วิธีลงจุดฟังก์ชัน y 1 2. ฟังก์ชันและกราฟ

"ลอการิทึมธรรมชาติ" - 0.1 ลอการิทึมธรรมชาติ 4. "ลูกดอกลอการิทึม" 0.04 7.121.

"ฟังก์ชันกำลังระดับ 9" - U. ลูกบาศก์พาราโบลา Y = x3 ครูประจำชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 Ladoshkina I.A. Y = x2 ไฮเพอร์โบลา. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n โดยที่ n คือค่าที่กำหนด จำนวนธรรมชาติ. X. เลขชี้กำลังเป็นเลขธรรมชาติคู่ (2n)

"ฟังก์ชันกำลังสอง" - 1 คำจำกัดความ ฟังก์ชันกำลังสอง 2 คุณสมบัติของฟังก์ชัน 3 กราฟฟังก์ชัน 4 อสมการกำลังสอง 5 บทสรุป คุณสมบัติ: ความไม่เท่าเทียมกัน: จัดทำโดย Andrey Gerlitz นักเรียนเกรด 8A แผน: กราฟ: -ช่วงของความเป็นเอกเทศที่ a > 0 ที่ a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"ฟังก์ชันกำลังสองและกราฟ" - การตัดสินใจ y \u003d 4x A (0.5: 1) 1 \u003d 1 A-เป็นของ เมื่อ a=1 สูตร y=ax จะเข้ารูป

"ฟังก์ชันกำลังสองคลาส 8" - 1) สร้างส่วนบนของพาราโบลา การพล็อตฟังก์ชันกำลังสอง x. -7. เขียนโครงร่างฟังก์ชัน พีชคณิต ป.8 ครู 496 โรงเรียน Bovina TV -1. แผนการก่อสร้าง 2) สร้างแกนสมมาตร x=-1 ย.

มาเลือกบนเครื่องบินกันเถอะ ระบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัดและเราจะลงจุดบนแกน x ค่าของอาร์กิวเมนต์ เอ็กซ์และบนแกน y - ค่าของฟังก์ชัน y = ฉ(x).

กราฟฟังก์ชัน y = ฉ(x)ชุดของจุดทั้งหมดเรียกว่าซึ่ง abscissas อยู่ในโดเมนของฟังก์ชันและลำดับจะเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง กราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบ พิกัด เอ็กซ์, ที่ซึ่งตอบสนองความสัมพันธ์ y = ฉ(x).

บนมะเดื่อ 45 และ 46 เป็นกราฟของฟังก์ชัน y = 2x + 1และ y \u003d x 2 - 2x.

พูดอย่างเคร่งครัด เราควรแยกความแตกต่างระหว่างกราฟของฟังก์ชัน (exact นิยามทางคณิตศาสตร์ซึ่งให้ไว้ด้านบน) และเส้นโค้งที่วาดซึ่งมักจะให้ภาพร่างกราฟที่แม่นยำมากหรือน้อยเสมอ (และตามกฎแล้วไม่ใช่กราฟทั้งหมด แต่เป็นเพียงส่วนที่อยู่ในส่วนสุดท้ายของระนาบ) . อย่างไรก็ตาม ในสิ่งต่อไปนี้ เรามักจะอ้างถึง "แผนภูมิ" มากกว่า "ร่างแผนภูมิ"

เมื่อใช้กราฟ คุณสามารถค้นหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งๆ ได้ กล่าวคือถ้าจุด x = กเป็นของขอบเขตของฟังก์ชัน y = ฉ(x)จากนั้นให้ค้นหาหมายเลข ฉ(ก)(เช่นค่าฟังก์ชันที่จุด x = ก) ควรทำเช่นนั้น ต้องผ่านจุดด้วย abscissa x = กวาดเส้นตรงขนานกับแกน y เส้นนี้จะตัดกับกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x)ณ จุดหนึ่ง; พิกัดของจุดนี้จะเท่ากับตามนิยามของกราฟ ฉ(ก)(รูปที่ 47)

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 - 2xใช้กราฟ (รูปที่ 46) เราพบว่า f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 เป็นต้น

กราฟฟังก์ชันแสดงให้เห็นลักษณะการทำงานและคุณสมบัติของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น จากการพิจารณารูปที่ 46 เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน y \u003d x 2 - 2xยอมรับ ค่าบวกที่ เอ็กซ์< 0 และที่ x > 2, ลบ - ที่ 0< x < 2; ค่าที่น้อยที่สุดการทำงาน y \u003d x 2 - 2xรับที่ x = 1.

ในการลงจุดฟังก์ชัน ฉ(x)คุณต้องค้นหาจุดทั้งหมดของระนาบ พิกัด เอ็กซ์,ที่ซึ่งเป็นไปตามสมการ y = ฉ(x). ในกรณีส่วนใหญ่เป็นไปไม่ได้เนื่องจากมีจุดดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันจึงแสดงออกมาโดยประมาณโดยมีความแม่นยำมากขึ้นหรือน้อยลง วิธีที่ง่ายที่สุดคือวิธีการลงจุดแบบหลายจุด ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่โต้แย้ง เอ็กซ์แนบ จำนวนจำกัดค่า - พูด x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k และสร้างตารางที่มีค่าที่เลือกของฟังก์ชัน

ตารางมีลักษณะดังนี้:

เมื่อรวบรวมตารางดังกล่าวแล้ว เราสามารถร่างจุดต่างๆ บนกราฟของฟังก์ชันได้ y = ฉ(x). จากนั้นเชื่อมต่อจุดเหล่านี้ด้วยเส้นเรียบ เราจะได้มุมมองกราฟของฟังก์ชันโดยประมาณ y = ฉ(x).

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าวิธีการลงจุดแบบหลายจุดนั้นไม่น่าเชื่อถืออย่างมาก ในความเป็นจริง พฤติกรรมของกราฟระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายและพฤติกรรมนอกส่วนระหว่างจุดที่มากสุดนั้นยังไม่ทราบ

ตัวอย่างที่ 1. ในการลงจุดฟังก์ชัน y = ฉ(x)มีคนรวบรวมตารางอาร์กิวเมนต์และค่าฟังก์ชัน:

ห้าจุดที่เกี่ยวข้องแสดงในรูปที่ 48.

จากตำแหน่งของจุดเหล่านี้ เขาสรุปว่ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นตรง (แสดงในรูปที่ 48 โดยเส้นประ) ข้อสรุปนี้ถือว่าเชื่อถือได้หรือไม่? เว้นแต่จะมีการพิจารณาเพิ่มเติมเพื่อสนับสนุนข้อสรุปนี้ ก็แทบจะถือว่าเชื่อถือได้ เชื่อถือได้.

เพื่อยืนยันการยืนยันของเรา ให้พิจารณาฟังก์ชัน

.

การคำนวณแสดงให้เห็นว่าค่าของฟังก์ชันนี้ที่จุด -2, -1, 0, 1, 2 อธิบายไว้ในตารางด้านบน อย่างไรก็ตาม กราฟของฟังก์ชันนี้ไม่ได้เป็นเส้นตรงเลย (แสดงในรูปที่ 49) อีกตัวอย่างหนึ่งคือฟังก์ชัน y = x + l + บาปx;ความหมายของมันอธิบายไว้ในตารางด้านบนด้วย

ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าในรูปแบบ "บริสุทธิ์" วิธีการลงจุดแบบหลายจุดนั้นไม่น่าเชื่อถือ ดังนั้นในการลงจุดฟังก์ชันที่กำหนด ตามกฎแล้ว ให้ดำเนินการดังนี้ ขั้นแรกให้ศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้ด้วยความช่วยเหลือซึ่งสามารถสร้างร่างของกราฟได้ จากนั้นโดยการคำนวณค่าของฟังก์ชันในหลายจุด (ตัวเลือกที่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่ตั้งไว้ของฟังก์ชัน) จะพบจุดที่สอดคล้องกันของกราฟ และสุดท้าย เส้นโค้งถูกวาดผ่านจุดที่สร้างขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้

เราจะพิจารณาคุณสมบัติบางอย่าง (ที่ง่ายและใช้บ่อยที่สุด) ของฟังก์ชันที่ใช้ในการค้นหาร่างของกราฟในภายหลัง และตอนนี้เราจะวิเคราะห์วิธีการที่ใช้กันทั่วไปในการลงจุดกราฟ

กราฟของฟังก์ชัน y = |f(x)|

บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องวางแผนฟังก์ชัน y = |ฉ(x)|, ที่ไหน เอฟ(x) -ต่อ ฟังก์ชันที่กำหนด. จำวิธีการนี้ทำ โดยความหมาย ค่าสัมบูรณ์สามารถเขียนตัวเลขได้

ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชัน y=|ฉ(x)|ได้จากกราฟฟังก์ชัน y = ฉ(x)ดังนี้ทุกจุดของกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x), ซึ่งลำดับที่ไม่เป็นลบ, ไม่ควรเปลี่ยนแปลง; เพิ่มเติม แทนจุดของกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x)เมื่อมีพิกัดเป็นลบ เราควรสร้างจุดที่สอดคล้องกันของกราฟของฟังก์ชัน y = -f(x)(เช่น ส่วนหนึ่งของกราฟฟังก์ชัน
y = ฉ(x)ซึ่งอยู่ใต้แกน เอ็กซ์,ควรสะท้อนอย่างสมมาตรรอบแกน เอ็กซ์).

ตัวอย่างที่ 2เขียนโครงร่างฟังก์ชัน y = |x|.

เรานำกราฟของฟังก์ชัน y = x(รูปที่ 50, a) และส่วนหนึ่งของกราฟนี้ด้วย เอ็กซ์< 0 (นอนอยู่ใต้แกน เอ็กซ์) สะท้อนรอบแกนอย่างสมมาตร เอ็กซ์. เป็นผลให้เราได้กราฟของฟังก์ชัน y = |x|(รูปที่ 50, ข).

ตัวอย่างที่ 3. เขียนโครงร่างฟังก์ชัน y = |x 2 - 2x|.

ก่อนอื่นเราวางแผนฟังก์ชัน y = x 2 - 2xกราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้น จุดยอดของพาราโบลามีพิกัด (1; -1) กราฟตัดแกน abscissa ที่จุด 0 และ 2 ในช่วง (0; 2 ) ฟังก์ชั่นใช้เวลา ค่าลบดังนั้นจึงเป็นส่วนนี้ของกราฟที่จะสะท้อนอย่างสมมาตรเกี่ยวกับแกน x รูปที่ 51 แสดงกราฟของฟังก์ชัน y \u003d |x 2 -2x |ขึ้นอยู่กับกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 2x

กราฟของฟังก์ชัน y = f(x) + g(x)

พิจารณาปัญหาของการลงจุดฟังก์ชัน y = ฉ(x) + ก(x).ถ้ากำหนดกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x)และ y = ก(x).

โปรดทราบว่าโดเมนของฟังก์ชัน y = |f(x) + g(x)| คือชุดของค่าทั้งหมดของ x ซึ่งกำหนดทั้งฟังก์ชัน y = f(x) และ y = g(x) เช่น โดเมนของนิยามนี้คือจุดตัดของโดเมนของนิยาม ฟังก์ชัน f(x ) และ g(x)

ปล่อยให้คะแนน (x 0, y 1) และ (x 0, y 2) ตามลำดับเป็นของกราฟฟังก์ชัน y = ฉ(x)และ y = ก(x)เช่น y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0)จากนั้นจุด (x0;. y1 + y2) เป็นของกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) + ก(x)(สำหรับ ฉ(x 0) + ก(x 0) = ย 1+y2),. และจุดใดๆ ของกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) + ก(x)ได้ด้วยวิธีนี้ ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) + ก(x)ได้จากกราฟฟังก์ชัน y = ฉ(x). และ y = ก(x)โดยแทนที่แต่ละจุด ( x n, y 1) กราฟิกฟังก์ชั่น y = ฉ(x)จุด (x n, y 1 + y 2),ที่ไหน y 2 = g(x n) กล่าวคือโดยการเลื่อนแต่ละจุด ( x n, y 1) กราฟฟังก์ชัน y = ฉ(x)ตามแนวแกน ที่ตามจำนวนเงิน y 1 \u003d g (x n). ในกรณีนี้จะพิจารณาเฉพาะประเด็นดังกล่าวเท่านั้น เอ็กซ์ n ซึ่งกำหนดฟังก์ชันทั้งสองไว้ y = ฉ(x)และ y = ก(x).

วิธีการพล็อตกราฟฟังก์ชันนี้ y = ฉ(x) + ก.(x) เรียกว่าการบวกกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x)และ y = ก(x)

ตัวอย่างที่ 4. ในรูป โดยวิธีการเพิ่มกราฟ กราฟของฟังก์ชันจะถูกสร้างขึ้น
y = x + ซิงก์.

เมื่อทำการพล็อตฟังก์ชัน y = x + ซิงก์เราสันนิษฐานว่า ฉ(x) = x,ก g(x) = บาปxในการสร้างกราฟฟังก์ชัน เราเลือกจุดที่มี abscissas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 ค่า f(x) = x, g(x) = ซินx, y = x + ซินxเราจะคำนวณตามจุดที่เลือกและวางผลลัพธ์ในตาราง

การสร้างกราฟของฟังก์ชันที่มีโมดูลมักจะทำให้เกิดปัญหาอย่างมากสำหรับเด็กนักเรียน อย่างไรก็ตามทุกอย่างไม่เลวร้ายนัก การจำอัลกอริทึมหลายตัวสำหรับแก้ปัญหาดังกล่าวก็เพียงพอแล้ว และคุณสามารถสร้างกราฟได้อย่างง่ายดายแม้จะดูเหมือนมากที่สุดก็ตาม ฟังก์ชันที่ซับซ้อน. มาดูกันว่าอัลกอริทึมเหล่านี้คืออะไร

1. การพล็อตฟังก์ชัน y = |f(x)|

โปรดทราบว่าชุดของค่าฟังก์ชัน y = |f(x)| : y ≥ 0 ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจะอยู่ในระนาบครึ่งบนอย่างสมบูรณ์เสมอ

การพล็อตฟังก์ชัน y = |f(x)| ประกอบด้วยสี่ขั้นตอนง่าย ๆ ดังต่อไปนี้

1) สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) อย่างรอบคอบและระมัดระวัง

2) ปล่อยให้จุดทั้งหมดของกราฟที่อยู่เหนือหรือบนแกน 0x ไม่เปลี่ยนแปลง

3) ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x แสดงสมมาตรเกี่ยวกับแกน 0x

ตัวอย่าง 1. วาดกราฟของฟังก์ชัน y = |x 2 - 4x + 3|

1) เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 - 4x + 3 เห็นได้ชัดว่ากราฟของฟังก์ชันนี้เป็นพาราโบลา ลองหาพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัดและพิกัดของจุดยอดพาราโบลากัน

x 2 - 4x + 3 = 0

x 1 = 3, x 2 = 1

ดังนั้น พาราโบลาจึงตัดแกน 0x ที่จุด (3, 0) และ (1, 0)

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

ดังนั้น พาราโบลาจึงตัดแกน 0y ที่จุด (0, 3)

พิกัดจุดยอดพาราโบลา:

x ใน \u003d - (-4/2) \u003d 2, y ใน \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1

ดังนั้น จุด (2, -1) จึงเป็นจุดยอดของพาราโบลานี้

วาดพาราโบลาโดยใช้ข้อมูลที่ได้รับ (รูปที่ 1)

2) ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x จะแสดงแบบสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน 0x

3) เราได้กราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม ( ข้าว. 2, แสดงด้วยเส้นประ).

2. การพล็อตฟังก์ชัน y = f(|x|)

โปรดทราบว่าฟังก์ชันในรูปแบบ y = f(|x|) เป็นเลขคู่:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันดังกล่าวมีความสมมาตรรอบแกน 0y

การเขียนแผนภาพฟังก์ชัน y = f(|x|) ประกอบด้วยห่วงโซ่ของการกระทำอย่างง่ายดังต่อไปนี้

1) พล็อตฟังก์ชัน y = f(x)

2) ปล่อยส่วนนั้นของกราฟที่ x ≥ 0 นั่นคือส่วนของกราฟที่อยู่ในระนาบครึ่งขวา

3) แสดงส่วนของกราฟที่ระบุในวรรค (2) สมมาตรกับแกน 0y

4) ในกราฟสุดท้าย ให้เลือกการรวมกันของเส้นโค้งที่ได้จากย่อหน้า (2) และ (3)

ตัวอย่างที่ 2 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – 4 · |x| + 3

เนื่องจาก x 2 = |x| 2 ฟังก์ชันเดิมสามารถเขียนใหม่เป็น แบบฟอร์มต่อไปนี้: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. และตอนนี้เราสามารถใช้อัลกอริทึมที่เสนอข้างต้นได้

1) เราสร้างกราฟของฟังก์ชันอย่างระมัดระวังและรอบคอบ y \u003d x 2 - 4 x + 3 (ดูเพิ่มเติมที่ ข้าว. หนึ่ง).

2) เราปล่อยส่วนนั้นของกราฟซึ่ง x ≥ 0 นั่นคือส่วนของกราฟที่อยู่ในระนาบครึ่งขวา

3) การแสดงผล ด้านขวากราฟิกสมมาตรกับแกน 0y

(รูปที่ 3).

ตัวอย่างที่ 3 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = log 2 |x|

เราใช้รูปแบบที่ให้ไว้ด้านบน

1) เราพล็อตฟังก์ชัน y = log 2 x (รูปที่ 4).

3. การพล็อตฟังก์ชัน y = |f(|x|)|

โปรดทราบว่าฟังก์ชันในรูปแบบ y = |f(|x|)| ยังเป็นด้วยซ้ำ แท้จริงแล้ว y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |ฉ(|x|)| = y(x) ดังนั้น กราฟของพวกมันจึงสมมาตรรอบแกน 0y ชุดของค่าของฟังก์ชันดังกล่าว: y ≥ 0. ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจึงอยู่ในระนาบครึ่งบนอย่างสมบูรณ์

ในการลงจุดฟังก์ชัน y = |f(|x|)| คุณต้อง:

1) สร้างกราฟที่เรียบร้อยของฟังก์ชัน y = f(|x|)

2) ปล่อยให้ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านบนหรือบนแกน 0x ไม่เปลี่ยนแปลง

3) ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x ควรแสดงอย่างสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน 0x

4) ในกราฟสุดท้าย ให้เลือกการรวมกันของเส้นโค้งที่ได้จากย่อหน้า (2) และ (3)

ตัวอย่างที่ 4 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) โปรดทราบว่า x 2 = |x| 2. ดังนั้น แทนที่จะเป็นฟังก์ชันเดิม y = -x 2 + 2|x| - หนึ่ง

คุณสามารถใช้ฟังก์ชัน y = -|x| 2 + 2|x| – 1 เนื่องจากกราฟเหมือนกัน

เราสร้างกราฟ y = -|x| 2 + 2|x| – 1. สำหรับสิ่งนี้ เราใช้อัลกอริทึม 2

ก) เราพล็อตฟังก์ชัน y \u003d -x 2 + 2x - 1 (รูปที่ 6).

b) เราปล่อยให้ส่วนนั้นของกราฟซึ่งอยู่ในระนาบครึ่งขวา

ค) แสดงส่วนผลลัพธ์ของกราฟแบบสมมาตรกับแกน 0y

ง) กราฟผลลัพธ์จะแสดงในรูปที่มีเส้นประ (รูปที่ 7).

2) ไม่มีจุดที่อยู่เหนือแกน 0x เราจะปล่อยให้จุดบนแกน 0x ไม่เปลี่ยนแปลง

3) ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x จะแสดงแบบสมมาตรเทียบกับ 0x

4) กราฟผลลัพธ์จะแสดงในรูปด้วยเส้นประ (รูปที่ 8).

ตัวอย่างที่ 5 เขียนกราฟฟังก์ชัน y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) ก่อนอื่นคุณต้องพล็อตฟังก์ชัน y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) ในการทำเช่นนี้ เรากลับไปที่อัลกอริทึม 2

a) พล็อตฟังก์ชัน y = (2x – 4) / (x + 3) อย่างระมัดระวัง (รูปที่ 9).

โปรดทราบว่าฟังก์ชันนี้เป็นเศษส่วนเชิงเส้นและกราฟของมันคือไฮเปอร์โบลา ในการสร้างเส้นโค้ง ก่อนอื่นคุณต้องหาเส้นกำกับของกราฟ แนวนอน - y \u003d 2/1 (อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่ x ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน) แนวตั้ง - x \u003d -3

2) ส่วนของแผนภูมิที่อยู่ด้านบนหรือบนแกน 0x จะไม่มีการเปลี่ยนแปลง

3) ส่วนของแผนภูมิที่อยู่ด้านล่างแกน 0x จะแสดงแบบสมมาตรเทียบกับ 0x

4) กราฟสุดท้ายแสดงในรูป (รูปที่ 11).

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา