเป็นลักษณะที่มีนัยสำคัญทางสังคม ซึ่งเนื้อหาของข้อมูลจะขึ้นอยู่กับความเป็นเนื้อเดียวกันของข้อมูล

ตัวแทนที่โดดเด่นที่สุดของโรงเรียนอิตาลี R. Benini (1862-1956) และ C. Gini (1884-1965) โดยพิจารณาว่าสถิติเป็นสาขาหนึ่งของตรรกะ ได้ขยายขอบเขตของการเหนี่ยวนำทางสถิติ แต่พวกเขาเชื่อมโยงหลักการทางปัญญาของตรรกะ และสถิติที่มีลักษณะของปรากฏการณ์ที่ศึกษาตามประเพณีของการตีความทางสังคมวิทยาของสถิติ

ในผลงานของ K. Marx และ V. I. Lenin บทบาทพิเศษถูกกำหนดให้เป็นค่าเฉลี่ย

K. Marx แย้งว่าการเบี่ยงเบนแต่ละส่วนจากระดับทั่วไปจะถูกยกเลิกในค่าเฉลี่ยและระดับเฉลี่ยจะกลายเป็นลักษณะทั่วไปของปรากฏการณ์มวล ค่าเฉลี่ยจะกลายเป็นลักษณะเฉพาะของปรากฏการณ์มวลก็ต่อเมื่อมีการใช้หน่วยเป็นจำนวนที่มีนัยสำคัญ และหน่วยเหล่านี้มีความเป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ มาร์กซ์เขียนว่าค่าเฉลี่ยที่พบคือค่าเฉลี่ยของ "... คุณค่าที่แตกต่างกันจำนวนมากในประเภทเดียวกัน"

ค่าเฉลี่ยได้รับความสำคัญเป็นพิเศษในระบบเศรษฐกิจการตลาด ช่วยในการกำหนดความจำเป็นและทั่วไปแนวโน้มของกฎหมายการพัฒนาเศรษฐกิจโดยตรงผ่านแต่ละบุคคลและการสุ่ม

ค่าเฉลี่ยเป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปที่แสดงการกระทำของเงื่อนไขทั่วไปความสม่ำเสมอของปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษา

ค่าเฉลี่ยทางสถิติคำนวณจากข้อมูลมวลของการสังเกตมวลที่จัดอย่างถูกต้องทางสถิติ หากค่าเฉลี่ยทางสถิติคำนวณจากข้อมูลมวลสำหรับประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ (ปรากฏการณ์มวล) ก็จะเป็นไปตามวัตถุประสงค์

ค่าเฉลี่ยเป็นนามธรรมเนื่องจากเป็นลักษณะค่าของหน่วยนามธรรม

ค่าเฉลี่ยแยกจากความหลากหลายของคุณสมบัติในแต่ละวัตถุ Abstraction เป็นขั้นตอนของการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ ความสามัคคีวิภาษของแต่ละบุคคลและคนทั่วไปรับรู้ในค่าเฉลี่ย

ควรใช้ค่าเฉลี่ยบนพื้นฐานของความเข้าใจวิภาษวิธีของประเภทบุคคลและทั่วไป บุคคลและมวลชน

ตรงกลางสะท้อนถึงสิ่งที่เหมือนกันซึ่งรวมอยู่ในวัตถุชิ้นเดียว

ในการระบุรูปแบบในกระบวนการทางสังคมมวลชน ค่าเฉลี่ยมีความสำคัญอย่างยิ่ง

การเบี่ยงเบนของบุคคลจากคนทั่วไปเป็นการแสดงให้เห็นถึงกระบวนการพัฒนา

ค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงลักษณะเฉพาะ ระดับที่แท้จริงของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ จุดประสงค์ของค่าเฉลี่ยคือการระบุลักษณะระดับเหล่านี้และการเปลี่ยนแปลงของเวลาและพื้นที่

ตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยเป็นค่าปกติเนื่องจากเกิดขึ้นในสภาวะปกติตามธรรมชาติทั่วไปสำหรับการมีอยู่ของปรากฏการณ์มวลเฉพาะซึ่งพิจารณาโดยรวม

คุณสมบัติที่เป็นกลางของกระบวนการหรือปรากฏการณ์ทางสถิติสะท้อนถึงค่าเฉลี่ย

ค่าส่วนบุคคลของคุณลักษณะทางสถิติที่ศึกษานั้นแตกต่างกันสำหรับแต่ละหน่วยของประชากร ค่าเฉลี่ยของค่านิยมแต่ละประเภทเป็นผลจากความจำเป็นซึ่งเป็นผลมาจากการกระทำสะสมของทุกหน่วยของประชากรซึ่งแสดงออกมาในอุบัติเหตุซ้ำซากจำนวนมาก

ปรากฏการณ์บางอย่างมีสัญญาณที่มีอยู่ในปรากฏการณ์ทั้งหมด แต่ในปริมาณที่แตกต่างกัน - นี่คือความสูงหรืออายุของบุคคล สัญญาณอื่น ๆ ของปรากฏการณ์แต่ละอย่างนั้นแตกต่างกันในเชิงคุณภาพในปรากฏการณ์ต่าง ๆ นั่นคือมีอยู่ในบางอย่างและไม่ได้สังเกตในอย่างอื่น (ผู้ชายจะไม่กลายเป็นผู้หญิง) ค่าเฉลี่ยคำนวณสำหรับสัญญาณที่มีลักษณะเหมือนกันในเชิงคุณภาพและแตกต่างกันในเชิงปริมาณเท่านั้น ซึ่งมีอยู่ในปรากฏการณ์ทั้งหมดในชุดที่กำหนด

ค่าเฉลี่ยเป็นภาพสะท้อนของค่าลักษณะที่กำลังศึกษาและวัดในมิติเดียวกับลักษณะนี้

ทฤษฎีวัตถุนิยมวิภาษวิธีสอนว่าทุกสิ่งในโลกเปลี่ยนแปลงและพัฒนา และสัญญาณที่มีลักษณะเฉพาะคือการเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยและตามด้วยค่าเฉลี่ย

ชีวิตคือกระบวนการสร้างสิ่งใหม่อย่างต่อเนื่อง ผู้แบกรับคุณภาพใหม่คือวัตถุชิ้นเดียว จากนั้นจำนวนของวัตถุเหล่านี้จะเพิ่มขึ้น และสิ่งใหม่จะกลายเป็นมวล ตามแบบฉบับ

ค่าเฉลี่ยกำหนดลักษณะของประชากรที่ศึกษาบนพื้นฐานเดียวเท่านั้น สำหรับการนำเสนอที่สมบูรณ์และครอบคลุมของประชากรที่ศึกษาสำหรับคุณลักษณะเฉพาะจำนวนหนึ่ง จำเป็นต้องมีระบบค่าเฉลี่ยที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์จากมุมต่างๆ

2. ประเภทของค่าเฉลี่ย

ในการประมวลผลทางสถิติของวัสดุ มีปัญหาต่าง ๆ เกิดขึ้นซึ่งจำเป็นต้องแก้ไข ดังนั้นค่าเฉลี่ยต่าง ๆ จึงถูกนำมาใช้ในการปฏิบัติทางสถิติ สถิติทางคณิตศาสตร์ใช้ค่าเฉลี่ยต่างๆ เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เฉลี่ยเรขาคณิต; ฮาร์มอนิกเฉลี่ย รากหมายถึงกำลังสอง

ในการใช้ค่าเฉลี่ยประเภทใดประเภทหนึ่งข้างต้น จำเป็นต้องวิเคราะห์ประชากรที่กำลังศึกษา กำหนดเนื้อหาสำคัญของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา ทั้งหมดนี้ทำบนพื้นฐานของข้อสรุปที่ได้จากหลักการของความหมายของผลลัพธ์ เมื่อชั่งน้ำหนักหรือสรุปผล

ในการศึกษาค่าเฉลี่ยจะใช้ตัวบ่งชี้และสัญลักษณ์ต่อไปนี้

เกณฑ์ที่พบค่าเฉลี่ยเรียกว่า คุณสมบัติเฉลี่ย และเขียนแทนด้วย x; ค่าของคุณลักษณะเฉลี่ยสำหรับหน่วยใด ๆ ของประชากรทางสถิติเรียกว่า ความหมายของแต่ละบุคคลหรือ ตัวเลือก,และแสดงว่า x 1 , เอ็กซ์ 2 , x 3 ,…เอ็กซ์ พี ; ความถี่คือการทำซ้ำของค่าแต่ละค่าของลักษณะซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร ฉ.

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

หนึ่งในประเภทของสื่อที่พบมากที่สุด ค่าเฉลี่ยเลขคณิต, ซึ่งคำนวณเมื่อปริมาณของแอตทริบิวต์เฉลี่ยถูกสร้างขึ้นเป็นผลรวมของค่าสำหรับแต่ละหน่วยของประชากรทางสถิติที่ศึกษา

ในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ผลรวมของระดับคุณลักษณะทั้งหมดจะถูกหารด้วยจำนวน

หากตัวเลือกบางอย่างเกิดขึ้นหลายครั้ง ผลรวมของระดับแอตทริบิวต์สามารถรับได้โดยการคูณแต่ละระดับด้วยจำนวนหน่วยประชากรที่สอดคล้องกัน ตามด้วยการบวกผลคูณของผลลัพธ์ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่คำนวณด้วยวิธีนี้เรียกว่าเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก หมายถึง.

สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักมีดังนี้:

โดยที่ x i เป็นตัวเลือก

ฉ ฉัน - ความถี่หรือน้ำหนัก

ควรใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักในทุกกรณีที่ตัวแปรมีความอุดมสมบูรณ์ต่างกัน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะกระจายมูลค่ารวมของแอตทริบิวต์อย่างเท่าเทียมกันระหว่างวัตถุแต่ละชิ้น ซึ่งในความเป็นจริงจะแตกต่างกันไปสำหรับแต่ละวัตถุ

การคำนวณค่าเฉลี่ยดำเนินการตามข้อมูลที่จัดกลุ่มในรูปแบบของชุดการแจกแจงช่วงเวลาเมื่อตัวแปรลักษณะที่คำนวณค่าเฉลี่ยจะแสดงในรูปแบบของช่วงเวลา (จาก - ถึง)

คุณสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมของค่าต่าง ๆ เท่ากับผลรวมของค่าเฉลี่ยเลขคณิต: ถ้า x ผม = y ผม + z ผม แล้ว

คุณสมบัตินี้แสดงว่าในกรณีใดบ้างที่สามารถสรุปค่าเฉลี่ยได้

2) ผลรวมเชิงพีชคณิตของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของลักษณะตัวแปรจากค่าเฉลี่ยเท่ากับศูนย์ เนื่องจากผลรวมของการเบี่ยงเบนในทิศทางหนึ่งถูกหักล้างด้วยผลรวมของการเบี่ยงเบนในทิศทางอื่น:

กฎนี้แสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยเป็นผลลัพธ์

3) หากตัวแปรทั้งหมดของซีรีส์เพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยหมายเลขเดียวกัน ค่าเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามหมายเลขเดียวกัน:

4) หากตัวแปรทั้งหมดของซีรีส์เพิ่มขึ้นหรือลดลง A ครั้ง ค่าเฉลี่ยก็จะเพิ่มขึ้นหรือลดลง A ครั้งเช่นกัน:

5) คุณสมบัติที่ห้าของค่าเฉลี่ยแสดงให้เราเห็นว่ามันไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของน้ำหนัก แต่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนระหว่างพวกเขา ในฐานะที่เป็นน้ำหนักไม่เพียง แต่สัมพัทธ์เท่านั้น แต่ยังสามารถใช้ค่าสัมบูรณ์ได้อีกด้วย

หากความถี่ทั้งหมดของซีรีส์ถูกหารหรือคูณด้วยจำนวน d เดียวกัน ค่าเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลง

ฮาร์มอนิกเฉลี่ยในการกำหนดค่าเฉลี่ยเลขคณิตจำเป็นต้องมีตัวเลือกและความถี่จำนวนหนึ่งเช่นค่า เอ็กซ์และ ฉ.

สมมติว่าเราทราบค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะ เอ็กซ์และใช้งานได้ เอ็กซ์/,และความถี่ ฉไม่เป็นที่รู้จัก ดังนั้น ในการคำนวณค่าเฉลี่ย เราแสดงว่าผลิตภัณฑ์ = X/;ที่ไหน:

ค่าเฉลี่ยในรูปแบบนี้เรียกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแบบฮาร์มอนิกและแสดงแทน x อันตราย vzvv

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะเหมือนกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ใช้ได้เมื่อไม่ทราบน้ำหนักจริง ฉและผลิตภัณฑ์เป็นที่รู้จัก เอฟเอ็กซ์ = ซี

เมื่อผลงาน เอฟเอ็กซ์เท่ากันหรือเท่ากับหนึ่ง (m = 1) ใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกอย่างง่ายซึ่งคำนวณโดยสูตร:

ที่ไหน เอ็กซ์- ตัวเลือกแยกต่างหาก

น- ตัวเลข.

เฉลี่ยเรขาคณิต

หากมีปัจจัยการเติบโต n สูตรสำหรับค่าสัมประสิทธิ์เฉลี่ยคือ:

นี่คือสูตรค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเท่ากับรากขององศา นจากผลคูณของค่าสัมประสิทธิ์การเติบโตที่แสดงอัตราส่วนของมูลค่าของแต่ละช่วงเวลาที่ตามมากับมูลค่าของช่วงเวลาก่อนหน้า

หากค่าที่แสดงเป็นฟังก์ชันกำลังสองขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ย จะใช้ค่าเฉลี่ยกำลังสองของราก ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้ค่าเฉลี่ยกำลังสองของราก คุณสามารถกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของท่อ ล้อ ฯลฯ

ค่าเฉลี่ยของกำลังสองอย่างง่ายถูกกำหนดโดยการนำรากที่สองของผลหารจากการหารผลรวมของกำลังสองของค่าคุณลักษณะแต่ละค่าด้วยจำนวน

ค่าเฉลี่ยกำลังสองของรากถ่วงน้ำหนักคือ:

3. ค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง โหมดและค่ามัธยฐาน

ในการระบุลักษณะโครงสร้างของประชากรทางสถิติจะใช้ตัวบ่งชี้ที่เรียกว่า ค่าเฉลี่ยของโครงสร้างซึ่งรวมถึงโหมดและค่ามัธยฐาน

แฟชั่น(ม เกี่ยวกับ ) - ตัวเลือกที่พบบ่อยที่สุด แฟชั่นค่าของคุณสมบัติเรียกว่าซึ่งสอดคล้องกับจุดสูงสุดของเส้นโค้งการกระจายตามทฤษฎี

โหมดแสดงค่าที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดหรือค่าทั่วไป

แฟชั่นถูกนำมาใช้ในเชิงพาณิชย์เพื่อศึกษาความต้องการของผู้บริโภคและบันทึกราคา

ในซีรีส์ที่ไม่ต่อเนื่อง โหมดคือตัวแปรที่มีความถี่สูงสุด ในซีรีส์การแปรผันของช่วงเวลา จะถือว่าตัวแปรกลางของช่วงเวลาซึ่งมีความถี่สูงสุด (เฉพาะเจาะจง) เป็นโหมด

ภายในช่วงเวลา จำเป็นต้องค้นหาค่าของแอตทริบิวต์ ซึ่งก็คือฐานนิยม

ที่ไหน เอ็กซ์ เกี่ยวกับคือขีดจำกัดล่างของช่วงเวลาโมดอล

ชม.คือค่าของช่วงเวลาโมดอล

เอฟ มคือความถี่ของช่วงกิริยา

ฉ-1 - ความถี่ของช่วงเวลาก่อนหน้าโมดอล

เอฟ ม+1 คือความถี่ของช่วงเวลาหลังโมดอล

โหมดจะขึ้นอยู่กับขนาดของกลุ่ม ตำแหน่งที่แน่นอนของขอบเขตของกลุ่ม

แฟชั่น- จำนวนที่เกิดขึ้นจริงบ่อยที่สุด (เป็นค่าที่แน่นอน) ในทางปฏิบัติมีแอปพลิเคชันที่กว้างที่สุด (ผู้ซื้อประเภทที่พบมากที่สุด)

ค่ามัธยฐาน (ม อี- นี่คือค่าที่แบ่งจำนวนของชุดการเปลี่ยนแปลงที่สั่งซื้อออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน: ส่วนหนึ่งมีค่าของคุณสมบัติที่แตกต่างกันซึ่งน้อยกว่าตัวแปรเฉลี่ยและอีกส่วนหนึ่งมีค่ามาก

ค่ามัธยฐานเป็นองค์ประกอบที่มากกว่าหรือเท่ากับและพร้อมกันน้อยกว่าหรือเท่ากับครึ่งหนึ่งขององค์ประกอบที่เหลือของชุดการกระจาย

คุณสมบัติของค่ามัธยฐานคือผลรวมของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ของค่าคุณลักษณะจากค่ามัธยฐานนั้นน้อยกว่าจากค่าอื่น ๆ

การใช้ค่ามัธยฐานช่วยให้คุณได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำกว่าการใช้ค่าเฉลี่ยในรูปแบบอื่นๆ

ลำดับของการค้นหาค่ามัธยฐานในชุดการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลามีดังนี้: เราจัดเรียงค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ตามอันดับ กำหนดความถี่สะสมสำหรับซีรีส์อันดับนี้ ตามความถี่สะสม เราพบช่วงมัธยฐาน:

ที่ไหน x ฉันคือขีดจำกัดล่างของช่วงมัธยฐาน

ผม ผมคือค่าของช่วงมัธยฐาน

f/2คือผลรวมครึ่งหนึ่งของความถี่ของอนุกรม

ส ผม-1 คือผลรวมของความถี่สะสมก่อนช่วงมัธยฐาน

ฉ ผมคือความถี่ของช่วงมัธยฐาน

ค่ามัธยฐานจะแบ่งจำนวนแถวออกเป็นครึ่งหนึ่ง ดังนั้นจึงเป็นที่ที่ความถี่สะสมคือครึ่งหนึ่งหรือมากกว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนความถี่ทั้งหมด และความถี่ก่อนหน้า (สะสม) น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของประชากร