ในบางปัญหาของฟิสิกส์ ความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างปริมาณที่อธิบายกระบวนการไม่สามารถสร้างได้ แต่มีความเป็นไปได้ที่จะได้รับความเท่าเทียมกันที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใต้การศึกษา นี่คือที่มาของสมการเชิงอนุพันธ์และจำเป็นต้องแก้สมการเพื่อหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก

บทความนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ประสบปัญหาในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว ทฤษฎีนี้สร้างขึ้นในลักษณะที่ไม่มีความเข้าใจเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ คุณสามารถทำงานของคุณได้

สมการเชิงอนุพันธ์แต่ละประเภทเชื่อมโยงกับวิธีการแก้ปัญหาพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดและคำตอบของตัวอย่างและปัญหาทั่วไป คุณเพียงแค่กำหนดประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ของปัญหาของคุณ ค้นหาตัวอย่างที่วิเคราะห์แล้วคล้ายกัน และดำเนินการที่คล้ายกัน

สำหรับ โซลูชั่นที่ประสบความสำเร็จสมการเชิงอนุพันธ์ในส่วนของคุณ คุณจะต้องมีความสามารถในการหาชุดของอนุพันธ์ (อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน) ของฟังก์ชันต่างๆ หากจำเป็น เราขอแนะนำให้คุณดูส่วนนี้

ขั้นแรก ให้พิจารณาประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่งที่สามารถแก้ไขได้ด้วยอนุพันธ์ จากนั้นเราจะไปยัง ODE อันดับสอง จากนั้นเราจะอาศัยสมการลำดับที่สูงกว่าและจบด้วยระบบสมการเชิงอนุพันธ์

จำได้ว่าถ้า y เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ x

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง

สมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดของลำดับที่หนึ่งของแบบฟอร์ม

ให้เราเขียนตัวอย่างต่างๆ ของ DE ดังกล่าว .

สมการเชิงอนุพันธ์ สามารถแก้ไขได้ด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์โดยการหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย f(x) ในกรณีนี้ เรามาถึงสมการ ซึ่งจะเทียบเท่ากับสมการเดิมสำหรับ f(x) ≠ 0 ตัวอย่างของ ODE เช่น

หากมีค่าของอาร์กิวเมนต์ x ที่ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) หายไปพร้อมกัน วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมจะปรากฏขึ้น คำตอบเพิ่มเติมสำหรับสมการ กำหนด x เป็นฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดไว้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์เหล่านั้น ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าว ได้แก่

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์เชิงเส้นของอันดับสองด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่.

LODE ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่พบได้ทั่วไป วิธีแก้ปัญหาของพวกเขานั้นไม่ยากโดยเฉพาะ รากจะพบก่อน สมการคุณลักษณะ . สำหรับ p และ q ที่แตกต่างกัน เป็นไปได้สามกรณี: รากของสมการคุณลักษณะอาจเป็นจริงและต่างกัน จริงและบังเอิญ หรือคอนจูเกตที่ซับซ้อน ขึ้นอยู่กับค่าของรากของสมการลักษณะเฉพาะ การตัดสินใจร่วมกันสมการเชิงอนุพันธ์เป็น , หรือ หรือตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเอกพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ รากของสมการคุณลักษณะคือ k 1 = -3 และ k 2 = 0 รากเป็นจริงและแตกต่างกัน ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับ LDE ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่คือ


สมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์ลำดับที่สองแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

คำตอบทั่วไปของ LIDE อันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ y ถูกหาเป็นผลรวมของคำตอบทั่วไปของ LODE ที่สอดคล้องกัน และวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของต้นฉบับ สมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน, นั่นคือ, . ย่อหน้าก่อนหน้านี้อุทิศให้กับการหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ และวิธีแก้ปัญหาเฉพาะนั้นถูกกำหนดโดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนที่ รูปแบบบางอย่างฟังก์ชัน f(x) , ยืนอยู่ทางด้านขวาของสมการเดิม หรือโดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการ

เรานำเสนอตัวอย่างของ LIDE อันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่


ทำความเข้าใจทฤษฎีและทำความคุ้นเคยกับ การตัดสินใจโดยละเอียดตัวอย่างที่เราเสนอให้คุณในหน้าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น (LODE) และสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง (LNDEs)

กรณีพิเศษของสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทนี้คือ LODE และ LODE ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

คำตอบทั่วไปของ LODE ในช่วงเวลาหนึ่งแสดงโดยการรวมเชิงเส้นของสองคำตอบเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้น y 1 และ y 2 ของสมการนี้ นั่นคือ .

ความยากหลักอยู่ที่การหาผลเฉลยบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทนี้ โดยปกติแล้ว โซลูชันเฉพาะจะถูกเลือกจาก ระบบดังต่อไปนี้ฟังก์ชันอิสระเชิงเส้น:


อย่างไรก็ตาม โซลูชันเฉพาะไม่ได้นำเสนอในแบบฟอร์มนี้เสมอไป

ตัวอย่างของ LODU คือ .

คำตอบทั่วไปของ LIDE ถูกค้นหาในรูปแบบ ซึ่งคือคำตอบทั่วไปของ LODE ที่สอดคล้องกัน และเป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม เราเพิ่งพูดถึงการค้นหา แต่สามารถกำหนดได้โดยใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการ

ตัวอย่างของ LNDE คือ .

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูงกว่า

สมการเชิงอนุพันธ์ยอมรับการลดลำดับ

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งไม่มีฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ที่มีลำดับถึง k-1 สามารถลดลงเป็น n-k ได้โดยการแทนที่

ในกรณีนี้ และสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมจะลดเหลือ หลังจากพบวิธีแก้ปัญหาแล้ว p(x) ก็ยังคงต้องกลับไปที่การแทนที่และกำหนดฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก y .

ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์ หลังจากการแทนที่กลายเป็นสมการที่แยกออกได้ และลำดับของมันจะลดลงจากสมการที่สามเป็นสมการแรก

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง ตัวอย่างโซลูชัน
สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกกันได้

สมการเชิงอนุพันธ์ (DE) คำสองคำนี้มักจะทำให้คนทั่วไปหวาดกลัว สมการเชิงอนุพันธ์ดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่อุกอาจและยากที่จะเชี่ยวชาญสำหรับนักเรียนหลายคน Uuuuuu… สมการเชิงอนุพันธ์ ฉันจะเอาชีวิตรอดทั้งหมดนี้ได้อย่างไร!

ความคิดเห็นและทัศนคติดังกล่าวเป็นความผิดโดยพื้นฐานเพราะในความเป็นจริง สมการผลต่างนั้นง่ายและสนุก. คุณต้องรู้อะไรบ้างและสามารถเรียนรู้เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้? เพื่อให้ประสบความสำเร็จในการศึกษาความแตกต่าง คุณต้องเก่งในการบูรณาการและแยกแยะความแตกต่าง ยิ่งศึกษาหัวข้อได้ดีเท่าไร อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวและ อินทิกรัลไม่แน่นอนก็ยิ่งจะเข้าใจสมการเชิงอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้นเท่านั้น ฉันจะพูดให้มากกว่านี้ หากคุณมีทักษะการบูรณาการที่ดีไม่มากก็น้อย หัวข้อนี้ก็เชี่ยวชาญแล้ว! ปริพันธ์มากขึ้น หลากหลายชนิดคุณรู้วิธีตัดสินใจ - ยิ่งดี ทำไม คุณต้องบูรณาการอย่างมาก และแยกแยะ. อีกด้วย ขอเเนะนำเรียนรู้ที่จะหา

ใน 95% ของกรณีใน ควบคุมการทำงานสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งมี 3 ประเภท: สมการที่แยกกันได้ซึ่งเราจะพูดถึงในบทเรียนนี้ สมการเอกพันธ์และ สมการเอกพันธ์เชิงเส้น. สำหรับผู้เริ่มต้นศึกษาดิฟฟิวเซอร์ ฉันแนะนำให้คุณอ่านบทเรียนตามลำดับนี้ และหลังจากศึกษาบทความสองบทความแรกแล้ว การรวมทักษะของคุณในเวิร์กช็อปเพิ่มเติมจะไม่เสียหาย - สมการที่ลดลงเป็นเนื้อเดียวกัน.

มีสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทที่หายากกว่า: สมการในส่วนต่างทั้งหมด สมการของแบร์นูลลี และอื่นๆ ที่สำคัญที่สุดของทั้งสอง สายพันธุ์ล่าสุดเป็นสมการใน ความแตกต่างทั้งหมดเนื่องจากนอกเหนือจาก DE นี้ฉันพิจารณา วัสดุใหม่ – การรวมบางส่วน.

ถ้าคุณมีเวลาเหลือแค่วันหรือสองวัน, ที่ เพื่อการเตรียมการที่รวดเร็วเป็นพิเศษมี หลักสูตรสายฟ้าแลบในรูปแบบ pdf

มีการกำหนดจุดสังเกต - ไปกันเลย:

ก่อนอื่นให้เรานึกถึงสมการพีชคณิตตามปกติ ประกอบด้วยตัวแปรและตัวเลข ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: . การแก้สมการธรรมดาหมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายถึงการค้นหา ชุดตัวเลขที่เป็นไปตามสมการนี้ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสมการของเด็กมีรากเดียว: . เพื่อความสนุก ลองตรวจสอบกัน แทนที่รูทที่พบในสมการของเรา:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง

Diffuses ถูกจัดเรียงในลักษณะเดียวกัน!

สมการเชิงอนุพันธ์ คำสั่งแรกวี กรณีทั่วไป ประกอบด้วย:
1) ตัวแปรอิสระ ;
2) ตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน);
3) อนุพันธ์แรกของฟังก์ชัน: .

ในบางสมการของอันดับ 1 อาจไม่มี "x" หรือ (และ) "y" แต่ไม่จำเป็น - สำคัญดังนั้นใน DU เคยเป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่ง และ ไม่ได้มีอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น - , ฯลฯ

แปลว่าอะไร ?การแก้สมการเชิงอนุพันธ์หมายถึงการค้นหา ชุดฟังก์ชั่นทั้งหมดที่เป็นไปตามสมการนี้ ชุดของฟังก์ชันดังกล่าวมักมีรูปแบบ ( เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ) ซึ่งเรียกว่า คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์.

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

กระสุนเต็ม. จะเริ่มต้นที่ไหน สารละลาย?

ก่อนอื่น คุณต้องเขียนอนุพันธ์ใหม่ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย เราจำสัญกรณ์ที่ยุ่งยาก ซึ่งหลายท่านอาจคิดว่าไร้สาระและไม่จำเป็น มันคือกฎของดิฟฟิวเซอร์!

ในขั้นตอนที่สอง มาดูกันว่าเป็นไปได้ไหม แยกตัวแปร?การแยกตัวแปรหมายความว่าอย่างไร พูดประมาณว่า ทางด้านซ้ายเราต้องออกไป "เกม" เท่านั้น, ก อยู่ทางขวาจัดระเบียบ x เท่านั้น. การแยกตัวแปรดำเนินการโดยใช้การจัดการ "โรงเรียน": วงเล็บ, การถ่ายโอนข้อกำหนดจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย, การถ่ายโอนปัจจัยจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งตามกฎของสัดส่วน ฯลฯ

ดิฟเฟอเรนเชียลและเป็นตัวคูณเต็มและมีส่วนร่วมในสงคราม ในตัวอย่างนี้ ตัวแปรถูกแยกออกอย่างง่ายดายด้วยปัจจัยการพลิกตามกฎสัดส่วน:

ตัวแปรถูกแยกออกจากกัน ทางด้านซ้าย - เฉพาะ "เกม" ทางด้านขวา - เฉพาะ "X"

ขั้นตอนต่อไป - การรวมสมการเชิงอนุพันธ์. ง่ายมาก เราใส่อินทิกรัลทั้งสองส่วน:

แน่นอนต้องนำปริพันธ์ ใน กรณีนี้เป็นตาราง:

อย่างที่เราจำได้ ค่าคงที่ถูกกำหนดให้กับแอนติเดริเวทีฟใดๆ มีอินทิกรัลสองตัวที่นี่ แต่เขียนค่าคงที่เพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว (เพราะค่าคงที่ + ค่าคงที่หนึ่งยังคงเท่ากับค่าคงที่อื่น). ในกรณีส่วนใหญ่จะวางไว้ทางด้านขวา

สมการเชิงอนุพันธ์จะถือว่าได้รับการแก้ไข สิ่งเดียวคือ "y" ของเราไม่ได้แสดงผ่าน "x" นั่นคือมีการนำเสนอวิธีแก้ปัญหา โดยปริยายรูปร่าง. คำตอบโดยปริยายของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่า อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์. นั่นคือเป็นอินทิกรัลทั่วไป

คำตอบในแบบฟอร์มนี้ค่อนข้างยอมรับได้ แต่มีตัวเลือกที่ดีกว่านี้ไหม มาลองกันเถอะ การตัดสินใจร่วมกัน.

โปรด, จำเทคนิคแรกเป็นเรื่องปกติมากและมักใช้ใน งานปฏิบัติ: หากลอการิทึมปรากฏขึ้นทางด้านขวาหลังจากการอินทิเกรต ในหลายกรณี (แต่ไม่เสมอไป!) ขอแนะนำให้เขียนค่าคงที่ไว้ใต้ลอการิทึม.

นั่นคือ, แทนบันทึกมักจะเขียน .

ทำไมถึงจำเป็น? และเพื่อให้ง่ายต่อการแสดง "y" เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึม . ในกรณีนี้:

ตอนนี้สามารถลบลอการิทึมและโมดูล:

มีการนำเสนอฟังก์ชั่นอย่างชัดเจน นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

คำตอบ: การตัดสินใจร่วมกัน: .

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ต่างๆ ค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบ ในกรณีของเรา สิ่งนี้ทำได้ค่อนข้างง่าย เราใช้วิธีแก้ปัญหาที่พบและแยกความแตกต่าง:

จากนั้นเราแทนอนุพันธ์ลงในสมการเดิม:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าโซลูชันทั่วไปเป็นไปตามสมการ ซึ่งจำเป็นต้องตรวจสอบ

ด้วยการให้ค่าต่างๆ คงที่ คุณจะได้จำนวนอนันต์ การตัดสินใจส่วนตัวสมการเชิงอนุพันธ์. เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชันใด , , ฯลฯ เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์

บางครั้งก็เรียกวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ครอบครัวของฟังก์ชั่น. ใน ตัวอย่างนี้การตัดสินใจร่วมกัน - นี่คือครอบครัว ฟังก์ชันเชิงเส้นหรือค่อนข้างจะเป็นครอบครัวที่มีสัดส่วนโดยตรง

หลังจากอภิปรายโดยละเอียดเกี่ยวกับตัวอย่างแรกแล้ว ก็เหมาะสมที่จะตอบคำถามไร้เดียงสาสองสามข้อเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์:

1)ในตัวอย่างนี้ เราจัดการเพื่อแยกตัวแปร เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้?ไม่เสมอไป และบ่อยครั้งมากที่ตัวแปรไม่สามารถแยกออกจากกันได้ ตัวอย่างเช่นใน สมการอันดับหนึ่งที่เป็นเนื้อเดียวกันต้องเปลี่ยนก่อน ในสมการประเภทอื่นๆ เช่น ในสมการเชิงเส้นที่ไม่ใช่เอกพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง คุณต้องใช้กลอุบายและวิธีการต่างๆ เพื่อหาคำตอบทั่วไป สมการตัวแปรแบบแยกส่วนที่เราพิจารณาในบทเรียนแรกคือ − ประเภทที่ง่ายที่สุดสมการเชิงอนุพันธ์.

2) เป็นไปได้เสมอที่จะอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์?ไม่เสมอไป มันง่ายมากที่จะคิดสมการ "แฟนซี" ที่ไม่สามารถอินทิกรัลได้ นอกจากนี้ยังมีปริพันธ์ที่ไม่สามารถนำมารวมกันได้ แต่ DE ดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้ วิธีการพิเศษ. D'Alembert และ Cauchy รับประกันว่า... ...เอ่อ ซุ่มอ่านอยู่ เมื่อกี้ฉันอ่านเยอะไปหน่อย ฉันเกือบจะพูดว่า "จากโลกอื่น"

3) ในตัวอย่างนี้ เราได้รับคำตอบในรูปแบบของอินทิกรัลทั่วไป . เป็นไปได้หรือไม่ที่จะหาทางออกทั่วไปจากอินทิกรัลทั่วไป นั่นคือการแสดง "y" ในรูปแบบที่ชัดเจนไม่เสมอไป ตัวอย่างเช่น: . ฉันจะแสดง "y" ที่นี่ได้อย่างไร! ในกรณีเช่นนี้ ควรเขียนคำตอบเป็นอินทิกรัลทั่วไป นอกจากนี้ บางครั้งสามารถพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้ แต่มันเขียนอย่างยุ่งยากและงุ่มง่ามซึ่งจะเป็นการดีกว่าที่จะทิ้งคำตอบไว้ในรูปของอินทิกรัลทั่วไป

4) ...อาจจะเพียงพอสำหรับตอนนี้ ในตัวอย่างแรก เราพบกัน อีกอันหนึ่ง จุดสำคัญ แต่เพื่อไม่ให้ "หุ่น" ปกคลุมด้วยหิมะถล่ม ข้อมูลใหม่ฉันจะปล่อยไว้จนกว่าจะถึงบทเรียนถัดไป

อย่ารีบร้อน รีโมตคอนโทรลแบบง่ายๆ อีกอันหนึ่งและวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไป:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น

สารละลาย: ตามสภาพที่ต้องหา โซลูชันส่วนตัว DE ที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด การถามลักษณะนี้เรียกอีกอย่างว่า ปัญหาจุกจิก.

ขั้นแรก เราพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ไม่มีตัวแปร "x" ในสมการ แต่สิ่งนี้ไม่ควรเป็นเรื่องน่าอาย สิ่งสำคัญคือมันมีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

เราเขียนอนุพันธ์ใหม่ใน แบบฟอร์มที่ต้องการ:

แน่นอน ตัวแปรสามารถแบ่งออกได้ เด็กผู้ชายอยู่ทางซ้าย เด็กผู้หญิงอยู่ทางขวา:

เรารวมสมการ:

ได้รับอินทิกรัลทั่วไป ที่นี่ฉันวาดค่าคงที่ด้วยดาวเน้นเสียง ความจริงก็คือในไม่ช้ามันจะกลายเป็นค่าคงที่อื่น

ตอนนี้เรากำลังพยายามแปลงอินทิกรัลทั่วไปให้เป็นโซลูชันทั่วไป (ระบุ "y" อย่างชัดเจน) เราจำโรงเรียนเก่าที่ดี: . ในกรณีนี้:

ค่าคงที่ในตัวบ่งชี้นั้นดูไม่โคเชอร์ ดังนั้นมันจึงมักจะลดลงจากสวรรค์สู่โลก ในรายละเอียดมันเกิดขึ้นเช่นนี้ ใช้คุณสมบัติขององศา เราเขียนฟังก์ชันใหม่ดังนี้:

หากเป็นค่าคงที่ แสดงว่ามีค่าคงที่ด้วย ให้กำหนดใหม่ด้วยตัวอักษร :

จำไว้ว่า "การทำลายล้าง" ของค่าคงที่คือ เทคนิคที่สองซึ่งมักใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ: ตระกูลฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลที่ดีจริงๆ

ในขั้นตอนสุดท้าย คุณต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด มันง่ายเกินไป

ภารกิจคืออะไร? จำเป็นต้องรับ เช่นค่าคงที่ที่เป็นไปตามเงื่อนไข

คุณสามารถจัดเรียงได้หลายวิธี แต่สิ่งที่เข้าใจได้มากที่สุดอาจจะเป็นแบบนี้ ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แทนที่จะเป็น "x" เราแทนที่ศูนย์และแทน "y" ด้วยสอง:



นั่นคือ,

เวอร์ชันการออกแบบมาตรฐาน:

ตอนนี้เราแทนที่ค่าคงที่ที่พบเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
– นี่คือโซลูชันเฉพาะที่เราต้องการ

คำตอบ: โซลูชันส่วนตัว:

มาตรวจสอบกัน การตรวจสอบโซลูชันเฉพาะประกอบด้วยสองขั้นตอน:

ขั้นแรก จำเป็นต้องตรวจสอบว่าโซลูชันเฉพาะที่พบนั้นตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นหรือไม่ ? แทนที่จะเป็น "x" เราจะแทนที่ศูนย์และดูว่าเกิดอะไรขึ้น:
- ใช่จริง ๆ แล้วได้รับผีซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นที่พอใจ

ด่านที่สองเริ่มคุ้นเคยแล้ว เราใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่เป็นผลลัพธ์และค้นหาอนุพันธ์:

แทนในสมการเดิม:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

สรุป: พบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างถูกต้อง

มาดูตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้นกันเถอะ

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย:เราเขียนอนุพันธ์ในรูปแบบที่เราต้องการ:

การประเมินว่าสามารถแยกตัวแปรได้หรือไม่? สามารถ. เราโอนเทอมที่สองไปทางด้านขวาโดยมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย:

และเราพลิกปัจจัยตามกฎสัดส่วน:

ตัวแปรถูกแยกออกจากกัน มารวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน:

ฉันต้องเตือนคุณ วันพิพากษากำลังจะมาถึง ถ้าเรียนไม่เก่ง ปริพันธ์ไม่จำกัดแก้ไขตัวอย่างบางส่วนแล้วไม่มีที่ไป - คุณต้องเชี่ยวชาญในตอนนี้

อินทิกรัลของด้านซ้ายนั้นหาได้ง่าย โดยเราจัดการกับอินทิกรัลโคแทนเจนต์ด้วยเทคนิคมาตรฐานที่เราพิจารณาในบทเรียน การอินทิเกรตของฟังก์ชันตรีโกณมิติปีที่แล้ว:

ทางด้านขวา เรามีลอการิทึม และตามคำแนะนำทางเทคนิคข้อแรกของฉัน ควรเขียนค่าคงที่ไว้ใต้ลอการิทึมด้วย

ตอนนี้เราพยายามลดความซับซ้อนของอินทิกรัลทั่วไป เนื่องจากเรามีเพียงลอการิทึมเท่านั้น จึงค่อนข้างเป็นไปได้ (และจำเป็น) ที่จะกำจัดพวกมัน โดยใช้ คุณสมบัติที่รู้จัก"แพ็ค" ลอการิทึมให้มากที่สุด ฉันจะเขียนรายละเอียดมาก:

บรรจุภัณฑ์เสร็จสมบูรณ์เพื่อขาดรุ่งริ่งอย่างป่าเถื่อน:

เป็นไปได้ไหมที่จะแสดง "y"? สามารถ. ทั้งสองส่วนจะต้องเป็นกำลังสอง

แต่คุณไม่จำเป็นต้อง

เคล็ดลับทางเทคนิคที่สาม:หากต้องการได้รับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคุณจำเป็นต้องเพิ่มพลังหรือหยั่งราก ในกรณีส่วนใหญ่คุณควรละเว้นจากการกระทำเหล่านี้และปล่อยให้คำตอบอยู่ในรูปของอินทิกรัลทั่วไป ความจริงก็คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะดูแย่มาก - ด้วยรากขนาดใหญ่ สัญญาณ และขยะอื่นๆ

ดังนั้นเราจึงเขียนคำตอบเป็นอินทิกรัลทั่วไป ถือว่าเป็นรูปแบบที่ดีที่จะนำเสนอในรูปแบบนั่นคือทางด้านขวาถ้าเป็นไปได้ให้เหลือเพียงค่าคงที่ ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่เป็นประโยชน์เสมอในการทำให้อาจารย์พอใจ ;-)

คำตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

! บันทึก: ไม่สามารถเขียนอินทิกรัลทั่วไปของสมการใดๆ ได้ วิธีเดียว. ดังนั้น หากผลลัพธ์ของคุณไม่ตรงกับคำตอบที่ทราบก่อนหน้านี้ ก็ไม่ได้หมายความว่าคุณแก้สมการไม่ถูกต้อง

การตรวจสอบอินทิกรัลทั่วไปทำได้ค่อนข้างง่ายสิ่งสำคัญคือต้องสามารถหาได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย. มาแยกแยะคำตอบกัน:

เราคูณเงื่อนไขทั้งสองด้วย:

และเราหารด้วย:

ได้รับสมการเชิงอนุพันธ์เดิมทุกประการ ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลทั่วไปได้อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น เรียกใช้การตรวจสอบ

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ โซลูชันอิสระ.

ฉันเตือนคุณว่าอัลกอริทึมประกอบด้วยสองขั้นตอน:
1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
2) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่จำเป็น

การตรวจสอบจะดำเนินการในสองขั้นตอน (ดูตัวอย่างในตัวอย่างที่ 2) คุณต้อง:
1) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าโซลูชันเฉพาะที่พบตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น
2) ตรวจสอบว่าวิธีแก้ปัญหาเฉพาะโดยทั่วไปเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์

โซลูชั่นที่สมบูรณ์และเฉลยท้ายบทเรียน

ตัวอย่างที่ 5

หาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ , เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น . เรียกใช้การตรวจสอบ

สารละลาย:อันดับแรก มาหาวิธีแก้ปัญหาทั่วๆ ไป สมการนี้มีดิฟเฟอเรนเชียลสำเร็จรูปอยู่แล้ว และ ซึ่งหมายความว่าคำตอบจะง่ายขึ้น แยกตัวแปร:

เรารวมสมการ:

อินทิกรัลทางซ้ายเป็นตาราง ส่วนอินทิกรัลทางขวาจะถูกนำมา วิธีการสรุปฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียล:

ได้รับอินทิกรัลทั่วไปแล้ว เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำเร็จ สามารถ. เราแขวนลอการิทึมทั้งสองด้าน เนื่องจากเป็นค่าบวก สัญญาณโมดูโลจึงซ้ำซ้อน:

(ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจการเปลี่ยนแปลงเรื่องดังกล่าวควรรู้อยู่แล้ว)

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

ลองหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
ในการแก้ปัญหาทั่วไป แทนที่จะเป็น "x" เราแทนศูนย์และแทน "y" ลอการิทึมของสอง:

การออกแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น:

เราแทนที่ค่าคงที่ที่พบลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

คำตอบ:โซลูชันส่วนตัว:

ตรวจสอบ: อันดับแรก ตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นหรือไม่:
- ทุกอย่างเป็นสิ่งที่ดี.

ทีนี้มาตรวจสอบว่าคำตอบเฉพาะที่พบตรงตามสมการเชิงอนุพันธ์หรือไม่ เราพบอนุพันธ์:

ลองดูสมการเดิม: – นำเสนอในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล มีสองวิธีในการตรวจสอบ เป็นไปได้ที่จะแสดงความแตกต่างจากอนุพันธ์ที่พบ:

เราแทนที่คำตอบเฉพาะที่พบและผลต่างที่ได้ลงในสมการเดิม :

เราใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างถูกต้อง

วิธีที่สองในการตรวจสอบเป็นแบบมิเรอร์และคุ้นเคยมากกว่า: จากสมการ แสดงอนุพันธ์ สำหรับสิ่งนี้เราแบ่งชิ้นส่วนทั้งหมดโดย:

และใน DE ที่แปลงแล้ว เราแทนที่โซลูชันเฉพาะที่ได้รับและอนุพันธ์ที่พบ . อันเป็นผลมาจากการทำให้เข้าใจง่ายควรได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องด้วย

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ แสดงคำตอบเป็นปริพันธ์ทั่วไป

นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเอง วิธีแก้ปัญหาฉบับสมบูรณ์ และคำตอบท้ายบทเรียน

ความยากลำบากอะไรรออยู่ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกกันได้?

1) ไม่ชัดเจนเสมอไป (โดยเฉพาะกับกาน้ำชา) ที่สามารถแยกตัวแปรได้ พิจารณา ตัวอย่างเงื่อนไข: . ที่นี่คุณต้องนำปัจจัยออกจากวงเล็บ: และแยกราก: วิธีการดำเนินการต่อไปมีความชัดเจน

2) ความยากลำบากในการรวมตัวเอง ปริพันธ์มักจะไม่ได้เกิดขึ้นง่ายและหากมีข้อบกพร่องในทักษะการค้นหา อินทิกรัลไม่ จำกัดแล้วมันจะยากกับดิฟฟิวเซอร์หลายตัว นอกจากนี้ คอมไพเลอร์ของคอลเลกชันและคู่มือยังนิยมใช้ตรรกะ "เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์นั้นง่าย อย่างน้อยปริพันธ์จะซับซ้อนกว่า"

3) การแปลงด้วยค่าคงที่ อย่างที่ทุกคนสังเกตเห็น ค่าคงที่ในสมการเชิงอนุพันธ์สามารถจัดการได้อย่างอิสระ และการแปลงบางอย่างอาจไม่ชัดเจนสำหรับผู้เริ่มต้น ลองดูตัวอย่างสมมุติอื่น: . ในนั้นขอแนะนำให้คูณเงื่อนไขทั้งหมดด้วย 2: . ค่าคงที่ที่เป็นผลลัพธ์ก็เป็นค่าคงที่ชนิดหนึ่งเช่นกัน ซึ่งสามารถเขียนแทนได้โดย: . ใช่ และเนื่องจากมีลอการิทึมอยู่ทางด้านขวา ขอแนะนำให้เขียนค่าคงที่ใหม่เป็นค่าคงที่อื่น: .

ปัญหาคือพวกเขามักไม่สนใจดัชนีและใช้ตัวอักษรเดียวกัน เป็นผลให้บันทึกการตัดสินใจใช้เวลา มุมมองถัดไป:

บาปอะไร? นี่คือข้อผิดพลาด! พูดอย่างเคร่งครัดใช่ อย่างไรก็ตามจากมุมมองที่สำคัญไม่มีข้อผิดพลาดเนื่องจากเป็นผลมาจากการแปลงค่าคงที่ตัวแปรยังคงได้รับค่าคงที่ตัวแปร

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่าในระหว่างการแก้สมการ จะได้อินทิกรัลทั่วไป คำตอบนี้ดูน่าเกลียด ดังนั้นจึงแนะนำให้เปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละคำ: . อย่างเป็นทางการ มีข้อผิดพลาดอีกครั้ง - ควรเขียนทางด้านขวา แต่บอกเป็นนัยอย่างไม่เป็นทางการว่า "ลบ ce" ยังคงเป็นค่าคงที่ ( ซึ่งจะใช้กับค่าใด ๆ ก็ได้!)ดังนั้นการใส่ "ลบ" จึงไม่สมเหตุสมผล และคุณสามารถใช้ตัวอักษรเดียวกันได้

ฉันจะพยายามหลีกเลี่ยงวิธีการที่ประมาทและยังคงใส่ดัชนีที่แตกต่างกันสำหรับค่าคงที่เมื่อทำการแปลง

ตัวอย่างที่ 7

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ เรียกใช้การตรวจสอบ

สารละลาย:สมการนี้ยอมรับการแยกตัวแปร แยกตัวแปร:

เรารวม:

ค่าคงที่ที่นี่ไม่จำเป็นต้องถูกกำหนดภายใต้ลอการิทึม เนื่องจากจะไม่มีอะไรดีเกิดขึ้น

คำตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

ตรวจสอบ: แยกความแตกต่างของคำตอบ ( ฟังก์ชันโดยปริยาย):

เรากำจัดเศษส่วน ด้วยเหตุนี้เราจึงคูณพจน์ทั้งสองด้วย:

ได้รับสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมแล้ว ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลทั่วไปได้อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 8

หาทางออกเฉพาะของดีอี
,

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง คำใบ้เพียงอย่างเดียวคือที่นี่คุณจะได้รับอินทิกรัลทั่วไปและถูกต้องกว่านั้นคุณต้องประดิษฐ์เพื่อหาทางออกโดยเฉพาะ แต่ อินทิกรัลส่วนตัว . เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

สมการอันดับหนึ่งในรูปแบบ a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ถ้า b (x) ≡ 0 สมการนั้นจะเรียกว่าเอกพันธ์ มิฉะนั้น - ต่างกัน. สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ทฤษฎีบทการมีอยู่และเอกลักษณ์มีรูปแบบที่ชัดเจนกว่า

การกำหนดบริการ. เครื่องคิดเลขออนไลน์สามารถใช้ทดสอบสารละลายได้ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันเช่น y"+y=b(x)

=

ใช้การแทนที่ตัวแปร y=u*v
ใช้วิธีการแปรผันคงที่ตามอำเภอใจ
ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับ y( ) = .

ในการหาวิธีแก้ปัญหา นิพจน์ดั้งเดิมต้องถูกลดรูปแบบ: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) ตัวอย่างเช่น สำหรับ y"-exp(x)=2*y มันจะเป็น y"-2 *y=exp(x)

ทฤษฎีบท. ให้ a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) ต่อเนื่องกันในช่วง [α,β], 1 ≠0 สำหรับ ∀x∈[α,β] จากนั้นสำหรับจุดใดๆ (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β] มีคำตอบเฉพาะสำหรับสมการที่ตรงตามเงื่อนไข y(x 0) = y 0 และถูกกำหนดในช่วงเวลาทั้งหมด [α ,เบต้า].
พิจารณาสมการอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
การแยกตัวแปร เราได้รับ หรือการรวมทั้งสองส่วน ความสัมพันธ์สุดท้ายโดยคำนึงถึงสัญกรณ์ exp(x) = e x ถูกเขียนในรูปแบบ

ให้เราลองหาคำตอบของสมการใน แบบฟอร์มที่กำหนดซึ่งฟังก์ชัน C(x) ถูกแทนที่ด้วยค่าคงที่ C นั่นคือ ในรูปแบบ

เราได้รับโซลูชันนี้แทนโซลูชันดั้งเดิมหลังจากการแปลงที่จำเป็น เรามีการบูรณาการหลัง

โดยที่ C 1 เป็นค่าคงที่ใหม่ แทนนิพจน์ผลลัพธ์สำหรับ C(x) ในที่สุดเราก็ได้คำตอบของสมการเชิงเส้นดั้งเดิม
.

ตัวอย่าง. แก้สมการ y" + 2y = 4x พิจารณาสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน y" + 2y = 0 แก้ได้ y = Ce -2 x ตอนนี้เรากำลังมองหาคำตอบของสมการดั้งเดิมในรูปแบบ y = C(x)e -2 x . แทน y และ y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x ลงในสมการเดิม เราจะได้ C"(x) = 4xe 2 x โดยที่ C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 และ y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเดิมใน วิธีแก้ปัญหานี้ y 1 ( x) \u003d 2x-1 - การเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้การกระทำของแรง b (x) \u003d 4x, y 2 (x) \u003d C 1 e -2 x - การเคลื่อนไหวของตัวเองวัตถุ.

ตัวอย่าง #2 จงหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x
นี้ สมการเอกพันธ์. มาเปลี่ยนตัวแปรกัน: y=u v, y" = u"v + uv"
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x หรือ u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
การแก้ปัญหาประกอบด้วยสองขั้นตอน:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. คุณ "v \u003d 2cos (3x) / บาป 2 2x
1. เทียบ u=0 หาคำตอบสำหรับ 3v tg(3x)+v" = 0
แสดงในรูปแบบ: v" = -3v tg(3x)

การบูรณาการ เราได้รับ:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = คอส(3x)
2. รู้ v ค้นหาคุณจากเงื่อนไข: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
คุณ" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
คุณ" = 2/บาป 2 2x
การบูรณาการ เราได้รับ:
จากเงื่อนไข y=u v จะได้ว่า
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) หรือ y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งแก้ไขด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์

วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเกี่ยวกับอนุพันธ์:
.
หารสมการนี้ด้วย ที่ เราจะได้ สมการของแบบฟอร์ม:
,
ที่ไหน .

ต่อไป เราจะดูว่าสมการเหล่านี้อยู่ในประเภทใดประเภทหนึ่งตามรายการด้านล่างหรือไม่ ถ้าไม่ใช่ เราจะเขียนสมการใหม่ในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ในการทำเช่นนี้ เราเขียนและคูณสมการด้วย เราได้สมการในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล:
.

ถ้าสมการนี้ไม่ใช่สมการในผลต่างทั้งหมด เราจะพิจารณาว่าในสมการนี้เป็นตัวแปรอิสระ และเป็นฟังก์ชันของ แบ่งสมการโดย:
.
ต่อไป เราจะดูว่าสมการนี้อยู่ในสมการประเภทใดประเภทหนึ่งตามรายการด้านล่างหรือไม่ โดยพิจารณาจากสมการนั้นและได้สลับไปแล้ว

หากไม่พบประเภทสำหรับสมการนี้ เราจะดูว่าเป็นไปได้ที่จะลดความซับซ้อนของสมการด้วยการแทนที่อย่างง่ายหรือไม่ ตัวอย่างเช่น ถ้าสมการคือ:
,
แล้วเราจะสังเกตเห็นว่า จากนั้นเราทำการทดแทน หลังจากนั้น สมการจะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า:
.

หากวิธีนี้ไม่ได้ผล เราจะพยายามหาปัจจัยร่วม

สมการตัวแปรที่แยกจากกัน

;
.
แบ่งตามและบูรณาการ เมื่อเราได้รับ:
.

สมการที่ลดลงเป็นสมการที่มีตัวแปรแยกกัน

สมการเอกพันธ์

เราแก้ไขโดยการแทนที่:
,
ฟังก์ชันของ . แล้ว
;
.
แยกตัวแปรและบูรณาการ

การลดสมการให้เป็นเนื้อเดียวกัน

เราแนะนำตัวแปรและ:
;
.
ค่าคงที่ และ ถูกเลือกเพื่อให้เงื่อนไขอิสระหายไป:
;
.
เป็นผลให้เราได้รับสมการเอกพันธ์ในตัวแปรและ

สมการเอกพันธ์ทั่วไป

เราทำการทดแทน เราได้สมการเอกพันธ์ในตัวแปรและ

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

มีสามวิธีในการแก้สมการเชิงเส้น

2) วิธีเบอร์นูลลี
เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันและจากตัวแปร:
.
;
.
เราสามารถเลือกหนึ่งในฟังก์ชั่นเหล่านี้ได้ตามอำเภอใจ ดังนั้น เมื่อเราเลือกคำตอบของสมการที่ไม่ใช่ศูนย์:
.

3) วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (Lagrange)
ก่อนอื่นเราจะแก้สมการเอกพันธ์:

คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบ:
,
ค่าคงที่อยู่ที่ไหน ต่อไป เราจะแทนที่ค่าคงที่ด้วยฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร :
.
แทนในสมการเดิม เป็นผลให้เราได้รับสมการที่เรากำหนด .

สมการของแบร์นูลลี

โดยการแทนที่ สมการเบอร์นูลลีจะลดลงเป็นสมการเชิงเส้น

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยวิธีเบอร์นูลลี นั่นคือ เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบของผลคูณของสองฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปร :
.
เราแทนที่ในสมการเดิม:
;
.
เมื่อเราเลือกคำตอบของสมการที่ไม่ใช่ศูนย์:
.
เมื่อพิจารณาแล้ว เราได้รับสมการที่มีตัวแปรที่แยกกันได้สำหรับ

สมการริคคาติ

มันไม่ได้รับการแก้ไขใน ปริทัศน์. การแทน

สมการ Riccati ลดลงเป็นรูปแบบ:
,
ค่าคงที่อยู่ที่ไหน ; .
ถัดไป การแทนที่:

ดูเหมือนว่า:
,
ที่ไหน .

คุณสมบัติของสมการ Riccati และกรณีพิเศษบางประการของการแก้ปัญหาแสดงอยู่ในหน้านี้
สมการอนุพันธ์ริคคาติ >>>

สมการจาโคบี

แก้ไขได้โดยการแทนที่:
.

สมการในส่วนต่างทั้งหมด

กำหนดว่า
.
เมื่อตรงตามเงื่อนไขนี้ นิพจน์ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันคือดิฟเฟอเรนเชียลของบางฟังก์ชัน:
.
แล้ว
.
จากที่นี่เราได้อินทิกรัลของสมการเชิงอนุพันธ์:
.

ในการค้นหาฟังก์ชัน วิธีที่สะดวกที่สุดคือเมธอด การเลือกตามลำดับความแตกต่าง สำหรับสิ่งนี้จะใช้สูตร:
;
;
;
.

ปัจจัยบูรณาการ

ถ้าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งไม่ลดขนาดลงเป็นประเภทใดๆ ที่แสดงไว้ คุณสามารถลองหาตัวประกอบการอินทิเกรตได้ ตัวประกอบการอินทิเกรตคือฟังก์ชันดังกล่าว เมื่อคูณด้วยสมการเชิงอนุพันธ์จะกลายเป็นสมการในส่วนอนุพันธ์ทั้งหมด สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 มีตัวประกอบการอินทิเกรตเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด อย่างไรก็ตาม, วิธีการทั่วไปหาตัวประกอบการอินทิเกรตไม่ได้

แก้สมการไม่ได้สำหรับอนุพันธ์ y"

สมการที่ยอมรับคำตอบที่เกี่ยวกับอนุพันธ์ y"

ก่อนอื่นคุณต้องพยายามแก้สมการเกี่ยวกับอนุพันธ์ หากเป็นไปได้ สมการจะลดลงเหลือประเภทใดประเภทหนึ่งตามรายการข้างต้น

สมการที่อนุญาตให้แยกตัวประกอบ

หากคุณแยกตัวประกอบของสมการได้:
,
จากนั้นงานคือ โซลูชันที่สอดคล้องกันสมการที่ง่ายกว่า:
;
;

;
. พวกเราเชื่อว่า . แล้ว
หรือ .
ต่อไป เรารวมสมการ:
;
.
เป็นผลให้เราได้รับนิพจน์ของตัวแปรที่สองผ่านพารามิเตอร์

มากกว่า สมการทั่วไป:
หรือ
ได้รับการแก้ไขในรูปแบบพาราเมตริกเช่นกัน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเลือกฟังก์ชันเพื่อให้จากสมการเดิม คุณสามารถแสดงหรือผ่านพารามิเตอร์
ในการแสดงตัวแปรที่สองในรูปของพารามิเตอร์ เรารวมสมการ:
;
.

แก้สมการที่เกี่ยวกับ y

สมการของ Clairaut

สมการนี้มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

สมการลากรองจ์

เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบพาราเมตริก เราถือว่า ที่ไหนคือพารามิเตอร์

สมการที่นำไปสู่สมการเบอร์นูลลี

สมการเหล่านี้จะลดลงเป็นสมการเบอร์นูลลี หากเรามองหาคำตอบในรูปแบบพาราเมตริกโดยการใส่พารามิเตอร์และทำการแทนที่

อ้างอิง:
วี.วี. Stepanov, หลักสูตรสมการเชิงอนุพันธ์, LKI, 2015
N.M. กุนเธอร์, อาร์.โอ. Kuzmin การรวบรวมงานบน คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น, "แลน", 2546.

1. สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งมีรูปแบบ

ถ้าสมการนี้สามารถแก้ได้ด้วยความเคารพ ta ก็สามารถเขียนได้เป็น

ในกรณีนี้ เราบอกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ถูกแก้ด้วยอนุพันธ์ สำหรับสมการดังกล่าว ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้ได้ ซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทว่าด้วยการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบท. ถ้าอยู่ในสมการ

ฟังก์ชันและอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเทียบกับ y มีความต่อเนื่องในโดเมน D บนระนาบที่มีจุดอยู่ จากนั้นมีคำตอบเฉพาะสำหรับสมการนี้

ตามเงื่อนไขที่

ทฤษฎีบทนี้จะได้รับการพิสูจน์ใน§ 27 Ch. เจ้าพระยา

ความหมายทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทคือ มีอยู่จริง และยิ่งกว่านั้น ฟังก์ชันพิเศษที่กราฟผ่านจุด

จากทฤษฎีบทระบุว่าสมการมีจำนวนอนันต์ โซลูชั่นต่างๆ(เช่น สารละลายที่กราฟผ่านจุดหนึ่ง สารละลายอื่นที่กราฟผ่านจุด เป็นต้น ถ้าเฉพาะจุดเหล่านี้อยู่ในพื้นที่

เงื่อนไขที่เมื่อฟังก์ชัน y ต้องเท่ากับจำนวนที่กำหนดเรียกว่าเงื่อนไขเริ่มต้น มักเขียนเป็น

นิยาม 1. คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งคือฟังก์ชัน

ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าคงที่ C โดยพลการหนึ่งค่าและเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

a) มันเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับค่าเฉพาะใดๆ ของค่าคงที่ C;

b) ไม่ว่าเงื่อนไขเริ่มต้นจะเป็นอย่างไร คุณสามารถหาค่าที่ฟังก์ชันเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดได้ สันนิษฐานว่าค่าเป็นของภูมิภาคของการแปรผันของตัวแปร x และ y ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา

2. ในกระบวนการค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ เรามักจะพบความสัมพันธ์ของรูปแบบ

ไม่อนุญาตในส่วนที่เกี่ยวกับ การแก้ไขความสัมพันธ์นี้ด้วยความเคารพ y เราได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป อย่างไรก็ตาม เพื่อแสดง y จากความสัมพันธ์ (2) ใน ฟังก์ชันพื้นฐานไม่สามารถทำได้เสมอไป ในกรณีดังกล่าว การแก้ปัญหาทั่วไปจะปล่อยให้เป็นนัย ความเท่าเทียมกันของรูปแบบที่ระบุคำตอบทั่วไปโดยปริยายเรียกว่าอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

คำจำกัดความ 2 โซลูชันเฉพาะคือฟังก์ชันใด ๆ ที่ได้รับจากโซลูชันทั่วไปหากเราเพิ่มค่าคงที่โดยพลการสุดท้าย C ค่าบางอย่างความสัมพันธ์นี้เรียกว่าอินทิกรัลย่อยของสมการ

ตัวอย่างที่ 1 สำหรับสมการอันดับหนึ่ง

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะเป็นกลุ่มของฟังก์ชันซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการแทนที่อย่างง่ายในสมการ

ให้เราหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นต่อไปนี้: สำหรับการแทนค่าเหล่านี้ลงในสูตร เราจะได้หรือ ดังนั้นโซลูชันเฉพาะที่จำเป็นจะเป็นฟังก์ชัน

จากมุมมองทางเรขาคณิต อินทิกรัลทั่วไปคือกลุ่มของเส้นโค้งบน ระนาบพิกัดขึ้นอยู่กับค่าคงที่ C หนึ่งค่าโดยพลการ

เส้นโค้งเหล่านี้เรียกว่าเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด อินทิกรัลบางส่วนสอดคล้องกับเส้นโค้งหนึ่งของครอบครัวนี้ที่ผ่านบางส่วน จุดที่กำหนดเครื่องบิน

ใช่ใน ตัวอย่างสุดท้ายอินทิกรัลทั่วไปแสดงแทนทางเรขาคณิตโดยกลุ่มไฮเปอร์โบลา และอินทิกรัลเฉพาะที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้นที่ระบุจะแสดงโดยหนึ่งในไฮเปอร์โบลาที่ผ่านจุด 251 แสดงเส้นโค้งของครอบครัวที่สอดคล้องกับค่าพารามิเตอร์บางค่า: เป็นต้น

เพื่อให้เหตุผลชัดเจนยิ่งขึ้น ต่อจากนี้ไป เราจะเรียกคำตอบของสมการว่า ไม่เพียงแต่ฟังก์ชันที่เป็นไปตามสมการเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นโค้งอินทิกรัลที่สอดคล้องกันด้วย ในการเชื่อมต่อนี้ เราจะพูดถึงวิธีแก้ปัญหาที่ผ่านจุด .

ความคิดเห็น สมการนี้ไม่มีคำตอบที่ผ่านจุดที่อยู่บนแกนของรูปที่ 251) ตั้งแต่ ส่วนขวาสมการสำหรับไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้นจึงไม่ต่อเนื่องกัน

การแก้สมการอนุพันธ์หมายความว่า:

ก) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปหรืออินทิกรัลทั่วไป (หากไม่ได้กำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น) หรือ

b) หาคำตอบเฉพาะของสมการที่ตรงตามที่กำหนด เงื่อนไขเริ่มต้น(ถ้ามี).

3. ให้เราตีความทางเรขาคณิตของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง

ให้สมการเชิงอนุพันธ์ที่แก้ไขด้วยอนุพันธ์:

และปล่อยให้มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไป สมการที่กำหนด. โซลูชันทั่วไปนี้กำหนดกลุ่มของเส้นโค้งอินทิกรัลในระนาบ

สมการ (D) สำหรับแต่ละจุด M ที่มีพิกัด x และ y กำหนดค่าของอนุพันธ์ เช่น ความลาดชันสัมผัสกับเส้นโค้งอินทิกรัลผ่านจุดนี้ ดังนั้น สมการเชิงอนุพันธ์ (D) จึงให้ชุดของทิศทาง หรือตามที่พวกเขากล่าวว่า กำหนดสนามของทิศทางบนระนาบ

ดังนั้น ด้วย จุดเรขาคณิตจากมุมมอง งานของการรวมสมการเชิงอนุพันธ์ประกอบด้วยการค้นหาเส้นโค้งที่มีทิศทางของเส้นสัมผัสตรงกับทิศทางของสนามที่จุดที่สอดคล้องกัน

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ (1) ตำแหน่งของจุดที่ความสัมพันธ์มีอยู่เรียกว่า isocline ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด

ที่ ค่าที่แตกต่างกัน k เราได้ไอโซไซไลน์ที่แตกต่างกัน สมการของไอโซไลน์ที่สอดคล้องกับค่าของ k จะเป็นอย่างชัดเจน: โดยการสร้างตระกูลของไอโซไลน์ เราสามารถสร้างตระกูลของเส้นโค้งอินทิกรัลได้โดยประมาณ ว่ากันว่าเมื่อรู้ไอโซไซไลน์แล้ว เราสามารถระบุตำแหน่งของเส้นโค้งอินทิกรัลบนระนาบในเชิงคุณภาพได้