วิธีกำหนดและพรรณนาเวกเตอร์ เวกเตอร์ เวกเตอร์ ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์ แนวคิดของเวกเตอร์ ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ การเลื่อนเวกเตอร์ออกจากจุดที่กำหนด ผลรวมของเวกเตอร์สองตัว กฎของการบวก การลบ

ความรู้และทักษะที่ได้รับจาก บทเรียนนี้จะเป็นประโยชน์กับนักเรียนไม่เฉพาะในบทเรียนเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในชั้นเรียนวิทยาศาสตร์อื่นๆ ด้วย ในระหว่างบทเรียน นักเรียนจะได้เรียนรู้การพล็อตเวกเตอร์จากจุดที่กำหนด นี่อาจเป็นบทเรียนเรขาคณิตปกติ หรือนอกหลักสูตร หรือ กิจกรรมวิชาเลือกในวิชาคณิตศาสตร์ การพัฒนาครั้งนี้จะช่วยให้ครูประหยัดเวลาในการเตรียมบทเรียนในหัวข้อ “การหน่วงเวกเตอร์จากจุดที่กำหนด” มันจะเพียงพอสำหรับเขาที่จะเล่นบทเรียนวิดีโอในชั้นเรียน จากนั้นเสริมเนื้อหาด้วยแบบฝึกหัดที่เขาเลือกเอง

ระยะเวลาของบทเรียนเพียง 1:44 นาที แต่นี่ก็เพียงพอแล้วที่จะสอนเด็กนักเรียนให้วาดเวกเตอร์จากจุดที่กำหนด

บทเรียนเริ่มต้นด้วยการสาธิตเวกเตอร์ซึ่งจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดหนึ่ง พวกเขาบอกว่าเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไป จากนั้นผู้เขียนเสนอให้พิสูจน์ร่วมกับเขาว่าข้อความใดที่คุณสามารถพล็อตเวกเตอร์เท่ากับค่าที่กำหนดและยิ่งไปกว่านั้นคือไม่ซ้ำกัน ในระหว่างการพิสูจน์ ผู้เขียนจะตรวจสอบแต่ละกรณีอย่างละเอียด ประการแรกเขาใช้สถานการณ์ที่ เวกเตอร์ที่กำหนดศูนย์ ประการที่สอง เมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ ในระหว่างการพิสูจน์ ภาพประกอบจะใช้ในรูปแบบของภาพวาดและโครงสร้าง สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งก่อให้เกิดความรู้ทางคณิตศาสตร์ในเด็กนักเรียน ผู้เขียนพูดช้าๆ ให้นักเรียนจดบันทึกพร้อมๆ กันขณะแสดงความคิดเห็น โครงสร้างที่ผู้เขียนดำเนินการในระหว่างการพิสูจน์ข้อความที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าจากจุดหนึ่งเราสามารถสร้างเวกเตอร์เท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนดได้อย่างไร

หากนักเรียนดูบทเรียนอย่างระมัดระวังและจดบันทึกไปพร้อมๆ กัน พวกเขาจะเรียนรู้เนื้อหาได้อย่างง่ายดาย นอกจากนี้ผู้เขียนยังบอกรายละเอียดอย่างวัดผลและค่อนข้างครบถ้วนอีกด้วย หากคุณไม่ได้ยินสิ่งใดด้วยเหตุผลบางประการ คุณสามารถกลับไปดูบทเรียนอีกครั้งได้

หลังจากดูบทเรียนวิดีโอแล้ว ขอแนะนำให้เริ่มรวบรวมเนื้อหา แนะนำให้ครูเลือกงานในหัวข้อนี้เพื่อฝึกทักษะการพล็อตเวกเตอร์จากจุดที่กำหนด

บทเรียนนี้สามารถนำไปใช้ได้ การศึกษาด้วยตนเองหัวข้อโดยเด็กนักเรียน แต่หากต้องการรวมกลุ่มคุณต้องติดต่อครูเพื่อให้สามารถเลือกงานที่เหมาะสมได้ ท้ายที่สุดหากไม่รวมเนื้อหาเข้าด้วยกัน เป็นการยากที่จะบรรลุผลการเรียนรู้เชิงบวก

1. กำหนดความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์เรขาคณิต

สอง เวกเตอร์ทางเรขาคณิตเรียกว่าเท่ากันถ้า:

มีลักษณะเป็นเส้นตรงและมีทิศทางเดียว

ความยาวเท่ากัน

2. นิยามผลรวมของเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

ผลรวม a + b ของเวกเตอร์ a และ b สองตัวเรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่งสร้างขึ้นตามกฎสามเหลี่ยมต่อไปนี้ ลองจัดจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ b กับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ a กัน จากนั้นผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นเวกเตอร์ c ซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของ a และจุดสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของ b

นอกจากกฎสามเหลี่ยมแล้ว ยังมีกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกด้วย เมื่อเลือกเวกเตอร์ a และ b การเริ่มต้นทั่วไป, เราสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานบนเวกเตอร์เหล่านี้ จากนั้นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มาจากจุดกำเนิดร่วมของเวกเตอร์จะเป็นตัวกำหนดผลรวมของมัน

เมื่อคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ทิศทางของเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ความยาวของเวกเตอร์จะคูณด้วยตัวเลข

3. ให้คำจำกัดความของเวกเตอร์คอลลิเนียร์และโคพลานาร์

เวกเตอร์เรขาคณิตสองตัวเรียกว่าคอลลิเนียร์หากพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือบนเส้นคู่ขนาน

เวกเตอร์เรขาคณิตสามตัวเรียกว่าโคพลานาร์ถ้าเวกเตอร์เหล่านี้อยู่บนเส้นขนานกับระนาบบางระนาบ

4. กำหนดเชิงเส้นและเชิงเส้น ระบบอิสระเวกเตอร์

เวกเตอร์ a 1 , … , a n ถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีชุดของสัมประสิทธิ์ดังกล่าว α 1 , . - - , α n , นั่น α 1 a 1 + . - - + α n an = 0 และอย่างน้อยหนึ่งในสัมประสิทธิ์เหล่านี้ไม่เป็นศูนย์

หากไม่มีชุดสัมประสิทธิ์ที่ระบุ เวกเตอร์จะถูกเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น

5. กำหนดเกณฑ์ทางเรขาคณิต การพึ่งพาเชิงเส้น เวกเตอร์ 2 และ 3

เวกเตอร์สองตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงหากพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน

6. กำหนดพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์

Basis คือเซตของเวกเตอร์ดังกล่าวใน พื้นที่เวกเตอร์ว่าเวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมินี้สามารถแสดงได้เฉพาะในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จากเวกเตอร์เซตนี้

พิกัดเวกเตอร์คือค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้นเดียวที่เป็นไปได้ของเวกเตอร์พื้นฐานในระบบพิกัดที่เลือก ซึ่งเท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนด

7. กำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับการสลายตัวของเวกเตอร์เทียบกับพื้นฐาน

เวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิเวกเตอร์สามารถขยายเป็นฐานได้ และยิ่งไปกว่านั้น วิธีเดียวเท่านั้น.

ถ้า = (̅		– พื้นฐาน ̅		= (1, 2, 3) แล้วจะมีชุดตัวเลข (	...) เช่นนั้น

	̅ + + ̅̅ โดยที่ (		...) – พิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐาน

8. กำหนดเส้นโครงสเกลาร์ตั้งฉากของเวกเตอร์ไปยังทิศทาง

การฉายภาพมุมฉากของเวกเตอร์ไปยังทิศทางของเวกเตอร์เรียกว่า ปริมาณสเกลาร์ราคา = | - cos() โดยที่ angle คือมุมระหว่างเวกเตอร์

9. กำหนดผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือจำนวนเท่ากับ cos -

ผลคูณของความยาว | - และ| - ของเวกเตอร์พวกนี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

10. กำหนดคุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงของผลิตภัณฑ์สเกลาร์

λ(̅ ̅ ).

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

11. เขียนสูตรสำหรับคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยพื้นฐานออร์โธนอร์มอล

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. เขียนสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ระบุตามหลักออร์โธนอร์มอล

̅ ̅ cos =̅ |̅|| -

13. กำหนดเวกเตอร์สามเท่าทางขวาและซ้าย

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบอันดับสามของเวกเตอร์ a, b, c จะถูกเรียกไปทางขวา ถ้าทิศทางของเวกเตอร์a รวมเข้ากับทิศทางของเวกเตอร์b โดยใช้การหมุนที่สั้นที่สุดของเวกเตอร์a ในระนาบของเวกเตอร์เหล่านี้ ซึ่งทำมาจากด้านข้างของเวกเตอร์a ทวนเข็มนาฬิกา . มิฉะนั้น (หมุนตามเข็มนาฬิกา) ทั้งสามนี้เรียกว่าถนัดซ้าย

14. กำหนดผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

งานศิลปะของเว็กเตอร์เวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์ ̅ และ ̅ เรียกว่าเวกเตอร์ ̅ ซึ่งตรงตามเงื่อนไขสามประการต่อไปนี้:

เวกเตอร์ c ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b;

ความยาวของเวกเตอร์ c เท่ากับ |с̅ | = | | |̅ |sin ϕ โดยที่ ϕ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ ̅ และ ̅ ;

เวกเตอร์สามเท่าที่ได้รับคำสั่ง ̅ ,̅ ,с̅ เป็นคนถนัดขวา

15. กำหนดสมบัติของการสับเปลี่ยน (สมมาตร) ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์และคุณสมบัติของการต้านคอมมิวทิวิตี (ต่อต้านสมมาตร) ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ผลคูณสเกลาร์เป็นแบบสับเปลี่ยน: ̅ ̅ =̅ ̅

ผลคูณเวกเตอร์เป็นแบบต้านการเปลี่ยนแปลง: ̅ x̅ =− ̅ x̅

16. กำหนดคุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

คุณสมบัติของการเชื่อมโยงพร้อมกับการคูณด้วยตัวเลข (แล ̅ )×̅ = แล(̅ ×̅ );

คุณสมบัติของการกระจายด้วยความเคารพต่อการบวก (̅ +̅ )×с̅ =̅ ×с̅ +̅ ×с̅

คุณสมบัติของการเชื่อมโยงและการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ถูกนำมารวมกัน เช่นเดียวกับกรณีของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ใน คุณสมบัติของความเป็นเชิงเส้นของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

สัมพันธ์กับปัจจัยแรก เนื่องจากคุณสมบัติของการต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงเป็นเส้นตรงโดยคำนึงถึงปัจจัยที่สอง:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅ ×(̅ +̅с ) = −(̅ +̅с )×̅ = −(̅ ×̅ +̅с ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅с

17. เขียนสูตรสำหรับคำนวณผลคูณเวกเตอร์ตามหลักออร์โธนอร์มอลที่ถูกต้อง

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. กำหนดผลคูณผสมของเวกเตอร์

งานผสมเวกเตอร์สามตัว̅ ,̅ ,с̅ เรียกว่าตัวเลขเท่ากับ (̅ ×̅ )с̅ - ผลคูณสเกลาร์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวแรกและเวกเตอร์ที่สาม

19. กำหนดคุณสมบัติของการเรียงสับเปลี่ยน (เบ้สมมาตร) ของผลิตภัณฑ์ผสม

ใช้ได้กับงานผสม กฎการเรียงสับเปลี่ยนแบบวน:


	̅ с̅ = с̅ ̅		= ̅с ̅= ̅ с̅	= − с̅ ̅= ̅ ̅с
20. กำหนดคุณสมบัติของความเป็นเชิงเส้นของผลิตภัณฑ์ผสม
สำหรับผลิตภัณฑ์ผสม คุณสมบัติของการเชื่อมโยงสัมพันธ์กับ

	การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: (แล ̅ )с̅				= แล(̅ с̅ ).

	สำหรับผลิตภัณฑ์ผสม สมบัติการกระจายจะถือเป็น: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅					= ̅̅̅

	̅с + ̅̅̅
	̅с + ̅̅̅	กับ.

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์แบบผสมเหล่านี้ได้รับการกำหนดขึ้นสำหรับปัจจัยแรก อย่างไรก็ตาม การใช้การเรียงสับเปลี่ยนแบบวนสามารถพิสูจน์ได้ว่าคล้ายคลึงกัน

ข้อความสำหรับปัจจัยที่สองและสามเช่น ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

̅ (lah̅) ̅s = lah (̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (lah̅s) = lad (̅ ̅ ̅ ̅s), ̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2) ̅s = ̅ ̅̅̅ 1 ̅s 2 ̅s, ̅ ̅ (̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ 1 +̅ ̅ 2 ,

และด้วยเหตุนี้เราจึงมีคุณสมบัติเชิงเส้นของผลิตภัณฑ์ผสม สำหรับแต่ละปัจจัย

21. เขียนสูตรสำหรับคำนวณผลคูณผสมตามหลักออร์โธนอร์มอลที่ถูกต้อง

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. บันทึก สมการทั่วไประนาบและสมการ "ในส่วน" อธิบาย ความหมายทางเรขาคณิตพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในสมการเหล่านี้

เรียกสมการ Ax + By + Cz + D = 0 สมการระนาบทั่วไป- ค่าสัมประสิทธิ์ A, B, C สำหรับสิ่งที่ไม่ทราบในสมการนี้มีความหมายทางเรขาคณิตที่ชัดเจน: เวกเตอร์ n = (A; B; C) ตั้งฉากกับระนาบ พวกเขาเรียกเขาว่า เวกเตอร์ปกติเครื่องบิน. เช่นเดียวกับสมการทั่วไปของระนาบ ถูกกำหนดให้เป็นตัวประกอบตัวเลข (ไม่เป็นศูนย์)

เรียกสมการ + + = 1 สมการของระนาบในส่วนต่างๆโดยที่ a, b, c –

พิกัดที่สอดคล้องกันของจุดที่วางอยู่บนแกน OX, OY และ OZ ตามลำดับ

23. เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด 3 จุด

ให้ 1 (1 , 1 , 1 ) ,2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) – คะแนนที่ได้รับและจุด M(x, y, z) คือจุดที่อยู่ในระนาบที่เกิดจากจุดที่ 1, 2 และ 3 จากนั้นสมการของระนาบจะมี

− 1	− 1	− 1
\| 2 −1	2 − 1	2 −1 \| = 0
3 − 1	3 − 1	3 − 1

24. กำหนดเงื่อนไขความขนานและตั้งฉากของระนาบทั้งสอง

เครื่องบินสองลำ ตั้งฉากถ้าเวกเตอร์ตั้งฉากตั้งฉาก

ระนาบสองระนาบจะขนานกันถ้าเวกเตอร์ตั้งฉากของพวกมันขนานกัน

25. เขียนสูตรสำหรับระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

การหาระยะทางจากจุด 0 (0, 0, 0) ถึงระนาบ

: + + + = 0 ใช้สูตร:(,) = | 0 + 0 + 0 + |

√ 2 +2 +2

26. เขียนตามบัญญัติและ สมการพาราเมตริกตรงไปในอวกาศ อธิบายความหมายทางเรขาคณิตของพารามิเตอร์ต่างๆ ที่รวมอยู่ในสมการเหล่านี้

สมการ ( = 0 + โดยที่ (l; m; n) คือพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง = เส้นตรง L และ

(0 ;0 ;

– เรียกพิกัดของจุด 0 L ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงในอวกาศ

สมการ

− 0

เรียกว่า สมการบัญญัติตรงไปที่

ช่องว่าง.

27. เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในอวกาศ

สมการ

− 1

เรียกว่าสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด

1 (1 ,1 ,1 ) และ 2 (2 ,2 ,2 )

28. เขียนเงื่อนไขให้เส้นตรงสองเส้นอยู่ในระนาบเดียวกัน

ให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ และให้จุด M1 และ M2 อยู่ในเส้น il 1 และ 2 ตามลำดับ จากนั้นเส้นตรงสองเส้นจะอยู่ในระนาบเดียวกันหากผลคูณผสม (a, b, M1 M2) เท่ากับ 0

29. เขียนสูตรระยะทางจากจุดถึงเส้นในอวกาศ

ระยะทางจากจุดที่ 1 ถึงเส้นตรง L สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

30. เขียนสูตรระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน

ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน 1 และ 2 สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

เป็นเจ้าของโดยตรง

1. พิสูจน์เกณฑ์เรขาคณิตสำหรับการพึ่งพาเชิงเส้น เวกเตอร์สามตัว.

เวกเตอร์สามตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงหากพวกมันเป็นแบบระนาบเดียวกัน

การพิสูจน์:

หากเวกเตอร์สามตัว ̅ ,̅ ,̅ มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง ดังนั้นตามทฤษฎีบท 2.1 (เกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์) หนึ่งในนั้น เช่น ̅ คือการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นๆ: ̅ = β̅ + γ̅ . ให้เรารวมต้นกำเนิดของเวกเตอร์ ̅ และ ̅ ที่จุด A จากนั้นเวกเตอร์ β̅ , γ̅ จะมีต้นกำเนิดร่วมกันที่จุด A และตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานผลรวมของพวกมันคือ vector̅ จะเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้น A และจุดสิ้นสุดเป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ของเทอม ดังนั้น เวกเตอร์ทั้งหมดจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน กล่าวคือ เครื่องบินร่วม

ให้เวกเตอร์ ̅ , ̅ , ̅ เป็นระนาบเดียวกัน ถ้าเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ ก็ชัดเจนว่ามันจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของตัวอื่นๆ ก็เพียงพอที่จะรับสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของชุดค่าผสมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าเวกเตอร์ทั้งสามนั้นไม่เป็นศูนย์ ให้เรารวมต้นกำเนิดของเวกเตอร์เหล่านี้เข้าด้วยกัน จุดทั่วไป O. ให้ปลายเป็นจุด A, B, C ตามลำดับ (รูปที่ 2.1) ผ่านจุด C เราวาดเส้นขนานกับเส้นที่ผ่านคู่ของจุด O, A และ O, B การกำหนดจุดตัดเป็น A' และ B' เราจะได้


สี่เหลี่ยมด้านขนาน OA'CB’ ดังนั้น = ′ + ′ . เวกเตอร์′ และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์̅
เป็นเส้นตรง ดังนั้นค่าแรกจึงสามารถหาได้โดยการคูณค่าที่สองด้วย

จำนวนจริง α: ′ = . ในทำนองเดียวกัน′ = , β R เป็นผลให้เราได้รับ, อะไร
	̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
= ′ + ′ เช่น เวกเตอร์̅ คือผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์̅ และ ตามทฤษฎีบท
		̅ ขึ้นอยู่เชิงเส้นตรง
2.1 (เกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์), เวกเตอร์ ̅ ,		̅ ขึ้นอยู่เชิงเส้นตรง

2. พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการขยายตัวของเวกเตอร์เทียบกับฐาน
ทฤษฎีบทว่าด้วยการสลายตัวของเวกเตอร์เทียบกับพื้นฐาน ถ้า = (̅			– พื้นฐาน ̅		= (1, 2, 3) จากนั้น

มีชุดตัวเลข (	...) เช่นนั้น̅= ̅̅̅	̅ + + ̅ ̅ โดยที่ (		...) – พิกัด

เวกเตอร์บนพื้นฐาน

พิสูจน์: (สำหรับ i = 2)

(̅1, ̅2)– พื้นฐาน 2, ̅2

ตามคำจำกัดความของช่องว่าง V2: x, e1, e2 เป็น coplanar => (เกณฑ์สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์ 3 ตัว) => ̅ , ̅ 1, ̅ 2 ขึ้นกับเชิงเส้นตรง => 0 , 1 , 2

0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

กรณีที่ 1: 0 = 0 จากนั้น 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅,1 2 + 2 2 ≠ 0 ซึ่งหมายความว่า 1, 2 ขึ้นกับเชิงเส้นตรง (̅ 1, ̅ 2) – เชิงเส้น ขึ้นอยู่กับ ̅ 1 และ ̅ 2 เป็นเส้นตรง

กรณีที่ 2: 0 ≠ 0

̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0

พิสูจน์แล้วว่ามีอยู่จริง

ให้มี 2 มุมมอง คือ

̅= 1 ̅1 +2 ̅2

ความแตกต่าง:

0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น และสิ่งนี้ขัดแย้งกับคำจำกัดความของ a พื้นฐาน

3. พิสูจน์สมบัติเชิงเส้นของผลิตภัณฑ์สเกลาร์

เมื่อรวมกับการคูณด้วยตัวเลขแล้ว การดำเนินการของการคูณแบบสเกลาร์ก็เชื่อมโยงกัน: (แลม )̅ =

λ(̅ ̅ ).

การคูณสเกลาร์และการบวกเวกเตอร์มีความสัมพันธ์กันด้วยสมบัติการแจกแจง: (̅ +̅ )с̅

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

Q.E.D.

4. หาสูตรสำหรับคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ระบุในลักษณะออร์โธนอร์มอล

การหาสูตรในการคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ระบุในลักษณะออร์โธนอร์มอล

ให้ระบุเวกเตอร์ ̅ และ ̅ จาก 3 ด้วยพิกัดของเวกเตอร์ ̅ ,̅ ̅ :̅ = ( ; ; ),̅ = ( ; ; ) ซึ่งหมายความว่ามีการขยาย̅ =̅ +̅ +̅ ,

. เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติเหล่านี้และคุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .

คำตอบสุดท้ายได้มาจากความจริงที่ว่า orthonormality ของพื้นฐาน̅ ,̅

̅ หมายถึงความเท่าเทียมกัน ̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 ดังนั้น,

̅ ̅ = + +

5. หาสูตรสำหรับคำนวณผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่ระบุด้วยพื้นฐานออร์โธนอร์มัลที่ถูกต้อง

การหาสูตรในการคำนวณผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่ระบุในลักษณะออร์โธนอร์มอล

พิจารณาเวกเตอร์สองตัว ̅

และกำหนดโดยพิกัดของพวกเขาในพื้นฐานออร์โธปกติที่ถูกต้อง

̅ = {

- จากนั้นการขยายตัวของเวกเตอร์เหล่านี้จะเกิดขึ้น: ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

ขึ้นอยู่กับสิ่งเหล่านี้

การส่ง

พีชคณิต

การคูณเวกเตอร์,

เราได้รับ

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

เพื่อให้สูตรผลลัพธ์ง่ายขึ้น โปรดทราบว่ามันคล้ายกับสูตรสำหรับการแยกตัวดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามในแถวที่ 1 มีเพียงเวกเตอร์เท่านั้นแทนที่จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข ดังนั้นเราจึงเขียนสูตรนี้เป็นปัจจัยกำหนดซึ่งคำนวณตามกฎปกติได้ ดีเทอร์มิแนนต์สองบรรทัดนี้จะประกอบด้วยตัวเลข และเวกเตอร์หนึ่งบรรทัด ดังนั้นสูตรในการคำนวณผลคูณเวกเตอร์ด้วยพื้นฐานออร์โธนอร์มอลที่ถูกต้อง̅ ,̅ ̅ สามารถเขียนได้เป็น:

6. พิสูจน์สมบัติเชิงเส้นของผลิตภัณฑ์ผสม

การใช้คุณสมบัติของผลคูณผสมสามารถพิสูจน์ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ได้

ผลิตภัณฑ์ตามปัจจัยแรก:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

สำหรับสิ่งนี้เราจะพบ ผลิตภัณฑ์ดอทเวกเตอร์ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันและเวกเตอร์หน่วยของพื้นฐานมาตรฐาน โดยคำนึงถึงความเป็นเชิงเส้นของผลิตภัณฑ์ผสมด้วยความเคารพต่อปัจจัยที่สอง

เราได้รับ

เหล่านั้น. Abscissa ของเวกเตอร์ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์แล้ว เท่ากับ abscissa ของเวกเตอร์ทางด้านขวา ในทำนองเดียวกัน เราพิสูจน์ว่าลำดับเช่นเดียวกับการประยุกต์ของเวกเตอร์ทั้งสองข้างของค่าเท่ากันนั้นเท่ากันตามลำดับ ดังนั้นสิ่งนี้ เวกเตอร์ที่เท่ากันเนื่องจากพิกัดสัมพันธ์กับพื้นฐานมาตรฐานตรงกัน

7. หาสูตรคำนวณแบบผสม ผลิตภัณฑ์ของสามเวกเตอร์บนพื้นฐานออร์โธนอร์มอลที่ถูกต้อง

ที่มาของสูตรสำหรับการคำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวในลักษณะออร์โธนอร์มัลที่ถูกต้อง

ให้เวกเตอร์ a, b, c ถูกกำหนดโดยพิกัดของเวกเตอร์นั้นในลักษณะออร์โธนอร์มอลที่ถูกต้อง: ̅ = ( ;

), = ( ; ; ), ̅с = ( ; ; ) หากต้องการหาผลิตภัณฑ์ผสม

ลองใช้สูตรในการคำนวณผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

8. หาสูตรสำหรับระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

การหาสูตรสำหรับระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

ให้เราพิจารณาในอวกาศด้วยระนาบ π และจุดใดก็ได้ 0 มาเลือกกัน

สำหรับระนาบ มีหน่วยเวกเตอร์ปกติ n ซึ่งมีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่ง π และให้ ρ(0,

ตั้งแต่ | | = 1.

ถ้าระนาบ π ถูกระบุในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยสมการทั่วไป
Ax + By + Cz + D = 0 จากนั้นเวกเตอร์ปกติของมันคือเวกเตอร์ที่มีพิกัด (A; B; C)
ให้ (0 , 0 , 0 ) และ (1 , 1 , 1 ) เป็นพิกัดของจุด0				และ 1. แล้วความเท่าเทียมกันก็จะตามมา
A 1 +B1 +C1 +D = 0 เนื่องจากจุด M1 เป็นของระนาบและสามารถหาพิกัดได้
̅̅̅̅̅̅̅̅		̅̅̅̅̅̅̅̅					̅̅̅̅̅̅̅̅
เวกเตอร์ 1 0 :		1 0 = (0 − 1; 0 − 1; 0 − 1) การเขียนผลคูณสเกลาร์ ̅ 1 0
รูปแบบพิกัดและการแปลง (5.8) ที่เราได้รับ
	\| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )\|				\| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )\|

			2 + 2+ 2			2 + 2+ 2

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

เนื่องจาก 1 + 1 + 1 = − ดังนั้น ในการคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ คุณต้องแทนที่พิกัดของจุดนั้นลงในสมการทั่วไปของระนาบ จากนั้น ค่าสัมบูรณ์หารผลลัพธ์ด้วยปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน เท่ากับความยาวเวกเตอร์ปกติที่สอดคล้องกัน

9. หาสูตรระยะทางจากจุดถึงเส้นในอวกาศ

ที่มาของสูตรสำหรับระยะทางจากจุดถึงเส้นในอวกาศ

ระยะห่างจากจุดที่ 1 (1, 1, 1) ถึงเส้นตรง L ซึ่งกำหนดโดยสมการมาตรฐาน L:− 0 = − 0 = − 0 สามารถคำนวณได้โดยใช้ผลคูณเวกเตอร์ จริงหรือ,

สมการมาตรฐานของเส้นตรงให้จุด 0 (0, 0, 0) บนเส้นตรงแก่เรา

และเวกเตอร์ทิศทาง ̅ = (l; m; n) ของเส้นนี้ มาสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานบนเวกเตอร์ ̅ และ ̅̅̅̅̅̅̅̅ กัน

จากนั้นระยะทางจากจุดที่ 1 ถึงเส้นตรง L จะเท่ากับความสูง h ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 6.6)

ซึ่งหมายความว่าสามารถคำนวณระยะทางที่ต้องการได้โดยใช้สูตร

	̅̅̅̅̅̅̅̅
(1 ,) =	- 0 1 × \|

10. หาสูตรระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน

ที่มาของสูตรระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน

ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกันสามารถพบได้โดยใช้การผสม

งาน. ให้เส้นตรง 1	และ 2		สมการบัญญัติ เนื่องจากพวกเขา
			̅̅̅̅̅̅̅̅

ถูกกากบาท เวกเตอร์ทิศทาง 1 , 2 และเวกเตอร์ 1 2 ที่เชื่อมต่อจุดบนเส้นตรงไม่ใช่ระนาบเดียวกัน ดังนั้นจึงสามารถสร้างแบบขนานได้ (รูปที่ 6.7)

จากนั้นระยะห่างระหว่างเส้นตรงจะเท่ากับความสูง h ของเส้นขนานนี้ ในทางกลับกัน ความสูงของเส้นขนานสามารถคำนวณได้จากอัตราส่วนของปริมาตรของเส้นขนานต่อพื้นที่ของฐาน ปริมาตรของเส้นขนานเท่ากับโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสมของทั้งสาม เวกเตอร์ที่ระบุและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ฐานของเส้นขนานนั้นเท่ากับโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้น เป็นผลให้เราได้สูตรสำหรับระยะทาง

(1, 2) ระหว่างบรรทัด:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

เวกเตอร์เป็นส่วนกำกับของเส้นตรงในปริภูมิแบบยุคลิด ซึ่งปลายด้านหนึ่ง (จุด A) เรียกว่าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และปลายอีกด้าน (จุด B) ปลายของเวกเตอร์ (รูปที่ 1) เวกเตอร์ถูกกำหนด:

หากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ตรงกัน ก็จะเรียกเวกเตอร์นั้น เวกเตอร์เป็นศูนย์และถูกกำหนดไว้ 0 .

ตัวอย่าง. ให้จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ในปริภูมิสองมิติมีพิกัด ก(12.6) และจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คือพิกัด บี(12.6) แล้วเวกเตอร์ก็คือเวกเตอร์ศูนย์

ความยาวส่วน เอบีเรียกว่า โมดูล (ความยาว, บรรทัดฐาน) เวกเตอร์ และเขียนแทนด้วย | ก- เวกเตอร์ความยาว เท่ากับหนึ่ง, เรียกว่า เวกเตอร์หน่วย- นอกจากโมดูลแล้ว เวกเตอร์ยังมีลักษณะเฉพาะด้วยทิศทาง: เวกเตอร์มีทิศทางจาก กถึง บี- เวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์ ตรงข้ามเวกเตอร์

เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า คอลลิเนียร์ถ้าพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน ในรูป.. เวกเตอร์สีแดง 3 ตัวอยู่ในแนวเดียวกัน เพราะ พวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และเวกเตอร์สีน้ำเงินอยู่ในแนวเดียวกัน เพราะว่า พวกมันนอนอยู่บนเส้นคู่ขนาน สอง เวกเตอร์คอลลิเนียร์ถูกเรียก กำกับอย่างเท่าเทียมกันถ้าปลายอยู่ด้านเดียวกันของเส้นตรงที่เชื่อมจุดเริ่มต้น เรียกว่าเวกเตอร์เชิงเส้นสองตัว กำกับตรงกันข้ามถ้าจุดจบของพวกเขาอยู่เคียงข้างกัน ด้านที่แตกต่างกันจากเส้นตรงที่เชื่อมถึงต้นกำเนิด หากเวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน รังสีเหล่านั้นจะถูกเรียกว่าทิศทางเดียวกันหากรังสีอันใดอันหนึ่งที่เกิดจากเวกเตอร์ตัวหนึ่งมีรังสีที่เกิดจากเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งอยู่ครบถ้วน มิฉะนั้น จะกล่าวว่าเวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม ในรูปที่ 3 เวกเตอร์สีน้ำเงินมีทิศทางเท่ากัน และเวกเตอร์สีแดงมีทิศทางตรงกันข้าม

เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า เท่ากันหากมีโมดูลเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน ในรูปที่ 2 เวกเตอร์จะเท่ากันเพราะว่า โมดูลของพวกเขาเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน

เวกเตอร์ถูกเรียกว่า เครื่องบินร่วมหากพวกเขานอนอยู่บนระนาบเดียวกันหรือในระนาบขนาน

ใน nในปริภูมิเวกเตอร์มิติ ให้พิจารณาเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดที่มีจุดเริ่มต้นตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด จากนั้นเวกเตอร์สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

(1)

ที่ไหน x 1 , x 2 , ..., xnพิกัดจุดสิ้นสุดเวกเตอร์ x.

เรียกว่าเวกเตอร์ที่เขียนในรูปแบบ (1) เวกเตอร์แถวและเวกเตอร์ที่เขียนอยู่ในรูป

(2)

เรียกว่า เวกเตอร์คอลัมน์.

ตัวเลข nเรียกว่า มิติ (ตามลำดับ) เวกเตอร์ ถ้า แล้วเวกเตอร์ก็ถูกเรียก เวกเตอร์เป็นศูนย์(ตั้งแต่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ - เวกเตอร์สองตัว xและ ยจะเท่ากันก็ต่อเมื่อองค์ประกอบที่ตรงกันนั้นเท่ากัน

เวกเตอร์เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานทางเรขาคณิต เวกเตอร์มีลักษณะเป็นตัวเลข (ความยาว) และทิศทาง สามารถจินตนาการด้วยสายตาได้ว่าเป็นส่วนที่มีทิศทาง แม้ว่าเมื่อพูดถึงเวกเตอร์ จะถูกต้องมากกว่าถ้าหมายถึงกลุ่มที่มีทิศทางทั้งหมดซึ่งขนานกันทั้งหมดมี ความยาวเท่ากันและทิศทางเดียวกัน (รูปที่ 1) ตัวอย่างของปริมาณทางกายภาพที่เป็นเวกเตอร์โดยธรรมชาติ ได้แก่ ความเร็ว (ของวัตถุที่เคลื่อนที่ในเชิงแปล) ความเร่ง แรง ฯลฯ

แนวคิดของเวกเตอร์ปรากฏในผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 19 G. Grassmann และนักคณิตศาสตร์ชาวไอริช W. Hamilton; จากนั้นนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์หลายคนก็ยอมรับมันทันที ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่และการประยุกต์ แนวคิดนี้มีบทบาท บทบาทที่สำคัญ- เวกเตอร์ถูกใช้ในกลศาสตร์กาลิเลโอ-นิวตันคลาสสิก (ในกลศาสตร์ของกาลิเลโอ-นิวตัน) การนำเสนอที่ทันสมัย) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ฟิสิกส์ควอนตัม เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์และส่วนอื่นๆ มากมายของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ไม่ต้องพูดถึงการใช้เวกเตอร์ในด้านต่างๆ ของคณิตศาสตร์

แต่ละส่วนกำกับที่ประกอบเป็นเวกเตอร์ (รูปที่ 1) สามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวแทนของเวกเตอร์นี้ได้ เวกเตอร์ที่ตัวแทนเป็นส่วนกำกับที่ไปจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งจะแสดงด้วย ในรูป 1 เรามีนั่นคือ และเป็นเวกเตอร์เดียวกัน (ซึ่งมีตัวแทนทั้งสองส่วนกำกับที่เน้นไว้ในรูปที่ 1) บางครั้งเวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวอักษรตัวเล็กพร้อมลูกศร: , .

เวกเตอร์ที่แสดงโดย "ส่วน" กำกับซึ่งมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกันเรียกว่าศูนย์ มันเขียนแทนด้วย เช่น - เวกเตอร์ขนานกันสองตัวที่มีความยาวเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม เรียกว่าตรงกันข้าม ถ้าเวกเตอร์เขียนแทนด้วย แล้วเวกเตอร์ตรงข้ามก็เขียนแทนด้วย

เรามาตั้งชื่อการดำเนินการพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์กัน

I. การหน่วงเวลาเวกเตอร์จากจุดหนึ่ง ให้เป็นเวกเตอร์แล้วเป็นจุด ในบรรดาเซ็กเมนต์ที่มีทิศทางซึ่งเป็นตัวแทนของเวกเตอร์ จะมีเซ็กเมนต์ที่มีทิศทางเริ่มต้นที่จุดนั้น จุดสิ้นสุดของส่วนที่กำกับนี้เรียกว่าจุดซึ่งเป็นผลมาจากการวางแผนเวกเตอร์จากจุด (รูปที่ 2) การดำเนินการนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

I1. สำหรับจุดใดๆ และเวกเตอร์ใดๆ จะมีเพียงจุดเดียวเท่านั้นที่

การบวกเวกเตอร์ อนุญาต และเป็นเวกเตอร์สองตัว ลองใช้จุดใดก็ได้แล้วพล็อตเวกเตอร์จากจุดนั่นคือ มาหาจุดแบบนั้นกัน (รูปที่ 3) จากนั้นเราพลอตเวกเตอร์จากจุด นั่นคือ เราค้นหาจุดนั้น . เวกเตอร์เรียกว่าผลรวมของเวกเตอร์ และเขียนแทนด้วย สามารถพิสูจน์ได้ว่าผลรวมไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดเช่น หากคุณแทนที่ด้วยจุดอื่น คุณจะได้เวกเตอร์เท่ากับ (รูปที่ 3) จากคำจำกัดความของผลรวมของเวกเตอร์ จะได้ว่าจุดสามจุดใดๆ จะมีความเท่าเทียมกัน

I2:

(“กฎสามจุด”) หากเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ไม่ขนานกัน จะสะดวกในการค้นหาผลรวมโดยใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 4)

ครั้งที่สอง คุณสมบัติหลักของผลรวมของเวกเตอร์แสดงออกมาด้วยความเท่าเทียมกัน 4 ประการต่อไปนี้ (ใช้ได้กับเวกเตอร์ใดๆ , , ):

II2. .

โปรดทราบว่าผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวสามารถหาได้จากการหาผลรวมของเวกเตอร์สองตัวตามลำดับ ตัวอย่างเช่น: .

ในขณะเดียวกันไม่ว่าเราจะเพิ่มลำดับใดก็ตาม เวกเตอร์ที่กำหนดผลลัพธ์ (ดังต่อไปนี้จากคุณสมบัติที่มีชื่อในย่อหน้าที่ II1 และ II2) จะเหมือนเดิมเสมอ ตัวอย่างเช่น:

นอกจากนี้ ในเชิงเรขาคณิต ผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวสามารถหาได้ดังนี้: จำเป็นต้องวางเซ็กเมนต์กำกับที่เป็นตัวแทนของเวกเตอร์เหล่านี้ทีละอัน (เช่น เพื่อให้จุดเริ่มต้นของเซ็กเมนต์กำกับที่สองตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก , จุดเริ่มต้นของวินาทีที่สามกับจุดสิ้นสุดของวินาที ฯลฯ ); แล้วก็เวกเตอร์ จะมีส่วนกำกับ "ปิด" เป็นตัวแทนที่ทำงานตั้งแต่ต้นรายการแรกจนถึงจุดสิ้นสุดของรายการสุดท้าย (รูปที่ 5) (โปรดทราบว่าหากการทับถมตามลำดับดังกล่าวส่งผลให้เกิด "เส้นขาดเวกเตอร์แบบปิด" ดังนั้น .)

III. การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข อนุญาต เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ และเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ Through หมายถึงเวกเตอร์ที่กำหนดโดยเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้: a) ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับ ; b) เวกเตอร์ขนานกับเวกเตอร์และทิศทางของมันจะสอดคล้องกับทิศทางของเวกเตอร์ที่ และตรงข้ามกับที่ (รูปที่ 6) หากค่าเท่ากันอย่างน้อยหนึ่งค่าเป็นจริง ผลิตภัณฑ์จะถือว่าเท่ากับ ดังนั้น ผลคูณจึงถูกกำหนดไว้สำหรับเวกเตอร์และตัวเลขใดๆ

ความเท่าเทียมกัน 4 อย่างต่อไปนี้ (ใช้ได้กับเวกเตอร์และตัวเลขใดๆ ก็ได้) แสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข:

III2. .

III3. .

จากคุณสมบัติเหล่านี้จะมีตัวเลขดังนี้ ข้อเท็จจริงเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการที่พิจารณากับเวกเตอร์ ให้เราสังเกตบางส่วนที่มักใช้ในการแก้ปัญหา

ก) ถ้า เป็นจุดบนส่วนดังกล่าว แล้วสำหรับจุดใดๆ ที่มีความเท่าเทียมกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า อยู่ตรงกลางของกลุ่ม แล้ว .

b) ถ้า เป็นจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม แล้ว - นอกจากนี้ ไม่ว่าจุดใดก็ตามความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง (ทฤษฎีบทสนทนาก็ใช้ได้เช่นกัน)

c) อนุญาต เป็นจุดบนเส้นตรง และปล่อยให้เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ขนานกับเส้นนี้ จุดเป็นของเส้นก็ต่อเมื่อ (โดยที่คือตัวเลขที่แน่นอน)

d) อนุญาต เป็นจุดบนระนาบ และ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์และไม่ขนานกับระนาบนี้ จุดจะเป็นของระนาบก็ต่อเมื่อเวกเตอร์แสดงในรูปของ และ เท่านั้น นั่นคือ -

สุดท้ายนี้ ขอให้เราสังเกตคุณสมบัติของมิติด้วย ซึ่งแสดงถึงความจริงที่ว่าปริภูมินั้นเป็นสามมิติ

IV. ในอวกาศมีเวกเตอร์สามตัว , , โดยไม่มีเวกเตอร์ใดสามารถแสดงในรูปของอีกสองตัวที่เหลือได้ เวกเตอร์ที่สี่ใดๆ จะแสดงในรูปของเวกเตอร์ทั้งสามนี้: - ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: มีการระบุผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ (และไม่ได้กำหนดมุมระหว่างพวกมัน)

คุณสมบัติของการดำเนินการเวกเตอร์ที่ระบุไว้ข้างต้นมีหลายวิธีที่คล้ายคลึงกับคุณสมบัติของการบวกและการคูณตัวเลข ในเวลาเดียวกัน เวกเตอร์ก็คือวัตถุทางเรขาคณิต และใช้แนวคิดทางเรขาคณิต เช่น ความยาวและมุมในการนิยามการดำเนินการของเวกเตอร์ สิ่งนี้จะอธิบายประโยชน์ของเวกเตอร์สำหรับเรขาคณิต (และการประยุกต์กับฟิสิกส์และความรู้สาขาอื่นๆ) อย่างไรก็ตามเพื่อแก้ปัญหา ปัญหาทางเรขาคณิตด้วยความช่วยเหลือของเวกเตอร์ ก่อนอื่นคุณต้องเรียนรู้ที่จะ "แปล" สภาพของปัญหาทางเรขาคณิตเป็น "ภาษา" ของเวกเตอร์ หลังจาก "การแปล" ดังกล่าวแล้ว การคำนวณพีชคณิตด้วยเวกเตอร์จะดำเนินการ จากนั้นผลลัพธ์ของเวกเตอร์ที่ได้จะถูก "แปล" อีกครั้งเป็น "ภาษา" ทางเรขาคณิต นี่คือคำตอบเวกเตอร์ของปัญหาเรขาคณิต

เมื่อนำเสนอหลักสูตรเรขาคณิตที่โรงเรียน เวกเตอร์จะได้รับเป็นแนวคิดที่ชัดเจน (ดูคำจำกัดความ) ดังนั้นสัจพจน์ที่นำมาใช้ในตำราเรียนของโรงเรียน (ดูวิธีสัจพจน์และสัจพจน์) ของเรขาคณิตไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับคุณสมบัติของเวกเตอร์ กล่าวคือ คุณสมบัติทั้งหมดนี้ต้องพิสูจน์เป็นทฤษฎีบท

อย่างไรก็ตาม มีอีกวิธีหนึ่งในการนำเสนอเรขาคณิต ซึ่งแนวคิดเริ่มต้น (ไม่ได้กำหนดไว้) ถือเป็นเวกเตอร์และจุด และคุณสมบัติที่กล่าวมาข้างต้น I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1 -V4 ถือเป็นสัจพจน์ วิธีสร้างเรขาคณิตนี้ถูกเสนอในปี 1917 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน G. Weyl เส้นตรงและระนาบเป็นแนวคิดที่กำหนดไว้ ข้อดีของการก่อสร้างนี้คือความกะทัดรัดและ การเชื่อมต่อแบบอินทรีย์ด้วยความเข้าใจที่ทันสมัยเกี่ยวกับเรขาคณิตทั้งในด้านคณิตศาสตร์และความรู้ด้านอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สัจพจน์ II1-II4, III1-III4 แนะนำสิ่งที่เรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์ที่ใช้ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ ฯลฯ

ในที่สุดฉันก็ได้รับมือกับหัวข้ออันกว้างใหญ่และรอคอยมานานนี้ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- ก่อนอื่นเล็กน้อยเกี่ยวกับ ส่วนนี้ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- ตอนนี้คุณจำหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนที่มีทฤษฎีบทมากมาย การพิสูจน์ ภาพวาด ฯลฯ ได้อย่างแน่นอน สิ่งที่ต้องซ่อน วิชาที่ไม่มีใครรักและมักจะคลุมเครือสำหรับนักเรียนในสัดส่วนที่มีนัยสำคัญ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ที่น่าแปลกก็คืออาจดูน่าสนใจและเข้าถึงได้ง่ายกว่า คำว่า “วิเคราะห์” มีความหมายว่าอย่างไร? วลีทางคณิตศาสตร์ที่ซ้ำซากจำเจสองวลีเข้ามาในใจทันที: "วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก" และ " วิธีการวิเคราะห์โซลูชั่น" วิธีการแบบกราฟิก แน่นอนว่าเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟและภาพวาด วิเคราะห์เดียวกัน วิธีเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา ส่วนใหญ่ผ่านการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต ในเรื่องนี้ อัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์นั้นง่ายและโปร่งใส ซึ่งมักจะเพียงพอที่จะนำไปใช้อย่างระมัดระวัง สูตรที่จำเป็น- และคำตอบก็พร้อมแล้ว! ไม่ แน่นอนว่ามันจะเป็นไปไม่ได้หากไม่มีภาพวาดเลย และนอกจากนั้นสำหรับ ความเข้าใจที่ดีขึ้นฉันจะพยายามจัดหาวัสดุให้มากเกินความจำเป็น

บทเรียนที่เพิ่งเปิดใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิตไม่ได้อ้างว่าเสร็จสมบูรณ์ทางทฤษฎี แต่มุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ ฉันจะรวมเฉพาะสิ่งสำคัญในมุมมองของฉันในการบรรยายเท่านั้น ในแง่การปฏิบัติ- หากคุณต้องการความช่วยเหลือที่สมบูรณ์เพิ่มเติมในส่วนย่อยใด ๆ ฉันขอแนะนำวรรณกรรมที่เข้าถึงได้ง่ายต่อไปนี้:

1) เรื่องที่คนหลายชั่วอายุคนคุ้นเคยกันดี: หนังสือเรียนเรื่องเรขาคณิตของโรงเรียน, ผู้เขียน – แอล.เอส. Atanasyan และบริษัท- ไม้แขวนเสื้อห้องล็อกเกอร์ของโรงเรียนนี้พิมพ์ซ้ำไปแล้ว 20 (!) ซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่ขีดจำกัด

2) เรขาคณิตใน 2 เล่ม- ผู้เขียน แอล.เอส. อตานาเซียน, บาซีเลฟ วี.ที.- นี่คือวรรณกรรมสำหรับ โรงเรียนมัธยมปลายคุณจะต้องการ เล่มแรก- งานที่ไม่ค่อยพบอาจหลุดจากสายตาของฉันและ คู่มือการฝึกอบรมจะให้ความช่วยเหลืออันล้ำค่า

สามารถดาวน์โหลดหนังสือทั้งสองเล่มได้ฟรีทางออนไลน์ นอกจากนี้คุณยังสามารถใช้ไฟล์เก็บถาวรของฉันด้วย โซลูชั่นสำเร็จรูปซึ่งสามารถพบได้บนหน้า ดาวน์โหลดตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง.

จาก เครื่องมือฉันเสนอการพัฒนาของตัวเองอีกครั้ง - แพคเกจซอฟต์แวร์ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ซึ่งจะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นอย่างมาก และประหยัดเวลาได้มาก

ถือว่าผู้อ่านมีความคุ้นเคยกับพื้นฐานแล้ว แนวคิดทางเรขาคณิตและตัวเลข: จุด เส้น ระนาบ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนาน ลูกบาศก์ ฯลฯ ขอแนะนำให้จำทฤษฎีบทบางทฤษฎีอย่างน้อยก็ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสวัสดีผู้ทำซ้ำ)

และตอนนี้เราจะพิจารณาตามลำดับ: แนวคิดของเวกเตอร์, การกระทำกับเวกเตอร์, พิกัดเวกเตอร์ ฉันแนะนำให้อ่านเพิ่มเติม บทความที่สำคัญที่สุด ผลคูณดอทของเวกเตอร์และยัง เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์- งานในท้องถิ่น - การแบ่งส่วนในส่วนนี้ - จะไม่ฟุ่มเฟือยเช่นกัน จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถเชี่ยวชาญได้ สมการของเส้นตรงในระนาบกับ ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งจะช่วยให้ เรียนรู้การแก้ปัญหาเรขาคณิต- บทความต่อไปนี้ก็มีประโยชน์เช่นกัน: สมการของเครื่องบินในอวกาศ, สมการของเส้นตรงในอวกาศ,ปัญหาเบื้องต้นเกี่ยวกับเส้นตรงและระนาบ, ส่วนอื่นๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยปกติแล้ว งานมาตรฐานจะได้รับการพิจารณาไปพร้อมกัน

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ เวกเตอร์ฟรี

ก่อนอื่น เรามาทวนคำจำกัดความของเวกเตอร์แบบโรงเรียนกันก่อน เวกเตอร์เรียกว่า กำกับส่วนที่ระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ใน ในกรณีนี้จุดเริ่มต้นของส่วนคือจุด จุดสิ้นสุดของส่วนคือจุด เวกเตอร์นั้นเขียนแทนด้วย ทิศทางเป็นสิ่งสำคัญ ถ้าคุณเลื่อนลูกศรไปที่ปลายอีกด้านของเซ็กเมนต์ คุณจะได้เวกเตอร์ และมันก็เป็นเช่นนั้นแล้ว เวกเตอร์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง- แนวคิดของเวกเตอร์สามารถระบุได้โดยสะดวกด้วยการเคลื่อนที่ ร่างกาย: ยอมรับว่าการเข้าประตูสถาบันหรือการออกจากประตูสถาบันนั้นแตกต่างอย่างสิ้นเชิง

สะดวกในการพิจารณาแต่ละจุดของเครื่องบินหรืออวกาศตามที่เรียกว่า เวกเตอร์เป็นศูนย์- สำหรับเวกเตอร์ดังกล่าว จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นตรงกัน

- บันทึก: ที่นี่และต่อไป คุณสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกันหรือคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในอวกาศ - สาระสำคัญของวัสดุที่นำเสนอนั้นใช้ได้กับทั้งระนาบและอวกาศ

การกำหนด:หลายคนสังเกตเห็นแท่งไม้นั้นทันทีโดยไม่มีลูกศรอยู่ในชื่อ และบอกว่ามีลูกศรอยู่ด้านบนด้วย! จริงอยู่คุณสามารถเขียนด้วยลูกศร: แต่ก็เป็นไปได้เช่นกัน รายการที่ฉันจะใช้ในอนาคต- ทำไม เห็นได้ชัดว่านิสัยนี้พัฒนาขึ้นด้วยเหตุผลในทางปฏิบัติ เพราะนักกีฬาของฉันที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยกลายเป็นคนที่มีขนาดแตกต่างกันเกินไปและมีขนดก ใน วรรณกรรมการศึกษาบางครั้งพวกเขาไม่สนใจการเขียนอักษรคูนิฟอร์มเลย แต่เน้นที่ตัวอักษร เป็นตัวหนา: แสดงว่ามันคือเวกเตอร์

นั่นคือโวหาร และตอนนี้เกี่ยวกับวิธีการเขียนเวกเตอร์:

1) เวกเตอร์สามารถเขียนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว:
และอื่น ๆ ในกรณีนี้คืออักษรตัวแรก จำเป็นหมายถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และตัวอักษรตัวที่สองหมายถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

2) เวกเตอร์เขียนด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เพื่อความกระชับ เวกเตอร์ของเราสามารถกำหนดใหม่ให้มีขนาดเล็กได้ อักษรละติน.

ความยาวหรือ โมดูลเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าความยาวของเซ็กเมนต์ ความยาวของเวกเตอร์ศูนย์คือศูนย์ ตรรกะ

ความยาวของเวกเตอร์แสดงด้วยเครื่องหมายโมดูลัส: ,

เราจะเรียนรู้วิธีค้นหาความยาวของเวกเตอร์ (หรือเราจะทำซ้ำ ขึ้นอยู่กับว่าใคร) ในภายหลัง

พวกเขาเป็น ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ที่นักเรียนทุกคนคุ้นเคย ในเรขาคณิตวิเคราะห์ที่เรียกว่า เวกเตอร์ฟรี.

พูดง่ายๆ ก็คือ - เวกเตอร์สามารถพล็อตได้จากจุดใดก็ได้:

เราคุ้นเคยกับการเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวว่าเท่ากัน (คำจำกัดความของเวกเตอร์ที่เท่ากันจะได้รับด้านล่าง) แต่มาจากเท่านั้น จุดทางคณิตศาสตร์มุมมองเป็นเวกเตอร์เดียวกันหรือ เวกเตอร์ฟรี- ทำไมฟรี? เพราะในการแก้ปัญหา คุณสามารถ "แนบ" เวกเตอร์นี้หรือเวกเตอร์นั้นกับจุดใดก็ได้ของระนาบหรือพื้นที่ที่คุณต้องการ นี่เป็นคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมมาก! ลองนึกภาพเวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางตามอำเภอใจ - มันสามารถ "โคลน" ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งและ ณ จุดใดก็ได้ในอวกาศ อันที่จริง มันมีอยู่ทุกที่ มีนักเรียนคนหนึ่งพูดว่า: อาจารย์ทุกคนต่างให้ความสำคัญกับเวกเตอร์ ท้ายที่สุดมันไม่ได้เป็นเพียงสัมผัสที่มีไหวพริบเท่านั้น แต่ทุกอย่างถูกต้องทางคณิตศาสตร์ - สามารถแนบเวกเตอร์ไว้ที่นั่นได้เช่นกัน แต่อย่ารีบดีใจนะ นิสิตเองต่างหากที่ต้องทนทุกข์ =)

ดังนั้น, เวกเตอร์ฟรี- นี้ มากมาย ส่วนกำกับที่เหมือนกัน คำจำกัดความของเวกเตอร์ของโรงเรียน ซึ่งให้ไว้ที่ตอนต้นของย่อหน้า: “ส่วนที่กำกับเรียกว่าเวกเตอร์…” โดยนัย เฉพาะเจาะจงส่วนกำกับที่นำมาจาก ชุดที่ให้มาซึ่งเชื่อมโยงกับ จุดใดจุดหนึ่งเครื่องบินหรืออวกาศ

ควรสังเกตว่าจากมุมมองของฟิสิกส์แนวคิดของเวกเตอร์อิสระมา กรณีทั่วไปไม่ถูกต้อง และจุดประยุกต์ของเวกเตอร์ก็มีความสำคัญ อันที่จริงการตีโดยตรงด้วยแรงเดียวกันที่จมูกหรือหน้าผากซึ่งเพียงพอที่จะพัฒนาตัวอย่างโง่ ๆ ของฉันนั้นนำมาซึ่งผลที่ตามมาที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม, ไม่ว่างเวกเตอร์ยังพบได้ในหลักสูตร vyshmat (อย่าไปที่นั่น :))

การดำเนินการกับเวกเตอร์ เส้นตรงของเวกเตอร์

ใน หลักสูตรของโรงเรียนเรขาคณิต พิจารณาการกระทำและกฎจำนวนหนึ่งด้วยเวกเตอร์: การบวกตามกฎสามเหลี่ยม การบวกตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน กฎผลต่างเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ฯลฯเพื่อเป็นจุดเริ่มต้น ให้เราทำซ้ำกฎสองข้อที่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์โดยใช้กฎสามเหลี่ยม

พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวโดยพลการและ:

คุณต้องหาผลบวกของเวกเตอร์พวกนี้ เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งหมดถือว่าฟรี เราจึงแยกเวกเตอร์นั้นออกไป จบเวกเตอร์:

ผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับกฎขอแนะนำให้รวมไว้ด้วย ความหมายทางกายภาพ: ปล่อยให้ร่างกายเคลื่อนที่ไปตามเวกเตอร์ แล้วตามด้วยเวกเตอร์ จากนั้นผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ของเส้นทางผลลัพธ์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่จุดที่มาถึง กฎที่คล้ายกันถูกกำหนดขึ้นสำหรับผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าร่างกายสามารถโน้มตัวไปตามซิกแซกหรืออาจจะเป็นแบบอัตโนมัติ - ไปตามเวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวม

ยังไงก็ตามหากเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไป เริ่มเวกเตอร์ แล้วเราจะได้ค่าที่เท่ากัน กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานการบวกเวกเตอร์

ประการแรก เกี่ยวกับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า คอลลิเนียร์ถ้าพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน เรากำลังพูดถึงประมาณ เวกเตอร์ขนาน- แต่สำหรับคำเหล่านั้น คำคุณศัพท์ "collinear" มักจะถูกใช้เสมอ

ลองนึกภาพเวกเตอร์เชิงเส้นสองตัว หากลูกศรของเวกเตอร์เหล่านี้หันไปในทิศทางเดียวกัน ก็จะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าว ร่วมกำกับ- หากลูกศรชี้ไปในทิศทางที่ต่างกัน เวกเตอร์ก็จะเป็นเช่นนี้ ทิศทางตรงกันข้าม.

การกำหนด:ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ความเท่าเทียมตามปกติ: ในขณะที่รายละเอียดเป็นไปได้: (เวกเตอร์มีทิศทางร่วม) หรือ (เวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม)

การทำงานเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์บนตัวเลขคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ และเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่

กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นง่ายต่อการเข้าใจโดยใช้รูปภาพ:

มาดูรายละเอียดเพิ่มเติม:

1) ทิศทาง หากตัวคูณเป็นลบ แสดงว่าเวกเตอร์ เปลี่ยนทิศทางในทางตรงกันข้าม

2) ความยาว หากตัวคูณอยู่ภายใน หรือ ความยาวของเวกเตอร์ ลดลง- ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์คือครึ่งหนึ่งของความยาวของเวกเตอร์ ถ้าโมดูลัสของตัวคูณมากกว่า 1 แสดงว่าความยาวของเวกเตอร์ เพิ่มขึ้นในบางครั้ง

3) โปรดทราบว่า เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวเดียวกันในขณะที่เวกเตอร์ตัวหนึ่งแสดงผ่านอีกตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าเวกเตอร์ตัวหนึ่งสามารถแสดงผ่านอีกตัวหนึ่งได้ เวกเตอร์นั้นจำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้น: ถ้าเราคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เราจะได้เส้นตรง(สัมพันธ์กับต้นฉบับ) เวกเตอร์.

4) เวกเตอร์มีทิศทางร่วม เวกเตอร์และยังมีกำกับร่วมด้วย เวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มแรกจะมีทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มที่สอง

เวกเตอร์ใดเท่ากัน?

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากอยู่ในทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากัน- โปรดทราบว่าความเป็นทิศทางร่วมหมายถึงความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ คำจำกัดความจะไม่ถูกต้อง (ซ้ำซ้อน) ถ้าเราพูดว่า: “เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน มีทิศทางร่วม และมีความยาวเท่ากัน”

จากมุมมองของแนวคิดของเวกเตอร์อิสระ เวกเตอร์ที่เท่ากันนั้นเป็นเวกเตอร์เดียวกันดังที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า

พิกัดเวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ

ประเด็นแรกคือการพิจารณาเวกเตอร์บนเครื่องบิน ให้เราเป็นตัวแทนของคาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดและต้นทางของพิกัดที่เราเลื่อนออกไป เดี่ยวเวกเตอร์ และ :

เวกเตอร์และ ตั้งฉาก- มุมฉาก = ตั้งฉาก ฉันขอแนะนำให้คุณค่อยๆ ทำความคุ้นเคยกับคำศัพท์เหล่านี้: แทนที่จะใช้ความเท่าเทียมและการตั้งฉาก เราใช้คำตามลำดับ ความสอดคล้องกันและ ตั้งฉาก.

การกำหนด:มุมตั้งฉากของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ตั้งฉากตามปกติ เช่น:

เวกเตอร์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์หรือ ออร์ต- เวกเตอร์เหล่านี้ก่อตัวขึ้น พื้นฐานบนเครื่องบิน ฉันคิดว่าพื้นฐานคืออะไรนั้นชัดเจนสำหรับคนจำนวนมาก ข้อมูลรายละเอียดสามารถพบได้ในบทความ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์กล่าวง่ายๆ ก็คือพื้นฐานและที่มาของพิกัดจะกำหนดทั้งระบบ - นี่คือรากฐานชนิดหนึ่งที่ชีวิตทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์และสมบูรณ์เดือดพล่าน

บางครั้งเรียกว่าพื้นฐานที่สร้างขึ้น ออร์โธนอร์มอลพื้นฐานของระนาบ: "ortho" - เนื่องจากเวกเตอร์พิกัดตั้งฉาก คำคุณศัพท์ "ทำให้เป็นมาตรฐาน" หมายถึงหน่วย เช่น ความยาวของเวกเตอร์ฐานเท่ากับหนึ่ง

การกำหนด:พื้นฐานมักจะเขียนอยู่ในวงเล็บซึ่งข้างใน ตามลำดับอย่างเคร่งครัดเวกเตอร์พื้นฐานจะถูกแสดงรายการไว้ เช่น: เวกเตอร์พิกัด มันเป็นสิ่งต้องห้ามจัดเรียงใหม่

ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นแสดงเป็น:
, ที่ไหน - ตัวเลขซึ่งเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้ และการแสดงออกนั่นเอง เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน .

เสิร์ฟอาหารค่ำ:

เริ่มจากตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษร: . ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเมื่อแยกย่อยเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน จะใช้สิ่งที่เพิ่งกล่าวถึง:
1) กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: และ ;
2) การบวกเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยม: .

ทีนี้ ให้พลอตเวกเตอร์จากจุดอื่นใดบนระนาบทางจิตใจ เห็นได้ชัดว่าความเสื่อมสลายของเขาจะ "ติดตามเขาอย่างไม่ลดละ" นี่คืออิสรภาพของเวกเตอร์ - เวกเตอร์ "นำทุกสิ่งมาด้วยตัวมันเอง" แน่นอนว่าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์ใดๆ เป็นเรื่องตลกที่ไม่จำเป็นต้องลงจุดเวกเตอร์พื้นฐาน (ฟรี) จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถวาดเวกเตอร์ตัวหนึ่งที่ด้านล่างซ้ายและอีกตัวที่มุมขวาบนและจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง! จริงอยู่ คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ เนื่องจากครูจะแสดงความคิดริเริ่มและดึง "เครดิต" ให้คุณในสถานที่ที่ไม่คาดคิด

เวกเตอร์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เวกเตอร์นั้นมีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ฐาน เวกเตอร์นั้นอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ฐาน สำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ พิกัดตัวใดตัวหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ คุณสามารถเขียนมันอย่างพิถีพิถันได้ดังนี้:

และเวกเตอร์พื้นฐานก็เป็นดังนี้: (อันที่จริงพวกมันแสดงออกมาผ่านตัวมันเอง)

และสุดท้าย: , . ว่าแต่ การลบเวกเตอร์คืออะไร แล้วทำไมฉันไม่พูดถึงกฎการลบล่ะ ที่ไหนสักแห่งในพีชคณิตเชิงเส้น ฉันจำไม่ได้ว่าอยู่ที่ไหน ฉันสังเกตว่าการลบคืออะไร กรณีพิเศษส่วนที่เพิ่มเข้าไป. ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ “de” และ “e” จึงเขียนเป็นผลรวมได้อย่างง่ายดาย: , - จัดเรียงคำศัพท์ใหม่และดูว่าการบวกเวกเตอร์แบบเก่าตามกฎสามเหลี่ยมทำงานได้ดีเพียงใดในสถานการณ์เหล่านี้

การพิจารณาสลายตัวของแบบฟอร์ม บางครั้งเรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ในระบบออร์ต(เช่น ในระบบเวกเตอร์หน่วย) แต่นี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการเขียนเวกเตอร์ ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติ:

หรือมีเครื่องหมายเท่ากับ:

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้: และ

นั่นคือพิกัดของเวกเตอร์จะแสดงอยู่ในวงเล็บ ในปัญหาเชิงปฏิบัติ จะใช้ตัวเลือกสัญลักษณ์ทั้งสามแบบ

ฉันสงสัยว่าจะพูดหรือไม่ แต่ฉันจะพูดต่อไป: พิกัดเวกเตอร์ไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้. อย่างเคร่งครัดเป็นอันดับแรกเขียนพิกัดที่สอดคล้องกัน เวกเตอร์หน่วย , เคร่งครัดเป็นอันดับสองเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย แท้จริงแล้ว และ เป็นเวกเตอร์สองตัวที่ต่างกัน

เราหาพิกัดบนเครื่องบินได้ ทีนี้ลองดูเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ เกือบทุกอย่างจะเหมือนกันตรงนี้! มันจะเพิ่มอีกหนึ่งพิกัด การสร้างภาพวาดสามมิติเป็นเรื่องยาก ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อยู่ที่เวกเตอร์เพียงตัวเดียว ซึ่งเพื่อความเรียบง่ายฉันจะแยกออกจากจุดกำเนิด:

ใดๆเวกเตอร์ พื้นที่สามมิติสามารถ วิธีเดียวเท่านั้นขยายออกไปตามหลักออร์โธนอร์มอล:
โดยที่พิกัดของเวกเตอร์ (ตัวเลข) อยู่ที่ไหนบนพื้นฐานนี้

ตัวอย่างจากภาพ: - มาดูกันว่ากฎเวกเตอร์ทำงานอย่างไรที่นี่ ขั้นแรก ให้คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: (ลูกศรสีแดง) (ลูกศรสีเขียว) และ (ลูกศรราสเบอร์รี่) ประการที่สอง นี่คือตัวอย่างของการเพิ่มหลายรายการในนี้ กรณีที่สาม, เวกเตอร์: . เวกเตอร์ผลรวมเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นเริ่มต้น (จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์) และสิ้นสุดที่จุดสุดท้ายที่มาถึง (จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์)

เวกเตอร์ทั้งหมดของพื้นที่สามมิตินั้นเป็นอิสระเช่นกัน พยายามแยกเวกเตอร์ออกจากจุดอื่นในใจแล้วคุณจะเข้าใจว่าการสลายตัวของมัน "จะยังคงอยู่กับมัน"

เช่นเดียวกัน กรณีแบนนอกเหนือจากการบันทึก รุ่นที่มีวงเล็บปีกกาใช้กันอย่างแพร่หลาย: ทั้ง .

หากไม่มีเวกเตอร์พิกัดหนึ่ง (หรือสอง) ตัวในส่วนขยาย ก็จะใส่ศูนย์เข้าไปแทนที่ ตัวอย่าง:
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกัน

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้:

นั่นอาจเป็นขั้นต่ำทั้งหมด ความรู้ทางทฤษฎีจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาเรขาคณิตวิเคราะห์ อาจมีคำศัพท์และคำจำกัดความมากมาย ดังนั้น แนะนำให้หุ่นอ่านทำความเข้าใจอีกครั้ง ข้อมูลนี้อีกครั้ง. และจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้อ่านทุกคนในการอ้างอิง บทเรียนพื้นฐานเพื่อการดูดซึมวัสดุได้ดีขึ้น ความเป็นเส้นตรง, ความตั้งฉาก, พื้นฐาน orthonormal, การสลายตัวของเวกเตอร์ - แนวคิดเหล่านี้และแนวคิดอื่น ๆ มักจะถูกนำมาใช้ในอนาคต ฉันต้องการทราบว่าเนื้อหาของไซต์ไม่เพียงพอที่จะผ่านการทดสอบทางทฤษฎีหรือการประชุมสัมนาเกี่ยวกับเรขาคณิต เนื่องจากฉันเข้ารหัสทฤษฎีบททั้งหมดอย่างระมัดระวัง (และไม่มีการพิสูจน์) - เพื่อสร้างความเสียหายให้กับ สไตล์วิทยาศาสตร์การนำเสนอ แต่จะเป็นการบวกกับความเข้าใจของคุณในเรื่องนี้ หากต้องการรับข้อมูลทางทฤษฎีโดยละเอียด โปรดโค้งคำนับศาสตราจารย์อตานาสยาน

และเราไปยังส่วนที่ใช้งานได้จริง:

ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์
การดำเนินการกับเวกเตอร์ในพิกัด

ขอแนะนำอย่างยิ่งให้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหางานที่จะได้รับการพิจารณาโดยอัตโนมัติและสูตร จดจำไม่ต้องจำเจาะจงด้วยซ้ำ พวกเขาจะจำตัวเองได้ =) สิ่งนี้สำคัญมาก เพราะด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างเบื้องต้นปัญหาอื่น ๆ ของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์นั้นขึ้นอยู่กับ และมันจะน่ารำคาญที่จะใช้เวลาเพิ่มเติมในการกินเบี้ย ไม่จำเป็นต้องติดกระดุมบนเสื้อของคุณเพราะมีหลายสิ่งหลายอย่างที่คุณคุ้นเคยจากโรงเรียน

การนำเสนอเนื้อหาจะดำเนินไปในทิศทางคู่ขนาน - ทั้งสำหรับเครื่องบินและอวกาศ ด้วยเหตุผลที่ว่าทุกสูตร...คุณจะเห็นเอง

จะหาเวกเตอร์จากจุดสองจุดได้อย่างไร?

หากให้จุดสองจุดของระนาบแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

หากให้จุดสองจุดในอวกาศแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

นั่นคือ จากพิกัดจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คุณต้องลบพิกัดที่เกี่ยวข้อง จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์.

ออกกำลังกาย:สำหรับจุดเดียวกัน ให้เขียนสูตรในการหาพิกัดของเวกเตอร์ สูตรในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 1

ให้จุดสองจุดของระนาบและ. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์

สารละลาย:ตามสูตรที่เหมาะสม:

หรืออาจใช้รายการต่อไปนี้:

สุนทรียศาสตร์จะตัดสินสิ่งนี้:

โดยส่วนตัวแล้วฉันคุ้นเคยกับการบันทึกเวอร์ชันแรกแล้ว

คำตอบ:

ตามเงื่อนไขนั้น ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาด (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์) แต่เพื่อที่จะชี้แจงบางจุดสำหรับหุ่นจำลอง ฉันจะไม่ขี้เกียจ:

คุณต้องเข้าใจอย่างแน่นอน ความแตกต่างระหว่างพิกัดจุดและพิกัดเวกเตอร์:

พิกัดจุด– เป็นพิกัดสามัญในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ใส่คะแนน ประสานงานเครื่องบินฉันคิดว่าทุกคนสามารถทำได้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 แต่ละจุดมีสถานที่ที่เข้มงวดบนเครื่องบินและไม่สามารถเคลื่อนย้ายไปที่ใดก็ได้

พิกัดของเวกเตอร์– นี่คือการขยายตามพื้นฐาน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ใดๆ ก็ตามนั้นฟรี ดังนั้นหากจำเป็น เราก็สามารถย้ายมันออกจากจุดอื่นบนเครื่องบินได้อย่างง่ายดาย สิ่งที่น่าสนใจคือสำหรับเวกเตอร์ คุณไม่จำเป็นต้องสร้างแกนหรือระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเลย คุณเพียงต้องการพื้นฐานเท่านั้น ในกรณีนี้คือพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของระนาบ

บันทึกพิกัดของจุดและพิกัดของเวกเตอร์ดูเหมือนจะคล้ายกัน: , และ ความหมายของพิกัดอย่างแน่นอน แตกต่างและคุณควรตระหนักดีถึงความแตกต่างนี้ แน่นอนว่าความแตกต่างนี้ใช้ได้กับพื้นที่ด้วย

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ เรามาเติมมือกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 2

ก) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ .
b) ให้คะแนน และ . ค้นหาเวกเตอร์และ.
c) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ .
d) ให้คะแนน ค้นหาเวกเตอร์ .

บางทีนั่นอาจจะเพียงพอแล้ว นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระพยายามอย่าละเลยสิ่งเหล่านั้น มันจะได้ผลตอบแทน ;-) ไม่จำเป็นต้องวาดรูป แนวทางแก้ไขและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

สิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คืออะไร?สิ่งสำคัญคือต้องระมัดระวังเป็นอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดแบบ "สองบวกสองเท่ากับศูนย์" อย่างเชี่ยวชาญ ฉันขอโทษทันทีหากฉันทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง =)

จะหาความยาวของส่วนได้อย่างไร?

ความยาวตามที่ระบุไว้แล้วจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายโมดูลัส

หากให้จุดสองจุดของระนาบ และ ความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

หากมีการกำหนดสองจุดในอวกาศความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

บันทึก: สูตรจะยังคงถูกต้องหากมีการสลับพิกัดที่เกี่ยวข้อง: และ แต่ตัวเลือกแรกจะเป็นมาตรฐานมากกว่า

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:ตามสูตรที่เหมาะสม:

คำตอบ:

เพื่อความชัดเจนฉันจะวาดรูป

ส่วน – นี่ไม่ใช่เวกเตอร์และแน่นอนว่าคุณไม่สามารถเคลื่อนย้ายมันไปไหนได้ นอกจากนี้ หากคุณวาดเป็นขนาด: 1 หน่วย = 1 ซม. (เซลล์สมุดบันทึกสองเซลล์) ดังนั้นคำตอบที่ได้จึงสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ไม้บรรทัดธรรมดาโดยการวัดความยาวของส่วนนั้นโดยตรง

ใช่ วิธีแก้ปัญหานั้นสั้น แต่ก็มีอีกสองสามข้อในนั้น จุดสำคัญที่ข้าพเจ้าอยากจะชี้แจงว่า

ประการแรก เราใส่มิติข้อมูลลงในคำตอบ: "หน่วย" สภาพไม่ได้บอกว่ามันคืออะไร มิลลิเมตร เซนติเมตร เมตร หรือกิโลเมตร ดังนั้น วิธีแก้ไขที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์คือสูตรทั่วไป: "หน่วย" - เรียกโดยย่อว่า "หน่วย"

ประการที่สอง ให้เราทำซ้ำเนื้อหาของโรงเรียนซึ่งมีประโยชน์ไม่เพียง แต่สำหรับงานที่พิจารณาเท่านั้น:

โปรดทราบ สำคัญ เทคนิคทางเทคนิค – ลบตัวคูณออกจากใต้รูท- จากการคำนวณ เราได้ผลลัพธ์ และรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ดีคือการลบปัจจัยออกจากใต้ราก (ถ้าเป็นไปได้) รายละเอียดเพิ่มเติมกระบวนการมีลักษณะดังนี้: - แน่นอนว่าการทิ้งคำตอบไว้อย่างที่เป็นอยู่นั้นไม่ใช่ความผิดพลาด แต่แน่นอนว่ามันจะเป็นข้อบกพร่องและเป็นข้อโต้แย้งที่หนักหน่วงสำหรับการพูดเล่นของครู

ต่อไปนี้เป็นกรณีทั่วไปอื่นๆ:

มักมีเพียงพอที่ราก จำนวนมาก, ตัวอย่างเช่น . จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ใช้เครื่องคิดเลขตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่: ใช่แล้ว มันถูกแบ่งแยกโดยสิ้นเชิง ดังนี้: - หรือบางทีตัวเลขสามารถหารด้วย 4 อีกครั้งได้? - ดังนั้น: - หลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นเลขคี่ ดังนั้นการหารด้วย 4 เป็นครั้งที่สามจะไม่ได้ผลอย่างเห็นได้ชัด ลองหารด้วยเก้า: . เป็นผลให้:
พร้อม.

บทสรุป:หากเราได้รับตัวเลขที่ไม่สามารถแยกออกมาทั้งหมดได้ภายใต้รูทเราจะพยายามลบตัวประกอบออกจากใต้รูท - ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย: 4, 9, 16, 25, 36 หรือไม่ 49 เป็นต้น

เมื่อแก้ไขปัญหาต่าง ๆ มักพบรากเหง้า พยายามดึงปัจจัยจากใต้รากเสมอเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเกรดต่ำกว่าและไม่จำเป็นในการสรุปวิธีแก้ปัญหาตามความคิดเห็นของครู

เรามาทำซ้ำการยกกำลังสองและค่ากำลังอื่นๆ กัน:

กฎสำหรับการดำเนินการที่มีองศาเข้า มุมมองทั่วไปสามารถพบได้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับพีชคณิต แต่ฉันคิดว่าจากตัวอย่างที่ให้มา ทุกอย่างหรือเกือบทุกอย่างก็ชัดเจนอยู่แล้ว

งานสำหรับโซลูชันอิสระที่มีส่วนในพื้นที่:

ตัวอย่างที่ 4

คะแนนและได้รับ ค้นหาความยาวของส่วน.

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

จะหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร?

หากให้เวกเตอร์ระนาบมา สูตรจะคำนวณความยาวของเวกเตอร์

หากกำหนดเวกเตอร์อวกาศ ความยาวจะถูกคำนวณโดยสูตร .