วิธีคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

"ความบังเอิญไม่ใช่เรื่องบังเอิญ"... ดูเหมือนปราชญ์กล่าวไว้ แต่แท้จริงแล้ว การศึกษาอุบัติเหตุคือชะตากรรมของศาสตร์อันยิ่งใหญ่แห่งคณิตศาสตร์ ในทางคณิตศาสตร์ โอกาสคือทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตรและตัวอย่างของงานตลอดจนคำจำกัดความหลักของวิทยาศาสตร์นี้จะนำเสนอในบทความ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นคืออะไร?

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเหตุการณ์สุ่ม

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้ยกตัวอย่างเล็กน้อย: หากคุณโยนเหรียญขึ้น มันอาจจะตกหัวหรือก้อยได้ ตราบใดที่เหรียญยังลอยอยู่ในอากาศ ความเป็นไปได้ทั้งสองนี้ก็เป็นไปได้ นั่นคือ ความน่าจะเป็นของผลที่ตามมามีความสัมพันธ์ 1:1 หากจั่วไพ่หนึ่งใบจากสำรับที่มีไพ่ 36 ใบ ความน่าจะเป็นจะแสดงเป็น 1:36 ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรให้สำรวจและทำนาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งด้วยความช่วยเหลือของสูตรทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม หากคุณทำการกระทำบางอย่างซ้ำหลายครั้ง คุณจะสามารถระบุรูปแบบที่แน่นอนได้ และคาดการณ์ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ในสภาวะอื่นๆ บนพื้นฐานของรูปแบบนั้น

เพื่อสรุปทั้งหมดข้างต้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นในความหมายคลาสสิกศึกษาความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้อย่างใดอย่างหนึ่งที่เป็นไปได้ในแง่ตัวเลข

จากหน้าประวัติศาสตร์

ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตรและตัวอย่างของงานแรกปรากฏขึ้นในยุคกลางอันห่างไกล เมื่อความพยายามที่จะทำนายผลของเกมไพ่เกิดขึ้นครั้งแรก

ในขั้นต้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ มันถูกพิสูจน์โดยข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์หรือคุณสมบัติของเหตุการณ์ที่สามารถทำซ้ำได้ในทางปฏิบัติ ผลงานชิ้นแรกในด้านนี้ในฐานะสาขาวิชาคณิตศาสตร์ปรากฏขึ้นในศตวรรษที่ 17 ผู้ก่อตั้งคือ Blaise Pascal และ Pierre Fermat เป็นเวลานานที่พวกเขาศึกษาการพนันและเห็นรูปแบบบางอย่างที่พวกเขาตัดสินใจบอกต่อสาธารณชน

เทคนิคเดียวกันนี้ถูกคิดค้นโดย Christian Huygens แม้ว่าเขาจะไม่คุ้นเคยกับผลการวิจัยของ Pascal และ Fermat แนวคิดของ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" สูตรและตัวอย่างซึ่งถือเป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ของวินัยได้รับการแนะนำโดยเขา

งานของ Jacob Bernoulli, Laplace's และ Poisson's มีความสำคัญไม่น้อย พวกเขาทำให้ทฤษฎีความน่าจะเป็นเหมือนวินัยทางคณิตศาสตร์มากขึ้น ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตรและตัวอย่างของงานพื้นฐานได้รูปแบบปัจจุบันด้วยสัจพจน์ของ Kolmogorov จากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ทฤษฎีความน่าจะเป็นกลายเป็นหนึ่งในสาขาทางคณิตศาสตร์

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น พัฒนาการ

แนวคิดหลักของวินัยนี้คือ "เหตุการณ์" เหตุการณ์มีสามประเภท:

เชื่อถือได้.สิ่งที่จะเกิดขึ้นต่อไป (เหรียญจะตก)
เป็นไปไม่ได้.เหตุการณ์ที่จะไม่เกิดขึ้นในทุกสถานการณ์ (เหรียญจะยังคงลอยอยู่ในอากาศ)
สุ่มสิ่งที่จะเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น พวกเขาสามารถได้รับอิทธิพลจากปัจจัยต่าง ๆ ที่ยากมากที่จะทำนาย ถ้าเราพูดถึงเหรียญ ปัจจัยสุ่มที่อาจส่งผลต่อผลลัพธ์: ลักษณะทางกายภาพของเหรียญ รูปร่างของมัน ตำแหน่งเริ่มต้น แรงเหวี่ยง ฯลฯ

เหตุการณ์ทั้งหมดในตัวอย่างจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ ยกเว้น R ซึ่งมีบทบาทต่างกัน ตัวอย่างเช่น:

A = "นักเรียนมาบรรยาย"
Ā = "นักเรียนไม่มาเรียน"

ในทางปฏิบัติ เหตุการณ์มักจะถูกบันทึกเป็นคำพูด

ลักษณะที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของเหตุการณ์คือความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน นั่นคือถ้าคุณโยนเหรียญ การตกครั้งแรกทั้งหมดจะเป็นไปได้จนกว่าเหรียญจะตกลงมา แต่เหตุการณ์ก็ไม่น่าจะเท่ากัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อมีคนจงใจสร้างอิทธิพลต่อผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น "ทำเครื่องหมาย" เล่นไพ่หรือลูกเต๋าซึ่งจุดศูนย์ถ่วงเปลี่ยนไป

เหตุการณ์ยังเข้ากันได้และเข้ากันไม่ได้ เหตุการณ์ที่เข้ากันได้ไม่ได้ยกเว้นการเกิดขึ้นของกันและกัน ตัวอย่างเช่น:

A = "นักเรียนมาบรรยาย"
B = "นักเรียนมาบรรยาย"

เหตุการณ์เหล่านี้ไม่สัมพันธ์กัน และการปรากฏตัวของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งไม่ส่งผลต่อลักษณะที่ปรากฏของอีกเหตุการณ์หนึ่ง เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งขัดขวางไม่ให้เกิดขึ้นอีกเหตุการณ์หนึ่ง ถ้าเราพูดถึงเหรียญเดียวกัน การสูญเสีย "ก้อย" ทำให้เป็นไปไม่ได้ที่ "หัว" จะปรากฎในการทดลองเดียวกัน

การดำเนินการเกี่ยวกับเหตุการณ์

เหตุการณ์สามารถคูณและเพิ่มตามลำดับการเชื่อมต่อตรรกะ "และ" และ "หรือ" ถูกนำมาใช้ในระเบียบวินัย

จำนวนเงินจะถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์ A หรือ B หรือทั้งสองเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ในเวลาเดียวกัน ในกรณีที่เข้ากันไม่ได้ ตัวเลือกสุดท้ายจะเป็นไปไม่ได้ ทั้ง A หรือ B จะถูกยกเลิก

การคูณเหตุการณ์ประกอบด้วยการปรากฏของ A และ B ในเวลาเดียวกัน

ตอนนี้คุณสามารถยกตัวอย่างบางส่วนเพื่อจดจำพื้นฐาน ทฤษฎีความน่าจะเป็น และสูตรได้ดีขึ้น ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้านล่าง

แบบฝึกหัด 1: บริษัทกำลังเสนอราคาจ้างงานสามประเภท เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้น:

A = "บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับแรก"
A 1 = "บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับแรก"
B = "บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สอง"
B 1 = "บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาที่สอง"
C = "บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สาม"
C 1 = "บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาที่สาม"

ลองแสดงสถานการณ์ต่อไปนี้โดยใช้การกระทำกับเหตุการณ์:

K = "บริษัทจะได้รับสัญญาทั้งหมด"

ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ สมการจะมีลักษณะดังนี้: K = ABC

M = "บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับเดียว"

M \u003d A 1 B 1 C 1

เราทำให้งานซับซ้อนขึ้น: H = "บริษัทจะได้รับหนึ่งสัญญา" เนื่องจากไม่ทราบว่าบริษัทจะได้รับสัญญาใด (สัญญาที่หนึ่ง สอง หรือสาม) จึงจำเป็นต้องบันทึกเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

และ 1 ปีก่อนคริสตกาล 1 เป็นเหตุการณ์ต่อเนื่องที่บริษัทไม่ได้รับสัญญาฉบับที่หนึ่งและฉบับที่สาม แต่ได้รับสัญญาฉบับที่สอง เหตุการณ์ที่เป็นไปได้อื่น ๆ จะถูกบันทึกด้วยวิธีการที่เกี่ยวข้องด้วย สัญลักษณ์ υ ในวินัยหมายถึงกลุ่มของ "OR" หากเราแปลตัวอย่างข้างต้นเป็นภาษามนุษย์ บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สาม หรือฉบับที่สอง หรือฉบับแรก ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถเขียนเงื่อนไขอื่นๆ ในสาขาวิชา "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่นำเสนอข้างต้นจะช่วยให้คุณทำเองได้

อันที่จริง ความน่าจะเป็น

บางทีในสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อาจเป็นแนวคิดหลัก มี 3 คำจำกัดความของความน่าจะเป็น:

คลาสสิก;
สถิติ;
เรขาคณิต

แต่ละคนมีสถานที่ในการศึกษาความน่าจะเป็น ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตรและตัวอย่าง (เกรด 9) ส่วนใหญ่ใช้คำจำกัดความแบบคลาสสิก ซึ่งฟังดูเหมือน:

ความน่าจะเป็นของสถานการณ์ A เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เอื้อต่อการเกิดขึ้นกับจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

สูตรมีลักษณะดังนี้: P (A) \u003d m / n

และที่จริงแล้วเป็นเหตุการณ์ หากตรงกันข้ามกับ A สามารถเขียนเป็น Ā หรือ A 1 ได้

m คือจำนวนกรณีที่เป็นไปได้

n - เหตุการณ์ทั้งหมดที่สามารถเกิดขึ้นได้

ตัวอย่างเช่น A \u003d "ดึงการ์ดชุดหัวใจออกมา" ในสำรับไพ่มาตรฐานมี 36 ใบ โดย 9 ใบนั้นเป็นไพ่ Heart ดังนั้นสูตรการแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

P(A)=9/36=0.25.

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะดึงการ์ดที่เหมาะกับหัวใจออกจากสำรับจะเป็น 0.25

สู่คณิตศาสตร์ชั้นสูง

ตอนนี้มีคนรู้เพียงเล็กน้อยว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่พบในหลักสูตรของโรงเรียนคืออะไร อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีความน่าจะเป็นยังพบได้ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง ซึ่งสอนในมหาวิทยาลัย ส่วนใหญ่มักจะใช้คำจำกัดความทางเรขาคณิตและทางสถิติของทฤษฎีและสูตรที่ซับซ้อน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นที่น่าสนใจมาก สูตรและตัวอย่าง (คณิตศาสตร์ชั้นสูง) ดีกว่าที่จะเริ่มต้นเรียนรู้จากสิ่งเล็กๆ - จากคำจำกัดความทางสถิติ (หรือความถี่) ของความน่าจะเป็น

วิธีการทางสถิติไม่ได้ขัดแย้งกับแนวทางดั้งเดิม แต่จะขยายออกไปเล็กน้อย หากในกรณีแรกจำเป็นต้องกำหนดระดับความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น ในวิธีนี้จำเป็นต้องระบุความถี่ที่จะเกิดขึ้น มีการแนะนำแนวคิดใหม่ของ "ความถี่สัมพัทธ์" ซึ่งสามารถแสดงด้วย W n (A) สูตรไม่แตกต่างจากคลาสสิก:

หากคำนวณสูตรดั้งเดิมสำหรับการพยากรณ์ สูตรทางสถิติจะถูกคำนวณตามผลการทดสอบ ใช้ตัวอย่างเช่นงานเล็ก ๆ

ฝ่ายควบคุมเทคโนโลยีตรวจสอบคุณภาพสินค้า ในบรรดาผลิตภัณฑ์ 100 รายการพบว่า 3 รายการมีคุณภาพต่ำ จะค้นหาความน่าจะเป็นความถี่ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพได้อย่างไร

A = "รูปลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพ"

W n (A)=97/100=0.97

ดังนั้นความถี่ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพคือ 0.97 เอา 97 มาจากไหน? จาก 100 ผลิตภัณฑ์ที่ได้รับการตรวจสอบ มี 3 รายการที่มีคุณภาพต่ำ เราลบ 3 จาก 100 เราได้ 97 นี่คือปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพ

เกร็ดเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับ combinatorics

อีกวิธีหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็นเรียกว่า combinatorics หลักการพื้นฐานของมันคือ ถ้าตัวเลือก A บางอย่างสามารถทำได้ใน m วิธีที่แตกต่างกัน และตัวเลือก B ด้วยวิธีที่แตกต่างกัน n วิธี ทางเลือกของ A และ B ก็สามารถทำได้โดยการคูณ

เช่น มีถนน 5 สายจากเมือง A ไปยังเมือง B มี 4 เส้นทางจากเมือง B ไปยังเมือง C การเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C มีกี่วิธี?

ง่ายมาก: 5x4 = 20 นั่นคือมียี่สิบวิธีในการเดินทางจากจุด A ไปยังจุด C

มาทำให้งานหนักขึ้นกันเถอะ ไพ่โซลิแทร์มีกี่วิธี? ในสำรับไพ่ 36 ใบนี่คือจุดเริ่มต้น หากต้องการทราบจำนวนวิธี คุณต้อง "ลบ" การ์ดหนึ่งใบจากจุดเริ่มต้นและคูณ

นั่นคือ 36x35x34x33x32…x2x1= ผลลัพธ์ไม่พอดีกับหน้าจอเครื่องคิดเลข จึงสามารถแสดงเป็น 36 ได้ง่ายๆ! เข้าสู่ระบบ "!" ถัดจากตัวเลขแสดงว่าชุดของตัวเลขทั้งหมดถูกคูณกันเอง

ใน combinatorics มีแนวคิดเช่นการเรียงสับเปลี่ยนการจัดวางและการรวมกัน แต่ละคนมีสูตรของตัวเอง

ชุดองค์ประกอบชุดที่เรียงลำดับเรียกว่าเค้าโครง ตำแหน่งสามารถทำซ้ำได้ ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบหนึ่งใช้ได้หลายครั้ง และไม่มีการซ้ำซ้อนเมื่อองค์ประกอบไม่ซ้ำกัน n คือองค์ประกอบทั้งหมด m คือองค์ประกอบที่มีส่วนร่วมในตำแหน่ง สูตรสำหรับการจัดวางโดยไม่ซ้ำซ้อนจะมีลักษณะดังนี้:

น ม = น!/(น-ม)!

การเชื่อมต่อขององค์ประกอบ n ตัวที่แตกต่างกันในลำดับของการจัดวางเท่านั้นเรียกว่าพีชคณิต ในทางคณิตศาสตร์ จะมีลักษณะดังนี้: P n = n!

การรวมกันขององค์ประกอบ n ตัวคูณด้วย m คือสารประกอบดังกล่าวซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่พวกมันเป็นและจำนวนรวมของพวกมันคืออะไร สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

น m =n!/m!(n-m)!

สูตรเบอร์นูลลี

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเช่นเดียวกับในทุกสาขาวิชา มีผลงานของนักวิจัยที่โดดเด่นในสาขาของตนซึ่งได้นำมันไปสู่ระดับใหม่ หนึ่งในผลงานเหล่านี้คือสูตร Bernoulli ซึ่งช่วยให้คุณกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างที่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่เป็นอิสระ นี่แสดงให้เห็นว่าการปรากฏตัวของ A ในการทดลองไม่ได้ขึ้นอยู่กับลักษณะที่ปรากฏหรือการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์เดียวกันในการทดสอบครั้งก่อนหรือครั้งต่อๆ ไป

สมการเบอร์นูลลี:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

ความน่าจะเป็น (p) ของการเกิดเหตุการณ์ (A) ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นที่สถานการณ์จะเกิดขึ้น m ครั้งพอดีในจำนวนการทดสอบ n ครั้งจะถูกคำนวณโดยสูตรที่นำเสนอข้างต้น ดังนั้นคำถามจึงเกิดขึ้นว่าจะหาจำนวน q ได้อย่างไร

ถ้าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น p จำนวนครั้ง ดังนั้น อาจไม่เกิดขึ้น หน่วยคือตัวเลขที่ใช้ในการกำหนดผลลัพธ์ทั้งหมดของสถานการณ์ในวินัย ดังนั้น q เป็นตัวเลขที่บ่งชี้ความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น

ตอนนี้คุณรู้สูตรเบอร์นูลลีแล้ว (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างการแก้ปัญหา (ระดับแรก) จะพิจารณาด้านล่าง

งาน 2:ผู้เยี่ยมชมร้านค้าจะทำการซื้อด้วยความน่าจะเป็น 0.2 ผู้เยี่ยมชม 6 คนเข้าร้านอย่างอิสระ ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าชมจะซื้อสินค้าเป็นเท่าใด

วิธีแก้ไข: เนื่องจากไม่ทราบว่าผู้เข้าชมควรซื้อสินค้ากี่คน หนึ่งหรือทั้งหมดหกคน จึงจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยใช้สูตรเบอร์นูลลี

A = "ผู้เข้าชมจะทำการซื้อ"

ในกรณีนี้: p = 0.2 (ตามที่ระบุในงาน) ดังนั้น q=1-0.2 = 0.8

n = 6 (เพราะในร้านมีลูกค้า 6 คน) หมายเลข m จะเปลี่ยนจาก 0 (ไม่มีลูกค้าจะซื้อ) เป็น 6 (ผู้เยี่ยมชมร้านค้าทั้งหมดจะซื้อบางอย่าง) เป็นผลให้เราได้รับการแก้ปัญหา:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621

ไม่มีผู้ซื้อรายใดที่จะซื้อด้วยความน่าจะเป็น 0.2621

สูตร Bernoulli (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ใช้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหา (ระดับที่สอง) ด้านล่าง

หลังจากตัวอย่างข้างต้น มีคำถามว่า C และ p หายไปไหน สำหรับ p ตัวเลขยกกำลัง 0 จะเท่ากับหนึ่ง สำหรับ C สามารถพบได้โดยสูตร:

C n m = n! /m!(น-m)!

เนื่องจากในตัวอย่างแรก m = 0 ตามลำดับ C=1 ซึ่งโดยหลักการแล้วจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ โดยใช้สูตรใหม่นี้ เรามาลองค้นหาว่าความน่าจะเป็นที่จะซื้อสินค้าโดยผู้เข้าชมสองคนเป็นเท่าใด

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246

ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่ซับซ้อนนัก สูตร Bernoulli ตัวอย่างที่นำเสนอข้างต้นเป็นข้อพิสูจน์โดยตรงในเรื่องนี้

สูตรปัวซอง

สมการปัวซองใช้ในการคำนวณสถานการณ์สุ่มที่ไม่น่าจะเกิดขึ้น

สูตรพื้นฐาน:

P n (m)=λ m /m! × อี (-λ) .

ในกรณีนี้ λ = n x p นี่คือสูตรปัวซองง่ายๆ (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาจะได้รับการพิจารณาด้านล่าง

งาน3 A: โรงงานผลิตชิ้นส่วน 100,000 ชิ้น ลักษณะที่ปรากฏของชิ้นส่วนที่บกพร่อง = 0.0001 ความน่าจะเป็นที่จะมีชิ้นส่วนที่ชำรุด 5 ชิ้นในชุดงานเป็นเท่าใด

อย่างที่คุณเห็น การแต่งงานเป็นเหตุการณ์ที่ไม่น่าจะเกิดขึ้น ดังนั้นจึงใช้สูตรปัวซอง (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ในการคำนวณ ตัวอย่างของการแก้ปัญหาประเภทนี้ไม่แตกต่างจากงานอื่น ๆ ของวินัย เราแทนที่ข้อมูลที่จำเป็นลงในสูตรข้างต้น:

A = "ส่วนที่สุ่มเลือกจะมีข้อบกพร่อง"

p = 0.0001 (ตามเงื่อนไขการมอบหมาย)

n = 100000 (จำนวนชิ้นส่วน)

m = 5 (ส่วนที่บกพร่อง) เราแทนที่ข้อมูลในสูตรและรับ:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X อี -10 = 0.0375

เช่นเดียวกับสูตรเบอร์นูลลี (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาที่ใช้ซึ่งเขียนไว้ข้างต้น สมการปัวซองมีค่า e ที่ไม่รู้จัก โดยพื้นฐานแล้ว สามารถพบได้โดยสูตร:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

อย่างไรก็ตาม มีตารางพิเศษที่มีค่า e เกือบทั้งหมด

ทฤษฎีบท De Moivre-Laplace

หากในรูปแบบ Bernoulli จำนวนการทดลองมีมากเพียงพอ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในทุกรูปแบบจะเท่ากัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จำนวนครั้งที่แน่นอนในชุดของการทดลองอาจเป็นได้ พบโดยสูตร Laplace:

Р n (ม.)= 1/√npq x ϕ(X ม.).

Xm = m-np/√npq.

เพื่อให้จำสูตร Laplace (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ได้ดีขึ้น ตัวอย่างงานที่จะช่วยด้านล่าง

อันดับแรกเราพบ X m เราแทนที่ข้อมูล (ทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น) ลงในสูตรและรับ 0.025 เมื่อใช้ตาราง เราจะพบตัวเลข ϕ (0.025) ซึ่งมีค่าเท่ากับ 0.3988 ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ข้อมูลทั้งหมดในสูตร:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ใบปลิวจะโดน 267 ครั้งพอดีคือ 0.03

สูตรเบย์

สูตร Bayes (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยความช่วยเหลือซึ่งจะได้รับด้านล่าง เป็นสมการที่อธิบายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ โดยพิจารณาจากสถานการณ์ที่อาจเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้น สูตรหลักมีดังนี้:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B)

A และ B เป็นเหตุการณ์ที่แน่นอน

P(A|B) - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข นั่นคือ เหตุการณ์ A สามารถเกิดขึ้นได้ โดยที่เหตุการณ์ B เป็นจริง

Р (В|А) - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ В

ดังนั้น ส่วนสุดท้ายของหลักสูตรระยะสั้น "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" คือสูตรเบย์ ตัวอย่างของการแก้ปัญหาที่มีด้านล่าง

งาน 5: นำโทรศัพท์จากสามบริษัทมาที่โกดัง ในเวลาเดียวกัน โทรศัพท์บางส่วนที่ผลิตในโรงงานแห่งแรกคือ 25% ที่สอง - 60% ที่สาม - 15% เป็นที่ทราบกันดีว่าเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในโรงงานแห่งแรกคือ 2% ที่โรงงานที่สอง - 4% และโรงงานที่สาม - 1% จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์ที่สุ่มเลือกจะมีข้อบกพร่อง

A = "สุ่มรับโทรศัพท์"

B 1 - โทรศัพท์ที่โรงงานแห่งแรกทำ ดังนั้น บทนำ B 2 และ B 3 จะปรากฏขึ้น (สำหรับโรงงานแห่งที่สองและสาม)

เป็นผลให้เราได้รับ:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - ดังนั้นเราจึงพบความน่าจะเป็นของแต่ละตัวเลือก

ตอนนี้ คุณจำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่ต้องการ นั่นคือ ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในบริษัท:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01

ตอนนี้เราแทนที่ข้อมูลลงในสูตร Bayes และรับ:

P (A) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305

บทความนี้นำเสนอทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่างการแก้ปัญหา แต่นี่เป็นเพียงส่วนเล็กสุดของภูเขาน้ำแข็งที่มีระเบียบวินัยที่กว้างใหญ่ และหลังจากที่เขียนทั้งหมดแล้ว มันจะมีเหตุผลที่จะถามคำถามว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นจำเป็นในชีวิตหรือไม่ เป็นการยากสำหรับคนธรรมดาที่จะตอบ เป็นการดีกว่าที่จะถามคนที่ได้แจ็คพอตมากกว่าหนึ่งครั้งด้วยความช่วยเหลือของเธอ

ความน่าจะเป็น - ระดับ (การวัดสัมพัทธ์ การประเมินเชิงปริมาณ) ของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์บางอย่าง เมื่อเหตุผลของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์นี้จึงเรียกว่าน่าจะเป็นไปได้ มิฉะนั้น - ไม่น่าเป็นไปได้หรือไม่น่าจะเป็นไปได้ ความเหนือกว่าของเหตุที่เป็นบวกมากกว่าปัจจัยลบ และในทางกลับกัน อาจมีระดับที่แตกต่างกัน อันเป็นผลมาจากความน่าจะเป็น (และความไม่น่าจะเป็นไปได้) มากหรือน้อย ดังนั้น ความน่าจะเป็นมักจะถูกประเมินในระดับคุณภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่การประเมินเชิงปริมาณที่แม่นยำมากหรือน้อยเป็นไปไม่ได้หรือยากอย่างยิ่ง สามารถไล่ระดับ "ระดับ" ของความน่าจะเป็นได้หลายระดับ
การศึกษาความน่าจะเป็นจากมุมมองทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาพิเศษ - ทฤษฎีความน่าจะเป็น ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ แนวคิดของความน่าจะเป็นถูกทำให้เป็นรูปแบบตัวเลขของเหตุการณ์ - การวัดความน่าจะเป็น (หรือค่าของเหตุการณ์) - การวัดในชุดของเหตุการณ์ (ชุดย่อยของชุดของเหตุการณ์พื้นฐาน) การรับค่า จาก
(\รูปแบบการแสดงผล 0)
(\ รูปแบบการแสดงผล 1)
ความหมาย
(\ รูปแบบการแสดงผล 1)
สอดคล้องกับเหตุการณ์ที่ถูกต้อง เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้มีความน่าจะเป็นเป็น 0 (โดยทั่วไปแล้วการสนทนาไม่เป็นความจริงเสมอไป) ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือ
(\displaystyle p)
แล้วความน่าจะเป็นของการไม่เกิดขึ้นนั้นเท่ากับ
(\displaystyle 1-p)
โดยเฉพาะความน่าจะเป็น
(\รูปแบบการแสดง 1/2)
หมายถึงความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันของการเกิดขึ้นและการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์
คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับแนวคิดของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์ที่กำหนดต่อจำนวนผลลัพธ์ที่มีแนวโน้มเท่ากันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหรือก้อยในการโยนเหรียญแบบสุ่มคือ 1/2 หากสันนิษฐานว่าความเป็นไปได้เพียงสองอย่างนี้เกิดขึ้นและมีโอกาสเท่ากัน "คำจำกัดความ" แบบคลาสสิกของความน่าจะเป็นนี้สามารถสรุปได้ในกรณีของค่าที่เป็นไปได้จำนวนอนันต์ - ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน ณ จุดใด ๆ (จำนวนคะแนนเป็นอนันต์) ของพื้นที่จำกัด ช่องว่าง (ระนาบ) แล้วความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในบางส่วนของพื้นที่ที่อนุญาตนี้เท่ากับอัตราส่วนของปริมาตร (พื้นที่) ของส่วนนี้ต่อปริมาตร (พื้นที่) ของพื้นที่ของจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด .
"คำจำกัดความ" เชิงประจักษ์ของความน่าจะเป็นนั้นสัมพันธ์กับความถี่ของการเกิดเหตุการณ์ โดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าด้วยการทดลองจำนวนมากเพียงพอ ความถี่ควรมีแนวโน้มถึงระดับวัตถุประสงค์ของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์นี้ ในการนำเสนอทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ ความน่าจะเป็นถูกกำหนดโดยสัจพจน์ เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีนามธรรมของการวัดชุด อย่างไรก็ตาม ความเชื่อมโยงระหว่างการวัดเชิงนามธรรมกับความน่าจะเป็น ซึ่งแสดงถึงระดับของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์นั้นเป็นความถี่ของการสังเกตอย่างแม่นยำ
คำอธิบายความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์บางอย่างเป็นที่แพร่หลายในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทางเศรษฐมิติ ฟิสิกส์เชิงสถิติของระบบมหภาค (อุณหพลศาสตร์) ซึ่งแม้ในกรณีของคำอธิบายแบบคลาสสิกของการกำหนดแบบคลาสสิกของการเคลื่อนที่ของอนุภาค คำอธิบายแบบกำหนดทั้งหมดของทั้งระบบ ของอนุภาคที่เป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติและเหมาะสม ในฟิสิกส์ควอนตัม กระบวนการที่อธิบายไว้มีลักษณะน่าจะเป็น

คุณต้องการที่จะรู้ว่าโอกาสทางคณิตศาสตร์ของการเดิมพันของคุณจะประสบความสำเร็จคืออะไร? เรามีข่าวดีมาบอกสองอย่าง ขั้นแรก: ในการคำนวณความแจ้งชัด คุณไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลามาก ใช้สูตรง่าย ๆ ซึ่งจะใช้เวลาสองสามนาทีในการทำงาน ประการที่สอง หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณจะสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะผ่านการซื้อขายของคุณได้อย่างง่ายดาย

ในการพิจารณาแจ้งอย่างถูกต้องคุณต้องดำเนินการสามขั้นตอน:

คำนวณเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง
คำนวณความน่าจะเป็นจากข้อมูลทางสถิติด้วยตัวเอง
ค้นหามูลค่าของการเดิมพันจากความน่าจะเป็นทั้งสอง

ให้เราพิจารณารายละเอียดแต่ละขั้นตอนโดยใช้สูตรไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวอย่างด้วย

ทางด่วน

การคำนวณความน่าจะเป็นที่ฝังอยู่ในอัตราเดิมพัน

ขั้นตอนแรกคือการค้นหาความน่าจะเป็นที่เจ้ามือรับแทงประเมินโอกาสของผลลัพธ์เฉพาะ ท้ายที่สุด เป็นที่ชัดเจนว่าเจ้ามือรับแทงไม่เดิมพันอัตราต่อรองเช่นนั้น สำหรับสิ่งนี้เราใช้สูตรต่อไปนี้:

พีบี=(1/K)*100%,

โดยที่ PB คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง

K - อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าอัตราต่อรองคือ 4 สำหรับชัยชนะของลอนดอน อาร์เซนอล ในการดวลกับ บาเยิร์น ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของชัยชนะโดย BC ถือเป็น (1/4) * 100% = 25% หรือยอโควิชกำลังเล่นกับเซาท์ ตัวคูณสำหรับชัยชนะของโนวัคคือ 1.2 โอกาสของเขาเท่ากับ (1/1.2)*100%=83%

นี่คือวิธีที่เจ้ามือรับแทงประเมินโอกาสในการประสบความสำเร็จสำหรับผู้เล่นและทีมแต่ละคน เมื่อเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกเราก็ไปยังขั้นตอนที่สอง

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยผู้เล่น

จุดที่สองของแผนของเราคือการประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เอง เนื่องจากเราไม่สามารถคำนึงถึงพารามิเตอร์ต่างๆ เช่น แรงจูงใจ เสียงของเกม เราจะใช้แบบจำลองที่ง่ายขึ้นและใช้เฉพาะสถิติของการประชุมครั้งก่อนเท่านั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็นทางสถิติของผลลัพธ์ เราใช้สูตร:

พีและ\u003d (อืม / M) * 100%,

ที่ไหนพีและ- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามผู้เล่น

UM - จำนวนการแข่งขันที่ประสบความสำเร็จซึ่งเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น

M คือจำนวนการแข่งขันทั้งหมด

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น มาดูตัวอย่างกัน Andy Murray และ Rafael Nadal ลงเล่นไปแล้ว 14 นัด ในจำนวนทั้งหมด 6 เกม ทั้งหมดต่ำกว่า 21 เกมถูกบันทึกไว้ ใน 8 - รวมทั้งหมดเหนือ จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเล่นในนัดถัดไปรวมยอด: (8/14)*100=57% บาเลนเซียลงเล่น 74 นัดที่เมสตัลลากับแอตเลติโก ซึ่งพวกเขาได้ชัยชนะ 29 เกม ความน่าจะเป็นที่บาเลนเซียจะชนะ: (29/74)*100%=39%.

และเราทุกคนรู้เรื่องนี้ด้วยสถิติของเกมก่อนหน้านี้เท่านั้น! โดยปกติ ความน่าจะเป็นดังกล่าวไม่สามารถคำนวณได้สำหรับทีมหรือผู้เล่นใหม่ ดังนั้นกลยุทธ์การเดิมพันนี้จึงเหมาะสำหรับการแข่งขันที่คู่ต่อสู้ไม่ได้พบกันเป็นครั้งแรกเท่านั้น ตอนนี้เรารู้วิธีกำหนดการเดิมพันและความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แล้ว และเรามีความรู้ทั้งหมดเพื่อไปยังขั้นตอนสุดท้าย

การกำหนดมูลค่าของการเดิมพัน

มูลค่า (มูลค่า) ของการเดิมพันและการผ่านได้นั้นสัมพันธ์กันโดยตรง ยิ่งการประเมินมูลค่าสูง โอกาสผ่านก็จะสูงขึ้น ค่าจะถูกคำนวณดังนี้:

วี=พีและ*K-100%,

โดยที่ V คือค่า

PI - ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามที่ดีกว่า

K - อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าเราต้องการเดิมพันมิลานเพื่อชนะการแข่งขันกับโรม่า และเราคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่ทีมหงส์แดงจะชนะคือ 45% เจ้ามือรับแทงเสนอค่าสัมประสิทธิ์ 2.5 ให้เราสำหรับผลลัพธ์นี้ การเดิมพันดังกล่าวจะมีคุณค่าหรือไม่? เราทำการคำนวณ: V \u003d 45% * 2.5-100% \u003d 12.5% เยี่ยมมาก เรามีเดิมพันที่มีค่าพร้อมโอกาสจ่ายบอลที่ดี

เอาอีกกรณีหนึ่ง Maria Sharapova เล่นกับ Petra Kvitova เราต้องการทำข้อตกลงเพื่อให้ Maria ชนะ ซึ่งตามการคำนวณของเรา มีความน่าจะเป็น 60% เจ้ามือรับแทงเสนอตัวคูณ 1.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ กำหนดมูลค่า: V=60%*1.5-100=-10%. อย่างที่คุณเห็น การเดิมพันนี้ไม่มีค่าและควรงดเว้น

อันที่จริง สูตร (1) และ (2) เป็นบันทึกสั้นๆ ของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขตามตารางคุณสมบัติฉุกเฉิน กลับไปที่ตัวอย่างที่พิจารณา (รูปที่ 1) สมมติว่าเรารู้ว่าครอบครัวหนึ่งกำลังจะซื้อทีวีจอกว้าง ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวนี้จะซื้อทีวีจริง ๆ เป็นเท่าไหร่?

ข้าว. 1. พฤติกรรมผู้ซื้อทีวีจอกว้าง

ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P (การซื้อเกิดขึ้น | มีการวางแผนการซื้อ) เนื่องจากเราทราบดีว่าครอบครัวกำลังวางแผนที่จะซื้อ พื้นที่ตัวอย่างจึงไม่ได้ประกอบด้วยครอบครัวทั้งหมด 1,000 ครอบครัว แต่มีเพียงครอบครัวที่วางแผนจะซื้อทีวีจอกว้างเท่านั้น จาก 250 ครอบครัวดังกล่าว มี 200 ครอบครัวที่ซื้อทีวีเครื่องนี้จริงๆ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวจะซื้อทีวีจอกว้างจริง ๆ หากพวกเขาวางแผนที่จะทำเช่นนั้น สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

P (ซื้อแล้ว | วางแผนซื้อ) = จำนวนครอบครัวที่วางแผนและซื้อทีวีจอกว้าง / จำนวนครอบครัวที่วางแผนจะซื้อทีวีจอกว้าง = 200 / 250 = 0.8

ผลลัพธ์เดียวกันนี้กำหนดโดยสูตร (2):

งานอยู่ที่ไหน แต่คือครอบครัวมีแผนจะซื้อทีวีจอไวด์สกรีนและกิจกรรม ที่- ว่าเธอจะซื้อมันจริงๆ แทนที่ข้อมูลจริงลงในสูตร เราได้รับ:

ต้นไม้ตัดสินใจ

ในรูป 1 ครอบครัวแบ่งออกเป็น 4 ประเภท ได้แก่ ผู้ที่วางแผนจะซื้อทีวีจอกว้างและกลุ่มที่ไม่ได้ซื้อ ผู้ที่ซื้อทีวีดังกล่าวและผู้ที่ไม่ได้ซื้อ การจัดประเภทที่คล้ายกันสามารถทำได้โดยใช้แผนผังการตัดสินใจ (รูปที่ 2) ต้นไม้ที่แสดงในรูปที่ 2 มีสองสาขา ซึ่งสอดคล้องกับครอบครัวที่วางแผนจะซื้อทีวีจอกว้างและครอบครัวที่ไม่ได้ซื้อ แต่ละสาขาเหล่านี้แบ่งออกเป็นสองสาขาเพิ่มเติมตามครอบครัวที่ซื้อและไม่ซื้อทีวีจอกว้าง ความน่าจะเป็นที่เขียนไว้ที่ปลายกิ่งหลักทั้งสองคือความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของเหตุการณ์ แต่และ แต่'. ความน่าจะเป็นที่เขียนที่ส่วนท้ายของกิ่งเพิ่มเติมอีกสี่กิ่งคือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของแต่ละเหตุการณ์รวมกัน แต่และ ที่. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคำนวณโดยการหารความน่าจะเป็นร่วมของเหตุการณ์ด้วยความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของแต่ละรายการ

ข้าว. 2. ต้นไม้แห่งการตัดสินใจ

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่ครอบครัวจะซื้อทีวีจอกว้าง หากพวกเขาวางแผนที่จะทำเช่นนั้น ควรพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จัดซื้อตามแผนและแล้วเสร็จแล้วหารด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ วางแผนการซื้อ. เคลื่อนที่ไปตามแผนผังการตัดสินใจที่แสดงในรูปที่ 2 เราได้รับคำตอบต่อไปนี้ (คล้ายกับคำตอบก่อนหน้า):

ความเป็นอิสระทางสถิติ

ในตัวอย่างการซื้อทีวีจอกว้าง ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวสุ่มเลือกซื้อทีวีจอกว้างเนื่องจากพวกเขาวางแผนจะทำเช่นนั้นคือ 200/250 = 0.8 จำไว้ว่าความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขที่ครอบครัวสุ่มเลือกซื้อทีวีจอกว้างคือ 300/1000 = 0.3 จากนี้ไปก็ได้ข้อสรุปที่สำคัญมาก ข้อมูลเบื้องต้นที่ครอบครัวกำลังวางแผนซื้อส่งผลต่อความน่าจะเป็นของการซื้อเองกล่าวอีกนัยหนึ่งเหตุการณ์ทั้งสองนี้ขึ้นอยู่กับกันและกัน ตรงกันข้ามกับตัวอย่างนี้มีเหตุการณ์อิสระทางสถิติซึ่งความน่าจะเป็นไม่ได้ขึ้นอยู่กับกันและกัน ความเป็นอิสระทางสถิติแสดงโดยตัวตน: P(A|B) = P(A), ที่ไหน ป(A|B)- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่สมมติว่ามีเหตุการณ์เกิดขึ้น ที่, พี(เอ)คือความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A

โปรดทราบว่าเหตุการณ์ แต่และ ที่ P(A|B) = P(A). หากอยู่ในตารางคุณสมบัติฉุกเฉินซึ่งมีขนาด 2 × 2 เงื่อนไขนี้จะเป็นไปตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์รวมกัน แต่และ ที่จะใช้ได้สำหรับชุดค่าผสมอื่นๆ ในตัวอย่างของเรา เหตุการณ์ วางแผนการซื้อและ ซื้อเสร็จแล้วไม่เป็นอิสระทางสถิติเนื่องจากข้อมูลเกี่ยวกับเหตุการณ์หนึ่งส่งผลต่อความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง

ลองดูตัวอย่างที่แสดงวิธีทดสอบความเป็นอิสระทางสถิติของสองเหตุการณ์ ลองถาม 300 ครอบครัวที่ซื้อทีวีจอกว้างว่าพวกเขาพอใจกับการซื้อหรือไม่ (รูปที่ 3) พิจารณาว่าระดับความพึงพอใจในการซื้อและประเภทของทีวีเกี่ยวข้องกันหรือไม่

ข้าว. 3. ข้อมูลความพึงพอใจของลูกค้าสำหรับทีวีจอกว้าง

ตามข้อมูลเหล่านี้

ในเวลาเดียวกัน,

P (ลูกค้าพอใจ) = 240 / 300 = 0.80

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกค้าพึงพอใจกับการซื้อและที่ครอบครัวซื้อ HDTV จึงเท่ากัน และเหตุการณ์เหล่านี้ไม่เกี่ยวข้องกันทางสถิติ เนื่องจากไม่เกี่ยวข้องกัน

กฎการคูณความน่าจะเป็น

สูตรคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขช่วยให้คุณกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมได้ A และ B. แก้สูตร (1)

เกี่ยวกับความน่าจะเป็นร่วมกัน พี (เอ และ บี)เราได้รับกฎทั่วไปสำหรับการคูณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และ Bเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ ที่ ที่:

(3) P(A และ B) = P(A|B) * P(B)

ยกตัวอย่าง 80 ครัวเรือนที่ซื้อ HDTV จอกว้าง (ภาพที่ 3) ตารางแสดงให้เห็นว่า 64 ครอบครัวพอใจกับการซื้อและ 16 ครอบครัวไม่พอใจ สมมติว่าทั้งสองครอบครัวได้รับการสุ่มเลือกจากพวกเขา กำหนดความน่าจะเป็นที่ผู้ซื้อทั้งสองจะพึงพอใจ โดยใช้สูตร (3) เราได้รับ:

P(A และ B) = P(A|B) * P(B)

งานอยู่ที่ไหน แต่คือครอบครัวที่สองพอใจกับการซื้อและงาน ที่- ที่ครอบครัวแรกพอใจกับการซื้อของพวกเขา ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวแรกพอใจกับการซื้อของพวกเขาคือ 64/80 อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่สองจะพึงพอใจกับการซื้อนั้นขึ้นอยู่กับการตอบสนองของตระกูลแรก หากครอบครัวแรกไม่ส่งคืนกลุ่มตัวอย่างหลังการสำรวจ (การเลือกโดยไม่มีการส่งคืน) จำนวนผู้ตอบแบบสอบถามจะลดลงเหลือ 79 ราย หากครอบครัวแรกพอใจกับการซื้อของพวกเขา ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่สองจะพึงพอใจด้วยคือ 63/ 79 เนื่องจากมีเพียง 63 ครอบครัวที่ยังคงอยู่ในกลุ่มตัวอย่างที่พึงพอใจกับการซื้อของพวกเขา ดังนั้น การแทนที่ข้อมูลเฉพาะลงในสูตร (3) เราได้รับคำตอบต่อไปนี้:

P(A และ B) = (63/79)(64/80) = 0.638

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ทั้งสองครอบครัวจะพอใจกับการซื้อคือ 63.8%

สมมติว่าหลังจากการสำรวจ ครอบครัวแรกจะถูกส่งกลับไปยังกลุ่มตัวอย่าง กำหนดความน่าจะเป็นที่ทั้งสองครอบครัวจะพอใจกับการซื้อของพวกเขา ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองครอบครัวพอใจกับการซื้อจะเท่ากัน และเท่ากับ 64/80 ดังนั้น P(A และ B) = (64/80)(64/80) = 0.64 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองครอบครัวจะพอใจกับการซื้อคือ 64.0% ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการเลือกของตระกูลที่สองไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกของตระกูลแรก ดังนั้นการแทนที่ในสูตร (3) ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ป(A|B)ความน่าจะเป็น พี(เอ)เราได้รับสูตรสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

กฎการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระถ้าเหตุการณ์ แต่และ ที่มีความเป็นอิสระทางสถิติ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และ Bเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่คูณด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่.

(4) P(A และ B) = P(A)P(B)

ถ้ากฎนี้เป็นจริงสำหรับเหตุการณ์ แต่และ ที่ซึ่งหมายความว่าเป็นอิสระทางสถิติ ดังนั้น มีสองวิธีในการพิจารณาความเป็นอิสระทางสถิติของสองเหตุการณ์:

พัฒนาการ แต่และ ที่มีความเป็นอิสระทางสถิติต่อกันก็ต่อเมื่อ P(A|B) = P(A).
พัฒนาการ แต่และ บีมีความเป็นอิสระทางสถิติต่อกันก็ต่อเมื่อ P(A และ B) = P(A)P(B).

หากในตารางคุณสมบัติฉุกเฉินซึ่งมีขนาด 2 × 2 เงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งเหล่านี้ตรงกับเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งชุด แต่และ บีจะใช้ได้สำหรับชุดค่าผสมอื่นๆ

ความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

โดยที่เหตุการณ์ B 1 , B 2 , … B k เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันและละเอียดถี่ถ้วน

เราแสดงการใช้สูตรนี้ในตัวอย่างในรูปที่ 1 โดยใช้สูตร (5) เราได้รับ:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

ที่ไหน พี(เอ)- ความน่าจะเป็นที่มีการวางแผนการซื้อ พี(บี 1)- ความน่าจะเป็นที่จะทำการซื้อ พี(บี 2)- ความน่าจะเป็นที่จะไม่ทำการซื้อ

ทฤษฎีบทของเบย์ส์

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์จะพิจารณาข้อมูลที่เหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น วิธีนี้สามารถใช้ได้ทั้งเพื่อปรับแต่งความน่าจะเป็น โดยคำนึงถึงข้อมูลที่ได้รับใหม่ และเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ผลกระทบที่สังเกตได้นั้นเป็นผลมาจากสาเหตุเฉพาะบางประการ ขั้นตอนการปรับแต่งความน่าจะเป็นเหล่านี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเบย์ ได้รับการพัฒนาครั้งแรกโดย Thomas Bayes ในศตวรรษที่ 18

สมมติว่าบริษัทที่กล่าวถึงข้างต้นกำลังศึกษาตลาดสำหรับทีวีรุ่นใหม่ ในอดีต 40% ของทีวีที่บริษัทผลิตขึ้นประสบความสำเร็จ และ 60% ของรุ่นไม่เป็นที่รู้จัก ก่อนประกาศเปิดตัวโมเดลใหม่ นักการตลาดทำการวิจัยตลาดอย่างละเอียดและจับความต้องการ ในอดีต ความสำเร็จของโมเดลที่ได้รับการยอมรับถึง 80% ได้รับการคาดการณ์ล่วงหน้า ในขณะที่ 30% ของการคาดการณ์ที่น่าพอใจกลับกลายเป็นว่าผิด สำหรับโมเดลใหม่ ฝ่ายการตลาดให้การคาดการณ์ที่ดี แนวโน้มที่ทีวีรุ่นใหม่จะเป็นที่ต้องการมากน้อยเพียงใด?

ทฤษฎีบทของเบย์สามารถได้มาจากคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (1) และ (2) ในการคำนวณความน่าจะเป็น Р(В|А) เราใช้สูตร (2):

และแทนที่ค่า P(A และ B) แทนค่าจากสูตร (3):

P(A และ B) = P(A|B) * P(B)

แทนที่สูตร (5) แทน P(A) เราได้รับทฤษฎีบทเบย์:

โดยที่เหตุการณ์ B 1 , B 2 , ... B k เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันและละเอียดถี่ถ้วน

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: เหตุการณ์ S - ทีวีอยู่ในความต้องการ,งานอีเวนท์ S'- ทีวีไม่ต้องการ, งาน F - การพยากรณ์โรคที่ดี, งาน F' - การพยากรณ์โรคที่ไม่ดี. สมมุติว่า P(S) = 0.4, P(S') = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S') = 0.3 เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเบย์ เราจะได้:

ความน่าจะเป็นของความต้องการทีวีรุ่นใหม่ซึ่งเป็นไปตามการคาดการณ์ที่ดีคือ 0.64 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะขาดอุปสงค์ภายใต้เงื่อนไขของการคาดการณ์ที่ดีคือ 1–0.64=0.36 กระบวนการคำนวณจะแสดงในรูปที่ สี่.

ข้าว. 4. (a) การคำนวณแบบเบย์เพื่อประมาณความน่าจะเป็นของความต้องการใช้ทีวี (b) โครงสร้างการตัดสินใจในการวิจัยความต้องการทีวีรุ่นใหม่

ลองพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเบย์ส์สำหรับการวินิจฉัยทางการแพทย์ ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยเป็นโรคบางชนิดคือ 0.03 การทดสอบทางการแพทย์ช่วยให้คุณตรวจสอบว่าเป็นเช่นนี้หรือไม่ ถ้าคนป่วยจริงๆ ความน่าจะเป็นของการวินิจฉัยที่ถูกต้อง (ระบุว่าคนป่วยเมื่อเขาป่วยจริงๆ) คือ 0.9 หากบุคคลมีสุขภาพดี ความน่าจะเป็นของการวินิจฉัยเชิงบวกที่ผิดพลาด (ระบุว่าบุคคลนั้นป่วยเมื่อพวกเขามีสุขภาพดี) คือ 0.02 สมมุติว่าผลตรวจทางการแพทย์กลับมาเป็นบวก ความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นป่วยจริงเป็นเท่าใด โอกาสในการวินิจฉัยที่ถูกต้องเป็นอย่างไร?

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: เหตุการณ์ D - ผู้ชายป่วย,งานอีเวนท์ D'- คนที่มีสุขภาพดี, งาน T - การวินิจฉัยในเชิงบวก, อีเวนท์ T' - การวินิจฉัยเป็นลบ. จากเงื่อนไขของปัญหานั้น Р(D) = 0.03, P(D’) = 0.97, Р(T|D) = 0.90, P(T|D’) = 0.02 ใช้สูตร (6) เราได้รับ:

ความน่าจะเป็นที่บุคคลที่ได้รับการวินิจฉัยว่าเป็นบวกจะป่วยหนักคือ 0.582 (ดูรูปที่ 5) โปรดทราบว่าตัวหารของสูตรเบย์เท่ากับความน่าจะเป็นของการวินิจฉัยในเชิงบวก กล่าวคือ 0.0464.

ทฤษฎีสั้น

สำหรับการเปรียบเทียบเชิงปริมาณของเหตุการณ์ตามระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์ จะมีการแนะนำการวัดเชิงตัวเลข ซึ่งเรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มมีการเรียกตัวเลขซึ่งเป็นนิพจน์ของการวัดความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์

ค่าที่กำหนดความสำคัญของวัตถุประสงค์ในการนับเหตุการณ์นั้นมีลักษณะเฉพาะโดยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ต้องเน้นว่าความน่าจะเป็นเป็นปริมาณวัตถุประสงค์ที่มีอยู่โดยอิสระจากผู้รู้และถูกกำหนดโดยเงื่อนไขทั้งหมดที่นำไปสู่การเกิดขึ้นของเหตุการณ์

คำอธิบายที่เรามอบให้กับแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นไม่ใช่คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากไม่ได้กำหนดแนวคิดนี้ในเชิงปริมาณ มีคำจำกัดความหลายประการของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาเฉพาะ (แบบคลาสสิก เชิงสัจพจน์ สถิติ เป็นต้น)

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ลดแนวคิดนี้ให้เป็นแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับเหตุการณ์ที่น่าจะเป็นไปได้เท่าเทียมกัน ซึ่งไม่อยู่ภายใต้คำจำกัดความอีกต่อไปและถือว่ามีความชัดเจนโดยสัญชาตญาณ ตัวอย่างเช่น หากลูกเต๋าเป็นลูกบาศก์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน การหลุดออกจากใบหน้าใดๆ ของลูกบาศก์นี้จะเป็นเหตุการณ์ที่น่าจะเท่าเทียมกัน

ให้เหตุการณ์บางอย่างแบ่งออกเป็นกรณีที่น่าจะเป็นเท่า ๆ กันซึ่งผลรวมของเหตุการณ์นั้น นั่นคือกรณีที่จาก ที่แตกออกเรียกว่าเป็นที่ชื่นชอบสำหรับเหตุการณ์เนื่องจากการปรากฏตัวของหนึ่งในนั้นทำให้มั่นใจได้ว่าเป็นที่น่ารังเกียจ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนกรณีที่เหมาะสมกับเหตุการณ์นั้น จากจำนวนกรณีที่ไม่ซ้ำกันทั้งหมด เป็นไปได้เท่ากันและเข้ากันไม่ได้ต่อจำนวน กล่าวคือ

นี่คือคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น ดังนั้น ในการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จำเป็นต้องคำนวณจำนวนรวม n จำนวนกรณี m โปรดปรานเหตุการณ์นี้แล้วทำการคำนวณตามสูตรข้างต้น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ของประสบการณ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ต่อจำนวนผลลัพธ์ของประสบการณ์ทั้งหมดเรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกเหตุการณ์สุ่ม

คุณสมบัติของความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้มาจากคำจำกัดความ:

คุณสมบัติ 1 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งเท่ากับหนึ่ง

คุณสมบัติ 2 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์

คุณสมบัติ 3 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มคือจำนวนบวกระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง

คุณสมบัติ 4 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์เท่ากับหนึ่ง

คุณสมบัติ 5. ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ตรงข้ามถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A

จำนวนครั้งที่เกิดเหตุการณ์ตรงกันข้าม ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามที่เกิดขึ้นจึงเท่ากับผลต่างระหว่างความสามัคคีและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้น:

ข้อได้เปรียบที่สำคัญของคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือด้วยความช่วยเหลือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องอาศัยประสบการณ์ แต่อยู่บนพื้นฐานของการให้เหตุผลเชิงตรรกะ

เมื่อเงื่อนไขเป็นไปตามที่กำหนด เหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้นแน่นอน และสิ่งที่เป็นไปไม่ได้จะไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน ในบรรดาเหตุการณ์ที่เมื่อเงื่อนไขที่ซับซ้อนถูกสร้างขึ้น อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น การปรากฏตัวของบางอย่างสามารถนับได้ด้วยเหตุผลมากกว่า ในการปรากฏตัวของผู้อื่นโดยมีเหตุผลน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ถ้าในโกศมีลูกบอลสีขาวมากกว่าลูกบอลสีดำ มีเหตุผลมากกว่าที่จะให้ปรากฏเป็นลูกบอลสีขาวเมื่อนำออกจากโกศแบบสุ่มมากกว่าการปรากฏตัวของลูกบอลสีดำ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1

กล่องหนึ่งประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 8 ลูก สีดำ 4 ลูก และลูกบอลสีแดง 7 ลูก สุ่มจับลูกบอล 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้: - สุ่มจับลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก - มีลูกบอลสีเดียวกันอย่างน้อย 2 ลูก - มีลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูกและสีขาว 1 ลูก

ทางออกของปัญหา

เราพบจำนวนผลการทดสอบทั้งหมดจากจำนวนชุดค่าผสมขององค์ประกอบ 19 (8 + 4 + 7) ของ 3 แต่ละรายการ:

หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์– จับลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก (1,2 หรือ 3 ลูกสีแดง)

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ให้เหตุการณ์- มีลูกบอลสีเดียวกันอย่างน้อย 2 ลูก (ลูกบอลสีขาว 2 หรือ 3 ลูก ลูกบอลสีดำ 2 หรือ 3 ลูก และลูกบอลสีแดง 2 หรือ 3 ลูก)

จำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์:

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ให้เหตุการณ์– มีลูกบอลสีแดงและสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก

(1 สีแดง 1 สีขาว 1 สีดำหรือ 1 สีแดง 2 สีขาวหรือ 2 สีแดง 1 สีขาว)

จำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์:

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ตอบ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

ตัวอย่าง 2

ลูกเต๋าสองลูกถูกโยน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มมีค่าอย่างน้อย 5

วิธีการแก้

ให้เหตุการณ์เป็นผลรวมของคะแนนไม่น้อยกว่า 5

ลองใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:

จำนวนผลการทดลองที่เป็นไปได้ทั้งหมด

จำนวนการทดลองที่เอื้อประโยชน์ต่อเหตุการณ์ที่เราสนใจ

บนใบหน้าที่หลุดของลูกเต๋าแรก หนึ่งแต้ม สองแต้ม ... หกแต้มสามารถปรากฏขึ้นได้ ในทำนองเดียวกัน ผลลัพธ์หกรายการที่เป็นไปได้ในการทอยลูกเต๋าครั้งที่สอง แต่ละผลลัพธ์ของการตายครั้งแรกสามารถรวมกับแต่ละผลลัพธ์ของการตายครั้งที่สอง ดังนั้น จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ของการทดสอบจึงเท่ากับจำนวนตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ (การเลือกที่มีการจัดวางองค์ประกอบ 2 รายการจากชุดของเล่มที่ 6):

หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม - ผลรวมของคะแนนน้อยกว่า 5

การรวมกันของคะแนนที่ลดลงต่อไปนี้จะเป็นประโยชน์ต่อกิจกรรม:

№

กระดูกที่ 1

กระดูกที่ 2

มีการนำเสนอคำจำกัดความทางเรขาคณิตของความน่าจะเป็นและวิธีแก้ไขปัญหาการประชุมที่รู้จักกันดี