ท่ามกลาง จำกัด ตัวอย่างคุณสมบัติทั่วไป ฟังก์ชันที่มีรากซึ่งไม่ชัดเจนว่าจะเปิดเผยอย่างไร ง่ายกว่าเมื่อมีตัวอย่างเส้นขอบที่มีฟังก์ชันรูทของฟอร์ม

ทางออกของข้อ จำกัด ดังกล่าวนั้นง่ายและชัดเจนสำหรับทุกคน
ความยากลำบากจะเกิดขึ้นหากมีตัวอย่างต่อไปนี้ของฟังก์ชันที่มีราก

ตัวอย่างที่ 1 . คำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชัน

ด้วยการแทนจุด x = 1 โดยตรง เป็นที่ชัดเจนว่าทั้งตัวเศษและตัวส่วนของฟังก์ชัน

เปลี่ยนเป็นศูนย์ นั่นคือ เรามีความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม 0/0 .
ในการเปิดเผยความไม่แน่นอน เราควรคูณนิพจน์ที่มีรูตด้วยคอนจูเกตและใช้ความแตกต่างของกฎกำลังสอง สำหรับ ตัวอย่างที่กำหนดการแปลงจะเป็นดังนี้



ลิมิตของฟังก์ชันที่มีรูตคือ 6 หากไม่มีกฎข้างต้น ก็จะยากที่จะหามันเจอ
พิจารณา ตัวอย่างที่คล้ายกันการคำนวณขอบเขตตามกฎที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาลิมิตของฟังก์ชัน

เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าเมื่อแทน x = 3 เราจะได้รับความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0
มันถูกเปิดเผยโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยคอนจูเกตกับตัวเศษ


ต่อไป เราจะแยกย่อยตัวเศษตามกฎผลต่างกำลังสอง

นั่นเป็นเพียงวิธีที่เราพบลิมิตของฟังก์ชันที่มีรูท

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดขีด จำกัด ของฟังก์ชัน

เราเห็นว่าเรามีความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม 0/0
การกำจัดความไม่สมเหตุสมผลในตัวส่วน

ขีดจำกัดของฟังก์ชันคือ 8

ตอนนี้ให้พิจารณาตัวอย่างประเภทอื่น เมื่อตัวแปรในการแจกจ่ายซ้ำมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างที่ 4 . คำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชัน

หลายท่านไม่ทราบวิธีหาลิมิตของฟังก์ชัน เทคนิคการคำนวณจะเปิดเผยด้านล่าง
เรามีลิมิตประเภทอินฟินิตี้ลบอินฟินิตี้ คูณและหารด้วยปัจจัยผันและใช้ผลต่างของกฎกำลังสอง

ขอบเขตของฟังก์ชันคือ -2.5

การคำนวณขีดจำกัดดังกล่าวจริง ๆ แล้วลดลงเป็นการเปิดเผยความไม่สมเหตุสมผล และจากนั้นเป็นการแทนที่ของตัวแปร

ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตนั้นเทียบเท่า - อินฟินิตี้ลบอินฟินิตี้
.
คูณและหารด้วยนิพจน์ที่อยู่ติดกันและทำให้ง่ายขึ้น

นี้ เครื่องคิดเลขทางคณิตศาสตร์ออนไลน์จะช่วยคุณได้หากจำเป็น คำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชัน. โปรแกรม จำกัด โซลูชั่นไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังนำไปสู่ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย, เช่น. แสดงความคืบหน้าของการคำนวณวงเงิน

โปรแกรมนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย โรงเรียนศึกษาทั่วไปในการเตรียมตัวสำหรับการทดสอบและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State สำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหามากมายในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างติวเตอร์หรือซื้อหนังสือเรียนใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? การบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

ดังนั้นคุณสามารถดำเนินการของคุณ การฝึกอบรมของตัวเองและ/หรือฝึกอบรมพวกเขา น้องชายหรือพี่สาวน้องสาว ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านงานที่ต้องแก้ไขเพิ่มขึ้น

ป้อนนิพจน์ฟังก์ชัน

คำนวณวงเงิน

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชหน้า

คุณปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งาน JavaScript เพื่อให้โซลูชันปรากฏขึ้น
นี่คือคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหาคำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาที วิธีแก้ไขจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
กรุณารอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มข้อเสนอแนะ
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจอะไร ป้อนในฟิลด์.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

ลิมิตของฟังก์ชันที่ x-> x 0

ให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดในเซต X และให้จุด \(x_0 \in X \) หรือ \(x_0 \notin X \)

รับจาก X ลำดับของจุดอื่นที่ไม่ใช่ x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn , ... (1)
บรรจบกับ x* ค่าฟังก์ชันที่จุดของลำดับนี้ยังสร้างลำดับตัวเลข
ฉ(x 1), ฉ(x 2), ฉ(x 3), ..., ฉ(x n), ... (2)
และสามารถตั้งคำถามถึงการมีอยู่ของขีดจำกัดของมันได้

คำนิยาม. จำนวน A เรียกว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x \u003d x 0 (หรือที่ x -> x 0) หากสำหรับลำดับใด ๆ (1) ของค่าของอาร์กิวเมนต์ x ที่ลู่เข้า x 0 ซึ่งแตกต่างจาก x 0 ลำดับที่สอดคล้องกัน (2) ของฟังก์ชันค่าลู่เข้าที่เลข A

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

ฟังก์ชัน f(x) สามารถมีลิมิตที่จุด x 0 ได้เพียงหนึ่งลิมิต นี้เป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับ
(f(xn)) มีลิมิตเดียวเท่านั้น

มีคำจำกัดความอื่นของลิมิตของฟังก์ชัน

คำนิยามจำนวน A เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x = x 0 ถ้าสำหรับจำนวนใดๆ \(\varepsilon > 0 \) มีจำนวน \(\delta > 0 \) เช่นนั้นสำหรับ \ ทั้งหมด (x \in X, \; x \neq x_0 \) ตอบสนองอสมการ \(|x-x_0| โดยใช้สัญลักษณ์ตรรกะ นิยามนี้สามารถเขียนเป็น
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| โปรดทราบว่าอสมการ \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| คำจำกัดความแรกขึ้นอยู่กับแนวคิดของขีดจำกัด ลำดับหมายเลขซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมักเรียกว่าคำจำกัดความของ "ภาษาลำดับ" คำจำกัดความที่สองเรียกว่าคำจำกัดความ "ภาษา \(\varepsilon - \delta \)"
คำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชันทั้งสองนี้เทียบเท่ากัน และคุณสามารถใช้อย่างใดอย่างหนึ่งก็ได้ แล้วแต่ว่าจะสะดวกกว่าสำหรับการแก้ปัญหาใดปัญหาหนึ่ง

โปรดทราบว่าคำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชัน "ในภาษาของลำดับ" เรียกอีกอย่างว่าคำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชันตาม Heine และนิยามของลิมิตของฟังก์ชัน "ในภาษา \(\varepsilon - \delta \)" เรียกอีกอย่างว่าคำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชันตาม Cauchy

ลิมิตของฟังก์ชันที่ x->x 0 - และที่ x->x 0 +

ต่อไปนี้ เราจะใช้แนวคิดเกี่ยวกับขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้

คำนิยามจำนวน A เรียกว่าลิมิตขวา (ซ้าย) ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x 0 ถ้าสำหรับลำดับใดๆ (1) บรรจบกับ x 0 ซึ่งองค์ประกอบ xn มากกว่า (น้อยกว่า) x 0 , ลำดับที่สอดคล้องกัน (2) บรรจบกับ A

มันเขียนเป็นสัญลักษณ์ดังนี้:
$$ \lim_(x \ถึง x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

เราสามารถให้คำจำกัดความเทียบเท่าของขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน "ในภาษา \(\varepsilon - \delta \)":

คำนิยามจำนวน A เรียกว่าลิมิตขวา (ซ้าย) ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 ถ้าสำหรับ \(\varepsilon > 0 \) ใดๆ มีอยู่ \(\delta > 0 \) เช่นนั้นสำหรับ x ทั้งหมดเป็นที่น่าพอใจ ความไม่เท่าเทียมกัน \(x_0 รายการสัญลักษณ์:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

\begin(สมการ) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(สมการ)

ตัวอย่าง #4

หา $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$

เนื่องจาก $\lim_(x\to 4)\left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)=0$ และ $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2 )=0$ เรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0)(0)$ เพื่อกำจัดความไม่ลงตัวที่ทำให้เกิดความไม่แน่นอนนี้ คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยนิพจน์ที่ผันกับตัวเศษ จะไม่ช่วยอีกต่อไปเนื่องจากการคูณด้วย $\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)$ จะนำไปสู่ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

$$ \left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\right)=\sqrt((5x -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

อย่างที่คุณเห็น การคูณดังกล่าวจะไม่ช่วยเราจากผลต่างของราก ซึ่งทำให้เกิดค่ากำหนดของ $\frac(0)(0)$ เราต้องคูณด้วยนิพจน์อื่น นิพจน์นี้ต้องเป็นเช่นนั้นหลังจากคูณด้วยผลต่างของรากที่สามจะหายไป และรากที่สามสามารถ "ลบ" ระดับที่สามเท่านั้น ดังนั้นคุณต้องใช้ . ทดแทนใน ด้านขวาสูตรนี้ $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$ เราได้รับ:

$$ \left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. $$

ดังนั้น หลังจากคูณด้วย $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ ผลต่าง ของรากลูกบาศก์หายไป มันคือนิพจน์ $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ ที่จะถูกผัน ไปที่นิพจน์ $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$ กลับไปที่ขีดจำกัดของเราแล้วคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยนิพจน์ที่ผันตัวเศษ $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\left|\frac(0)(0)\right |=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(\left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2 )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))((16-x^2)\left(\sqrt((5x -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \right)) $$

งานได้รับการแก้ไขในทางปฏิบัติ ยังคงเป็นเพียงการพิจารณาว่า $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (ดู ) นอกจากนี้ $4x-16=4(x-4)$ ดังนั้นเราจึงเขียนขีดจำกัดสุดท้ายใหม่ในรูปแบบนี้:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(4(x-4))(-(x-4 )(x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ ขวา))=\\ =-4\cdot\lim_(x\to 4)\frac(1)((x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\left(\ sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \right))=-\ เศษส่วน(1)(24). $$

ตอบ: $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$

ลองพิจารณาอีกหนึ่งตัวอย่าง (ตัวอย่างหมายเลข 5) ในส่วนนี้ที่เรานำไปใช้ โดยพื้นฐานแล้ว โครงร่างการแก้ปัญหาไม่แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ยกเว้นว่านิพจน์คอนจูเกตจะมีโครงสร้างที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม เป็นที่น่าสังเกตว่าในการคำนวณและการทดสอบทั่วไป มักจะมีงานเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ที่มี รากลูกบาศก์และในตัวส่วน - ด้วยเครื่องหมายกรณฑ์ ในกรณีนี้ คุณต้องคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยนิพจน์คอนจูเกตต่างๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อคำนวณขีดจำกัด $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$ ที่มีความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0 )(0 )$ การคูณจะมีลักษณะดังนี้:

$$ \lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\left|\frac(0)(0)\right|= \lim_ (x\to 8)\frac(\left(\sqrt(x)-2\right)\cdot \left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right)\cdot\left (\sqrt(x+1)+3\right))(\left(\sqrt(x+1)-3\right)\cdot\left(\sqrt(x+1)+3\right)\cdot\ ซ้าย(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right))=\\= \lim_(x\to 8)\frac((x-8)\cdot\left(\sqrt( x+1)+3\right))(\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right))= \lim_(x \ถึง 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) =\frac(1)(2). $$

การแปลงทั้งหมดที่ใช้ข้างต้นได้รับการพิจารณาก่อนหน้านี้แล้ว ดังนั้นฉันคิดว่าไม่มีความกำกวมเป็นพิเศษที่นี่ อย่างไรก็ตาม หากการแก้ปัญหาในตัวอย่างที่คล้ายกันทำให้เกิดคำถาม โปรดยกเลิกการสมัครรับข่าวสารบนฟอรัม

ตัวอย่าง #5

หา $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$

ตั้งแต่ $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ และ $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$ เรามีความไม่แน่นอน $ \frac(0)(0)$. เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอนนี้ เราใช้ . นิพจน์คอนจูเกตสำหรับตัวเศษมีรูปแบบ

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8.$$

การคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ ด้วยนิพจน์คอนจูเกตด้านบน เราจะได้:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\ lim_(x\to 2)\frac(\left(\sqrt(5x+6)-2\right)\cdot \left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\ cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right)) $$

ตั้งแต่ $5x-10=5\cdot(x-2)$ และ $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (ดู ) แล้ว:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5(x-2))((x-2 )(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6 )+8\right))=\\ \lim_(x\to 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3) + 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ \frac(5)((2^2+2\cdot 2 + 4)\cdot\left(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2 +6)+8\right))=\frac(5)(384). $$

ตอบ: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$

ตัวอย่าง #6

ค้นหา $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$

เนื่องจาก $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ และ $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ ดังนั้น เรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอนของ $\frac(0)(0)$ ในสถานการณ์เช่นนี้ เมื่อนิพจน์ใต้รากเหมือนกัน คุณสามารถใช้วิธีแทนที่ได้ จำเป็นต้องแทนที่นิพจน์ภายใต้ราก (เช่น $3x-5$) โดยแนะนำตัวแปรใหม่ อย่างไรก็ตาม แค่ใช้จดหมายใหม่ก็ไม่ทำอะไร ลองนึกภาพว่าเราแทนที่นิพจน์ $3x-5$ ด้วยตัวอักษร $t$ จากนั้นเศษส่วนภายใต้ขีดจำกัดจะกลายเป็น: $\frac(\sqrt(t)-1)(\sqrt(t)-1)$ ความไร้เหตุผลไม่ได้หายไปไหน มันเปลี่ยนไปบ้างเท่านั้น ซึ่งไม่ได้ทำให้งานง่ายขึ้นเลย

ที่นี่ควรระลึกไว้เสมอว่ารากสามารถลบระดับได้เท่านั้น แต่จะใช้ระดับไหนล่ะ? คำถามไม่สำคัญเพราะเรามีสองราก หนึ่งในห้าของรูทและอีกอัน - ของลำดับที่สาม ระดับจะต้องเป็นเช่นนั้นทั้งสองรากจะถูกลบออกในเวลาเดียวกัน! พวกเราต้องการ จำนวนธรรมชาติซึ่งจะหารด้วย $3$ และ $5$ ลงตัว ตัวเลขดังกล่าว ชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดแต่ตัวเลขที่เล็กที่สุดคือ $15$ เขาถูกเรียก ตัวคูณร่วมน้อยตัวเลข $3$ และ $5$ และการแทนที่ควรเป็นดังนี้: $t^(15)=3x-5$ ดูว่าสิ่งทดแทนนั้นทำอะไรกับราก

ทฤษฎีลิมิตเป็นหนึ่งในส่วน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์. คำถามเกี่ยวกับการแก้ลิมิตนั้นค่อนข้างกว้างขวาง เนื่องจากมีหลายวิธีในการแก้ลิมิต ชนิดต่างๆ. มีความแตกต่างและลูกเล่นมากมายที่ให้คุณแก้ไขขีดจำกัดอย่างใดอย่างหนึ่ง อย่างไรก็ตาม เราจะยังคงพยายามทำความเข้าใจกับข้อจำกัดประเภทหลักที่มักพบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ

เริ่มจากแนวคิดของลิมิตกันก่อน แต่ก่อนอื่นสั้น ๆ การอ้างอิงประวัติศาสตร์. กาลครั้งหนึ่งนานมาแล้ว มีชาวฝรั่งเศสชื่อ Augustin Louis Cauchy ในศตวรรษที่ 19 ผู้วางรากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และให้คำจำกัดความที่เข้มงวด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คำจำกัดความของขีดจำกัด ต้องบอกว่า Cauchy คนเดียวกันนี้ฝัน ฝันและจะฝันในฝันร้ายของนักเรียนคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ทุกคนในขณะที่เขาพิสูจน์ จำนวนมากทฤษฎีบทการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ และทฤษฎีบทหนึ่งน่าขยะแขยงมากกว่าอีกทฤษฎีหนึ่ง ในเรื่องนี้ เราจะไม่พิจารณาคำจำกัดความที่เข้มงวดของขีดจำกัด แต่จะพยายามทำสองสิ่ง:

1. เข้าใจว่าขีดจำกัดคืออะไร
2. เรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาประเภทหลักของข้อ จำกัด

ฉันขอโทษสำหรับคำอธิบายที่ไม่เป็นวิทยาศาสตร์ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจเนื้อหาแม้กระทั่งกาน้ำชา ซึ่งอันที่จริงแล้ว เป็นงานของโครงการ

ดังนั้นขีดจำกัดคืออะไร?

และตัวอย่างทันทีว่าทำไมต้องโกนคุณยาย ....

ขีด จำกัด ใด ๆ ประกอบด้วยสามส่วน:

1) ไอคอนขีด จำกัด ที่รู้จักกันดี
2) รายการภายใต้ไอคอนขีด จำกัด ใน กรณีนี้. รายการอ่าน "x มีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพ" บ่อยที่สุด - แม้ว่าในทางปฏิบัติจะมีตัวแปรอื่น ๆ แทนที่จะเป็น "x" ที่ งานปฏิบัติแทนหน่วย ตัวเลขใดๆ ก็ได้ เช่นเดียวกับอินฟินิตี้ ()
3) ฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายจำกัด ในกรณีนี้ .

บันทึกนั้นเอง อ่านได้ดังนี้: "ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพ"

มาวิเคราะห์กันดังนี้ คำถามที่สำคัญนิพจน์ "X" หมายถึงอะไร แสวงหาเพื่อความสามัคคี? และอะไรคือ "ความพยายาม" กันแน่?
แนวคิดของลิมิตคือแนวคิด ดังนั้น พลวัต. มาสร้างลำดับกัน: อันดับแรก จากนั้น , , …, , ….
นั่นคือนิพจน์ "x แสวงหาถึงหนึ่ง" ควรเข้าใจดังนี้ - "x" รับค่าอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งมีความใกล้ชิดกับเอกภาพอย่างไม่มีที่สิ้นสุดและสอดคล้องกับมันอย่างแท้จริง.

จะแก้ปัญหาตัวอย่างข้างต้นได้อย่างไร? จากข้อมูลข้างต้น คุณเพียงแค่ต้องแทนที่หน่วยในฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายจำกัด:

ดังนั้นกฎข้อแรกคือ: เมื่อกำหนดขีด จำกัด ใด ๆ ขั้นแรกให้ลองใส่ตัวเลขลงในฟังก์ชัน.

เราได้ตรวจสอบ ขีด จำกัด ที่ง่ายที่สุด, แต่สิ่งเหล่านี้พบได้ในทางปฏิบัติและไม่ได้หายากนัก!

ตัวอย่างอินฟินิตี้:

เข้าใจว่าคืออะไร? นี่คือกรณีที่มันเพิ่มขึ้นไปเรื่อย ๆ นั่นคือ: ครั้งแรก จากนั้น จากนั้น และอื่น ๆ โฆษณาไม่มีที่สิ้นสุด

และเกิดอะไรขึ้นกับฟังก์ชั่นในเวลานี้?
, , , …

ดังนั้น: ถ้า ฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะลบค่าอนันต์:

พูดอย่างคร่าว ๆ ตามกฎข้อแรกของเรา เราแทนค่าอนันต์ในฟังก์ชันแทน "x" แล้วได้คำตอบ

อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีอินฟินิตี้:

อีกครั้ง เราเริ่มเพิ่มขึ้นจนไม่มีที่สิ้นสุด และดูพฤติกรรมของฟังก์ชัน:

สรุป: สำหรับ ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด:

และตัวอย่างชุดอื่น:

โปรดลองวิเคราะห์สิ่งต่อไปนี้ด้วยตัวคุณเองและจดจำประเภทของขีดจำกัดที่ง่ายที่สุด:

, , , , , , , , ,
หากมีข้อสงสัย คุณสามารถหยิบเครื่องคิดเลขขึ้นมาและฝึกฝนเล็กน้อย
ในกรณีนั้น ให้ลองสร้างลำดับ , , . ถ้า , แล้ว , , .

หมายเหตุ: พูดอย่างเคร่งครัด วิธีการนี้กับการสร้างลำดับของตัวเลขหลายตัวนั้นไม่ถูกต้อง แต่ค่อนข้างเหมาะสมสำหรับการทำความเข้าใจตัวอย่างที่ง่ายที่สุด

ให้ความสนใจกับสิ่งต่อไปนี้ด้วย แม้ว่าจะมีขีดจำกัดก็ตาม จำนวนมากที่ด้านบนแม้จะมีล้าน: มันก็ไม่สำคัญ เพราะไม่ช้าก็เร็ว "x" จะใช้ค่ามหาศาลดังกล่าวซึ่งล้านเมื่อเทียบกับพวกมันจะเป็นจุลินทรีย์ที่แท้จริง

สิ่งที่ควรจำและเข้าใจจากข้างต้น?

1) เมื่อกำหนดขีดจำกัดใดๆ ขั้นแรกให้ลองแทนจำนวนลงในฟังก์ชัน

2) คุณต้องเข้าใจและแก้ไขขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดในทันที เช่น , , ฯลฯ

ตอนนี้เราจะพิจารณากลุ่มของลิมิต เมื่อ และฟังก์ชันเป็นเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนซึ่งเป็นพหุนาม

ตัวอย่าง:

คำนวณวงเงิน

ตามกฎของเรา เราจะพยายามแทนค่าอนันต์เป็นฟังก์ชัน เราได้อะไรจากด้านบน? อินฟินิตี้ และเกิดอะไรขึ้นด้านล่าง? อินฟินิตี้อีกด้วย ดังนั้นเราจึงมีสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอนของรูปแบบ บางคนอาจคิดว่า และคำตอบก็พร้อมแล้ว แต่ใน กรณีทั่วไปนี่ไม่ใช่กรณีทั้งหมดและต้องใช้วิธีแก้ปัญหาบางอย่างซึ่งตอนนี้เราจะพิจารณา

วิธีจัดการกับขีดจำกัด ประเภทนี้?

อันดับแรก เราดูที่ตัวเศษและค้นหาพลังสูงสุด:

พลังสูงสุดในตัวเศษคือสอง

ตอนนี้เราดูที่ตัวส่วนและค้นหาระดับสูงสุดด้วย:

พลังสูงสุดของตัวส่วนคือสอง

จากนั้นเราเลือกพลังสูงสุดของเศษและส่วน: ใน ตัวอย่างนี้ตรงกันและมีค่าเท่ากับสอง

ดังนั้น วิธีการแก้ปัญหามีดังนี้: เพื่อที่จะเปิดเผยความไม่แน่นอน จำเป็นต้องหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยระดับสูงสุด

นี่คือคำตอบและไม่ใช่อนันต์เลย

สิ่งที่จำเป็นในการตัดสินใจคืออะไร?

ขั้นแรก เราระบุความไม่แน่นอน ถ้ามี

ประการที่สอง เป็นที่พึงปรารถนาที่จะขัดจังหวะการแก้ปัญหาสำหรับคำอธิบายระดับกลาง ฉันมักจะใช้สัญลักษณ์ มันไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ แต่หมายความว่าวิธีแก้ปัญหาถูกขัดจังหวะสำหรับคำอธิบายระหว่างกลาง

ประการที่สามในขีด จำกัด เป็นที่พึงปรารถนาที่จะทำเครื่องหมายว่ามีแนวโน้มอย่างไรและที่ไหน เมื่องานวาดด้วยมือจะสะดวกกว่าที่จะทำเช่นนี้:

สำหรับโน้ตควรใช้ดินสอธรรมดา

แน่นอนคุณไม่สามารถทำอะไรได้ แต่บางทีครูอาจสังเกตเห็นข้อบกพร่องในการแก้ปัญหาหรือเริ่มถาม คำถามเพิ่มเติมในการมอบหมายงาน และคุณต้องการมันไหม?

ตัวอย่างที่ 2

หาขีดจำกัด
อีกครั้งในตัวเศษและส่วนที่เราพบในระดับสูงสุด:

ระดับสูงสุดในตัวเศษ: 3
ระดับสูงสุดในตัวส่วน: 4
เลือก ยิ่งใหญ่ที่สุดค่าในกรณีนี้สี่
ตามอัลกอริทึมของเรา เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน เราหารตัวเศษและตัวส่วนด้วย
การมอบหมายที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย

ตัวอย่างที่ 3

หาขีดจำกัด
ระดับสูงสุดของ "x" ในตัวเศษ: 2
กำลังสูงสุดของ "x" ในตัวส่วน: 1 (สามารถเขียนเป็น)
ในการเปิดเผยความไม่แน่นอน จำเป็นต้องหารตัวเศษและตัวส่วนด้วย โซลูชันที่สะอาดอาจมีลักษณะดังนี้:

หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย

บันทึกไม่ได้หมายถึงการหารด้วยศูนย์ (เป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์) แต่เป็นการหารด้วยจำนวนที่น้อยมาก

ดังนั้นเมื่อเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์มเราจะได้ จำนวนจำกัด , ศูนย์หรืออินฟินิตี้

ขีดจำกัดกับความไม่แน่นอนของประเภทและวิธีการแก้ปัญหา

กลุ่มต่อไปลิมิตค่อนข้างคล้ายกับลิมิตที่เพิ่งพิจารณา: มีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน แต่ "x" ไม่มีแนวโน้มที่จะเป็นค่าอนันต์อีกต่อไป แต่จะ หมายเลขสุดท้าย.

ตัวอย่างที่ 4

แก้ขีดจำกัด
ก่อนอื่น ลองแทน -1 ในเศษส่วน:

ในกรณีนี้จะได้รับความไม่แน่นอนที่เรียกว่า

กฎทั่วไป : ถ้ามีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน และรูปแบบมีความไม่แน่นอน ให้เปิดเผยข้อมูล แยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วน.

ในการทำเช่นนี้ บ่อยครั้งที่คุณต้องแก้สมการกำลังสองและ (หรือ) ใช้สูตรคูณแบบย่อ ถ้าลืมเรื่องพวกนี้ไปก็เข้าเพจ สูตรและตารางทางคณิตศาสตร์และเช็คเอาท์ วัสดุระเบียบวิธี สูตรร้อน หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. โดยวิธีการที่ดีที่สุดคือพิมพ์ออกมาต้องใช้บ่อยมากและข้อมูลจากกระดาษจะถูกดูดซึมได้ดีขึ้น

ลองแก้ลิมิตของเรากัน

การแยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วน

ในการแยกตัวประกอบของตัวเศษ คุณต้องแก้สมการกำลังสอง:

ก่อนอื่นเราพบผู้จำแนก:

และรากที่สองของมัน: .

หากการจำแนกมีขนาดใหญ่ เช่น 361 เราจะใช้เครื่องคิดเลข ซึ่งเป็นฟังก์ชันการแยก รากที่สองอยู่บนเครื่องคิดเลขที่ง่ายที่สุด

! ถ้าถอนรากออกไม่หมด (ปรากฎว่า จำนวนเศษส่วนด้วยเครื่องหมายอัฒภาค) เป็นไปได้มากว่าการเลือกปฏิบัติคำนวณไม่ถูกต้องหรือมีการพิมพ์ผิดในงาน

ต่อไปเราจะพบราก:

ทางนี้:

ทุกอย่าง. ตัวเศษจะแยกตัวประกอบ

ตัวส่วน ตัวส่วนเป็นตัวประกอบที่ง่ายที่สุดแล้ว และไม่มีทางที่จะลดความซับซ้อนลงได้

แน่นอน มันสามารถย่อเป็น:

ตอนนี้เราแทนที่ -1 ในนิพจน์ที่ยังคงอยู่ภายใต้เครื่องหมายจำกัด:

โดยธรรมชาติแล้วใน ควบคุมการทำงานในการทดสอบ การสอบ การตัดสินไม่เคยลงสีในรายละเอียดดังกล่าว ในเวอร์ชันสุดท้าย การออกแบบควรมีลักษณะดังนี้:

ลองแยกตัวประกอบของตัวเศษกัน

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณวงเงิน

ประการแรก วิธีแก้ปัญหาที่ "สะอาด"

ลองแยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนกัน

เศษ:
ตัวส่วน:



,

อะไรคือสิ่งสำคัญในตัวอย่างนี้?
ขั้นแรก คุณต้องเข้าใจวิธีการแสดงตัวเศษก่อน เราใส่คร่อม 2 แล้วใช้สูตรผลต่างกำลังสอง นี่คือสูตรที่คุณต้องรู้และดู

ทฤษฎีลิมิตเป็นหนึ่งในสาขาของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คำถามเกี่ยวกับการแก้ไขขีด จำกัด นั้นค่อนข้างกว้างขวางเนื่องจากมีหลายวิธีในการแก้ขีด จำกัด ประเภทต่างๆ มีความแตกต่างและลูกเล่นมากมายที่ให้คุณแก้ไขขีดจำกัดอย่างใดอย่างหนึ่ง อย่างไรก็ตาม เราจะยังคงพยายามทำความเข้าใจกับข้อจำกัดประเภทหลักที่มักพบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ

เริ่มจากแนวคิดของลิมิตกันก่อน แต่ก่อนอื่น ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์โดยย่อ กาลครั้งหนึ่งนานมาแล้ว มีชาวฝรั่งเศสชื่อ Augustin Louis Cauchy ในศตวรรษที่ 19 ผู้ให้คำจำกัดความที่เคร่งครัดแก่แนวคิดต่างๆ ของ matan และวางรากฐานไว้ ฉันต้องบอกว่านักคณิตศาสตร์ที่น่านับถือคนนี้ฝันฝันและจะฝันในฝันร้ายของนักเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ทุกคนในขณะที่เขาพิสูจน์ทฤษฎีบทการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมากและทฤษฎีบทหนึ่งก็ฆ่ามากกว่าอีกทฤษฎีหนึ่ง ด้วยเหตุนี้เราจะไม่พิจารณา การกำหนดขีดจำกัด Cauchyแต่ลองทำสองสิ่ง:

1. เข้าใจว่าขีดจำกัดคืออะไร
2. เรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาประเภทหลักของข้อ จำกัด

ฉันขอโทษสำหรับคำอธิบายที่ไม่เป็นวิทยาศาสตร์ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจเนื้อหาแม้กระทั่งกับกาน้ำชา ซึ่งในความเป็นจริงแล้ว เป็นงานของโครงการ

ดังนั้นขีดจำกัดคืออะไร?

และตัวอย่างทันทีว่าทำไมต้องโกนคุณยาย ....

ขีด จำกัด ใด ๆ ประกอบด้วยสามส่วน:

1) ไอคอนขีด จำกัด ที่รู้จักกันดี
2) รายการภายใต้ไอคอนขีด จำกัด ในกรณีนี้ รายการอ่าน "x มีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพ" บ่อยที่สุด - แม้ว่าในทางปฏิบัติจะมีตัวแปรอื่น ๆ แทนที่จะเป็น "x" ในทางปฏิบัติ แทนที่จะเป็นหน่วย อาจมีเลขจำนวนเท่าใดก็ได้ เช่นเดียวกับอินฟินิตี้ ()
3) ฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายจำกัด ในกรณีนี้ .

บันทึกนั้นเอง อ่านได้ดังนี้: "ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพ"

ลองวิเคราะห์คำถามสำคัญต่อไป - นิพจน์ "x แสวงหาเพื่อความสามัคคี? และอะไรคือ "ความพยายาม" กันแน่?
แนวคิดของลิมิตคือแนวคิด ดังนั้น พลวัต. มาสร้างลำดับกัน: อันดับแรก จากนั้น , , …, , ….
นั่นคือนิพจน์ "x แสวงหาถึงหนึ่ง" ควรเข้าใจดังนี้ - "x" รับค่าอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งมีความใกล้ชิดกับเอกภาพอย่างไม่มีที่สิ้นสุดและสอดคล้องกับมันอย่างแท้จริง.

จะแก้ปัญหาตัวอย่างข้างต้นได้อย่างไร? จากข้อมูลข้างต้น คุณเพียงแค่ต้องแทนที่หน่วยในฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายจำกัด:

ดังนั้นกฎข้อแรกคือ: เมื่อกำหนดขีด จำกัด ใด ๆ ขั้นแรกให้ลองใส่ตัวเลขลงในฟังก์ชัน.

เราพิจารณาข้อ จำกัด ที่ง่ายที่สุด แต่ก็พบได้ในทางปฏิบัติเช่นกันและไม่ใช่น้อยนัก!

ตัวอย่างอินฟินิตี้:

เข้าใจว่าคืออะไร? นี่คือกรณีที่มันเพิ่มขึ้นไปเรื่อย ๆ นั่นคือ: ครั้งแรก จากนั้น จากนั้น และอื่น ๆ โฆษณาไม่มีที่สิ้นสุด

และเกิดอะไรขึ้นกับฟังก์ชั่นในเวลานี้?
, , , …

ดังนั้น: ถ้า ฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะลบค่าอนันต์:

พูดอย่างคร่าว ๆ ตามกฎข้อแรกของเรา เราแทนค่าอนันต์ในฟังก์ชันแทน "x" แล้วได้คำตอบ

อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีอินฟินิตี้:

อีกครั้ง เราเริ่มเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์และดูพฤติกรรมของฟังก์ชัน:

สรุป: สำหรับ ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด:

และตัวอย่างชุดอื่น:

โปรดลองวิเคราะห์สิ่งต่อไปนี้ด้วยตัวคุณเองและจดจำประเภทของขีดจำกัดที่ง่ายที่สุด:

, , , , , , , , ,
หากมีข้อสงสัย คุณสามารถหยิบเครื่องคิดเลขขึ้นมาและฝึกฝนเล็กน้อย
ในกรณีนั้น ให้ลองสร้างลำดับ , , . ถ้า , แล้ว , , .

! บันทึก: พูดอย่างเคร่งครัด วิธีการดังกล่าวกับการสร้างลำดับของตัวเลขหลายตัวนั้นไม่ถูกต้อง แต่ค่อนข้างเหมาะสมสำหรับการทำความเข้าใจตัวอย่างที่ง่ายที่สุด

ให้ความสนใจกับสิ่งต่อไปนี้ด้วย แม้ว่าจะได้รับขีด จำกัด ด้วยตัวเลขจำนวนมากที่ด้านบนหรืออย่างน้อยหนึ่งล้าน: ก็ยังเหมือนเดิมทั้งหมด เพราะไม่ช้าก็เร็ว "x" จะเริ่มรับค่ามหาศาลที่ล้านเมื่อเทียบกับพวกมันจะเป็นจุลินทรีย์ที่แท้จริง

สิ่งที่ควรจำและเข้าใจจากข้างต้น?

1) เมื่อกำหนดขีดจำกัดใดๆ ขั้นแรกให้ลองแทนจำนวนลงในฟังก์ชัน

2) คุณต้องเข้าใจและแก้ไขขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดในทันที เช่น , , ฯลฯ

อีกทั้งมีลิมิตที่ดีมาก ความรู้สึกทางเรขาคณิต. สำหรับ ความเข้าใจที่ดีขึ้นหัวข้อที่ฉันแนะนำให้อ่านเนื้อหาระเบียบวิธี กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน. หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณจะไม่เพียงแต่เข้าใจว่าขีดจำกัดคืออะไร แต่ยังได้ทำความคุ้นเคยอีกด้วย กรณีที่น่าสนใจเมื่อถึงขีดจำกัดของฟังก์ชัน ไม่ได้อยู่!

ในทางปฏิบัติ น่าเสียดายที่มีของขวัญไม่กี่ชิ้น ดังนั้นเราจึงพิจารณาถึงขีดจำกัดที่ซับซ้อนมากขึ้น โดยวิธีการในหัวข้อนี้มี หลักสูตรเข้มข้นในรูปแบบ pdf ซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งหากคุณมีเวลาเตรียมตัวน้อยมาก แต่แน่นอนว่าเนื้อหาของเว็บไซต์นั้นไม่เลวร้ายไปกว่านั้น:

ตอนนี้เราจะพิจารณากลุ่มของลิมิต เมื่อ และฟังก์ชันเป็นเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนซึ่งเป็นพหุนาม

ตัวอย่าง:

คำนวณวงเงิน

ตามกฎของเรา เราจะพยายามแทนค่าอนันต์เป็นฟังก์ชัน เราได้อะไรจากด้านบน? อินฟินิตี้ และเกิดอะไรขึ้นด้านล่าง? อินฟินิตี้อีกด้วย ดังนั้นเราจึงมีสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอนของรูปแบบ บางคนอาจคิดว่า และคำตอบก็พร้อมแล้ว แต่ในกรณีทั่วไป นี่ไม่ใช่กรณีเลย และต้องใช้วิธีแก้ปัญหาบางอย่าง ซึ่งตอนนี้เราจะพิจารณา

วิธีแก้ขีดจำกัดประเภทนี้?

อันดับแรก เราดูที่ตัวเศษและค้นหาพลังสูงสุด:

พลังสูงสุดในตัวเศษคือสอง

ตอนนี้เราดูที่ตัวส่วนและค้นหาระดับสูงสุดด้วย:

พลังสูงสุดของตัวส่วนคือสอง

จากนั้นเราเลือกพลังสูงสุดของเศษและส่วน: ในตัวอย่างนี้ พวกเขาเท่ากันและเท่ากับสอง

ดังนั้น วิธีการแก้ปัญหามีดังนี้: เพื่อที่จะเปิดเผยความไม่แน่นอน จำเป็นต้องหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยระดับสูงสุด

นี่คือคำตอบและไม่ใช่อนันต์เลย

สิ่งที่จำเป็นในการตัดสินใจคืออะไร?

ขั้นแรก เราระบุความไม่แน่นอน ถ้ามี

ประการที่สอง เป็นที่พึงปรารถนาที่จะขัดจังหวะการแก้ปัญหาสำหรับคำอธิบายระดับกลาง ฉันมักจะใช้สัญลักษณ์ มันไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ แต่หมายความว่าวิธีแก้ปัญหาถูกขัดจังหวะสำหรับคำอธิบายระหว่างกลาง

ประการที่สามในขีด จำกัด เป็นที่พึงปรารถนาที่จะทำเครื่องหมายว่ามีแนวโน้มอย่างไรและที่ไหน เมื่องานวาดด้วยมือจะสะดวกกว่าที่จะทำเช่นนี้:

สำหรับโน้ตควรใช้ดินสอธรรมดา

แน่นอนว่าคุณไม่สามารถทำอะไรได้ แต่บางทีครูอาจสังเกตเห็นข้อบกพร่องในการแก้ปัญหาหรือเริ่มถามคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับงานที่มอบหมาย และคุณต้องการมันไหม?

ตัวอย่างที่ 2

หาขีดจำกัด
อีกครั้งในตัวเศษและส่วนที่เราพบในระดับสูงสุด:

ระดับสูงสุดในตัวเศษ: 3
ระดับสูงสุดในตัวส่วน: 4
เลือก ยิ่งใหญ่ที่สุดค่าในกรณีนี้สี่
ตามอัลกอริทึมของเรา เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน เราหารตัวเศษและตัวส่วนด้วย
การมอบหมายที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย

ตัวอย่างที่ 3

หาขีดจำกัด
ระดับสูงสุดของ "x" ในตัวเศษ: 2
กำลังสูงสุดของ "x" ในตัวส่วน: 1 (สามารถเขียนเป็น)
ในการเปิดเผยความไม่แน่นอน จำเป็นต้องหารตัวเศษและตัวส่วนด้วย โซลูชันที่สะอาดอาจมีลักษณะดังนี้:

หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย

บันทึกไม่ได้หมายถึงการหารด้วยศูนย์ (เป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์) แต่เป็นการหารด้วยจำนวนที่น้อยมาก

ดังนั้นเมื่อเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์มเราจะได้ จำนวนจำกัด, ศูนย์หรืออินฟินิตี้

ขีดจำกัดกับความไม่แน่นอนของประเภทและวิธีการแก้ปัญหา

กลุ่มลิมิตถัดไปค่อนข้างคล้ายกับลิมิตที่เพิ่งพิจารณา: มีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน แต่ "x" ไม่มีแนวโน้มเป็นค่าอนันต์อีกต่อไป แต่จะ หมายเลขสุดท้าย.

ตัวอย่างที่ 4

แก้ขีดจำกัด
ก่อนอื่น ลองแทน -1 ในเศษส่วน:

ในกรณีนี้จะได้รับความไม่แน่นอนที่เรียกว่า

กฎทั่วไป: ถ้ามีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน และรูปแบบมีความไม่แน่นอน ให้เปิดเผยข้อมูล แยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วน.

ในการทำเช่นนี้ บ่อยครั้งที่คุณต้องแก้สมการกำลังสองและ (หรือ) ใช้สูตรคูณแบบย่อ ถ้าลืมเรื่องพวกนี้ไปก็เข้าเพจ สูตรและตารางทางคณิตศาสตร์และทำความคุ้นเคยกับวัสดุวิธีการ สูตรคณิตศาสตร์โรงเรียนฮอต. โดยวิธีการที่ดีที่สุดคือพิมพ์ออกมาต้องใช้บ่อยมากและข้อมูลจากกระดาษจะถูกดูดซึมได้ดีขึ้น

ลองแก้ลิมิตของเรากัน

การแยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วน

ในการแยกตัวประกอบของตัวเศษ คุณต้องแก้สมการกำลังสอง:

ก่อนอื่นเราพบผู้จำแนก:

และรากที่สองของมัน: .

หากตัวจำแนกมีขนาดใหญ่ เช่น 361 เราจะใช้เครื่องคิดเลข ฟังก์ชันรากที่สองอยู่ในเครื่องคิดเลขที่ง่ายที่สุด

! หากรูตไม่ถูกแตกออกอย่างสมบูรณ์ (ได้รับตัวเลขที่เป็นเศษส่วนพร้อมเครื่องหมายจุลภาค) เป็นไปได้มากว่าการเลือกปฏิบัตินั้นคำนวณไม่ถูกต้องหรือมีการพิมพ์ผิดในงาน

ต่อไปเราจะพบราก:

ทางนี้:

ทุกอย่าง. ตัวเศษจะแยกตัวประกอบ

ตัวส่วน ตัวส่วนเป็นตัวประกอบที่ง่ายที่สุดแล้ว และไม่มีทางที่จะลดความซับซ้อนลงได้

แน่นอน มันสามารถย่อเป็น:

ตอนนี้เราแทนที่ -1 ในนิพจน์ที่ยังคงอยู่ภายใต้เครื่องหมายจำกัด:

โดยธรรมชาติแล้ว ในการทดสอบ การทดสอบ การสอบ วิธีแก้ปัญหาไม่เคยลงรายละเอียดขนาดนั้น ในเวอร์ชันสุดท้าย การออกแบบควรมีลักษณะดังนี้:

ลองแยกตัวประกอบของตัวเศษกัน

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณวงเงิน

ประการแรก วิธีแก้ปัญหาที่ "สะอาด"

ลองแยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนกัน

เศษ:
ตัวส่วน:



,

อะไรคือสิ่งสำคัญในตัวอย่างนี้?
ขั้นแรก คุณต้องเข้าใจวิธีการแสดงตัวเศษก่อน เราใส่คร่อม 2 แล้วใช้สูตรผลต่างกำลังสอง นี่คือสูตรที่คุณต้องรู้และดู

คำแนะนำ: หากอยู่ในขีดจำกัด (เกือบทุกชนิด) คุณสามารถนำตัวเลขออกจากวงเล็บได้ เราจะทำเช่นนี้เสมอ
นอกจากนี้ ขอแนะนำให้ใช้ตัวเลขดังกล่าวเกินกว่าเครื่องหมายขีด จำกัด. เพื่ออะไร? เพียงเพื่อไม่ให้พวกเขาเข้ามาขวางทาง สิ่งสำคัญคืออย่าสูญเสียตัวเลขเหล่านี้ในระหว่างการตัดสินใจ

โปรดทราบว่าใน ขั้นตอนสุดท้ายฉันเอาวิธีแก้ปัญหาสำหรับไอคอนลิมิต deuce แล้วก็ลบ

! สำคัญ
ในระหว่างการแก้ปัญหา ชิ้นส่วนประเภทเกิดขึ้นบ่อยมาก ลดเศษส่วนนี้เป็นสิ่งต้องห้าม . ก่อนอื่น คุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วน (ใส่ -1 ออกจากวงเล็บ)
นั่นคือเครื่องหมายลบปรากฏขึ้นซึ่งจะนำมาพิจารณาเมื่อคำนวณขีด จำกัด และไม่จำเป็นต้องสูญเสียเลย

โดยทั่วไปแล้วฉันสังเกตเห็นว่าบ่อยครั้งในการหาขีด จำกัด ประเภทนี้คุณต้องแก้สองข้อ สมการกำลังสองนั่นคือ ทั้งตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยตรีโกณมิติกำลังสอง

วิธีการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยนิพจน์ที่ติดกัน

เรายังคงคำนึงถึงความไม่แน่นอนของฟอร์ม

ขีดจำกัดประเภทถัดไปคล้ายกับประเภทก่อนหน้า สิ่งเดียวนอกเหนือจากพหุนามเราจะเพิ่มราก

ตัวอย่างที่ 6

หาขีดจำกัด

เราเริ่มตัดสินใจ

ขั้นแรก เราพยายามแทน 3 ในนิพจน์ใต้เครื่องหมายจำกัด
ฉันพูดซ้ำอีกครั้ง - นี่เป็นสิ่งแรกที่ต้องทำสำหรับขีด จำกัด ใด ๆ. การกระทำนี้มักจะดำเนินการทางจิตใจหรือร่าง

ได้รับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม ซึ่งจำเป็นต้องกำจัด

อย่างที่คุณอาจสังเกตเห็น เรามีความแตกต่างของรากในตัวเศษ และเป็นเรื่องปกติที่จะต้องกำจัดรากเหง้าของคณิตศาสตร์ถ้าเป็นไปได้ เพื่ออะไร? และชีวิตก็ง่ายขึ้นหากไม่มีพวกเขา