วิธีตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่ ฟังก์ชันคู่และคี่

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม

เป้าหมาย:

• กำหนดแนวคิดของฟังก์ชันคู่และคี่ สอนความสามารถในการกำหนดและใช้คุณสมบัติเหล่านี้เมื่อศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟ
• พัฒนากิจกรรมสร้างสรรค์ของนักเรียน การคิดเชิงตรรกะ ความสามารถในการเปรียบเทียบและสรุปทั่วไป
• ปลูกฝังการทำงานหนักและวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ พัฒนาทักษะการสื่อสาร .

อุปกรณ์:การติดตั้งมัลติมีเดีย ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ เอกสารประกอบคำบรรยาย

รูปแบบการทำงาน:หน้าผากและกลุ่มที่มีองค์ประกอบของกิจกรรมการค้นหาและการวิจัย

แหล่งข้อมูล:

1. พีชคณิตชั้น 9 A.G. Mordkovich หนังสือเรียน.
2. พีชคณิตเกรด 9 A.G. Mordkovich หนังสือปัญหา.
3. พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 งานเพื่อการเรียนรู้และการพัฒนาของนักเรียน เบเลนโควา อี.ยู. เลเบดินต์เซวา อี.เอ.

ความก้าวหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

การกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์สำหรับบทเรียน

2. ตรวจการบ้าน

หมายเลข 10.17 (หนังสือปัญหาเกรด 9 A.G. Mordkovich)

ก) ที่ = ฉ(เอ็กซ์), ฉ(เอ็กซ์) =

ข) ฉ (–2) = –3; ฉ (0) = –1; ฉ(5) = 69;

ค) 1. ง( ฉ) = [– 2; + ∞)
2. อี( ฉ) = [– 3; + ∞)
3. ฉ(เอ็กซ์) = 0 ณ เอ็กซ์ ~ 0,4
4. ฉ(เอ็กซ์) >0 เมื่อ เอ็กซ์ > 0,4 ; ฉ(เอ็กซ์) < 0 при – 2 < เอ็กซ์ < 0,4.
5. ฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้นเมื่อ เอ็กซ์ € [– 2; + ∞)
6. ฟังก์ชั่นถูกจำกัดจากด้านล่าง
7. ที่นาม = – 3, ที่นาอิบไม่มีอยู่จริง
8. ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง

(คุณใช้อัลกอริธึมการสำรวจฟังก์ชันหรือไม่) สไลด์

2. เรามาตรวจสอบตารางที่คุณถูกถามจากสไลด์กันดีกว่า

กรอกตาราง
	โดเมนของคำจำกัดความ	ฟังก์ชันศูนย์	ช่วงของความคงตัวของสัญญาณ		พิกัดจุดตัดของกราฟกับออย
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) อ คุณ(2;∞)	x € (–∞;–5) อ ยู (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) อ คุณ(2;∞)	x € (–∞;–5) อ ยู (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) อ คุณ(2;∞)	x € (–5; 2)

3. อัพเดทความรู้

– มีการกำหนดฟังก์ชันต่างๆ
– ระบุขอบเขตคำจำกัดความของแต่ละฟังก์ชัน
– เปรียบเทียบค่าของแต่ละฟังก์ชันสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละคู่: 1 และ – 1; 2 และ – 2.
– สำหรับฟังก์ชันใดเหล่านี้ในโดเมนของคำจำกัดความที่มีความเท่าเทียมกัน ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์), ฉ(– เอ็กซ์) = – ฉ(เอ็กซ์)? (ป้อนข้อมูลที่ได้รับลงในตาราง) สไลด์

		ฉ(1) และ ฉ(– 1)	ฉ(2) และ ฉ(– 2)	กราฟ	ฉ(– เอ็กซ์) = –ฉ(เอ็กซ์)	ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์)
1. ฉ(เอ็กซ์) =
2. ฉ(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 3
3. ฉ(เอ็กซ์) = | เอ็กซ์ |
4.ฉ(เอ็กซ์) = 2เอ็กซ์ – 3
5. ฉ(เอ็กซ์) =	เอ็กซ์ ≠ 0
6. ฉ(เอ็กซ์)=	เอ็กซ์ > –1		และไม่ได้กำหนดไว้

4. วัสดุใหม่

– ในขณะที่ทำงานนี้ พวกเราได้ระบุคุณสมบัติอื่นของฟังก์ชันที่ไม่คุ้นเคยสำหรับคุณ แต่ก็มีความสำคัญไม่น้อยไปกว่าคุณสมบัติอื่น ๆ - นี่คือความสม่ำเสมอและความแปลกประหลาดของฟังก์ชัน เขียนหัวข้อของบทเรียน: “ฟังก์ชันคู่และคี่” งานของเราคือเรียนรู้ที่จะหาความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชัน เพื่อค้นหาความสำคัญของคุณสมบัตินี้ในการศึกษาฟังก์ชันและการพล็อตกราฟ
เราลองหาคำจำกัดความในหนังสือเรียนแล้วอ่านกัน (หน้า 110) - สไลด์

Def. 1การทำงาน ที่ = ฉ (เอ็กซ์) ที่กำหนดไว้บนเซต X เรียกว่า สม่ำเสมอหากมีค่าใดๆ เอ็กซ์Є X ถูกดำเนินการ ความเท่าเทียมกัน f(–x)= f(x) ยกตัวอย่าง.

Def. 2การทำงาน ย = ฉ(x)ที่กำหนดบนเซต X เรียกว่า แปลกหากมีค่าใดๆ เอ็กซ์Є X ความเท่าเทียมกัน f(–х)= –f(х) ถืออยู่ ยกตัวอย่าง.

เราพบคำว่า "คู่" และ "คี่" ที่ไหน?
คุณคิดว่าฟังก์ชันใดต่อไปนี้จะเท่ากัน? ทำไม อันไหนแปลก? ทำไม
สำหรับฟังก์ชั่นใดๆของแบบฟอร์ม ที่= เอ็กซ์เอ็น, ที่ไหน n– เลขจำนวนเต็มสามารถโต้แย้งได้ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่เมื่อใด n– คี่และฟังก์ชันเป็นคู่เมื่อ n- สม่ำเสมอ.
– ดูฟังก์ชั่น ที่= และ ที่ = 2เอ็กซ์– 3 ไม่เป็นคู่หรือคี่เพราะว่า ความเท่าเทียมไม่พอใจ ฉ(– เอ็กซ์) = – ฉ(เอ็กซ์), ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์)

การศึกษาว่าฟังก์ชันเป็นคู่หรือคี่เรียกว่าการศึกษาฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกันสไลด์

ในคำจำกัดความ 1 และ 2 เรากำลังพูดถึงค่าของฟังก์ชันที่ x และ – x ดังนั้นจึงถือว่าฟังก์ชันถูกกำหนดที่ค่าด้วย เอ็กซ์และที่ – เอ็กซ์.

def3ถ้าเซตตัวเลขที่มีสมาชิก x แต่ละตัวประกอบกันด้วย มีสมาชิกตรงข้าม –x แสดงว่าเซตนั้น เอ็กซ์เรียกว่าเซตสมมาตร

ตัวอย่าง:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) คือเซตที่สมมาตร และ , [–5;4] เป็นเซตที่ไม่สมมาตร

– ฟังก์ชันคู่มีโดเมนของคำจำกัดความที่เป็นเซตสมมาตรหรือไม่? พวกที่แปลก?
– ถ้า D( ฉ) เป็นเซตอสมมาตร แล้วฟังก์ชันคืออะไร?
– ดังนั้น ถ้าฟังก์ชัน ที่ = ฉ(เอ็กซ์) – คู่หรือคี่ ดังนั้นโดเมนของคำจำกัดความคือ D( ฉ) เป็นเซตสมมาตร ข้อความตรงกันข้ามเป็นจริงหรือไม่: หากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเป็นเซตสมมาตร แล้วมันจะเป็นคู่หรือคี่?
– ซึ่งหมายความว่าการมีอยู่ของชุดโดเมนของคำจำกัดความที่สมมาตรนั้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น แต่ยังไม่เพียงพอ
– คุณจะตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกันได้อย่างไร? มาลองสร้างอัลกอริทึมกัน

สไลด์

อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน

1. พิจารณาว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันมีความสมมาตรหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้น ฟังก์ชันก็จะไม่เป็นคู่หรือคี่ ถ้าใช่ ให้ไปที่ขั้นตอนที่ 2 ของอัลกอริทึม

2. เขียนสำนวนสำหรับ ฉ(–เอ็กซ์).

3. เปรียบเทียบ ฉ(–เอ็กซ์).และ ฉ(เอ็กซ์):

• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์).= ฉ(เอ็กซ์) จากนั้นฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่
• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์).= – ฉ(เอ็กซ์) ดังนั้นฟังก์ชันจะเป็นเลขคี่
• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์) ≠ ฉ(เอ็กซ์) และ ฉ(–เอ็กซ์) ≠ –ฉ(เอ็กซ์) ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่เป็นคู่หรือคี่

ตัวอย่าง:

ตรวจสอบฟังก์ชัน a) เพื่อหาความเท่าเทียมกัน ที่= x 5 +; ข) ที่- วี) ที่= .

สารละลาย.

ก) ชั่วโมง(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞) เซตสมมาตร

2) ชม. (– x) = (– x) 5 + – x5 –= – (x 5 +)

3) ชั่วโมง(– x) = – ชั่วโมง (x) => ฟังก์ชัน ชั่วโมง(x)= x 5 + คี่

ข) y =,

ที่ = ฉ(เอ็กซ์), D(ฉ) = (–∞; –9)? (–9; +∞) คือเซตอสมมาตร ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่

วี) ฉ(เอ็กซ์) = , y = ฉ (x),

1) ง( ฉ) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

ตัวเลือกที่ 2

1. เซตที่กำหนดให้มีความสมมาตร: a) [–2;2]; ข) (∞; 0], (0; 7) ?

ก); ข) y = x (5 – x 2) 2. ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน:

ก) y = x 2 (2x – x 3), ข) y =

3. ในรูป. มีการสร้างกราฟแล้ว ที่ = ฉ(เอ็กซ์) สำหรับทุกคน เอ็กซ์, เป็นไปตามเงื่อนไข เอ็กซ์? 0.
กราฟฟังก์ชัน ที่ = ฉ(เอ็กซ์), ถ้า ที่ = ฉ(เอ็กซ์) เป็นฟังก์ชันคู่

3. ในรูป. มีการสร้างกราฟแล้ว ที่ = ฉ(เอ็กซ์) สำหรับทุก x ที่เป็นไปตามเงื่อนไข x? 0.
กราฟฟังก์ชัน ที่ = ฉ(เอ็กซ์), ถ้า ที่ = ฉ(เอ็กซ์) เป็นฟังก์ชันคี่

ร่วมกันตรวจสอบ สไลด์

6. การบ้าน: №11.11, 11.21,11.22;

การพิสูจน์ความหมายทางเรขาคณิตของคุณสมบัติความเท่าเทียมกัน

***(การมอบหมายตัวเลือกการสอบ Unified State)

1. ฟังก์ชันคี่ y = f(x) ถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด สำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร x ค่าของฟังก์ชันนี้เกิดขึ้นพร้อมกับค่าของฟังก์ชัน g( เอ็กซ์) = เอ็กซ์(เอ็กซ์ + 1)(เอ็กซ์ + 3)(เอ็กซ์– 7) ค้นหาค่าของฟังก์ชัน h( เอ็กซ์) = เมื่อ เอ็กซ์ = 3.

7. สรุป

ซึ่งคุ้นเคยกับคุณในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น มีการบันทึกไว้ด้วยว่าสต็อกของคุณสมบัติฟังก์ชันจะค่อยๆ เติมเต็ม เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติใหม่สองประการในส่วนนี้

คำจำกัดความ 1.

ฟังก์ชัน y = f(x), x є X ถูกเรียกแม้ว่าค่า x ใดๆ จากเซต X จะมีความเท่าเทียมกัน f (-x) = f (x) ก็ตาม

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชัน y = f(x), x є X เรียกว่าคี่ถ้าค่าใด ๆ จากเซต X ความเท่าเทียมกัน f (-x) = -f (x) ยังคงอยู่

พิสูจน์ว่า y = x 4 เป็นฟังก์ชันคู่

สารละลาย. เรามี: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4 แต่(-x) 4 = x 4 ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน f(-x) = f(x) ยังคงอยู่ นั่นคือ ฟังก์ชั่นคือเท่ากัน

ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชัน y - x 2, y = x 6, y - x 8 เป็นเลขคู่

พิสูจน์ว่า y = x 3 ~ เป็นฟังก์ชันคี่

สารละลาย. เรามี: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3 แต่ (-x) 3 = -x 3 ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ใด ๆ ความเท่าเทียมกัน f (-x) = -f (x) ถืออยู่นั่นคือ ฟังก์ชั่นแปลก

ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชัน y = x, y = x 5, y = x 7 เป็นเลขคี่

คุณและฉันเชื่อมากกว่าหนึ่งครั้งว่าคำศัพท์ใหม่ในคณิตศาสตร์มักมีต้นกำเนิด "ทางโลก" เช่น พวกเขาสามารถอธิบายได้ เป็นกรณีที่มีทั้งฟังก์ชันคู่และคี่ โปรดดู: y - x 3, y = x 5, y = x 7 เป็นฟังก์ชันคี่ ในขณะที่ y = x 2, y = x 4, y = x 6 เป็นฟังก์ชันคู่ และโดยทั่วไปสำหรับฟังก์ชันใด ๆ ในรูปแบบ y = x" (ด้านล่างเราจะศึกษาฟังก์ชันเหล่านี้โดยเฉพาะ) โดยที่ n - จำนวนธรรมชาติเราสามารถสรุปได้ว่า: ถ้า n เป็นเลขคี่ ฟังก์ชัน y = x" จึงเป็นเลขคี่ ถ้า n เป็นเลขคู่ ฟังก์ชัน y = xn จึงเป็นเลขคู่

นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชันที่ไม่เป็นคู่หรือคี่อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = 2x + 3 แท้จริงแล้ว f(1) = 5 และ f (-1) = 1 ดังที่คุณเห็นในที่นี้ ไม่มีตัวตน f(-x) = ฉ ( x) หรือ ตัวตนฉ(-x) = -ฉ(x)

ดังนั้น ฟังก์ชันอาจเป็นเลขคู่ คี่ หรือเป็นค่าทั้งสองก็ได้

การศึกษาว่าฟังก์ชันที่กำหนดเป็นคู่หรือคี่มักเรียกว่าการศึกษาความเท่าเทียมกัน

คำจำกัดความ 1 และ 2 หมายถึงค่าของฟังก์ชันที่จุด x และ -x นี่ถือว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ที่ทั้งจุด x และจุด -x ซึ่งหมายความว่าจุด -x อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันพร้อมกับจุด x ถ้าเซตตัวเลข X พร้อมด้วยสมาชิก x แต่ละตัว มีสมาชิกตรงข้าม -x ด้วยเช่นกัน X จะเรียกว่าเซตสมมาตร สมมติว่า (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) เป็นเซตสมมาตร ในขณะที่ \).

เนื่องจาก \(x^2\geqslant 0\) ดังนั้นด้านซ้ายของสมการ (*) จึงมากกว่าหรือเท่ากับ \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\)

ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน (*) จะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองด้านของสมการเท่ากับ \(\mathrm(tg)^2\,1\) และนี่หมายความว่า \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(กรณี)\quad\ลูกศรซ้าย\quad x=0\]ดังนั้น ค่า \(a=-\mathrm(tg)\,1\) จึงเหมาะกับเรา

คำตอบ:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

ภารกิจที่ 2 #3923

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) ซึ่งแต่ละค่าเป็นกราฟของฟังก์ชัน \

สมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิด

หากกราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด ฟังก์ชันดังกล่าวจะเป็นเลขคี่ นั่นคือ \(f(-x)=-f(x)\) ถือไว้สำหรับ \(x\) ใดๆ จากโดเมน นิยามของฟังก์ชัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาค่าพารามิเตอร์เหล่านั้นซึ่ง \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ขวาน)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ขวาน)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ขวาน)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \ลูกศรขวา \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(ชิด)\]

สมการสุดท้ายจะต้องเป็นไปตามสำหรับทุก \(x\) จากโดเมนของ \(f(x)\) ดังนั้น \(\sin(2\pi a)=0 \ลูกศรขวา a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

คำตอบ:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

ภารกิจที่ 3 #3069

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) โดยแต่ละสมการ \ มี 4 คำตอบ โดยที่ \(f\) เป็นฟังก์ชันคาบคู่ที่มีจุด \(T=\dfrac(16)3\) กำหนดบนเส้นจำนวนทั้งหมด และ \(f(x)=ax^2\) สำหรับ \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(งานจากสมาชิก)

เนื่องจาก \(f(x)\) เป็นฟังก์ชันคู่ กราฟของกราฟจึงสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนพิกัด ดังนั้น เมื่อ \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ขวาน^2\) . ดังนั้นเมื่อ \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\)และนี่คือส่วนของความยาว \(\dfrac(16)3\) , ฟังก์ชัน \(f(x)=ax^2\)

1) ให้ \(a>0\) . จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) จะมีลักษณะดังนี้:


จากนั้น เพื่อให้สมการมี 4 คำตอบ กราฟ \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) ต้องผ่านจุด \(A\) :


เพราะฉะนั้น, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(ชิด)\end(รวบรวม)\right \quad\ลูกศรซ้าย\quad \left[\begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(ชิด) \end( รวบรวม)\right.\]เนื่องจาก \(a>0\) ดังนั้น \(a=\dfrac(18)(23)\) จึงเหมาะสม

2) ให้ \(ก<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


จำเป็นที่กราฟ \(g(x)\) จะผ่านจุด \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(ชิด) \end(รวบรวม)\right.\]เนื่องจาก \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) กรณีที่ \(a=0\) ไม่เหมาะสม เนื่องจากแล้ว \(f(x)=0\) สำหรับทั้งหมด \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) และ สมการจะมีเพียง 1 รูท

คำตอบ:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

ภารกิจที่ 4 #3072

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าทั้งหมดของ \(a\) ซึ่งแต่ละค่าจะมีสมการ \

มีอย่างน้อยหนึ่งราก

(งานจากสมาชิก)

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ \ และพิจารณาสองฟังก์ชัน: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) และ \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
ฟังก์ชัน \(g(x)\) เป็นเลขคู่และมีจุดต่ำสุด \(x=0\) (และ \(g(0)=49\) )
ฟังก์ชัน \(f(x)\) สำหรับ \(x>0\) กำลังลดลง และสำหรับ \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
อันที่จริง เมื่อ \(x>0\) โมดูลที่สองจะเปิดขึ้นในเชิงบวก (\(|x|=x\) ) ดังนั้น ไม่ว่าโมดูลแรกจะเปิดอย่างไร \(f(x)\) จะเท่ากัน ถึง \( kx+A\) โดยที่ \(A\) คือการแสดงออกของ \(a\) และ \(k\) เท่ากับ \(-9\) หรือ \(-3\) เมื่อ \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
ลองหาค่าของ \(f\) ที่จุดสูงสุด: \

เพื่อให้สมการมีวิธีการแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อ กราฟของฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) จำเป็นต้องมีจุดตัดอย่างน้อยหนึ่งจุด ดังนั้นคุณต้องมี: \ \\]

คำตอบ:

\(ก\ใน \(-7\)\ถ้วย\)

ภารกิจที่ 5 #3912

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) ซึ่งแต่ละค่าจะมีสมการ \

มีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันหกแบบ

มาทำการแทนที่ \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) จากนั้นสมการจะอยู่ในรูป \ เราจะค่อยๆ เขียนเงื่อนไขที่สมการดั้งเดิมจะมีคำตอบหกข้อ
โปรดทราบว่าสมการกำลังสอง \((*)\) สามารถมีคำตอบได้สูงสุดสองคำตอบ สมการลูกบาศก์ใดๆ \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) สามารถมีคำตอบได้ไม่เกิน 3 คำตอบ ดังนั้น หากสมการ \((*)\) มีสองคำตอบที่แตกต่างกัน (บวก! เนื่องจาก \(t\) ต้องมากกว่าศูนย์) \(t_1\) และ \(t_2\) ดังนั้นโดยการกลับกัน การทดแทน เราได้: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(ชิด)\end(รวบรวม)\right.\]เนื่องจากจำนวนบวกใดๆ สามารถแสดงเป็น \(\sqrt2\) ได้ในระดับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\)จากนั้นสมการแรกของเซตจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบ \ ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว สมการกำลังสามใดๆ จะมีคำตอบได้ไม่เกิน 3 คำตอบ ดังนั้น แต่ละสมการในชุดจะมีคำตอบได้ไม่เกิน 3 คำตอบ ซึ่งหมายความว่าทั้งชุดจะมีวิธีแก้ปัญหาได้ไม่เกินหกข้อ
ซึ่งหมายความว่าเพื่อให้สมการดั้งเดิมมีหกคำตอบ สมการกำลังสอง \((*)\) จะต้องมีสองคำตอบที่แตกต่างกัน และแต่ละสมการลูกบาศก์ผลลัพธ์ (จากเซต) จะต้องมีสามคำตอบที่แตกต่างกัน (และไม่ใช่คำตอบเดียวของ สมการหนึ่งควรตรงกับสมการใด ๆ - โดยการตัดสินใจของวินาที!)
แน่นอนว่า หากสมการกำลังสอง \((*)\) มีคำตอบเดียว เราจะไม่ได้คำตอบหกข้อจากสมการดั้งเดิม

แผนการแก้ปัญหาจึงมีความชัดเจน มาเขียนเงื่อนไขที่ต้องปฏิบัติตามทีละจุด

1) เพื่อให้สมการ \((*)\) มีคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบ ค่าจำแนกต้องเป็นค่าบวก: \

2) นอกจากนี้ยังจำเป็นที่รากทั้งสองจะต้องเป็นบวก (เนื่องจาก \(t>0\) ) หากผลคูณของรากทั้งสองเป็นบวกและผลรวมของมันเป็นบวก รากนั้นก็จะเป็นบวก ดังนั้นคุณต้องมี: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\ลูกศรซ้าย\quad a<10\]

ดังนั้นเราจึงได้เตรียมรากที่เป็นบวกที่แตกต่างกันสองอันไว้แล้ว \(t_1\) และ \(t_2\)

3) ลองดูที่สมการนี้ \ \(t\) จะมีวิธีแก้ปัญหาสามแบบที่แตกต่างกันไปเพื่ออะไร
พิจารณาฟังก์ชัน \(f(x)=x^3-3x^2+4\)
สามารถแยกตัวประกอบได้: \ ดังนั้น ค่าศูนย์ของมันคือ: \(x=-1;2\)
หากเราพบอนุพันธ์ \(f"(x)=3x^2-6x\) เราก็จะได้จุดสุดขั้วสองจุด \(x_(max)=0, x_(min)=2\)
ดังนั้นกราฟจึงมีลักษณะดังนี้:


เราจะเห็นว่าเส้นแนวนอนใดๆ \(y=k\) โดยที่ \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)มีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันสามแบบ จำเป็นที่ \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
ดังนั้นคุณต้องการ: \[\begin(กรณี) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] โปรดทราบว่าหากตัวเลข \(t_1\) และ \(t_2\) ต่างกัน ตัวเลข \(\log_(\sqrt2)t_1\) และ \(\log_(\sqrt2)t_2\) จะเป็น ต่างกันซึ่งหมายถึงสมการ \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)และ \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)ก็จะมีรากที่แตกต่างกัน
ระบบ \((**)\) สามารถเขียนใหม่ได้ดังต่อไปนี้: \[\begin(กรณี) 1

ดังนั้นเราจึงได้พิจารณาแล้วว่ารากทั้งสองของสมการ \((*)\) ต้องอยู่ในช่วง \((1;4)\) จะเขียนเงื่อนไขนี้ได้อย่างไร?
เราจะไม่เขียนรากอย่างชัดเจน
พิจารณาฟังก์ชัน \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) กราฟของมันคือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น ซึ่งมีจุดตัดกันสองจุดกับแกน x (เราเขียนเงื่อนไขนี้ไว้ในย่อหน้าที่ 1)) กราฟควรมีลักษณะอย่างไรเพื่อให้จุดตัดกับแกน x อยู่ในช่วง \((1;4)\) ดังนั้น:


ประการแรก ค่า \(g(1)\) และ \(g(4)\) ของฟังก์ชันที่จุด \(1\) และ \(4\) จะต้องเป็นบวก และประการที่สอง จุดยอดของ พาราโบลา \(t_0\ ) จะต้องอยู่ในช่วงเวลา \((1;4)\) ด้วย ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนระบบได้: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) มีอย่างน้อยหนึ่งรูต \(x=0\) เสมอ ซึ่งหมายความว่าเพื่อให้บรรลุเงื่อนไขของปัญหาจำเป็นต้องมีสมการ \

มีสี่รากที่แตกต่างกัน แตกต่างจากศูนย์ แทน ร่วมกับ \(x=0\) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

โปรดทราบว่าฟังก์ชัน \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) เป็นเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าถ้า \(x_0\) เป็นรากของสมการ \( (*)\ ) จากนั้น \(-x_0\) จะเป็นรูตของมันด้วย จากนั้น จึงจำเป็นที่รากของสมการนี้จะต้องเรียงลำดับตัวเลขจากน้อยไปหามาก: \(-2d, -d, d, 2d\) (จากนั้น \(d>0\)) เมื่อถึงเวลานั้นตัวเลขทั้งห้านี้จะก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (โดยมีส่วนต่าง \(d\))

เพื่อให้รากเหล่านี้เป็นตัวเลข \(-2d, -d, d, 2d\) มันจำเป็นที่ตัวเลข \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) จะเป็นรากของ สมการ \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) จากนั้นตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ \ และพิจารณาสองฟังก์ชัน: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) และ \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
ฟังก์ชัน \(g(x)\) มีจุดสูงสุด \(x=0\) (และ \(g_(\text(บนสุด))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\)- อนุพันธ์เป็นศูนย์: \(x=0\) เมื่อ \(x<0\) имеем: \(g">0\) สำหรับ \(x>0\) : \(g"<0\) .
ฟังก์ชัน \(f(x)\) สำหรับ \(x>0\) กำลังเพิ่มขึ้น และสำหรับ \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
อันที่จริง เมื่อ \(x>0\) โมดูลแรกจะเปิดขึ้นในเชิงบวก (\(|x|=x\)) ดังนั้น ไม่ว่าโมดูลที่สองจะเปิดขึ้นอย่างไร \(f(x)\) จะเท่ากัน ถึง \( kx+A\) โดยที่ \(A\) คือการแสดงออกของ \(a\) และ \(k\) เท่ากับ \(13-10=3\) หรือ \(13+10 =23\) . เมื่อ \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
ลองหาค่าของ \(f\) ที่จุดต่ำสุด: \

เพื่อให้สมการมีวิธีการแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อ กราฟของฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) จำเป็นต้องมีจุดตัดอย่างน้อยหนึ่งจุด ดังนั้นคุณต้องมี: \ การแก้ปัญหาชุดระบบนี้ เราได้รับคำตอบ: \\]

คำตอบ:

\(ก\ใน \(-2\)\ถ้วย\)