วิธีการหาจุดศูนย์ถ่วงของรูปร่างที่มีรูปร่างผิดปกติ การหาจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายคุณ

ผู้เขียน: มาสร้างรูปร่างตามอำเภอใจกันเถอะ เป็นไปได้ไหมที่จะแขวนไว้บนเส้นด้ายเพื่อให้หลังจากแขวนแล้วจะคงตำแหน่งไว้ (เช่นไม่เริ่มหมุน) เมื่อ ใดๆปฐมนิเทศเบื้องต้น (รูปที่ 27.1)?

กล่าวอีกนัยหนึ่งมีจุดดังกล่าวซึ่งสัมพันธ์กับผลรวมของโมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อส่วนต่าง ๆ ของร่างกายจะเท่ากับศูนย์ที่ ใดๆการวางแนวของร่างกายในอวกาศ?

ผู้อ่าน: ใช่ฉันก็คิดว่าอย่างนั้น. จุดดังกล่าวเรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

การพิสูจน์.เพื่อความง่าย ให้พิจารณาร่างกายในรูปแบบของจานแบนที่มีรูปร่างตามอำเภอใจซึ่งจัดวางโดยพลการในอวกาศ (รูปที่ 27.2) ใช้ระบบพิกัด X 0ที่โดยมีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวล - จุด จาก, แล้ว x C = 0, ที่ C = 0.

เราเป็นตัวแทนของร่างกายนี้เป็นกลุ่มของมวลจุดจำนวนมาก ฉันตำแหน่งของแต่ละตำแหน่งถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี

โดยนิยามของจุดศูนย์กลางมวล และพิกัด x C = .

เนื่องจากในระบบพิกัดของเรา x C= 0 แล้ว ลองคูณสมการนี้ด้วย gและรับ

ดังจะเห็นได้จากรูปที่ 27.2, | x ฉัน| คือไหล่ของความแข็งแกร่ง และถ้า x ฉัน> 0 แล้วโมเมนต์ของแรง ฉัน> 0 และถ้า x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x ฉันช่วงเวลาแห่งพลังจะเป็น M ผม = ม. ผม ก. ผม .จากนั้นความเท่าเทียมกัน (1) จะเท่ากับ โดยที่ ฉันคือโมเมนต์ของแรงโน้มถ่วง และนี่หมายความว่าด้วยการวางแนวตามอำเภอใจของร่างกาย ผลรวมของโมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อร่างกายจะเท่ากับศูนย์เมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล

เพื่อให้ร่างกายที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในดุลยภาพ จำเป็นต้องประยุกต์ใช้กับมัน ณ จุดหนึ่ง จากบังคับ ตู่ = มก.ชี้ขึ้นในแนวตั้ง โมเมนต์ของแรงนี้เกี่ยวกับจุดนั้น จากเท่ากับศูนย์

เนื่องจากการให้เหตุผลของเราไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าร่างกายวางตัวในอวกาศอย่างไร เราจึงพิสูจน์ว่าจุดศูนย์ถ่วงตรงกับจุดศูนย์กลางมวล ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ปัญหา 27.1จงหาจุดศูนย์ถ่วงของแท่งยาวไร้น้ำหนัก lที่ปลายซึ่งมวลสองจุดได้รับการแก้ไข t 1 และ t 2 .

t 1 t 2 l	วิธีการแก้. เราจะไม่มองหาจุดศูนย์ถ่วง แต่มองหาจุดศูนย์กลางมวล (เนื่องจากเป็นจุดศูนย์กลางเดียวกัน) มาแนะนำแกน X(รูปที่ 27.3) ข้าว. 27.3
x C =?

ตอบ: ห่างจากมวล t 1 .

หยุด! ตัดสินใจด้วยตัวเอง: B1-B3

งบ 1 . หากตัวแบนที่เป็นเนื้อเดียวกันมีแกนสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่บนแกนนี้

แท้จริงแล้วสำหรับมวลจุดใด ๆ ฉันซึ่งอยู่ทางด้านขวาของแกนสมมาตร มีมวลจุดเดียวกันตั้งอยู่อย่างสมมาตรเทียบกับจุดแรก (รูปที่ 27.4) ในกรณีนี้ ผลรวมของโมเมนต์ของแรง .

เนื่องจากร่างกายทั้งหมดสามารถแสดงโดยแบ่งออกเป็นคู่ของจุดที่คล้ายกัน โมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงทั้งหมดที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกนสมมาตรจึงเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายก็ตั้งอยู่บนแกนนี้เช่นกัน สิ่งนี้นำไปสู่ข้อสรุปที่สำคัญ: ถ้าร่างกายมีแกนสมมาตรหลายแกน จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ที่จุดตัดของแกนเหล่านี้(รูปที่ 27.5)

ข้าว. 27.5

คำชี้แจง 2. ถ้าสองร่างมีมวล t 1 และ t 2 เชื่อมต่อเป็นหนึ่งเดียว จากนั้นจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายดังกล่าวจะอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุที่หนึ่งและที่สอง (รูปที่ 27.6)

ข้าว. 27.6 ข้าว. 27.7

การพิสูจน์.ให้เราจัดเรียงตัวคอมโพสิตเพื่อให้ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายอยู่ในแนวตั้ง แล้วผลรวมของโมเมนต์แรงโน้มถ่วงของร่างแรกเทียบกับจุดนั้น จาก 1 เท่ากับศูนย์ และผลรวมของโมเมนต์แรงโน้มถ่วงของวัตถุที่สองรอบจุดนั้น จาก 2 เป็นศูนย์ (รูปที่ 27.7)

สังเกตว่า ไหล่แรงโน้มถ่วงของมวลจุดใดๆ Tiเช่นเดียวกันกับจุดใด ๆ ในส่วนนี้ จาก 1 จาก 2 และด้วยเหตุนี้โมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ ที่วางอยู่บนเซกเมนต์ จาก 1 จาก 2 เหมือนกันครับ ดังนั้นแรงโน้มถ่วงของร่างกายทั้งหมดจึงเป็นศูนย์เมื่อเทียบกับจุดใด ๆ บนเซกเมนต์ จาก 1 จาก 2. ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของตัวคอมโพสิตจึงอยู่บนเซกเมนต์ จาก 1 จาก 2 .

ข้อความที่ 2 แสดงถึงข้อสรุปเชิงปฏิบัติที่สำคัญซึ่งมีการกำหนดไว้อย่างชัดเจนในรูปแบบของคำสั่ง

คำแนะนำ,

จะหาจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่แข็งกระด้างได้อย่างไรถ้ามันหักได้

ออกเป็นส่วน ๆ ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละตำแหน่งเป็นที่รู้จัก

1. แทนที่แต่ละส่วนด้วยมวลที่จุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้น

2. ค้นหา จุดศูนย์ถ่วง(ซึ่งเท่ากับจุดศูนย์ถ่วง) ของระบบผลลัพธ์ของมวลจุด โดยเลือกระบบพิกัดที่สะดวก X 0ที่ตามสูตร:

อันที่จริง ให้เราวางตำแหน่งตัวประกอบในลักษณะที่ส่วน จาก 1 จาก 2 เป็นแนวนอนและเราจะแขวนไว้บนเส้นด้ายที่จุด จาก 1 และ จาก 2 (รูปที่ 27.8, เอ). เป็นที่ชัดเจนว่าร่างกายจะอยู่ในภาวะสมดุล และความสมดุลนี้จะไม่ถูกรบกวนหากเราแทนที่ร่างกายแต่ละส่วนด้วยมวลจุด t 1 และ t 2 (รูปที่ 27.8, ข).

ข้าว. 27.8

หยุด! ตัดสินใจด้วยตัวเอง: C3

ปัญหา 27.2วางลูกบอลมวลไว้ที่จุดยอดสองจุดของสามเหลี่ยมด้านเท่า tแต่ละ. จุดยอดที่สามมีลูกบอลมวล 2 t(รูปที่ 27.9, เอ). ด้านสามเหลี่ยม เอ. กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของระบบนี้

t 2t เอ	ข้าว. 27.9
x C = ? ที่ C = ?

วิธีการแก้. แนะนำระบบพิกัด X 0ที่(รูปที่ 27.9, ข). แล้ว

,

.

ตอบ: x C = เอ/2; ; จุดศูนย์ถ่วงอยู่ที่ความสูงครึ่งหนึ่ง AD.

หัวข้อนี้ค่อนข้างง่ายในการเรียนรู้ แต่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งเมื่อศึกษาหลักสูตรความแข็งแรงของวัสดุ ควรให้ความสนใจหลักในการแก้ปัญหาทั้งรูปทรงแบนและเรขาคณิต และด้วยโปรไฟล์รีดมาตรฐาน

คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง

1. จุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานคืออะไร?

จุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานคือจุดที่เส้นของระบบผลลัพธ์ของแรงคู่ขนานที่ใช้ผ่านจุดที่กำหนด โดยมีการเปลี่ยนแปลงทิศทางของแรงเหล่านี้ในอวกาศ

2. จะหาพิกัดจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานได้อย่างไร?

ในการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน เราใช้ทฤษฎีบทวาริญง

แกนญาติ x

Mx(R) = ΣMx(Fk), - y C R = Σy kFk และ y C = Σy kFk /Σ Fk .

แกนญาติ y

M y (R) = ΣM y (Fk), - x C R = Σx kFk และ x C = Σx kFk /Σ Fk .

เพื่อกำหนดพิกัด z C , หมุนแรงทั้งหมด 90° เพื่อให้ขนานกับแกน y (รูปที่ 1.5, ข). แล้ว

M z (R) = ΣM z (Fk), - z C R = Σz kFk และ z C = Σz kFk /Σ Fk .

ดังนั้น สูตรการหาเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานจึงอยู่ในรูป

r C = Σr kFk /Σ Fk.

3. จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายคืออะไร?

จุดศูนย์ถ่วง - จุดที่เชื่อมต่อกับวัตถุแข็งอย่างสม่ำเสมอซึ่งผลของแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่ออนุภาคของวัตถุนี้ผ่านตำแหน่งใด ๆ ของร่างกายในอวกาศ สำหรับร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยมีจุดศูนย์กลางสมมาตร (วงกลม ลูกบอล ลูกบาศก์ ฯลฯ) จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ที่จุดศูนย์กลางสมมาตรของร่างกาย ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุแข็งกระด้างเกิดขึ้นพร้อมกับตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล

4. จะหาจุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม วงกลม ได้อย่างไร?

ในการหาจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม คุณต้องวาดรูปสามเหลี่ยม - ตัวเลขที่ประกอบด้วยสามส่วนที่เชื่อมต่อกันที่จุดสามจุด ก่อนที่คุณจะหาจุดศูนย์ถ่วงของรูปได้ คุณต้องใช้ไม้บรรทัดวัดความยาวของด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ทำเครื่องหมายที่ตรงกลางด้านข้างหลังจากนั้นเชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามกับกึ่งกลางของส่วนด้วยเส้นที่เรียกว่าค่ามัธยฐาน ทำซ้ำอัลกอริธึมเดียวกันกับด้านที่สองของสามเหลี่ยมแล้วกับด้านที่สาม ผลงานของคุณจะเป็นค่ามัธยฐานสามตัวที่ตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งจะเป็นจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม หากจำเป็นต้องกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของจานทรงกลมของโครงสร้างที่เป็นเนื้อเดียวกัน ให้หาจุดตัดของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมก่อน จะเป็นศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงของร่างกายนี้ เมื่อพิจารณาจากตัวเลขต่างๆ เช่น ลูกบอล ห่วง และสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เป็นเนื้อเดียวกัน เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าจุดศูนย์ถ่วงของห่วงจะอยู่ที่ศูนย์กลางของรูป แต่นอกจุด จุดศูนย์ถ่วงของลูกบอลคือ จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตของทรงกลม และในกรณีหลัง จุดศูนย์ถ่วงคือจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

5. จะหาพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของส่วนคอมโพสิตแบบเรียบได้อย่างไร?

วิธีการแบ่งพาร์ติชัน:ถ้าร่างแบนสามารถแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ได้จำนวน จำกัด ซึ่งแต่ละตำแหน่งทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงแล้วพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างทั้งหมดจะถูกกำหนดโดยสูตร:

X C = ( s k x k) / S; Y C = ( s k y k) / S,

โดยที่ x k, y k คือพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนต่างๆ ของรูป

s k - พื้นที่ของพวกเขา

S \u003d s k - พื้นที่ของตัวเลขทั้งหมด

6. จุดศูนย์ถ่วง

1. ในกรณีใดที่จะกำหนดพิกัดหนึ่งโดยการคำนวณเพื่อหาจุดศูนย์ถ่วงเพียงพอ?

ในกรณีแรกเพื่อหาจุดศูนย์ถ่วงก็เพียงพอที่จะกำหนดพิกัดหนึ่ง ๆ ร่างกายแบ่งออกเป็นชิ้นส่วนจำนวน จำกัด ซึ่งแต่ละตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วง ค และพื้นที่ ส เป็นที่รู้จัก. ตัวอย่างเช่น การฉายภาพร่างบนระนาบ xOy (รูปที่ 1) สามารถแสดงเป็นรูปแบนสองรูปที่มีพื้นที่ S1 และ S2 (S = S 1 + S 2 ). จุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขเหล่านี้อยู่ที่จุด C 1 (x 1 , y 1) และ C 2 (x 2 , y 2) . แล้วพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายคือ

เนื่องจากจุดศูนย์กลางของตัวเลขอยู่บนแกน y (x = 0) เราจึงพบเฉพาะพิกัด เรา.

2 พื้นที่ของหลุมในรูปที่ 4 นำมาพิจารณาในสูตรสำหรับกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของรูปอย่างไร?

วิธีมวลลบ

วิธีนี้ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าร่างกายที่มีฟันผุฟรีถือเป็นของแข็ง และมวลของฟันผุอิสระถือเป็นค่าลบ รูปแบบของสูตรการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายไม่เปลี่ยนแปลง

ดังนั้น เมื่อกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่มีโพรงว่าง ควรใช้วิธีการแบ่งส่วน แต่ควรพิจารณามวลของฟันผุเป็นค่าลบ

มีความคิดเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานและคุณสมบัติของมัน

รู้สูตรสำหรับกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างแบน

สามารถกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างแบนของรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายและโปรไฟล์รีดมาตรฐาน

องค์ประกอบของจลนศาสตร์และไดนามิก
เมื่อศึกษาจลนศาสตร์ของจุดแล้ว ให้ใส่ใจกับความจริงที่ว่าการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุดทั้งที่ไม่สม่ำเสมอและสม่ำเสมอนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยการเร่งความเร็วปกติ (สู่ศูนย์กลาง) ด้วยการเคลื่อนที่แบบแปลนของวัตถุ (แสดงโดยการเคลื่อนที่ของจุดใดๆ ของมัน) สูตรทั้งหมดของจลนศาสตร์ของจุดจึงมีผลบังคับใช้ สูตรสำหรับการกำหนดค่าเชิงมุมของวัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่มีการเปรียบเทียบความหมายที่สมบูรณ์กับสูตรสำหรับการกำหนดค่าเชิงเส้นที่สอดคล้องกันของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบแปลน

หัวข้อ 1.7. จลนศาสตร์จุด
เมื่อศึกษาหัวข้อนี้ ให้ใส่ใจกับแนวคิดพื้นฐานของจลนศาสตร์: การเร่งความเร็ว, ความเร็ว, เส้นทาง, ระยะทาง

คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง

1. สัมพัทธภาพของแนวคิดเรื่องการพักผ่อนและการเคลื่อนไหวคืออะไร?

การเคลื่อนไหวทางกลคือการเปลี่ยนแปลงในการเคลื่อนไหวของร่างกาย หรือ (ส่วนต่างๆ ของร่างกาย) ในอวกาศที่สัมพันธ์กับวัตถุอื่นๆ เมื่อเวลาผ่านไป การหมุนของหินที่ถูกขว้าง การหมุนของล้อเป็นตัวอย่างของการเคลื่อนไหวทางกล

2. กำหนดแนวคิดพื้นฐานของจลนศาสตร์: วิถี, ระยะทาง, เส้นทาง, ความเร็ว, ความเร่ง, เวลา

ความเร็วเป็นการวัดการเคลื่อนที่ของจุดโดยระบุลักษณะความเร็วของการเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งในอวกาศ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ กล่าวคือ มันไม่เพียงแสดงลักษณะเฉพาะโดยโมดูล (ส่วนประกอบสเกลาร์) แต่ยังรวมถึงทิศทางในอวกาศด้วย

ดังที่ทราบจากฟิสิกส์ ด้วยการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ ความเร็วสามารถกำหนดได้โดยความยาวของเส้นทางที่เดินทางต่อหน่วยเวลา: v = s / t = const (สันนิษฐานว่าจุดกำเนิดของเส้นทางและเวลาตรงกัน) ในการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ความเร็วจะคงที่ทั้งในค่าสัมบูรณ์และในทิศทาง และเวกเตอร์สอดคล้องกับวิถีโคจร

หน่วยความเร็วในระบบ SIถูกกำหนดโดยอัตราส่วนความยาว / เวลาเช่น m / s

การเร่งความเร็วเป็นการวัดจลนศาสตร์ของการเปลี่ยนแปลงความเร็วของจุดในเวลา กล่าวอีกนัยหนึ่งความเร่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว
เช่นเดียวกับความเร็ว ความเร่งเป็นปริมาณเวกเตอร์ กล่าวคือ ไม่เพียงแต่จะมีลักษณะเฉพาะโดยโมดูลเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทิศทางในอวกาศด้วย

ในการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง เวกเตอร์ความเร็วจะสอดคล้องกับวิถีเสมอ ดังนั้นเวกเตอร์การเปลี่ยนแปลงความเร็วจึงเกิดขึ้นพร้อมกับวิถีด้วย

จากวิชาฟิสิกส์เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความเร่งคือการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อหน่วยเวลา หากในช่วงเวลาสั้นๆ Δt ความเร็วของจุดเปลี่ยน Δv ความเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลานี้คือ: a cp = Δv/Δt

ความเร่งเฉลี่ยไม่ได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับขนาดที่แท้จริงของการเปลี่ยนแปลงความเร็ว ณ เวลาใดก็ตาม ในเวลาเดียวกัน เป็นที่แน่ชัดว่ายิ่งช่วงเวลาที่พิจารณาระหว่างที่เกิดการเปลี่ยนแปลงของความเร็วสั้นลงเท่าใด ค่าความเร่งก็จะยิ่งใกล้ความจริงมากขึ้นเท่านั้น (ทันที)
ดังนั้นคำจำกัดความ: ความเร่งจริง (ทันที) คือขีดจำกัดที่ความเร่งเฉลี่ยมีแนวโน้มเมื่อ Δt มีแนวโน้มเป็นศูนย์:

a = lim a cf ที่ t→0 หรือ lim Δv/Δt = dv/dt

ระบุว่า v \u003d ds / dt เราได้รับ: a \u003d dv / dt \u003d d 2 s / dt 2

ความเร่งที่แท้จริงในการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงมีค่าเท่ากับอนุพันธ์อันดับแรกของความเร็วหรืออนุพันธ์อันดับสองของพิกัด (ระยะทางจากจุดกำเนิดของการเคลื่อนที่) เทียบกับเวลา หน่วยความเร่งคือเมตรหารด้วยสองกำลังสอง (m/s 2)

วิถี- เส้นในช่องว่างที่จุดวัสดุเคลื่อนที่
เส้นทางคือความยาวของเส้นทาง เส้นทางที่เดินทาง l เท่ากับความยาวของส่วนโค้งของวิถีโคจรที่ร่างกายเดินทางในระยะเวลาหนึ่ง t เส้นทางเป็นค่าสเกลาร์

ระยะทางกำหนดตำแหน่งของจุดบนวิถีของมันและวัดจากจุดกำเนิดบางอย่าง ระยะทางเป็นปริมาณเชิงพีชคณิต เนื่องจากขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิดและทิศทางที่ยอมรับของแกนระยะทาง มันสามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ ต่างจากระยะทาง เส้นทางที่เดินทางโดยจุดหนึ่งๆ ถูกกำหนดด้วยจำนวนบวกเสมอ เส้นทางสอดคล้องกับค่าสัมบูรณ์ของระยะทางก็ต่อเมื่อการเคลื่อนที่ของจุดเริ่มจากจุดกำเนิดและติดตามเส้นทางไปในทิศทางเดียว

ในกรณีทั่วไปของการเคลื่อนที่ของจุด เส้นทางจะเท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของระยะทางที่เดินทางโดยจุดในช่วงเวลาที่กำหนด:

3. สามารถกำหนดกฎการเคลื่อนที่ของจุดด้วยวิธีใดได้บ้าง

1. วิธีธรรมชาติในการกำหนดการเคลื่อนไหวของจุด

ด้วยวิธีธรรมชาติในการระบุการเคลื่อนที่ จะถือว่ากำหนดพารามิเตอร์ของการเคลื่อนที่ของจุดในระบบอ้างอิงเคลื่อนที่ จุดเริ่มต้นซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเคลื่อนที่ และแกนคือแทนเจนต์ ปกติ และไบนอร์มัลไปยัง วิถีของจุดในแต่ละตำแหน่ง ในการตั้งกฎการเคลื่อนที่ของจุดให้เป็นไปตามธรรมชาติ จำเป็น:

1) รู้วิถีการเคลื่อนที่

2) กำหนดจุดอ้างอิงบนเส้นโค้งนี้

3) สร้างทิศทางการเคลื่อนไหวในเชิงบวก

4) ให้กฎการเคลื่อนที่ของจุดตามแนวโค้งนี้ กล่าวคือ แสดงระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังตำแหน่งของจุดบนเส้นโค้ง ณ เวลาที่กำหนด ∪OM=S(ท) .

วิธี 2.Vector สำหรับระบุการเคลื่อนที่ของจุด

ในกรณีนี้ ตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือในอวกาศถูกกำหนดโดยฟังก์ชันเวกเตอร์ เวกเตอร์นี้ถูกพล็อตจากจุดคงที่ที่เลือกเป็นจุดกำเนิด จุดสิ้นสุดจะเป็นตัวกำหนดตำแหน่งของจุดเคลื่อนที่

3. วิธีการประสานงานระบุการเคลื่อนที่ของจุด

ในระบบพิกัดที่เลือก พิกัดของจุดเคลื่อนที่จะกำหนดเป็นฟังก์ชันของเวลา ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม สมการเหล่านี้จะเป็น:

4. เวกเตอร์ของความเร็วจริงของจุดชี้ระหว่างการเคลื่อนที่แบบโค้งเป็นอย่างไร?

เมื่อจุดเคลื่อนที่ไม่เท่ากัน โมดูลัสของความเร็วจะเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา
ลองนึกภาพจุดที่มีการเคลื่อนที่ตามธรรมชาติโดยสมการ s = f(t)

หากจุดเดินทางในเส้นทาง Δs ในช่วงเวลาสั้น ๆ ความเร็วเฉลี่ยจะเท่ากับ:

vav = ∆s/∆t.

ความเร็วเฉลี่ยไม่ได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับความเร็วที่แท้จริงในช่วงเวลาที่กำหนด (หรือเรียกว่าความเร็วจริงในทันที) เห็นได้ชัดว่า ยิ่งช่วงเวลาที่กำหนดความเร็วเฉลี่ยสั้นลงเท่าใด ค่าของมันก็จะยิ่งใกล้ความเร็วในทันทีมากขึ้นเท่านั้น

ความเร็วจริง (ทันที) คือขีดจำกัดที่ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มเมื่อ Δt มีแนวโน้มเป็นศูนย์:

v = lim v cf ที่ t→0 หรือ v = lim (Δs/Δt) = ds/dt

ดังนั้น ค่าตัวเลขของความเร็วจริงคือ v = ds/dt
ความเร็วจริง (ทันที) สำหรับการเคลื่อนที่ของจุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับอนุพันธ์อันดับแรกของพิกัด (เช่น ระยะห่างจากจุดกำเนิดของการเคลื่อนที่) เทียบกับเวลา

เมื่อ Δt มีแนวโน้มเป็นศูนย์ Δs ก็มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เช่นกัน และดังที่เราได้ทราบแล้ว เวกเตอร์ความเร็วจะถูกกำหนดทิศทางในแนวสัมผัส (นั่นคือ มันจะตรงกับเวกเตอร์ความเร็วจริง v) จากนี้ไป ขีดจำกัดของเวกเตอร์ความเร็วแบบมีเงื่อนไข v p เท่ากับขีดจำกัดของอัตราส่วนของเวกเตอร์การกระจัดของจุดต่อช่วงเวลาที่จำกัด เท่ากับเวกเตอร์ความเร็วจริงของจุด

5. แทนเจนต์และความเร่งปกติของจุดกำหนดทิศทางอย่างไร

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว Δ = - 0

ความเร่งในแนวสัมผัสที่จุดที่กำหนดจะพุ่งตรงไปยังวิถีโคจรของจุดนั้น ถ้าการเคลื่อนที่ถูกเร่ง ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสจะตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว ถ้าการเคลื่อนที่ช้า ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสจะตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว

6. จุดเคลื่อนที่อะไรถ้าความเร่งในแนวสัมผัสเป็นศูนย์ และจุดปกติไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป

การเคลื่อนไหวโค้งสม่ำเสมอโดดเด่นด้วยความจริงที่ว่าค่าตัวเลขของความเร็วคงที่ ( วี= const) ความเร็วจะเปลี่ยนเฉพาะในทิศทาง ในกรณีนี้ ความเร่งในแนวสัมผัสจะเป็นศูนย์ เนื่องจาก วี= const(รูปที่ข)

และความเร่งปกติไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจาก r - ค่าสุดท้าย

7. กราฟจลนศาสตร์มีลักษณะอย่างไรเมื่อมีการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอและแปรผันเท่ากัน?

ด้วยการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอ ร่างกายครอบคลุมระยะทางเท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน สำหรับคำอธิบายจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ แกนพิกัด วัวสะดวกในการวางตามแนวการเคลื่อนไหว ตำแหน่งของร่างกายในระหว่างการเคลื่อนไหวสม่ำเสมอถูกกำหนดโดยการกำหนดพิกัดเดียว x. เวกเตอร์การกระจัดและเวกเตอร์ความเร็วจะขนานกับแกนพิกัดเสมอ วัว. ดังนั้นการกระจัดและความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสามารถฉายลงบนแกนได้ วัวและพิจารณาประมาณการของพวกมันเป็นปริมาณเชิงพีชคณิต

ด้วยการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอ เส้นทางจะเปลี่ยนไปตามความสัมพันธ์เชิงเส้น ในพิกัด. กราฟเป็นเส้นลาดเอียง

จากการศึกษาหัวข้อ นักเรียนจะต้อง:

มีความคิดเกี่ยวกับอวกาศ เวลา วิถี; ความเร็วเฉลี่ยและจริง

รู้วิธีระบุการเคลื่อนที่ของจุด พารามิเตอร์ของการเคลื่อนที่ของจุดตามวิถีที่กำหนด

การหาจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายตามอำเภอใจโดยการเพิ่มแรงที่กระทำต่อส่วนต่างๆ ของมันอย่างต่อเนื่องนั้นเป็นงานที่ยาก มันอำนวยความสะดวกสำหรับเนื้อหาที่ค่อนข้างง่ายเท่านั้น

ให้ร่างกายประกอบด้วยมวลเพียงสองน้ำหนักและเชื่อมต่อด้วยไม้เรียว (รูปที่ 125) หากมวลของแท่งมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับมวล และ ก็สามารถละเลยได้ มวลแต่ละก้อนได้รับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วงเท่ากับและตามลำดับ ทั้งสองถูกชี้ลงในแนวตั้งนั่นคือขนานกัน อย่างที่เราทราบ ผลลัพธ์ของแรงคู่ขนานสองแรงถูกนำไปใช้กับจุด ซึ่งถูกกำหนดจากเงื่อนไข

ข้าว. 125. การหาจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายประกอบด้วยสองโหลด

ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงจะแบ่งระยะห่างระหว่างโหลดสองก้อนในอัตราส่วนผกผันกับอัตราส่วนของมวล ถ้าร่างกายนี้ถูกระงับที่จุด ร่างกายจะยังคงอยู่ในสมดุล

เนื่องจากมวลเท่ากันสองก้อนมีจุดศูนย์ถ่วงร่วม ณ จุดที่แบ่งระยะห่างระหว่างมวลเหล่านี้ จึงเป็นที่ชัดเจนว่า ตัวอย่างเช่น จุดศูนย์ถ่วงของแท่งที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นอยู่ตรงกลางของแท่ง (รูปที่ 126) .

เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางใด ๆ ของจานกลมที่เป็นเนื้อเดียวกันแบ่งออกเป็นสองส่วนสมมาตรที่เหมือนกันอย่างสมบูรณ์ (รูปที่ 127) จุดศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงจะต้องอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางของดิสก์แต่ละอันนั่นคือที่จุดตัดของเส้นผ่านศูนย์กลาง - ในศูนย์กลางทางเรขาคณิตของ ดิสก์ การโต้เถียงในลักษณะเดียวกัน เราจะพบว่าจุดศูนย์ถ่วงของลูกบอลที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ในจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต จุดศูนย์ถ่วงของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม เป็นต้น จุดศูนย์ถ่วงของห่วง หรือวงแหวนอยู่ตรงกลาง ตัวอย่างสุดท้ายแสดงให้เห็นว่าจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายสามารถอยู่นอกร่างกายได้

ข้าว. 126. จุดศูนย์ถ่วงของแท่งที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ตรงกลาง

ข้าว. 127. จุดศูนย์กลางของจานที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ที่ศูนย์กลางทางเรขาคณิตของมัน

หากร่างกายมีรูปร่างไม่สม่ำเสมอหรือมีลักษณะไม่เท่ากัน (เช่น มีช่องว่าง) การคำนวณตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงมักจะทำได้ยาก และตำแหน่งนี้จะสะดวกกว่าในการค้นหาจากประสบการณ์ ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องหาจุดศูนย์ถ่วงของแผ่นไม้อัด แขวนไว้บนด้าย (รูปที่ 128) เห็นได้ชัดว่าในตำแหน่งสมดุล จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายต้องอยู่บนความต่อเนื่องของด้าย มิฉะนั้น แรงโน้มถ่วงจะมีช่วงเวลาที่สัมพันธ์กับจุดระงับ ซึ่งจะเริ่มหมุนร่างกาย ดังนั้น การวาดเส้นตรงบนแผ่นไม้อัดของเรา ซึ่งแสดงถึงความต่อเนื่องของเกลียว เราสามารถยืนยันได้ว่าจุดศูนย์ถ่วงอยู่บนเส้นตรงนี้

อันที่จริง โดยการระงับร่างกายที่จุดต่างๆ และวาดเส้นแนวตั้ง เราจะทำให้แน่ใจว่าพวกมันทั้งหมดตัดกันที่จุดเดียว จุดนี้เป็นจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย (เนื่องจากต้องนอนบนเส้นดังกล่าวทั้งหมดพร้อมกัน) ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงได้ ไม่เพียงแต่รูปร่างที่แบนราบ แต่ยังรวมถึงวัตถุที่ซับซ้อนกว่าด้วย ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของเครื่องบินถูกกำหนดโดยการหมุนด้วยล้อบนแท่นชั่ง ผลลัพธ์ของแรงน้ำหนักบนล้อแต่ละล้อจะถูกกำหนดทิศทางในแนวตั้ง และคุณจะพบเส้นที่กระทำโดยกฎของการเพิ่มแรงคู่ขนาน

ข้าว. 128. จุดตัดของเส้นแนวตั้งที่ลากผ่านจุดระงับคือจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

เมื่อมวลของส่วนต่างๆ ของร่างกายเปลี่ยนแปลงหรือเมื่อรูปร่างของร่างกายเปลี่ยนไป ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงจะเปลี่ยนไป ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของเครื่องบินจะเคลื่อนที่เมื่อเชื้อเพลิงหมดจากถัง เมื่อโหลดสัมภาระ ฯลฯ สำหรับการทดลองด้วยภาพที่แสดงการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์ถ่วงเมื่อรูปร่างของร่างกายเปลี่ยนไป จะสะดวกในการถ่าย สองแท่งที่เหมือนกันเชื่อมต่อกันด้วยบานพับ (รูปที่ 129) ในกรณีที่แท่งเหล็กเกิดความต่อเนื่องกัน จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่บนแกนของแท่ง หากแท่งเหล็กงอตรงบานพับ จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่นอกแท่งบนเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่เกิด หากวางน้ำหนักเพิ่มเติมบนแท่งแท่งใดแท่งหนึ่ง จุดศูนย์ถ่วงจะเคลื่อนเข้าหาโหลดนี้

ข้าว. 129. a) จุดศูนย์ถ่วงของแท่งเหล็กที่เชื่อมต่อด้วยบานพับซึ่งอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวอยู่บนแกนของแท่งเหล็ก b) จุดศูนย์ถ่วงของระบบโค้งงอของแท่งอยู่นอกแท่ง

81.1. จุดศูนย์ถ่วงของแท่งบางที่เหมือนกันสองอันที่มีความยาว 12 ซม. และยึดในรูปของตัวอักษร T อยู่ที่ไหน

81.2. พิสูจน์ว่าจุดศูนย์กลางของแผ่นรูปสามเหลี่ยมชุดเดียวกันอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน

ข้าว. 130. ออกกำลังกาย 81.3

81.3. กระดานที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีมวล 60 กก. วางอยู่บนฐานรองรับสองตัว ดังแสดงในรูปที่ 130. กำหนดแรงที่กระทำต่อฐานรองรับ

บันทึก.จุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงสมมาตรอยู่บนแกนสมมาตร

จุดศูนย์ถ่วงของคันเบ็ดอยู่ตรงกลางของความสูง เมื่อแก้ไขปัญหาจะใช้วิธีการต่อไปนี้:

1. วิธีสมมาตร: จุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขสมมาตรอยู่บนแกนสมมาตร

2. วิธีการแยก: ส่วนที่ซับซ้อนแบ่งออกเป็นส่วนง่าย ๆ หลาย ๆ ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบ

3. วิธีการลบพื้นที่: ฟันผุ (หลุม) ถือเป็นส่วนหนึ่งของส่วนที่มีพื้นที่เชิงลบ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1กำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขที่แสดงในรูปที่ 8.4.

วิธีการแก้

เราแบ่งร่างออกเป็นสามส่วน:

กำหนดไว้ในทำนองเดียวกัน ที่ C = 4.5 ซม.

ตัวอย่างที่ 2หาตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของโครงนั่งร้านแบบสมมาตร ADBE(รูปที่ 116) โดยมีขนาดดังนี้ AB = 6m, ป.ล.= 3 ม. และ EF= 1ม.

วิธีการแก้

เนื่องจากโครงถักมีความสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจึงอยู่บนแกนสมมาตร ดีเอฟด้วยการเลือกระบบแกนพิกัด (รูปที่ 116) ของ abscissa ของจุดศูนย์ถ่วงของฟาร์ม

ไม่รู้จักจึงเป็นเพียงอุปัฏฐาก ที่ Cฟาร์มศูนย์แรงโน้มถ่วง เพื่อตรวจสอบว่าเราแบ่งฟาร์มออกเป็นส่วน ๆ (แท่ง) ความยาวของพวกมันถูกกำหนดจากสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน

จาก ∆เอเอฟเรามี

จาก ΔADFเรามี

จุดศูนย์ถ่วงของแต่ละแท่งอยู่ตรงกลาง พิกัดของจุดศูนย์กลางเหล่านี้หาได้ง่ายจากการวาด (รูปที่ 116)

ความยาวและพิกัดที่พบของจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละส่วนของฟาร์มจะถูกป้อนในตารางและตามสูตร

กำหนดพิกัด เราจุดศูนย์ถ่วงของโครงแบนนี้

ดังนั้น จุดศูนย์ถ่วง จากโครงนั่งร้านทั้งหมดอยู่บนแกน ดีเอฟสมมาตรของโครงนั่งร้านที่ระยะ 1.59 เมตรจากจุด เอฟ

ตัวอย่างที่ 3กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนคอมโพสิต ส่วนนี้ประกอบด้วยแผ่นงานและโปรไฟล์รีด (รูปที่ 8.5)

บันทึก.บ่อยครั้งที่เฟรมถูกเชื่อมจากโปรไฟล์ต่าง ๆ สร้างการออกแบบที่จำเป็น ดังนั้นการใช้โลหะจึงลดลงและสร้างโครงสร้างที่มีความแข็งแรงสูง

สำหรับส่วนรีดมาตรฐานจะทราบลักษณะทางเรขาคณิตของพวกมันเอง พวกเขาได้รับในมาตรฐานที่เกี่ยวข้อง

วิธีการแก้

1. เราแสดงตัวเลขตามตัวเลขและเขียนข้อมูลที่จำเป็นจากตาราง:

1 - ช่องหมายเลข 10 (GOST 8240-89); ความสูง ชั่วโมง = 100 มม. ความกว้างของชั้นวาง ข= 46 มม. พื้นที่หน้าตัด A 1\u003d 10.9 ซม. 2;

2 - I-beam หมายเลข 16 (GOST 8239-89); ความสูง 160 มม. ความกว้างของชั้นวาง 81 มม. พื้นที่หน้าตัด A 2 - 20.2 ซม. 2;

3 - แผ่น 5x100; ความหนา 5 มม. ความกว้าง 100 มม. พื้นที่หน้าตัด A 3 \u003d 0.5 10 \u003d 5 ซม. 2

2. พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละร่างสามารถกำหนดได้จากรูปวาด

ส่วนคอมโพสิตมีความสมมาตร ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงอยู่บนแกนสมมาตรและพิกัด Xค = 0

3. การหาจุดศูนย์ถ่วงของส่วนคอมโพสิต:

ตัวอย่างที่ 4กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนที่แสดงในรูปที่ แปด, ก.ส่วนนี้ประกอบด้วยสองมุม 56x4 และช่องหมายเลข 18 ตรวจสอบความถูกต้องของการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง ระบุตำแหน่งในส่วน

วิธีการแก้

1. : สองมุม 56 x 4 และช่องหมายเลข 18 ให้แทน 1, 2, 3 (ดูรูปที่ 8, ก)

2. ระบุจุดศูนย์ถ่วงแต่ละโปรไฟล์ โดยใช้ตาราง 1 และ 4ฉันและแสดงว่าพวกเขา ค 1, ค 2,ตั้งแต่ 3 .

3. มาเลือกระบบพิกัดแกนกันแกน ที่เข้ากันได้กับแกนสมมาตรและแกน Xลากผ่านจุดศูนย์ถ่วงของมุม

4. กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนทั้งหมดตั้งแต่แกน ที่ตรงกับแกนสมมาตรจากนั้นจึงผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนดังนั้น x s= 0. พิกัด เรากำหนดโดยสูตร

โดยใช้ตารางแอปพลิเคชัน เรากำหนดพื้นที่ของแต่ละโปรไฟล์และพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง:

พิกัด 1และ ที่2เท่ากับศูนย์เนื่องจากแกน Xผ่านจุดศูนย์ถ่วงของมุม แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเพื่อกำหนด เรา:

5. ให้เราระบุจุดศูนย์ถ่วงของส่วนในรูปที่ 8 และเราจะแสดงด้วยตัวอักษร Cเราแสดงระยะทาง y C \u003d 2.43 ซม. จากแกน Xเพื่อชี้ C

เนื่องจากมุมตั้งอยู่อย่างสมมาตร มีพื้นที่และพิกัดเหมือนกัน ดังนั้น A 1 \u003d A 2, y 1 = y 2 .ดังนั้นสูตรการกำหนด ที่ Cสามารถทำให้ง่ายขึ้น:

6. มาทำเช็คกันสำหรับแกนนี้ Xลองวาดตามขอบล่างของชั้นวางเข้ามุม (รูปที่ 8, b) แกน ที่ปล่อยให้มันเป็นในวิธีแก้ปัญหาแรก สูตรสำหรับกำหนด x Cและ ที่ Cอย่าเปลี่ยนแปลง:

พื้นที่โปรไฟล์จะยังคงเหมือนเดิม แต่พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของมุมและช่องจะเปลี่ยนไป ลองเขียนออกมา:

การหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง:

ตามพิกัดที่พบ x sและ เราเราใส่จุด C บนภาพวาด ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงที่พบในสองวิธีนั้นอยู่ที่จุดเดียวกัน ลองตรวจสอบดู ความแตกต่างระหว่างพิกัด ที่เอส,พบในโซลูชันที่หนึ่งและที่สองคือ: 6.51 - 2.43 \u003d 4.08 ซม.

นี่เท่ากับระยะห่างระหว่างแกน x ในคำตอบที่หนึ่งและที่สอง: 5.6 - 1.52 = 4.08 ซม.

คำตอบ: ที่= 2.43 ซม. ถ้าแกน x ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของมุม หรือ yc = 6.51 ซม. ถ้าแกน x วิ่งไปตามขอบด้านล่างของหน้าแปลนมุม

ตัวอย่างที่ 5กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนที่แสดงในรูปที่ 9, ก.ส่วนนี้ประกอบด้วย I-beam หมายเลข 24 และช่องหมายเลข 24a แสดงตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงในส่วน

วิธีการแก้

1.แบ่งส่วนออกเป็นโปรไฟล์รีด: ไอบีมและช่อง. ลองเรียกพวกเขาว่า 1 และ 2

3. เราระบุจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละโปรไฟล์ C 1 และ C 2 โดยใช้ตารางแอปพลิเคชัน

4. มาเลือกระบบพิกัดแกนกัน แกน x เข้ากันได้กับแกนสมมาตร และเราวาดแกน y ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของลำแสง I

5. กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วน พิกัด y c = 0 เนื่องจากแกน Xตรงกับแกนสมมาตร พิกัด x ด้วย ถูกกำหนดโดยสูตร

ตามตาราง แอพ 3 และ 4 ฉันและโครงร่างส่วนเรากำหนด

แทนค่าตัวเลขลงในสูตรแล้วรับ

5. ทำเครื่องหมายจุด C (จุดศูนย์ถ่วงของส่วน) ตามค่าที่พบ x c และ yc (ดูรูปที่ 9, a)

การตรวจสอบสารละลายจะต้องดำเนินการอย่างอิสระกับตำแหน่งของแกน ดังแสดงในรูปที่ 9, ข. จากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา เราได้ x c \u003d 11.86 ซม. ความแตกต่างระหว่างค่าของ x c สำหรับโซลูชันที่หนึ่งและที่สองคือ 11.86 - 6.11 \u003d 5.75 ซม. ซึ่งเท่ากับระยะห่างระหว่าง แกน y ที่มีสารละลายเดียวกัน b dv / 2 = 5.75 ซม.

คำตอบ: x c \u003d 6.11 ซม. ถ้าแกน y ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของ I-beam x c \u003d 11.86 ซม. ถ้าแกน y ผ่านจุดสุดขั้วด้านซ้ายของลำแสง I

ตัวอย่างที่ 6เครนรางรถไฟวางอยู่บนรางซึ่งมีระยะห่างระหว่าง AB = 1.5 ม. (รูปที่ 1.102) แรงโน้มถ่วงของรถเข็นปั้นจั่นคือ G r = 30 kN จุดศูนย์ถ่วงของรถเข็นอยู่ที่จุด C ซึ่งอยู่บนเส้น KL ของจุดตัดของระนาบสมมาตรของรถเข็นที่มีระนาบการวาด แรงโน้มถ่วงของเครื่องกว้านเครน Q l \u003d 10 kN ถูกนำไปใช้ที่จุด ง.แรงโน้มถ่วงของตัวถ่วงน้ำหนัก G„=20 kN ถูกนำไปใช้ที่จุด E แรงโน้มถ่วงของบูม G c = 5 kN ถูกนำไปใช้กับจุด H ส่วนยื่นของเครนที่สัมพันธ์กับเส้น KL คือ 2 ม. กำหนด ค่าสัมประสิทธิ์ความเสถียรของเครนในสถานะที่ไม่ได้บรรจุและน้ำหนักเท่าไหร่ Fสามารถยกขึ้นด้วยเครนนี้ได้ โดยมีเงื่อนไขว่าปัจจัยด้านความมั่นคงต้องมีอย่างน้อยสองค่า

วิธีการแก้

1. ในสภาพที่ไม่ได้บรรจุ เครนอาจพลิกคว่ำเมื่อพลิกราง แต่.ดังนั้น ในแง่ที่ว่า แต่ช่วงเวลาแห่งความมั่นคง

2. พลิกคว่ำช่วงเวลาหนึ่งเกี่ยวกับจุดหนึ่ง แต่ที่สร้างขึ้นโดยแรงโน้มถ่วงของถ่วงเช่น

3. ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ความเสถียรของเครนในสถานะที่ไม่ได้บรรจุ

4. เมื่อโหลดบูมเครนพร้อมโหลด Fมีอันตรายจากการที่ปั้นจั่นพลิกตัวไปรอบๆ ราง B ดังนั้น ในส่วนที่เกี่ยวกับจุด ที่ช่วงเวลาแห่งความมั่นคง

5. โมเมนต์พลิกคว่ำเมื่อเทียบกับราง ที่

6. ตามเงื่อนไขของปัญหา อนุญาตให้ใช้เครนโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ความเสถียร k B ≥ 2 กล่าวคือ

ควบคุมคำถามและงาน

1. เหตุใดแรงดึงดูดของโลกที่กระทำต่อจุดต่างๆ ของร่างกาย จึงนำมาเป็นระบบแรงคู่ขนานได้?

2. เขียนสูตรสำหรับกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันและเป็นเนื้อเดียวกัน สูตรสำหรับกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนแบน

3. ทำซ้ำสูตรเพื่อกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่าย: สี่เหลี่ยมผืนผ้า, สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยมคางหมูและครึ่งวงกลม

4.
อะไรเรียกว่าโมเมนต์คงที่ของพื้นที่?

5. คำนวณโมเมนต์คงที่ของตัวเลขนี้เกี่ยวกับแกน วัว. ชม.= 30 ซม. ข= 120 ซม. กับ= 10 ซม. (รูปที่ 8.6)

6. กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างที่แรเงา (รูปที่ 8.7) ขนาดมีหน่วยเป็น มม.

7. กำหนดพิกัด ที่รูปที่ 1 ของส่วนประกอบ (รูปที่ 8.8)

เมื่อตัดสินใจใช้ข้อมูลอ้างอิงของตาราง GOST "เหล็กแผ่นรีดร้อน" (ดูภาคผนวก 1)

6.1. ข้อมูลทั่วไป

ศูนย์กองกำลังคู่ขนาน
พิจารณาสองแรงคู่ขนานที่มุ่งไปในทิศทางเดียวกัน และ นำไปใช้กับร่างกายที่จุด แต่ 1 และ แต่ 2 (รูปที่ 6.1) ระบบแรงนี้มีผลลัพธ์ซึ่งเป็นแนวการกระทำที่ผ่านจุดหนึ่ง จาก. ตำแหน่งจุด จากสามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Varignon:

หากคุณหมุนแรงและใกล้จุด แต่ 1 และ แต่ 2 ในทิศทางเดียวและในมุมเดียวกัน เราจะได้ระบบใหม่ของไขมันคู่ขนานที่มีโมดูลเดียวกัน ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ก็จะผ่านจุดนั้นด้วย จาก. จุดดังกล่าวเรียกว่าจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน
พิจารณาระบบของแรงที่ขนานกันและมีทิศทางเท่ากันซึ่งนำไปใช้กับวัตถุแข็งเกร็งที่จุดต่างๆ ระบบนี้มีผล
หากแรงแต่ละอย่างของระบบถูกหมุนใกล้กับจุดที่ใช้งานในทิศทางเดียวกันและในมุมเดียวกัน ระบบใหม่ที่มีแรงขนานที่มีทิศทางเท่ากันกับโมดูลและจุดใช้งานเดียวกันจะได้รับ ผลลัพธ์ของระบบดังกล่าวจะมีโมดูลัสเท่ากัน Rแต่แต่ละครั้งไปในทิศทางที่ต่างกัน วางกำลังลง F 1 และ F 2 พบว่าผลลัพธ์ของพวกเขา R 1 ซึ่งจะผ่านจุดเสมอ จาก 1 ซึ่งตำแหน่งถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน เพิ่มมากขึ้น R 1 และ F 3 หาผลลัพธ์ซึ่งจะผ่านจุดเสมอ จาก 2 นอนอยู่บนเส้น แต่ 3 จาก 2. เมื่อนำกระบวนการเพิ่มกำลังมาจนสุดทางแล้ว ก็สรุปได้ว่าผลของแรงทั้งหมดย่อมผ่านจุดเดิมเสมอ จากซึ่งตำแหน่งที่สัมพันธ์กับคะแนนจะไม่เปลี่ยนแปลง
Dot จากผ่านซึ่งแนวการกระทำของระบบผลลัพธ์ของแรงคู่ขนานผ่านสำหรับการหมุนของแรงเหล่านี้ใกล้กับจุดที่ใช้งานในทิศทางเดียวกันในมุมเดียวกันเรียกว่าจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน (รูปที่ 6.2)

รูปที่ 6.2

ให้เรากำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานกัน เนื่องจากตำแหน่งของจุด จากในส่วนที่เกี่ยวกับร่างกายนั้นไม่เปลี่ยนแปลงพิกัดของมันจะไม่ขึ้นอยู่กับทางเลือกของระบบพิกัด หมุนแรงทั้งหมดที่อยู่ใกล้การใช้งานเพื่อให้ขนานกับแกน OUและใช้ทฤษฎีบทของ Varignon กับแรงที่หมุนรอบตัว เพราะ อาร์"เป็นผลลัพธ์ของแรงเหล่านี้ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทวาริกนอน เรามี , เพราะ , , เราได้รับ

จากที่นี่เราจะพบพิกัดของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน zc:

เพื่อกำหนดพิกัด xcเขียนนิพจน์สำหรับโมเมนต์ของแรงรอบแกน ออนซ์.

เพื่อกำหนดพิกัด ycหมุนแรงทั้งหมดให้ขนานกับแกน ออนซ์.

ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด (รูปที่ 6.2) สามารถกำหนดได้โดยเวกเตอร์รัศมี:

6.2. จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่แข็งกระด้าง

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่แข็งกระด้างเป็นจุดที่เกี่ยวข้องกับร่างกายนี้อย่างสม่ำเสมอ จากซึ่งแนวการกระทำของผลลัพธ์ของแรงโน้มถ่วงของร่างกายที่กำหนดผ่านไปยังตำแหน่งใดของร่างกายในอวกาศ
จุดศูนย์ถ่วงใช้ในการศึกษาความเสถียรของตำแหน่งสมดุลของร่างกายและสื่อต่อเนื่องภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงและในบางกรณี กล่าวคือ: ในความต้านทานของวัสดุและในกลศาสตร์โครงสร้าง - เมื่อใช้กฎ Vereshchagin
มีสองวิธีในการกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย: การวิเคราะห์และการทดลอง วิธีการวิเคราะห์การกำหนดจุดศูนย์ถ่วงเป็นไปตามแนวคิดของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานโดยตรง
พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงซึ่งเป็นศูนย์กลางของแรงคู่ขนานนั้นถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน R- น้ำหนักของร่างกายทั้งหมด pk- น้ำหนักของอนุภาคในร่างกาย xk , yk , zk- พิกัดของอนุภาคในร่างกาย
สำหรับร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกัน น้ำหนักของทั้งตัวและส่วนใดส่วนหนึ่งของร่างกายจะเป็นสัดส่วนกับปริมาตร P=Vγ, pk = vk γ, ที่ไหน γ - น้ำหนักต่อหน่วยปริมาตร วี- ปริมาณของร่างกาย แทนนิพจน์ พี, pkลงในสูตรกำหนดพิกัดจุดศูนย์ถ่วงและลดลงตามปัจจัยร่วม γ , เราได้รับ:

Dot จากซึ่งพิกัดถูกกำหนดโดยสูตรที่ได้รับเรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงของปริมาตร.
หากร่างกายเป็นแผ่นบาง ๆ ที่เป็นเนื้อเดียวกันจุดศูนย์ถ่วงจะถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน ส- พื้นที่ของจานทั้งหมด sk- พื้นที่ของส่วนนั้น xk, yk- พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของชิ้นส่วนจาน
Dot จากในกรณีนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงพื้นที่.
ตัวเศษของนิพจน์ที่กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขระนาบเรียกว่าด้วย ช่วงเวลาคงที่ของพื้นที่เกี่ยวกับแกน ที่และ X:

จากนั้นจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่สามารถกำหนดได้โดยสูตร:

สำหรับวัตถุที่มีความยาวมากกว่าขนาดของหน้าตัดหลายเท่า ให้กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของเส้น พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของเส้นถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน หลี่- ความยาวสาย ลค- ความยาวของชิ้นส่วน xk , yk , zk- พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของส่วนเส้น

6.3. วิธีการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

จากสูตรที่ได้รับ เป็นไปได้ที่จะเสนอวิธีปฏิบัติในการกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย
1. สมมาตร. หากร่างกายมีจุดศูนย์กลางสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ที่ศูนย์กลางสมมาตร
หากร่างกายมีระนาบสมมาตร ตัวอย่างเช่นระนาบ XOU จากนั้นจุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ในระนาบนี้
2. แยกออก. สำหรับเนื้อหาที่ประกอบด้วยวัตถุธรรมดาจะใช้วิธีการแยก ร่างกายถูกแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ซึ่งจุดศูนย์ถ่วงพบได้โดยวิธีสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายทั้งหมดถูกกำหนดโดยสูตรสำหรับจุดศูนย์ถ่วงของปริมาตร (พื้นที่)

ตัวอย่าง. กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของแผ่นที่แสดงในรูปด้านล่าง (รูปที่ 6.3) เพลตสามารถแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมได้หลายวิธีและสามารถกำหนดพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยมแต่ละอันและพื้นที่ของพวกมันได้

รูปที่ 6.3

ตอบ: xค=17.0ซม.; yค=18.0ซม.

3. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. วิธีนี้เป็นกรณีพิเศษของวิธีการแบ่งพาร์ติชัน ใช้เมื่อร่างกายมีรอยบาก รอยบาด ฯลฯ หากทราบพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ไม่มีรอยบาก

ตัวอย่าง. หาจุดศูนย์ถ่วงของแผ่นกลมที่มีช่องเจาะที่มีรัศมี r = 0,6 R(รูปที่ 6.4)

รูปที่ 6.4

แผ่นกลมมีจุดศูนย์กลางสมมาตร ให้วางที่มาของพิกัดไว้ตรงกลางจาน พื้นที่แผ่นไม่มีรอยบาก พื้นที่บาก พื้นที่แผ่นหยัก ; .
แผ่นบากมีแกนสมมาตร O1 x, เพราะเหตุนี้, yc=0.

4. บูรณาการ. หากร่างกายไม่สามารถแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ได้จำนวน จำกัด ซึ่งทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงร่างกายจะถูกแบ่งออกเป็นปริมาตรเล็ก ๆ ตามอำเภอใจซึ่งสูตรที่ใช้วิธีการแบ่งพาร์ติชั่นจะอยู่ในรูปแบบ: .
นอกจากนี้ ยังผ่านไปยังขีดจำกัด โดยทำให้ปริมาณเบื้องต้นเป็นศูนย์ เช่น ปริมาณการหดตัวเป็นจุด ผลรวมจะถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลที่ขยายไปยังปริมาตรทั้งหมดของร่างกาย จากนั้นสูตรสำหรับกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของปริมาตรจะอยู่ในรูปแบบ:

สูตรกำหนดพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่:

พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่จะต้องถูกกำหนดเมื่อศึกษาสมดุลของแผ่นเปลือกโลกเมื่อคำนวณอินทิกรัล Mohr ในกลศาสตร์โครงสร้าง

ตัวอย่าง. กำหนดเซนทรอยด์ของส่วนโค้งวงกลมของรัศมี Rมีมุมตรงกลาง AOB= 2α (รูปที่ 6.5)

ข้าว. 6.5

ส่วนโค้งของวงกลมสมมาตรกับแกน โอ้ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งจึงอยู่บนแกน โอ้, ใช่ = 0.
ตามสูตรจุดศูนย์ถ่วงของเส้น:

6.วิธีทดลอง. จุดศูนย์ถ่วงของวัตถุที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของโครงสร้างที่ซับซ้อนสามารถกำหนดได้โดยการทดลอง: โดยการแขวนและการชั่งน้ำหนัก วิธีแรกคือการที่ร่างกายถูกแขวนไว้บนสายเคเบิลตามจุดต่างๆ ทิศทางของเชือกที่ตัวห้อยลงมาจะเป็นตัวกำหนดทิศทางของแรงโน้มถ่วง จุดตัดของทิศทางเหล่านี้กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย
วิธีการชั่งน้ำหนักประกอบด้วยการกำหนดน้ำหนักของร่างกายก่อน เช่น รถยนต์ จากนั้นบนตาชั่งจะกำหนดความดันของเพลาล้อหลังของรถในส่วนรองรับ โดยการรวบรวมสมการดุลยภาพตามจุดใดจุดหนึ่ง เช่น แกนของล้อหน้า คุณสามารถคำนวณระยะทางจากแกนนี้ถึงจุดศูนย์ถ่วงของรถได้ (รูปที่ 6.6)

รูปที่ 6.6

บางครั้งในการแก้ปัญหา จำเป็นต้องใช้วิธีการที่แตกต่างกันในการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง

6.4. จุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงเรขาคณิตบางรูป

ในการกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุที่มีรูปร่างทั่วไป (สามเหลี่ยม, ส่วนโค้งวงกลม, เซกเตอร์, ส่วน) จะสะดวกที่จะใช้ข้อมูลอ้างอิง (ตารางที่ 6.1)

ตาราง 6.1

พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันบางส่วน

№	ชื่อรูป	รูปภาพ
	ส่วนโค้งของวงกลม: จุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งของวงกลมที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่บนแกนสมมาตร (พิกัด yc=0). Rคือรัศมีของวงกลม
	ภาควงกลมที่เป็นเนื้อเดียวกัน yc=0). โดยที่ α คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลาง Rคือรัศมีของวงกลม
	เซ็กเมนต์: จุดศูนย์ถ่วงอยู่บนแกนสมมาตร (พิกัด yc=0). โดยที่ α คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลาง Rคือรัศมีของวงกลม
	ครึ่งวงกลม:
	สามเหลี่ยม: จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน ที่ไหน x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- พิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยม
	กรวย: จุดศูนย์ถ่วงของกรวยทรงกลมที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ที่ความสูงและอยู่ห่างจากฐานของกรวย 1/4 ของความสูง