วิธีคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ เวกเตอร์สำหรับหุ่น

ในที่สุดฉันก็ได้รับหัวข้อที่ครอบคลุมและรอคอยมานาน เรขาคณิตวิเคราะห์. ก่อนอื่น เล็กน้อยเกี่ยวกับส่วนนี้ของคณิตศาสตร์ขั้นสูง…. แน่นอนว่าตอนนี้คุณจำหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนที่มีทฤษฎีบทมากมาย การพิสูจน์ การวาด ฯลฯ สิ่งที่ต้องซ่อน วิชาที่ไม่มีใครรักและมักจะคลุมเครือสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ รูปทรงเรขาคณิตวิเคราะห์อาจดูน่าสนใจและเข้าถึงได้มากกว่า คำคุณศัพท์ "วิเคราะห์" หมายถึงอะไร? การเลี้ยวทางคณิตศาสตร์ที่มีการประทับตราสองครั้งจะนึกถึงทันที: "วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก" และ "วิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์" วิธีการกราฟิกแน่นอนว่าเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟภาพวาด เชิงวิเคราะห์เดียวกัน วิธีเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา เด่นผ่านการดำเนินการทางพีชคณิต ในเรื่องนี้ อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นเรียบง่ายและโปร่งใส บ่อยครั้งเพียงพอที่จะใช้สูตรที่จำเป็นอย่างถูกต้อง - และคำตอบก็พร้อมแล้ว! ไม่ แน่นอนว่าจะไม่มีการวาดภาพเลย นอกจากนี้ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับเนื้อหา ฉันจะพยายามทำให้เกินความต้องการ

บทเรียนแบบเปิดในเรขาคณิตไม่ได้อ้างว่าเป็นความสมบูรณ์ทางทฤษฎี แต่มุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ฉันจะรวมเฉพาะสิ่งที่มีความสำคัญในแง่ปฏิบัติจากมุมมองของฉันในการบรรยายของฉัน หากคุณต้องการข้อมูลอ้างอิงที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นในส่วนย่อยใดๆ ฉันขอแนะนำวรรณกรรมที่เข้าถึงได้ง่ายต่อไปนี้:

1) สิ่งที่คุ้นเคยสำหรับคนหลายชั่วอายุคนไม่ใช่เรื่องตลก: หนังสือเรียนเกี่ยวกับเรขาคณิตผู้เขียน - แอล.เอส. Atanasyan และ บริษัท. ไม้แขวนเสื้อสำหรับห้องล็อกเกอร์ของโรงเรียนนี้ผ่านการออกซ้ำมาแล้ว 20 ครั้ง (!) ซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่ขีดจำกัด

2) เรขาคณิตใน 2 เล่ม. ผู้เขียน แอล.เอส. Atanasyan, Bazylev V.T.. นี่คือวรรณกรรมสำหรับการศึกษาระดับอุดมศึกษาที่คุณจะต้อง เล่มแรก. งานที่เกิดขึ้นไม่บ่อยอาจอยู่นอกสายตาของฉัน และบทช่วยสอนจะเป็นประโยชน์อย่างมาก

หนังสือทั้งสองเล่มสามารถดาวน์โหลดออนไลน์ได้ฟรี นอกจากนี้ คุณสามารถใช้ไฟล์เก็บถาวรของฉันกับโซลูชันสำเร็จรูปซึ่งพบได้ในหน้านี้ ดาวน์โหลดตัวอย่างคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น.

จากเครื่องมือ ฉันเสนอการพัฒนาของตัวเองอีกครั้ง - แพคเกจซอฟต์แวร์บนเรขาคณิตวิเคราะห์ซึ่งจะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นอย่างมากและประหยัดเวลาได้มาก

สันนิษฐานว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับแนวคิดและตัวเลขพื้นฐานทางเรขาคณิต: จุด เส้น ระนาบ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนาน ลูกบาศก์ ฯลฯ ขอแนะนำให้จำทฤษฎีบทบางบท อย่างน้อยที่สุดก็ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สวัสดีขาประจำ)

และตอนนี้เราจะพิจารณาตามลำดับ: แนวคิดของเวกเตอร์, การกระทำกับเวกเตอร์, พิกัดเวกเตอร์ นอกจากนี้ฉันขอแนะนำให้อ่าน บทความที่สำคัญที่สุด ดอทโปรดัคของเวกเตอร์เช่นเดียวกับ เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์. งานในพื้นที่จะไม่ฟุ่มเฟือย - การแบ่งกลุ่มในเรื่องนี้ จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถ สมการเส้นตรงในระนาบกับ ตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งจะช่วยให้ เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาในเรขาคณิต. บทความต่อไปนี้ยังมีประโยชน์: สมการของระนาบในอวกาศ, สมการเส้นตรงในอวกาศ, ปัญหาพื้นฐานเกี่ยวกับเส้นและระนาบ , ส่วนอื่นๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยปกติแล้วงานมาตรฐานจะได้รับการพิจารณาไปพร้อมกัน

แนวคิดของเวกเตอร์ เวกเตอร์ฟรี

อันดับแรก เรามาทบทวนนิยามของเวกเตอร์ในโรงเรียนกันอีกครั้ง เวกเตอร์เรียกว่า กำกับส่วนที่มีการระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นของส่วนคือจุด จุดสิ้นสุดของส่วนคือจุด เวกเตอร์นั้นเขียนแทนด้วย . ทิศทางเป็นสิ่งสำคัญ หากคุณจัดเรียงลูกศรใหม่ไปยังอีกด้านของเซ็กเมนต์ คุณจะได้เวกเตอร์ และนี่คือแล้ว เวกเตอร์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง. เป็นการสะดวกที่จะระบุแนวคิดของเวกเตอร์ด้วยการเคลื่อนไหวของร่างกาย: คุณต้องยอมรับว่าการเข้าประตูสถาบันหรือออกจากประตูสถาบันนั้นแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง

สะดวกในการพิจารณาแต่ละจุดของระนาบ ช่องว่าง ตามที่เรียกว่า เวกเตอร์ศูนย์. เวกเตอร์ดังกล่าวมีจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นเหมือนกัน

!!! บันทึก: ที่นี่และด้านล่าง คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกันหรือคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าพวกมันอยู่ในอวกาศ - สาระสำคัญของวัสดุที่นำเสนอนั้นใช้ได้สำหรับทั้งระนาบและอวกาศ

ชื่อ:หลายคนดึงความสนใจไปที่ไม้ที่ไม่มีลูกศรในทันทีและบอกว่าพวกเขาวางลูกศรไว้ด้านบนด้วย! ถูกต้อง คุณสามารถเขียนด้วยลูกศร: แต่ยอมรับได้ และ บันทึกว่าฉันจะใช้ในภายหลัง. ทำไม เห็นได้ชัดว่านิสัยดังกล่าวพัฒนาขึ้นจากการพิจารณาในทางปฏิบัติ นักยิงปืนที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยของฉันกลายเป็นคนหลากหลายและมีขนดกเกินไป ในวรรณกรรมเพื่อการศึกษา บางครั้งพวกเขาไม่ได้กังวลกับฟอร์มฟอร์มเลย แต่เน้นตัวอักษรด้วยตัวหนา: ซึ่งหมายความว่านี่คือเวกเตอร์

นั่นคือรูปแบบ และตอนนี้เกี่ยวกับวิธีการเขียนเวกเตอร์:

1) เวกเตอร์สามารถเขียนด้วยอักษรละตินสองตัว:
และอื่น ๆ ขณะที่อักษรตัวแรก อย่างจำเป็นหมายถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และตัวอักษรตัวที่สองหมายถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

2) เวกเตอร์ยังเขียนด้วยอักษรละตินตัวเล็ก:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์ของเราสามารถกำหนดใหม่เพื่อความกะทัดรัดได้ด้วยอักษรละตินตัวเล็ก .

ความยาวหรือ โมดูลเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าความยาวของส่วน ความยาวของเวกเตอร์ว่างเป็นศูนย์ อย่างมีเหตุผล

ความยาวของเวกเตอร์แสดงด้วยเครื่องหมายโมดูโล: ,

เราจะเรียนรู้วิธีหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร (หรือทำซ้ำเพื่อใคร) ในภายหลัง

นั่นเป็นข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ ที่เด็กนักเรียนทุกคนคุ้นเคย ในเรขาคณิตวิเคราะห์ที่เรียกว่า เวกเตอร์ฟรี.

ถ้ามันค่อนข้างง่าย - เวกเตอร์สามารถวาดจากจุดใดก็ได้:

เราเคยเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวว่าเท่ากัน (คำจำกัดความของเวกเตอร์ที่เท่ากันจะได้รับด้านล่าง) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วน ๆ นี่คือเวกเตอร์เดียวกัน หรือ เวกเตอร์ฟรี. ทำไมต้องฟรี? เนื่องจากในการแก้ปัญหาคุณสามารถ "แนบ" เวกเตอร์ "โรงเรียน" หนึ่งหรืออีกอันหนึ่งไปยังจุดใดก็ได้ของระนาบหรือพื้นที่ที่คุณต้องการ นี่เป็นคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมมาก! ลองนึกภาพส่วนที่กำหนดความยาวและทิศทางโดยพลการ - มันสามารถ "โคลน" ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งและที่จุดใดๆ ในอวกาศ อันที่จริงมันมีอยู่ทุกที่ มีสุภาษิตของนักเรียน: อาจารย์แต่ละคนใน f ** u ในเวกเตอร์ ท้ายที่สุดมันไม่ใช่แค่สัมผัสที่มีไหวพริบเท่านั้น แต่ทุกอย่างเกือบจะถูกต้อง - สามารถแนบส่วนที่กำกับไว้ที่นั่นได้เช่นกัน แต่อย่ารีบเร่งที่จะชื่นชมยินดีนักเรียนต้องทนทุกข์บ่อยขึ้น =)

ดังนั้น, เวกเตอร์ฟรี- นี้ พวงของ ส่วนที่มีทิศทางเหมือนกัน คำจำกัดความของโรงเรียนเกี่ยวกับเวกเตอร์ที่ให้ไว้ในตอนต้นของย่อหน้า: "ส่วนที่กำกับเรียกว่าเวกเตอร์ ... " หมายความว่า เฉพาะเจาะจงส่วนกำกับที่นำมาจากชุดที่กำหนดซึ่งแนบกับจุดใดจุดหนึ่งในระนาบหรือช่องว่าง

ควรสังเกตว่าจากมุมมองของฟิสิกส์ แนวคิดของเวกเตอร์อิสระโดยทั่วไปไม่ถูกต้อง และประเด็นของการนำไปใช้มีความสำคัญ แท้จริงแล้ว การเป่าด้วยแรงเดียวกันโดยตรงที่จมูกหรือที่หน้าผากก็เพียงพอที่จะพัฒนาตัวอย่างโง่ๆ ของฉันซึ่งก่อให้เกิดผลที่ตามมาที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม, ไม่ฟรีนอกจากนี้ยังพบเวกเตอร์ในหลักสูตรของ vyshmat (อย่าไปที่นั่น :))

การดำเนินการกับเวกเตอร์ ความสอดคล้องกันของเวกเตอร์

ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน มีการพิจารณาการกระทำและกฎจำนวนหนึ่งด้วยเวกเตอร์: การบวกตามกฎสามเหลี่ยม การบวกตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน กฎผลต่างของเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เป็นต้นในฐานะที่เป็นเมล็ดพันธุ์ เราทำซ้ำกฎสองข้อที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์โดยเฉพาะ

กฎการบวกเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยม

พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์โดยพลการสองตัวและ :

จำเป็นต้องหาผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้ เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งหมดถือว่าฟรีเราจึงเลื่อนเวกเตอร์จาก จบเวกเตอร์ :

ผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับกฎ ขอแนะนำให้ใส่ความหมายทางกายภาพลงไป: ให้บางคนสร้างเส้นทางไปตามเวกเตอร์ แล้วตามด้วยเวกเตอร์ . จากนั้นผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ของเส้นทางผลลัพธ์ที่เริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดที่มาถึง กฎที่คล้ายกันนี้กำหนดขึ้นสำหรับผลรวมของเวกเตอร์จำนวนใดๆ อย่างที่เขาพูดกัน ร่างกายสามารถซิกแซกได้อย่างมาก หรืออาจจะเคลื่อนที่อัตโนมัติ - ไปตามเวกเตอร์ผลรวมที่ได้

อย่างไรก็ตาม หากเวกเตอร์เลื่อนจาก เริ่มเวกเตอร์ แล้วเราจะได้ค่าที่เท่ากัน กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานการบวกเวกเตอร์

ประการแรก เกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์ เวกเตอร์ทั้งสองเรียกว่า คอลิเนียร์ถ้าอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นขนาน เรากำลังพูดถึงเวกเตอร์ขนาน แต่ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับพวกเขา คำคุณศัพท์ "collinear" จะถูกใช้เสมอ

ลองนึกภาพเวกเตอร์เชิงเส้นสองตัว หากลูกศรของเวกเตอร์เหล่านี้ชี้ไปในทิศทางเดียวกัน ก็จะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าว ร่วมทิศทาง. หากลูกศรมองไปในทิศทางที่ต่างกัน เวกเตอร์จะเป็น กำกับตรงกันข้าม.

ชื่อ:ความสอดคล้องกันของเวกเตอร์เขียนด้วยไอคอนความขนานตามปกติ: ในขณะที่รายละเอียดเป็นไปได้: (เวกเตอร์กำกับร่วมกัน) หรือ (เวกเตอร์กำกับตรงกันข้าม)

งานของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ด้วยตัวเลขคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ , และเวกเตอร์ และ ถูกกำกับร่วมที่และกำกับตรงกันข้ามที่

กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นเข้าใจได้ง่ายกว่าด้วยรูปภาพ:

เราเข้าใจในรายละเอียดเพิ่มเติม:

1) ทิศทาง ถ้าตัวคูณเป็นลบ จะเป็นเวกเตอร์ เปลี่ยนทิศทางตรงกันข้าม

2) ความยาว ถ้าตัวประกอบอยู่ภายใน หรือ ความยาวของเวกเตอร์ ลดลง. ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์จะน้อยกว่าความยาวของเวกเตอร์สองเท่า ถ้าตัวคูณโมดูโลมากกว่าหนึ่ง ความยาวของเวกเตอร์ เพิ่มขึ้นภายในเวลาที่กำหนด.

3) โปรดทราบว่า เวกเตอร์ทั้งหมดเป็นเส้นตรงในขณะที่เวกเตอร์หนึ่งแสดงผ่านอีกเวกเตอร์หนึ่ง ตัวอย่างเช่น . สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าเวกเตอร์หนึ่งสามารถแสดงในรูปของอีกเวกเตอร์หนึ่งได้ เวกเตอร์นั้นจำเป็นต้องเป็นเส้นตรง ดังนั้น: ถ้าเราคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เราจะได้คอลลิเนียร์(เทียบกับต้นฉบับ) เวกเตอร์.

4) เวกเตอร์มีทิศทางร่วม เวกเตอร์และยังเป็นทิศทางร่วม เวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มแรกอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มที่สอง

เวกเตอร์ใดเท่ากัน

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากพวกมันมีทิศทางร่วมและมีความยาวเท่ากัน. โปรดทราบว่าทิศทางร่วมแสดงว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน คำจำกัดความจะไม่ถูกต้อง (ซ้ำซ้อน) หากคุณพูดว่า: "เวกเตอร์สองตัวเท่ากันถ้าพวกมันเป็นเส้นตรง มีทิศทางร่วม และมีความยาวเท่ากัน"

จากมุมมองของแนวคิดของเวกเตอร์อิสระ เวกเตอร์ที่เท่ากันคือเวกเตอร์เดียวกัน ซึ่งได้กล่าวถึงไปแล้วในย่อหน้าก่อนหน้า

พิกัดเวกเตอร์บนระนาบและในอวกาศ

ประเด็นแรกคือการพิจารณาเวกเตอร์บนระนาบ วาดระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนและแยกออกจากจุดกำเนิด เดี่ยวเวกเตอร์ และ :

เวกเตอร์และ มุมฉาก. Orthogonal = ตั้งฉาก ฉันแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับคำศัพท์อย่างช้าๆ: แทนที่จะใช้ความขนานและความตั้งฉากเราใช้คำตามลำดับ ความสอดคล้องกันและ มุมฉาก.

กำหนด:ความตั้งฉากของเวกเตอร์เขียนด้วยเครื่องหมายตั้งฉากตามปกติ เช่น .

เวกเตอร์ที่พิจารณาเรียกว่า เวกเตอร์พิกัดหรือ ออร์ต. รูปแบบเวกเตอร์เหล่านี้ พื้นฐานบนพื้นผิว ฉันคิดว่าอะไรเป็นพื้นฐานที่ชัดเจนโดยสัญชาตญาณสำหรับหลาย ๆ คน ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ในบทความ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์พูดง่าย ๆ พื้นฐานและที่มาของพิกัดกำหนดระบบทั้งหมด - นี่คือรากฐานที่ชีวิตทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์และสมบูรณ์เดือด

บางครั้งเรียกว่าพื้นฐานที่สร้างขึ้น ออร์โธนอร์มอลพื้นฐานของระนาบ: "ออร์โธ" - เนื่องจากเวกเตอร์พิกัดเป็นแบบตั้งฉาก คำคุณศัพท์ "ปกติ" จึงหมายถึงหน่วย เช่น ความยาวของเวกเตอร์พื้นฐานเท่ากับหนึ่ง

กำหนด:พื้นฐานมักจะเขียนในวงเล็บซึ่งอยู่ภายใน อย่างเคร่งครัดเวกเตอร์พื้นฐานแสดงรายการ ตัวอย่างเช่น: . เวกเตอร์พิกัด เป็นสิ่งต้องห้ามแลกเปลี่ยนสถานที่

ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวแสดงเป็น:
, ที่ไหน - ตัวเลขซึ่งเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้ แต่การแสดงออกนั้นเอง เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์พื้นฐาน .

เสิร์ฟอาหารค่ำ:

เริ่มจากตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษร: . ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเมื่อแยกย่อยเวกเตอร์ในแง่ของพื้นฐาน จะใช้สิ่งที่เพิ่งพิจารณา:
1) กฎการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: และ ;
2) การเพิ่มเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยม: .

ตอนนี้ให้แยกเวกเตอร์ออกจากจุดอื่นบนระนาบ เห็นได้ชัดว่าการทุจริตของเขาจะ "ติดตามเขาอย่างไม่ลดละ" นี่คืออิสระของเวกเตอร์ - เวกเตอร์ "พกทุกอย่างไปกับคุณ" แน่นอนว่าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์ใดๆ เป็นเรื่องตลกที่ไม่จำเป็นต้องแยกเวกเตอร์พื้นฐาน (ฟรี) ออกจากจุดกำเนิด ตัวอย่างเช่น สามารถวาดเวกเตอร์ที่ด้านล่างซ้าย และอีกอันที่ด้านบนขวา และจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงจากสิ่งนี้! จริงอยู่คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้เพราะครูจะแสดงความคิดริเริ่มและดึง "ผ่าน" ให้คุณในที่ที่ไม่คาดคิด

เวกเตอร์ , แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข, เวกเตอร์กำกับร่วมกับเวกเตอร์พื้นฐาน , เวกเตอร์กำกับตรงข้ามกับเวกเตอร์พื้นฐาน สำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ พิกัดหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ สามารถเขียนอย่างละเอียดได้ดังนี้


และเวกเตอร์พื้นฐานก็เป็นแบบนี้ (อันที่จริง พวกมันแสดงผ่านตัวของมันเอง)

และในที่สุดก็: , . อย่างไรก็ตาม การลบเวกเตอร์คืออะไร แล้วทำไมฉันถึงไม่บอกคุณเกี่ยวกับกฎการลบล่ะ ที่ไหนสักแห่งในพีชคณิตเชิงเส้น ผมจำไม่ได้ว่าตรงไหน ผมสังเกตว่าการลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก ดังนั้น การขยายของเวกเตอร์ "de" และ "e" จึงเขียนเป็นผลรวมอย่างใจเย็น: . ทำตามภาพวาดเพื่อดูว่าการบวกเวกเตอร์แบบเก่าที่ดีตามกฎสามเหลี่ยมทำงานได้ดีเพียงใดในสถานการณ์เหล่านี้

ถือว่าเป็นการสลายตัวของรูปแบบ บางครั้งเรียกว่าการสลายตัวแบบเวกเตอร์ ในระบบ ort(เช่นในระบบเวกเตอร์หน่วย) แต่นี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการเขียนเวกเตอร์ ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติ:

หรือด้วยเครื่องหมายเท่ากับ:

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนขึ้นดังนี้: และ

นั่นคือ พิกัดของเวกเตอร์ถูกระบุในวงเล็บ ในการใช้งานจริง จะใช้ตัวเลือกการบันทึกทั้งสามตัวเลือก

ฉันสงสัยว่าจะพูดหรือไม่ แต่ฉันจะพูดว่า: พิกัดเวกเตอร์ไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้. ในสถานที่แรกอย่างเคร่งครัดเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย , อันดับสองอย่างเคร่งครัดเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย แน่นอน และเป็นเวกเตอร์สองตัวที่ต่างกัน

เราหาพิกัดบนเครื่องบิน ตอนนี้พิจารณาเวกเตอร์ในพื้นที่สามมิติ ทุกอย่างเกือบจะเหมือนกันที่นี่! จะเพิ่มเพียงหนึ่งพิกัดเท่านั้น เป็นการยากที่จะวาดสามมิติดังนั้นฉันจะ จำกัด ตัวเองไว้ที่เวกเตอร์เดียวซึ่งเพื่อความเรียบง่ายฉันจะเลื่อนจากจุดเริ่มต้น:

ใดๆเวกเตอร์อวกาศ 3 มิติ วิธีเดียวขยายตามหลักการปกติ:
ซึ่งพิกัดของเวกเตอร์ (ตัวเลข) ในพื้นฐานที่กำหนดคือที่ใด

ตัวอย่างจากภาพ: . มาดูกันว่ากฎการทำงานของเวกเตอร์ทำงานอย่างไร ขั้นแรก ให้คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: (ลูกศรสีแดง), (ลูกศรสีเขียว) และ (ลูกศรสีม่วงแดง) ประการที่สอง ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการบวกเวกเตอร์หลายตัว ในกรณีนี้คือสามตัว: เวกเตอร์ผลรวมเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นของการออกเดินทาง (จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ ) และสิ้นสุดที่จุดสิ้นสุดของการมาถึง (จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ )

แน่นอนว่าเวกเตอร์ทั้งหมดของพื้นที่สามมิตินั้นฟรีเช่นกัน ลองเลื่อนเวกเตอร์ทางจิตใจออกจากจุดอื่น ๆ แล้วคุณจะเข้าใจว่าการขยายตัวนั้น "ยังคงอยู่กับมัน"

เช่นเดียวกับกรณีเครื่องบินนอกเหนือไปจากการเขียน รุ่นที่มีวงเล็บใช้กันอย่างแพร่หลาย: อย่างใดอย่างหนึ่ง .

หากไม่มีเวกเตอร์พิกัดหนึ่ง (หรือสอง) ตัวในการขยาย ก็จะใส่ศูนย์แทน ตัวอย่าง:
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) - เขียนลงไป ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) - เขียนลงไป ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) - เขียนลงไป .

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนได้ดังนี้:

นี่อาจเป็นความรู้เชิงทฤษฎีขั้นต่ำทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ บางทีอาจมีคำศัพท์และคำจำกัดความมากเกินไป ดังนั้นฉันขอแนะนำให้ใช้หุ่นจำลองอ่านซ้ำและทำความเข้าใจข้อมูลนี้อีกครั้ง และจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้อ่านในการอ้างถึงบทเรียนพื้นฐานเป็นครั้งคราวเพื่อการดูดซึมที่ดีขึ้นของเนื้อหา Collinearity, orthogonality, orthonormal base, vector decomposition - แนวคิดเหล่านี้และแนวคิดอื่นๆ มักจะถูกนำมาใช้ในสิ่งต่อไปนี้ ฉันทราบว่าเนื้อหาของไซต์ไม่เพียงพอที่จะผ่านการทดสอบทางทฤษฎี การประชุมเกี่ยวกับเรขาคณิต เนื่องจากฉันเข้ารหัสทฤษฎีบททั้งหมดอย่างระมัดระวัง (นอกเหนือจากการพิสูจน์) - เพื่อสร้างความเสียหายต่อรูปแบบการนำเสนอทางวิทยาศาสตร์ แต่เป็นข้อดีสำหรับความเข้าใจของคุณ ของเรื่อง สำหรับข้อมูลเชิงทฤษฎีโดยละเอียด ข้าพเจ้าขอกราบเรียนท่านอาจารย์อัตนัสญาณ

ตอนนี้เรามาดูส่วนที่ใช้งานได้จริง:

ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์
การดำเนินการกับเวกเตอร์ในพิกัด

งานที่จะได้รับการพิจารณาเป็นที่พึงปรารถนาอย่างยิ่งที่จะเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาโดยอัตโนมัติและสูตรต่างๆ จดจำอย่าไปจำมันโดยเจตนา พวกเขาจะจำมันเอง =) สิ่งนี้สำคัญมาก เนื่องจากปัญหาอื่นๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์ขึ้นอยู่กับตัวอย่างเบื้องต้นที่ง่ายที่สุด และการใช้เวลามากขึ้นในการกินเบี้ยจะน่ารำคาญ คุณไม่จำเป็นต้องติดกระดุมเม็ดบนบนเสื้อเชิ้ต หลายสิ่งหลายอย่างที่คุณคุ้นเคยจากโรงเรียน

การนำเสนอเนื้อหาจะเป็นไปตามหลักสูตรคู่ขนาน - ทั้งบนระนาบและอวกาศ ด้วยเหตุที่ครบสูตร...ท่านจะเห็นเอง

จะหาเวกเตอร์ที่กำหนดสองจุดได้อย่างไร?

หากกำหนดระนาบสองจุดแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

หากกำหนดสองจุดในอวกาศแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดดังต่อไปนี้:

นั่นคือ, จากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คุณต้องลบพิกัดที่สอดคล้องกัน เริ่มต้นเวกเตอร์.

ออกกำลังกาย:สำหรับจุดเดียวกัน ให้เขียนสูตรสำหรับหาพิกัดของเวกเตอร์ สูตรท้ายบทเรียน.

ตัวอย่างที่ 1

ให้สองจุดในระนาบและ. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์

สารละลาย:ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

หรือสามารถใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้:

Aesthetes จะตัดสินใจดังนี้:

ส่วนตัวผมชินกับแผ่นเสียงเวอร์ชั่นแรก

คำตอบ:

ตามเงื่อนไข ไม่จำเป็นต้องสร้างรูปวาด (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์) แต่เพื่ออธิบายบางประเด็นแก่หุ่นจำลอง ฉันจะไม่ขี้เกียจเกินไป:

จะต้องเข้าใจ ความแตกต่างระหว่างพิกัดจุดและพิกัดเวกเตอร์:

พิกัดจุดเป็นพิกัดปกติในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ฉันคิดว่าทุกคนรู้วิธีลงจุดบนระนาบพิกัดตั้งแต่ป.5-6 แต่ละจุดมีสถานที่บนเครื่องบินที่เข้มงวดและไม่สามารถเคลื่อนย้ายไปไหนได้

พิกัดของเวกเตอร์เดียวกันคือการขยายตัวที่เกี่ยวกับพื้นฐาน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ใดๆ นั้นฟรี ดังนั้น หากต้องการหรือจำเป็น เราสามารถเลื่อนมันออกจากจุดอื่นในระนาบได้อย่างง่ายดาย ที่น่าสนใจสำหรับเวกเตอร์ คุณไม่สามารถสร้างแกนได้เลย ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม คุณแค่ต้องการพื้นฐาน ในกรณีนี้ พื้นฐานออร์โทนอร์มอลของระนาบ

บันทึกของพิกัดจุดและพิกัดเวกเตอร์ดูเหมือนจะคล้ายกัน: , และ ความรู้สึกของพิกัดอย่างแน่นอน แตกต่างและคุณควรตระหนักดีถึงความแตกต่างนี้ แน่นอนว่าความแตกต่างนี้ก็เป็นจริงสำหรับอวกาศเช่นกัน

ท่านสุภาพบุรุษและสุภาพสตรี เรายกมือขึ้น:

ตัวอย่างที่ 2

ก) คะแนนที่ได้รับ และ . ค้นหาเวกเตอร์ และ .
b) มีการให้คะแนน และ . ค้นหาเวกเตอร์ และ .
ค) คะแนนที่ได้รับ และ . ค้นหาเวกเตอร์ และ .
d) ให้คะแนน ค้นหาเวกเตอร์ .

อาจจะเพียงพอ เหล่านี้คือตัวอย่างสำหรับการตัดสินใจที่เป็นอิสระ พยายามอย่าเพิกเฉยต่อสิ่งเหล่านั้น มันจะคุ้มค่า ;-) ไม่จำเป็นต้องมีภาพวาด เฉลยและเฉลยท้ายบทเรียน.

อะไรคือสิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์?เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องระมัดระวังอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด "สองบวกสองเท่ากับศูนย์" ที่เชี่ยวชาญ ฉันขอโทษล่วงหน้าหากฉันทำผิดพลาด =)

จะหาความยาวของส่วนได้อย่างไร

ความยาวตามที่ระบุไว้แล้วจะแสดงด้วยเครื่องหมายโมดูลัส

หากกำหนดจุดสองจุดของระนาบแล้วสูตรจะสามารถคำนวณความยาวของส่วนได้

หากกำหนดจุดสองจุดในช่องว่าง สูตรจะคำนวณความยาวของส่วนได้

บันทึก: สูตรจะยังคงถูกต้องหากมีการสลับพิกัดที่สอดคล้องกัน: และ แต่ตัวเลือกแรกจะเป็นมาตรฐานมากกว่า

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

เพื่อความชัดเจนฉันจะวาดรูป

ส่วนของเส้น - มันไม่ใช่เวกเตอร์และคุณไม่สามารถเคลื่อนย้ายไปไหนได้แน่นอน นอกจากนี้ หากคุณวาดเสร็จเพื่อปรับขนาด: 1 หน่วย \u003d 1 ซม. (สองเซลล์ tetrad) จากนั้นสามารถตรวจสอบคำตอบได้ด้วยไม้บรรทัดปกติโดยการวัดความยาวของส่วนโดยตรง

ใช่ วิธีแก้ปัญหานั้นสั้น แต่มีประเด็นสำคัญสองสามข้อที่ฉันต้องการชี้แจง:

อันดับแรก ในคำตอบ เรากำหนดมิติข้อมูล: "หน่วย" เงื่อนไขไม่ได้บอกว่าเป็นอะไร มิลลิเมตร เซนติเมตร เมตร กิโลเมตร ดังนั้นสูตรทั่วไปจะเป็นวิธีแก้ปัญหาที่มีความสามารถทางคณิตศาสตร์: "หน่วย" - เรียกโดยย่อว่า "หน่วย"

ประการที่สอง เรามาทบทวนเนื้อหาของโรงเรียนซึ่งมีประโยชน์ไม่เพียง แต่สำหรับปัญหาที่พิจารณาเท่านั้น:

ให้ความสนใจกับ เคล็ดลับทางเทคนิคที่สำคัญ – นำตัวคูณออกจากใต้รูท. จากการคำนวณ เราได้ผลลัพธ์และรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ดีเกี่ยวข้องกับการถอดตัวคูณออกจากราก (ถ้าเป็นไปได้) กระบวนการมีลักษณะดังนี้โดยละเอียด: . แน่นอนว่าการทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มจะไม่ถือเป็นข้อผิดพลาด แต่เป็นข้อบกพร่องและข้อโต้แย้งที่หนักหนาสาหัสสำหรับครูผู้สอน

ต่อไปนี้เป็นกรณีทั่วไปอื่นๆ:

ตัวอย่างเช่นมักจะได้รับจำนวนมากเพียงพอภายใต้รูท จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? บนเครื่องคิดเลข เราจะตรวจสอบว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่ ใช่ แบ่งอย่างสมบูรณ์ ดังนั้น: . หรืออาจจะนำตัวเลขมาหารด้วย 4 อีกครั้ง? . ดังนั้น: . หลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นเลขคี่ ดังนั้นจึงไม่สามารถหารด้วย 4 เป็นครั้งที่สามได้อย่างชัดเจน พยายามหารด้วยเก้า: . ผลที่ตามมา:
พร้อม.

บทสรุป:หากใต้รูตเราได้ตัวเลขที่ไม่สามารถแยกได้อย่างสมบูรณ์ เราจะพยายามดึงตัวประกอบออกจากรูท - บนเครื่องคิดเลข เราจะตรวจสอบว่าตัวเลขนั้นหารด้วย: 4, 9, 16, 25, 36, 49, เป็นต้น

ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ มักพบราก พยายามดึงปัจจัยจากรากเพื่อหลีกเลี่ยงคะแนนที่ต่ำกว่าและปัญหาที่ไม่จำเป็นในการสรุปผลการแก้ปัญหาของคุณตามคำพูดของครู

ทำซ้ำกำลังสองของรากและกำลังอื่น ๆ ในเวลาเดียวกัน:

กฎสำหรับการกระทำที่มีองศาในรูปแบบทั่วไปสามารถพบได้ในตำราเรียนเกี่ยวกับพีชคณิต แต่ฉันคิดว่าทุกอย่างหรือเกือบทุกอย่างชัดเจนอยู่แล้วจากตัวอย่างที่ให้มา

งานสำหรับโซลูชันอิสระที่มีเซกเมนต์ในพื้นที่:

ตัวอย่างที่ 4

ให้คะแนนและ. ค้นหาความยาวของส่วน

เฉลยและเฉลยท้ายบทเรียน.

จะหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร?

หากกำหนดเวกเตอร์ระนาบ สูตรจะคำนวณความยาวของเวกเตอร์นั้น

ถ้ากำหนดเวกเตอร์อวกาศ สูตรจะคำนวณความยาวของเวกเตอร์นั้น .

บนแกน abscissa และ ordinate เรียกว่า พิกัด เวกเตอร์. พิกัดเวกเตอร์มักจะระบุไว้ในแบบฟอร์ม (x, y)และเวกเตอร์เองเป็น: = (x, y)

สูตรสำหรับกำหนดพิกัดของเวกเตอร์สำหรับปัญหาสองมิติ

ในกรณีของปัญหาสองมิติ เวกเตอร์ที่รู้จัก พิกัดจุด ก(x 1; y 1)และ บี(x 2 ; ย 2 ) สามารถคำนวณได้:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - ย 1).

สูตรสำหรับกำหนดพิกัดของเวกเตอร์สำหรับปัญหาเชิงพื้นที่

ในกรณีของปัญหาเชิงพื้นที่ เวกเตอร์ที่รู้จัก พิกัดจุดก (x 1; y 1;ซี 1 ) และบี (x 2 ; ย 2 ; ซี 2 ) สามารถคำนวณโดยใช้สูตร:

= (x 2 - x 1 ; ย 2 - ย 1 ; ซี 2 - ซี 1 ).

พิกัดให้คำอธิบายที่ครอบคลุมของเวกเตอร์ เนื่องจากเป็นไปได้ที่จะสร้างเวกเตอร์เองจากพิกัด เมื่อทราบพิกัดจึงง่ายต่อการคำนวณและ ความยาวเวกเตอร์. (คุณสมบัติที่ 3 ด้านล่าง)

คุณสมบัติของพิกัดเวกเตอร์

1. อะไรก็ได้ เวกเตอร์ที่เท่ากันในระบบพิกัดเดียวได้ พิกัดเท่ากัน.

2. พิกัด เวกเตอร์คอลลิเนียร์สัดส่วน. โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีเวกเตอร์ใดเท่ากับศูนย์

3. กำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับผลบวกของกำลังสองของมัน พิกัด.

4. เมื่อดำเนินการ การคูณเวกเตอร์บน เบอร์จริงแต่ละพิกัดจะคูณด้วยตัวเลขนี้

5. ระหว่างการดำเนินการบวกเวกเตอร์ เราจะคำนวณผลรวมของสิ่งที่สอดคล้องกัน พิกัดเวกเตอร์.

6. ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดนั้นๆ

การหาพิกัดของเวกเตอร์เป็นเงื่อนไขทั่วไปสำหรับปัญหามากมายในวิชาคณิตศาสตร์ ความสามารถในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์จะช่วยคุณในปัญหาอื่นๆ ที่ซับซ้อนมากขึ้นในหัวข้อที่คล้ายกัน ในบทความนี้ เราจะพิจารณาสูตรสำหรับการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์และงานต่างๆ

การหาพิกัดของเวกเตอร์ในระนาบ

เครื่องบินคืออะไร? ระนาบคือปริภูมิสองมิติ ปริภูมิที่มีสองมิติ (มิติ x และมิติ y) ตัวอย่างเช่น กระดาษจะแบน พื้นผิวของโต๊ะเรียบ รูปทรงที่ไม่ใช่ปริมาตรใดๆ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู) ก็เป็นระนาบเช่นกัน ดังนั้นหากจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบในเงื่อนไขของปัญหา เราจะจำค่า x และ y ได้ทันที คุณสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ดังกล่าวได้ดังนี้ พิกัด AB ของเวกเตอร์ = (xB - xA; yB - xA) จะเห็นได้จากสูตรว่าต้องหักพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุด

ตัวอย่าง:

• เวกเตอร์ซีดีมีพิกัดเริ่มต้น (5; 6) และสิ้นสุด (7; 8)
• ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์เอง
• เมื่อใช้สูตรข้างต้น เราได้นิพจน์ต่อไปนี้: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2)
• ดังนั้น พิกัดของเวกเตอร์ซีดี = (2; 2)
• ดังนั้น พิกัด x เท่ากับสอง พิกัด y ก็เท่ากับสองเช่นกัน

การหาพิกัดของเวกเตอร์ในอวกาศ

อวกาศคืออะไร? อวกาศเป็นมิติสามมิติอยู่แล้วโดยกำหนด 3 พิกัด: x, y, z หากคุณต้องการค้นหาเวกเตอร์ที่อยู่ในอวกาศ สูตรจะไม่เปลี่ยนแปลง เพิ่มพิกัดเดียวเท่านั้น ในการหาเวกเตอร์ คุณต้องลบพิกัดเริ่มต้นออกจากพิกัดสิ้นสุด AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

ตัวอย่าง:

• Vector DF มีจุดเริ่มต้น (2; 3; 1) และสุดท้าย (1; 5; 2)
• จากการใช้สูตรด้านบน เราได้รับ: พิกัดเวกเตอร์ DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1)
• จำไว้ว่าค่าของพิกัดสามารถเป็นค่าลบได้ ไม่มีปัญหากับค่านั้น

จะหาพิกัดเวกเตอร์ออนไลน์ได้อย่างไร?

หากคุณไม่ต้องการหาพิกัดด้วยเหตุผลบางประการคุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้ ขั้นแรก เลือกขนาดของเวกเตอร์ ขนาดของเวกเตอร์มีหน้าที่กำหนดขนาดของเวกเตอร์ มิติ 3 หมายถึงเวกเตอร์อยู่ในอวกาศ มิติ 2 หมายถึงอยู่บนระนาบ จากนั้นใส่พิกัดของจุดลงในช่องที่เหมาะสม แล้วโปรแกรมจะกำหนดพิกัดของเวกเตอร์เอง ทุกอย่างง่ายมาก

เมื่อคลิกที่ปุ่ม หน้าจะเลื่อนลงโดยอัตโนมัติและให้คำตอบที่ถูกต้องพร้อมกับขั้นตอนการแก้ปัญหา

ขอแนะนำให้ศึกษาหัวข้อนี้ให้ดีเพราะแนวคิดของเวกเตอร์ไม่ได้พบเฉพาะในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังอยู่ในฟิสิกส์ด้วย นักศึกษาของคณะเทคโนโลยีสารสนเทศยังศึกษาหัวข้อเวกเตอร์ แต่ในระดับที่ซับซ้อนกว่า

เรขาคณิตวิเคราะห์

		สัปดาห์	เกรดสำหรับโมดูลเป็นคะแนน
		การควบคุมโมดูล
			ขีดสุด		ขั้นต่ำ
ภาคการศึกษาที่ 1
DZ №1 ตอนที่ 1
DZ №1 ตอนที่ 2
โมดูโล่คอนโทรลหมายเลข 1
คะแนนสะสม
โมดูโล่คอนโทรล หมายเลข 2
คะแนนสะสม

กิจกรรมการควบคุมและระยะเวลาในการดำเนินการ โมดูล 1

1. DZ No. 1 part 1 "Vector Algebra" หมดเขต 2 สัปดาห์ หมดเขต - 7 สัปดาห์

2. DZ No. 1 part 2 "เส้นและระนาบ"

ระยะเวลาจัดส่ง 1 สัปดาห์ ระยะเวลาจัดส่ง - 9 สัปดาห์

3. Modulo control No. 1 (RK No. 1) "พีชคณิตเวกเตอร์ เส้น และระนาบ" กำหนดเวลา - 10 สัปดาห์

1. DZ No. 2 "เส้นโค้งและพื้นผิวลำดับที่ 2 "ระยะเวลาออก 6 สัปดาห์ ระยะเวลาจัดส่ง - 13 สัปดาห์

5. ทดสอบ "เส้นโค้งและพื้นผิวลำดับที่2. กำหนดส่ง - 14 สัปดาห์

6. Modulo control No. 2 (RK No. 2) "เมทริกซ์และระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น"

กำหนดส่ง - 16 สัปดาห์

งานทั่วไปที่ใช้ในการสร้างตัวเลือกการควบคุมปัจจุบัน

1. การบ้านหมายเลข 1 "พีชคณิตเวกเตอร์และเรขาคณิตวิเคราะห์"

ให้: คะแนน A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			ก(1;2;0); ตัวเลข 30 ,				b1; มุม
1. หาความยาวของเวกเตอร์ |		n | , ถ้า			p aq ,	n bp คิว	และ p, q เป็นหน่วย

เวกเตอร์มุมระหว่างที่เท่ากัน

2. ค้นหาพิกัดของจุด M หารเวกเตอร์ AB เทียบกับ a :1

3. ตรวจสอบว่าเป็นไปได้ในเวกเตอร์หรือไม่ AB และ AD สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้าใช่ จงหาความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

4. ค้นหามุมระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD

5. ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD

6. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเวกเตอร์ AB , AD , AA 1 คุณสามารถสร้างแบบคู่ขนานได้ หาปริมาตรของเส้นขนานนี้และความยาวส่วนสูง

7. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์ AH กำกับไปตามความสูงของ ABCDA ที่ขนานกัน 1 B 1 C 1 D 1 ลากจากจุด A ไปยังระนาบฐาน A 1 B 1 C 1 D 1 ,

พิกัดของจุด H และพิกัดของเวกเตอร์หน่วยที่ตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ AH

8. ค้นหาการสลายตัวของเวกเตอร์ AH โดยเวกเตอร์ AB , AD , AA 1

9. ค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์ AH ถึงเวกเตอร์ AA 1

10. เขียนสมการของระนาบ: a) P ผ่านจุด A, B, D;

b) P1 ผ่านจุด A และเส้น A1 B1 ;

c) P2 ผ่านจุด A1 ขนานกับระนาบ P ง) P3 ที่มีบรรทัด AD และ AA1 ;

e) P4 ผ่านจุด A และ C1 ตั้งฉากกับระนาบ P

11. หาระยะห่างระหว่างเส้นที่ขอบ AB และ CC อยู่ 1 ; เขียนสมการบัญญัติและสมการพาราเมตริกของสมการทั่วไปที่ตั้งฉากกับสมการเหล่านั้น

12. ค้นหาจุด A 2 ซึ่งสมมาตรกับจุด A1 เทียบกับระนาบของฐาน

13. หามุมระหว่างเส้นทแยงมุม A 1 C และระนาบฐาน ABCD

14. หามุมแหลมระหว่างระนาบ ABC 1 D (ระนาบ P) และ ABB1 A1 (ระนาบ P1 )

2. การบ้าน #2. "เส้นโค้งและพื้นผิวลำดับที่สอง"

ในปัญหา 1–2 สมการที่กำหนดของเส้นอันดับสองจะถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปบัญญัติและเส้นโค้งถูกสร้างขึ้นในระบบพิกัด OXY

ใน ภารกิจที่ 3 ใช้ข้อมูลที่กำหนดให้ ค้นหาสมการของเส้นโค้งในระบบพิกัด OXY สำหรับงาน 1–3 ระบุ:

1) รูปแบบบัญญัติของสมการเส้น

2) การแปลงการถ่ายโอนแบบขนานที่นำไปสู่รูปแบบมาตรฐาน

3) ในกรณีของวงรี: กึ่งแกน, ความเยื้องศูนย์กลาง, จุดศูนย์กลาง, จุดยอด, จุดโฟกัส, ระยะทางจากจุด C ถึงจุดโฟกัส ในกรณีของไฮเปอร์โบลา: กึ่งแกน, ความเยื้องศูนย์กลาง, จุดศูนย์กลาง, จุดยอด, จุดโฟกัส, ระยะทางจากจุด C ถึงจุดโฟกัส, สมการเส้นกำกับ; ในกรณีของพาราโบลา: พารามิเตอร์ จุดยอด โฟกัส สมการไดเรกตริกซ์ ระยะทางจากจุด C ถึงโฟกัส และไดเรกตริกซ์

4) สำหรับจุด C ให้ตรวจสอบคุณสมบัติที่แสดงลักษณะของเส้นโค้งที่กำหนดเป็นตำแหน่งของจุด

ใน ในปัญหาที่ 4 ให้ระบุการแปลงการแปลคู่ขนานที่ลดสมการพื้นผิวที่กำหนดให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน รูปแบบมาตรฐานของสมการพื้นผิว และประเภทของพื้นผิว สร้างพื้นผิวในระบบพิกัดมาตรฐาน OXYZ

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	พาราโบลานั้นสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง y 1 0 มีจุดโฟกัส							; 1 ,
	ตัดแกน OX ที่จุด C				; 0 , และกิ่งของมันอยู่ในครึ่งระนาบ	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

โมดูโล่คอนโทรล No. 1 “Vector algebra. เรขาคณิตวิเคราะห์"

1. เวกเตอร์สามเท่าทางขวาและซ้าย ความหมายของผลคูณของเวกเตอร์ กำหนดคุณสมบัติของเวกเตอร์ผลคูณของเวกเตอร์ หาสูตรสำหรับการคำนวณผลคูณของเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมันในรูปแบบออร์โธนอร์มอล

เวกเตอร์

นาที ,

เมตร ,

1, ม., น

อาจจะ,

การสลายตัวของเวกเตอร์

ค 3 ผม

12j6k

เวกเตอร์

3 j 2 k และ b 2 ผม 3 j 4 k .

เขียนสมการสำหรับเครื่องบิน

ผ่านจุด M 1 5, 1, 4 ,

ม.2,3.1และ

ตั้งฉากกับระนาบ

6x 5y 4z 1 0. ตั้งสมการตามบัญญัติ

เส้นตรงผ่านจุด M 0 0, 2,1 และตั้งฉากกับระนาบที่พบ

ทดสอบ "เส้นโค้งและพื้นผิวลำดับที่สอง"

1. คำจำกัดความของวงรีเป็นตำแหน่งของจุด ที่มาของสมการบัญญัติของวงรีในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม พารามิเตอร์หลักของเส้นโค้ง

2. สมการพื้นผิว x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 นำไปสู่การยอมรับ

จิตใจ. สร้างภาพวาดในระบบพิกัดมาตรฐาน ระบุชื่อพื้นผิวนี้

3. เขียนสมการสำหรับไฮเพอร์โบลาที่มีสมมูลหากทราบจุดศูนย์กลาง O 1 1, 1 และหนึ่งในจุดโฟกัส F 1 3, 1 วาดรูป

โมดูโล่คอนโทรล หมายเลข 2 “ส่วนโค้งและพื้นผิวลำดับที่สอง เมทริกซ์และระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น»

1. ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) รูปแบบของการเขียน SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ข้อพิสูจน์ของเกณฑ์สำหรับการมีอยู่ของโซลูชันที่ไม่ใช่ศูนย์ของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

2. แก้สมการเมทริกซ์ AX B ,

ตรวจสอบ

3. ก) แก้ปัญหา SLAE b) ค้นหาระบบพื้นฐานปกติของการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน ซึ่งเป็นสารละลายเฉพาะของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน เขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบที่ไม่เอกพันธ์นี้ผ่านพวกเขา:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

คำถามเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการควบคุมโมดูล การทดสอบ การทดสอบ และการสอบ

1. เวกเตอร์ทางเรขาคณิต เวกเตอร์ฟรี นิยามของเวกเตอร์คอลลิเนียร์และโคพลานาร์ การดำเนินการเชิงเส้นของเวกเตอร์และคุณสมบัติของเวกเตอร์

2. ความหมายของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ หลักฐานสำหรับเงื่อนไขของการพึ่งพาเชิงเส้นเวกเตอร์ 2 และ 3

3. นิยามพื้นฐานในปริภูมิของเวกเตอร์ V1, V2, V3 การพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการขยายตัวของเวกเตอร์ในแง่ของพื้นฐาน การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดในพื้นฐาน

4. นิยามของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ การเชื่อมต่อกับเส้นโครงมุมฉากของเวกเตอร์บนแกน คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ การพิสูจน์ ที่มาของสูตรสำหรับการคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ในรูปแบบออร์โทนอร์มอล

5. คำจำกัดความของพื้นฐานออร์โทนอร์มอล ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ในฐานออร์โธนอร์มัลกับเส้นโครงมุมฉากบนเวกเตอร์ของฐานนี้ ที่มาของสูตรสำหรับคำนวณความยาวของเวกเตอร์ ทิศทางของโคไซน์ มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวในรูปแบบออร์โทนอร์มอล

6. เวกเตอร์สามเท่าทางขวาและซ้าย ความหมายของผลคูณของเวกเตอร์ ความหมายทางกลและทางเรขาคณิต คุณสมบัติผลิตภัณฑ์ข้าม (ไม่มี doc-va). ที่มาของสูตรสำหรับการคำนวณผลิตภัณฑ์ข้ามตามเกณฑ์ปกติ

7. ความหมายของผลคูณของเวกเตอร์ ปริมาตรของทรงขนานและปริมาตรของพีระมิด สร้างจากเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบเดียวกัน เงื่อนไขความเข้ากันได้ของเวกเตอร์สามตัว คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์แบบผสม ที่มาของสูตรสำหรับการคำนวณผลิตภัณฑ์ผสมตามเกณฑ์ปกติ

8. ความหมายของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม การแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์

9. สมการประเภทต่างๆ ของเส้นตรงบนระนาบ: เวกเตอร์ พาราเมตริก บัญญัติ เวกเตอร์ทิศทางเป็นเส้นตรง

10. การหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

11. การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่าในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนระนาบ สมการระดับแรกกำหนดเส้นตรง นิยามเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง

12. สมการที่มีสัมประสิทธิ์ความชัน สมการของเส้นตรง "ในส่วน" ความหมายทางเรขาคณิตของพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในสมการ มุมระหว่างสองบรรทัด เงื่อนไขของความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการทั่วไปหรือสมการบัญญัติ

13. ที่มาของสูตรสำหรับระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งบนระนาบ

14. การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่าในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในอวกาศ สมการระดับที่หนึ่งกำหนดระนาบ สมการทั่วไปของเครื่องบิน นิยามของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ. ที่มาของสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด สมการของระนาบ "ในส่วน"

15. มุมระหว่างระนาบ เงื่อนไขของความขนานและความตั้งฉากของระนาบสองระนาบ

16. ที่มาของสูตรระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

17. สมการทั่วไปของเส้นตรงในอวกาศ การหาค่าเวกเตอร์ สมการมาตรฐาน และสมการพาราเมตริกของเส้นตรงในอวกาศ

18. มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในปริภูมิ สภาพความขนาน และความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น เงื่อนไขสำหรับสองบรรทัดที่อยู่ในระนาบเดียวกัน

19. มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ เงื่อนไขของความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงกับระนาบ เงื่อนไขของการเป็นเส้นตรงของระนาบที่กำหนด

20. โจทย์ปัญหาการหาระยะห่างระหว่างเส้นตัดหรือเส้นคู่ขนาน

21. คำจำกัดความของวงรีเป็นตำแหน่งของจุด ที่มาของสมการบัญญัติของวงรี

22. นิยามของไฮเพอร์โบลาในฐานะตำแหน่งของจุด ที่มาของสมการบัญญัติของไฮเปอร์โบลา

23. ความหมายของพาราโบลาเป็นสถานที่ของจุด ที่มาของสมการพาราโบลาบัญญัติ

24. คำจำกัดความของพื้นผิวทรงกระบอก สมการมาตรฐานของพื้นผิวทรงกระบอกลำดับที่2.

25. แนวคิดของพื้นผิวของการปฏิวัติ สมการพื้นผิวที่เกิดขึ้นจากการหมุนของวงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา

26. สมการมาตรฐานของทรงรีและทรงกรวย การตรวจสอบรูปร่างของพื้นผิวเหล่านี้โดยวิธีส่วน

27. สมการบัญญัติของไฮเพอร์โบลอยด์ การตรวจสอบรูปร่างของไฮเพอร์โบลอยด์โดยวิธีส่วนต่างๆ

28. สมการบัญญัติของพาราโบลา การตรวจสอบรูปร่างของพาราโบลาโดยวิธีภาค

29. แนวคิดของเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์ ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ การดำเนินการเชิงเส้นของเมทริกซ์และคุณสมบัติของเมทริกซ์ การขนย้ายเมทริกซ์

30. การคูณเมทริกซ์ คุณสมบัติของการดำเนินการคูณเมทริกซ์

31. ความหมายของเมทริกซ์ผกผัน การพิสูจน์เอกลักษณ์ของเมทริกซ์ผกผัน การพิสูจน์ทฤษฎีบทเมทริกซ์ผกผันสำหรับผลคูณของเมทริกซ์ที่กลับค่าได้สองตัว

32. เกณฑ์สำหรับการมีอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน แนวคิดของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง การเชื่อมต่อกับเมทริกซ์ผกผัน

33. ที่มาของสูตรของแครมเมอร์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์กำลังสองที่ไม่ด้อยกว่า

34. การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ การพิสูจน์เกณฑ์สำหรับการขึ้นต่อกันเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์)

35. นิยามของเมทริกซ์ไมเนอร์ พื้นฐานเล็กน้อย ทฤษฎีบทพื้นฐาน (ไม่มี doqua) หลักฐานการพิสูจน์สำหรับเมทริกซ์กำลังสอง

36. วิธีหาลำดับขั้นของเมทริกซ์

37. การแปลงเบื้องต้นของแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ การหาเมทริกซ์ผกผันด้วยวิธีการแปลงเบื้องต้น

38. ทฤษฎีบทความไม่แปรเปลี่ยนอันดับเมทริกซ์ภายใต้การแปลงเบื้องต้น การหาอันดับของเมทริกซ์ด้วยวิธีการแปลงเบื้องต้น

39. ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) การเขียน SLAE รูปแบบต่างๆ SLAE แบบร่วมและไม่ร่วม ข้อพิสูจน์ของเกณฑ์ Kronecker-Kapeli ของความเข้ากันได้ของ SLAE

40. ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) คุณสมบัติของการแก้ปัญหา

41. ความหมายของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา (FSR) ของระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน การก่อสร้าง FSR

42. ระบบสมการเชิงพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) บทพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของ SLAE ที่ไม่เอกพันธ์

เหตุการณ์การควบคุม	จำนวนงาน	คะแนนสำหรับงาน
DZ №1 ตอนที่ 1
คะแนนที่ได้
เหตุการณ์การควบคุม	จำนวนงาน	คะแนนสำหรับงาน
DZ №1 ตอนที่ 2
คะแนนที่ได้

เหตุการณ์การควบคุม				จำนวนงาน			คะแนนสำหรับงาน
โมดูโล่คอนโทรลหมายเลข 1				1 ทฤษฎีและ 3 งาน			ทฤษฎี - 0; 3; 6
							งาน - 0; 1; 2
			คะแนนที่ได้
เหตุการณ์การควบคุม				จำนวนงาน			คะแนนสำหรับงาน
	คะแนนที่ได้
เหตุการณ์การควบคุม				จำนวนงาน			คะแนนสำหรับงาน
				1 ทฤษฎีและ 3 งาน			ทฤษฎี - 0; 3; 6
							งาน - 0; 1; 2
			คะแนนที่ได้
						01 ทฤษฎีและ 3 ปัญหา			ทฤษฎี - 0; 3; 6
		งาน - 0; 1; 2
			คะแนนที่ได้

กฎการให้คะแนนวารสาร

1. คะแนนสำหรับ DZ คะแนนสำหรับ DZ จะถูกกำหนดในสัปดาห์ถัดไปหลังจากวันครบกำหนดตามตารางที่เกี่ยวข้อง นักเรียนมีสิทธิ์ส่งงานแต่ละรายการเพื่อตรวจสอบก่อนกำหนดและแก้ไขข้อผิดพลาดที่ครูระบุไว้ในขณะที่ได้รับคำแนะนำที่จำเป็น หากถึงกำหนดส่ง DZ นักเรียนนำวิธีแก้ปัญหาไปยังตัวเลือกที่ถูกต้องแล้วจะได้รับคะแนนสูงสุดสำหรับงานนี้ หลังจากกำหนดส่ง DZ นักเรียนที่ยังไม่ได้คะแนนขั้นต่ำสำหรับ DZ สามารถทำงานต่อไปได้ ในเวลาเดียวกันในกรณีที่ประสบความสำเร็จนักเรียนจะได้รับคะแนนขั้นต่ำสำหรับ DZ

2. คะแนนสำหรับ CR. หากนักเรียนมีคะแนน CR ไม่ถึงเกณฑ์ขั้นต่ำตรงเวลา ในระหว่างภาคการศึกษา เขาสามารถเขียนงานนี้ซ้ำได้สองครั้ง ด้วยผลบวก (ชุดของคะแนนไม่น้อยกว่าขั้นต่ำที่กำหนด) นักเรียนจะได้รับคะแนนขั้นต่ำสำหรับ KR

3. คะแนนสำหรับ "การควบคุมโมดูโล"ในฐานะที่เป็น "การควบคุมโมดูโล" มีการเสนองานเขียนซึ่งประกอบด้วยส่วนทางทฤษฎีและภาคปฏิบัติ แต่ละส่วนของโมดูโลควบคุมจะได้รับการประเมินแยกกัน นักเรียนที่ได้รับคะแนนไม่ต่ำกว่าขั้นต่ำในส่วนใดส่วนหนึ่งของการควบคุมถือว่าผ่านส่วนนี้และได้รับการปล่อยตัวจากการนำไปใช้ในอนาคต ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครู การสัมภาษณ์สามารถดำเนินการในส่วนทางทฤษฎีของงานที่มอบหมายได้ หากนักเรียนทำคะแนนงานแต่ละส่วนได้ไม่ถึงเกณฑ์ขั้นต่ำ ในระหว่างภาคการศึกษา นักเรียนจะมีความพยายามสองครั้งสำหรับแต่ละส่วนเพื่อแก้ไขสถานการณ์ ด้วยการคิดบวก

เป็นผลให้ (ชุดของคะแนนไม่น้อยกว่าขั้นต่ำที่กำหนดไว้) นักเรียนจะได้รับคะแนนขั้นต่ำสำหรับ "การควบคุมโมดูล"

4. เกรดต่อโมดูลหากนักเรียนทำกิจกรรมควบคุมปัจจุบันทั้งหมดของโมดูลเสร็จสิ้น (ได้คะแนนอย่างน้อยตามคะแนนขั้นต่ำที่กำหนด)

จากนั้นการประเมินสำหรับโมดูลคือผลรวมของคะแนนสำหรับกิจกรรมการควบคุมทั้งหมดของโมดูล (ในกรณีนี้ นักเรียนจะได้คะแนนอย่างน้อยตามเกณฑ์ขั้นต่ำโดยอัตโนมัติ) จุดสุดท้ายสำหรับโมดูลจะถูกป้อนในสมุดรายวันหลังจากเสร็จสิ้นกิจกรรมการควบคุมทั้งหมด

5. คะแนนรวม ผลรวมของคะแนนสำหรับสองโมดูล

6. การประเมินผล การรับรองขั้นสุดท้าย (การสอบ, การทดสอบความแตกต่าง, การทดสอบ) ดำเนินการตามผลงานในภาคการศึกษาหลังจากที่นักเรียนเสร็จสิ้นการศึกษาตามจำนวนที่วางแผนไว้และได้รับการประเมินสำหรับแต่ละโมดูลที่ไม่ต่ำกว่าขั้นต่ำที่กำหนดไว้ คะแนนสูงสุดสำหรับทุกโมดูล รวมถึงคะแนนสำหรับความขยันคือ 100 คะแนนต่ำสุดคือ 60 ผลรวมของคะแนนสำหรับโมดูลทั้งหมดจะเป็นคะแนนการให้คะแนนสำหรับระเบียบวินัยสำหรับภาคการศึกษา นักเรียนที่ผ่านมาตรการควบคุมทั้งหมดจะได้รับเกรดสุดท้ายในระเบียบวินัยสำหรับภาคการศึกษาตามมาตราส่วน:

		เกรดการสอบ	การประเมินเกี่ยวกับการชดเชย
		จุดยืนที่แตกต่าง
		อย่างน่าพอใจ
		ไม่น่าพอใจ

คุณสามารถเพิ่มคะแนนของคุณและส่งผลให้คะแนนการสอบในการสอบปลายภาค (งานเขียนเกี่ยวกับเนื้อหาของระเบียบวินัยโดยรวมดำเนินการระหว่างการสอบ) คะแนนสูงสุดคือ 30 คะแนนต่ำสุดคือ -16 คะแนนเหล่านี้จะสรุปรวมกับคะแนนที่ได้รับสำหรับโมดูลทั้งหมดในระเบียบวินัย ในเวลาเดียวกัน เพื่อเพิ่มเกรดเป็น "ดี" สำหรับการสอบ นักเรียนต้องทำคะแนนอย่างน้อย 21 คะแนน เป็น "ดีเยี่ยม" ─ อย่างน้อย 26 คะแนน สำหรับความเชี่ยวชาญพิเศษที่ให้เครดิตตามระเบียบวินัย การให้คะแนนจะไม่เพิ่มขึ้น นักเรียนที่มีคะแนนอยู่ในช่วง 0-59 เมื่อเริ่มภาคการสอบจะได้รับคะแนนขั้นต่ำที่จำเป็นเพื่อรับคะแนนบวกในระเบียบวินัย สอบเหตุการณ์ควบคุมที่ไม่ได้ให้เครดิตก่อนหน้านี้ในโมดูลแยกต่างหาก ในขณะเดียวกัน นักเรียนที่ไม่มีเหตุผลที่ถูกต้องสามารถได้รับเกรดไม่เกิน "ที่น่าพอใจ" ในที่สุด (เมื่อสิ้นสุดช่วงการสอบ)