วิธีการคำนวณปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสามเหลี่ยมคืออะไร? การหาองค์ประกอบปริซึม

ให้ต้องหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีพื้นที่ฐานเท่ากับ S และส่วนสูงเท่ากับ ชม.= AA' = BB' = CC' (รูปที่ 306)

เราวาดฐานของปริซึมแยกกัน นั่นคือ สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 307, a) และทำเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งเราวาดเส้นตรง KM ผ่านจุดยอด B || AC และจากจุด A และ C เราวาง AF และ CE ตั้งฉากกับเส้นนี้ เราได้สี่เหลี่ยม ACEF เมื่อวาดความสูง BD ของสามเหลี่ยม ABC เราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยม ACEF แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 4 รูป นอกจากนี้ \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD and \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ACEF จึงเป็นสองเท่า พื้นที่มากขึ้นสามเหลี่ยม ABC เช่น เท่ากับ 2S

สำหรับปริซึมที่มีฐาน ABC เราเพิ่มปริซึมที่มีฐาน ALL และ BAF และความสูง ชม.(รูปที่ 307 ข). เราได้สี่เหลี่ยมด้านขนานกับฐาน ACEF

หากเราตัดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ด้วยระนาบที่ตัดผ่านเส้น BD และ BB' เราจะเห็นว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานประกอบด้วยปริซึม 4 อันที่มีฐานเป็น BCD, ALL, BAD และ BAF

ปริซึมที่มีฐาน BCD และ ALL สามารถรวมกันได้ เนื่องจากฐานเท่ากัน (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) และขอบด้านข้างซึ่งตั้งฉากกับระนาบเดียวก็เท่ากัน ดังนั้นปริมาตรของปริซึมเหล่านี้จึงเท่ากัน ปริมาตรของปริซึมที่มีฐาน BAD และ BAF ก็เท่ากัน

ดังนั้น ปรากฎว่าปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมที่กำหนดที่มีฐาน ABC เท่ากับครึ่งหนึ่งของปริมาตร ทรงลูกบาศก์ด้วยฐาน ACEF

เรารู้ว่าปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับสินค้าพื้นที่ฐานถึงความสูง กล่าวคือ ใน กรณีนี้เท่ากับ2S ชม.. ดังนั้นปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากนี้จึงเท่ากับ S ชม..

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

2. ปริมาตรของปริซึมหลายเหลี่ยมแบบตรง

การหาปริมาตรของปริซึมหลายเหลี่ยมแบบตรง เช่น ปริซึมห้าเหลี่ยม ที่มีพื้นที่ฐาน S และความสูง ชม., มาแบ่งเป็นปริซึมสามเหลี่ยมกัน (รูปที่ 308)

แสดงถึงพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมผ่าน S 1, S 2 และ S 3 และปริมาตรของปริซึมหลายเหลี่ยมนี้ผ่าน V เราได้รับ:

วี = ส 1 ชม.+S2 ชม.+ เอส 3 ชม., หรือ

วี = (ส 1 + ส 2 + ส 3) ชม..

และสุดท้าย: V = S ชม..

ในทำนองเดียวกัน จะได้สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมตรงที่มีรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน

วิธี, ปริมาตรของปริซึมตรงใดๆ เท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

ปริมาณปริซึม

ทฤษฎีบท. ปริมาตรของปริซึมเท่ากับพื้นที่ฐานคูณความสูง

ขั้นแรก เราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับปริซึมสามเหลี่ยม และจากนั้นสำหรับรูปหลายเหลี่ยม

1) วาด (รูปที่ 95) ผ่านขอบ AA 1 ของปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 ระนาบขนานกับใบหน้า BB 1 C 1 C และผ่านขอบ CC 1 - ระนาบขนานกับใบหน้า AA 1 ข 1 ข; จากนั้นเราต่อระนาบของฐานทั้งสองของปริซึมจนกระทั่งตัดกับระนาบที่วาด

จากนั้นเราจะได้ BD 1 แบบขนานซึ่งหารด้วยระนาบแนวทแยง AA 1 C 1 C เป็นปริซึมสามเหลี่ยมสองอัน (หนึ่งในนั้นได้รับ) ให้เราพิสูจน์ว่าปริซึมเหล่านี้เท่ากัน ในการทำเช่นนี้เราวาดส่วนตั้งฉาก เอบีซีดี. ในส่วนนี้คุณจะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งเป็นเส้นทแยงมุม aceแบ่งออกเป็นสอง สามเหลี่ยมเท่ากับ. ปริซึมนี้เท่ากับปริซึมตรงที่มีฐานเป็น \(\Delta\) abcและความสูงคือขอบ AA 1 อื่น ปริซึมสามเหลี่ยมเท่ากับเส้นที่มีฐานเป็น \(\Delta\) adcและความสูงคือขอบ AA 1 แต่ปริซึมตรงสองอันที่มีฐานเท่ากันและความสูงเท่ากันนั้นเท่ากัน (เพราะรวมกันเมื่อฝัง) ซึ่งหมายความว่าปริซึม ABCA 1 B 1 C 1 และ ADCA 1 D 1 C 1 เท่ากัน จากนี้ไป ปริมาตรของปริซึมนี้คือครึ่งหนึ่งของปริมาตรของ BD 1 ที่ขนานกัน ดังนั้น เมื่อแทนความสูงของปริซึมผ่าน H เราจะได้:

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) ลากผ่านขอบ AA 1 ของปริซึมหลายเหลี่ยม (รูปที่ 96) ระนาบแนวทแยง AA 1 C 1 C และ AA 1 D 1 D

จากนั้นปริซึมนี้จะถูกตัดเป็นปริซึมสามเหลี่ยมหลายอัน ผลรวมของปริมาตรของปริซึมเหล่านี้เป็นปริมาตรที่ต้องการ หากเราแสดงพื้นที่ฐานของมันด้วย ข 1 , ข 2 , ข 3 และความสูงทั้งหมดผ่าน H เราได้รับ:

ปริมาตรของปริซึมรูปหลายเหลี่ยม = ข 1H+ ข 2H+ ข 3 ชั่วโมง =( ข 1 + ข 2 + ข 3) H =

= (พื้นที่ ABCDE) H.

ผลที่ตามมา ถ้า V, B และ H เป็นตัวเลขที่แสดงปริมาตร พื้นที่ฐาน และความสูงของปริซึมในหน่วยที่เหมาะสม จากนั้นตามที่พิสูจน์แล้ว เราสามารถเขียนได้ว่า:

วัสดุอื่นๆ

ปริมาตรของปริซึม การแก้ปัญหา

เรขาคณิตเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังที่สุดสำหรับการปรับแต่งความสามารถทางจิตของเรา และช่วยให้เราสามารถคิดและให้เหตุผลได้อย่างถูกต้อง

ก. กาลิเลโอ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• สอนการแก้ปัญหาการคำนวณปริมาตรของปริซึม การสรุปและจัดระบบข้อมูลที่นักเรียนมีเกี่ยวกับปริซึมและองค์ประกอบของปริซึม เพื่อสร้างความสามารถในการแก้ปัญหาความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น
• พัฒนา การคิดอย่างมีตรรกะ, ความสามารถในการทำงานอย่างอิสระ, ทักษะในการควบคุมซึ่งกันและกันและการควบคุมตนเอง, ความสามารถในการพูดและฟัง;
• พัฒนานิสัยของ การจ้างงานถาวร, ใดๆ สิ่งที่มีประโยชน์, การศึกษาการตอบสนอง ความขยัน ความถูกต้อง

ประเภทของบทเรียน : บทเรียนในการประยุกต์ใช้ความรู้ ทักษะ และความสามารถ

อุปกรณ์: การ์ดควบคุม, เครื่องฉายสื่อ, การนำเสนอ "บทเรียน. ปริมาณปริซึม” คอมพิวเตอร์

ระหว่างเรียน

• ซี่โครงด้านข้างของปริซึม (รูปที่ 2)
• พื้นผิวด้านข้างของปริซึม (รูปที่ 2, รูปที่ 5)
• ความสูงของปริซึม (รูปที่ 3 รูปที่ 4)
• ปริซึมตรง (รูปที่ 2,3,4)
• ปริซึมเอียง (รูปที่ 5)
• ปริซึมที่ถูกต้อง (รูปที่ 2, รูปที่ 3)
• ส่วนในแนวทแยงของปริซึม (รูปที่ 2)
• ปริซึมเส้นทแยงมุม (รูปที่ 2)
• ส่วนตั้งฉากของปริซึม (pi3, fig4)
• พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม
• สี่เหลี่ยม เต็มพื้นผิวปริซึม
• ปริมาตรของปริซึม

1. ตรวจการบ้าน (8 นาที)

แลกเปลี่ยนโน้ตบุ๊ก ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาบนสไลด์และทำเครื่องหมาย (ทำเครื่องหมาย 10 ถ้างานนั้นประกอบขึ้น)

วาดปัญหาและแก้ไข นักเรียนปกป้องปัญหาที่เขารวบรวมไว้ที่กระดานดำ รูปที่ 6 และรูปที่ 7





บทที่ 2, §3
งาน.2. ความยาวของขอบทั้งหมดของปริซึมสามเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากัน คำนวณปริมาตรของปริซึมถ้าพื้นที่ผิวเป็นซม. 2 (รูปที่ 8)



บทที่ 2, §3
ปัญหาที่ 5. ฐานของปริซึมตรง ABCA 1B 1C1 คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC (มุม ABC=90°), AB=4ซม. คำนวณปริมาตรของปริซึมถ้ารัศมีของสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบ ABC คือ 2.5 ซม. และความสูงของปริซึมคือ 10 ซม. (รูปที่ 9)



บทที่ 2, § 3
ปัญหาที่ 29. ความยาวของด้านฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 ซม. เส้นทแยงมุมของปริซึมทำมุม 30° กับระนาบของใบหน้าด้านข้าง คำนวณปริมาตรของปริซึม (รูปที่ 10)



2. การทำงานร่วมกันของครูกับชั้นเรียน (2-3 นาที)

จุดประสงค์: สรุปผลการวอร์มอัพตามทฤษฎี (นักเรียนใส่เครื่องหมาย กันและกัน) การศึกษาแนวทางแก้ไขปัญหาในหัวข้อ

3. นาทีทางกายภาพ (3 นาที)
4. การแก้ปัญหา (10 นาที)

บน เวทีนี้ครูจัดระเบียบงานด้านหน้าในการทำซ้ำวิธีการในการแก้ปัญหาการวางแผนเชิงวิเคราะห์สูตร ชั้นเรียนแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม บางคนแก้ปัญหา บางคนทำงานที่คอมพิวเตอร์ จากนั้นพวกเขาก็เปลี่ยน ขอเชิญนักศึกษาแก้ข้อ 8 (ปากเปล่า) ฉบับที่ 9 (ปากเปล่า) หลังจากแบ่งกลุ่มและละเมิดเพื่อแก้ปัญหาข้อที่ 14 ฉบับที่ 30 ลำดับที่ 32

บทที่ 2 §3 หน้า 66-67

ปัญหาที่ 8 ขอบทั้งหมดของปริซึมสามเหลี่ยมปกติเท่ากัน หาปริมาตรของปริซึมหากพื้นที่หน้าตัดของระนาบผ่านขอบฐานล่างและตรงกลางด้านข้างของฐานบนเป็นซม. (รูปที่ 11)



บทที่ 2 §3 หน้า 66-67
ปัญหาที่ 9 ฐานของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และขอบด้านข้างของปริซึมเป็นสองเท่าของฐาน คำนวณปริมาตรของปริซึมถ้ารัศมีของวงกลมล้อมรอบใกล้กับส่วนของปริซึมโดยระนาบที่ผ่านด้านข้างของฐานและตรงกลางของขอบด้านตรงข้ามเป็นซม. (รูปที่ 12)



บทที่ 2 §3 หน้า 66-67
งาน 14ฐานของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หนึ่งในเส้นทแยงมุมเท่ากับด้านข้าง คำนวณเส้นรอบวงของส่วนโดยระนาบผ่านเส้นทแยงมุมขนาดใหญ่ของฐานล่าง ถ้าปริมาตรของปริซึมเท่ากันและหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปที่ 13)



บทที่ 2 §3 หน้า 66-67
ปัญหา30.ABCA 1 B 1 C 1 เป็นปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ขอบทั้งหมดเท่ากัน จุดกึ่งกลางขอบ BB 1 คำนวณรัศมีของวงกลมที่ระนาบ AOS เขียนไว้ในส่วนของปริซึม หากปริมาตรของปริซึมเท่ากัน (รูปที่ 14)



บทที่ 2 §3 หน้า 66-67
ปัญหา32.ในปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ผลรวมของพื้นที่ฐานเท่ากับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง คำนวณปริมาตรของปริซึมถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบใกล้กับส่วนของปริซึมโดยระนาบผ่านจุดยอดสองจุดของฐานล่างและจุดยอดตรงข้ามของฐานด้านบนคือ 6 ซม. (รูปที่ 15)



ขณะแก้ปัญหา นักเรียนเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบที่ครูแสดง นี่คือตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ... งานส่วนตัวครูกับนักเรียนที่ "เข้มแข็ง" (10 นาที)

5. งานอิสระนักเรียนทำข้อสอบที่คอมพิวเตอร์

1. ด้านฐานของปริซึมสามเหลี่ยมปกติคือ , และความสูงเท่ากับ 5 หาปริมาตรของปริซึม.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. เลือกข้อความที่ถูกต้อง

1) ปริมาตรของปริซึมด้านขวา ซึ่งฐานเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

2) ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมปกติคำนวณโดยสูตร V \u003d 0.25a 2 h - โดยที่ a คือด้านของฐาน h คือความสูงของปริซึม

3) ปริมาตรของปริซึมตรงเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

4) ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติคำนวณโดยสูตร V \u003d a 2 h-โดยที่ a คือด้านของฐาน h คือความสูงของปริซึม

5) ปริมาตรของปริซึมหกเหลี่ยมปกติคำนวณโดยสูตร V \u003d 1.5a 2 h โดยที่ a คือด้านของฐาน h คือความสูงของปริซึม

3. ด้านฐานของปริซึมสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ ระนาบถูกลากผ่านด้านข้างของฐานล่างและด้านบนตรงข้ามของฐานบน ซึ่งผ่านที่มุม 45° ถึงฐาน หาปริมาตรของปริซึม.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. ฐานของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ด้านหนึ่งเป็น 13 และเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นคือ 24 หาปริมาตรของปริซึมถ้าเส้นทแยงมุมของหน้าปัดเท่ากับ 14

ที่ หลักสูตรโรงเรียนในเส้นทางของเรขาคณิตทึบ การศึกษารูปสามมิติมักจะเริ่มต้นด้วยตัวเรขาคณิตอย่างง่าย - รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปริซึม บทบาทของฐานจะดำเนินการโดย 2 รูปหลายเหลี่ยมเท่ากันอยู่ใน ระนาบคู่ขนาน. กรณีพิเศษคือปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ฐานของมันคือรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสปกติที่เหมือนกัน 2 อัน โดยที่ด้านข้างตั้งฉากโดยมีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หรือสี่เหลี่ยมถ้าปริซึมไม่เอียง)

ปริซึมมีลักษณะอย่างไร

ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติเป็นรูปหกเหลี่ยมที่ฐานซึ่งมี 2 สี่เหลี่ยมและใบหน้าด้านข้างจะแสดงด้วยสี่เหลี่ยม ชื่ออื่นสำหรับสิ่งนี้ รูปทรงเรขาคณิต- แบบขนานตรง

รูปซึ่งแสดงปริซึมสี่เหลี่ยมแสดงอยู่ด้านล่าง

สามารถดูได้ในรูปภาพ องค์ประกอบที่สำคัญซึ่งประกอบด้วย ร่างกายเรขาคณิต . โดยทั่วไปจะเรียกว่า:

บางครั้งในปัญหาทางเรขาคณิต คุณสามารถหาแนวคิดของส่วนได้ คำจำกัดความจะมีลักษณะดังนี้: ส่วนคือจุดทั้งหมดของร่างกายปริมาตรที่เป็นของระนาบการตัด ส่วนนี้ตั้งฉาก (ตัดขอบของร่างที่มุม 90 องศา) สำหรับ ปริซึมสี่เหลี่ยมส่วนในแนวทแยงก็พิจารณาด้วย ( จำนวนเงินสูงสุดส่วนที่สามารถสร้างได้ - 2) ผ่าน 2 ขอบและแนวทแยงของฐาน

หากส่วนนั้นวาดในลักษณะที่ระนาบการตัดไม่ขนานกับฐานหรือหน้าด้านข้าง ผลลัพธ์จะเป็นปริซึมที่ถูกตัดทอน

ใช้อัตราส่วนและสูตรต่างๆ เพื่อค้นหาองค์ประกอบปริซึมที่ลดลง บางส่วนเป็นที่รู้จักจากเส้นทางของ planimetry (เช่นเพื่อค้นหาพื้นที่ฐานของปริซึมก็เพียงพอที่จะจำสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

พื้นที่ผิวและปริมาตร

ในการกำหนดปริมาตรของปริซึมโดยใช้สูตร คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ของฐานและความสูง:

V = Sprim h

เนื่องจากฐานของปริซึมจัตุรมุขปกติเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน กคุณสามารถเขียนสูตรในรูปแบบรายละเอียดเพิ่มเติม:

วี = a² h

หากเรากำลังพูดถึงลูกบาศก์ - ปริซึมปกติด้วย ความยาวเท่ากัน, ความกว้างและความสูง คำนวณปริมาตรดังนี้

เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม คุณต้องจินตนาการถึงการกวาดล้างของมัน

สังเกตได้จากการวาดภาพว่า พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน 4 อัน พื้นที่คำนวณเป็นผลคูณของปริมณฑลฐานและความสูงของรูป:

Sside = Pos h

เนื่องจากปริมณฑลของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ พี = 4a,สูตรใช้แบบฟอร์ม:

Sside = 4a ชั่วโมง

สำหรับลูกบาศก์:

ไซด์ = 4a²

ในการคำนวณพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม ให้เพิ่มพื้นที่ฐาน 2 พื้นที่ไปยังพื้นที่ด้านข้าง:

Sfull = Sside + 2Sbase

เมื่อนำไปใช้กับปริซึมปกติรูปสี่เหลี่ยม สูตรจะมีรูปแบบดังนี้:

Sfull = 4a ชั่วโมง + 2a²

สำหรับพื้นที่ผิวของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a²

เมื่อทราบปริมาตรหรือพื้นที่ผิวแล้ว คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบแต่ละส่วนของร่างกายเรขาคณิตได้

การหาองค์ประกอบปริซึม

มักมีปัญหาในการให้ปริมาตรหรือทราบค่าของพื้นที่ผิวด้านข้าง ซึ่งจำเป็นต้องกำหนดความยาวของด้านข้างของฐานหรือความสูง ในกรณีเช่นนี้ สามารถหาสูตรได้:

• ความยาวด้านฐาน: a = Sside / 4h = √(V / h);
• ความสูงหรือความยาวของซี่โครงด้านข้าง: ชั่วโมง = Sside / 4a = V / a²;
• พื้นที่ฐาน: Sprim = V / h;
• บริเวณใบหน้าด้านข้าง: ด้านข้าง gr = ไซด์ / 4

ในการพิจารณาว่าส่วนในแนวทแยงมีพื้นที่เท่าใด คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและความสูงของรูป สำหรับสี่เหลี่ยม d = a√2.ดังนั้น:

Sdiag = ah√2

ในการคำนวณเส้นทแยงมุมของปริซึมจะใช้สูตร:

dprize = √(2a² + h²)

เพื่อให้เข้าใจวิธีการใช้อัตราส่วนข้างต้น คุณสามารถฝึกฝนและแก้ไขงานง่ายๆ สองสามข้อได้

ตัวอย่างปัญหาในการแก้ปัญหา

นี่คืองานบางส่วนที่ปรากฏในการสอบปลายภาคทางคณิตศาสตร์ของรัฐ

แบบฝึกหัดที่ 1

ทรายถูกเทลงในกล่องที่มีรูปร่างเหมือนปริซึมสี่เหลี่ยมทั่วไป ความสูงของระดับคือ 10 ซม. ทรายจะเป็นระดับใดถ้าคุณย้ายมันลงในภาชนะที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่ฐานยาวกว่า 2 เท่า?

ควรจะเถียงกันดังนี้ ปริมาณทรายในภาชนะที่หนึ่งและที่สองไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ปริมาตรของทรายในภาชนะนั้นเท่ากัน คุณสามารถกำหนดความยาวของฐานเป็น เอ. ในกรณีนี้ สำหรับกล่องแรก ปริมาตรของสารจะเป็นดังนี้:

V₁ = ฮ่า² = 10a²

สำหรับกล่องที่สอง ความยาวของฐานคือ 2aแต่ไม่ทราบความสูงของระดับทราย:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

เพราะว่า ว₁ = ว, นิพจน์สามารถบรรจุได้:

10a² = 4ha²

หลังจากลดสมการทั้งสองข้างด้วย a² เราจะได้:

ผลที่ตามมา ระดับใหม่ทรายจะเป็น ชั่วโมง = 10 / 4 = 2.5ซม.

ภารกิจที่ 2

ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นปริซึมปกติ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า BD = AB₁ = 6√2 หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของร่างกาย

เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นว่ารู้จักองค์ประกอบใดบ้าง คุณสามารถวาดรูปได้

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงปริซึมปกติ เราจึงสรุปได้ว่าฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุม 6√2 เส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านข้างมีค่าเท่ากัน ดังนั้น ใบหน้าด้านข้างจึงมีรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย เท่ากับฐาน. ปรากฎว่าทั้งสามมิติ - ความยาว ความกว้าง และความสูง - เท่ากัน เราสามารถสรุปได้ว่า ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นลูกบาศก์

ความยาวของขอบใด ๆ ถูกกำหนดผ่านเส้นทแยงมุมที่รู้จัก:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

พื้นที่ผิวทั้งหมดหาได้จากสูตรของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a² = 6 6² = 216

ภารกิจที่ 3

ห้องพักกำลังได้รับการปรับปรุงใหม่ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าพื้นมีลักษณะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดพื้นที่ 9 ตร.ม. ความสูงของห้อง 2.5 ม. ต้นทุนต่ำสุดของวอลล์เปเปอร์ห้องคือเท่าใดถ้า 1 ตร.ม. ราคา 50 รูเบิล?

เนื่องจากพื้นและเพดานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ และผนังของมันตั้งฉากกับพื้นผิวแนวนอน เราจึงสรุปได้ว่ามันเป็นปริซึมปกติ จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง

ความยาวของห้องคือ a = √9 = 3เมตร

จัตุรัสจะถูกปกคลุมด้วยวอลเปเปอร์ ไซด์ = 4 3 2.5 = 30 m².

วอลเปเปอร์ราคาต่ำสุดสำหรับห้องนี้จะเป็น 50 30 = 1500รูเบิล

ดังนั้น ในการแก้ปัญหาของปริซึมสี่เหลี่ยม ก็เพียงพอแล้วที่จะคำนวณพื้นที่และปริมณฑลของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ เช่นเดียวกับการรู้สูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ผิว

วิธีหาพื้นที่ของลูกบาศก์

ในทางฟิสิกส์ ปริซึมสามเหลี่ยมที่ทำจากแก้วมักใช้เพื่อศึกษาสเปกตรัม แสงสีขาวเพราะสามารถย่อยสลายเป็นส่วนประกอบได้ ในบทความนี้เราจะพิจารณาสูตรปริมาตร

ปริซึมสามเหลี่ยมคืออะไร?

ก่อนให้สูตรปริมาตร พิจารณาคุณสมบัติของรูปนี้

เพื่อให้ได้สิ่งนี้ คุณต้องใช้รูปสามเหลี่ยมที่มีรูปร่างตามอำเภอใจแล้วเคลื่อนขนานไปกับตัวมันเองในระยะทางที่กำหนด จุดยอดของสามเหลี่ยมในตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายควรเชื่อมต่อกันด้วยส่วนตรง ได้รับ ปริมาตรเรียกว่าปริซึมสามเหลี่ยม มันมีห้าด้าน สองตัวนี้เรียกว่าฐาน: ขนานกันและเท่ากัน ฐานของปริซึมที่พิจารณาคือสามเหลี่ยม อีกสามด้านที่เหลือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

นอกจากด้านข้างแล้ว ปริซึมที่พิจารณายังมีจุดยอดหกจุด (สามจุดสำหรับแต่ละฐาน) และขอบเก้าขอบ (6 ขอบอยู่ในระนาบของฐานและ 3 ขอบเกิดจากจุดตัดของด้านข้าง) หากขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่าสี่เหลี่ยม

ความแตกต่างระหว่างปริซึมสามเหลี่ยมและตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดของคลาสนี้คือ ปริซึมนูนเสมอ (สี่-, ห้า-, ..., ปริซึม n-gonal สามารถเว้าได้)

มัน รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งยึดตามรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมประเภททั่วไป

จะหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมได้อย่างไร? สูตรใน ปริทัศน์คล้ายกับปริซึมทุกชนิด มีสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้:

ที่นี่ h คือความสูงของรูป นั่นคือ ระยะห่างระหว่างฐานของมัน S o คือพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ค่าของ S o สามารถหาได้หากทราบพารามิเตอร์บางตัวของสามเหลี่ยม เช่น ด้านหนึ่งและสองมุม หรือสองด้านและหนึ่งมุม พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและความยาวของด้านที่ความสูงนี้ลดลง

สำหรับความสูง h ของรูป หาได้ง่ายที่สุดสำหรับปริซึมสี่เหลี่ยม ที่ กรณีสุดท้าย h ตรงกับความยาวของขอบด้านข้าง

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมปกติ

สูตรทั่วไปปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมที่ให้ไว้ในส่วนก่อนหน้าของบทความ สามารถใช้ในการคำนวณค่าที่สอดคล้องกันสำหรับปริซึมสามเหลี่ยมปกติ เนื่องจากฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ของมันคือ:

ใครๆ ก็สามารถได้สูตรนี้หากจำสูตรนี้ได้ใน สามเหลี่ยมด้านเท่าทุกมุมมีค่าเท่ากันและมีค่าเท่ากับ 60 o . ในที่นี้สัญลักษณ์ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม

ความสูง h คือความยาวของขอบ ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับมูลนิธิ ปริซึมขวาและสามารถรับค่าได้ตามอำเภอใจ ส่งผลให้สูตรปริมาตรปริซึมสามเหลี่ยม ใจดีดูเหมือนว่า:

เมื่อคำนวณรูทแล้ว เราสามารถเขียนสูตรนี้ใหม่ได้ดังนี้:

ดังนั้น ในการหาปริมาตรของปริซึมปกติที่มีฐานสามเหลี่ยม จำเป็นต้องยกกำลังสองด้านของฐาน คูณค่านี้ด้วยความสูง และคูณค่าผลลัพธ์ด้วย 0.433