สมการเชิงอนุพันธ์ (DE) - นี่คือสมการ
โดยที่ตัวแปรอิสระอยู่ที่ไหน y คือฟังก์ชันและเป็นอนุพันธ์ย่อย

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรอิสระตั้งแต่สองตัวขึ้นไป

คำว่า "สามัญ" และ "อนุพันธ์บางส่วน" อาจละเว้นได้หากมีความชัดเจนว่าสมการใดที่กำลังพิจารณาอยู่ ต่อไปนี้จะพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

ลำดับสมการเชิงอนุพันธ์ คือลำดับของอนุพันธ์สูงสุด

นี่คือตัวอย่างของสมการลำดับที่หนึ่ง:

นี่คือตัวอย่างของสมการลำดับที่สี่:

บางครั้งสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะถูกเขียนในรูปของอนุพันธ์:

ในกรณีนี้ ตัวแปร x และ y เท่ากัน นั่นคือตัวแปรอิสระสามารถเป็นได้ทั้ง x หรือ y
ในกรณีแรก y เป็นฟังก์ชันของ x
.
ในกรณีที่สอง x เป็นฟังก์ชันของ y
.

หากจำเป็น เราสามารถลดสมการนี้ให้อยู่ในรูปแบบที่มีอนุพันธ์ y′ ไว้อย่างชัดเจน

หารสมการนี้ด้วย dx เราจะได้: ตั้งแต่ และ มันเป็นไปตามนั้นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

• อนุพันธ์จาก

  ฟังก์ชั่นเบื้องต้น แสดงออกผ่านฟังก์ชันเบื้องต้น อินทิกรัลของฟังก์ชันพื้นฐานมักไม่แสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ สถานการณ์ยิ่งแย่ลงไปอีก จากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา คุณจะได้รับ: การพึ่งพาฟังก์ชันกับตัวแปรอย่างชัดเจนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

• คือฟังก์ชัน y = u (เอ็กซ์)ซึ่งถูกกำหนดไว้ หารอนุพันธ์ได้ n เท่า และ

  การพึ่งพาโดยนัยในรูปแบบของสมการประเภท Φ (x, y) = 0

• หรือระบบสมการ

  อินทิกรัลของสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีรูปแบบโดยปริยาย

• การพึ่งพาอาศัยกันแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานและปริพันธ์จากพวกมัน

เนื่องจากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับการคำนวณอินทิกรัล วิธีแก้ปัญหาจึงรวมชุดของค่าคงที่ C 1, C 2, C 3, ... C n จำนวนค่าคงที่เท่ากับลำดับของสมการ อินทิกรัลบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ คืออินทิกรัลทั่วไปที่ค่าที่กำหนด

ค่าคงที่ C 1, C 2, C 3, ..., C n
วรรณกรรมที่ใช้:
วี.วี. Stepanov หลักสูตรสมการเชิงอนุพันธ์ "LKI" ปี 2558

น.เอ็ม. กุนเธอร์ อาร์.โอ. Kuzmin, ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง, “ลาน”, 2546.

สถาบันการศึกษา "รัฐเบลารุส"

สถาบันเกษตรกรรม" แผนก

คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง

บันทึกการบรรยายสำหรับนักศึกษาบัญชี

รูปแบบการติดต่อทางการศึกษา (NISPO)

กอร์กี, 2013

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

แนวคิดเรื่องสมการเชิงอนุพันธ์ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปและโดยเฉพาะ

เมื่อศึกษาปรากฏการณ์ต่างๆ มักจะไม่สามารถหากฎที่เชื่อมโยงตัวแปรอิสระกับฟังก์ชันที่ต้องการได้โดยตรง แต่ก็เป็นไปได้ที่จะสร้างการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันที่ต้องการกับอนุพันธ์ของตัวแปรนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระเรียกว่าฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ของมัน :

สมการเชิงอนุพันธ์ ที่นี่ x – ตัวแปรอิสระย
– ฟังก์ชั่นที่ต้องการ

- อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ต้องการ ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์ (1) ต้องมีอนุพันธ์อย่างน้อยหนึ่งรายการ ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์

เรียกว่าลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่รวมอยู่ในสมการ

. (2)

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ เนื่องจากสมการนี้มีเฉพาะอนุพันธ์อันดับหนึ่งเท่านั้นจึงถูกเรียกว่า

เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

, (3)

ถ้าสมการ (2) สามารถแก้สมการอนุพันธ์และเขียนในรูปได้

สมการดังกล่าวจึงเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในรูปแบบปกติ

ในหลายกรณี แนะนำให้พิจารณาสมการของแบบฟอร์ม ซึ่งเรียกว่า

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เขียนในรูปแบบอนุพันธ์
เพราะ
จากนั้นสมการ (3) สามารถเขียนได้ในรูป
หรือ
ซึ่งเราสามารถนับได้
และ

- ซึ่งหมายความว่าสมการ (3) จะถูกแปลงเป็นสมการ (4)
ให้เราเขียนสมการ (4) ในรูปแบบ
,
,
หรือ
- แล้ว

, เช่น. จะได้สมการของรูปแบบ (3) ดังนั้นสมการ (3) และ (4) จึงเท่ากัน การแก้สมการเชิงอนุพันธ์
(2) หรือ (3) เรียกว่าฟังก์ชันใดๆ

ซึ่งเมื่อแทนที่มันลงในสมการ (2) หรือ (3) ทำให้มันกลายเป็นเอกลักษณ์:
.

หรือ กระบวนการค้นหาคำตอบทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่ากระบวนการของมัน บูรณาการ
เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ เส้นโค้งอินทิกรัล สมการนี้

หากได้คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบโดยปริยาย
แล้วมันถูกเรียกว่า บูรณาการ ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้

วิธีแก้ปัญหาทั่วไป ของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งคือตระกูลของฟังก์ชันของแบบฟอร์ม
ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ที่กำหนดเอง กับซึ่งแต่ละอันเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดสำหรับค่าใดๆ มูลค่าที่ยอมรับได้ค่าคงที่ตามอำเภอใจ กับ- ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์จึงมี นับไม่ถ้วนการตัดสินใจ

การตัดสินใจส่วนตัว สมการเชิงอนุพันธ์คือคำตอบที่ได้จากสูตรการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับค่าเฉพาะของค่าคงที่ตามอำเภอใจ กับ, รวมทั้ง
.

ปัญหาคอชี่และการตีความทางเรขาคณิต

สมการ (2) มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด ในการเลือกโซลูชันหนึ่งรายการจากชุดนี้ ซึ่งเรียกว่าโซลูชันส่วนตัว คุณจะต้องกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการ

เรียกว่าปัญหาในการหาคำตอบเฉพาะของสมการ (2) ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด ปัญหาคอชี่ - ปัญหานี้เป็นปัญหาที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์

ปัญหา Cauchy มีการกำหนดดังนี้: ในบรรดาคำตอบทั้งหมดของสมการ (2) ให้ค้นหาคำตอบดังกล่าว
ซึ่งในฟังก์ชัน
รับค่าตัวเลขที่กำหนด ถ้าเป็นตัวแปรอิสระ ที่นี่ รับค่าตัวเลขที่กำหนด , เช่น.

,
, (5)

ที่ไหน ดี– โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
.

ความหมาย เรียกว่า ค่าเริ่มต้นของฟังก์ชัน , ก – ค่าเริ่มต้นของตัวแปรอิสระ - เรียกว่าเงื่อนไข (5) สภาพเริ่มต้น หรือ สภาพครึ้ม .

จากมุมมองทางเรขาคณิต ปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ (2) สามารถกำหนดได้ดังนี้ จากเซตของเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการ (2) ให้เลือกอันที่ผ่านจุดที่กำหนด
.

สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกไม่ออก

สมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดประเภทหนึ่งคือสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่ไม่มีฟังก์ชันที่ต้องการ:

. (6)

เมื่อพิจารณาแล้วว่า
, เราเขียนสมการในรูปแบบ
จากนั้นสมการ (3) สามารถเขียนได้ในรูป
- เมื่อรวมสมการทั้งสองข้างของสมการสุดท้ายเข้าด้วยกัน เราจะได้:
จากนั้นสมการ (3) สามารถเขียนได้ในรูป

. (7)

ดังนั้น (7) จึงเป็นคำตอบทั่วไปของสมการ (6)

ตัวอย่างที่ 1 - หา วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย - เรามาเขียนสมการในรูปแบบกัน
จากนั้นสมการ (3) สามารถเขียนได้ในรูป
- มารวมทั้งสองด้านของสมการผลลัพธ์กัน:
,
- ในที่สุดเราจะเขียนมันลงไป
.

ตัวอย่างที่ 2 - หาคำตอบของสมการ
ระบุว่า
.

สารละลาย - มาหาคำตอบทั่วไปของสมการกัน:
,
,
,
- ตามเงื่อนไข
,
- ลองใช้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปแทน:
จากนั้นสมการ (3) สามารถเขียนได้ในรูป
- เราแทนที่ค่าที่พบของค่าคงที่ตามอำเภอใจลงในสูตรสำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
- นี่เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด

สมการ

(8)

เรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่ไม่มีตัวแปรอิสระ - ลองเขียนมันในรูปแบบ
จากนั้นสมการ (3) สามารถเขียนได้ในรูป
- มารวมทั้งสองข้างของสมการสุดท้ายกัน:
จากนั้นสมการ (3) สามารถเขียนได้ในรูป
- การแก้สมการทั่วไป (8)

ตัวอย่าง - หาคำตอบทั่วไปของสมการ
.

สารละลาย - ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบ:
จากนั้นสมการ (3) สามารถเขียนได้ในรูป
ให้เราเขียนสมการ (4) ในรูปแบบ
,
,
,
- ดังนั้น,
คือคำตอบทั่วไปของสมการนี้

สมการของแบบฟอร์ม

(9)

บูรณาการโดยใช้การแยกตัวแปร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนสมการในรูปแบบ
จากนั้นใช้การดำเนินการของการคูณและการหาร เรานำมาสู่รูปแบบที่ส่วนหนึ่งมีเพียงฟังก์ชันของเท่านั้น เอ็กซ์และส่วนต่าง ดีเอ็กซ์และในส่วนที่สอง – ฟังก์ชั่นของ ที่และส่วนต่าง ดี้- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะต้องคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ดีเอ็กซ์และหารด้วย
- เป็นผลให้เราได้สมการ

, (10)

ซึ่งตัวแปรต่างๆ เอ็กซ์และ ที่แยกออกจากกัน มารวมทั้งสองด้านของสมการ (10):
- ผลลัพธ์ที่ได้คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการ (9)

ตัวอย่างที่ 3 - สมการอินทิกรัล
.

สารละลาย - มาแปลงสมการและแยกตัวแปรกัน:
,
- มาบูรณาการกัน:
,
หรือเป็นอินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้
.

ให้สมการอยู่ในรูป

สมการนี้เรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งพร้อมตัวแปรที่แยกไม่ออก ในรูปแบบสมมาตร

หากต้องการแยกตัวแปร คุณต้องหารทั้งสองข้างของสมการด้วย
:

. (12)

สมการผลลัพธ์เรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกออกจากกัน - มารวมสมการ (12):

.(13)

ความสัมพันธ์ (13) คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (11)

ตัวอย่างที่ 4 - อินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย - เรามาเขียนสมการในรูปแบบกัน

และหารทั้งสองส่วนด้วย
,
- สมการผลลัพธ์:
เป็นสมการตัวแปรที่แยกออกจากกัน มาบูรณาการกัน:

,
,

,
- ความเสมอภาคสุดท้ายคืออินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้

ตัวอย่างที่ 5 - หาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์
, เป็นไปตามเงื่อนไข
.

สารละลาย - เมื่อพิจารณาแล้วว่า
, เราเขียนสมการในรูปแบบ
จากนั้นสมการ (3) สามารถเขียนได้ในรูป
- มาแยกตัวแปรกัน:
- ลองรวมสมการนี้:
,
,
- ผลลัพธ์ที่ได้คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้ ตามเงื่อนไข
- ลองแทนมันเข้าไปในอินทิกรัลทั่วไปแล้วหา กับ:
,กับ=1. แล้วการแสดงออก
คือคำตอบบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด ซึ่งเขียนเป็นอินทิกรัลย่อย

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก

สมการ

(14)

เรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก - ฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก
และอนุพันธ์ของมันจะเข้าสู่สมการนี้เป็นเส้นตรงและฟังก์ชันต่างๆ
ซึ่งเราสามารถนับได้
อย่างต่อเนื่อง

ถ้า
แล้วสมการ

(15)

เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น - ถ้า
จากนั้นจึงเรียกสมการ (14) เชิงเส้นไม่เหมือนกัน .

ในการหาคำตอบของสมการ (14) เรามักจะใช้ วิธีการทดแทน (เบอร์นูลลี) ซึ่งมีสาระสำคัญดังนี้

เราจะหาคำตอบของสมการ (14) ในรูปผลคูณของสองฟังก์ชัน

, (16)

ที่ไหน
ซึ่งเราสามารถนับได้
- บาง ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง- มาทดแทนกัน
และอนุพันธ์
เข้าไปในสมการ (14):

การทำงาน โวลต์เราจะเลือกให้เป็นไปตามเงื่อนไข
- แล้ว
- ดังนั้นในการหาคำตอบของสมการ (14) จึงจำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์

สมการแรกของระบบคือสมการเอกพันธ์เชิงเส้นและสามารถแก้ไขได้โดยวิธีแยกตัวแปร:
,
,
,
,
- เป็นฟังก์ชัน
คุณสามารถใช้คำตอบบางส่วนของสมการเอกพันธ์ได้เช่น ที่ กับ=1:
- แทนที่สมการที่สองของระบบ:
จากนั้นสมการ (3) สามารถเขียนได้ในรูป
.แล้ว
- ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งจึงมีรูปแบบ
.

ตัวอย่างที่ 6 - แก้สมการ
.

สารละลาย - เราจะหาคำตอบของสมการในรูป
ให้เราเขียนสมการ (4) ในรูปแบบ
- ลองแทนลงในสมการ:

ซึ่งเมื่อแทนที่มันลงในสมการ (2) หรือ (3) ทำให้มันกลายเป็นเอกลักษณ์:
- การทำงาน โวลต์เลือกในทางที่เท่าเทียม
ให้เราเขียนสมการ (4) ในรูปแบบ
- ลองแก้สมการแรกโดยใช้วิธีการแยกตัวแปร:
,
,
,
,- การทำงาน โวลต์ลองแทนสมการที่สอง:
,
,
,
- คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ
.

คำถามเพื่อการควบคุมความรู้ด้วยตนเอง

สมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร?

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร?

สมการเชิงอนุพันธ์ข้อใดเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนในรูปแบบอนุพันธ์อย่างไร

วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร?

เส้นโค้งอินทิกรัลคืออะไร?

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งคืออะไร?

วิธีแก้สมการอนุพันธ์บางส่วนเรียกว่าอะไร?

ปัญหาคอชีถูกกำหนดขึ้นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งอย่างไร

การตีความทางเรขาคณิตของปัญหาคอชีคืออะไร?

จะเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกส่วนได้ในรูปแบบสมมาตรได้อย่างไร

สมการใดเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง

วิธีใดที่สามารถใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งได้ และสาระสำคัญของวิธีนี้คืออะไร

งานสำหรับงานอิสระ

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกไม่ออก:

ก)
- ข)
;

วี)
- ช)
.

2. แก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง:

ก)
- ข)
- วี)
;

ช)
- ง)
.

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ คือสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรนี้และอนุพันธ์ของตัวแปร (หรือดิฟเฟอเรนเชียล) ของลำดับต่างๆ

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ เรียกว่าลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่อยู่ในนั้น

นอกจากสมการทั่วไปแล้ว ยังมีการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยด้วย สิ่งเหล่านี้คือสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระ ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรเหล่านี้ และอนุพันธ์ย่อยของตัวแปรนั้นเทียบกับตัวแปรเดียวกัน แต่เราจะพิจารณาเท่านั้น สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ดังนั้นเพื่อความกระชับเราจึงละเว้นคำว่า "ธรรมดา"

ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

สมการ (1) คือลำดับที่สี่ สมการ (2) คือลำดับที่สาม สมการ (3) และ (4) คือลำดับที่สอง สมการ (5) คือลำดับที่หนึ่ง

สมการเชิงอนุพันธ์ nลำดับที่ไม่จำเป็นต้องมีฟังก์ชันที่ชัดเจน ซึ่งเป็นอนุพันธ์ทั้งหมดตั้งแต่ตัวแรกถึง n-ลำดับที่และตัวแปรอิสระ อาจไม่มีอนุพันธ์ที่ชัดเจนของคำสั่งบางคำสั่ง ฟังก์ชัน หรือตัวแปรอิสระ

ตัวอย่างเช่น ในสมการ (1) ไม่มีอนุพันธ์อันดับสามและอันดับสองอย่างชัดเจน รวมถึงฟังก์ชันด้วย ในสมการ (2) - อนุพันธ์อันดับสองและฟังก์ชัน ในสมการ (4) - ตัวแปรอิสระ ในสมการ (5) - ฟังก์ชัน เฉพาะสมการ (3) เท่านั้นที่มีอนุพันธ์ ฟังก์ชัน และตัวแปรอิสระทั้งหมดอย่างชัดเจน

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ทุกฟังก์ชันถูกเรียก ย = ฉ(x)เมื่อแทนลงในสมการจะกลายเป็นอัตลักษณ์

กระบวนการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่ากระบวนการของมัน กระบวนการค้นหาคำตอบทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่ากระบวนการของมัน.

ตัวอย่างที่ 1หาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย. ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบ วิธีแก้คือหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ของมัน ฟังก์ชันดั้งเดิม ดังที่ทราบจากแคลคูลัสอินทิกรัล นั้นเป็นฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟสำหรับ เช่น

นี่คือมัน คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ - การเปลี่ยนแปลงในนั้น คเราจะได้รับวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน เราพบว่ามี ชุดอนันต์คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ nลำดับที่ 2 คือคำตอบที่แสดงอย่างชัดเจนเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและประกอบด้วย nค่าคงที่ตามอำเภอใจอิสระเช่น

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในตัวอย่างที่ 1 นั้นเป็นคำตอบทั่วไป

ผลเฉลยบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ วิธีแก้ปัญหาที่เรียกว่าค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์และคำตอบเฉพาะสำหรับ .

สารละลาย. ลองอินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการหลายๆ ครั้งเท่ากับลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์กัน

,

.

เป็นผลให้เราได้รับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป -

ของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามที่กำหนด

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาเฉพาะภายใต้เงื่อนไขที่ระบุกัน ในการทำเช่นนี้ให้แทนที่ค่าของพวกเขาแทนค่าสัมประสิทธิ์ตามอำเภอใจแล้วรับ

.

หากนอกเหนือจากสมการเชิงอนุพันธ์แล้ว เงื่อนไขเริ่มต้นจะได้รับในรูปแบบ ดังนั้นปัญหาดังกล่าวจะถูกเรียกว่า ปัญหาคอชี่ - แทนค่าและลงในคำตอบทั่วไปของสมการแล้วค้นหาค่าของค่าคงที่ตามอำเภอใจ คแล้วคำตอบเฉพาะของสมการของค่าที่พบ ค- นี่คือวิธีแก้ปัญหาคอชี่

ตัวอย่างที่ 3แก้โจทย์คอชี่สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์จากตัวอย่างที่ 1 เรื่อง ถึง

สารละลาย. ให้เราแทนค่าจากเงื่อนไขเริ่มต้นไปเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป – ตัวแปรอิสระ = 3, ที่นี่= 1. เราได้

เราเขียนวิธีแก้ปัญหาของปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งนี้:

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ แม้แต่สมการที่ง่ายที่สุด ก็ต้องอาศัยทักษะการอินทิเกรตและอนุพันธ์ที่ดี รวมถึงฟังก์ชันที่ซับซ้อน ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 4หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย. สมการนี้เขียนอยู่ในรูปแบบที่คุณสามารถอินทิเกรตทั้งสองด้านได้ทันที

.

เราใช้วิธีการอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร (การทดแทน) ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น

จำเป็นต้องเอา ดีเอ็กซ์และตอนนี้ - ความสนใจ - เราทำสิ่งนี้ตามกฎของการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนตั้งแต่นั้นมา ที่นี่และมี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน("แอปเปิ้ล" - การสกัด รากที่สองหรือสิ่งเดียวกัน - การยกกำลัง "ครึ่งหนึ่ง" และ "เนื้อสับ" เป็นสำนวนที่อยู่ใต้ราก):

เราพบอินทิกรัล:

กลับไปสู่ตัวแปร ที่นี่เราได้รับ:

.

นี่คือคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดีกรีแรก

ไม่เพียงแต่ต้องใช้ทักษะจากส่วนก่อนหน้าของคณิตศาสตร์ชั้นสูงในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เท่านั้น แต่ยังต้องใช้ทักษะตั้งแต่ระดับประถมศึกษาด้วยนั่นคือ คณิตศาสตร์ของโรงเรียน- ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ในสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับใดๆ อาจไม่มีตัวแปรอิสระ นั่นคือตัวแปร ที่นี่- ความรู้เรื่องสัดส่วนจากโรงเรียนที่ไม่ลืม (แต่ ขึ้นอยู่กับใคร) จากโรงเรียน จะช่วยแก้ปัญหานี้ได้ นี่คือตัวอย่างถัดไป

สมการเชิงอนุพันธ์สั่งซื้อครั้งแรก ตัวอย่างการแก้ปัญหา
สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกไม่ออก

สมการเชิงอนุพันธ์ (DE) สองคำนี้มักจะทำให้คนทั่วไปหวาดกลัว สมการเชิงอนุพันธ์ดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่ห้ามปรามและยากแก่การเรียนรู้สำหรับนักเรียนหลายคน อู้ยยยย... สมการเชิงอนุพันธ์ ฉันจะเอาตัวรอดทั้งหมดนี้ได้อย่างไร!

ความคิดเห็นและทัศนคตินี้ผิดโดยพื้นฐานเพราะในความเป็นจริง สมการเชิงอนุพันธ์ - ง่ายและยังสนุกอีกด้วย- คุณจำเป็นต้องรู้และสามารถทำอะไรได้บ้างเพื่อที่จะเรียนรู้วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์? หากต้องการศึกษาการกระจายตัวให้ประสบความสำเร็จ คุณจะต้องเก่งในการบูรณาการและสร้างความแตกต่าง ยิ่งมีการศึกษาหัวข้อต่างๆ ได้ดีเท่าไร อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวและ อินทิกรัลไม่ จำกัดยิ่งเข้าใจสมการเชิงอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้นเท่านั้น ฉันจะพูดมากกว่านี้ถ้าคุณมีทักษะบูรณาการที่ดีไม่มากก็น้อยหัวข้อนี้ก็เกือบจะเชี่ยวชาญแล้ว! ยิ่งอินทิกรัลมากขึ้น ประเภทต่างๆคุณรู้วิธีตัดสินใจ - ยิ่งดีมากขึ้นเท่านั้น ทำไม คุณจะต้องบูรณาการมาก และสร้างความแตกต่าง อีกด้วย ขอแนะนำอย่างยิ่งเรียนรู้ที่จะค้นหา

ใน 95% ของกรณีใน การทดสอบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งมี 3 ประเภท: สมการที่แยกออกจากกันซึ่งเราจะดูในบทเรียนนี้ สมการเอกพันธ์และ สมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น- สำหรับผู้ที่เริ่มศึกษาดิฟฟิวเซอร์ ฉันแนะนำให้คุณอ่านบทเรียนตามลำดับนี้ทุกประการ และหลังจากศึกษาสองบทความแรกแล้ว การรวมทักษะของคุณในเวิร์กช็อปเพิ่มเติมจะไม่เสียหาย - สมการลดลงเป็นเนื้อเดียวกัน.

มีสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทที่หายากกว่านั้นอีก เช่น สมการเชิงอนุพันธ์รวม สมการเบอร์นูลลี และอื่นๆ อีกมากมาย ที่สำคัญที่สุดของทั้งสอง สายพันธุ์ใหม่ล่าสุดมีสมการอยู่ในนั้น เฟืองท้ายเต็มเนื่องจากนอกเหนือจากรีโมทคอนโทรลนี้แล้ว ฉันกำลังพิจารณาอยู่ วัสดุใหม่ – บูรณาการบางส่วน.

หากคุณมีเวลาเหลือเพียงวันหรือสองวัน, ที่ เพื่อการเตรียมการที่รวดเร็วเป็นพิเศษมี หลักสูตรแบบสายฟ้าแลบในรูปแบบ pdf

สถานที่สำคัญได้ถูกกำหนดแล้ว - ไปกันเลย:

ก่อนอื่น เรามาจำสมการพีชคณิตปกติกันก่อน ประกอบด้วยตัวแปรและตัวเลข ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด- การแก้สมการสามัญหมายความว่าอย่างไร? นี่หมายถึงการค้นหา ชุดตัวเลขซึ่งเป็นไปตามสมการนี้ สังเกตได้ง่ายว่าสมการของเด็กมีรากเดียว: . เพื่อความสนุก มาตรวจสอบและแทนที่รากที่พบลงในสมการของเรา:

– ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง

ดิฟฟิวเซอร์ได้รับการออกแบบในลักษณะเดียวกันมาก!

สมการเชิงอนุพันธ์ สั่งซื้อครั้งแรกวี กรณีทั่วไป ประกอบด้วย:
1) ตัวแปรอิสระ
2) ตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน);
3) อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน: .

ในสมการลำดับที่ 1 บางสมการอาจไม่มี "x" และ/หรือ "y" แต่ก็ไม่มีนัยสำคัญ - สำคัญเพื่อไปที่ห้องควบคุม เคยเป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่ง และ ไม่มีอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงกว่า – ฯลฯ

มันหมายความว่าอะไร?การแก้สมการเชิงอนุพันธ์หมายถึงการค้นหา ชุดฟังก์ชั่นทั้งหมดซึ่งเป็นไปตามสมการนี้ ชุดของฟังก์ชันดังกล่าวมักจะมีรูปแบบ (- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ) ซึ่งเรียกว่า คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์.

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

กระสุนเต็ม. จะเริ่มตรงไหน สารละลาย?

ก่อนอื่น คุณต้องเขียนอนุพันธ์ใหม่ในรูปแบบที่ต่างออกไปเล็กน้อย เราจำการกำหนดที่ยุ่งยากซึ่งหลายท่านอาจดูไร้สาระและไม่จำเป็น นี่คือกฎเกณฑ์ในดิฟฟิวเซอร์!

ในขั้นตอนที่ 2 มาดูกันว่าเป็นไปได้หรือไม่ ตัวแปรแยกกัน?การแยกตัวแปรหมายความว่าอย่างไร พูดประมาณว่า ทางด้านซ้ายเราจำเป็นต้องออกไป "กรีก" เท่านั้น, ก ทางด้านขวาจัดระเบียบ แค่ "X" เท่านั้น- การแบ่งตัวแปรดำเนินการโดยใช้การจัดการแบบ "โรงเรียน": นำพวกมันออกจากวงเล็บ, ถ่ายโอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมาย, ถ่ายโอนปัจจัยจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งตามกฎของสัดส่วน ฯลฯ

ส่วนต่างและเป็นตัวคูณเต็มและผู้เข้าร่วมในการสู้รบ ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ตัวแปรจะถูกแยกออกจากกันอย่างง่ายดายโดยการโยนตัวประกอบตามกฎสัดส่วน:

ตัวแปรจะถูกแยกออกจากกัน ทางด้านซ้ายมีเพียง "Y's" ทางด้านขวา - เฉพาะ "X's"

ขั้นต่อไปคือ การอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์- ง่ายมาก เราใส่อินทิกรัลไว้ทั้งสองด้าน:

แน่นอน เราจำเป็นต้องหาอินทิกรัล ใน ในกรณีนี้เป็นตาราง:

ดังที่เราจำได้ ค่าคงที่ถูกกำหนดให้กับแอนติเดริเวทีฟใดๆ มีอินทิกรัลสองตัวตรงนี้ แต่เขียนค่าคงที่ครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว (เนื่องจากค่าคงที่ + ค่าคงที่ยังคงเท่ากับค่าคงที่อื่น)- โดยส่วนใหญ่แล้วจะวางไว้ใน ด้านขวา.

พูดอย่างเคร่งครัด หลังจากหาอินทิกรัลแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์จะถูกแก้ไข สิ่งเดียวก็คือว่า "y" ของเราไม่ได้แสดงผ่าน "x" นั่นคือมีการนำเสนอวิธีแก้ปัญหา โดยปริยายรูปร่าง. การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบโดยนัยเรียกว่าการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์- นั่นคือ นี่คืออินทิกรัลทั่วไป

คำตอบในรูปแบบนี้ค่อนข้างยอมรับได้ แต่มีตัวเลือกที่ดีกว่านี้ไหม มาลองรับกัน วิธีแก้ปัญหาทั่วไป.

โปรด, จำอันแรกได้ เทคนิคทางเทคนิค มันเป็นเรื่องธรรมดามากและมักใช้ใน งานภาคปฏิบัติ: หากลอการิทึมปรากฏทางด้านขวาหลังจากการรวมเข้าด้วยกัน ในหลายกรณี (แต่ไม่เสมอไป!) ขอแนะนำให้เขียนค่าคงที่ไว้ใต้ลอการิทึม.

นั่นคือ แทนมักจะเขียนรายการ .

เหตุใดจึงจำเป็น? และเพื่อให้ง่ายต่อการแสดงออกถึง “เกม” การใช้คุณสมบัติของลอการิทึม - ในกรณีนี้:

ตอนนี้ลอการิทึมและโมดูลสามารถลบออกได้:

มีการนำเสนอฟังก์ชันอย่างชัดเจน นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

คำตอบ: วิธีแก้ปัญหาทั่วไป: .

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์หลายตัวนั้นค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบ ในกรณีของเรา การดำเนินการนี้ทำได้ค่อนข้างง่าย โดยเราใช้วิธีแก้ไขปัญหาที่พบและแยกแยะความแตกต่าง:

จากนั้นเราแทนอนุพันธ์ลงในสมการดั้งเดิม:

– ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าคำตอบทั่วไปเป็นไปตามสมการ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ

ให้สม่ำเสมอ ความหมายที่แตกต่างกันคุณสามารถได้รับมากมายอย่างไม่สิ้นสุด โซลูชั่นส่วนตัวสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชันใด ๆ , ฯลฯ เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์

บางครั้งเรียกว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ครอบครัวของฟังก์ชั่น- ใน ในตัวอย่างนี้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป - นี่คือครอบครัว ฟังก์ชันเชิงเส้นหรือค่อนข้างจะเป็นตระกูลที่มีสัดส่วนโดยตรง

หลังจากทบทวนตัวอย่างแรกอย่างละเอียดแล้ว ก็ควรตอบคำถามไร้เดียงสาหลายข้อเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์:

1)ในตัวอย่างนี้ เราสามารถแยกตัวแปรได้ สิ่งนี้สามารถทำได้เสมอหรือไม่?ไม่ ไม่เสมอไป และบ่อยครั้งที่ตัวแปรไม่สามารถแยกออกจากกันได้ ตัวอย่างเช่นใน สมการอันดับหนึ่งที่เป็นเนื้อเดียวกันคุณต้องเปลี่ยนมันก่อน ในสมการประเภทอื่นๆ เช่น ในสมการอินฮอโมจีนัสเชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง คุณจำเป็นต้องใช้เทคนิคและวิธีการต่างๆ เพื่อค้นหาคำตอบทั่วไป สมการที่มีตัวแปรที่แยกได้ซึ่งเราพิจารณาในบทเรียนแรก - ประเภทที่ง่ายที่สุดสมการเชิงอนุพันธ์

2) เป็นไปได้ไหมที่จะอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์?ไม่ ไม่เสมอไป เป็นเรื่องง่ายมากที่จะเกิดสมการ "แฟนซี" ที่ไม่สามารถบูรณาการได้ นอกจากนี้ยังมีอินทิกรัลที่ไม่สามารถนำมารวมกันได้ แต่ DE ที่คล้ายกันสามารถแก้ไขได้โดยประมาณโดยใช้ วิธีการพิเศษ- รับประกันว่า D’Alembert และ Cauchy... ...เอ่อ ซุ่มซ่อนอยู่นะ ยิ่งอ่านไปเยอะเมื่อกี้ ฉันเกือบเสริมว่า "มาจากอีกโลกหนึ่ง" เลย

3) ในตัวอย่างนี้ เราได้รับคำตอบในรูปแบบของอินทิกรัลทั่วไป - เป็นไปได้ไหมที่จะหาคำตอบทั่วไปจากอินทิกรัลทั่วไป นั่นคือ แสดงออก “y” อย่างชัดเจน?ไม่ ไม่เสมอไป ตัวอย่างเช่น: . แล้วคุณจะแสดงออกถึง "กรีก" ที่นี่ได้อย่างไร! ในกรณีเช่นนี้ ควรเขียนคำตอบเป็นอินทิกรัลทั่วไป นอกจากนี้บางครั้งก็เป็นไปได้ที่จะหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แต่เขียนไว้ยุ่งยากและงุ่มง่ามจนเป็นการดีกว่าที่จะทิ้งคำตอบไว้ในรูปแบบของอินทิกรัลทั่วไป

4) …บางทีนั่นก็เพียงพอแล้วสำหรับตอนนี้ ในตัวอย่างแรกที่เราพบ อื่น จุดสำคัญ แต่เพื่อไม่ให้ปกคลุม “หุ่นจำลอง” ด้วยหิมะถล่ม ข้อมูลใหม่ผมจะทิ้งไว้จนกว่าจะถึงบทเรียนถัดไป

เราจะไม่รีบร้อน รีโมทคอนโทรลแบบเรียบง่ายอีกตัวหนึ่งและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปอื่น:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขตั้งต้น

สารละลาย:ตามเงื่อนไขต้องหาครับ โซลูชันส่วนตัว DE ที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด การกำหนดคำถามนี้เรียกอีกอย่างว่า ปัญหาคอชี่.

ขั้นแรกเราจะหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ไม่มีตัวแปร "x" ในสมการ แต่ไม่ควรสับสน สิ่งสำคัญคือมันมีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

เราเขียนอนุพันธ์ใหม่เข้าไป ในรูปแบบที่ถูกต้อง:

แน่นอนว่าตัวแปรต่างๆ สามารถแยกออกจากกันได้ เด็กผู้ชายทางซ้าย เด็กผู้หญิงทางด้านขวา:

มารวมสมการกัน:

จะได้อินทิกรัลทั่วไป ที่นี่ฉันได้วาดค่าคงที่ด้วยเครื่องหมายดอกจัน ความจริงก็คือในไม่ช้ามันจะกลายเป็นค่าคงที่อื่น

ตอนนี้เราพยายามแปลงอินทิกรัลทั่วไปให้เป็นคำตอบทั่วไป (แสดงตัว "y" อย่างชัดเจน) มารำลึกถึงสิ่งเก่าดีๆจากโรงเรียน: - ในกรณีนี้:

ค่าคงที่ในตัวบ่งชี้ดูไม่บริสุทธิ์ ดังนั้นจึงมักจะถูกนำลงมาสู่พื้นดิน โดยรายละเอียดจะเป็นเช่นนี้ โดยใช้คุณสมบัติขององศา เราจะเขียนฟังก์ชันใหม่ดังนี้:

ถ้าเป็นค่าคงที่ ก็แสดงว่าเป็นค่าคงที่ด้วย ลองกำหนดใหม่ด้วยตัวอักษร:

จำไว้ว่า “การรื้อถอน” คงที่คือ เทคนิคที่สองซึ่งมักใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ: . นี่เป็นกลุ่มฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ดี

ในขั้นตอนสุดท้าย คุณจะต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด นี่เป็นเรื่องง่ายเช่นกัน

ภารกิจคืออะไร? ต้องหยิบขึ้นมา เช่นค่าคงที่เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข

สามารถจัดรูปแบบได้หลายวิธี แต่นี่อาจเป็นวิธีที่ชัดเจนที่สุด ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แทนที่จะเป็น "X" เราจะแทนที่ศูนย์ และแทนที่จะเป็น "Y" เราจะแทนที่ด้วยสอง:



นั่นคือ

รุ่นการออกแบบมาตรฐาน:

ตอนนี้เราแทนค่าที่พบของค่าคงที่ลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
– นี่คือวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่เราต้องการ

คำตอบ: โซลูชันส่วนตัว:

มาตรวจสอบกัน การตรวจสอบโซลูชันส่วนตัวประกอบด้วยสองขั้นตอน:

ก่อนอื่นคุณต้องตรวจสอบว่าวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่พบว่าตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นจริงหรือไม่ แทนที่จะเป็น "X" เราแทนที่ศูนย์แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น:
- ใช่ ได้รับสองอันแล้ว ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น

ขั้นตอนที่สองเป็นที่คุ้นเคยอยู่แล้ว เราใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่เป็นผลลัพธ์และค้นหาอนุพันธ์:

เราแทนลงในสมการดั้งเดิม:

– ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

สรุป: พบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างถูกต้อง

เรามาดูตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้นกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย:เราเขียนอนุพันธ์ใหม่ในรูปแบบที่เราต้องการ:

เราประเมินว่าสามารถแยกตัวแปรได้หรือไม่? สามารถ. เราย้ายเทอมที่สองไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย:

และเราโอนตัวคูณตามกฎสัดส่วน:

ตัวแปรถูกแยกออกจากกัน มารวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน:

ฉันต้องเตือนคุณว่าวันพิพากษาใกล้เข้ามาแล้ว ถ้าเรียนไม่เก่ง อินทิกรัลไม่ จำกัดแก้ไขตัวอย่างแล้วไม่มีที่ไป - คุณจะต้องเชี่ยวชาญมันตอนนี้

อินทิกรัลของด้านซ้ายหาได้ง่าย เราจัดการกับอินทิกรัลของโคแทนเจนต์โดยใช้เทคนิคมาตรฐานที่เราดูในบทเรียน การบูรณาการฟังก์ชันตรีโกณมิติปีที่แล้ว:

ทางด้านขวา เรามีลอการิทึม และตามคำแนะนำทางเทคนิคแรกของฉัน ค่าคงที่ควรเขียนไว้ใต้ลอการิทึมด้วย

ตอนนี้เราพยายามจัดรูปอินทิกรัลทั่วไปให้ง่ายขึ้น เนื่องจากเรามีเพียงลอการิทึม จึงค่อนข้างเป็นไปได้ (และจำเป็น) ที่จะกำจัดพวกมันออกไป โดยการใช้ คุณสมบัติที่ทราบเรา "แพ็ค" ลอการิทึมให้มากที่สุด ฉันจะเขียนมันโดยละเอียด:

บรรจุภัณฑ์เสร็จสิ้นแล้วเพื่อให้ขาดรุ่งริ่งอย่างป่าเถื่อน:

เป็นไปได้ไหมที่จะแสดง "เกม"? สามารถ. จำเป็นต้องยกกำลังทั้งสองส่วน

แต่คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้

เคล็ดลับทางเทคนิคประการที่สาม:หากเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจำเป็นต้องเพิ่มพลังหรือหยั่งราก ในกรณีส่วนใหญ่คุณควรละเว้นการกระทำเหล่านี้และปล่อยให้คำตอบอยู่ในรูปอินทิกรัลทั่วไป ความจริงก็คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะดูแย่มาก - ด้วยรากขนาดใหญ่สัญญาณและถังขยะอื่น ๆ

ดังนั้นเราจึงเขียนคำตอบในรูปของอินทิกรัลทั่วไป ถือเป็นแนวปฏิบัติที่ดีที่จะนำเสนอในรูปแบบ คือ ถ้าเป็นไปได้ให้ปล่อยไว้ทางด้านขวาเท่านั้น ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่การเอาใจอาจารย์จะเป็นประโยชน์เสมอ ;-)

คำตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

- บันทึก: อินทิกรัลทั่วไปของสมการใดๆ ไม่สามารถเขียนได้ วิธีเดียวเท่านั้น- ดังนั้น หากผลลัพธ์ของคุณไม่ตรงกับคำตอบที่ทราบก่อนหน้านี้ ไม่ได้หมายความว่าคุณแก้สมการไม่ถูกต้อง

อินทิกรัลทั่วไปนั้นค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบ สิ่งสำคัญคือต้องค้นหาได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย- มาแยกคำตอบกันดีกว่า:

เราคูณทั้งสองพจน์ด้วย:

และหารด้วย:

ได้สมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมมาทุกประการ ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลทั่วไปได้ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4

หาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขตั้งต้น ดำเนินการตรวจสอบ

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ.

ฉันขอเตือนคุณว่าอัลกอริทึมประกอบด้วยสองขั้นตอน:
1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
2) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่จำเป็น

การตรวจสอบยังดำเนินการในสองขั้นตอน (ดูตัวอย่างในตัวอย่างที่ 2) คุณต้อง:
1) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่พบเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น
2) ตรวจสอบว่าวิธีแก้ปัญหาเฉพาะโดยทั่วไปเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์

โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบท้ายบทเรียน

ตัวอย่างที่ 5

หาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น ดำเนินการตรวจสอบ

สารละลาย:ก่อนอื่น เรามาหาวิธีแก้ไขทั่วไปกันก่อน สมการนี้มีดิฟเฟอเรนเชียลสำเร็จรูปอยู่แล้ว ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาจึงง่ายขึ้น เราแยกตัวแปร:

มารวมสมการกัน:

อินทิกรัลทางด้านซ้ายเป็นตาราง อินทิกรัลทางด้านขวาจะถูกนำไปใช้ วิธีการรวมฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล:

ได้รับอินทิกรัลทั่วไปแล้ว เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้สำเร็จ สามารถ. เราแขวนลอการิทึมไว้ทั้งสองด้าน เนื่องจากมีค่าเป็นบวก สัญญาณโมดูลัสจึงไม่จำเป็น:

(หวังว่าทุกคนจะเข้าใจการเปลี่ยนแปลง เรื่องแบบนี้ก็น่าจะรู้อยู่แล้ว)

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

ลองหาคำตอบเฉพาะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แทนที่จะเป็น "X" เราจะแทนที่ศูนย์ และแทนที่จะเป็น "Y" เราแทนที่ลอการิทึมของสอง:

การออกแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น:

เราแทนค่าที่พบของค่าคงที่ลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

คำตอบ:โซลูชันส่วนตัว:

ตรวจสอบ: ขั้นแรก ให้ตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นหรือไม่:
- ทุกอย่างกำลังส่งเสียงพึมพำ

ทีนี้ ลองตรวจสอบว่าคำตอบเฉพาะที่พบเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์หรือไม่ ค้นหาอนุพันธ์:

ลองดูสมการดั้งเดิม: – มันถูกนำเสนอในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล มีสองวิธีในการตรวจสอบ สามารถแสดงส่วนต่างจากอนุพันธ์ที่พบได้:

ให้เราแทนที่วิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่พบและผลต่างผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิม :

เราใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างถูกต้อง

วิธีที่สองของการตรวจสอบเป็นแบบมิเรอร์และคุ้นเคยมากขึ้น: จากสมการ ลองแสดงอนุพันธ์โดยหารชิ้นส่วนทั้งหมดด้วย:

และใน DE ที่ถูกแปลงเราจะแทนที่สารละลายบางส่วนที่ได้รับและอนุพันธ์ที่พบ ผลจากการลดความซับซ้อนควรได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องด้วย

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ นำเสนอคำตอบในรูปของอินทิกรัลทั่วไป

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้โจทย์ด้วยตัวเอง กรอกคำตอบและตอบในตอนท้ายของบทเรียน

มีปัญหาอะไรรออยู่เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกกันไม่ได้?

1) ไม่ชัดเจนเสมอไป (โดยเฉพาะกับ "กาน้ำชา") ที่สามารถแยกตัวแปรได้ ลองพิจารณาดู ตัวอย่างที่มีเงื่อนไข- ที่นี่คุณต้องนำปัจจัยออกจากวงเล็บ: และแยกราก: . ชัดเจนว่าจะต้องทำอะไรต่อไป

2) ความยากลำบากในการบูรณาการนั่นเอง อินทิกรัลมักจะไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด และหากมีข้อบกพร่องในทักษะการค้นหา อินทิกรัลไม่ จำกัดแล้วจะเป็นเรื่องยากกับตัวกระจายสัญญาณหลายตัว นอกจากนี้ ตรรกะ “เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์นั้นง่าย อย่างน้อยก็ปล่อยให้อินทิกรัลซับซ้อนกว่านี้” เป็นที่นิยมในหมู่ผู้รวบรวมคอลเลกชันและคู่มือการฝึกอบรม

3) การเปลี่ยนแปลงที่มีค่าคงที่ ดังที่ทุกคนสังเกตเห็นแล้วว่าค่าคงที่ในสมการเชิงอนุพันธ์สามารถจัดการได้อย่างอิสระ และการแปลงบางอย่างอาจไม่ชัดเจนสำหรับมือใหม่เสมอไป ลองดูตัวอย่างเงื่อนไขอื่น: - ขอแนะนำให้คูณเงื่อนไขทั้งหมดด้วย 2: - ค่าคงที่ผลลัพธ์ก็เป็นค่าคงที่บางประเภทเช่นกัน ซึ่งสามารถแสดงได้โดย: - ใช่ และเนื่องจากมีลอการิทึมอยู่ทางด้านขวา จึงแนะนำให้เขียนค่าคงที่ใหม่ในรูปแบบของค่าคงที่อื่น: .

ปัญหาคือพวกเขามักจะไม่สนใจดัชนีและใช้ตัวอักษรตัวเดียวกัน เป็นผลให้ต้องใช้บันทึกการตัดสินใจ มุมมองถัดไป:

บาปแบบไหน? มีข้อผิดพลาดอยู่ตรงนั้น! พูดอย่างเคร่งครัดใช่ อย่างไรก็ตาม จากมุมมองที่สำคัญ ไม่มีข้อผิดพลาด เนื่องจากจากการแปลงค่าคงที่ของตัวแปร จึงยังคงได้รับค่าคงที่ของตัวแปร

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่าในระหว่างการแก้สมการนั้น จะได้อินทิกรัลทั่วไปมา คำตอบนี้ดูน่าเกลียด ดังนั้นจึงแนะนำให้เปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอม: - อย่างเป็นทางการมีข้อผิดพลาดอีกอย่างหนึ่งที่นี่ - ควรเขียนไว้ทางด้านขวา แต่บอกเป็นนัยอย่างไม่เป็นทางการว่า “ลบ ce” ยังคงเป็นค่าคงที่ ( ซึ่งสามารถสื่อถึงความหมายใดๆ ได้อย่างง่ายดาย!)ดังนั้นการใส่ "ลบ" จึงไม่สมเหตุสมผล และคุณสามารถใช้ตัวอักษรตัวเดียวกันได้

ฉันจะพยายามหลีกเลี่ยงแนวทางที่ไม่ระมัดระวัง และยังคงกำหนดดัชนีต่างๆ ให้กับค่าคงที่เมื่อแปลงค่าเหล่านั้น

ตัวอย่างที่ 7

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ ดำเนินการตรวจสอบ

สารละลาย:สมการนี้ช่วยให้สามารถแยกตัวแปรได้ เราแยกตัวแปร:

มาบูรณาการกัน:

ไม่จำเป็นต้องกำหนดค่าคงที่ตรงนี้เป็นลอการิทึม เนื่องจากจะไม่มีประโยชน์อะไรจากสิ่งนี้

คำตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

ตรวจสอบ: แยกคำตอบ ( ฟังก์ชันโดยนัย):

เรากำจัดเศษส่วนโดยการคูณทั้งสองพจน์ด้วย:

ได้รับสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมแล้ว ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลทั่วไปได้อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ DE
,

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง คำใบ้เดียวก็คือว่า คุณจะได้อินทิกรัลทั่วไปที่นี่ และถ้าพูดให้ถูกต้องกว่านั้น คุณต้องคิดค้นเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจง แต่ อินทิกรัลบางส่วน - เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ในการแก้ปัญหาต่างๆ ทั้งฟิสิกส์ เคมี คณิตศาสตร์ และอื่นๆ วิทยาศาสตร์ที่แน่นอนมักใช้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบของสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรเหล่านี้ และอนุพันธ์ (หรือส่วนต่าง) ของฟังก์ชันนี้ ชนิดนี้ สมการนี้เรียกว่าอนุพันธ์
หากมีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว สมการนี้เรียกว่าสามัญ หากมีตัวแปรอิสระตั้งแต่สองตัวขึ้นไป สมการจะถูกเรียก สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเพื่อที่จะได้ผู้เชี่ยวชาญที่มีคุณวุฒิสูงในทุกมหาวิทยาลัยที่มีการศึกษาสาขาวิชาที่แน่นอน จำเป็นต้องมีหลักสูตรสมการเชิงอนุพันธ์ สำหรับนักเรียนบางคน ทฤษฎีเป็นเรื่องยาก การฝึกฝนคือการต่อสู้ สำหรับคนอื่นๆ ทั้งทฤษฎีและการปฏิบัตินั้นยาก หากคุณวิเคราะห์สมการเชิงอนุพันธ์จากมุมมองเชิงปฏิบัติ ในการคำนวณคุณจะต้องเก่งในการอินทิเกรตและรับอนุพันธ์เท่านั้น การเปลี่ยนแปลงอื่นๆ ทั้งหมดเกิดขึ้นได้หลายรูปแบบที่สามารถเข้าใจและศึกษาได้ ด้านล่างนี้เราจะศึกษาคำจำกัดความพื้นฐานและวิธีการแก้ DR อย่างง่าย

ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์

คำนิยาม: สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเป็นสมการที่เชื่อมโยงตัวแปรอิสระ x ฟังก์ชัน y(x) อนุพันธ์ของมัน y"(x) y n (x) และมี มุมมองทั่วไปF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
สมการเชิงอนุพันธ์(DR) เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์สามัญหรือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ลำดับสมการเชิงอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยลำดับของอนุพันธ์สูงสุด (n) ซึ่งรวมอยู่ในสมการเชิงอนุพันธ์นี้

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันที่มีค่าคงที่มากเท่ากับลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ และการแทนที่ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดจะทำให้สมการนั้นมีลักษณะเฉพาะ กล่าวคือ มันมีรูปแบบ y=f(x, C 1, C 2 , ..., C น)
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่ไม่ได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพต่อ y(x) และมีรูปแบบ F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 เรียกว่า อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
วิธีแก้ปัญหาที่พบจากวิธีทั่วไปสำหรับค่าคงที่ของค่าคงที่ C 1 , C 2 , …, C n เรียกว่า คำตอบส่วนตัวของสมการเชิงอนุพันธ์
เรียกข้อกำหนดเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์และจำนวนเงื่อนไขเริ่มต้นที่สอดคล้องกัน ปัญหาคอชี่.
F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0
y(x0)=y0;
….
ใช่ (x0)=yn (0)
สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่หนึ่งเรียกว่าสมการของรูป
F(x, y, y")=0. (1)
อินทิกรัลของสมการ(1) เรียกว่าความสัมพันธ์ของรูปแบบ Ф (x,y)=0 ถ้าฟังก์ชันที่สร้างความแตกต่างอย่างต่อเนื่องแต่ละฟังก์ชันระบุโดยปริยายว่าเป็นคำตอบของสมการ (1)
สมการที่มีรูปแบบ (1) และไม่สามารถลดให้เหลือได้ มุมมองที่เรียบง่ายเรียกว่าสมการ ไม่สามารถตัดสินใจได้เกี่ยวกับอนุพันธ์ถ้าเขียนเป็นแบบฟอร์มได้
y" = f(x,y) แล้วจึงเรียกว่า สมการแก้สมการสำหรับอนุพันธ์
ปัญหาคอชี่สำหรับสมการอันดับหนึ่งมีเพียงหนึ่งเดียว สภาพเริ่มต้นและมีรูปแบบดังนี้
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0 .
สมการของแบบฟอร์ม
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
โดยที่ตัวแปร x i y เป็น "สมมาตร": เราสามารถสรุปได้ว่า x เป็นตัวแปรอิสระและ y เป็นตัวแปรตาม หรือในทางกลับกัน y เป็นตัวแปรอิสระ และ x เป็นตัวแปรตาม เรียกว่า สมการในรูปแบบสมมาตร
ความหมายทางเรขาคณิตของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
y"=ฉ(x,y) (3)
เป็นดังนี้
สมการนี้สร้างการเชื่อมต่อ (การพึ่งพา) ระหว่างพิกัดของจุด (x;y) และ ความลาดชัน y" แทนเจนต์กับเส้นโค้งอินทิกรัลที่ผ่านจุดนี้ ดังนั้นสมการ y"= f(x,y) จึงเป็นเซต เส้นทาง (ช่องเส้นทาง)บน เครื่องบินคาร์ทีเซียนอ็อกซี่.
เส้นโค้งที่สร้างขึ้น ณ จุดที่ทิศทางของสนามเท่ากันเรียกว่าเส้นไอโซไคลน์ สามารถใช้ไอโซลินเพื่อประมาณการสร้างเส้นโค้งอินทิกรัลได้ สมการไอโซไคลน์สามารถหาได้โดยการใส่อนุพันธ์เท่ากับค่าคงที่ y"=C
ฉ(x, y)=C - สมการไอโซไลน์.
เส้นอินทิกรัลของสมการ(3) เรียกว่ากราฟของการแก้สมการนี้
เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์สามัญซึ่งสามารถระบุคำตอบเชิงวิเคราะห์ได้ y=g(x) สมการอินทิเกรต
สมการของแบบฟอร์ม
ม 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
ถูกเรียก สมการที่มีสิ่งที่ใช้แทนกันได้แยกจากกัน
จากนั้นเราจะเริ่มทำความคุ้นเคยกับสมการเชิงอนุพันธ์ กระบวนการค้นหาวิธีแก้ปัญหา DR เรียกว่า การบูรณาการสมการเชิงอนุพันธ์

สมการตัวแปรแยกจากกัน

ตัวอย่างที่ 1 หาคำตอบของสมการย"=x .
ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา
วิธีแก้: เขียนสมการในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล
dy/dx=x หรือ dy=x*dx
ลองหาอินทิกรัลของด้านขวาและด้านซ้ายของสมการกัน
int(dy)=int(x*dx);
y=x 2 /2+C.
นี่คืออินทิกรัล DR
มาตรวจสอบความถูกต้องและคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน
y"=1/2*2x+0=x
อย่างที่คุณเห็น เราได้รับ DR ดั้งเดิม ดังนั้นการคำนวณจึงถูกต้อง
เราเพิ่งพบคำตอบของสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ตรงนี้นั่นเอง สมการที่ง่ายกว่าซึ่งสามารถจินตนาการได้

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
(x+1)y"=y+3
วิธีแก้: มาเขียนสมการดั้งเดิมในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลกันดีกว่า
(x+1)dy=(y+3)dx
สมการผลลัพธ์จะลดลงเหลือ DR พร้อมตัวแปรที่แยกจากกัน

ที่เหลือก็แค่หาอินทิกรัลของทั้งสองข้าง

โดยใช้สูตรตารางที่เราพบ
ln|y+3|=ln|x+1|+C
ถ้าเราเปิดเผยทั้งสองส่วนเราจะได้
y+3=e ln|x+1|+C หรือ y=e ln|x+1|+C -3
สัญกรณ์นี้ถูกต้องแต่ไม่กระชับ
ในทางปฏิบัติ มีการใช้เทคนิคอื่นในการคำนวณอินทิกรัล ค่าคงที่จะถูกป้อนไว้ใต้ลอการิทึม
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C)
ตามคุณสมบัติของลอการิทึม จะทำให้คุณสามารถยุบสองเทอมสุดท้ายได้
ln|y+3|=ln(С|x+1|)
ตอนนี้เมื่อเปิดเผย การแก้สมการเชิงอนุพันธ์จะมีขนาดกะทัดรัดและอ่านง่าย
y=ซ|x+1|+3
จำกฎนี้ไว้ ในทางปฏิบัติจะใช้เป็นมาตรฐานการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการเชิงอนุพันธ์
y"=-y*บาป(x)
วิธีแก้ปัญหา: มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า สมการในดิฟเฟอเรนเชียล
dy/dx= y*บาป(x)
หรือหลังจากจัดเรียงปัจจัยในรูปแบบใหม่แล้ว สมการที่แยกจากกัน
dy/y=-ซิน(x)dx
มันยังคงบูรณาการสมการ
int(1/y,y)=-int(บาป(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C)
สะดวกในการป้อนค่าคงที่ใต้ลอการิทึมและแม้กระทั่งด้วย ค่าลบเพื่อเลื่อนไปทางซ้ายเพื่อรับ
ln|С*y|=cos(x)
เผยให้เห็นทั้งสองด้านของการพึ่งพาอาศัยกัน
С*y=ประสบการณ์(cos(x))
เท่านี้เอง คุณสามารถปล่อยไว้เหมือนเดิมหรือจะย้ายไปทางด้านขวาอย่างถาวรก็ได้

การคำนวณไม่ซับซ้อน ในกรณีส่วนใหญ่ ปริพันธ์ยังสามารถพบได้โดยใช้สูตรการรวมแบบตาราง

ตัวอย่างที่ 4 แก้ปัญหาคอชี่
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
วิธีแก้ไข: ที่นี่ การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นจะไม่เกิดขึ้นอีกต่อไป อย่างไรก็ตาม สมการนี้เป็นเชิงเส้นและค่อนข้างง่าย ในกรณีเช่นนี้ คุณจะต้องแนะนำตัวแปรใหม่
z=y+x
จำไว้ว่า y=y(x) ลองหาอนุพันธ์ของ z กัน
z"= ย"+1,
จากที่เราแสดงอนุพันธ์เก่า
ย"= ซ"-1.
ลองแทนทั้งหมดนี้ลงในสมการเดิม
z"-1=z หรือ z"=z+1
มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ผ่านดิฟเฟอเรนเชียล
dz=(z+1)dx.
การแยกตัวแปรในสมการ

สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณอินทิกรัลง่ายๆ ที่ใครๆ ก็ทำได้

เราเปิดเผยการพึ่งพาเพื่อกำจัดลอการิทึมของฟังก์ชัน
z+1=อี x+C หรือ z=อี x+1 -1
อย่าลืมกลับไปสู่การเปลี่ยนที่เสร็จสมบูรณ์
z=x+y= อี x+С -1,
เขียนมันออกมาจากที่นี่ คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
y= อี x+C -x-1.
การค้นหาวิธีแก้ไขปัญหา Cauchy ใน DR ในกรณีนี้ไม่ใช่เรื่องยาก เราเขียนเงื่อนไขคอชีออกมา
y(1)=อี 3 -2
และแทนที่สารละลายที่เราเพิ่งพบ
อี 1 + C -1-1 = อี 3 -2
จากที่นี่เราจะได้เงื่อนไขในการคำนวณค่าคงที่
1+ค=3; ค=3-1=2
ตอนนี้เราสามารถเขียนได้แล้ว วิธีแก้ปัญหา Cauchy (วิธีแก้ปัญหา DR บางส่วน)
y= อี x+2 -x-1.
หากคุณรู้วิธีบูรณาการได้ดี และคุณยังใช้อนุพันธ์ได้ดีอีกด้วย หัวข้อสมการเชิงอนุพันธ์จะไม่เป็นอุปสรรคในการศึกษาของคุณ
ใน การศึกษาเพิ่มเติมคุณต้องศึกษาแผนภาพที่สำคัญหลายๆ แผนภาพเพื่อเรียนรู้วิธีแยกความแตกต่างระหว่างสมการ และรู้ว่าการแทนที่หรือเทคนิคใดที่ใช้ได้ผลในแต่ละกรณี
หลังจากนี้ DR ที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับแรกและลำดับที่สูงกว่ารอคุณอยู่ เพื่อไม่ให้คุณเป็นภาระกับทฤษฎี ในบทเรียนต่อไปนี้เราจะให้เฉพาะประเภทของสมการและ แผนภาพสั้นการคำนวณของพวกเขา สามารถอ่านทฤษฎีทั้งหมดได้จาก คำแนะนำด้านระเบียบวิธีเพื่อศึกษารายวิชา “สมการเชิงอนุพันธ์”(2014) ผู้เขียน Bokalo Nikolay Mikhailovich, Domanskaya Elena Viktorovna, Chmyr Oksana Yuryevna คุณสามารถใช้แหล่งข้อมูลอื่นที่มีคำอธิบายทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ที่คุณเข้าใจได้ ตัวอย่างสำเร็จรูปสำหรับส่วนต่าง สมการที่นำมาจากโปรแกรมสำหรับนักคณิตศาสตร์ของ LNU ไอ. แฟรงค์.
เรารู้วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์และเราจะพยายาม วิธีง่ายๆปลูกฝังความรู้นี้ในตัวคุณ