การลบเวกเตอร์ในวิชาฟิสิกส์เป็นอย่างไร กฎการเพิ่ม collinear vectors

ความคมชัดมาตรฐาน: "เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรง" ซึ่งมักจะเป็นขีดจำกัดของความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์ของบัณฑิต ใครต้องการ "ส่วนกำกับ" บางประเภท?

แต่ในความเป็นจริง เวกเตอร์คืออะไร และทำไมถึงเป็นอย่างนั้น?
พยากรณ์อากาศ. "ลมตะวันตกเฉียงเหนือ ความเร็ว 18 เมตรต่อวินาที" เห็นด้วยทั้งทิศทางของลม (ที่พัดมาจาก) และโมดูล (นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์) ความเร็วของมัน

ปริมาณที่ไม่มีทิศทางเรียกว่าสเกลาร์ น้ำหนัก, การทำงาน, ค่าไฟฟ้าไม่ได้ส่งไปไหน มีลักษณะเฉพาะเท่านั้น ค่าตัวเลข- "กี่กิโลกรัม" หรือ "กี่จูล"

ปริมาณทางกายภาพที่ไม่เพียงแต่ ค่าสัมบูรณ์แต่ยังเรียกทิศทางด้วย

ความเร็ว แรง ความเร่ง - เวกเตอร์ สำหรับพวกเขา มันสำคัญ "เท่าไหร่" และสำคัญ "ที่ไหน" เช่น อัตราเร่ง ตกฟรี มุ่งสู่พื้นผิวโลกและมีค่าเท่ากับ 9.8 m / s 2 โมเมนตัมความตึงเครียด สนามไฟฟ้า, การเหนี่ยวนำ สนามแม่เหล็กเป็นปริมาณเวกเตอร์ด้วย

จำได้มั้ย ปริมาณทางกายภาพแสดงด้วยตัวอักษรละตินหรือกรีก ลูกศรเหนือตัวอักษรระบุว่าปริมาณเป็นเวกเตอร์:

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง
รถกำลังเคลื่อนจาก A ไป B ผลลัพธ์ที่ได้คือการเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B นั่นคือการเคลื่อนที่โดยเวกเตอร์

ตอนนี้มันชัดเจนแล้วว่าทำไมเวกเตอร์ถึงเป็นส่วนกำกับ สังเกตให้ดี จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คือตำแหน่งที่ลูกศรอยู่ ความยาวเวกเตอร์เรียกว่าความยาวของส่วนนี้ กำหนด: or

จนถึงตอนนี้ เราได้ทำงานกับปริมาณสเกลาร์ตามกฎของเลขคณิตและพีชคณิตเบื้องต้น เวกเตอร์เป็นแนวคิดใหม่ นี่คือคลาสที่แตกต่าง วัตถุทางคณิตศาสตร์. พวกเขามีกฎเกณฑ์ของตัวเอง

กาลครั้งหนึ่งเราไม่รู้เรื่องตัวเลขด้วยซ้ำ เริ่มรู้จักกับพวกเขาใน เกรดต่ำกว่า. ปรากฎว่าตัวเลขสามารถเปรียบเทียบกัน บวก ลบ คูณ และหารได้ เราได้เรียนรู้ว่ามีเลขหนึ่งและเลขศูนย์
ทีนี้เรามารู้จักเวกเตอร์กัน

แนวคิดของ "มากกว่า" และ "น้อยกว่า" ไม่มีอยู่จริงสำหรับเวกเตอร์ - ท้ายที่สุดแล้วทิศทางของพวกมันอาจแตกต่างกัน คุณเปรียบเทียบได้เฉพาะความยาวของเวกเตอร์เท่านั้น

แต่แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์คือ
เท่ากันเรียกว่าเวกเตอร์มี ยาวเท่ากันและทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์สามารถเคลื่อนที่ขนานกับตัวมันเองไปยังจุดใดก็ได้ในระนาบ
เดี่ยวเรียกว่าเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 Zero - เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับศูนย์นั่นคือจุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุด

สะดวกที่สุดในการทำงานกับเวกเตอร์ใน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด - อันเดียวกับที่เราวาดกราฟของฟังก์ชัน แต่ละจุดในระบบพิกัดสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว - พิกัด x และ y, abscissa และ ordinate
เวกเตอร์ยังได้รับจากสองพิกัด:

ในที่นี้ พิกัดของเวกเตอร์เขียนในวงเล็บ - ใน x และ y
หาได้ง่าย: พิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ลบด้วยพิกัดของจุดเริ่มต้น

หากกำหนดพิกัดเวกเตอร์ จะพบความยาวของมันโดยสูตร

การเพิ่มเวกเตอร์

มีสองวิธีในการเพิ่มเวกเตอร์

หนึ่ง . กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในการเพิ่มเวกเตอร์ และ เราวางต้นกำเนิดของทั้งสองไว้ที่จุดเดียวกัน เรากรอกสี่เหลี่ยมด้านขนานและวาดเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจากจุดเดียวกัน นี่จะเป็นผลรวมของเวกเตอร์และ

จำนิทานเกี่ยวกับหงส์ มะเร็ง และหอกได้หรือไม่? พวกเขาพยายามอย่างหนัก แต่ไม่เคยย้ายรถเข็น ผลรวมเวกเตอร์ของแรงที่พวกเขาใช้กับเกวียนมีค่าเท่ากับศูนย์

2. วิธีที่สองในการเพิ่มเวกเตอร์คือกฎสามเหลี่ยม ลองหาเวกเตอร์และ . เราเพิ่มจุดเริ่มต้นของวินาทีที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก ตอนนี้เรามาเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของครั้งแรกกับจุดสิ้นสุดของวินาที นี่คือผลรวมของเวกเตอร์และ

ตามกฎเดียวกัน คุณสามารถเพิ่มเวกเตอร์ได้หลายตัว เราแนบพวกเขาทีละคนแล้วเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของสิ่งแรกกับจุดสิ้นสุดของคนสุดท้าย

ลองนึกภาพว่าคุณกำลังเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B จาก B ไปยัง C จาก C ไปยัง D จากนั้นไปยัง E และไปยัง F ผลลัพธ์สุดท้ายของการกระทำเหล่านี้คือการย้ายจาก A ไป F

เมื่อเพิ่มเวกเตอร์และเราจะได้รับ:

การลบเวกเตอร์

เวกเตอร์มีทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ ความยาวของเวกเตอร์และเท่ากัน

ทีนี้ก็ชัดเจนว่าการลบเวกเตอร์คืออะไร ผลต่างของเวกเตอร์ และ คือผลรวมของเวกเตอร์กับเวกเตอร์

คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

การคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวน k ส่งผลให้เวกเตอร์ที่มีความยาว k คูณแตกต่างจากความยาว เป็นทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ถ้า k เหนือศูนย์และอยู่ตรงข้ามถ้า k น้อยกว่าศูนย์

ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์

เวกเตอร์สามารถคูณได้ไม่เพียง แต่ด้วยตัวเลขเท่านั้น แต่ยังคูณด้วยกันเองด้วย

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เป็นผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

ให้ความสนใจ - เราคูณเวกเตอร์สองตัว แล้วเราได้สเกลาร์ นั่นคือตัวเลข ตัวอย่างเช่น ในวิชาฟิสิกส์ งานเครื่องกลเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว - แรงและการกระจัด:

ถ้าเวกเตอร์ตั้งฉาก ผลคูณดอทของพวกมันจะเป็นศูนย์
และนี่คือวิธีแสดงผลคูณสเกลาร์ในรูปของพิกัดของเวกเตอร์และ:

จากสูตรของ สินค้าจุดคุณสามารถหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้:

สูตรนี้สะดวกเป็นพิเศษในมิติภาพสามมิติ ตัวอย่างเช่น ในปัญหา 14 สอบโปรไฟล์ในวิชาคณิตศาสตร์ คุณต้องหามุมระหว่างเส้นตัดกันหรือระหว่างเส้นกับระนาบ ปัญหาที่ 14 มักจะแก้ไขได้เร็วกว่าวิธีเวกเตอร์หลายเท่าตัวกว่าแบบคลาสสิก

ที่ หลักสูตรโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ จะศึกษาเฉพาะผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เท่านั้น
ปรากฎว่านอกจากสเกลาร์แล้ว ยังมีผลคูณเวกเตอร์ด้วย เมื่อได้เวกเตอร์จากการคูณเวกเตอร์สองตัว ใครสอบผ่านวิชาฟิสิกส์ รู้ว่าแรงลอเรนซ์และแรงแอมแปร์คืออะไร สูตรสำหรับการค้นหาแรงเหล่านี้รวมถึงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ทุกประการ

เวกเตอร์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์มาก คุณจะมั่นใจในสิ่งนี้ในหลักสูตรแรก

คำนิยาม

การบวกเวกเตอร์และดำเนินการตาม กฎสามเหลี่ยม.

ผลรวม สองเวกเตอร์และเวกเตอร์ที่สามดังกล่าวเรียกว่าจุดเริ่มต้นซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดโดยมีเงื่อนไขว่าจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์และจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตรงกัน (รูปที่ 1)

สำหรับการเพิ่มเติม เวกเตอร์กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ใช้เช่นกัน

คำนิยาม

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน- ถ้าเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์สองตัวนำไปสู่จุดกำเนิดร่วม เวกเตอร์จะตรงกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ ยู (รูปที่ 2) นอกจากนี้ จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ยังตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่กำหนด

คำนิยาม

เวกเตอร์นี้เรียกว่า เวกเตอร์ตรงข้ามเป็นเวกเตอร์ถ้ามัน collinearเวกเตอร์ เท่ากับความยาว แต่มีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์

การดำเนินการเพิ่มเวกเตอร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

คำนิยาม

ความแตกต่าง เวกเตอร์และเวกเตอร์ถูกเรียกเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข: (รูปที่ 3)

คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

คำนิยาม

งาน เวกเตอร์ ต่อจำนวนเรียกว่าเวกเตอร์ที่ตรงตามเงื่อนไข:

คุณสมบัติของการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข:

ในที่นี้คุณคือเวกเตอร์ตามใจชอบ, และเป็นตัวเลขใดๆ.

อวกาศยุคลิด(อีกด้วย อวกาศยุคลิด) - ในความหมายดั้งเดิม พื้นที่ซึ่งอธิบายคุณสมบัติ สัจพจน์ เรขาคณิตแบบยุคลิด. ในกรณีนี้จะถือว่าที่ว่างมี มิติเท่ากับ 3

ในความหมายสมัยใหม่ ในความหมายทั่วไป มันสามารถแสดงถึงวัตถุที่คล้ายคลึงและเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอย่างใดอย่างหนึ่ง: ขอบเขตมิติ จริง ช่องว่างเวกเตอร์ด้วยความแน่นอนในเชิงบวก ผลิตภัณฑ์สเกลาร์, หรือ พื้นที่เมตริกสอดคล้องกับพื้นที่เวกเตอร์ดังกล่าว ในบทความนี้ คำจำกัดความแรกจะเป็นคำจำกัดความเริ่มต้น

ก็มักจะใช้พื้นที่มิติแบบยุคลิด (ถ้าชัดเจนจากบริบทว่าพื้นที่นั้นมีโครงสร้างแบบยุคลิด)

การกำหนดสเปซแบบยุคลิดนั้นง่ายที่สุดที่จะใช้เป็นแนวคิดหลัก สินค้าจุด. ปริภูมิแบบยุคลิดถูกกำหนดเป็น ขอบเขตมิติ ช่องว่างเวกเตอร์ข้างบน สนาม ตัวเลขจริง, ซึ่งเวกเตอร์ ฟังก์ชันมูลค่าจริงด้วยคุณสมบัติ 3 ประการดังนี้

แนบพื้นที่ซึ่งสอดคล้องกับเวคเตอร์สเปซดังกล่าว เรียกว่า สเปซที่สัมพันธ์กันแบบยุคลิด หรือเรียกง่ายๆ ว่าสเปซแบบยุคลิด .

ตัวอย่างของสเปซแบบยุคลิดคือสเปซที่ประกอบด้วยความเป็นไปได้ทั้งหมด น-โอเค ผลคูณสเกลาร์จำนวนจริงซึ่งถูกกำหนดโดยสูตร

พิกัดพื้นฐานและเวกเตอร์

พื้นฐาน (ภาษากรีกอื่น ๆβασις, พื้นฐาน) - ชุดของเช่น เวกเตอร์ใน ช่องว่างเวกเตอร์ว่าเวกเตอร์ใดๆ ของสเปซนี้สามารถแสดงเป็น ชุดค่าผสมเชิงเส้นเวกเตอร์จากชุดนี้ - พื้นฐานเวกเตอร์.

ในกรณีที่พื้นฐานเป็นอนันต์ แนวคิดของ "การรวมเชิงเส้น" จะต้องได้รับการชี้แจง สิ่งนี้นำไปสู่คำจำกัดความสองประเภทหลัก:

พื้นฐานฮาเมลซึ่งมีคำจำกัดความพิจารณาเฉพาะชุดค่าผสมเชิงเส้นจำกัด พื้นฐาน Hamel ใช้เป็นหลักในพีชคณิตนามธรรม (โดยเฉพาะในพีชคณิตเชิงเส้น)

พื้นฐานชอเดอร์ซึ่งคำจำกัดความยังพิจารณาผลรวมเชิงเส้นแบบอนันต์ กล่าวคือ การขยายตัวใน อันดับ. คำจำกัดความนี้ใช้เป็นหลักในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน โดยเฉพาะสำหรับ ฮิลเบิร์ตสเปซ,

ในพื้นที่จำกัดมิติ พื้นฐานทั้งสองประเภทตรงกัน

พิกัดเวกเตอร์เป็นสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้เท่านั้น ชุดค่าผสมเชิงเส้น ขั้นพื้นฐาน เวกเตอร์ในรายการที่เลือก ระบบพิกัดเท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนด

พิกัดของเวกเตอร์อยู่ที่ไหน

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์

การดำเนินงานสอง เวกเตอร์ซึ่งผลที่ได้คือ ตัวเลข[เมื่อพิจารณาเวกเตอร์ มักจะเรียกตัวเลข สเกลาร์] ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดและกำหนดความยาวของเวกเตอร์แฟคเตอร์และ มุมระหว่างพวกเขา. การดำเนินการนี้สอดคล้องกับการคูณ ความยาวเวกเตอร์ xบน การฉายภาพเวกเตอร์ yต่อเวกเตอร์ x. การดำเนินการนี้มักจะถือว่าเป็น สับเปลี่ยนและ เชิงเส้นสำหรับแต่ละปัจจัย

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์สองตัวมีค่าเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของพิกัดตามลำดับ:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

นี่คือ pseudoctor, ตั้งฉากระนาบที่สร้างด้วยสองปัจจัยซึ่งเป็นผลมาจาก การดำเนินการไบนารี"การคูณเวกเตอร์" มากกว่า เวกเตอร์ในรูปแบบ 3D อวกาศยุคลิด. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่มีคุณสมบัติ การสับเปลี่ยนและ ความเชื่อมโยง(เป็น ต่อต้านการเปลี่ยนแปลง) และในทางตรงกันข้ามกับ ผลคูณดอทของเวกเตอร์, เป็นเวกเตอร์ ใช้กันอย่างแพร่หลายในการใช้งานด้านเทคนิคและทางกายภาพมากมาย ตัวอย่างเช่น, โมเมนตัมเชิงมุมและ ลอเรนซ์ ฟอร์ซเขียนทางคณิตศาสตร์เป็นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ผลคูณไขว้มีประโยชน์สำหรับการ "วัด" ความตั้งฉากของเวกเตอร์ - โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ข้ามของเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของพวกมันหากตั้งฉากและจะลดลงเป็นศูนย์หากเวกเตอร์ขนานหรือต้านขนาน

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สามารถคำนวณเวกเตอร์สองตัวโดยใช้ ดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์

สินค้าผสม

สินค้าผสม เวกเตอร์ -ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เวกเตอร์บน ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เวกเตอร์และ:

บางครั้งก็เรียกว่า ผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามเท่าเวกเตอร์ เห็นได้ชัดว่าเนื่องจากผลลัพธ์คือ สเกลาร์(อย่างแม่นยำมากขึ้น - สเกลาร์เทียม).

ความรู้สึกทางเรขาคณิต:โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสมเป็นตัวเลขเท่ากับปริมาตร ขนานกันมีการศึกษา เวกเตอร์ .สินค้าผสมเวกเตอร์สามตัวสามารถหาได้จากดีเทอร์มีแนนต์

เครื่องบินในอวกาศ

เครื่องบิน - พื้นผิวพีชคณิตลำดับแรก: in ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนตั้งเครื่องบินได้ สมการปริญญาแรก

คุณสมบัติบางประการของระนาบ

เครื่องบิน - พื้นผิวซึ่งประกอบด้วย โดยตรง, เชื่อมต่อใด ๆ คะแนน;

ระนาบสองระนาบขนานหรือตัดกันเป็นเส้นตรง

เส้นขนานกับระนาบหรือตัดกันที่จุดหนึ่งหรืออยู่บนระนาบ

เส้นสองเส้นตั้งฉากกับระนาบเดียวกันขนานกัน

ระนาบสองระนาบตั้งฉากกับเส้นเดียวกันขนานกัน

ในทำนองเดียวกัน เซ็กเมนต์และ ช่วงเวลาระนาบที่ไม่มีจุดสุดโต่งสามารถเรียกได้ว่าระนาบช่วงเวลาหรือระนาบเปิด

สมการทั่วไป (สมบูรณ์) ของระนาบ

โดยที่ และ เป็นค่าคงที่และในขณะเดียวกันก็ไม่เท่ากับศูนย์ ใน เวกเตอร์รูปร่าง:

เวกเตอร์รัศมีของจุดอยู่ที่ไหน, เวกเตอร์ ตั้งฉากกับระนาบ (เวกเตอร์ปกติ) ไกด์โคไซน์ เวกเตอร์ :

เวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB)\) สามารถมองได้ว่าเป็นการย้ายจุดจากตำแหน่ง \(A\) (จุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว) ไปยังตำแหน่ง \(B\) (สิ้นสุดการเคลื่อนไหว) นั่นคือวิถีการเคลื่อนที่ในกรณีนี้ไม่สำคัญ เฉพาะจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเท่านั้นที่สำคัญ!

\(\blacktriangleright\) เวกเตอร์สองตัวจะวางซ้อนกันหากอยู่บนเส้นเดียวกันหรือบนเส้นขนานสองเส้น
มิฉะนั้น เวกเตอร์จะเรียกว่าไม่ใช่แบบคอลลิเนียร์

\(\blacktriangleright\) เวกเตอร์ collinear สองตัวเรียกว่า codirectional ถ้าทิศทางเหมือนกัน
ถ้าทิศตรงข้ามเรียกว่าทิศตรงกันข้าม

กฎการเพิ่ม เวกเตอร์ collinear:

ร่วมทิศทาง จบแรก. ผลรวมของพวกมันคือเวกเตอร์ ซึ่งจุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก และจุดสิ้นสุดเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของอันที่สอง (รูปที่ 1)

\(\blacktriangleright\) เมื่อต้องการเพิ่มสอง ทิศตรงข้ามเวกเตอร์ คุณสามารถเลื่อนเวกเตอร์ที่สองจาก เริ่มแรก. จากนั้นผลรวมของพวกมันคือเวกเตอร์ ซึ่งจุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสอง ความยาวเท่ากับผลต่างของความยาวของเวกเตอร์ ทิศทางตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ที่ยาวกว่า (รูปที่ 2)

กฎสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ collinear \(\overrightarrow (a)\) และ \(\overrightarrow(b)\) :

\(\blacktriangleright\) กฎสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)

จำเป็นต้องเลื่อนเวกเตอร์ \(\overrightarrow (b)\) จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \(\overrightarrow (a)\) จากนั้นผลรวมคือเวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ \(\overrightarrow (a)\) และซึ่งจุดสิ้นสุดเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \(\overrightarrow (b)\)

\(\blacktriangleright\) กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 4)

จำเป็นต้องเลื่อนเวกเตอร์ \(\overrightarrow (b)\) จากจุดเริ่มต้นของ vector \(\overrightarrow (a)\) แล้วผลรวม \(\overrightarrow (a)+\overrightarrow (b)\)เป็นเวกเตอร์ที่ประจวบกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ \(\overrightarrow (a)\) และ \(\overrightarrow (b)\) (จุดเริ่มต้นซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสอง)

\(\blacktriangleright\) เพื่อค้นหาความแตกต่างของเวกเตอร์สองตัว \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\)คุณต้องหาผลรวมของเวกเตอร์ \(\overrightarrow (a)\) และ \(-\overrightarrow(b)\) : \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(รูปที่ 5).

งาน 1 #2638

ระดับงาน: ยากกว่าข้อสอบ

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก \(ABC\) ที่มีมุมฉาก \(A\) จุด \(O\) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด พิกัดเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). ค้นหาผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(OC)\)

เพราะ สามเหลี่ยม \(ABC\) เป็นมุมฉาก จากนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบอยู่ตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก กล่าวคือ \(O\) อยู่ตรงกลางของ \(BC\)

สังเกตว่า \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\), เพราะเหตุนี้, \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

เพราะ \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), แล้ว \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

ดังนั้นผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(OC)\) เท่ากับ \(-1+0=-1\)

คำตอบ: -1

งาน 2 #674

ระดับงาน: ยากกว่าข้อสอบ

\(ABCD\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow(DA) \) . หาความยาวของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\), แล้ว
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
เวกเตอร์ null มีความยาวเท่ากับ \(0\)

เวกเตอร์สามารถคิดได้ว่าเป็นการกระจัด ดังนั้น \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)- ย้ายจาก \(A\) ไปยัง \(B\) จากนั้นจาก \(B\) ถึง \(C\) - ในท้ายที่สุดมันเป็นการย้ายจาก \(A\) ไปยัง \(C\)

ด้วยการตีความนี้ทำให้เห็นชัดเจนว่า \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\)เพราะด้วยเหตุนี้ เราจึงย้ายจากจุด \(A\) ไปยังจุด \(A\) นั่นคือ ความยาวของการเคลื่อนไหวดังกล่าวเท่ากับ \(0\) ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ของ การเคลื่อนไหวดังกล่าวคือ \(\vec(0)\)

คำตอบ: 0

งาน 3 #1805

ระดับงาน: ยากกว่าข้อสอบ

ให้สี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\) เส้นทแยงมุม \(AC\) และ \(BD\) ตัดกันที่จุด \(O\) ให้แล้ว \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (ก) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Rightarrow\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = - หนึ่ง\) .

คำตอบ: -1

งาน 4 #1806

ระดับงาน: ยากกว่าข้อสอบ

ให้สี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\) จุด \(K\) และ \(L\) อยู่ด้านข้าง \(BC\) และ \(CD\) ตามลำดับ และ \(BK:KC = 3:1\) และ \(L\) เป็นจุดกึ่งกลาง \ (CD\) อนุญาต \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), แล้ว \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)โดยที่ \(x\) และ \(y\) เป็นตัวเลขบางตัว หาจำนวนเท่ากับ \(x + y\)

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (ก)\]\(\Rightarrow\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0 ,25\) .

คำตอบ: -0.25

งาน 5 #1807

ระดับงาน: ยากกว่าข้อสอบ

ให้สี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\) จุด \(M\) และ \(N\) อยู่ด้านข้าง \(AD\) และ \(BC\) ตามลำดับ โดยที่ \(AM:MD = 2:3\) และ \(BN:NC = 3 ): หนึ่ง\) . อนุญาต \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), แล้ว \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0.35\)

คำตอบ: 0.35

งาน 6 #1808

ระดับงาน: ยากกว่าข้อสอบ

ให้สี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\) จุด \(P\) อยู่บนเส้นทแยงมุม \(BD\) จุด \(Q\) อยู่ที่ด้านข้าง \(CD\) ที่ไหน \(BP:PD = 4:1\) และ \( CQ:QD = 1:9 \) . อนุญาต \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), แล้ว \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)โดยที่ \(x\) และ \(y\) เป็นตัวเลขบางตัว ค้นหาจำนวนเท่ากับ \(x\cdot y\)

\[\begin(รวบรวม) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(รวบรวม)\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0, สิบสี่\) . และ \(ABCO\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(AF \parallel BE\) และ \(ABOF\) – สี่เหลี่ยมด้านขนาน \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 2\) .

คำตอบ: 2

นักเรียนม.ปลายเตรียมตัว สอบผ่านในวิชาคณิตศาสตร์และในขณะเดียวกันก็คาดหวังว่าจะได้รับคะแนนที่ดี พวกเขาต้องทำซ้ำหัวข้อ "กฎสำหรับการบวกและการลบเวกเตอร์หลายตัว" อย่างแน่นอน ดังจะเห็นได้จากการปฏิบัติมาหลายปี งานดังกล่าวจะรวมอยู่ในการทดสอบการรับรองทุกปี หากบัณฑิตมีปัญหากับงานจากส่วน "เรขาคณิตบนเครื่องบิน" เช่น ซึ่งจำเป็นต้องใช้กฎการบวกและการลบเวกเตอร์ เขาควรทำซ้ำหรือทำความเข้าใจเนื้อหาอีกครั้งเพื่อให้สำเร็จ ผ่านการสอบ

ข้อเสนอโครงการการศึกษา "Shkolkovo" แนวทางใหม่ในการเตรียมตัวสอบใบรับรอง แหล่งข้อมูลของเราสร้างขึ้นเพื่อให้นักเรียนสามารถระบุส่วนที่ยากที่สุดสำหรับตนเองและเติมช่องว่างความรู้ ผู้เชี่ยวชาญของ Shkolkovo ได้เตรียมและจัดระบบวัสดุที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการทดสอบการรับรอง

ถึง ใช้งานซึ่งจำเป็นต้องใช้กฎการบวกและการลบของเวกเตอร์สองตัว ไม่ทำให้เกิดปัญหา เราขอแนะนำให้คุณรีเฟรชหน่วยความจำก่อน แนวคิดพื้นฐาน. นักศึกษาสามารถค้นหาเนื้อหานี้ได้ในส่วน "การอ้างอิงทางทฤษฎี"

หากคุณจำกฎการลบเวกเตอร์และคำจำกัดความพื้นฐานในหัวข้อนี้ได้แล้ว เราขอแนะนำให้คุณรวบรวมความรู้โดยทำแบบฝึกหัดที่เหมาะสมซึ่งได้รับการคัดเลือกโดยผู้เชี่ยวชาญ พอร์ทัลการศึกษา"ชโคลโกโว" สำหรับแต่ละปัญหา ไซต์นำเสนออัลกอริธึมการแก้ปัญหาและให้คำตอบที่ถูกต้อง หัวข้อ "กฎของการบวกเวกเตอร์" นำเสนอ แบบฝึกหัดต่างๆ; หลังจากทำงานที่ค่อนข้างง่ายสองหรือสามงานเสร็จแล้ว นักเรียนสามารถไปยังงานที่ยากขึ้นได้อย่างต่อเนื่อง

เพื่อฝึกฝนทักษะของตนเองในงานดังกล่าว เช่น เมื่อเด็กนักเรียนมีโอกาสออนไลน์ อยู่ในมอสโก หรือเมืองอื่นๆ ในรัสเซีย หากจำเป็น สามารถบันทึกงานได้ในส่วน "รายการโปรด" ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถค้นหาตัวอย่างที่น่าสนใจและอภิปรายเกี่ยวกับอัลกอริทึมเพื่อค้นหาคำตอบที่ถูกต้องกับครูได้อย่างรวดเร็ว

ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ นักเรียนและเด็กนักเรียนมักจะเจองานสำหรับปริมาณเวกเตอร์และสำหรับการดำเนินการต่างๆ อะไรคือความแตกต่างระหว่างปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกลาร์ที่เราคุ้นเคย คุณลักษณะเดียวที่เป็นค่าตัวเลข? เพราะมีแนวทาง

การใช้ปริมาณเวกเตอร์อธิบายได้ชัดเจนที่สุดในวิชาฟิสิกส์ โดยมากที่สุด ตัวอย่างง่ายๆคือแรง (แรงเสียดทาน แรงยืดหยุ่น น้ำหนัก) ความเร็วและความเร่ง เนื่องจากนอกจากค่าตัวเลขแล้ว พวกมันยังมีทิศทางของการกระทำอีกด้วย มาเปรียบเทียบกัน ตัวอย่าง สเกลาร์ : นี่อาจเป็นระยะห่างระหว่างจุดสองจุดหรือมวลของร่างกาย เหตุใดจึงจำเป็นต้องดำเนินการกับปริมาณเวกเตอร์ เช่น การบวกหรือการลบ นี่เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้สามารถกำหนดผลลัพธ์ของการกระทำของระบบเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ 2 ตัวขึ้นไป

ความหมายของเวกเตอร์คณิตศาสตร์

ให้เราแนะนำคำจำกัดความหลักที่ใช้ในการดำเนินการ การดำเนินงานสาย.

เวกเตอร์เป็นส่วนกำกับ (มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด)
ความยาว (โมดูลัส) คือความยาวของส่วนที่กำกับ
เวกเตอร์คอลลิเนียร์เป็นเวกเตอร์สองตัวที่ขนานกับเส้นเดียวกันหรือนอนอยู่บนมันพร้อมกัน
เวกเตอร์ที่กำกับตรงข้ามเรียกว่า collinear และในเวลาเดียวกันทิศทางใน ด้านต่างๆ. ถ้าทิศทางตรงกัน แสดงว่าเป็นทิศทางเดียวกัน
เวกเตอร์จะเท่ากันเมื่อมีทิศทางร่วมและมีค่าสัมบูรณ์เหมือนกัน
ผลรวมของเวกเตอร์สองตัว เอและ ขเป็นเวกเตอร์อย่างนั้น คจุดเริ่มต้นซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับการเริ่มต้นของครั้งแรกและจุดสิ้นสุด - กับจุดสิ้นสุดของวินาทีโดยมีเงื่อนไขว่า ขเริ่มที่จุดเดิมก็สิ้นสุด เอ.
ความแตกต่างของเวกเตอร์ เอและ ขเรียกยอด เอและ ( - ข ), ที่ไหน ( - ข ) - ตรงข้ามกับเวกเตอร์ ข. นอกจากนี้ยังสามารถให้คำจำกัดความของความแตกต่างของเวกเตอร์สองตัวได้ดังนี้: โดยความแตกต่าง คเวกเตอร์คู่ เอและ ขเรียกสิ่งนี้ว่า คซึ่งเมื่อเพิ่มลงใน subtrahend ขรูปแบบลดลง ก.

วิธีวิเคราะห์

วิธีการวิเคราะห์เกี่ยวข้องกับการหาพิกัดของส่วนต่างตามสูตรโดยไม่ต้องสร้าง สามารถคำนวณแบบแบน (2D), ปริมาตร (3D) หรือ พื้นที่ n มิติ.

สำหรับพื้นที่สองมิติและ ปริมาณเวกเตอร์ เอ {₁;₂) และ ข {ข₁;ข} การคำนวณจะเป็น มุมมองถัดไป: ค {ค₁; ค₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

ในกรณีของการเพิ่มพิกัดที่สาม การคำนวณจะดำเนินการในลักษณะเดียวกันและสำหรับ เอ {₁;₂; ₃) และ ข {ข₁;ข₂; ข) พิกัดของส่วนต่างจะได้รับโดยการลบแบบคู่: ค {ค₁; ค₂; ค₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b₃}.

การคำนวณความแตกต่างแบบกราฟิก

เพื่อสร้างความแตกต่าง กราฟิก, ใช้กฎสามเหลี่ยม ในการทำเช่นนี้ คุณต้องดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้:

โดย พิกัดที่กำหนดสร้างเวกเตอร์ที่คุณต้องการหาความแตกต่าง
รวมปลายของพวกเขา (เช่นสร้างสองส่วนโดยตรงเท่ากับส่วนที่กำหนดซึ่งจะสิ้นสุดที่จุดเดียวกัน)
เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของทั้งสองส่วนโดยตรงและระบุทิศทาง ผลลัพธ์ที่ได้จะเริ่มต้นที่จุดเดียวกันกับที่เวกเตอร์ถูก minuend เริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่ถูกลบ

ผลลัพธ์ของการดำเนินการลบแสดงในรูปด้านล่าง.

นอกจากนี้ยังมีวิธีการสร้างความแตกต่างซึ่งแตกต่างจากก่อนหน้านี้เล็กน้อย สาระสำคัญของมันอยู่ในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความแตกต่างของเวกเตอร์ซึ่งมีสูตรดังนี้: เพื่อค้นหาความแตกต่างของคู่ของส่วนที่กำกับก็เพียงพอที่จะหาผลรวมของส่วนแรกกับส่วนที่ตรงกันข้าม ที่สอง อัลกอริทึมการก่อสร้างจะมีลักษณะดังนี้:

สร้างส่วนเริ่มต้นโดยตรง
ส่วนที่เป็น subtrahend จะต้องสะท้อนให้เห็น กล่าวคือ สร้างส่วนที่มีทิศทางตรงกันข้ามและเท่าเทียมกัน จากนั้นรวมจุดเริ่มต้นกับส่วนที่ลดลง
สร้างผลรวม: เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของส่วนแรกกับจุดสิ้นสุดของส่วนที่สอง

ผลลัพธ์ของการตัดสินใจนี้แสดงในรูป:

การแก้ปัญหา

เพื่อรวมทักษะ เราจะวิเคราะห์งานหลายอย่างที่จำเป็นในการคำนวณความแตกต่างในเชิงวิเคราะห์หรือแบบกราฟิก

งาน 1. บนเครื่องบินมี 4 จุด: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2) กำหนดพิกัดของเวกเตอร์ q = AB - CD และคำนวณความยาวของมันด้วย

วิธีการแก้. ก่อนอื่นคุณต้องหาพิกัด ABและ ซีดี. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุด สำหรับ ABจุดเริ่มต้นคือ อา(1; -3) และจุดสิ้นสุด - บี(0; 4). คำนวณพิกัดของส่วนกำกับ:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

การคำนวณที่คล้ายกันจะดำเนินการสำหรับ ซีดี:

ซีดี {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

ทีนี้ เมื่อรู้พิกัดแล้ว คุณจะพบความแตกต่างของเวกเตอร์ได้ สูตรสำหรับการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ งานแบนได้รับการกล่าวถึงก่อนหน้านี้: ค = เอ- ขพิกัดดูเหมือน ( ค₁; ค₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). สำหรับกรณีเฉพาะ คุณสามารถเขียน:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

เพื่อหาความยาว q, เราใช้สูตร | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9.06.

งาน2. รูปแสดงเวกเตอร์ m, n และ p

จำเป็นต้องสร้างความแตกต่างให้กับพวกเขา: p- n; ม- n; ม-น- หน้า ค้นหาว่าอันไหนมีโมดูลัสที่เล็กที่สุด

วิธีการแก้. งานต้องมีสามการก่อสร้าง มาดูแต่ละส่วนของงานโดยละเอียดกันดีกว่า

ส่วนที่ 1.เพื่อพรรณนา พี-n,ลองใช้กฎสามเหลี่ยมกัน ในการทำเช่นนี้โดยใช้การแปลแบบขนาน เราเชื่อมต่อส่วนต่างๆ เพื่อให้จุดสิ้นสุดตรงกัน ตอนนี้เรามาเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นและกำหนดทิศทางกัน ในกรณีของเรา เวกเตอร์ผลต่างเริ่มต้นในตำแหน่งเดียวกับตัวที่ลบ น.

ตอนที่ 2มาวาดภาพกันเถอะ m-n. ทีนี้สำหรับวิธีแก้ปัญหา เราใช้ทฤษฎีบทกับผลต่างของเวกเตอร์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้สร้างเวกเตอร์ตรงข้าม น,แล้วหาผลรวมของมันด้วย เมตรผลลัพธ์จะมีลักษณะดังนี้:

ตอนที่ 3เพื่อค้นหาความแตกต่าง ม-n-p,แบ่งนิพจน์ออกเป็นสองขั้นตอน เพราะใน พีชคณิตเวกเตอร์มีกฎหมายที่คล้ายกับกฎของเลขคณิต ดังนั้นตัวเลือกต่อไปนี้จึงเป็นไปได้:

ม-(n+p): ในกรณีนี้ ยอดรวมจะถูกสร้างขึ้นก่อน n+pซึ่งจะถูกลบออกจาก ม;
(m-n)-p: ที่นี่คุณต้องหาก่อน m-nแล้วลบออกจากส่วนต่างนี้ พี;
(m-p)-น: การกระทำแรกถูกกำหนด m-pหลังจากนั้นคุณต้องลบออกจากผลลัพธ์ น.

เนื่องจากในส่วนก่อนหน้าของปัญหาเราได้พบความแตกต่างแล้ว m-n, เราลบออกได้เท่านั้น พี. ให้เราสร้างผลต่างของเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยใช้ทฤษฎีบทผลต่าง คำตอบแสดงในภาพด้านล่าง (สีแดงหมายถึง ผลลัพธ์ขั้นกลางและสีเขียว - สุดท้าย)

ยังคงต้องกำหนดว่าส่วนใดมีโมดูลัสที่เล็กที่สุด โปรดจำไว้ว่าแนวคิดของความยาวและโมดูลัสในคณิตศาสตร์เวกเตอร์นั้นเหมือนกัน ประมาณการสายตาความยาว พี- น ม-นและ ม-น-p. เห็นได้ชัดว่าคำตอบในส่วนสุดท้ายของปัญหานั้นสั้นที่สุดและมีโมดูลัสที่เล็กที่สุด กล่าวคือ ม-น-p.

ผลรวมของเวกเตอร์ ความยาวของเวกเตอร์ เพื่อนรักมีกลุ่มงานที่มีเวกเตอร์ในประเภทการสอบกลับ งานค่อนข้างหลากหลาย (สำคัญที่ต้องรู้ พื้นฐานทางทฤษฎี). ส่วนใหญ่จะแก้ได้ด้วยปากเปล่า คำถามเกี่ยวข้องกับการหาความยาวของเวกเตอร์ ผลรวม (ผลต่าง) ของเวกเตอร์ ผลคูณของสเกลาร์ นอกจากนี้ยังมีงานหลายอย่างในการแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องดำเนินการกับพิกัดของเวกเตอร์

ทฤษฎีเบื้องหลังเวกเตอร์นั้นเรียบง่ายและควรเข้าใจเป็นอย่างดี ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์งานที่เกี่ยวข้องกับการหาความยาวของเวกเตอร์ รวมทั้งผลรวม (ส่วนต่าง) ของเวกเตอร์ บางประเด็นทางทฤษฎี:

แนวคิดเวกเตอร์

เวกเตอร์เป็นส่วนของเส้นกำกับ

เวกเตอร์ทั้งหมดที่มีทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากันจะเท่ากัน

*เวกเตอร์ทั้งสี่ด้านบนเท่ากัน!

นั่นคือถ้าเราใช้การแปลแบบขนานเพื่อย้ายเวกเตอร์ที่มอบให้เรา เราจะได้เวกเตอร์เท่ากับเวกเตอร์เดิมเสมอ ดังนั้นเวกเตอร์ที่เท่ากันสามารถมีจำนวนอนันต์ได้

สัญกรณ์เวกเตอร์

เวกเตอร์สามารถเขียนแทนด้วยภาษาละติน อักษรพิมพ์ใหญ่, ตัวอย่างเช่น:

ด้วยรูปแบบของสัญกรณ์นี้ ตัวอักษรที่แสดงถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะถูกเขียนขึ้นก่อน จากนั้นจึงเขียนตัวอักษรที่แสดงถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

เวกเตอร์อีกตัวหนึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษรหนึ่งตัว อักษรละติน(ตัวพิมพ์ใหญ่):

การกำหนดโดยไม่มีลูกศรก็เป็นไปได้เช่นกัน:

ผลรวมของเวกเตอร์สองตัว AB และ BC จะเป็นเวกเตอร์ AC
มันเขียนเป็น AB + BC \u003d AC

กฎนี้เรียกว่า - กฎสามเหลี่ยม.

นั่นคือ ถ้าเรามีเวกเตอร์สองตัว - ให้เรียกว่าแบบมีเงื่อนไข (1) และ (2) และจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (1) ตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ (2) ผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็น a เวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ (1) และจุดสิ้นสุดตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (2)

สรุป: ถ้าเรามีเวกเตอร์สองตัวบนระนาบ เราสามารถหาผลรวมของมันได้เสมอ การใช้การแปลแบบคู่ขนานทำให้คุณสามารถย้ายเวกเตอร์เหล่านี้และเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์อื่นได้ ตัวอย่างเช่น:

ย้ายเวกเตอร์กัน ขหรือในอีกทางหนึ่ง - เราจะสร้างให้เท่ากับมัน:

ผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวหาได้อย่างไร? โดยหลักการเดียวกัน:

* * *

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กฎนี้เป็นผลมาจากข้างต้น

สำหรับเวกเตอร์ด้วย จุดเริ่มต้นทั่วไปผลรวมของพวกมันแสดงโดยเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์เหล่านี้

มาสร้างเวกเตอร์กันเถอะ เท่ากับเวกเตอร์ ขเพื่อให้จุดเริ่มต้นตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ เอและเราสามารถสร้างเวกเตอร์ที่จะเป็นผลรวมของมันได้:

อีกหน่อย ข้อมูลสำคัญที่จำเป็นในการแก้ปัญหา

เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับเวกเตอร์เดิม แต่มีทิศทางตรงกันข้ามก็แสดงเช่นกัน แต่มีเครื่องหมายตรงข้าม:

ข้อมูลนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการแก้ปัญหาที่มีคำถามเกี่ยวกับการค้นหาความแตกต่างของเวกเตอร์ อย่างที่คุณเห็น ผลต่างของเวกเตอร์คือผลรวมเดียวกันในรูปแบบที่แก้ไข

ให้เวกเตอร์สองตัวหาความแตกต่าง: