ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ งานเกี่ยวกับคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสองทำให้เกิดปัญหาร้ายแรง นี่ค่อนข้างแปลกเพราะพวกเขาศึกษาฟังก์ชันกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จากนั้นตลอดไตรมาสแรกของชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 พวกเขา "ทรมาน" คุณสมบัติของพาราโบลาและสร้างกราฟสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าเมื่อบังคับให้นักเรียนสร้างพาราโบลาพวกเขาไม่ได้อุทิศเวลาในการ "อ่าน" กราฟนั่นคือพวกเขาไม่ได้ฝึกทำความเข้าใจข้อมูลที่ได้รับจากรูปภาพ เห็นได้ชัดว่าสันนิษฐานว่าหลังจากสร้างกราฟหนึ่งหรือสองกราฟแล้ว นักเรียนที่ฉลาดจะค้นพบและกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรและ รูปร่างกราฟิก ในทางปฏิบัติสิ่งนี้ไม่ได้ผล เพื่อให้มีลักษณะทั่วไปเช่นนี้มีความจำเป็น ประสบการณ์ที่จริงจังการวิจัยขนาดเล็กทางคณิตศาสตร์ซึ่งแน่นอนว่านักเรียนเกรดเก้าส่วนใหญ่ไม่มี ในขณะเดียวกันผู้ตรวจการของรัฐเสนอให้กำหนดสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์โดยใช้ตาราง

เราจะไม่เรียกร้องสิ่งที่เป็นไปไม่ได้จากเด็กนักเรียนและจะเสนออัลกอริธึมหนึ่งในการแก้ปัญหาดังกล่าว

ดังนั้นฟังก์ชันของแบบฟอร์ม y = ขวาน 2 + bx + cเรียกว่าสมการกำลังสอง กราฟของมันคือพาราโบลา ตามชื่อหมายถึงคำหลักคือ ขวาน 2- นั่นก็คือ กไม่ควรเท่ากับศูนย์ ค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือ ( ขและ กับ) สามารถเท่ากับศูนย์ได้

เรามาดูกันว่าสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์ส่งผลต่อรูปลักษณ์ของพาราโบลาอย่างไร

การพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ที่ง่ายที่สุด ก- เด็กนักเรียนส่วนใหญ่ตอบอย่างมั่นใจ:“ ถ้า ก> 0 แล้วกิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น และถ้า ก < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ก > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

ใน ในกรณีนี้ ก = 0,5

และตอนนี้สำหรับ ก < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

ในกรณีนี้ ก = - 0,5

ผลกระทบของสัมประสิทธิ์ กับนอกจากนี้ยังง่ายต่อการติดตาม สมมติว่าเราต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์= 0 แทนศูนย์ลงในสูตร:

ย = ก 0 2 + ข 0 + ค = ค- ปรากฎว่า ย = ค- นั่นก็คือ กับคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน y โดยปกติแล้ว จุดนี้จะหาได้ง่ายบนกราฟ และพิจารณาว่าอยู่เหนือศูนย์หรือต่ำกว่า นั่นก็คือ กับ> 0 หรือ กับ < 0.

กับ > 0:

y = x 2 + 4x + 3

กับ < 0

y = x 2 + 4x - 3

ตามนั้น ถ้า กับ= 0 ดังนั้นพาราโบลาจะต้องผ่านจุดกำเนิด:

y = x 2 + 4x

ยากขึ้นด้วยพารามิเตอร์ ข- จุดที่เราจะพบนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับเท่านั้น ขแต่ยังมาจาก ก- นี่คือยอดพาราโบลา Abscissa ของมัน (พิกัดแกน เอ็กซ์) พบได้จากสูตร x ใน = - b/(2a)- ดังนั้น, b = - 2ax นิ้ว- นั่นคือเราดำเนินการดังนี้: เราค้นหาจุดยอดของพาราโบลาบนกราฟ กำหนดเครื่องหมายของ abscissa นั่นคือเรามองไปทางขวาของศูนย์ ( x เข้า> 0) หรือไปทางซ้าย ( x เข้า < 0) она лежит.

อย่างไรก็ตาม นั่นไม่ใช่ทั้งหมด เราต้องใส่ใจกับสัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์ด้วย ก- นั่นคือ ดูว่ากิ่งก้านของพาราโบลาหันไปทางไหน และหลังจากนั้นตามสูตรเท่านั้น b = - 2ax นิ้วกำหนดสัญญาณ ข.

ลองดูตัวอย่าง:

กิ่งก้านชี้ขึ้นซึ่งหมายความว่า ก> 0 พาราโบลาตัดแกน ที่ต่ำกว่าศูนย์นั่นคือ กับ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x เข้า> 0. ดังนั้น b = - 2ax นิ้ว = -++ = -. ข < 0. Окончательно имеем: ก > 0, ข < 0, กับ < 0.

ที่ให้ไว้ วัสดุวิธีการมีไว้เพื่อการอ้างอิงเท่านั้นและใช้กับหัวข้อที่หลากหลาย บทความนี้จะให้ภาพรวมของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นและข้ออภิปรายต่างๆ คำถามที่สำคัญที่สุด – วิธีสร้างกราฟอย่างถูกต้องและรวดเร็ว- ในระหว่างการศึกษา คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นโดยไม่ทราบกำหนดการหลัก ฟังก์ชั่นเบื้องต้นมันจะยาก ดังนั้น จึงสำคัญมากที่ต้องจำไว้ว่ากราฟของพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ มีลักษณะอย่างไร และจำค่าฟังก์ชันบางค่าด้วย อีกด้วย เราจะคุยกันเกี่ยวกับคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันพื้นฐาน

ฉันไม่ได้อ้างว่าเนื้อหามีความสมบูรณ์และครบถ้วนทางวิทยาศาสตร์ ก่อนอื่นจะเน้นไปที่การปฏิบัติ - สิ่งเหล่านั้นด้วย เราเผชิญหน้าอย่างแท้จริงในทุกขั้นตอนในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง- แผนภูมิสำหรับหุ่น? คุณสามารถพูดอย่างนั้นได้เช่นกัน

เนื่องจากมีการร้องขอจากผู้อ่านเป็นจำนวนมาก สารบัญที่คลิกได้:

นอกจากนี้ยังมีเรื่องย่อที่สั้นเป็นพิเศษในหัวข้อนี้
– เชี่ยวชาญแผนภูมิ 16 ประเภทโดยศึกษาหกหน้า!

จริงๆ นะ หก แม้แต่ฉันก็แปลกใจด้วยซ้ำ ข้อมูลสรุปนี้มีกราฟิกที่ได้รับการปรับปรุงและพร้อมใช้งานโดยมีค่าธรรมเนียมเล็กน้อย สามารถดูเวอร์ชันสาธิตได้ สะดวกในการพิมพ์ไฟล์เพื่อให้กราฟอยู่ใกล้แค่เอื้อม ขอบคุณสำหรับการสนับสนุนโครงการ!

และเริ่มกันเลย:

จะสร้างแกนพิกัดอย่างถูกต้องได้อย่างไร?

ในทางปฏิบัติ นักเรียนมักจะทำแบบทดสอบในสมุดบันทึกแยกกันโดยเรียงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำไมคุณถึงต้องมีเครื่องหมายตาหมากรุก? โดยหลักการแล้วงานนี้สามารถทำได้บนแผ่น A4 และกรงจำเป็นสำหรับการออกแบบภาพวาดคุณภาพสูงและแม่นยำเท่านั้น

การวาดกราฟฟังก์ชันใดๆ จะเริ่มต้นด้วยแกนพิกัด.

การวาดภาพอาจเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ

ก่อนอื่นมาพิจารณากรณีสองมิติก่อน คาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด:

1) วาด แกนประสานงาน- แกนนั้นเรียกว่า แกน x และแกนก็คือ แกน y - เราพยายามวาดมันอยู่เสมอ เรียบร้อยและไม่คดเคี้ยว- ลูกศรไม่ควรมีลักษณะคล้ายกับเคราของ Papa Carlo

2) เราเซ็นชื่อแกนด้วยตัวอักษรขนาดใหญ่ "X" และ "Y" อย่าลืมติดป้ายแกนด้วย.

3) ตั้งสเกลตามแกน: วาดศูนย์และสองอัน- เมื่อวาดภาพ สเกลที่สะดวกและใช้บ่อยที่สุดคือ 1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย) - หากเป็นไปได้ ให้ติดไว้ อย่างไรก็ตามในบางครั้งอาจเกิดขึ้นว่าภาพวาดไม่พอดีกับแผ่นสมุดบันทึก - จากนั้นเราจะลดขนาดลง: 1 หน่วย = 1 เซลล์ (รูปวาดทางด้านขวา) เป็นเรื่องยาก แต่บังเอิญว่าขนาดของภาพวาดต้องลดลง (หรือเพิ่มขึ้น) มากยิ่งขึ้น

ไม่จำเป็นต้อง "ปืนกล" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….เพราะระนาบพิกัดไม่ใช่อนุสาวรีย์ของเดการ์ต และนักเรียนก็ไม่ใช่นกพิราบ เราใส่ ศูนย์และ สองหน่วยตามแนวแกน- บางครั้ง แทนหน่วย จะสะดวกในการ "ทำเครื่องหมาย" ค่าอื่น ๆ เช่น "สอง" บนแกน Abscissa และ "สาม" บนแกนกำหนด - และระบบนี้ (0, 2 และ 3) จะกำหนดตารางพิกัดโดยไม่ซ้ำกันด้วย

ควรประมาณขนาดโดยประมาณของแบบร่างก่อนสร้างแบบร่าง- ตัวอย่างเช่น หากงานต้องวาดรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด , , แสดงว่ามาตราส่วนยอดนิยมของ 1 หน่วย = 2 เซลล์จะไม่ทำงาน ทำไม ลองดูที่ประเด็น - ที่นี่คุณจะต้องวัดลงไปสิบห้าเซนติเมตรและเห็นได้ชัดว่าภาพวาดจะไม่พอดี (หรือแทบจะไม่พอดี) บนแผ่นสมุดบันทึก ดังนั้นเราจึงเลือกสเกลที่เล็กกว่าทันที: 1 หน่วย = 1 เซลล์

โดยวิธีการประมาณเซนติเมตรและเซลล์โน๊ตบุ๊ค เซลล์โน้ตบุ๊ก 30 เซลล์มี 15 เซนติเมตร จริงหรือ? เพื่อความสนุกสนาน ให้วัดสมุดบันทึกด้วยไม้บรรทัดขนาด 15 เซนติเมตร ในสหภาพโซเวียตสิ่งนี้อาจเป็นจริง... เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณวัดเซนติเมตรเดียวกันนี้ในแนวนอนและแนวตั้ง ผลลัพธ์ (ในเซลล์) จะแตกต่างออกไป! พูดอย่างเคร่งครัด สมุดบันทึกสมัยใหม่ไม่ได้มีลักษณะเป็นตาหมากรุก แต่เป็นทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า สิ่งนี้อาจดูไร้สาระ แต่การวาดภาพวงกลมที่มีเข็มทิศในสถานการณ์เช่นนี้ไม่สะดวกอย่างยิ่ง พูดตามตรง ในช่วงเวลาดังกล่าวคุณเริ่มคิดถึงความถูกต้องของสหายสตาลินที่ถูกส่งไปยังค่ายเพื่อทำงานแฮ็กในการผลิต ไม่ต้องพูดถึงอุตสาหกรรมรถยนต์ในประเทศ เครื่องบินตก หรือโรงไฟฟ้าระเบิด

พูดถึงคุณภาพหรือคำแนะนำสั้นๆเกี่ยวกับเครื่องเขียน วันนี้โน้ตบุ๊กส่วนใหญ่ที่ลดราคาพูดน้อยที่สุดคือไร้สาระ ด้วยเหตุผลที่ทำให้เปียก ไม่ใช่แค่จากปากกาเจลเท่านั้น แต่ยังมาจากปากกาลูกลื่นด้วย! พวกเขาประหยัดเงินบนกระดาษ สำหรับการลงทะเบียน การทดสอบฉันแนะนำให้ใช้สมุดบันทึกจากโรงงานผลิตเยื่อและกระดาษ Arkhangelsk (18 แผ่นสี่เหลี่ยม) หรือ "Pyaterochka" แม้ว่าจะมีราคาแพงกว่าก็ตาม ขอแนะนำให้เลือกปากกาเจล แม้แต่รีฟิลเจลจีนที่ถูกที่สุดก็ยังดีกว่าปากกาลูกลื่นซึ่งทำให้กระดาษเปื้อนหรือฉีกได้มาก ปากกาลูกลื่น "คู่แข่ง" เพียงหนึ่งเดียวที่ฉันจำได้คือ Erich Krause เธอเขียนได้ชัดเจน สวยงาม และสม่ำเสมอ ไม่ว่าจะเขียนเต็มแกนหรือแทบจะว่างเปล่าก็ตาม

นอกจากนี้: วิสัยทัศน์ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผ่านสายตาของเรขาคณิตวิเคราะห์มีกล่าวถึงในบทความนี้ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์, ข้อมูลรายละเอียดโอ ประสานงานไตรมาสสามารถพบได้ในย่อหน้าที่สองของบทเรียน อสมการเชิงเส้น.

เคสสามมิติ

มันเกือบจะเหมือนกันที่นี่

1) วาดแกนพิกัด มาตรฐาน: ใช้แกน – ชี้ขึ้น, แกน – ชี้ไปทางขวา, แกน – ชี้ลงไปทางซ้าย อย่างเคร่งครัดที่มุม 45 องศา

2) ติดป้ายกำกับแกน

3) ตั้งสเกลตามแกน สเกลตามแกนจะเล็กกว่าสเกลตามแกนอื่นๆ สองเท่า- โปรดทราบว่าในภาพวาดที่ถูกต้องฉันใช้ "รอยบาก" ที่ไม่ได้มาตรฐานตามแกน (ความเป็นไปได้นี้ได้ถูกกล่าวถึงข้างต้นแล้ว)- จากมุมมองของฉัน สิ่งนี้แม่นยำกว่า เร็วกว่า และสวยงามกว่า - ไม่จำเป็นต้องมองหาจุดกึ่งกลางของเซลล์ใต้กล้องจุลทรรศน์และ "แกะสลัก" หน่วยที่อยู่ใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัด

เมื่อทำการวาดภาพ 3 มิติ ให้ให้ความสำคัญกับขนาดอีกครั้ง
1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย)

กฎทั้งหมดนี้มีไว้เพื่ออะไร? กฎเกณฑ์มีไว้เพื่อทำลาย นั่นคือสิ่งที่ฉันจะทำตอนนี้ ความจริงก็คือฉันจะวาดรูปบทความในภายหลังใน Excel และแกนพิกัดจะดูไม่ถูกต้องจากมุมมองของการออกแบบที่ถูกต้อง ฉันสามารถวาดกราฟทั้งหมดด้วยมือได้ แต่จริงๆ แล้วมันน่ากลัวที่จะวาดกราฟเหล่านี้ เนื่องจาก Excel ไม่เต็มใจที่จะวาดกราฟให้แม่นยำมากขึ้น

กราฟและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นได้จากสมการ กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคือ โดยตรง- ในการสร้างเส้นตรง การรู้จุดสองจุดก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างที่ 1

สร้างกราฟของฟังก์ชัน มาหาสองประเด็นกัน การเลือกศูนย์เป็นจุดใดจุดหนึ่งจะเป็นประโยชน์

ถ้าอย่างนั้น

ลองพิจารณาอีกประเด็นหนึ่ง เช่น 1

ถ้าอย่างนั้น

เมื่อทำงานเสร็จมักจะสรุปพิกัดของจุดต่างๆ ไว้ในตาราง:

และค่าต่างๆ จะถูกคำนวณด้วยวาจาหรือแบบร่างซึ่งเป็นเครื่องคิดเลข

พบสองจุด มาวาดรูปกัน:

เมื่อเตรียมภาพวาด เราจะเซ็นชื่อกราฟิกเสมอ.

มันจะมีประโยชน์ในการจำกรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้น:

สังเกตว่าฉันวางลายเซ็นอย่างไร ลายเซ็นไม่ควรทำให้เกิดความแตกต่างเมื่อศึกษาภาพวาด- ในกรณีนี้ การวางลายเซ็นไว้ข้างจุดตัดของเส้นหรือที่มุมขวาล่างระหว่างกราฟเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนาอย่างยิ่ง

1) ฟังก์ชันเชิงเส้นของรูปแบบ () เรียกว่า สัดส่วนโดยตรง ตัวอย่างเช่น, . กราฟสัดส่วนตรงจะผ่านจุดกำเนิดเสมอ ดังนั้นการสร้างเส้นตรงจึงง่ายขึ้น - การหาเพียงจุดเดียวก็เพียงพอแล้ว

2) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันจะถูกพล็อตทันทีโดยไม่พบจุดใดๆ นั่นคือ ควรเข้าใจรายการดังนี้: “ค่า y จะเท่ากับ –4 เสมอ สำหรับค่า x ใดๆ ก็ตาม”

3) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันก็จะถูกพล็อตทันทีเช่นกัน ควรทำความเข้าใจรายการดังนี้: “x เสมอ สำหรับค่า y ใดๆ เท่ากับ 1”

บางคนก็จะถามว่าทำไมถึงจำชั้น ป.6 ได้! มันก็เป็นเช่นนั้น บางทีก็เป็นเช่นนั้น แต่ตลอดหลายปีที่ผ่านมาของการฝึกฝน ฉันได้พบกับนักเรียนดีๆ หลายสิบคนที่รู้สึกงุนงงกับงานสร้างกราฟแบบ or

การสร้างเส้นตรงเป็นการกระทำที่พบบ่อยที่สุดเมื่อวาดภาพ

เส้นตรงจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในหลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์ และผู้ที่สนใจสามารถดูบทความได้ สมการของเส้นตรงบนระนาบ.

กราฟของกำลังสอง ฟังก์ชันลูกบาศก์ กราฟของพหุนาม

พาราโบลา กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง () แสดงถึงพาราโบลา ลองพิจารณาดู เหตุการณ์ที่มีชื่อเสียง:

ลองนึกถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันกัน

ดังนั้น วิธีแก้สมการของเรา: – ณ จุดนี้เองที่จุดยอดของพาราโบลาอยู่ เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้สามารถพบได้ในบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์และบทเรียนเรื่องสุดขีดของฟังก์ชัน ในระหว่างนี้ มาคำนวณค่า "Y" ที่เกี่ยวข้องกัน:

ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่ที่จุดนั้น

ตอนนี้เราพบจุดอื่นๆ ในขณะที่ใช้ความสมมาตรของพาราโบลาอย่างโจ่งแจ้ง ควรสังเกตว่าฟังก์ชั่น – ไม่เท่ากันแต่ถึงกระนั้นก็ไม่มีใครยกเลิกสมมาตรของพาราโบลาได้

ส่วนจะหาแต้มที่เหลือจะเป็นอย่างไรผมว่าน่าจะชัดเจนจากตารางสุดท้ายครับ

อัลกอริทึมนี้การก่อสร้างสามารถเปรียบเปรยเรียกว่าหลักการ "รถรับส่ง" หรือ "ไปมา" กับ Anfisa Chekhova

มาวาดรูปกันเถอะ:

จากกราฟที่ตรวจสอบ คุณลักษณะที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งคือ:

สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง () ต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น.

ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง.

ความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับเส้นโค้งหาได้จากบทเรียนไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

ฟังก์ชันกำหนดพาราโบลาลูกบาศก์มาให้ นี่คือภาพวาดที่คุ้นเคยจากโรงเรียน:

ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชัน

มันแสดงถึงกิ่งหนึ่งของพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

คุณสมบัติพื้นฐานฟังก์ชั่น:

ในกรณีนี้แกนคือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของไฮเปอร์โบลาที่

จะ ความผิดพลาดครั้งใหญ่หากเมื่อวาดภาพ คุณปล่อยให้กราฟตัดกับเส้นกำกับอย่างไม่ระมัดระวัง

ลิมิตด้านเดียวบอกเราว่าไฮเปอร์โบลา ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง.

ลองตรวจสอบฟังก์ชันที่ระยะอนันต์: นั่นคือถ้าเราเริ่มเคลื่อนที่ไปตามแกนไปทางซ้าย (หรือขวา) ไปจนถึงระยะอนันต์ "เกม" จะเป็นขั้นตอนที่เป็นระเบียบ ปิดอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเข้าใกล้ศูนย์ และกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาก็ตามมาด้วย ปิดอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเข้าใกล้แกน

แกนก็คือ เส้นกำกับแนวนอน สำหรับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า "x" มีแนวโน้มบวกหรือลบอนันต์

ฟังก์ชั่นคือ แปลกดังนั้นไฮเปอร์โบลาจึงมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด ข้อเท็จจริงนี้ชัดเจนจากแบบวาด นอกจากนี้ยังตรวจสอบวิเคราะห์ได้ง่าย: .

กราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ () แสดงถึงสองกิ่งของไฮเปอร์โบลา.

ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในพิกัดไตรมาสที่หนึ่งและสาม(ดูภาพด้านบน)

ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์พิกัดที่สองและสี่.

รูปแบบที่ระบุของที่อยู่อาศัยไฮเปอร์โบลานั้นง่ายต่อการวิเคราะห์จากมุมมองของการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ

ตัวอย่างที่ 3

สร้างกิ่งด้านขวาของไฮเปอร์โบลา

เราใช้วิธีการก่อสร้างแบบ point-wise และมีข้อดีในการเลือกค่าเพื่อให้สามารถหารด้วยทั้งหมดได้:

มาวาดรูปกันเถอะ:

การสร้างกิ่งด้านซ้ายของไฮเปอร์โบลาไม่ใช่เรื่องยาก ความแปลกของฟังก์ชันจะช่วยได้ โดยคร่าวแล้ว ในตารางการสร้างแบบ pointwise เราบวกลบเข้ากับแต่ละตัวเลขในใจ ใส่จุดที่สอดคล้องกันแล้ววาดกิ่งที่สอง

ข้อมูลเรขาคณิตโดยละเอียดเกี่ยวกับเส้นที่พิจารณามีอยู่ในบทความไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในส่วนนี้ ฉันจะพิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังทันที เนื่องจากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงใน 95% ของกรณี เลขชี้กำลังจะปรากฏขึ้น

ฉันเตือนคุณว่านี่คือ จำนวนอตรรกยะ: สิ่งนี้จำเป็นในการสร้างกราฟ ซึ่งจริงๆ แล้วจะสร้างโดยไม่มีพิธีการใดๆ สามแต้มบางทีนั่นอาจจะเพียงพอแล้ว:

ตอนนี้เราปล่อยให้กราฟของฟังก์ชันอยู่คนเดียวก่อน แล้วเราจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

กราฟฟังก์ชัน ฯลฯ โดยพื้นฐานแล้วมีลักษณะเหมือนกัน

ฉันต้องบอกว่ากรณีที่ 2 เกิดขึ้นไม่บ่อยนักในทางปฏิบัติ แต่ก็เกิดขึ้นจริง ดังนั้นฉันจึงถือว่าจำเป็นต้องรวมไว้ในบทความนี้

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

พิจารณาฟังก์ชันด้วย ลอการิทึมธรรมชาติ.
มาวาดภาพแบบจุดต่อจุดกัน:

หากคุณลืมว่าลอการิทึมคืออะไร โปรดดูหนังสือเรียนในโรงเรียนของคุณ

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

โดเมนของคำจำกัดความ:

ช่วงของค่า: .

ฟังก์ชั่นไม่ได้ถูกจำกัดจากด้านบน: แม้ว่าจะช้า แต่สาขาของลอการิทึมขึ้นไปถึงอนันต์
ให้เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้ศูนย์ทางด้านขวา: - แกนก็คือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของฟังก์ชันที่ "x" มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากด้านขวา

จำเป็นต้องรู้และจดจำค่าทั่วไปของลอการิทึม: .

กราฟของลอการิทึมที่ฐานมีลักษณะโดยพื้นฐานเหมือนกัน: , , ( ลอการิทึมทศนิยมถึงฐาน 10) เป็นต้น ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งฐานมีขนาดใหญ่เท่าใด กราฟก็จะแบนราบมากขึ้นเท่านั้น

เราจะไม่พิจารณากรณีนี้ ฉันจำไม่ได้ว่าครั้งสุดท้ายที่ฉันสร้างกราฟด้วยพื้นฐานดังกล่าว และลอการิทึมดูเหมือนจะพบได้น้อยมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ชั้นสูง

ในตอนท้ายของย่อหน้านี้ ฉันจะพูดข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและ ฟังก์ชันลอการิทึม - ทั้งสองมีกันและกัน ฟังก์ชันผกผัน - หากคุณดูกราฟของลอการิทึมอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่านี่คือเลขชี้กำลังเดียวกัน แต่มีความแตกต่างกันเล็กน้อย

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การทรมานตรีโกณมิติเริ่มต้นที่โรงเรียนที่ไหน? ขวา. จากไซน์

ลองพลอตฟังก์ชันกัน

เส้นนี้เรียกว่า ไซนัสอยด์.

ฉันขอเตือนคุณว่า "pi" เป็นจำนวนอตรรกยะ และในวิชาตรีโกณมิติ มันทำให้ดวงตาของคุณพร่ามัว

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชั่นนี้เป็น เป็นระยะๆด้วยระยะเวลา มันหมายความว่าอะไร? มาดูส่วนกัน ทางด้านซ้ายและขวาของกราฟ ส่วนเดียวกันของกราฟจะถูกทำซ้ำอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

โดเมนของคำจำกัดความ: นั่นคือ สำหรับค่าใดๆ ของ “x” จะมีค่าไซน์

ช่วงของค่า: . ฟังก์ชั่นคือ จำกัด: นั่นคือ "เกม" ทั้งหมดจะอยู่ในส่วนนี้อย่างเคร่งครัด
สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น: หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือมันเกิดขึ้น แต่ สมการข้างต้นไม่มีวิธีแก้ปัญหา

จะสร้างพาราโบลาได้อย่างไร? มีหลายวิธีในการสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสอง แต่ละคนมีข้อดีและข้อเสีย ลองพิจารณาสองวิธี

เริ่มต้นด้วยการพล็อตฟังก์ชันกำลังสองของรูปแบบ y=x²+bx+c และ y= -x²+bx+c

ตัวอย่าง.

สร้างกราฟฟังก์ชัน y=x²+2x-3

สารละลาย:

y=x²+2x-3 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากจุดยอด (-1;-4) เราสร้างกราฟของพาราโบลา y=x² (จากจุดกำเนิดของพิกัด แทนที่จะเป็น (0;0) - จุดยอด (-1;-4) จาก (-1; -4) ไปทางขวา 1 หน่วยขึ้นไป 1 หน่วยจากนั้นไปทางซ้าย 1 และขึ้น 1; จากนั้น: 2 - ขวา, 4 - ขึ้น, 2 - ซ้าย, 3 - ขึ้น, 3 - ซ้าย 9 แต้ม ถ้า 7 แต้มนี้ไม่พอ ให้ 4 แต้มทางขวา 16 แต้มบน เป็นต้น)

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y= -x²+bx+c คือพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ลง ในการสร้างกราฟ เราจะมองหาพิกัดของจุดยอด จากนั้นสร้างพาราโบลา y= -x²

ตัวอย่าง.

สร้างกราฟฟังก์ชัน y= -x²+2x+8

สารละลาย:

y= -x²+2x+8 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากด้านบนเราสร้างพาราโบลา y= -x² (1 - ไปทางขวา, 1- ลง; 1 - ซ้าย, 1 - ลง; 2 - ขวา, 4 - ลง; 2 - ซ้าย, 4 - ลง ฯลฯ ):

วิธีนี้ช่วยให้คุณสร้างพาราโบลาได้อย่างรวดเร็วและไม่ยากหากคุณรู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชัน y=x² และ y= -x² ข้อเสีย: ถ้าพิกัดจุดยอดอยู่ ตัวเลขเศษส่วนการสร้างกราฟไม่สะดวกมากนัก หากคุณต้องการทราบค่าที่แน่นอนของจุดตัดของกราฟด้วยแกน Ox คุณจะต้องแก้สมการเพิ่มเติมx²+bx+c=0 (หรือ -x²+bx+c=0) แม้กระทั่ง หากสามารถกำหนดจุดเหล่านี้ได้โดยตรงจากภาพวาด

อีกวิธีในการสร้างพาราโบลาคือการใช้จุด กล่าวคือ คุณสามารถหาจุดต่างๆ บนกราฟแล้ววาดพาราโบลาผ่านจุดเหล่านั้นได้ (โดยคำนึงว่าเส้นตรง x=xₒ คือแกนสมมาตร) โดยปกติแล้วจะใช้จุดยอดของพาราโบลาซึ่งเป็นจุดตัดของกราฟที่มีแกนพิกัดและจุดเพิ่มเติมอีก 1-2 จุด

วาดกราฟของฟังก์ชัน y=x²+5x+4

สารละลาย:

y=x²+5x+4 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

นั่นคือ จุดยอดของพาราโบลาคือจุด (-2.5; -2.25)

เรากำลังมองหา. ณ จุดตัดกับแกน Ox y=0: x²+5x+4=0 ราก สมการกำลังสอง x1=-1, x2=-4 นั่นคือเราได้สองจุดบนกราฟ (-1; 0) และ (-4; 0)

ที่จุดตัดของกราฟด้วยแกน Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4 เราได้ประเด็นแล้ว (0; 4)

หากต้องการชี้แจงกราฟ คุณสามารถค้นหาจุดเพิ่มเติมได้ สมมติว่า x=1 จากนั้น y=1²+5∙1+4=10 นั่นคืออีกจุดบนกราฟคือ (1; 10) เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้ ประสานงานเครื่องบิน- เมื่อคำนึงถึงความสมมาตรของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับเส้นที่ผ่านจุดยอดของมัน เราจะทำเครื่องหมายอีกสองจุด: (-5; 6) และ (-6; 10) และวาดพาราโบลาผ่านพวกมัน:

สร้างกราฟฟังก์ชัน y= -x²-3x

สารละลาย:

y= -x²-3x เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จุดยอด (-1.5; 2.25) คือจุดแรกของพาราโบลา

ที่จุดตัดของกราฟกับแกนแอบซิสซา y=0 นั่นคือ เราจะแก้สมการ -x²-3x=0 รากของมันคือ x=0 และ x=-3 นั่นคือ (0;0) และ (-3;0) - อีกสองจุดบนกราฟ จุด (o; 0) ยังเป็นจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัดอีกด้วย

ที่ x=1 y=-1²-3∙1=-4 นั่นคือ (1; -4) เป็นจุดเพิ่มเติมสำหรับการวางแผน

การสร้างพาราโบลาจากจุดต่างๆ เป็นวิธีการที่ต้องใช้แรงงานมากกว่าเมื่อเทียบกับวิธีแรก ถ้าพาราโบลาไม่ตัดกับแกน Ox จะต้องมีจุดเพิ่มเติม

ก่อนที่จะสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบ y=ax²+bx+c ต่อไป ให้เราพิจารณาการสร้างกราฟของฟังก์ชันโดยใช้ การแปลงทางเรขาคณิต- วิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y=x²+c โดยใช้การแปลงแบบใดแบบหนึ่งคือการแปลแบบขนาน

หมวดหมู่: |