วิธีแปลงลอการิทึมให้เป็นฐานร่วม คุณสมบัติของลอการิทึมและตัวอย่างการแก้ปัญหา

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดีในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือ จากการสอบถามหรือการร้องขอของประชาชน หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

\(a^(b)=c\) \(\ลูกศรซ้าย\) \(\log_(a)(c)=b\)

มาอธิบายให้ง่ายกว่านี้กันดีกว่า ตัวอย่างเช่น \(\log_(2)(8)\) เท่ากับพลังซึ่งจะต้องยก \(2\) ขึ้นเพื่อให้ได้ \(8\) จากนี้จะเห็นชัดเจนว่า \(\log_(2)(8)=3\)

ตัวอย่าง:	\(\log_(5)(25)=2\)	เพราะ \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	เพราะ \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	เพราะ \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

อาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมใดๆ มี “กายวิภาคศาสตร์” ดังต่อไปนี้:

อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมมักจะเขียนที่ระดับของมัน และฐานจะเขียนเป็นตัวห้อยใกล้กับเครื่องหมายลอการิทึม และรายการนี้อ่านได้ดังนี้: "ลอการิทึมของยี่สิบห้าถึงฐานห้า"

วิธีการคำนวณลอการิทึม?

ในการคำนวณลอการิทึมคุณต้องตอบคำถาม: ควรยกฐานให้ยกกำลังเท่าใดจึงจะได้รับอาร์กิวเมนต์?

ตัวอย่างเช่น, คำนวณลอการิทึม: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) จ) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(4\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(16\)? เห็นได้ชัดว่าคนที่สอง นั่นเป็นเหตุผล:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(\sqrt(5)\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(1\)? พลังอะไรที่ทำให้ใครก็ตามเป็นอันดับหนึ่ง? แน่นอนเป็นศูนย์!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(\sqrt(7)\)? ประการแรก จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(3\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(\sqrt(3)\)? จากที่เรารู้ว่ามันคืออะไร พลังเศษส่วนและดังนั้นรากที่สองคือพลังของ \(\frac(1)(2)\)

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

ตัวอย่าง : คำนวณลอการิทึม \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

สารละลาย :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		เราจำเป็นต้องหาค่าลอการิทึม แสดงว่ามันเป็น x ตอนนี้ลองใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: \(\log_(a)(c)=b\) \(\ลูกศรซ้าย\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		อะไรเชื่อมต่อ \(4\sqrt(2)\) และ \(8\)? สอง เนื่องจากตัวเลขทั้งสองสามารถแสดงด้วยสองได้: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		ทางด้านซ้าย เราใช้คุณสมบัติของดีกรี: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) และ \((a^(m))^(n)= เป็น^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		ฐานเท่ากัน เราจะก้าวไปสู่ความเท่าเทียมกันของตัวบ่งชี้
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \(\frac(2)(5)\)
		ผลลัพธ์ที่ได้คือค่าของลอการิทึม

คำตอบ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

เหตุใดลอการิทึมจึงถูกประดิษฐ์ขึ้น?

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ เรามาแก้สมการกันดีกว่า: \(3^(x)=9\) เพียงจับคู่ \(x\) เพื่อให้ความเท่าเทียมกันทำงานได้ แน่นอน \(x=2\)

ตอนนี้แก้สมการ: \(3^(x)=8\).ทำไม เท่ากับ x- นั่นคือประเด็น

คนที่ฉลาดที่สุดจะพูดว่า: “X น้อยกว่าสองนิดหน่อย” จะเขียนตัวเลขนี้ได้อย่างไร? เพื่อตอบคำถามนี้ จึงมีการประดิษฐ์ลอการิทึมขึ้นมา ต้องขอบคุณเขาที่ทำให้คำตอบตรงนี้สามารถเขียนได้เป็น \(x=\log_(3)(8)\)

ฉันอยากจะเน้นว่า \(\log_(3)(8)\) ชอบ ลอการิทึมใดๆ ก็เป็นเพียงตัวเลข- ใช่ มันดูแปลกแต่มันสั้น เพราะถ้าเราอยากจะเขียนมันออกมาในรูปแบบ ทศนิยมจากนั้นจะมีลักษณะดังนี้: \(1.892789260714....\)

ตัวอย่าง : แก้สมการ \(4^(5x-4)=10\)

สารละลาย :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) และ \(10\) ไม่สามารถนำมาเป็นฐานเดียวกันได้ ซึ่งหมายความว่าคุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีลอการิทึม ลองใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: \(a^(b)=c\) \(\ลูกศรซ้าย\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		ลองพลิกสมการเพื่อให้ X อยู่ทางซ้าย
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		ก่อนเรา. ลองย้าย \(4\) ไปทางขวากัน และอย่ากลัวลอการิทึม ให้ปฏิบัติเหมือนเลขธรรมดา
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		หารสมการด้วย 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		นี่คือรากของเรา ใช่ มันดูผิดปกติแต่พวกเขาไม่ได้เลือกคำตอบ

คำตอบ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ลอการิทึมทศนิยมและลอการิทึมธรรมชาติ

ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความของลอการิทึม ฐานของมันคือค่าใดก็ได้ จำนวนบวกยกเว้นหน่วย \((a>0, a\neq1)\) และในบรรดาฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมด มี 2 ฐานที่เกิดขึ้นบ่อยมากจนมีการใช้สัญกรณ์สั้นพิเศษสำหรับลอการิทึม:

ลอการิทึมธรรมชาติ: ลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขของออยเลอร์ \(e\) (เท่ากับประมาณ \(2.7182818…\)) และลอการิทึมเขียนเป็น \(\ln(a)\)

นั่นคือ \(\ln(a)\) เหมือนกับ \(\log_(e)(a)\)

ลอการิทึมทศนิยม: ลอการิทึมที่มีฐานเป็น 10 จะถูกเขียนเป็น \(\lg(a)\)

นั่นคือ \(\lg(a)\) เหมือนกับ \(\log_(10)(a)\)โดยที่ \(a\) คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

ลอการิทึมมีคุณสมบัติหลายอย่าง หนึ่งในนั้นเรียกว่า “พื้นฐาน เอกลักษณ์ลอการิทึม" และมีลักษณะดังนี้:

\(a^(\log_(ก)(c))=c\)

คุณสมบัตินี้เป็นไปตามคำจำกัดความโดยตรง เรามาดูกันว่าสูตรนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร

มาจำกัน หมายเหตุสั้น ๆคำจำกัดความของลอการิทึม:

ถ้า \(a^(b)=c\) ดังนั้น \(\log_(a)(c)=b\)

นั่นคือ \(b\) เหมือนกับ \(\log_(a)(c)\) จากนั้นเราสามารถเขียน \(\log_(a)(c)\) แทน \(b\) ในสูตร \(a^(b)=c\) ปรากฎว่า \(a^(\log_(a)(c))=c\) - ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมหลัก

คุณสามารถค้นหาคุณสมบัติอื่นๆ ของลอการิทึมได้ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถลดความซับซ้อนและคำนวณค่าของนิพจน์ด้วยลอการิทึมซึ่งยากต่อการคำนวณโดยตรง

ตัวอย่าง : ค้นหาค่าของนิพจน์ \(36^(\log_(6)(5))\)

สารละลาย :

คำตอบ : \(25\)

จะเขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมได้อย่างไร?

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ลอการิทึมใดๆ เป็นเพียงตัวเลข การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน โดยตัวเลขใดๆ ก็ตามสามารถเขียนเป็นลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่า \(\log_(2)(4)\) เท่ากับสอง จากนั้นคุณสามารถเขียน \(\log_(2)(4)\) แทนสองได้

แต่ \(\log_(3)(9)\) ก็เท่ากับ \(2\) เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียน \(2=\log_(3)(9)\) ได้เช่นกัน ในทำนองเดียวกันด้วย \(\log_(5)(25)\) และด้วย \(\log_(9)(81)\) ฯลฯ นั่นคือปรากฎว่า

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ดังนั้น หากจำเป็น เราก็สามารถเขียนสองตัวเป็นลอการิทึมโดยมีฐานใดๆ ก็ได้ (แม้แต่ในสมการ แม้แต่ในนิพจน์ แม้แต่ในอสมการก็ตาม) เราก็แค่เขียนฐานกำลังสองเป็นอาร์กิวเมนต์

เช่นเดียวกับทริปเปิล โดยสามารถเขียนเป็น \(\log_(2)(8)\) หรือเป็น \(\log_(3)(27)\) หรือเป็น \(\log_(4)( 64) \)... ที่นี่เราเขียนฐานในคิวบ์เป็นอาร์กิวเมนต์:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

และด้วยสี่:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

และด้วยลบหนึ่ง:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

และหนึ่งในสาม:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

จำนวนใดๆ \(a\) สามารถแสดงเป็นลอการิทึมที่มีฐาน \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

ตัวอย่าง : ค้นหาความหมายของสำนวน \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

สารละลาย :

คำตอบ : \(1\)

(จากภาษากรีก γόγος - "คำ", "ความสัมพันธ์" และ ἀριθμός - "ตัวเลข") ขขึ้นอยู่กับ ก(บันทึก α ข) เรียกว่าตัวเลขดังกล่าว ค, และ ข= คนั่นคือ บันทึกบันทึก α ข=คและ ข=กคเทียบเท่ากัน ลอการิทึมสมเหตุสมผลถ้า a > 0, a ≠ 1, b > 0

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลอการิทึมตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กกำหนดเป็นเลขชี้กำลังซึ่งจะต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)

จากสูตรนี้ จะได้ว่าการคำนวณ x= log α ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ a x =b

ตัวอย่างเช่น:

บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 8 = 2 3

ให้เราเน้นว่าการกำหนดลอการิทึมที่ระบุทำให้สามารถระบุได้ทันที ค่าลอการิทึมเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมทำหน้าที่เป็นกำลังหนึ่งของฐาน ที่จริงแล้ว การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ- เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อของลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อ พลังของตัวเลข.

เรียกว่าการคำนวณลอการิทึม ลอการิทึม- ลอการิทึมคือ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กำลังหาลอการิทึม เมื่อพิจารณาลอการิทึม ผลคูณของปัจจัยจะถูกแปลงเป็นผลรวมของพจน์

ศักยภาพคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผกผันของลอการิทึม ในระหว่างการเพิ่มศักยภาพ ฐานที่กำหนดจะถูกยกขึ้นตามระดับของการแสดงออกซึ่งจะดำเนินการเพิ่มศักยภาพ ในกรณีนี้ ผลรวมของพจน์จะเปลี่ยนเป็นผลคูณของปัจจัย

ลอการิทึมจริงที่มีฐาน 2 (ไบนารี่) มักใช้กันบ่อยครั้ง e เลขออยเลอร์ e γ 2.718 ( ลอการิทึมธรรมชาติ) และ 10 (ทศนิยม)

บน ในขั้นตอนนี้ขอแนะนำให้พิจารณา ตัวอย่างลอการิทึมบันทึก 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

และรายการ lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากในตอนแรกจะมีการวางจำนวนลบไว้ใต้เครื่องหมายลอการิทึมในวินาที - จำนวนลบในฐานและในสาม - ทั้งจำนวนลบภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมและหน่วยในฐาน

เงื่อนไขในการกำหนดลอการิทึม

ควรพิจารณาแยกเงื่อนไข a > 0, a ≠ 1, b > 0.ภายใต้ที่เราได้รับ คำจำกัดความของลอการิทึมลองพิจารณาว่าเหตุใดจึงมีการใช้ข้อจำกัดเหล่านี้ ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x = log α จะช่วยเราในเรื่องนี้ ขเรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของลอการิทึมที่ระบุข้างต้นโดยตรง

เอาล่ะเอาเงื่อนไข ก≠1- เนื่องจากหนึ่งยกกำลังใด ๆ เท่ากับหนึ่ง ดังนั้นความเท่าเทียมกัน x=log α ขจะอยู่ได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น ข=1แต่บันทึก 1 1 จะเป็นจำนวนจริงใดๆ เราดำเนินการเพื่อขจัดความคลุมเครือนี้ ก≠1.

ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไข ก>0- ที่ ก=0ตามสูตรของลอการิทึมจะมีได้ก็ต่อเมื่อ ข=0- และตามนั้น เข้าสู่ระบบ 0 0สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ เนื่องจากศูนย์ถึงกำลังที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ จะเป็นศูนย์ ความคลุมเครือนี้สามารถกำจัดได้ตามเงื่อนไข ก≠0- และเมื่อไร ก<0 เราจะต้องปฏิเสธการวิเคราะห์ค่าลอการิทึมที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะ เนื่องจากระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะถูกกำหนดไว้สำหรับฐานที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงมีการกำหนดเงื่อนไขไว้ ก>0.

และเงื่อนไขสุดท้าย ข>0ตามมาด้วยความไม่เท่าเทียมกัน ก>0เนื่องจาก x=log α ขและค่าของดีกรีที่มีฐานบวก กเป็นบวกเสมอ

คุณสมบัติของลอการิทึม

ลอการิทึมโดดเด่นด้วยความโดดเด่น คุณสมบัติซึ่งนำไปสู่การใช้อย่างแพร่หลายเพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณที่ต้องใช้ความอุตสาหะอย่างมาก เมื่อย้าย "เข้าสู่โลกแห่งลอการิทึม" การคูณจะเปลี่ยนเป็นการบวกที่ง่ายกว่ามาก การหารจะเปลี่ยนเป็นการลบ และการยกกำลังและการแยกรากจะถูกเปลี่ยนตามลำดับเป็นการคูณและการหารด้วยเลขชี้กำลัง

การกำหนดลอการิทึมและตารางค่า (สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ) ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1614 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต John Napier ตารางลอการิทึมที่ขยายและให้รายละเอียดโดยนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม และยังคงมีความเกี่ยวข้องจนกระทั่งมีการใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์

คุณสมบัติหลัก.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

บริเวณที่เหมือนกัน

ล็อก6 4 + ล็อก6 9.

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x >

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ดูเพิ่มเติมที่:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขยกกำลังและวันเดือนปีเกิดของ Leo Tolstoy

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า

ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ก็จะไม่สามารถแก้ไขปัญหาร้ายแรงได้ ปัญหาลอการิทึม- นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ การทดสอบ- ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

สังเกตได้ง่ายว่า กฎข้อสุดท้ายตามมาสองอันแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าจะ ตัวอย่างสุดท้ายจำเป็นต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น

สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม

เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้หาได้ยากในสูตรทั่วไป การแสดงออกทางตัวเลข- คุณสามารถประเมินได้ว่าสะดวกเพียงใดโดยการตัดสินใจเท่านั้น