ประเภทบทเรียน:

ประเภทของบทเรียน:การบรรยายบทเรียนการแก้ปัญหา

ระยะเวลา: 2 ชั่วโมง.

เป้าหมาย:1)เรียนรู้วิธีการกราฟิก

2) แสดงการใช้โปรแกรม Maple ในการแก้ระบบอสมการโดยใช้วิธีกราฟิก

3) พัฒนาการรับรู้และการคิดในหัวข้อ

แผนการเรียน:

ความคืบหน้าของหลักสูตร

ขั้นที่ 1: วิธีการแบบกราฟิกประกอบด้วยการสร้างชุดของโซลูชัน LLP ที่เป็นไปได้ และการหาจุดในชุดนี้ซึ่งสอดคล้องกับค่าสูงสุด/ต่ำสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

เนื่องจากความเป็นไปได้ที่จำกัดของการแสดงภาพกราฟิก วิธีนี้จึงใช้สำหรับระบบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นที่มีสองสิ่งที่ไม่รู้และระบบที่สามารถลดลงในแบบฟอร์มนี้ได้เท่านั้น

เพื่อแสดงวิธีการแบบกราฟิกด้วยสายตา เราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้:

1. ในระยะแรกจำเป็นต้องสร้างพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ สำหรับตัวอย่างนี้ จะสะดวกที่สุดที่จะเลือก X2 สำหรับ abscissa และ X1 สำหรับพิกัด และเขียนความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบต่อไปนี้:

เนื่องจากทั้งกราฟและพื้นที่ของโซลูชันที่ยอมรับได้นั้นอยู่ในช่วงไตรมาสแรก ในการหาจุดขอบเขต เราแก้สมการ (1)=(2), (1)=(3) และ (2)=(3)

ดังที่เห็นได้จากภาพประกอบ ABCDE รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้

หากโดเมนของโซลูชันที่ยอมรับได้ไม่ถูกปิด ดังนั้น max(f)=+ ? หรือ min(f)= -?

2. ตอนนี้ เราสามารถดำเนินการค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f ได้โดยตรง

แทนพิกัดของจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นฟังก์ชัน f และเปรียบเทียบค่า เราพบว่า f(C)=f(4;1)=19 เป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

วิธีนี้ค่อนข้างมีประโยชน์สำหรับจุดยอดจำนวนน้อย แต่ขั้นตอนนี้อาจล่าช้าได้หากมีจุดยอดค่อนข้างมาก

ในกรณีนี้ การพิจารณาเส้นระดับของแบบฟอร์ม f=a จะสะดวกกว่า ด้วยการเพิ่มขึ้นซ้ำซากจำเจในจำนวน a จาก -? ถึง +? เส้น f=a ถูกแทนที่ตามเวกเตอร์ปกติ เวกเตอร์ปกติมีพิกัด (С1;С2) โดยที่ C1 และ C2 เป็นสัมประสิทธิ์ของค่าไม่ทราบค่าในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f=C1?X1+C2?X2+C0.. หากมี เป็นบางจุดในระหว่างการกระจัดของเส้นระดับ X เป็นจุดร่วมจุดแรกของพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (polytope ABCDE) และเส้นระดับ จากนั้น f(X) คือค่าต่ำสุดของ f บนชุด ABCDE ถ้า X เป็นจุดตัดสุดท้ายของเส้นระดับและเซต ABCDE ดังนั้น f(X) คือค่าสูงสุดในชุดของโซลูชันที่เป็นไปได้ ถ้าสำหรับ>-? เส้น f=a ตัดกับเซตของคำตอบที่ยอมรับได้ จากนั้น min(f)= -? หากสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อ a>+? แล้ว max(f)=+?

ในตัวอย่างของเรา เส้น f=a ตัดผ่านพื้นที่ ABCDE ที่จุด C(4;1) เนื่องจากเป็นจุดสุดท้ายของทางแยก max(f)=f(C)=f(4;1)=19

แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก หาวิธีแก้ปัญหาแบบเข้ามุม

x1>=0, x2>=0

>กับ(แปลง);

>กับ(plottools);

> S1:=แก้((f1x = X6, f2x = X6), );

คำตอบ: ทุกจุด Si โดยที่ i=1..10 ซึ่ง x และ y เป็นค่าบวก

พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยจุดเหล่านี้: (54/11.2/11) (5/7.60/7) (0.5) (10/3, 10/3)

ขั้นตอนที่ 3 นักเรียนแต่ละคนจะได้รับหนึ่งใน 20 ตัวเลือก โดยขอให้นักเรียนแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้วิธีการแบบกราฟิก และตัวอย่างที่เหลือเป็นการบ้าน

บทที่ 4 วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ประเภทบทเรียน:บทเรียนการเรียนรู้วัสดุใหม่

ประเภทของบทเรียน:บรรยาย + บทเรียนการแก้ปัญหา

ระยะเวลา: 2 ชั่วโมง.

เป้าหมาย: 1) ศึกษาวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น

2) เรียนรู้การใช้โปรแกรม Maple เมื่อแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

2) พัฒนาการรับรู้ความคิด

แผนการเรียน:ขั้นที่ 1: เรียนรู้เนื้อหาใหม่

ขั้นตอนที่ 2: การพัฒนาวัสดุใหม่ในแพ็คเกจทางคณิตศาสตร์ของ Maple

ขั้นตอนที่ 3: ตรวจสอบเนื้อหาที่เรียนและการบ้าน

ความคืบหน้าของหลักสูตร

วิธีการแบบกราฟิกค่อนข้างง่ายและชัดเจนสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นด้วยตัวแปรสองตัว มันขึ้นอยู่กับ เรขาคณิตการแสดงวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้และตัวกรองดิจิทัลของปัญหา

แต่ละอสมการของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น (1.2) กำหนดระนาบครึ่งบนระนาบพิกัด (รูปที่ 2.1) และระบบของอสมการโดยรวมกำหนดจุดตัดของระนาบที่สอดคล้องกัน เซตของจุดตัดของระนาบครึ่งนี้เรียกว่า ขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้(โอดีอาร์). ODR อยู่เสมอ นูนรูปคือ ซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ถ้าสองจุด A และ B เป็นของรูปนี้ ดังนั้น AB ทั้งหมดจะเป็นของจุดนั้น ODR สามารถแสดงแบบกราฟิกได้ด้วยรูปหลายเหลี่ยมนูน พื้นที่รูปหลายเหลี่ยมนูนไม่จำกัด ส่วน รังสี จุดเดียว หากระบบข้อจำกัดของปัญหา (1.2) ไม่สอดคล้องกัน ODE จะเป็นชุดว่าง

ทั้งหมดข้างต้นยังใช้กับกรณีที่ระบบข้อจำกัด (1.2) มีความเท่าเทียมกัน เนื่องจากความเท่าเทียมกันใดๆ

สามารถแสดงเป็นระบบของสองความไม่เท่าเทียมกัน (ดูรูปที่ 2.1)

ตัวกรองดิจิทัลที่ค่าคงที่กำหนดเส้นตรงบนระนาบ โดยการเปลี่ยนค่าของ L เราจะได้ตระกูลของเส้นคู่ขนานที่เรียกว่า เส้นระดับ.

เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงค่า L จะเปลี่ยนเฉพาะความยาวของส่วนที่ตัดโดยเส้นระดับบนแกน (พิกัดเริ่มต้น) และความชันของเส้นตรงจะคงที่ (ดูรูปที่ 2.1) ดังนั้นสำหรับการแก้ปัญหา มันจะเพียงพอที่จะสร้างเส้นระดับหนึ่งเส้นโดยเลือกค่า L โดยพลการ

เวกเตอร์ที่มีพิกัดจากค่าสัมประสิทธิ์ CF และตั้งฉากกับเส้นระดับแต่ละเส้น (ดูรูปที่ 2.1) ทิศทางของเวกเตอร์เท่ากับทิศทาง เพิ่มขึ้น CF ซึ่งเป็นจุดสำคัญในการแก้ปัญหา ทิศทาง จากมากไปน้อยตัวกรองดิจิทัลอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์

สาระสำคัญของวิธีการแบบกราฟิกมีดังนี้ ในทิศทาง (ตรงข้ามกับทิศทาง) ของเวกเตอร์ใน ODR จะทำการค้นหาจุดที่เหมาะสมที่สุด จุดที่เหมาะสมที่สุดคือจุดที่เส้นระดับผ่าน ซึ่งสอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน โซลูชันที่เหมาะสมที่สุดจะอยู่บนขอบเขต ODT เสมอ ตัวอย่างเช่น ที่จุดยอดสุดท้ายของรูปหลายเหลี่ยม ODT ที่เส้นเป้าหมายผ่าน หรือด้านข้างทั้งหมด

เมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรง สถานการณ์ต่อไปนี้เป็นไปได้: มีวิธีแก้ไขปัญหาเฉพาะ มีวิธีแก้ปัญหามากมาย (ทางเลือกทางเลือก); CF ไม่จำกัด; พื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้เป็นจุดเดียว ปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข

รูปที่ 2.1 การตีความทางเรขาคณิตของข้อจำกัดและ CF ของปัญหา

วิธีการแก้ปัญหา LP โดยวิธีกราฟิก

I. ในข้อจำกัดของปัญหา (1.2) ให้แทนที่เครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมายของความเท่าเทียมกันที่แน่นอนและสร้างเส้นตรงที่สอดคล้องกัน

ครั้งที่สอง ค้นหาและแรเงาระนาบครึ่งระนาบที่อนุญาตโดยข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันของปัญหา (1.2) ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนที่พิกัดของจุด [เช่น (0; 0)] เป็นอสมการเฉพาะ และตรวจสอบความจริงของความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น

ถ้าความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง

แล้วจำเป็นต้องแรเงาครึ่งระนาบที่มีจุดที่กำหนด

มิฉะนั้น(ความไม่เท่าเทียมกันเป็นเท็จ) จำเป็นต้องแรเงาครึ่งระนาบที่ไม่มีจุดที่กำหนด

เนื่องจากและต้องไม่เป็นค่าลบ ค่าที่ถูกต้องจึงจะอยู่เหนือแกนและด้านขวาของแกนเสมอ กล่าวคือ ในจตุภาคฉัน

ข้อจำกัดความเท่าเทียมกันอนุญาตเฉพาะจุดที่อยู่บนเส้นที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเน้นเส้นดังกล่าวบนกราฟ

สาม. กำหนด ODR เป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่เป็นของพื้นที่อนุญาตทั้งหมดพร้อมกัน และเลือก ในกรณีที่ไม่มี SDE ปัญหาก็ไม่มีวิธีแก้ไข

IV. หาก ODS ไม่ใช่ชุดว่าง ก็จำเป็นต้องสร้างเส้นเป้าหมาย กล่าวคือ เส้นระดับใดๆ (โดยที่ L คือจำนวนที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น ทวีคูณของ และ นั่นคือ สะดวกสำหรับการคำนวณ) วิธีการก่อสร้างคล้ายกับการสร้างข้อจำกัดโดยตรง

V. สร้างเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุด (0;0) และสิ้นสุดที่จุด หากเส้นเป้าหมายและเวกเตอร์ถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้อง พวกมันจะ ตั้งฉาก.

หก. เมื่อค้นหาตัวกรองดิจิตอลสูงสุด จำเป็นต้องย้ายเส้นเป้าหมาย ในทิศทางเวกเตอร์เมื่อค้นหาตัวกรองดิจิทัลขั้นต่ำ - ต่อต้านทิศทางเวกเตอร์ ด้านบนสุดของ ODR ในทิศทางของการเคลื่อนไหวจะเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของ CF หากไม่มีประเด็นดังกล่าว เราก็สรุปได้ว่า ความไร้ขอบเขตของตัวกรองดิจิทัลในชุดแผนจากด้านบน (เมื่อค้นหาค่าสูงสุด) หรือจากด้านล่าง (เมื่อค้นหาค่าต่ำสุด)

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว กำหนดพิกัดของจุดสูงสุด (นาที) ของตัวกรองดิจิทัลและคำนวณค่าของตัวกรองดิจิทัล ในการคำนวณพิกัดของจุดที่เหมาะสม จำเป็นต้องแก้ระบบสมการของเส้นตรงที่จุดตัดที่มันตั้งอยู่

แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

1. f(x)=2x1+x2 ->extr

x1>=0, x2>=0

>พล็อต((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2.5.5, b=-2..5, ตัวเลือกที่เป็นไปได้=(สี=สีแดง),

optionsopen=(สี=สีน้ำเงิน,ความหนา=2),

ตัวเลือกปิด=(สี=สีเขียว,ความหนา=3),

optionsexcluded=(สี=สีเหลือง));

> ด้วย (simplex):

> C:=(x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup((x+y .)<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

>n:=พื้นฐาน(dp);

W จอแสดงผล (C,);

> L:=cterm(C);

W X:=dual(f,C,p);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=minimize(f,C ,NONNEGATIVE);

f_min:=subs(R1,f);

คำตอบ: เมื่อไร x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; ที่ x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

บทเรียน #5

ประเภทบทเรียน:การควบคุมบทเรียน + บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่ ประเภทของบทเรียน: บรรยาย.

ระยะเวลา: 2 ชั่วโมง.

เป้าหมาย:1)ตรวจสอบและรวบรวมความรู้เกี่ยวกับเนื้อหาที่ผ่านมาในบทเรียนก่อนหน้า

2) เรียนรู้วิธีใหม่ในการแก้เกมเมทริกซ์

3) พัฒนาความจำการคิดทางคณิตศาสตร์และความสนใจ

ขั้นตอนที่ 1: ตรวจสอบการบ้านในรูปแบบของงานอิสระ

ขั้นตอนที่ 2:ให้คำอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับวิธีซิกแซก

ขั้นที่ 3:รวมเนื้อหาใหม่และให้การบ้าน

ความคืบหน้าของหลักสูตร

วิธีการโปรแกรมเชิงเส้น - วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ลดลงเป็นแบบจำลองทางการของโปรแกรมเชิงเส้นตรง

ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นใดๆ สามารถลดลงเป็นโมเดลมาตรฐานสำหรับการลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นให้เหลือน้อยที่สุดด้วยข้อจำกัดประเภทความเท่าเทียมกันเชิงเส้น เนื่องจากจำนวนตัวแปรในปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีมากกว่าจำนวนข้อจำกัด (n > m) จึงสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้โดยการใส่ตัวแปร (n - m) ให้เป็นศูนย์ เรียกว่า ฟรี. ตัวแปร m ที่เหลือเรียกว่า ขั้นพื้นฐานสามารถกำหนดได้ง่าย ๆ จากระบบข้อจำกัดความเท่าเทียมกันโดยใช้วิธีปกติของพีชคณิตเชิงเส้น หากมีวิธีแก้ปัญหาจะเรียกว่า ขั้นพื้นฐาน. หากยอมรับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานได้จะเรียกว่า พื้นฐานที่ยอมรับได้. วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ในเชิงเรขาคณิตนั้นสอดคล้องกับจุดยอด (จุดสุดขีด) ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งจำกัดชุดของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ หากปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นตรงมีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสม อย่างน้อยหนึ่งในนั้นก็ถือเป็นปัญหาพื้นฐาน

ข้อพิจารณาข้างต้นหมายความว่าเมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นตรง ก็เพียงพอแล้วที่จะจำกัดตัวเองให้อยู่ในการแจงนับโซลูชันพื้นฐานที่ยอมรับได้ จำนวนคำตอบพื้นฐานเท่ากับจำนวนชุดค่าผสมของตัวแปร n ตัวในหน่วย m:

C = m n! /นาโนเมตร! * (n - ม.)!

และสามารถมีขนาดใหญ่พอที่จะแจกแจงได้โดยการแจงนับโดยตรงในแบบเรียลไทม์ ความจริงที่ว่าไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานทั้งหมดที่เป็นที่ยอมรับไม่ได้เปลี่ยนสาระสำคัญของปัญหาเนื่องจากจะต้องได้รับในการประเมินการยอมรับของโซลูชันพื้นฐาน

J. Dantzig ปัญหาของการแจงนับอย่างมีเหตุผลของการแก้ปัญหาพื้นฐานของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น วิธีการแบบซิมเพล็กซ์ที่เสนอโดยเขาเป็นวิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไปที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด วิธีซิมเพล็กซ์ใช้การแจงนับของโซลูชั่นพื้นฐานที่เป็นไปได้โดยตรงตามจุดสุดขีดที่สอดคล้องกันของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนของโซลูชั่นที่เป็นไปได้เป็นกระบวนการวนซ้ำ โดยที่ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะลดลงในแต่ละขั้นตอนอย่างเคร่งครัด การเปลี่ยนแปลงระหว่างจุดสุดโต่งจะดำเนินการตามขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนของสารละลายที่เป็นไปได้ตามการเปลี่ยนแปลงเชิงพีชคณิตเชิงเส้นอย่างง่ายของระบบข้อจำกัด เนื่องจากจำนวนจุดสุดขั้วมีจำกัด และฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นแบบเส้นตรง จากนั้นโดยการจัดเรียงจุดสุดขั้วในทิศทางของการลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ วิธีแบบซิมเพล็กซ์จะบรรจบกับค่าต่ำสุดของโลกในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด

การปฏิบัติได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับปัญหาที่ใช้กันมากที่สุดของโปรแกรมเชิงเส้นตรง วิธีแบบซิมเพล็กซ์ช่วยให้สามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดในจำนวนขั้นตอนที่ค่อนข้างน้อย เมื่อเทียบกับจำนวนจุดสุดขั้วทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยอมรับได้ ในเวลาเดียวกัน เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นบางอย่างที่มีรูปแบบที่เลือกมาเป็นพิเศษของภูมิภาคที่ยอมรับได้ การใช้วิธีซิมเพล็กซ์จะนำไปสู่การแจงนับจุดสุดขั้วอย่างสมบูรณ์ ความจริงข้อนี้กระตุ้นการค้นหาวิธีการใหม่ที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น โดยอาศัยแนวคิดอื่นที่ไม่ใช่วิธีซิมเพล็กซ์ ซึ่งช่วยให้สามารถแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นใดๆ ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด น้อยกว่าจำนวนสุดโต่งอย่างมีนัยสำคัญ คะแนน

ในบรรดาวิธีการโปรแกรมเชิงเส้นพหุนามที่ไม่แปรผันกับการกำหนดค่าช่วงของค่าที่อนุญาต โดยทั่วไปคือวิธีการของ L.G. คาชิยัน. อย่างไรก็ตาม แม้ว่าวิธีนี้จะมีค่าประมาณความซับซ้อนของพหุนามขึ้นอยู่กับขนาดของปัญหา แต่กลับกลายเป็นว่าไม่สามารถแข่งขันได้เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีแบบซิมเพล็กซ์ เหตุผลก็คือการพึ่งพาจำนวนการวนซ้ำของวิธีซิมเพล็กซ์ในมิติของปัญหานั้นแสดงโดยพหุนามลำดับที่ 3 สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ ในขณะที่วิธีคาชิยัน การพึ่งพาอาศัยกันนี้มักจะมีลำดับอย่างน้อย ที่ 4 ข้อเท็จจริงนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการปฏิบัติ ซึ่งปัญหาเชิงประยุกต์ที่ซับซ้อนสำหรับวิธีซิมเพล็กซ์นั้นหายากมาก

ควรสังเกตด้วยว่าสำหรับปัญหาประยุกต์ของโปรแกรมเชิงเส้นตรงที่มีความสำคัญในทางปฏิบัติ ได้มีการพัฒนาวิธีการพิเศษที่คำนึงถึงลักษณะเฉพาะของข้อจำกัดของปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปัญหาการขนส่งที่เป็นเนื้อเดียวกันจะใช้อัลกอริธึมพิเศษสำหรับการเลือกพื้นฐานเริ่มต้นซึ่งมีชื่อเสียงที่สุดคือวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือและวิธี Vogel โดยประมาณและการใช้อัลกอริธึมของวิธีซิมเพล็กซ์นั้นใกล้เคียงกับลักษณะเฉพาะของ ปัญหา. ในการแก้ปัญหาการกำหนดเส้นตรง (ปัญหาทางเลือก) แทนที่จะใช้วิธีแบบซิมเพล็กซ์ มักใช้อัลกอริธึมของฮังการี โดยยึดตามการตีความปัญหาในแง่ของทฤษฎีกราฟว่าเป็นปัญหาในการค้นหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบที่ถ่วงน้ำหนักสูงสุดในคู่ กราฟหรือวิธี Mack

แก้เกมเมทริกซ์ 3x3

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> ด้วย (simplex):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

W จอแสดงผล (C,);

> เป็นไปได้ (C, NONNEGATIVE , "NewC", "Transform");

> S:=dual(f,C,p);

W R:=maximize(f,C ,NNNEGATIVE);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=minimize(S ,NONNEGATIVE);

>G:=p1+p2+p3;

> f_min:=subs(R1,G);

ค้นหาราคาของเกม

> V:=1/f_max;

ค้นหากลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับผู้เล่นคนแรก >X:=V*R1;

ค้นหากลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับผู้เล่นคนที่สอง

คำตอบ: เมื่อ X=(3/7, 3/7,17) V=9/7; ด้วย Y=(3/7.1/7.3/7) V=9/7;

นักเรียนแต่ละคนจะได้รับหนึ่งใน 20 ตัวเลือก ซึ่งนักเรียนจะถูกขอให้แก้เกมเมทริกซ์ 2x2 อย่างอิสระ และตัวอย่างที่เหลือเป็นการบ้าน

เป้าหมาย:

1. ทำซ้ำความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง

2. ทำความคุ้นเคยกับวิธีการแก้อสมการกำลังสองตามคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสอง

อุปกรณ์:มัลติมีเดีย, การนำเสนอ "การแก้สมการกำลังสอง", การ์ดสำหรับงานอิสระ, ตาราง "อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการกำลังสอง", แผ่นควบคุมด้วยกระดาษคาร์บอน

ระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร (1 นาที)

ครั้งที่สอง อัพเดทความรู้พื้นฐาน(10 นาที)

1. พล็อตฟังก์ชันกำลังสอง y \u003d x 2 -6x + 8<Рисунок 1. Приложение >

• การกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา
• การกำหนดพิกัดของจุดยอดพาราโบลา
• การกำหนดแกนสมมาตร
• การกำหนดจุดตัดด้วยแกนพิกัด
• การหาจุดเพิ่มเติม

2. กำหนดจากการวาดเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ a และจำนวนรากของสมการ ax 2 +in+c=0<Рисунок 2. Приложение >

3. ตามกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 -4x + 3 ให้กำหนด:

• อะไรคือศูนย์ของฟังก์ชัน
• ค้นหาช่วงเวลาที่ฟังก์ชันใช้ค่าบวก
• ค้นหาช่วงเวลาที่ฟังก์ชันใช้ค่าลบ
• ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นที่ค่า x และค่าใดบ้างที่ลดลง<Рисунок 3>

4. เรียนรู้ความรู้ใหม่ (12 นาที)

งาน 1: แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: x 2 +4x-5 > 0.

ความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้นจากค่า x ซึ่งค่าของฟังก์ชัน y=x 2 +4x-5 เท่ากับศูนย์หรือค่าบวก นั่นคือ ค่า x เหล่านั้นที่จุดของพาราโบลาอยู่ บนแกน x หรือเหนือแกนนี้

มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 + 4x-5 กัน

ด้วยแกน x: X 2 + 4x-5 \u003d 0 ตามทฤษฎีบทเวียตา: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -5 คะแนน(1;0),(-5;0).

ด้วยแกน y: y(0)=-5 จุด (0;-5)

จุดเพิ่มเติม: y(-1)=-8, y(2)=7.<Рисунок 4>

บรรทัดล่าง: ค่าของฟังก์ชันเป็นค่าบวกและเท่ากับศูนย์ (ไม่เป็นค่าลบ) เมื่อ

• จำเป็นต้องพลอตฟังก์ชันกำลังสองอย่างละเอียดทุกครั้งเพื่อแก้อสมการหรือไม่?
• ฉันจำเป็นต้องหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาหรือไม่
• อะไรคือสิ่งสำคัญ? (ก, x 1, x 2)

สรุป: ในการแก้อสมการกำลังสอง มันก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดศูนย์ของฟังก์ชัน ทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา และสร้างภาพร่างของกราฟ

งาน 2: แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: x 2 -6x + 8 < 0.

วิธีแก้ปัญหา: ลองหารากของสมการ x 2 -6x+8=0 กัน

ตามทฤษฎีบทเวียตา: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 4

a>0 - กิ่งก้านของพาราโบลาพุ่งขึ้นข้างบน

มาสร้างภาพร่างของกราฟกัน<Рисунок 5>

เราทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย "+" และ "–" ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ฟังก์ชันใช้ค่าบวกและค่าลบ เลือกช่วงเวลาที่เราต้องการ

คำตอบ: X€

5. การรวมวัสดุใหม่ (7 นาที)

เลขที่ 660 (3). นักเรียนตัดสินใจบนกระดาน

แก้อสมการ-x 2 -3x-2<0.

X 2 -3x-2=0; x 2 +3x+2=0;

รากของสมการ: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -2

เอ<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

หมายเลข 660 (1) - ทำงานกับกระดานที่ซ่อนอยู่

แก้อสมการ x 2 -3x + 2 < 0.

วิธีแก้ไข: x 2 -3x+2=0

มาหารากกัน: ; x 1 =1, x 2 =2.

a>0 - แตกสาขาขึ้น เราสร้างภาพร่างของกราฟของฟังก์ชัน<Рисунок 7>

อัลกอริทึม:

1. ค้นหารากของสมการ ax 2 + ใน + c \u003d 0
2. ทำเครื่องหมายบนระนาบพิกัด
3. กำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา
4. ร่างแผนภูมิ
5. ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย "+" และ "-" ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ฟังก์ชันใช้ค่าบวกและค่าลบ
6. เลือกช่วงเวลาที่ต้องการ

6. งานอิสระ (10 นาที)

(แผนกต้อนรับ - กระดาษคาร์บอน)

เอกสารควบคุมได้รับการลงนามและส่งมอบให้กับครูเพื่อตรวจสอบและแก้ไข

คณะกรรมการตรวจสอบตนเอง

งานเพิ่มเติม:

№ 670 ค้นหาค่าของ x ที่ฟังก์ชันรับค่าไม่เกินศูนย์: y=x 2 +6x-9

7. การบ้าน (2 นาที)

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

กรอกตาราง:

ดี	ความไม่เท่าเทียมกัน	เอ	การวาดภาพ	วิธีการแก้
D>0	ขวาน 2 + ใน + s > 0	a>0
D>0	ขวาน 2 + ใน + s > 0	เอ<0
D>0	ขวาน 2 + ใน + s < 0	a>0
D>0	ขวาน 2 + ใน + s < 0	เอ<0

8. สรุปบทเรียน (3 นาที)

1. ทำซ้ำอัลกอริทึมสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกัน
2. ใครทำผลงานได้ดี?
3. อะไรที่ดูเหมือนยาก?

วิธีกราฟิกเป็นหนึ่งในวิธีการหลักในการแก้อสมการกำลังสอง ในบทความ เราจะนำเสนออัลกอริทึมสำหรับการใช้วิธีการแบบกราฟิก แล้วพิจารณากรณีพิเศษโดยใช้ตัวอย่าง

สาระสำคัญของวิธีการแบบกราฟิก

วิธีนี้ใช้ได้กับการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ไม่ใช่แค่กำลังสอง สาระสำคัญของมันคือสิ่งนี้: ส่วนด้านขวาและด้านซ้ายของอสมการถือเป็นสองฟังก์ชันที่แยกจากกัน y \u003d f (x) และ y \u003d g (x) กราฟของพวกมันถูกสร้างขึ้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและพวกเขาดูว่า กราฟจะตั้งอยู่เหนือกราฟอื่น และอยู่ในระยะใด ช่วงเวลาจะได้รับการประเมินดังนี้:

คำจำกัดความ 1

• คำตอบของอสมการ f(x) > g(x) คือช่วงที่กราฟของฟังก์ชัน f สูงกว่ากราฟของฟังก์ชัน g
• คำตอบของอสมการ f (x) ≥ g (x) คือช่วงที่กราฟของฟังก์ชัน f ไม่ต่ำกว่ากราฟของฟังก์ชัน g
• คำตอบของอสมการ f (x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• คำตอบของอสมการ f (x) ≤ g (x) คือช่วงที่กราฟของฟังก์ชัน f ไม่สูงกว่ากราฟของฟังก์ชัน g
• abscissas ของจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน f และ g เป็นคำตอบของสมการ f(x) = g(x)

พิจารณาอัลกอริธึมข้างต้นพร้อมตัวอย่าง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) และรับหน้าที่สองจากมัน ด้านซ้ายของอสมการจะตรงกับ y = a x 2 + b x + c (ในกรณีนี้ f (x) = a x 2 + b x + c) และด้านขวา y = 0 (ในกรณีนี้ g (x) = 0 ).

กราฟของฟังก์ชันแรกคือพาราโบลา กราฟที่สองคือเส้นตรงที่ประจวบกับแกน x ลองวิเคราะห์ตำแหน่งของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับแกน x ในการทำเช่นนี้เราจะทำการวาดแผนผัง

กิ่งก้านของพาราโบลาจะพุ่งขึ้นไปข้างบน มันตัดแกน x ที่จุด x 1และ x2. ค่าสัมประสิทธิ์ a ถึง กรณีนี้บวกเนื่องจากเป็นผู้รับผิดชอบทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา discriminant เป็นค่าบวก ซึ่งบ่งชี้ว่าจตุรัสไตรนามมีสองราก ก x 2 + ข x + ค. เราแสดงถึงรากของ trinomial as x 1และ x2และเป็นที่ยอมรับว่า x 1< x 2 เนื่องจากบนแกน O x พวกเขาแสดงจุดที่มี abscissa x 1ไปทางซ้ายของจุดด้วย abscissa x2.

ส่วนของพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน O x แสดงด้วยสีแดง ด้านล่างเป็นสีน้ำเงิน ซึ่งจะทำให้เราสามารถวาดภาพได้ชัดเจนขึ้น

มาเลือกช่องว่างที่สอดคล้องกับส่วนเหล่านี้และทำเครื่องหมายในช่องที่มีสีใดสีหนึ่งในรูป

เราทำเครื่องหมายระยะห่างเป็นสีแดง (− ∞, x 1) และ (x 2, + ∞) บนพาราโบลานั้น พาราโบลาอยู่เหนือแกน O x พวกมันคือ a x 2 + b x + c > 0 ในสีน้ำเงินเราทำเครื่องหมายช่วงเวลา (x 1 , x 2) ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

มาจดบันทึกวิธีแก้ปัญหากัน สำหรับ a > 0 และ D = b 2 − 4 a c > 0 (หรือ D " = D 4 > 0 สำหรับสัมประสิทธิ์คู่ b) เราได้รับ:

• คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c > 0 คือ (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) หรือในอีกทางหนึ่ง x< x 1 , x >x2;
• คำตอบของอสมการกำลังสอง a · x 2 + b · x + c ≥ 0 คือ (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c ≤ 0 คือ [ x 1 , x 2 ] หรือในรูปแบบอื่น x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

โดยที่ x 1 และ x 2 คือรากของสแควร์ไตรโนเมียล a x 2 + b x + c และ x 1< x 2 .

ในรูปนี้ พาราโบลาสัมผัสแกน O x เพียงจุดเดียว ซึ่งระบุเป็น x0 a > 0. D=0ดังนั้น trinomial สแควร์มีหนึ่งรูท x0.

พาราโบลาตั้งอยู่เหนือแกน O x อย่างสมบูรณ์ ยกเว้นจุดสัมผัสของแกนพิกัด ระบายสีช่องว่าง (- ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

มาเขียนผลลัพธ์กัน ที่ a > 0และ D=0:

• คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c > 0คือ (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ≠ x0;
• คำตอบของอสมการกำลังสอง ก x 2 + ข x + ค ≥ 0เป็น (− ∞ , + ∞) หรือในสัญลักษณ์อื่น x ∈ R ;
• อสมการกำลังสอง ก x 2 + ข x + ค< 0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่มีช่วงที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน O x);
• อสมการกำลังสอง ก x 2 + ข x + ค ≤ 0มีทางออกเดียว x = x0(ได้รับจากจุดติดต่อ)

ที่ไหน x0- รากของไตรนามสแควร์ ก x 2 + ข x + ค.

พิจารณากรณีที่สาม เมื่อกิ่งของพาราโบลาชี้ขึ้นด้านบนและไม่สัมผัสแกน O x. กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น ซึ่งหมายความว่า a > 0. ไตรโนเมียลกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงเพราะ ดี< 0 .

ไม่มีช่วงเวลาบนกราฟที่พาราโบลาจะอยู่ใต้แกน x เราจะคำนึงถึงสิ่งนี้เมื่อเลือกสีสำหรับภาพวาดของเรา

ปรากฎว่าเมื่อ a > 0และ ดี< 0 คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c > 0และ ก x 2 + ข x + ค ≥ 0คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และอสมการ ก x 2 + ข x + ค< 0 และ ก x 2 + ข x + ค ≤ 0ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เรายังคงต้องพิจารณาสามตัวเลือกเมื่อกิ่งของพาราโบลาถูกชี้ลง เราไม่จำเป็นต้องพิจารณาตัวเลือกทั้งสามนี้ เนื่องจากเมื่อคูณอสมการทั้งสองส่วนด้วย − 1 เราจะได้อสมการเทียบเท่ากับสัมประสิทธิ์บวกที่ x 2

การพิจารณาส่วนก่อนหน้าของบทความเตรียมเราให้พร้อมสำหรับการรับรู้อัลกอริธึมสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้วิธีการแบบกราฟิก ในการคำนวณเราจะต้องใช้ภาพวาดทุกครั้งซึ่งจะแสดงเส้นพิกัด O x และพาราโบลาที่สอดคล้องกับฟังก์ชันกำลังสอง y = ก x 2 + ข x + c. ในกรณีส่วนใหญ่ เราจะไม่แสดงภาพแกน O y เนื่องจากไม่จำเป็นสำหรับการคำนวณ และจะโหลดภาพวาดมากเกินไปเท่านั้น

ในการสร้างพาราโบลา เราต้องรู้สองสิ่ง:

คำจำกัดความ 2

• ทิศทางของกิ่งก้านซึ่งถูกกำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์ a ;
• การปรากฏตัวของจุดตัดของพาราโบลาและแกน abscissa ซึ่งถูกกำหนดโดยค่าของ discriminant ของ trinomial สี่เหลี่ยม ก · x 2 + ข · x + ค.

เราจะกำหนดจุดตัดและสัมผัสกันตามปกติเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวดและว่างเปล่าเมื่อแก้ปัญหาที่เข้มงวด

การวาดภาพเสร็จแล้วช่วยให้คุณไปยังขั้นตอนถัดไปของโซลูชันได้ มันเกี่ยวข้องกับการกำหนดช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือหรือใต้แกน O x ช่องว่างและจุดตัดกันเป็นคำตอบของอสมการกำลังสอง หากไม่มีจุดตัดหรือจุดสัมผัส และไม่มีช่วงห่าง ถือว่าความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขของปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข

ทีนี้ มาแก้ความไม่เท่าเทียมกันกำลังสองโดยใช้อัลกอริธึมข้างต้นกัน

ตัวอย่าง 1

จำเป็นต้องแก้อสมการ 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 แบบกราฟิก

วิธีการแก้

ลองวาดกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . ค่าสัมประสิทธิ์ที่ x2บวกเพราะ 2 . ซึ่งหมายความว่ากิ่งก้านของพาราโบลาจะพุ่งขึ้นไปข้างบน

เราคำนวณ discriminant ของจตุรัสไตรนาม 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 เพื่อหาว่าพาราโบลามีจุดร่วมกับแกน x หรือไม่ เราได้รับ:

D \u003d 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) \u003d 400 9

อย่างที่คุณเห็น D มากกว่าศูนย์ ดังนั้นเราจึงมีจุดตัดสองจุด: x 1 \u003d - 5 1 3 - 400 9 2 2 และ x 2 \u003d - 5 1 3 + 400 9 2 2 นั่นคือ x 1 = − 3และ x 2 = 1 3.

เรากำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวด ดังนั้นเราจึงใส่จุดธรรมดาบนกราฟ เราวาดพาราโบลา อย่างที่คุณเห็น ภาพวาดมีลักษณะเหมือนกับในเทมเพลตแรกที่เราตรวจสอบ

ความไม่เท่าเทียมกันของเรามีเครื่องหมาย ≤ ดังนั้น เราจำเป็นต้องเลือกช่องว่างบนกราฟที่มีพาราโบลาอยู่ใต้แกน O x และเพิ่มจุดตัดกัน

ช่วงเวลาที่เราต้องการคือ − 3 , 1 3 . เราเพิ่มจุดตัดและรับส่วนตัวเลข − 3 , 1 3 . นี่คือการแก้ปัญหาของเรา คำตอบสามารถเขียนเป็นอสมการคู่ได้: − 3 ≤ x ≤ 1 3

ตอบ:− 3 , 1 3 หรือ − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

ตัวอย่าง 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 วิธีการแบบกราฟิก

วิธีการแก้

สี่เหลี่ยมจัตุรัสของตัวแปรมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขติดลบ ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลงด้านล่าง คำนวณส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติ D" = 8 2 − (− 1) (− 63) = 64 − 63 = 1. ผลลัพธ์นี้บอกเราว่าจะมีจุดตัดกันสองจุด

มาคำนวณรากของสแควร์ทริโนเมียลกัน: x 1 \u003d - 8 + 1 - 1 และ x 2 \u003d - 8 - 1 - 1, x 1 \u003d 7 และ x2 = 9.

ปรากฎว่าพาราโบลาตัดกับแกน x ที่จุด 7 และ 9 . เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนกราฟว่าว่างเปล่า เนื่องจากเรากำลังดำเนินการกับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเคร่งครัด หลังจากนั้น เราวาดพาราโบลาที่ตัดแกน O x ที่จุดที่ทำเครื่องหมายไว้

เราจะสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน O x ทำเครื่องหมายช่วงเวลาเหล่านี้เป็นสีน้ำเงิน

เราได้รับคำตอบ: วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคือช่วงเวลา (− ∞ , 7) , (9 , + ∞)

ตอบ:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x< 7 , x > 9 .

ในกรณีที่ discriminant ของ trinomial สแควร์เป็นศูนย์ ต้องใช้ความระมัดระวังเพื่อพิจารณาว่าจะรวม abscissa ของจุดสัมผัสในคำตอบหรือไม่ เพื่อการตัดสินใจที่ถูกต้อง จำเป็นต้องคำนึงถึงเครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกันด้วย ในความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด จุดสัมผัสของแกน abscissa ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันในสิ่งที่ไม่เข้มงวด

ตัวอย่างที่ 3

แก้อสมการกำลังสอง 10 x 2 − 14 x + 4 , 9 ≤ 0วิธีการแบบกราฟิก

วิธีการแก้

กิ่งก้านของพาราโบลาในกรณีนี้จะพุ่งขึ้นไปข้างบน มันจะแตะแกน O x ที่จุด 0, 7 เนื่องจาก

มาพลอตฟังก์ชันกัน y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. กิ่งก้านของมันพุ่งขึ้นไปเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ที่ x2บวก และมันสัมผัสแกน x ที่จุดกับแกน x 0 , 7 , เพราะ D" = (− 7) 2 − 10 4 , 9 = 0โดยที่ x 0 = 7 10 หรือ 0 , 7 .

ลองใส่จุดแล้ววาดพาราโบลา

เรากำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวดด้วยเครื่องหมาย ≤ เพราะเหตุนี้. เราจะสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน x และจุดสัมผัส ไม่มีช่วงเวลาในรูปที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขของเรา มีเพียงจุดสัมผัส 0, 7 นี่คือทางออกที่ต้องการ

ตอบ:ความไม่เท่าเทียมกันมีทางออกเดียวเท่านั้น 0 , 7

ตัวอย่างที่ 4

แก้อสมการกำลังสอง – x 2 + 8 x − 16< 0 .

วิธีการแก้

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์ จุดแยก x0 = 4.

เราทำเครื่องหมายจุดสัมผัสบนแกน x และวาดพาราโบลา

เรากำลังเผชิญกับความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ดังนั้นเราจึงสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน O x มาทำเครื่องหมายเป็นสีน้ำเงินกันเถอะ

จุดที่มี abscissa 4 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากพาราโบลาไม่ได้อยู่ใต้แกน O x ที่จุดนั้น ดังนั้นเราจึงได้สองช่วงเวลา (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

ตอบ: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) หรือในสัญลักษณ์อื่น x ≠ 4 .

ไม่เสมอกับค่าลบของการเลือกปฏิบัติ ความไม่เท่าเทียมกันจะไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีหลายกรณีที่คำตอบจะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการกำลังสอง 3 · x 2 + 1 > 0 แบบกราฟิก

วิธีการแก้

สัมประสิทธิ์ a เป็นบวก การเลือกปฏิบัติเป็นลบ กิ่งก้านของพาราโบลาจะพุ่งขึ้นไปข้างบน ไม่มีจุดตัดของพาราโบลากับแกน O x ลองหันไปวาดรูป

เราทำงานกับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเคร่งครัด ซึ่งมีเครื่องหมาย > ซึ่งหมายความว่าเราสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือแกน x นี่เป็นกรณีที่คำตอบคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

ตอบ:(− ∞ , + ∞) หรือประมาณนั้น x ∈ R .

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องหาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0วิธีกราฟิก

วิธีการแก้

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง discriminant เป็นค่าลบ ดังนั้นจึงไม่มีจุดร่วมของพาราโบลาและแกน x ลองหันไปวาดรูป

เราทำงานกับอสมการแบบไม่เข้มงวดกับเครื่องหมาย ≥ ดังนั้นเราจึงสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือแกน x ตัดสินโดยกำหนดการไม่มีช่องว่างดังกล่าว ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันในเงื่อนไขของปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข

ตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ระดับแรก

การแก้สมการ อสมการ ระบบโดยใช้กราฟฟังก์ชัน คู่มือภาพ (2019)

งานหลายอย่างที่เราเคยใช้ในการคำนวณเชิงพีชคณิตล้วนสามารถแก้ไขได้ง่ายและรวดเร็วขึ้น การใช้กราฟฟังก์ชันจะช่วยเราในเรื่องนี้ คุณพูดว่า "ยังไง" วาดบางสิ่งบางอย่างและจะวาดอะไร? เชื่อฉันสิ บางครั้งมันก็สะดวกและง่ายกว่า เราควรจะเริ่มเลย? เริ่มจากสมการกันก่อน!

การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของสมการ

การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของสมการเชิงเส้น

อย่างที่คุณทราบแล้ว กราฟของสมการเชิงเส้นเป็นเส้นตรง จึงเป็นที่มาของชื่อประเภทนี้ สมการเชิงเส้นแก้พีชคณิตค่อนข้างง่าย - เราถ่ายโอนค่าที่ไม่ทราบค่าทั้งหมดไปที่ด้านหนึ่งของสมการ ทุกสิ่งที่เรารู้ - ไปยังอีกด้านหนึ่ง และ ว้าว! เราได้พบต้นตอ ตอนนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็นวิธีการทำ วิธีกราฟิก

ดังนั้นคุณมีสมการ:

วิธีแก้ปัญหา?
ตัวเลือกที่ 1, และที่พบบ่อยที่สุดคือการย้ายสิ่งที่ไม่รู้จักไปด้านหนึ่งและด้านที่รู้จักไปอีกด้านหนึ่ง เราได้รับ:

และตอนนี้เรากำลังสร้าง คุณได้อะไร

คุณคิดว่ารากของสมการของเราคืออะไร? ถูกต้อง พิกัดของจุดตัดของกราฟ:

คำตอบของเราคือ

นั่นคือภูมิปัญญาทั้งหมดของโซลูชันกราฟิก อย่างที่คุณตรวจสอบได้ง่ายๆ รากของสมการของเราคือตัวเลข!

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น นี่เป็นตัวเลือกที่พบบ่อยที่สุด ซึ่งใกล้เคียงกับคำตอบเกี่ยวกับพีชคณิต แต่คุณสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น ในการพิจารณาวิธีแก้ปัญหาอื่น ให้กลับไปที่สมการของเรา:

คราวนี้เราจะไม่ย้ายอะไรจากด้านหนึ่งไปอีกด้าน แต่จะสร้างกราฟโดยตรงดังที่เป็นอยู่ตอนนี้:

สร้าง? ดู!

ทางออกในครั้งนี้คืออะไร? ไม่เป็นไร. พิกัดของจุดตัดของกราฟก็เช่นเดียวกัน:

และอีกครั้ง คำตอบของเราคือ

อย่างที่คุณเห็น ด้วยสมการเชิงเส้น ทุกอย่างง่ายมาก ถึงเวลาพิจารณาเรื่องที่ซับซ้อนมากขึ้น... ตัวอย่างเช่น การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของสมการกำลังสอง

การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของสมการกำลังสอง

ทีนี้ เรามาเริ่มแก้สมการกำลังสองกัน สมมติว่าคุณต้องหารากของสมการนี้:

แน่นอน ตอนนี้คุณสามารถเริ่มนับผ่านการเลือกปฏิบัติหรือตามทฤษฎีบทเวียตาได้ แต่เส้นประสาทจำนวนมากทำผิดพลาดเมื่อคูณหรือยกกำลังสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าตัวอย่างที่มีจำนวนมาก และอย่างที่คุณทราบ คุณจะไม่มี เครื่องคิดเลขในการสอบ ... ดังนั้นลองผ่อนคลายสักหน่อยแล้ววาดในขณะที่แก้สมการนี้

คุณสามารถหาคำตอบของสมการนี้ได้แบบกราฟิก วิธีทางที่แตกต่าง. พิจารณาตัวเลือกต่างๆ แล้วคุณจะเลือกตัวเลือกที่คุณชอบที่สุด

วิธีที่ 1 โดยตรง

เราแค่สร้างพาราโบลาตามสมการนี้:

เพื่อให้รวดเร็วขึ้น ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อยแก่คุณ: สะดวกในการเริ่มการก่อสร้างโดยกำหนดจุดยอดของพาราโบลาสูตรต่อไปนี้จะช่วยกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา:

คุณพูดว่า "หยุด! สูตรสำหรับ คล้ายกับสูตรในการค้นหาการแยกแยะ "ใช่ มันคือ และนี่เป็นข้อเสียอย่างใหญ่หลวงของ" โดยตรง "การสร้างพาราโบลาเพื่อหารากเหง้าของมัน อย่างไรก็ตาม มานับให้จบ แล้วฉันจะแสดงวิธีทำให้ง่ายขึ้นมาก (มาก!)

นับมั้ย? พิกัดของจุดยอดของพาราโบลาคืออะไร? ลองคิดดูสิ:

คำตอบเดียวกันเป๊ะ? ทำได้ดี! และตอนนี้เรารู้พิกัดของจุดยอดแล้ว และเพื่อสร้างพาราโบลา เราต้องการ ... จุดมากกว่านี้ คุณคิดว่าเราต้องการคะแนนขั้นต่ำกี่คะแนน? ถูกต้อง, .

คุณทราบดีว่าพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดยอดของมัน ตัวอย่างเช่น

ดังนั้น เราต้องการจุดอีกสองจุดตามกิ่งซ้ายหรือขวาของพาราโบลา และในอนาคต เราจะสะท้อนจุดเหล่านี้อย่างสมมาตรในฝั่งตรงข้าม:

เรากลับไปที่พาราโบลาของเรา สำหรับกรณีของเราประเด็น เราต้องการอีกสองคะแนนตามลำดับ เราจะเอาคะแนนบวก แต่เราเอาคะแนนลบมาได้ไหม? อะไรคือจุดที่ดีที่สุดสำหรับคุณ? สะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะทำงานกับสิ่งที่เป็นบวกดังนั้นฉันจะคำนวณด้วยและ

ตอนนี้ เรามีสามจุด และเราสามารถสร้างพาราโบลาของเราได้ง่ายๆ โดยสะท้อนสองจุดสุดท้ายเกี่ยวกับจุดสูงสุด:

คุณคิดว่าคำตอบของสมการคืออะไร? ถูกต้องจุดที่นั่นคือและ เพราะ.

และถ้าเราพูดอย่างนั้นก็หมายความว่ามันต้องเท่ากันด้วยหรือ

แค่? เราได้เสร็จสิ้นการแก้สมการกับคุณในรูปแบบกราฟิกที่ซับซ้อน มิฉะนั้นจะมีมากขึ้น!

แน่นอน คุณสามารถตรวจสอบคำตอบของเราในเชิงพีชคณิตได้ - คุณสามารถคำนวณรากผ่านทฤษฎีบท Vieta หรือ Discriminant คุณได้อะไร เหมือนกัน? ที่นี่คุณเห็น! ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกที่ง่ายมาก ฉันแน่ใจว่าคุณจะชอบมันมาก!

วิธีที่ 2. แบ่งออกเป็นหลายฟังก์ชัน

ลองเอาทุกอย่างเหมือนกัน สมการของเรา: แต่เราเขียนต่างกันเล็กน้อย กล่าวคือ:

เราเขียนแบบนี้ได้ไหม? เราทำได้เนื่องจากการแปลงนั้นเทียบเท่ากัน มาดูกันต่อ

มาสร้างสองฟังก์ชันแยกกัน:

1. - กราฟเป็นพาราโบลาอย่างง่าย ซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องกำหนดจุดยอดโดยใช้สูตร และสร้างตารางเพื่อกำหนดจุดอื่นๆ
2. - กราฟเป็นเส้นตรง ซึ่งคุณสามารถสร้างได้ง่ายๆ โดยการประมาณค่าและในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

สร้าง? เปรียบเทียบกับสิ่งที่ฉันได้รับ:

คุณคิดว่ารากของสมการในกรณีนี้คืออะไร? ถูกต้อง! พิกัดโดยซึ่งได้จากการข้ามสองกราฟและนั่นคือ:

ดังนั้น คำตอบของสมการนี้คือ:

พูดว่าอะไรนะ? เห็นด้วย วิธีการแก้ปัญหานี้ง่ายกว่าวิธีก่อนหน้านี้มากและง่ายกว่าการมองหารากจากการเลือกปฏิบัติ! ถ้าเป็นเช่นนั้น ให้ลองใช้วิธีนี้เพื่อแก้สมการต่อไปนี้:

คุณได้อะไร ลองเปรียบเทียบแผนภูมิของเรา:

กราฟแสดงให้เห็นว่าคำตอบคือ:

คุณจัดการ? ทำได้ดี! ทีนี้มาดูสมการที่ซับซ้อนขึ้นอีกหน่อย นั่นคือ คำตอบของสมการผสม นั่นคือ สมการที่มีฟังก์ชันประเภทต่างๆ

การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของสมการผสม

ทีนี้มาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้กัน:

แน่นอน คุณสามารถนำทุกอย่างมาสู่ตัวส่วนร่วม ค้นหารากของสมการที่ได้ ในขณะที่ไม่ลืมที่จะคำนึงถึง ODZ แต่อีกครั้ง เราจะพยายามแก้ปัญหาแบบกราฟิก เหมือนที่เราทำในทุกกรณีก่อนหน้านี้

คราวนี้เรามาพล็อตกราฟ 2 กราฟต่อไปนี้กัน:

1. - กราฟเป็นไฮเปอร์โบลา
2. - กราฟเป็นเส้นตรงที่คุณสามารถสร้างได้ง่ายๆ โดยการประมาณค่าและในหัวของคุณ โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

ที่ตระหนักรู้? ตอนนี้เริ่มสร้าง

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นกับฉัน:

เมื่อพิจารณาจากภาพนี้ รากของสมการของเราคืออะไร?

ถูกต้องและ. นี่คือการยืนยัน:

ลองเสียบรากของเราลงในสมการ เกิดขึ้น?

ไม่เป็นไร! เห็นด้วย การแก้สมการดังกล่าวเป็นเรื่องน่ายินดี!

พยายามแก้สมการด้วยตัวเองแบบกราฟิก:

ฉันให้คำแนะนำแก่คุณ: ย้ายส่วนหนึ่งของสมการไปทางขวาเพื่อให้ทั้งสองฝ่ายมีฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการสร้าง ได้รับคำแนะนำ? เริ่มปฏิบัติ!

มาดูกันว่าคุณจะได้อะไร:

ตามลำดับ:

1. - ลูกบาศก์พาราโบลา
2. - เส้นตรงธรรมดา

เรากำลังสร้าง:

ในขณะที่คุณจดบันทึกไว้เป็นเวลานาน รากของสมการนี้คือ -

แก้ได้แล้ว จำนวนมากของตัวอย่าง ฉันแน่ใจว่าคุณรู้ว่าคุณสามารถแก้สมการแบบกราฟิกได้อย่างง่ายดายและรวดเร็วได้อย่างไร ได้เวลาคิดหาวิธีแก้ระบบด้วยวิธีนี้

โซลูชันกราฟิกของระบบ

การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของระบบโดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากการแก้สมการแบบกราฟิก เราจะสร้างกราฟสองกราฟด้วย และจุดตัดของพวกมันจะเป็นรากของระบบนี้ กราฟหนึ่งเป็นสมการหนึ่ง กราฟที่สองเป็นอีกสมการหนึ่ง ทุกอย่างง่ายมาก!

เริ่มจากระบบแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

สมมติว่าเรามีระบบดังต่อไปนี้:

ในการเริ่มต้น เราจะแปลงในลักษณะที่ด้านซ้ายมีทุกสิ่งที่เชื่อมต่อ และทางด้านขวา - สิ่งที่เชื่อมต่อกับ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราเขียนสมการเหล่านี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบปกติสำหรับเรา:

และตอนนี้เราแค่สร้างเส้นตรงสองเส้น ทางออกในกรณีของเราคืออะไร? ถูกต้อง! จุดตัดของพวกเขา! และที่นี่คุณต้องระวังให้มาก! คิดว่าทำไม? ฉันจะบอกใบ้ให้คุณ: เรากำลังจัดการกับระบบ: ระบบมีทั้งสองอย่าง และ... มีคำใบ้ไหม?

ไม่เป็นไร! เมื่อแก้ระบบเราต้องดูทั้งสองพิกัดและไม่เพียงเท่านั้นเมื่อแก้สมการ! จุดสำคัญอีกประการหนึ่งคือการเขียนให้ถูกต้องและไม่สับสนว่าเรามีค่าตรงไหนและมีค่าอยู่ที่ไหน! บันทึก? ทีนี้ลองเปรียบเทียบทุกอย่างตามลำดับ:

และคำตอบ: ผม. ทำการตรวจสอบ - แทนที่รากที่พบในระบบและตรวจสอบว่าเราแก้ไขอย่างถูกต้องในรูปแบบกราฟิกหรือไม่?

การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น

แต่ถ้าแทนที่จะเป็นเส้นตรงเส้นเดียว เรามีสมการกำลังสองล่ะ? ไม่เป็นไร! คุณแค่สร้างพาราโบลาแทนที่จะเป็นเส้นตรง! ไม่ไว้วางใจ? ลองแก้ระบบต่อไปนี้:

ขั้นตอนต่อไปของเราคืออะไร? ถูกต้อง จดไว้เพื่อให้สะดวกสำหรับเราในการสร้างกราฟ:

และตอนนี้มันเป็นเรื่องเล็กน้อย - ฉันสร้างมันขึ้นมาอย่างรวดเร็ว และนี่คือทางออกสำหรับคุณ! อาคาร:

กราฟิกเหมือนกันหรือไม่? ตอนนี้ทำเครื่องหมายวิธีแก้ปัญหาของระบบในภาพและเขียนคำตอบที่เปิดเผยอย่างถูกต้อง!

ฉันทำทุกอย่างแล้ว? เปรียบเทียบกับบันทึกย่อของฉัน:

ไม่เป็นไร? ทำได้ดี! คุณคลิกที่งานเช่นถั่วแล้ว! และถ้าเป็นเช่นนั้น ให้ระบบที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นแก่คุณ:

เรากำลังทำอะไรอยู่? ถูกต้อง! เราเขียนระบบเพื่อความสะดวกในการสร้าง:

ฉันจะบอกใบ้เล็กน้อย เนื่องจากระบบดูซับซ้อนมาก! เมื่อสร้างกราฟให้สร้าง "เพิ่มเติม" และที่สำคัญที่สุดอย่าแปลกใจกับจำนวนจุดตัด

งั้นไปกัน! หายใจออก? ตอนนี้เริ่มสร้าง!

ยังไงดี? หล่อ? คุณได้จุดตัดกันกี่จุด? ฉันมีสาม! ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:

วิธีการเดียวกัน? ตอนนี้เขียนวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดของระบบของเราอย่างระมัดระวัง:

ตอนนี้ดูที่ระบบอีกครั้ง:

คุณนึกภาพออกไหมว่าคุณแก้ปัญหาได้ในเวลาเพียง 15 นาที? เห็นด้วย คณิตศาสตร์ยังคงเรียบง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อดูการแสดงออก คุณไม่กลัวที่จะทำผิดพลาด แต่คุณยอมรับและตัดสินใจ! คุณเป็นเด็กใหญ่!

วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการ

การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเชิงเส้น

หลังจากตัวอย่างที่แล้ว คุณก็พร้อมสำหรับภารกิจ! ตอนนี้หายใจออก - เมื่อเทียบกับส่วนก่อนหน้า นี้จะง่ายมาก!

เราเริ่มต้นตามปกติด้วยวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นอันนี้:

ในการเริ่มต้น เราจะดำเนินการแปลงที่ง่ายที่สุด - เราจะเปิดวงเล็บของกำลังสองสมบูรณ์และให้คำที่คล้ายกัน:

ความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่เข้มงวด ดังนั้นจึงไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา และการแก้ปัญหาจะเป็นจุดทั้งหมดที่อยู่ทางขวา ตั้งแต่มีมากขึ้น มากขึ้นเรื่อยๆ:

ตอบ:

นั่นคือทั้งหมด! อย่างง่ายดาย? ลองแก้ความไม่เท่าเทียมกันอย่างง่ายด้วยสองตัวแปร:

มาวาดฟังก์ชันในระบบพิกัดกัน

คุณมีแผนภูมิดังกล่าวหรือไม่? และตอนนี้เราพิจารณาอย่างรอบคอบถึงสิ่งที่เรามีในความไม่เท่าเทียมกัน? น้อย? ดังนั้นเราจึงทาสีทุกอย่างที่อยู่ทางซ้ายของเส้นตรงของเรา เกิดอะไรขึ้นถ้ามีมากขึ้น? ถูกต้อง จากนั้นพวกเขาจะทาสีทับทุกอย่างที่อยู่ทางขวาของเส้นตรงของเรา ทุกอย่างเรียบง่าย

คำตอบทั้งหมดของความไม่เท่าเทียมกันนี้จะถูกแรเงาด้วยสีส้ม แค่นั้นแหละ ความไม่เท่าเทียมกันสองตัวแปรได้รับการแก้ไขแล้ว ซึ่งหมายความว่าพิกัดและจุดใดๆ จากพื้นที่แรเงาคือคำตอบ

การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการกำลังสอง

ตอนนี้เราจะจัดการกับวิธีแก้ปัญหาอสมการกำลังสองแบบกราฟิก

แต่ก่อนที่เราจะตรงไปยังประเด็นนี้ เรามาสรุปบางอย่างเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองกันก่อน

การเลือกปฏิบัติรับผิดชอบอะไร? ถูกต้องแล้ว สำหรับตำแหน่งของกราฟที่สัมพันธ์กับแกน (หากคุณจำสิ่งนี้ไม่ได้ ให้อ่านทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองอย่างแน่นอน)

ไม่ว่าในกรณีใด นี่เป็นการเตือนความจำเล็กน้อยสำหรับคุณ:

ตอนนี้เราได้รีเฟรชเนื้อหาทั้งหมดในหน่วยความจำของเราแล้ว มาลงมือทำธุรกิจกันเถอะ - เราจะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก

ฉันจะบอกคุณทันทีว่ามีสองตัวเลือกในการแก้ไข

ตัวเลือกที่ 1

เราเขียนพาราโบลาเป็นฟังก์ชัน:

โดยใช้สูตร เรากำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา (ในลักษณะเดียวกับเมื่อแก้สมการกำลังสอง):

นับมั้ย? คุณได้อะไร

ทีนี้ลองหาจุดที่แตกต่างกันอีกสองจุดแล้วคำนวณหากัน:

เราเริ่มสร้างพาราโบลาสาขาหนึ่ง:

เราสะท้อนจุดของเราอย่างสมมาตรบนอีกสาขาหนึ่งของพาราโบลา:

กลับไปที่ความไม่เท่าเทียมกันของเรา

เราต้องการให้น้อยกว่าศูนย์ตามลำดับ:

เนื่องจากในความไม่เท่าเทียมกันของเรา มีสัญญาณที่น้อยกว่ามาก เราไม่รวมจุดสิ้นสุด - เรา "โผล่ออกมา"

ตอบ:

หนทางอีกยาวไกล จริงไหม? ตอนนี้ฉันจะแสดงวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกที่ง่ายกว่าให้คุณเห็นโดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันตามตัวอย่าง:

ตัวเลือก 2

เรากลับไปที่ความไม่เท่าเทียมกันของเราและทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่เราต้องการ:

เห็นด้วย มันเร็วกว่ามาก

มาเขียนคำตอบกันตอนนี้:

ลองพิจารณาวิธีการแก้ปัญหาอื่นที่ทำให้ส่วนพีชคณิตง่ายขึ้น แต่สิ่งสำคัญคืออย่าสับสน

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

ลองแก้อสมการกำลังสองต่อไปนี้ด้วยตัวคุณเองในแบบที่คุณต้องการ:

คุณจัดการ?

ดูว่าแผนภูมิของฉันกลายเป็นอย่างไร:

ตอบ: .

วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการผสม

ทีนี้มาดูความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนกว่านี้กัน!

คุณชอบสิ่งนี้อย่างไร:

น่ากลัวใช่มั้ย? สุจริตฉันไม่รู้ว่าจะแก้ปัญหานี้อย่างไรเกี่ยวกับพีชคณิต ... แต่ไม่จำเป็น กราฟิกไม่มีอะไรซับซ้อนในเรื่องนี้! ตากลัวแต่มือทำ!

สิ่งแรกที่เราเริ่มต้นด้วยคือการสร้างสองกราฟ:

ฉันจะไม่เขียนตารางสำหรับทุกคน - ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถทำมันได้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยตัวคุณเอง (แน่นอนว่ามีตัวอย่างมากมายให้แก้!)

ทาสี? ตอนนี้สร้างสองกราฟ

มาเปรียบเทียบภาพวาดของเรากัน?

คุณมีเหมือนกันหรือไม่ ยอดเยี่ยม! ทีนี้ลองวางจุดตัดกันและกำหนดด้วยสีว่ากราฟใดที่เราควรมี ตามทฤษฎีแล้ว ควรจะใหญ่กว่า นั่นคือ ดูสิ่งที่เกิดขึ้นในที่สุด:

และตอนนี้เราแค่ดูว่าแผนภูมิที่เราเลือกนั้นสูงกว่าแผนภูมิที่ใด อย่าลังเลที่จะใช้ดินสอและทาสีบริเวณนี้! มันจะเป็นทางออกของความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนของเรา!

เราสูงกว่าช่วงใดตามแนวแกน? ถูกต้อง, . นี่คือคำตอบ!

ตอนนี้คุณสามารถจัดการกับสมการใด ๆ และระบบใด ๆ และยิ่งกว่านั้นคือความไม่เท่าเทียมกัน!

สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการโดยใช้กราฟฟังก์ชัน:

1. ด่วนผ่าน
2. กำหนดประเภทฟังก์ชัน
3. มาสร้างกราฟของฟังก์ชันผลลัพธ์กันเถอะ
4. หาจุดตัดของกราฟ
5. เขียนคำตอบให้ถูกต้อง (โดยคำนึงถึง ODZ และเครื่องหมายอสมการ)
6. ตรวจสอบคำตอบ (แทนที่รากในสมการหรือระบบ)

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการพล็อตกราฟฟังก์ชัน โปรดดูหัวข้อ ""

ในระหว่างบทเรียน คุณจะสามารถศึกษาหัวข้อ "การแก้สมการเชิงกราฟิก อสมการ" ได้อย่างอิสระ ครูในบทเรียนจะวิเคราะห์วิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้สมการและความไม่เท่าเทียมกัน โดยจะสอนวิธีสร้างกราฟ วิเคราะห์ และหาคำตอบของสมการและอสมการ บทเรียนจะกล่าวถึงตัวอย่างเฉพาะในหัวข้อนี้

หัวข้อ: ฟังก์ชันตัวเลข

บทเรียน: การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของสมการ อสมการ

1. หัวข้อบทเรียน บทนำ

เราได้พิจารณากราฟของฟังก์ชันพื้นฐาน รวมถึงกราฟของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังต่างกัน เรายังพิจารณากฎสำหรับการขยับและเปลี่ยนกราฟฟังก์ชันด้วย ต้องใช้ทักษะเหล่านี้ทั้งหมดเมื่อจำเป็น กราฟิกวิธีการแก้สมการหรือกราฟิก วิธีการแก้ความไม่เท่าเทียมกัน.

2. การแก้สมการและอสมการแบบกราฟิก

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการแบบกราฟิก:

มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันเถอะ (รูปที่ 1)

กราฟของฟังก์ชันคือพาราโบลาผ่านจุดต่างๆ

กราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นตรง เราจะสร้างมันตามตาราง

กราฟตัดกันที่จุดหนึ่ง ไม่มีจุดตัดอื่นๆ เนื่องจากฟังก์ชันเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ฟังก์ชันจึงลดลงแบบโมโนโทน ดังนั้นจุดตัดของพวกมันจึงไม่ซ้ำกัน

ตัวอย่างที่ 2 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

ก. กราฟของฟังก์ชันจะต้องอยู่เหนือเส้นตรง (รูปที่ 1) เพื่อให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน สิ่งนี้จะทำเมื่อ

ข. ในกรณีนี้ พาราโบลาควรอยู่ใต้เส้นตรง สิ่งนี้จะทำเมื่อ

ตัวอย่างที่ 3 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันเถอะ (รูปที่ 2).

หารากของสมการ เมื่อไม่มีคำตอบ มีทางออกหนึ่งสำหรับ

สำหรับอสมการจะคงอยู่ ไฮเปอร์โบลาต้องอยู่เหนือเส้น ซึ่งเป็นจริงสำหรับ .

ตัวอย่างที่ 4 แก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก:

โดเมน:

มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันเถอะ สำหรับ (รูปที่ 3).

ก. กราฟของฟังก์ชันควรอยู่ใต้กราฟ ซึ่งทำได้เมื่อ

ข. กราฟของฟังก์ชันอยู่เหนือกราฟที่ แต่เนื่องจากเรามีสัญญาณที่ไม่เข้มงวดในเงื่อนไขจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สูญเสียรากที่แยกได้

3. บทสรุป

เราได้พิจารณาวิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้สมการและความไม่เท่าเทียมกัน พิจารณาตัวอย่างเฉพาะในโซลูชันที่เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเช่นความซ้ำซากจำเจและความสม่ำเสมอ

1. Mordkovich A. G. et al. พีชคณิตเกรด 9: Proc. สำหรับการศึกษาทั่วไป สถาบัน. - ครั้งที่ 4. - M .: Mnemosyne, 2002.-192 น.: ป่วย

2. Mordkovich A. G. et al. พีชคณิตเกรด 9: หนังสืองานสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4th ed. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Yu. N. Makarychev, พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: ตำราเรียน สำหรับนักเรียนการศึกษาทั่วไป สถาบัน / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov - ครั้งที่ 7, สาธุคุณ. และเพิ่มเติม - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin และ Yu. V. Sidorov, พีชคณิต เกรด 9 ฉบับที่ 16 - ม., 2554. - 287 น.

5. Mordkovich A. G. พีชคณิต เกรด 9 เวลา 14.00 น. ส่วนที่ 1 ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ค.ศ. 12 ลบ. — M.: 2010. — 224 p.: ป่วย

6. พีชคณิต เกรด 9 เวลา 2 ชั่วโมง ตอนที่ 2 สมุดงานสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina และอื่น ๆ ; เอ็ด. เอ.จี.มอร์ดโควิช. - ครั้งที่ 12 รายได้ — M.: 2010.-223 p.: ill.

1. ส่วนวิทยาลัย. ru ในวิชาคณิตศาสตร์

2. โครงการอินเทอร์เน็ต "งาน"

3. พอร์ทัลการศึกษา "SOLVE USE"

1. Mordkovich A. G. et al. พีชคณิตเกรด 9: หนังสืองานสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4th ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ป่วย เลขที่ 355, 356, 364.