ลักษณะสำคัญอย่างหนึ่งในพีชคณิตและคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็คือปริญญา แน่นอนในศตวรรษที่ 21 การคำนวณทั้งหมดสามารถทำได้บนเครื่องคิดเลขออนไลน์ แต่จะเป็นการดีกว่าที่จะเรียนรู้วิธีการทำด้วยตัวเองเพื่อพัฒนาสมอง

ในบทความนี้เราจะพิจารณามากที่สุด คำถามที่สำคัญเกี่ยวกับคำนิยามนี้ คือเราจะเข้าใจว่ามันคืออะไรโดยทั่วไปและอะไรคือหน้าที่หลัก คุณสมบัติใดที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์

มาดูตัวอย่างการคำนวณกันว่ามีสูตรพื้นฐานอะไรบ้าง เราจะวิเคราะห์ประเภทหลักของปริมาณและความแตกต่างจากฟังก์ชันอื่นๆ

เราจะเข้าใจวิธีแก้ปัญหาต่างๆโดยใช้ค่านี้ เราจะแสดงตัวอย่างวิธีการเพิ่มระดับเป็นศูนย์ ไม่มีเหตุผล ติดลบ ฯลฯ

เครื่องคิดเลขยกกำลังออนไลน์

ระดับของตัวเลขคืออะไร

นิพจน์ "เพิ่มจำนวนขึ้นเป็นกำลัง" หมายความว่าอย่างไร

ระดับ n ของจำนวน a เป็นผลคูณของตัวประกอบที่มีขนาด a n ครั้งติดต่อกัน

ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่า:

n = a * a * a * …a n .

ตัวอย่างเช่น:

• 2 3 = 2 ในขั้นตอนที่สาม = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 ในขั้นตอน สอง = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 ในขั้นตอน สี่ = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 ใน 5 ขั้นตอน = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100,000;
• 10 4 \u003d 10 ใน 4 ขั้นตอน = 10 * 10 * 10 * 10 = 10,000.

ด้านล่างนี้คือตารางสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์ตั้งแต่ 1 ถึง 10

ตารางองศาตั้งแต่ 1 ถึง 10

ด้านล่างนี้คือผลลัพธ์ของการเพิ่มจำนวนตามธรรมชาติเป็นพลังบวก - "จาก 1 ถึง 100"

ช-โล	ชั้นประถมศึกษาปีที่ 2	ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

คุณสมบัติของปริญญา

เป็นเรื่องปกติสำหรับอะไร ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์? มาดูคุณสมบัติเบื้องต้นกัน

นักวิทยาศาสตร์ได้สร้างสิ่งต่อไปนี้ ลักษณะสัญญาณของทุกองศา:

• น * น ม = (a) (n+m) ;
• น: น ม = (a) (n-m) ;
• (ก ข) ม = (ก) (ข*ม) .

ตรวจสอบกับตัวอย่าง:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32 ในทางกลับกัน 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32

ในทำนองเดียวกัน: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2 มิฉะนั้น 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64 ถ้าต่างกันล่ะ? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

อย่างที่คุณเห็น กฎทำงาน

แต่จะเป็นอย่างไร ด้วยการบวกและการลบ? ทุกอย่างเป็นเรื่องง่าย ทำการยกกำลังครั้งแรก แล้วจึงบวกและลบเท่านั้น

ลองดูตัวอย่าง:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

แต่ในกรณีนี้ คุณต้องคำนวณการบวกก่อน เนื่องจากมีการดำเนินการในวงเล็บ: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512

วิธีการผลิต การคำนวณเพิ่มเติม กรณีที่ยาก ? คำสั่งเหมือนกัน:

• หากมีวงเล็บคุณต้องเริ่มด้วย
• แล้วยกกำลัง;
• จากนั้นดำเนินการคูณหาร
• หลังจากการบวกลบ

มีคุณสมบัติเฉพาะที่ไม่ใช่ลักษณะของทุกองศา:

1. รากของระดับที่ n จากจำนวน a ถึงระดับ m จะเขียนเป็น: a m / n .
2. เมื่อยกกำลังเศษส่วน: ทั้งตัวเศษและตัวส่วนจะต้องปฏิบัติตามขั้นตอนนี้
3. เมื่อสร้างผลงาน ตัวเลขที่แตกต่างกันสำหรับเลขยกกำลัง นิพจน์จะสอดคล้องกับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้กับเลขยกกำลังที่กำหนด นั่นคือ: (a * b) n = a n * bn .
4. เมื่อเพิ่มจำนวนเป็นลบคุณต้องหาร 1 ด้วยตัวเลขในขั้นตอนเดียวกัน แต่ด้วยเครื่องหมาย "+"
5. หากตัวส่วนของเศษส่วนอยู่ในพลังลบ นิพจน์นี้จะเท่ากับผลคูณของตัวเศษและตัวส่วนในพลังบวก
6. เลขยกกำลัง 0 = 1 และเลขยกกำลังใดๆ 1 = กับตัวเอง

กฎเหล่านี้มีความสำคัญใน แต่ละกรณีเราจะพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

จะทำอย่างไรกับระดับลบนั่นคือเมื่อตัวบ่งชี้เป็นลบ?

ตามคุณสมบัติ 4 และ 5(ดูจุดด้านบน) ปรากฎว่า:

ก (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25

และในทางกลับกัน:

1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

แล้วถ้าเป็นเศษส่วนล่ะ?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

ระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ

เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับจำนวนเต็ม

สิ่งที่ต้องจำ:

ก 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…เป็นต้น

ก 1 = ก, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…เป็นต้น

นอกจากนี้ ถ้า (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… ผลลัพธ์จะเป็นเครื่องหมาย “+” ถ้าจำนวนลบถูกยกขึ้นเป็นไม่ แม้แต่ระดับแล้วในทางกลับกัน

คุณสมบัติทั่วไปและคุณสมบัติเฉพาะทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นก็เป็นลักษณะเฉพาะเช่นกัน

ระดับเศษส่วน

มุมมองนี้สามารถเขียนเป็นแบบแผน: A m / n อ่านได้ว่า: รากของระดับที่ n ของจำนวน A ยกกำลัง m

ด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นเศษส่วน คุณสามารถทำอะไรก็ได้: ย่อ, ย่อยสลายเป็นส่วนๆ, เพิ่มระดับอื่น ฯลฯ

ระดับที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

ให้ α เป็นจำนวนอตรรกยะ และ А ˃ 0

เพื่อทำความเข้าใจสาระสำคัญของระดับด้วยตัวบ่งชี้ดังกล่าว ลองดูกรณีต่างๆ ที่เป็นไปได้:

• A \u003d 1 ผลลัพธ์จะเท่ากับ 1 เนื่องจากมีสัจพจน์ - 1 เท่ากับหนึ่งในกำลังทั้งหมด

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – สรุปตัวเลข;

• 0˂แอ˂1.

ในกรณีนี้ ในทางกลับกัน: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 ภายใต้เงื่อนไขเดียวกันกับในวรรคสอง

ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังคือตัวเลข πมันมีเหตุผล

r 1 - ในกรณีนี้เท่ากับ 3;

r 2 - จะเท่ากับ 4

จากนั้น สำหรับ A = 1, 1 π = 1

A = 2 แล้ว 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2 แล้ว (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8

ระดับดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และคุณสมบัติเฉพาะที่อธิบายไว้ข้างต้น

บทสรุป

สรุป - ค่าเหล่านี้มีไว้เพื่ออะไรข้อดีของฟังก์ชั่นดังกล่าวคืออะไร? แน่นอน อย่างแรกเลย พวกเขาทำให้ชีวิตของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ง่ายขึ้นเมื่อแก้ปัญหาตัวอย่าง เนื่องจากพวกเขาช่วยลดการคำนวณ ลดอัลกอริทึม จัดระบบข้อมูล และอื่นๆ อีกมากมาย

ความรู้นี้จะมีประโยชน์ที่ไหนอีก? ในการทำงานเฉพาะด้าน: ยา เภสัชวิทยา ทันตกรรม การก่อสร้าง เทคโนโลยี วิศวกรรม การออกแบบ ฯลฯ

ในกรอบของเนื้อหานี้ เราจะวิเคราะห์ว่าพลังของตัวเลขคืออะไร นอกเหนือจากคำจำกัดความพื้นฐานแล้ว เราจะกำหนดระดับของเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ เช่นเคย แนวคิดทั้งหมดจะแสดงด้วยตัวอย่างงาน

Yandex.RTB R-A-339285-1

ก่อนอื่นเรากำหนด คำนิยามพื้นฐานระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ ในการทำเช่นนี้เราต้องจำกฎพื้นฐานของการคูณ ให้เราชี้แจงล่วงหน้าว่าเป็นพื้นฐานที่เราจะใช้ในตอนนี้ เบอร์จริง(แสดงด้วยตัวอักษร a) และเป็นตัวบ่งชี้ - เป็นธรรมชาติ (แสดงด้วยตัวอักษร n)

คำจำกัดความ 1

กำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ n เป็นผลคูณของตัวประกอบจำนวนที่ n ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับจำนวน a ปริญญาเขียนดังนี้ หนึ่งและในรูปแบบของสูตร ส่วนประกอบสามารถแสดงได้ดังนี้:

ตัวอย่างเช่น ถ้าเลขยกกำลังเป็น 1 และฐานเป็น a ก็จะเขียนกำลังแรกของ a เป็น 1. เนื่องจาก a คือค่าของตัวประกอบ และ 1 คือจำนวนตัวประกอบ เราสามารถสรุปได้ว่า 1 = ก.

โดยทั่วไปเราสามารถพูดได้ว่าระดับเป็นสัญกรณ์ที่สะดวก จำนวนมากตัวคูณเท่ากัน ดังนั้นบันทึกแบบฟอร์ม 8 8 8 8สามารถลดเหลือ 8 4 . ในทำนองเดียวกัน งานช่วยให้เราหลีกเลี่ยงการเขียน จำนวนมากเทอม (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; เราได้วิเคราะห์สิ่งนี้แล้วในบทความเกี่ยวกับการคูณจำนวนธรรมชาติ

จะอ่านบันทึกของปริญญาได้อย่างไร? ตัวเลือกที่ยอมรับโดยทั่วไปคือ "a ยกกำลัง n" หรือคุณสามารถพูดว่า "กำลังที่ n ของ a" หรือ "กำลังที่ n" ถ้าในตัวอย่างมีรายการ 8 12 , เราสามารถอ่านว่า "8 ยกกำลัง 12", "8 ยกกำลัง 12" หรือ "12 ยกกำลัง 8"

องศาที่สองและสามของตัวเลขมีชื่อที่คุ้นเคยกันดีอยู่แล้ว: สี่เหลี่ยมจัตุรัสและลูกบาศก์ หากเราเห็นกำลังสอง เช่น ของเลข 7 (7 2) เราก็สามารถพูดว่า "7 กำลังสอง" หรือ "กำลังสองของเลข 7" ในทำนองเดียวกันระดับที่สามอ่านได้ดังนี้: 5 3 คือ "ลูกบาศก์ของเลข 5" หรือ "5 ลูกบาศก์" อย่างไรก็ตาม คุณยังสามารถใช้ถ้อยคำมาตรฐาน "ในระดับที่สอง / สาม" ซึ่งจะไม่ผิดพลาด

ตัวอย่างที่ 1

ลองดูตัวอย่างระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ: สำหรับ 5 7 ห้าจะเป็นฐานและเจ็ดจะเป็นตัวบ่งชี้

ฐานไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม: สำหรับดีกรี (4 , 32) 9 ฐานจะเป็นเศษส่วน 4, 32 และเลขยกกำลังจะเป็น 9 ให้ความสนใจกับวงเล็บ: สัญกรณ์ดังกล่าวทำขึ้นสำหรับทุกระดับซึ่งฐานแตกต่างจากจำนวนธรรมชาติ

ตัวอย่างเช่น: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

วงเล็บมีไว้เพื่ออะไร? ช่วยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณ สมมติว่าเรามีสองรายการ: (− 2) 3 และ − 2 3 . ตัวแรกหมายถึงจำนวนลบลบสอง ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติของสาม ที่สองคือตัวเลขที่สอดคล้องกับ ความหมายตรงข้ามระดับ 2 3 .

บางครั้งในหนังสือคุณจะพบการสะกดที่แตกต่างกันเล็กน้อยในระดับของตัวเลข - ก^น(โดยที่ a เป็นฐานและ n เป็นเลขยกกำลัง) ดังนั้น 4^9 จึงเท่ากับ 4 9 . ในกรณีที่ n คือ ตัวเลขหลายหลักมันอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) แต่เราจะใช้สัญกรณ์ หนึ่งเป็นเรื่องธรรมดามากขึ้น

วิธีคำนวณค่าของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นเดาได้ง่ายจากคำจำกัดความ: คุณแค่ต้องคูณจำนวนครั้งที่ n เราเขียนเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความอื่น

แนวคิดของระดับนั้นตรงกันข้ามกับแนวคิดอื่น แนวคิดทางคณิตศาสตร์- รากของตัวเลข ถ้าเราทราบค่าของเลขชี้กำลังและเลขยกกำลัง เราสามารถคำนวณฐานของมันได้ ระดับมีคุณสมบัติเฉพาะบางอย่างที่เป็นประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาที่เราวิเคราะห์ในเนื้อหาแยกต่างหาก

เลขชี้กำลังสามารถมีได้ไม่เพียงแค่จำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าจำนวนเต็มทั่วไป รวมทั้งค่าลบและศูนย์ด้วย เนื่องจากค่าเหล่านี้อยู่ในชุดของจำนวนเต็มด้วย

คำจำกัดความ 2

ระดับของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกสามารถแสดงเป็นสูตรได้: .

นอกจากนี้ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

มาจัดการกับแนวคิดของศูนย์องศากัน ในการทำเช่นนี้ เราใช้วิธีการที่คำนึงถึงคุณสมบัติของผลหารสำหรับยกกำลังด้วย มีเหตุผลเท่าเทียมกัน. มีสูตรดังนี้:

นิยาม 3

ความเท่าเทียมกัน น ม: น = น ม − นจะเป็นจริงภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้ m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ m< n , a ≠ 0 .

เงื่อนไขสุดท้ายมีความสำคัญเนื่องจากหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ หากค่า m และ n เท่ากัน เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ n: n = n − n = 0

แต่ในเวลาเดียวกัน a n: a n = 1 - ผลหารของจำนวนที่เท่ากัน หนึ่งและ ก. ปรากฎว่าระดับศูนย์ของจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์มีค่าเท่ากับหนึ่ง

อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ดังกล่าวไม่เหมาะสำหรับศูนย์ยกกำลังศูนย์ ในการทำเช่นนี้ เราต้องการคุณสมบัติของอำนาจอื่น - คุณสมบัติของผลคูณของอำนาจที่มีฐานเท่ากัน ดูเหมือนว่า: a m a n = a m + n .

ถ้า n เป็น 0 แล้ว แอม 0 = แอม(ความเท่าเทียมกันนี้ยังพิสูจน์ให้เราเห็นว่า 0 = 1). แต่ถ้า และ เท่ากับศูนย์ ความเท่าเทียมกันของเราจะอยู่ในรูปแบบ 0 ม. 0 0 = 0 ม, จะเป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ n และไม่สำคัญว่าค่าของดีกรีจะเป็นเท่าใด 0 0 นั่นคือ สามารถเท่ากับจำนวนใดๆ ได้ และสิ่งนี้จะไม่ส่งผลต่อความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน ดังนั้นบันทึกแบบฟอร์ม 0 0 ไม่มีความหมายพิเศษในตัวเอง และเราจะไม่อ้างถึงมัน

หากต้องการก็ตรวจสอบได้ง่าย 0 = 1บรรจบกับคุณสมบัติดีกรี (ม.) n = ม.นโดยที่ฐานของดีกรีต้องไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระดับของจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 2

ลองมาดูตัวอย่างกับ หมายเลขเฉพาะ: ดังนั้น, 5 0 - หน่วย, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 และค่า 0 0 ไม่ได้กำหนด.

หลังจากศูนย์องศา เรายังต้องหาว่าองศาลบคืออะไร ในการทำเช่นนี้ เราต้องการคุณสมบัติเดียวกันของผลคูณของเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน ซึ่งเราได้ใช้ไปแล้วข้างต้น: a m · a n = a m + n

เราแนะนำเงื่อนไข: m = − n แล้ว a จะต้องไม่เท่ากับศูนย์ ก็เป็นไปตามนั้น ก − n n = a − n + n = a 0 = 1. ปรากฎว่า a และ หนึ่งเรามีตัวเลขซึ่งกันและกัน

เป็นผลให้ a กำลังของจำนวนเต็มลบมีค่าเท่ากับเศษส่วน 1 a n

สูตรนี้ยืนยันว่าสำหรับดีกรีที่มีจำนวนเต็ม ตัวบ่งชี้เชิงลบคุณสมบัติเดียวกันทั้งหมดที่ระดับที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติมี (โดยที่ฐานไม่เท่ากับศูนย์) นั้นถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 3

กำลัง a ที่มีจำนวนเต็มลบ n สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ 1 a n ดังนั้น a - n = 1 a n ภายใต้เงื่อนไข ≠ 0และ n คือใดๆ จำนวนธรรมชาติ.

มาแสดงแนวคิดของเราด้วยตัวอย่างเฉพาะ:

ตัวอย่างที่ 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

ในส่วนสุดท้ายของย่อหน้า เราจะพยายามพรรณนาทุกอย่างชัดเจนในสูตรเดียว:

ความหมาย 4

พลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ z คือ: a z = a z , e c และ z เป็นจำนวนเต็มบวก 1 , z = 0 และ a ≠ 0 , (ถ้า z = 0 และ a = 0 เราจะได้ 0 0 , ค่าของ ไม่ได้กำหนดนิพจน์ 0 0) 1 a z ถ้า z เป็นจำนวนเต็มลบและ a ≠ 0 ( ถ้า z เป็นจำนวนเต็มลบและ a = 0 เราจะได้ 0 z มันคือ a n d e n t i o n )

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะคืออะไร

เราได้วิเคราะห์กรณีที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม คุณยังสามารถยกกำลังตัวเลขได้เมื่อเลขชี้กำลังเป็นเลขเศษส่วน นี้เรียกว่าปริญญา ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล. ในส่วนย่อยนี้ เราจะพิสูจน์ว่ามันมีคุณสมบัติเหมือนกับพลังอื่นๆ

จำนวนตรรกยะคืออะไร? ชุดของพวกเขามีทั้งจำนวนเต็มและ ตัวเลขเศษส่วนในขณะที่ตัวเลขเศษส่วนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดา (ทั้งบวกและลบ) เรากำหนดนิยามของระดับของจำนวน a ด้วยเลขชี้กำลังแบบเศษส่วน m / n โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ และ m เป็นจำนวนเต็ม

เรามีระดับหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน a m n . เพื่อให้คุณสมบัติยกกำลังอยู่ในระดับหนึ่ง ความเสมอภาค a m n n = a m n · n = a m จะต้องเป็นจริง

จากนิยามของรูทที่ n และ a m n n = a m เราสามารถยอมรับเงื่อนไข a m n = a m n ถ้า a m n สมเหตุสมผลสำหรับค่าที่กำหนดของ m , n และ a

คุณสมบัติข้างต้นของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มจะเป็นจริงภายใต้เงื่อนไข a mn = a mn

ข้อสรุปหลักจากการให้เหตุผลของเรามีดังนี้ ระดับของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m / n คือรากของระดับที่ n จากจำนวน a ถึงกำลัง m นี่เป็นจริงหากสำหรับค่าที่กำหนดของ m, n และ a นิพจน์ a mn เหมาะสม

1. เราสามารถจำกัดค่าฐานของระดับ: ใช้ a ซึ่งสำหรับค่าบวกของ m จะมากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสำหรับค่าลบจะน้อยกว่าอย่างเคร่งครัด (เพราะสำหรับ m ≤ เราได้รับ 0 0 ม, แต่ระดับนี้ไม่ได้กำหนดไว้). ในกรณีนี้ นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนจะมีลักษณะดังนี้:

เลขชี้กำลังเศษส่วน m/n สำหรับจำนวนบวก a คือรากที่ n ของ a ยกกำลัง m ในรูปของสูตรสามารถแสดงได้ดังนี้:

สำหรับดีกรีที่มีฐานเป็นศูนย์ บทบัญญัตินี้ก็เหมาะสมเช่นกัน แต่ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวกเท่านั้น

เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นศูนย์และเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นบวก m/n สามารถแสดงเป็น

0 mn = 0 mn = 0 ภายใต้เงื่อนไขของจำนวนเต็มบวก m และ natural n

ด้วยอัตราส่วนลบ mn< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ขอทราบจุดหนึ่ง เนื่องจากเราได้แนะนำเงื่อนไขที่ a มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เราจึงได้ละทิ้งบางกรณีไป

นิพจน์ a mn บางครั้งก็ยังสมเหตุสมผลสำหรับค่าลบของ a และค่าลบบางค่าของ m ดังนั้น รายการที่ถูกต้อง (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 ซึ่งฐานเป็นลบ

2. วิธีที่สองคือการพิจารณาแยกราก a mn ด้วยเลขชี้กำลังคู่และเลขคี่ จากนั้นเราจำเป็นต้องแนะนำเงื่อนไขอีกหนึ่งข้อ: ระดับ a ในเลขยกกำลังที่มีเศษส่วนสามัญที่ลดทอนได้ถือเป็นระดับ a ในเลขชี้กำลังซึ่งมีเศษส่วนลดไม่ได้ที่สอดคล้องกัน ในภายหลังเราจะอธิบายว่าทำไมเราถึงต้องการเงื่อนไขนี้และเหตุใดจึงสำคัญมาก ดังนั้น ถ้าเรามีบันทึก a m · k n · k เราก็สามารถย่อมันให้เหลือ m n และทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

ถ้า n เป็นจำนวนคี่และ m เป็นจำนวนบวกและ a เป็นจำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น m จะเข้าความหมาย เงื่อนไขสำหรับค่า a ที่ไม่เป็นค่าลบเป็นสิ่งที่จำเป็น เนื่องจากรากของค่าระดับเลขคู่ไม่ได้แยกออกจากจำนวนค่าลบ ถ้าค่า m เป็นบวก ดังนั้น a สามารถเป็นได้ทั้งค่าลบและศูนย์ เนื่องจาก รากที่เป็นคี่สามารถนำมาจากจำนวนจริงใดๆ ก็ได้

มารวมข้อมูลทั้งหมดที่อยู่เหนือคำจำกัดความไว้ในรายการเดียว:

ในที่นี้ m/n หมายถึงเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m คือจำนวนเต็มใดๆ และ n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

คำจำกัดความ 5

สำหรับเศษส่วนธรรมดาที่ลดลง m · k n · k องศาสามารถแทนที่ด้วย a m n

พลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m / n - สามารถแสดงเป็น mn ใน กรณีดังต่อไปนี้:- สำหรับจำนวนจริง a จำนวนเต็ม ค่าบวก m และจำนวนเต็มบวกคี่ n ตัวอย่าง: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

สำหรับค่าจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ a ค่าจำนวนเต็มลบของ m และค่าคี่ของ n ตัวอย่างเช่น 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

สำหรับค่าจำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นลบ a ใดๆ ของ m และคู่ n ตัวอย่างเช่น 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

สำหรับจำนวนเต็มบวก a จำนวนเต็มลบ m และคู่ n ตัวอย่างเช่น 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 ,

ในกรณีของค่าอื่นๆ จะไม่กำหนดระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน ตัวอย่างของพลังดังกล่าว: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

ตอนนี้เรามาอธิบายถึงความสำคัญของเงื่อนไขที่กล่าวถึงข้างต้น: เหตุใดจึงแทนที่เศษส่วนด้วยเลขชี้กำลังที่ลดทอนได้สำหรับเศษส่วนด้วยตัวที่ลดไม่ได้ หากเราไม่ทำสิ่งนี้ สถานการณ์เช่นนั้นจะกลายเป็นว่า 6/10 = 3/5 จากนั้น (- 1) 6 10 = - 1 3 5 ควรเป็นจริง แต่ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 และ (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

คำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนซึ่งเราให้ไว้ก่อนนั้นสะดวกกว่าในทางปฏิบัติมากกว่าที่สองดังนั้นเราจะใช้มันต่อไป

คำจำกัดความ 6

ดังนั้น กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m / n ถูกกำหนดเป็น 0 m n = 0 m n = 0 ในกรณีที่เป็นลบ กสัญกรณ์ a mn ไม่สมเหตุสมผล ระดับศูนย์สำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นบวก ม./นถูกกำหนดเป็น 0 mn = 0 mn = 0 สำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นลบ เราไม่ได้กำหนดระดับของศูนย์

ในข้อสรุป เราทราบว่าตัวบ่งชี้ที่เป็นเศษส่วนสามารถเขียนได้ในรูปแบบ จำนวนผสม, และในรูปของเศษส่วนทศนิยม: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

เมื่อทำการคำนวณจะเป็นการดีกว่าที่จะแทนที่เลขชี้กำลัง เศษส่วนร่วมแล้วใช้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน สำหรับตัวอย่างข้างต้น เราได้รับ:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

องศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะและจำนวนจริงคืออะไร

จำนวนจริงคืออะไร? รวมถึงเหตุผลและ จำนวนอตรรกยะ. ดังนั้นเพื่อให้เข้าใจว่าปริญญากับอะไร ตัวบ่งชี้ที่แท้จริงเราจำเป็นต้องกำหนดองศาด้วยเลขชี้กำลังที่มีเหตุผลและไม่ลงตัว เกี่ยวกับเหตุผลเราได้กล่าวไว้ข้างต้นแล้ว มาจัดการกับตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวทีละขั้นตอน

ตัวอย่างที่ 5

สมมติว่าเรามีจำนวนอตรรกยะ a และลำดับของการประมาณทศนิยมเป็น 0 , a 1 , a 2 , . . . ตัวอย่างเช่น ลองใช้ค่า a = 1 , 67175331 . . , แล้ว

ก 0 = 1 , 6 , 1 = 1 , 67 , 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . .

เราสามารถเชื่อมโยงลำดับของการประมาณด้วยลำดับของกำลัง a a 0 , a 1 , a 2 , . . . หากเราจำสิ่งที่เราพูดถึงก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการเพิ่มจำนวน ระดับเหตุผลจากนั้นเราสามารถคำนวณค่าของพลังเหล่านี้ได้เอง

ยกตัวอย่าง เอ = 3แล้ว a 0 = 3 1 , 67 , a 1 = 3 1 , 6717 , a 2 = 3 1 , 671753 , . . เป็นต้น

ลำดับขององศาสามารถลดลงเป็นตัวเลข ซึ่งจะเป็นค่าของดีกรีที่มีฐาน a และเลขชี้กำลังอตรรกยะ a ผลลัพธ์: ระดับที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะของแบบฟอร์ม 3 1 , 67175331 . . สามารถลดเหลือเลข 6, 27 ได้

คำจำกัดความ 7

กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ a เขียนเป็น a ค่าของมันคือขีดจำกัดของลำดับ a a 0 , a 1 , a 2 , . . โดยที่ a 0 , a 1 , a 2 , . . เป็นการประมาณทศนิยมต่อเนื่องกันของจำนวนอตรรกยะ a นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดระดับที่มีฐานเป็นศูนย์สำหรับเลขชี้กำลังอตรรกยะที่เป็นบวกได้ในขณะที่ 0 a \u003d 0 ดังนั้น 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0 และสำหรับค่าลบไม่สามารถทำได้เนื่องจากไม่ได้กำหนดค่า 0 - 5, 0 - 2 π หน่วยยกไปใด ๆ ระดับอตรรกยะยังคงเป็นหนึ่ง ตัวอย่างเช่น และ 1 2 , 1 5 เป็น 2 และ 1 - 5 จะเท่ากับ 1

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

สูตรพลังงานใช้ในกระบวนการลดและทำให้ง่ายขึ้น การแสดงออกที่ซับซ้อนในการแก้สมการและอสมการ

ตัวเลข คเป็น นกำลัง -th ของจำนวน กเมื่อไร:

การดำเนินการกับองศา

1. ทวีคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะรวมกัน:

เป็นn = a m + n .

2. ในการแบ่งองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกลบออก:

3. ระดับของผลคูณของ 2 หรือ มากกว่าปัจจัยมีค่าเท่ากับผลคูณของพลังของปัจจัยเหล่านี้:

(abc…) n = a n bn c n …

4. ระดับของเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:

(a/b) n = a n / b n .

5. การเพิ่มกำลังเป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะคูณด้วย:

(am) n = a mn .

แต่ละสูตรข้างต้นถูกต้องในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่างเช่น. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

การดำเนินการกับราก

1. รากของผลคูณของปัจจัยต่างๆ มีค่าเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของเงินปันผลและตัวหารของราก:

3. เมื่อเพิ่มจำนวนรูทเป็นกำลังก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มจำนวนรูทเป็นกำลังนี้:

4. หากเราเพิ่มระดับของรูตเข้าไป นครั้งเดียวและในเวลาเดียวกันเพิ่มขึ้นเป็น นกำลัง th เป็นจำนวนรูท ดังนั้นค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5. หากเราลดระดับของรากใน นรากในเวลาเดียวกัน นระดับ th จากจำนวนกรณฑ์ ค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบระดับของจำนวนบางตัวที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นบวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นหนึ่งหารด้วยระดับของจำนวนเดียวกันที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับ ค่าสัมบูรณ์ตัวบ่งชี้ที่ไม่เป็นบวก:

สูตร เป็น:a n = a m - nสามารถใช้ได้ไม่เพียง ม> นแต่ยังอยู่ที่ ม< น.

ตัวอย่างเช่น. ก4:ก 7 = ก 4 - 7 = ก -3.

เพื่อสูตร เป็น:a n = a m - nเป็นธรรมที่ ม.=นคุณต้องมีสถานะเป็นศูนย์

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์กำลังของจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเพื่อเพิ่มจำนวนจริง กในระดับหนึ่ง ม./นคุณต้องแตกราก นระดับที่ มกำลังของหมายเลขนี้ ก.

อย่างที่คุณทราบ ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้มีแค่จำนวนบวกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงจำนวนลบด้วย หากความคุ้นเคยกับองศาบวกเริ่มต้นด้วยการกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทุกอย่างค่อนข้างซับซ้อนกว่าด้วยค่าลบ

สิ่งนี้ควรรู้:

1. การเพิ่มจำนวนเพื่อ ระดับธรรมชาติการคูณจำนวนเรียกว่า (แนวคิดของจำนวนและตัวเลขในบทความจะถือว่าเท่ากัน) โดยตัวมันเองในจำนวนดังกล่าวเป็นเลขยกกำลัง (ในสิ่งต่อไปนี้เราจะใช้แบบขนานและเพียงแค่ตัวบ่งชี้คำ) 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. ที่ ปริทัศน์ดูเหมือนว่า m^n = m*m*m*…*m (n ครั้ง)
2. โปรดทราบว่าเมื่อจำนวนลบเพิ่มขึ้นเป็นพลังธรรมชาติ มันจะกลายเป็นบวกหากเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่
3. การเพิ่มจำนวนเป็นเลขยกกำลังของ 0 ให้หน่วย โดยที่ค่านั้นต้องไม่เท่ากับศูนย์ ศูนย์ยกกำลังศูนย์ถือว่าไม่ได้กำหนด 17^0 = 1
4. การดึงรากของตัวเลขในระดับหนึ่งเรียกว่าการหาตัวเลข ซึ่งเมื่อยกขึ้นเป็นตัวบ่งชี้ที่เหมาะสมแล้ว จะให้ค่าที่ต้องการ ดังนั้น รากที่สามของ 125 คือ 5 เพราะ 5^3 = 125
5. หากคุณต้องการเพิ่มตัวเลขให้เป็นเศษส่วน ระดับบวกจากนั้นจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนเป็นตัวส่วนและดึงรากของตัวเศษออกมา 6^5/7 = รากที่ 7 ของ 6*6*6*6*6
6. หากคุณต้องการเพิ่มตัวเลขให้เป็นเลขชี้กำลังลบ คุณต้องหาส่วนกลับของตัวเลขนี้ x^-3 = 1/x^3 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096

การเพิ่มจำนวนเป็นโมดูโลกำลังลบจากศูนย์เป็นหนึ่ง

ก่อนอื่นเราต้องจำ โมดูลคืออะไร. นี่คือระยะทางบนเส้นพิกัดจากค่าที่เราเลือกไปยังจุดเริ่มต้น (ศูนย์ของเส้นพิกัด) ตามคำนิยามแล้ว ไม่สามารถเป็นค่าลบได้

ค่าที่มากกว่าศูนย์

ด้วยค่าของตัวเลขในช่วงตั้งแต่ศูนย์ถึงหนึ่ง ตัวบ่งชี้เชิงลบจะทำให้ตัวเลขเพิ่มขึ้น สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากตัวส่วนลดลงในขณะที่ยังคงเป็นบวก

ลองดูตัวอย่าง:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งโมดูลของตัวบ่งชี้มีขนาดใหญ่เท่าใด ตัวเลขก็จะยิ่งเติบโตมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากตัวส่วนมีแนวโน้มเป็นศูนย์ เศษส่วนจึงมีแนวโน้มที่จะบวกค่าอนันต์

ค่าน้อยกว่าศูนย์

ทีนี้มาดูวิธีการบิวด์อินกัน พลังลบถ้าตัวเลขน้อยกว่าศูนย์ หลักการเหมือนกับในส่วนที่แล้ว แต่เครื่องหมายของเลขยกกำลังมีความสำคัญที่นี่

ลองดูตัวอย่างอีกครั้ง:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

ที่ กรณีนี้เราเห็นอย่างนั้น โมดูลเติบโตอย่างต่อเนื่องแต่เครื่องหมายขึ้นอยู่กับว่าเลขยกกำลังเป็นคู่หรือคี่

ควรสังเกตว่าถ้าเราสร้างยูนิต มันจะยังคงอยู่ในตัวเองเสมอ หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนลบหนึ่งเมื่อใด แม้แต่เลขยกกำลังองศา มันจะกลายเป็นหนึ่ง กับเลขคี่ มันจะยังคงเป็นลบหนึ่ง

การยกกำลังเป็นจำนวนเต็มลบหากโมดูลัสมีค่ามากกว่าหนึ่ง

สำหรับตัวเลขที่มีโมดูลัสมากกว่าหนึ่งมีลักษณะการกระทำเป็นของตนเอง ก่อนอื่น คุณต้องแปลงเศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวเศษ นั่นคือ แปลงเป็น เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม. ถ้าเรามี ทศนิยมจากนั้นจะต้องแปลงเป็นปกติ สิ่งนี้ทำได้ดังนี้:

• 6 จำนวนเต็ม 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

พิจารณาวิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังลบภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ จากข้างต้นเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าควรคาดหวังอะไรจากผลการคำนวณ เนื่องจากเศษส่วนสองเท่าถูกกลับระหว่างการทำให้เข้าใจง่าย โมดูลัสของตัวเลขจะลดลงเร็วขึ้น โมดูลัสของตัวบ่งชี้ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ก่อนอื่นให้พิจารณาสถานการณ์ที่ จำนวนที่กำหนดเป็นบวก.

ประการแรกเป็นที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็นอย่างไร เหนือศูนย์เนื่องจากการหารสองผลบวกจะให้ผลบวกเสมอ มาดูตัวอย่างวิธีการทำกันอีกครั้ง:

• 6 จำนวนเต็ม 1/20 ยกกำลังลบ 5 = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 .0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

อย่างที่คุณเห็น การกระทำไม่ได้ทำให้เกิดปัญหาใด ๆ และสมมติฐานเริ่มต้นทั้งหมดของเราก็กลายเป็นจริง

ตอนนี้เราหันไปหากรณีของตัวเลขที่เป็นลบ.

ในการเริ่มต้น เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าหากตัวบ่งชี้เป็นเลขคู่ ผลลัพธ์จะเป็นบวก หากตัวบ่งชี้เป็นเลขคี่ ผลลัพธ์จะเป็นลบ การคำนวณก่อนหน้านี้ทั้งหมดของเราในส่วนนี้จะถือว่าใช้ได้ในขณะนี้ มาดูตัวอย่างกันอีกครั้ง:

• -3 จำนวนเต็ม 1/2 ยกกำลังลบหก = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0.000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

ดังนั้นเหตุผลทั้งหมดของเราจึงถูกต้อง

การยกกำลังในกรณีของเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นลบ

ที่นี่คุณต้องจำไว้ว่าการแข็งตัวนั้นมีอยู่จริง แยกรากของดีกรีของตัวส่วนออกจากจำนวนในระดับของตัวเศษ. เหตุผลก่อนหน้านี้ทั้งหมดของเรายังคงเป็นจริงในครั้งนี้เช่นกัน ลองอธิบายการกระทำของเราด้วยตัวอย่าง:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8

ในกรณีนี้คุณต้องจำไว้ว่าการแตกราก ระดับสูงเป็นไปได้เฉพาะในรูปแบบที่เลือกเป็นพิเศษ และเป็นไปได้มากที่สุดที่จะกำจัดเครื่องหมายของราก (รากที่สอง, รากลูกบาศก์และอื่น ๆ ) เมื่อ การคำนวณที่แน่นอนคุณจะไม่ประสบความสำเร็จ

อย่างไรก็ตามเมื่อศึกษารายละเอียดในบทก่อนหน้าแล้วเราไม่ควรคาดหวังความยากลำบากในการคำนวณของโรงเรียน

ควรสังเกตว่าคำอธิบายของบทนี้รวมอยู่ด้วย การสร้างด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวโดยเจตนาตัวอย่างเช่น หากตัวบ่งชี้เป็นลบ PI คุณต้องปฏิบัติตามหลักการที่อธิบายไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตาม การคำนวณในกรณีดังกล่าวมีความซับซ้อนมากจนมีเพียงคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ที่มีประสิทธิภาพเท่านั้นที่สามารถทำได้

บทสรุป

การกระทำที่เราศึกษา เป็นหนึ่งในที่สุด งานที่ยากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์(โดยเฉพาะในกรณีของค่าตรรกยะที่เป็นเศษส่วนหรือค่าอตรรกยะ) อย่างไรก็ตาม เมื่อศึกษาคำแนะนำนี้อย่างละเอียดและเป็นขั้นเป็นตอนแล้ว คุณสามารถเรียนรู้วิธีดำเนินการได้อย่างสมบูรณ์โดยอัตโนมัติโดยไม่มีปัญหาใดๆ

ระดับแรก

ระดับและคุณสมบัติของมัน คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ทำไมต้องมีปริญญา? คุณต้องการที่ไหน ทำไมคุณต้องใช้เวลาศึกษาพวกเขา?

เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับปริญญา มีไว้เพื่ออะไร ใช้ความรู้ของคุณอย่างไร ชีวิตประจำวันอ่านบทความนี้

และแน่นอนว่าการรู้ระดับจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จมากขึ้น ผ่าน OGEหรือสอบรวมรัฐและสอบเข้ามหาวิทยาลัยในฝัน

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

โน๊ตสำคัญ! หากคุณเห็นซึ่งพูดพล่อยๆ แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)

ระดับแรก

การยกกำลังเหมือนกัน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เช่น การบวก ลบ คูณ หาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่าง ภาษามนุษย์มาก ตัวอย่างง่ายๆ. ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงพื้นฐาน แต่อธิบายสิ่งที่สำคัญ

เริ่มจากการเพิ่มกันก่อน

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน แต่ละคนมีโคล่าสองขวด โคล่าเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้คูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับโคล่าสามารถเขียนได้ด้วยวิธีอื่น: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนเจ้าเล่ห์และขี้เกียจ พวกเขาสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างก่อนแล้วจึงหาวิธี "นับ" ให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าแต่ละคนในแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน และเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้น เพื่อให้นับได้เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำ สูตรคูณ. แน่นอน คุณสามารถทำทุกอย่างช้าลง หนักขึ้น และผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางการคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอันที่สวยกว่า:

แล้วนักคณิตศาสตร์จอมขี้เกียจคิดกลอุบายอะไรอีกบ้าง? ถูกต้อง - การเพิ่มจำนวนให้เป็นเลขยกกำลัง.

การเพิ่มจำนวนให้เป็นเลขยกกำลัง

หากคุณต้องการคูณจำนวนด้วยตัวเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องยกกำลังจำนวนนี้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองถึงห้าคือ และพวกเขาแก้ปัญหาดังกล่าวในใจ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

ในการทำเช่นนี้คุณจะต้อง จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางพลังของตัวเลข. เชื่อฉันมันจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

ทำไมถึงเรียกว่าระดับที่สอง สี่เหลี่ยมตัวเลข และตัวที่สาม ลูกบาศก์? มันหมายความว่าอะไร? อย่างสูง คำถามที่ดี. ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระสี่เหลี่ยมขนาดเมตรต่อเมตร สระว่ายน้ำอยู่ในสวนหลังบ้านของคุณ ร้อนมาก อยากเล่นน้ำ แต่ ... สระน้ำที่ไม่มีก้น! จำเป็นต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? ในการพิจารณาสิ่งนี้คุณต้องรู้พื้นที่ก้นสระ

แค่เอานิ้วจิ้มก็นับว่าก้นสระมีลูกบาศก์เมตรละเมตร หากกระเบื้องของคุณเป็นเมตรต่อเมตร คุณจะต้องใช้ชิ้นส่วน ง่ายมาก... แต่คุณเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องจะค่อนข้างเป็นซม. โดยซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะพอดีกับกระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านก็ปูกระเบื้อง คูณด้วย คุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตเห็นหรือไม่ว่าเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวเองเพื่อกำหนดพื้นที่ก้นสระ? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากการคูณจำนวนเดียวกัน เราสามารถใช้เทคนิคการยกกำลังได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัว คุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามาก และยังมีข้อผิดพลาดน้อยกว่าในการคำนวณด้วย . สำหรับการสอบนี่สำคัญมาก).
ดังนั้น สามสิบถึงดีกรีสองจะเป็น () หรือจะบอกว่า 30 กำลังสองก็ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นกำลังสองได้เสมอ และกลับกัน ถ้าคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แสดงว่าเป็นเลขยกกำลังสองเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นภาพกำลังสองของจำนวน

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่เป็นงานสำหรับคุณ นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข ... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการนับจำนวน คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ ... ถ้าคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็สามารถยกกำลังแปดได้ รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ตอนนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (โดยวิธีการวัดปริมาตรและของเหลว ลูกบาศก์เมตร. ผิดคาดใช่ไหม?) วาดสระ: ขนาดก้นสระ 1 เมตร ลึก 1 เมตร แล้วลองคำนวณดูว่าสระทั้งหมดจะเข้าสระของคุณกี่ลูกบาศก์เมตรต่อเมตร

แค่ชี้นิ้วแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่… ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม… เท่าไหร่? ไม่หลงทางเหรอ? นับนิ้วยากไหม? ดังนั้น! ยกตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเราปริมาตรของสระจะเท่ากับลูกบาศก์ ... ง่ายกว่าใช่ไหม

ทีนี้ลองนึกดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและฉลาดแกมโกงจะเป็นยังไงถ้าพวกเขาทำให้มันง่ายเกินไป ลดทุกอย่างเหลือการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากันและจำนวนเดียวกันนั้นคูณด้วยตัวมันเอง ... และนี่หมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ปริญญา ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้ว พวกมันทำในการกระทำเดียว: สามในลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนดังนี้:

คงเหลือไว้เพียง จดจำตารางองศา. เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ ถ้าคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

เพื่อที่จะโน้มน้าวคุณในที่สุดว่าองศาถูกคิดค้นโดยรองเท้าไม่มีส้นและคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ปัญหาของพวกเขา ปัญหาชีวิตและไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คืออีก 2-3 ตัวอย่างจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ทุก ๆ 1 ล้านทุก ๆ ต้นปี คุณจะได้รับเงินอีก 1 ล้าน นั่นคือแต่ละล้านของคุณในช่วงต้นปีจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่งและ "นับนิ้ว" แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักและ .. โง่ แต่เป็นไปได้มากว่าคุณจะให้คำตอบในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้นในปีแรก - สองครั้งสองครั้ง ... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้นอีกสองครั้งในปีที่สาม ... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเอง 1 ครั้ง สองยกกำลังห้าเท่ากับหนึ่งล้าน! ทีนี้ลองนึกดูว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่คำนวณได้เร็วกว่าจะได้เงินล้านเหล่านี้ ... มันคุ้มไหมที่จะจำระดับของตัวเลข คุณคิดอย่างไร?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ทุก ๆ หนึ่งล้านทุก ๆ ต้นปี คุณจะได้รับรายได้เพิ่มขึ้นสองเท่า มันดีมากใช่มั้ย? ทุก ๆ ล้านจะเพิ่มเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยผลลัพธ์อื่น ... มันน่าเบื่อแล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเอง ยกกำลังสี่คือล้าน คุณแค่ต้องจำไว้ว่ากำลังสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มเลขยกกำลัง คุณจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก มาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับพวกเขาได้บ้าง

ข้อกำหนดและแนวคิด ... เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่นมากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขยกกำลังคืออะไร? มันง่ายมาก - นี่คือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบนสุด" ของพลังของตัวเลข ไม่เป็นวิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจน และจำง่าย ...

ในขณะเดียวกันอะไร เช่นฐานของระดับ? ยิ่งง่ายคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพเพื่อให้คุณแน่ใจ

โดยทั่วไปแล้วเพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น ... ระดับที่มีฐาน "" และตัวบ่งชี้ "" อ่านว่า "ในระดับ" และเขียนดังนี้:

พลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

คุณอาจเดาได้แล้วว่า: เนื่องจากเลขยกกำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่สิ่งที่เป็น จำนวนธรรมชาติ? ประถมศึกษา! จำนวนธรรมชาติคือจำนวนที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการ: หนึ่ง สอง สาม ... เมื่อเรานับรายการ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" เราไม่ได้พูดว่า "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้าในสิบ" เช่นกัน สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่าตัวเลขเหล่านี้คืออะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มจะรวมถึงจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เข้าใจง่าย - นี่คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขเชิงลบ ("ลบ") หมายถึงอะไร แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อแสดงถึงหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลนั่นหมายความว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของโอเปอเรเตอร์

เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ พวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร คุณคิดว่า? ง่ายมาก. หลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่ามีจำนวนธรรมชาติไม่เพียงพอที่จะวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็มาพร้อมกับ สรุปตัวเลข… น่าสนใจใช่มั้ยล่ะ?

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุปคือ เศษส่วนทศนิยมที่ไม่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

สรุป:

มากำหนดแนวคิดของดีกรีกัน เลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ จำนวนเต็มและบวก)

1. เลขยกกำลังหนึ่งใดๆ จะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองคือการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสองคือการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติคือการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วยเวลา:
.

คุณสมบัติของปริญญา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณเห็นตอนนี้

มาดูกันว่ามีอะไรบ้าง และ ?

ตามคำจำกัดความ:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

มันง่ายมาก: เราเพิ่มปัจจัยให้กับปัจจัยและผลลัพธ์ก็คือปัจจัย

แต่ตามความหมายแล้ว นี่คือระดับของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

วิธีการแก้:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

วิธีการแก้:เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นต้องเป็น เหตุเดียวกัน!
ดังนั้นเราจึงรวมองศาเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

สำหรับผลิตภัณฑ์แห่งพลังเท่านั้น!

ไม่ว่าในกรณีใดคุณไม่ควรเขียนว่า

2. นั่นคือ กำลัง -th ของจำนวน

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

ปรากฎว่านิพจน์ถูกคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของจำนวน:

ที่จริงแล้วสิ่งนี้สามารถเรียกว่า "การคร่อมตัวบ่งชี้" แต่คุณไม่สามารถทำได้ทั้งหมด:

จำสูตรสำหรับการคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง

แต่นั่นไม่เป็นความจริงเลยจริงๆ

องศาที่มีฐานเป็นลบ

จนถึงจุดนี้ เราได้พูดถึงแต่เพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นอย่างไร

แต่สิ่งที่ควรเป็นพื้นฐาน?

ในองศาจาก ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจจะ หมายเลขใดก็ได้. อันที่จริง เราสามารถคูณจำนวนใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นจำนวนบวก ลบ หรือแม้แต่คู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด (" " หรือ "") จะมีองศาของจำนวนบวกและลบ?

เช่น ตัวเลขจะเป็นบวกหรือลบ? แต่? ? อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกเท่าไรผลลัพธ์จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย ท้ายที่สุด เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: "ลบ คูณ ลบ ให้บวก" นั่นคือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันจะออกมา

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าการแสดงออกต่อไปนี้จะมีสัญญาณอะไร:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

คุณจัดการหรือไม่

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขยกกำลัง และใช้กฎที่เหมาะสม

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวอย่างที่คิด: ไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับเท่าใด - ระดับคือเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างการปฏิบัติ

การวิเคราะห์โซลูชัน 6 ตัวอย่าง

ถ้าเราไม่ใส่ใจกับระดับแปดเราจะเห็นอะไรที่นี่? มาดูโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กัน แล้วจำได้ไหม? นี่คือสูตรคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างกำลังสอง! เราได้รับ:

เราดูที่ตัวส่วนอย่างระมัดระวัง ดูเหมือนตัวประกอบตัวเศษตัวใดตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น ลำดับเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากสลับกัน จะใช้กฎได้

แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับคู่ของตัวส่วนช่วยเราที่นี่

ข้อกำหนดมีการเปลี่ยนแปลงสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ "ปรากฏการณ์" นี้ใช้กับนิพจน์ใด ๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างอิสระ

แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดจะเปลี่ยนในเวลาเดียวกัน!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งสูตร:

ทั้งหมดเราตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติสิ่งที่ตรงกันข้าม (นั่นคือเครื่องหมาย "") และจำนวน

จำนวนเต็มบวกและมันก็ไม่ต่างจากธรรมชาติ ทุกอย่างดูเหมือนกับในส่วนก่อนหน้าทุกประการ

ทีนี้มาดูกรณีใหม่ๆ เริ่มจากตัวบ่งชี้เท่ากับ

เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากับ 1:

เช่นเคย เราถามตัวเองว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น

พิจารณาพลังบางอย่างด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:

เราก็เลยคูณจำนวนนั้นเข้าไป แล้วก็ได้ - เหมือนเดิม ต้องคูณเลขอะไรถึงจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องบน วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

ทำซ้ำกฎ:

เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากับ 1

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎมากมาย และนี่ก็อยู่ที่นั่นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในแง่หนึ่งจะต้องเท่ากับองศาใด ๆ - ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองเท่าไหร่คุณก็ยังได้ศูนย์ซึ่งชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับจำนวนใด ๆ ถึงศูนย์องศา มันจะต้องเท่ากัน ดังนั้นความจริงของเรื่องนี้คืออะไร? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจที่จะไม่เข้าไปเกี่ยวข้องและปฏิเสธที่จะยกกำลังศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่เพียง แต่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มกำลังเป็นศูนย์ได้อีกด้วย

ไปต่อกันเถอะ นอกจากจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็มแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่าเลขชี้กำลังลบคืออะไร ลองทำดังนี้ ครั้งสุดท้าย: คูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกันในระดับลบ:

จากที่นี่ มันง่ายอยู่แล้วที่จะแสดงความต้องการ:

ตอนนี้เราขยายกฎผลลัพธ์เป็นระดับโดยพลการ:

ดังนั้นมากำหนดกฎ:

เลขยกกำลังลบคือค่าผกผันของเลขยกกำลังบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นโมฆะ:(เพราะแบ่งไม่ได้).

สรุป:

I. นิพจน์ไม่ได้กำหนดไว้ในกรณี ถ้าอย่างนั้น.

ครั้งที่สอง จำนวนใด ๆ ยกกำลังศูนย์เท่ากับหนึ่ง: .

สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบคือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันกับกำลังบวก:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติ ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ฉันรู้ ฉันรู้ ตัวเลขน่ากลัว แต่ในการสอบคุณต้องพร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ และคุณจะได้เรียนรู้วิธีจัดการกับมันอย่างง่ายดายในข้อสอบ!

มาขยายช่วงของตัวเลขที่ "เหมาะสม" เป็นเลขชี้กำลังกันต่อไป

ตอนนี้พิจารณา สรุปตัวเลข.จำนวนใดที่เรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และจำนวนเต็ม ยิ่งกว่านั้น

เพื่อทำความเข้าใจว่าคืออะไร "เศษส่วนองศา"ลองพิจารณาเศษส่วน:

เรามายกกำลังทั้งสองข้างของสมการกัน:

ตอนนี้จำกฎ "ระดับต่อระดับ":

ต้องยกกำลังเลขอะไรถึงจะได้

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับ th

ฉันขอเตือนคุณ: รากของเลขยกกำลัง th ของตัวเลข () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วมีค่าเท่ากัน

นั่นคือรากของระดับ th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า นี้แน่นอน กรณีพิเศษสามารถขยายได้: .

ตอนนี้เพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายๆ ด้วยกฎแบบอำนาจต่ออำนาจ:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใด ๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

จำกฎไว้: ตัวเลขใดๆ ที่ยกกำลังเลขคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของระดับคู่ออกจากจำนวนลบ!

และนั่นหมายความว่าไม่สามารถเพิ่มตัวเลขดังกล่าวได้ ระดับเศษส่วนด้วยตัวส่วนคู่ นั่นคือ การแสดงออกไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

จำนวนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนอื่น ๆ เช่นเศษส่วนหรือ

และปรากฎว่ามีอยู่จริง แต่ไม่มีอยู่ และนี่เป็นเพียงบันทึกที่แตกต่างกันสองรายการที่มีหมายเลขเดียวกัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งเดียวแล้วคุณสามารถจด แต่ทันทีที่เราเขียนตัวบ่งชี้ด้วยวิธีอื่น เราก็พบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าวให้พิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกกับเลขชี้กำลังเศษส่วนเท่านั้น.

ดังนั้นหาก:

• - จำนวนธรรมชาติ
• เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง:

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะมีประโยชน์มากสำหรับการแปลงนิพจน์ที่มีราก ตัวอย่างเช่น

5 ตัวอย่างการปฏิบัติ

การวิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

ตอนนี้ - ยากที่สุด ตอนนี้เราจะวิเคราะห์ องศากับเลขชี้กำลังอตรรกยะ.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่นี่เหมือนกันทุกประการกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ยกเว้น

ตามคำนิยามแล้ว จำนวนอตรรกยะคือจำนวนที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับด้วยตัวบ่งชี้ธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะ แต่ละครั้งที่เราสร้าง "รูปภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในคำที่คุ้นเคยมากกว่า

ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังธรรมชาติคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหลาย ๆ ครั้ง;

...พลังงานเป็นศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้งนั่นคือมันยังไม่เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นยังไม่ปรากฏ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" คือจำนวน;

...เลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้น นั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

อย่างไรก็ตาม วิทยาศาสตร์มักจะใช้ดีกรีกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน นั่นคือ เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงปัญหาดังกล่าวคุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:

1. เริ่มจากกฎทั่วไปในการเพิ่มระดับเป็นระดับ:

ตอนนี้ดูที่คะแนน เขาเตือนอะไรคุณบ้างไหม? เราจำสูตรสำหรับการคูณแบบย่อของความแตกต่างของกำลังสอง:

ในกรณีนี้,

ปรากฎว่า:

ตอบ: .

2. เราให้เศษส่วนเป็นเลขยกกำลังของ k ชนิดเดียวกัน: ทศนิยมทั้งคู่หรือปกติทั้งคู่ เราได้รับตัวอย่างเช่น:

คำตอบ: 16

3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ระดับสูง

ความหมายของปริญญา

ระดับคือการแสดงออกของรูปแบบ: , โดยที่:

• — ฐานของปริญญา
• - เลขยกกำลัง

องศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนด้วยพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วยจำนวนครั้ง:

ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

ถ้าเลขชี้กำลังเป็น จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การสร้าง พลังงานเป็นศูนย์:

นิพจน์นั้นไม่มีกำหนด เพราะในแง่หนึ่ง ในระดับใดๆ ก็คือสิ่งนี้ และในทางกลับกัน ตัวเลขใดๆ ในระดับ th ก็คือสิ่งนี้

ถ้าเลขชี้กำลังเป็น จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะแบ่งไม่ได้).

อีกครั้งเกี่ยวกับ nulls: นิพจน์ไม่ได้กำหนดไว้ในกรณี ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

องศากับเลขชี้กำลังตรรกยะ

• - จำนวนธรรมชาติ
• เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติของปริญญา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหาลองทำความเข้าใจว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กัน

มาดูกัน: คืออะไรและ?

ตามคำจำกัดความ:

ดังนั้น ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ จะได้ผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:

แต่ตามความหมายแล้ว นี่คือพลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

คิวอีดี

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

วิธีการแก้ : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

วิธีการแก้ : เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นต้องมีพื้นฐานเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมองศาเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

อื่น โน๊ตสำคัญ: กฎนี้คือ - สำหรับผลิตภัณฑ์แห่งพลังเท่านั้น!

ไม่ว่าในกรณีใดฉันไม่ควรเขียนสิ่งนั้น

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

มาจัดเรียงใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์ถูกคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลัง -th ของจำนวน:

ที่จริงแล้วสิ่งนี้สามารถเรียกว่า "การคร่อมตัวบ่งชี้" แต่คุณไม่สามารถทำได้ทั้งหมด:!

จำสูตรสำหรับการคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง แต่นั่นไม่เป็นความจริงเลยจริงๆ

กำลังที่มีฐานเป็นลบ

ถึงตอนนี้ เราคุยกันแต่สิ่งที่ควรเป็น ดัชนีระดับ. แต่สิ่งที่ควรเป็นพื้นฐาน? ในองศาจาก เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจจะ หมายเลขใดก็ได้ .

อันที่จริง เราสามารถคูณจำนวนใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นจำนวนบวก ลบ หรือแม้แต่คู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด (" " หรือ "") จะมีองศาของจำนวนบวกและลบ?

เช่น ตัวเลขจะเป็นบวกหรือลบ? แต่? ?

อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกเท่าไรผลลัพธ์จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย ท้ายที่สุด เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: "ลบ คูณ ลบ ให้บวก" นั่นคือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และอื่นๆ ใน ad infinitum: ด้วยการคูณที่ตามมาแต่ละครั้ง เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เป็นไปได้ที่จะกำหนดดังกล่าว กฎง่ายๆ:

1. สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
2. จำนวนลบยกเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ เป็นจำนวนบวก
4. ศูนย์ยกกำลังใด ๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าการแสดงออกต่อไปนี้จะมีสัญญาณอะไร:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

คุณจัดการหรือไม่ นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขยกกำลัง และใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวอย่างที่คิด: ไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับเท่าใด - ระดับคือเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? หากคุณจำได้ จะเห็นได้ชัดว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ

และอีกครั้งเราใช้คำจำกัดความของระดับ:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาและแบ่งพวกมันออกเป็นสองส่วนและรับ:

ก่อนถอดประกอบ กฎข้อสุดท้ายลองมาดูตัวอย่างกัน

คำนวณค่านิพจน์:

โซลูชั่น :

ถ้าเราไม่ใส่ใจกับระดับแปดเราจะเห็นอะไรที่นี่? มาดูโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กัน แล้วจำได้ไหม? นี่คือสูตรคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างกำลังสอง!

เราได้รับ:

เราดูที่ตัวส่วนอย่างระมัดระวัง ดูเหมือนตัวประกอบตัวเศษตัวใดตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น ลำดับเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกันก็สามารถใช้กฎข้อที่ 3 ได้ แต่จะทำอย่างไร ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับคู่ของตัวส่วนช่วยเราที่นี่

ถ้าคุณคูณมันด้วย ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ดูเหมือนว่า:

ข้อกำหนดมีการเปลี่ยนแปลงสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ "ปรากฏการณ์" นี้ใช้กับนิพจน์ใด ๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างอิสระ แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: ทุกสัญญาณเปลี่ยนพร้อมกัน!ไม่สามารถแทนที่ได้ด้วยการเปลี่ยนเพียงหนึ่งลบที่น่ารังเกียจสำหรับเรา!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งสูตร:

ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เช่นเคย มาขยายแนวคิดของระดับและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกัน จะมีจดหมายกี่ฉบับ? ครั้งโดยตัวคูณ - มันมีลักษณะอย่างไร? นี่ไม่ใช่อะไรนอกจากคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ผลรวมกลายเป็นตัวคูณ นั่นคือ ตามนิยามแล้ว พลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

ระดับที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่นี่เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ยกเว้นตามความหมายแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่และเป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับด้วยตัวบ่งชี้ธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะ แต่ละครั้งที่เราสร้าง "รูปภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในคำที่คุ้นเคยมากกว่า ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังธรรมชาติคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหลาย ๆ ครั้ง; ตัวเลขถึงระดับศูนย์คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้งนั่นคือมันยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นยังไม่ปรากฏ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "การเตรียมตัวเลข" บางอย่าง ได้แก่ ตัวเลข; ระดับที่มีตัวบ่งชี้จำนวนเต็มลบ - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงดีกรีที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ (เช่นเดียวกับการจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) แต่เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วน ๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดของระดับไปสู่ปริภูมิทั้งหมดของตัวเลข

อย่างไรก็ตาม วิทยาศาสตร์มักจะใช้ดีกรีกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน นั่นคือ เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงปัญหาดังกล่าวคุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็น ตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวองศา? เรากำลังพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1)

2)

3)

คำตอบ:

1. จำความแตกต่างของสูตรกำลังสอง ตอบ: .
2. เรานำเศษส่วนมาอยู่ในรูปเดียวกัน: ทศนิยมทั้งคู่หรือทั้งทศนิยมธรรมดา เราได้รับตัวอย่างเช่น: .
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: , โดยที่:

องศากับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

องศา เลขยกกำลังซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

องศากับเลขชี้กำลังตรรกยะ

องศา ตัวบ่งชี้ที่เป็นลบและตัวเลขเศษส่วน

ระดับที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนทศนิยมหรือรากไม่สิ้นสุด

คุณสมบัติของปริญญา

คุณสมบัติขององศา

• จำนวนลบยกเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
• จำนวนลบยกเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ คือจำนวนบวก
• ศูนย์มีค่าเท่ากับพลังใดๆ
• จำนวนใด ๆ ยกกำลังศูนย์มีค่าเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำ ...

คุณชอบบทความอย่างไร แจ้งให้เราทราบในความคิดเห็นด้านล่างหากคุณชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติของพลังงาน

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ.

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีกับการสอบของคุณ!