วิธีแก้ discriminant ของสมการกำลังสอง สมการกำลังสอง

การเลือกปฏิบัติเช่นเดียวกับสมการกำลังสองเริ่มมีการศึกษาในหลักสูตรพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 คุณสามารถแก้สมการกำลังสองผ่าน discriminant และใช้ทฤษฎีบท Vieta วิธีการศึกษาสมการกำลังสอง เช่นเดียวกับสูตรจำแนก ถูกปลูกฝังให้เด็กนักเรียนไม่ประสบผลสำเร็จ เช่นเดียวกับการศึกษาจริง ดังนั้นปีการศึกษาจึงผ่านไป การศึกษาในเกรด 9-11 เข้ามาแทนที่ "อุดมศึกษา" และทุกคนก็มองหาอีกครั้ง - "จะแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร", "จะหารากของสมการได้อย่างไร", "จะหาตัวจำแนกได้อย่างไร" และ...

สูตรแยกแยะ

ดิสคริมิแนนต์ D ของสมการกำลังสอง a*x^2+bx+c=0 คือ D=b^2–4*a*c
ราก (วิธีแก้ปัญหา) ของสมการกำลังสองขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของการเลือกปฏิบัติ (D):
D>0 - สมการมีรากจริงต่างกัน 2 ตัว
D=0 - สมการมี 1 รูต (2 รูตที่ตรงกัน):
ดี<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
สูตรสำหรับคำนวณการเลือกปฏิบัตินั้นค่อนข้างง่าย เว็บไซต์จำนวนมากจึงเสนอเครื่องคำนวณการเลือกปฏิบัติแบบออนไลน์ เรายังไม่พบสคริปต์ประเภทนี้ ดังนั้นใครรู้วิธีใช้งาน โปรดเขียนไปที่เมล ที่อยู่อีเมลนี้จะถูกป้องกันจากสแปมบอท คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript เพื่อดู .

สูตรทั่วไปในการหารากของสมการกำลังสอง:

รากของสมการหาได้จากสูตร
หากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในสี่เหลี่ยมจัตุรัสจับคู่กัน แนะนำให้คำนวณไม่ใช่การเลือกปฏิบัติ แต่เป็นส่วนที่สี่
ในกรณีเช่นนี้ รากของสมการจะหาได้จากสูตร

วิธีที่สองในการหารากคือทฤษฎีบทของเวียตา

ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่กำหนดสูตรสำหรับสมการกำลังสองเท่านั้น แต่ยังสำหรับพหุนามด้วย คุณสามารถอ่านได้จาก Wikipedia หรือแหล่งข้อมูลอิเล็กทรอนิกส์อื่นๆ อย่างไรก็ตาม เพื่อให้ง่ายขึ้น ให้พิจารณาส่วนนั้นที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสองที่ลดรูป นั่นคือ สมการของรูปแบบ (a=1)
สาระสำคัญของสูตรเวียตาคือผลรวมของรากของสมการเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร ที่นำมาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม ผลคูณของรากของสมการเท่ากับพจน์ว่าง สูตรของทฤษฎีบทของเวียตามีสัญกรณ์
ที่มาของสูตร Vieta นั้นค่อนข้างง่าย ลองเขียนสมการกำลังสองในรูปของตัวประกอบเฉพาะกัน
อย่างที่คุณเห็น ทุกสิ่งที่ชาญฉลาดนั้นเรียบง่ายในเวลาเดียวกัน จะมีประสิทธิภาพในการใช้สูตรเวียตาเมื่อความแตกต่างในโมดูลัสของรากหรือความแตกต่างในโมดูลัสของรากคือ 1, 2 ตัวอย่างเช่น สมการต่อไปนี้ตามทฤษฎีบทเวียตามีราก




การวิเคราะห์สมการไม่เกิน 4 ครั้งควรมีลักษณะเช่นนี้ ผลคูณของรากของสมการคือ 6 ดังนั้นรากสามารถเป็นค่า (1, 6) และ (2, 3) หรือคู่กับเครื่องหมายตรงข้าม ผลรวมของรากคือ 7 (สัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่มีเครื่องหมายตรงข้าม) จากที่นี่เราสรุปได้ว่าคำตอบของสมการกำลังสองมีค่าเท่ากับ x=2; x=3.
ง่ายกว่าที่จะเลือกรากของสมการจากตัวหารของเทอมอิสระ แก้ไขเครื่องหมายเพื่อให้สูตรเวียตาเป็นจริง ในตอนเริ่มต้น ดูเหมือนทำได้ยาก แต่ด้วยการฝึกฝนกับสมการกำลังสองจำนวนหนึ่ง เทคนิคนี้จะมีประสิทธิภาพมากกว่าการคำนวณจำแนกและหารากของสมการกำลังสองด้วยวิธีดั้งเดิม
อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีโรงเรียนของการศึกษาการเลือกปฏิบัติและวิธีหาคำตอบของสมการนั้นไร้ความหมายในทางปฏิบัติ - "ทำไมเด็กนักเรียนถึงต้องการสมการกำลังสอง?", "ความหมายทางกายภาพของการเลือกปฏิบัติคืออะไร"

มาลองคิดกันดู การเลือกปฏิบัติอธิบายอะไร?

ในวิชาพีชคณิต พวกเขาศึกษาฟังก์ชัน แผนผังสำหรับศึกษาฟังก์ชัน และฟังก์ชันการพล็อต จากฟังก์ชันทั้งหมด พาราโบลามีสถานที่สำคัญซึ่งสมการสามารถเขียนได้ในรูป
ดังนั้นความหมายทางกายภาพของสมการกำลังสองคือศูนย์ของพาราโบลา นั่นคือจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันกับแกน abscissa Ox
ฉันขอให้คุณจำคุณสมบัติของพาราโบลาที่อธิบายไว้ด้านล่าง เวลาจะมาถึงเพื่อทำการสอบ การทดสอบ หรือการสอบเข้า และคุณจะรู้สึกขอบคุณสำหรับเอกสารอ้างอิง เครื่องหมายของตัวแปรในสี่เหลี่ยมจัตุรัสแสดงว่ากิ่งก้านของพาราโบลาบนกราฟจะเพิ่มขึ้นหรือไม่ (a>0)

หรือรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลง (a<0) .

จุดยอดของพาราโบลาอยู่ตรงกลางระหว่างราก

ความหมายทางกายภาพของการเลือกปฏิบัติ:

ถ้า discriminant มีค่ามากกว่าศูนย์ (D>0) พาราโบลาจะมีจุดตัดกับแกน Ox สองจุด
ถ้า discriminant เท่ากับศูนย์ (D=0) พาราโบลาที่ด้านบนจะสัมผัสแกน x
และกรณีสุดท้ายเมื่อผู้เลือกปฏิบัติมีค่าน้อยกว่าศูนย์ (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

สมการกำลังสองได้รับการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a , b และ c เป็นตัวเลขทั่วไป และ a ≠ 0

ก่อนศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ เราสังเกตว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามคลาส:

1. ไม่มีราก
2. พวกมันมีรากเดียว
3. พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รูทจะมีอยู่เสมอและมีลักษณะเฉพาะ จะกำหนดจำนวนรากของสมการได้อย่างไร? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้น discriminant ก็แค่ตัวเลข D = b 2 − 4ac

สูตรนี้ต้องรู้ใจ มันมาจากไหนไม่สำคัญในตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: จากเครื่องหมายของ discriminant คุณสามารถกำหนดจำนวนรากของสมการกำลังสองได้ กล่าวคือ:

1. ถ้าD< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 จะมีหนึ่งรูทพอดี
3. ถ้า D > 0 จะมีสองราก

โปรดทราบ: การเลือกปฏิบัติระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณทั้งหมดด้วยเหตุผลบางอย่างที่หลายคนคิด ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีรากกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0

เราเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกและหาตัวจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นสมการจึงมีรากต่างกันสองราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายยังคงอยู่:
ก = 1; ข = -6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การเลือกปฏิบัติเท่ากับศูนย์ - รูตจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่ามีการเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละสมการ ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ - แต่คุณจะไม่สับสนและไม่ทำผิดพลาดโง่ ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณ "เติมมือ" อีกครู่หนึ่ง คุณจะไม่ต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดอีกต่อไป คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้ที่ไหนสักแห่งหลังจากแก้สมการได้ 50-70 ครั้ง - โดยทั่วไปไม่มากนัก

รากของสมการกำลังสอง

ทีนี้มาดูวิธีแก้ปัญหากัน หาก discriminant D > 0 สามารถหารากได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 (-1) 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหากัน

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ในที่สุด สมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูต ใช้สูตรไหนก็ได้ ตัวอย่างเช่น อันแรก:

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง ทุกอย่างง่ายมาก ถ้ารู้สูตรแล้วนับได้ก็ไม่มีปัญหา ข้อผิดพลาดส่วนใหญ่มักเกิดขึ้นเมื่อแทนค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบในสูตร อีกครั้งที่เทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรอย่างแท้จริง ระบายสีแต่ละขั้นตอน - และกำจัดข้อผิดพลาดในไม่ช้า

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองค่อนข้างแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความ ตัวอย่างเช่น:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0

มันง่ายที่จะเห็นว่าไม่มีคำศัพท์หนึ่งในสมการเหล่านี้ สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน: ไม่จำเป็นต้องคำนวณการเลือกปฏิบัติด้วยซ้ำ มาแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 เช่น สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่ากรณีที่ยากมากเป็นไปได้เมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองนี้มีค่าเท่ากับศูนย์: b \u003d c \u003d 0 ในกรณีนี้ สมการจะใช้รูปแบบ ax 2 \u003d 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีสมการเดียว รูท: x \u003d 0

ลองพิจารณากรณีอื่นๆ ให้ b \u003d 0 แล้วเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c \u003d 0 ลองแปลงเล็กน้อย:

เนื่องจากสแควร์รูทเลขคณิตมีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลเมื่อ (−c / a ) ≥ 0 เท่านั้น

1. หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน (−c / a ) ≥ 0 จะมีรากสองราก สูตรได้รับข้างต้น
2. ถ้า (−c / a )< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องใช้ discriminant - ไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ อันที่จริง ไม่จำเป็นต้องจำอสมการ (−c / a ) ≥ 0 ด้วยซ้ำ แค่แสดงค่าของ x 2 และดูว่าอะไรอยู่อีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับ หากมีจำนวนบวก จะมีรากสองราก ถ้าลบก็จะไม่มีรากเลย

ทีนี้มาจัดการกับสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระจะเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป เราจะวิเคราะห์สมการเหล่านี้หลายประการ:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6 ไม่มีรากเพราะ กำลังสองต้องไม่เท่ากับจำนวนลบ

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

โรงเรียนมัธยมในชนบท Kopyevskaya

10 วิธีแก้สมการกำลังสอง

หัวหน้า: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

ครูคณิตศาสตร์

s.Kopyevo, 2007

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

1.2 วิธี Diophantus รวบรวมและแก้สมการกำลังสอง

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

1.4 สมการกำลังสองในอัลคอวาริซมี

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป XIII - XVII ศตวรรษ

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตา

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

บทสรุป

วรรณกรรม

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ครั้งแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วย เกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาพื้นที่ของที่ดินและดินที่มีลักษณะทางทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และ คณิตศาสตร์นั่นเอง สมการกำลังสองสามารถแก้ได้ประมาณ 2000 ปีก่อนคริสตกาล อี ชาวบาบิโลน.

เมื่อใช้สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในตำรารูปอักษรมี นอกเหนือไปจากที่ไม่สมบูรณ์ เช่น สมการกำลังสองสมบูรณ์:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ ซึ่งระบุไว้ในตำราของชาวบาบิโลน เกิดขึ้นพร้อมกันกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่ทราบว่าชาวบาบิโลนมาที่กฎนี้ได้อย่างไร ตำรารูปลิ่มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้ ให้เฉพาะปัญหากับวิธีแก้ปัญหาที่ระบุไว้ในรูปแบบของสูตร โดยไม่ได้ระบุว่าพบได้อย่างไร

แม้จะมีการพัฒนาพีชคณิตในระดับสูงในบาบิโลน แต่ตำรารูปลิ่มยังขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

1.2 วิธีที่ไดโอแฟนตัสรวบรวมและแก้สมการกำลังสอง

เลขคณิตของไดโอแฟนตัสไม่มีการแสดงพีชคณิตอย่างเป็นระบบ แต่ประกอบด้วยชุดปัญหาที่เป็นระบบ พร้อมด้วยคำอธิบายและแก้ไขโดยการวาดสมการองศาต่างๆ

เมื่อรวบรวมสมการ ไดโอแฟนทัสเลือกสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างชำนาญเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่น นี่เป็นหนึ่งในงานของเขา

ภารกิจที่ 11"หาตัวเลขสองตัวที่รู้ว่าผลรวมของมันคือ 20 และผลิตภัณฑ์ของมันคือ 96"

Diophantus ให้เหตุผลดังนี้: จากเงื่อนไขของปัญหาที่จำนวนที่ต้องการไม่เท่ากันเนื่องจากถ้าเท่ากันแล้วผลคูณของพวกเขาจะไม่เป็น 96 แต่เป็น 100 ดังนั้นหนึ่งในนั้นจะมีมากกว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนนั้น ผลรวม กล่าวคือ . 10+xอีกอันมีขนาดเล็กกว่าเช่น 10's. ความแตกต่างระหว่างพวกเขา 2x .

ดังนั้นสมการ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

จากที่นี่ x = 2. หนึ่งในตัวเลขที่ต้องการคือ 12 , อื่นๆ 8 . วิธีการแก้ x = -2สำหรับไดโอแฟนตัสไม่มีอยู่จริง เนื่องจากคณิตศาสตร์กรีกรู้เฉพาะตัวเลขที่เป็นบวก

หากเราแก้ปัญหานี้โดยเลือกตัวเลขที่ต้องการตัวใดตัวหนึ่งเป็นค่าไม่ทราบ เราก็จะมาแก้สมการ

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

เป็นที่ชัดเจนว่า Diophantus ช่วยลดความซับซ้อนของการแก้ปัญหาโดยเลือกความแตกต่างครึ่งหนึ่งของตัวเลขที่ต้องการเป็นค่าที่ไม่รู้จัก เขาจัดการเพื่อลดปัญหาเพื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (1)

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

ปัญหาสำหรับสมการกำลังสองมีอยู่แล้วในทางเดินดาราศาสตร์ "Aryabhattam" ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย Aryabhatta นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งชื่อ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) ได้สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติเดียว:

อา 2+ ข x = c, a > 0. (1)

ในสมการ (1) สัมประสิทธิ์ ยกเว้น เอยังสามารถเป็นค่าลบได้ กฎของพรหมคุปต์สอดคล้องกับกฎของเรา

ในอินเดียโบราณ การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติ ในหนังสือเก่าของอินเดียเล่มหนึ่ง มีการกล่าวถึงการแข่งขันดังต่อไปนี้: “ในขณะที่ดวงอาทิตย์ส่องแสงดาวให้สว่าง บุคคลที่เรียนรู้จะส่องรัศมีของผู้อื่นในการประชุมสาธารณะ เสนอและแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต” งานมักจะแต่งในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียที่มีชื่อเสียงในศตวรรษที่สิบสอง ภัสกร.

ภารกิจที่ 13

“ฝูงลิงขี้เล่น และเถาองุ่นสิบสองเถา ...

กินอิ่มก็สนุก พวกเขาเริ่มกระโดดแขวน ...

ส่วนที่แปดในสี่เหลี่ยม มีลิงกี่ตัว

สนุกสนานในทุ่งนา. คุณบอกฉันในฝูงนี้?

คำตอบของ Bhaskara บ่งชี้ว่าเขารู้เกี่ยวกับค่าสองค่าของรากของสมการกำลังสอง (รูปที่ 3)

สมการที่สอดคล้องกับปัญหาที่ 13 คือ:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara เขียนภายใต้หน้ากากของ:

x 2 - 64x = -768

และในการเติมด้านซ้ายของสมการนี้ให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เขาก็บวกทั้งสองข้าง 32 2 , ได้รับแล้ว:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48

1.4 สมการกำลังสองใน al-Khorezmi

บทความเกี่ยวกับพีชคณิตของ Al-Khorezmi ให้การจำแนกประเภทสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ผู้เขียนแสดงรายการสมการ 6 ประเภทโดยแสดงดังนี้:

1) "สี่เหลี่ยมเท่ากับราก" เช่น ขวาน 2 + c = ข เอ็กซ์

2) "กำลังสองเท่ากับตัวเลข" เช่น ขวาน 2 = ส.

3) "รากเท่ากับจำนวน" เช่น อา = ส

4) "กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก" เช่น ขวาน 2 + c = ข เอ็กซ์

5) "กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลข" เช่น อา 2+ bx = ส.

6) "รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง" เช่น bx + c \u003d ขวาน 2

สำหรับอัลคอวาริซมีที่หลีกเลี่ยงการใช้ตัวเลขติดลบ พจน์ของสมการแต่ละสมการเหล่านี้เป็นการบวก ไม่ใช่การลบ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบที่เป็นบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนสรุปวิธีการแก้สมการเหล่านี้ โดยใช้วิธีการของ al-jabr และ al-muqabala แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับของเราโดยสิ้นเชิง ไม่ต้องพูดถึงความจริงที่ว่ามันเป็นวาทศิลป์ล้วน ๆ ควรสังเกตเช่นเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทแรก

al-Khorezmi ก็เหมือนกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 ที่ไม่คำนึงถึงคำตอบที่เป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะมันไม่สำคัญในปัญหาเชิงปฏิบัติที่เฉพาะเจาะจง เมื่อแก้สมการกำลังสองทั้งหมด al-Khorezmi จะกำหนดกฎสำหรับการแก้ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์ทางเรขาคณิต โดยใช้ตัวอย่างที่เป็นตัวเลขโดยเฉพาะ

งาน 14.“กำลังสองและเลข 21 มีค่าเท่ากับ 10 รูต หาต้นตอ" (สมมติว่ารากของสมการ x 2 + 21 = 10x)

คำตอบของผู้เขียนมีลักษณะดังนี้: หารจำนวนรากครึ่งหนึ่ง ได้ 5 คูณ 5 ด้วยตัวเอง ลบ 21 ออกจากผลคูณ 4 เหลือ หารากของ 4 ได้ 2 ลบ 2 จาก 5 คุณ รับ 3 นี่จะเป็นรูทที่ต้องการ หรือบวก 2 ถึง 5 ซึ่งจะให้ 7 นี่ก็เป็นรูทเช่นกัน

บทความ al - Khorezmi เป็นหนังสือเล่มแรกที่มาถึงเราซึ่งมีการจำแนกประเภทของสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบและให้สูตรสำหรับการแก้ปัญหา

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป สิบสาม - XVII ศตวรรษ

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองในแบบจำลองของอัล - โคเรซมีในยุโรปถูกระบุไว้ครั้งแรกใน "หนังสือลูกคิด" ซึ่งเขียนในปี 1202 โดยเลโอนาร์โด ฟีโบนักชี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี งานที่มากมายมหาศาลนี้สะท้อนให้เห็นถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ ทั้งในประเทศอิสลามและกรีกโบราณ โดดเด่นด้วยความครบถ้วนสมบูรณ์และความชัดเจนในการนำเสนอ ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างเชิงพีชคณิตแบบใหม่ของการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การนำตัวเลขติดลบมาใช้ หนังสือของเขามีส่วนในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังรวมถึงในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย งานหลายอย่างจาก "Book of the Abacus" ผ่านเข้าไปในตำราเรียนยุโรปเกือบทั้งหมดของศตวรรษที่ 16 - 17 และบางส่วน XVIII

กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

x 2+ bx = ด้วย,

สำหรับการรวมกันที่เป็นไปได้ของสัญญาณของสัมประสิทธิ์ ข , กับถูกคิดค้นขึ้นในยุโรปในปี ค.ศ. 1544 โดย M. Stiefel

Vieta มีที่มาทั่วไปของสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสอง แต่ Vieta จำเฉพาะรากที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นหนึ่งในกลุ่มแรกในศตวรรษที่ 16 คำนึงถึงนอกเหนือไปจากรากบวกและลบ เฉพาะในศตวรรษที่ XVII ต้องขอบคุณงานของ Girard, Descartes, Newton และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่ทำให้วิธีการแก้สมการกำลังสองมีรูปลักษณ์ที่ทันสมัย

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตา

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองกับรากของมันซึ่งมีชื่อเรียกว่าเวียตา ได้รับการคิดค้นขึ้นเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1591 ดังนี้ “ถ้า บี + ดีคูณด้วย อา - อา 2 เท่ากับ BD, แล้ว อาเท่ากับ ที่และเท่าเทียมกัน ดี ».

เพื่อให้เข้าใจเวียตตา เราต้องจำไว้ว่า แต่เช่นเดียวกับสระใด ๆ ที่มีความหมายสำหรับเขาที่ไม่รู้จัก (ของเรา X) สระ ที่, ดี- ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก ในภาษาของพีชคณิตสมัยใหม่ สูตรของ Vieta ด้านบนหมายถึง: if

(+ ข )x - x 2 = อะบี ,

x 2 - (a + ข )x + a ข = 0,

x 1 = ก, x 2 = ข .

การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการโดยสูตรทั่วไปที่เขียนโดยใช้สัญลักษณ์ Viet ได้สร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์ของ Vieta ยังห่างไกลจากรูปแบบที่ทันสมัย เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้น เมื่อแก้สมการ เขาพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นบวก

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นรากฐานของโครงสร้างอันสง่างามของพีชคณิต สมการกำลังสองมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ, เลขชี้กำลัง, ลอการิทึม, อตรรกยะและเหนือธรรมชาติและอสมการ เราทุกคนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองตั้งแต่โรงเรียน (เกรด 8) จนถึงสำเร็จการศึกษา

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ ax^2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขทั่วไป และ a ≠ 0 จะไม่เป็นสมการกำลังสองอีกต่อไป สมการกำลังสองไม่มีราก หรือมีรากเดียว หรือรากต่างกันสองราก ขั้นตอนแรกคือการมองหาการเลือกปฏิบัติ สูตร: D = b^2 − 4ac 1. ถ้า D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0 จะมีสองราก ตัวเลือกแรกนั้นชัดเจนไม่มีรูท ถ้า discriminant D > 0 สามารถหา root ได้ดังนี้: x12 = (-b +- √D) / 2a สำหรับตัวเลือกที่สอง เมื่อ D = 0 สามารถใช้สูตรบนได้

สมการกำลังสองกำลังเริ่มที่จะศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ แต่น่าเสียดายที่ทุกคนไม่เข้าใจและรู้วิธีแก้สมการกำลังสองอย่างถูกต้องและคำนวณรากของมัน ก่อนอื่น มาทำความเข้าใจว่าสมการกำลังสองคืออะไร

สมการกำลังสองคืออะไร

คำว่าสมการกำลังสองมักจะเข้าใจว่าเป็นสมการพีชคณิตของรูปแบบทั่วไป สมการนี้มีรูปแบบดังนี้: ax2 + bx + c = 0 ในขณะที่ a, b และ c เป็นจำนวนที่แน่นอน x ไม่เป็นที่รู้จัก ตัวเลขทั้งสามนี้มักจะเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง:

• เอ - สัมประสิทธิ์แรก;
• b - ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง;
• c คือสัมประสิทธิ์ที่สาม

วิธีหารากของสมการกำลังสอง

ในการคำนวณว่ารากของสมการกำลังสองจะเท่ากับเท่าใด จำเป็นต้องหาตัวจำแนกของสมการ การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองคือนิพจน์ที่เท่ากับและคำนวณโดยสูตร b2 - 4ac หาก discriminant มากกว่าศูนย์ รูทจะถูกคำนวณโดยสูตร: x \u003d -b + - รูทของ discriminant หารด้วย 2 a

พิจารณาตัวอย่างสมการ 5x กำลังสอง - 8x +3 = 0

การเลือกปฏิบัติคือแปดกำลังสอง ลบสี่คูณห้าคูณสาม นั่นคือ = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 \u003d 8 + - รูทของสี่หารด้วยสองคูณห้า \u003d 8 + 2/10 \u003d 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0.6

ดังนั้น รากของสมการกำลังสองนี้จะเท่ากับ 1 และ 0.6

สูตรหารากของสมการกำลังสอง พิจารณากรณีของรากจริง ทวีคูณ และซับซ้อน การแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสอง การตีความทางเรขาคณิต ตัวอย่างการกำหนดรากและการแยกตัวประกอบ

สูตรพื้นฐาน

พิจารณาสมการกำลังสอง:
(1) .
รากของสมการกำลังสอง(1) ถูกกำหนดโดยสูตร:
; .
สูตรเหล่านี้สามารถรวมกันได้ดังนี้:
.
เมื่อทราบรากของสมการกำลังสองแล้ว พหุนามของดีกรีที่สองสามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัย (แยกตัวประกอบ):
.

นอกจากนี้ เราถือว่านั่นเป็นจำนวนจริง
พิจารณา จำแนกสมการกำลังสอง:
.
ถ้า discriminant เป็นค่าบวก สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจริงต่างกันสองแบบ:
; .
จากนั้นการแยกตัวประกอบของไตรนามสแควร์มีรูปแบบดังนี้
.
ถ้า discriminant เป็นศูนย์ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจริงหลายเท่า (เท่ากับ) สองค่า:
.
การแยกตัวประกอบ:
.
ถ้า discriminant เป็นลบ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองราก:
;
.
นี่คือหน่วยจินตภาพ ;
และเป็นส่วนจริงและจินตภาพของราก:
; .
แล้ว

.

การตีความกราฟิก

ถ้าเราสร้างกราฟฟังก์ชัน
,
ซึ่งเป็นพาราโบลาแล้วจุดตัดของกราฟกับแกนจะเป็นรากของสมการ
.
เมื่อ กราฟตัดกับแกน abscissa (แกน) ที่จุดสองจุด
เมื่อ กราฟสัมผัสกับแกน x ที่จุดหนึ่ง
เมื่อ กราฟไม่ตัดกับแกน x

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของกราฟดังกล่าว

สูตรที่เป็นประโยชน์ที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสอง

(ฉ.1) ;
(ฉ.2) ;
(ฉ.3) .

ที่มาของสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เราทำการแปลงและใช้สูตร (f.1) และ (f.3):




,
ที่ไหน
; .

ดังนั้นเราจึงได้สูตรพหุนามของดีกรีที่สองในรูปแบบ:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าสมการ

ดำเนินการที่
และ .
นั่นคือและเป็นรากของสมการกำลังสอง
.

ตัวอย่างการหารากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่าง 1

(1.1) .

วิธีการแก้

.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของเรา (1.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจาก discriminant เป็นค่าบวก สมการจึงมีรากที่แท้จริงสองราก:
;
;
.

จากที่นี่ เราจะได้การสลายตัวของไตรโนเมียลกำลังสองเป็นปัจจัย:

.

กราฟของฟังก์ชัน y = 2 x 2 + 7 x + 3ตัดผ่านแกน x สองจุด

มาพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันข้ามแกน x (แกน) ที่จุดสองจุด:
และ .
จุดเหล่านี้เป็นรากของสมการดั้งเดิม (1.1)

ตอบ

;
;
.

ตัวอย่าง 2

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(2.1) .

วิธีการแก้

เราเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการเดิม (2.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจาก discriminant เป็นศูนย์ สมการจึงมีรากทวีคูณ (เท่ากัน) สองตัว:
;
.

จากนั้นการแยกตัวประกอบของไตรนามมีรูปแบบ:
.

กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 4 x + 4สัมผัสแกน x ณ จุดหนึ่ง

มาพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันสัมผัสแกน x (แกน) ณ จุดหนึ่ง:
.
จุดนี้เป็นรากของสมการเดิม (2.1) เนื่องจากรูทนี้แยกตัวประกอบสองครั้ง:
,
จากนั้นรูตดังกล่าวจะเรียกว่าทวีคูณ นั่นคือพวกเขาคิดว่ามีสองรากที่เท่ากัน:
.

ตอบ

;
.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(3.1) .

วิธีการแก้

เราเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
(1) .
ให้เราเขียนสมการเดิมใหม่ (3.1):
.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:
.
การเลือกปฏิบัติเป็นลบ, . ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

คุณสามารถค้นหารากที่ซับซ้อนได้:
;
;
.

แล้ว


.

กราฟของฟังก์ชันไม่ตัดกับแกน x ไม่มีรากที่แท้จริง

มาพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา ไม่ข้าม abscissa (แกน) ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

ตอบ

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อน:
;
;
.