วิธีหา y ในฟังก์ชัน ข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับขอบเขตการทำงาน

ในวิชาคณิตศาสตร์ ชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดฟังก์ชั่น. และแต่ละตัวมีลักษณะเฉพาะของตัวเอง) ในการทำงานกับฟังก์ชันที่หลากหลาย คุณต้องมี เดี่ยววิธีการ. มิฉะนั้นนี่คือคณิตศาสตร์ประเภทใด!) และมีแนวทางดังกล่าว!

เมื่อทำงานกับฟังก์ชันใดๆ เราจะนำเสนอด้วยชุดคำถามมาตรฐาน และอย่างแรกที่สุด คำถามที่สำคัญ- นี่คือ ขอบเขตของฟังก์ชันบางครั้งพื้นที่นี้เรียกว่าชุด ค่าที่อนุญาตอาร์กิวเมนต์ ขอบเขตของฟังก์ชัน ฯลฯ

ขอบเขตของฟังก์ชันคืออะไร? จะหาได้อย่างไร? คำถามเหล่านี้มักดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แม้ว่าในความเป็นจริงแล้ว ทุกอย่างจะเรียบง่ายมาก สิ่งที่คุณสามารถเห็นได้ด้วยตัวคุณเองโดยการอ่านหน้านี้ ไป?)

ฉันจะพูดอะไรดี ... เคารพเท่านั้น) ใช่! ขอบเขตตามธรรมชาติของฟังก์ชัน (ซึ่งเรากำลังพูดถึงที่นี่) การแข่งขันด้วยนิพจน์ ODZ ที่รวมอยู่ในฟังก์ชัน ดังนั้นจึงค้นหาตามกฎเดียวกัน

ตอนนี้ให้พิจารณาขอบเขตของคำจำกัดความที่ไม่เป็นธรรมชาติ)

ข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับขอบเขตของฟังก์ชัน

ที่นี่เราจะพูดถึงข้อ จำกัด ที่กำหนดโดยงาน เหล่านั้น. งานมีเงื่อนไขเพิ่มเติมบางอย่างที่คอมไพเลอร์คิดขึ้น หรือข้อจำกัดมาจากวิธีการกำหนดฟังก์ชัน

สำหรับข้อ จำกัด ในงาน - ทุกอย่างง่าย โดยปกติแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องค้นหาสิ่งใด ทุกอย่างได้พูดไปแล้วในงาน ฉันขอเตือนคุณว่าข้อ จำกัด ที่เขียนโดยผู้เขียนงานจะไม่ถูกยกเลิก ข้อจำกัดพื้นฐานของคณิตศาสตร์คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าให้คำนึงถึงเงื่อนไขของการมอบหมาย

ตัวอย่างเช่น งานดังกล่าว:

ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน:

บนเซตของจำนวนบวก

เราพบโดเมนธรรมชาติของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ด้านบน พื้นที่นี้:

ง(ฉ)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

ในการตั้งค่าฟังก์ชันด้วยคำพูด คุณต้องอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียดและค้นหาข้อจำกัดของ x ที่นั่น บางครั้งตาก็มองหาสูตร และคำๆ นั้นก็ทำให้สติหลุดลอยไป ใช่...) ตัวอย่างจากบทเรียนที่แล้ว:

ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: แต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ x เชื่อมโยงกับผลรวมของตัวเลขที่ประกอบกันเป็นค่าของ x

ก็ควรสังเกตไว้ตรงนี้เลยว่า เท่านั้นเกี่ยวกับค่าธรรมชาติของ x จากนั้นและ ง(ฉ)บันทึกทันที:

ง(ฉ): x ∈ เอ็น

อย่างที่คุณเห็น ขอบเขตของฟังก์ชันไม่ใช่แนวคิดที่ซับซ้อน การหาพื้นที่นี้เป็นเพียงการตรวจสอบฟังก์ชัน เขียนระบบอสมการ และแก้ปัญหาระบบนี้ แน่นอนว่ามีระบบทุกประเภท ทั้งแบบเรียบง่ายและซับซ้อน แต่...

เปิด ความลับเล็กน้อย. บางครั้งฟังก์ชันที่คุณต้องการค้นหาขอบเขตก็ดูน่ากลัว ฉันอยากจะหน้าซีดและร้องไห้) แต่มันก็คุ้มค่าที่จะเขียนระบบความไม่เท่าเทียมกัน ... และทันใดนั้นระบบก็กลายเป็นระบบพื้นฐาน! และบ่อยครั้ง ยิ่งฟังก์ชันแย่ ระบบยิ่งง่าย...

คุณธรรม: ตากลัว หัวตัดสินใจ!)

ลักษณะการทำงานเป็นแบบ ลองกำหนด X เป็นชุดของค่าของตัวแปรอิสระ // อิสระหมายถึงใดๆ

ฟังก์ชันเป็นกฎที่สำหรับแต่ละค่าของตัวแปรอิสระจากชุด X หนึ่งสามารถหาค่าเดียวของตัวแปรตามได้ // เช่น. สำหรับทุกๆ x มี y หนึ่งตัว

ตามมาจากคำจำกัดความว่ามีสอง แนวคิด - อิสระตัวแปร (ซึ่งเราแทนค่าด้วย x และสามารถใช้ค่าใดก็ได้) และตัวแปรตาม (ซึ่งเราแทนค่าด้วย y หรือ f(x) และคำนวณจากฟังก์ชันเมื่อเราแทนที่ x)

ตัวอย่างเช่น y=5+x

1. อิสระคือ x ดังนั้นเราจะหาค่าใดๆ ก็ได้ ให้ x = 3

2. และตอนนี้เราคำนวณ y ดังนั้น y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8 (y ขึ้นอยู่กับ x เพราะสิ่งที่เราแทน x เราจะได้ y ดังกล่าว)

เราบอกว่าตัวแปร y ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันของตัวแปร x และแสดงได้ดังนี้: y = f (x)

ตัวอย่างเช่น.

1.y=1/x (เรียกว่าอติพจน์)

2. y=x^2. (เรียกว่าพาราโบลา)

3.y=3x+7. (เรียกว่าเส้นตรง)

4. y \u003d √ x (เรียกว่าสาขาของพาราโบลา)

ตัวแปรอิสระ (ซึ่งเราแทนด้วย x) เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน

ขอบเขตของฟังก์ชัน

ชุดของค่าทั้งหมดที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันใช้เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชันและแสดงด้วย D(f) หรือ D(y)

พิจารณา D(y) สำหรับ 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) และ (0;+∞) //ทั้งเซต จำนวนจริงยกเว้นศูนย์

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / จำนวนจริงทั้งหมด

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / จำนวนจริงทั้งหมด

4. D (ย) \u003d.

สุดท้าย หากรวมฟังก์ชันต่างๆ เข้าด้วยกัน โดเมนของนิยามคือจุดตัดของโดเมนของนิยามของฟังก์ชันเหล่านี้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6) ขั้นแรก ค้นหาโดเมนของคำศัพท์ทั้งหมด Sin(2*x) ถูกกำหนดบนเส้นจำนวนเต็ม สำหรับฟังก์ชัน x/√(x+2) แก้อสมการ x+2>0 และโดเมนจะเป็น (-2; +∞) โดเมนของฟังก์ชัน arcsin(x−6) กำหนดโดย ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า-1≤x-6≤1 นั่นคือ ได้รับเซ็กเมนต์ สำหรับลอการิทึม ค่าอสมการ x−6>0 จะคงอยู่ และนี่คือช่วงเวลา (6; +∞) ดังนั้น โดเมนของฟังก์ชันจะเป็นเซต (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞) เช่น (6; 7]

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

แหล่งที่มา:

โดเมนของฟังก์ชันที่มีลอการิทึม

ฟังก์ชันเป็นแนวคิดที่สะท้อนความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบต่างๆ ของเซต หรืออีกนัยหนึ่ง มันคือ "กฎ" ซึ่งแต่ละองค์ประกอบของเซตหนึ่ง (เรียกว่าโดเมนของนิยาม) มีความสัมพันธ์กับองค์ประกอบบางอย่างของเซตอื่น (เรียกว่า โดเมนของค่า)

เริ่มต้นด้วยการค้นหา โดเมนของนิยามผลรวมของฟังก์ชัน. เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชันดังกล่าวเหมาะสมสำหรับค่าดังกล่าวทั้งหมดของตัวแปรซึ่งฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมกันเป็นค่าที่เหมาะสม ดังนั้นจึงไม่มีข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องของข้อความต่อไปนี้:

ถ้าฟังก์ชัน f เป็นผลรวมของฟังก์ชัน n ฟังก์ชัน f 1 , f 2 , …, f n นั่นคือ ฟังก์ชัน f ถูกกำหนดโดยสูตร y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ) แล้วโดเมนของฟังก์ชัน f คือจุดตัดของโดเมนของฟังก์ชัน f 1 , f 2 , …, f n . ลองเขียนเป็น .

เรามาตกลงที่จะใช้เรกคอร์ดต่อไปเหมือนอันที่แล้ว ซึ่งเราหมายถึงเขียนในวงเล็บปีกกา หรือปฏิบัติตามเงื่อนไขใดๆ พร้อมกัน สิ่งนี้สะดวกและค่อนข้างสอดคล้องกับความหมายของระบบ

ตัวอย่าง.

กำหนดฟังก์ชัน y=x 7 +x+5+tgx และเราจำเป็นต้องค้นหาโดเมนของมัน

วิธีการแก้.

ฟังก์ชัน f แทนด้วยผลรวมของฟังก์ชันทั้งสี่: f 1 เป็นฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น 7, f 2 เป็นฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น 1, f 3 เป็นฟังก์ชันคงที่ และ f 4 เป็นฟังก์ชันแทนเจนต์

ดูที่ตารางพื้นที่ของคำจำกัดความหลัก ฟังก์ชันพื้นฐาน, เราพบว่า D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) และโดเมนของ แทนเจนต์คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นตัวเลข .

โดเมนของฟังก์ชัน f คือจุดตัดของโดเมนของฟังก์ชัน f 1 , f 2 , f 3 และ f 4 เห็นได้ชัดว่านี่คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นตัวเลข .

ตอบ:

ชุดของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น .

ไปค้นหากันเถอะ โดเมนของผลคูณของฟังก์ชัน. สำหรับกรณีนี้ กฎที่คล้ายกันคือ:

ถ้าฟังก์ชัน f เป็นผลคูณของ n ฟังก์ชัน f 1 , f 2 , …, f n นั่นคือ ฟังก์ชัน f ถูกกำหนดโดยสูตร y=ฉ 1 (x) ฉ 2 (x) ... ฉ n (x)แล้วโดเมนของฟังก์ชัน f คือจุดตัดของโดเมนของฟังก์ชัน f 1 , f 2 , …, fn . ดังนั้น, .

เป็นที่เข้าใจได้ว่ามีการกำหนดฟังก์ชันทั้งหมดของผลิตภัณฑ์ในพื้นที่ที่ระบุและด้วยเหตุนี้ฟังก์ชัน f เอง

ตัวอย่าง.

Y=3 arctgx lnx .

วิธีการแก้.

โครงสร้างของด้านขวาของสูตรที่กำหนดฟังก์ชันสามารถพิจารณาได้ดังนี้ f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) โดยที่ f 1 เป็นฟังก์ชันคงที่ f 2 คือฟังก์ชันสัมผัสส่วนโค้ง และ f 3 คือ ฟังก์ชันลอการิทึมมีฐาน e

เรารู้ว่า D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) และ D(f 3)=(0, +∞) แล้ว .

ตอบ:

โดเมนของฟังก์ชัน y=3 arctgx lnx คือเซตของจำนวนบวกจริงทั้งหมด

ให้เราแยกกันค้นหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y=C·f(x) โดยที่ C คือจำนวนจริง เป็นการง่ายที่จะแสดงว่าโดเมนของฟังก์ชันนี้และโดเมนของฟังก์ชัน f ตรงกัน แท้จริงแล้ว ฟังก์ชัน y=C f(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันคงที่และฟังก์ชัน f โดเมนของฟังก์ชันค่าคงที่คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และโดเมนของฟังก์ชัน f คือ D(f) จากนั้นโดเมนของฟังก์ชัน y=C f(x) คือ ที่จะนำมาแสดง.

ดังนั้น โดเมนของฟังก์ชัน y=f(x) และ y=C·f(x) โดยที่ С เป็นจำนวนจริง ตรงกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าโดเมนของรากคือ จะกลายเป็นว่า D(f) เป็นเซตของ x ทั้งหมดจากโดเมนของฟังก์ชัน f 2 ซึ่ง f 2 (x) รวมอยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน f 1 .

ทางนี้, โดเมนของฟังก์ชันที่ซับซ้อน y=f 1 (f 2 (x)) คือจุดตัดของสองเซต: เซตของ x ทั้งหมดที่เป็น x∈D(f 2) และเซตของ x ทั้งหมดที่ทำให้ f 2 (x)∈D(f 1 ) . นั่นคือในสัญกรณ์ของเรา (นี่คือระบบของความไม่เท่าเทียมกันโดยพื้นฐานแล้ว)

ลองมาดูตัวอย่างกัน ในขั้นตอนนี้ เราจะไม่อธิบายโดยละเอียด เนื่องจากอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้

ตัวอย่าง.

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน y=lnx 2

วิธีการแก้.

ฟังก์ชันดั้งเดิมสามารถแสดงเป็น y \u003d f 1 (f 2 (x)) โดยที่ f 1 คือลอการิทึมที่มีฐาน e และ f 2 คือ ฟังก์ชั่นพลังงานด้วยตัวบ่งชี้ที่ 2

หันไป พื้นที่ที่มีชื่อเสียงนิยามของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น เรามี D(f 1)=(0, +∞) และ D(f 2)=(−∞, +∞)

แล้ว

เราจึงพบโดเมนนิยามของฟังก์ชันที่เราต้องการ มันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นศูนย์

ตอบ:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

ตัวอย่าง.

ขอบเขตของฟังก์ชันคืออะไร ?

วิธีการแก้.

ฟังก์ชั่นนี้ซับซ้อน ถือได้ว่าเป็น y \u003d f 1 (f 2 (x)) โดยที่ f 1 เป็นฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขยกกำลัง และ f 2 คือฟังก์ชันอาร์คไซน์ และเราจำเป็นต้องค้นหาโดเมนของมัน

มาดูกันว่าเรารู้อะไรบ้าง: D(f 1)=(0, +∞) และ D(f 2)=[−1, 1] . ยังคงต้องหาจุดตัดกันของชุดค่า x เช่นนั้น x∈D(f 2) และ f 2 (x)∈D(f 1) :

สำหรับ arcsinx>0 ลองนึกถึงคุณสมบัติของฟังก์ชัน arcsine กัน อาร์คไซน์เพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ [−1, 1] และหายไปที่ x=0 ดังนั้น arcsinx>0 สำหรับ x ใดๆ จากช่วงเวลา (0, 1]

กลับไปที่ระบบ: